第四章、 动能和势能

第4章动能和势能习题解答4.2.2 本题图表示测定运动体能的装置。

绳拴在腰间沿水平展开跨过理想滑轮，下悬重物50kg ，人用力向后蹬传送带而人的质心相对于地面不动，设传送带上侧以2m/s 的速率向后运动，问运动员对传送带做功否？功率如何？解：人作用在传送带上的力有向下的压力和水平向后的静摩擦力，压力方向与传送带位移方向垂直，所以压力不做功，但静摩擦力方向与传送带位移方向相同，所以静摩擦力对传送带做正功。

分析人受力情况，由质心定理可知，人与传送带之间的静摩擦力的大小f=mg ，所以，人对传送带做功的功率为：N = fv = mgv = 50×9.8×2 = 9.8×102（瓦）4.2.3 一非线性拉伸弹簧的弹性力的大小为l l k l k f ,321+=表示弹簧的伸长量，k 1为正，⑴研究当k 2＞0、k 2<0和k 2=0时弹簧的劲度df/dl 有何不同；⑵求出将弹簧由l 1拉长至l 2时弹簧对外界所做的功。

解：弹簧的劲度df/dl=k 1+3k 2l 2. k 2=0时，df/dl =k 1，与弹簧的伸长量 无关；当k 2>0时，弹簧的劲度随弹簧 伸长量的增加而增大；k 2<0时，弹簧 的劲度随弹簧伸长量的增加而减小。

在以上三种情况中，劲度df/dl 与弹簧伸长量l 的关系如图所示。

))](([)()()(2122212222112141422412122121321321212121l l l l k k l l k l l k dll k ldl k dl l k l k A l l l l l l -++-=----=--=+-=⎰⎰⎰4.2.4一细线系一小球，小球在光滑水平桌面上沿螺旋线运动，线穿过桌中心光滑圆孔，用力F 向下拉绳，证明力F 对线做的功等与线作用于小球的拉力所做的功，线不可伸长。

证明：以圆孔为顶点建立极坐标，设小球的位置由r 1,θ1变为r 2,θ2，由于忽略绳的质量、伸长，不计摩擦，所以绳对球的拉力T=FFT F r r r r r r rT A A r r T r r F A r r T drTTdrdr FA =∴-=-=-==-==⎰⎰⎰),()()(2121211221214.2.5 一辆卡车能够沿着斜坡以15km/h 的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切tg α=0.02，所受阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？解：设卡车匀速上坡时，速率为v, 牵引力为F, 功率为N,由质点平衡方程有，F = (0.04+sin α)mg ，∴N = Fv = (0.04+sin α)mgv设卡车匀速下坡时，速率为v ’,牵引力为F',功率为N', 由质点平衡方程有 F'+ mg sin α= 0.04mg, F'=(0.04-sin α)mg, ∴N'= (0.04-sin α)mgv'.令N'= N, 即（0.04+sin α）mgv = (0.04-sin α)mgv'，可求得：v'= v(0.04+sin α)/(0.04-sin α). 利用三角函数关系式，可求得： sin α≈tg α=0.02 ,∴v'=3v =3×15×103/602 m/s = 12.5m/s.4.3.1质量为m=0.5kg 的木块可在水平光滑直杆上滑动，木块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用着大小不变的力T=50N ，木块在A 点时具有向右的速率v 0=6m/s ，求力T 将木块从A 拉至B 点时的速度。

第四章 动能和势能 一、基本知识小结1、功的定义式：⎰⋅=2112r r r d F A直角坐标系中：⎰⎰+==221121,,1212y x y x yxx x xdy F dx F A dxF A ，自然坐标系中：⎰=2112s s ds F A τ极坐标系中： ⎰+=2211,,12θθθθr r rrd F dr F A2、⎰⋅-=-=b ap p k r d F a E b E mv E 保势能动能)()(,212重力势能mgy y E p =)(弹簧弹性势能 2)(21)(l r k r E p -=静电势能 rQqr E p πε4)(=3、动能定理适用于惯性系、质点、质点系∑∑∆=+k E A A内外4、机械能定理适用于惯性系∑∑+∆=+)p k E E A A（非保内外5、机械能守恒定律适用于惯性系若只有保守内力做功，则系统的机械能保持不变，C E E p k =+6、碰撞的基本公式接近速度）（分离速度（牛顿碰撞公式）动量守恒方程）e v v e v v v m v m v m v m =-=-+=+)((2010122211202101 对于完全弹性碰撞 e = 1对于完全非弹性碰撞 e = 0对于斜碰，可在球心连线方向上应用牛顿碰撞公式。

7、克尼希定理∑+=22'2121i i c k v m mv E 绝对动能=质心动能+相对动能 应用于二体问题 222121u mv E c k μ+=212121m m m m m m m +=+=μu 为二质点相对速率二、思考题解答4.1 起重机起重重物。

问在加速上升、匀速上升、减速上升以及加速下降、匀速下降、减速下降六种情况下合力之功的正负。

又：在加速上升和匀速上升了距离h 这两种情况中，起重机吊钩对重物的拉力所做的功是否一样多？答:在加速上升、匀速上升、减速上升以及加速下降、匀速下降、减速下降六种况下合力之功的正负分别为：正、0、负、正、0、负。

教学时数:11教学目的与要求:（1）着重讲授正功与负功的意义，变力的功以弹性力的功为主，可用图解法导出其计算公式。

（2）关于系统的势能，本章仅讲授重力势能及弹性势能。

（3）使学生深刻地认识功能关系，并指出功是能量变化的量度，能是以作功的方式传递并转化的。

（4）结合本章内容，指出只有量纲相同的物理量间才能构成等式关系。

（5）分别讲授质点的与质点组的功能原理与机械能守恒定律，并通过势能曲线研究动能与势能间的相互转化关系。

（6）讲授质点组的功能原理时，要阐明内力做功与内势能的概念。

（7）要分清动量守恒定律与现机械能守恒定律的适用条件的不同，使学生能正确运用两个守恒定律解决实际问题。

教学重点:功，变力的功；功率，动能，动能定理；保守力与非保守力；势能（重力势能、弹性势能、引力势能）势能曲线和从势函数求力；功能原理；力学中的能量守恒定律；普遍的能量转换和守恒定律,对心和非对心碰撞教学难点:动能定理; 功能原理; 能量守恒定律本章主要阅读文献资料:顾建中编《力学教程》人民教育出版社赵景员、王淑贤编《力学》人民教育出版社漆安慎杜婵英《〈力学基础〉学习指导》高等教育出版社能量——另一个守恒量能量概念的认识和由来:从“使物体运动起来需要付出代价”（人们最早对生活中实际的问题的认识）；“运动的物体具有某种功效（例如：运动的子弹可以嵌入泥土）”；1686年莱布尼茨提出：物体“运动的量”与物体速度平方成反比；1965年,“运动的量”发展为“”,并称作“活力”；科里奥利称之为“功”；1801年，托马斯·杨提出将“”称作“能”，“功能原理”和“机械能守恒”思想，自然界一切过程都必须满足能量守恒定律；从经典物理学到现代物理学，对能量的认识发生了巨大的变化：能量可连续取值普朗克指出：物体只能以为单位发射和吸收电磁波微观世界的原子光谱是线状谱能级是分立的。

可以看出：能量概念最早源于生产经过概念的比较和辨别升华为科学的概念。

物理动能与势能公式整理物理学中，动能和势能是两个重要的概念。

它们描述了物体在运动过程中的状态和性质。

本文将对动能和势能的公式进行整理和介绍，帮助读者更好地理解和应用这些公式。

一、动能公式动能是描述物体运动状态的物理量，用字母K表示。

动能与物体的质量和速度有关，其计算公式为：K = 1/2 * m * v²其中，K代表动能，m代表物体的质量，v代表物体的速度。

动能公式的推导过程如下：首先，我们可以将物体的速度v表示为位移s与时间t的比值：v = s/t。

其次，物体的位移s可以表示为速度v与时间t的乘积：s = v * t。

将上述两个等式代入动能公式中，得到：K = 1/2 * m * (s/t)²化简可得：K = 1/2 * m * (v * t)² / t²进一步简化为：K = 1/2 * m * v²动能的单位是焦耳（J），常用于描述物体的能量。

二、势能公式势能是描述物体位置状态的物理量，用字母U表示。

势能与物体的位置和力量有关，其计算公式根据具体情况而定。

下面将介绍两种常见的势能公式。

1. 重力势能重力势能是指物体在重力作用下的势能，计算公式为：Ug = m * g * h其中，Ug代表重力势能，m代表物体的质量，g代表重力加速度，h代表物体的高度。

重力势能的推导过程如下：物体的重力是其质量m与重力加速度g的乘积：Fg = m * g。

物体在高度h上所受的力为Fg，其位移为h。

根据力学功的计算公式W = F * s，重力势能可表示为：Ug = W= F * s= m * g * h2. 弹性势能弹性势能是指物体在弹性力作用下的势能，计算公式为：Us = 1/2 * k * x²其中，Us代表弹性势能，k代表弹簧的劲度系数，x代表弹簧的伸长或压缩距离。

弹性势能的推导过程如下：弹性力与弹簧的伸长或压缩距离成正比，即F = k * x。

根据力学功的计算公式W = F * s，弹性势能可表示为：Us = W= F * s= k * x * x= 1/2 * k * x²弹性势能的单位也是焦耳（J），常用于描述弹簧和弹性体的弹性性质。

教科版物理必修 2 第四章第3-4节势能；动能动能定理1 势能和动能（讲义）高中物理势能和动能知识点考纲要求题型说明势能和动能1. 理解动能和势能的概念；2. 掌握动能和势能的计算；3. 理解功是能量转换的量度。

选择题、计算题属于高频考点，是最基本的能量形式，高考中通常结合动能定理、功能关系、机械能守恒、能量守恒进行考查。

重点：动能和势能的计算。

难点：动能和势能的影响因素。

项目类别动能重力势能弹性势能定义物体由于运动而具有的能物体由于被举高而具有的能弹簧由于形变而具有的能表达式221mvEk=mghEp=2121kxE=影响因素质量、速度质量、高度劲度系数、形变量多少，外界对物体做功多少，自身能量就增加多少。

注意：我们所关注的不是物体具有多少能量，而是物体的能量转化了多少。

不同形式的能量转化对应着不同力做的功。

例题 1 一质量为m 的物体由静止开始下落，由于受空气阻力影响，物体下落的加速度为g 54，在物体下落高度为h 的过程中，下列说法正确的是（ ）A. 物体的动能增加了mgh 54 B. 物体的机械能减少了mgh 54 C. 物体克服阻力所做的功为mgh 54 D. 物体的重力势能减少了mgh 54 思路分析：根据牛顿第二定律45mgf ag m -==，根据运动学公式，下落h 高度的速度为2v ah =所以214mv mgh 25k E ==，故A 选项正确；重力势能减少了mgh =∆P E ，故机械能减少量mgh 51=∆E ，故B 选项错；同时可知阻力15f mg =，所以阻力做负功，也就是克服阻力做功为f 1mgh 5W fh ==，故C 选项错，由上面分析知，物体重力势能减少量等于重力做的功即mgh ，D 选项错。

答案：A例题2 某人用100N 的力将一质量为50g 的小球以10m/s 的速度从某一高处竖直向下抛出，经1s 小球刚好落地，不考虑空气阻力，选地面为零势能点，g ＝10m/s 2。

第四章 第二节 动能 势能.@@@一、学习目标1、理解动能的概念，会用动能的定义进行计算。

2、理解重力势能的概念，会用重力势能的定义进行计算。

3、理解重力势能的变化和重力做功的关系。

4、知道重力做功与路径无关，知道重力势能的相对性。

5、知道弹性势能以及影响弹性势能大小的因素。

@@@二、基础知识点拨（一）功和能1、能及其基本性质(1)物体具有能量就能对外界做功，因此能是物体所具有的做功本领。

(2)能的最基本的性质是：各种不同形式的能量之间互相转化的过程中，能的总量是守恒的。

2、功和能的关系(1)区别：功是反映物体间在相互作用过程中能量转化多少的物理量。

做功的过程就是能量从一个物体转移给另一个物体、或由一种形式转化为另一种形式的过程。

能量是描述物体运动状态的物理量.物体处于一定的运动状态(如速度和相对位置)就有一定的能量。

(2)联系：功是能量变化的原因和量度（二）动能1、概念：物体由于运动而具有的能量叫动能。

2、表达式：221mv E k =，该式表示物体的动能等于物体质量与物体速度的二次方的乘积的一半。

3、动能的特点（1）动能是标量，不能合成或分解，且动能只有正值。

（2）动能具有瞬时性和相对性，这是由速度的瞬时性和相对性决定的。

4、单位：国际单位是焦耳（J ）5、动能定理及其表达式（1）动能定理：合外力所做的功等于物体动能的变化。

（2）表达式：12k k E E W -=（三）重力势能1、概念：地球上的物体具有跟它的高度有关的能量叫做重力势能。

2、计算公式：mgh E p =，表示物体的重力势能等于物体所受的重力和它的高度的乘积。

3、重力势能的特点（1）重力势能的系统性。

由于重力势能与重力有关，而重力是物体由于受到地球的吸引力而产生的，所以重力势能属物体和地球组成的系统所共有，并不是被举高的物体所独有。

然而通常所说的某个物体具有多大的重力势能，这种说法只是一种简略的习惯说法。

（2）重力势能的相对性。

第四章 动能和势能（2）学习内容： 4.4 保守力与非保守力 势能 4.5 功能原理和机械能守恒定律所做的工作：1.学习力场，保守力，非保守力势能等概念。

2.讨论机械能的 变化规律――功能原理和机械能守恒定律。

4.4 保守力与非保守力，势能。

在力学中，一谈到动能，往往同时需要考虑物体的势能。

势能概念是在 保守力概念基础上提出的。

所以在具体讨论势能概念之前我们先来学习力场，保守力和非保守力等概念。

（一） 力场一般情况下，质点所收到的外力可表现为：(,,)F F t r v = （1）如果F 只与质点的位置有关，即 ()(,,)V F r F x y z ==（2）则称F 为场力，即F 为空间坐标的单值矢量函数并 把场力F 存在的空间叫做力场。

物理“场”――物质存在的一种形式。

它具有动量和能量。

在经典理学中认为：力具有超距作用，力场概念仅限于（2）式所描述的力场。

常见的力场有：○1重力场，且在不太大的 时间◎◎◎ 范围内有场力：*F maW mg =-=W mg =＝恒量 ○2静电场：静电场力（库仑力） ：314q qF r r οοε=∏电场强度：314q E r rοοε=∏ ○3平行板电容器中的静电场 场强：E =恒量F`（x ，y ，z ） YXF （x ，y ，z ）RR` Z○4弹簧弹性力――――场力显然，○2和○4两种情况下，质点所受力的作用线始终通过某一固定点，称该力为有心力，并称该O 为力心。

另外，上述各力都只与质点的位置有关，所以，都是场力。

与此相反：洛仑兹力 F q E q V B =+⨯ 与V 有关摩镲力：F kV =-或F N μ=非主动力，由运动状态及其他外力而定。

都不是场力。

加速参考系的惯性力：*F ma =- 与 W m g =相类似。

离心惯性力：()()bx y a A F ar F i F j axi ayj ==++⎰⎰*2f mv r λ=- ⇒有心力科氏奥里力 *`2k f mv ω=⨯ 不是场力。