错位排列

错位全排公式错位全排公式什么是错位全排公式？错位全排公式是一种数学组合方法，也称为”错位排列”，用于计算某个集合的错位排列数量。

通常在排列问题中，我们考虑的是将n 个元素进行全排列的数量，而在错位全排中，我们要求每个元素都不在原来的位置上。

公式表达错位全排公式可以通过以下公式来表示：D_n = (n-1) * (D_{n-1} + D_{n-2})其中，D_n 表示n个元素的错位排列数量，D_{n-1} 表示n-1个元素的错位排列数量，D_{n-2} 表示n-2个元素的错位排列数量。

如何计算错位全排？要计算错位全排，我们可以按照以下步骤进行操作：1.首先，我们需要确定有多少个元素需要进行错位排列。

2.接着，我们需要计算出少于这个数量的元素的错位排列数量，即D_{n-1} 和 D_{n-2}。

3.最后，我们可以根据上述公式计算出错位全排的数量。

一个例子假设我们要计算3个元素的错位全排，即 n=3。

首先，我们需要计算 n-1 = 2 个元素的错位排列数量。

根据公式，我们可以猜测 D_2 = 1。

接着，我们需要计算 n-2 = 1 个元素的错位排列数量。

同样地，根据公式，我们可以猜测 D_1 = 0。

现在，我们可以使用公式 D_n = (n-1) * (D_{n-1} + D_{n-2}) 来计算三个元素的错位排列数量：D_3 = (3-1) * (D_2 + D_1) = (3-1) * (1 + 0) = 2 * 1 = 2因此，当元素数量为3时，错位全排的数量为2。

总结错位全排公式是一种用于计算某个集合的错位排列数量的数学方法。

通过公式 D_n = (n-1) * (D_{n-1} + D_{n-2})，我们可以轻松计算出任意数量元素的错位全排。

使用错位全排可以解决一些排列问题，特别是当我们需要确保每个元素都不在原来的位置上时。

此外，错位全排也可以用于一些密码学的应用中。

希望本文能够帮助读者理解错位全排公式的原理和应用。

全错位排列递推公式的简易证明华图教育 齐麟错位排列作为排列组合中的一类典型题目，自身难度较高，考生往往只是知其然而不知其所以然，即只了解全错位排列的递推公式，而不能理解其含义以及灵活的运用。

本文结合图示的方法，对全错位排列公式进行简易的证明。

首先，我们先来认识错位排列：1.部分错位排列：【例】5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法。

用排除法：先考虑5个人的全排列，有55A 种不同的排法，然后除去甲排第一（有44A 种）与乙排第二（也有44A 种），但两种情况又有重复部分，因此多减了一部分，必须加上多减部分，这样得到共有：55A －244A ＋33A ＝78种。

2.全错位排列：【例】5个人站成一排，其中A 不站第一位，B 不站第二位，C 不站第三位，D 不站第四位，E 不站第五位，共有多少种不同的站法。

【分析】仿照以上解法，我们有51423324150555453525150D A C A C A C A C A C A 44=-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=故5人的全错位排列方式共有44种。

因此我们可以由容斥原理得到n 个元素的全错位排列公式：n D =n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)错位排列的递推公式简单计算后我们有：1D 0=；2D 1=；3D 2=。

计算四元素全错位排列时我们可以这样考虑：假定元素为A 、B 、C 、D ；对应的位置为a 、b 、c 、d 。

对于元素A ，我们可将其放在b 、c 、d 三个位置，容易看出，这三个位置对于元素A 来说是等价的；假定A 现在放在了b 位置。

AB C D b a c d此时，元素B 有两种选择：①放在a 位置；②不放在a 位置；当元素B 放在a 位置时，我们会发现，之后的情形与2D 相同；而当B 不放在a 位置时，情况与3D 相同（因为B 不放在a 位置，我们可以认为a 位置就是b 位置）。

全错位排列以前接触过这样的题⽬，但是现在稍微系统点⾸先看⼀下百度百科对全错位排列的解释：基本简介全错位排列：即被著名数学家(Leonhard Euler，1707－1783)称为组合数论的⼀个妙题的“装错信封问题”。

“装错信封问题”是由当时最有名的数学家(Johann Bernoulli，1667－1748)的⼉⼦(DanidBernoulli，1700－1782)提出来的，⼤意如下：⼀个⼈写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？公式证明n个相异的元素排成⼀排a1，a2，...，an。

则ai(i=1，2，...，n)不在第i位的排列数为：公式证明：设1，2，...，n的全排列t1，t2，...，tn的集合为I,⽽使ti=i的全排列的集合记为Ai(1<=i<=n)，则Dn=|I|-|A1∪A2∪...∪An|.所以Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|.注意到|Ai|=(n-1)!，|Ai∩Aj|=(n-2)!，...，|A1∩A2∩...∩An|=0!=1。

由：Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|=n!-C(n,1)(n-1)!+C(n,2)(n-2)!-C(n,3)(n-3)!+...+(-1)^nC(n,n)*0!=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)（可以举例试试，很好懂）应⽤：（1）简单排列1个元素没有全错位排列，2个元素的全错位排列有1种，3个元素的全错位排列有2种，4个元素的全错位排列有9种，5个元素的全错位排列有44种。

递推公式数学家欧拉按⼀般情况给出了⼀个递推公式：⽤A、B、C……表⽰写着n位友⼈名字的信封，a、b、c……表⽰n份相应的写好的信纸。

把错装的总数为记作f(n)。

假设把a错装进B⾥了，包含着这个错误的⼀切错装法分两类：（1）b装⼊A⾥，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b⽆关，应有f(n-2)种错装法。

错位排列例题错位排列也称为错排，是组合数学中的一个经典问题。

在错位排列中，我们考虑将n个元素进行排列，但要求每个元素都至少与一个其他元素错位（即不在原来的位置上）。

换句话说，错位排列是一种排列方式，使得所有元素都与原来的位置不同。

我们可以用D(n)表示n个元素的错位排列数。

那么，错位排列问题的关键就是求解D(n)的值。

下面是一些错位排列问题的例题，以及相关的参考内容。

例题1:有3个人A、B、C要坐在3个椅子上，每个人只能坐在与自己原来位置不同的椅子上，问有多少种不同的坐法？解析: 对于每个人来说，他都有两个选项，即坐在与自己原来位置不同的椅子上或者不坐下。

因此，总的不同坐法数是2^3=8种。

参考内容: 《组合数学导引》（邱朝剑著）例题2:某公司有10名员工，要选取其中3名员工参加培训，要求选取的员工不能与原来的位置相同，问有多少种不同的选取方式？解析: 首先，我们可以将10名员工按照原来的位置进行编号，从1到10。

我们需要选取3名员工参加培训，而且不能与原来的位置相同。

因此，我们可以考虑错位排列的思路。

选取的第一个员工有10种选择，第二个员工有9种选择，第三个员工有8种选择。

因此，总的选取方式数是10*9*8=720种。

参考内容: 《概率与统计》（李航著）例题3:某地有10个学校举行篮球比赛，每个学校派出4名学生参赛，要求参赛的学生不能来自同一所学校，问有多少种不同的参赛方式？解析: 对于每个学校来说，他们都有4个学生可以选择。

因此，总的参赛方式数是10* C(4,4) = 10*1=10种。

参考内容: 《组合数学》（乔磊著）以上是几个关于错位排列的例题及其相关参考内容。

错位排列是组合数学中的一个重要问题，在实际中具有重要的应用价值。

对错位排列的研究可以帮助我们理解排列组合的思想，提高我们的数学思维能力。

希望以上内容对大家有所帮助。

2023年高考数学复习----排列组合错位排列典型例题讲解【典型例题】例25．编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（）A．10种B．20种C．30种D．60种【答案】B【解析】先选择两个编号与座位号一致的人，方法数有2510C=，另外三个人编号与座位号不一致，方法数有2，所以不同的坐法有10220⨯=种．故选：B例26．将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）A．90B．135C．270D．360【答案】B【解析】根据题意，分以下两步进行：（1）在6个小球中任选2个放入相同编号的盒子里，有2615C=种选法，假设选出的2个小球的编号为5、6；（2）剩下的4个小球要放入与其编号不一致的盒子里，对于编号为1的小球，有3个盒子可以放入，假设放入的是2号盒子．则对于编号为2的小球，有3个盒子可以放入，对于编号为3、4的小球，只有1种放法．综上所述，由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为1533135⨯⨯=种．故选：B．例27．若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（）A．20 B．90 C．15 D．45【答案】D【解析】根据题意，分2步分析：①先从5个人里选1人，恰好摸到自己写的卡片，有15C种选法，②对于剩余的4人，因为每个人都不能拿自己写的卡片，因此第一个人有3种拿法，被拿了自己卡片的那个人也有3种拿法，剩下的2人拿法唯一，所以不同的拿卡片的方法有11153345C C C⋅⋅=种．故选：D．。

错位排列的计算公式错位排列，听起来是不是有点神秘？其实呀，在数学的世界里，它可是个有趣的存在。

先给您讲讲什么是错位排列。

比如说，有 n 个元素，原本都有自己对应的位置，现在要重新排列，使得每个元素都不在原来的位置上，这就是错位排列。

那错位排列的计算公式是什么呢？咱们一步一步来。

当 n=1 时，很简单，就 0 种排列方式。

因为只有一个元素，它也没法错位呀。

当 n=2 时，有 1 种错位排列方式。

比如说，原来 1 对应位置 A，2 对应位置 B，现在错位排列就只有 2 在 A，1 在 B 这一种情况。

当 n 更大的时候，计算公式就来了，错位排列数 D(n) = (n - 1) * (D(n - 1) + D(n - 2)) 。

这公式看起来有点复杂，咱们来举个例子感受一下。

比如说，有 3 个元素 1、2、3 。

原来 1 在位置 A，2 在位置 B，3 在位置 C。

现在要错位排列。

先看 1 ，它有两种选择，假设它去了 B 位置。

那 2 就不能在 A 位置了，它有两种选择，要么去 C 位置，要么去 1 原来的位置 A 。

如果 2 去了 C 位置，那 3 就只能去 A 位置，这就是一种错位排列。

如果 2 去了 A 位置，那 3 就只能去 C 位置，这又是一种错位排列。

所以，总的错位排列数就是 2 种。

再算大一点的，比如 4 个元素。

按照公式来算，D(4) = 3 * (D(3) +D(2)) 。

咱们已经知道 D(2) = 1 ，D(3) = 2 ，所以 D(4) = 3 * (2 + 1) = 9 。

还记得我之前说要给您讲个细致的事情吗？就说上次我们班组织数学兴趣小组活动，老师出了一道错位排列的题目，让大家分组讨论。

我们小组几个人一开始都被这题目绕晕了，大家你一言我一语，争得面红耳赤。

有的说这样算，有的说那样算，谁也说服不了谁。

后来呀，我们冷静下来，一步一步按照公式推导，终于算出了正确答案。

那种恍然大悟、豁然开朗的感觉，真的太棒了！这错位排列的计算公式虽然有点难，但只要咱们多琢磨，多练习，就一定能掌握。

错位排列问题：⼗本不同的书放在书架上。

现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。

有⼏种摆法？这个问题推⼴⼀下，就是错排问题，是组合数学中的问题之⼀。

考虑⼀个有n个元素的排列，若⼀个排列中所有的元素都不在⾃⼰原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的⼀个错排。

n个元素的错排数记为D(n)。

研究⼀个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题。

错排问题最早被尼古拉·伯努利和欧拉研究，因此历史上也称为伯努利-欧拉的装错信封的问题。

这个问题有许多具体的版本，如在写信时将n 封信装到n个不同的信封⾥，有多少种全部装错信封的情况？⼜⽐如四⼈各写⼀张贺年卡互相赠送，有多少种赠送⽅法？⾃⼰写的贺年卡不能送给⾃⼰，所以也是典型的错排问题。

递推公式当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的⽅法数⽤D(n)表⽰，那么D(n-1)就表⽰n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的⽅法数，其它类推.第⼀步，把第n个元素放在⼀个位置，⽐如位置k，⼀共有n-1种⽅法；第⼆步，放编号为k的元素，这时有两种情况：⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有D(n-2)种⽅法；⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有D(n-1)种⽅法；综上得到D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1.下⾯通过这个递推关系推导通项公式：为⽅便起见，设D(k) = k! N(k), k = 1, 2, …, n,则N(1) = 0, N(2) = 1/2.n ≥ 3时，n! N(n) = (n-1) (n-1)! N(n-1) + (n-1)! N(n-2)即 nN(n) = (n-1) N(n-1) + N(n-2)于是有N(n) - N(n-1) = - [N(n-1) - N(n-2)] / n = (-1/n) [-1/(n-1)] [-1/(n-2)]…(-1/3) [N(2) - N(1)] = (-1)^n / n!.因此N(n-1) - N(n-2) = (-1)^(n-1) / (n-1)!,N(2) - N(1) = (-1)^2 / 2!.相加，可得N(n) = (-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1) / (n-1)! + (-1)^n/n!因此D(n) = n! [(-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1)/(n-1)! + (-1)^n/n!].此即错排公式。

高考错位排列真题答案解析导语：高考是每个学生都要经历的一场考试，考试中的各种题型都是考生们备战所需的重点之一。

错位排列题是高考数学中的难点题型，很多考生在解答时往往束手无策。

本文将为大家详细解析高考错位排列真题答案，希望对广大考生有所帮助。

一、什么是错位排列题错位排列题是高考数学中的一类组合题，是考察考生对排列组合知识的理解和运用能力。

在这类题目中，要求我们求排列或组合的个数，并要保证某些特定的元素不能相邻、不能相连等。

二、常见形式及解题思路1. 示例一：有3个甲、3个乙、3个丙三种不同的球，把如下9个球排成一行，使乙不能够紧挨着甲摆放，要求每次将甲、乙、丙这三种球的一个摆在一行的空位上，那么有效排列的个数是多少？解题思路：这是一个错位排列的问题。

首先，我们可以先假设把甲和乙看成一个整体，即2个元素看作1个对，然后将丙球插入这些对之间，变相成为了一个无相同元素的排列组合问题。

那么问题就变为了将3个甲乙丙的球排列在一行上的问题。

根据排列组合的公式，我们可以得出答案为3!，即3的阶乘，结果为6.2. 示例二：有8个小球，其中有2个红球、2个蓝球、2个绿球和2个黄球，现将这只球放在一排的位置上，要求使得同颜色的球不相邻，一共可以有多少种不同的放法。

解题思路：这是一个错位排列的问题。

我们可以将这8个小球分成4对，然后将这些对放在一排的位置上。

根据错位排列的原理，共有4！种不同的放法。

但是要注意的是，每对之间的元素又可以进行排列，所以实际的解答应该是4!*(2!)^4，即解答等于24*(2^4)=384.三、真题解析下面为大家提供一道高考真题的错位排列题解析，希望对大家更好地理解和掌握该类型题目的解答方法。

示例题：有8本书，其中诗集5本，文学评论2本，小说1本。

（1）把8本书排成一行，使得同种书类不相邻，有多少种不同的方法？（2）如果除了要求同种书类不相邻外，诗集之间和文学评论之间也不相邻，有多少种不同的方法？解题思路：（1）这是一个错位排列的问题。

错位排序公式及理解错位排序是一种常用的算法技巧，用于对一个已知排列进行重排，使得每个元素都不在其原始位置上。

该算法常用于密码学、数据加密等领域。

在本文中，我将详细介绍错位排序的原理和理解，并提供一个Python实现示例。

错位排序的核心思想是通过交换元素的位置来实现重排。

具体而言，给定一个已知的排列A=[a1, a2, ..., an]，错位排序通过不断地交换相邻元素的位置来不断调整元素的位置，直到所有元素都不在其原始位置上为止。

以下是错位排序的具体步骤：1. 初始化一个有序的排列B=[b1, b2, ..., bn]，其中bi=i。

这个排列是一个已知的正确排序，它的每个元素都在其原始位置上。

2.检查排列A和排列B的第一个元素，如果它们相同，则找到排列A中第一个不在正确位置上的元素a，将其与排列B中相应位置上的元素交换。

即A[0]与B[a]交换。

3.重复步骤2，直到所有元素都不在其原始位置上。

通过上述步骤，错位排序最终可以得到一个新的排列C=[c1,c2, ..., cn]，其中每个元素都不在其原始位置上。

理解错位排序的一个重要概念是置换。

在错位排序过程中，每次交换都会导致一些元素到达正确的位置上，而相应位置上的元素则会被挤出正确位置。

通过不断进行这样的置换操作，每个元素最终都会到达正确位置，从而实现排序。

错位排序的过程中，每个元素最多被交换两次。

提供一个Python实现示例，如下所示：```pythondef derange_sort(arr):n = len(arr)sorted_arr = sorted(arr)for i in range(n):while arr[i] != sorted_arr[i]:j = arr[i]arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]return arr#测试arr = [4, 1, 3, 2]sorted_arr = derange_sort(arr)print(sorted_arr)```在上述示例中，我们定义了一个名为`derange_sort`的函数来实现错位排序。

5个元素错位排列的解题方法
有以下几种方法可以解题：
1. 逐一交换法：从第一个元素开始，依次和后面的元素进行交换，直到最后一个元素。

例如，对于元素a、b、c、d、e，可
以先将a和b交换，得到b、a、c、d、e，然后将a和c交换，得到b、c、a、d、e，依此类推。

2. 环形移动法：将元素看作是一个环形结构，每次将所有元素循环右移一位，例如，对于元素a、b、c、d、e，可以将e放
在第一个位置，然后将d放在第二个位置，依次类推，得到e、d、c、b、a。

3. 循环移动法：将元素分为两个部分，每次将前面部分的元素移到后面，再将后面部分的元素移到前面，例如，对于元素a、b、c、d、e，可以先将a、b移到后面，得到c、d、e、a、b，
然后将c、d、e移到前面，得到a、b、c、d、e，依此类推。

4. 列表拆分法：将元素分为两个列表，将第一个列表的元素移到第二个列表的后面，再将第二个列表的元素移到第一个列表的前面，例如，对于元素a、b、c、d、e，可以先将a移到后
面的列表，得到b、c、d、e、a，然后将b、c、d、e移到前面的列表，得到a、b、c、d、e，依此类推。

5. 递归法：将问题首尾相连，每次取出一个元素，在剩余的元素中递归解决，例如，对于元素a、b、c、d、e，可以将a放
在最后一个位置，然后对b、c、d、e递归解决，得到b、c、
d、e的错位排列，将再将a插入其中，得到a、b、c、d、e的错位排列。

错位重排的规律
错位重排规律是指在一个排列中，如果某些元素的位置发生变化，导致整个排列的顺序发生改变，则这种排列的变化就被称为错位重排。

具体来说，错位重排规律包括以下几种情况：
1.完全错位重排：在一个排列中，所有元素的位置都发生了变化，即每个元
素都移到了其他位置上。

例如，在排列"abc"中，如果每个元素的位置都互换，就变成了"bca"，这就是一个完全错位重排。

2.部分错位重排：在一个排列中，只有部分元素的位置发生了变化，其他元
素的位置保持不变。

例如，在排列"abc"中，如果只有前两个元素的位置互换，就变成了"bac"，这就是一个部分错位重排。

3.循环错位重排：在一个排列中，某些元素的位置发生了循环变化。

例如，
在排列"abc"中，如果第一个元素移到第二个位置，第二个元素移到第三个位置，第三个元素移到第一个位置，就变成了"bac"，这就是一个循环错位重排。

在实际应用中，错位重排规律可以用于解决一些涉及排列的问题，例如密码学、计算机科学、统计学等领域。

例如，在密码学中，错位重排可以用于加密和解密；在计算机科学中，错位重排可以用于数据压缩和信息编码；在统计学中，错位重排可以用于样本分析和概率计算等。

总结来说，错位重排规律是指在一个排列中，某些元素的位置发生变化导致整个排列的顺序发生改变的规律。

它可以分为完全错位重排、部分错位重排和循环错位重排等几种情况。

在实际应用中，错位重排规律可以用于解决一些涉及排列的问题。

全错位排列dn的公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：全错位排列是排列组合中的一种特殊情况，它是指将一组元素进行重新排列，使得每个元素都位于原始位置以外。

全错位排列也称为dn排列，其中n表示元素的个数。

在全错位排列中，没有任何元素位于原始位置上，这使得全错位排列在排列组合中具有独特的特性。

在数学中，全错位排列的计算方法可以用一个公式来表示，这个公式可以帮助我们计算任意元素个数的全错位排列数量。

下面我们就来详细介绍全错位排列的公式及其推导过程。

假设有n个元素需要进行全错位排列，首先我们可以计算出n个元素的所有排列数量，这个数量可以用n!来表示，表示的是n的阶乘。

然后我们来计算n个元素的全错位排列数量。

假设第一个元素A有n-1种错误排列方法(把n-1个数安均在一起得到n个数的错位排列数)，那么就有n-1种排法。

假设元素A固定在第一个位置，那么剩下的元素就剩下n-1个元素。

这n-1个元素就要错位排列(错位排列其实就是将元素A与其他元素进行交换得到不同的排列)。

由于有n种情况可以选择元素A在第一个位置，所以总共就有n*(n-1)种情况。

现在我们来考虑其他的元素B，如何计算B在排列中的错位情况呢？实际上第一个元素A和其他元素B、C……之间的错位情况是相互独立的。

即当A的错位情况确定时，B的错位情况是无法受到A的影响的。

B在错位情况上有(n-1)*(n-2)种可能。

同样的道理，对于C，C有(n-2)*(n-3)种可能，以此类推，最后一个元素有1*0种可能。

根据乘法原理，n个元素的全错位排列总数为：(n-1)! * (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)^(n-1)/n!)这个公式表示了n个元素的全错位排列数量，其中n!表示n的阶乘，(n-1)!表示n-1的阶乘，以此类推。

而其中的每一项都是错位排列的一部分，通过不断累加可以得到n个元素的全错位排列数量。

通过这个公式，我们可以计算出任意元素个数的全错位排列数量，这对于解决一些排列组合问题具有重要的意义。

错位排列和禁位排列错位排列和禁位排列1.问题提出（1）某省决定对所辖8个城市的党政一把手进行任职交流，要求把每个干部都调到另一个城市去担任相应的职务，问共有多少种不同的干部调配方案？（2）有5个客人参加宴会，他们把衣帽寄放在室内，宴会后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现，他们戴了别人的帽子，问5个客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？上述两个问题，实质上是同一种类型的问题，被著名数学家欧拉 （Leonard Euler ，1707 —1783）称为“组合数论”的一个妙题的“装错信封问题”的两个特例。

“装错信封问题”是由当时最有名的数学家约翰•伯努利（John Bernoulli ，1667—1748） 的儿子丹尼尔•伯努利 （Danid Bernoulli ，1700—1782）提出来的，大意如下：一个人写了 n 封不同的信及相应的n 个不同的信封，他把这n 封信都装错了信封。

问全部装错了信封的装法有几种？2.错位排列和禁位排列1）错位排列：n 个相异元素中()m m n ≤个元素12,,,mi i i a aa ⋅⋅⋅，其中()1,2,,k i a k m =⋅⋅⋅不在第()1,2,,ki k m =⋅⋅⋅个位置（一下简称其为ki a 的本位），而其他n m -个元素中的任何一个都在原来的位置（本位）的排列。

如果n 个元素都不在本位，称为全错位排列。

2）禁位排列（一个元素禁止排在一个位置）：n 个相异元素中()m m n ≤个元素12,,,mi i i a aa ⋅⋅⋅，其中()1,2,,ki a k m =⋅⋅⋅不能排在第()1,2,,k j k m =⋅⋅⋅个位置的排列。

3）两者的区别在于：错位排列中除这m 个元素之外的其他n m -个元素都在本位，即这m 个元素只能在m 个位置12,,,mi i i ⋅⋅⋅中排列，且不出现()1,2,,ki a k m =⋅⋅⋅在ki 位的情况；而禁位排列中只限制m 个元素不在本位，因此()1,2,,ki a k m =⋅⋅⋅可以排在1,2,,n ⋅⋅⋅中除ki 之外的任何位置。

数学错位排列公式错位排列，也称错位组合，是组合数学中的一种特殊排列形式。

在错位排列中，元素按照一定的规定重新排列，使得每个元素都不在其原始位置上。

错位排列在实际问题中有着广泛的应用，包括密码学、密码破解、数据加密等领域。

本文将介绍错位排列的概念、性质和计算公式。

一、错位排列的概念错位排列是指从n个元素中取出k个元素进行排列，使得每个元素都不在其原始位置上的排列方式。

具体而言，错位排列要求任意一个元素都不能出现在它原本应有的位置上。

二、错位排列的计算公式设记号D(n)表示n个元素的错位排列的个数。

1. 当n = 0，D(0) = 1；2. 当n = 1，D(1) = 0；3. 当n = 2，D(2) = 1；4. 当n > 2，D(n) = (n-1)(D(n-1) + D(n-2))。

根据上述公式，我们可以计算任意数量元素的错位排列。

三、错位排列的性质1. 错位排列的个数D(n)满足递推关系 D(n) = n*D(n-1) - (-1)^n。

2. 错位排列的个数D(n)可以通过康托展开公式求得。

康托展开是将一个排列转化为一个正整数的方法，该整数可以唯一地表示该排列。

具体而言，对于错位排列而言，康托展开公式为：D = (n-1)!x1 + (n-2)!x2 + ... + 2!x(n-2) + 1!x(n-1)，其中x1, x2, ..., x(n-1)分别表示每个元素与它原本应有位置的距离。

3. 错位排列具有唯一性，不存在重复的排列。

四、错位排列的应用错位排列在实际问题中有着广泛的应用。

1. 密码学：错位排列可以用于数据的加密与解密过程中，保障数据的安全性。

2. 信息传输：通过错位排列可以实现信息的加密和解密，保护隐私和安全。

3. 排队理论：错位排列可以用于描述某个系统中的排队顺序，研究系统中的平衡和稳定性。

4. 公平分配：错位排列可以用于公平地分配资源，确保每个人都有机会获得公正的权益。

全错位排列公式什么是错位全排列问题？其实很简单，在生活中可能都会遇到：“装错信封问题”是由当时最有名的数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667－1748)的儿子丹尼尔·伯努利(Danid Bernoulli，1700－1782)提出来的，大意如下：一个人写了 n 封不同的信及相应的n 个不同的信封，他把这 n 封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？为了解决这个看似简单的问题，我们从数学的角度出发，尝试几个常用的方法。

记装错 n 封信的种类为 D_n ，并且有 n 封信a_1,a_2,...,a_n（1）枚举法（Enumeration method）计算种数当 n 的值较小时，可以利用枚举法：n=1 时，不可能装错信，则 D_1=0 ；n=2 时，显然装错信时，只可能为两者调换位置，则D_2=1 ；n=3 时，有 (a_2,a_3,a_1) ， (a_3,a_1,a_2) 两种装法，则D_3=2 ；n=4 时，装法如下：(a_2,a_1,a_4,a_3) ， (a_2,a_3,a_4,a_1) ，(a_2,a_4,a_1,a_3) ，(a_3,a_1,a_4,a_2) ，(a_3,a_4,a_1,a_2) ， (a_3,a_4,a_2,a_1) ，(a_4,a_1,a_2,a_3) ， (a_4,a_3,a_2,a_1) ，(a_4,a_3,a_1,a_2) ，则 D_4=9 。

当 n 的值越来越大时，枚举会变得异常复杂。

可以考虑用排列数（Permutation）和组合数（Combination），来得到错位全排列的计算公式。

（2）排列组合计算种数显然， n 封信的组合方式共有 A_n^n=n! 种装法，接下来我们要做的就是扣掉其中重复的种类，保证计数“不重不漏”。

假设第一封信装对，即为剩下的 n-1 个元素的一个全排列（All permutation），则有 A_{n-1}^{n-1}=(n-1)! 种装法；并且当第二封信装对时，也有 A_{n-1}^{n-1}=(n-1)! ，以此类推，每一封信装对时，都有 (n-1)! 种装法。

排列组合错位排列公式排列组合这玩意儿，在数学里可有点意思，特别是错位排列公式，那更是藏着不少门道。

咱先来说说啥是错位排列。

打个比方，就像一群小朋友，每个人都有自己固定的座位，但是突然老师说要打乱重新坐，而且还不能坐回自己原来的座位，这就是错位排列。

那错位排列公式到底是啥呢？它可以表示为：Dn = n! (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! +... + (-1)^n / n!) 。

看起来是不是有点复杂？别担心，咱们慢慢捋。

比如说，假设有 3 个元素要进行错位排列。

那第一个元素就有 2 种选择，因为不能选自己原来的位置嘛。

假设第一个元素选了第二个位置，那第二个元素就有两种情况。

如果第二个元素选了第一个位置，那第三个元素就只能选第三个位置；如果第二个元素没选第一个位置，而是选了第三个位置，那第三个元素就只能选第一个位置。

所以 3 个元素的错位排列数就是 2 种。

再比如说，有 4 个元素要错位排列。

那第一个元素还是有 3 种选择。

假设第一个元素选了第二个位置，那第二个元素也有 3 种选择。

如果第二个元素选了第一个位置，那后面两个元素就又成了一个新的 2 个元素的错位排列问题。

如果第二个元素没选第一个位置，假设选了第三个位置，那第三个元素又有两种选择，选第一个或者第四个位置。

如果第三个元素选了第一个位置，那第四个元素就只能选第四个位置；如果第三个元素选了第四个位置，那第四个元素就只能选第一个位置。

所以 4 个元素的错位排列数就是 9 种。

咱们在实际生活中，错位排列的情况也不少见。

就说我有次去参加一个朋友的聚会，大家玩一个交换礼物的游戏。

每个人都准备了一份礼物，然后打乱顺序随机抽取。

结果还真就出现了错位排列的情况，本来想着能抽到跟自己关系好的人的礼物，结果完全错位，那种意外和惊喜的感觉，还真挺特别。

再回到数学里，错位排列公式在解决很多问题的时候都能派上用场。

比如在安排工作任务的时候，如果每个人都不能负责自己原本熟悉的那部分，要计算有多少种不同的安排方式，这时候错位排列公式就能大显身手啦。

求解错位排列数的指数型生成函数错位排列数（derangements），指的是一组排列中，所有元素都不在其原来的位置上的排列数量。

比如，对于三个元素1、2、3的排列来说，正确的排列有123、132、213、231、312、321，而错位排列则有132、213、231、312、321共5种，这个数量可以用符号！n表示。

错位排列数的计算方法非常复杂，可以通过递推、置换群、容斥原理等多种方式求解。

其中一种较为简单的方法是使用指数型生成函数。

指数型生成函数是一种特殊的生成函数，一般形式为：$F(x)=\sum_{k\ge0}\frac{a_k}{k!}x^k=e^{xh(x)}$，其中$h(x)$是$F(x)$的指数型生成函数，$a_k$表示对应项的系数。

若给定一组元素$1,2,...,n$的排列，设第$i$个元素的位置为$p_i$，则错位排列要求所有$p_i$不等于$i$，也就是说，没有一个元素在其原位置上。

因此，我们可以考虑构造一个长度为$n$的排列，其中有恰好$k$个元素在原位置上，而其余$n-k$个元素的位置都发生了变化，这样的排列数量为：$D_{n,k}=\binom{n}{k}(n-k)!(-1)^{n-k}$。

$!n=n!\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}$这里我们利用计数原理，将所有元素都不在原位置上的排列数量表示为有恰好$k$个元素在原位置上的排列数量之和。

然后，将每种情况的数量带入$D_{n,k}$公式中，得到：化简得：接下来，我们将其化成指数型生成函数的形式：$G(x)=\sum\limits_{n\geq0}\frac{!n}{n!}x^n=\frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!}\sum_{n\geqk}\frac{n!}{(n-k)!}x^n$这里的求和顺序可能不太好理解，我们可以按照下面的步骤来推导：$$\begin{aligned}G(x) & =\sum_{n\geq 0}\frac{!n}{n!}x^n \\& =\sum_{n\geq0}\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}\binom{n}{k}(n-k)!(-1)^{n-k}x^n \\& =\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!}\sum_{n\geqk}\frac{n!}{k!(n-k)!}(-1)^{n-k}x^n \\& =\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!}\sum_{n\geq k}\frac{n!}{(n-k)!}x^n \\& =\frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!}\sum_{n\geqk}\frac{n!}{(n-k)!}x^n\times e \\& =\frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!}\sum_{n\geqk}\frac{n!}{(n-k)!}x^n\end{aligned}$$这个式子比较抽象，我们需要做一些化简。

例1．五个编号为1、2、3、4、5的小球放进5个编号为1、2、3、4、5的小盒里面，全错位排列（即1不放1，2不放2，3不放3，4不放4，5不放5，也就是说5个全部放错）一共有多少种放法？解析：直接求5个小球的全错位排列不容易，我们先从简单的开始。

小球数/小盒数全错位排列1 02 1（即2、1）3 2（即3、1、2和2、3、1）4 95 446 265当小球数/小盒数为1~3时，比较简单，而当为4~6时，略显复杂，考友只需要记下这几个数字即可（其实0，1，2，9，44，265是一个有规律的数字推理题，请各位想想是什么？）由上述分析可得，5个小球的全错位排列为44种。

上述是最原始的全错位排列，但在实际公务员考题中，会有一些“变异”。

例2．五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？解析：做此类题目时通常分为两步：第一步，从五个瓶子中选出三个，共有种选法；第二步，将三个瓶子全部贴错，根据上表有2种贴法。

则恰好贴错三个瓶子的情况有种。

拓展：想这样一个问题：五个瓶子中，恰好贴错三个是不是就是恰好贴对两个呢？答案是肯定的，是。

那么能不能这样考虑呢？第一步，从五个瓶子中选出二个瓶子，共有种选法；第二步，将两个瓶子全部贴对，只有1种方法，那么恰好贴对两个瓶子的方法有种。

问题出来了，为什么从贴错的角度考虑是20种贴法，而从贴对的角度考虑是10种贴法呢。

在此明确告知，后者的解题过程是错误的，请考友想想为什么？【提示】：在处理错位排列问题时，无论问恰好贴错还是问恰好贴对，都要从贴错的角度去考虑，这样处理问题简单且不易出错。

数字推理题的难度在不断加大，命题者在通过各种复杂的变形希望能增大这部分题型的难度，建议考生在做题时，不要拘泥于数列规律本身，而应该着眼于观察数字本身的“组合”问题，从而轻松破解新题型。

例题：2008年广州市公务员考试行政真题(26) 1.03 ,3.04，3.05，9.06，5.07，27.08,( )A.7.09B.9.09C.34.00D.44.0l ，解析这是一道隔项数列题，我们先把奇数项列出来，组成新数列：1.03，3.05，5.07，( )这样，我们可以观察到，整数部分和分数部分各自形成一个新数列，所以我们应该将数列“拆分”开来，形成两个独立的数列。