2009级数学模型课程设计题目及要求

2009-2010(1)数学建模课程设计题目一、线性与非线性回归模型1、在某产品表明腐蚀刻线，下表是试验活得的腐蚀时间（x ）与腐蚀深度（y ）间的一组数其中：(秒)()。

提示： 1）画出散点图，并观察y 与x 的关系；2）求y 关于x 的线性回归方程： y abx =+ ，求出a 与b 的值； 3）对模型和回归系数进行检验；4）如:预测x=120时的y 的置信水平为0.95的预测区间。

5）编程实现上述求解过程。

注：参考书目：1、《概率论与数理统计》，浙江大学编，高等教育出版社。

2、多元线性回归问题根据下述某猪场25头育肥猪4个胴体性状的数据资料，试进行瘦肉量y 对眼肌面积提示：1）画出散点图y 与x1，y 与x2，y 与x3并观察y 与x1，x2， x3的关系；2）求y 关于x1，x2， x3的线性回归方程： 0112233y a a x a x a x =+++-----（1），求出0123,,,a a a a 的值；3）对上述回归模型和回归系数进行检验；4）再分别求y 关于单个变量x1，x2, x3的线性回归方程： 10111y a a x =+----（2）， 20222y a a x =+-----（3）, 30333y a a x =+--- --（4）求出ij a 的值； 分别求y 关于两个变量x1，x2, x3的线性回归方程： 10111122y a a x a x =++----(2’)， 20211222y a a x a x =++---（3’）, 30311322y a a x a x =++ --- --（4’）求出系数ij a 的值；并说明这六个回归方程对原来问题求解的优劣。

5）编程实现上述求解过程。

注：参考书目：1、《概率论与数理统计》，浙江大学编，高等教育出版社。

3、非线性回归问题给动物口服某种药物A 1000mg ，每间隔1小时测定血药浓度（g/ml ），得到表9-5的数据（血药浓度为5头供试动物的平均值）。

A题电力变压器铁心柱截面的优化设计电力变压器的设计中很重要的一个环节就是铁心柱的截面如何设计。

我国变压器制造业通常采用全国统一的标准铁心设计图纸。

根据多年的生产经验，各生产厂存在着对已有设计方案的疑问：能否改进及如何改进这些设计，才能在提高使用效果的同时降低变压器的成本。

现在以心式铁心柱为例试图进行优化设计。

电力变压器铁心柱截面在圆形的线圈筒里面。

为了充分利用线圈内空间又便于生产管理，心式铁心柱截面常采用多级阶梯形结构，如图1所示。

截面在圆内上下轴对称，左右也轴对称。

阶梯形的每级都是由许多同种宽度的硅钢片迭起来的。

由于制造工艺的要求，硅钢片的宽度一般取为5的倍数（单位：毫米）。

因为在多级阶梯形和线圈之间需要加入一定的撑条来起到固定的作用，所以一般要求第一级的厚度最小为26毫米，硅钢片的宽度最小为20毫米。

铁心柱有效截面的面积，等于多级铁心柱的几何截面积（不包括油道）乘以叠片系数。

而叠片系数通常与硅钢片厚度、表面的绝缘漆膜厚度、硅钢片的平整度以及压紧程度有关。

设计时希望有效截面尽量大，既节省材料又减少能量损耗。

显然铁心柱的级数愈多，其截面愈接近于圆形，在一定的直径下铁心柱有效截面也愈大。

但这样制造也工艺复杂，一般情况下铁心柱的级数可参照表1选取。

表1 铁心柱截面级数的选择铁心柱直径mm 级数80-195 5-7200-265 8-10270-390 11400-740 12-14760以上>15问题一：当铁心柱外接圆直径为650毫米时，如何确定铁心柱截面的级数、各级宽度和厚度，才能使铁心柱的有效截面积最大。

问题二：实际生产中线圈的内筒直径和铁心柱的外接圆直径不是精确地相等，而留有一定的间隙以便于安装和维修，设计的两个直径的取值范围称为各自的公差带。

因此可以在设计铁心截面时稍微增加铁心柱的外接圆的直径以使得铁心柱有更好的截面形状。

请结合铁心柱截面的设计而设计出二者的公差带。

问题三：铜导线在电流流过时发热造成的功率损耗简称为铜损；铁心在磁力线通过时发热造成的功率损耗简称为铁损。

会议筹备一、摘要本文讨论的是如何在题目给定的条件下对不同组合的备选宾馆进行筛选，从而确定会议筹备（包括今年与会人员的预测、各类房间的预定数量、宾馆的选择及人员的入住安排、会议室的预定、客车的预定与安排五个方面）的最佳方案。

本文根据题目要求提炼得到选择方案应考虑的三个要点：所选宾馆数少，花费低，宾馆之间距离小即所选的宾馆相对集中。

本文首先根据以往四届的会议回执、与会情况以及本届会议回执的代表人数，采用线性回归的方法利用SPSS13.0建立模型，预测出本届会议的实到人数。

预测实到会议人数为638人。

在分析题目中的我们考虑到会有很小的一部分概率会议实到人数比预测人数大。

如果在预订宾馆时不留有一定的裕度的话，则会造成代表的不满及大会名誉成本的损失。

但是如果预订的客房太多而代表不来的话，组办方又要承受空方费的损失。

为此，我们定义了描述组办方多定套房损失以及代表不满意造成的名誉成本损失之和“损失函数”，并通过MATLAB数值求解得出在不同实际情况下的最佳客房预定的“裕度空间”。

然后我们根据节约经济的原则，在假设各分组会议人数相等的前提下，首先分别对会议室和客车选择方案建立了线性规划模型，并利用Lingo编程对其进行求解，确立了每组备选方案中最佳会议室及客车租借的方案。

我们分析了将会议室和客车和客车分开求解的不足之处，继而提出了该问题的第二个模型，将会议室选择和租借车辆的总费用进行最优化。

在求解过程中，我们从节约费用和实际的角度出发，规定300米以内不安排车辆接送，并规定在选定会议室之后，由于代表并不熟悉会议室的具体位置，所以采用针对每组会议安排客车接送代表的方式。

即每组会议有特定的车辆安排，开会前将该组会议住在需要接送宾馆的所有代表接至会场，会后将代表分别送回宾馆。

选择结果：会议室租借：挑选①号宾馆中150人的会议室两间；②号宾馆中180人、130人的会议室各一间；⑦号宾馆中140人的会议室两间。

客车租借：共选择45人的客车两辆，33人的客车4辆二、问题的重述某会议服务公司负责承办一届全国性会议，会议筹备组要为与会代表预订宾馆客房，租借会议室，并租用客车接送代表。

问题分析和解决方法从题目要求出发，主要需要解决三个问题：1）预测本届会议与会代表的数量, 并确定需要预订各类客房的数量；2）确定在哪些宾馆预订客房及预订各类客房的数量；3）确定在哪些宾馆预订哪些类型的会议室以及租车的规格和数量。

问题1是求解问题2，3的前提，首先应该根据附表2，3的数据对本届会议与会代表的数量进行预测。

确定预订客房总量时，应使会议筹备组在订房上的损失尽量小，损失包括：预订客房数超过实际用量时需要支付的一天空房费；预订客房数不够时引起代表不满的“费用”，后者要用适当的数学表达式加以量化。

根据附表2数据中本届会议的代表所需要6种类型的客房的比例，可由预订客房的总量得到预定各类客房的数量。

问题2主要应考虑筹备组管理的方便及代表的满意，如满足代表在合住或独住及价位方面的需求、预订的宾馆总数尽量少、距离上尽量靠近等。

若建立优化模型，可以用宾馆总数最少为目标函数，以满足代表在合住或独住及价位方面的需求，及各宾馆拥有客房数量等为约束条件，以在哪几家宾馆订房及各类客房订多少间为决策变量。

以宾馆总数最少为目标的优化模型其最优解一般不唯一，可以再考虑宾馆间的距离、客房价格等因素，从几个解中选出相对较好的一个。

问题3主要应考虑租用会议室和客车的总费用尽量小、会议室所在的宾馆总数尽量少、距离上尽量靠近等。

租车要考虑多少代表参加哪个分组会议, 题目中没有这方面的信息, 可以按照平均的、随机的方式处理。

当建立优化模型时, 可用租借会议室和客车的总费用最少为目标函数, 以满足对会议室数量、大小及租车的需要为约束条件, 以租用会议室和车辆的规格、数量为决策变量。

将问题2, 3统一建立模型并求解有一定困难, 可在问题2几个解的基础上解问题3，通过比较得出最后结果。

一种参考解法1. 预测本届会议的与会代表数量确定需要预订各类客房的数量设有n届同类型会议的历史数据可利用(n较小, 本题n=4)第i届发来回执的代表数量ai第i届发来回执但未与会的代表数量bi第i届未发回执而与会的代表数量ci第i届与会代表数量di= ai- bi+ ci•比例法预测第i届与会代表占发来回执数量的比例ei= di/ai emean，emax本届发来回执数量A预测本届会议与会代表数量Nmean=Aemean=661Nmax=Aemax=6781. 预测本届会议的与会代表数量确定需要预订各类客房的数量• 建立di 对ai的回归模型用线性模型预测本届会议与会代表数量N =638确定预订客房的总量考虑两种可能的损失：空房费；代表不满的量化“费用”• 适当提高预测的与会代表数量•对未发回执而与会的代表另作安排 • 参考“航空公司的预订票策略”模型（姜启源等：《数学模型（第三版）第284页》1. 预测本届会议的与会代表数量确定需要预订各类客房的数量本届会议要求合住、独住各s (=3)种价位(类型)代表数量及所占比例 (合住考虑性别) 预订客房的总量预订各类客房的数量需要预订合住第j 种类型客房数量T 1j需要预订独住第j 种类型客房数量T 2j第i 家宾馆第j 种类型双人房(合住或独住)能提供的间数C 1ij第i 家宾馆第j 种类型单人房(独住)能提供的间数C 2ij2. 确定在哪些宾馆预订客房及预订各类客房的数量以宾馆总数最少为目标，以满足代表在合住、独住及价位方面的需求，及各宾馆拥有客房数量等为约束条件，建立优化模型.决策变量设共有r 家宾馆双人、单人房各s 种类型预订第i 家宾馆第j 种类型双人房(合住)间数 x 1ij预订第i 家宾馆第j 种类型单人房(独住)间数 x 2ij预订第i 家宾馆第j 种类型双人房(改独住)间数 yij第i 家宾馆的选择变量 ki (ki =0,1)目标函数约束条件满足需求250300350400450500550600650∑==r i i k z 1min s j T x k j r i ij i ,,2,1,111 =≥∑=s j T y x k j ij r i ij i ,,2,1,)(212 =≥+∑=满足供给求解整数规划模型（LINGO ）最优解一般不唯一，可得到多个解可考虑距离因素、价格因素等确定最终方案或者在这些解的基础上进入下一步，根据租借会议室和租车情况确定最终方案.3. 确定在哪些宾馆预订哪些类型的会议室 以及租车的规格和数量预订会议室的原则：• 每个会议室的容量至少为与会总人数的1/6• 会议室位于预订客房的宾馆内租车的原则：•与会总人数1/6的代表不需接送 • 宾馆距离在一定范围内的代表不需接送• 一辆车每次会议最多接送2趟以会议室和客车的租费最小为目标建立优化模型求解对学生论文的评述基本情况• 绝大多数同学都能根据对问题的理解和掌握的数学知识，给出解决问题的方法，并得到所要求的结果。

房地产业发展问题住房问题是关系民生的大问题。

自2001年以来，随着居民生活水平提高，居民消费结构升级带动产业结构升级，工业化进程加快和城镇化率快速提高，使中国经济进入了以住房、汽车、电子通讯、能源和基础原材料业较快发展的新一轮增长周期。

其中，房地产、钢铁、水泥等行业投资迅猛增长，带动了整个固定资产投资的快速增长。

2004年1-2月份固定资产投资完成额增长53％，经济运行中出现了新的不平衡，能源、运输供应紧张，居民消费品价格指数(CPI)开始走高（6月同比上涨5％），中国经济运行出现偏热的迹象。

从2003年下半年开始，房地产业在发展过程中出现了部分地区房地产投资过热、房价上涨过高的现象，各项指标表明中国房地产存在一定程度的泡沫（测定房地产泡沫的指标可参照附件一）。

为保持经济健康稳定的发展，近年来，中央政府综合运用经济、法律和必要的行政手段，以区别对待和循序渐进的方式，对房地产业连续出台了一系列宏观调控政策。

从阶段和性质上分析，可划分为两个阶段。

第一阶段：2003年以“121号文”为标志，紧缩型房地产调控拉开序幕，2004年调控加强，2005-2006年达到高潮，2007年属于持续阶段，并延续至2008年上半年。

第二阶段：从2008年下半年开始，由地方到中央，开始放松调控，其性质是松绑，节奏逐渐加快，这是一个过渡性的阶段。

总体来看，调控初见成效。

但房地产市场仍然存在住房供给结构不合理、部分城市房价上涨太快、中低收入居民住房难以满足等问题。

2008年，在世界金融危机和国内经济下行的双重外部压力下，在行业自身调整的内部推动下，全国房地产市场出现了周期性变化，由增长期转变为衰退期，2009年世界经济形势非常严峻，这场百年一遇的金融危机，目前尚看不出何时会到底，最坏的时间或许还没有到来，世界经济步入衰退，已没有什么悬念，这必将对我国房地产业产生巨大影响。

附件二提供了1998——2008年我国相关房地产政策，附件三提供了某城市2003——2008年房地产业的部分数据，请针对以下问题进行研究。

2008～ 2009学年度第二学期《数学模型》 期末考试试卷评分参考标准课程代码： 试卷编号： 1-A 命题日期： 2009 年 5 月 26 日 答题时限： 120 分钟 考试形式：开卷、笔试+机试一． 填空题（每小题5分，共15分）．1．设某种物资有两个产地21,A A ，其产量分别为10、20，两个销地21,B B 的销量相等均为15。

如果从任意产地到任意销地的单位运价都为1。

设-ij x 表示产地i 运往销地j 的运量，则求最优运输方案的数学模型为： 1515 20 10.22122111222112112121≥+≥+≤+≤+∑∑==x x x x x x x x st x Max i j ij2．设某区域开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若区域允许的最大人口数为m x ，人口增长率r 为，则该区域人口增长问题的逻辑斯蒂克模型为0d (1),(0).d mx xrx x x t x =-=3. 一个刚获得学位的大学毕业生，在择业问题上，通常会从以下几个方面来考虑：收入丰厚；适合个人兴趣；发展前景广阔；地理位置优越。

若有三个就业岗位可选，建立该择业问题的AHP 模型为：二． 简答题（每小题5分，共20分）．1．用流程图法简述数学建模的一般步骤。

2．地方公安部门想知道，当紧急事故发生时，人群从一个建筑物中撤离所需要的时间，假设有足够的安全通道.若指挥者想尽可能多且快地将人群撤离，应制定甚麽样的疏散计划.请就这个计划指出至少三个相关因素，并使用数学符号表示。

解：撤离时人员的分布状态S 、人员总数N 、撤离速度v 、人们之间相对拥紧程度r 、人员所在地与安全地点的距离L 、人员撤离完毕所需要的总时间t 等。

3．某种疾病每年新发生1000例，患者中有一半当年可治愈.若2008年底时有1200个病人，到2013年将会出现什么结果？有人说，无论多少年过去，患者人数只是趋向2000人，但不会达到2000人，试建立差分方程模判断这个说法的正确性。

基于M/M/S排队论的病床安排模型（获２００９年大学生数学建模赛全国二等奖）数学与计算科学学院雷蕾信息科学与计算学院黄缨宁信息科学与计算学院丁炜杰指导老师：王其如教授摘要就医排队是一种我们非常熟悉的现象。

在眼科医院的病床安排中，主要从医院高效工作和患者满意度两方面来考虑安排方法。

本文通过确定两方面的权重，确立评价标准。

针对问题二，本文确定了从医院和患者两方面综合考虑的目标函数，医院各种诊疗规则的限制下进行线性规划，使得目标函数值（背离度）最小，得到问题二的解决方案。

用问题一的标准评价，确实优于医院的FCFS模型。

问题三中对每一类病人术后恢复时间做统计，由计算机按照概率给出术后恢复的时间，运用第二问模型的选择方式，对近一段时间内的出入院人数作出合理预测，并根据M的排序确定患者入院的时间区间。

对于问题四，先确立白内障双眼手术的方案（调查支持可以任意不同两天手术），按照问题二的算法，先算出周二四做白内障手术的最小M值及入院前等待时间和术前等待时间。

用计算机模拟出在手术时间可调整情况下M可能的最小值，得到周三五为最佳手术时间。

尤其术前人均等待时间的优化减少使医院病床的有效使用率增加。

模型改进率达到18.11%。

问题五要求确定病床固定分配使人均等待时间最短。

病床的分配使整个排队系统变成了五个M/M/N模型，N为各类病床的数量。

根据排队论中M/M/1模型的条件演化得到服务强度小于1及病床数固定不变。

采取整数规划，在此限制条件下使得平均等待时间最小。

从而算出各类病床的分配比例。

关键词：M/M/S模型泊松（Poisson）分布非线性规划优化模型病人满意度病床有效利用率一．问题的重述有某医院眼科门诊每天开放，住院部有病床79张。

眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。

白内障手术较简单且没有急症。

目前只在周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。

如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。

2009年数学建模竞赛试题每个参赛队只需在A题与B题中任选一题做即可，每队最多由三个人组成。

A题：优秀毕业生评选问题现在每个学校为了鼓励广大学生在校期间勤奋学习、刻苦钻研，促进大学生德、智、体、美等方面全面发展都会在大学的第八个学期开展校级优秀毕业生的评比活动。

在以往评比过程中除了要求学生具备如(1)具有坚定的政治方向，热爱社会主义祖国，拥护中国共产党的领导，坚持四项基本原则，能模范遵守国家的法律法规和《高等学校学生行为准则》。

(2)努力学习马列主义、毛泽东思想、邓小平理论和“三个代表”重要思想，能够树立正确的世界观、人生观和价值观。

(3)学习目的明确，学习态度端正，学习成绩优良等基本条件后，然后在综合学生在校期间获三好学生、获过奖学金、优秀学生干部、参加学科竞赛、学生科研等情况，最后由学生管理部门评出校级优秀毕业生。

但这评选过程多少存在一些不合理的现象。

现请你利用数学建模的方法，针对我校情况考虑以下几个问题：(1)建立一种科学合理的评选优秀毕业生的数学模型，根据模型建立一个完整的评选方案；(2)根据你们建立评选模型和评选方案，对附件1的提供的数据进行评选，评出10名校级优秀毕业生；(3)针对目前高等教育大众化的背景下，提出了一种“合格+特长”的评价理念，请你针对这种理念下的建立评选优秀毕业生的数学模型，并根据附件1提供的数据评出10名优秀毕业生。

(4)根据你们建模分析的结果，给学校有关部门写一份报告，提出你们自己评选优秀毕业生的具体建议。

B题：旅游路线选择问题某单位要组织外出旅游。

出游时间定在5月下旬的某个周末（周六、日2天），按惯例由单位补助经费为每人500元。

经与旅游公司联系协商，旅游公司提供了三条线路（见附件一）。

三条线路的报价均在500元上下，超出500元的部分自费，未超的部分将以提供更好的住宿条件等形式补足。

1．单从行程安排看，有人认为，线路一比较合理，线路二和线路三就比较差。

你们是否同意他的看法？2．有员工从行程角度考虑，选择了线路一；有员工从价格角度考虑，也选择了线路一；有员工由于以前去过黄山，选择了线路二；有员工从景色等角度考虑，选择了线路三。