数学选修4-4测试卷

一、选择题1．如图所示，某人P 去草场打靶，猎物R 被放在了两个固定物E 、F 之间，满足4EF =，1RF =,此人在移动过程中，始终保持到E ，F 两点的距离和不小于6，当他离猎物最近时开枪命中猎物，则此时他离猎物的距离为（ ）A ．2B ．152C ．1D ．21032．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换53x xy y ''=⎧⎨=⎩后，曲线C 变为曲线2241x y ''+=，则曲线C 的方程为（ ）A ．2225361x y +=B ．2291001x y +=C ．10241x y +=D ．22281259x y += 3．已知曲线C 的极坐标方程为：2cos 4sin ρθθ=-，P 为曲线C 上的动点，O 为极点，则PO 的最大值为（ ） A ．2B ．4C ．5D ．254．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为23cos ρθ=，若曲线1C 与2C 交于A 、B 两点，则AB 等于（ ）A ．1B ．3C ．2D ．235．()04πθρ=≥表示的图形是( )A ．一条线段B ．一条直线C ．一条射线D ．圆6．在极坐标系中，点到直线的距离是（ ）．A ．B ．C ．D ． 7．在极坐标系中，圆心为π1,2⎛⎫⎪⎝⎭，且过极点的圆的方程是（ ）． A ．2sin ρθ= B ．2sin ρθ=- C ．2cos ρθ= D ．2cos ρθ=- 8．圆心在(0,1)且过极点的圆的极坐标方程为（ ）A ．1ρ=B ．cos ρθ=C ．2cos ρθ=D ．2sin ρθ=9．在极坐标系中，两条曲线1πC :ρsin θ14⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2C :ρ2=的交点为A,B ，则AB =（ ）A ．4B ．22C ．2D ．110．将正弦曲线sin y x =的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的13，所得曲线的方程为 A ．3sin y x = B ．sin 3y x = C ．1sin3y x = D ．1sin 3y x =11．已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则曲线C 的直角坐标方程为 A ．22(1)4x y -+= B ．22(1)4x y +-= C ．22(1)1x y -+=D ．22(1)1y x +-=12．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或 B ．2x =C ．2202x y x +==或D ．2y =二、填空题13．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，已知曲线C 1的方程为(x －1)2＋y 2＝1，C 2的方程为x ＋y ＝3，C 3是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求C 1与C 2的极坐标方程；（2）若C 1与C 3的一个公共点为A (异于点O )，C 2与C 3的一个公共点为B ，求|OA |－3OB的取值范围.14．在极坐标系中，直线cos 1ρθ=与圆4cos ρθ=相交于,A B 两点，则AB =___． 15．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为：2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 30cos sin θθ-=，则圆C 截直线l 所得弦长为___________．16．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为:cos 424l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C 的参数方程21222x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（θ为参数）.则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为________.17．在以O 为极点的极坐标系中，曲线2cos ρθ=和直线cos =a ρθ相交于,A B 两点.若AOB ∆是等边三角形，则a 的值为__________．18．在极坐标系中，O 是极点，设点(1,)6A π，(2,)2B π，则OAB ∆的面积是__________．19．在极坐标系中，O 是极点，设点4,3A π⎛⎫⎪⎝⎭，55,6B π⎛⎫-⎪⎝⎭，则OAB ∆的面积是__________．20．极坐标系中，0ρ≥，过点(1,0)且倾斜角为2π的射线的极坐标方程为_____________．三、解答题21．已知直线l 的参数方程为1324x ty t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 交于, A B 两点，求AB ．22．在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P . （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 23．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，[]0,θπ∈），将曲线1C经过伸缩变换：x xy '='=⎧⎪⎨⎪⎩得到曲线2C .（1）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程；（2）若直线cos :sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）与12,C C 相交于,A B两点，且1AB =，求α的值.24．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为()()cos sin 0m m ρθθ+=>.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若直线()4R πθρ=∈与直线l 交于点A ，与曲线C 交于M ，N 两点，且6OA OM ON ⋅⋅=，求m .25．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C 的极坐标方程为sin 4ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ--+=，曲线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈.（1）求1C 与2C 的直角坐标方程；（2）若2C 与1C 的交于P 点，2C 与3C 交于A 、B 两点，求PAB ∆的面积. 26．在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为1(x cos y sin ααα=+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上，且满足||||8OA OB ⋅=，点B 的轨迹为2C . （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）设点M 的极坐标为2,2π⎛⎫⎪⎝⎭，求ABM ∆面积的最小值。

一、选择题1．点(, )A x y 是曲线2cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）上的任意一点，则2 -x y 的最大值为（ ） AB5C ．3D3+2．若直线l ：y kx =与曲线C ：2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）有唯一的公共点，则实数k等于（） AB．CD．±3．4sin 4πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与直线122{12x y =-=（t 为参数）的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相离C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心4．在方程sin {cos 2x y θθ==（θ为参数）所表示的曲线上的点是 （ ）A ．(2,7)B ．12(,)33C ．(1,0)D ．11(,)225．曲线C 的参数方程为2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为12x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则AB 等于（ ） ABCD6．参数方程2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）和极坐标方程6cos ρθ=-所表示的图形分别是（ ） A ．圆和直线B ．直线和直线C ．椭圆和直线D ．椭圆和圆7．已知点(),P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且[),2θππ∈）上，则点P 到直线21x ty t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的距离的取值范围是( )A．⎡⎢⎣⎦ B ．0tan 60x = C．D ．:::2x r r q q q e αα==8．在平面直角坐标系中以原点为极点，以x 轴正方向为极轴建立的极坐标系中，直线:20l y kx ++=与曲线2:cos C ρθ=相交，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．34k ≥-C ．34k <-D ．k ∈R 但0k ≠9．把曲线12cos 2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩：（θ为参数）上各点的横坐标压缩为原来的14，纵坐标压缩为2C 为 A ．221241x y +=B ．224413y x +=C ．2213y x +=D ．22344x y +=10．直线320{20x tsin y tcos =+=- （t 为参数）的倾斜角是( )A ．20B ．70C ．110D ．16011．若动点(,)x y 在曲线2221(0)4x yb b+=>上变化，则22x y +的最大值为（ ）A ．24(04)42(4)b b b b ⎧+<⎪⎨⎪>⎩B ．24(02)42(4)b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪⎩C ．244b +D ．2b12．已知点A 是曲线2213x y +=上任意一点，则点A到直线sin()6πρθ+=的距离的最大值是（ ）A．2BCD．二、填空题13．点(),M x y 为此曲线()2234x y ++=上任意一点，则x y +的最大值是______．14．已知直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则圆心C 到直线l 的距离为___________． 15．坐标系与参数方程选做题）直线截曲线（为参数）的弦长为___________ 16．设点(),x y 是曲线C 2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且02θπ≤<）上的任意一点，则yx的最大值为________． 17．已知在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是2sin 4cos 0ρθθ+=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，直线l 的参数方程是1123x t t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），M （03l 与曲线C 的公共点为P ，Q ，则11PM QM+=_______ 18．直线:30l x y ++=被圆14cos :24sin x C y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）截得的弦长为______.19．曲线4cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩上的点到直线220x y +=的最大距离为__________．20．圆1212x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）被直线0y =截得的弦长为__________．三、解答题21．已知直线l 过定点()1,1P ，且倾斜角为4π，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos 3ρρθ=+． （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程：（2）若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A 、B ，求AB 及PA PB ⋅的值．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1123x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）（1）将直线l 的参数方程化为极坐标方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.23．在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()3,0P，倾斜角为6π，曲线C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB +的值．24．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），将曲线C 按伸缩变换公式12x x y y =⎧''⎪⎨=⎪⎩，变换得到曲线E（1）求E 的普通方程；（2）直线l 过点()0,2M -，倾斜角为4π，若直线l 与曲线E 交于,A B 两点，N 为AB 的中点，求OMN 的面积.25．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值. 26．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线C ：4cos ρθ=.（1）当4πα=时，求C 与l 的交点的极坐标； （2）直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 中点为(1,1)M ，求||AB 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】利用曲线的参数方程得32co sin -32s x y θθ=+-化简求解即可 【详解】由题()32cos 3sin 23-s x y θθθϕ=+-=++ 故当()cos 1θϕ+=时，2 -x y3+ 故选D 【点睛】本题考查参数方程求最值，考查辅助角公式，是基础题2．D解析：D 【分析】根据题意，将曲线C 的参数方程消去θ，得到曲线C 的普通方程22(2)1x y -+=，可知曲线C 为圆，又知圆C 与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求得k 。

一、选择题1．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ） A ．1cos 2ρθ=B ．sin 2ρθ=C ．cos 2ρθ=D ．1sin 2ρθ=2．圆5cos ρθθ=-的圆心极坐标是（ ） A ．45,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5,3π⎛⎫⎪⎝⎭C ．25,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．55,3π⎛⎫⎪⎝⎭3．在极坐标系中，已知圆C 经过点6P π⎛⎫⎪⎝⎭，，圆心为直线sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭轴的交点，则圆C 的极坐标方程为 A ．4cos ρθ=B ．4sin ρθ=C ．2cos ρθ=D ．2sin ρθ=4．极坐标系内曲线2cos ρθ=上的动点P 与定点(1,)2Q π的最近距离等于（ ）A 1B 1C ．1D 5．在极坐标系中，曲线46sin πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于( ) A ．直线23πθ=对称 B ．直线56πθ=对称 C ．点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 D ．极点中心对称6．已知点P 的极坐标是π2,6⎛⎫⎪⎝⎭，则过点P 且平行极轴的直线方程是( ) A ．ρ1=B ．ρsin θ=C ．1ρsin θ=-D ．1ρsin θ=7．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是 A ．(1,)2πB ．(1,)2π-C ．(1,0)D ．(1，π)8．在极坐标系中，圆心为π1,2⎛⎫⎪⎝⎭，且过极点的圆的方程是（ ）． A ．2sin ρθ=B ．2sin ρθ=-C ．2cos ρθ=D ．2cos ρθ=-9．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换'5'3x xy y=⎧⎨=⎩后，曲线C 变为曲线22281x y '+'=，则曲线C 的方程为A ．50x 2＋72y 2＝1B ．9x 2＋100y 2＝1C ．10x 2＋24y 2＝1D ．225x 2＋89y 2＝1 10．在极坐标系中，直线cos()24ρθπ-=与圆2ρ=的公共点的个数为A ．1B ．2C ．0D ．无法确定 11．已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则曲线C 的直角坐标方程为A ．22(1)4x y -+=B ．22(1)4x y +-=C ．22(1)1x y -+=D ．22(1)1y x +-=12．点M 的直角坐标为(3,1)--化为极坐标为（ ） A ．（2，56π） B ．（2，76π） C ．（2，116π） D ．（2，6π） 二、填空题13．已知极坐标系中的极点与平面直角坐标系中的原点重合，极轴与x 的正半轴重合，点A 在圆ρ＝2cosθ＋2sinθ上，点B 在直线31x ty t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)上，则|AB|的最小值为________．14．点P 的极坐标为(2,)3π，以极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系，且在两种坐标系中取相同的长度单位，则P 点的直角坐标为_______________. 15．在极坐标系中，以,2a π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以a 为半径的圆的极坐标方程为__________. 16．在直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为sin()104πρθ++=，曲线C 2的参数方程为(为参数，)，则C 1与C 2有______个不同公共点．17．以(4,0)C 为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程为_____________．18．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为23x cosay sina=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________． 19．过点P (2，4π)并且与极轴垂直的直线的方程是___________________________． 20．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是22sin 2cos x y αα=+⎧⎨=⎩(α是参数)，现以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为__________．三、解答题21．在平面直角坐标系中，曲线2212:C x y -=，曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线1C 、2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线．．6πθ=与曲线1C ，2C 分别交于A 、B 两点（异于极点O ），定点(3,0)M ，求MAB ∆的面积22．在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 、B 的极坐标分别为()2,A π，4B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=.（1）求AOB 的面积；（2）求直线AB 被曲线C 截得的弦长. 23．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为12x y ϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），直线l 的方程为y ．（1）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程和直线l 的极坐标方程；（2）在（1）的条件下，直线m 的极坐标方程为()6πθρ=∈R ，设曲线C 与直线l 的交于点O 和点A ，曲线C 与直线m 的交于点O 和点B ，求OAB ∆的面积．24．在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C ：222x ax y -+=0(a >0)，曲线2C 的参数方程为cos {1sin x y αα==+(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系；(1)求曲线1C ，2C 的极坐标方程; (2)已知极坐标方程为θ=6π的直线与曲线1C ，2C 分别相交于P ，Q 两点（均异于原点O ），若|PQ|=1，求实数a 的值； 25．已知曲线C 的参数方程为cos 1sin x y αα=+⎧⎨=⎩，其中α为参数，且[0,]απ∈在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设T 是曲线C 上的一点，直线OT 被曲线CT 点的极坐标. 26．在极坐标系下，已知圆C ：cos sin ρθθ=+和直线l ：20x y -+=.（1）求圆C 的直角坐标方程（2）求圆C 上的点到直线l 的最短距离．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，再判断是否相切． 【详解】由题意圆的直角坐标方程为224x y y +=，即22(2)4x y +-=，圆心上(0,2)C ，半径为2r ，A 中直线方程是12x =，B 中直线方程是2y =，C 中直线方程是2x =，D 中直线方程是12y =，只有直线2x =与圆相切． 故选：C ． 【点睛】方法点睛：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线与圆的位置关系．在极坐标系中两者位置关系的差别是不方便的，解题方法是把极坐标方程化为直角坐标方程，在直角坐标系中判断直线与圆的位置关系．2．D解析：D 【分析】先把圆的极坐标方程化成直角坐标方程求出圆心的直角坐标为5(,2，再把直角坐标化成极坐标得解. 【详解】由题得25cos sin ρρθθ=-，所以22225,50x y x x y x +=-∴+-+=，所以圆心的坐标为5(,2--，即5(,2.所以该点的极径5ρ==，极角θ在第四象限，且5tan 3θθπ==. 所以圆心极坐标是5(5,)3π. 故选：D 【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查圆的一般方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．A解析：A 【分析】求出圆C 的圆心坐标为（2，0），由圆C 经过点6P π⎛⎫⎪⎝⎭，得到圆C 过极点，由此能求出圆C 的极坐标方程． 【详解】在sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭0θ=，得2ρ=， 所以圆C 的圆心坐标为（2，0）. 因为圆C 经过点6P π⎛⎫⎪⎝⎭，，所以圆C 的半径2r =，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=. 故选A 【点睛】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．4．A解析：A 【解析】分析：先将曲线的方程化为直角坐标方程，再把定点Q 化成直角坐标，再利用数形结合求最短距离.详解：将ρ=2cos θ化成直角坐标方程为(x-1)2+y 2=1,点Q 的直角坐标为(0,1),则点P 到点Q 的最短距离为点Q 与圆心(1,0)的距离减去半径, 1. 故答案为A.点睛：(1)本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)解答极坐标的问题，通常先把所有的条件化成直角坐标再解答.5．C解析：C 【解析】分析：先化极坐标为直角坐标，根据直角坐标方程判断曲线形状极其性质.详解：因为46sin πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以222cos 2,x y x ρθθ=+∴+=+所以22(1)(2x y -+=因此关于圆心即2,3π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，选C.点睛：研究极坐标方程的性质，往往先化直角坐标方程，再根据直角坐标方程研究对应曲线性质.6．D解析：D 【解析】分析：把点P 的极坐标化为直角坐标，求出过点P 且平行极轴的直线直角坐标方程，再把它化为极坐标方程．详解：把点P 的极坐标π2,6⎛⎫⎪⎝⎭化为直角坐标为）， 故过点P 且平行极轴的直线方程是1y = ， 化为极坐标方程为1sin ρθ=， 故选D ．点睛：本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标，把直角坐标方程化为即坐标方程的方法，属于基础题．7．B解析：B 【详解】由题圆2sin ρθ=-，则可化为直角坐标系下的方程,22sin ρρθ=-，222x y y +=-，2220x y y =++，圆心坐标为（0，-1）， 则极坐标为1,2π⎛⎫-⎪⎝⎭，故选B. 考点：直角坐标与极坐标的互化.8．A解析：A 【解析】分析：由条件求得圆心的直角坐标进而求出圆的直角坐标方程，再利用222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩把它化为极坐标方程即可.详解：由题意可得圆心π1,2⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为()0,1，半径为1，故圆的直角坐标方程为2211x y +-=（），即2220x y y +-=，再把它化为极坐标方程为22sin 0ρρθ-=，即2sin ρθ=，故选A.点睛：本题主要考查求圆的标准方程，把直角坐标方程化为极坐标方程，熟练掌握222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩的运用是解题的关键，属于基础题． 9．A解析：A 【解析】将坐标直接代入新方程，即可得原来的曲线方程．将'5'3x xy y=⎧⎨=⎩直接代入2x ′2＋8y ′2＝1，得2·(5x )2＋8(3y )2＝1，则50x 2＋72y 2＝1即所求曲线C 的方程．故选A ． 10．A解析：A 【解析】将直线cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭x y =20x y +-=；将圆ρ=化为直角坐标方程为222x y +=，其圆心坐标为()0,0又圆心()0,0到直线20x y +-=的距离为d ==所以直线20x y +-=与圆222x y +=相切，所以直线cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ρ只有一个公共点．故选A ．11．C解析：C 【解析】由2cos ρθ=可得22cos ρρθ=，根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得2220x y x +-=，即()2211x y -+=，所以曲线C 的直角坐标方程为()2211x y -+=．故选C ．12．B解析：B 【解析】由题意得2ρ==，17tan ,26y x πθθθ-====∴=，所以极坐标为7(2,)6π，选B. 二、填空题13．【分析】将极坐标方程化为直角坐标方程将参数方程化为普通方程转化为圆上的点到直线的最值即可得解【详解】由ρ＝2cosθ＋2sinθ得x2＋y2＝2x ＋2y 即(x －1)2＋(y －1)2＝2故圆心M(11【分析】将极坐标方程化为直角坐标方程，将参数方程化为普通方程，转化为圆上的点到直线的最值即可得解. 【详解】由ρ＝2cos θ＋2sin θ得x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2，故圆心M (1,1)，半径r＝31x ty t=+⎧⎨=-+⎩ (t 为参数)得x －y －4＝0，∵A 在圆M 上，B 在直线x －y －4＝0上， ∴|AB |min ＝d M －r=【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，意在考查学生数形结合的能力，属于中档题．14．【解析】【分析】设点的直角坐标为由公式和条件可得答案【详解】设点的直角坐标是由题意得所以点的直角坐标是故答案为：【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化掌握相关转化公式是解题的关键属于基础题解析：. 【解析】 【分析】设P 点的直角坐标为P x y （，），由公式x cos y sin ρθρθ==、 和条件可得答案．【详解】 设点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标是Px y （，），由题意得，212333x cos y sin，，ππ====所以点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标是()1,3.． 故答案为：()1,3.． 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，掌握相关转化公式是解题的关键，属于基础题．15．【解析】【分析】建立极坐标系根据极坐标的定义求解【详解】如图所示圆的直径为在圆上任取一点则或所以即【点睛】本题主要考察极坐标的定义图形是关键此题也可转化为在直角坐标系下求解 解析：2sin a ρθ=【解析】 【分析】建立极坐标系，根据极坐标的定义求解。

一、选择题1．点(, )A x y 是曲线2cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）上的任意一点，则2 -x y 的最大值为（ ） AB5C ．3D3+2．已知直线l的参数方程为22x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上，若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，则FA FB ⋅的值等于（ ） A ．1BCD ．23．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩，（t 为参数），曲线C 的方程为4cos 02πρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(2,0)C 直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，当ABC ∆的面积最大时，tan α=( )A．3B．2CD ．74．在参数方程cos sin x a t y b t θθ=+⎧⎨=+⎩，(0θπ<，t 为参数)所表示的曲线上有,B C 两点，它们对应的参数值分别为1t ，2t ，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） A ．122t t - B ．122t t + C ．122t t - D ．122t t + 5．直线122x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 是参数）被圆229x y +=截得的弦长等于（ ）A．125BCD 6．已知在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为 4cos ()sin x y 为参数ααα=⎧⎨=⎩，M 是曲线C 上的动点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线T 的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=，则点M 到点T 的距离的最大值为（ ）A．2+BC．4+D．7．直线4x 1t 5(t 3y 1t5⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)被曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截的弦长为( ) A ．15B ．710C ．75D ．578．已知直线l的参数方程为112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与圆2216x y +=相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标为（ ） A ．(3,3)- B．3)-C．(D．3(,9．直线21{(1x t t y t =-=+为参数) 被圆229x y +=截得的弦长等于（ ）A ．125B．5C．5D．510．动点1293cos 4sin 1,cos sin 2(55M θθθθθ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭为参数）的轨迹的普通方程为（ ）A ．22(1)(2)1259x y +-+=B ．22(1)(2)1259x y -++=C ．22(1)(2)1925x y +-+=D ．22(1)(2)1925x y -++=11．若动点(,)x y 在曲线2221(0)4x yb b+=>上变化，则22x y +的最大值为（ ）A ．24(04)42(4)b b b b ⎧+<⎪⎨⎪>⎩B ．24(02)42(4)b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪⎩C ．244b +D ．2b12．设椭圆C ：2211612x y +=上的一点P 到两条直线4y =和8x =的距离分别是1d ，2d ，则122d d +的最小值（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题13．已知曲线C参数方程为22cos2sinxyθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l方程为：x y-+=，将曲线C横坐标缩短为原来的12，再向左平移1个单位，得到曲线1C，则曲线1C上的点到直线l距离的最小值为______.14．曲线C的参数方程为4cossinxyαα=⎧⎨=⎩（α为参数），M是曲线C上的动点，若曲线T 极坐标方程2sin cos20ρθρθ+=，则点M到T的距离的最大值为__________．15．直线415{315x ty t=+=--（t为参数）被曲线4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭所截得的弦长为 . 16．已知曲线C：2cossinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．若点P在曲线C上运动，点Q为直线:0l x y+=-上的动点，则PQ的最小值为________．17．直线122x ty⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）被双曲线221x y-=截得的弦长为_________.18．已知在极坐标系中，曲线C的极坐标方程是2sin4cos0ρθθ+=，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，直线l的参数方程是112x tty⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），M （0l与曲线C的公共点为P，Q，则11PM QM+=_______19．已知(,)P x y是椭圆22143x y+=上的一个动点，则x y+的最大值是__________．20．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的参数方程为1cos,sinx ty tαα=-+⎧⎨=⎩（t为参数），曲线C的方程为4cosρθ=（02πθ≤≤），()2,0C.直线l与曲线C相交于A，B两点，当ABC的面积最大时，tanα=______.三、解答题21．已知直线l的参数方程为12{2x ty ==(t 为参数)，曲线C 的参数方程为4cos {4sin x y θθ==(θ为参数)．(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x ty t =+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线3C 的极坐标方程为(0)6πθρ=>. （1）求曲线1C 的普通方程和3C 的直角坐标方程； （2）设3C 分别交1C 、2C 于点P 、Q ，求1C PQ ∆的面积.23．已知直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.在平面直角坐标系xOy 中，()1,2P ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与曲线M 交于A ，B 两点. （1）求曲线M 的直角坐标方程； （2）求PA PB ⋅的值.24．在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l的参数方程为42x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以直角坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为413cos 4k k k k ρπθ=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭.（1）当1k =时，求直线l 和C 的普通方程；（2）当2k =时，试判断直线l 和C 有无交点若有，求出交点的坐标；若无，说明理由.25．在直角坐标系xOy 中直线l的参数方程为1x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长度．26．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.（t 为参数）.以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 30p ρθ-+=.（1）求l 的普通方程及C 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点P 到l 距离的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用曲线的参数方程得32co sin -32s x y θθ=+-化简求解即可 【详解】由题()32cos 3sin 23-s x y θθθϕ=+-=++ 故当()cos 1θϕ+=时，2 -x y3+ 故选D 【点睛】本题考查参数方程求最值，考查辅助角公式，是基础题2．D解析：D 【分析】根据题意，将曲线C 的极坐标方程变形为标准方程，由直线过的点的坐标可得m 的值，将直线的参数方程与曲线C 的方程联立，可得2220t t --=，由一元二次方程根与系数的关系计算可得答案；【详解】解：根据题意，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，则其标准方程为221124x y +=，其左焦点为(-，直线l过点(-，其参数方程为(x m ty ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），则m =-将直线l的参数方程22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩与曲线C 的方程221124x y +=联立，得2220t t --=， 则12||||||2FA FB t t ==． 故选：D 【点睛】本题考查椭圆的极坐标方程、参数方程，涉及椭圆与直线的位置关系，关键是求出椭圆、直线的普通方程，属于中档题．3．D解析：D 【分析】先将直线直线l 与曲线C 转化为普通方程，结合图形分析可得，要使ABC ∆的面积最大，即要ACB ∠为直角，从而求解出tan α． 【详解】解：因为曲线C 的方程为4cos 02πρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 两边同时乘以ρ，可得24cos ρρθ=，所以曲线C 的普通方程为22(2)4(02)x y y -+=， 曲线C 是以(2,0)C 为圆心，2为半径的上半个圆. 因为直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩，（t 为参数），所以直线l 的普通方程为tan tan 0x y αα-+=，因为1sin 2sin 2ABCS CA CB ACB ACB ∆， 所以当ACB ∠为直角时ABC ∆的面积最大，此时C 到直线l 的距离22222AB CA CB d +=== ，因为直线l 与x 轴交于()1,0D -， 所以3CD =，于是7DE =， 所以214tan 77α==， 故选D ． 【点睛】本题考查了曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程之间的互化，同时考查了直线与圆的位置关系，数形结合是本题的核心思想．4．D解析：D 【解析】 【分析】根据参数的几何意义求解即可。

演练篇核心考点AE卷高考数学2021年6月■安徽省利辛高级中学胡彬1.在平面直角坐标系scOy中，以坐标原点O为极点，工轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点MSo,仇)(卩0>0)在曲线C-.p=4cos(9上，直线I过点A(4,今)且与OM垂直，垂足为P。

⑴当久=专时，求在直角坐标系下点M的坐标和直线I的方程；(2)当点M在曲线C上运动且点P在线段OM上时，求点P在极坐标系下的轨迹方程。

2.在平面直角坐标系工Oy中，直线I的f4rc=1H-—J9o参数方程为彳&为参数)。

以坐3)=1+亍标原点o为极点，工轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为°=愆COS(°o(1)求直线I的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(2)已知直线Z与曲线C交于A,E两点，试求两点间的距离。

3.已知曲线C的极坐标方程是°=1,以极点为坐标原点，极轴为鼻轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C经过伸缩变换=愆工，得到曲线E。

直线Z：\y/=y,cc=l-\-t, y=/3i为参数)与曲线E交于A,B两点。

(1)设曲线C上任意一点为M(鼻，夕)，求*—3夕的最小值；(2)求曲线E的直角坐标方程，以及直线I被曲线E截得的弦AJB的长。

4.在平面直角坐标系a:Oy中，曲线C的参数方程为<W)心参数i1坐标原点O为极点，工轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。

(1)写出曲线C的普通方程和极坐标方程；(2)M,N为曲线C上两点，若OM丄ON,求|MN|的最小值。

5.在平面直角坐标系acOy中，直线I的(工=1+icos9,参数方程为(t为参数)。

以b=tsin0坐标原点O为极点，工轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为(1,0),曲线2一123cos20+4sin20°(1)求直线I的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线Z与曲线C交于A,B两点，求\PA\+\PB\的取值范围。

一、选择题1．在直角坐标系xOy 中，曲线C：2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上的点到直线l：30x +=的距离的最小值为（ ）A ．23BCD2．已知直线l的参数方程为2x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上，若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，则FA FB ⋅的值等于（ ） A ．1BCD ．23．已知点(),x y 在圆22()(23)1x y -=++上，则x y +的最大值是( ) A ．1B ．1-C1D．1-4．已知点A ，B 是曲线2241x y +=上两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），则2211OAOB+=（ ）A ．34 B ．1C ．54D ．55．已知椭圆4cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为,A B ，动点P 是椭圆上任一点，则PAB ∆面积的最大值为（ ）A．)61B．)61C ．125D ．2456．已知椭圆C 的参数方程为3cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则C 的两个焦点坐标是（ ）A ．(4,0)±B ．(0,4)±C．(D．(0,7．若曲线2sin301sin30x t y t =-︒⎧⎨=-+︒⎩（t为参数）与曲线ρ=B ，C 两点，则BC 的值为（ ） A．BC．D8．在直角坐标系xOy 中，过点()1,2P -的直线l的参数方程为1 2x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，直线l 与抛物线2y x 交于点,A B ，则PA PB ⋅的值是( )AB ．2C．D ．109．点M的直角坐标是()1-，则点M 的极坐标为（ ） A ．52,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．112,6π⎛⎫⎪⎝⎭D ．2,6π⎛⎫⎪⎝⎭10．把曲线12cos 2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩：（θ为参数）上各点的横坐标压缩为原来的14，纵坐标压缩为2C 为 A ．221241x y +=B ．224413y x +=C ．2213y x +=D ．22344x y +=11．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ） AB．CD．12．已知圆()22:11M x y -+=,圆()22:11N x y ++=,直线12,l l 分别过圆心,M N ,且1l 与圆M 相交于,A B 两点,2l 与圆N 相交于,C D 两点,点P 是椭圆22149x y+=上任意一点,则PA PB PC PD ⋅+⋅的最小值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10二、填空题13．对于任意实数，直线y x b =+与椭圆()2cos 04sin x y θθπθ=⎧≤≤⎨=⎩恒有公共点，则b 的取值范围是______ ．14．在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程是2x t y t =⎧⎨=⎩，（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是sin()4πρθ-=直线l被曲线C 截得的线段长为_______15．在直角坐标系xOy 中，若直线:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆4cos :5sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的左顶点，则a =__________． 16．设点(),x y 是曲线C 2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且02θπ≤<）上的任意一点，则yx的最大值为________． 17．将参数方程1212a x t t b y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 为参数），转化成普通方程为_______．18．若点P （x ，y ）在曲线（θ为参数，θ∈R ）上，则的取值范围是_____．19．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>．过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为2{4x ty t=-+=-+（t 为参数）．设直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点．若,,PM MN PN 成等比数列，则a 的值为________．20．已知点()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆2212x y +=两个不同的动点，且满足11222x y x y ⋅+⋅=-2212x x +的值是_____． 三、解答题21．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，(θ为参数).将曲线C 上的点按坐标变换22x x y y ⎧'='=⎪⎨⎪⎩得到曲线C '，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系设A 点的极坐标为3,22π⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求曲C '极坐标方程；（2）若过点A 且倾斜角为60︒的直线l 与曲线C '交于,M N 两点，求||||AM AN ⋅的值. 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是3x ty t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．23．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos (22sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩为参数).以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．()1写出曲线C 的极坐标方程； ()2设点M的极坐标为4π⎫⎪⎭，过点M 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，若2MA MB =，求AB 的弦长．24．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos )cos )x y αααα⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ+2ρsin θ+m ＝0.（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程； （2）若曲线C 上的点到直线l，求实数m 的值. 25．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 4sin 129cos sin 55x y ϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数）， 以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 3⎛⎫+= ⎪⎝⎭πρθ （1）曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于P Q ，两点，M (2，0)，求MP MQ +的值.26．已知直线l的参数方程为242x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（Ⅰ）求出直线l 的普通方程以及曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设()0,4P -，求PA PB +的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】设曲线C上点的坐标为()2t ，利用点到直线的距离公式表示出距离，即可求出最小值. 【详解】设曲线C上点的坐标为()2t ， 则C 上的点到直线l的距离2233d===，即C 上的点到直线1． 故选：C. 【点睛】本题考查参数方程的应用，属于基础题.2．D解析：D 【分析】根据题意，将曲线C 的极坐标方程变形为标准方程，由直线过的点的坐标可得m 的值，将直线的参数方程与曲线C 的方程联立，可得2220t t --=，由一元二次方程根与系数的关系计算可得答案； 【详解】解：根据题意，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，则其标准方程为221124x y +=，其左焦点为(-，直线l过点(-，其参数方程为(x m ty⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），则m =-将直线l的参数方程x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩与曲线C 的方程221124x y +=联立，得2220t t --=， 则12||||||2FA FB t t ==． 故选：D 【点睛】本题考查椭圆的极坐标方程、参数方程，涉及椭圆与直线的位置关系，关键是求出椭圆、直线的普通方程，属于中档题．3．C解析：C 【分析】设圆上一点()2,3P cos sin αα+-,则1x y sin cos αα+=+-,利用正弦型函数求最值,即可得出结论 【详解】设22(2)(3)1x y -++=上一点()2,3P cos sin αα+-,则231114x y cos sin sin cos πααααα⎛⎫+=++-=+-=+-≤ ⎪⎝⎭,故选：C 【点睛】本题考查圆的参数方程的应用,考查正弦型函数的最值4．D解析：D 【解析】 【分析】将曲线2241x y +=化为极坐标方程，设12(,),(,)2A B πρθρθ+，可将2211OAOB+表示为θ的函数，可得答案.【详解】解：将曲线2241x y +=化为极坐标方程得：2222cos 4sin 1ρθρθ+=，可得2221cos 4sin ρθθ=+， 由OA OB ⊥，可设12(,),(,)2A B πρθρθ+,可得2211OAOB+=221211+ρρ=2222cos 4sin +cos +4sin +22ππθθθθ++（）（）=5，故选D. 【点睛】本题主要考查椭圆的极坐标方程，注意灵活运用其性质解题.5．B解析：B 【解析】分析：根据椭圆的方程算出A （4，0）、B （0，3），从而得到|AB|=5且直线AB ：3x+4y ﹣12=0．设点P （4cosθ，3sinθ），由点到直线的距离公式算出P 到直线AB 距离为d=125()4πθ+﹣1|，结合三角函数的图象与性质算出d max =1251），由此结合三角形面积公式，即可得到△PAB 面积的最大值．详解：由题得椭圆C 方程为：221169x y +=，∴椭圆与x 正半轴交于点A （4，0），与y 正半轴的交于点B （0，3）， ∵P 是椭圆上任一个动点，设点P （4cosθ，3sinθ）（θ∈[0，2π]） ∴点P 到直线AB ：3x+4y ﹣12=0的距离为=125()4πθ+﹣1|， 由此可得：当θ=54π时，d max =1251）∴△PAB 面积的最大值为S=12|AB|×d max =61）. 点睛：(1)本题主要考查椭圆的参数方程和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知 识的掌握水平和分析推理能力计算能力.(2)对于()4πθ+﹣1|，不是sin ()4πθ+=1时，整个函数取最大值，而应该是sin ()4πθ+=-1，要看后面的“-1”.6．B解析：B 【解析】分析：将参数方程化为普通方程，判断出焦点在y 轴上，利用222c a b =-即可得结果.详解：椭圆的参数方程为3cos (5x y sin θθθ=⎧⎨=⎩为参数）， ∴椭圆的标准方程是221925+=x y ，∴椭圆的焦点在y 轴上，且2225,9a b ==， 22216c a b ∴=-=，4c ∴=，∴椭圆的两个焦点坐标是()0,4±，故选B.点睛：本题主要考查椭圆的参数方程以及椭圆的简单性质，属于中档题. 参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程.7．D解析：D 【解析】由230130x tsin y tsin =-︒⎧⎨=-+︒⎩得1(2),10y x x y +=--+-=，由ρ=228x y += ，所以圆，因此BC =，选D. 点睛：1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法． 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．3.直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可8．B解析：B 【解析】设,A B 对应的参数分别为12,t t ，把l的参数方程12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2y x =中得：22122⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭，整理得：220t -=，()242100∴∆=-⨯-=>，1212?2,?t t t t PA PB +==-∴1212··2t t t t ===，故选B. 9．B解析：B 【解析】3π7π2,tan (π,)26ρθθθ===∈⇒=，故选：B ．点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2cos ,sin ,ρθρθρ的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.10．B解析：B【解析】根据题意，曲线C 2：12θ x cos y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数）， 消去参数，化为直角坐标方程是224413y x +=故选B ．点睛：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，经常用到公式：22221cos sin 1,1tan cos θθθθ+=+=.不要忘了参数的范围. 11．D解析：D 【分析】先求出直线和圆的普通方程，再利用圆的弦长公式求弦长. 【详解】由题意得，直线l 的普通方程为y ＝x －4， 圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4， 圆心到直线l 的距离d=，直线l 被圆C 截得的弦长为= 【点睛】(1)本题主要考查参数方程极坐标方程与普通方程的互化，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求直线和圆相交的弦长，一般解直角三角形，利用公式||AB =. 12．B解析：B 【分析】根据圆和椭圆的参数方程可假设出,,A C P 点坐标；根据,A B 共线、,C D 共线可得,B D 坐标；写出向量后,根据向量数量积运算法则可求得210sin 8PA PB PC PD θ⋅+⋅=+,从而可知当2sin 0θ=时,取得最小值,代入求得结果. 【详解】由题意可设：()1cos ,sin A αα+,()1cos ,sin C ββ-+,()2cos 3sin P θθ,则()1cos ,sin B αα--,()1cos ,sin D ββ---()1cos 2cos ,sin 3sin PA αθαθ∴=+--,()1cos 2cos ,sin 3sin PB αθαθ=----()2222212cos cos 9sin sin 5sin 4cos 4PA PB θαθαθθ∴⋅=--+-=-+同理可得：25sin 4cos 4PC PD θθ⋅=++210sin 8PA PB PC PD θ∴⋅+⋅=+当2sin 0θ=时,()min8PA PB PC PD ⋅+⋅=故选：B 【点睛】本题考查向量数量积的最值的求解问题,关键是能够灵活应用圆和椭圆的参数方程的形式,表示出所需的点的坐标,从而将问题转化为三角函数最值的求解问题.属于中档题.二、填空题13．【分析】将椭圆参数方程化为普通方程通过数形结合的方式确定临界状态结合直线与椭圆位置关系可求得结果【详解】由得：即表示椭圆的上半部分；由图象可知：当过时；当如图与椭圆相切且时取得最大值；将代入椭圆方程解析：2,25⎡⎤-⎣⎦【分析】将椭圆参数方程化为普通方程，通过数形结合的方式确定临界状态，结合直线与椭圆位置关系可求得结果. 【详解】由()2cos 04sin x y θθπθ=⎧≤≤⎨=⎩得：()2210416x y y +=≥，即表示椭圆的上半部分；由图象可知：当y x b =+过()2,0时，min 2b =-； 当y x b =+如图与椭圆相切，且0b >时，b 取得最大值； 将y x b =+代入椭圆方程得：2252160x bx b ++-=，()22242016163200b b b ∴∆=--=-+=，解得：25b =±，max 25b ∴=.b ∴的取值范围为2,25⎡⎤-⎣⎦.故答案为：2,⎡-⎣.【点睛】本题考查椭圆的参数方程，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是能够通过数形结合的方式确定临界状态；易错点是忽略参数θ的取值范围，造成图象出现错误.14．【分析】将曲线的参数方程化为普通方程；直线极坐标方程化为直角坐标方程联立后求得交点坐标利用两点间距离公式求得线段长【详解】由得的普通方程为：又的直角坐标方程为：联立解得交点坐标为：直线被曲线截得的线解析：【分析】将曲线C 的参数方程化为普通方程；直线l 极坐标方程化为直角坐标方程，联立后求得交点坐标，利用两点间距离公式求得线段长. 【详解】 由2x t y t=⎧⎨=⎩得C 的普通方程为：2x y =又sin sin cos cos sin sin cos 44422πππρθρθρθρθρθ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭l ∴的直角坐标方程为：2y x =+联立22y x y x=+⎧⎨=⎩，解得交点坐标为：()1,1-，()2,4∴直线l 被曲线C =本题正确结果：【点睛】本题考查直线被曲线截得的弦长问题，关键是能够将参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，进而在直角坐标系中来求解.15．【解析】分析：直接化参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程求出椭圆的左顶点代入直线的方程即可求得的值详解：由已知可得圆（为参数）化为普通方程可得故左顶点为直线（为参数）化为普通方程可得又点在直线解析：4-. 【解析】分析：直接化参数方程为普通方程，得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的左顶点，代入直线的方程，即可求得a 的值.详解：由已知可得圆4cos :sin x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）化为普通方程， 可得22116x y +=，故左顶点为(4,0)-，直线x t y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）化为普通方程，可得y x a =-，又点(4,0)-在直线上，故04a =--，解得4a =-，故答案是4-.点睛：该题考查的是有关直线的参数方程与椭圆的参数方程的问题，在解题的过程中，需要将参数方程化为普通方程，所以就需要掌握参数方程向普通方程的转化-----消参，之后要明确椭圆的左顶点的坐标，以及点在直线上的条件，从而求得参数的值.16．【分析】将曲线的参数方程化为直角坐标方程知曲线是圆心为半径为1的圆表示点和原点所成直线的斜率作出圆的过原点的切线数形结合即可求得最大值【详解】曲线化为直角坐标方程为所以曲线是圆心为半径为1的圆表示点 解析：33【分析】将曲线的参数方程化为直角坐标方程知曲线C 是圆心为(2,0)-，半径为1的圆，yx表示点(),x y 和原点所成直线的斜率，作出圆的过原点的切线，数形结合即可求得最大值. 【详解】曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩化为直角坐标方程为22(2)1x y ++=，所以曲线C 是圆心为(2,0)-，半径为1的圆，y x 表示点(),x y 和原点所成直线的斜率，作切线OA 、OB ，由图可知，yx在OA 、OB 的斜率之间变化且yx在A 点处取得最大值， 在Rt OAC △中，223OA OC CA -3tan CA AOC OA ∠==OA 的3y x 3故答案为：3 3【点睛】本题考查圆的参数方程、圆的切线的性质、直线的倾斜角与斜率，属于中档题. 17．【分析】将参数方程变形为两式平方再相减可得出曲线的普通方程【详解】将参数方程变形为两等式平方得上述两个等式相减得因此所求普通方程为故答案为：【点睛】本题考查参数方程化为普通方程在消参中常用平方消元法解析：22221 x ya b-=【分析】将参数方程变形为112112xta tytb t⎧⎛⎫=+⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭⎩，两式平方再相减可得出曲线的普通方程.【详解】将参数方程变形为112112xta tytb t⎧⎛⎫=+⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭⎩，两等式平方得2222222211241124xta tytb t⎧⎛⎫=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+-⎪⎪⎝⎭⎩，上述两个等式相减得22221x ya b-=，因此，所求普通方程为22221x ya b-=，故答案为：22221 x ya b-=.【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，在消参中，常用平方消元法与加减消元法，考查计算能力，属于中等题.18．【解析】试题分析：求出曲线的参数方程则表示去上的点与（10）连线的斜率求出过点（10）的曲线的切线斜率即为的最值解：曲线的普通方程为（x+1）2+y2=1过点A（10）作圆（x+1）2+y2=1的切解析：．【解析】试题分析：求出曲线的参数方程，则表示去上的点与（1，0）连线的斜率．求出过点（1，0）的曲线的切线斜率即为的最值．解：曲线的普通方程为（x+1）2+y2=1，过点A（1，0）作圆（x+1）2+y2=1的切线，设切线的斜率为k，则切线方程为y=kx ﹣k ，即kx ﹣y ﹣k=0． ∴圆心（﹣1，0）到切线的距离d==1，解得k=．∵P 在圆上，∴﹣≤k PA ≤．即﹣≤≤．故答案为．考点：参数方程化成普通方程．19．1【解析】试题分析：曲线则所以可得直角坐标系方程为将直线的参数方程代入抛物线方程得：若成等比数列所以化简得又因为所以考点：化极坐标和参数方程化为普通方程解决问题解析：1 【解析】 试题分析：曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>，则，所以可得直角坐标系方程为22y ax ，将直线的参数方程代入抛物线方程得：2t (82)1640a t a -+++=121282,164t t a t t a +=+⋅=+若,,PM MN PN 成等比数列，所以22212121212||,()()4MN PM PN t t t t t t t t =∴-=+-=，化简得2(4)5(4)a a +=+又因为04a a ><-或，所以1a =． 考点：化极坐标和参数方程化为普通方程解决问题．20．2【分析】设根据题设条件求得不妨设即可求解【详解】由题意点是椭圆两个不同的动点可设则所以所以不妨设则故答案为：2【点睛】本题主要考查了椭圆的参数方程的应用以及三角函数的性质的应用着重考查转化思想以及解析：2 【分析】设(2,sin ),(2,sin )A B ααββ，根据题设条件，求得sin 2sin 21αβ==-， 不妨设37,44ππαβ==，即可求解. 【详解】由题意，点()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆2212x y +=两个不同的动点，可设(2,sin ),(2,sin )A B ααββ， 则112222cos 2cos (sin 2sin 2)22x y x y ααββαβ⋅+⋅=+=+=-所以sin 2sin 22αβ+=-，所以sin 2sin 21αβ==-， 不妨设37,44ππαβ==，则22122237))244x x ππ=+=+. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了椭圆的参数方程的应用，以及三角函数的性质的应用，着重考查转化思想，以及运算与求解能力.三、解答题21．（1）1ρ=；（2）5||||4AM AN ⋅=. 【分析】（1）把曲线C 的参数方程化为普通方程，然后利用变换得出C '的普通方程，再化为极坐标方程；（2）把A 点极坐标化为直角坐标，写出直线l 的标准参数方程，代入曲线C '的直角坐标方程中，求出12t t 即可． 【详解】（1）曲线C 的普通方程为2212x y +=，由2x x y y⎧'='=⎪⎨⎪⎩，得到x y y ''⎧=⎪⎨=⎪⎩代入曲线C 的普通方程得到()()221x y ''+= C '的极坐极方程为1ρ=（2）点A 的直角坐标为30,2⎛⎫⎪⎝⎭，直线l的参数方程为1232x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22:1C x y +='中，可得2450t ++=5||||4AM AN ⋅=． 【点睛】结论点睛：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化， （1）公式cos sin x y ρθρθ==可实现极坐标方程与直角坐标方程的互化；（2）直线的标准参数方程中参数具有几何意义：过000(,)P x y 的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则0t P P =．从0P 向上的点对应0t >，向下的点对应参数0t <．22．14【分析】由题意，消去参数即可得到直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线的极坐标方程，再利用圆的弦长公式，即可求解弦长. 【详解】解：直线l 的参数方程(t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －3，圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0． 圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －3＝0的距离为d ＝＝22． 又圆C 的半径r ＝2，所以直线l 被圆C 截得的弦长为2＝．【点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.通常遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 23．（1）4sin ρθ=；（2）3 【分析】()1将参数方程转化为直角坐标方程，然后转化为极坐标方程可得曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=．()2设直线l 的参数方程是11x t cos y t sin θθ=+⋅⎧⎨=+⋅⎩(θ为参数)，与圆的方程联立可得()2220t cos sin t θθ+--=，结合题意和直线参数的几何意义可得弦长123AB t t =-=．【详解】()1曲线C 的参数方程为222x cos y sin θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)． ∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y y +-=， ∴曲线C 的极坐标方程为240sin ρρθ-=，即曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=．()2设直线l 的参数方程是11x t cos y t sin θθ=+⋅⎧⎨=+⋅⎩(θ为参数)①， 曲线C 的直角坐标方程是2240x y y +-=，②，①②联立，得()2220t cos sin t θθ+--=，122t t ∴=-，且2MA NB =，122t t ∴=-，则12t =，21t =-或12t =-，21t =，AB ∴的弦长123AB t t =-=．【点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程的转化方法，直线参数方程的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.24．（1）221204x y x y m +=++=，；（2）-【分析】（1）对曲线C 中,x y 的等式两边平方后用加减消参即可求得其普通方程；利用公式法即可将极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）设出曲线C 上点的参数坐标，利用点到直线的距离公式，即可容易求得结果. 【详解】（1）对曲线C：cos )cos )x y αααα⎧=-⎪⎨=+⎪⎩， 也即()()222121122x sin cos y sin cos αααα⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，消参可得22222x y +=，整理得曲线C 的普通方程为：2214x y +=；又直线l 的极坐标方程为：ρcos θ+2ρsin θ+m ＝0，故其直角坐标方程为：20x y m ++=. （2）根据题意，设曲线C 上的动点P的坐标为)),2sin cos sin cos αααα⎫-+⎪⎪⎭， 故点P 到直线l 的距离d==.根据题意，直线l 与曲线C 一定不相交，联立直线方程和曲线C 方程， 可得228440y my m ++-=，则2Δ324160m =⨯-<， 解得m >m <-当m >max d ==m =当m <-max d ==，解得m =-综上所述：m =- 【点睛】本题考查极坐标方程、直角坐标方程和参数方程之间的相互转化，涉及利用参数求范围问题，属综合中档题.25．（1）C ：221259x y +=，l0y +-=；（2）7【分析】（1）根据参数方程消去参数ϕ得到椭圆方程，利用极坐标公式化简得到答案. （2）将直线l 的参数方程代入椭圆方程，得到1212697t t t t +==-，，计算得到答案. 【详解】（1）曲线C 的参数方程3cos 4sin 129cos sin 55x y ϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩消去参数ϕ得， 22223443cos sin cos sin 12595555x y ϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫+=-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故曲线C 的普通方程为221259x y +=.∵sin 3⎛⎫+= ⎪⎝⎭πρθ∴cos sin 0θρθ+-=，∴直线l0y +-=.（2）设直线l的参数方程为122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)， 将其代入曲线C 的直角坐标方程并化简得276630t t --=，∴1212697t t t t +==-，. ∵点M (2，0)在直线l 上， ∴127MP MQ t t +=-==. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.26．（Ⅰ）l 普通方程为40x y --=；C 的直角坐标方程为2240x y x +-=；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）直线l 的参数方程消去参数t,即得l 的普通方程，由4cos ρθ=得24cos ρρθ= 结合极坐标和直角坐标方程的互化公式，即得解；（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入圆:C 2240x y x +-=，利用直线的参数方程的几何意义，可得12PA PB t t +=+，结合韦达定理，即得解. 【详解】解: （Ⅰ）直线l的参数方程24x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）消参后可得l 普通方程为40x y --=由4cos ρθ=得24cos ρρθ=C 的直角坐标方程为2240x y x +-=（或者()2224x y -+=）（Ⅱ）由直线l 的参数方程，可知直线l 过点()0,4P - 将直线l 的参数方程代入圆:C 2240x y x +-=，并整理得2160t +-=解得121216t t t t +== 所以12,0t t >12PA PB t t +=+=【点睛】本题考查了极坐标、参数方程综合，考查了参数方程与普通方程、极坐标与直角坐标的互化，以及直线的参数几何意义的应用，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.。

一、选择题1．点(, )A x y 是曲线2cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）上的任意一点，则2 -x y 的最大值为（ ） AB5C ．3D3+2．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度，已知曲线C ：()2sin2cos 0a a ρθθ=>，过点()2,4P --的直线l的参数方程为：242x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点.若PM 、MN 、PN 成等比数列，求a 的值（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0,0)a b >>的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于D 、E 两点，115,DF F E=2DF =2DF x ⊥轴.若点P 是圆22:1O x y +=上的一个动点，则12PF PF ⋅的取值范围是（ ）A ．[3,5]B ．[2,5]C ．[2,4]D ．[3,4]4．过椭圆C：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，MF m =，NF n =，则11m n+的值为（） A ．23B ．43C ．83D ．不能确定5．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心6．已知直线2sin 301sin 30x t y t ︒︒⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数）与圆228x y +=相交于B 、C 两点，则||BC 的值为（ ）A ．27B ．30C ．72D ．3027．已知(,)P x y 是椭圆3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，则点P 到340x y --=的距离的最大值为（ ） A ．426+ B ．23+C ．426- D ．23-8．已知直线3:2x tl y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），抛物线C 的方程22,y x l =与C 交于12,P P ，则点()0,2A 到12,P P 两点距离之和是（ ）A ．43+B ．2(23)+C ．4(23)+D ．83+9．记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为n Ω（12n =，，），当点()x y ，分别在1Ω，2Ω，…上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，…，则lim n n M →+∞=（ ） A ．0B ．14C ．2D ．2210．若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离11．极坐标cos ρθ=和参数方程12x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线12．已知两条曲线的参数方程1C ：5cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）和2C ：4cos 453sin 45x t y t =+︒⎧⎨=+︒⎩（t 为参数），则这两条曲线的交点为端点的线段的长度是（ ） A ．5B ．52C ．7D ．72二、填空题13．设直线315:{45x tl y t=+=（t 为参数），曲线1cos :{sin x C y θθ==（θ为参数），直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则AB =__________.14．直线被圆所截得的弦长为 ．15．在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线C的参数方程为1{x y αα=+=（α为参数），则点M 到曲线C 上的点的距离的最小值为 ．16．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线1222x cos y sin αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）,相交于两点A 和 B ，则AB =__________． 17．已知曲线2cos 5:,0,sin 6x y θπθθ=⎧⎛⎫⎡⎤Γ∈⎨⎪⎢⎥=⎣⎦⎝⎭⎩上一动点P ，曲线Γ与直线1x =交于点Q ，则OP OQ ⋅的最大值是_________.18．将参数方程1212a x t t b y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 为参数），转化成普通方程为_______．19．曲线,1x cos y sin αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）与曲线22cos 0ρρθ-=的直角坐标方程分别为_____，_____，两条曲线的交点个数为_____个.20．设(,0)M p 是一定点，01p <<，点(,)A a b 是椭圆2214xy +=上距离M 最近的点，则()==a f p ________.三、解答题21．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程cos 1sin x t y t αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，[0,)απ∈），曲线C的参数方程2sin x y ββ⎧=⎪⎨=⎪⎩（β为参数）．（1）求曲线C 在直角坐标系中的普通方程；（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C 截直线l 所得线段的中点极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭时，求α． 22．已知直线l 的方程为4y x =+，圆C 的参数方程为2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求直线l 与圆C 的交点的极坐标；（2）若P 为圆C 上的动点，求P 到直线l 的距离d 的最大值．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=，点P的极坐标是23π⎫⎪⎪⎝⎭． （1）求直线l 的极坐标方程及点P 到直线l 的距离；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求PMN 的面积．24．在直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，已知直线的极坐标方程为:cos 2sin 5l ρθρθ+=，曲线22:143x y C +=（1）写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 的参数方程；（2）在曲线C 上求一点P ，使它到直线l 的距离最小，并求出最小值. 25．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 6sin 120ρρθρθ--+=，已知直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B .（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设()1,2P ，求22PA PB +的取值范围.26．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=+⎩(α为参数),以直角坐标系原点为极点,以x轴正半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹； （2）若直线l 的极坐标方程为1sin 2cos θθρ-=,求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用曲线的参数方程得32co sin -32s x y θθ=+-化简求解即可【详解】由题()32cos 3sin 23-s x y θθθϕ=+-=++ 故当()cos 1θϕ+=时，2 -x y3+ 故选D 【点睛】本题考查参数方程求最值，考查辅助角公式，是基础题2．A解析：A 【分析】本题首先可以求出曲线C 的直角坐标方程，然后将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中，根据韦达定理得出12t t +以及12t t 的值，再然后根据PM 、MN 、PN 成等比数列得出21212t t t t -=，最后将12t t +以及12t t 的值带入21212t t t t -=中，通过计算即可得出结果. 【详解】 因为曲线C ：()2sin2cos 0a a ρθθ=>所以曲线C 的直角坐标方程为()220y ax a =>将直线l的参数方程24x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入曲线C 的直角坐标方程得：()2116402t t a -++=， 设交点M 、N 对应的参数分别为1t 、2t ，则()122t t +=，()122164t t a =+， 因为PM 、MN 、PN 成等比数列，所以21212t t t t -=，即212125t t t t =+，()()2410164a =+，解得1a =或4a =-（舍取），故满足条件的1a =， 故选：A. 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化以及直线参数方程的几何意义，考查韦达定理以及等比中项的灵活应用，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.3．A解析：A 【分析】由题意可得,D E 两点坐标，代入椭圆方程可求出椭圆的焦点，然后设()cos ,sin P θθ， 利用两点间的距离公式以及三角函数的性质可求出12PF PF ⋅的范围. 【详解】由题意可知，(D c，7,55E c ⎛-- ⎝⎭，将,D E 代入椭圆方程得2222222222112492412525c c a b a c b a b ⎧⎧+=⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩， 所以()12,0F -，()22,0F ， 设()cos ,sin P θθ， 则12PF PF ⋅==，所以12PF PF ⋅的取值范围是[3,5]. 故选：A 【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了转化与化归的思想，同时考查了圆的参数方程以及三角函数的性质，属于中档题.4．B解析：B 【分析】消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线l 的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得11m n+的值. 【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为22143x y +=，故焦点()1,0F ，设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），代入椭圆方程并化简得()223sin 6cos 90t t αα++⋅-=.故1212226cos 9,03sin 3sin t t t t ααα+=-⋅=-<++（12,t t 异号）.故11m n m n mn ++=1212t t t t -===⋅43.故选B. 【点睛】本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.5．D解析：D 【分析】分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)224x y ⇒+= 直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--=圆心到直线的距离为：925d r =<=相交 圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心. 故答案选D 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.6．B解析：B 【分析】根据参数方程与普通方程的互化方法，然后联立方程组，通过弦长公式，即可得出结论． 【详解】曲线2sin 301sin 30x t y t ︒︒⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数），化为普通方程1y x =-， 将1y x =-代入228x y +=，可得22270x x --=， ∴BC ==B ． 【点睛】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．7．A解析：A【分析】设点,sin )P αα，求得点P到直线的距离为d =数的性质，即可求解. 【详解】由题意，点(),P x y是椭圆x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，设点,sin )P αα，则点P到直线40x -=的距离为d ==当cos()14πα+=-时，距离dA. 【点睛】本题主要考查了椭圆的参数方程的应用，以及点到直线的距离公式和三角函数的性质的应用，其中解答中合理利用椭圆的参数方程，设点,sin )P αα，再利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.8．C解析：C 【分析】先写出直线的标准参数方程，再代入y 2＝2x ，利用直线参数方程t 的几何求解. 【详解】将直线l参数方程化为122x y t ''⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t′为参数)，代入y 2＝2x ，得t′2＋4(2＋16＝0，设其两根为t 1′，t 2′，则t 1′＋t 2′＝－4(2， t 1′t 2′＝16>0.由此知在l 上两点P 1，P 2都在A(0，2)的下方， 则|AP 1|＋|AP 2|＝|t 1′|＋|t 2′|＝|t 1′＋t 2′|＝4(2． 故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查直线的参数方程和t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 过定点()00,P x y 、倾斜角为α的直线的参数方程00x x tcos y y tsin αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.当动点A 在定点()00,P x y 上方时,0,||t t PA >=且. 当动点B 在定点()00,P x y 下方时,0,|t t PB =-且.(3)解答本题不能直接把参数方程代入圆的方程，一定要化成标准形式，才能利用参数方程t 的几何意义解答.9．D【解析】分析：先由椭圆221441x nyn +=+得到这个椭圆的参数方程为：2x cos y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），再由三角函数知识求x+y 的最大值，从而求出极限的值．详解：把椭圆221441x ny n +=+得，椭圆的参数方程为：2x cos y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）， ∴， ∴（x+y ）max∴nlim →∞M n=n lim故选D ．点睛：本题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．10．B解析：B 【分析】根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离2d <，得到直线与圆的位置关系为相交． 【详解】根据题意，圆的参数方程为1232x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），则圆的普通方程为22(1)(3)4x y ++-=，其圆心坐标为(1,3)-，半径为2.直线的方程为2161x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线的普通方程为13(1)y x +=+，即320y x --=，圆心不在直线上.∴圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离为2d ==<，即直线与圆相交.【点睛】本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.11．D解析：D 【解析】由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x ，即12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2＋y 2＝14. 它表示以1,02为圆心，以12为半径的圆． 由x ＝－1－t 得t ＝－1－x ，代入y ＝2＋t 中，得y ＝1－x 表示直线．12．D解析：D 【分析】利用直线参数方程参数的几何意义求解即可. 【详解】曲线1C 的直角坐标方程为2225x y +=，2C的参数方程为4232x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数） 设这两条曲线的交点为,A B ，其对应的参数为,A B t t将4232x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2225x y +=中，整理得20t += 0A t ∴=，B t =-则A B t AB t =-=故选：D 【点睛】本题主要考查了直线参数方程参数的几何意义的应用，属于中档题.二、填空题13．【解析】试题分析：由题意得曲线的普通方程为直线的直角坐标方程为所以圆心到直线的距离为所以直线与曲线交于考点：直线与圆的位置的弦长的计算解析：65【解析】试题分析：由题意得，曲线1C 的普通方程为221x y +=，直线l 的直角坐标方程为4340x y --=，所以圆心到直线的距离为224454(3)d ==+-，所以直线l 与曲线1C 交于224621()55AB =-=． 考点：直线与圆的位置的弦长的计算．14．【解析】试题分析：由题意得直线与圆的普通方程分别为与则弦心距则弦长为考点：曲线的参数方程；直线与圆的位置关系【方法点晴】本题主要考查了曲线的参数方程与普通方程的互化直线与圆的位置关系的判定与应用其中解析：．【解析】试题分析：由题意，得直线与圆的普通方程分别为与，则弦心距，则弦长为．考点：曲线的参数方程；直线与圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了曲线的参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系的判定与应用，其中把曲线的参数方程化为普通方程和牢记直线与圆的弦长公式是解答本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力及推理、运算能力，属于基础题，本题的解答中，先把直线与圆的参数化为普通方程与，利用直线与圆的弦长公式，即可求解．15．【解析】试题分析：依题意点M 的直角坐标为曲线C 的普通方程为圆心（10）半径则点M 到曲线C 上的点的距离的最小值为考点：参数方程与极坐标 解析：52【解析】试题分析：依题意点M 的直角坐标为()4,4，曲线C 的普通方程为22(1)2x y -+=，圆心（1,02M 到曲线C 上的点的距离的最小值为52 考点：参数方程与极坐标16．【解析】直线的普通方程为曲线的普通方程∴ 14【解析】直线的普通方程为y x =，曲线的普通方程22(1)(2)4x y -+-=∴AB ==17．【分析】先计算出交点的坐标设出点的参数形式利用向量的数量积运算将其表示为关于的函数再求函数的最大值即可【详解】因为曲线与直线交于点故令又因为解得故可得则点的坐标为设点则其中又因为故则故故答案为：【点【分析】先计算出交点Q 的坐标，设出点P 的参数形式，利用向量的数量积运算，将其表示为关于θ的函数，再求函数的最大值即可. 【详解】因为曲线Γ与直线1x =交于点Q ，故令21cos θ=，又因为50,?6πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得θ60=︒，故可得60y sin =︒=Q 的坐标为⎛ ⎝⎭. 设点()2,P cos sin θθ，则()2,1,222OP OQ cos sin cos sin θθθθ⎛⋅=⋅=+ ⎝⎭()2θϕ=+，其中0,2tan πϕϕ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭又因为tan4tan πϕ>，故,42ππϕ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则4,43ππθϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭故()maxOP OQ ⋅=.故答案为：2. 【点睛】本题考查椭圆的参数方程，以及参数方程的应用，属综合基础题.18．【分析】将参数方程变形为两式平方再相减可得出曲线的普通方程【详解】将参数方程变形为两等式平方得上述两个等式相减得因此所求普通方程为故答案为：【点睛】本题考查参数方程化为普通方程在消参中常用平方消元法解析：22221x y a b-=【分析】将参数方程变形为112112x t a t y t b t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，两式平方再相减可得出曲线的普通方程.【详解】将参数方程变形为112112x t a t y t b t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，两等式平方得2222222211241124x t a t y t b t ⎧⎛⎫=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，上述两个等式相减得22221x y a b -=，因此，所求普通方程为22221x y a b-=，故答案为：22221x y a b-=.【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，在消参中，常用平方消元法与加减消元法，考查计算能力，属于中等题.19．【分析】利用平方法把参数方程化为普通方程利用互化公式把极坐标方程化为直角坐标方程根据两圆的圆心距大于两圆的半径之差小于两圆的半径之和即可得到两圆是相交的位置关系【详解】由题设知：把参数方程化为平方相 解析：()2211x y +-=()2211x y -+=【分析】利用平方法把参数方程化为普通方程，利用互化公式把极坐标方程化为直角坐标方程，根据两圆的圆心距大于两圆的半径之差小于两圆的半径之和，即可得到两圆是相交的位置关系． 【详解】由题设知：把参数方程cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩化为cos 1sin x y αα=⎧⎨-=⎩，平方相加消去参数化为普通方程得22x (y 1)1+-=，极坐标方程两边同乘以ρ，利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==把极坐标方程化为直角方程得 2220x y x +-=，即22(1)1x y -+=；011112=-<<+=，故两圆相交，故有2个公共点．故答案为2222(1)1,(1)1,2y y x x +-=-+=．【点睛】本题考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为普通方程的方法，以及圆与圆的位置关系．两圆半径为,R r ，两圆心间的距离d ，比较d 与R r -及d 与R r +的大小，即可得到两圆的位置关系.20．【分析】设根据题意换元后利用配方法即可得出结论【详解】由椭圆可知由椭圆的对称性可设根据题意令当时有最小值此时故答案为：【点睛】本题主要考查了椭圆的参数方程考查距离公式考查配方法的运用属于中档题解析：43p【分析】设(2cos ,sin ),0A αααπ≤≤，根据题意222(2cos )sin AM p αα=-+，换元后利用配方法，即可得出结论. 【详解】由椭圆2214x y +=，可知2,1a b ==，由椭圆的对称性，可设(2cos ,sin ),0A αααπ≤≤，根据题意222(2cos )sin AM p αα=-+， 令cos ,11,t t α=-222223413133p p y t pt p t ⎛⎫=-++=-+-⎪⎝⎭2201,033p p <<<< 当23p t =时，y 有最小值213p -，此时2cos 3pα=， 42cos 3p a α∴==， 故答案为：43p 【点睛】本题主要考查了椭圆的参数方程，考查距离公式，考查配方法的运用，属于中档题.三、解答题21．（1）221124x y +=（2）56πα=【分析】（1）消去参数β，即可得曲线的普通方程；（2）利用点差法求出直线的斜率k 的值，从而求得直线的倾斜角. 【详解】（1）由2sin x y ββ⎧=⎪⎨=⎪⎩得cos sin 2y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩β得221124x y +=，所以曲线C 的普通方程为221124x y +=；（2）直线l 所得线段的中点极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭化成直角坐标为． 设直线l 与曲线C 相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则122x x +=1212y y+=，2211222211241124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②， 由-②①得222221210124x x y y --+=，所以()211221123y y x x x x y y -+=-==-+，即tan 3l k α=-=，又∵[0,)απ∈，∴直线l 的倾斜角为56π． 【点睛】本题考查参数方程化为普通方程、极坐标与直角坐标的互化、点差法的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 22．(1)对应的极坐标分别为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,2π⎛⎫⎪⎝⎭(2) 2+【分析】（I ）由圆C 的参数方程为222x cos y sin θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），利用cos 2θ+sin 2θ=1化为普通方程，与直线方程联立解得交点坐标，利用222x y y tan x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩可得极坐标．（II ）圆心（0，2）到直线l 的距离为d 1，可得P 到直线l 的距离d 的最大值为d 1+r ． 【详解】解：（I ）直线l :4y x =+,圆C :()2224x y +-=联立方程组()22424y x x y =+⎧⎪⎨+-=⎪⎩,解得22x y =-⎧⎨=⎩或04x y =⎧⎨=⎩对应的极坐标分别为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭,4,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （II ）设()2cos ,22sin P θθ+,则14d πθ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭,当cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时,d取得最大值2 【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 23．（1）()3θρπ=∈R2【分析】（1）由122x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t，得到y =，再利用sin ,cos y x ρθρθ==，求得极坐标方程.然后利用直线的极坐标方程求点23P π⎫⎪⎪⎝⎭到直线l 的距离. （2）由曲线C 的极坐标方程和直线的极坐标方程联立得到220ρρ--=，再将韦达定理代入12||MN ρρ=-，求得||MN ，再由1||2PMN S MN d =⨯△求解.【详解】（1）由12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t，得到y =，则sin cos ρθθ=，∴tan θ=3πθ∴=，所以直线l 的极坐标方程为()3θρπ=∈R ．所以点23P π⎫⎪⎪⎝⎭到直线l的距离为2sin 33d ππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭（2）由22cos 203ρρθπθ⎧--=⎪⎨=⎪⎩，得220ρρ--=， 所以121ρρ+=，122ρρ=-， 所以12||3MN ρρ=-==，所以PMN的面积为11||322PMN S MN d =⨯=⨯=△.【点睛】本题主要考查参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的转化，点到直线的距离以及三角形的面积，还考查了运算求解的能力，属于中档题.24．（1）:250l x y +-= 2cos :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）（2）3(1,)2P，min d =【分析】（1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程，由公式22cos sin 1αα+=可得曲线C 的参数方程．（2）利用曲线C 参数方程设P 点坐标，求出点到直线的距离，结合三角函数的性质得最大值． 【详解】（1）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得l 的直角坐标方程为25x y +=，即250x y +-=，由22cos sin 1αα+=得曲线22:143x y C+=的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）；（2）设(2cos )P αα，则P 到直线l的距离为d==，所以sin()16πα+=时，min 5d =． sin()16πα+=，2,62k k Z ππαπ+=+∈，所以sin 2α=，1cos 2α=，所以3(1,)2P ．【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化，考查椭圆参数方程的应用，点到直线的距离公式，正弦函数的性质，属于中档题． 25．（1）l ：sin cos sin 2cos 0x y αααα--+=，C ：22231x y ；（2）(]2,6.【分析】（1）根据消元法消去参数t ，得到直线l 的普通方程，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，将曲线C 极坐标方程化为直角坐标方程；（2）直线l 参数方程与曲线C 的直角方程联立，结合直线参数方程的几何意义和根与系数关系，将22PA PB +表示为关于α的函数，通过确定α的取值范围，即可求解. 【详解】 （1）因为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，所以sin sin cos sin cos 2cos sin cos x t y t αααααααα=+⎧⎨=+⎩，两式相减可得直线l 的普通方程为sin cos sin 2cos 0x y αααα--+=. 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=， 所以曲线C 的直角坐标方程2246120x y x y +--+=， 即22231x y .（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，22cos α1sin α11t t ，整理得关于t 的方程()22sin cos 10t t αα-++=.因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点，所以上述方程有两个不同的解， 设为1t ，2t ，则()122sin cos t t αα+=+，121t t =. 并且()24sin cos 48sin cos 0αααα∆=+-=>， 注意到0απ≤<，解得02πα<<，故可知10t >，20t >，因为直线l 的参数方程为标准形式，所以根据参数t 的几何意义，有()222221212122PA PB t t t t t t +=+=+-()24sin cos 24sin 22ααα=+-=+，因为02πα<<，所以(]sin 20,1α∈，(]4sin 222,6α+∈.因此22PA PB +的取值范围是(]2,6. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，应用直线参数方程的几何意义是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.26．（1）26cos 2sin 40ρρθρθ--+=，表示圆心为()3,1，半径为2的圆；（2）25+ 【分析】（1）根据参数得到直角坐标系方程()()22314x y -+-=，再转化为极坐标方程得到答案. （2）直线方程为21y x -=，计算圆心到直线的距离加上半径得到答案. 【详解】 （1）32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，即()()22314x y -+-=，化简得到：226240x y x y +--+=.即26cos 2sin 40ρρθρθ--+=，表示圆心为()3,1，半径为2的圆.（2）1sin 2cos θθρ-=，即21y x -=，圆心到直线的距离为d ==.故曲线C 上的点到直线l 的最大距离为2d r +=. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆的距离的最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.。

高二级数学选修4-4考试卷（文科）第 I 卷注意事项：本次考试试卷分为第I 卷和第II 卷两部分，考试时间120分钟，满分100分。

学生应把试题中的各个小题答在第II 卷中相应的位置上，不能答在试题上，考试结束后，只交第II 卷。

一、选择题：本大题共10题，每小题3分，共30分。

在每一题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在．．．．．．．．．．．第．II ．．卷的选择题答案表中．．．．．．．．．。

1.曲线的极坐标方程θρsin 4=化为直角坐标为（ ）。

A.4)2(22=++y x B. 4)2(22=-+y x C. 4)2(22=+-y x D. 4)2(22=++y x2.已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ）。

A.1=ρB. θρcos =C. θρcos 1-=D. θρcos 1= 3.直线12+=x y 的参数方程是（ ）。

A.⎩⎨⎧+==1222t y t x （t 为参数）B. ⎩⎨⎧+=-=1412t y t x （t 为参数）C. ⎩⎨⎧-=-=121t y t x （t 为参数） D. ⎩⎨⎧+==1sin 2sin θθy x （t 为参数） 4.方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=21y t t x （t 为参数）表示的曲线是（ ）。

A.一条直线 B.两条射线 C.一条线段 D.抛物线的一部分5.参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθ2cos 1sin 22y x （θ为参数）化为普通方程是（ ）。

A.042=+-y xB. 042=-+y xC. 042=+-y x ]3,2[∈xD. 042=-+y x ]3,2[∈x6.设点P 对应的复数为-3+3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ） A.(23，π43) B. (23-，π45) C. (3，π45) D. (-3，π43) 7.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：02=++kx y 与曲线C ：θρcos 2=相交，则k 的取值范围是（ ）。

一、选择题1．已知直线:60l x y -+=与圆12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩，则C 上各点到l 的距离的最小值为（ ） A ．322-B ．32C ．23D ．322+2．在极坐标系中，曲线C 的方程为22312sin ρθ，以极点O 为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ，设(),P x y 为曲线C 上一动点，则1x y +-的取值范围为（ ）A ．31,31⎡⎤---⎣⎦B ．[]3,1-C ．[]22-,D ．[]2,1--3．若直线l ：y kx =与曲线C ：2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）有唯一的公共点，则实数k等于（） A ．33B ．33-C ．3D ．33±4．参数方程21,11x ty t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）所表示的曲线是（ ）A ．B ．C ．D ．5．点(,)P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点,则2x y +的最大值为( ) A 22B ．22C 6D ．46．记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为n Ω（12n =，，），当点()x y ，分别在1Ω，2Ω，…上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，…，则lim n n M →+∞=（ ） A ．0B ．14C ．2D ．227．在直角坐标系xOy 中，过点()1,2P -的直线l 的参数方程为212222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，直线l 与抛物线2y x 交于点,A B ，则PA PB ⋅的值是( )A 2B ．2C ．32D ．108．圆ρ=r 与圆ρ=-2rsin （θ+4π）（r ＞0）的公共弦所在直线的方程为（ ） A ．2ρ（sin θ+cos θ）=r B ．2ρ（sin θ+cos θ）=-rC 2（sin θ+cos θ）=rD 2（sin θ+cos θ）=-r9．直线22{x ty t=+=-（t 为参数）被曲线4cos p θ=所截的弦长为( )A ．4B 85C 165D ．810．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）AB．CD．11．参数方程22sin {12x y cos θθ=+=-+ (θ为参数)化成普通方程是( )A ．240x y -+=B ．240x y +-=C ．[]240,2,3x y x -+=∈D ．[]240,2,3x y x +-=∈ 12．动点1293cos 4sin 1,cos sin 2(55M θθθθθ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭为参数）的轨迹的普通方程为（ ）A ．22(1)(2)1259x y +-+=B ．22(1)(2)1259x y -++=C ．22(1)(2)1925x y +-+=D ．22(1)(2)1925x y -++=二、填空题13．已知点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩，（θ为参数）上，则yx 的取值范围为_____.14．过椭圆C：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，MF m =，NF n =，则11m n+的值为______. 15．点P 在椭圆7x 2+4y 2=28上，则点P 到直线3x －2y －16=0的距离的最大值为________ 16．曲线C 的参数方程为4cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），M 是曲线C 上的动点，若曲线T极坐标方程2sin cos 20ρθρθ+=，则点M 到T 的距离的最大值为__________． 17．已知(3,0)A -，(3,0)B ，点P 在圆22(3)(4)4x y -+-=上运动，则22PA PB +的最小值是________.18．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为5,4x t y t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数），圆C 的参数方程是cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），直线l 与圆C 交于两个不同的点A 、B ，当点P 在圆C 上运动时，PAB ∆面积的最大值为__________. 19．若点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，R θ∈）上，则yx 的最小值是__________． 20．已知圆心是直线(1x tt y t =⎧⎨=-⎩为参数）与x 轴的交点，且与直线340x y c -+=相切的圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=，则c = .三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，在以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭（1）求曲线C 在直角坐标系中的普通方程和直线l 的倾斜角.（2）设点()0,1P ，若直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ，求||||PA PB +的值. 22．以直角坐标系xOy 的原点为极坐标系的极点，x 轴的正半轴为极轴．已知曲线1C 的极坐标方程为4cos 8sin ρθθ=+，P 是1C 上一动点，2OP OQ =，点Q 的轨迹为2C ． （1）求曲线2C 的极坐标方程，并化为直角坐标方程； （2）若点(0,1)M ，直线l 的参数方程cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线l 与曲线2C 的交点为A B ，，当MA MB +取最小值时，求直线l 的普通方程．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos sin x t y αα=⎧⎨=⎩，（0,t α>为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线lsin()34πθ+=.（Ⅰ）当1t =时，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值； （Ⅱ）若曲线C 上的所有点都在直线l 的下方，求实数t 的取值范围.24．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ=． （1）写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）过动点20000()(),P x y y x <且平行于l 的直线交曲线C 于,A B 两点，若2PA PB ⋅=，求动点P 到直线l 的最近距离．25．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），将曲线C 按伸缩变换公式12x x y y =⎧''⎪⎨=⎪⎩，变换得到曲线E（1）求E 的普通方程；（2）直线l 过点()0,2M -，倾斜角为4π，若直线l 与曲线E 交于,A B 两点，N 为AB 的中点，求OMN 的面积.26．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】将圆的参数方程化为直角坐标系方程，计算圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系为相离，最近距离为d r -. 【详解】将圆12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩化成在平面直角坐标系下的形式，圆22:(1)(1)4C x y -+-= ，圆心C 为(1,1) ，半径2r.已知直线:60l x y -+=，那么，圆心C 到直线l的距离为d r ==> ，故直线l 与圆C 相离，所以C 上各点到l的距离的最小值为2d r -=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了参数方程，直线与圆的位置关系，综合性较强，是常考题型.2．B解析：B 【分析】 将曲线C 的方程22312sin ρθ化为直角坐标形式，可得2213x y +=，设x α=，sin y α=，由三角函数性质可得1x y +-的取值范围.【详解】解：将cos =x ρθ ，sin y ρθ=代入曲线C 的方程22312sin ρθ，可得：2222sin 3ρρθ+=，即2233x y +=，2213x y+=设x α=，sin y α=，可得1sin 1sin )12sin()1213x y πααααα+-=-=+++--=， 可得1x y +-的最大值为：1，最小值为：3-， 故选：B. 【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互换及椭圆的参数方程，属于中档题，注意运算准确.3．D解析：D 【分析】根据题意，将曲线C 的参数方程消去θ，得到曲线C 的普通方程22(2)1x y -+=，可知曲线C 为圆，又知圆C 与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求得k 。

统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以原点xOy l 12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。

曲线O x 的极坐标方程为 .C 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=（1）求的普通方程和的直角坐标方程；l C （2）已知点是曲线上任一点，求点到直线距离的最大值.M C M l 2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长O x 度单位相同。

直线的极坐标方程为：，点，参数l ρ=102sin (θ‒π4)P (2cosα,2sinα+2)．α∈[0,2π]（I ）求点轨迹的直角坐标方程；P （Ⅱ）求点到直线距离的最大值．P l1、【详解】（1）12,2x t y t =+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-=因为，222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==所以，即222440x y x y ++++=22(1)(2)1x y +++=（2）因为圆心到直线，(1,2)--10x y +-==所以点到直线距离的最大值为M l 1.r +=+2、解：（Ⅰ）设，则，且参数，P (x ,y ){x =2cosαy =2sinα+2 α∈[0,2π]消参得：x 2+(y ‒2)2=4所以点的轨迹方程为P x 2+(y ‒2)2=4（Ⅱ）因为ρ=102sin (θ‒π4)所以ρ2sin (θ‒π4)=10所以，ρsinθ‒ρcosθ=10所以直线的直角坐标方程为l x ‒y +10=0法一：由（Ⅰ）点的轨迹方程为P x 2+(y ‒2)2=4圆心为（0,2），半径为2．，d =|1×0‒1×2+10|12+12=42点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和，P l l 所以点到直线距离的最大值．P l 42+2法二：d =|2cosα‒2sinα‒2+10|12+12=2|cosα‒sinα+4|=2|2cos (α+π4)+4|当时，，即点到直线距离的最大值为．a =74πd max =42+2P l 42+26.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲C 1{x =cosθy =3sinθθ线的参数方程为（，t 为参数）.C 2{x =4‒22ty =4+22tt ∈R(1)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；C 1C 2(2)设P 为曲线上的动点，求点P 到上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.C 1C 24．在直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数，以坐标原xOy 1C cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩α点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为x 2C .sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；1C 2C （2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.P 1C Q 2C ||PQ P3、【详解】（1）对曲线：，，C 1cos 2θ=x 2sin 2θ=y 23∴曲线的普通方程为．C 1x 2+y 23=1对曲线消去参数可得且C 2t t =(4‒x )×2,t =(y ‒4)×2,∴曲线的直角坐标方程为． C 2x +y ‒8=0又，∵x =ρcosθ,y =ρsinθ∴ρcosθ+ρsinθ‒8=2ρsin (θ+π4)‒8=0从而曲线的极坐标方程为。

一、选择题1．在直角坐标系xOy 中，曲线C ：22x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上的点到直线l ：230x y -+=的距离的最小值为（ ）A ．23B ．223C ．233D ．22．直线2413x t y t =-+⎧⎨=--⎩（t 为参数）被圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）所截得的弦长为（ ） A ．6B ．5C ．8D ．7 3．已知点是曲线：（为参数，）上一点，点，则的取值范围是 A ．B ．C ．D ．4．在方程sin {cos 2x y θθ==（θ为参数）所表示的曲线上的点是 （ ）A ．(2,7)B ．12(,)33C ．(1,0)D ．11(,)225．若曲线2sin301sin30x t y t =-︒⎧⎨=-+︒⎩（t 为参数）与曲线22ρ=相交于B ，C 两点，则BC 的值为（ ）A ．27B ．60C ．72D ．306．在平面直角坐标系中以原点为极点，以x 轴正方向为极轴建立的极坐标系中，直线:20l y kx ++=与曲线2:cos C ρθ=相交，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．34k ≥-C ．34k <-D ．k ∈R 但0k ≠7．过()0,2P -，倾斜角为60︒的直线与曲线232y x x =-+交于A B 、两点，则PA PB ⋅= ( )A ．623+B ．16C ．8D ．623-8．点M 的直角坐标是()3,1--，则点M 的极坐标为（ ） A ．52,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．112,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,6π⎛⎫⎪⎝⎭9．极坐标系中，由三条曲线围成的图形的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．10．极坐标cos ρθ=和参数方程12x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线11．已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线251:51x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).若曲线2C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，曲线1C 上点P 的极角为4π，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值为（ ）A ．2B 63+C 31D 10 12．椭圆221169x y +=上的点到直线34132x y += ）A ．0B ．25C ．52D ．241325- 二、填空题13．已知点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩，（θ为参数）上，则yx 的取值范围为_____.14．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线1222x cos y sin αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）,相交于两点A 和 B ，则AB =__________． 15．直线170{?270x tsin y tcos =+=+（t 为参数）的倾斜角为_________16．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为22212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=，l与C 交于,A B 两点，则AB =_______.17．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为,sin ,x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），直线l 的方程为40x y +-=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为__________． 18．曲线4cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩上的点到直线20x y +=的最大距离为__________．19．曲线1C 的极坐标方程2cos sin ρθθ=，曲线2C 的参数方程为31x t y t =-⎧⎨=-⎩，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点最近的距离为__________．20．已知直线12:(22x l t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）与曲线:(x cos C y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）交于,A B 两点，则点()1,2M -与,A B 两点的距离之积MA MB ⋅=______.三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为4x aty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（其中t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A 的极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 经过点A ．曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）过点)P作直线l 的垂线交曲线C 于D ，E 两点（D 在x 轴上方），求11PD PE-的值． 22．已知纵坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的参数方程为：112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为：4cos ρθ=． （1）写出C 的直角坐标方程，并指出C 是什么曲线． （2）设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，求PQ 值．23．曲线1C ：2121x t y t =+⎧⎨=-⎩(其中t 为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线2C ：()2cos 0a a ρθ=>关于1C 对称.（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 直角坐标方程；（2）将2C 向左平移2个单位长度，按照12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩变换得到3C ，点P 为3C 上任意一点，求点P 到曲线1C 距离的最大值. 24．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为()24cos sin 3ρρθθ=+-，若以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. （1）求圆C 的一个参数方程；（2）在平面直角坐标系中，(),P x y 是圆C 上的动点，试求2x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标.25．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为（2，0），（32π，），圆C的参数方程222x cos y sin θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）． （Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系．26．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=+⎩ (α为参数),以直角坐标系原点为极点,以x轴正半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹；（2）若直线l 的极坐标方程为1sin 2cos θθρ-=,求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】设曲线C上点的坐标为()2t ，利用点到直线的距离公式表示出距离，即可求出最小值. 【详解】设曲线C 上点的坐标为()2,2t t ， 则C 上的点到直线l 的距离2223(1)2233333t t t d -+-+===， 即C 上的点到直线1的距离的最小值为23． 故选：C. 【点睛】本题考查参数方程的应用，属于基础题.2．A解析：A 【分析】把直线和圆的参数方程化为普通方程，结合点到直线的距离公式和利用圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由题意，直线2413x ty t =-+⎧⎨=--⎩（t 为参数）可得直线的方程为34100x y ++=，圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的普通方程为22(2)(1)25x y -+-=， 可得圆心(2,1)C ，半径为=5r ，所以圆心到直线34100x y ++=的距离为226410434d ++==+，由圆的弦长公式可得，弦长222222546L r d =-=-=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中把参数方程化为普通方程，结合圆的弦长公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3．D解析：D 【解析】 【分析】将曲线的参数方程化为普通方程，可知曲线是圆的上半圆，再利用数形结合思想求出的最大值和最小值。

高中数学选修 4-4 经典综合试题〔含详细答案〕一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合标题问题要求的 ． x 2 5ty 1 2t1．曲线(t 为参数 ) 与坐标轴的交点是〔〕．21 1 1B ．(0, )、( ,0)5、A ． (0, ) ( ,0)C ．(0, 4)、(8,0)〕．D ． (0, )、(8,0)5 2 5 292．把方程 xy 1化为以 参数的参数方程是〔t 1x sin t1 x costx tant2 x ty tA ．B ．C ．1 D ．1 12yyysin t cost tan tx 1 2t y 2 3t(t 为参数) ，那么直线的斜率为〔〕．3．假设直线的参数方程为2 2 33 23 2A ．B ．C ．D ．3x 1 8cosy 8sin4．点 (1, 2) 在圆A ．内部的〔〕．B ．外部C ．圆上D ．与 θ的值有关1x tt 为参数 暗示的曲线是〔(t ) 5．参数方程为〕．y 2A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线 x 3 2 cosy 4 2 s inx 3 cos y 3 s in6．两圆与的位置关系是〔〕．A ．内切B ．外切C ．相离D ．内含 x t(t为参数 等价的普通方程为〔 ) B ． x 2D ． x 2〕．7．与参数方程为y 2 1 t2y 2 4 yA ． x 2C ． x 211(0 x 1)4y 2 4y 2 41(0 y 2)1(0 x 1,0 y 2)x 5cos8．曲线() 的长度是〔〕．y 5sin 35 10 5 B ．10A ．C ．D ．33229．点 P(x, y) 是椭圆 2x3y12 上的一个动点，那么 x 2y的最大值为〔〕．22 23 1122A ．B ．C ．D ．1 x 1 t2 2210．直线(t 为参数 ) 和圆 xy16 交于两点，A,B3 y3 3t 2那么 AB 的中点坐标为〔〕．A ．(3, 3)B ．( 3,3)C ． ( 3, 3)D ．(3, 3)2x 4t y 4t11．假设点 P(3, m) 在以点 F 为焦点的抛物线(t为参数 上，那么 | PF |等于〔〕．) 2 3 4 5 A ．B ．C ．D ．x 2 ty 1 t 2212．直线(t 为参数 ) 被圆 (x 3)(y 1) 25 所截得的弦长为〔〕．14A ． 98B ．40C ．82D ． 93 4 3二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上．x e t e t(t为参数 的普通方程为 __________________． ) 13．参数方程tty 2(e e )x 22t为参数 上与点 A( 2,3) 的距离等于 2 的点的坐标是 _______．14．直线(t ) y 32tx t cos y t sinx 4 2cos y 2sin15．直线与圆相切，那么_______________．2216．设 y tx(t 为参数) ，那么圆 x y 4y 0的参数方程为 ____________________．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步调．17．〔本小题总分值 10 分〕 x 1 t 求直线 l 1 :(t 为参数 )和直线 l 2 : x y 2 3 0 的交点 的坐标，及点PP y53t与Q (1, 5)的距离．18．〔本小题总分值 12 分〕10 222过点 P(,0) x12y1 交于点，M , N作倾斜角为的直线与曲线求| PM | | PN | 的值及相应的 的值．19．〔本小题总分值 12 分〕ABC 中， A( 2,0), B (0,2), C (cos , 1 sin ) ( 为变数 )， 求 ABC 面积的最大值． l P(1,1),倾斜角20．〔本小题总分值 12 分〕直线颠末点，6〔1〕写出直线 l 的参数方程．x 2y 2〔2〕设 l 与圆4订交与两点 A, B ，求点 P 到 A,B 两点的距离之积．21．〔本小题总分值 12分〕1 t tx y (e e ) cos2 1 2别离在以下两种情况下，把参数方程化为普通方程： t t(e e )sint t 〔1〕 为参数， 为常数；〔 2〕 为参数， 为常数．22．〔本小题总分值 12 分〕x 5cos y 5sin32 直线 l 过定点 P( 3,C 与圆 ： ( 为参数 ) 订交于 A 、 B 两点． )| AB | 8l ，求直线 的方程； 求：〔 1〕假设3〔2〕假设点 P( 3, 答案与解析： x 0时， )AB 为弦的中点，求弦 AB 的方程． 2 2 111．B当 t ，而 y 1 2t ，即 y y ，得与 轴的交点为 (0, ) ；5 1 5 5 1 1当 y 0时， t ，而 x 2 5t ，即 x ，得与 轴的交点为 ( ,0) ．x2 2 2 2．D xy 1， 取非零实数，而 A ，B ，C 中的 的范围有各自的限制． x x y 2 x 13t 2t3 23．Dk．(1 1)2 222 2 8 4．A∵点 (1,2) 到圆心 ( 1,0) 的距离为∴点 (1,2) 在圆的内部．(圆半径 )5．Dy 2 暗示一条平行于 x 轴的直线，而x 2,或x 2，所以暗示两条射线．( 3 0)2 (4 0) y 2 255，两圆半径的和也是，因此两圆外切．6．B 两圆的圆心距为y 2 x 2t , 1 t 1 x 2, x 21,而t 0,0 1 t 1,得0 y 2．7．D442 228．D 曲线是圆x y 25的一段圆弧，它所对圆心角为．3310 所以曲线的长度为．3x 2 y 2 9．D 椭圆为1，设 P( 6 c os ,2sin ) ，64x 2y 1 6 cos 4sin 22 sin( ) 22．3 t 1 t 222 210． D(1t)2 ( 3 3 t ) 16 ，得 t 8t 8 0 ，t t 8,4，1 2 2 21 x 1 y4x 3 y2 ．中点为333 34 211．C 抛物线为y 2 4x ，准线为 ， 为 到准线 x1 | PF | P(3, m) x 14的距离，即为．22 x22t x 2 tx 2 t12． C，把直线 y 1 ty 1 t 2 y 12t 222222代入 (x 3) ( y 1)25，得 ( 5 t)(2 t)25,t7t 2 0 ，2|t t | (t t ) 4t t 41 ，弦长为 2 | t t |82．1 2 1 2 1 2 1 2 y 2y x e t e y t2 e t 2e x xx 2y 2 416y y 13．1,( x 2)(x) x () ．4etett 2222122 2t)2 ( 2t) 2 ( 2) ,2t2, t ．14． ( 3, 4) ,或( 1,2) (25 2215．，或直线为 y x tan ，圆为 (x 4)y4，作出图形，相切时，665 易知倾斜角为，或．664t xy2 21 t 4t22x(tx)4t x 0 ，当x 0 时， y 0，或x ； 16．2 1 t 24t1 t4t xy2 24t1 t 而 y tx ，即 y，得．22 1 t4t 2 1 tx 1 t，代入x y 2 3 0，得 t 2 3 ，17．解：将y 5 3t得P(1 2 3,1)，而 Q (1, 5)， 262 4 3．得| PQ | (2 3)10 x t cos 18．解：设直线为2(t 为参数) ，代入曲线y t sin3 22并整理得 (1 sin )t( 10 cos )t0，23 2 那么| PM | | PN | |t 1t 2 |， 1 sin 23 42所以当 sin1时，即，| PM || PN |的最小值为，此时．22x cos C (x, y)，那么，19．解：设 点的坐标为 y1 sin22即 x( y 1)1 为以 (0, 1)1为圆心，以 为半径的圆．∵ A( 2,0), B(0,2) ， ∴| AB|4 4 2 2 ，xy且 AB 的方程为 1，2 2即 xy 2 0 ，| ( 1) 2| 3那么圆心 (0, 1) 到直线 AB 的距离为 2 ． 12 ( 1)22 3 C AB ∴点 到直线 的最大距离为 1 2，21 23 2∴ S ABC 的最大值是2 2 (12) 3 2．3x 1 t cos y 1 t sin x 1 t6 6 2 20．解：〔 1〕直线的参数方程为，即 ，1y 1 t23x 1 t2 2 2〔2〕把直线，代入 x y4，1 y 1 t23 1 2 t)2 (1 t)24,t 2 ( 3 1)t 2 0，得 (12t t1 22，那么点 P 到 A,B 两点的距离之积为2 ．21．解：〔 1〕当t 0时， y 0, x cos ，即x 1,且y 0；x y 当t 0时， cos,sin ，1 21 tt t t (e e )(e e ) 222而 xy1，x 22y即1；1 4 1 4t t 2 t t 2 (e e ) (e e ) 1 2t t〔2〕当k , k Z 时， y 0， x (e e ) x 1,且y 0； ，即 1 2 t t当k,k Z x 0 ， y (e e )x 0 ； ，即 时， 22x ete tk cos 2y 当, k Z ，时，得2e tetsin2x 2ysin 2y sin 2e t2e 2x2y2x2y cos，得 2e t 2e t 即即( )( )，t2x coscos sin cos sinx 2cos 2 y 2 sin 21 ．x 5cos y 5sin22C xy25，22．解：〔 1〕由圆 的参数方程x3 t cos 3 设直线 l 的参数方程为①(t 为参数 ) ，y t sin222将参数方程①代入圆的方程x y 25得4t 212(2cossin )t 55 0，∴△16[9(2cos sin )2 55] 0，所以方程有两相异实数根t t 、 ，122∴ | AB | |t t | 9(2cos sin ) 55 8，1 化简有 3cos2 解之 cos2 4sincos 0 ，3 40 或 tan，从而求出直线 l 的方程为 x 3 0 或 3x 4y 15 0．〔2〕假设 P 为 AB 的中点，所以 tt0 ，12由〔1〕知 2cossin 0 ，得 tan2 ，22故所求弦 AB 的方程为 4x 2y 15 0(xy25)．备用题： x 3 8cos 1．点P(x , y )在圆上，那么 x 、 y 的取值范围是〔 〕．0 0 00 y2 8sinA ．3 x 3, 2 y 2 0 0B ．3 x 8, 2 y 8 0 0C ．5 x 11, 10 y 60 0D ．以上都不合错误1．C 由正弦函数、余弦函数的值域知选 C ．x 1 2t 22(t 为参数 ) 被圆 xy 9截得的弦长为〔〕．2．直线y 2 t12 12 9 9 A ． B ．5C ．5D ．10555525 x 1 5t x 1 2t y 2 tx 1 2t y 2 t 2．B，把直线 代入1 y 15t522222xy9得 (1 2t) (2 t) 9,5t8t 4 0 ，8 16 12 5 5 12 522 | t t | (t t )4t t ( ) ，弦长为 5 | t t | 5 ． 1 2 1 2 1 21 2 5 x 2 pt 2y 2pt(t为参数, 为正常数 p ) 上的两点 M , N 对应的参数别离为t 1和t 2, ，3．曲线且t t 0 | MN | _______________．，那么 1 24p |t 1 |x |MN | 2p |t t | 2p | 2t | 3． 显然线段 MN 垂直于抛物线的对称轴，即轴， ． 12 1 x cos (sin y sin (sin cos ) cos )4．参数方程4．解：显然 ( 为参数) 暗示什么曲线？y y 2 x 2 1 12tan ，那么1 ,cos ，x cos 2y 2x 2 1 1212 tanx cos 2sin cossin 2 ycos 2cos 2 ，22 1 tany2 1 1 1 y 2 x 2y 2y xxx 即x ， x(1 ) 1，y 2 x 2yx 22x 2 21 1 1 y2 xy 得 x1，x22即x yx y 0 ．225．点 P(x, y) 是圆 x y2y 上的动点，〔1〕求 2x y 的取值范围； x y a0 恒成立，求实数的取值范围．a〔2〕假设x cos 5．解：〔 1〕设圆的参数方程为，y 1 sin 2x y 2cossin15sin(5 1 2x y5 1．) 1，∴〔2〕 x y a cossinsin ) 11 a 0 ，∴ a (cos2 sin() 1恒成立， 4a2 1．即。

一、选择题1．在极坐标系中，曲线C 的方程为22312sin ρθ，以极点O 为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ，设(),P x y 为曲线C 上一动点，则1x y +-的取值范围为（）A．1⎡⎤⎣⎦B ．[]3,1-C ．[]22-,D ．[]2,1--2．已知12,F F 椭圆22184x y+=的左右焦点,Q ，P 是椭圆上的动点,则1PQ PF ⋅的最大值为( )A ．4B ．92C．5D ．43．直线30x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2212x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]39，C．D．4．直线l ：30x y ++=被圆C ：1424x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）截得的弦长为（）A ．B ．C ．D ．85．直线4x 1t 5(t 3y 1t5⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)被曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截的弦长为( ) A ．15B ．710C ．75D ．576．已知椭圆C 的参数方程为3cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则C 的两个焦点坐标是（ ）A ．(4,0)±B ．(0,4)±C ．(D ．(0,7．记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为n Ω（12n =，，），当点()x y ，分别在1Ω，2Ω，…上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，…，则lim n n M →+∞=（ ） A ．0B ．14C．2D ．8．已知点(),P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且[),2θππ∈）上，则点P 到直线21x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的距离的取值范围是( )A ．3232,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．0tan 60x = C ．(2,22⎤⎦D ．:::2x r r q q q e αα==9．曲线C 的参数方程为{2x sin cos y sin cos αααα=-=（α为参数），则它的普通方程为（ ）A ．21y x =+B ．21y x =-+C ．21y x =-+， 2,2x ⎡⎤∈-⎣⎦D ．21y x =+， 2,2x ⎡⎤∈-⎣⎦10．直线1sin 70{2cos70x t y t =+=+(t 为参数)的倾斜角为 ( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°11．参数方程22sin {12x y cos θθ=+=-+ (θ为参数)化成普通方程是( )A ．240x y -+=B ．240x y +-=C ．[]240,2,3x y x -+=∈D ．[]240,2,3x y x +-=∈12．已知x ，y 为实数，且满足3x 2＋2y 2≤6，则2x ＋y 的最大值为（ ） A ．6 B ．6 C ．11D ．11二、填空题13．设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则a 的值为____. 14．直线被圆所截得的弦长为 ．15．无论k 取任何实数，直线2y kx =+与椭圆()2 θm x cos y sin θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数恒有交点，则实数m 的取值范围是_____。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作数学选修4-4综合测试卷B（含答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．曲线25()12x tty t=-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（）．A．21(0,)(,0)52、B．11(0,)(,0)52、C．(0,4)(8,0)-、D．5(0,)(8,0)9、2．把方程1xy=化为以t参数的参数方程是（）．A．1212x ty t-⎧=⎪⎨⎪=⎩B．sin1sinx tyt=⎧⎪⎨=⎪⎩C．cos1cosx tyt=⎧⎪⎨=⎪⎩D．tan1tanx tyt=⎧⎪⎨=⎪⎩3．若直线的参数方程为12()23x tty t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（）．A．23B．23-C．32D．32-4．点(1,2)在圆18cos8sinxyθθ=-+⎧⎨=⎩的（）．A．内部B．外部C．圆上D．与θ的值有关5．参数方程为1()2x ttty⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（）．A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线6．两圆⎩⎨⎧+=+-=θθsin 24cos 23y x 与⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x 的位置关系是（ ）．A ．内切B ．外切C ．相离D ．内含7．与参数方程为()21x tt y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩为参数等价的普通方程为（ ）． A ．2214y x += B ．221(01)4y x x +=≤≤ C ．221(02)4y x y +=≤≤ D ．221(01,02)4y x x y +=≤≤≤≤ 8．曲线5cos ()5sin 3x y θπθπθ=⎧≤≤⎨=⎩的长度是（ ）．A ．5πB ．10πC ．35π D ．310π 9．点(,)P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为（ ）．A ．22B ．23C ．11D ．2210．直线112()3332x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为（ ）．A ．(3,3)-B ．(3,3)-C ．(3,3)-D ．(3,3)-11．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24()4x t t y t⎧=⎨=⎩为参数上，则||PF 等于（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5 12．直线2()1x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（ ）．A ．98B ．1404C ．82D ．9343+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________． 14．直线22()32x tt y t⎧=--⎪⎨=+⎪⎩为参数上与点(2,3)A -的距离等于2的点的坐标是_______． 15．直线cos sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩与圆42cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩相切，则θ=_______________．16．设()y tx t =为参数，则圆2240x y y +-=的参数方程为____________________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）求直线11:()53x tl t y t=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数和直线2:230l x y --=的交点P 的坐标，及点P与(1,5)Q -的距离．18．（本小题满分12分）过点10(,0)2P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ， 求||||PM PN ⋅的值及相应的α的值．19．（本小题满分12分）已知ABC ∆中，(2,0),(0,2),(cos ,1sin )A B C θθ--+(θ为变数)，求ABC ∆面积的最大值．20．（本小题满分12分）已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程．（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积．21．（本小题满分12分）分别在下列两种情况下，把参数方程1()cos 21()sin 2t t t t x e e y e e θθ--⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化为普通方程：（1）θ为参数，t 为常数；（2）t 为参数，θ为常数．22．（本小题满分12分）已知直线l 过定点3(3,)2P --与圆C ：5cos ()5sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数相交于A 、B 两点．求：（1）若||8AB =，求直线l 的方程；（2）若点3(3,)2P --为弦AB 的中点，求弦AB 的方程．参考答案1．B 当0x =时，25t =，而12y t =-，即15y =，得与y 轴的交点为1(0,)5； 当0y =时，12t =，而25x t =-+，即12x =，得与x 轴的交点为1(,0)2．2．D 1xy =，x 取非零实数，而A ，B ，C 中的x 的范围有各自的限制． 3．D 233122y t k x t --===--． 4．A ∵点(1,2)到圆心(1,0)-的距离为22(11)2228++=<(圆半径)∴点(1,2)在圆的内部．5．D 2y =表示一条平行于x 轴的直线，而2,2x x ≥≤-或，所以表示两条射线． 6．B 两圆的圆心距为22(30)(40)5--+-=，两圆半径的和也是5，因此两圆外切．7．D 22222,11,1,0,011,0244y y x t t x x t t y ==-=-+=≥≤-≤≤≤而得． 8．D 曲线是圆2225x y +=的一段圆弧，它所对圆心角为233πππ-=． 所以曲线的长度为310π． 9．D 椭圆为22164x y +=，设(6cos ,2sin )P θθ， 26cos 4sin 22sin()22x y θθθϕ+=+=+≤．10．D 2213(1)(33)1622t t ++-+=，得2880t t --=，12128,42t t t t ++==， 中点为11432333342x x y y ⎧=+⨯⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=-⎪⎩⎪=-+⨯⎪⎩． 11．C 抛物线为24y x =，准线为1x =-，||PF 为(3,)P m 到准线1x =-的距离，即为4．12．C 2222212122x t x t y t y t ⎧=-+⨯⎪=-+⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=-⨯⎪⎩，把直线21x t y t =-+⎧⎨=-⎩代入22(3)(1)25x y -++=，得222(5)(2)25,720t t t t -++-=-+=，2121212||()441t t t t t t -=+-=，弦长为122||82t t -=．13．221,(2)416x y x -=≥ 22()()422222t t tt tty x e x e e y y x x y y e e x e ---⎧⎧+==+⎪⎪⎪⇒⇒+-=⎨⎨=-⎪⎪-=⎩⎪⎩． 14．(3,4)-,或(1,2)- 222212(2)(2)(2),,22t t t t -+===±． 15．6π，或56π 直线为tan y x θ=，圆为22(4)4x y -+=，作出图形，相切时，易知倾斜角为6π，或56π．16．2224141t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 22()40x tx tx +-=，当0x =时，0y =，或241t x t =+； 而y tx =，即2241t y t =+，得2224141t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩． 17．解：将153x ty t=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，代入230x y --=，得23t =，得(123,1)P +，而(1,5)Q -， 得22||(23)643PQ =+=．18．解：设直线为10cos ()2sin x t t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数，代入曲线 并整理得223(1sin)(10cos )02t t αα+++=，则12232||||||1sin PM PN t t α⋅==+， 所以当2sin 1α=时，即2πα=，||||PM PN ⋅的最小值为34，此时2πα=． 19．解：设C 点的坐标为(,)x y ，则cos 1sin x y θθ=⎧⎨=-+⎩，即22(1)1x y ++=为以(0,1)-为圆心，以1为半径的圆． ∵(2,0),(0,2)A B -， ∴||4422AB =+=，且AB 的方程为122x y+=-， 即20x y -+=，则圆心(0,1)-到直线AB 的距离为22|(1)2|3221(1)--+=+-． ∴点C 到直线AB 的最大距离为3122+， ∴ABC S ∆的最大值是1322(12)3222⨯⨯+=+． 20．解：（1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即312112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， （2）把直线312112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入422=+y x ， 得22231(1)(1)4,(31)2022t t t t +++=++-=， 122t t =-，则点P 到,A B 两点的距离之积为2．21．解：（1）当0t =时，0,cos y x θ==，即1,0x y ≤=且；当0t ≠时，cos ,sin 11()()22t t t t x y e e e e θθ--==+-，而221x y +=，即2222111()()44tt t t x y e e e e --+=+-；（2）当,k k Z θπ=∈时，0y =，1()2t tx e e -=±+，即1,0x y ≥=且； 当,2k k Z πθπ=+∈时，0x =，1()2t ty e e -=±-，即0x =；当,2k k Z πθ≠∈时，得2cos 2sin t tt t x e e ye e θθ--⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 即222cos sin 222cos sin tt x y e x y e θθθθ-⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得222222()()cos sin cos sin t t x y x y e e θθθθ-⋅=+-，即22221cos sin x y θθ-=． 22．解：（1）由圆C 的参数方程225cos 255sin x x y y θθ=⎧⇒+=⎨=⎩，设直线l 的参数方程为①3cos ()3sin 2x t t y t αα=-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数， 将参数方程①代入圆的方程2225x y += 得2412(2cos sin )550t t αα-+-=， ∴△216[9(2cos sin )55]0αα=++>， 所以方程有两相异实数根1t 、2t ，∴212||||9(2cos sin )558AB t t αα=-=++=， 化简有23cos 4sin cos 0ααα+=，解之cos 0α=或3tan 4α=-， 从而求出直线l 的方程为30x +=或34150x y ++=．（2）若P 为AB 的中点，所以120t t +=，由（1）知2cos sin 0αα+=，得tan 2α=-，故所求弦AB 的方程为2242150(25)x y x y ++=+≤．备用题：1．已知点00(,)P x y 在圆38cos 28sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩上，则0x 、0y 的取值范围是（ ）．A ．0033,22x y -≤≤-≤≤B ．0038,28x y ≤≤-≤≤C ．00511,106x y -≤≤-≤≤D ．以上都不对1．C 由正弦函数、余弦函数的值域知选C ． 2．直线12()2x tt y t=+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为（ ）．A ．125 B ．1255 C ．955 D ．91052．B 21512521155x t x t y t y t ⎧=+⨯⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=+⨯⎪⎩，把直线122x t y t =+⎧⎨=+⎩代入 229x y +=得222(12)(2)9,5840t t t t +++=+-=，2212121281612||()4()555t t t t t t -=+-=-+=，弦长为12125||55t t -=．3．已知曲线22()2x pt t p y pt⎧=⎨=⎩为参数,为正常数上的两点,M N 对应的参数分别为12,t t 和，120t t +=且，那么||MN =_______________．3．14||p t 显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴，即x 轴，121||2||2|2|MN p t t p t =-=．4．参数方程cos (sin cos )()sin (sin cos )x y θθθθθθθ=+⎧⎨=+⎩为参数表示什么曲线？4．解：显然tan y xθ=，则222222111,cos cos 1y y x x θθ+==+，2222112tan cossin cos sin 2cos cos 221tan x θθθθθθθθ=+=+=⨯++， 即22222221112111y yx x x y y y x x x+=⨯+=+++，22(1)1y y x x x +=+， 得21y yx x x+=+， 即220x y x y +--=．5．已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点， （1）求2x y +的取值范围；（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围．5．解：（1）设圆的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩，22cos sin 15sin()1x y θθθϕ+=++=++，∴51251x y -+≤+≤+．（2）cos sin 10x y a a θθ++=+++≥， ∴(cos sin )12sin()14a πθθθ≥-+-=-+-恒成立，即21a ≥-．。

人教版高中数学选修4-4测试题全套及答案章末综合测评(一) 坐标系(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．将曲线y ＝sin 2x 按照伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2xy ′＝3y 后得到曲线方程为( )A ．y ′＝3sin x ′B ．y ′＝3sin 2x ′C ．y ′＝3sin 12x ′D ．y ′＝13sin 2x ′【解析】 由伸缩变换，得x ＝x ′2，y ＝y ′3. 代入y ＝sin 2x ，有y ′3＝sin x ′，即y ′＝3sin x ′. 【答案】 A2．在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，则△AOB (其中O 为极点)的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 如图所示，OA ＝3，OB ＝4，∠AOB ＝π6，所以S △AOB ＝12×3×4×12＝3.【答案】 C3．已知点P 的极坐标为(1，π)，那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( ) A ．ρ＝1 B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝－1cos θ D ．ρ＝1cos θ【答案】 C4．在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6之间的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6，知∠AOB ＝π3，∴△AOB 为等边三角形，因此|AB |＝2. 【答案】 B5．极坐标方程4ρ·sin 2θ2＝5表示的曲线是( ) A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线【解析】 由4ρ·sin 2θ2＝4ρ·1－cos θ2＝2ρ－2ρcos θ＝5，得方程为2x 2＋y 2－2x ＝5，化简得y 2＝5x ＋254，∴该方程表示抛物线． 【答案】 D6．直线ρcos θ＋2ρsin θ＝1不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 由ρcos θ＋2ρsin θ＝1，得x ＋2y ＝1， ∴直线x ＋2y ＝1不过第三象限． 【答案】 C7．点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的球坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，π3 【解析】 设M 的球坐标为(r ，φ，θ)，则⎩⎨⎧3＝r sin φcos θ，1＝r sin φsin θ，－2＝r cos φ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝22，φ＝3π4，θ＝π6.【答案】 A8．在极坐标系中，直线θ＝π6(ρ∈R )截圆ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6所得弦长是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 化圆的极坐标方程ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6为直角坐标方程得⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，半径长为1，化直线θ＝π6(ρ∈R )的直角坐标方程为x －3y ＝0，由于32－3×12＝0，即直线x －3y ＝0过圆⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1的圆心，故直线θ＝π6(ρ∈R )截圆ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6所得弦长为2.【答案】 B9．若点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，3，则P 到直线Oy 的距离为( ) A ．1 B ．2C. 3【解析】 由于点P 的柱坐标为(ρ，⎭⎪⎫，π6，3，故点P 在平面xOy 内的射影Q 到直线Oy 的距离为ρcos π6＝3，可得P 到直线Oy 的距离为 6.【答案】 D10．设正弦曲线C 按伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝3y 后得到曲线方程为y ′＝sin x ′，则正弦曲线C 的周期为( )A.π2 B ．π C ．2πD ．4π【解析】 由伸缩变换知3y ＝sin 12x ， ∴y ＝13sin 12x ，∴T ＝2π12＝4π.【答案】 D11．已知点A 是曲线ρ＝2cos θ上任意一点，则点A 到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4的距离的最小值是( )A ．1 B.32 C.52 D.72【解析】 曲线ρ＝2cos θ即(x －1)2＋y 2＝1，表示圆心为(1,0)，半径等于1的圆，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4，即x ＋3y －8＝0，圆心(1,0)到直线的距离等于|1＋0－8|2＝72，所以点A 到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4的距离的最小值是72－1＝52.【答案】 C12．极坐标方程ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的图形是( )【解析】 法一 圆ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4是把圆ρ＝2sin θ绕极点按顺时针方向旋转π4而得，圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，故选C.法二 圆ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －222＝1，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，半径为1，故选C.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13．在极坐标系中，经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程为________．【解析】 圆ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，化成标准方程得x 2＋(y －2)2＝4，表示以点(0,2)为圆心，以2为半径长的圆，点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4的直角坐标为(2,2)，由于22＋(2－2)2＝4，即点(2,2)在圆上，故过点且与圆相切的直线的方程为x ＝2，其极坐标方程为ρcos θ＝2.【答案】 ρcos θ＝214．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________.【解析】 由ρ＝4cos θ可得x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，因此圆心C 的直角坐标为(2,0)．又点P 的直角坐标为(2,23)，因此|CP |＝2 3.【答案】 2315．在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.【解析】 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的直角坐标方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22.【答案】 2216．直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．【解析】 直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝12，圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，其圆心为(1,0)，半径为1， ∴弦长为2× 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝ 3.【答案】3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知⊙C ：ρ＝cos θ＋sin θ， 直线l ：ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.求⊙C 上点到直线l 距离的最小值．【解】 ⊙C 的直角坐标方程是x 2＋y 2－x －y ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12. 又直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝4，所以直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0.设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋22cos θ，12＋22sin θ为⊙C 上任意一点，M 点到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋22cos θ－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋22sin θ－42＝4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π42，当θ＝7π4时，d min ＝32＝322.18．(本小题满分12分)已知直线的极坐标方程ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，求极点到直线的距离． 【解】 ∵ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，即直角坐标方程为x ＋y ＝1. 又极点的直角坐标为(0,0)， ∴极点到直线的距离d ＝|0＋0－1|2＝22. 19．(本小题满分12分)(1)在极坐标系中，求以点(1,1)为圆心，半径为1的圆C 的方程； (2)将上述圆C 绕极点逆时针旋转π2得到圆D ，求圆D 的方程． 【解】 (1)设M (ρ，θ)为圆上任意一点，如图，圆C 过极点O ，∠COM＝θ－1，作CK ⊥OM 于K ，则ρ＝|OM |＝2|OK |＝2cos(θ－1)， ∴圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－1)．(2)将圆C ：ρ＝2cos(θ－1)按逆时针方向旋转π2得到圆D ：ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－1－π2，即ρ＝－2sin(1－θ)．20．(本小题满分12分)如图1，正方体OABC ­D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝3，A ′C ′与B ′D ′相交于点P ，分别写出点C 、B ′、P 的柱坐标．图1【解】 设点C 的柱坐标为(ρ1，θ1，z 1)， 则ρ1＝|OC |＝3，θ1＝∠COA ＝π2，z 1＝0， ∴C 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2，0；设点B ′的柱坐标为(ρ2，θ2，z 2)，则ρ2＝|OB |＝|OA |2＋|AB |2＝32＋32＝32， θ2＝∠BOA ＝π4，z 2＝3， ∴B ′的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π4，3；如图，取OB 的中点E ，连接PE ，设点P 的柱坐标为(ρ3，θ3，z 3)，则ρ3＝|OE |＝12|OB |＝322，θ3＝∠AOE ＝π4，z 3＝3， 点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫322，π4，3.21．(本小题满分12分)已知曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－1，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，判断两曲线的位置关系．【解】 将曲线C 1，C 2化为直角坐标方程得： C 1：x ＋3y ＋2＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＝0，即C 2：(x －1)2＋(y －1)2＝2， 圆心到直线的距离d ＝|1＋3＋2|12＋(3)2＝3＋32＞2，∴曲线C 1与C 2相离．22．(本小题满分12分)在极坐标系中，极点为O ，已知曲线C 1：ρ＝2与曲线C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2交于不同的两点A ，B .(1)求|AB |的值；(2)求过点C (1,0)且与直线AB 平行的直线l 的极坐标方程．【解】 (1)∵ρ＝2，∴x 2＋y 2＝4. 又∵ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，∴y ＝x ＋2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2 2. (2)∵曲线C 2的斜率为1，∴过点(1,0)且与曲线C 2平行的直线l 的直角坐标方程为y ＝x －1，∴直线l 的极坐标为ρsin θ＝ρcos θ－1， 即ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.章末综合测评(二) 参数方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列点不在直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22ty ＝2＋22t (t 为参数)上的是( )A ．(－1,2)B ．(2，－1)C ．(3，－2)D ．(－3,2)【解析】 直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0， 因此点(－3,2)的坐标不适合方程x ＋y －1＝0. 【答案】 D2．圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)，若Q (－2,23)是圆上一点，则对应的参数θ的值是( )A.π3B.23πC.43πD.53π 【解析】 ∵点Q (－2,23)在圆上， ∴⎩⎨⎧－2＝4cos θ，23＝4sin θ且0≤θ<2π，∴θ＝23π.【答案】 B3．直线⎩⎨⎧x ＝3＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)斜率为( )A ．2B ．－2 C.32D ．－32【解析】 直线的普通方程为2x ＋y －8＝0， ∴斜率k ＝－2. 【答案】 B4．已知O 为原点，当θ＝－π6时，参数方程⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝9sin θ(θ为参数)上的点为A ，则直线OA 倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6【解析】 当θ＝－π6时，x ＝332，y ＝－92， ∴k OA ＝tan α＝yx ＝－3，且0≤α<π， 因此α＝2π3. 【答案】 C5．已知A (4sin θ，6cos θ)，B (－4cos θ，6sin θ)，当θ为一切实数时，线段AB 的中点轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【解析】 设线段AB 的中点为M (x ，y )， 则⎩⎨⎧ x ＝2sin θ－2cos θ，y ＝3sin θ＋3cos θ(θ为参数)， ∴⎩⎨⎧3x ＋2y ＝12sin θ，3x －2y ＝－12cos θ. ∴(3x ＋2y )2＋(3x －2y )2＝144， 整理得x 28＋y 218＝1，表示椭圆． 【答案】 C6．椭圆⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)的离心率是( )A.74 B.73 C.72D.75【解析】 椭圆⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ的标准方程为x 29＋y 216＝1，∴e ＝74.故选A.【答案】 A7．已知圆M ：x 2＋y 2－2x －4y ＝10，则圆心M 到直线⎩⎨⎧x ＝4t ＋3，y ＝3t ＋1(t 为参数)的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由题意易知圆的圆心M (1,2)，由直线的参数方程化为一般方程为3x －4y －5＝0，所以圆心到直线的距离为d2.【答案】 B8．若直线⎩⎨⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6 B.π4或3π4 C.π3或2π3D ．－π6或－5π6 【解析】 直线的普通方程为y ＝tan α·x ，圆的普通方程为(x －4)2＋y 2＝4，由于直线与圆相切，则|4tan α|tan 2x ＋1＝2.∴tan α＝±33，∴α＝π6或5π6.故选A. 【答案】 A9．若直线y ＝x －b 与曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θθ∈[0,2π)有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．(2－2，1)B ．[2－2，2＋2]C ．(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)D ．(2－2，2＋2)【解析】 由⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ消去θ，得(x －2)2＋y 2＝1.(*)将y ＝x －b 代入(*)，化简得 2x 2－(4＋2b )x ＋b 2＋3＝0，依题意，Δ＝[－(4＋2b )]2－4×2(b 2＋3)>0， 解得2－2<b <2＋ 2. 【答案】 D10．实数x ，y 满足3x 2＋2y 2＝6x ，则x 2＋y 2的最大值是( ) A ．2 B ．4 C.92D ．5【解析】 由3x 2＋2y 2＝6x ，得3(x －1)2＋2y 2＝3， 令x ＝1＋cos θ，y ＝62sin θ，代入x 2＋y 2，得x 2＋y 2＝(1＋cos θ)2＋32sin 2θ＝－12(cos θ－2)2＋92，∴当cos θ＝1时，(x 2＋y 2)max ＝4. 【答案】 B11．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θy ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ2(θ为参数，0≤θ＜2π)所表示的曲线是( )A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 D ．抛物线的一部分，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12【解析】 由y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ2＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ2＝1＋sin θ2，可得sin θ＝2y －1，由x ＝1＋sin θ 得x 2－1＝sin θ， ∴参数方程可化为普通方程x 2＝2y . 又x ＝1＋sin θ∈[0，2]，故选D. 【答案】 D12．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝2－t (t 为参数)，抛物线C 的方程y 2＝2x ，l 与C 交于P 1，P 2，则点A (0,2)到P 1，P 2两点距离之和是( )A ．4＋3B ．2(2＋3)C ．4(2＋3)D ．8＋3【解析】将直线l 参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32t ′y(t ′为参数)，代入y 2＝2x ，得t ′2＋4(2＋3)t ′＋16＝0，设其两根为t 1′、t 2′＋t 2′＝－4(2＋3)，t 1′t 2′＝16>0.由此知在l 上两点P 1，P 2都在A (0,2)的下方，则|AP 1|＋|AP 2|＝|t 1′|＋|t 2′|＝|t 1′＋t 2′|＝4(2＋3)．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．双曲线⎩⎨⎧x ＝tan φ，y ＝sec φ(φ是参数)的渐近线方程为________．【解析】 化参数方程为普通方程，得y 2－x 2＝1.故其渐近线为y ＝±x ，即x ±y ＝0. 【答案】 x ±y ＝014．在极坐标系中，直线过点(1,0)且与直线θ＝π3(ρ∈R )垂直，则直线极坐标方程为________．【解析】 由题意可知在直角坐标系中，直线θ＝π3的斜率是3，所求直线是过点(1,0)，且斜率是－13，所以直线方程为y ＝－13(x －1)，化为极坐标方程ρsin θ＝－13(ρcos θ－1)，化简得2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1.【答案】 2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1或2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1或ρcos θ＋3ρsin θ＝115．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．【解析】 曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2可化为y ＝(x －2)2，射线θ＝π4可化为y ＝x (x ≥0)，联立这两个方程得：x 2－5x ＋4＝0，点A ，B 的横坐标就是此方程的根，线段AB 的中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，5216．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．【解析】 由已知可得椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m 可得ρsin θ＋ρcos θ＝m ，即直线的普通方程为x ＋y ＝m .又圆的普通方程为x 2＋y 2＝b 2，不妨设直线l 经过椭圆C 右焦点(c,0)，则得c ＝m .又因为直线l 与圆O 相切，所以|m |2＝b ，因此c ＝2b ，即c 2＝2(a 2－c 2)．整理，得c 2a 2＝23，故椭圆C 离心率为e ＝63.【答案】 63三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知圆O 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)．(1)求圆心和半径；(2)若圆O 上点M 对应的参数θ＝5π3，求点M 的坐标． 【解】 (1)由⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(0≤θ<2π)，平方得x 2＋y 2＝4， ∴圆心O (0,0)，半径r ＝2.(2)当θ＝5π3时，x ＝2cos θ＝1，y ＝2sin θ＝－3， ∴点M 的坐标为(1，－3)．18．(本小题满分12分)已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)．(1)将C 的方程化为普通方程；(2)若点P (x ，y )是曲线C 上的动点，求2x ＋y 的取值范围． 【解】 (1)由曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 32＝1即x 216＋y 29＝1.(2)2x ＋y ＝8cos φ＋3sin φ＝73sin(φ＋θ)， ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ由tan θ＝83确定， ∴2x ＋y ∈[－73，73]，∴2x ＋y 的取值范围是[－73，73]．19．(本小题满分12分)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 【解】 (1)由曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ得x 2＋y 2＝16，∴曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t代入x 2＋y 2＝16，整理，得t 2＋33t －9＝0. 设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，则 t 1＋t 2＝－33，t 1t 2＝－9.|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝37.20．(本小题满分12分)已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 【解】 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)， Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线；在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程； (2)若曲线C 与直线相交于不同的两点M ，N ，求|PM |＋|PN |的取值范围． 【解】 (1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，所以C ：x 2＋y 2＝4x .(2)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入C ：x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，则有⎩⎨⎧Δ＝16(sin α＋cos α)2－16>0，t 1＋t 2＝－4(sin α＋cos α)，t 1·t 2＝4，∴sin α·cos α>0，又α∈[0，π)， 所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，t 1<0，t 2<0. 而|PM |＋|PN |＝(4＋t 1cos α－4)2＋(2＋t 1sin α－2)2＋ (4＋t 2cos α－4)2＋(2＋t 2sin α－2)2＝|t 1|＋|t 2| ＝－t 1－t 2＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4， ∴22<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，所以|PM |＋|PN |的取值范围为(4,42]．22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos φy ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(a ＞b ＞0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2 B 1的面积．【解】 (1)C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.当α＝π2时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.(2)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和x29＋y2＝1.当α＝π4时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝22，与C2交点B1的横坐标为x′＝31010.当α＝－π4时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．故四边形A1A2B2B1的面积为(2x′＋2x)(x′－x)2＝25.模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．极坐标方程cos θ＝32(ρ∈R)表示的曲线是()A．两条相交直线B．两条射线C．一条直线D．一条射线【解析】由cos θ＝32，解得θ＝π6或θ＝116π，又ρ∈R，故为两条过极点直线．【答案】A2．极坐标系中，过点P(1，π)且倾斜角为π4直线方程为() A．ρ＝sin θ＋cos θB．ρ＝sin θ－cos θC．ρ＝1sin θ＋cos θD．ρ＝1sin θ－cos θ【解析】设M(ρ，θ) 为直线上任意一点，则在△OPM 中，由正弦定理得ρsin π4＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4， ∴ρ＝1sin θ－cos θ.【答案】 D3．已知参数方程⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θy ＝bt ＋λsin θ(a 、b 、λ均不为零，0≤θ≤2π)，分别取①t 为参数；②λ为参数；③θ为参数，则下列结论中成立的是( )A ．①、②、③均是直线B ．只有②是直线C ．①、②是直线，③是圆D ．②是直线，①③是圆【解析】 ①t 为参数，原方程可化为：y －λsin θ＝ba (x －λcos θ)，②λ为参数，原方程可化为：y －bt ＝(x －at )·tan θ，③θ为参数，原方程可化为： (x －at )2＋(y －bt )2＝λ2，即①、②是直线，③是圆． 【答案】 C4．将曲线x 23＋y 22＝1按φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y 变换后的曲线的参数方程为( )A.⎩⎨⎧x ＝3cos θy ＝2sin θ B.⎩⎨⎧x ＝3cos θy ＝2sin θ C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13cos θy ＝12sin θD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33cos θy ＝22sin θ【解析】 x 23＋y 22＝1→(3x ′)23＋(2y ′)22＝1→(3x ′)2＋(2y ′)2＝1→⎩⎨⎧3x ′＝cos θ，2y ′＝sin θ→⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝33cos θ，y ′＝22sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33cos θ，y ＝22sin θ，故选D.【答案】 D5．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1D ．y ＝1【解析】 由ρ2cos θ－ρ＝0，得ρ(ρcos θ－1)＝0， 又ρ＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝0或x ＝1. 【答案】 C6．柱坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，1对应的点的直角坐标是( )A ．(3，－1,1)B ．(3，1,1)C ．(1，3，1)D ．(－1，3，1)【解析】由直角坐标与柱坐标之间的变换公式⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θz ＝z，可得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，z ＝1，故应选C.【答案】 C7．直线l ：3x ＋4y －12＝0与圆C ：⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos θy ＝2＋2sin θ(θ为参数)的公共点个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无法确定【解析】 圆C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心C (－1,2)，半径r ＝2. 圆心C 到直线l 的距离d ＝|3×(－1)＋4×2－12|32＋42＝75，因此d <r ，直线与圆C 相交于两点． 【答案】 C8．双曲线⎩⎨⎧x ＝4sec θy ＝2tan θ(θ为参数)上，当θ＝2π3时对应的点为P ，O 为原点，则OP 的斜率为( )A.34B.32C.3D ．2【解析】 ∵x ＝4sec θ＝4cos 2π3＝－8， y ＝2tan θ＝2tan 2π3＝－23， ∴k OP ＝y x ＝34. 【答案】 A9．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t －1，y ＝22t(t 为参数)，则直线l 与曲线C 相交所得弦长为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－6y ＝0，即x 2＋(y －3)2＝9，直线⎩⎨⎧x ＝2t －1，y ＝22t的直角坐标方程为x －2y ＋1＝0，∵圆心C 到直线l 的距离 d ＝|0－2×3＋1|12＋(－2)2＝5，∴直线l 与圆C 相交所得弦长为 2r 2－d 2＝29－5＝4.【答案】 D10．直线⎩⎨⎧x ＝－2－4t ，y ＝1＋3t (t 为参数)与圆ρ＝2cos θ的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定【解析】 直线⎩⎨⎧x ＝－2－4t ，y ＝1＋3t (t 为参数)的普通方程为3x ＋4y ＋2＝0，圆ρ＝2cos θ的普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心到直线3x ＋4y ＋2＝0的距离d ＝1＝r ，所以直线与圆的位置关系为相切．故选B.【答案】 B11．已知曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2α2，y ＝12sin α(α为参数)，若以此曲线所在的直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为( )A ．ρ＝sin θB ．ρ＝2sin θC ．ρ＝2cos θD ．ρ＝cos θ【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2α2＝12＋12cos α，y ＝12sin α(α为参数)得普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，故圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径r ＝12，所以极坐标方程为ρ＝cos θ. 【答案】 D12．若动点(x ，y )在曲线x 24＋y 2b 2＝1(b >0)上变化，则x 2＋2y 的最大值为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ b 24＋4 (0<b ≤4)2b (b >4) B.⎩⎪⎨⎪⎧b 24＋4 (0<b <2)2b (b ≥2)C.b 24＋4D ．2b【解析】 设动点的坐标为(2cos θ，b sin θ)， 代入x 2＋2y ＝4cos 2θ＋2b sin θ ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin θ－b 22＋4＋b 24，当0<b ≤4时，(x 2＋2y )max ＝b 24＋4；当b >4时，(x 2＋2y )max ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－b 22＋4＋b 24＝2b .【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．【解析】 射线θ＝π4的普通方程为y ＝x (x ≥0)，代入⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2，得t 2－3t ＝0，解得t ＝0或t ＝3.当t ＝0时，x ＝1，y ＝1，即A (1,1)； 当t ＝3时，x ＝4，y ＝4，即B (4,4)． 所以AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，5214．极坐标系中，曲线ρ＝－4cos θ上的点到直线ρ()cos θ＋3sin θ＝8的距离的最大值是________．【解析】 曲线方程化为：ρ2＝－4ρcos θ，即x 2＋y 2＋4x ＝0，化为：(x ＋2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－2,0)，半径为r ＝2，直线方程化为：x ＋3y －8＝0，圆心到直线距离为：d ＝|－2－8|2＝5，所以最大距离为：5＋2＝7.【答案】 715．直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝3sin α(α为参数)交点个数为________．【解析】 直线与曲线的普通方程分别为 x ＋y －1＝0， ① x 2＋y 2＝9, ②②表示圆心为O (0,0)，半径为3的圆， 设O 到直线的距离为d ，则d ＝|－1|2＝22，∵22<3，∴直线与圆有2个交点． 【答案】 216．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．【解析】 由sin 2t ＋cos 2t ＝1得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2，过原点O 及切点(1,1)的直线的斜率为1，故切线l 的斜率为－1，所以切线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直线l 的方程可得ρcos θ＋ρsin θ－2＝0，即2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2＝0，化简得ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2.【答案】 ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎨⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．【解】 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中， 以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．【解】 (1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝2，所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1. 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22＜1， 所以直线l 与圆C 相交．19．(本小题满分12分)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜．【解】 (1)将⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0. 由⎩⎨⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0， 解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4. (1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．【解】 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解⎩⎨⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3. 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3. 注：极坐标系下点的表示不惟一．(2)法一 将x ＝1代入⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝tan θ，⎝⎛⎭⎪⎫－π3≤θ≤π3. 法二 由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与圆C 2交点的直角坐标分别为(1，－3)或(1，3)．故圆C 1与C 2公共弦的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝1，y ＝t ，(－3≤t ≤3)． 21．(本小题满分12分)在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，已知过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t (t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值． 【解】 (1)曲线C ：y 2＝2ax ，直线l ：x －y －2＝0. (2)将直线的参数表达式代入抛物线得 12t 2－(42＋2a )t ＋16＋4a ＝0，所以t 1＋t 2＝82＋22a ，t 1t 2＝32＋8a . 因为|PM |＝|t 1|，|PN |＝|t 2|，|MN |＝|t 1－t 2|， 由题意知，|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|⇒(t 1＋t 2)2＝5t 1t 2， 代入得a ＝1.22．(本小题满分12分)如图1，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点．图1(1)求证：1|F A |＋1|FB |为定值； (2)求AB 的中点M 的轨迹方程．【解】 设直线AB 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，α≠0)，代入y 2＝2px 整理，得t 2sin 2α－2pt cos α－p 2＝0.设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2， 则由根与系数的关系，得 t 1＋t 2＝2p cos αsin 2α，t 1t 2＝－p 2sin 2α. (1)1|F A |＋1|FB |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2|＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2p cos αsin 2α2＋4p 2sin 2α⎪⎪⎪⎪⎪⎪－p 2sin 2α＝2p (定值)．(2)设AB 的中点M (x ，y )，则M 对应参数为t ＝t 1＋t 22＝p cos αsin 2α，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2＋p cos 2αsin 2α，y ＝p cos αsin α(α为参数)，消去α，得y 2＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2为所求轨迹方程．。

一、选择题1．点P 对应的复数为33i -+，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ） A．34π⎛⎫ ⎪⎝⎭B．54π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．53,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．33,4π⎛⎫- ⎪⎝⎭2．圆22cos 4sin 30ρρθρθ++-=上到直线cos sin 10ρθρθ++=点共有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．在平面直角坐标系中，抛物线23x y =-经过伸缩变换1'21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩后得到的曲线方程是（ ） A ．2''4y x =- B ．2''4x y =- C ．2'9'4y x =-D ．2'9'4x y =-4．在极坐标系中，点A 是曲线8sin ρθ=上一动点，以极点O 为中心，将点A 绕O 顺时针旋转90︒得到点B ，设点B 的轨迹为曲线C ，则曲线C 的极坐标方程为( ) A ．8cos ρθ= B ．8sin ρθ= C ．8cos ρθ=-D ．8sin ρθ=-5．在满足极坐标和直角坐标互化的条件下，极坐标方程222123cos 4sin ρθθ=+经过直角坐标系下的伸缩变换1'2'x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩后，得到的曲线是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．直线6．以π4⎛⎫ ⎪⎝⎭） A ．ρ=-(sin θ+cosθ) B ．ρ=sin θ+cosθ C ．ρ=-2(sin θ+cosθ)D ．ρ=2(sin θ+cosθ)7．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,{?1x cos y sin αα==+（α为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为（ ）． A ．0B ．1C ．2D ．38．在同一平面直角坐标系中，将曲线1cos 23y x =按伸缩变换23x x y y ''=⎧⎨=⎩后为（ ）A ．cos y x ''=B ．13cos 2y x ''= C ．12cos3y x ''= D ．1cos32y x ''=9．在同一平面直角坐标系中，将直线22x y -=按124x xy y⎧=⎪⎨⎪='⎩'变换后得到的直线l 的方程，若以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程为（ ） A ．4cos sin 4ρθρθ-= B ．cos 16sin 4ρθρθ-= C ．cos 4sin 4ρθρθ-=D ．cos 8sin 4ρθρθ-=10．将点的直角坐标(－2，化成极坐标得( )． A ．(4，23π) B ．(－4，23π) C ．(－4，3π) D ．(4，3π) 11．将曲线22(1sin )2ρθ+=化为直角坐标方程为A ．2212y x +=B ．2212x y +=C ．2221x y +=D ．2221x y +=12．若曲线2 1x ty t=-⎧⎨=-+⎩（t为参数）与曲线ρ=B ， C 两点，则BC 的值为（ ） ABCD二、填空题13．在极坐标系中，直线sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4ρ=截得的弦长为______. 14．在极坐标系中，直线sin cos 1ρθρθ-=被曲线1ρ=截得的线段长为_____________. 15．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为:cos 4l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C的参数方程12x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（θ为参数）.则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为________.16．在同一平面直角坐标系中，将曲线22368120x y x --+=变成曲线22''4'30x y x --+=，则满足上述图形变换的伸缩变换是________.17．在极坐标系中，曲线43sin πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭关于________对称.18．在极坐标系中，极点到直线cos()6πρθ-=的距离等于________．19．对于函数y ＝f (x )(x ∈R)而言，下列说法中正确的是________．(填序号) ①函数y ＝f (x ＋1)的图象和函数y ＝f (1－x )的图象关于x ＝1对称． ②若恒有f (x ＋1)＝f (1－x )，则函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称． ③函数y ＝f (2x ＋1)的图象可以由y ＝f (2x )向左移一个单位得到． ④函数y ＝f (x )和函数y ＝－f (－x )图象关于原点对称． 20．已知直线l 的参数方程为1{1x t y t=-+=+（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______.三、解答题21．在极坐标系中，已知直线l 过点1,0A ，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为3π，求：（1）直线的极坐标方程； （2）极点到该直线的距离.22．在平面直角坐标系xoy ，曲线1:40C x y +-=，曲线2cos :1sin x C y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以坐标原点O 为 极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）射线:0,02l a a πθρ⎛⎫=≥<< ⎪⎝⎭分别交1C ，2C 于M ，N 两点，求ON OM 的最大值.23．在直角坐标系xOy 中，直线1:1C x =，圆()222:23C x y -+=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C ，3C 的交点为,M N ，试求2C MN ∆的面积.24．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为325425x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），它与曲线C ：（y －2）2－x 2＝1交于A 、B 两点． （1）求|AB|的长；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求点P 到线段AB 中点M 的距离．25．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），曲线2C 的直角坐标方程为22(4)16x y +-=.（1）求1C 与2C 的极坐标方程；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB .26．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数，且0t >，(0,)2πα∈），曲线2C 的参数方程为cos 1x y sin ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数，且(,)22ππβ∈-）.以O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为1cos ((0,))2πρθθ=+∈，曲线4C 的极坐标方程为cos 1ρθ=.（1）求3C 与4C 的交点到极点的距离；（2）设1C 与2C 交于P 点，1C 与3C 交于Q 点，当α在(0,)2π上变化时，求||||OP OQ +的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】分析：先求出点P 的直角坐标，P 到原点的距离r ，根据点P 的位置和极角的定义求出极角，从而得到点P 的极坐标． 详解：点P 对应的复数为33i -+，则点P 的直角坐标为()3,3-，点P到原点的距离r =，且点P 第二象限的平分线上，故极角等于34π，故点P的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选A ．点睛：本题考查把直角坐标化为极坐标的方法，复数与复平面内对应点间的关系，求点P 的极角是解题的难点．2．C解析：C 【解析】 【分析】把圆和直线方程化为直角坐标方程，结合点到直线的距离公式与直线与圆的位置关系求解。

高二级数学选修4-4《极坐标与参数方程》考试卷一、选择题1.曲线的极坐标方程θρsin 4=化为直角坐标为 （ ）A 4)2(22=++y xB 4)2(22=-+y xC 4)2(22=+-y xD 4)2(22=++y x2.已知点P 的极坐标是),1(π，则过点P 且垂直极轴的直线方程是 （ ）A 1=ρB θρcos =C θρcos 1-=D θρcos 1= 3.在极坐标系中，圆=2cos ρθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （ ）A.=0()cos=2∈R θρρ和B.ρρπθ=(∈R)和cos =22 C. πθ=(ρ∈R)和ρcos =12D.θ=0(ρ∈R)和ρcos =1 4.直线12+=x y 的参数方程是 （ ） A ⎩⎨⎧+==1222t y t x （t 为参数） B ⎩⎨⎧+=-=1412t y t x （t 为参数） C ⎩⎨⎧-=-=121t y t x （t 为参数） D ⎩⎨⎧+==1sin 2sin θθy x （t 为参数）5.圆5cos ρθθ=-的圆心是 （ ）A ．4(5,)3π--B ．(5,)3π-C ．(5,)3πD ．5(5,)3π- 6.参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθ2cos 1sin 22y x （θ为参数）化为普通方程是 （ ） A 042=+-y x B 042=-+y xC 042=+-y x ]3,2[∈xD 042=-+y x ]3,2[∈x7.设点P 对应的复数为i 33+-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为 （ ） A (23，π43) B (23-，π45) C (3，π45) D (-3，π43) 8.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：02=++kx y 与曲线C ：θρcos 2=相交，则k 的取值范围是 （ ） A 34k <- B 43-≥k C R k ∈ D R k ∈但0≠k9.已知过曲线{()3cos 4sin x y θθπθθ≤≤==为参数，0上一点P 与原点O 的直线PO 的倾斜角为4π，则P 点坐标是 ( )A （3，4）B 1212(,)55--C (-3，-4) D1212(,)5510.若圆的方程为⎩⎨⎧+=+-=θθsin 23cos 21y x （θ为参数），直线的方程为⎩⎨⎧-=-=1612t y t x （t 为参数），则直线与圆的位置关系是 （） A 相交过圆心 B 相交而不过圆心 C 相切 D 相离11.直线112()x tt y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标（）A ．(3,3)- B．( C．3)- D．(3,12.极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为 （） A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆二、填空题13.在极坐标系中，以)2,2(πa 为圆心，2a为半径的圆的极坐标方程是 。