八年级数学下册 2.6 菱形典型例题素材 (新版)湘教版

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12．[中考·陕西]在菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，连接 AC，
BD，则BADC的值为( D )
A.12
B.
Hale Waihona Puke 2 2C.3 2
D.
3 3
【点拨】设AC与BD交于点O.∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD＝ 12∠ABC＝30°.
设AO＝a，则AB＝2a，AC＝2a. 根据勾股定理，
得 BO＝ 3a，∴BD＝2
3a，∴BADC＝
3 3.
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13．[长沙模拟]如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD 相交于点O，△BOC≌△CEB.
(1)求证：四边形OBEC是矩形； 证明：∵△BOC≌△CEB，∴OB＝EC， OC＝EB，∴四边形OBEC是平行四边形． ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°， ∴四边形OBEC是矩形．
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9．[教材改编题]如图，已知在菱形ABCD中，∠ABC＝
60°，对角线AC＝8，求菱形ABCD的周长和面积． 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AO＝OC，BO＝OD, AC⊥BO.
∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝8.
∴菱形ABCD的周长＝4×8＝32.在Rt△AOB中， 由勾股定理，得 BO＝ 82－42＝4 3，∴BD＝2BO＝8 3，
∴矩形 OBEC 的周长＝(3 3＋3)×2＝6 3＋6.
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14. [几何直观]感知：如图①，在菱形ABCD中，AB＝BD， 点E，F分别在边AB，AD上． 若AE＝DF，易知△ADE ≌△DBF. 探究：如图②， 在菱形ABCD中，AB＝BD，点E，F分别在BA，AD的延 长线上．若AE＝DF，△ADE与△DBF是否全等？如果 全等，请证明；如果不全等，请说明理由．

湘教版八年级数学下册《2-6菱形》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图,在菱形ABCD中,∠BAD＝60°,对角线BD＝6,则菱形的边AB的长为（）A．4B．6C．3D．82．如图,在菱形ABCD中,∠DAB＝45°,DE⊥BC于点E,交对角线AC于点P,过点P作PF⊥CD于点F．若△PDF的周长为8．则菱形ABCD的面积为（）A．16B．16C．32D．323．如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,且AC＝6,DB＝8,AE⊥BC于点E,则AE＝（）A．6B．8C．D．4．如图,菱形OABC的边OA在平面直角坐标系中的x轴上,∠AOC＝60°,OA＝4,则点C的坐标为（）A．B．C．D．（2,2）5．如图,菱形ABCD的边长为3,过点A、C作对角线AC的垂线,分别交CB和AD的延长线于点E,F,AE＝4,则四边形AECF的周长为（）A．22B．20C．18D．166．如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O,E是边AD的中点,过点E作EF⊥BD,EG ⊥AC,点F,G为垂足,若AC＝10,BD＝24,则FG的长为（）A．5B．6.5C．10D．127．如图,在菱形ABCD中,P是对角线AC上一动点,过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为24,面积为24,则PE+PF的值为（）A．4B．C．6D．8．如图,在四边形ABCD中,点E,F分别是AD,BC的中点,G,H分别是BD,AC的中点,AB,CD 满足什么条件时,四边形EGFH是菱形（）A．AB＝CD B．AB∥CD C．AC＝BD D．AD＝BC9．如图,平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于O,BD＝2AD,E、F、G分别是OC、OD、AB的中点,下列结论：①BE⊥AC；②EG＝GF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②⑤D．②③⑤10．如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠C＝90°,AB＝AD,连接BD,∠BAD的角平分线交BD,BC 分别于点O、E,若EC＝3,CD＝4,则BO的长为（）A．4B．3C．D．211．如图,在菱形ABCD中,∠BAD＝60°,AC与BD交于点O,E为CD延长线上的一点,且CD ＝DE,连接BE分别交AC、AD于点F、G,连接OG,则下列结论中一定成立的是（）①OG＝AB；②与△DEG全等的三角形共有5个；③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．A．①③④B．①④C．①②③D．②③④12．如图,在平行四边形ABCD中,AD＝2AB,CE⊥AB于点E,点F、G分别是AD、BC的中点,连接CF、EF、FG,下列结论：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③EF＝CF；④∠EFC ＝2∠CFD．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题13．菱形ABCD的面积为24,对角线AC的长为6,则对角线BD的长为．14．如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,已知AB＝5cm,AO＝4cm,则BD的长为cm．15．菱形ABCD的周长为,对角线AC和BD相交于点O,AO：BO＝1：2,则菱形ABCD 的面积为．16．如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB＝AD,下列条件①AC⊥BD；②OA＝OC；③AC平分∠BCD；④∠ABC＝∠ADC,能判定四边形ABCD是菱形的有．（填写序号）17．如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠C＝90°,AB＝AD,连接BD,作∠BAD角平分线AE交BD、BC于点F、E．若EC＝3,CD＝4,那么AE长为．18．如图,在Rt△ABC中,∠BAC＝90°,∠ABC的平分线交AC于D．过点A作AE⊥BC于E,交BD于G,过点D作DF⊥BC于F,过点G作GH∥BC,交AC于点H,则下列结论：①∠BAE＝∠C；②S△ABG：S△EBG＝AB：BE；③∠ADF＝2∠CDF；④四边形AGFD是菱形；⑤CH＝DF．其中正确的结论是．三．解答题19．如图,四边形ABCD是菱形,E是AB的中点,AC的垂线EF交AD于点M,交CD的延长线于点F．（1）求证：AM＝AE；（2）连接CM,DF＝2．①求菱形ABCD的周长；②若∠ADC＝2∠MCF,求ME的长．20．如图,已知菱形ABCD中,AB＝6,∠B＝60°,E是BC边上一动点,F是CD边上一动点,且BE＝CF,连接AE、AF．（1）∠EAF的度数是；（2）求证：AE＝AF；（3）延长AF交BC的延长线于点G,当∠BAE＝30°时,求点F到BG的距离21．如图,正方形ABCD边长为3,菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上,连接CF．（1）求证：∠AEH＝∠CGF；（2）当AH＝DG＝1时,求证：菱形EFGH为正方形；（3）设AH＝1,DG＝x,△FCG的面积为S,求S与x之间的函数解析式,并直接写出S的最小值．22．已知：如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,对角线AC、BD交于点O,过点C作CE⊥CD 交AB的延长线于点E,联结OE,OC＝OE．（1）求证：OE＝AC；（2）如果DB平分∠ADC,求证：四边形ABCD是菱形．23．在▱ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E是边BC延长线上的动点,过点E作EF⊥BD于F,且与CD、AD分别交于点G、H,连接OH．（1）如图,若AC⊥AB,OF＝OC,求证：FG＝CG；（2）若在点E运动的过程中,存在四边形OCGH是菱形的情形,试探究▱ABCD的边和角需要满足的条件．24．如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠A＝60°,AD＝CD＝AE＝6．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AB＝18,F为AB的中点,点M以每秒3个单位长度的速度从点A出发,在直线AB 上向右运动,点N以每秒1个单位长度的速度从点C出发,在直线CD上向左运动,设运动时间为t秒．当M,N运动时,是否存在以点M,F,N,D为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出t的值和平行四边形的面积,若不存在,请说明理由．参考答案一．选择题1．解：∵四边形ABCD为菱形,∴AB＝BC＝CD＝AD,∵∠BAD＝60°,∴△ABD为等边三角形,∴AB＝BD＝6,故选：B．2．解：∵四边形ABCD是菱形,∴BC＝CD,∠BCD＝∠BAD,∠ACB＝∠ACD,AD∥BC,∴∠BAD+∠B＝180°,∵∠DAB＝45°,∴∠BCD＝∠BAD＝45°,∵DE⊥BC,∴△CDE是等腰直角三角形,∴∠CDE＝45°,CD＝DE,∵PF⊥CD,∴△DPF是等腰直角三角形,∴PF＝DF,PD＝PF,设PF＝DF＝x,则PD＝x,∵△PDF的周长为8,∴x+x+x＝8,解得：x＝8﹣4,∵∠ACB＝∠ACD,DE⊥BC,PF⊥CD,∴PE＝PF＝x,∴DE＝x+x＝（1+）×（8﹣4）＝4,∴BC＝CD＝DE＝8,∴菱形ABCD的面积＝BC×DE＝8×4＝32,故选：D．3．解：∵四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC,OC＝OA,OB＝OD,∵AC＝6,DB＝8,∴OC＝3,OB＝4,∴BC＝,∵AC＝6,DB＝8,∴菱形ABCD的面积＝,∵BC＝5,∴AE＝＝,故选：C．4．解：过C作CD⊥OA于D,如图：则∠ODC＝90°,∵四边形OABC是菱形,∴OC＝OA＝4,∵∠AOC＝60°,∴∠CDO＝90°﹣∠AOC＝30°,∴DD＝OC＝2,∴CD＝＝＝2,∴点C的坐标为（2,2）,故选：A．5．解：在菱形ABCD中,∠BAC＝∠BCA,∵AE⊥AC,∴∠BAC+∠BAE＝∠BCA+∠E＝90°,∴∠BAE＝∠E,∴BE＝AB＝3,∴EC＝BE+BC＝3+3＝6,同理可得AF＝6,∵AD∥BC,∴四边形AECF是平行四边形,∴四边形AECF的周长＝2（AE+EC）＝2（4+6）＝20．故选：B．6．解：连接OE,∵四边形ABCD是菱形,∴OA＝OC＝5,OB＝OD＝12,AC⊥BD,在Rt△AOD中,AD＝,又∵E是边AD的中点,∴,∵EF⊥BD,EG⊥AC,AC⊥BD,∴∠EFO＝90°,∠EGO＝90°,∠GOF＝90°,∴四边形EFOG为矩形,∴FG＝OE＝6.5．故选：B．7．解：连接BP,如图,∵四边形ABCD为菱形,菱形ABCD的周长为24,面积为24,∴BA＝BC＝6,S△ABC＝S菱形ABCD＝12,∵S△ABC＝S△P AB+S△PBC,∴×6×PE+×6×PF＝12,∴PE+PF＝4,故选：A．8．解：当AB＝CD时,四边形EGFH是菱形．理由如下：∵点E,G分别是AD,BD的中点,∴EG是△ABD的中位线,∴EG∥AB,EG＝AB,同理HF∥AB,HF＝AB,EH∥CD,EH＝CD,∴EG∥HF,EG＝HF,∴四边形EGFH是平行四边形,又∵AB＝CD,∴EG＝EH,∴平行四边形EGFH是菱形．故选：A．9．解：∵四边形ABCD是平行四边形∴BO＝DO＝BD,AD＝BC,AB＝CD,AB∥BC,又∵BD＝2AD,∴OB＝BC＝OD＝DA,且点E是OC中点,∴BE⊥AC,故①正确,∵E、F分别是OC、OD的中点,∴EF∥CD,EF＝CD,∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点,∴GE＝AB＝AG＝BG∴EG＝EF＝AG＝BG,无法证明GE＝GF,故②错误,∵BG＝EF,AB∥CD∥EF∴四边形BGFE是平行四边形,∴GF＝BE,且BG＝EF,GE＝GE,∴△BGE≌△FEG（SSS）故③正确∵EF∥CD∥AB,∴∠BAC＝∠ACD＝∠AEF,∵AG＝GE,∴∠GAE＝∠AEG,∴∠AEG＝∠AEF,∴AE平分∠GEF,故④正确,若四边形BEFG是菱形∴BE＝BG＝AB,∴∠BAC＝30°与题意不符合故⑤错误故选：B．10．解：连接DE．在直角三角形CDE中,EC＝3,CD＝4,根据勾股定理,得DE＝5．∵AB＝AD,BO＝OD,∴AE⊥BD,∴AE垂直平分BD,∠BAE＝∠DAE．∴DE＝BE＝5．∵AD∥BC,∴∠DAE＝∠AEB,∴∠BAE＝∠AEB,∴AB＝BE＝5,∴BC＝BE+EC＝8,由勾股定理得出BD＝,∴BO＝BD＝2,故选：D．11．解：∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝BC＝CD＝DA,AB∥CD,OA＝OC,OB＝OD,AC⊥BD,∴∠BAG＝∠EDG,△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD,∵CD＝DE,∴AB＝DE,在△ABG和△DEG中,,∴△ABG≌△DEG（AAS）,∴AG＝DG,∴OG是△ACD的中位线,∴OG＝CD＝AB,①正确；∵AB∥CE,AB＝DE,∴四边形ABDE是平行四边形,∵∠BCD＝∠BAD＝60°,∴△ABD、△BCD是等边三角形,∴AB＝BD＝AD,∠ODC＝60°,∴OD＝AG,四边形ABDE是菱形,④正确；∴AD⊥BE,由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG,在△ABG和△DCO中,,∴△ABG≌△DCO（SAS）,∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG,②不正确；∵OB＝OD,∴S△BOG＝S△DOG,∴S△ABG＝S△DGE,∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等,故③正确；故选：A．12．解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD＝BC,∵点F、G分别是AD、BC的中点,∴AF＝AD,BG＝BC,∴AF＝BG,∵AF∥BG,∴四边形ABGF是平行四边形,∴AB∥FG,∵CE⊥AB,∴CE⊥FG；故①正确；∵AD＝2AB,AD＝2AF,∴AB＝AF,∴四边形ABGF是菱形,故②正确；延长EF,交CD延长线于M,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠A＝∠MDF,∵F为AD中点,∴AF＝FD,在△AEF和△DFM中,,∴△AEF≌△DMF（ASA）,∴FE＝MF,∠AEF＝∠M,∵CE⊥AB,∴∠AEC＝90°,∴∠AEC＝∠ECD＝90°,∵FM＝EF,∴FC＝EF＝FM,故③正确；∴∠FCD＝∠M,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB＝CD,AD∥BC,∵AF＝DF,AD＝2AB,∴DF＝DC,∴∠DCF＝∠DFC,∴∠M＝∠FCD＝∠CFD,∵∠EFC＝∠M+∠FCD＝2∠CFD；故④正确,故选：D．二．填空题13．解：菱形ABCD的面积S＝AC•BD＝24,∵AC＝6,∴BD＝＝8,故答案为8．14．解：∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,BO＝DO,∵BO＝＝＝3（cm）,∴DO＝BO＝3（cm）,∴BD＝6（cm）,故答案为：6．15．解：∵四边形ABCD是菱形,周长为,∴AC⊥BD,AB＝BC＝CD＝AD＝,AC＝2AO＝2CO,BD＝2BO＝2DO,∵AO：BO＝1：2,设AO＝x,则BO＝2x,在Rt△AOB中,由勾股定理得：x2+（2x）2＝（）2,解得：x＝1（负数舍去）,即AO＝1,BO＝2,∴AC＝2,BD＝4,∴菱形ABCD的面积是S＝×AC×BD＝×2×4＝4,故答案为：4．16．解：①∵AB＝AD,AC⊥BD,∴OB＝OD,∵AD∥BC,∴∠ADO＝∠CBO,又∵∠AOD＝∠COB,∴△AOD≌△COB（ASA）,∴AD＝CB,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵AB＝AD,∴平行四边形ABCD是菱形,故①能判定四边形ABCD是菱形；②∵AB＝AD,AC⊥BD,∴OB＝OD,∵OA＝OC,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵AB＝AD,∴平行四边形ABCD是菱形,故②能判定四边形ABCD是菱形；③∵AD∥BC,∴∠DAC＝∠BCA,∵AC平分∠BCD,∴∠DCA＝∠BCA,∴∠DAC＝∠DCA,∴AD＝CD,∴AB＝AD＝CD,不能判定四边形ABCD是菱形；④∵AD∥BC,∴∠BAD+∠ABC＝180°,∵∠ABC＝∠ADC,∴∠BAD+∠ADC＝180°,∴AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵AB＝AD,∴平行四边形ABCD是菱形,故④能判定四边形ABCD是菱形；故答案为：①②④．17．解：连接DE．在直角三角形CDE中,EC＝3,CD＝4,根据勾股定理,得DE＝5．∵AB＝AD,AE⊥BD,∴AE垂直平分BD,∠BAE＝∠DAE．∴DE＝BE＝5．∵AD∥BC,∴∠DAE＝∠AEB,∴∠BAE＝∠AEB,∴AB＝BE＝5,∴BC＝BE+EC＝8,∴四边形ABED是菱形,由勾股定理得出BD＝,∴OE＝,∴AE＝2OE＝2,故答案为：2．18．解：①∵∠BAC＝90°,∴∠BAE+∠CAE＝90°,∵AE⊥BC,∴∠C+∠CAE＝90°,∴∠BAE＝∠C,①正确；②作AM∥BD交CB的延长线于M,如图所示：则∠M＝∠CBD,∠BAM＝∠ABD,∵BD平分∠ABC,∴∠CBD＝∠ABD,∴∠M＝∠BAM,∴AB＝BM,∵AM∥BD,∴AG：GE＝BM：BE,∴AG：GE＝AB：BE,∵S△ABG：S△EBG＝AG：GE,∴S△ABG：S△EBG＝AB：BE；②正确；④∵∠AGD＝∠ABD+∠BAE,∠ADG＝∠CBD+∠C,∠BAE＝∠C,∠CBD＝∠ABD,∴∠AGD＝∠ADG,∴AG＝AD,∵∠BAC＝90°,BD平分∠ABC．DF⊥BC,∴AD＝DF,∴AG＝DF,∵AE⊥BC,∴AG∥DF,∴四边形AGFD是平行四边形,又∵AG＝AD,∴四边形AGFD是菱形；④正确；⑤∵四边形AGFD是菱形；∴∠AGD＝∠FGD,GF＝DF,∠ADB＝∠FDB,∴∠AGB＝∠FGB,在△ABG和△FBG中,,∴△ABG≌△FBG（AAS）,∴∠BAE＝∠BFG,∵∠BAE＝∠C,∴∠BFG＝∠C,∴GF∥CH,∵GH∥BC,∴四边形GFCH是平行四边形,∴GF＝CH,∴CH＝DF,⑤正确；③∵∠ADF＝2∠ADB,当∠C＝30°,∠CDF＝60°,则∠ADF＝120°,∴∠ADF＝2∠CDF；③不正确；故答案为：①②④⑤．三．解答题19．（1）证明：如图,连接BD,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥DB,AD＝AB,∵EM⊥AC,∴ME∥BD,∵点E是AB的中点,∴点M是AD的中点,AE＝AB,∴AM＝AD,∴AM＝AE．（2）解：①由（1）得,点M是AD的中点,∴AM＝MD,∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,∴∠F＝∠AEM,∠EAM＝∠FDM,∴△MDF≌△MAE（AAS）,∴AE＝DF,∵AB＝2AE,DF＝2,∴AB＝4,∴菱形ABCD的周长为4AB＝4×4＝16．②如图,连接CM,记EF与AC交点为点G,∵AM＝AE,△MAE≌△MDF,∴DF＝DM,MF＝ME,∴∠DMF＝∠DFM,∴∠ADC＝2∠DFM,∵∠ADC＝2∠MCD,∴∠MCD＝∠DFM,∴MF＝MC＝ME,∠EMC＝2∠FDM＝∠MDC,∵ME⊥AC,AM＝AE,∴∠MGC＝90°,ME＝2MG,∴MC＝2MG,∴∠GMC＝60°,∴∠ADC＝60°,∴∠MCD＝30°,∴∠DMC＝90°,∴△DMC为直角三角形,∵DF＝2,∴DM＝2,CD＝4,∴CM＝＝2,∴ME＝2．20．解：（1）连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝BC,∵∠B＝60°,∴△ABC是正三角形,∴AB＝AC,∠ACB＝60°,∴∠ACF＝∠ACB＝60°,在△ABE和△ACF中,,∴△ABE≌△ACF（SAS）,∴∠BAE＝∠CAF,∴∠EAF＝∠EAC+∠CAF＝∠EAC+∠BAE＝60°,故答案为60°；（2）由（1）可知,△ABE≌△ACF,∴AE＝AF,（3）当∠BAE＝30°时,∵∠B＝60°,∴∠AEB＝90°,∵∴△ABC是正三角形,∴E为BC中点,∴F为CD中点,在Rt△ABE中,AB＝6,BE＝3,∴AE＝＝3,过点F作FH⊥CG于点H,∵F为CD中点,FH∥AE,∴FH为△AEG中位线,∴FH＝＝,∴点F到BG的距离．21．证明：（1）连接EG,∵AB∥CD,∴∠AEG＝∠CGE,∵EH∥FG,∴∠HEG＝∠FGE,∴∠AEG﹣∠HEG＝∠CGE﹣∠FGE,即∠AEH＝∠CGF,（2）∵四边形ABCD是正方形,∴∠A＝∠D＝90°,∵四边形EFGH是菱形,∴EH＝GH,在Rt△HAE和Rt△GDH中,,∴Rt△HAE≌Rt△GDH（HL）,∴∠AHE＝∠DGH,∵∠DHG+∠DGH＝90°,∴∠DHG+∠AHE＝90°,∴∠GHE＝90°,∴菱形EFGH是正方形；（3）过点F作FM⊥CD,交CD的延长线于点M,则∠A＝∠M＝90°,在△AHE和△GFM中,,∴△AHE≌△GFM（AAS）,∴AH＝MF＝1,∵CD＝3,DG＝x,∴CG＝3﹣x,∵12+AE2＝22+DG2,当AE最大为AB＝3时,DG最大为,∴S＝＝（3﹣x）×1＝,∴S＝,∴x＝时,S最小为．22．证明：（1）过O作OF⊥CE于F,如图所示：∵OC＝OE,∴CF＝EF,∵OF⊥CE,CE⊥CD,∴OF∥CD,∵AB∥DC,∴OF∥AB,∴OF是△ACE的中位线,∴OA＝OC,∴OE＝AC；（2）∵AB∥DC,∴∠OAB＝∠OCD,在△AOB和△OCD中,,∴△AOB≌△OCD（ASA）,∴OB＝OD,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠ADB＝∠CBD,∵DB平分∠ADC,∴∠ADB＝∠CDB,∴∠CBD＝∠CDB,∴BC＝DC,∴平行四边形ABCD是菱形．23．（1）证明：连接OG,如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∵AC⊥AB,∴AC⊥CD,∴∠OCG＝90°,∵EF⊥BD,∴∠OFG＝90°,在Rt△OFG和Rt△OCG中,,∴Rt△OFG≌Rt△OCG（HL）,∴FG＝CG；（2）解：如图2所示：若四边形OCGH是菱形,则OH＝OC,OH∥CG,OC∥GH,∵EF⊥BD,∴AC⊥BD,∴▱ABCD是菱形,∴CD＝AD,OA＝OC,∴OA＝OH,∴∠OAH＝∠OHA,∵OH∥CG,∴∠OHA＝∠ADC,∵CD＝AD,∴∠CAD＝∠DCA,∴∠CAD＝∠ADC＝∠DCA,∴△ACD是等边三角形,∴∠ADC＝60°,即要使四边形OCGH是菱形,▱ABCD的边和角需要满足的条件是：CD＝AD,∠ADC＝60°．24．（1）证明：∵AB∥CD,∴AE∥CD,∵CD＝AE,∴四边形AECD是平行四边形,∵AD＝CD,∴平行四边形AECD是菱形,（2）存在,由题意知AF＝AB＝9,过点D作AB的垂线,垂足为H,∵AB∥CD,∠A＝60°,∴在Rt△AHD中,∠ADH＝30°,∴AH＝AD＝3,∴DH＝＝＝3,∵运动时间为t秒,①如图,AM＝3t,CN＝t,MF＝AF﹣AM＝9﹣3t,ND＝CD﹣CN＝6﹣t,若MF＝ND,则四边形MFND为平行四边形,即9﹣3t＝6﹣t,解得t＝,此时S▱MFND＝MF×DH＝（9﹣3×）×3＝；②如图,AM＝3t,CN＝t,MF＝AM﹣AF＝3t﹣9,ND＝CD﹣CN＝6﹣t,若MF＝ND,则四边形FMND为平行四边形,即3t﹣9＝6﹣t,解得t＝,此时S▱FMND＝MF×DH＝（3×﹣9）×3＝；综上：当t＝时,四边形MFND为平行四边形,面积为；当t＝时,四边形FMND 为平行四边形,面积为．。

A.AB // DCB.AC=BD6.如图，在菱形ABCD 中 ,AB=5,对角线AC=6.若过点A 作AE 丄BC,垂足为E,则AE 的长为（）A.4B.2.4C.4.8D.57.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）湘教版2019年八年级数学下册 菱形同步练习一、选择题 1.下列命题中错误的是（ ） A.平行四边形的对角线互相平分 C.同旁内角互补 D.2.如图，将等边厶ABC 沿射线BC 向右平移到△ B. 菱形的对角线互相垂直 矩形的对角线相等 DCE 的位置,连接AD BD,则下列结论： ） ①AD=BC ②BD AC 互相平分；③四边形ACED 是菱形.其中正确的个数是（ D.33.如图,在菱形 ABCD 中 ,AB=5, / B: / BCD=1:2,则对角线 AC 的长等于（ ） D.204.如图，在厶ABC 中,AD 平分/ BAC,按如下步骤作图：第一步，分别以点A 、D 为圆心,以大于AD 的 一半长为半径在 AD 两侧作弧，交于两点M N;第二步，连接MN 分别交AB AC 于点E 、F;第 三步，连接DE DF,则可以得到四边形 AEDF 的形状（ ） A.仅仅只是平行四边形5.如图,在菱形ABCD 中 ,对角线 B.是矩形 AC,BD 交于点 C.是菱形 D.无法判断O,下列说法错误的是（）C.AC 丄 BDD.OA=OC示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部 分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（ ）A.20mB.25mC.30mD.35m9.如图，菱形 ABCD 中, AB=5, BD=6则菱形的高为（）10.如图，在菱形 ABCD 中，/ ABC=60 , AB=1, E 为BC 的中点，则对角线 BD 上的动点P 到E 、C 两点的距离之和的最小值为（）二、填空题11.在图中所示的方格纸中有一个菱形 A BCD （A B 、C D 四点均为格点）,若方格纸中每个小正方形的边长均为1,则该菱形的面积为 __________ .A.当AB=BC 时,它是菱形B.C.当/ ABC=90时,它是矩形D.8.某校的校园内有一个由两个相同的正六边形当AC 丄BD 时,它是菱形当C.12D.2412. ______ 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O,AC=4 cm,BD=8 cm,则这个菱形的面积是cm2.13._________________________________ 如图,在菱形ABCD中,AC=6,BD=8,则这个菱形的边长为______________________________14._______________ 如图,已知矩形ABCD勺对角线长为8 cm,E、F、G H分别是AB BC CDDA的中点,则四边形EFGH勺周长等于cm.15.如图，四边形ABCD是菱形，0是两条对角线的交点，过0点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分•当菱形的两条对角线的长分别为10和6时，则阴影部分的面积为16.如图，分别以直角△ ABC的斜边AB,直角边AC为边向△ ABC外作等边△ ABD和等边△ ACE,F 为AB的中点，DE与AB交于点G,EF与AC交于点H, / ACB=9C° , / BAC=30 .给出下列结论：1①EF丄AC;②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG④FH= BD.4).三、解答题17.如图，已知在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD AD的中点，连接AE、CF。

《菱形》基础训练一、选择题1．在菱形ABCD中，AC、BD为对角线，若AC=4，BD=8，则菱形ABCD的面积是（）A．12B．16C．24D．322．已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为10cm、24cm，则这个菱形的周长为（）A．13cm B．26cm C．48cm D．52cm3．在菱形ABCD中，∠B=120°，对角线AC=6cm，则AB长为（）A．2B．cm C．3cm D．2cm4．如图所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定▱ABCD 为菱形的是（）A．∠ABC=90°B．AC=BDC．AC⊥BD D．OA=OC，OB=OD5．菱形不具备的性质是（）A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形二、填空题6．已知菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的边长是厘米．7．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加一个条件判定▱ABCD 是菱形，所添条件为（写出一个即可）8．如图，在菱形ABCD中，AC=8，AD=6，则菱形的面积等于．9．如图所示，在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠AEF的大小是．10．已知菱形ABCD的两条对角线长分别为12和16，则这个菱形ABCD的面积S=．《菱形》基础训练参考答案与试题解析一、选择题1．在菱形ABCD中，AC、BD为对角线，若AC=4，BD=8，则菱形ABCD的面积是（）A．12B．16C．24D．32【分析】根据菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度），可求菱形ABCD的面积．【解答】解：∵菱形ABCD的面积=AC×BD∴菱形ABCD的面积=×4×8=16故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．2．已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为10cm、24cm，则这个菱形的周长为（）A．13cm B．26cm C．48cm D．52cm【分析】由题意可得菱形对角线互相垂直平分，根据勾股定理可求菱形边长，即可求菱形的周长．【解答】解：设对角线AC，BD相交于O∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AO=CO=5，BO=DO=12∴AB==13∴菱形ABCD的周长=13×4=52故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．3．在菱形ABCD中，∠B=120°，对角线AC=6cm，则AB长为（）A．2B．cm C．3cm D．2cm【分析】根据菱形的性质，可求∠ABD=60°，AC⊥BD，则可求AB的长．【解答】解：如图：连接BD，交AC于O∵ABCD为菱形∴AC⊥BD，AO=CO=AC=3cm，∠ABD=∠ABC=60°∴∠BAO=30°∴AB=2BO，AO=BO∴BO=cm，AB=2cm故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质，熟练利用菱形的性质解决问题是本题的关键．4．如图所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定▱ABCD 为菱形的是（）A．∠ABC=90°B．AC=BDC．AC⊥BD D．OA=OC，OB=OD【分析】根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；故选：C．【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．5．菱形不具备的性质是（）A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形【分析】根据菱形的性质即可判断；【解答】解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，故选：B．【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考基础题．二、填空题6．已知菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的边长是5厘米．【分析】根据菱形的面积公式可得菱形的另一对角线长，再根据菱形的对角线互相垂直平分利用勾股定理可求出边长．【解答】解：设菱形的另一对角线长为xcm，由题意：×6×x=24，解得：x=8，菱形的边长为：=5（cm），故答案为5．【点评】此题主要考查了菱形的性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握菱形的对角线互相垂直、平分．7．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加一个条件判定▱ABCD 是菱形，所添条件为AB=AD（写出一个即可）【分析】根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得解．【解答】解：根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，则可添加条件为：AB=AD （AD=CD，BC=CD，AB=BC）也可添加∠1=∠2，根据平行四边形的性质，可求AD=CD．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则可添加条件为：AC⊥BD．故答案为：AB=AD（答案不唯一）【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定是本题的关键．8．如图，在菱形ABCD中，AC=8，AD=6，则菱形的面积等于16．【分析】根据菱形的面积=对角线积的一半，可求菱形的面积．【解答】解：如图：设AC与BD的交点为O∵四边形ABCD是菱形∴AO=CO=4，BO=DO，AC⊥BD∴DO==2∴BD=4=×AC×BD∵S菱形ABCD=×4×8=16∴S菱形ABCD故答案为：16【点评】本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形的性质解决问题是本题的关键．9．如图所示，在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠AEF的大小是60°．【分析】由菱形的性质可证△ABC，△ACD都是等边三角形，可得∠B=∠ACF=∠BAC=60°，则可证△ABE≌△ACF，可得AE=AF，即可证△AEF是等边三角形，即可求∠AEF的大小．【解答】解：连接AC∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°∴△ABC，△ACD都是等边三角形∴AC=AB，∠B=∠ACD=60°=∠BAC∵∠BAC=60°=∠EAF∴∠BAE=∠CAF又∵AC=AB，∠B=∠ACD=60°∴△ABE≌△ACF′∴AE=AF且∠EAF=60°∴△AEF是等边三角形∴∠AEF=60°故答案为60°【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，等边三角形的性质，证明△ABE≌△ACF是本题的关键．10．已知菱形ABCD的两条对角线长分别为12和16，则这个菱形ABCD的面积S=96．【分析】根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得其面积．【解答】解：∵菱形ABCD的两条对角线长分别为12和16，∴其面积为：×12×16=96．故答案为：96．【点评】此题考查了菱形的性质．注意熟记①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度）．。

2.6.1
菱形的性质
名师点金
1.菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质.菱形的
性质还有：(1)菱形的每一条对角线平分一组对角；(2)
菱形的四条边相等；(3)菱形是轴对称图形；(4)菱形的
对角线互相垂直.
2.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.
知识点1
菱形的定义及其对称性
1.[2023·福建]如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，
DF＝DE＝2，易证明∠BCF＝∠BFC，得到BF＝
BC＝4，则BD＝6，所以OB＝OD＝3，接着利用
勾股定理计算出OC＝ ，从而得到AC＝2 ，
然后根据菱形的面积公式计算它的面积.
易错点
不会利用对角线所在直线为对称轴这一性质而致错
10. [新考法 最值探究法]如图，点P是边长为1的菱形ABCD的
则AC的长为
10
.
(第1题)
【点拨】
由题意得到AB＝BC，又∠B＝60°，∴△ABC是等边三
角形，∴AC＝AB＝10.
2.[2023·大庆]将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若
∠BAD＝α，∠CBE＝β，则β＝( D )

A.45°＋ α



C.90°－ α

B.45°＋ α



D.90°－ α
＝( B )
(第7题)
A.2

B.

C.3
D.4
【点拨】


由菱形的性质得到OC＝ AC＝3，OB＝ BD＝4，


AC⊥BD，由勾股定理求出BC的长，由直角三角形斜边中线
的性质，即可求出OE的长.
(第7题)

一点(点P不与点A,C重合),且PE∥BC交AB于点E,PF∥CD交AD于
点F,则阴影部分的面积是
.
【解析】由条件知PE∥BC，PF∥CD，可得PE∥AF，PF∥AE，
∴四边形AEPF为平行四边形，这样容易得到S△POF＝S△AOE，
∴S阴影＝S△ABC＝
1 2
S菱形ABCD
1 1 AC 22
OA=OC;菱形的对角线不一定相等.
2.(2013·本溪中考)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=
2∠B,E,F分别为BC,CD的中点,连接AE,AC,AF,则
图中与△ABE全等的三角形(△ABE除外)有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选C.先由菱形的性质得出AD∥BC,由平行线的性质得
【解析】选A.过P作PE⊥OM,∵顶点P的坐标 是(3,4),∴OE=3,PE=4,∴OP=5,∵四边形 MNPO是菱形,∴OM=OP=5,∴点M的坐标为 (5,0),过点N作NF⊥OM于点F,则△POE≌△NMF, ∴MF=OE=3,∴OF=5+3=8,∴点N的坐标为(8,4).
4.如图,菱形ABCD的对角线的长分别是2和5,P是对角线AC上任
【思路点拨】连接AC→菱形的性质→∠BAC=∠DAC→ △ACE≌△ACF→AE=AF
【自主解答】连接AC. ∵四边形ABCD是菱形, ∴AC平分∠BAD,即∠BAC=∠DAC. 在△ACE和△ACF中, ∠AEC=∠AFC=90°,∠BAC=∠DAC,AC=AC, ∴△ACE≌△ACF. ∴AE=AF.
知识点 2 菱形的有关计算 【例2】如图所示,在菱形ABCD中,E是AB的中点,且DE⊥AB,AB=a. (1)求∠ABC的度数. (2)求对角线AC的长. (3)求菱形ABCD的面积.

2。

6。

2菱形的判定一、选择题(本大题共8小题）1。

如图，要使▱ABCD成为菱形,则需添加的一个条件是（）A．AC=AD B．BA=BC C．∠ABC=90°D．AC=BD2。

如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60°D．∠ACB=60°3。

如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC=24cm,则四边形ABCD的周长为(）A．52cm B．40cm C．39cm D．26cm4。

如图，点A，B，C，D在同一条直线上,点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D,AB=D C．若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE为（)时,四边形BFCE是菱形．A．5 B．4 C．3 D．65。

如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点,以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD的值为（）时，平行四边形CDEB为菱形．A．14 B．16 C．18 D．106. 如图，已知矩形ABCD的对角线长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长是（）cm．A．14 B．16 C．18 D．107。

如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（)A．4 B．6 C．8 D．108. 过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．若AB=，∠DCF=30°，则EF的长为（）A． 2 B． 3 C．D．二、填空题（本大题共6小题)9. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件使其成为菱形（只填一个即可）．10。

《菱形》典型例题例1 如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且a AB AB DE =⊥,，求：（1）ABC ∠的度数；（2）对角线AC 的长；（3）菱形ABCD 的面积.例2 已知：如图，在菱形ABCD 中，AB CE ⊥于AD CF E ⊥,于 F .求证：.AF AE =例3 已知：如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 上的一点，︒=∠=∠60EAF D ，︒=∠18BAE ，求CEF ∠的度数.例4 如图，已知四边形ABCD 和四边形BEDF 都是长方形，且DF AD =. 求证：GH 垂直平分CF .例5 如图，ABCD 中，AB AD 2=，E 、F 在直线CD 上，且CF CD DE ==. 求证：AF BE ⊥.例6 如图，在Rt △ABC 中，90=∠ACB ，E 为AB 的中点，四边形BCDE 是平行四边形.求证：AC 与DE 互相垂直平分.参考答案例1 分析 （1）由E 为AB 的中点，AB DE ⊥，可知DE 是AB 的垂直平分线，从而DB AD =，且AB AD =，则ABD ∆是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出.（2）而OC AO BD AC =⊥,，利用勾股定理可以求出AC .（3）由菱形的对角线互相垂直，可知.21BD AC S ⋅= 解 （1）连结BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴.AB AD =E 是AB 的中点，且AB DE ⊥，∴.DB AD =∴ABD ∆是等边三角形，∴DBC ∆也是等边三角形.∴.120260︒=⨯︒=∠ABC（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 与BD 互相垂直平分， ∴.212121a AB BD OB === ∴a a a OB AB OA 23)21(2222=-=-=，∴.32a AO AC == （3）菱形ABCD 的面积.23321212a a a BD AC S =⋅⋅=⋅=说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点.例2 分析 要证明AF AE =，可以先证明DF BE =，而根据菱形的有关性质不难证明DCF BCE ∆≅∆，从而可以证得本题的结论.证明 ∵四边形ABCD 是菱形，∴D B CD BC ∠=∠=,，且︒=∠=∠90DFC BEC ，∴DCF BCE ∆≅∆，∴DF BE =，AD AB = ，∴DF AD BE AB -=-，∴.AF AE =例3 解答：连结AC .∵四边形ABCD 为菱形，∴︒=∠=∠60D B ，AD CD BC AB ===.∴ABC ∆与CDA ∆为等边三角形.∴︒=∠=∠=∠=60,BAC ACD B AC AB∵︒=∠60EAF ，∴CAF BAE ∠=∠∴ACF ABE ∆≅∆∴AF AE =∵︒=∠60EAF ，∴EAF ∆为等边三角形.∴︒=∠60AEF∵CEF AEF BAE B AEC ∠+∠=∠+∠=∠，∴CEF ∠+︒=︒+︒601860∴︒=∠18CEF说明 本题综合考查菱形和等边三角形的 性质，解题关键是连AC ，证ACF ABE ∆≅∆例4 分析 由已知条件可证明四边形BGDH 是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明GH 垂直平分CF .证明：∵四边形ABCD 、BEDF 都是长方形∴BF DE //，CD AB //， 90=∠=∠BCD DFH ，BC AD =∴四边形BGDH 是平行四边形∵DF AD =，∴BC DF =在△DFH 和△BCH 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BC DF BHC DHF BCH DFH∴△DFH ≌△BCH ∴BH DH =，HC HF =∵四边形BGDH 是平行四边形∴四边形BGDH 是菱形∴GH 平分BHD ∠ ∴GH 平分FHC ∠ ∵HC HF =∴GH 垂直平分FC .例5 分析 要证AF BE ⊥，关键是要证明四边形ABHG 是菱形，然后利用菱形的性质证明结论.证明 ∵四边形ABCD 是平行四边形∴CD AB //，CD AB =，BH AG //，∴E ∠=∠1∵ED CD =，∴ED AB =在△ABG 和△EDG 中 ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠ED AB E 321∴△ABG ≌△DEG ∴GD AG =∵AB AD 2= ∴AB AG =同理：BH AB = ∴BH AG =∵BH AG //∴四边形ABHG 是平行四边形∵BH AB = ∴四边形ABHG 是菱形∴BE AF ⊥.例6 分析 要证明AC 与DE 互相垂直平分，只要证明四边形ADCE 是菱形.所以要连结AD证明 ∵在Rt △ABC 中，E 为AB 的中点∴BE CE AE ==∵四边形BCDE 是平行四边形∴AB CD //，BE CD = ∴AE CD //，∴四边形ABCE 是平行四边形∵EC AE = ∴ADCE 是菱形 ∴AC 与DE 互相垂直平分.。

∴ OA2 ＋OB2 ＝AB2 ，∴△AOB 是直角三角形.
（2）□ ABCD 是菱形.
理由:由（1）可知∠AOB ＝90°，∴ AC⊥BD.
∵四边形ABCD 是平行四边形,∴ □ ABCD 是菱形.
【教材P71】
解:∵四边形 ABCD 是菱形,∴ AD ＝ CD.
又∵ E, F 分别是边 AD, CD 的中点,
同学们，下课休息十分钟。现在是休 息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来 动一动，久坐对身体不好哦~
结束语
八年级数学下册 第2章 四边形2.6 菱形习题课件 （新版）湘教版

∴ AC = 2OA = 2 3 cm.
故 S菱形ABCD =
1A C B D =1232=23(cm2)
2
2
【教材P70】
3.如图，在△ABC 中，AB =AC，D，E，F 分 别是 AB，BC，AC 边的中点． （1）求证：四边形 ADEF 是菱形； （2）若 AB = 12 cm，求菱形 ADEF 的周长．
（2）解: 若AB ＝12 cm,则 EF
＝
1 2
AB ＝6 cm.
∴菱形ADEF 的周长为 4EF ＝ 4×6＝ 24(cm).
【教材P71】
解:一定是菱形. 理由:因为四边形 ADBC 的四条边相等, 且四条边相等的四边形一定是菱形.
【教材P71】
解:（1）△AOB 是直角三角形.
理由:∵OA ＝3，OB ＝2，AB ＝ 1 3 ,
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，AB=AD=BC=CD.
又∵∠BAD ＝60°,∴△ABD 是等边三角形.
∵菱形 ABCD 的边长为2 cm，∴ BD ＝2 cm ,

2.6.2 菱形的判定基础题知识点1 四条边都相等的四边形是菱形1．如图，用直尺和圆规作一个菱形，能得到四边形ABCD 是菱形的依据是(B)A ．一组邻边相等的四边形是菱形B ．四边相等的四边形是菱形C ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D ．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形2．如图，△ABC 为等腰三角形，如果把它沿底边BC 翻折后，得到△DBC ，那么四边形ABDC 为(B)A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．以上都不对3．如图，四边形ABCD 内有一点E ，AE ＝BE ＝DE ＝BC ＝DC ，AB ＝AD ，若∠C ＝100°，则∠AED 的大小是(B)A ．120°B ．130°C ．140°D ．150°4．如图，在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BD ，CD ，AC 的中点，AD ＝BC ，求证：四边形EFGH 是菱形．证明：∵E ，F 分别是AB ，BD 的中点， ∴EF ＝12AD.同理可得：GH ＝12AD ，GF ＝12BC ，HE ＝12BC.又∵AD ＝BC ，∴EF ＝GF ＝GH ＝HE. ∴四边形EFGH 是菱形．知识点2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形5．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD 为菱形的条件是(B)A ．BA ＝BCB ．AC ，BD 互相平分 C ．AC ＝BD D ．AB ∥CD6．(三明中考)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加一个条件使四边形ABCD 是菱形，那么所添加的条件可以是答案不唯一，如：AB＝AD或AB＝BC或AC⊥BD等(写出一个即可)．7．(镇江中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD相交于点O，点E在AO上，且OE＝OC.(1)求证：∠1＝∠2；(2)连接BE，DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由．解：(1)证明：∵在△ADC和△ABC中，AD＝AB，AC＝AC，DC＝BC，∴△ADC≌△ABC(SSS)．∴∠1＝∠2.(2)四边形BCDE是菱形．理由：∵DC＝BC，∠1＝∠2，∴AC垂直平分BD.又∵O E＝OC，∴四边形BCDE是平行四边形．又∵AC⊥BD，∴四边形BCDE是菱形．8．(淮安中考)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB，AC 于点E，F，连接DE，DF.求证：四边形AED F是菱形．证明：连接EF，交AD于点O.∵AD平分∠BAC，∴∠EAO＝∠FAO.∵EF⊥AD，∴∠AOE＝∠AOF＝90°.在△AEO和△AFO中，∠EAO＝∠FAO，AO＝AO，∠AOE＝∠AOF，∴△AEO ≌△AFO(ASA)．∴EO＝FO.∵A点与D点重合，∴AO＝DO.∴EF，AD互相平分．∴四边形AEDF是平行四边形．又∵EF⊥AD，∴四边形AEDF为菱形．中档题9．(海南中考)如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的条件是(B)A．AB＝BCB．AC＝BCC．∠B＝60°D．∠ACB＝60°10．(防城港中考)如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．根据两人的作法可判断(C)A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误11．(十堰中考)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是③(填序号)．12．(娄底中考)如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别交于点E，F.(1)求证：△BCF≌△BA1D.(2)当∠C＝α度时，判定四边形A1BCE的形状，并说明理由．解：(1)证明：∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝BC，∠A＝∠C.由旋转性质得：A1B＝AB＝BC，∠A＝∠A1＝∠C，∠A1BD＝∠CBF＝α.∴△BCF≌△BA1D(ASA)．(2)四边形A1BCE是菱形．∵∠ADE＝∠A1DB，∠A1＝∠A，∴∠AED＝∠A1BD＝α.∵∠C＝α，∴∠AED＝∠C.∴A1E∥BC.∵∠A＝∠C＝α，∠A1BD＝α，∴∠A＝∠A1BD.∴A1B∥EC.又∵A1E∥BC，∴四边形A1BCE是平行四边形．又∵A1B＝BC，∴四边形A1BCE是菱形．综合题13．(滨州中考)如图，BD是△AB C的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG.(1)请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；(2)若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝210，点H是BD上的一个动点，求HG＋HC的最小值．解：(1)四边形EBGD 是菱形．理由：∵EG 垂直平分BD ， ∴EB ＝ED ，GB ＝GD ，BF ＝FD. ∴∠EBD ＝∠EDB. ∵∠EBD ＝∠DBC ， ∴∠EDF ＝∠GBF. 又∵∠EFD ＝∠GFB ， ∴△EFD ≌△GFB(ASA)． ∴ED ＝BG.∴BE ＝ED ＝DG ＝GB. ∴四边形EBGD 是菱形． (2)过点E 作EM ⊥BC 于点M ，过点D 作DN ⊥BC 于点N ，连接EC 交BD 于点H ，由轴对称的性质可知此时HG ＋HC 最小．在Rt △EBM 中，∵∠EMB ＝90°，∠EBM ＝30°，EB ＝ED ＝210，∴EM ＝12BE ＝10.∵DE ∥BC ，EM ⊥BC ，DN ⊥BC ， ∴四边形EMND 为矩形，∴EM ＝DN ＝10，MN ＝DE ＝210.在Rt △DNC 中，∵∠DNC ＝90°，∠DCN ＝45°， ∴∠NDC ＝∠DCN ＝45°.∴DN ＝NC ＝10. ∴MC ＝310.∵在Rt △EMC 中，∠EMC ＝90°，EM ＝10，MC ＝310， ∴EC ＝EM 2＋MC 2＝（10）2＋（310）2＝10. ∵HG ＋HC ＝EH ＋HC ＝EC ， ∴HG ＋HC 的最小值为10.。

2.6菱形同步课时训练一、单选题(共40分)1．(本题4分)如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，过点B 作BF ⊥AC 交CD 于点F ，交AC 于点M ，过点D 作DE ∥BF 交AB 于点E ，交AC 于点N ，连接FN ，EM ．则下列结论：①DN ＝BM ；②EM //FN ；③AE ＝FC ；④当AO ＝AD 时，四边形DEBF 是菱形．其中，正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．(本题4分)将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB ＝3，则BC 的长为（ ）A ．1B ．2CD 3．(本题4分)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC ＝6，BD ＝8，过A 点作AE 垂直BC ，交BC 于点E ，则BE CE的值为（ ）A ．512B ．725C ．718D ．524 4．(本题4分)如图，已知菱形OABC 的顶点()0,0O ，()2,0C 且60AOC ∠=︒，若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45︒，则第2020秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为（ ）A ．(3,B ．(1,-C ．D ．3,22⎛-- ⎝⎭5．(本题4分)如图，菱形ABCD 中，E F 、分别是AB AC 、的中点，若3EF =，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．24B ．18C ．12D ．96．(本题4分)如图， 菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，连接OE ．若OB =6，菱形ABCD 的面积为54，则OE 的长为（ ）A ．4B ．4.5C ．8D ．97．(本题4分)在菱形ABCD 中，∠ABC=60゜，AC=4，则BD=( )A B ．C ．D ．8．(本题4分)如图，菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AB=4，E 是边AD 上一动点，将△CDE 沿CE 折叠，得到△CFE ，则△BCF 面积的最大值是（ ）A ．8B ．C ．16D ．9．(本题4分)如图，菱形ABCD 中，4AB =，60A ∠=︒，点E 是线段AB 上一点（不与A ，B 重合），作EDF ∠交BC 于点F ，且60EDF ∠=︒，则BEF 周长的最小值是（ ）A ．6B ．C ．4D ．4+ 10．(本题4分)如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF ．若菱形ABCD 的边长为4，120B ∠=︒，则EF 的值是（ ）A B ．2 C ．D ．4二、填空题(共24分) 11．(本题4分)如图，在菱形纸片ABCD 中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，则BF AF的值为________________．12．(本题4分)如图，菱形ABCD 的边长为12，60ABC ∠=︒，连接AC ，EF AC ⊥，垂足为H ，分别交AD ，AB ，CB 的延长线于点E ，M ，F ．若:1:2AE FB =，则CH 的长为________．13．(本题4分)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，已知BO ＝4，S 菱形ABCD ＝24，则AH ＝________．14．(本题4分)己知菱形ABCD 的边长是3，点E 在直线AD 上，DE =1，联结BE 与对角线AC 相交于点M ，则AM MC的值是______． 15．(本题4分)如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，AC ＝12，BD ＝16，点P 为边BC 上一点，且P 不与写B 、C 重合．过P 作PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，连结EF ，则EF 的最小值等于__________．16．(本题4分)如图，点O 是菱形ABCD 对角线的交点，DE //AC ，CE //BD ，连接OE ，设AC ＝12，BD ＝16，则OE 的长为_____．三、解答题(共36分)17．(本题9分)在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点．过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F ．（1）求证：AEF≌DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形．18．(本题9分)如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别过A、D两点作AO、DO的垂线，两垂线交于点E．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若四边形AODE的面积为12，AD＝5，求四边形AODE的周长．19．(本题9分)如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．（1）求证：CE＝DE．（2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长．20．(本题9分)如图，在直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝8，OC＝6，点D 是对角线AC的中点，过点D的直线分别交OA、BC边于点E、F．（1）求证：四边形EAFC是平行四边形；（2）当CE＝CF时，求EF的长；（3）在条件（2）的情况下，P为x轴上一点，当以E，F，P为顶点的三角形为等腰三角形时，请求出点P的坐标．参考答案1．D2．D3．C4．D5．A6．B7．D8．A9．D10．B11．1712．1013．24514．23或43 15．4.816．1017．（1）见解析；（2）见解析．【详解】（1）∵//BC AF ，∴AFE DBE ∠=∠，∵E 是AD 中点，AD 是BC 边上的中线，∴AE DE =，BD CD =，在AFE △和DBE 中，AFE DBE FEA BED AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AFE △≌DBE （AAS ）．（2）由（1）知AFE △≌DEB ，则AF DB =，∵DB DC =，∴AF CD =，∵//BC AF ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∵90BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，E 是AD 中点， ∴12AD DC BC ==， ∴四边形ADCF 是菱形．18．（1）见解析（2）14．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴∠AOD=90°，∵EA ⊥AO ，DO ⊥AO ，∴∠EAO=∠DOA=90°，∴四边形AODE 是矩形；(2)由(1)知,四边形AODE 是矩形，∴∠AED=90°，∵AD=5，∵四边形AODE 的面积为12，∴AO×OD=12，在Rt △AOD 中，根据勾股定理得，22OA 25OD +=，∴()2222AO OD AO AO OD OD +=+⨯+=25+24=49．∴AO+OD=7∴四边形AODE 的周长为1419．（1）见解析 （2【详解】（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABE ＝∠CBE ，AB ＝CB ，在△ABE 和△CBE 中，AB CB ABE CBE BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBE ，∴AE ＝CE ，∵AE ＝DE ，∴CE ＝DE ；（2）如图，连接AC 交BD 于H ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AH ⊥BD ，BH ＝DH ，AH ＝CH ，∵CE ＝DE ＝AE ＝1，∴BD ＝BE+DE ＝2+1＝3，∴BH ＝12BD ＝32，EH ＝BE ﹣BH ＝2﹣32＝12， 在Rt △AHE 中，由勾股定理得：AH2， 在Rt △AHB 中，由勾股定理得：AB， ∴．20．（1）见解析；（2）152；（3）点P 的坐标为（8，0）或（374，0）或（﹣234，0）或（434，0）【详解】 （1）证明：∵四边形OABC 是矩形，∴BC ∥OA ，∴∠FCD ＝∠DAE ，∠CFD ＝∠AED ，∵D 是AC 的中点，∴CD ＝AD ，∴△CDF ≌△ADE （AAS ），∴DF ＝DE ，∴四边形EAFC 是平行四边形；（2）解：∵四边形EAFC 是平行四边形，CE ＝CF ， ∴四边形EAFC 是菱形，∴CE ＝EA ，AC ⊥EF ，设CE ＝AE ＝x ，∵OC 2+OE 2＝CE 2，∴62+（8﹣x ）2＝x 2，∴x ＝254， ∴CE ＝254， ∵OA ＝8，OC ＝6，∴AC 10，∴CD ＝12AC ＝5，∴ED＝154，∴EF＝2ED＝152；（3）由（2）可知，257,44 AE CE OE OA AE===-=，分三种情况：①若PE＝PF，点P与点A重合，∴P（8，0），②若EF＝EP＝152，当点P在x轴的正半轴上，OP＝OE+PE＝71542+＝374，∴P（374，0），当点P在x轴的负半轴上，OP＝PE﹣OE＝15724-＝234，∴P（﹣234，0），③若EF＝FP，过点F作FG⊥AE于点G，则EG＝CF﹣OE＝254﹣74＝92，∴EP＝9，∴OP＝OE+EP＝74+9＝434，∴P（434，0）．综上可得，点P的坐标为（8，0）或（374，0）或（﹣234，0）或（434，0）．答案第5页，总5页。

2.6。

1菱形的性质同步练习一、选择题(本大题共8小题)１．如图，菱形中，对角线AC、BD交于点Ｏ,E为AD边中点,菱形ＡBCD的周长为28，则OE的长等于( ）A.3.5B.4ﻩＣ.７ﻩ D.１4２。

如图,菱形ABCD的周长为8cm，高AＥ长为cm，则对角线AＣ长和BD长之比为（）A．１：２ﻩB．1：3 C.1：Ｄ．１：３..如图,在菱形ＡＢCD中，ＡC与BD相交于点O，AC=8,ＢD=６,则菱形的边长ＡB等于（ )A．10 Ｂ．ﻩ C.6ﻩD．５4. 如图,已知某广场菱形花坛ABCD的周长是２4米，∠BAD＝60°,则花坛对角线AC的长等于（ )A．６米B．6米C．３米ﻩD．3米５. 如图，在菱形ABCＤ中,对角线AC、BD相交于点O，下列结论:①AC⊥BD；②OＡ=ＯB;③∠ＡDB=∠CＤB；④△ABC是等边三角形，其中一定成立的是( )Ａ．①②B．③④Ｃ．②③ﻩ D.①③6。

菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）Ａ.两组对边分别平行ﻩ B.两组对角分别相等C．对角线互相平分 D.对角线互相垂直7.如图,菱形AＢCD的对角线AC,BD相交于Ｏ点，E，F分别是AＢ，ＢＣ边上的中点,连接ＥＦ．若EＦ=，BD=4,则菱形ABＣD的周长为（)A.４B．4 C．4 D．288.如图,在菱形AＢCＤ中,ＡＢ=8,点E,F分别在AＢ,AＤ上，且AＥ=AＦ,过点E作ＥＧ∥AD交CD于点G,过点F作FH∥AB交BＣ于点Ｈ,EG与FＨ交于点O．当四边形AEOF与四边形ＣGOＨ的周长之差为12时,AＥ的值为（）A．6.5ﻩＢ．6ﻩC．５.5ﻩD．5二、填空题(本大题共６小题）9。

已知菱形ＡBCD的面积为24cm2，若对角线AC=6cm，则这个菱形的边长为 cm．10。

在菱形ABCD中,对角线AC,BD的长分别是６和8,则菱形的周长是．１１.如图，在菱形ABCD中，对角线ＡC与BD相交于点Ｏ,AC=８,BD=６,OE⊥BC,垂足为点E,则OＥ= .12。

活用菱形性质 解决计算问题菱形是一种特殊的平行四边形,它具有四边相等,对角线互相垂直并平分一组对角等性质,和菱形有关的计算问题主要设计以下几个方面.一.应用性质求周长例1 （云南）菱形的两条对角线的长分别是6和8 ，则这个菱形的周长是（ ）A ．24B ．20C ．10D ．5解析:菱形的两条对角线长分别是6和8,对角线的一半分别是3和4,它们和菱形的斜边组成直角三角形,根据勾股定理得斜边为5,所以菱形的周长为20.故应选B.例2 （山东临沂）如图1，菱形ABCD 中，∠B＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ）A ．32B ．33C ．34D ．3解析:本题考查了菱形的有关性质、勾股定理、等腰三角形、等边三角形以及三角形全等等知识，题目不是很难，但综合性较强.连接AC.因为四边形ABCD 是菱形，所以AB=BC.又因为∠B＝60°，所以△ABC 是等边三角形.因为E 是BC 的中点,所以AE⊥BC.同理，AF⊥CD.易证得△ABE≌△ADE，所以AE=AF.因为AB∥CD，∠B＝60°，所以∠C=120°.又因为CE=CF ，所以∠CEF=30°，所以∠AEF=60°，所以△AEF 是等边三角形.由勾股定理得AE=3，所以△AEF 的周长为33.故应选B.二.应用性质求面积例3 （湖南长沙）如图2，在□ABCD 中，BC=2AB=4，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点.（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF 为菱形时，求出该菱形的面积.分析:本题主要考查菱形的性质和面积的计算.(1) 两三角形全等的条件由平行四边形的性质和中点定义提供. (2) 若四边形AECF 为菱形,则AE=EC=BE=AB,于是△ABE 为边长为2的等边三角形,根据等边三角形的性质和勾股定理计算△ABE 的高,从而求得菱形的面积.解:（1）由□ABCD 知AB=CD,∠B=∠D,AD=BC,图1图2∵E 、F 分别是BC 、AD 的中点,∴BE=DF, ∴△ABE≌△CDF.（2）当四边形AECF 为菱形时，△ABE 为等边三角形，四边形ABCD 的高为3， ∴菱形AECF 的面积为23．三.应用性质求两点间距离例4 （永州） 如图3,△ABC 与△CDE 都是等边三角形，点E 、F 分别在AC 、BC 上，且EF∥AB⑴求证：四边形EFCD 是菱形；⑵设CD ＝4，求D 、F 两点间的距离．分析: （1）考查菱形的判定.判定菱形可以从四条边相等来判定;可以从有一组邻边相等的平行四边形来判定;可以从对角线互相垂直平分的四边形来判定;也可以从对角线互相垂直的平行四边形来判定.方法较多.（2）考查等边三角形的性质和勾股定理的应用.要求DF,先连接DF,根据菱形对角线的性质,知CE 垂直平分DF,而DF 的一半恰是等边三角形的高,用勾股定理求出高,即可.解：⑴证明：ABC △与CDE △都是等边三角形 ED CD ∴=60A DCE BCA DCE ∴∠=∠=∠=∠=AB CD DE CF ∴∥，∥又EF AB ∥∴EF CD ∥ ∴四边形EFCD 是平行四边形，又 ED=CD, ∴四边形EFCD 是菱形. ⑵解：连结DF ，与CE 相交于点G由4CD =，可知2CG =∴DG ==DF ∴=图3 G。

菱形的性质应用举例菱形是一种特殊的平行四边形,它具有四边相等,对角线互相垂直并平分一组对角等性质,和菱形有关的问题主要设计以下几个方面.一、计算问题例1 如图1,已知菱形ABCD 的周长为16cm,∠ABC=120°,求对角线BD 和AC 及菱形的面积.分析：菱形具有四边相等，对角线互相垂直平分并平分一组对角等性质.知道了周长可求到边长，根据∠ABC=120°可得到等边三角形，进而可求到对角线的长，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求到面积.解:在菱形ABCD 中,AB+BC+CD+AD=16cm,所以AB=AD=BC=CD=16×41=4(cm), 由∠ABC=120°，对角线BD 平分∠ABC,得∠ABD=60°, 图1又因为AD=AB ，所以△ABD 是等边三角形,BD=AB=4cm,因为菱形对角线互相垂直平分,所以OB=2cm,在Rt△AOB 中, AO=),(3212242222cm OB AB ==-=-所以AC=2OA=2×23=43(cm).所以S 菱形ABCD =21AC·BD=21×23×4=43(cm 2). 例2 如图，四边形ABCD 是菱形，∠ACD=30°.求∠BDA、∠ABC 的度数.分析：根据菱形的对角线平分一组对角可知∠DCA=∠BCA=30°，所以∠ACB=60°，根据菱形的对角相等，对边平行可求到∠BAD 和∠ABC 的度数. 图2解：因为菱形的对角线平分一组对角，所以∠BCD=2∠ACD=2×30°=60°，因为菱形的对角相等，所以∠DAB=∠DCB=60°.因为CD//AB ，所以∠DCB+∠ABC=180°，所以∠ABC=180°-60°=120°.评注：菱形有关的计算题，主要涉及计算周长，边长以及面积等，解决问题需要将菱形的性质与直角三角形或等边三角形相结合.二、说理问题例3 如图3，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE//BD，BE//AC，AE与BE相交于点E，试判断AD与EO是否平行？说说你的理由.分析：要判断AD与EO是否平行，根据四边形ABCD是矩形，可知∠DAB=90°，如果OE⊥AB，则可说明AD//EO.而说明OE⊥AB，只要说明四边形AEBO是菱形即可.解：AD//EO.图3理由：因为AE//BD，BE//AC，所以四边形AEBO是平行四边形，所以OA=BE，BO=EA，因为O是矩形ABCD对角线的交点，所以OA=OB，所以OA=AE=EB=BO，所以四边形AEBO是菱形.所以OE⊥AB，因为∠DAB=90°，所以DA⊥AB，所以AD//EO.。

利用菱形的性质解题菱形除了具有平行四边形的性质外，还具有自己的一些性质：（1）四条边都相等；（2)对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角,这些性质为我们解决有关问题提供了新的方法. 例1已知：如图1，在菱形ABCD 中，AE⊥CD,且AE=OD ，求∠ADC 的度数。

[分析］ 因为∠ADC+∠BAC+∠CAD=180°，要求∠ADC 的度数，需找出这三个角之间的关系.［解]∵四边形ABCD 是菱形∴∠AOD=90°在Rt△AOD 和Rt△DEA 中⎩⎨⎧==.,OD AE AD AD ∴Rt△AOD 经过旋转平移与Rt△DEA 重合，∴∠OAD=∠EDA即∠CAD=∠ADC∵四边形ABCD 是菱形,∴∠BAC=∠CAD∴∠BAC=∠CAD=∠ADC∴∠ADC=60°例2 已知:如图2，菱形ABCD 中,E 是BC 上一点,且AE=AB ，∠EAD=2∠BAE，求证：BE=AFD 图1 图2[分析］BE、AF分别是△BEF、△ABF的边,显然两个三角形不全等，如何沟通BE、AF的关系呢?因为BF是这两个三角形的边，考虑证BE、AF都与BF相等，需证这两个三角形都是等腰三角形.[证明］在菱形ABCD中，因为AD∥BC∴∠EAD=∠AEB∵A B=AE∴∠AEB=∠ABE∵∠EAD=2∠BAE∴∠AEB=∠ABE=2∠BAE∵∠BAE+∠ABE+∠AEB=180°∴5∠BAE=180°，∴∠BAE=36°∴∠ABE=∠AEB=72°∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC∴∠ABF=∠FBE=36°∴∠ABF=∠BAF=36°，∴AF=BF∵∠BFE=∠ABF+∠BAF=72°∴∠BFE=∠BEF=72°∴BE=BF，∴BE=AF例3 已知：如图3，在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°,∠BAE=20°，求∠CEFD图3［分析]要求∠CEF，需列出∠CEF的关系式，因为∠AEC=∠B+∠BAE=80°，则∠CEF=80°-∠AEF，需求∠AEF。