广西桂林市、崇左市、百色市2017届高三下学期第一次联合模拟（一模）考试数学试卷（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}04|{2>-=x x M ，},1321|{Z x x N x ∈<≤=，则=N M （ ） A ．}0{ B ．}1,0{ C ．}2,1,0{ D ．}3,2,1,0{2.设复数21,Z Z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，i i Z -=-3)1(1，则=2Z （ ） A ．i +2 B ．i -2 C ．i +-2 D ．i --23.已知数列}{n a 满足021=-+n n a a ，若212=a ，则数列}{n a 的前11项和为（ ） A ．256 B ．41023C ．10242047D ．204840954.在区间]1,0[上随机取两个数，则这两个数之和小于23的概率是（ ）A ．81B ．83 C. 85 D ．875. 如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是（ ）A ．7.0B ．75.0 C. 8.0 D ．9.0 6.设2log 3=a ，2ln =b ，215-=c ，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >> C. b c a >> D ．c a b >> 7.某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形，则该四棱锥的体积是（ ）A ．34 B ．322 C. 332 D ．38 8.已知函数xax x f +=2)(，则“20<<a ”是“函数)(x f 在),1(+∞上为增函数”的（ ） A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件9.下列函数中，其定义域和值域与函数x e y ln =的定义域和值域相同的是（ ） A ．x y = B ．x y ln = C. xy 1=D ．x y 10= 10.已知函数2)ln()(x e e x f x x ++=-，则使得)3()2(+>x f x f 成立的x 的取值范围是（ ）A ．)3,1(-B ．),3()3,(+∞--∞ C. )3,3(- D ．),3()1,(+∞--∞11.在长方体1111D C B A ABCD -中,C B 1和D C 1与底面所成的角分别为60和45，则异面直线C B 1和D C 1所成的角的余弦值为（ ）A ．36 B ．46 C. 62 D ．6312.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且]4,6[ππα∈，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ）A ．]13,22[- B ．)1,22[ C. ]23,22[ D ．]36,33[第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y ，则22y x +的最大值为 ．14. 如图，在ABC ∆中，D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，连接AD ，E 为线段AD 的中点，若n m +=，则=+n m ．15.已知n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若20171-=a ，62008201420082014=-S S ，则=2017S ．16.有6名选手参加学校唱歌比赛，学生甲猜测：4号或5号选手得第一名；学生乙猜测：3号选手不可能得第一名；学生丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；学生丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名.比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜对，则此人是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.四边形ABCD 如图所示，已知2===CD BC AB ，32=AD . （1）求C A cos cos 3-的值；（2）记ABD ∆与BCD ∆的面积分别是1S 与2S ，求2221S S +的最大值.18.某市为了制定合理的节点方案，供电局对居民用电情况进行了调查，通过抽样，获得了某年200户居民每户的月均用电量（单位：度），将数据按照)100,0[，)200,100[，)300,200[，)400,300[，)500,400[，)600,500[，)700,600[，)800,700[，]900,800[，分成9组，制成了如图所示的频率直方图.（1）求直方图中m 的值，并估计居民月均用电量的中位数；（2）现从第8组)800,700[和第9组]900,800[的居民中任选取2户居民进行访问，则两组中各有一户被选中的概率.19.如图,在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，⊥PA 底面ABCD ，PB PA =，F E ,分别是PB PA ,的中点.（1）在图中画出过点F E ,的平面α，使得//α平面PCD （须说明画法，并给予证明）；（2）若过点F E ,的平面//α平面PCD 且截四棱锥ABCD P -所得截面的面积为223，求四棱锥ABCD P -的体积.20.如图，过椭圆C ：1422=+y x 的左右焦点21,F F 分别作直线1l ，2l 交椭圆于B A ,与D C ,，且21//l l .（1）求证：当直线1l 的斜率1k 与直线BC 的斜率2k 都存在时，21k k 为定值； （2）求四边形ABCD 面积的最大值.21.已知函数)()(2R a e ax x f x ∈-=在),0(+∞上有两个零点为)(,2121x x x x <. （1）求实数a 的取值范围； （2）求证：421>+x x .请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是8=y ，圆C 的参数方程是⎩⎨⎧+==ϕϕsin 22cos 2y x （ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 和圆C 的极坐标方程； （2）射线OM ：αθ=（其中20πα<<）与圆C 交于P O ,两点，与直线l 交于点M ，射线ON ：2παθ+=与圆交于点Q O ,两点，求||||||||ON OQ OM OP ⋅的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲设不等式0|2||1|2<+--<-x x 的解集为M ，且M b a ∈,. （1）证明：41|6131|<+b a ； （2）比较|41|ab -与||2b a -的大小，并说明理由.试卷答案一、选择题1-5: BCCDA 6-10: DABCD 11、12：BA 二、填空题13. 5 14. 21- 15. 2017- 16. 丁 三、解答题17.解：（1）在ABD ∆中，A A AD AB AD AB BD cos 3816cos 2222-=⋅-+=， 在BCD ∆中，C C CD BC CD BC BD cos 88cos 2222-=⋅-+=， 所以1cos cos 3=-C A . （2）依题意A A AD AB S 222221cos 1212sin 41-=⋅=，C C CD BC S 222222cos 44sin 41-=⋅=， 所以C C C A S S 22222221cos 4)1(cos 416cos 44cos 1212-+-=-+-=+14)21(cos 812cos 8cos 822++-=+--=C C C ，因为4232<<-BD ，所以)16,3816(cos 882-∈=-BD C .解得13cos 1-<<-C ，所以142221≤+S S ，当21cos -=C 时取等号，即2221S S +的最大值为14. 18.解：（1）由)0002.00004.00006.00025.00021.00008.00004.0(1001++++++⨯- 1002⨯=m ，∴0015.0=m .设中位数是x 度，前5组的频率之和为5.075.025.021.015.008.004.0>=++++， 而前4组的频率之和为5.048.021.015.008.004.0<=+++，所以500400<<x ，48.05.0)400(0025.0-=-x ，故48.0=x ，即居民月均用电量的中位数为408度.（2）由题意知，第8组的户数为41001000004.0=⨯⨯，分别设为4321,,,A A A A ，第9组的户数为21001000002.0=⨯⨯，分别设为21,B B ，则从中任选出2户的基本事件为),(21A A ，),(31A A ，),(41A A ，),(11B A ，),(21B A ，),(32A A ，),(42A A ，),(12B A ，),(22B A ，),(43A A ，),(13B A ，),(23B A ，),(14B A ，),(24B A ，),(21B B ，共15种风，其中两组中各有一户被选中的基本事件为：),(11B A ，),(21B A ，),(12B A ，),(22B A ，),(13B A ，),(23B A ，),(14B A ，),(24B A 共8种.所以第8,9组各有一户被选中的概率158=P . 19.（1）证明：如图所示，分别取BC AD ,的中点G H ,，连接FG HG EH EF ,,,，因为AB EF //，HG AB //，所以HG EF //，即H G F E ,,,四点共面，则平面FEHG 为所求平面α，因为PD EH //，⊄EH 面PCD ，⊂PD 面PCD ，所以//EH 面PCD . 同理可得：//HG 面PCD ，且H EH HG = ，所以//α面PCD .（2）设a PA 2=，则a EF =，a GH 2=，由（1）知截面α面积为梯形EFGH 的面积， ∵⊥PA 面ABCD ，AB 是PB 在平面ABCD 的射影，且BC AB ⊥，∴BC PB ⊥， 同理可证：GH EH ⊥，所以梯形EFGH 为直角梯形. 在FBG Rt ∆中，a BG a BF ==,2，∴a GH 2=，∴2232)(=⋅+=EH GH EF S EFGH 梯形，∴1=a ，∴33138=⋅=-ABCD ABCD P S PA V 正方形. 20.证明：（1）设),(11y x A ,),(22y x B ,根据对称性，有),(11y x C --，因为),(11y x A ,),(22y x B 都在椭圆C 上，所以142121=+y x ，142222=+y x ，二式相减得，0422212221=-+-y y x x ，所以41212221221212121221-=--=++⋅--=x x y y x x y y x x y y k k 为定值. （2）当1l 的倾斜角为0时，1l 与2l 重合，舍去.当1l 的倾斜角不为0时，由对称性得四边形ABCD 为平行四边形，)0,3(1-F ，设直线1l 的方程为3-=my x ，代入1422=+y x ，得0132)4(22=--+y y m .显然0>∆，432221+=+m y y ，41221+-=⋅m y y . 所以22222221)4(132414)432(23||321++⋅=+-⋅-+⋅=-⋅⋅=∆m m m m m y y S OAB设t m =+12，所以12-=t m ，),1(+∞∈t .所以12169196)4(12222≤++=++=++tt t t t m m .当且仅当t t 9=即2±=m 时等号成立，所以112132)(max =⋅=∆OAB S . 所以平行四边形面积的最大值为4)(4)(max =⋅=∆O AB ABCD S S .21.解：（1）∵xe ax xf -=2)(在),0(+∞上有两个零点，∴方程2xe a x=，则3)2()('x x e x h x -=，于是)2,0(∈x 时，0)('<x h ，即)(x h 在)2,0(上单调递减；当),2(+∞∈x 时，0)('>x h ，即)(x h 在),2(+∞上单调递增，∴4)2()(2min e h x h ==，∴a 的取值范围为),4(2+∞e .（2）∵1x ，2x （21x x <）是xe ax xf -=2)(在),0(+∞上的零点， ∴121xe ax =，222xe ax =，两式相除可得12212)(x x e x x -=. 令)1(12>=t t x x ，①上式变为122x x et -=，即t t x x ln 2ln 212==-，②联立①②解得1ln 21-=t tx ，1ln 22-=t t t x 要证明421>+x x ，即证明41ln 21ln 2>-+-t tt t t ，即证明22ln ln ->+t t t t . 令22ln ln )(+-+=t t t t t h ，则1ln 1)('-+=t t t h ，令1ln 1)(-+=t tt ϕ，0111)('22>-=-=tt t t t ϕ，故)(t ϕ在),1(+∞上单调递增，故0)1()(=>ϕϕt ，即0)('>t h .故)(t h 在),1(+∞上单调递增，故0)1()(=>h t h ，即22ln ln ->+t t t t ，得证.22.（1）直线l 的极坐标方程是8sin =θρ.圆C 的普通方程分别为4)2(22=-+y x ，所以圆C 的极坐标方程是θρsin 4=.（2）依题意得，点M P ,的极坐标分别为⎩⎨⎧==αθαρsin 4和⎩⎨⎧==αθαρ8sin ，所以αsin 4||=OP ，αsin 8||=OM .从而2sin sin 8sin 4||||2ααα==OM OP ，同理，2)2(sin ||||2πα+=ON OQ .所以162sin 2)2(sin 2sin ||||||||222απαα=+⋅=⋅ON OQ OM OP .故当4πα=时，||||||||ON OQ OM OP ⋅的值最大，该最大值是161.23.解：（1）记⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<----≤=+--=1,312,122,3|2||1|)(x x x x x x x f ，由0122<--<-x ，解得2121<<-x ，则)21,21(-=M .所以4121612131||61||31|6131|=⨯+⨯<+≤+b a b a .（2）由（1）得412<a ，412<b .因为)2(4)1681(||4|41|222222b ab a b a ab b a ab +--+-=---0)14)(14(22>--=b a ，所以22||4|41|b a ab ->-，即||2|41|b a ab ->-.。
