复变函数与积分变换第六章测验题与答案

复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i 7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 33311;;;.22n z i ⎛⎛-+-- ⎝⎭⎝⎭①： ∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xyz a x a y-⎛⎫=⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩¢． ∴当2n k =时，()()Re i 1kn=-，()Im i 0n=；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+==2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z w z w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w ++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--==其中8πarctan 19θ=-．②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e i i =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-+==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcosisin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i 的三次根． 解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=+z ．2551cos πisin πi 662=+=+z3991cos πisin πi 662=+=-z ⑵-1的三次根 解：()()132π+π2ππcos πisin πcosisin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cos isin 332=+=z2cos πisin π1=+=-z35513cos πisin πi 3322=+=--z ⑶33i +的平方根． 解： πi 42233i=6i 6e 22⎛⎫+⋅+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∴()()1π12i 44ππ2π2π4433i 6e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪+=⋅=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ．9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=L证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=L又∵n ≥2． ∴z ≠1 从而211+0n z z z -+++=L11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。

《复变函数与积分变换》习题册合肥工业大学《复变函数与积分变换》校定平台课程建设项目资助2018年9月《复变函数与积分变换》第一章习题1.求下列各复数的实部、虚部、模、辐角和辐角主值:（1）122345i i i i +---； （2）312⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.2. 将下列复数写成三角表达式和指数形式:（1）1； （2）21i i+.3. 利用复数的三角表示计算下列各式:（1； （2）103⎛⎫4. 解方程310z +=.5. 设12cos z zθ-+=（0,z θ≠是z 的辐角），求证：2cos n n z z n θ-+=.6.指出满足下列各式的点z 的轨迹或所在范围.（1）arg()4z i π-=；（2）0zz az az b +++=，其中a 为复数，b 为实常数. （选做）7.用复参数方程表示曲线：连接1i +与i 41--的直线段.8.画出下列不等式所确定的图形，指出它们是否为区域、闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连通区域还是多连通区域？并标出区域边界的方向.(1) 11,Re 2z z <≤；(2) 0Re 1z <<；9.函数z w 1=把下列z 平面上的曲线映射成w 平面上怎么样的曲线？ （1）224x y +=； （2）x y =； （3）1=x .10.试证：0Re limz z z→不存在.《复变函数与积分变换》第二章习题1.用导数定义求z z f Re )(=的导数.2.下列函数在何处可导，何处不可导？何处解析，何处不解析？（1）z z f 1)(=； （2））32233(3)(y y x i xy x z f -+-=；3.试讨论y ix xy z f 22)(+=的解析性，并由此回答：若复变函数),(),()(y x iv y x u z f +=中的),(y x u 和),(y x v 均可微，那么iv u z f +=)(一定可导吗？4.设3232()(f z my nx y i x lxy =+++）为解析函数，试确定,,l m n 的值.5.设()f z 在区域D 内解析，试证明在D 内下列条件是彼此等价的：（1）()f z =常数； （2）Re ()f z =常数； （3）()f z 解析.6.试解下列方程：（1）1ze =+； （2）0cos =z ； （3）0cos sin =+z z .7.求下列各式的值：（1）Ln(34)i -+； （2）i -33； （3）i e +2.8.等式33Ln 3Ln z z =是否正确？请给出理由.《复变函数与积分变换》第三章习题3.1复积分的概念与基本计算公式1. 计算积分dz ix y x C )(2⎰+-，其中C 为从原点到点1+i 的直线段.2．计算积分dz z zC ⎰的值，其中C 为2=z3.当积分路径是自i -沿虚轴到i ，利用积分性质证明：2)(22≤+⎰-dz iy x i i3.2柯西古萨基本定理1.计算积分dz z C ⎰1,其中C 为2=z2. 计算积分dz z e z C z)sin (⎰⋅-,其中C 为a z =.3.3基本定理的推广1. 计算积分dz z e Cz⎰,其中C 为正向圆周2=z 与负向圆周1=z 所组成。

一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。

(1) i 解：2cossin22ii e i πππ==+(2) -1解：1cos sin i e i πππ-==+ (3)1+解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解：2221cos sin 2sin 2sincos2sin(sincos )2222222sincos()sin()2sin 222222i i i i i e πααααααααααπαπαα⎛⎫- ⎪⎝⎭-+=+=+⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭(5) 3z解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e +解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+(7)11ii-+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++二、计算下列数值(1) 解：1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a bi ctg abi ctgaπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎧⎪=⎨⎪⎩(2)解：6226363463222i k i i i i e i ee e iπππππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎧=+⎪⎪⎪⎨====-+⎪⎪⎪=-⎩(3) i i 解：()2222ii k k i i e eππππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(4)解：()1/2222ii k k eeππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(5) cos5α解：由于：()()552cos5i i e e ααα-+=，而：()()()()()()()()5555555555cos sin cos sin cos sin cos sin nni nn nni n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑所以：()()()()()()()()()()()555505555043253543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n nn n n n nn n C i i C i i C i ααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=++=-+∑∑(6) sin5α解：由于：()()552sin 5i i ee ααα--=，所以：()()()()()()()()()()()()55550555505234245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n nn n n n nn n C i i i C i i i C i C i iααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=--⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解：()()221cos cos 2cos ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ααααααααααααααααααααααα----------⎡⎤+++=+++++++⎣⎦⎡⎤--+--⎡⎤--⎢⎥=+=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦+=L L L L L L (1)(1)22(1cos )12cos 22cos(1)2cos cos 1cos(1)cos 22(1cos )2(1cos )1sin()sin22 2sin2i i n i n in in e e e e n n n n n ααααααααααααααααα+-+-⎡⎤---++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤--++--++==⎢⎥--⎣⎦+-=(8) sin sin 2sin n ααα+++L L 解：()()221sin sin 2sin ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e i e e e e e e e e e e i e e i e i αααααααααααααααααααααα---------⎡⎤+++=+++-+++⎣⎦⎡⎤-----⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦=L L L L L L (1)(1)112(1cos )12sin 2sin(1)2sin sin sin(1)sin 22(1cos )2(1cos )1cos()cos22 2sin2i n in i i n in e e e e e i i n i n n n i n αααααααααααααααααα+--+-⎡⎤--+-++-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-++-++==⎢⎥--⎣⎦-++=1.2 复变函数1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π<Arg(z) ≤π)，在负实轴上(包括原点)不连续。

复变函数习题总汇与参考答案(总21页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--复变函数习题总汇与参考答案第1章 复数与复变函数一、单项选择题1、若Z 1=（a, b ）,Z 2=(c, d),则Z 1·Z 2=（C ）A （ac+bd, a ）B (ac-bd, b)C （ac-bd, ac+bd ）D (ac+bd, bc-ad)2、若R>0，则N （∞，R ）={ z ：（D ）}A |z|<RB 0<|z|<RC R<|z|<+∞D |z|>R3、若z=x+iy, 则y=(D) A B C D4、若A= ，则 |A|=（C ） A 3 B 0 C 1 D 2二、填空题1、若z=x+iy, w=z 2=u+iv, 则v=（ 2xy ）2、复平面上满足Rez=4的点集为（ {z=x+iy|x=4} ）3、（ 设E 为点集，若它是开集，且是连通的，则E ）称为区域。

2zz +2z z -izz 2+iz z 2-)1)(4()1)(4(i i i i +--+4、设z 0=x 0+iy 0, z n =x n +iy n (n=1,2,……)，则{z n }以z o 为极限的充分必要条件是 x n =x 0，且 y n =y 0。

三、计算题1、求复数-1-i 的实部、虚部、模与主辐角。

解：Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1|-1-i|=2、写出复数-i 的三角式。

解：3、写出复数 的代数式。

解：4、求根式的值。

+∞→n lim +∞→n lim ππ45|11|arctan ),1(12)1()1(=--+=--∴--=-+-i ary i 在第三象限 ππ23sin 23cos i i +=-i i i i i i i i i i i i i i i 212312121)1()1)(1()1(11--=--+-=⋅-++-+=-+-ii i i -+-11327-解：四、证明题1、证明若 ，则a 2+b 2=1。

复变函数考试题及答案一、选择题（每题2分，共40分）1. 下列哪个不是复数的实部？A. 2B. -3iC. -4D. 5i答案：B2. 设z = x + yi，其中x和y都是实数，若z和z*的虚部相等，则x和y满足的关系是：A. x = yB. x = -yC. x = 0D. y = 0答案：C3. 设复函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y)和v(x, y)是光滑函数，若f(z)满足Cauchy-Riemann方程，则u和v满足的关系是：A. ∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = -∂v/∂xB. ∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = ∂v/∂xC. ∂u/∂y = -∂v/∂x，∂u/∂x = ∂v/∂yD. ∂u/∂y = ∂v/∂x，∂u/∂x = -∂v/∂y答案：A4. 设f(z)是复平面上的解析函数，若f(z)的实部为2x^2 + 3y，则f(z)的虚部为：A. 2x^2 - 3yB. 3yC. 2x^2D. 2x^3 + 3y答案：C5. 若f(z) = z^3，其中z为复数，则f(z)的导数为：A. 3z^2B. z^2C. 2zD. 0答案：A......二、计算题（共60分）1. 计算下列复数的模和辐角：（1）z1 = 3 + 4i（2）z2 = -2 + 2i（3）z3 = -4 - 3i答案：（1）|z1| = sqrt(3^2 + 4^2) = 5，arg(z1) = arctan(4/3)（2）|z2| = sqrt((-2)^2 + 2^2) = 2sqrt(2)，arg(z2) = arctan(2/(-2)) + π = -π/4（3）|z3| = sqrt((-4)^2 + (-3)^2) = 5，arg(z3) = arctan((-3)/(-4)) + π = π/42. 设复数z满足|z-2| = 3，且arg(z-2) = π/3，求z的值答案：由题意得，z-2的模为3，即|z-2| = 3，且z-2的辐角为π/3，即arg(z-2) = π/3根据复数的模和辐角定义，可以得到：3 = |z-2| = sqrt((Re(z-2))^2 + (Im(z-2))^2)π/3 = arg(z-2) = arctan((Im(z-2))/(Re(z-2)))解方程组可以得到：Re(z-2) = 3/2Im(z-2) = 3sqrt(3)/2再加上z-2 = Re(z-2) + Im(z-2)i，可以计算得到：z = 3/2 + 3sqrt(3)/2 + 2 = 2 + 3sqrt(3)/23. 将复数z = 1 + i转化为极坐标形式，并计算z^3的值。

习题六1. 求映射1w z=下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：222211i=+i i x y w u v z x y x y x y ===-+++ 221x x u x y ax a===+, 所以1w z =将22x y ax +=映成直线1u a=. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 22221i x y w z x y x y ==-++ 故1w z=将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？（1）Im()0,(1i)z w z >=+；解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+⋅+=-+所以Im()Re()w w >.故(1i)w z =+⋅将Im()0,z >映成Im()Re()w w >.(2) Re(z )>0. 0<Im(z )<1, i w z=. 解：设z =x +i y , x >0, 0<y <1.Re(w )>0. Im(w )>0. 若w =u +i v , 则因为0<y <1,则22221101,()22u u v u v <<-+>+ 故i w z=将Re(z )>0, 0<Im(z )<1.映为 Re(w )>0,Im(w )>0, 1212w > (以（12,0）为圆心、12为半径的圆) 3. 求w =z 2在z =i 处的伸缩率和旋转角，问w =z 2将经过点z =i 且平行于实轴正向的曲线的切线方向映成w 平面上哪一个方向？并作图.解：因为w '=2z ,所以w '(i)=2i , |w '|=2, 旋转角arg w '=π2. 于是, 经过点i 且平行实轴正向的向量映成w 平面上过点-1，且方向垂直向上的向量.如图所示.→4. 一个解析函数，所构成的映射在什么条件下具有伸缩率和旋转角的不变性？映射w =z 2在z 平面上每一点都具有这个性质吗？答：一个解析函数所构成的映射在导数不为零的条件下具有伸缩率和旋转不变性映射w =z 2在z =0处导数为零，所以在z =0处不具备这个性质.5. 求将区域0<x <1变为本身的整体线性质变换w z αβ=⋅+的一般形式.6. 试求所有使点1±不动的分式线性变换. 解：设所求分式线性变换为az bw cz d +=+(ad -bc ≠0)由11-→-.得 因为(1)a z c dw cz d ++-=+, 即(1)(1)1a z c z w cz d ++++=+,由11→代入上式，得22a ca d c d +=⇒=+. 因此11(1)(1)dcd cd c w z z cz d z +++=+=+⋅++ 令dq c =，得其中a 为复数.反之也成立，故所求分式线性映射为1111w z a w z ++=⋅--， a 为复数.7. 若分式线性映射，az bw cz d +=+将圆周|z |=1映射成直线则其余数应满足什么条件？ 解：若az bw cz d +=+将圆周|z |=1映成直线，则dz c =-映成w =∞. 而dz c =-落在单位圆周|z |=1,所以1dc -=,|c |=|d |.故系数应满足ad -bc ≠0,且|c |=|d |.8. 试确定映射，11z w z -=+作用下，下列集合的像.(1) Re()0z =; (2) |z |=2; (3) Im(z )>0.解：(1) Re(z )=0是虚轴，即z =i y 代入得. 写成参数方程为2211y u y -+=+， 221y v y =+, y -∞<<+∞.消去y 得，像曲线方程为单位圆,即u 2+v 2=1.(2) |z |=2.是一圆围，令i 2e ,02πz θθ=≤≤.代入得i i 2e 12e 1w θθ-=+化为参数方程.消去θ得，像曲线方程为一阿波罗斯圆.即(3) 当Im(z )>0时，即11Im()011w w z w w ++=-⇒<--, 令w =u +i v 得221(1)i 2Im()Im()01(1)i (1)w u v v w u v u v +++-==<--+-+. 即v >0,故Im(z )>0的像为Im(w )>0.9. 求出一个将右半平面Re(z )>0映射成单位圆|w |<1的分式线性变换.解：设映射将右半平面z 0映射成w =0，则z 0关于轴对称点0z 的像为w =∞， 所以所求分式线性变换形式为00z z w k z z -=⋅-其中k 为常数. 又因为00z z w k z z -=⋅-,而虚轴上的点z 对应|w |=1,不妨设z =0，则 故000e (Re()0)i z z w z z z θ-=⋅>-.10. 映射e 1i z w zϕαα-=⋅-⋅将||1z <映射成||1w <,实数ϕ的几何意义显什么？ 解：因为 从而2i i 2221||1()e e (1||)1||w ϕϕαααα-'=⋅=⋅-- 所以i 2arg ()arge arg (1||)w ϕααϕ'=-⋅-=故ϕ表示i e 1z w zθαα-=⋅-在单位圆内α处的旋转角arg ()w α'. 11. 求将上半平面Im(z )>0,映射成|w |<1单位圆的分式线性变换w =f (z )，并满足条件(1) f (i)=0, arg (i)f '=0; (2) f (1)=1, f. 解：将上半平面Im(z )>0, 映为单位圆|w |<1的一般分式线性映射为w =k z z αα-⋅-(Im(α)>0). (1) 由f (i)=0得α=i ，又由arg (i)0f '=,即i 22i ()e (i)f z z θ'=⋅+, πi()21(i)e 02f θ-'==，得π2θ=，所以 i i iz w z -=⋅+. (2) 由f (1)=1,得k =11αα--；由f,得kα联立解得w =12. 求将|z |<1映射成|w |<1的分式线性变换w =f (z)，并满足条件：(1) f (12)=0, f (-1)=1.(2) f (12)=0, 12πarg ()2f '=, (3) f (a )=a , arg ()f a ϕ'=.解：将单位圆|z |<1映成单位圆|w |<1的分式线性映射，为 i e 1z w zθαα-=-⋅ , |α|<1. (1) 由f (12)=0，知12α=.又由f (-1)=1，知 1i i i 2121e e (1)1e 1π1θθθθ--⋅=-=⇒=-⇒=+. 故12221112z z z w z --=-⋅=--. (2) 由f (12)=0，知12α=，又i 254e (2)z w z θ-'=⋅- i 11224π()e arg ()32f f θθ''=⇒==， 于是 π21i 2221e ()i 12z z z w z --==⋅--. (3) 先求=()z ξϕ，使z =a 0ξ→=，arg ()a ϕθ'=,且|z |<1映成|ξ|<1.则可知 i =()=e 1z a z a zθξϕ-⋅-⋅ 再求w =g (ξ)，使ξ=0→w =a , arg (0)0g '=,且|ξ|<1映成|w |<1.先求其反函数=()w ξψ,它使|w|<1映为|ξ|<1,w =a 映为ξ=0，且arg ()arg(1/(0))0w g ψ''==,则 =()=1w a w a wξψ--⋅. 因此，所求w 由等式给出.i =e 11w a z a a w a zθ--⋅-⋅-⋅. 13. 求将顶点在0，1，i 的三角形式的内部映射为顶点依次为0，2，1+i 的三角形的内部的分式线性映射. 解：直接用交比不变性公式即可求得02w w --∶1i 01i 2+-+-=02z z --∶i 0i 1-- 2w w -.1i 21i +-+=1z z -.i 1i-4z (i 1)(1i)w z -=--+. 14. 求出将圆环域2<|z |<5映射为圆环域4<|w |<10且使f (5)=-4的分式线性映射.解：因为z=5,-5,-2,2映为w=-4,4,10,-10,由交比不变性，有2525-+∶2525---+=104104-+--∶104104+- 故w =f (z )应为55z z -+∶2525---+=44w w +-∶104105+- 即 44w w +-=55z z --+20w z⇒=-. 讨论求得映射是否合乎要求，由于w =f (z )将|z |=2映为|w |=10，且将z =5映为w =-4.所以|z |>2映为|w |<10.又w =f (z )将|z |=5映为|w |=4，将z =2映为w =-10，所以将|z |<5映为|w |>4，由此确认，此函数合乎要求.15.映射2w z =将z 平面上的曲线221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭映射到w 平面上的什么曲线？ 解：略.16. 映射w =e z 将下列区域映为什么图形.(1) 直线网Re(z )=C 1,Im(z )=C 2;(2) 带形区域Im(),02πz αβαβ<<≤<≤;(3) 半带形区域 Re()0,0Im(),02πz z αα><<≤≤.解：（1） 令z =x +i y , Re(z )=C 1,z =C 1+i y 1i =e e C y w ⇒⋅, Im(z )=C 2,则z =x +i C 22i =e e C x w ⇒⋅故=e z w 将直线Re(z )映成圆周1e C ρ=；直线Im(z )=C 2映为射线2C ϕ=.（2） 令z =x +i y ，y αβ<<,则i i =e e e e ,z x y x y w y αβ+==⋅<<故=e z w 将带形区域Im()z αβ<<映为arg()w αβ<<的张角为βα-的角形区域.（3） 令z =x +i y ，x >0，0<y < α, 02πα≤≤.则故=e zw 将半带形区域Re(z )>0,0<Im(z )<α, 02πα≤≤映为 |w |>1, 0arg w α<<(02πα≤≤).17. 求将单位圆的外部|z |>1保形映射为全平面除去线段-1<Re(w )<1,Im(w )=0的映射. 解：先用映射11w z=将|z |>1映为|w 1|<1,再用分式线性映射. 1211i 1w w w +=-⋅-将|w 1|<1映为上半平面Im(w 2)>0, 然后用幂函数232w w =映为有割痕为正实轴的全平面，最后用分式线性映射3311w w w -=+将区域映为有割痕[-1,1]的全平面. 故221121132222132111111i 1111111()11211i 1111z z z z w w w w w z w w z w w ⎛⎫⎛⎫++--⋅- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭=====+++⎛⎫⎛⎫++-⋅++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭. 18. 求出将割去负实轴Re()0z -∞<≤,Im(z )=0的带形区域ππI m ()22z -<<映射为半带形区域πIm()πw -<<,Re(w )>0的映射.解：用1e z w =将区域映为有割痕(0,1)的右半平面Re(w 1)>0；再用1211ln 1w w w +=-将半平面映为有割痕(-∞,-1]的单位圆外域；又用3w =将区域映为去上半单位圆内部的上半平面；再用43ln w w =将区域映为半带形0<Im(w 4)<π,Re(w 4)>0；最后用42i πw w =-映为所求区域，故e 1ln e 1z z w +=-. 19. 求将Im(z )<1去掉单位圆|z |<1保形映射为上半平面Im(w )>0的映射.解：略.20. 映射cos w z =将半带形区域0<Re(z )<π,Im(z )>0保形映射为∞平面上的什么区域.解：因为 1cos ()2iz iz w z e e -==+ 可以分解为 w 1=i z ，12e ww =，32211()2w w w =+ 由于cos w z =在所给区域单叶解析，所以（1） w 1=i z 将半带域旋转π2，映为0<Im(w 1)<π,Re(w 1)<0. （2） 12e w w =将区域映为单位圆的上半圆内部|w 2|<1,Im(w 2)>0.（3） 2211()2w w w =+将区域映为下半平面Im(w )<0.。

《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）:1.若f （z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z ）在z 0解析. （ ）2.有界整函数必在整个复平面为常数。

( ) 3。

若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ）4.若f （z ）在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f （z ）在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. （ ) 6。

若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。

( ） 7。

若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f （z)的可去奇点. ( )8。

若函数f （z ）在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠。

（ ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .（ ）10.若函数f(z ）在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数。

（ ） 二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2。

=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________。

5。

幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________。

6.若函数f （z ）在整个平面上处处解析，则称它是__________。

7。

若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8。

=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数。

9. zz sin 的孤立奇点为________ .10。

复变函数考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，则以下关系式中正确的是（）。

A. u_x = v_yB. u_y = -v_xC. u_x = -v_yD. u_y = v_x答案：B2. 复变函数中，柯西-黎曼方程成立的条件是（）。

A. u和v都是调和函数B. u和v都是解析函数C. u和v都是连续函数D. u和v都是可微函数答案：D3. 以下哪个函数是解析函数？（）A. f(z) = |z|B. f(z) = z^2C. f(z) = z^3D. f(z) = z^4答案：B4. 函数f(z)=e^z的实部和虚部分别是（）。

A. u(x,y)=e^x*cos(y), v(x,y)=e^x*sin(y)B. u(x,y)=e^x*sin(y), v(x,y)=e^x*cos(y)C. u(x,y)=e^x*cos(y), v(x,y)=e^x*sin(y)D. u(x,y)=e^x*sin(y), v(x,y)=e^x*cos(y)答案：C5. 以下哪个函数是多值函数？（）A. f(z) = log(z)B. f(z) = sin(z)C. f(z) = cos(z)D. f(z) = z^2答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 若f(z)=z^2，则f'(z)=________。

答案：2z2. 函数f(z)=z+1/z的极点是________。

答案：z=03. 函数f(z)=1/z的留数在z=0处为________。

答案：14. 函数f(z)=z^3的导数是________。

答案：3z^25. 函数f(z)=e^z的导数是________。

答案：e^z三、解答题（每题10分，共30分）1. 证明函数f(z)=z^2是解析函数，并求其导数。

答案：函数f(z)=z^2是解析函数，因为其满足柯西-黎曼方程。

设z=x+iy，则f(z)=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy。

第一章复数与复变函数(答案)一、选择题1．当时，的值等于（B ）ii z -+=115075100z z z ++（A ） （B ） （C ） （D ）i i -11-2．设复数满足，，那么（A ）z arg(2)3z π+=5arg(2)6z π-==z （A ） （B ） （C ） （D ）i 31+-i +-3i 2321+-i 2123+-3．复数的三角表示式是（D ）)2(tan πθπθ<<-=i z （A ） （B ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i )]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）（D ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i )]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若为非零复数，则与的关系是（C ）z 22z z -z z 2（A ） （B ）z z z z 222≥-z z z z 222=-（C ） （D ）不能比较大小z z zz 222≤-５．设为实数，且有，则动点y x ,yi x z yi x z +-=++=11,11211221=+z z 的轨迹是（B ）),(y x （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转，对应的复数为，则原向量对应的复数是（A ）3πi 31-（A ） （B ） （C ） （D ）2i 31+i -3i+3７．使得成立的复数是（D ）22z z =z（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数８．设为复数，则方程的解是（B ）z i z z +=+2（A ） （B ） （C ） （D ）i +-43i +43i -43i --43９．满足不等式的所有点构成的集合是（D ）2≤+-iz iz z （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域10．方程所代表的曲线是（C ）232=-+i z （A ）中心为，半径为的圆周 （B ）中心为，半径为２的圆周i 32-2i 32+-（C ）中心为，半径为的圆周　（D ）中心为，半径为２的圆周i 32+-2i 32-11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（B ）（A ） （B ）221=+-z z 433=--+z z （C ） （D ）)1(11<=--a azaz )0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设，则（C ）,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=12()f z z -=（A ） （B ） （C ） （D ）i 44--i 44+i 44-i 44+-13．（D ）000Im()Im()limz z z z z z →--（A ）等于 （B ）等于 （C ）等于 （D ）不存在i i -014．函数在点处连续的充要条件是（C ）),(),()(y x iv y x u z f +=000iy x z +=（A ）在处连续 （B ）在处连续),(y x u ),(00y x ),(y x v ),(00y x （C ）和在处连续（D ）在处连续),(y x u ),(y x v ),(00y x ),(),(y x v y x u +),(00y x15．设且，则函数的最小值为（A ）C z ∈1=z zz z z f 1)(2+-=（A ） （B ） （C ） （D ）3-2-1-1二、填空题1．设，则)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+==z 22．设，则)2)(32(i i z +--==z arg 8arctan -π3．设，则 43)arg(,5π=-=i z z =z i 21+-4．复数的指数表示式为 22)3sin 3(cos )5sin5(cos θθθθi i -+ie θ165．以方程的根的对应点为顶点的多边形的面积为 i z 1576-=６．不等式所表示的区域是曲线（或522<++-z z 522=++-z z ） 的内部1)23()25(2222=+y x ７．方程所表示曲线的直角坐标方程为 1)1(212=----zi iz 122=+y x ８．方程所表示的曲线是连接点 和 的线段的垂i z i z +-=-+22112i -+2i -直平分线９．对于映射，圆周的像曲线为zi =ω1)1(22=-+y x ()2211u v -+=10． =+++→)21(lim 421z z iz 12i -+三、若复数满足，试求的取值范围．z 03)21()21(=+++-+z i z i z z 2+z(（或）)]25,25[+-25225+≤+≤-z 四、设，在复数集中解方程.0≥a C a z z =+22(当时解为或10≤≤a i a )11(-±±)11(-+±a 当时解为)+∞≤≤a 1)11(-+±a 五、设复数，试证是实数的充要条件为或.i z ±≠21zz+1=z Im()0z =六、对于映射，求出圆周的像.)1(21zz +=ω4=z (像的参数方程为．表示平面上的椭圆)π≤θ≤⎪⎩⎪⎨⎧θ=θ=20sin 215cos 217v u w 1)215()217(2222=+v u 七、设，试讨论下列函数的连续性：iy x z +=1.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f 2..⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f (1．在复平面除去原点外连续，在原点处不连续；)(z f 2．在复平面处处连续))(z f 第二章 解析函数（答案）一、选择题：1．函数在点处是( B )23)(z z f =0=z（A ）解析的 （B ）可导的（C ）不可导的 （D ）既不解析也不可导2．函数在点可导是在点解析的( B ))(z f z )(z f z （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件也非必要条件3．下列命题中，正确的是( D )（A ）设为实数，则y x ,1)cos(≤+iy x （B ）若是函数的奇点，则在点不可导0z )(z f )(z f 0z （C ）若在区域内满足柯西-黎曼方程，则在内解析v u ,D iv u z f +=)(D （D ）若在区域内解析，则在内也解析)(z f D )(z if D 4．下列函数中，为解析函数的是( C )（A ） （B ）xyi y x 222--xyi x +2（C ） （D ）)2()1(222x x y i y x +-+-33iy x +5．函数在处的导数( A ))Im()(2z z z f =0z =（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于 （D ）不存在1-6．若函数在复平面内处处解析，那么实常)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=数( C )=a （A ） （B ） （C ） （D ）0122-7．如果在单位圆内处处为零，且，那么在内( C ))(z f '1<z 1)0(-=f 1<z ≡)(z f （A ） （B ） （C ） （D ）任意常数011-8．设函数在区域内有定义，则下列命题中，正确的是( C ))(z f D （A ）若在内是一常数，则在内是一常数)(z f D )(z f D （B ）若在内是一常数，则在内是一常数))(Re(z f D )(z f D （C ）若与在内解析，则在内是一常数)(z f )(z f D )(z f D（D ）若在内是一常数，则在内是一常数)(arg z f D )(z f D 9．设，则( A )22)(iy x z f +==+')1(i f （A ） （B ） （C ） （D ）2i 2i +1i 22+10．的主值为( D )ii （A ） （B ） （C ） （D ）012πe 2eπ-11．在复平面上( A )ze （A ）无可导点 （B ）有可导点，但不解析（C ）有可导点，且在可导点集上解析 （D ）处处解析12．设，则下列命题中，不正确的是( C )z z f sin )(=（A ）在复平面上处处解析 （B ）以为周期)(z f )(z f π2（C ） （D ）是无界的2)(iziz e e z f --=)(z f 13．设为任意实数，则( D )αα1（A ）无定义 （B ）等于1（C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于114．下列数中，为实数的是( B )（A ） （B ） （C ） （D ）3)1(i -i cos i ln e 23π-15．设是复数，则( C )α（A ）在复平面上处处解析 （B ）的模为αz αz αz（C ）一般是多值函数 （D ）的辐角为的辐角的倍αz αz z α二、填空题1．设，则i f f +='=1)0(,1)0(=-→zz f z 1)(limi +12．设在区域内是解析的，如果是实常数，那么在内是 常数iv u z f +=)(D v u +)(z f D3．导函数在区域内解析的充要条件为 可微且满足x vix u z f ∂∂+∂∂=')(D xvx u ∂∂∂∂, 222222,xvy x u y x v x u ∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂4．设，则2233)(y ix y x z f ++==+-')2323(i f i 827427-5．若解析函数的实部，那么或iv u z f +=)(22y x u -==)(z f ic xyi y x ++-222为实常数ic z +2c 6．函数仅在点处可导)Re()Im()(z z z z f -==z i 7．设，则方程的所有根为 z i z z f )1(51)(5+-=0)(='z f 3,2,1,0),424sin 424(cos 28=π+π+π+πk k i k 8．复数的模为ii ),2,1,0(2L ±±=π-k ek 9．=-)}43Im{ln(i 34arctan -10．方程的全部解为01=--ze),2,1,0(2L ±±=πk i k 三、试证下列函数在平面上解析，并分别求出其导数z 1．（）;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=;sin )(z z f -='2．（）);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx++-=.)1()(ze z zf +='四、已知，试确定解析函数.22y x v u -=-iv u z f +=)(（.为任意实常数）c i z i z f )1(21)(2++-=c 第三章 复变函数的积分（答案）一、选择题：1．设为从原点沿至的弧段，则( D )c x y =2i +1=+⎰cdz iy x )(2（A ）（B ） （C ） （D ）i 6561-i 6561+-i 6561--i 6561+2．设为不经过点与的正向简单闭曲线，则为( D)c 11-dz z z zc ⎰+-2)1)(1(（A ）（B ） （C ） （D ）(A)(B)(C)都有可能2iπ2iπ-03．设为负向，正向，则( B )1:1=z c 3:2=z c =⎰+=dz zzc c c 212sin （A ）（B ） （C ） （D ）i π2-0iπ2iπ44．设为正向圆周，则( C)c 2=z =-⎰dz z zc2)1(cos （A ） （B ） （C ） （D ）1sin -1sin 1sin 2i π-1sin 2i π5．设为正向圆周，则 ( B)c 21=z =--⎰dz z z z c23)1(21cos（A ） （B ） （C ） （D ）)1sin 1cos 3(2-i π01cos 6i π1sin 2i π-6．设，其中，则( A )ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(4≠z ='）i f π(（A ） （B ） （C ） （D ）i π2-1-i π217．设在单连通域内处处解析且不为零，为内任何一条简单闭曲线，则积分)(z f B c B( C )dz z f z f z f z f c⎰+'+'')()()(2)(（A ）于 （B ）等于 （C ）等于 （D ）不能确定i π2i π2-08．设是从到的直线段，则积分（ A ）c 0i 21π+=⎰cz dz ze （A ） (B) (C) (D) 21eπ-21eπ--i e21π+ie21π-9．设为正向圆周，则( A )c 0222=-+x y x =-⎰dz z z c1)4sin(2π（A ）（B ） （C ） （D ）i π22i π20i π22-10．设为正向圆周，则( C)c i a i z ≠=-,1=-⎰cdz i a zz 2)(cos （A ） （B ）（C ） （D ）ie π2eiπ20i i cos 11．设在区域内解析，为内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于．如果)(z f D c D D 在上的值为2，那么对内任一点,( C ))(z f c c 0z )(0z f （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定12．下列命题中，不正确的是( D )（A ）积分的值与半径的大小无关⎰=--ra z dz az 1)0(>r r （B ）,其中为连接到的线段2)(22≤+⎰cdz iy xc i -i （C ）若在区域内有，则在内存在且解析D )()(z g z f ='D )(z g '（D ）若在内解析，且沿任何圆周的积分等于零，则)(z f 10<<z )10(:<<=r r z c 在处解析)(z f 0=z 13．设为任意实常数，那么由调和函数确定的解析函数是 ( D)c 22y x u -=iv u z f +=)((A) （B ） （C ） （D ）c iz +2ic iz +2c z +2ic z +214．下列命题中，正确的是(C)（A ）设在区域内均为的共轭调和函数，则必有21,v v D u 21v v =（B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C ）若在区域内解析，则为内的调和函数iv u z f +=)(D xu∂∂D （D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设在区域内为的共轭调和函数，则下列函数中为内解析函数的是( ),(y x v D ),(y x u D B )（A ） （B ）),(),(y x iu y x v +),(),(y x iu y x v -（C ） （D ）),(),(y x iv y x u -xv i x u ∂∂-∂∂二、填空题1．设为沿原点到点的直线段，则 2c 0=z i z +=1=⎰cdz z 22．设为正向圆周，则c 14=-z =-+-⎰c dz z z z 22)4(23i π103．设,其中，则 0 ⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f 2≠z =')3(f 4．设为正向圆周，则=+⎰cdz zzz c 3=z i π65．设为负向圆周，则 c 4=z =-⎰c z dz i z e 5)(π12iπ6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 平均值7．设在单连通域内连续，且对于内任何一条简单闭曲线都有，)(z f B B c 0)(=⎰cdz z f 那么在内 解析)(z f B 8．调和函数的共轭调和函数为xy y x =),(ϕC x y +-)(21229．若函数为某一解析函数的虚部，则常数 -323),(axy x y x u +==a 10．设的共轭调和函数为，那么的共轭调和函数为 ),(y x u ),(y x v ),(y x v ),(y x u -三、计算积分1.,其中且;⎰=+-R z dz z z z)2)(1(621,0≠>R R 2≠R （当时，； 当时，； 当时，）10<<R 021<<R i π8+∞<<R 202.．（0）⎰=++22422z z z dz四、求积分，从而证明.（）⎰=1z zdz z e πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e i π2五、若，试求解析函数.)(22y x u u +=iv u z f +=)(（（为任意实常数））321ln 2)(ic c z c z f ++=321,,c c c 第四章 级 数（答案）一、选择题：1．设，则( C )),2,1(4)1(L =++-=n n nia n n n n a ∞→lim （A ）等于 （B ）等于 （C ）等于 （D ）不存在01i2．下列级数中，条件收敛的级数为( C )（A ） （B ）∑∞=+1)231(n n i ∑∞=+1!)43(n nn i （C ） （D ）∑∞=1n n n i ∑∞=++-11)1(n n n i3．下列级数中，绝对收敛的级数为(D )（B ） （B ）∑∞=+1)1(1n n i n ∑∞=+-1]2)1([n n n in (C) （D ）∑∞=2ln n n n i ∑∞=-12)1(n n nn i 4．若幂级数在处收敛，那么该级数在处的敛散性为( A )∑∞=0n n nz ci z 21+=2=z （A ）绝对收敛 （B ）条件收敛（C ）发散 （D ）不能确定5．设幂级数和的收敛半径分别为，则∑∑∞=-∞=01,n n n n nnznc z c∑∞=++011n n n z n c 321,,R R R 之间的关系是( D )321,,R R R （A ） （B ） 321R R R <<321R R R >>（C ） （D ）321R R R <=321R R R ==6．设，则幂级数的收敛半径( D )10<<q ∑∞=02n n n z q =R （A ） （B ）（C ） （D ）q q10∞+7．幂级数的收敛半径( B )∑∞=1)2(2sinn n z n n π=R（A ）（B ） （C ） （D ）122∞+8．幂级数在内的和函数为( A )∑∞=++-011)1(n n n z n 1<z （A ） （B ）)1ln(z +)1ln(z -（D ） (D) z +11lnz-11ln 9．设函数的泰勒展开式为，那么幂级数的收敛半径( C )z e z cos ∑∞=0n n n z c ∑∞=0n nn z c =R （A ） （B ） （C ）（D ）∞+12ππ10．级数的收敛域是( B )L +++++22111z z z z（A ） （B ） （C ） （D ）不存在的1<z 10<<z +∞<<z 111．函数在处的泰勒展开式为( D)21z1-=z （A ）（B ）)11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n （C ） （D ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n )11()1(11<++∑∞=-z z n n n 12．函数，在处的泰勒展开式为( B )z sin 2π=z （A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n nn （C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n （D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n nn 13．设在圆环域内的洛朗展开式为，为内)(z f 201:R z z R H <-<∑∞-∞=-n n nz z c)(0c H 绕的任一条正向简单闭曲线，那么( B )0z =-⎰c dz z z z f 20)()((A) （B ） （C ） （D ）12-ic π12ic π22ic π)(20z f i 'π14．若，则双边幂级数的收敛域为( A )⎩⎨⎧--==-+=L L ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ∑∞-∞=n nn z c （A ）（B ） 3141<<z 43<<z （C ）（D ）+∞<<z 41+∞<<z 3115．设函数在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有个，那么)4)(1(1)(++=z z z z f m ( C )=m （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题1．若幂级数在处发散，那么该级数在处的收敛性为 发散∑∞=+0)(n n ni z ci z =2=z 2．设幂级数与的收敛半径分别为和，那么与之间的关∑∞=0n nnz c∑∞=0)][Re(n n n z c 1R 2R 1R 2R系是 ．12R R ≥3．幂级数的收敛半径∑∞=+012)2(n n nz i =R 224．设在区域内解析，为内的一点，为到的边界上各点的最短距离，那么)(z f D 0z d 0z D 当时，成立，其中d z z <-0∑∞=-=0)()(n n nz z cz f 或=n c ),2,1,0()(!10)(L =n z f n n （）．)0,2,1,0()()(21010d r n dz z z z f irz z n <<=-π⎰=-+L 5．函数在处的泰勒展开式为 ．z arctan 0=z )1(12)1(012<+-∑∞=+z z n n n n 6．设幂级数的收敛半径为，那么幂级数的收敛半径为∑∞=0n nn z c R ∑∞=-0)12(n n n n z c 2R ．7．双边幂级数的收敛域为 ．∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 211<-<z 8．函数在内洛朗展开式为 ．zze e 1++∞<<z 0nn nn z n z n ∑∑∞=∞=+00!11!19．设函数在原点的去心邻域内的洛朗展开式为，那么该洛朗级数z cot R z <<0∑∞-∞=n n nz c收敛域的外半径 ．=R π10．函数在内的洛朗展开式为)(1i z z -+∞<-<i z 1∑∞=+--02)()1(n n n n i z i三、若函数在处的泰勒展开式为，则称为菲波那契(Fibonacci)211z z --0=z ∑∞=0n nn z a {}n a 数列，试确定满足的递推关系式，并明确给出的表达式．n a n a （，)2(,12110≥+===--n a a a a a n n n ）),2,1,0(}251()251{(5111L =--+=++n a n n n 四、求幂级数的和函数，并计算之值.∑∞=12n nz n ∑∞=122n n n （，）3)1()1()(z z z z f -+=6五、将函数在内展开成洛朗级数.)1()2ln(--z z z 110<-<z （）n n nk k z k n z z z z z z )1(1)1(()2ln(111)1()2ln(001-+--=-⋅⋅-=--∑∑∞==+第五章 留 数(答案)一、选择题：1．函数在内的奇点个数为 ( D )32cot -πz z2=-i z （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42．设函数与分别以为本性奇点与级极点，则为函数)(z f )(z g a z =m a z =)()(z g z f 的( B )（A ）可去奇点 （B ）本性奇点（C ）级极点 （D ）小于级的极点m m 3．设为函数的级极点，那么( C )0=z zz e xsin 142-m =m（A ）5 （B ）4 (C)3 （D ）24．是函数的( D )1=z 11sin)1(--z z (A)可去奇点 （B ）一级极点（C ） 一级零点 （D ）本性奇点5．是函数的( B )∞=z 2323z z z ++(A)可去奇点 （B ）一级极点（C ） 二级极点 （D ）本性奇点6．设在内解析，为正整数，那么( C )∑∞==)(n n n z a z f R z <k =]0,)([Re kz z f s （A ） （B ） （C ） （D ）k a k a k !1-k a 1)!1(--k a k 7．设为解析函数的级零点，那么='],)()([Re a z f z f s ( A )a z =)(z f m (A) （B ） （C ） （D ）m m -1-m )1(--m 8．在下列函数中，的是（ D ）0]0),([Re =z f s （A ）（B ）21)(ze zf z -=z z z z f 1sin )(-=（C ） (D) z z z z f cos sin )(+=ze zf z 111)(--=9．下列命题中，正确的是( C )（A ）设，在点解析，为自然数，则为的)()()(0z z z z f mϕ--=)(z ϕ0z m 0z )(z f 级极点．m （B ）如果无穷远点是函数的可去奇点，那么∞)(z f 0]),([Re =∞z f s （C ）若为偶函数的一个孤立奇点，则0=z )(z f 0]0),([Re =z f s（D ）若，则在内无奇点0)(=⎰c dz z f )(z f c 10． ( A )=∞],2cos[Re 3ziz s （A ） （B ） （C ） （D ）32-32i 32i32-11． ( B)=-],[Re 12i e z s iz （A ） （B ） （C ） （D ）i +-61i +-65i +61i +6512．下列命题中，不正确的是( D)（A ）若是的可去奇点或解析点，则)(0∞≠z )(z f 0]),([Re 0=z z f s （B ）若与在解析，为的一级零点，则)(z P )(z Q 0z 0z )(z Q )()(],)()([Re 000z Q z P z z Q z P s '=（C ）若为的级极点，为自然数，则0z )(z f m m n ≥)]()[(lim !1]),([Re 1000z f z z dzd n z z f s n n nx x +→-=（D ）如果无穷远点为的一级极点，则为的一级极点，并且∞)(z f 0=z )1(zf )1(lim ]),([Re 0zzf z f s z →=∞13．设为正整数，则( A )1>n =-⎰=211z ndz z (A) （B ） （C ）（D ）0i π2niπ2i n π214．积分( B )=-⎰=231091z dz z z （A ） （B ） （C ） （D ）0i π2105iπ15．积分( C )=⎰=121sin z dz z z （A ） （B ） （C ） （D ）061-3i π-iπ-二、填空题1．设为函数的级零点，那么 9 ．0=z 33sin z z -m =m 2．函数在其孤立奇点处的留数zz f 1cos1)(=),2,1,0(21L L ±±=+=k k z k ππ．=]),([Re k z z f s 2)2()1(π+π-k k3．设函数，则 0 }1exp{)(22zz z f +==]0),([Re z f s 4．设为函数的级极点，那么 ．a z =)(z f m ='],)()([Re a z f z f s m -5．设，则 -2 ．212)(zzz f +==∞]),([Re z f s 6．设，则 ．5cos 1)(z z z f -==]0),([Re z f s 241-7．积分．=⎰=113z zdz e z 12iπ8．积分．=⎰=1sin 1z dz z i π2三、计算积分．()⎰=--412)1(sin z z dz z e z z i π-316四、设为的孤立奇点，为正整数，试证为的级极点的充要条件是a )(z f m a )(z f m ，其中为有限数．b z f a z m az =-→)()(lim 0≠b 五、设为的孤立奇点，试证：若是奇函数，则；a )(z f )(z f ]),([Re ]),([Re a z f s a z f s -=若是偶函数，则．)(z f ]),([Re ]),([Re a z f s a z f s --=。

《复变函数与积分变换》(刘进波 版)参考答案习题一1. 求下列复数的实部、虚部、模、辐角及共轭复数：(1) ()Re 131=，()Im 133=132=，()Arg 1323k ππ+=+13i 13+=；(2)12i 2i 168i 34i 5i 25--+-=-12i 2i 16Re 34i 5i 25--⎛⎫⇒-= ⎪-⎝⎭，12i 2i 8Im 34i 5i 25--⎛⎫-=⎪-⎝⎭，12i 2i 8534i 5i25---=-， 12i 2i 3Arg 2arctan 34i 5i 4k π--⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭，12i 2i 168i 34i 5i 25----=-； (3) 10010051(1i)(1i)2++-=-10010051Re (1i)(1i)2⎡⎤⇒++-=-⎣⎦，100100Im (1i)(1i)0⎡⎤++-=⎣⎦，10010051(1i)(1i)2++-=，100100Arg (1i)(1i)2k ππ⎡⎤++-=+⎣⎦，10010051(1i)(1i)2++-=-； (4) 821i 4i i 13i -+=-()821Re i 4i i 1⇒-+=，()821Im i 4i i 3-+=-，821i 4i i 10-+=，()821Arg i 4i i 2arctan3k π-+=-，821i 4i i 13i -+=+；(5) i i 3313e e cos isin 233nnn n n ππππ⎛⎫⎛⎫+===+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13Re cos 23nn π⎛⎫+⇒= ⎪ ⎪⎝⎭，13Im sin 23nn π⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 1312n ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，13i Arg 23n n k ππ+=+⎝⎭，13i 13i cos isin 33n nn n ππ+-=-=⎝⎭⎝⎭.2. 把下列复数化为三角表示式及指数表示式：(1) 1i arctan 611122i 237cos arctan isin arctan 23766πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎤⎛⎫⎛⎫--=-+-= ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦；(2) 5i 655232i 4cos isin 4e 66πππ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭；(3) )2i 1i tan 1tan cosarctan tan isin arctan tan sec (cos isin )sec e θθθθθθθθθ+=++=+=； (4) 1sin i cos 02πααα⎛⎫++≤≤= ⎪⎝⎭21cos isin 2cos 2isin 224242πππαπααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos 42πα⎛⎫- ⎪⎝⎭2i 422222cos cos isin 2cose 4444παπαπαπαπα-----⎛⎫=+= ⎪⎝⎭； (5) ()()2i42i8i1433i6i2e (cos 4isin 4)e e cos14isin14(cos 2isin 2)ee θθθθθθθθθθθ--+====+-； (6) ()222(1i)sinisin isin 0(1i)(1i)sin i 2sin cos 22222θθθθθθθπ⎛⎫-++<<=-++ ⎪⎝⎭ i 22sin sin i cos 2sin cos isin 2sin e2222222πθθθθθπθπθθ---⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3. 指出复数z 与复数i z -的关系.复数i z -所对应的向量是将复数z 所对应的向量大小不变，顺时针旋转90而得，因而它们是垂直的.4. 求下列各式的值：(1) 441i (i)11i -⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭； (2) )8887443i 2cos isin 2cos isin2(136633ππππ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-=-+⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭； (3) 2i551e,0,1,2,3,4k k ππ+-==；(4)284ii44821i 22,0,1k k k ππππ+++===.5. 解下列方程或方程组：(1) 23(1i)5i 0z z -++=；判别式[]23(1i)45i 2i ∆=+-⨯=-，从而3(1i)2i2z +-==22i23(1i)23(1i)1i (0,1)22k k ππ-+++-==或3(1i)(1i)2i 2++-+=+或12i +；(2) 440(0)z a a +=>；2i44444e,0,1,2,3k z a z a a k ππ+⇒=-⇒=-==，即i42e (1i)2a a π=+， 3i42e(1i)2a π=-+，5i 42e (1i)2a a π=--，7i 42e (1i)2a a π=-； (3) 121221i,3i 23i,z z z z +=+⎧⎨+=-⎩由克兰姆法则得，11i 223i i 1i 123i z +-==-，211i323i i 123iz +-==. 6. 试用cos ϕ与sin ϕ表示sin 6ϕ与cos6ϕ.由棣莫弗公式有，()6cos isin cos6isin 6ϕϕϕϕ+=+，而()6642cos isin cos15cos sin ϕϕϕϕϕ+=-()246533515cos sin sin i 6cos sin 20cos sin 6cos sin ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+-+-+，根据两复数相等得642246cos 6cos 15cos sin 15cos sin sin ϕϕϕϕϕϕϕ=-+-， 5335sin 66cos sin 20cos sin 6cos sin ϕϕϕϕϕϕϕ=-+.7. 试利用1211(1)1n nz z z z z z+-++++=≠-，推导下列等式：(1) 1sin sin221cos cos 2cos 2sin2n n θθθθθθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭++++=； (2) 1cos cos 22sin sin 2sin 2sin2n n θθθθθθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+++=.由于i(1)i i2i i 1e 1e e e 1en n θθθθθ+-++++=-，根据棣莫弗公式()i cos isin cos isin e n n n n ϕϕϕϕϕ+=+=，有 ()1cos(1)isin(1)1cos cos 2cos i sin sin 2sin 1cos isin n n n n θθθθθθθθθθ-+-+++++++++=--2111cos isin 22222sin i 2sin cos222n n θθθθθθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=- 221111cos sin cos cos sin sin i cos sin sin cos 22222222222sin sin i cos 222n n n n θθθθθθθθθθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⎛⎫- ⎪⎝⎭221111cos sin cos cos sin sin i cos sin sin cos 22222222222sin sin i cos 222n n n n θθθθθθθθθθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⎛⎫- ⎪⎝⎭11sin sin i cos cos sin i cos 2222222sin sin i cos 222n n θθθθθθθθθ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭11sin sin i cos cos 22222sin2n n θθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，再由两复数相等得结论成立.8. 设ω是1的n 次方根，但1ω≠，试证ω满足方程2110n z z z -++++=.由于ω是1的n 次方根，故1n ω=， 从而121(1)(1)0n n ωωωωω--=-++++=，又1ω≠，所以 1210n ωωω-++++=，即结论成立. 9. 若复数i p q +是实系数方程11100n n n n a z a z a z a --++++=的根，那么i p q -也是它的根，试证之.因为i p q +是方程11100n n n n a z a z a z a --++++=的根，从而111(i )(i )(n n n n a p q a p q a p --++++++0i )0q a +=，则1110(i )(i )(i )0n n n n a p q a p q a p q a --+++++++=，又i a 为实数且共轭满足四则运算，所以()()()1110i i i 0nn n n a p qa p qa p q a --+++++++=，由此可以看出，i p q -也是该方程的根．10. 证明：()22221212122z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义.左边()()()1212121211222z z z z z z z z z z z z =+++--=+=右边. 它的几何意义是平行四边形两对角线的平方和等于它的各边平方之和.11. 试证：i a b +，0，1i a b -+三点共直线；i a b +，1ia b -+，1-，1四点共圆周(0)b ≠.(1) 记这三个点分别为123,,z z z ，则只需证明向量1232,z z z z --共线. 由于3222i i bz z a b a b -===-++12222211(i )()a b z z a b a b-+=--++，所以结论成立； (2) 记1i,z a b =+21,z =31,iz a b =-+41z =-，则只需证明13142324:z z z z z z z z --=--实常数. 代入验证确实成立，所以结论成立.12. 设复数123,,z z z 满足13213123z z z z z z z z --=--，试证：213123z z z z z z -=-=-.证法一：由等比性质()()()()21131323213123312321z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z -+----===---+--211323312321z z z z z z kz z z z z z ∆---⇒===---2213123z z k z z k z z ⇒-=-=-321k z z =-31k ⇒=，而k 是实数，所以1k =，从而结论成立.证法二：1313212121311331233123arg arg arg()arg()arg()z z z z z z z zz z z z z z z z z z z z z z ----=⇒=⇒---=------23arg()z z -213132z z z z z z ⇒∠=∠2132z z z z ⇒-=-（三角形中等角对等边）213132121212331131331233123z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ----=⇒=⇒--=--=-----，所以结论成立.13. 求下列方程所表示的曲线（其中t 为实参数）：(1) (1i)z t =+,x t y x y t =⎧⇒⇒=⎨=⎩(表示一条直线)； (2) cos i sin z a t b t =+2222cos ,1sin x a t x y y b t a b =⎧⇒⇒+=⎨=⎩ (当a b =时，表示圆；当a b ≠时，表示椭圆)； (3) i (0)z t t t =+≠,11x t xy y t =⎧⎪⇒⇒=⎨=⎪⎩(表示等轴双曲线)；(4)i e t z a r =+()()222Re cos ,Re Im Im sin x a r t x a y a r y a r t=+⎧⇒⇒-+-=⎨=+⎩ (表示圆). 14. 求下列方程所表示的曲线：(1) 121222z z z z -=⇒-=++2222(1)4(2)x y x y ⎡⎤⇒-+=++⎣⎦22(3)4x y ⇒++=，表示圆周； (2)22Re z a =（a 为实常数）222x y a ⇒-=，表示等轴双曲线；(3) 111z a z a az az -=⇒-=--221()()(1)(1)z a az z a z a az az ⇒-=-⇒--=--221z a ⇒+=22a z+()222111a z a z ⇒-=-⇒=，表示单位圆周； (4) zz az az bb --=（,a b 为复常数）记00i a x y =+，则20000(i )(i )(i )(i )z x y x y x y x y --+-+-=2222220000()()b x x y y b x y ⇒-+-=++，表示以a 为圆心22a b +. 15. 描出满足下列不等式的点z 的轨迹图形，并指出它们是何类型的平面点集：(1) i 3z +<；表示以i -为圆心，3为半径的圆的内部（不含圆周），是有界单连通区域； (2)34i 2z --≥；表示以34i +为圆心，2为半径的圆的外部（含圆周），是无界多连通闭区域； (3) 1122i 4i 224z z <-≤⇒<-≤；表示以i 为圆心，以14为小圆半径，2为大圆半径的圆环内部（不含小圆圆周，但含大圆圆周），是有界集，不是区域，也不是闭区域； (4)arg(2i),262z z ππ<-<>；表示y 轴与直线122y x =+所夹的位于第一象限的角形域（不含边界），是无界单连通区域； (5) i 3arg0arg(i)2i 44z z πππ--<<⇒<-<；表示直线1y =轴与直线1y x =-所夹的跨一二象限的钝角角形域（不含边界），是无界单连通区域； (6)11Im 22z y ≥⇒≥；表示位于直线12y =上面的半平面（含直线），是无界单连通闭区域；(7)31322z z z z -≥⇒-≥--2222(3)(2)x y x y ⇒-+≥-+52x ⇒≤；表示位于直线52x =左边的半平面（含直线），是无界单连通闭区域； (8) 22225125944x y z z -++<⇒+=；表示该椭圆的内部（不含椭圆），是有界单连通区域； (9) 22122331944x y z z ⎛⎫+ ⎪⎝⎭--+>⇒->；表示该双曲线的内部（不含双曲线），是无界集，不是区域；(10) Re 1z z +≤212y x -⇒≤；表示开口向左的抛物线212y x -=的内部（含抛物线），是无界单连通闭区域； (11)1(1)1z aa az-<<-；由14题(3)得1z <，表示单位圆的内部（不含圆周），是有界单连通区域.16. 函数2z ω=把z 平面上的直线段Re 1z =，1Im 1z -≤≤映射成ω平面上的什么曲线？先求出复变函数对应的两个实函数：222222,i (i )i 22.u x y z u v x y x y xy v xy ω⎧=-=⇒+=+=-+⇒⎨=⎩22Re 1,1,1,1[0,1],1Im 11122[2,2].z x u y u y z y v y v y ==⎧⎧=-=-∈⎧⎧⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨-≤≤-≤≤==∈-⎩⎩⎩⎩ 所以该直线段映射成ω平面上的矩形闭区域0Re 1ω≤≤，2Im 2ω-≤≤.17. 函数1zω=把z 平面上的下列曲线映射成ω平面上的什么曲线？ (1) 224x y +=； (2)1x =； (3)y x =； (4) 222x y x +=.先求出复变函数对应的两个实函数：222222,11i i i .x u x y x y u v y z x y x y v x y ω⎧=⎪+-⎪=⇒+==⇒⎨-++⎪=⎪+⎩(1) 2222,141644x u x y u v yv ⎧=⎪+⎪⇒+==⎨-⎪=⎪⎩，所以224x y +=对应圆周2214u v +=； (2) 2222221,1111u y v u y u y u u v v v y u ⎧=⎪+⎪⇒=-⇒==⎨-+⎛⎫⎪=+- ⎪⎪+⎩⎝⎭22221124u v u u v ⎛⎫⇒+=⇒-+= ⎪⎝⎭，所以1x = 对应圆周221124u v ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭；(3) 2222,x u x x v u x v x x ⎧=⎪⎪+⇒=-⎨-⎪=⎪+⎩，所以y x =对应直线v u =-；(4) 1,,12212R22x u u x u y y v v x x ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-⎪⎪=-∈=⎪⎪⎩⎩，所以222x y x +=对应直线12u =.18. 设i z x y =+，求证函数322,0()0,0xy z f z x y z ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩在原点处连续.要证()f z 在原点处连续，只需证220(,)(0,0)lim ()lim(0)0z x y xy f z f x y →→===+. 证法一： cos 343sin 232220(,)(0,0)00cos sin lim ()limlim lim cos sin 0(0)x r y r z x y r r xyr f z r f x y rθθθθθθ==→→→→=====+； 证法二：3222222100(0)2xy xy y y y x y x y ≤=≤→→++，所以322(,)(0,0)lim 0x y xy x y →=+. 19. 试证arg (arg )z z ππ-<≤在负实轴上（包含原点）不连续，除此外在z 平面上处处连续.当0z =时，函数arg z 无定义，所以arg z 在原点不连续；当0z 为负实数时，由于0Im 0lim arg z z z z π→>=，而0Im 0lim arg z z z z π→<=-，所以arg z 在负实轴上不连续；设00z ≠且不为负实数，此时对任意使角形域00arg arg arg z z z εε-<<+不含负实轴的0ε>，取0sin 0z δε=>，当0z z δ-<时，00()()arg arg f z f z z z ε-=-<，所以arg z 在0z 处连续.习题二1. 用定义证明：211z z '⎛⎫=- ⎪⎝⎭.20011lim lim()z z z z z z z z z z z z z ∆→∆→-'-∆⎛⎫+∆===- ⎪∆+∆∆⎝⎭. 2. 试证函数333322i(),0,()0,0x y x y z f z x yz ⎧-++≠⎪=+⎨⎪=⎩在原点满足C -R 方程，但不可导. 33222222,0,,0,0x y x y x y u x y ⎧-+≠⎪+=⎨⎪+=⎩33222222,0,0,0x y x y x y v x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩，3200(0,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x x u x u x u x x →→+-===，同理可得(0,0)1y u =-，(0,0)(0,0)1x y v v ==，显然C -R 方程成立； 又0()(0)(0)limz f z f f z→-'== 33333333222200i()i()lim lim i (i )z z x y x y x y x y x y x y x y x y →→-++-+++=+++，当z 沿实轴趋于0时，极限为330(1i)lim 1i x x x →+=+，当z 沿直线y x =趋于0时，极限为3330(1i)(1i)i 1ilim 2(1i)1i 2y x x x x =→+--+==++，所以函数在原点不可导. 3. 判断下列函数的可导性与解析性：(1) 212w z z =-- 这是多项式，故它处处可导，从而处处解析；(2) 211w z =- 这是有理函数，只在分母的零点1z =±处不可导，所以在1z ≠±内处处可导，处处解析； (3) 21,,,Im Re 0,2x y xy u y u x u xy x w z z z v v y v y =-=⎧=-⎧⎪=-⇒⇒⎨⎨===⎪⎩⎩，显然以上四个偏导数处处连续，由C -R 方程得12,0,01y y x x y -==⎧⎧⇒⎨⎨==-⎩⎩，所以该函数只在i z =-处可导，处处不解析； (4) az bw cz d+=+（,,,R a b c d ∈且,c d 不同时为零） 若0c =，则0d ≠，此时函数在全平面都可导，都解析；若0c ≠，则函数为有理函数，在dz c≠-内处处可导，处处解析；(5) w x y =-1,1,,00x y x y u u u x y v v v ==-⎧=-⎧⎪⇒⇒⎨⎨===⎩⎪⎩，显然C -R 方程处处不成立，所以该函数处处不可导，处处不解析；(6) 22i w xy x y =+2222,2,,2,x y x y u y u xy u xy v x y v xy v x ⎧==⎧=⎪⎪⇒⇒⎨⎨===⎪⎩⎪⎩，显然以上四个偏导数处处连续，由C -R 方程得220,,022x y x y xy xy =⎧=⎧⇒⎨⎨==-⎩⎩，所以该函数只在0z =处可导，处处不解析. 4. 设函数()()3232()i f z my nx y x lxy =+++是C 上的解析函数，试求,,l m n 的值：由于()f z 在C 上解析，故()f z 在上满足C -R 方程，即222222,3,1,333nxy lxy l m n my nx x ly=⎧⇒=-==-⎨+=--⎩.5. 试证函数()e (cos sin )ie (cos sin )x xf z x y y y y y x y =-++在C 上解析，并求()f z '.e (cos sin ),e (cos sin )x xu x y y y v y y x y =-=+ e (cos sin cos ),e (sin cos sin ),xx xy u x y y y y u x y y y y ⎧=-+⎪⇒⎨=-++⎪⎩e (cos sin sin ),e (cos cos sin ),xx xy v y y x y y v y x y y y ⎧=++⎪⎨=+-⎪⎩显然以上四个偏导数处处连续，且处处满足C -R 方程，所以该函数在C 上解析，()i e (cos sin cos )i e (cos sin sin )(1)e x x zx x f z u v x y y y y y y x y y z '=+=-++++=+.6. 设函数()f z 在区域D 内解析，且满足下列条件之一，试证()f z 在区域D 内是一个常数： (1) ()0f z '=；(2) ()f z 在D 内解析；(3) Re ()f z 或Im ()f z 在D 内是一个常数；(4) au bv c +=，其中,,a b c 是不全为零的实常数.()(,)i (,)f z u x y v x y =+在区域D 内解析,x y yx u v u v =⎧⎪⇒⎨=-⎪⎩，若()(,)i (,)f z u x y v x y =+在区域D 内是一个常数，则0x y y x u u v v ====，又当0x y u u ==时，可得(,)u x y =常数，从而只需证明0x y u u ==即可.(1) ()(,)i (,)(,)i (,)0x x x y f z u x y v x y u x y u x y '=+=-=0x y u u ⇒==；(2) ()(,)i (,)f z u x y v x y =-在D 内解析(),()x y y y x x u v v u v v =-=-⎧⎪⇒⎨=--=⎪⎩，又,x y yx u v u v =⎧⎪⎨=-⎪⎩0x y u u ⇒==； (3) Re ()(,)f z u x y ==常数0x y u u ⇒==或Im ()(,)f z v x y ==常数0,0x y y x u v u v ⇒===-=；(4) au bv c +=0,0x x y y au bv au bv +=⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩，又,x y y xu v u v =⎧⎪⎨=-⎪⎩0,0x y x y au bu bu au -=⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩，由于,,a b c 是不全为零的实常数，所以0x y u u ==.7. 设()f z 是区域D 内的解析函数，试证()i ()F z f z =是区域D 内的解析函数.由于()f z 在区域D 内解析，则满足x y y xu v ⎧⎪⎨=-⎪⎩，又()i ()i()i i Δ i F z f z u iv v u v u U V ==-=+=-+，故,U v V u =⎧⎨=-⎩，从而,x x y y y y x x U v u V U v u V ==-=⎧⎪⎨===-⎪⎩，另外,u v 的可微性能保证,U V 的可微性，所以结论成立．8. 如果()(,)i (,)f z u x y v x y =+是区域D 内的解析函数，且()0()f z z D '≠∈，则1(,)u x y C =，2(,)v x y C =（12,C C 为常数）是D 内的两组正交曲线族.因()i 0x x f z u v '=+≠()z D ∈，故在点(,)x y ，x u 与x v 必不全为零.(1) 设在点(,)x y ，0x u ≠且0x v ≠，则曲线1(,)u x y C =的斜率由0x y du u dx u dy ==+，求得xu yu k u =-. 同理，曲线2(,)v x y C =的斜率为xv y v k v =-，故在此点1y x x x u v y y x yv u v v k k C R u v v v =-=--. 结论成立. (2) 设在点(,)x y ，0x u ≠且0x v =，或0x u =且0x v ≠，此时过交点的两条切线，必然一条为水平切线，另一条为铅直切线，它们仍然在交点处正交.9. 试证明C -R 条件的极坐标形式为11,u v v ur r r r θθ∂∂∂∂==-∂∂∂∂. 令θcos r x =，θsin r y =，利用复合函数的求导法则和C -R 方程，得θθsin cos yux u r u ∂∂+∂∂=∂∂， θθθcos )sin (r y v r x v v ∂∂+-∂∂=∂∂θθcos sin r x u r y u ∂∂+∂∂=r u r ∂∂=， 即θ∂∂=∂∂v r r u 1． 又θθθcos )sin (r y u r x u u ∂∂+-∂∂=∂∂， θθsin cos y v x v r v ∂∂+∂∂=∂∂θθsin cos xu y u ∂∂+∂∂-= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=θθsin cos 1r x ur y u r θ∂∂-=u r 1，即θ∂∂-=∂∂u r r v 1． 10. 将下列函数值表示成i x y +的形式.(1) 3i3ee (cos1isin1)+=+；(2) ()1Ln(24i)ln 24i i 2iarg(24i)ln 20i 2arctan 22k k ππ-=-++-=+-，k ∈Z ； (3) i(1i)i(1i)1i 1i 11e e e e e e e e sin(1i)(i)sin1i cos12i 222+-+-+-----+-+==-=+；(4) ii ii 1e e e e cosi 22--++==； (5) ()i iLn2i(ln2i2)22e e e cosln 2isinln 2k k ππ+===+，k ∈Z ；(6) i 2i2i 2iiLn(1i)4411(1i)eeecos ln 2isin ln 222k k ππππ⎛⎫++-⎪+⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫+===+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，k ∈Z ； 11. 证明下列恒等式：(1) 右()()2222i i i i i i i i e e e e e ee e 22i 4z z z z z zzz----++-⎛⎫⎛⎫+-=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()22i i 2e 2e 4z z -+=i2i2e e 2z z -+==左；(2) 右22e e e e e e 2222z zz z zz---+--===左. 12. 解下列方程：(1) ()(1e 15Ln 15ln 6i 252zz k π=⇒==++，k ∈Z ； (2) i313ln i e 32z z ππ=⇒==；(3) sin cos 0204z z z π⎛⎫+=⇒+= ⎪⎝⎭4z k ππ⇒=-，k ∈Z ；(4) 22e e sinh i i (e )2i e 10(e i)0e i 2z z z z z z z --=⇒=⇒--=⇒-=⇒=i 2+2z k ππ⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭，k ∈Z . 13. 说明下列等式是否正确：(1) 2Ln 2Ln z z =； (2) 1Ln 2z z =都不成立. 设i e z r θ=，则 (1) 左()22i2Ln Ln e 2ln (22)z r r i m θπθ===++，m ∈Z ，而右2Ln z ==[]2ln (2)2ln (42)r i n r i n πθπθ++=++，n ∈Z ； (2) 左i 21Ln Ln ln 2z r r θ⎫===+⎪⎭22i m θπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，m ∈Z ，而右1Ln 2z ==[]11ln (2)ln 222r i n r i n θπθπ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，n ∈Z .14. 判断下列关系是否正确：(1) e z； 正确，i i e ee (cos isin )e (cos isin )e e e zx yx x x y z y y y y +-==+=-==；(2) cos cos z z =正确，i i i i i i e e e e e e cos cos 222z zz z z zz z ---⎛⎫+++====⎪⎝⎭. 习题三1. 计算积分2d Cz z z+⎰，其中C 是 (1) 2到2-的上半圆周2z =（Im 0z ≥）； C ：i 2e z θ=，0θπ≤≤i i 022d 12e id 2e C z z z πθθθ+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰⎰()i 02i 1e d πθθ=+⎰()2i 2i π=+42i π=-+ (2) 2-到2的下半圆周2z =（Im 0z ≤）； C ：i 2e z θ=，2πθπ≤≤2i i 22d 12e id 2e Cz z z πθθπθ+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰⎰()2i 2i 1e d πθπθ=+⎰()2i 2i π=-42i π=+ (3) 正向圆周2z =.02d 2i (2)4i z Cz z z z ππ=+=+=⎰ 2. 计算积分(1)d Cz z -⎰，其中C 是(1) 11z -=上由0到2的下半圆周； (2) 实轴上由0到2的直线段.由于被积函数在复平面上处处解析，故积分与路径无关. 所以两小题结果相等，都为：(1)d Cz z -⎰22200(1)d 02z z z z ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰ 3. 计算积分d Cz z z ⎰，其中C 是一条闭路，由直线段：11x -≤≤，0y =与上半单位圆周组成.12C C C =+，其中1e C z θ=：，0≤≤；2, 11C z x x =-≤≤：，由积分对路径的可加性，有1i i 01d 2i ee id d i 0i Cz z z x x x πθθθππ--=+=+=⎰⎰⎰.4. 证明：21d 13Cz z π≤-⎰，其中C 是圆周2z =上由2到2i 且位于第一象限的圆弧. 在i 2e 02C z θθ=≤≤：, 上， 2i214e 14cos 21i4sin 2z θθθ-=-=-+()()224cos 214sin 2178cos 23θθθ=-+=-≥，从而221111d d d 2113323C C Cz z s z z ππ≤≤=⋅⋅=--⎰⎰⎰ 5. 证明：(e )d 60zCz z -≤⎰，其中C 是如图所示的三角形周界.()()Re (e )d e d e+d e+d (14)d 5(345)60zzzzCCCCCz z zz z s z s s -≤-≤=≤+=⨯++=⎰⎰⎰⎰⎰.6. 不用计算直接证明得到下列积分均为零，并说明理由： (1) 2135d 24z z z z z =+++⎰；因为被积函数在1z =及其内部解析，由柯西积分定理得2135d 024z z z z z =+=++⎰； (2) 1e d cos z z z z =⎰； 因为被积函数在1z =及其内部解析，由柯西积分定理得1e d 0cos zz z z ==⎰； (3) 22e (1)d z z z z =+⎰；因为被积函数在整个复平面上处处解析，由柯西积分定理得22e (1)d 0z z z z =+=⎰；(4)23121d (1)(1)z z z z =--⎰；因为被积函数在12z =及其内部解析，由柯西积分定理得23121d 0(1)(1)z z z z ==--⎰.7. 计算下列积分：(1)i i 22i i 2ii111i ed ee e zzz πππππππ⎛⎫+==-= ⎪⎝⎭⎰；(2)2i2i001111cos d sinsin i cosi ch12222222z z z πππ++⎛⎫==+== ⎪⎝⎭⎰； (3)333211()2()d 33z z z ππ--==⎰. 8. 证明：d 8i Cz z π=⎰，其中C 是正向圆周2z =.244zz z z z ==⇒=，所以41d d 4d 8i CCCz z z z z z π===⎰⎰⎰. 也可以利用参数方程法计算. 9. 设函数()f z 在01z <<内解析，且沿任何圆周:(01)C z r r =<<的积分为零，问()f z 是否在0z =处解析？试举例说明之.不一定在0z =处解析.如：2()f z z =，()d 0z rf z z ==⎰，但()f z 在0z =处没有定义，从而不解析. 10. 计算下列沿指定曲线正向的各积分：(1) 22e d 2ie 2e i 2zz z Cz z ππ===-⎰，:21C z -=； (2)()()()()222211i i 44d d d 14(i)(i)4(i)(i)4C z z zzzz z z z z z z z -=+==++++-++-+⎰⎰⎰ ()2i12i (i)4z z z π==++()2i1+2i(i)4z z z π=--+2i 11032i 2i π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，3:2C z =； (3)22e e e d 2i i z zaCz az z a z a aππ===-+⎰，:(0)C z a a a -=>；(4) ()5(4)51cos 2id (cos )i 4!121z C zz z z ππππ===--⎰，:(1)C z r r =>；(5) ()23371d 01Cz z z z ++=+⎰，因为被积函数在C 及C 内部解析！ :i 1C z +=；(6)22sin 2id (sin )01!2z Czz z z πππ='==⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰，:2C z =； (7) 3cos d 0C z z z=⎰，因为被积函数在C 及C 所围成的环域内解析！ 1212,:2,:3C C C C z C z -=+==； (8) ()32i (e )e i, 1e 2!d 0, 1z a zz a C a z z a a ππ=⎧''=<⎪=⎨-⎪>⎩⎰，:1C z =，其中a 为1a ≠的任何复数； (9) 20e sin 2i d (e sin )2i 1!z z z C z z z z ππ--='==⎰，3:2C z =； (10)432d 1Cz z z +-⎰2222111i 443232d d (1)(1)(1)(1)z z z z z z z z z z -=-=++=+-+-+⎰⎰21322i (1)(1)z z z z π=+=++2i 3253i 22i2i (1i)(i)(1)44i z z z z πππ=++⎛⎫+=+=-+ ⎪+-⎝⎭，:(1i)2C z -+=11. 设C 表示正向圆周3z =，及2222()d (3)()Cz z g w z w z w -=≠-⎰，求(2i)g ，(4)g . 2222i(22)4i, 3222!()d ()0, 3z w C z z w z z g w z z w w π=⎧''--=<--⎪==⎨-⎪>⎩⎰ 所以(2i)4i g π=，(4)0g =.12. 计算积分e d zC z z ⎰，其中C 表示正向圆周1z =，由此证明：cos 0e cos(sin )d πθθθπ=⎰.由柯西积分公式有 0e d 2ie 2i zz z Cz z ππ===⎰， 又i e C z θπθπ=-≤≤：, ，所以i i e i e cos +isin cos cos i 0e e d ie d ie d ie d 2i e cos(sin )d e sin(sin )d e z C z z θθπππππθθθθθθππππθθθθθθθ----====-⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 比较两个结果的实部和虚部，得cos 0ecos(sin )d πθθθπ=⎰， cos e sin(sin )d 0πθπθθ-=⎰.13. 设()f z 与()g z 在区域D 内处处解析，C 为D 内任何一条简单光滑闭曲线，它的内部全属于D .如果()()f z g z =在C 上所有点都成立，试证在C 的内部所有点处()()f z g z =也成立.设()()()F z f z g z =-，则()F z 在C 及C 内部解析，由柯西积分定理，对C 内部任意一点0z ，有001()()d 02iCF z F z z z z π==-⎰（因为在C 上()0F z ≡），即00()()f z g z =，由的任意性，得结论成立. 14. 设函数()f z 在1z ≤上解析，且(0)1f =，计算积分111d 2(),2i z z z f z z z π=⎡⎤⎛⎫±+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰ 再利用极坐标导出下式：2i 202(e )cos d 2(0)2f f πθθθπ'=+⎰；2i 202(e )sin d 2(0)2f f πθθθπ'=-⎰. 由柯西积分公式和高阶导数公式有2211111d 12()1(1)()2()d d 2i2i 2i z z z z f z z f z z f z z z z z z z πππ===⎡⎤+⎛⎫±+=± ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰ 22(0)(1)()2(0)z f z f z f =''⎡⎤=±+=±⎣⎦，又i e 02C z θθπ=≤≤：, ，所以()2i i i 1011d 12()2e e (e )id 2i 2i z z z f z f z z πθθθθππ-=⎡⎤⎛⎫⎡⎤±+=±+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎰⎰2i 01(1cos )(e )d f πθθθπ=±⎰，故2i 01(1cos )(e )d 2(0)f f πθθθπ'±=±⎰，又因为21cos 2cos 2θθ+=，21cos 2sin2θθ-=，于是2i 22(e )cosd 2(0)2f f πθθθπ'=+⎰；2i 22(e )sin d 2(0)2f f πθθθπ'=-⎰.15. 证明：若()f z 在单位圆1z ≤内解析，1()1f z z≤-，则()(0)e(1)!n f n <+，1,2,n =.由高阶导数公式 ()1!()(0)d 2in n z rn f z f z z π+==⎰(01)r <<，故 ()()11()!!1!(0)d d 22(1)1n n n nz rz rf z n n n f z s r rzz zππ++==≤≤=--⎰⎰， 取，1n r n =+得 ()1(0)(1)!1e(1)!nn f n n n ⎛⎫≤++<+ ⎪⎝⎭.16. 验证下列函数是调和函数，并求出以i z x y =+为自变量的解析函数()i w f z u v ==+.(1) arctan (0)yv x x=>；222211x y y v x x y y x --==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，222111y xv x x y y x ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()2222xx xy v x y =+，()2222yy xy v x y -=+， 显然0xx yy v v +=，故在右半面内，arctan yv x=是调和函数.利用C -R 条件，得22221d d d ln()()2x y x u u x v x x x y y x y ϕ====+++⎰⎰⎰2222+()y xy y u y v x y x y ϕ'⇒==-=++ ()0()y y C ϕϕ'⇒=⇒=，故 221(,)ln()2u x y x y C =++，从而221()ln()i arctan2yf z x y C x=+++ln z C =+.(2) e (cos sin ),(0)i xu y y x y x y f =+++=；e (cos sin sin )1,x x u y y x y y =+++ e (cos cos sin )1,x y u y x y y y =+-+e (cos sin 2sin ),x xx u y y x y y =++ e (cos sin 2sin ),x yy u y y x y y =-++ 显然0xx yy u u +=，故e (cos sin )x u y y x y x y =+++是调和函数.(,)(,)(,)(0,0)(0,0)(0,0)d d d d d x y x y x y x y y x v v C v x v y C u x u y C =+=++=-++⎰⎰⎰(,)(0,0)e (sin cos cos )1d e (cos sin sin )1d x y x xy y y x y x y y x y y y C ⎡⎤⎡⎤=---+++++⎣⎦⎣⎦⎰1e (1)d e (cos sin sin )1d yx x xx x y y x y y y C ⎡⎤⎡⎤=-+++++++⎣⎦⎣⎦⎰⎰e e (sin cos )e x x x x x y y x y y x C =--+-+++e (sin cos )x y y x y y x C =-+-+于是 ()e (cos sin )i e (sin cos )i e (1i)i x x zf z y y x y x y y y x y y x C z z C ⎡⎤=++++-+-+=-+-+⎣⎦又(0)i 1f C =⇒=，故()i e (1i)i zf z z z =-+-+. (3) 22()(4)u x y x xy y =-++；22363x u x xy y =+-，22363y u x xy y =--，66xx u x y =+，66yy u x y =--，显然0xx yy u u +=，故22()(4)u x y x xy y =-++是调和函数.由于()22222()i i 363i 3633(1i)x x x y f z u v u u x xy y x xy yz'=+=-=+-+-++=-3()(1i)f z z C ⇒=-+.(4) 22,(2)0yv f x y ==+. ()2222x xyv xy-=+，()22222y x y v xy-=+，()223222(3)xx y x y v xy-=+，()223222(3)yy y x y v xy--=+，显然0xx yy v v +=，故22yv x y =+是调和函数.由于()()22222222221()i i ix x y x x y xyf z u v v v z xyxy-'=+=+=-=++1()f z C z⇒=-+，又(2)0f = 12C ⇒=， 故11()2f z z⇒=-. 17. 证明：若u 为区域D 中的调和函数，则()i u uf z x y∂∂=-∂∂是区域D 内的解析函数. 记()i Δ i f z U V x y=-+∂∂，由于u 为区域D 中的调和函数，从而u 在区域D 中具有二阶连续偏导数，即,u uU V x y ∂∂==-∂∂在区域D 中具有一阶连续偏导数； 2222x y u u U V x y ∂∂=⇔=-∂∂，2y x u U V y x ∂=-⇔=∂∂2ux y∂∂∂，由于u 为调和函数，显然上面两个式子成立. 所以结论成立. 18. 如果()i f z u v =+是z 的解析函数，证明：(1) 222()()()f z f z f z x y ⎡⎤∂∂⎡⎤'+=⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦⎣⎦； 222222()f z u v x x x x u v u v ∂∂=+=+∂∂∂∂++，2222()f z x y y u v u v ∂=∂∂∂++2222221()()u v u v f z f z u v u v x y u v x x y y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎡⎤⎛⎫+=+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥∂∂+∂∂∂∂⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦2222222212u u v v u v u v u v uv u v x y x y x x y y ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂⎪⎪⎛⎫⎛⎫=+++++⎢⎥⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭（C -R 方程）2222222212u v v u u v v u u v uv u v x x x x x x x x ⎧⎫⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂∂∂∂⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-⎢⎥⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭22u v x x ∂∂⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭， 222()i , ()u v u v f z f z x x x x ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫''=+=+ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，等式成立；(2) 222222()4()f z f z x y ⎛⎫∂∂'+= ⎪∂∂⎝⎭.⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=∂∂x v v x u u x z f x 22)(222⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2222222x v v x v x u u x u ，=∂∂222)(z f y⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂y v v y u u y 22⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2222222y v v y v y u u y u ，由C -R 方程知，02222=∂∂+∂∂y u x u ，2222y v x v ∂∂+∂∂ 0=，所以22222222)(44)(z f x v x u z f y x '=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂． 习题四1. 下列复数列是否收敛？若收敛，求出它们的极限： (1)1(1)i 2n n n z =+-；因为实数列{(1)}n -发散，所以此复数列发散；(2) i 1111e 1cos i 1sin n n z n n n n n πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；由于1lim 1cos 1n n n π→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故此复数列发散；(3) i 2e cos isin 22n n n n z πππ-==-；由于实数列cos 2n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭与sin2n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭均发散，所以此复数列发散； (4) i 221e n n z nπ-=；因为210n z n =→，n →∞，所以此数列收敛于0．(5) i 12nn z -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；因为i 1025n n n z -=+=→，n →∞，所以此数列收敛于0． 2. 证明：若0lim n n z z →∞=，则0lim n n z z →∞=．反之不成立，请举例说明.0ε∀>，N ∃∈Ν，当n N >时，00n n z z z z ε-<-<，所以0lim n n z z →∞=；反例：(1)n nz =-，1n z =收敛，而(1)n n z =-本身发散.3. 判别下列级数的收敛性与绝对收敛性：(1)1111111i i 22n nn n n n n ∞∞∞===⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭∑∑∑，由于级数∑∞=11n n 发散，所以原级数是发散的； (2)111(1)1(1)i 1i 33n n n n n n n n n ∞∞∞===⎛⎫--+=+ ⎪⎝⎭∑∑∑，由于级数∑∞=11n n 发散，所以原级数是发散的； (3) 1i n n n∞=∑，因1i n n n ∞==∑∑∞=11n n 发散，故原级数不绝对收敛，又1i 11111i 124635n n n ∞=⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑， 而11(1)2n n n ∞=-∑与111(1)21n n n ∞-=--∑均收敛，所以原级数条件收敛；(4) 21i n n n∞=∑，因级数21i n n n ∞==∑211n n ∞=∑收敛，故原级数绝对收敛；(5) 0(65i)8nn n ∞=+∑，11165i65i 618lim lim lim 18865i 8n n n n n n n n nz z +++→∞→∞→∞++===<+，所以正项级数065i 8nn n ∞=+∑收敛，由此得原级数绝对收敛.4. 证明：若Re 0n z ≥，且1n n z∞=∑与21nn z∞=∑都收敛，则级数21nn z∞=∑绝对收敛．令i zx y =+，则1n n z ∞=∑收敛1n n x ∞=⇔∑与1n n y ∞=∑均收敛，21nn z∞=∑收敛221()nnn xy ∞=⇔-∑与1n n n x y ∞=∑均收敛.又因Re 0nn x z =≥，故正项级数的比较判别法，由1n n x ∞=∑收敛得21n n x ∞=∑收敛（因n 充分大时必有2n n x x ≤），再由221()nnn x y ∞=-∑收敛得21nn y∞=∑也收敛，于是21nn z ∞=∑也收敛（因222n n n z x y =+）.5. 下列结论是否正确？为什么？(1) 每一个幂级数在它的收敛圆内与收敛圆周上收敛；否. 幂级数在其收敛圆内必收敛，但在收敛圆上不一定收敛. 如：0nn z∞=∑在1z <内收敛，在1z =上处处发散.(2) 每一个幂级数收敛于一个解析函数．否. 幂级数仅在其收敛圆内收敛于一个解析函数，在收敛圆上的不收敛点和收敛圆外均无此性质.6. 讨论级数1()n n n zz ∞+=-∑的敛散性．因为110()1nk k n nk S z z z ++==-=-∑，所以当1z <时，由lim 1n n S →∞=-知级数收敛于1-；当1z =时，级数收敛于零；当1z=-时，级数发散；当1z =且1z ≠±即i e z θ=(0,)(,2)θπππ∈时，因为{cos }n θ及{sin }n θ都没有极限，所以级数发散；当1z >时，级数显然发散.综上，原级数收敛半径为1，在收敛圆周1z =上，除1z =外处处发散.7. 幂级数(2)nn n c z ∞=-∑能否在0z =处收敛，而在3z =处发散？不能. 因为该幂级数收敛圆中心为2z =，若在0z =收敛，则收敛半径2R ≥，此时3z =在收敛圆内.8. 求下列幂级数的收敛半径：(1)02n n n n z ∞=∑； 112lim lim 212n n n n n n na R n a →∞→∞++===+； (2)01!nn z n ∞=∑；11!lim lim lim(1)1(1)!n n n n n a n R n a n →∞→∞→∞+===+=+∞+； (3)2111n nn z n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑；11lim e 11n n n n n R a n →∞===⎛⎫+ ⎪⎝⎭； (4) 1!n n n n z n ∞=∑； 111(1)!11!lim lim lim lim (1)!(1)e 11(1)!nn n n n n n n n n n n a n n n R n a n n n n ++→∞→∞→∞→∞++=====++⎛⎫+ ⎪+⎝⎭； (5) 121121(i)2n n n n n z ∞--=--∑；因为 2121212121(i)(21)2lim lim 12212(21)2(i)2nn n n n n n n n z z n z z n n z ++→∞→∞--+-+==<⇒<---所以2R =(6) (1)1i (1)n n n n z n ∞+=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ ，因为1(1)0, 111i (1)lim , 11n nn n n n n z z z n nz ++→∞⎧-≤-⎪⎛⎫-==⎨ ⎪∞->⎝⎭⎪⎩，所以1R =. 9. 设级数n n c ∞=∑收敛，而0n n c ∞=∑发散，证明0nn n c z ∞=∑的收敛半径为1．因nn c∞=∑收敛，故幂级数n nn c z∞=∑在1z =处收敛，由阿贝尔定理，nn n c z∞=∑在1z <内处处绝对收敛，于是它的收敛半径1R ≥；但如果1R >，则幂级数0n n n c z ∞=∑在z R <内处处绝对收敛，当然在1()z R =<处也绝对收敛，即0nn c ∞=∑收敛，这与已知矛盾. 因此n n n c z ∞=∑的收敛半径1R =. 10. 求下列级数的和函数：(1)12111(1)()1(1)nn n n n z nzz z z ∞∞-==''-⎛⎫⎛⎫-=-==- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭∑∑，1z <；(2) 210(1)(21)!n nn z n +∞=-+∑，设此幂级数的和函数为)(z f ，则20(1)()(2)!n n n f z z n ∞=-'=∑，211(1)()(21)!n n n f z z n ∞-=-''=-∑210(1)()(21)!m m m z f z m ∞+=-=-=-+∑（1-=n m ），于是0)()(=+''z f z f ，解此二阶微分方程，得其通解为z B z A z f sin cos )(+=．又==A f )0(2100(1)0(21)!n n n z z n ∞+==-=+∑，z B z A z f cos sin )(+-='20(1)(2)!n nn z n ∞=-=∑， =='B f )0(200(1)1(2)!n n n z z n ∞==-=∑，所以210()(1)sin (21)!n nn z f z z n +∞==-=+∑，∞<z ． 11. 把下列各函数展开成z 的幂级数，并指出它们的收敛半径：(1)3301(1)1n nn z z ∞==-+∑，1z <；(2)22220111 (1)(1)(1)1n n n z z ξξξξ∞=''⎛⎫⎛⎫==-=-- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑121(1) n n n n z ξξ∞-==--==∑2(1)21(1)(1)(1)nn n n n n nzn z ∞∞-==--=-+∑∑，1z <；(3) 224200(1)()(1)cos (2)!(2)!n n n nn n z z z n n ∞∞==--==∑∑，z <∞； (4) 2100000e e 1()1()1()sh 22!!2!2!(21)!z z n n n n n n n n n n n n z z z z z z z z n n n n n -+∞∞∞∞∞=====⎛⎫------==-=== ⎪+⎝⎭∑∑∑∑∑，z <∞；(5) 22e sin zz ， 由于 2222422(1i)2e e cos ie sin e e zzzz z z ++==202)cos isin 44!n nn n n z n ππ∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑， 22222(1i)e cos ie sin e z z z z z --=i242e e z π-=20(2)cos isin 44!n n n n n z n ππ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑， 故 22e sin z z 20(2)sin 4!n nn n z n π∞==∑，z <∞．(6)()22212000001e d d d !!(21)!nn zz z n n n n z n n n n ξξξξξξ+∞∞∞======+∑∑∑⎰⎰⎰，z <∞.12. 有人做了下列运算，并根据运算作出了如下结果：。

习题答案6.1.1解：半导体存储器(semi-conductor memory)是一种以半导体电路作为存储媒体的存储器。

随机存储器、只读存储器。

6.2.1解：字在存储器中定义为一组位或字节。

字长：一个字中所含有的数据位置。

6.2.2解：地址单元256K=28×210=218，即地址码为18位。

6.2.3解：EPROM和EEPROM具有多次擦除重写功能。

PROM6.2.4解：（1）存储单元=64K×1=64K；地址单元64K=26×210=216，地址线为16根；数据线为1根。

（2）存储单元=256K×4=256×1024×4=1M；地址单元256K=28×210=218，地址线为18根；数据线为4根。

（3）存储单元=1M×1=1M；地址单元1M =220，地址线为20根；数据线为1根。

（4）存储单元=128K×8=1M；地址单元128K =217，地址线为17根；数据线为8根。

6.2.5解：存储系统的最高地址=字数+起始地址-1（1）最高地址=2K-1=7FFH （2）16K-1=3FFFH （3）256K-1=3FFFFH6.2.6解：（1）两个3位二进制数相乘，有6位输入，故地址线为6根；2个3位二进制数相乘的最大数是111×111=110001，故数据线为6根；ROM容量=26×6位。

（2）8位二进制数的最大值为11111111，转换为十进制数为255，用BCD码表示为1001010101，即输入8位，输出10位，ROM容量=28×10位。

6.3.1解：DRAM是靠MOS电路中的栅极电容来存储信息的。

由于电容上的电荷会逐渐泄漏，其存储的数据将会丢失。

为避免存储的信息消失，必须定时给电容补充漏掉的电荷，即对DRAM中存储的数据进行周期性的刷新。

SRAM是利用触发器存储数据，没有动态RAM固有的电容放电造成的刷新问题，只要不断电，数据就可以长时间的保留。

复变函数与积分变换试题与答案一、填空题（3分×5）1．8的三个立方根分别是 。

2．函数e z f =)(在z 平面上是否解析，有无奇点及弧立奇点 。

3．设C 是正向圆周|z |=1，则⎰cn zdz= 。

4．分式线性映照具有：保 性，保 性，保 性。

5．设f (t )的拉代积分存在，则L [f (t )]= 。

二、判断题（2分×7，请在题后括号内打“√”、“×”）。

1．1+i <2(1+i )() 2．若)(0z f '存在，则f (z )在z 0处解析。

（ ） 3．解析函数的导函数仍为解析函数。

（ ） 4．幂级数的和函数在其收敛圆内解析。

（ ） 5．函数在弧立奇点的留数是其罗朗展式中的C -1（）6．从|Z |≤1到|w |≤1的分式线性函数构成的映照的一般形式为0z z z z e w i --=θ。

（ ） 7．单位脉冲函数的傅氏变换结果为1。

（）三、计算题：（8分×4）1．dz z zz ⎰=1||3sin 2．dz z z z ⎰=-+4||)3)(1(13．设)2()(1)(10-+=z i z z f ，求]),([Re i z f s -4．dz z ze z z⎰=-2||21四、解答题：（8分×3）1． 求由22),(y x y x u -=为实部的解析函数f (z )，使f (0)=0 2．求函数)1(1)(2z z z f -=在圆环1|1|0<-<z 内的罗朗展式。

3．求把上半平面0)(＞z I m 映照成单位圆1||＜w 的分式线性函数，并使f (i )=0，f (-1)=1。

五、解答题（第1小题7分，第2小题8分）1． 设F )()]([w F t f =，求F )]52([-t f 2．求方程t e y y y -=-'+''32满足初始条件10='=t y ，00==t y的解。

«复变函数与积分变换»期末试题〔A〕一．填空题〔每题3分，共计15分〕1．231i-的幅角是〔〕；2.)1(iLn+-的主值是〔〕；3.211)(zzf+=，=)0()5(f〔〕；4．0=z是4sinzzz-的〔〕极点；5．zzf1)(=，=∞]),([Re zf s〔〕；二．选择题〔每题3分，共计15分〕1．解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为〔〕；〔A〕yxiuuzf+=')(；〔B〕yxiuuzf-=')(；〔C〕yxivuzf+=')(；〔D〕xyivuzf+=')(.2．C是正向圆周3=z，如果函数=)(zf〔〕，那么0d)(=⎰C zzf．〔A〕23-z；〔B〕2)1(3--zz；〔C〕2)2()1(3--zz；〔D〕2)2(3-z. 3．如果级数∑∞=1nnnzc在2=z点收敛，那么级数在〔A 〕2-=z 点条件收敛 ； 〔B 〕i z 2=点绝对收敛；〔C 〕i z+=1点绝对收敛； 〔D 〕i z 21+=点一定发散．４．以下结论正确的选项是( )〔A 〕如果函数)(z f 在0z 点可导，那么)(z f 在0z 点一定解析； (B)如果)(z f 在C 所围成的区域解析，那么0)(=⎰Cdz z f〔C 〕如果0)(=⎰Cdz z f ，那么函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析；〔D 〕函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数．5．以下结论不正确的选项是〔 〕．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞三．按要求完成以下各题〔每题10分，共计40分〕〔1〕设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a〔2〕．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；〔3〕计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z〔4〕函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩大复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、〔此题14分〕将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域展开成罗朗级数； 〔1〕110<-<z ，〔2〕10<<z ，〔3〕∞<<z 1五．〔此题10分〕用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、〔此题6分〕求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题〔A 〕答案及评分标准一．填空题〔每题3分，共计15分〕1．231i -的幅角是〔 2,1,0,23±±=+-k k ππ〕；2.)1(i Ln +-的主值是〔 i 432ln 21π+ 〕； 3.211)(z z f +=，=)0()5(f 〔 0 〕，4．0=z 是4sin z zz -的〔 一级 〕极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s 〔-1 〕； 二．选择题〔每题4分，共24分〕1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为〔B 〕；〔A 〕 y x iu u z f +=')(； 〔B 〕y x iu u z f -=')(；〔C 〕y x iv u z f +=')(； 〔D 〕x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f 〔 D 〕，那么0d )(=⎰Cz z f ．〔A 〕23-z ； 〔B 〕2)1(3--z z ； 〔C 〕2)2()1(3--z z ； 〔D 〕2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，那么级数在〔C 〕〔A 〕2-=z 点条件收敛 ； 〔B 〕i z 2=点绝对收敛；〔C 〕i z+=1点绝对收敛； 〔D 〕i z 21+=点一定发散．４．以下结论正确的选项是( B )〔A 〕如果函数)(z f 在0z 点可导，那么)(z f 在0z 点一定解析； (B)如果)(z f 在C 所围成的区域解析，那么0)(=⎰Cdz z f〔C 〕如果0)(=⎰Cdz z f ，那么函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析；〔D 〕函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数．5．以下结论不正确的选项是〔 D 〕．的可去奇点；为、zA 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、zC 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成以下各题〔每题10分，共40分〕〔1〕．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

得分/总分A.B.3.00/3.00C.D.得分/总分•A.3.00/3.00•B.•C.•D.正确答案：A你选对了3单选(3分)得分/总分•A.•B.3.00/3.00•C.•D.正确答案：B你选对了4单选(3分)得分/总分•A.•B.•C.3.00/3.00•D.正确答案：C你选对了解析函数单元测验返回本次得分为：12.00/12.00, 本次测试的提交时间为：2020-03-08, 如果你认为本次测试成绩不理想，你可以选择再做一次。

1单选(3分)得分/总分•A.3.00/3.00•B.•C.•D.正确答案：A你选对了解析： A、复变函数在一点解析要求函数在该点可导，并且在该点的领域内处处可导。

因此，函数在一点解析能推出函数在该点可导，但是函数在一点可导不能推出在该点解析。

B、复变函数在一点解析要求函数在该点可导，并且在该点的领域内处处可导。

因此，函数在一点解析能推出函数在该点可导，但是函数在一点可导不能推出在该点解析。

C、复变函数在一点解析要求函数在该点可导，并且在该点的领域内处处可导。

因此，函数在一点解析能推出函数在该点可导，但是函数在一点可导不能推出在该点解析。

D、复变函数在一点解析要求函数在该点可导，并且在该点的领域内处处可导。

因此，函数在一点解析能推出函数在该点可导，但是函数在一点可导不能推出在该点解析。

2单选(3分)得分/总分•A.•B.3.00/3.00•C.•D.正确答案：B你选对了解析： B、利用“复变函数中的对数表达式'计算。

其中包含两项：（1）实部为复变数的模取对数；（2）虚部为复变数的辐角。

3单选(3分)得分/总分•A.3.00/3.00•B.•C.•D.正确答案：A你选对了解析： A、利用”乘幂的代数运算式“计算。

4单选(3分)得分/总分•A.3.00/3.00•B.•C.•D.正确答案：A你选对了解析： A、利用”复变函数的指数函数形式“计算。

复变函数积分单元测试返回本次得分为：9.00/12.00, 本次测试的提交时间为：2020-04-12, 如果你认为本次测试成绩不理想，你可以选择再做一次。

复变函数与积分变换第一章 练习题1． 计算(1)(2)i i i --；解：（1）103)31)(31()31(3123)2)(1(2i i i i i ii i i i i i i +-=+-+=-=+-=--；（2）10310)2)(1()2)(2(1)1)(1()2)(1()2)(1(i i i i i i i i i i i i i +-=---=----------=--。

2． 解方程组12122(1)43z z i i z iz i -=⎧⎨++=-⎩；解：消元法，)2()1(+⨯i 得：i z i 33)31(1-=+，解得：563)31)(31()31)(33(31331i i i i i ii z --=-+--=+-=，代入)1(得：517656322ii i z --=---⨯=。

3．求1i --、13i -+的模与辐角的主值；解：]arg arctan arctan,arctan arg ππππ，（，，三，二一，四-∈⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=z x y x y xy z ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=--)43s i n ()43c o s (21ππi i ；[])3a r c t a n s i n ()3a r c t a n c o s (1031-+-=+-ππi i 。

4．用复数的三角表示计算312⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、； 解：1)sin()cos()3cos()3cos(23133-=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ππππi i i ； 3,2,1,0,4243s i n 4243c o s 2)43s i n43(c o s 228341=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+k k i k i ππππππ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=163sin 163cos 2830ππi z ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1611sin 1611cos 2831ππi z ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1619sin 1619cos 2832ππi z ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1627sin 1627cos 2833ππi z 。