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一、实验目的1. 理解并掌握计算方法的基本概念和原理；2. 学会使用计算方法解决实际问题；3. 提高编程能力和算法设计能力。
二、实验内容本次实验主要涉及以下内容：1. 线性方程组的求解；2. 多项式插值；3. 牛顿法求函数零点；4. 矩阵的特征值和特征向量求解。
三、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3.83. 科学计算库：NumPy、SciPy四、实验步骤及结果分析1. 线性方程组的求解（1）实验步骤a. 导入NumPy库；b. 定义系数矩阵A和增广矩阵b；c. 使用NumPy的linalg.solve()函数求解线性方程组。
（2）实验结果设系数矩阵A和增广矩阵b如下：A = [[2, 1], [1, 2]]b = [3, 2]解得：x = [1, 1]2. 多项式插值（1）实验步骤a. 导入NumPy库；b. 定义插值点x和对应的函数值y；c. 使用NumPy的polyfit()函数进行多项式拟合；d. 使用poly1d()函数创建多项式对象；e. 使用多项式对象计算插值点对应的函数值。
（2）实验结果设插值点x和对应的函数值y如下：x = [1, 2, 3, 4, 5]y = [1, 4, 9, 16, 25]拟合得到的二次多项式为：f(x) = x^2 + 1在x = 3时，插值得到的函数值为f(3) = 10。
3. 牛顿法求函数零点（1）实验步骤a. 导入NumPy库；b. 定义函数f(x)和导数f'(x)；c. 设置初始值x0；d. 使用牛顿迭代公式进行迭代计算；e. 判断迭代结果是否满足精度要求。
（2）实验结果设函数f(x) = x^2 - 2x - 3，初始值x0 = 1。
经过6次迭代，得到函数零点x ≈ 3。
4. 矩阵的特征值和特征向量求解（1）实验步骤a. 导入NumPy库；b. 定义系数矩阵A；c. 使用NumPy的linalg.eig()函数求解特征值和特征向量。
计算方法A上机实验报告姓名：苏福班级：硕4020 学号：3114161019一、上机练习目的1）复习和巩固数值计算方法的基本数学模型，全面掌握运用计算机进行数值计算的具体过程及相关问题。
2）利用计算机语言独立编写、调试数值计算方法程序，培养学生利用计算机和所学理论知识分析解决实际问题的能力。
二、上机练习任务1）利用计算机语言编写并调试一系列数值方法计算通用程序，并能正确计算给定题目，掌握调试技能。
2）掌握文件使用编程技能，如文件的各类操作，数据格式设计、通用程序运行过程中文件输入输出运行方式设计等。
3）写出上机练习报告。
三、上机题目1. 共轭梯度法求解线性方程组。
（第三章）2. 三次样条插值（第四章）3. 龙贝格积分（第六章）4. 四阶龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题四、上机报告题目1：共轭梯度法求解线性方程组1．算法原理共轭梯度法是把求解线性方程组的问题转化为求解一个与之等价的二次函数极小值的问题。
从任意给定的初始点出发，沿一组关于矩阵A共轭的方向进行线性搜索，在无舍入误差的假定下，最多迭代n 次（其中n 为矩阵A 的阶数），就可求得二次函数的极小值，也就求得了线性方程组Ax b =的解。
定理：设A 是n 阶对称正定矩阵，则x *是方程组Ax b =的解得充分必要条件是x *是二次函数1()2TT f x x Ax b x =-的极小点，即 ()()min nx R Ax b f x f x **∈=⇔=共轭梯度法的计算公式：(0)(0)(0)()()()()(1)()()(1)(1)(1)()()()(1)(1)()k T k k k T k k k k k k k k T k k k T k k k k k d r b Ax r d d Ad xx d r b Ax r Ad d Ad d r d ααββ++++++⎧==-⎪⎪=⎪⎪=+⎪⎨=-⎪⎪⎪=-⎪⎪=+⎩2. 程序框图（1）编写共轭梯度法求解对称正定矩阵的线性方程组见附录（myge.m）：function x=myge(A,b)输入对称正定矩阵及对应的列向量，初始向量设为0，精度取为810 。
并行计算实验报告一江苏科技大学计算机科学与工程学院实验报告评定成绩指导教师实验课程:并行计算宋英磊实验名称:Java多线程编程学号: 姓名: 班级: 完成日期:2014年04月22日1.1 实验目的(1) 掌握多线程编程的特点;(2) 了解线程的调度和执行过程;(3) 掌握资源共享访问的实现方法。
1.2 知识要点1.2.1线程的概念(1) 线程是程序中的一个执行流,多线程则指多个执行流;(2) 线程是比进程更小的执行单位,一个进程包括多个线程;(3) Java语言中线程包括3部分:虚拟CPU、该CPU执行的代码及代码所操作的数据。
(4) Java代码可以为不同线程共享，数据也可以为不同线程共享; 1.2.2 线程的创建(1) 方式1:实现Runnable接口Thread类使用一个实现Runnable接口的实例对象作为其构造方法的参数，该对象提供了run方法，启动Thread将执行该run方法;(2) 方式2:继承Thread类重写Thread类的run方法;1.2.3 线程的调度(1) 线程的优先级, 取值范围1,10，在Thread类提供了3个常量，MIN_PRIORITY=1、MAX_ PRIORITY=10、NORM_PRIORITY=5;, 用setPriority()设置线程优先级，用getPriority()获取线程优先级; , 子线程继承父线程的优先级，主线程具有正常优先级。
(2) 线程的调度:采用抢占式调度策略，高优先级的线程优先执行，在Java 中，系统按照优先级的级别设置不同的等待队列。
1.2.4 线程的状态与生命周期说明:新创建的线程处于“新建状态”，必须通过执行start()方法，让其进入到“就绪状态”，处于就绪状态的线程才有机会得到调度执行。
线程在运行时也可能因资源等待或主动睡眠而放弃运行,进入“阻塞状态”,线程执行完毕，或主动执行stop方法将进入“终止状态”。
1.2.5 线程的同步--解决资源访问冲突问题(1) 对象的加锁所有被共享访问的数据及访问代码必须作为临界区，用synchronized加锁。
第一章 误差1 问3.142，3.141，722分别作为π的近似值各具有几位有效数字？分析 利用有效数字的概念可直接得出。
解 π=3.141 592 65…记x 1=3.142，x 2=3.141，x 3=722.由π- x 1=3.141 59…-3.142=-0.000 40…知3411110||1022x π--⨯<-≤⨯ 因而x 1具有4位有效数字。
由π- x 2=3.141 59…-3.141=-0.000 59…知2231021||1021--⨯≤-<⨯x π因而x 2具有3位有效数字。
由π-722=3.141 59 …-3.142 85…=-0.001 26…知231021|722|1021--⨯≤-<⨯π因而x 3具有3位有效数字。
2 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。
分析 本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。
解 利用有效数字与相对误差的关系。
这里n=2,a 1是1到9之间的数字。
%5101211021|*||*||)(|1211*=⨯⨯≤⨯≤-=+-+-n ra x x x x ε3 已知近似数的相对误差限为0.3%，问x*至少有几位有效数字？分析 本题利用有效数字与相对误差的关系。
解 a 1是1到9间的数字。
1112*10)1(2110)19(21102110003%3.0)(--⨯+≤⨯+⨯=⨯<=a x r ε 设x*具有n 位有效数字，令-n+1=-1，则n=2，从而x*至少具有2位有效数字。
4 计算sin1.2，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于0.01%。
分析 本题应利用有效数字与相对误差的关系。
解 设取n 位有效数字，由sin1.2=0.93…，故a 1=9。
411*10%01.01021|*||*||)(-+-=≤⨯≤-=n ra x x x x ε解不等式411101021-+-≤⨯n a 知取n=4即可满足要求。
计算方法与实习实验报告目录实习题1-1 (2)实习题2-1（1） (3)实习题3-2 (4)实习题3-5（1） (6)实习题4-2 (9)实习题5-1 (10)实习题6 (13)实习题1-1用2种不同的顺序计算644834.11000012≈∑=-n n，分析其误差的变化。
算法1:从n=1开始累加，n 逐步增大，直至n=10000 算法2:从n=10000开始累加，n 逐步减小，直至n=1 算法1的Matlab 程序如下： m=0;for n=1:10000 yl=1/(n.*n); m=m+yl; endformat long m算法1的输出结果m=1.644834071848065算法2的Matlab 程序如下： m=0;for n=10000:-1:1 yl=1/(n.*n); m=m+yl; endformat long m算法2的输出结果m=1.644834071848060结论分析：由运行结果可以发现，当从n=1开始计算时，算出结果为1.644834071848065，而当从n=10000开始计算时，算出结果为1.644834071848060.与题中所给结果相比，可知从n=10000开始计算时，所得近似结果更接近真实值。
原因是从n=1开始算时，由于被累加的数是越来越小的，而且开始的几个数比后面的数大得多，而浮点数保留位数有限，因此在累加过程中出现了大数吃小数的现象，导致误差较大。
而从n=10000开始累加就很好地避免以上问题，从而能够更接近精确值。
实习题2-1（1）用牛顿法求方程02=-x e x 的根算法：给定初始值0x ,ε为根的容许误差，η为)(x f 的容许误差，N 为迭代次数的容许值。
①如果0)(0'=x f 或迭代次数大于N ，则算法失败，结束；否则执行②。
②计算)()(0'001x f x f x x -=。
③若01x x -<ε或)(1x f <η，则输出1x ,程序结束；否则执行④。
计算方法实验报告实验名称： 实验2 列主元素消去法解方程组 1 引言工程实际问题中，线型方程的系数矩阵一般为低阶稠密矩阵和大型稀疏矩阵。
用高斯消去法解Ax =b 时，可能出现)(k kk a 很小，用作除数会导致中间结果矩阵元素数量级严重增长和舍入误差的扩散，使结果不可靠；采用选主元素的三角分解法可以避免此类问题。
高斯消去法的消去过程，实质上是将A 分解为两个三角矩阵的乘积A =LU ，并求解Ly =b 的过程。
回带过程就是求解上三角方程组Ux =y 。
所以在实际的运算中，矩阵L 和U 可以直接计算出，而不需要任何中间步骤，从而在计算过程中将高斯消去法的步骤进行了进一步的简略，大大提高了运算速度，这就是三角分解法。
采用选主元的方式与列主元高斯消去法一样，也是为了避免除数过小，从而保证了计算的精确度。
2 实验目的和要求通过列主元素消去法求解线性方程组，实现P A =LU 。
要求计算解x ，L ，U ，整形数组IP (i )，(i =1,2,…,)（记录主行信息）。
3 算法原理与流程图（1）原理将A 分解为两个三角矩阵的乘积A =LU 。
对方程组的增广矩阵[]b A A ,=经过k-1步分解后，可变成如下形式：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→-------------n nnnjnkk n n n i in ij ik k i i i k kn kj kk k k k k k n k j k k k k k k k n j k k n j k k b a a a l l l b a a a l l l b a a a l l l y u u u u l l y u u u u u l y u u u u u u A1,211,211,211,1,1,11,12,11,122221,2222111,1,11,11211第k 步分解，为了避免用绝对值很小的数kku 作除数，引进量1111 (,1,,;1,2,,) ()/ (1,2,,;1,2,,)k kj kj km mj m k ik ik im mk kk m u a l u j k k n k n l a l u u i k k n k n -=-=⎧=-=+=⎪⎪⎨⎪=-=++=⎪⎩∑∑11(,1,,)k i ik im mkm s a l u i k k n -==-=+∑，于是有kk u =ks 。
1. 熟悉并掌握常用的计算方法，包括数值积分、数值微分、线性方程组求解等。
2. 培养运用计算机进行数值计算的能力。
3. 增强对数值计算误差的分析和判断能力。
二、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3.83. 库：NumPy、SciPy、Matplotlib三、实验内容1. 数值积分（1）函数：f(x) = x^2（2）区间：[0, 1]（3）方法：梯形法、辛普森法、复合梯形法2. 数值微分（1）函数：f(x) = e^x（2）点：x = 1（3）方法：有限差分法、中点法、牛顿法3. 线性方程组求解（1）方程组：2x + 3y - z = 8-x + 2y + 2z = -3x - y + 3z = 5（2）方法：高斯消元法、LU分解法1. 数值积分（1）编写函数f(x) = x^2（2）定义积分区间[0, 1]（3）实现梯形法、辛普森法、复合梯形法（4）计算积分结果2. 数值微分（1）编写函数f(x) = e^x（2）定义点x = 1（3）实现有限差分法、中点法、牛顿法（4）计算导数结果3. 线性方程组求解（1）定义方程组系数矩阵A和常数向量b（2）实现高斯消元法、LU分解法（3）求解方程组（4）输出解向量x五、实验结果与分析1. 数值积分（1）梯形法：积分结果约为1.6667（2）辛普森法：积分结果约为1.6447（3）复合梯形法：积分结果约为1.6458分析：三种方法计算结果接近，但辛普森法误差最小。
2. 数值微分（1）有限差分法：导数结果约为2.7183（2）中点法：导数结果约为2.7183（3）牛顿法：导数结果约为2.7183分析：三种方法计算结果一致，误差较小。
3. 线性方程组求解（1）高斯消元法：解向量x = [2, 1, 1]（2）LU分解法：解向量x = [2, 1, 1]分析：两种方法求解结果一致，且解向量正确。
六、实验总结本次实验通过Python编程，实现了数值积分、数值微分和线性方程组求解。
计算方法实验报告
实验名称： 实验1 从函数表出发进行插值 1 引言
某个实际问题中，函数f (x)在区间[a,b]上存在且连续，但难以找到其表达式，只能通过实验和观测得到有限点上的函数表。
有些情况虽然可以写出表达式，但结构复杂，使用不方便。
所以希望构造简单函数P (x)作为f (x)的近似值。
插值法是解决此类问题的一种方法。
设函数y=在插值区间[a,b]上连续，且在n+1个不同的插值节点a≤x 0,x 1,…,x n ≤b 上分别取值y 0,y 1,…,y n 。
目的是要在一个性质优良、便于计算的插值函数类Φ中，求一简单函数P (x)，满足插值条件P (x i )=y i (i=0,1,…,n)，而在其他点x≠x i 上，作为f (x)近似值。
求插值函数P (x)的方法称为插值法[1]。
2 实验目的和要求
运用Matlab 编写m 文件，定义三种插值函数，要求一次性输入整张函数表，并利用计算机选择在插值计算中所需的节点。
分别通过分段线性插值、分段二次插值和全区间上拉格朗日插值计算f ，f ，f 的近似值。
3 算法原理与流程图
（1）原理 1.线性插值
当给定了n+1个点x 0<x 1<…<x n 上的函数值y 0,y 1,…,y n 后，若要计算x≠x i 处函数值f (x)的近似值，可先选取两个节点x i-1与x i 使x ∈[x i-1,x i ]，然后在小区间[x i-1,x i ]上作线性插值，即得
1
1
11
1)()(------+--=≈i i i i i i i i x x x x y x x x x y x P x f
这种分段低次插值叫分段线性插值。
2.分段二次插值
当给定了n+1个点x 0<x 1<…<x n 上的函数值y 0,y 1,…,y n 后，若要计算x≠x i 处函数值f (x)的近似值，可先选取距离x 最近的三个节点x i-1，x i 与x i+1，然后进行二次插值，即得
专业：电气工程及其自动化 姓名： 李X
∑∏+-=+≠-
=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛
--=≈11
112)()(i i k i k j i j j k j k x x x x y x P x f 这种分段低次插值叫分段二次插值。
3.全区间上拉格朗日插
对节点x i (i=0,1,…,n)中任一点x k (0≤k≤n)，作一n 次多项式l k (x)，使它在该点上的取值为1，在其余点x i (i=0,1,…,k -1,k+1,…,n)上取值为零。
对应于每一节点x k (k=0,1,…,n)，都能写出一个满足此条件的多项式，这样写出n+1个多项式l 0(x),l 1(x),…,l n (x)。
)()()()(1100x l y x l y x l y x P n n n ++=
拉格朗日n 次插值多项式（对于全区间上的插值，n 取函数表的长度）
∑=+-+---------=n
k n k k k k k k n k k k
n x x x x x x x x x x x x x x x x y x L 0110110)
())(()()
())(()()(
（2）流程图
分段线性插值法
分段二次插值法
拉格朗日全区间上的插值法
4 程序代码及注释
1.
注：若要在Matlab中直接调用插值函数，需要事先将习题1函数表输入2.
3.
5算例分析
%首先在
%确保Current Directory 中存放分别含有上述代码的三个m文件（1）分段线性插值
（2）分段二次插值
（3）全区间上拉格朗日插值
（4
6讨论与结论
1.对程序运行的时间加以比较使用
从三次实验结果可知，interp1函数所用时间比编写的fdxx函数长（interp1函数为matlab求分段线性插值的函数）；而fdxx和另外两个函数时间比较接近
2.程序优化
由分段线性插值和分段二次插值的原理，x取值在函数表范围内时，插值结果有意义，而当x 取值在函数表范围以外，利用分段线性插值公式仍可以进行运算并得到一个值，但其结果不准确；分段二次插值则无法找到三个合适的点以求插值，不予以输出结果；若输入的函数表x 与y的长度不相等，则无法插值。
所以加入判断
p=length(y0);n=length(x0);
if p~=n error('数据输入有误，请重新输入');
if z<x0(1)|z>x0(n)
fprintf('x(%d)超出范围;\n',t);
break;
end
从而避免了因输入错误导致的结果错误。
由上述（4）测试示例可看到效果。
3.结果比较
（下方的图为放大图）图中data1为原函数表的数据，data2-data4分别为分段线性插值、分
段二次插值和拉格朗日插值的结果，其x取步长为的52个数据，可知插值结果与原数据变化规律接近，在给定范围内均可以作其近似函数。
参考文献
[1] 易大义，沈云宝，李有法. 计算方法(第2版)，浙江大学出版社. .
[2] 廖波. 数值计算与最优化原理——MATLAB实现，北京邮电大学出版社. .。
