第一章 整式的乘除

第一章整式的乘除§1.1同底数幂的乘法【教学目标】1、经历探索同底数幂乘法运算性质过程，进一步体会幂的意义；2、了解同底数幂乘法的运算性质，并能解决一些实际问题.【教学重难点】重点：同底数幂的乘法运算法则的推导过程以及相关计算；难点：对同底数幂的乘法公式的理解和正确应用.【教学过程】一个长方形鱼池的长比宽多2米，如果鱼池的长和宽分别增加3米，那么这个鱼池的面积将增加39平方米，问这个鱼池原来的长和宽各是多少米？本章共有三个单元，整式的乘法、乘法公式、整式的除法．这与前面学过的整式的加减法一起，称为整式的四则运算．学习这些知识，可将复杂的式子化简，为解更复杂的方程和解其它问题做好准备．为了学习整式的乘法，首先必须学习幂的运算性质．在此我们先复习乘方、幂的意义．1．乘方的意义．2．指出下列各式的底数与指数：（1）34；（2）a3；（3）(a＋b)2；（4）(－2)3；（5）－23．其中，(－2)3与－23的含义是否相同？结果是否相等？(－2)4与－24呢？考点一同底数幂的运算法则1．利用乘方的意义，提问学生，引出法则计算103×102．解：103×102＝(10×10×10)×(10×10)(幂的意义)＝10×10×10×10×10(乘法的结合律)＝105．2．引导学生建立幂的运算法则将上题中的底数改为a，则有a3·a2＝(aaa)·(aa)＝aaaaa＝a5，即a3·a2＝a5＝a3＋2．m+nmn思考：（1）等号左边是什么运算？ （2）等号两边的底数有什么关系？ （3）等号两边的指数有什么关系？ （4）公式中的底数a 可以表示什么 （5）当三个以上同底数幂相乘时，上述法则是否成立？例1 计算：（1）471010⨯； （2）52x x ⋅； （3）62a a ⋅-； （4）3)()(x x -⋅- ； （5）1+⋅m myy ．注意：1．解题时要注意a 的指数是1．2．解题时，是什么运算就应用什么法则．同底数幂相乘，就应用同底数幂的乘法法则；整式加减就要合并同类项，不能混淆．3．－a 2的底数a ，不是－a ．计算－a 2·a 2的结果是－(a 2·a 2)＝－a 4，而不是(－a )2＋2＝a 4． 4．若底数是多项式时，要把底数看成一个整体进行计算考点二 同底数幂的运算法则应用例2 下列结果正确的是（ ）A ．3322=-a a ；B ．532)(a a =；C ．963a a a =⋅；D ．2224)2(a a =例3 计算：20153222221+⋅⋅⋅++++.如果把底数2换成5呢？如果把底数2换成a 呢？考点三 同底数幂的运算法则实际应用例4 光在真空中的速度约为8103⨯米/秒，太阳光照射到地球大约需要2105⨯秒，问地球距太阳大约有多远？【探究提高】一般地，若a n =b （a ＞0且a≠1，b ＞0），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b=n ）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381=4）．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）猜想一般性的结论：log a M+log a N=______（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并根据幂的运算法则：a m•a n=a m+n 以及对数的含义证明你的猜想．【课后练习】§1.2幂的乘方与积的乘方【教学目标】1、经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力；2、了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题．【教学重难点】重点：会进行幂的乘方的运算；难点：幂的乘方法则的总结及运用．计算：（1）(x ＋y )2·(x ＋y )3； （2）x 2·x 2·x ＋x 4·x ； （3）(0.75a )3·（41a ）4； （4）x 3·x n －1－x n －2·x 4．考点一 幂的乘方(62)4＝________×_________×_______×________ ＝__________（根据a n ·a m ＝a n+m ） ＝__________．(a 2)3＝_______×_________×_______ ＝__________（根据a n ·a m ＝a n+m ） ＝__________．(a m )2＝________×_________＝__________（根据a n ·a m ＝a n+m ） ＝__________．(a m )n ＝________×________×…×_______×_______ ＝__________（根据a n ·a m ＝a n+m ） ＝__________．即 (a m )n ＝______________（其中m 、n 都是正整数） 结论：幂的乘方，mnnm a a =)(语言叙述：底数不变，指数相乘．1．计算下列各题： （1）(103)3；（2）[(32)3]4； （3）[(－6)3]4；（4）(x 2)5； （5）－(a 2)7； （6）－(a s )3； （7）(x 3)4·x 2； （8）2(x 2)n －(x n )2； （9）[(x 2)3]7． 2．计算： (1) 5(P 3)4·(－P 2)3＋2[(－P )2]4·(－P 5)2(2) [(－1)m ]2n ＋1m ＋02002―(―1)19903．若(x 2)n ＝x 8，则n ＝_____________． 4．若[(x 3)m ]2＝x 12，则m ＝_____________． 5．若x m ·x 2m ＝2，求x 9m 的值． 6．若a 2n ＝3，求(a 3n )4的值．7．已知a m ＝2，a n ＝3，求a 2m ＋3n 的值．考点二 积的乘方2．计算：888___)(____________________________52⨯==⨯=⨯ 3．计算：121212___)(____________________________52⨯==⨯=⨯ 从上面的计算中，你发现了什么规律？_________________________ 4．猜一猜填空：（1）(___)(__)453)53(⋅=⨯；（2）(___)(__)53)53(⋅=⨯m ；（3）(___)(__))(b aab n⋅=，你能推出它的结果吗？结论：积的乘方，nnnb a ab ⋅=)(积的乘方等于把各个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 1．计算下列各题： （1）223)21(z xy -； （2）3)32(m n b a -；（3）nb a )4(32；（4）2242)(32ab b a -⋅； （5）32332)(3)2(b a b a -；（6）232324)3()(9n m n m -+；（7）422432)(3)3(a ab b a ⋅-⋅．2．计算：21)1(5.022*********--⨯⨯-； 3．已知32=m ，42=n ，求nm 232+的值；4．已知5=n x ，3=ny ，求ny x 22)(的值；5．已知552=a ，443=b ，335=c ，试比较a 、b 、c 的大小．6．太阳可以近似地看做是球体，如果用V 、r 分别表示球的体积和半径，那么334r v π=，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方米？（保留到整数）【探究提高】1、计算：20152015)41(4⋅ 2、若a x=2，b y=4，则=-y x 48_______.【课后练习】§1.3同底数幂的除法【教学目标】1、经历探索同底数幂的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力；2、了解同底数幂的除法的运算性质，零底数幂，负整数指数幂的运算性质，并能解决一些实际问题.【教学重难点】重点：会进行同底数幂的除法运算，零底数幂，负整数指数幂的运算； 难点：同底数幂的除法法则的总结及运用.【教学过程】1．计算：（1）()323322y y y -⋅， （2）()()23322416xy y x -+考点一 同底数幂的除法的运算性质及公式（1）====÷585810101010（2）()()()＝＝＝个个个4484476Λ4434421Λ4484476Λ10101010101010101010101010101010⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=÷n m nmnm同底数幂的除法的运算性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减.用公式表示为nm nma a a -=÷（a ≠0，m ，n都是正整数密，且m >n ）. 例1 ．计算：（1）()ab ab ÷4； （2）133+-÷-n m yy； （3）()225225.041x x -÷⎪⎭⎫⎝⎛-（4）()()[]24655mn mn -÷-； （5）()()()y x x y y x -⋅-÷-48考点二 零指数幂与负整数指数幂的意义零指数幂：)0(10≠=a a ，即任何不等于0的数的0次幂都等于1. 例2 已知1)32(0=-x ，则x 的取值范围是多少？负整数指数幂：0(1≠=-a aa pp ，p 是正整数），即任何不等于零的数的-p （p 是正整数）次幂，等于这个数的p 次幂的倒数. 例3 计算：（1）0118355⎪⎭⎫ ⎝⎛；（2）23-；（3）365-⎪⎭⎫ ⎝⎛；（4）4.2310-⨯；（5）325.0-；（6）m m212)51(25-÷.例4 若2)62(2)5(----x x 有意义，那么x 的取值范围是____________.考点三 逆用同底数幂的除法例5 （1）．已知的值。

第一章：整式的乘除整式知识复习:整式包括单项式多项式幂运算:同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方同底数幂的除法零指数幂负指数幂整式运算: 整式的加减整式的乘法整式的除法整式的乘法: 单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘多项式与多项式相乘平方差公式完全平方公式整式的除法:单项式除以单项式多项式除以单项式一、单项式1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。

2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。

3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。

4、单独一个数或一个字母也是单项式。

5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。

6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。

7、单独的一个非零数的次数是0。

8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。

9、单项式的系数包括它前面的符号。

10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。

11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。

12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。

二、多项式1、几个单项式的和叫做多项式。

2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。

3、多项式中不含字母的项叫做常数项。

4、一个多项式有几项，就叫做几项式。

5、多项式的每一项都包括项前面的符号。

6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。

7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

三、整式1、单项式和多项式统称为整式。

2、单项式或多项式都是整式。

3、整式不一定是单项式。

4、整式不一定是多项式。

5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。

四、整式的加减1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配律。

2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。

3、几个整式相加减的一般步骤：（1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。

（2）按去括号法则去括号。

（3）合并同类项。

4、代数式求值的一般步骤：（1）代数式化简。

第一章整式的乘除小结与复习课件一、教学内容二、教学目标1. 熟练掌握整式的乘法法则，能够正确运用平方差公式和完全平方公式进行乘法运算。

2. 掌握整式的除法法则，能够进行整式的除法运算。

3. 能够运用整式的乘除法则解决实际问题，提高运算能力和解决问题的能力。

三、教学难点与重点教学难点：平方差公式和完全平方公式的运用；整式的除法运算。

教学重点：整式的乘法法则；平方差公式和完全平方公式的推导和应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：练习本、草稿纸、计算器。

五、教学过程1. 导入：通过一个实际问题引入整式的乘除，让学生认识到整式乘除在实际生活中的应用。

2. 教学内容讲解：（2）讲解平方差公式和完全平方公式的推导过程，通过例题进行讲解。

（3）讲解整式的除法法则，结合例题进行讲解。

3. 随堂练习：（1）给出几道整式乘法的题目，让学生独立完成。

（2）给出几道整式除法的题目，让学生独立完成。

4. 答疑解惑：针对学生在练习过程中遇到的问题进行解答。

六、板书设计1. 整式的乘法法则。

2. 平方差公式和完全平方公式。

3. 整式的除法法则。

4. 例题及解答过程。

七、作业设计1. 作业题目：（1）计算题：计算下列整式的乘积。

（2）应用题：运用整式的乘除法则解决实际问题。

2. 答案：见附页。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：对本节课的教学效果进行反思，针对学生的掌握情况调整教学方法。

2. 拓展延伸：（1）引导学生研究整式的乘除法则在几何图形中的应用。

（2）探讨整式的乘除法则在生活中的应用，提高学生的实际应用能力。

（3）引入整式的乘除与方程、不等式的关系，为后续学习打下基础。

重点和难点解析1. 教学内容的选择与组织。

2. 教学目标的制定。

3. 教学难点与重点的识别。

4. 教学过程中的实践情景引入、例题讲解和随堂练习。

5. 板书设计。

6. 作业设计与答案提供。

7. 课后反思与拓展延伸。

详细补充和说明：一、教学内容的选择与组织1. 确保章节的连贯性，从单项式乘以单项式逐步过渡到多项式乘以多项式，再到平方差公式和完全平方公式，引入整式的除法。

第一章《整式的乘除》一、基本知识点（一）幂的四种运算：1、同底数幂的乘法：①语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②字母表示：a m ·a n = a m+n ；(m ，n 都是整数) ； ③公式逆用：a m+n = a m ·a n2、幂的乘方：①语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘；②字母表示：(a m ) n = a mn ；(m ，n 都是整数)；③公式逆用：a mn =(a m )n =(a n )m ；3、积的乘方：①语言叙述：积的乘方，等于每个因式乘方的积；②字母表示：(ab)n = a n b n ；(n 是整数)； ③公式逆用：a n b n = (a b)n ；4、同底数幂的除法：①语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减②字母表示：a m ÷a n = a m-n ；(a≠0，m 、n 都是整数)； ③公式 逆用：a m-n = a m ÷a n ④零指数与负指数：01a =(a≠0)； 1p p a a -=(a≠0)； 5、科学计数法：任何一个数N 都可以表示成10n a ⨯的形式；其中110a ≤< ①若1N >，则n=整数位数-1 ②若1N <，则n 为从左边数第一个非零数前面的所有零的个数的相反数（二）整式的乘除法：1、单项式乘以单项式：①语言叙述：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

②实质：分三类乘：⑴系数乘系数；⑵同底数幂相乘；⑶单独一类字母，则连同它的指数照抄，作为积的因式；2、单项式乘以多项式：①语言叙述：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。

②字母表示：m(a ＋b ＋c)＝ma ＋mb ＋mc ；（注意各项之间的符号！）3、多项式乘以多项式：①语言叙述：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加； ②字母表示：(m ＋a)(n ＋b)＝mn ＋mb ＋an ＋ab ；（注意各项之间的符号！）注意点：①在没合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。