两点、点到直线、平行线间的距离公式练习

3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离一、基础达标1．(2014·济宁高一检测)两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于()A.75 B.715C.415 D.23答案 C解析l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，由平行线间的距离公式得d＝|－6＋10|92＋122＝415.2．到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为() A．3x－4y－1＝0B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0C．3x－4y＋1＝0D．3x－4y－21＝0答案 B解析设所求的直线方程为3x－4y＋c＝0.由题意|c－(－11)|32＋(－4)2＝2，解得c＝－1或c＝－21.故选B.3．点P(a,0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为() A．a>7 B．a<－3C．a>7或a<－3 D．a>7或－3<a<7答案 C解析根据题意，得|3a－6|32＋42>3，解得a>7或a<－3.4．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m＝()A．0或12 B.12或－6C．－12或12D．0或－12答案 B解析由题意知直线mx＋y＋3＝0与AB平行或过线段AB的中点，则有－m＝4－2－1－3或m×3－12＋2＋42＋3＝0，所以m＝12或m＝－6.5．倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为________．答案3x－y＋10＝0或3x－y－10＝0解析因为直线斜率为tan 60°＝3，可设直线方程为y＝3x＋b，化为一般式得3x－y＋b＝0.由直线与原点距离为5，得|0－0＋b|(3)2＋(－1)2＝5⇒|b|＝10.所以b＝±10.所以直线方程为3x－y＋10＝0或3x－y－10＝0.6．若点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值是________．答案2 2解析|OP|的最小值，即为点O到直线x＋y－4＝0的距离．d＝|0＋0－4|1＋1＝2 2.7．直线l过原点，且点(2,1)到l的距离为1，求l的方程．解由题意可知，直线l的斜率一定存在．又直线l过原点，设其方程为y＝kx，即kx－y＝0.由点(2,1)到l的距离为1，得|2k－1|k2＋1＝1.解得k＝0或k＝4 3.∴直线l的方程为y＝0或4x－3y＝0.二、能力提升8．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是() A．3x－2y－6＝0 B．2x＋3y＋7＝0C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0答案 D解析 法一 设所求直线的方程为2x ＋3y ＋C ＝0， 由题意可知|2－3－6|22＋32＝|2－3＋C |22＋32. ∴C ＝－6(舍)或C ＝8.故所求直线的方程为2x ＋3y ＋8＝0.法二 令(x 0，y 0)为所求直线上任意一点，则点(x 0，y 0)关于(1，－1)的对称点为(2－x 0，－2－y 0)，此点在直线2x ＋3y －6＝0上，代入可得所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0.9．两平行线分别经过点A (5,0)，B (0,12)，它们之间的距离d 满足的条件是( ) A ．0<d ≤5 B ．0<d ≤13 C ．0<d <12 D ．5≤d ≤12答案 B解析 当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大，为|AB |＝13，所以0<d ≤13.10．两平行线l 1：3x ＋4y －2＝0与l 2：2x ＋my －1＝0的距离为________． 答案 110解析 由l 1∥l 2知m ＝83，将直线l 2：2x ＋83y －1＝0变形为3x ＋4y －32＝0， 由两平行线间的距离公式得d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3232＋42＝110.11．求与两平行线l 1：3x ＋4y －10＝0和l 2：3x ＋4y －12＝0距离相等的直线l 的方程．解 设P (x ，y )是所求直线上任一点，则|3x ＋4y －10|32＋42＝|3x ＋4y －12|32＋42，化简得3x ＋4y －11＝0，即为所求直线的方程． 三、探究与创新12．已知点P (a ，b )在线段AB 上运动，其中A (1,0)，B (0,1)．试求(a ＋2)2＋(b ＋2)2的取值范围．解 由(a ＋2)2＋(b ＋2)2联想两点间距离公式，设Q (－2，－2)，又P (a ，b )则|PQ|＝(a＋2)2＋(b＋2)2，于是问题转化为|PQ|的最大、最小值．如图所示：当P与A或B重合时，|PQ|取得最大值：(－2－1)2＋(－2－0)2＝13.当PQ⊥AB时，|PQ|取得最小值，此时|PQ|为Q点到直线AB的距离，由A、B两点坐标可得直线AB的方程为x＋y－1＝0.则Q点到直线AB的距离d＝|－2＋(－2)－1|12＋12＝52＝522，∴252≤(a＋2)2＋(b＋2)2≤13.13．直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程．解(1)若直线l1，l2的斜率存在，设直线的斜率为k，由斜截式得l1的方程y ＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，因为直线l1过点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝|－1－5k|(－1)2＋k2＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝12 5，∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.(2)若l1、l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．综上所述，满足条件的直线方程有两组：l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；或l1：x＝0，l2：x＝5.。

点到直线的距离、两条平行线间的距离题型全归纳【知识梳理】点到直线的距离与两条平行线间的距离题型一、点到直线的距离【例1】 求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.【类题通法】应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．【对点训练】1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A .2 B ．2－ 2 C .2－1D .2＋12．点P(2,4)到直线l：3x＋4y－7＝0的距离是________．题型二、两平行线间的距离【例2】求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．【类题通法】求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝|b1－b2|k2＋1；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝|C1－C2|A2＋B2.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．【对点训练】3．两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．题型三、距离的综合应用【例3】求经过点P(1,2)，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线l的方程．【类题通法】解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征，然后由已知条件写出l的方程．【对点训练】4．求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．5. 已知A(-2,0),B(2,-2),C(0,5),过点M(-4,2)且平行于AB的直线l将△ABC分成两部分,求此两部分面积的比.题型四距离最值问题例4.已知P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+6=0上任一点,则|PQ|的最小值为()A.B.C.3 D.6例5.已知x+y-3=0,则的最小值为.例6.已知直线l1过A(3,0),直线l2过B(0,4),且l1∥l2,用d表示l1与l2间的距离,则d的取值范围是.【练习反馈】1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()A．1B. 3C．2 D. 52．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为()A．1 B. 2C. 3 D．23．直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为________．4．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．5．已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.点到直线的距离、两条平行线间的距离题型全归纳参考答案【例1】[解] (1)185.(2) 8.(3) 1.【对点训练】 1．选C 2．答案：3【例2】设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋－2，解得C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 【对点训练】 3．104【例3】[解]当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)．由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0. 【对点训练】4．x ＝2或4x －3y －10＝0. 5.两部分的面积之比为. 例4.答案:C 例5.答案:例6.答案:(0,5] 【练习反馈】1．选D 2．选B 3．12 4．答案：－3或1735．解：由直线方程的两点式得直线BC 的方程为 y2－0＝x ＋31＋3，即x －2y ＋3＝0.由两点间距离公式得|BC |＝－3－2＋－2＝25，点A 到BC 的距离为d ，即为BC 边上的高，d ＝|－1－2×3＋3|12＋－2＝455，所以S ＝12|BC |·d ＝12×25×455＝4， 即△ABC 的面积为4.。

点到直线的距离、两平行线间的距离层级一 学业水平达标1．点P (1，－1)到直线l ：3y ＝2的距离是( ) A ．3B.53C ．1D.22解析：选B 点P (1，－1)到直线l 的距离d ＝|3×－1－2|02＋32＝53，选B. 2．已知点M (1,4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m ＝( ) A ．0 B.34 C ．3D ．0或34解析：选D 点M 到直线l 的距离d ＝|m ＋4－1|m 2＋1＝|m ＋3|m 2＋1，所以|m ＋3|m 2＋1＝3，解得m ＝0或m ＝34，选D.3．已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，则△ABC 的面积等于( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选C 设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h .|AB |＝3－12＋1－32＝22，AB 边上的高h 就是点C 到直线AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x＋y －4＝0.点C 到直线x ＋y －4＝0的距离为|－1＋0－4|2＝52，因此，S △ABC ＝12×22×52＝5.4．已知点P (1＋t,1＋3t )到直线l ：y ＝2x －1的距离为55，则点P 的坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(2,4) C ．(0，－2)或(2,4)D ．(1,1)解析：选C 直线l ：y ＝2x －1可化为2x －y －1＝0，依题意得|21＋t －1＋3t －1|22＋－12＝55，整理得|t |＝1，所以t ＝1或－1.当t ＝1时，点P 的坐标为(2,4)；当t ＝－1时，点P 的坐标为(0，－2)，故选C.5．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1，l 2间的距离是( ) A.423B.823C ．4 2D ．2 2解析：选B ∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a a －2－3＝0，2a －6a －2≠0，解得a ＝－1.∴l 1的方程为x －y ＋6＝0，l 2的方程为－3x ＋3y －2＝0，即x －y ＋23＝0，∴l 1，l 2间的距离是⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋－12＝823. 6．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________． 解析：∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4，∴|16－12k |＝52， ∴k ＝－3，或k ＝173.答案：－3或1737．直线4x －3y ＋5＝0与直线8x －6y ＋5＝0的距离为________．解析：直线8x －6y ＋5＝0化简为4x －3y ＋52＝0，则由两平行线间的距离公式得⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－5242＋32＝12. 答案：128．已知直线l 与直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0间的距离相等，则直线l 的方程是________．解析：由题意可设直线l 的方程为2x －y ＋c ＝0，于是有|c －3|22＋－12＝|c ＋1|22＋－12，即|c －3|＝|c ＋1|.∴c ＝1，∴直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝09．求过点P (0,2)且与点A (1,1)，B (－3,1)等距离的直线l 的方程．解：法一：∵点A (1,1)与B (－3,1)到y 轴的距离不相等，∴直线l 的斜率存在，设为k .又直线l 在y 轴上的截距为2，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0.由点A (1,1)与B (－3,1)到直线l 的距离相等， 得|k －1＋2|k 2＋1＝|－3k －1＋2|k 2＋1，解得k ＝0或k ＝1. ∴直线l 的方程是y ＝2或x －y ＋2＝0.法二：当直线l 过线段AB 的中点时，直线l 与点A ，B 的距离相等． ∵AB 的中点是(－1,1)，又直线l 过点P (0,2)， ∴直线l 的方程是x －y ＋2＝0；当直线l ∥AB 时，直线l 与点A ，B 的距离相等． ∵直线AB 的斜率为0，∴直线l 的斜率为0，∴直线l 的方程为y ＝2.综上所述，满意条件的直线l 的方程是x －y ＋2＝0或y ＝2. 10.如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2，l 1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l 2的方程．解：设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )．∴|AD |＝2，|BC |＝2b .梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离， 故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形的面积公式得2＋2b 2×b －12＝4， ∴b 2＝9，b ＝±3.又b >1，∴b ＝3.从而得直线l 2的方程是x ＋y －3＝0.层级二 应试实力达标1．已知直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0相互平行，则它们之间的距离是( ) A ．4B.1020C.104D.71020解析：选D ∵3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0相互平行，∴m ＝2.直线6x ＋2y ＋1＝0可以化为3x ＋y ＋12＝0，由两条平行直线间的距离公式，得d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋332＋12＝71020，选D.2．两平行线分别经过点A (3,0)，B (0,4)，它们之间的距离d 满意的条件是( ) A ．0＜d ≤3 B ．0＜d ≤5 C ．0＜d ＜4D ．3≤d ≤5解析：选B 当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大为|AB |＝5，所以0＜d ≤5. 3．假如点P 到点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3及直线x ＝－12的距离都相等，那么满意条件的点P有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．多数个解析：选B 因为点P 到点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3的距离相等，所以点P 在线段AB 的垂直平分线y ＝32上．直线AB 与直线x ＝－12平行，且两平行线间的距离为1.又1<|AB |2＝32，所以满意条件的点P 有1个．4．已知定点P (－2,0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ(λ∈R)，则点P 到直线l 的距离的最大值为( )A ．2 3 B.10 C.14D ．215解析：选 B 将(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ变形，得(x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，所以l 是经过两直线x ＋y －2＝0和3x ＋2y －5＝0的交点的直线系．设两直线的交点为Q ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，得交点Q (1,1)，所以直线l 恒过定点Q (1,1)，于是点P 到直线l 的距离d ≤|PQ |＝10，即点P 到直线l 的距离的最大值为10.5．已知5x ＋12y ＝60，则 x 2＋y 2的最小值是________．解析： x 2＋y 2表示直线5x ＋12y ＝60上的点到原点的距离，在全部这些点到原点距离中，过原点且垂直于直线5x ＋12y ＝60的垂线段的长最小，故最小值为d ＝6052＋122＝6013. 答案：60136．在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3,1)距离为2的直线共有________条．解析：由题可知所求直线明显不与y 轴平行， ∴可设直线为y ＝kx ＋b ，即kx －y ＋b ＝0.∴d 1＝|k －2＋b |k 2＋1＝1，d 2＝|3k －1＋b |k 2＋1＝2，两式联立，解得b 1＝3，b 2＝53，∴k 1＝0，k 2＝－43.故所求直线共有两条．答案：27．已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点P (4,3)到直线l 的距离为32，求直线l 的方程．解：由题意知，若截距为0， 可设直线l 的方程为y ＝kx .由题意知|4k －3|k 2＋1＝32，解得k ＝－12±3142.若截距不为0，设所求直线l 的方程为x ＋y －a ＝0. 由题意知|4＋3－a |2＝32，解得a ＝1或a ＝13.故所求直线l 的方程为y ＝－12＋3142x ，y ＝－12－3142x ，x ＋y －1＝0或x ＋y －13 ＝0.8．已知点P (a ，b )在线段AB 上运动，其中A (1,0)，B (0,1)．试求(a ＋2)2＋(b ＋2)2的取值范围．解：由(a ＋2)2＋(b ＋2)2联想两点间的距离公式，设Q (－2，－2)，又P (a ，b )，则|PQ |＝a ＋22＋b ＋22，于是问题转化为求|PQ |2的最大值、最小值．如图所示，当P 与A 或B 重合时，|PQ |取得最大值，即－2－12＋－2－02＝13.当PQ ⊥AB 时，|PQ |取得最小值，此时|PQ |为Q 点到直线AB 的距离，由A ，B 两点坐标可得直线AB 的方程为x ＋y －1＝0.则Q 点到直线AB 的距离d ＝|－2－2－1|12＋12＝52＝522， ∴252≤(a ＋2)2＋(b ＋2)2≤13.。

高中必修2-3.4点到点、点到直线、直线与直线间的距离一、两点间的距离思考：已知平面上两点P 1（x 1,y 1)， P 2（x 2,y 2),如何求P 1,P 2的距离 P 1P 2 ？在直角△P 1QP 2中，特别地，原点O （0，0）与任意一点P(x,y)的距离为22y x OP +=例1、已知点A （-1，2），B （2，7），在x 轴上求一点P ，使PB PA =，并求PA 的值。

例2、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

二、点到直线距离公式.已知点P 0(x 0，y 0)，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，则点P 0到直线l 的距离是_______________.2221221QP Q P P P +=1221212211y y N N QP x x M M Q P -==-==()()21221221y y x xP P -+-=结论：点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离为：例1 求点P(-1,2)到直线①2x+y -10=0； ②3x=2的距离。

解： ①根据点到直线的距离公式，得()521210211222=+-⨯+-⨯=d②如图，直线3x=2平行于y 轴，35)1(32=--=∴d小结：1.点到直线距离公式 注意： 化为一般式．2.特殊情况三、两平行线间距离公式.2.两条平行线Ax+By+C 1=0与Ax+By+C 2=0的距离是取直线Ax+By+C 1=0上一点P 0(x 0，y 0)，当x= x 0时，y 0=-0B ，即点P 0坐标为： P 0(x 0，-AX 0+CB)， P 0到直线Ax+By+C 2=0的距离是例2 求平行线2x -7y+8=0与2x -7y-6=0的距离。

分析：直线到直线的距离转化为点到直线的距离课后高频考点练习直线的交点坐标与距离公式高频考点练习题（人教A版）一、单选题(共12道，每道8分)1.已知点A(2，m)与点B(m，1)之间的距离等于，则实数m的值为( )A.-1B.4C.-1或4D.-4或12.已知点A(-1，2)，点B(2，)，点P在x轴上，使，则点P坐标是( )A.(2，0)B.(-2，0)C.(1，0)D.(-1，0)3.过和的交点且与平行的直线是( )A. B. C. D.4.若直线经过直线和的交点，且垂直于直线，则直线的方程为( )A. B. C. D.5.已知点M(2，-3)，N(-3，-2)，直线与线段MN相交，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.6.无论m取何实数，直线恒过定点( )A.(2，3)B.(1，3)C.(2，4)D.(3，4)7.若M(2，3)，N(4，-5)，直线过P(1，2)，且点M，N到直线的距离相等，则直线的方程为( )A. B. C.D.8.两平行直线与之间的距离为( )A. B. C.1 D.9.与直线的距离为的直线的方程是( )A. B. C. D.10.到两直线和的距离相等的点P(x，y)满足的方程是( )A. B. C. D.11.已知两条平行直线，，则到直线的距离与到直线的距离之比是3：2的直线方程是( )A. B.C. D.12.已知，，则S的最小值是( )A.0B.2C.4D.参考答案：1.解题思路：试题难度：三颗星知识点：两点间距离公式的应用2.解题思路：试题难度：三颗星知识点：两点间距离公式的应用3. 解题思路：试题难度：三颗星知识点：两条直线的交点坐标4.解题思路：试题难度：三颗星知识点：两条直线的交点坐标5.解题思路：试题难度：三颗星知识点：恒过定点的直线6.解题思路：试题难度：三颗星知识点：恒过定点的直线7.解题思路：试题难度：三颗星知识点：点到直线的距离公式8. 解题思路：试题难度：三颗星知识点：两条平行直线间的距离9. 解题思路：试题难度：三颗星知识点：两条平行直线间的距离10.解题思路：试题难度：三颗星知识点：两条平行直线间的距离11.解题思路：试题难度：三颗星知识点：两条平行直线间的距离12.解题思路：试题难度：三颗星知识点：两点间距离公式的应用。

1．5 平面直角坐标系中的距离公式填一填1.两点间的距离公式 (1)数轴上：一般地，数轴上两点A ，B 对应的实数分别是x A ，x B ，则|AB |＝|x B －x A |. (2)平面直角坐标系中：一般地，若两点A ，B 对应的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12. 2．点到直线的距离点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离记为d ，则d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. 3．两平行线间的距离两条平行直线的方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，两条直线间的距离记为d ，即d ＝|C 2－C 1|A 2＋B2.判一判1.原点O 到点P (x ，y )的距离为|OP |＝x 2＋y 2.(√) 23．平面内任意两点间的距离均可使用两点间的距离公式．(√)4．直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的距离是|C 1－C 2|.(×)5．原点到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式是|C |A 2＋B2.(√)6．平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值．(√) 7．连接两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离．(×)8想一想1. 提示：点到直线的距离公式只适用直线方程的一般式．2．两条平行直线间的距离公式写成d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时对两条直线应有什么要求？提示：两条平行直线的方程都是一般式，并且x ，y 的系数分别对应相等． 3．两条平行直线间距离有哪几种求法？ 提示：(1)直接利用两平行线间的距离公式．(2)在一条直线上任意选取一点利用点到直线的距离公式求解(一般要选特殊的点，如直线与坐标轴的交点、坐标为整数的点)．(3)当两直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决． ①当两直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则d ＝|x 2－x 1|； ②当两直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则d ＝|y 2－y 1|. 4．距离公式综合应用的常见类型有哪些？ 提示：(1)最值问题．①利用对称转化为两点之间的距离问题．②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值． (2)求参数问题．利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值． (3)求方程的问题．立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．思考感悟：练一练1.已知A (3,7)，B A ．5 B. 5 C ．3 D ．29 答案：B2．已知直线上两点A (a ，b )，B (c ，d )，且a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0，则( ) A ．原点一定是线段AB 的中点 B ．A ，B 一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上，但不是线段AB 的中点D ．原点一定在线段AB 的垂直平分线上 答案：D3．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )A ．3 2 B.22C ．3 D.322答案：D4．点(5，－3)到直线x ＋2＝0的距离等于( ) A ．7 B ．5 C ．3 D ．2 答案：A5．直线l 1：x ＋y ＝0与直线l 2：2x ＋2y ＋1＝0间的距离是________．答案：24知识点一两点间距离公式的应用1.已知点A (2，m )与点B (m,1)间的距离是13，则实数m ＝( )A ．－1B ．4C ．－1或4D ．－4或1 解析：∵|AB |＝m －22＋1－m 2＝13，∴m 2－3m －4＝0，解得m ＝－1或m ＝4. 答案：C2．已知点A (2,1)，B (－2,3)，C (0,1)，则△ABC 中，BC 边上的中线长为________． 解析：BC 中点为(－1,2)，所以BC 边上中线长为2＋12＋1－22＝10. 答案：10知识点二 求点到直线的距离3.已知点(a,1)到直线x －y ＋1＝0的距离为1，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C. 2 D ．± 2解析：由题意，得|a －1＋1|12＋－12＝1，即|a |＝2， 所以a ＝± 2.故选D. 答案：D4．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是原点，则|OP |的最小值是( ) A.10 B ．2 2 C. 6 D ．2解析：由题意可知|OP |的最小值即原点(0,0)到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|－4|2＝2 2.知识点三 两条平行直线间的距离5.12b ＋c 等于( )A ．－12B ．48C ．36D ．－12或48解析：将l 1：3x ＋4y ＋5＝0改写为6x ＋8y ＋10＝0， 因为两条直线平行，所以b ＝8. 由|10－c |62＋82＝3，解得c ＝－20或c ＝40.所以b ＋c ＝－12或48.故选D. 答案：D6．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A ．4 B.21313C.51326 D.71326解析：由两直线平行可知36＝2m ≠－31，故m ＝4.又方程6x ＋4y ＋1＝0可化简为3x ＋2y ＋12＝0，∴平行线间的距离为|12－－3|22＋32＝71326.故选D. 答案：D知识点四 对称问题7.直线y ＝3xA ．y ＝3x －10B ．y ＝3x －18C ．y ＝3x ＋4D ．y ＝4x ＋3解析：在直线上任取两点A (1，－1)，B (0，－4)，则其关于点P 的对称点A ′，B ′可由中点坐标公式求得为A ′(3，－1)，B ′(4,2)，由两点式可求得方程为y ＝3x －10.答案：A8．直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线的方程是( ) A ．3x －2y ＋2＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0 D ．2x ＋3y ＋8＝0解析：由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x ＋3y －6＝0平行，则可设所求直线的方程为2x ＋3y ＋C ＝0(C ≠－6)．在直线2x ＋3y －6＝0上任取一点(3,0)，其关于点(1，－1)对称的点为(－1，－2)，则点(－1，－2)必在所求直线上，∴2×(－1)＋3×(－2)＋C ＝0，解得C ＝8. 故所求直线的方程为2x ＋3y ＋8＝0. 答案：D综合知识 距离公式的综合应用9.已知△ABC 中，A (2，－1)，B (4,3)，C (3，－2)． (1)求BC 边上的高所在直线方程的一般式； (2)求△ABC 的面积．解析：(1)因为k BC ＝3－－24－3＝5，所以BC 边上的高AD 所在直线斜率k ＝－15.所以AD 所在直线方程为y ＋1＝－15(x －2)．即x ＋5y ＋3＝0.(2)BC 的直线方程为：y ＋2＝5(x －3)． 即5x －y －17＝0，点A 到直线BC 的距离为|2×5－－1－17|52＋－12＝626. 又因为|BC |＝3－42＋－2－32＝26，所以△ABC 的面积S ＝12×626×26＝3.10．已知直线l 1经过点A (0,1)，直线l 2经过点B (5,0)，且直线l 1∥l 2，l 1与l 2间的距离为5，求直线l 1，l 2的方程．解析：∵直线l 1∥l 2，∴当直线l 1，l 2垂直于x 轴时，直线l 1的方程为x ＝0，直线l 2的方程为x ＝5， 这时直线l 1，l 2之间的距离等于5，符合题意． 当直线l 1，l 2不垂直于x 轴时，可设其斜率为k ， 依题意得，直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0，直线l 2的方程为y ＝k (x －5)， 即kx －y －5k ＝0.由两条平行直线间的距离公式，得|1＋5k |1＋k2＝5， 解得k ＝125.∴直线l 1的方程为12x －5y ＋5＝0，直线l 2的方程为12x －5y －60＝0.综上，符合题意的直线l 1，l 2的方程有两组：l 1：x ＝0，l 2：x ＝5或l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0.基础达标一、选择题1．点P (1，－1)到直线l ：3y ＝2的距离是( )A ．3 B.53C ．1 D.22解析：点P (1，－1)到直线l 的距离d ＝|3×－1－2|02＋32＝53，选B. 答案：B2．已知点M (1,4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m ＝( )A ．0 B.34C ．3D ．0或34解析：点M 到直线l 的距离d ＝|m ＋4－1|m 2＋1＝|m ＋3|m 2＋1，所以|m ＋3|m 2＋1＝3，解得m ＝0或m ＝34，选D.答案：D3．两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0间的距离为( ) A.1310 B.135 C.72 D.235解析：直线3x ＋4y －12＝0，即直线6x ＋8y －24＝0，根据直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0平行，可得a ＝6，故两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0间的距离为|－24－11|36＋64＝72. 答案：C4．已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，则△ABC 的面积等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析：设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h .|AB |＝3－12＋1－32＝22，AB 边上的高h 就是点C 到直线AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y －4＝0.点C 到直线x ＋y －4＝0的距离为|－1＋0－4|2＝52，因此，S △ABC ＝12×22×52＝5.答案：C5．直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，原点O 到l 的距离为1，且l 与y 轴正半轴有交点．则直线l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：因为直线l 与直线y ＝x ＋1垂直，所以设直线l 的方程为y ＝－x ＋b .又l 与y 轴正半轴有交点，知b >0，即x ＋y －b ＝0(b >0)，原点O (0,0)到直线x ＋y －b ＝0(b >0)的距离为|0＋0－b |12＋12＝1，解得b ＝2(b ＝－2舍去)，所以所求直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 答案：A6．已知△ABC 的三个顶点是A (－a,0)，B (a,0)和C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，32a ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．斜三角形解析：因为k AC ＝32a a 2＋a ＝33，k BC ＝32a a2－a＝－3，k AC ·k BC ＝－1，所以AC ⊥BC ，又|AC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＝3|a |. |BC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －02＝|a |，|AC |≠|BC |. 所以△ABC 为直角三角形．答案：C7．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 C. 2 D ．4解析：由题意，知点M 在直线l 1与l 2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋7|2＝|c ＋5|2，即c ＝－6，∴点M 在直线x ＋y －6＝0上，∴点M 到原点的距离的最小值就是原点到直线x ＋y －6＝0的距离，即|－6|2＝3 2.答案：A 二、填空题8．已知点A (－1,2)，B (3，b )的距离是5，则b ＝________.解析：根据两点间的距离公式，可得3＋12＋b －22＝5，解得b ＝5或b ＝－1. 答案：5或－19．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________．解析：∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4， ∴|16－12k |＝52，∴k ＝－3，或k ＝173.答案：－3或17310．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋n ＝0平行且距离为10，则m ＋n ＝________. 解析：因为两直线平行，所以m ＝2， 由两平行线的距离公式知⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3－n 232＋12＝10， 解得n ＝14或n ＝－26.所以m ＋n ＝16或m ＋n ＝－24. 答案：16或－2411．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________________________________________________________________________．解析：显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意； 设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2， 所以k ＝2或k ＝－23.所以所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 答案：2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝012．已知实数x ，y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为________．解析：求x 2＋y 2的最小值，就是求2x ＋y ＋5＝0上的点到原点的距离的最小值，转化为坐标原点到直线2x ＋y ＋5＝0的距离d ＝522＋12＝ 5. 答案： 5 三、解答题13．已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；(2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解析：(1)过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为(2，－1)，可见，过P 点垂直于x 轴的直线满足条件，此时直线l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若直线l 的斜率存在，设其方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34，此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)过P 点且与原点O 距离最大的直线是过P 点且与OP 垂直的直线．由l ⊥OP ，得k l k OP＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，存在过点P 且到原点距离最大为5的直线，因此不存在过点P 到原点距离为6的直线．14．已知直线l 1：x ＋3y －3m 2＝0和直线l 2：2x ＋y －m 2－5m ＝0相交于点P (m ∈R )． (1)用m 表示直线l 1与l 2的交点P 的坐标；(2)当m 为何值时，点P 到直线x ＋y ＋3＝0的距离最短？并求出最短距离．解析：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3m 2＝0，2x ＋y －m 2－5m ＝0，得x ＝3m ，y ＝m 2－m ，∴直线l 1与l 2的交点P 的坐标为(3m ，m 2－m )．(2)设点P 到直线x ＋y ＋3＝0的距离为d ，d ＝|3m ＋m 2－m ＋3|2＝|m 2＋2m ＋3|2＝|m ＋12＋2|2＝m ＋12＋22，∴当m ＝－1时，即P 点坐标为(－3,2)时，点P 到直线x ＋y ＋3＝0的距离最短，最短距离为 2.能力提升15.已知两点A (2,3)，B (4,1)，直线l ：x ＋2y －2＝0，在直线l 上求一点P . (1)使|PA |＋|PB |最小； (2)使||PA |－|PB ||最大．解析：(1)可判断A ，B 在直线l 的同侧，设A 点关于l 的对称点A 1的坐标为(x 1，y 1)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋22＋2·y 1＋32－2＝0，y 1－3x 1－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－25，y 1＝－95.由直线的两点式方程得直线A 1B 的方程为y －1－95－1＝x －4－25－4，即y ＝711(x －4)＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，y ＝711x －4＋1得直线A 1B 与l 的交点为P ⎝⎛⎭⎪⎫5625，－325，由平面几何知识可知，此时|PA |＋|PB |最小．(2)由直线的两点式方程求得直线AB 的方程为y －31－3＝x －24－2，即x ＋y －5＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x ＋y －5＝0得直线AB 与l 的交点为P (8，－3)，此时||PA |－|PB ||最大．16．已知三条直线l 1：mx －y ＋m ＝0，l 2：x ＋my －m (m ＋1)＝0，l 3：(m ＋1)x －y ＋(m ＋1)＝0，它们围成△ABC .(1)求证：不论m 取何值时，△ABC 中总有一个顶点为定点； (2)当m 取何值时，△ABC 的面积取最值？并求出最值． 解析：(1)证明：设直线l 1与直线l 3的交点为A .由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋m ＝0，m ＋1x －y ＋m ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，∴点A 的坐标为(－1,0)，∴不论m 取何值，△ABC 中总有一个顶点A (－1,0)为定点．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋my －m m ＋1＝0，m ＋1x －y ＋m ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝m ＋1，即l 2与l 3交点为B (0，m ＋1)．再由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋m ＝0，x ＋my －m m ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m m 2＋1，y ＝m 3＋m 2＋mm 2＋1，即l 1与l 2交点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫mm 2＋1，m 3＋m 2＋m m 2＋1.设边AB 上的高为h ， ∴S △ABC ＝12|AB |·h ＝12·1＋m ＋12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪m m ＋1m 2＋1－m 3＋m 2＋m m 2＋1＋m ＋1m ＋12＋1＝12·|m 2＋m ＋1|m 2＋1＝12·m 2＋m ＋1m 2＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m m 2＋1.当m ＝0时，S ＝12；当m ≠0时，S ＝12⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋1m ＋1m . ∵函数f (x )＝x ＋1x的值域为[2，＋∞)∪(－∞，－2]．∴－12≤1m ＋1m <0或0<1m ＋1m≤12，∴14≤S <12或12<S ≤34. 当m ＝1时，△ABC 的面积的最大值为34，当m ＝－1时，△ABC 的面积的最小值为14.。

点到直线的距离公式两条平行直线间的距离基础过关练题组一点到直线的距离1.已知直线l1:ax+y-1=0与直线l2:x-y+5=0互相垂直,则点(1,2)到直线l1的距离为()A.1B.2C.√2D.2√22.(2021山东菏泽郓城一中高二上第一次月考)已知点P(-2,3),点Q是直线l:3x+4y+3=0上的动点,则|PQ|的最小值为()A.2B.95C.85D.753.(2021山东济宁实验中学高二月考)点P(-5,7)到直线12x+5y-1=0的距离为.4.(2021山东德州夏津一中高二上月考)已知点P(3,1)到直线l:x+ay-3=0的距离为12,则a=. 5.在直线x+3y=0上求一点P,使点P到原点的距离和到直线x+3y-2=0的距离相等.题组二两条平行直线间的距离6.(2021江西南昌二中高二上月考)直线l1:3x+4y-7=0与直线l2:6x+8y+1=0之间的距离为()A.8B.4C.85D.327.(2020浙江杭州高二上期末)已知P、Q分别为直线l1:3x+4y-4=0与l2:3x+4y+1=0上的两个动点,则线段PQ 的长度的最小值为()A.35B.1C.65D.28.(2020重庆一中高二上期中)已知直线l1:x+ay-1=0与直线l2:2x-y+1=0平行,则l1与l2之间的距离为()A.15B.√55C.35D.3√559.已知直线l1过点A(0,1),l2过点B(5,0),如果l1∥l2,且l1与l2之间的距离为5,求l1,l2的方程.题组三距离公式的综合应用10.到直线3x-4y-1=0的距离为2的点的轨迹方程是()A.3x-4y-11=0B.3x-4y+9=0C.3x-4y+11=0或3x-4y-9=0D.3x-4y-11=0或3x-4y+9=011.已知直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),若它们分别绕点P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间的距离d的取值范围为()A.(0,5]B.(0,5)C.(0,+∞)D.(0,√17]12.已知直线l过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点Q,且点P(0,4)到直线l的距离为2,则这样的直线l的条数为()A.0B.1C.2D.313.已知△ABC的三个顶点的坐标是A(1,1),B(2,3),C(3,-2).(1)求BC边所在直线的方程;(2)求△ABC的面积.能力提升练题组一点到直线的距离1.()过点A(1,2),且与原点距离最大的直线的方程是()A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.x-2y+3=02.(多选)()已知两点A(3,2),B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则m的值为()A.-6B.1C.-12D.123.(2020安徽合肥一中高二上期中,)点A(1,1)到直线x cosθ+y sinθ-2=0的距离的最大值是.题组二两条平行直线间的距离4.()若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A.3√2B.2√3C.3√3D.4√25.(2019河北衡水冀州中学高一月考,)已知三条直线l1:2x-y+3=0,l2:-4x+2y+1=0和l3:x+y-1=0.能否找到一点P,使得点P同时满足下列三个条件:(1)P是第一象限的点;(2)P点到l1的距离是P点到l2的距离的12;(3)P点到P1的距离与P点到P3的距离之比是√2∶√5?若能,求出P点的坐标;若不能,说明理由.题组三距离公式的综合应用6.(2020辽宁省实验中学高二上期中,)已知点P,Q分别在直线l1:x+y+2=0与直线l2:x+y-1=0上,且PQ⊥l1,点A(-3,-3),B(32,12),则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为()A.√1302B.√13+3√22C.√13D.3√27.(多选)(2021山东德州夏津一中高二上月考,)已知直线l的一个方向向量为u=(-√36,12),且l经过点(1,-2),则下列结论中正确的是 ()A.l的倾斜角等于150°B.l在x轴上的截距等于2√33C.l与直线√3x-3y+2=0垂直D.l上不存在与原点距离等于18的点8.(2021山东新泰中学高二上月考,)已知直线方程为(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0.(1)证明:直线恒过定点P;(2)当m为何值时,点Q(3,4)到直线的距离最大,最大值为多少?(3)若直线分别与x轴,y轴的负半轴交于A,B两点,求△AOB面积的最小值及此时直线的方程.答案全解全析基础过关练1.C由已知得,P P1=-a,P P2=1,∵l1⊥l2,∴-a×1=-1,解得a=1.此时直线l1的方程为x+y-1=0,∴点(1,2)到直线l1的距离d=√22=√2,故选C.2.B由题意得|PQ|的最小值为点P到直线l的距离,∴|PQ|min=√9+16=95.故选B.3.答案2解析点P到直线的距离d=√22=2.4.答案±√33解析由点到直线的距离公式得√=12,解得P=±√33.5.解析由题意可设P(-3y0,y0),则√9P02+P02=0P0√22即√10|P0|=√10∴P0=±15.故点P的坐标为(-35,15)或(35,-15).6.D易得l1∥l2,所以直线l1与直线l2之间的距离d=√22=32,故选D.7.B由直线l1:3x+4y-4=0与l2:3x+4y+1=0,可得直线l1与l2平行.当PQ的长度为两平行线间的距离时,线段PQ的长度最小,则l1与l2之间的距离为√22=1,故线段PQ的长度的最小值为1.故选B.8.D由l1∥l2得,a=-12,因此P1:2P−P−2=0,∴P1与P2之间的距离P=√22+(-1)2=√5=3√55,故选D.9.解析①若直线l1,l2的斜率存在,设直线l1,l2的斜率均为k,则l1的斜截式方程为y=kx+1,即kx-y+1=0,l2的点斜式方程为y=k(x-5),即kx-y-5k=0,因为直线l 1过点A (0,1),所以点A 到直线l 2的距离d =√P 2+(-1)2=5,所以25k 2+10k +1=25k 2+25,解得k =125,所以l 1的方程为12x -5y +5=0,l 2的方程为12x -5y -60=0.②若l 1,l 2的斜率不存在,则l 1的方程为x =0,l 2的方程为x =5,它们之间的距离为5,满足条件. 综上所述,满足条件的直线方程有两组:l 1:12x -5y +5=0,l 2:12x -5y -60=0或l 1:x =0,l 2:x =5.10.D 依题意知,所求点的轨迹为直线,且与已知直线3x -4y -1=0平行,设所求直线方程为3x -4y +C =0(C ≠-1),根据两条平行直线间的距离公式,得√22=|P +1|5=2,则C 1=-11或C 2=9,故所求点的轨迹方程为3x -4y -11=0或3x -4y +9=0,故选D.11.A 易知两直线之间的最大距离为P ,Q 两点间的距离,由两点间的距离公式得|PQ |=√(2+1)2+(-1-3)2=5.故l 1,l 2之间的距离d 的取值范围为(0,5].12.C 由{P -2P +3=0,2P +3P -8=0,得{P =1,P =2,即直线l 过点Q (1,2).因为|PQ |=√(1-0)2+(2-4)2=√5>2,所以满足条件的直线l 有2条.故选C .13.解析(1)由题可知,直线BC 过点B (2,3),C (3,-2),∴方程为P -23-2=P -3-2-3,化简得5x +y -13=0,∴直线BC 的方程为5x +y -13=0.(2)由题可知|BC |=√(3-2)2+(-2-3)2=√26,P (1,1)到直线PP 的距离P =√25+1=7√2626,∴S △ABC=12·|BC |·d =12×√26×7√2626=72.能力提升练1.A 根据题意得,当所求直线与直线OA 垂直时,原点到所求直线的距离最大,因为直线OA 的斜率为2,所以所求直线的斜率为-12,所以所求直线方程为P −2=−12(x -1),即x +2y -5=0,故选A. 2.AD 由题意得√=√解得P =−6或P =12,故选AD .3.答案2+√2解析依题意得,点(1,1)到直线的距离d =√=|cos P +sin P −2|=|√2sin (P +π4)-2|.当sin (P +π4)=−1时,P max =|−√2-2| =2+√2.4.A 由题意知,点M 在直线l 1与l 2之间且与两直线距离相等的直线上,设该直线的方程为x +y +c =0(c ≠-7且c ≠-5),则√2=√2即P =−6,所以点P 在直线P +P −6=0上,所以点P 到原点的距离的最小值就是原点到直线P +P −6=0的距离,√2=3√2.5.解析能.设存在满足条件的点P (x 0,y 0). 若点P 满足条件(2),则有√22+(-1)2=12·√(-4)2+22化简得2P 0−P 0+132=0或2P 0−P 0+116=0.若P 点满足条件(3),则由点到直线的距离公式,有00√22+(-1)2=√2√5·0P 0√22, 即|2x 0-y 0+3|=|x 0+y 0-1|, ∴x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0.又P 是第一象限的点,∴3x 0+2=0不合题意,故舍去.由{2P 0-P 0+132=0,P 0-2P 0+4=0得{P 0=-3,P 0=12,不合题意,故舍去. 由{2P 0-P 0+116=0,P 0-2P 0+4=0得{P 0=19,P 0=3718.∴P (19,3718)为同时满足题中三个条件的点. 6.B 如图,由平行线间的距离公式得|PQ |=3√22.过点A 作垂直于l 1的直线,并截取|AA'|=|PQ |. 设点A'(x 0,y 0), 则{P 0=-3+3√22×√22=-32,P 0=-3+3√22×√22=-32.因此,点A'(-32,-32),则|P′P |=√13. 连接A'B ,A'Q ,则四边形AA'QP 是平行四边形, 故|AP |+|QB |=|A'Q |+|QB |≥|A'B |=√13. 因此,|AP |+|PQ |+|QB |≥3√22+√13.故|AP |+|PQ |+|QB |的最小值为3√22+√13.7.CD 因为直线l 的一个方向向量为u =(-√36,12), 所以直线l 的斜率k =12-√36=−√3,设直线l 的倾斜角为α(0°≤α<180°), 则tan α=-√3,所以α=120°,所以A 错误;因为l 经过点(1,-2),所以直线l 的方程为y +2=-√3(P −1),令P =0,则P =−2√33+1,所以l 在x 轴上的截距为-2√33+1,所以B 错误;直线√3P −3P +2=0的斜率为√33,直线P 的斜率为−√3,因为−√3×√33=−1,所以P 与直线√3x -3y +2=0垂直,所以C 正确; 原点到直线l 的距离d =√3|√12+(√3)=2-√32>18,所以l 上不存在与原点距离等于18的点,所以D 正确,故选CD . 8.解析(1)证明:直线方程(2-m )x +(2m +1)y +3m +4=0, 整理得(2x +y +4)+m (-x +2y +3)=0, 因为对任意m 等式恒成立,所以{-P +2P +3=0,2P +P +4=0,解得{P =-1,P =-2,所以直线恒过定点P (-1,-2).(2)由题意得,点Q 与定点P (-1,-2)的距离就是点Q 到直线距离的最大值,即√(-1-3)2+(-2-4)2=2√13.因为k PQ =4-(-2)3-(-1)=32,所以(2-m )x +(2m +1)y +3m +4=0的斜率为-23,可得−23=−2-P2P +1,解得P =47. 综上,当m =47时,点P (3,4)到直线的距离最大,最大值为2√13.(3)若直线分别与x 轴,y 轴的负半轴交于A ,B 两点,直线方程为y +2=k (x +1),k <0, 则A (2P -1,0),B (0,k -2), 所以S △AOB =12|2P -1||k -2|=12(-2P +1)(−P +2)=2+(2-P +-P 2)≥2+2√2-P·-P 2=4,当且仅当k =-2时取等号,所以△AOB 的面积的最小值为4,此时直线的方程为2x +y +4=0.。