二2017年度第一学期数学寒假提高练习二

2017北师大版六年级上册数学提高练习1
一、简便计算。

12 +14 +18 +116 +132 ＋164
12 ＋16 +112 +120 130+ 142 +156
128)384
119219614812411216131(⨯+++++++
二、解决问题。

1、小王在一个小山坡来回运动。

先从山下跑上山，每分钟跑200米，再从原路下山，每分钟跑240米，又从原路上山，每分钟跑150米，再从原路下山，每分钟跑200米，求小王的平均速度。

2、张师傅骑自行车往返A 、B 两地。

去时每小时行15千米，返回时因逆风，每小时只行10千米，张师傅往返途中的平均速度是每小时多少千米？
3、海洋化肥厂计划第二季度生产一批化肥，已知四月份完成总数的13 多50吨，五月份完成总数的25
少70吨，还有420吨没完成，第二季度原计划生产多少吨？
4、甲、乙、丙三个盒子各有若干个小球，从甲盒拿出4个放入乙盒，再从乙盒拿出8个放入丙盒后，三个盒子内的小球个数相等。

原来乙盒比丙盒多几个球？。

2017北师大版六年级上册数学提高练习2
1、小王骑摩托车往返A、B两地。

平均速度为每小时48千米，如果他去时每小时行42千米，那么他返回时的平均速度是每小时行多少千米？
2、勤风印刷厂，装订车间有40 个工人，每分钟每个男工装订 3 本书，每个女工装订 1.5 本书，男女工人 5 分钟一共装订了435 本书。

问男女工人各装订多少本？
3、甲、乙两人星期天一起上街买东西，两人身上所带的钱共计是86元.在人民市场，甲买一双运动鞋花去了所带钱的4/9，乙买一件衬衫花去了人民币16元．这样两人身上所剩的钱正好一样多。

问甲、乙两人原先各带了多少钱？。

2017学年初三第一学期反比例函数综合练习二-）．1、已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，2（1）求这两个函数的表达式；（2）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．2、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax﹣a（a为常数）的图象与y轴相交于点A，与函数的图象相交于点B（m，1）．（1）求点B的坐标及一次函数的解析式；（2）若点P在y轴上，且△PAB为直角三角形，请直接写出点P的坐标．3、如图，P1、P2（P2在P1的右侧）是y=（k＞0）在第一象限上的两点，点A1的坐标为（2，0）．（1）填空：当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将（减小、不变、增大）（2）若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，①求反比例函数的解析式；②求出点P2的坐标，并根据图象直接写在第一象限内，当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y=的函数值．），反比例函数y=的图象经过4、如图，四边形ABCD为正方形，点A坐标为（0，1），点B坐标为（0，2点C，一次函数y=ax+b的图象经过A、C两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）若点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标．5、如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．6、如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），双曲线y=（k≠0，x＞0）过点D．（1）求双曲线的解析式；（2）作直线AC交y轴于点E，连结DE，求△CDE的面积．7、平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y=（k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，AD交y轴于P点（1）已知点A的坐标是（2，3），求k的值及C点的坐标；（2）在（1）的条件下，若△APO的面积为2，求点D到直线AC的距离．8、如图，已知直线l：y1=kx+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，与双曲线y2=（a≠0，x＞0）分别交于D、E 两点．若点D的坐标为（4，1），点E的坐标为（1，4）（1）分别直接写出直线l与双曲线的解析式：；（2）若将直线l向下平移m（m＞0）个单位，当m为何值时，直线l与双曲线有且只有一个交点；（3）当y1＜y2时，直接写出x的取值范围．9、如图，直线y=x 与反比例函数的图象交于点A （3，a ），B （m ，n ）第一象限内的点B 在这个反比例函数图象上，OB 与x 轴正半轴的夹角为α，31m n （1）求点B 的坐标； （2）求△OAB 的面积．10、如图，在平面直角坐标系中，点A 是反比例函数y=（k ≠0）图象上一点，AB ⊥x 轴于B 点，一次函数y=ax +b （a ≠0）的图象交y 轴于D （0，﹣2），交x 轴于C 点，并与反比例函数的图象交于A ，E 两点，连接OA ，若△AOD 的面积为4，且点C 为OB 中点． （1）分别求双曲线及直线AE 的解析式；（2）若点Q 在双曲线上，且S △QAB =4S △BAC ，求点Q 的坐标．11、如图，一次函数y1=k1x+b的图象与反比例函数y2=（x＞0）的图象交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A点坐标为（2，1），C点坐标为（0，3）（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）在x轴上找一点P，使得△PAB的周长最小，请求出点P的坐标．12、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=﹣x+3交AB，BC于点M，N，反比例函数y=的图象经过点M，N．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．13、如图，直线y=﹣x﹣1与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数y=（x＜0）的图象交于点C，过点A作AD⊥0A，交反比例函数的图象于点D，连结CD．（1）若已知AB=AC，求反比例函数的表达式；（2）若已知CD=AC，求△ACD的面积．14、如图，已知双曲线y=与直线y=x相交于A，B两点，点C（2，2），D（﹣2，﹣2）在直线y=x上．（1）若点P（1，m）为双曲线y=上一点，求PD﹣PC的值．（2）若点P（x，y）（x＞0）为双曲线y=上一动点，请问PD﹣PC的值是否为定值？请说明理由．（3）若点P（x，y）（x＞0）为双曲线y=上一动点，连接PC交双曲线另一点E，当点P（x，y）使得PD﹣CE=2PC．求P的坐标．。

寒假二1.如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=135°，将一个含45°角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方．（1）将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转90°，如图2所示，此时∠BOM=；在图2中，OM 是否平分∠CON？请说明理由；（2）紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠CON之间的数量关系，并说明理由；（3）将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（直接写出结果）．2.如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放（∠MON=900）.（1）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图②，使边OM恰好平分∠BOC，问：ON是否平分∠AOC?请说明理由；（2）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图③，使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC=60 ，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由．3.已知将一副三角尺（直角三角尺OAB和直角三角尺OCD，∠AOB=∠CDO=900,∠COD=300）如图①摆放，点O,A,C在一条直线上，将直角三角板尺OCD绕点O逆时针转动，变化后如图②、图③摆放.(1) 如图①，当点O,A,C在同一条直线上，∠BOD的度数是_____；(2) 如图②，若要OB恰好平分∠COD，则∠AOC的度数是______；(3) 如图③，当三角尺OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，如果三角尺OCD∠AOB内绕点O任意转动，∠MON的度数是否发生变化?如果不变，求其度数；如果变化，说明理由.4. 问题背景数学活动课上，老师将一副三角尺按图1所示位置摆放,三角尺ABC中,∠BAC=90°，∠B=∠C=45°，三角尺ADE中∠D=90°，∠DAE=60°，∠E=30°,分别作出∠BAD,∠CAE的平分线AM,AN，然后提出问题:求出∠MAN的度数.特例探究“智慧小组”的同学决定从特例入手，探究老师提出的问题，他们将三角尺分别按图2、图3所示的方式摆放，OM和ON 仍然是∠BAD,∠CAE的平分线.其中按图2方式摆放时，AB和AE在同一条直线上，按图3方式摆放时，AB,AD,AM在同一条直线上.(1)计算:图2中∠MAN的度数为______，图3中∠MAN的度数为______(直接写出答案，不写过程).发现感悟(2)探究完图2、图3所示的特殊位置问题后，请你猜想图1中∠MAN的度数为______.智慧小组的同学认为图2、图3中的∠BAD,∠CAE的度数都已知或能求出具体的度数,图1中，∠MAN =∠MAB+∠BAE+∠EAN，这些角比较一般化，求不出具体的度数，所以想到了用字母表示数,如果设∠BAE 为x度，则可以用含x的式子表示∠BAD和∠CAE，进而可以表示∠MAB和∠EAN，这样就能求出∠MAN 的度数. 请你根据“智慧小组”的思路，求出图1中∠MAN的度数.类比拓展受到“智慧小组”的启发，“创新小组”将三角尺按图4所示方式摆放，分别作出∠BAD,∠CAE的平分线AM,AN，他们认为也能求出∠MAN的度数，请你求出∠MAN的度数.5.分类讨论是一种非常重要的数学方法. 如果一道题提供的已知条件中包含几种情况，我们可以分情况讨论来求解. 例如|x|= 3, |y|= 2 , 求x加y的值.情况①，若x=3，y=2时，x+y=5; 情况②，若x=3，y= -2时，x+y=1;情况③，若x= -3，y=2时，x+y= -1; 情况④，若x=-3，y= -2时，x+y= -5;所以x+y的值为1, -1, 5, -5.几何的学习过程中也有类似的情况:如图，点O是直线AB上一点，将一个直角三角板如图摆放，过点O作射线OE平分∠BOC，当直角三角板绕点O继续顺时针旋转一周回到图①的位置时，在旋转过程中你发现∠AOC与∠DOE(00<∠AOC≤1800)之间有怎样的数量关系？情况(1): 如图①，当00<∠AOC<900时，若∠AOC=400，则∠DOE的度数是_____.情况(2): 如图②，当∠AOC是钝角时，使得直角边OC在直线AB的上方，若∠AOC=1600，其他条件不变，则∠DOE的度数是_____.情况(3)：若∠AOC=ɑ，在旋转过程中，你发现∠AOC与∠DOE之间有怎样的数量关系？请你用直接用含ɑ的式子表示角的度数.。

20 17-2018 学年度第一学期期中高二年级数学练习必修2模块考核试卷(文科)说明:本试卷分Ⅰ卷 和Ⅱ卷，Ⅰ卷17道题,共100分，作为模块成绩;Ⅱ卷7道题， 共50分; Ⅰ卷，Ⅱ卷共24题，合计150分,作为期中成绩;考试时间120分钟;请在密封线内填写个人信息。

Ⅰ卷(共17题,满分100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“机读答题纸”的相应位置上.) 1.在平面直角坐标系，直线x-y+3=0的倾斜角是（ ）。

A: π/6 B: π/4 C: π/3 D: 3π/42.在空间直角坐标系中，两点A(1，0，1)和B(1，1，1)的距离是 A 、 1 B 、2 C 、3 D 、 23.下列说法不正确的是（ ）A.正棱柱的侧棱长与高相等B.直棱柱的侧棱长与高相等C.斜棱柱的侧棱长大于高D.四棱柱的侧棱长与高相等 4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）A ．2/3B ． 35C ．4/3D ．3525.设点A ，B 是直线3x+4y+2=0与圆x 2 +y 2+4y=0的两个交点，则线段AB 的垂直平分线的方程是（） A.4x-3y-2=0 B.4x-3y-6=0 C.3x+4y+6=0 D.3x+4y+8=06. 设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α B. 若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α C. 若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m D. 若l ∥α，m ∥α，则l ∥m7.如图,在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点P 在面对角线AC 上运动，给出下列四个命题：①D 1P ∥平面A 1BC 1； ②D 1P ⊥BD ；③平面PDB 1⊥平面A 1BC 1； ④三棱锥A 1−BPC 1的体积不变。

2017-2018第一学期山东省滕州市鲍沟中学九年级数学第二章：二次函数一元二次方程同步练习题1．抛物线y＝2x2－2 x＋1与坐标轴的交点个数是( )A．0 B．1 C．2 D．32．如图,抛物线与x轴一个交点为（-2，0），对称轴为直线x=1，则y＜0时x的范围是（）A．x＞4或x＜-2 B．-2＜x＜4 C．-2＜x＜3 D．0＜x＜33．已知关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为：x1=1,x2=—5，则二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是（）A．直线x=2 B．直线x=3 C．直线x=-2 D．y轴4．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的横坐标分别为－1、3，则下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③4a＋2b＋c＜0；④对于任意x均有ax2－a＋bx－b＞0，其中正确的个数有（）8．已知抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）经过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段BC有交点，其中点B（1，0），点C（3，0），则c的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．109．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），对称轴为直线x=2，且经过点P（3，0），则a+b+c的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．310．若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（）A．x1=﹣3，x2=﹣1 B．x1=1，x2="3"C．x1=﹣1，x2="3" D．x1=﹣3，x2=111．抛物线y=x2﹣2x与坐标轴的交点个数为（）.A．0个B．1个C．2个D．3个12．如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是 ,则该运动员此次掷铅球的成绩是（）A．6m B．12m C．8m D．10m13．若关于x的二次函数y=kx2+2x﹣1的图象与x轴仅有一个公共点，则k的取值范围是（）.A．k="0" B．k=﹣1 C．k＞﹣1 D．k≠0且k=﹣114．抛物线y=x2+2x+2﹣m与x轴有两个交点，则下列m的值符合题意的是（）.A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．215．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，点C在y轴的正半轴上，且OA=OC，则（）A．ac+1="b" B．ab+1="c" C．bc+1="a" D．以上都不是．已知抛物线与则代数式的值为是函数的图象，是函数的图象，则阴影部分的面积．”或“＜”号）．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2经过平移得到抛物线y=x2﹣2x，其对称轴与两抛物线所围成的阴影部分的面积是__________．三、解答题24．已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(-1，0)和(2，0)，与y轴的交点坐标为(0，-2)，则该二次函数的解析式为______.25．二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根。

常乐小学2017～2018学年度第一学期二年级数学第三、四单元练习一、下面各题是平均分的在里打“√”，不是的打“×”。

（8分）1、2、3、4、二、看图填空。

（每题2+2+3+3分，共10分）1、10只，每（）只为一份，分成了（）份。

2、9棵，每（）棵为一份，分成了（）份。

3、（）个梨，平均放在（）在盘子里，每盘有（）个。

4、（）架飞机，每（）架为一份，分成了（）份。

三、画一画。

（9分）（1）把下面的图形分成2个四边形。

（2（）个三角形（）个三角形（）个三角形四、看图填空。

（16分）1、学校班级姓名………………………装……………………………订…………………线……………………（1）10朵花，每（）朵插一盆，一共可以插（）盆。

（2）10朵花，平均插在（）个花盆里，每盆插（）朵。

2、（1）20个，平均分成（）份，每份（）个。

（2）20个，每（）个为一份，一共可以分成（）份。

五、看图写出两道乘法算式和两道除法算式。

（12分）1、2、六、根据题意写出除法算式。

（8分）1、被除数是18，除数是3，商是6。

2、把24平均分成6份，每份是4。

3、6里面有2个3。

4、被除数和除数都是5，商是1。

七、算一算。

（6分）6×3= 25+6= 30-9= 36÷6= 12÷2= 5×6= 6÷1= 3÷3= 16÷4= 20÷5= 4×1-4= 18÷6= 八、仔细想一想，看谁的想法多。

（8分）（1）平均分成（ ）份，每份（ ）个。

（2）平均分成（ ）份，每份（ ）个。

（3）平均分成（ ）份，每份（ ）个。

（4）平均分成（ ）份，每份（ ）个。

九、解决问题（6+5+4+8共19分） 1、（1） 每桌坐4个小朋友，3桌一共坐了多少个小朋友？（个）（2）每桌坐4个小朋友，12个小朋友需要坐几桌？ （桌）（3）3桌一共坐了12个小朋友，平均每桌坐几个小朋友？ （个）2、两个小朋友玩一个 , 一共需要多少个 ?（个）3、小朋友做手工。

卷首语：亲爱的同学，这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获。

请 认真审题，看清要求，仔细答题，要相信我能行。

1、下列各组条件中,不能判定△ABC 与△DEF 全等的是 ( )A. AB=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠FB. AC=DF ，BC=DE ，BA=EFC. AB=EF ，∠A=∠E ，∠B=∠FD. ∠A=∠F ，∠B=∠E ，AC=EF2、判定两个三角形全等必不可少的条件是 （ ） Ａ.至少有一边对应相等 B ．至少有一角对应相等 C ．至少有两边对应相等 D ．至少有两角对应相等3、在△ABC 和△DEF 中，已知AB=DE ，∠A=∠D ，还需具备什么条件①AC=DF ；②BC=EF ；③∠B=∠E ；④∠C=∠F ，才能推出△ABC ≌△DEF ，其中符合条件有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个4、 如图1，AO 平分∠BAC ，AB=AC ，图中有__________________对三角形全等.5、举例说明三角形稳定性在生活中的应用:_______________________________.6、如图2，在△ABC 中，∠C=900，AD 是∠BAC 的平分线，交BC 于D ，BC=16，DC ：DB=3：5，则点D 到AB 的距离是___________.7、如图,已知AD=AE,AC=AB,∠A=400, ∠B=350,求∠EOC 的度数8、如图，已知∠1=∠2,∠3=∠4,AB 与CD 相等吗？请你说明理由.图1 AC D OEBA图2CBC图3BC图1 A DC卷首语：亲爱的同学，这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获。

请 认真审题，看清要求，仔细答题，要相信我能行。

1、满足下列条件的两个等腰三角形，不能判定它们全等的是 ( )A.两腰对应相等B.一腰和顶角对应相等C.一腰和底边对应相等D.一腰与该腰上的中线对应相等2、根据下列条件，能画出唯一的△ABC 的是 （ ） Ａ.AB=3，BC=4，AC=8 B ．AB =4，BC =3，∠A =300 C.∠A=600，∠B =450，AB =4 D ．∠C =900，AB =63、三角形的两条边的长分别为5和7，则第三边上中线的取值范围是 （ ） A.a<6B.a>1C.1<a<6D.1≤a ≤64、如图1,已知AB ⊥BD 于B,ED ⊥BD 于D,AB=CD,BC=DE,则∠ACE=___________°.5、如图2,已知AB ∥CF,E 为DF 则BD 等于____________.6、如图3，在等腰△AOB 的腰OA 、OB 上截取OC=OD ，连结AD 、BC 交于点P ，下列结论： ①△AOD ≌△BOC ；②△APC ≌△BPD ；③点P 在∠AOB 的平分线上；④AP=DP.其中正 确的有__________.(填序号)7、如图，如果∠1=∠2，∠3=∠4，AC 、BD 相交于点O ，那么线段BD 与AC 有什么关系？为什么？8、如图，已知△ABC ，BE 、CF 为高，CP=AB ，BD=AC ，试判断AP 与AD 有什么关系？并说明你的理由.卷首语：亲爱的同学，这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获。

11.3多边形及其内角和【知识要点】1.过n边形的一个顶点可以引对角线；将n边形分成了________个三角形；n边形的对角线一共有条；2. n边形的内角和为；多边形的外角和为。

专题一多边形的求值问题：1．若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是（）A．12 B．11 C．10 D．92．一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于________°．3．若从一多边形的一个顶点出发，最多可引10条对角线，则它是（）4.已知一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角都等于与它相邻的外角的9倍，求这个多边形的边数．专题二求多个角的和4．如图为某公司的产品标志图案，图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（）A．360°B．540°C．630°D．720°5．如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°．6．如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．11.4综合运用一、填空：1．已知△ABC 中，∠A ＝80°，∠B 、∠C 的平分线的夹角是___________.2．若一个三角形的三边长是三个连续的自然数，其周长m 满足2210<<m ，则这样的三角形有_________________个。

第3题图 第4题图 第5题图3．如图,在△ABC 中,已知点D,E,F 分别为边BC,AD,CE 的中点, 且S △ABC =4cm 2,则S 阴影等于__________.4．已知：如图，在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边的高，则∠DBC=_________.A ．10°B ．18°C ．20°D ．30°5．如图，直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，将其折叠，使点A 落在边 CB 上的A /处，折痕为CD ，则∠A /DB ＝6．在锐角三角形中，最大角α的取值范围是 .7．已知a 、b 、c 是三角形的三边长，化简：|a －b ＋c|＋|a －b －c|=_____________。

2017年秋季高一年寒假数学专题练习二（空间中的垂直问题）参考答案类型一、线面垂直【例1】证明：在△ABC 中，∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴AC ＝2AB ，又∵P A ＝2AB ，∴AC ＝P A ，∵F 为PC 的中点，∴AF ⊥PC ；∵P A ⊥平面ABCD ，CD 平面ABCD ，∴P A ⊥CD ，∵∠ACD ＝90°，∴CD ⊥AC ， AC ∩P A ＝A ，∴CD ⊥平面P AC ，∵PC 平面P AC ，∴CD ⊥PC ，∵E 为PD 的中点，F 为PC 的中点，∴EF ∥CD ，∴EF ⊥PC ，∵AF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面AEF ．类型二、线线垂直【例2】证明：（1）法一：连结BD ，∵ 底面ABCD 为矩形，DC ＝4，AD ＝2，∴BD =∵ PD ⊥平面ABCD ，BD 平面ABCD ，∴PD ⊥BD ，又∵ PD ＝4，BD =PB ＝6，同理可得PC＝BC ＝2∴222BC PC PB +=BC PC ∴⊥AD BC AD PC ∴⊥法二：∵ PD ⊥平面ABCD ，AD 平面ABCD ，∴PD ⊥AD ，∵底面ABCD 为矩形，∴AD ⊥DC ，又PD ∩DC ＝D ，∴AD ⊥平面PDC ，PC 平面PDC ， ∴AD ⊥PC ；（2）法一：∵ PD ＝DC ，E 为PC 的中点 D E P C ∴⊥又由（1）可知AD ⊥PC ∴PC ⊥平面ADE ∴PE 即为三棱锥P －ADE 的高在RT PCD ∆中，PD ＝DC ＝4∴DE PE ==由（1）中AD ⊥平面PDC ， A D E ∴∠为直角，又AD ＝2∴122ADE S ∆=⨯⨯=118333P A D E A D E V S P E -∴=== 法二：由（1）知AD ⊥平面PDC ，∴AD 的长为A 到平面PDE 的距离，在直角三角形PDC 中，E 为PC 中点，PD ＝DC ＝4，∴S △PDE ＝4，∴V P －ADE ＝V A －PDE ＝13×S △PDE ×AD ＝13×4×2＝83． 类型三、面面垂直【例3】证明：G H ，分别为AC BC ，的中点，∴//,GH AB 由,AB BC ⊥得GH BC ⊥，又H 为BC 的中点，∴,EF HC =∴四边形EFCH 是平行四边形，∴//.CF HE又CF BC ⊥，所以HE BC ⊥．又,HE GH ⊂平面EGH ，HE GH H ⋂=，∴BC ⊥平面EGH ，∴平面BCD ⊥平面.EGH类型四、性质的应用【例4】解：（1）证明：∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ．∵底面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，底面ABC ∩平面BB 1C 1C ＝BC ，∴AD⊥平面BB 1C 1C ．又CC 1⊂平面BB 1C 1C ，∴AD ⊥CC 1．（2）证明：法一：延长B 1A 1与BM 交于点N ，连接C 1N ．∵AM ＝MA 1，∴NA 1＝A 1B 1．∵A 1C 1＝A 1N ＝A 1B 1，∴C 1N ⊥B 1C 1，∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C ．∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ；法二：取1BC 中点E ，连结,EM DE,D E 分别是1BC 的中点，112DE CC =∴ 又AM ＝MA 1，∴DE AM =，∴四边形ADEM 是平行四边形又由（1）∴AD ⊥平面BB 1C 1C ．∴ME ⊥平面BB 1C 1C ．∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C类型五、不定点问题【例5】证明：（1）∵ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，∴A 1C 1＝B 1C 1＝1，且∠A 1C 1B 1＝90°．又D 是A 1B 1的中点，∴C 1D ⊥A 1B 1．∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1，C 1D ⊂平面A 1B 1C 1，∴AA 1⊥C 1D ，又A 1B 1∩C 1D ＝D ，∴C 1D ⊥平面AA 1B 1B ．（2）作DE ⊥AB 1交AB 1于E ，延长DE 交BB 1于F ，连接C 1F ，则AB 1⊥平面C 1DF ，点F 为所求． ∵C 1D ⊥平面AA 1B 1B ，AB 1⊂平面AA 1B 1B ，∴C 1D ⊥AB 1．又AB 1⊥DF ，DF ∩C 1D ＝D ，∴AB 1⊥平面C 1DF ．∵AA 1＝A 1B 1＝2，∴四边形AA 1B 1B 为正方形．又D 为A 1B 1的中点，DF ⊥AB 1，∴F 为BB 1的中点，∴当点F 为BB 1的中点时，AB 1⊥平面C 1DF【巩固提升】1．证明：因为AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，所以BC ⊥平面ABE ．又AE ⊂平面ABE ，所以AE ⊥BC ．因为BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，所以AE ⊥BF ．又因为BF ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BF ∩BC ＝B ，所以AE ⊥平面BCE ．又BE ⊂平面BCE ，所以AE ⊥BE ．2．证明∵平面P AC ⊥平面ABC, 平面P AC 平面ABC=AC, AC ⊥BC,⊂BC 平面ABC ∴BC ⊥平面P AC∵M 是AE 的中点, N 是P A 的中点 ∴MN //PE又∵PE //BC ∴MN //BC ∴MN ⊥平面P AC又∵MN ⊂平面CMN ∴平面CMN ⊥平面P AC3．证明：（1）∵AB 为⊙O 的直径，∴AM ⊥BM ．又P A ⊥平面ABM ，∴P A ⊥BM ．又∵P A ∩AM ＝A ，∴BM ⊥平面P AM ．又AN ⊂平面P AM ，∴BM ⊥AN ．又AN ⊥PM ，且BM ∩PM ＝M ，∴AN ⊥平面PBM ．（2）由(1)知AN ⊥平面PBM ，PB ⊂平面PBM ，∴AN ⊥PB ．又∵AQ ⊥PB ，AN ∩AQ ＝A ，∴PB ⊥平面ANQ ．又NQ ⊂平面ANQ ，∴PB ⊥NQ ．4．证明：因为SA ⊥平面ABCD ，所以SA ⊥BC ．因为四边形ABCD 是正方形，所以AB ⊥BC ．因为SA ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面SAB ．因为AE ⊂平面SAB ，所以BC ⊥AE ．因为SC ⊥平面AGFE ，所以SC ⊥AE ．又因为BC ∩SC ＝C ，所以AE ⊥平面SBC ．而SB ⊂平面SBC ，所以AE ⊥SB ．5．（1）证明 取PD 的中点N ，连接AN ，MN ，如图所示，则MN ∥CD ，MN ＝12CD ． 又AB ∥CD ，AB ＝12CD ，∴MN ∥AB 且MN ＝AB ， ∴四边形ABMN 为平行四边形，∴AN ∥BM ，又BM ⊥平面PCD ，∴AN ⊥平面PCD ，∴AN ⊥PD ，AN ⊥CD ．由ED ＝EA ，即PD ＝P A 及N 为PD 的中点，可得△P AD 为等边三角形，∴∠PDA ＝60°，又∠EDC ＝150°，∴∠CDA ＝90°，∴CD ⊥AD ，又AN ∩AD ＝A ，AN ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，∴CD ⊥平面P AD ，又∵CD ⊂平面ABCD ，∴平面P AD ⊥平面ABCD ．（2）解 设四棱锥P －ABCD 的高为h ，四边形ABCD 的面积为S ，则V P －ABCD ＝13hS ＝23， 又S △BCD ＝23S ，四面体BCDM 的高为h 2．∴V BCDM ＝13×h 2×S △BCD ＝16×23hS ＝16×23×63＝233，∴四面体BCDM 的体积为233．6．（1）证明 由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥P A ，CD ⊥PD ．由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，又P A ∩PD ＝P ，P A ⊂平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，从而AB ⊥平面P AD ． 又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD ．（2）解 如图，在平面P AD 内作PE ⊥AD ，垂足为E ．由(1)知，AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PE ，AB ⊥AD ，又AB ∩AD ＝A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ．设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x ， 故四棱锥P —ABCD 的体积V P-ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3． 由题设得13x 3＝83，故x ＝2．从而结合已知可得P A ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝22，可得四棱锥P —ABCD 的侧面积为12P A ·PD ＋12P A ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋23．7．解：（1）证明：因为∠C ＝90°，DE ∥BC ，所以DE ⊥CD ，由题意可知，DE ⊥A ′D ， 又A ′D ∩CD ＝D ，所以DE ⊥平面A ′CD ，所以BC ⊥平面A ′CD ，所以BC ⊥A ′C ， 又A ′C ⊥CD ，且CD ∩BC ＝C ，所以A ′C ⊥平面BCDE ，又BE ⊂平面BCDE ，所以A ′C ⊥BE ．（2）线段A ′D 上存在点F ，使平面CFE ⊥平面A ′DE ．理由如下：因为A ′C ⊥CD ，所以，在Rt △A ′CD 中，过点C 作CF ⊥A ′D 于F ，由(2)可知，DE ⊥平面A ′CD ，又CF ⊂平面A ′CD ，所以DE ⊥CF ，又A ′D ∩DE ＝D ，所以CF ⊥平面A ′DE ．因为CF ⊂平面CEF ，所以平面CFE ⊥平面A ′DE ，故线段A ′D 上存在点F ，使平面CFE ⊥平面A ′DE ．如图(1)，因为DE ∥BC ，所以DE BC ＝AD AC ，即23＝AD 6， 所以AD ＝4，CD ＝2，如图(2)，在Rt △A ′CD 中，A ′D ＝4，CD ＝2，所以∠A ′DC ＝60°，在Rt △CFD 中，DF ＝1．。