江苏省扬州市中考数学总复习：二次函数

2022年江苏省扬州市中考数学总复习：二次函数1．在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（）A．y=1x B．y＝﹣2x﹣3C．y＝2x2+1D．y＝5x【解答】解：A、当x＝0时，y=1x无意义，不经过原点，故本选项错误；B、当x＝0时，y＝3，不经过原点，故本选项错误；C、当x＝0时，y＝1，不经过原点，故本选项错误；D、当x＝0时，y＝0，经过原点，故本选项正确．故选：D．2．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象．下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＜0；③ax2+bx+c＝1有两个实数根．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：①∵抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴右侧，∴b＞0，①正确；②x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，②正确；③抛物线与直线y＝1有两个交点，∴ax2+bx+c＝1有两个实数根，③正确；故选：D．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x=−1 2，结合图象分析下列结论：①abc＞0；②3a +c ＞0；③当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；④b 2−4ac 4a ＜0；⑤若m ，n （m ＜n ）为方程a （x +3）（x ﹣2）+3＝0的两个根，则m ＜﹣3且n ＞2． 其中正确的结论有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【解答】解：由抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x =−12可得，9a ﹣3b +c ＝0，−b 2a =−12，即a ＝b ，与x 轴的另一个交点为（2，0），4a +2b +c ＝0， 抛物线开口向下，a ＜0，b ＜0，抛物线与y 轴交于正半轴，因此c ＞0，所以，abc ＞0，因此①正确；由9a ﹣3b +c ＝0，而a ＝b ，所以6a +c ＝0，又a ＜0，因此3a +c ＞0，所以②正确；抛物线的对称轴为x =−12，a ＜0，因此当x ＜−12时，y 随x 的增大而增大，所以③不正确；由于抛物线的顶点在第二象限，所以4ac−b 24a ＞0，因此④正确；抛物线与x 轴的交点为（﹣3，0）（2，0），因此当y ＝﹣3时，相应的x 的值应在（﹣3，0）的左侧和（2，0）的右侧，因此m ＜﹣3，n ＞2，所以⑤正确；综上所述，正确的结论有：①②④⑤，故选：B ．4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①abc＞0；②8a+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞2．其中正确的有（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个【解答】解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故原答案错误，不符合题意；②函数的对称轴为：x=−b2a=1，故b＝﹣2a，对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0），则点A（3，0），故9a+3b+c＝0，而b＝﹣2a，即3a+c＝0，a＜0，故8a+c＜0，正确，符合题意；③抛物线和x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0正确，符合题意；④点B坐标为（﹣1，0），点A（3，0），则当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．故错误，不符合题意．故选：C．5．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论中正确的是（）A．abc＜0B．4ac﹣b2＞0C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．4a﹣2b+c＞0【解答】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴的右侧，∴b＜0，∵c＝﹣3，∴abc＞0，故A错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故B错误；∵抛物线与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（2，0），∴对称轴方程为直线x=1 2，∴当x＜12时，y随x的增大而减小，故C错误；当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故D正确；故选：D．6．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象正好经过坐标原点，对称轴为直线x=−32．给出以下四个结论：①abc＝0；②a﹣b+c＞0；③a＜b；④4ac﹣b＜0．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①c＝0，故acb＝0，符合题意；②x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，符合题意；③函数的对称轴为：x=−32=−b2a，即b＝3a＜0，故a＞b，符合不题意；④c＝0，4ac＝0，b＜0，故4ac﹣b＞0，不符合题意；故选：B．7．课堂上，老师给出一道题：如图，将抛物线C ：y ＝x 2﹣6x +5在x 轴下方的图象沿x 轴翻折，翻折后得到的图象与抛物线C 在x 轴上方的图象记为G ，已知直线l ：y ＝x +m 与图象G 有两个公共点，求m 的取值范围．甲同学的结果是﹣5＜m ＜﹣1，乙同学的结果是m ＞54．下列说法正确的是（ ）A ．甲的结果正确B ．乙的结果正确C ．甲、乙的结果合在一起才正确D ．甲、乙的结果合在一起也不正确【解答】解：令y ＝x 2﹣6x +5＝0，解得（1，0），（5，0）将点（1，0），（5，0）代入直线y ＝x +m ，得m ＝﹣1，﹣5；∴﹣5＜m ＜﹣1翻折后的抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣3）2+4，由{y =x +m y =−(x −3)2+4消去y 得到x 2﹣5x +5+m ＝0，当△＝0时，25﹣20﹣4m ＝0，m =54，∴当m ＞54时，直线l ：y ＝x +m 与图象G 有两个公共点，综上所述，m ＞54或﹣5＜m ＜﹣1时，直线l ：y ＝x +m 与图象G 有两个公共点， 故选：C ．8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0），下列结论：①ab＜0，②b2﹣4ac＞0，③a﹣b+c＜0，④c＝1，⑤当x＞﹣1时，y＞0．其中正确结论的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：有图象可知，a＜0，b＞0，则ab＜0，故①正确；图象与x轴两个交点，则b2﹣4ac＞0，故②正确；图象过点（﹣1，0），则a﹣b+c＝0，故③错误；图象过点（0，1），则c＝1，故④正确；由图象可知，当x＞﹣1时，一部分函数值大于0，有一个函数值等于0，还有一部分小于0，故⑤错误；由上可得，正确的结论是①②④，有3个；故选：B．9．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+1的图象如图所示，则方程ax2+bx+1＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+1＝0有两个不相等的实数解．故选：B．10．将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（）A．−734或﹣12B．−734或2C．﹣12或2D．−694或﹣12【解答】解：如图所示，过点B的直线y＝2x+b与新抛物线有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时与新抛物线也有三个公共点，令y＝x2﹣5x﹣6＝0，解得：x＝﹣1或6，即点B坐标（6，0），将一次函数与二次函数表达式联立得：x2﹣5x﹣6＝2x+b，整理得：x2﹣7x﹣6﹣b＝0，△＝49﹣4（﹣6﹣b）＝0，解得：b=−73 4，当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y＝2x+b得：0＝12+b，解得：b＝﹣12，综上，直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为﹣12或−73 4；故选：A．。

考点12.二次函数（精讲）【命题趋势】二次函数作为初中三大函数考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分。

而对于二次函数图象和性质的考查，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。

题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。

【知识清单】1：二次函数的相关概念（☆☆）1）二次函数的概念：一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．2）二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：y =a （x –x 1）（x –x 2），其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．2：二次函数的图象与性质（☆☆☆）解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2b a ，244ac b a-）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2b a 时，y 最小值=244ac b a-。

当x =–2b a 时，y 最大值=244ac b a-。

最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2ba时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2ba时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小（1）二次函数图象的翻折与旋转抛物线y=a (x -h )²+k ，绕顶点旋转180°变为：y =-a (x -h )²+k ；绕原点旋转180°变为：y =-a (x+h )²-k ；沿x 轴翻折变为：y =-a (x-h )²-k ；沿y 轴翻折变为：y =a (x+h )²+k ；（2）二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．3：二次函数与各项系数之间的关系（☆☆☆）1）抛物线开口的方向可确定a 的符号：抛物线开口向上，a ＞0；抛物线开口向下，a ＜02）对称轴可确定b 的符号（需结合a 的符号）：对称轴在x 轴负半轴，则2b x a =-＜0，即ab ＞0；对称轴在x 轴正半轴，则2bx a=-＞0，即ab ＜03）与y 轴交点可确定c 的符号：与y 轴交点坐标为（0，c ），交于y 轴负半轴，则c ＜0；交于y 轴正半轴，则c ＞04）特殊函数值符号（以x =1的函数值为例）：若当x =1时，若对应的函数值y 在x 轴的上方，则a+b+c ＞0；若对应的函数值y 在x 轴上方，则a+b+c =0；若对应的函数值y 在x 轴的下方，则a+b+c ＜0；5）其他辅助判定条件：1）顶点坐标24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2）若与x 轴交点()1,0A x ，()2,0B x ，则可确定对称轴为：x =122x x +；3）韦达定理：1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。

第12讲 二次函数[锁定目标考试]考标要求考查角度1.理解二次函数的有关概念． 2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质． 3．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题． 4．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题． 5．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 二次函数是中考考查的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题．命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查.[导学必备知识]知识梳理一、二次函数的概念一般地，形如y ＝______________(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数，叫做二次函数． 二次函数的两种形式：(1)一般形式：____________________________；(2)顶点式：y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，其中二次函数的顶点坐标是________．二、二次函数的图象及性质二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) 图象(a ＞0)(a ＜0) 开口方向 开口向上 开口向下对称轴 直线x ＝－b 2a 直线x ＝－b 2a顶点坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a增减性 当x ＜－b 2a 时，y 随x 的增大而减小；当x ＞－b 2a 时，y 随x 的增大而增大 当x ＜－b 2a时，y 随x 的增大而增大；当x ＞－b 2a时，y 随x 的增大而减小最值 当x ＝－b 2a 时，y 有最______值4ac －b 24a 当x ＝－b 2a 时，y 有最______值4ac －b 24a三、二次函数图象的特征与a ，b ，c 及b 2－4ac 的符号之间的关系四、二次函数图象的平移抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k中|a|相同，则图象的________和大小都相同，只是位置不同．它们之间的平移关系如下：五、二次函数关系式的确定1．设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．2．设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．3．设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h )2＋k (a ≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式．六、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当y ＝0时，就变成了ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．2．ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的解是抛物线与x 轴交点的________．3．当Δ＝b 2－4ac ＞0时，抛物线与x 轴有两个不同的交点；当Δ＝b 2－4ac ＝0时，抛物线与x 轴有一个交点；当Δ＝b 2－4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．4．设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴两交点坐标分别为A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1＋x 2＝________，x 1·x 2＝________.自主测试1．下列二次函数中，图象以直线x ＝2为对称轴，且经过点(0,1)的是( )A ．y ＝(x －2)2＋1B ．y ＝(x ＋2)2＋1C ．y ＝(x －2)2－3D ．y ＝(x ＋2)2－32. 如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四个结论：(1)b 2-4ac ＞0；(2)c ＞1；(3)2a-b ＜0；(4)a+b+c ＜0.你认为其中错误的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个3．当m ＝__________时，函数y ＝(m －3)xm 2－7＋4是二次函数．4．(上海)将抛物线y ＝x 2＋x 向下平移2个单位，所得新抛物线的表达式是________．5．(广东珠海)如图，二次函数y ＝(x －2)2＋m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过该二次函数图象上点A (1,0)及点B ．(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，写出满足kx ＋b ≥(x －2)2＋m 的x 的取值范围．[探究重难方法]考点一、二次函数的图象及性质【例1】 (1)二次函数y ＝－3x 2－6x ＋5的图象的顶点坐标是( )A ．(－1,8)B ．(1,8)C ．(－1,2)D ．(1，－4)(2)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的对称轴为直线x ＝1，且经过点(－1，y 1)，(2，y 2)，试比较y 1和y 2的大小：y 1________y 2.(填“＞”“＜”或“＝”)解析：(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求．∵－b 2a＝－－62×(－3)＝－1， 4ac －b 24a ＝4×(－3)×5－(－6)24×(－3)＝8， ∴二次函数y ＝－3x 2－6x ＋5的图象的顶点坐标是(－1,8)．故选A ．(2)点(－1，y1)，(2，y2)不在对称轴的同一侧，不能直接利用二次函数的增减性来判断y1，y2的大小，可先根据抛物线关于对称轴的对称性，然后再用二次函数的增减性即可．设抛物线经过点(0，y3)，∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴点(0，y3)与点(2，y2)关于直线x＝1对称．∴y3＝y2.∵a＞0，∴当x＜1时，y随x的增大而减小．∴y1＞y3.∴y1＞y2.答案：(1)A(2)＞方法总结1.将抛物线解析式写成y＝a(x－h)2＋k的形式，则顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线x＝h，也可应用对称轴公式x＝－b2a ，顶点坐标⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，4ac－b24a来求对称轴及顶点坐标．2．比较两个二次函数值大小的方法：(1)直接代入自变量求值法；(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断；(3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断．触类旁通1已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是()A．a＞0 B．当x＞1时，y随x的增大而增大C．c＜0 D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根考点二、利用二次函数图象判断a，b，c的符号【例2】如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a ＋b＋c＝0；②b＞2a；③ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3和1；④a－2b＋c＞0.其中正确的命题是__________．(只要求填写正确命题的序号)解析：由图象可知过(1,0)，代入得到a＋b＋c＝0；根据－b2a＝－1，推出b＝2a；根据图象关于对称轴对称，得出与x轴的交点是(－3,0)，(1,0)；由a－2b＋c＝a－2b－a－b＝－3b＜0，根据结论判断即可．答案：①③方法总结根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性．解题时应注意a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴由a，b共同决定，b2－4ac决定抛物线与x轴的交点情况．当x＝1时，决定a＋b＋c的符号，当x＝－1时，决定a－b＋c的符号．在此基础上，还可推出其他代数式的符号．运用数形结合的思想更直观、更简捷．触类旁通2小明从如图的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，观察得出了下面五个结论：①c＜0；②abc＞0；③a－b＋c＞0；④2a－3b＝0；⑤c－4b＞0，你认为其中正确的结论有()A．2个 B．3个C．4个 D．5个考点三、二次函数图象的平移【例3】二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象怎样平移得到y＝－2x2的图象()A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位解析：首先将二次函数的解析式配方化为顶点式，然后确定如何平移，即y＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3，将该函数图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位就得到y＝－2x2的图象．答案：C方法总结二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作．触类旁通3将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是()A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝(x－1)2－2 D．y＝(x＋1)2－2考点四、确定二次函数的解析式【例4】如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0，3)，以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰好经过x轴上A，B两点．(1)求A，B，C三点的坐标；(2)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．解：(1)由抛物线的对称性可知AE＝BE.∴△AOD≌△BEC．∴OA＝EB＝EA．设菱形的边长为2m，在Rt△AOD中，m2＋(3)2＝(2m)2，解得m＝1.∴DC＝2，OA＝1，OB＝3.∴A ，B ，C 三点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(2，3)． (2)解法一：设抛物线的解析式为y ＝a (x －2)2＋3，代入A 的坐标(1,0)，得a ＝－ 3. ∴抛物线的解析式为y ＝－3(x －2)2＋ 3.解法二：设这个抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由已知抛物线经过A (1,0)，B (3,0)，C (2，3)三点，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝3，解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝43，c ＝－3 3.∴抛物线的解析式为y ＝－3x 2＋43x －3 3.方法总结 用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若已知图象上三个点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与x 轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小)值，可设顶点式．触类旁通4 已知抛物线y ＝－12x 2＋(6－m 2)x ＋m －3与x 轴有A ，B 两个交点，且A ，B 两点关于y 轴对称．(1)求m 的值；(2)写出抛物线的关系式及顶点坐标．考点五、二次函数的实际应用【例5】 我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售收益为：每投入x 万元，可获得利润P ＝－1100(x －60)2＋41(万元)．当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的收益为：每投入x 万元，可获利润Q ＝－99100(100－x )2＋2945(100－x )＋160(万元)． (1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少；(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少；(3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？解：(1)当x ＝60时，P 最大且为41万元，故五年获利最大值是41×5＝205(万元)．(2)前两年：0≤x ≤50，此时因为P 随x 的增大而增大，所以x ＝50时，P 值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2＝80(万元)．后三年：设每年获利为y 万元，当地额为x 万元，则外地额为(100－x )万元，所以y ＝P ＋Q ＝⎣⎡⎦⎤－1100(x －60)2＋41＋⎝⎛⎭⎫－99100x 2＋2945x ＋160＝－x 2＋60x ＋165＝－(x －30)2＋1 065，表明x ＝30时，y 最大且为1 065，那么三年获利最大为1 065×3＝3 195(万元)，故五年获利最大值为80＋3 195－50×2＝3 175(万元)．(3)有极大的实施价值．方法总结 运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常见的题目类型，解决这类问题的方法是：1．列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．2．在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值． 触类旁通5一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x 倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x 倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x 倍(本题中0＜x ≤11)．(1)用含x 的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为__________元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为__________元；(2)求今年这种玩具的每件利润y (元)与x 之间的函数关系式；(3)设今年这种玩具的年销售利润为w 万元，求当x 为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润＝(每件玩具的出厂价－每件玩具的成本)×年销售量．[品鉴经典考题]1．(湖南株洲)如图，已知抛物线与x 轴的一个交点为A (1,0)，对称轴是x ＝－1，则抛物线与x 轴的另一个交点坐标是( )A ．(－3,0)B ．(－2,0)C ．x ＝－3D ．x ＝－2 2．(湖南郴州)抛物线y ＝(x －1)2＋2的顶点坐标是( )A ．(－1,2)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(1,2)3. (湖南娄底)已知二次函数y ＝x 2－(m 2－2)x －2m 的图象与x 轴交于点A (x 1,0)和点B (x 2,0)，x 1＜x 2，与y 轴交于点C ，且满足1x 1＋1x 2＝12.(1)求这个二次函数的解析式；(2)探究：在直线y ＝x ＋3上是否存在一点P ，使四边形P ACB 为平行四边形？如果有，求出点P 的坐标；如果没有，请说明理由．4．(湖南长沙)在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y (万件)与销售单价x (元)之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧40－x ，25≤x ≤30，25－0.5x ，30<x ≤35(年获利＝年销售收入－生产成本－成本)．(1)当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？(2)求该公司第一年的年获利W (万元)与销售单价x (元)之间的函数关系式，并说明的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？(3)第二年，该公司决定给希望工程捐款Z 万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款．若除去第一年的最大获利(或最小亏损)以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围．5. (湖南湘潭)如图，抛物线y ＝ax 2－32x －2(a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，已知B 点坐标为(4,0)．(1)求抛物线的解析式；(2)试探究△ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；(3)若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．[研习预测试题]1．抛物线y ＝x 2－6x ＋5的顶点坐标为( )A ．(3，－4)B ．(3,4)C ．(－3，－4)D ．(－3,4)2．由二次函数y ＝2(x －3)2＋1，可知( )A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线x ＝－3C ．其最小值为1D ．当x ＜3时，y 随x 的增大而增大3．已知函数y ＝(k －3)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( )A ．k ＜4B ．k ≤4C ．k ＜4且k ≠3D ．k ≤4且k ≠34．如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( )(第4题图) A ．m ＝n ，k ＞h B ．m ＝n ，k ＜h C ．m ＞n ，k ＝hD ．m ＜n ，k ＝h5．如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A (－1,0)，B (1，－2)，该图象与x 轴的另一交点为C ，则AC 长为__________．(第5题图)6．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …－2－1012…y …04664…从上表可知，下列说法中正确的是__________．(填写序号)①抛物线与x轴的一个交点为(3,0)；②函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线x＝1 2；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．7．抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后的解析式为__________．8．长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.(1)分别求y1和y2的函数解析式；(2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额．9．如图，已知二次函数L1：y＝x2－4x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C．(1)写出二次函数L 1的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)研究二次函数L 2：y ＝kx 2－4kx ＋3k (k ≠0)．①写出二次函数L 2与二次函数L 1有关图象的两条相同的性质；②若直线y ＝8k 与抛物线L 2交于E ，F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由． 参考答案【知识梳理】一、ax 2＋bx ＋c (1)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0) (2)(h ，k )二、小 大三、y 轴 左 右四、形状六、2.横坐标 4.－b a c a导学必备知识自主测试1．C2．D ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0；与y 轴交点在(0,0)与(0,1)之间，∴0＜c ＜1，∴(2)错；∵－b 2a ＞－1，∴b 2a＜1，∵a ＜0，∴2a ＜b ，∴2a －b ＜0； 当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＜0，故选D.3．－3 由题意，得m 2－7＝2且m －3≠0，解得m ＝－3.4．y ＝x 2＋x －2 因为抛物线向下平移2个单位，则y 值在原来的基础上减2，所以新抛物线的表达式是y ＝x 2＋x －2.5．解：(1)由题意，得(1－2)2＋m ＝0，解得m ＝－1，∴y ＝(x －2)2－1.当x ＝0时，y ＝(0－2)2－1＝3，∴C (0,3)．∵点B 与C 关于直线x ＝2对称，∴B (4,3)．于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝k ＋b ，3＝4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1，b ＝－1.∴y ＝x －1.(2)x 的取值范围是1≤x ≤4.探究考点方法触类旁通1.D触类旁通2.C ∵抛物线开口向上，∴a ＞0；∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c ＜0；对称轴在y 轴右侧，a ，b 异号，故b ＜0，∴abc ＞0.由题图知当x ＝－1时，y ＞0，即a －b ＋c ＞0.对称轴是直线x ＝13， ∴－b 2a ＝13，即2a ＋3b ＝0； 由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c >0，2a ＋3b ＝0，得c －52b ＞0. 又∵b ＜0，∴c －4b ＞0.∴正确的结论有4个．触类旁通3.A 因为将二次函数y ＝x 2向右平移1个单位，得y ＝(x －1)2，再向上平移2个单位后，得y ＝(x －1)2＋2，故选A.触类旁通4.解：(1)∵抛物线与x 轴的两个交点关于y 轴对称，∴抛物线的对称轴即为y 轴．∴－6－m 22×⎝⎛⎭⎫－12＝0. ∴m ＝±6.又∵抛物线开口向下，∴m －3＞0，即m ＞3. ∴m ＝6.(2)∵m ＝6，∴抛物线的关系式为y ＝－12x 2＋3，顶点坐标为(0,3)． 触类旁通5.解：(1)(10＋7x ) (12＋6x )(2)y ＝(12＋6x )－(10＋7x )＝2－x .(3)∵w ＝2(1＋x )(2－x )＝－2x 2＋2x ＋4，∴w ＝－2(x －0.5)2＋4.5.∵－2＜0,0＜x ≤11，∴当x ＝0.5时，w 最大＝4.5(万元)．答：当x 为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元． 品鉴经典考题1．A 点A 到对称轴的距离为2，由抛物线的对称性知，另一个交点的横坐标为－3，所以另一个交点坐标为(－3,0)．2．D3．解：(1)由已知得x 1＋x 2＝m 2－2，x 1x 2＝－2m .∵1x 1＋1x 2＝12，即x 1＋x 2x 1x 2＝12， ∴m 2－2－2m ＝12， 解得m ＝1或m ＝－2.当m ＝1时，y ＝x 2＋x －2，得A (－2,0)，B (1,0)；当m ＝－2时，y ＝x 2－2x ＋4，与x 轴无交点，舍去．∴这个二次函数的解析式为y ＝x 2＋x －2.(2)由(1)得A (－2,0)，B (1,0)，C (0，－2)．假设存在一点P ，使四边形P ACB 是平行四边形，则PB ∥AC 且PB ＝AC ，根据平移知识可得P (－1,2)，经验证P (－1,2)在直线y ＝x ＋3上，故在直线y ＝x ＋3上存在一点P (－1,2)，使四边形P ACB 为平行四边形．4．解：(1)当x ＝28时，y ＝40－28＝12.所以，产品的年销售量为12万件．(2)①当25≤x ≤30时，W ＝(40－x )(x －20)－25－100＝－x 2＋60x －925＝－(x －30)2－25，故当x ＝30时，W 最大为－25，即公司最少亏损25万元；②当30＜x ≤35时，W ＝(25－0.5x )(x －20)－25－100＝－12x 2＋35x －625＝－12(x －35)2－12.5，故当x ＝35时，W 最大为－12.5，及公司最少亏损12.5万元，综上所述，的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万元；(3)①当25≤x ≤30时，W ＝(40－x )(x －20－1)－12.5－10＝－x 2＋61x －862.5， 令W ＝67.5，则－x 2＋61x －862.5＝67.5，化简得x 2－61x ＋930＝0，x 1＝30，x 2＝31，此时，当两年的总盈利不低于6.75万元时，x ＝30.②当30＜x ≤35时，W ＝(25－0.5x )(x －20－1)－12.5－10＝－12x 2＋35.5x －547.5， 令W ＝67.5，则－12x 2＋35.5x －547.5＝67.5， 化简得x 2－71x ＋1 230＝0，x 1＝30，x 2＝41，此时，当两年的总盈利不低于67.5万元时，30＜x ≤35.所以，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，此时销售单价的范围是30≤x ≤35.5．解：(1)将点B (4,0)代入y ＝ax 2－32x －2(a ≠0)中，得a ＝12.∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－32x －2. (2)∵当12x 2－32x －2＝0时，解得x 1＝4，x 2＝－1， ∴A 点坐标为(－1,0)，则OA ＝1.∵当x ＝0时，y ＝12x 2－32x －2＝－2，∴C 点坐标为(0，－2)，则OC ＝2.在Rt △AOC 与Rt △COB 中，OA OC ＝OC OB ＝12， ∴Rt △AOC ∽Rt △COB .∴∠ACO ＝∠CBO .∴∠ACB ＝∠ACO ＋∠OCB ＝∠CBO ＋∠OCB ＝90°.∴△ABC 为直角三角形．∴△ABC 的外接圆的圆心为AB 中点，其坐标为⎝⎛⎭⎫32，0.(3)连接OM .设M 点坐标为⎝⎛⎭⎫x ，12x 2－32x －2，则S △MBC ＝S △OBM ＋S △OCM －S △OBC ＝12×4×⎝⎛⎭⎫－12x 2＋32x ＋2＋12×2×x －12×2×4 ＝－(x －2)2＋4.∴当x ＝2时，△MBC 的面积有最大值为4，点M 的坐标为(2，－3)．研习预测试题1．A 2.C3．D 由题意，得22－4(k －3)≥0，且k －3≠0，解得k ≤4且k ≠3，故选D.4．A5．3 ∵把A (－1,0)，B (1，－2)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0，1＋b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2，∴y ＝x 2－x －2，解x 2－x －2＝0得x 1＝－1，x 2＝2， ∴C 点坐标为(2,0)，∴AC ＝3.6．①③④ 由图表可知当x ＝0时，y ＝6；当x ＝1时，y ＝6，∴抛物线的对称轴是直线x ＝12，③正确；∵抛物线与x 轴的一个交点为(－2,0)，对称轴是直线x ＝12，∴抛物线与x 轴的另一个交点为(3,0)，①正确；由图表可知，在对称轴左侧，y 随x 增大而增大，④正确；当x ＝12时，y 取得最大值，②错误． 7．y ＝－x 2－2x 由题中图象可知，对称轴为直线x ＝1，所以－b －2＝1，即b ＝2.把点(3,0)代入y ＝－x 2＋2x ＋c ，得c ＝3.故原图象的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3，即y ＝－(x －1)2＋4，然后向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得y ＝－(x －1＋2)2＋4－3，即y ＝－x 2－2x .8．解：(1)由题意，得5k ＝2，∴k ＝25，∴y 1＝25x ；⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2b ＝2.4，16a ＋4b ＝3.2，∴⎩⎨⎧ a ＝－15，b ＝85，∴y 2＝－15x 2＋85x . (2)设该农户t 万元购Ⅱ型设备，(10－t )万元购Ⅰ型设备，共获补贴Q 万元．∴y 1＝25(10－t )＝4－25t ，y 2＝－15t 2＋85t . ∴Q ＝y 1＋y 2＝4－25t －15t 2＋85t ＝－15t 2＋65t ＋4＝－15(t －3)2＋295.∴当t ＝3时，Q 最大＝295. ∴10－t ＝7.即7万元购Ⅰ型设备，3万元购Ⅱ型设备，能获得最大补贴金额，最大补贴金额为5.8万元．9．解：(1)二次函数L 1的开口向上，对称轴是直线x ＝2，顶点坐标(2，－1)．(2)①二次函数L 2与L 1有关图象的两条相同的性质：对称轴为直线x ＝2或顶点的横坐标为2；都经过A (1,0)，B (3,0)两点．②线段EF 的长度不会发生变化．∵直线y ＝8k 与抛物线L 2交于E ，F 两点，∴kx 2－4kx ＋3k ＝8k ，∵k ≠0，∴x 2－4x ＋3＝8，解得x 1＝－1，x 2＝5.∴EF ＝x 2－x 1＝6，∴线段EF 的长度不会发生变化．。

二次函数及其应用一、学习目标1．掌握二次函数的定义；2．理解并掌握二次函数的图像以及性质；3．会利用二次函数的性质解决实际问题．二、典型例题题型一、二次函数的概念例题1．下列函数中，y关于x的二次函数是（）A．y＝ax2＋bx＋c B．y＝1x2＋1C．y＝x(x＋1) D．y＝(x＋2)2－x2【题小结】用二次函数的概念进行判断借题发挥：若y＝(k－1)x k2+1是二次函数，则k＝．题型二、二次函数的图像与性质例题2．关于抛物线y＝3(x－1)2＋2，下列说法错误的是（）A．开口方向向上B．对称轴是直线x＝1C．顶点坐标为（1，2）D．当x＞1时，y随x的增大而减小例题3．已知二次函数y＝2x2－8x＋c的图象过点A（－2，y1），B（－1，y2），C（8，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＞y1＞y2B．y1＞y2＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y2＞y1【题小结】用二次函数的图像与性质解决借题发挥：1．当x≥2时，二次函数y＝x2－2x－3有（）A．最大值－3 B．最小值－3 C．最大值－4 D．最小值－42．二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图，图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①a －b＋c＝0；②2a＋b＝0；③4ac－b2＞0；④a＋b≥am2＋bm（m为实数）．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个题型三、用待定系数法求二次函数例题5．如图，已知点A的坐标是（1，3），将线段OA绕点O逆时针旋转90°得到OB．（1）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（2）若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N，当线段MN的长度取最大值时，求点M的坐标．借题发挥：已知二次函数的图象如图所示：（1）求这个二次函数的表达式；（2）观察图象，当－3＜x＜0时，y的取值范围为；（3）将该二次函数图象沿x轴翻折后得到新图象，新图象的函数表达式为．题型四、二次函数与方程、不等式例题6．已知二次函数y＝x2－6x－9k的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为．例题7．如表是二次函数y＝ax2＋bx＋c的几组对应值：（）A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20例题8．如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A（－2，－3），B（3，q）两点，则不等式ax2－mx＋c＜n的解集是．【题小结】二次函数的图像与x轴交点坐标，一元二次方程、不等式等问题的联系．。

中考复习二次函数知识点总结二次函数是中考数学中的重要知识点之一、下面我将从函数的定义、图像特征、解析式以及一些常见题型进行总结，希望对中考复习有所帮助。

一、函数的定义：函数是数学中最基本的概念之一，它是描述两个集合之间对应关系的规则。

在二次函数中，我们通常用y来表示函数的值，用x表示自变量。

二、图像特征：1.开口方向：二次函数的图像在x轴上开口的方向可以通过二次项的系数（即a的正负性）来判断。

当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。

2.对称轴：二次函数的图像总是关于一个垂直于x轴的直线对称。

这条直线称为二次函数的对称轴，它的方程为x=-b/(2a)。

3.顶点坐标：对称轴与二次函数图像的交点称为顶点，它的坐标为：(-b/(2a),f(-b/(2a)))4.单调性：当a>0时，二次函数图像在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增；当a<0时，二次函数图像在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减。

注意：二次函数的图像开口向上时，在对称轴上有一个最小值，反之开口向下时，在对称轴上有一个最大值。

三、解析式：一般情况下，二次函数的解析式可以写成：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

特殊情况下，二次函数的解析式还有以下两种形式：1.完全平方式：y=a(x-p)^2+q，其中p、q为常数。

此时，二次函数的对称轴的方程为x=p，顶点的坐标为(p,q)。

2.二次项因式可能性：y=a(x-h)(x-k)，其中h、k为常数。

此时，二次函数的对称轴的方程为x=(h+k)/2，顶点的坐标为((h+k)/2,a(h+k)/4)。

四、常见题型：1.求顶点坐标：根据二次函数的解析式，可以直接读出顶点的坐标。

2.求对称轴方程：根据二次函数的解析式，可以直接读出对称轴的方程。

3.求图像开口方向：判断二次项的系数a的正负性即可。

4.求单调性：根据图像特征可以判断。

5. 求零点：令y=0，解方程ax^2+bx+c=0即可。

扬州市2024年初中毕业升学考试数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共6页，包含选择题（第1题~第8题，共8题）、非选择题（第9题~第28题，共20题）两部分．本卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置，在试卷第一面的右下角填写好座位号．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，必须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.实数2的倒数是（）A.2- B.2C.12-D.122.“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称之美随处可见．下列选项分别是扬州大学、扬州中国大运河博物馆、扬州五亭桥、扬州志愿服务的标识．其中的轴对称图形是（）A.B.C.D.3.下列运算中正确的是（）A.222()a b a b -=-B.523a a a -=C.()235a a = D.236326a a a ⋅=4.第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校积极响应，开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表：视力 4.34.44.54.64.74.84.95.0人数7447111053这45名同学视力检查数据的众数是（）A.4.6B.4.7C.4.8D.4.95.在平面直角坐标系中，点()1,2P 关于原点的对称点P'的坐标是()A.()1,2 B.()1,2- C.()1,2- D.()1,2--6.如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（）A.三棱锥B.圆锥C.三棱柱D.长方体7.在平面直角坐标系中，函数42=+y x 的图像与坐标轴的交点个数是（）A.0B.1C.2D.48.1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（）A.676B.674C.1348D.1350二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.近年来扬州经济稳步发展：2024年4月26日，扬州市统计局、国家统计局扬州调查队联合发布一季度全市实现地区生产总值约18700000万元，把18700000这个数用科学记数法表示为____．10.分解因式：2242a a -+=_____．11.某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：累计抛掷次数501002003005001000200030005000盖面朝上次数2854106158264527105615872650盖面朝上频率0.56000.54000.53000.52670.52800.52700.52800.52900.530随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于__________（精确到0.01）．12.有意义，则x 的取值范围是___．13.若用半径为10cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____cm ．14.如图，已知一次函数(0)y kx b k =+≠的图象分别与x 、y 轴交于A 、B 两点，若2OA =，1OB =，则关于x 的方程0kx b +=的解为_____．15.《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走100米，速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要____分钟．16.物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB 经小孔O 在屏幕（竖直放置）上成像A B ''．设36cm AB =，24cm A B ''=．小孔O 到AB 的距离为30cm ，则小孔O 到A B ''的距离为_____cm ．17.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0)，点B 在反比例函数(0)ky x x=>的图像上，BC x ⊥轴于点C ，30BAC ∠=︒，将ABC 沿AB 翻折，若点C 的对应点D 落在该反比例函数的图像上，则k 的值为_____．18.如图，已知两条平行线1l 、2l ，点A 是1l 上的定点，2AB l ⊥于点B ，点C 、D 分别是1l 、2l 上的动点，且满足AC BD =，连接CD 交线段AB 于点E ，BH CD ⊥于点H ，则当BAH ∠最大时，sin BAH ∠的值为_____．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.（1）计算：0|3|2sin 302)π-+︒--；（2）化简：2(2)1x x x -÷-+．20.解不等式组260412x x x -≤⎧⎪⎨-<⎪⎩，并求出它的所有整数解的和．21.2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：成绩统计表组别成绩x （分）百分比A 组60x <5%B 组6070x ≤<15%C 组7080x ≤<aD 组8090x ≤<35%E 组90100x ≤≤25%成绩条形统计图根据所给信息，解答下列问题：（1）本次调查的成绩统计表中=a ________%，并补全条形统计图；（2）这200名学生成绩的中位数会落在________组（填A 、B 、C 、D 或E ）；（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．22.2024年“五一”假期，扬州各旅游景区持续火热．小明和小亮准备到东关街、瘦西湖、运河三湾风景区、个园、何园（分别记作A 、B 、C 、D 、E ）参加公益讲解活动．（1）若小明在这5个景区中随机选择1个景区，则选中东关街的概率是______；（2）小明和小亮在C 、D 、E 三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同景区的概率．23.为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A 、B 两种机器，A 型机器比B 型机器每天多处理40吨垃圾，A 型机器处理500吨垃圾所用天数与B 型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B 型机器每天处理多少吨垃圾？24.如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABCD ．（1）试判断四边形ABCD 的形状，并说明理由；（2）已知矩形纸条宽度为2cm ，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形ABCD 的面积为28cm ，求此时直线AD CD 、所夹锐角1∠的度数．25.如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图像与x 轴交于(2,0)A -，(1,0)B 两点．（1）求b c 、的值；（2）若点P 在该二次函数的图像上，且PAB 的面积为6，求点P 的坐标．26.如图，已知PAQ ∠及AP 边上一点C ．（1）用无刻度直尺和圆规在射线AQ 上求作点O ，使得2COQ CAQ ∠=∠；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，以点O 为圆心，以OA 为半径的圆交射线AQ 于点B ，用无刻度直尺和圆规在射线CP 上求作点M ，使点M 到点C 的距离与点M 到射线AQ 的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）（3）在（1）、（2）的条件下，若3sin 5A =，12CM =，求BM 的长．27.如图，点A B M E F 、、、、依次在直线l 上，点A B 、固定不动，且2AB =，分别以AB EF 、为边在直线l 同侧作正方形ABCD 、正方形EFGH ，90PMN ∠=︒，直角边MP 恒过点C ，直角边MN 恒过点H ．（1）如图1，若10BE =，12EF =，求点M 与点B 之间的距离；（2）如图1，若10BE =，当点M 在点B E 、之间运动时，求HE 的最大值；（3）如图2，若22BF =，当点E 在点B F 、之间运动时，点M 随之运动，连接CH ，点O 是CH 的中点，连接HB MO 、，则2OM HB +的最小值为_______．28.在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．如图，已知ABC ，CA CB =，O 是ABC 的外接圆，点D 在 O 上（AD BD >），连接AD 、BD 、CD ．【特殊化感知】（1）如图1，若60ACB ∠=︒，点D 在AO 延长线上，则AD BD -与CD 的数量关系为________；【一般化探究】（2）如图2，若60ACB ∠=︒，点C 、D 在AB 同侧，判断AD BD -与CD 的数量关系并说明理由；【拓展性延伸】（3）若ACB α∠=，直接写出AD 、BD 、CD 满足的数量关系．（用含α的式子表示）参考答案一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.【答案】D 【解析】解：∵1212⨯=，∴2的倒数为12，故选：D ．2.【答案】C【解析】解：A ，B ，D 选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C 选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：C ．3.【答案】B【解析】解：A 、()2222a b a ab b -=-+，原选项错误，不符合题意；B 、523a a a -=，正确，符合题意；C 、()236a a =，原选项错误，不符合题意；D 、2353·26a a a =，原选项错误，不符合题意；故选：B ．4.【答案】B【解析】解：这45名同学视力检查数据中，4.7出现的次数最多，因此众数是4.7．故选：B ．5.【答案】D【解析】∵点()1,2P 关于原点的对称点为P'，∴P'的坐标为（-1，-2），故选D ．6.【答案】C【解析】解：根据图示，上下是两个三角形，中间是长方形，∴三棱柱，故选：C ．7.【答案】B【解析】当0x =时，422y ==，∴42=+y x 与y 轴的交点为()0,2；由于42x +是分式，且当2x ≠-时，402x ≠+，即0y ≠，∴42=+y x 与x 轴没有交点．∴函数42=+y x 的图像与坐标轴的交点个数是1个，故选：B ．8.【答案】D【解析】这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数．由于202436742÷= ，即前2024个数共有674组，且余2个数，∴奇数有674221350⨯+=个．故选：D二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.【答案】71.8710⨯【解析】718700000 1.8710=⨯，故答案为：71.8710⨯．10.【答案】()221a -【解析】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：原式()()2222121a a a =-+=-，故答案为：()221a -．11.【答案】0.53【解析】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故答案为：0.5312.【答案】2x ≥【解析】解：根据题意，使二次根式有意义，即x ﹣2≥0，解得：x ≥2．故答案为：x ≥2．13.【答案】5【解析】解：圆锥的侧面展开图的弧长为210210(cm)ππ⨯÷=，∴圆锥的底面半径为1025(cm)ππ÷=，故答案为：5．14.【答案】2x =-【解析】解：∵2OA =，∴(2,0)A -，∵一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点(2,0)A -，∴当0y =时，2x =-，即0kx b +=时，2x =-，∴关于x 的方程0kx b +=的解是2x =-．故答案为：2x =-．15.【答案】2.5【解析】解：根据题意，设t 分钟追上，∴10060100t t +=，解得， 2.5t =，∴速度快的人追上速度慢的人需要2.5分钟，故答案为：2.5．16.【答案】20【解析】由题意得：AB A B ''∥，∴AOB A OB ''∽△△，如图，过O 作OC AB ⊥于点C ，CO 交A B ''于点C '，∴OC A B '''⊥，30cm OC =，∴A B OC AB OC '''=，即243630OC '=，∴20OC '=（cm ），即小孔O 到A B ''的距离为20cm ，故答案为：20．17.【答案】23【解析】解：如图，过点D 作DE x ⊥轴于点E ．∵点A 的坐标为(1,0)，∴1OA =，∵30BAC ∠=︒，BC x ⊥，设BC a =，则3AD AC a ==，由对称可知AC AD =，30DAB BAC ∠=∠=︒，∴60,30DAC ADE ︒∠=︒∠=，∴32AE a =，32DE a =，∴33(13,),1,22B a a D a ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，∵点B 的对应点D 落在该反比例函数的图像上，∴()3313122k a a a ⎛⎫=+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得：233a =，∵反比例函数图象在第一象限，∴k =，故答案为：18.【答案】13【解析】解：∵两条平行线1l 、2l ，点A 是1l 上的定点，2AB l ⊥于点B ，∴点B 为定点，AB 的长度为定值，∵12l l ∥，∴ACE BDE ∠=∠，CAE DBE =∠∠，∵AC BD =，∴()ASA ACE BDE ≌，∴12BE AE AB ==，∵BH CD ⊥，∴90BHE ∠=︒，∴点H 在以BE 为直径的圆上运动，如图，取线段BE 的中点O ，以点O 为圆心，OB 为半径画圆，则点H 在O 上运动，∴当AH 与O 相切时BAH ∠最大，∴OH AH ⊥，∵2AE OB OE ==，∴3AO AE OE OE =+=，∵OH OE =，∴3sin 13OH OE AO O BAH E ==∠=，故答案为：13．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.【答案】（1）3π-；（2）11x +【解析】解：（1）0|3|2sin 302)π-+︒--13212=π-+⨯-311=π-+-3π=-；（2）2(2)1x x x -÷-+2112x x x -=⋅+-11x =+．20.【答案】132x <≤，整数和为6【解析】解：260412x x x -≤⎧⎪⎨-<⎪⎩①②，由①得，26x ≤，解得，3x ≤；由②得，241x x <-，移项得，241x x -<-，解得，12x >，∴原不等式组的解为：132x <≤，∴所有整数解为：1,2,3，∴所有整数解的和为：1236++=．21.【答案】（1）20，条形统计图见详解（2）D（3）300人【解析】【小问1详解】5153522105%%%%%a -=---=，C 组人数为：20020%40⨯=，补全条形统计图如图所示：故答案为：20【小问2详解】55124005%%%%%+=<+，51532075505%%%%++=>+，∴200名学生成绩的中位数会落在D组．【小问3详解】120025%300⨯=（人）估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人．22.【答案】（1）1 5（2）1 3【解析】【小问1详解】解：由题意得从这些景区随机选择1个景区，选中东关街的有1种可能，∴选中东关街的概率是1 5，故案䅁为：1 5；【小问2详解】列表如下：小亮小明C D EC CC CD CED DC DD DEE EC ED EE 共有9种等可能结果，其中小明和小亮选到相同景区的结果有3种结果，∴小明和小亮选到相同景区的概率：3193P ==；答：小明和小亮选到相同景区的概率13．23.【答案】B 型机器每天处理60吨【解析】解：设B 型机器每天处理x 吨垃圾，则A 型机器每天处理(40)x +吨垃圾，根据题意，得50030040x x =+，解得60x =．经检验，60x =是所列方程的解．答：B 型机器每天处理60吨．24.【答案】（1）四边形ABCD 是菱形，理由见详解（2）130∠=︒【解析】【小问1详解】解：四边形ABCD 是菱形，理由如下，如图所示，过点A 作AT NP ⊥于点T ，过点C 作CU EH ⊥于点U ，根据题意，四边形EFGH ，四边形MNPQ 是矩形，∴EH FG MQ NP ，，∴AB DC AD BC ，，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵宽度相等，即AT CU =，且90ATB CUB ABT CBU ∠=∠=︒∠=∠，，∴()ATB CUB AAS ≌，∴AB CB =，∴平行四边形ABCD 是菱形；【小问2详解】解：如图所示，过点A 作AR CD ⊥于点R ，根据题意，2AR cm =，∵·8ABCD S CD AR ==四边形，∴4CD =，由（1）可得四边形ABCD 是菱形，∴4AD =，在Rt ATD 中，12AR AD =，∴130∠=︒．25.【答案】（1）12b c =-=，（2）122434()()P P ---，，，【解析】【小问1详解】解：二次函数2y x bx c =-++的图像与x 轴交于(2,0)A -，(1,0)B 两点，∴42010b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得，12b c =-⎧⎨=⎩，∴12b c =-=，；【小问2详解】解：由（1）可知二次函数解析式为：22y x x =--+，(2,0)A -，(1,0)B ，∴1(2)3AB =--=，设(),P m n ，∴1·62PAB S AB n == ，∴4n =，∴4n =±，∴当224x x --+=时，1870∆=-=-<，无解，不符合题意，舍去；当224x x --+=-时，13x =-，22x =；∴122434()()P P ---，，，．26.【答案】（1）作图见详解（2）作图见详解（3）BM =【解析】【小问1详解】解：如图所示，∴2COQ CAQ ∠=∠；点O 即为所求【小问2详解】解：如图所示，连接BC ，以点B 为圆心，以BC 为半径画弧交AQ 于点1B ，以点1B 为圆心，以任意长为半径画弧交AQ 于点11C D ，，分别以点11C D ，为圆心，以大于1112C D 为半径画弧，交于点1F ，连接11B F 并延长交AP 于点M ，∵AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，即BC AP ⊥，根据作图可得11111111B C B D C F D F ==，，∴1MB AQ ⊥，即190MB B ∠=︒，1MB 是点M 到AQ 的距离，∵1BC BB =，∴()1Rt BCM Rt BB M HL ≌，∴1CM B M =，点M 即为所求点的位置；【小问3详解】解：如图所示，根据作图可得，212COQ CAQ MC MW MC AQ ∠=∠==⊥，，，连接BC ，∴在Rt AMW 中，3sin 5WM A AM ==，∴55122033WM AM ⨯===，∴20128AC AM CM =-=-=，∵AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，∴3sin 5BC A AB ==，设3BC x =，则5AB x =，∴在Rt ABC 中，()()222538x x =+，解得，2x =（负值舍去），∴36BC x ==，在Rt BCM 中，BM ===．27.【答案】（1）4或6；（2）12.5；（3）．【解析】【小问1详解】解：设BM x =，则10ME x =-，∵四边形ABCD 、EFGH 是正方形，∴90ABC CBM ∠=∠=︒，90HEF MEH ∠=∠=︒，2AB BC ==，∴90CBM MEH ∠=∠=︒，90BCM CMB ∠+∠=︒，∵90PMN ∠=︒，∴90EMH CMB ∠+∠=︒，∴BCM EMH ∠=∠,∴BCM EMH ∽，∴BC BM EM EH =，即21012x x =-，则210240x x -+=，解得：6x =或4x =，∴6BM =或4BM =；【小问2详解】设BM x =，则10ME x =-，∵四边形ABCD 、EFGH 是正方形，∴90ABC CBM ∠=∠=︒，90HEF MEH ∠=∠=︒，2AB BC ==，∴90CBM MEH ∠=∠=︒，90BCM CMB ∠+∠=︒，∵90PMN ∠=︒，∴90EMH CMB ∠+∠=︒，∴BCM EMH ∠=∠，∴BCM EMH ∽，∴BC BM EM EH =，即210x x HE =-，∴()22115512.522HE x x x =-+=--+，当5BM =时，HE 有最大，最大值为12.5；【小问3详解】连接FH ，∵四边形EFGH 是正方形，∴45HFE ∠=︒，即点H 在对角线FH 所在直线上运动，如图，作B 关于FH 的对称点B '，连接B C '，过C 作CQ FG ⊥于点Q ，∴'BF B F =，四边形BFQC 为矩形，则点'B G Q 、、三点共线，2BC FQ ==，22CQ BF ==∴'22B F FB ==，∴''20B Q B F FQ =-=，∵90CMH ∠= ，点O 是CH 的中点，∴12OM CH =，∴2OM HB CH HB +=+，∴当C H B '、、三点共线时，CH HB +有最小值B C '，∴在Rt 'CB Q 中，由勾股定理得：B C '====∴2OM HB +的最小值为，故答案为：28.【答案】（1）AD BD CD -=；（2）AD BD CD -=（3）当D 在 BC 上时，2sin 2CD AD BD α⋅=-；当D 在 AB 上时，2sin 2CD AD BD α⋅=+【解析】解：∵CA CB =，60ACB ∠=︒，∴ABC 是等边三角形，则60CAB ∠=︒∵O 是ABC 的外接圆，∴AD 是BAC ∠的角平分线，则30DAB ∠=︒∴AD BC⊥∵四边形ACDB 是圆内接四边形，∴120CDB ∠=︒∴30DCB DBC ∠=∠=︒设,AD BC 交于点E ，则BE CE =，设1BD =，则1CD BD ==在Rt BDE △中，∴33cos3022BE BD BD =︒⋅==∴3BC =，∵AD 是直径，则90ABD Ð=°，在Rt △ABD 中，2AD BD =2=∴211AD BD -=-=∴AD BD CD-=（2）如图所示，在AD 上截取DF BD =，∵ AB AB=∴60ADB ACB ∠=∠=︒∴DBF 是等边三角形，∴BF BD =，则60BFD ∠=︒∴120AFB ∠=︒∵四边形ACDB 是圆内接四边形，∴120CDB ∠=︒∴AFB CDB ∠=∠；∵CA CB =，60ACB ∠=︒，∴ABC 是等边三角形，则60CAB ∠=︒∴AB BC =，又∵ BDBD =∴BCD BAF=∠∠在,AFB CDB 中AFB CDB BAF BCD AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS AFB CDB ≌∴AF CD =，∴AD BD AD DF AF CD -=-==即AD BD CD -=；（3）解：①如图所示，当D 在 BC上时，在AD 上截取DE BD =，∵ AB AB=∴ACB ADBÐ=Ð又∵,CA CB DE DB==∴CAB DEB ∽，则ABC EBD ∠=∠∴AB BC EB BD =即AB EB BC BD=又∵ABC EBD∠=∠∴ABE CBD∠=∠∴ABE CBDV V ∽∴AE AB BE CD BC BD==∵AE AD DE AD BD=-=-∴AD BD AB CD BC-=如图所示，作CF AB ⊥于点F ，在Rt BCF 中，1122BCF BAC α∠=∠=，∴sin 2BC BF α⋅=∴2sin 2AB BC α=⋅∴2sin 2AD BD CD α-=，即2sin 2CD AD BD α⋅=-②当D 在 AB 上时，如图所示，延长BD 至G ，使得DG DA =，连接AG ，∵四边形ACDB 是圆内接四边形，∴180GAD ACB ADB ∠=∠=︒-∠又∵,CA CB DG DA==∴CAB DAG ∽，则CAB DAG ∠=∠∴AC AB AD AG =即AC AD AB AG=，又∵CAB DAG∠=∠∴CAD BAG∠=∠∴CAD BAG∽∴CD AC BG AB=，∵BG BD DG BD AD=+=+同①可得2sin2AB AC α=⋅∴2sin 2CD AC AC BD AD AB AC α==+⋅∴2sin 2CD AD BD α⋅=+综上所述，当D 在 BC 上时，2sin 2CD AD BD α⋅=-；当D 在 AB 上时，2sin 2CD AD BD α⋅=+．。

2023年江苏省扬州市中考数学试卷原卷 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．已知二次函数223y ax x =-+的图象如图所示，则一次函数3y x =+的图象不经过（ ）A ．第一象限B ． 第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．用反证法证明“△ABC 中，若∠A>∠B>∠C ，则∠A>60°”，第一步应假设（ ）A ．∠A=60°B ．∠A<60°C ．∠A ≠60°D ．∠A ≤60° 3．已知O 为□ABCD 对角线的交点，且△AOB 的周长比△BOC 的周长多23，则CD-AD•的值为（ ）A ．23B ．32C ．2D ．34．如果3x y =，那么分式222xy x y +的值为（ ） A ． 35 B ．53 C ．6 D ． 不能确定5．一根绳子弯曲成如图2（1）所示的形状. 当用剪刀像图 2（2）那样沿虚线a 把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图2（3）那样沿虚线b （b ∥a ）把绳子再剪一次时，绳子就被剪为 9段. 若用剪刀在虚线a 、b 之间把绳子再剪（1n -）次（剪刀的方向与a 平行），这时绳子的段数是（ ）A ．41n +B ． 42n +C ．43n +D ．45n +6．某天股票A 开盘价 19 元，上午 11：30 跌1. 5 元，下午收盘时又涨了 0. 5 元，则投票A 这天收盘价为（ ）A ．0.3 元B ．l6.2 元C ．16.8 元D ．18 元二、填空题7．如图是某个立体图形的三视图，则该立体图形的名称是 _ __．8．我们可以用下面的方法测出月球与地球的距离：在月圆时，把一个五分的硬币 (直径约为2.4 cm)，放在离眼睛0约 2.6 m 的AB 处 (如图)，正好把月亮遮住，已知月球的直径约为 3500 km ，那么月球与地球的距离约为 km ．(保留两个有效数字). 9．抛物线23y x =-的开口向 ，除了它的顶点，抛物线上的点都在x 轴的 下方，它的顶点是图象的最 高点.10．如图，F 、G 、D 、E 分别为AD 、AE 、AB 、AC 的中点，△AGF 的周长是10，则△ABC 的周长是_______．11．在平行四边形ABCD 中，∠A ：∠B=4：5，则∠A= ，∠B= ，∠C= ，∠D= ．12．如果2(7)|3|0a b -+-=，那么以a ，b 为边长的等腰三角形的周长为 .13．定义运算“@”的运算法则为: x @y = 4xy + ，则 (2@6)@8= ．14．如图，∠BCA = ∠E = 90°，BC= E ，要利用“HL ”来说明 Rt △ABC ≌Rt △ADE ，则还需要补充条件 .15．如图，∠1=75°，∠2 =75°，∠3 = 105°，那么∠4 = ,可推出的平行关系有 .16．如果4x 2＋mx ＋25是一个完全平方式，则实数m 的值是__________．17．如图，当半径为30 cm 的转动轮转过l80°角时，传送带上的物体A 平移的距离为 cm ．18．如图．方格纸中的三角形要由位置①平移到位置②，应该先向 平移格，再向 平移 ．19．已知 x= 2007，则22231()(2)122x x x --+-+= ．20．71()4-的底数是 ，指数是 ，表示的意义是 ．21．某研究性学习小组，为了了解本校八年级学生一天中做家庭作业所用的大致时间(时间以整数记，单位：min)，对本校的八年级学生做了抽样调查，并把调查得到的所有数据(时间)进行整理，分成五个时间段，绘制成统计图(如图所示)．请结合统计图中提供的信息，回答下列问题：(1)这个研究性学习小组所抽取样本的容量是 人．(2)在被调查的学生中，一天做家庭作业所用的大致时问超过l20 min(不包括120 min)的人数占被调查学生总人数的 ％．(3)这次调查得到的所有数据的中位数落在了五个时间段中 min 内．三、解答题22．某广告公司设计一幅周长为12m 的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形－边长为x （m) ，面积为S(m 2）.请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．23．某超市销售一种商品，每件商品的成本是20元．经统计销售情况发现，当这种商品的单价定为40元时，每天售出200件．在此基础上，假设这种商品的单价每降低1元，每天就会多售出20件．(1）用代数式表示，这种商品的单价为x 元（x<40）时，销售1件该商品的利润和每天销售该商品的数量；(2）当商品单价定为多少时，该超市每天销售这种商品获得的利润为4500元．24．说出下列命题的题设和结论，并指出它是真命题还是假命题：(1)系数相同的单项式是同类项；(2)有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等；(3)同旁内角相等．25．已知函数y=(2m-1)x-2+m．(1)若函数图象经过原点，求m的值；(2)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围．26．如果将直角三角形的三条边长同时扩大一倍，得到三角形还是直角三角形吗?扩大n倍呢(n为正整数)?27．如图，已知 AC=CE，∠1=∠2=∠3.(1)说明∠B=∠D的理由；(2)说明AB=DE的理由.28．如图，AB⊥BD于B，DE⊥BD于D，已知AB＝CD，BC＝ED,求∠ACE的度数．29．如下表，“谢氏三角”是波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915年～l916年期间提出的，它的作法是：第一步：取一个等边三角形(记为P1)，连结各边的中点，得到完全相同的小正三角形，挖掉中间的一个；第二步：将剩下的三个小正三角形(记为P2)，按上述办法各自取中点，各自分成4个小三角形，去掉各自中间的一个小正三角形；依次类推，不断划分出小的正三角形，同时去掉中间的一个小正三角形．试求P4的“黑”三角形的个数，“黑”三角形的总边数，边长，周长和面积，并将结果填入下表中．30．某商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为l度，而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10％，但是每日耗电量为0．55度，现将A型冰箱打折出售，问商场至少打几折，消费者购买才合算?(按使用期为10年，每年365天，每度电0．40元计算)【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．C2．D3．A4．A5．D6．D二、填空题7．三棱柱8．3. 8×lO59．下，下，高10．4011．80°，l00°，80°，l00°12．1713．614．AB=AD15．105°；1l ∥2l 、3l ∥4l16．20± 17．30π18．右，2，上，319．120．14-，7，7 个(14-)相乘 21．(1)30；(2)70％；(3)120．5～150．5三、解答题22．S ＝－x 2＋6x ，边长为3m 的正方形面积最大，最大面积为9m 2，最多设计费为9000元． 23．（1）x －20；200＋（40－x ）×20；（2）（x －20）（1000－20x ）＝4500，x ＝35． 24．(1)题设：单项式的系数相同；结论：它们是同类项，是假命题；(2)题设：两个三角形的两个角和一条边对应相等；结论：这两个三角形全等，是假命题；(3)题设：两个角是同旁内角；结论：这两个角相等，是假命题25．(1)m=2；(2)m<1226．均是直角三角形27．略28．△ABC ≌△CDE （SAS ），则∠ACB=∠E ，由于∠ACB+∠ACE =∠E+∠D, 则∠ACE=∠D=90°．29．27,81，118a ，1818a ，12764S 30．8折。

第 39 课时二次函数姓名学号班级学习目标1.联合图像，解决与二次函数相关的选择、填空压轴题，领会形的直观性 ;2.计算说理，解决含参型二次函数解答压轴题，领会变化中的不变量.重难点：计算等可能条件下简单事件发生的概率，能运用概率解决一些实际问题．学习过程例 1．（扬州中考题）如图，已知函数y 3与 y ax2bx a0，b0 的图像x交于点 P ，点 P 的纵坐标为1，则对于x的方程ax2bx30的解为xy_____________．P1O x变式：如图，已知函数 y ax2bx c a 0 与 y k x 0 的图像交于点P，x点 P 的横坐标为1，则对于x的方程ax3bx2cx k0 的正数根是yP____________．拓展：方程x3＋ 2x2－6＝0 的正数根的取值范围是（）A．0＜x＜1 B ．1＜x＜2 C ．2＜x＜3D．3＜x＜4例 2. 如图 1，已知二次函数＝－ － 2＋（ ＞ ）的图像与 轴交于 、 y( x m)4m 2m 0x A B两点（ A 在 B 的左边），与 y 轴交于点 C ，极点为 D ，连结 CA 、CB 、CD 、B D.（1）请直接写出点 A 、B 、C 、D 的坐标（用含有 m 的代数式表示） ;y DCA OB x图 1（ 2）无论 m 取何值，△ BCD 与△ ABC 的面积之比能否总为定值？假如，恳求出此定值 ; 若不是，请说明原因 ;（3）如图 2，若 m ＝1，点 P 为该二次函数图像上的一点，过点P 作 BC 的平行线（或重合），交 x 轴于点 Q . 当点 P 从点 C 沿抛物线向右运动到点 By时， 求点 Q 运动的路径长 .CPA OB Q x图 2yCP三、课后稳固1.（扬州中考题）如图，抛物线 y ax 2 bx c(a 0) 的对称轴是过点（1，0）且平行于 y 轴的直线，若点 P（4，0）在该抛物线上，则4a－2b＋c 的值为．yO P x2. 如图，已知二次函数22x 轴交于、两点y＝－ (x－ m)＋4m（ m＞0）的图像与A B（A在 B 的左边），与 y 轴交于点 C，极点为 D，连结 CA、CB、CD、B D.（1）求证：无论m取何值，∠BCD＝2∠ABC一直建立 ;yDCA OB x（2）若CB均分∠ACD，求m的值 .yDCA OB x备用图。

扬州市2023年初中毕业、升学统一考试数学试题说明：1．本试卷共6页，包含选择题（第1题~第8题，共8题）、非选择题（第9题~第28题，共20题）两部分．本卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上，同时务必在试卷的装订线内将本人的姓名、准考证号、毕业学校填写好，在试卷第一面的右下角写好座位号．3．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B 铅笔作答，非选择题在指定位置用0.5毫米的黑色笔作答．在试卷或草稿纸上答题无效．4．如有作图需要，请用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.3-的绝对值是（）A.3B.3- C.13D.3±2.若23( )22a b a b ⋅=，则括号内应填的单项式是()A.aB.2aC.abD.2ab3.空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．要反映上述信息，宜采用的统计图是()A.条形统计图B.折线统计图C.扇形统计图D.频数分布直方图4.下列图形中是棱锥的侧面展开图的是（）A. B. C. D.5.已知2a b c ===，，则a 、b 、c 的大小关系是()A.b a c >>B.a c b>> C.a b c>> D.b c a>>6.函数21y x =的大致图像是()A. B. C. D.7.在ABC 中，=60B ∠︒，4AB =，若ABC 是锐角三角形，则满足条件的BC 长可以是()A.1B.2C.6D.88.已知二次函数2122y ax x =-+（a 为常数，且0a >），下列结论：①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当0x <时，y 随x 的增大而减小；④当0x >时，y 随x 的增大而增大．其中所有正确结论的序号是()A.①②B.②③C.②D.③④二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.扬州市大力推进城市绿化发展，2022年新增城市绿地面积约2345000平方米，数据2345000用科学记数法表示为________．10.分解因式：24xy x -=__________．11.如果一个多边形每一个外角都是60︒，那么这个多边形的边数为________．12.某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：每批粒数n 2510501005001000150020003000发芽的频数m 2494492463928139618662794发芽的频率mn（精确到0.001）1.0000.800.9000.8800.9200.9260.9280.9310.9330.931这种绿豆发芽的概率的估计值为________（精确到0.01）．13.关于x 的一元二次方程x 2+2x +k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______．14.用半径为24cm ，面积为2120πcm 的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为________cm ．15.某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强()Pa p 是气球体积()3m V 的反比例函数，且当33m V =时，8000Pa p =．当气球内的气体压强大于40000Pa 时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于________3m ．16.我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a 、b ，斜边长为c ，若420b a c -==，，则每个直角三角形的面积为________．17.如图，ABC 中，90,8,15A AB AC ∠=︒==，以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA BC 、于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AC 于点D ，则线段AD 的长为________．18.如图，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 、F 分别在边AD BC 、上，将正方形沿着EF 翻折，点B 恰好落在CD 边上的点B '处，如果四边形ABFE 与四边形EFCD 的面积比为3∶5，那么线段FC 的长为________．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.计算：（1）(02312tan60-︒；（2）()a bb a a b-÷-+．20.解不等式组()2113,11,3x x x ⎧-+>-⎪⎨+-≤⎪⎩并把它的解集在数轴上表示出来．21.某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息：平均数众数中位数七年级参赛学生成绩85.5m 87八年级参赛学生成绩85.585n根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m =________，n =________；（2）七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为21S 、22S ，请判断21S ___________22S （填“>”“<”或“=”）；（3）从平均数和中位数的角度分析哪个年级参赛学生的成绩较好．22.扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从A ，B ，C 三个景点中随机选择一个景点游览．（1）甲选择A 景点的概率为________；（2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择C 景点的概率．23.甲、乙两名学生到离校2.4km 的“人民公园”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的4倍，甲出发30min 后乙同学出发，两名同学同时到达，求乙同学骑自行车的速度．24.如图，点E 、F 、G 、H 分别是ABCD Y 各边的中点，连接AF CE 、相交于点M ，连接AG CH 、相交于点N ．（1）求证：四边形AMCN 是平行四边形；（2）若AMCN 的面积为4，求ABCD Y 的面积．25.如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 是AB 上一点，且12BCD A ∠=∠，点O 在BC 上，以点O 为圆心的圆经过C 、D 两点．（1）试判断直线AB 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若3sin ,5B O =的半径为3，求AC 的长．26.近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？27.【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30︒的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作ADB 和,90,30A D C ADB A D C B C ∠=∠=︒∠''''=∠=︒△，设2AB =．【操作探究】如图1，先将ADB 和A D C '' 的边AD 、A D ''重合，再将A D C '' 绕着点A 按顺时针．．．方向旋转，旋转角为()0360αα︒≤≤︒，旋转过程中ADB 保持不动，连接BC ．（1）当60α=︒时，BC =________；当22BC =α=________︒；（2）当90α=︒时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；（3）如图2，取BC 的中点F ，将A D C '' 绕着点A 旋转一周，点F 的运动路径长为________．28.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在y 轴正半轴上．（1）如果四个点()()()()0,00,21,11,1-、、、中恰有三个点在二次函数2y ax =（a 为常数，且0a ≠）的图象上．①=a ________；②如图1，已知菱形ABCD 的顶点B 、C 、D 在该二次函数的图象上，且AD y ⊥轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在该二次函数的图象上，点B 、D 在y 轴的同侧，且点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，试探究n m -是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．（2）已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在二次函数2y ax =（a 为常数，且0a >）的图象上，点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，直接写出m 、n 满足的等量关系式．扬州市2023年初中毕业、升学统一考试数学试题一、选择题1.【答案】A【解析】解：3-的绝对值是3，故选：A ．2.【答案】A【解析】解：∵23( )22a b a b ⋅=，∴()3222a b a b a =÷=．故选：A ．3.【答案】C【解析】根据题意，将空气（除去水汽、杂质等）看做总体，用各个扇形表示空气的成分（除去水汽、杂质等）中每一种成分所占空气的百分比，由此可以选择扇形统计图．故选C ．4.【答案】D【解析】棱锥的侧面是三角形．故选：D ．5.【答案】C【解析】解：∵2=<<∴a b c >>，故选：C ．6.【答案】A 【解析】解：函数21y x=自变量x 的取值范围为0x ≠．对于B 、C ，函数图像可以取到0x =的点，不符合题意；对于D ，函数图像只有0x >的部分，没有0x <的部分，不符合题意．故选：A ．7.【答案】C【解析】解：如图，作AD BD ⊥，AE AB ⊥，∴90ADB ∠=︒，90BAE ∠=︒，∴cos 2BD AB B =⋅∠=，8cos ABBE B==∠，∵ABC 是锐角三角形，∴BD BC BE <<，即28BC <<，∴满足条件的BC 长可以是6，故选：C ．8.【答案】B【解析】解：∵抛物线对称轴为21==022b a a a --->，1=02c >，∴二次函数图象必经过第一、二象限，又∵2=4=42b ac a ∆--，∵0a >，∴424a -<，当420a -<时，抛物线与x 轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限，当0424a <-<时，抛物线与x 轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限，故①错误；②正确；∵抛物线对称轴为21==022b a a a--->，0a >，∴抛物线开口向上，∴当1x a<时，y 随x 的增大而减小，故③正确；∴当1x a>时，y 随x 的增大而增大，故④错误，故选：B ．二、填空题9.【答案】62.34510⨯【解析】解：2345000的绝对值大于10表示成10n a ⨯的形式，∵ 2.345a =，716n =-=，∴2345000表示成62.34510⨯，故答案为：62.34510⨯．10.【答案】()(22)x y y +-【解析】解：24xy x-24()x y =-()(2)2x y y =+-故答案为：()(22)x y y +-．11.【答案】6【解析】因为这个多边形每一个外角都是60︒，所以这个多边形是一个正多边形，设正多边形的边数为n ，根据正多边形外角和：60=360n 白，得：6n =故答案为：6．12.【答案】0.93【解析】解：由图表可知，绿豆发芽的概率的估计值0.93，故答案为：0.93．13.【答案】k ＜1．【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2+2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=2241k 0-⨯⨯>，解得：k 1<，故答案为k 1<.14.【答案】5【解析】解：设圆锥底面圆的半径为r ，24l =，由扇形的面积：120πS r l π=⋅⋅=，得：5r =故答案为：515.【答案】0.6【解析】解：设k p V=，∵33m V =时，8000Pa p =，∴24000k pV ==，∴24000p V=，∵240000k =>，∴0V >时，P 随着V 的增大而减小，当40000Pa p =时，30.6m V =，∴当30.6m V ≥时，40000Pa p ≤，即：为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于30.6m ；故答案为：0.6．16.【答案】96【解析】解：由题意知，222+=a b c ，∵420b a c -==，，∴()222420a a ++=，解得12a =，16a =-（舍去），∴16b =，∴每个直角三角形的面积为1962ab =，故答案为：96．17.【答案】245【解析】如图：过点D 作DF BC ⊥于点F ，∴90BFD CFD Ð=Ð=°，由题意得：BD 平分ABC ∠，90A ∠=︒，∴,AD DF BC ===，∴118156022ABC S AB AC =�创= ， 116022ABC ABD DBC S S S AD AB DF BC =+=×+×= ，∴()11160222AD AB DF BC AD AB BC ×+×=×+=，∴()11256022AD AB BC AD ×+=´=，∴245AD =；故答案为：245．18.【答案】38【解析】解：如图所示，连接BB '，过点F 作FH AD ⊥于点H ，∵正方形ABCD 的边长为1，四边形ABFE 与四边形EFCD 的面积比为3∶5，∴33=1=88ABFE S ⨯四边形，设CF x =，则DH x =，则1BF x=-∴()13==28ABFE AE BF AB S +⨯四边形即()131128AE x +-⨯=∴14AE x =-∴514DE AE x =-=-，∴55244EH ED HD x x x =-=--=-，∵折叠，∴BB EF '⊥，∴1290BGF ∠+∠=∠=︒，∵2390=+︒∠∠，∴13∠=∠，又1FH BC ==,EHF C∠=∠∴EHF B CB' ≌()ASA ，∴524EH B C x '==-在Rt B FC ' 中，222B F BC CF ''=+即()2225124x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭解得：38x =，故答案为：38．三、解答题19.【答案】（1）1-（2）1a b-+【解析】（1）解：原式1=-1=-；（2）原式1a b a b a b--=⋅+-1a b =-+．20.【答案】12x -<≤，数轴表示见解析．【解析】解：()2113113x x x ⎧-+>-⎪⎨+-≤⎪⎩①②解不等式①得1x >-·，解不等式②，得：2x ≤，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：则不等式组的解集为：12x -<≤．21.【答案】（1）80,86（2）>（3）见解析【解析】（1）解：七年级的10个数据中，出现次数最多的是：80，∴80m =；将八年级的10个数据进行排序：76,77,85,85,85,87,87,88,88,97；∴()18587862n =+=；故答案为：80,86；（2）由折线统计图可知：七年级的成绩波动程度较大，∵方差越小，数据越稳定，∴2212S S >；故答案为：>．（3）七年级和八年级的平均成绩相同，但是七年级的中位数比八年级的大，所以七年级参赛学生的成绩较好．22.【答案】（1）13（2）59【解析】（1）解： 共有3个景点可供选择，且选择每种景点是随机的，∴甲选择A 景点的概率为13．（2）解：根据题意，列表如下：AB C A (,)A A (,)A B (A,C)B (,)B A (,)B B (,)BC C (C,A)(,)C B (,)C C 由表格可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙至少有一人选择C 景点共有5种等可能的结果，∴甲、乙至少有一人选择C 景点的概率为59．23.【答案】14.4km/h 【解析】解：设甲同学步行的速度为x km/h ，则乙同学骑自行车速度为4x km/h ，130min h 2= ，由题意得，2.4 2.4142x x -=，解得 3.6x =，经检验， 3.6x =是分式方程的解，也符合实际．∴4 3.6414.4x =⨯=，答：乙同学骑自行车的速度为14.4km/h ．24.【答案】（1）见解析（2）12【解析】（1）证明：∵ABCD Y ，∴,,,AB CD AD BC AB CD AD BC ==∥∥，∵点E 、F 、G 、H 分别是ABCD Y 各边的中点，∴11,22AE AB CD CG AE CG ===∥，∴四边形AECG 为平行四边形，同理可得：四边形AFCH 为平行四边形，∴,AM CN AN CM ∥∥，∴四边形AMCN 是平行四边形；（2）解：连接,,HG AC EF ，∵,H G 为,AD CD 的中点，∴1,2HG AC HG AC =∥，∴HNG CNA ∽，∴12HN HG CN AC ==，∴12ANH ANC S HN S CN == ，同理可得：12FMC AMC S S = ∴()11222ANH FMC ANC AMC AMCN S S S S S +=+== ，∴246AFCH ANH FMC AMCN S S S S =++=+= ，∵12AH AD =，∴212ABCD AFCH S S == ．25.【答案】（1）直线AB 与O 相切，理由见解析（2）6【解析】（1）解：直线AB 与O 相切，理由如下：连接OD ，则：2BOD BCD ∠=∠，∵12BCD A ∠=∠，即：2BCD A ∠=∠，∴BOD A ∠=∠，∵90ACB ∠=︒，∴90B BOD B A ∠+∠=∠+∠=︒，∴90ODB ∠=︒，∴OD AB ⊥，∵OD 为O 的半径，∴直线AB 与O 相切；（2）解：∵90ODB ∠=︒，3sin ,5B O =的半径为3，∴33,sin 5OD OD OC B OB ====，∴5OB =，∴8BC OB OC =+=，∵90ACB ∠=︒，∴3sin 5AC B AB ==，设：3,5AC x AB x ==，则：48BC x ===，∴2x =，∴36AC x ==．26.【答案】（1）甲、乙两种头盔的单价各是65元，54元．（2）购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．【解析】（1）解:设购买乙种头盔的单价为x 元，则甲种头盔的单价为(11)x +元，根据题意，得20(11)302920x x ++=解得，54x =，1165x +=，答：甲、乙两种头盔的单价各是65元，54元．（2）解：设购m 只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w ,则1(40)2m m ³-，解得1313m ≥，故最小整数解为14m =，0.865(546)(40)41920w m m m =´+--=+，∵40>，则w 随m 的增大而增大，∴14m =时，w 取最小值，最小值41419201976=⨯+=．答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．27.【答案】（1）2；30或210（2）画图见解析；1（3）2π【解析】（1）解：∵ADB 和A D C '' 中90,30ADB A D C B C ''∠=∠=︒∠=∠=︒，∴903060BAD CA D ''∠=∠=︒-︒=︒，∴当60α=︒时，A C '与AD 重合，如图所示：连接BC ，∵2AB AC ==，60BAC ∠=︒，∴ABC 为等边三角形，∴2BC AB ==；当BC =∵(222222228AB AC BC +=+===，∴当BC =ABC 为直角三角形，90BAC ∠=︒，∴AB AC ⊥，当AC 在AB 下方时，如图所示：∵906030DAC BAC BAD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴此时603030DAD CAD DAC a ''=∠=∠-∠=︒-︒=︒；当AC 在AB 上方时，如图所示：∵60DAB D AC '∠=∠=︒，∴此时210DAB BAC D AC a '=∠+∠+∠=︒；综上分析可知，当BC =30α=︒或210︒；故答案为：2；30或210．（2）解：当90α=︒时，如图所示：∵2AB AC ==，∴112AD AD AB '===，∴BD CD '===，∵90DAD a '∠==︒，又∵90ADB AD C '∠=∠=︒，∴四边形ADED '是矩形，∵AD AD ='，∴四边形ADED '是正方形，∴1AD DE D E '===，∴1BE BD DE =-=，∴)33tan 1133EF BE ABD =⨯∠=⨯=-，∵906030DAG DAD CAD ''∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴33tan 133DG AD DAG =⨯∠=⨯=，∴ABD BEF ADGAGEF S S S S =-- 四边形)11313111122323⎛⎫=⨯⨯--⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭1=，即两块三角板重叠部分图形的面积为1．（3）解：∵AB AC =，F 为BC 的中点，∴AF BC ⊥，∴90AFB ∠=︒，∴将A D C '' 绕着点A 旋转一周，点F 在以AB 为直径的圆上运动，∵2AB =∴点F 运动的路径长为2π．故答案为：2π．28.【答案】（1）①1；②3；③是，值为1（2）()1a n m -=或0m n +=【解析】（1）①解：当0x =，0y =，∴()0,2不在二次函数图象上，将()1,1代入2y ax =，解得1a =，故答案为：1；②解：由①知，二次函数解析式为2y x =，设菱形的边长为p ，则AD p =，()2,D p p ，由菱形的性质得，BC p =，BC AD ∥，∴BC y ⊥轴，∴2,24p p C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵22CD AD =，∴2222224p p p p p ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0p =（舍去），233p =-（舍去），p =，∴菱形的边长为3；③解：如图2，连接AC 、BD 交点为E ，过B 作MN y ⊥轴于M ，过C 作⊥CN MN 于N ，由正方形的性质可知，E 为AC 、BD 的中点，AB BC =，90ABC ∠=︒，∴90ABM CBN CBN BCN ∠+∠=︒=∠+∠，∴ABM BCN ∠=∠，∵ABM BCN ∠=∠，90AMB BNC ∠=∠=︒，AB BC =，∴()AAS AMB BNC ≌△△，∴AM BN =，BM CN =，由题意知，()2,B m m ，()2,D n n ，00m n >>，，则22,22m n m n E ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，()20,M m ，设()0,A q ，则()22,C m n m n q ++-，()2,N m n m +，∴2AM q m =-，BN n =，BM m =，2CN n q =-，∴2q m n -=，2m n q =-，∴22n m m n --=，∵点B 、D 在y 轴的同侧，且点B 在点D 的左侧，∴0m n +≠，∴1n m -=，∴n m -是定值，值为1；（2）解：由题意知，分①当B D 、在y 轴右侧时，②当B D 、在y 轴左侧时，③当B 在y 轴左侧，D 在y 轴右侧时，三种情况求解；①当B D 、在y 轴右侧时，∵2y ax =，同理（1）③，AM BN =，BM CN =，由题意知，()2,B m am ，()2,D n an ，00m n >>，，则()22,22a m n m n E ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，()20,M am ，设()0,A q ，则()()22,C m n a m n q ++-，()2,N m n am +，∴2AM q am =-，BN n =，BM m =，2CN an q =-，∴2q am n -=，2m an q =-，∴22an m am n --=，化简得()()10an am m n --+=，∵0m n +≠∴()1a n m -=；②当B D 、在y 轴左侧时，同理可求()1a n m -=；③当B 在y 轴左侧，D 在y 轴右侧时，且BD 不垂直于y 轴时，同理可求()1a n m -=，当B 在y 轴左侧，D 在y 轴右侧时，且BD 垂直于y 轴时，由正方形、二次函数的性质可得，0m n +=；综上所述，()1a n m -=或0m n +=．。

第13课时 二次函数(2)班级： 姓名： 学习目标：1.掌握二次函数图象与x 轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系.2.理解二次函数图象与x 轴的交点的个数与一元二次方程根的个数的关系.3.能用二次函数与一元二次方程的关系解决综合问题. 学习难点：利用二次函数与一元二次方程关系解决综合问题. 学习过程： 一、知识梳理1.抛物线2y ax bx c =++中a b c 、、符号的确定 (1) a 的符号由抛物线开口方向决定, 当0a >时,抛物线开口 , 当0a <时,•抛物线开口 ;(2) c 的符号由抛物线与y 轴交点的纵坐标决定.当c 0时,抛物线交y 轴于正半轴；当c 0时,抛物线交y 轴于负半轴； (3)b 的符号由对称轴来决定.当对称轴在y 轴左侧时,b 的符号与a 的符号 ；当对称轴在y 轴右侧时,b 的符号与a 的符号 ；•简记左同右异. 2.二次函数与一元二次方程的关系抛物线2y ax bx c =++，当0y =时，抛物线转化为一元二次方程20ax bx c ++=,(1)当抛物线与x 轴有两个交点时,方程20ax bx c ++=有 ；(2)当抛物线2y ax bx c =++与x 轴有一个交点,方程20ax bx c ++=有 ；(3)当抛物线2y ax bx c =++与x 轴无交点,•方程20ax bx c ++= .变式：抛物线2y ax bx c =++，当y k =时，抛物线转化为一元二次方程 ，试说明该方程根的情况 .. .二、典型例题1. 抛物线中a 、b 、c 符号的确定（中考指要例1）（2017•株洲）如图示二次函数2y ax bx c =++的对称轴在y 轴2y ax bx c =++的右侧，其图象与x 轴交于点10A （﹣，）与点20C x （，），且与y 轴交于点02B （，﹣），小强得到以下结论：①02a ＜＜；②10b ﹣＜＜；③1c =﹣；④当a b =时21x ；以上结论中正确结论的序号为 ．2. 二次函数与一元二次方程(不等式)的关系（1）抛物线234y x x =--+与坐标轴的交点的个数是( ) A ．3B ．2C ．1D ．0（2）若二次函数21y ax =+的图像经过点(2,0)-，则关于x 的方程2(2)10a x -+=实数根为（ ）A ．120,4x x ==B ．122,6x x =-= C. 1235,22x x == D ．124,0x x =-= （3）已知抛物线26y x x m =++与x 轴只有一个交点，则m ＝ .（4）如图，已知ABC 的顶点坐标分别为021021A B C （，）、（，）、（，），若二次函数21y x bx =++的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b 的取值范围是（ ）A ．2b ≤﹣B ．2b ＜﹣C ．2b ≥﹣D ．2b ＞﹣ （5）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的方程230ax bx c ++-=的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号实数根C ．有两个相等的实数D ．无实数根（6）已知二次函数2y x bx c =-++的图象如图所示，解决下列问题： ①求关于x 的一元二次方程20x bx c -++=的解； ②求此抛物线的函数表达式；③当x 为值时，0y ＜?3.利用二次函数求一元二次方程的根的近似值（1）根据下列表格的对应值，判断方程20ax bx c ++= (a ≠0，a ，b ，c 为常数)一个解的范围是( )A. 3 3.23x ＜＜ B ．3.23 3.24x ＜＜ C ．3.24 3.25x ＜＜ D ．3.25 3.26x ＜＜ 三、反思总结1.本节课你复习了哪些内容？2.通过本节课的学习，你还有哪些困难？四、达标检测1.下列函数的图象与x 轴只有一个交点的是( )A ．223y x x =+- B ．223y x x =++ C ．223y x x =-+ D ．221y x x =-+ 2 2.二次函数263y kx x =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( ) A. 3k < B ．30k k <≠且 C ．3k ≤ D ．30k k ≤≠且3.若二次函数2y x bx =+的图象的对称轴是经过点(2)0，且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程25x bx +=的解为 .4.下表是满足二次函数2y ax bx c =++的五组数据，1x 是方程20ax bx c ++=的一个解，则下列选项中正确的是( )A.1.6＜1x ＜1.8B.1.8＜1＜2.0C.2.0＜1＜2.2D.2.2＜1＜2.4 5.已知二次函数2y ax bx c =++中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：的取值范围是 . 6．已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2＋3(m 是常数)．(1)求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点；(2)把该函数的图象沿y 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x 轴只有一个公共点？7.已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A(1x ，0)、B(2x ，0)( 12x x ＜)，顶点M 的纵坐标为－4，若1x 、2x 是方程22()2170x m x m －－＋－＝的两个根，且122210x x += (1)求A 、B 两点的坐标；(2)求抛物线的关系式及点C 的坐标.8.已知二次函数243y ax ax a =-+． （1）该二次函数图象的对称轴是x = ；（2）若该二次函数的图象开口向下，当14x ≤≤时，y 的最大值是2，求当14x ≤≤时，y 的最小值；（3）若对于该抛物线上的两点P （1x ，1y ），Q （2x ，2y ），当11t x t ≤≤+，25x ≥时，均满足12y y ≥，请结合图象，直接写出t 的最大值．。

一、选择题1．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分图象如图，图象过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，下列结论：①a ﹣b +c ＝0；②2a +b ＝0； ③4ac ﹣b 2＞0；④a +b ≥am 2+bm （m 为实数）；⑤3a +c ＞0．则其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．已知抛物线2y x bx c =++的顶点在x 轴上，且经过点(3,)A m n -、(3,)B m n +，则n 的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．123．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①ac ＜0；②b ＜0；③4ac ﹣b 2＜0；④当x ＞﹣1时，y 随x 的增大而减小．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．根据下列表格中的对应值： x 1.981.992.00 2.01 2y ax bx c =++-0.06 -0.05 -0.03 0.01 判断方程0ax bx c ++=（，a ，b ，c 为常数）一个根x 的范围是（ ）A ．1.00 1.98x <<B ．1.98 1.99x <<C ．1.99 2.00x <<D ．2.00 2.01x << 5．函数221y x x =--的自变量x 的取值范围为全体实数，其中0x ≥部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：①函数图象关于y 轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当1x <-时，y 随x 的增大而减小；④当21a -<<-时，关于x 的方程221x x a --=有4个实数根．其中正确的结论个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．06．如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，此图象与x 轴的交点坐标分别为(－1，0)、(3，0).下列说法：0abc >；方程20ax bx c ++=的根为11x =-，23x =；当1x >时，y 随着x 的增大而增大；420a b c ++<.正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．37．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象中，对称轴是直线1x =，王刚同学观察得出了下面四条信息：①1c >；②若()12,y ，()24,y 是抛物线上两点，则12y y >；③420a b c -+<；④方程20ax bx c ++=的两根是11x =-，23x =．其中说法正确的有（ ）A ．①②③④B ．②④C ．①②④D ．①③④ 8．已知2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则点(,)A ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．在平面直角坐标系中抛物线2y x =的图象如图所示，已知点A 坐标为(1，1)，过点A 作1//AA x 轴交抛物线于点A ，过点1A 作12//A A OA 交抛物线于点2A ，过点2A 作23//A A x 轴交抛物线于点3A 过点3A 作34//A A OA 交抛物线于点4A ，……则点2020A 的坐标为（ ）A ．(1011， 21011)B ．(-1011， 21011)C ．(-1010， 21011)D ．(1010， 21011)10．已知抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴交于A,B 两点（A 在原点O 左侧，B 在原点O 右侧)，与y 轴交于C 点，且OC=OB,令CO AO=m ，则下列m 与b 的关系式正确的是( )A ．m=2bB ．m=b+1C ．m=6bD ． m=2b +1 11．设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线2(1)y x =-+上的三点，1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >> 12．函数()20y ax a a =-≠与()0y ax a a =-≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．13．如图是二次函数2(,,y ax bx c a b c =++是常数，0a ≠）图象的一部分，与x 轴的交点A 在点()2,0和()3,0之间，对称轴是1x =．对于下列说法：①0abc <；②20a b +=；③30a c +>；④()(a b m am b m +≥+为实数）﹔⑤当13x 时，0y >，其中正确的是（ ）A ．①②⑤B ．①②④C ．②③④D ．③④⑤ 14．如果将抛物线23y x =+先向下平移2个单位，再向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）A ．2(1)2y x =-+B ．2(1)1y x =++C ．21y x =+D ．2(1)1y x =-+15．若二次的数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如下表： x 7- 6- 5- 4- 3- 2-y 27- 13-3- 3 5 3 则当1x =时，y 的值为（ ） A ．5 B ．3- C ．13- D ．27-二、填空题16．在ABC 中，A ∠，B 所对的边分别为a ，b ，30C ∠=︒．若二次函数2()()()y a b x a b x a b =+++--的最小值为2a -，则A ∠=______︒． 17．小明研究抛物线y =﹣（x ﹣a ）2﹣a +1（a 为常数）性质时得到如下结论：①这条抛物线的顶点始终在直线y =x +1上；②当﹣1＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围为a ≥2；③点A （x 1，y 1）与点B （x 2，y 2）在函数图象上，若x 1＜x 2，x 1+x 2＞2a ，则y 1＞y 2； ④只存在一个a 的值，使得抛物线与x 轴的两个交点及抛物线的顶点构成等腰直角三角形；其中正确结论的序号是____．18．一条抛物线与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），若点M ，N 的坐标分别为（－1，－2），（1，－2），抛物线顶点P 在线段MN 上移动．点B 的横坐标的最大值为3，则点A 的横坐标的最小值为__________．19．已知二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，0,0a c ≠>）上有五点()()1,01,(),p t n -、、()()2,3,0t 、；有下列结论：①0b >；②关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是1-和3；③20p t +<；④()(4m am b a c m +≤--为任意实数）．其中正确的结论_______________（填序号即可）．20．已知抛物线2y x bx c =++的部分图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是______．21．学校公益伞深受师生欢迎，如图为公益伞骨架结构，点A 为伞开关位置，图1完全收拢状态，图2中间状态，图3完全打开状态，撑伞整个过程中，63AB cm =，10CE cm =，2EF DE =，5BF DF =+，DF 长度保持不变，滑动环扣C 、D 相对距离会变化．（1）图1中，A 、G 重合，此时8AC cm =，则DF =______cm ．（2）图3中，90EDC ∠=︒，因支架、伞布等作用，弹性钢丝BG 近似变形为抛物线2164y x bx c =-++一部分，则AC =______cm ．22．已知点P （m ，n ）在抛物线2y ax x a =--上，当1m 时，总有1n ≥-成立，则实数a 的取值范围是_______．23．二次函数y=（x+2）2-5的最小值为_______．24．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，与x 轴的一个交点B 的坐标为()1,0其图象如图所示，下列结论：①0abc <；②20a b -=；③当0y >时，1x >；④320b c +>；⑤当0x <时，y 随x 的增大而减小；其中正确的有____．（只填序号）25．如图，在平面直角坐标系中抛物线y ＝x 2﹣3x +2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是对称轴右侧抛物线上一点，且tan ∠DCB ＝3，则点D 的坐标为_____．26．如图，点A ，B 的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a （x ﹣m ）2+n 的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为﹣3，则点D 的横坐标最大值为_____．三、解答题27．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，……，n A 和1C ，2C ，3C ，……，n C 均在抛物线2y x 上，点1B ，2B ，3B ，……，n B 在y 轴的正半轴上，若四边形111OA B C ，四边形1222B A B C ，四边形2333B A B C ，……，四边形1n n n n B A B C -都是正方形. （1）分别写出点1A ，1B ，1C 的坐标；（2）分别求出正方形2333B A B C 和正方形1n n n n B A B C -的面积.28．已知二次函数2y x bx c =-++的图象过点()()0,3,2,3（1）此二次函数的表达式，并用配方法将其化为()2y a x h k =-+的形式（2）画出此函数的图象；（3）借助图象，判断若03x <<，则y 的取值范围是29．如图，Rt △OAB 中,∠OAB=90°，O 为坐标原点，边OA 在x 轴上，OA=AB=2个单位长度，把Rt △OAB 沿x 轴正方向平移2个单位长度后得△11AA B ．(1)求以A 为顶点，且经过点1B 的抛物线的解析式；(2)若(1)中的抛物线与OB 交于点C ，与y 轴交于点D ，求点D 、 C 的坐标．30．有这样一个问题：探究函数243y x x =-+的图象与性质．小丽根据学习函数的经验，对函数243y x x =-+的图象与性质进行了探究．下面是小丽的探究过程，请补充完整：（1）函数243y x x =-+的自变量x 的取值范围是_______．（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，画出了函数243y x x =-+的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；（3）对于上面的函数243y x x =-+，下列四个结论：①函数图象关于y 轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当2x >时，y 随x 的增大而增大，当2x <-时，y 随x 的增大而减小； ④函数图象与x 轴有2个公共点．所有正确结论的序号是_____．（4）结合函数图象，解决问题：若关于x 的方程243x x k -+=有4个不相等的实数根，则k 的取值范围是____．。

江苏省扬州市中考数学分类汇编专题06：函数及其图象（二次函数）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共6题；共12分)1. （2分） (2018九上·铜梁期末) 抛物线的顶点坐标是（）A . （2，3）B . （-2，3）C . （2，-3）D . （-2，-3）2. （2分）某鞋帽专卖店销售一种绒帽，若这种帽子每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系y=﹣x2+70x ﹣800，要想获得最大利润，则销售单价为（）A . 30元B . 35元C . 40元D . 45元3. （2分）已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A . 当a=1时，函数图象经过点（﹣1，1）B . 当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C . 若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方D . 若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大4. （2分） (2017九上·下城期中) 将函数的图象向右平移个单位得到的新图象的函数解析式为（）．A .B .C .D .5. （2分）下列函数中，当x＜0时，函数值y随x的增大而增大的有（）个．①y=x；②y=-2x+1；③y=-；④y=3x2 ．A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个6. （2分）已知二次函数y=x2-mx+m-2的图象与x轴有（）个交点．A . 1个B . 2 个C . 无交点D . 无法确定二、作图题 (共1题；共15分)7. （15分）(2019·常德模拟) 已知二次函数y＝2x2+4x+k﹣1．（1）当二次函数的图象与x轴有交点时，求k的取值范围；（2）若A（x1 ， 0）与B（x2 ， 0）是二次函数图象上的两个点，且当x＝x1+x2时，y＝﹣6，求二次函数的解析式，并在所提供的坐标系中画出大致图象；（3）在（2）的条件下，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线y＝ x+m（m＜3）与新图象有两个公共点，且m为整数时，求m的值．三、综合题 (共9题；共110分)8. （10分） (2018九上·绍兴月考) 如图，已知二次函数的图象经过点，（1）求、的值，（2）求出二次函数的图象与轴的另一个交点坐标，（3）直接写出不等式的解集．9. （10分）(2019·本溪模拟) 某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元．销售单价x（元）3.55.5销售量y（袋）280120（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？（3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？10. （15分）(2017·达州) 宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：y= ．（1）工人甲第几天生产的产品数量为70件？（2）设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图象如图．工人甲第x天创造的利润为W元，求W 与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？11. （10分）(2019·邵阳) 如图，二次函数的图象过原点，与x轴的另一个交点为（1）求该二次函数的解析式；（2）在x轴上方作x轴的平行线，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q 四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．12. （10分） (2017九下·杭州开学考) 如图，抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+b的图象经过（2，﹣1）和（﹣2，7）且与直线y=kx﹣2k﹣3相交于点P（m，2m﹣7）．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线y=kx﹣2k﹣3与抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+b的对称轴的交点Q的坐标；（3）在y轴上是否存在点T，使△PQT的一边中线等于该边的一半？若存在，求出点T的坐标；若不存在请说明理由．13. （10分） (2017八下·临洮期中) 如图，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，若∠ABE=∠BAE=60°，BC=4，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）连接AC，BF，求证：四边形ABFC为矩形；（2）求四边形ABFC的周长和面积．14. （15分） (2019九上·宁波期末) 如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，一次函数的图象经过点，，点是抛物线上第二象限内一点.（1）求二次函数和一次函数的表达式；（2）过点作轴的平行线交于点，作的垂线交于点，设点的横坐标为，的周长为 .①求关于的函数表达式；②求的周长的最大值及此时点的坐标；（3）如图2，连接，是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由.15. （15分）(2017·南开模拟) 如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．16. （15分）(2019·金华) 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA,OC分别在x轴，y 轴的正半轴上,把正方形OABC的内部及边上，横，纵坐标均为整数的点称为好点，点P为抛物线y=-（x-m）2+m+2的顶点。

202X 扬州市中考数学二次函数和几何综合专题一、二次函数压轴题1．小明对函数2(0)y a x bx c a =++≠的图象和性质进行了探究.已知当自变量x 的值为0或4时，函数值都为3-；当自变量x 的值为1或3时，函数值都为0．探究过程如下，请补充完整．（1）这个函数的表达式为 ；（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的--条性质： ； （3）进一步探究函数图象并解决问题：①直线y k =与函数2y a x bx c =++有三个交点，则k = ；②已知函数3y x =-的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式2a x bx c ++3x ≤-的解集： ．2．综合与探究 如图，抛物线y 32233x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线l 经过B 、C 两点，点M 从点A 出发以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，连接CM ，将线段MC 绕点M 顺时针旋转90°得到线段MD ，连接CD 、BD ．设点M 运动的时间为t （t ＞0），请解答下列问题：（1）求点A 的坐标与直线l 的表达式；（2）①请直接写出点D 的坐标（用含t 的式子表示），并求点D 落在直线l 上时t 的值； ②求点M 运动的过程中线段CD 长度的最小值．3．某班“数学兴趣小组”对函数22y x x =-的图象和性质进行了探究，探究过程如下．（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值如下：x… -352--2 -1 0 1 252 3 …y (3)54m-1 0 -1 0 543 …其中，m =______．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分． （3）进一步探究函数图象发现：①方程220x x -=有______个实数根；②关于x 的方程22x x a -=有4个实数根时，a 的取值范围是______．4．综合与探究如图，已知二次函数()220y ax bx a =++≠的图像与x 轴交于1,0A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线122y x =-+经过B ，C 两点 （1）求二次函数的解析式；（2）点P 是线段 BC 上一个动点，过点P 作x 轴的垂线于点Q ，交抛物线于点D ，当点Q 是线段PD 的中点时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，若点M 是直线BC 上一点，N 是平面内一点，当以P ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点N 的坐标．5．已知抛物线y ＝x 2+bx +c 的顶点为P ，与y 轴交于点A ，与直线OP 交于点B ．（1）如图1，若点P 的横坐标为1，点B 的坐标为（3，6），①试确定抛物线的解析式；②若当m ≤x ≤3时，y ＝x 2+bx +c 的最小值为2，最大值为6，求m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，若M 点是直线AB 下方抛物线上的一点，且S △ABM ≥3，求M 点横坐标的取值范围；（3）如图2，若点P 在第一象限，且PA ＝PO ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，将抛物线y ＝x 2+bx +c 平移，平移后的抛物线经过点 A 、D ，与x 轴的另一个交点为C ，试探究四边形OABC 的形状，并说明理由．6．已知函数()()2110b y a x a x=-++≠，某兴趣小组对其图像与性质进行了探究，请补充完整探究过程．x … －3 －2 －1 12 3 4 5 … y … －6 －2 2－2 －1 －2m385-… （2）如图已经画出了该函数的部分图像，请你根据上表中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，补充该函数图像，并写出该函数的一条性质；（3）若()214ba x x x-+≥-，结合图像，直接写出x 的取值范围． 7．在平面直角坐标系xOy 中（如图）．已知点()1,2A -，点()1,6B ，点()1,4C ．如果抛物线()230y ax bx a =++≠恰好经过这三个点之中的两个点．（1）试推断抛物线23y ax bx =++经过点A 、B 、C 之中的哪两个点？简述理由； （2）求常数a 与b 的值：（3）将抛物线23y ax bx =++先沿与y 轴平行的方向向下平移2个单位长度，再与沿x 轴平行的方向向右平移0t t 个单位长度，如果所得到的新抛物线经过点()1,4C ．设这个新抛物线的顶点是D ．试探究ABD △的形状．8．定义：如果一条直线把一个封闭的平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条中分线．如三角形的中线所在的直线是三角形的一条中分线．（1）按上述定义，分别作出图1，图2的一条中分线． （2）如图3，已知抛物线2132y x x m =-+与x 轴交于点(2,0)A 和点B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．①求m 的值和点D 的坐标；②探究在坐标平面内是否存在点P ，使得以A ，C ，D ，P 为顶点的平行四边形的一条中分线经过点O ．若存在，求出中分线的解析式；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +2（a ≠0）与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ． （1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，若点D 是抛物线上第一象限内的一动点，设点D 的横坐标为m ，连接CD ，BD ，BC ，AC ，当△BCD 的面积等于△AOC 面积的2倍时，求m 的值；（3）如图2，若点N 为抛物线对称轴上一点，探究抛物线上是否存在点M ，使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线24y ax bx =++交x 轴于(3,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，AC ，BC ．M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作PM x ⊥轴，交抛物线于点P ，交BC 于点Q ．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P 作PN BC ⊥，垂足为点N ．设M 点的坐标为(,0)M m ，请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．二、中考几何压轴题11．（1）尝试探究：如图①，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，点E 、F 分别是边BC 、AC 上的点，且EF ∥AB ．①AF BE的值为_________；②直线AF 与直线BE 的位置关系为__________；（2）类比延伸：如图②，若将图①中的CEF ∆绕点C 顺时针旋转，连接AF ，BE ，则在旋转的过程中，请判断AF BE的值及直线AF 与直线BE 的位置关系，并说明理由；（3）拓展运用：若3BC =，2CE =，在旋转过程中，当,,B E F 三点在同一直线上时，请直接写出此时线段AF 的长．12．（1）问题发现如图1，ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，若∠ADE ＝60°，则AB ，CE ，BD ，DC 之间的数量关系是 ． （2）拓展探究如图2，ABC 是等腰三角形，AB ＝AC ，∠B ＝α，点D ，E 分别在边BC ，AC 上．若∠ADE ＝α，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． （3）解决问题如图3，在ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝AC ＝4cm ，点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿A→B 方向勾速运动，同时点M 从点B 3的速度沿B→C 方向匀速运动，当其中一个点运动至终点时，另一个点随之停止运动，连接PM ，在PM 右侧作∠PMG ＝30°，该角的另一边交射线CA 于点G ，连接PC ．设运动时间为t （s ），当△APG 为等腰三角形时，直接写出t的值．13．（性质探究）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF=2OG．（迁移应用）（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当121 3S S 时，求ADAB的值．（拓展延伸）（4）若DF交射线AB于点F，（性质探究）中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的110时，请直接写出tan∠BAE的值．14．爱好思考的小明在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线相互垂直的三角形“中垂三角形”，如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．（特例研究）（1）如图1，当tan∠PAB=1，2a=b= ；（归纳证明）（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图2证明你的结论； （拓展证明）（3）如图4，▱ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的三等分点，且AD=3AE ，BC=3BF ，连接AF 、BE 、CE ，且BE ⊥CE 于E ，AF 交BE 相较于点G ，AD=35，AB=3，求AF 的长． 15．我们定义：连结凸四边形一组对边中点的线段叫做四边形的“准中位线”．（1）概念理解：如图1，四边形ABCD 中，F 为CD 的中点，90ADB ∠=︒，E 是AB 边上一点，满足DE AE =，试判断EF 是否为四边形ABCD 的准中位线，并说明理由．（2）问题探究：如图2，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，动点E 以每秒1个单位的速度，从点A 出发向点C 运动，动点F 以每秒6个单位的速度，从点C 出发沿射线CB 运动，当点E 运动至点C 时，两点同时停止运动．D 为线段AB 上任意一点，连接并延长CD ，射线CD与点,,,A B E F 构成的四边形的两边分别相交于点,M N ，设运动时间为t ．问t 为何值时，MN 为点,,,A B E F 构成的四边形的准中位线．（3）应用拓展：如图3，EF 为四边形ABCD 的准中位线，AB CD =，延长FE 分别与BA ，CD 的延长线交于点,M N ，请找出图中与M ∠相等的角并证明． 16．综合与实践动手实践：一次数学兴趣活动，张老师将等腰Rt AEF 的直角顶点A 与正方形ABCD 的顶点A 重合（AE AD >），按如图（1）所示重叠在一起，使点E 在CD 边上，连接BF ．则可证：ADE ≌△△______，______三点共线；发现问题：（1）如图（2），已知正方形ABCD ，E 为DC 边上一动点，DC nDE =，AF AE ⊥交CB 的延长线于F ，连结EF 交AB 于点G ．若2n =，则AG BG=______，AGE BGF S S =△△______； 尝试探究：（2）如图（3），在（1）的条件下若3n =，求证：5AG GB =；拓展延伸：（3）如图（4），在（1）的条件下，当n =______时，AG 为GB 的6倍（直接写结果，不要求证明）． 17．综合与实践数学活动课上，老师让同学们结合下述情境，提出一个数学问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，四边形BEDF 是矩形．探究展示：“兴趣小组”提出的问题是：“如图2，连接CE ．求证：AE ⊥CE ．”并展示了如下的证明方法：证明：如图3，分别连接AC ，BD ，EF ，AF ．设AC 与BD 相交于点O ． ∵四边形ABCD 是正方形，∴OA =OC =12AC ，OB =OD =12BD ，且AC =BD ． 又∵四边形BEDF 是矩形， ∴EF 经过点O ，∴OE =OF =12EF ，且EF =BD ． ∴OE =OF ，OA =OC ．∴四边形AECF 是平行四边形．（依据1） ∵AC =BD ，EF =BD ， ∴AC =EF ．∴四边形AECF 是矩形．（依据2） ∴∠CEA =90°， 即AE ⊥CE ． 反思交流：（1）上述证明过程中“依据1”“依据2”分别是什么？ 拓展再探：（2）“创新小组”受到“兴趣小组”的启发，提出的问题是：“如图4，分别延长AE ，FB 交于点P ，求证：EB =PB ．”请你帮助他们写出该问题的证明过程．（3）“智慧小组”提出的问题是：若∠BAP =30°，AE 31，求正方形ABCD 的面积．请你解决“智慧小组”提出的问题．18．在ABC ∆中，BD AC ⊥于点D ，点Р为射线BD 上任一点（点B 除外）连接AP ，将线段PA 绕点Р顺时针方向旋转α︒，ABC α=∠，得到PE ，连接CE ．（1）（观察发现）如图1，当BA BC =，且60ABC ∠=︒时，BP 与CE 的数量关系是___________，BC 与CE 的位置关系是___________．（2）（猜想证明）如图2，当BA BC =，且90ABC ∠=︒时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）（3）（拓展探究）在（2）的条件下，若8AB =，52AP =，请直接写出CE 的长． 19．（1）如图1，在正ABC 的外角CAH ∠内引射线AM ，作点C 关于AM 的对称点E （点E 在CAH ∠内），连接BE ，BE 、CE 分别交AM 于点F ，G ．则FEG ∠=_______︒． （2）类比探究：如图2，把上题中的“正ABC ”改为“正方形ABDC ”，其余条件不变，请求出FEG ∠的度数；通过以上两例探索，请写出一个关于FEG ∠与BAC ∠的数量关系的正确结论：_________________；（3）拓展延伸：如图3，若以正方形AODC 的顶点O 为原点，顶点A ，D 分别在x 轴，y 轴上，点A 的坐标为(4,0)，设正方形AODC 的中心为P ，平面上一点F 到P 的距离为22．①直接写出OFA ∠的度数； ②当6=FAOS时，求点F 的坐标；并探索FAOS是否有最大值？如果有，请求出；如果没有，请说明理由．20．已知：如图1所示将一块等腰三角板BMN 放置与正方形ABCD 的B 重合，连接AN 、CM ，E 是AN 的中点，连接BE ．（观察猜想）（1）CM 与BE 的数量关系是________；CM 与BE 的位置关系是________；（探究证明）（2）如图2所示，把三角板BMN 绕点B 逆时针旋转(090)αα<<，其他条件不变，线段CM 与BE 的关系是否仍然成立，并说明理由；（拓展延伸）（3）若旋转角45α=，且2NBE ABE ∠=∠，求BC BN的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、二次函数压轴题1．（1）243y x x --＝；（2）如图所示，见解析；性质：函数的图象关于直线=2x 对称；或：当0x =或4时，函数有最小值3-；（3）①1；②0x =或35x ≤≤．【分析】（1）将0x =，3y =-；4x =，3y =-；1x =，0y =代入2||(0)y a x bx c a =++≠，得到：3c =-，4b =-，1a =，即可求解析式为2|4|3y x x =--；（2）描点法画出函数图象，函数关于2x =对称；（3）①从图象可知：当2x =时，1y =，1k =时直线y k =与函数2|4|3y x x =--有三个交点；②3y x =-与243y x x =--的交点为0x =或5x =，结合图象，2|4|33y x x x =---≤的解集为35x ≤≤．【详解】解：（1）将0x =，3y =-；4x =，3y =-；1x =，0y =代入2||(0)y a x bx c a =++≠， 得到：3164310c a b c a b c ⎧=-⎪++=-⎨⎪++=⎩，解得143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩ 2|4|3y x x ∴=--，故答案为2|4|3y x x =--．（2）如图：函数关于直线2x =对称，（3）①当2x =时，1y =，1k ∴=时直线y k =与函数2|4|3y x x =--有三个交点，故答案为1；②3y x =-与243y x x =--的交点为0x =或5x =或x=3，结合图象，2|4|33y x x x =---≤的解集为0x =或35x ≤≤，故答案为0x =或35x ≤≤．【点睛】本题类比函数探究过程探究绝对值函数与不等式组关系；能够准确的画出函数图象，从函数图象中获取信息，数形结合解题是关键．2．A解析：（1）A （﹣3，0），y 332）①点D 落在直线l 上时，t ＝6﹣3②CD 6【分析】（1）解方程求出点A 、点B 的坐标，根据二次函数的性质求出点C 的坐标，利用待定系数法求出直线l 的表达式；（2）①分点M 在AO 上运动、点M 在OB 上运动两种情况，DN ⊥x 轴于N ，证明△MCO ≌△DMN ，根据全等三角形的性质得到MN ＝OC 3DN ＝OM ＝3﹣t ，得到点D 的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征求出t ；②根据等腰直角三角形的性质、垂线段最短解答．【详解】（1）当y ＝03223x 3， 解得x 1＝1，x 2＝﹣3，∵点A 在点B 的左侧，∴A （﹣3，0），B （1，0），当x ＝0时，y ＝3，即C （0，3），设直线l 的表达式为y ＝kx +b ，将B ，C 两点坐标代入得，k b 0b 3+=⎧⎪⎨=⎪⎩， 解得，33k b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩， 则直线l 的表达式为y ＝﹣3x +3；（2）①如图1，当点M 在AO 上运动时，过点D 作DN ⊥x 轴于N ，由题意可知，AM ＝t ，OM ＝3﹣t ，MC ⊥MD ，则∠DMN +∠CMO ＝90°，∠CMO +∠MCO ＝90°，∴∠MCO ＝∠DMN ， 在△MCO 与△DMN 中， OCH NHD COM MND MC MD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△MCO ≌△DMN （AAS ）， ∴MN ＝OC 3DN ＝OM ＝3﹣t ，∴D （t ﹣3t ﹣3）；同理，如图2，当点M 在OB 上运动时，点D 的坐标为：D （﹣3+t 3t ﹣3）将D 点坐标代入直线BC 的解析式y 33t ﹣33（﹣3+t 33 t ＝6﹣3D 落在直线l 上时，t ＝6﹣3②∵△COD 是等腰直角三角形，∴CM ＝MD ，∴线段CM 最小时，线段CD 长度的最小，∵M 在AB 上运动，∴当CM ⊥AB 时，CM 最短，CD 最短，即CM ＝CO 3根据勾股定理得，CD 6【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、等腰三角形的性质特点.3．（1）0；（2）图见解析；（3）①3；②10a -<<【分析】（1）那x =-2代入解析式，即可求得m 的值；（2）利用描点法画函数图象即可；（3）①观察图象找出图象与x 轴的交点个数即可求解；②观察图象，找出图象与平行于x 轴直线的交点个数为4个时对应y 的取值范围即可．【详解】（1）x =-2时，m =（-2）2-22⨯- =0；故答案为：0；（2）如图所示（3）①观察图象，可知22y x x =-与x 轴有三个交点，所以22||=0x x -有三个根，分别是2-、0、2；即答案为3；②∵关于x 的方程22||x x a -=有四个根，∴函数22y x x =-的图象与y =a 有四个交点，由函数图象知：a 的取值范围是10a -<<．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程，其中观察函数图像的能力是解答本题的关键．4．B解析：（1）215222y x x =-+；（2）P （2，1）；（3）4225,1555N ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，422+5,1555N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()0,0N ，1811,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）求出点B ，带入求解即可；（2）设,22t P t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，(),0Q t ，()215,20＜＜422D t t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，根据中点的性质列式计算即可； （3）根据菱形的性质分类讨论即可；【详解】（1）令1202x -+=，解得：4x =， ∴()4,0B ，令0x =，则2y =，∴()0,2C ，把1,0A ，()4,0B 代入()220y ax bx a =++≠中，∴2016420a b a b ++=⎧⎨++=⎩， ∴12a =，52b =-， ∴215222y x x =-+； （2）设,22t P t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，(),0Q t ，()215,20＜＜422D t t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∵Q 为PD 中点，∴2115-2202222t t t ⎛⎫++-+=⨯ ⎪⎝⎭， ∴213402t t -+=， ∴12t =，24t =（舍），∴()2,1P ；（3）①如图，由题意可得：PD 为菱形的边，,PM DN 为菱形的对角线，//,PD MN 2,PD MN DM ===由（2）可得：()2,1P ，()2,1D -，2,PD ∴=设22,1M m m -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,42N m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 由2DM =可得：()221234,2m m ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭ 整理得：()()51820,m m --=解得：1218,2,5m m == 检验：2m =不合题意舍去，取18,5m =1811811,,,.5555M N ⎛⎫⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭如图，PD 为菱形的边， //,PD MN 2,PD MN DN ===同理可得：4225,1555N ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭或45252,1.55N ⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭②如图，当PD 为对角线时，由()2,1P ，()2,1D -，()()4,0,0,0,B O可得：,M B 重合，,N O 重合时，四边形PMDN 为菱形，()0,0.N ∴ 综上：4225,1555N ⎛- ⎝，425,1555N ⎛- ⎝，()0,0N ，1811,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，结合菱形的判定与性质、等腰三角形的性质和一元二次方程的求解是解题的关键．5．A解析：（1）①223y x x =-+，②11m -≤≤；（2）12x ≤≤；（3）四边形OABC 是矩形，证明见详解．【分析】（1）利用顶点P 的横坐标求出b =-2,然后把b =-2和B 点的坐标代入求出抛物线的解析式； （2）先求出A 点坐标，然后得出直线AB 的解析式，设M 点坐标为（x ，x 2-2x +3），根据S △ABM =3列出方程，并解方程，从而得出M 点坐标，再根据S △ABM ≥3求出M 横坐标的范围即可；（3）根据抛物线的图象可求出A 、P 、D 的坐标，利用抛物线与直线相交求出B 点坐标，然后求出平移后抛物线的解析式，然后求出C 点坐标，然后求出BC 的长度，从而得出四边形OABC 是平行四边形，再根据∠AOC =90︒得出四边形OABC 是矩形.【详解】解：（1）①依题意, 121b -=⨯, 解得b =-2， 将b =-2及点B (3, 6)的坐标代入抛物线解析式2y x bxc =++，得 26323c =-⨯+，解c =3，所以抛物线的解析式为223y x x =-+，②当2236y x x =-+=，解得1,3x x =-=，当m ≤x ≤3时，y ＝x 2+bx +c 的最小值为2，最大值为6，∴11m -≤≤；（2）∵抛物线 223y x x =-+与y 轴交于点A ，∴ A (0, 3)，∵ B (3, 6)，可得直线AB 的解析式为3y x ，设直线AB 下方抛物线上的点M 坐标为（x ，223x x -+），过M 点作y 轴的平行线交直线AB 于点N , 则N (x , x +3). (如图)，∴ 132ABM AMN BMN B A S S S MN x x ∆∆∆=+=⋅-=， ∴()21323332x x x ⎡⎤+--+⨯=⎣⎦， 解得 121,2x x ==，∴点M 的坐标为(1, 2) 或 (2, 3)，∵S △ABM ≥3，12x ≤≤；（3）结论是：四边形OABC 是矩形，理由如下：如图，由 PA =PO , OA =c , 可得2c PD =，∵抛物线2y x bx c =++的顶点坐标为 24,24b c b P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴ 2442c b c -=， ∴22b c =，∴ 抛物线2212y x bx b =++， A （0，212b ），P （12b -，214b ）, D （12b -，0）， ∴直线OP 的解析式为12y bx =-， ∵ 点B 是抛物线2212y x bx b =++与直线12y bx =-的图象的交点， 令 221122bx x bx b -=++， 解得12,2b x b x =-=-， 可得点B 的坐标为（-b ，212b ）， 由平移后的抛物线经过点A , 可设平移后的抛物线解析式为2212y x mx b =++， 将点D (12b -，0)的坐标代2212y x mx b =++入，得32m b =， ∴ 平移后的抛物线解析式为223122y x bx b =++， 令y =0, 即2231022x bx b ++=， 解得121,2x b x b =-=-， 依题意, 点C 的坐标为（-b ，0），∴ BC =212b ， ∴ BC = OA ，又BC ∥OA ，∴ 四边形OABC 是平行四边形，∵ ∠AOC =90︒，∴ 四边形OABC 是矩形．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，并与几何图形相结合的综合题，难度较高，解题的关键在于灵活运用二次函数的性质及待定系数法，并注重点的坐标与线段长的互相转化．6．（1）12a =-，3b =-，174m =-；（2）见详解；（3）x 的取值范围是：-3≤x ＜0或1≤x≤2．【分析】（1）先将（-1，2）和（1，-2）代入函数y=a （x-1）2+b x +1中，列方程组解出可得a 和b 的值，写出函数解析式，计算当x=4时m 的值即可；（2）描点并连线画图，根据图象写出一条性质即可；（3）画y=x-3的图象，根据图象可得结论．【详解】 解：（1）把（-1，2）和（1，-2）代入函数y=a （x-1）2+b x+1中得： 41212a b b -+=⎧⎨+=⎩，解得：123a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴y=213(1)12x x---+（a≠0）， 当x=4时，m=131791244-⨯-+=-； （2）如图所示，性质：当x ＞2时，y 随x 的增大而减小（答案不唯一）；（3）∵a （x -1）2+b x≥x -4， ∴a （x -1）2+b x+1≥x -3， 如图所示，由图象得：x 的取值范围是：-3≤x ＜0或1≤x≤2． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，描点，画函数图象，以及二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用了数形结合思想进行分析．7．A解析：（1）点A 、B 在抛物线上，理由见解析；（2）1a =，2b =；（3）等腰直角三角形 【分析】（1）BC y ∥轴，故B 、C 中只有一个点在抛物线上，算出AC 的解析式，交y 轴于点()0,3，抛物线与y 轴也交于点()0,3，故C 不符要求，由此解答即可；（2）把A 、B 点的坐标代入解析式，由此解答即可；（3）由平移可得新的解析式，代入()1,4得出D 点的坐标，再判断三角形的形状． 【详解】（1）∵BC y ∥轴，故B 、C 中只有一个点在抛物线上， ∵:3AC y x =+，交y 轴于点()0,3．且抛物线与y 轴也交于点()0,3，故C 不符要求． ∴点A 、B 在抛物线上（2）代入A 、B 到23y ax bx =++．1a =，2b =∴223y x x =++ （3）()212y x =++ ()()210y x t t =+->∴()1,0D t -代入()1,4到()21y x t =+-，10t =（舍），24t =，∴()3,0D∴25AD =，210BD =，25AB = ∴AD AB =，222AD AB BD +=， ∴90BAD ∠=︒．∴ABD △是等腰直角三角形【点睛】本题考查了与待定系数法求二次函数解析式及判断点是否在图像上，平移变换勾股定理等知识，求解析式是解题的关键．8．（1）见解析；（2）①4m =，1(3,)2D -；②存在，76y x =或2y x =或110y x =-【分析】（1）对角线所在的直线为平行四边形的中分线，直径所在的直线为圆的中分线； （2）①将(2,0)A 代入抛物线2132y x x m =-+，得143202m ⨯-⨯+=，解得4m =，抛物线解析式2211134(3)222y x x x =-+=--，顶点为1(3,)2D -；②根据抛物线解析式求出(2,0)A ，(4,0)B ，(0,4)C ，当A 、C 、D 、P 为顶点的四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分，所以平行四边形的中分线必过对角线的交点．Ⅰ．当CD 为对角线时，对角线交点坐标为37(,)24，中分线解析式为76y x =；Ⅱ．当AC 为对角线时，对角线交点坐标(1,2)．中分线解析式为2y x =；Ⅲ．当AD 为对角线时，对角线交点坐标为51(,)24-，中分线解析式为110y x =-． 【详解】解：（1）如图，对角线所在的直线为平行四边形的中分线， 直径所在的直线为圆的中分线，（2）①将(2,0)A 代入抛物线2132y x x m =-+，得 143202m ⨯-⨯+=， 解得4m =，∴抛物线解析式2211134(3)222y x x x =-+=--，∴顶点为1(3,)2D -；②将0y =代入抛物线解析式21342y x x =-+，得 234201x x -+=， 解得2x =或4，(2,0)A ∴，(4,0)B ，令0x =，则4y =，(0,4)C ∴，当A 、C 、D 、P 为顶点的四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分， 所以平行四边形的中分线必过对角线的交点． Ⅰ．当CD 为对角线时，对角线交点坐标为14032(,)22-+，即37(,)24，中分线经过点O ，∴中分线解析式为76y x =； Ⅱ．当AC 为对角线时，对角线交点坐标为2004(,)22++，即(1,2)． 中分线经过点O ，∴中分线解析式为2y x =；Ⅲ．当AD 为对角线时，对角线交点坐标为10232(,)22-+，即51(,)24-，中分线经过点O ，∴中分线解析式为110y x =-， 综上，中分线的解析式为式为76y x =或为2y x =或为110y x =-．【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质与平行四边形的性质是解题的关键．9．A解析：（1）224233y x x =-++；（2）1或2；（3）存在，点M 的坐标为()2,2或102,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭或104,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）把点A 、B 的坐标代入二次函数解析式进行求解即可；（2）过点D 作y 轴平行线交BC 于点E ，由题意易得C 点坐标是（0，2），然后可得直线BC 的解析式，然后可表示点E 坐标，进而可根据铅垂法进行表示△BCD 的面积，最后问题可进行求解；（3）设点M 的坐标为：（x ，y ），点N （1，s ），点B （3，0）、C （0，2），根据题意易得当以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，可分①当BC 是平行四边形的边时，②当BC 为对角线时，然后根据平行四边形的性质及中点坐标公式可求解． 【详解】解：（1）把A （﹣1，0），B （3，0）代入y ＝ax 2+bx +2中，得：209320a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线解析式为224233y x x =-++；（2）过点D 作y 轴平行线交BC 于点E ，把x ＝0代入224233y x x =-++中，得：y ＝2，∴C 点坐标是（0，2）， 又∵B （3，0），∴直线BC 的解析式为y ＝23-x +2，∵点D （m ，224233m m -++）， ∴E （m ，23-m +2），∴DE ＝（224233m m -++）﹣（23-m +2）＝23-m 2+2m ，由S △BCD ＝2S △AOC 得：12×DE ×OB ＝2×12×OA ×OC ， ∴12（23-m 2+2m ）×3＝2×12×1×2，整理得：m 2﹣3m +2＝0 解得：m 1＝1，m 2＝2 ∵0＜m ＜3 ∴m 的值为1或2； （3）存在，理由：设点M 的坐标为：（x ，y ），y ＝224233x x -++，则有点N （1，s ），点B （3，0）、C（0，2），①当BC 是平行四边形的边时，当点C 向右平移3个单位，向下平移2个单位得到B ，同样点M （N ）向右平移3个单位，向下平移2个单位N （M ）， 故：x +3＝1，y ﹣2＝s 或x ﹣3＝1，y +2＝s ， 解得：x ＝﹣2或4，故点M 坐标为：（﹣2，103-）或（4，103-）； ②当BC 为对角线时，由中点公式得：x +1＝3，y +s ＝2， 解得：x ＝2，故点M （2，2）； 综上，M 的坐标为：（2，2）或（﹣2，103-）或（4，103-）． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，关键是根据题意得到函数解析式，然后利用平行四边形的存在性问题可进行分析．10．A解析：（1）211433y x x =-++；（2）2PN =，当2m =时，PN 有最大值，． （3）满足条件的点Q 有两个，坐标分别为：()1,3Q，Q ⎝⎭． 【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入解析式中求解即可；（2）由(1)求得点C 坐标，利用待定系数法求得直线BC 的解析式，然后用m 表示出PN ，再利用二次函数的性质即可求解；（3）分三种情况：①AC=CQ ；②AC=AQ ；③CQ=AQ ，分别求解即可． 【详解】解：（1）将(3,0)A -，(4,0)B 代入24y ax bx =++，得934016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解之，得1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 所以，抛物线的表达式为211433y x x =-++． （2）由211433y x x =-++，得(0,4)C ．将点(4,0)B 、(0,4)C 代入y kx b =+，得404k b b +=⎧⎨=⎩，解之，得14k b =-⎧⎨=⎩．所以，直线BC 的表达式为：4y x =-+．由(,0)M m ，得211,433P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，4(),Q m m -+．∴221114443333PQ m m m m m =-+++-=-+∵OB OC =，∴45ABC OCB ∠=∠=︒．∴45PQN BQM ∠=∠=︒． ∴22214222sin 4523363PN PQ m m m m ⎛⎫=︒=-+=-+ ⎪⎝⎭． 2222(2)63m =--+． ∵206-< ∴当2m =时，PN 有最大值，最大值为223． （3）存在，理由如下：由点(3,0)A -，(0,4)C ，知5AC =．①当AC CQ =时，过Q 作QE y ⊥轴于点E ，易得222222[4(4)]2CQ EQ CE m m m =+=+--+=，由2225m =，得152m =252m = 此时，点5285222Q ⎛- ⎝⎭； ②当AC AQ =时，则5AQ AC ==．在Rt AMQ △中，由勾股定理，得22[(3)](4)25m m --+-+=． 解之，得1m =或0m =（舍） 此时，点()1,3Q ； ③当CQ AQ =时，由2222[(3)](4)m m m =--+-+，得252m =（舍）． 综上知所述，可知满足条件的点Q 有两个，坐标分别为：()1,3Q ，52852Q -⎝⎭．【点睛】本题是一道二次函数与几何图形的综合题，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算．二、中考几何压轴题11．（1）①，②；（2），，证明见解析；（3）或 【分析】（1）①由锐角三角函数可得AC ＝BC ，CF ＝CE ，可得AF ＝AC−CF ＝（BC−CE ），BE ＝BC−CE ，即可求； ②由垂直的定义可得AF ⊥B解析：（1）②AF BE ⊥；（2）AFBE=AF BE ⊥，证明见解析；（3）AF =AF =【分析】（1）①由锐角三角函数可得AC ，CF ，可得AF ＝AC−CF BC−CE ），BE ＝BC−CE ，即可求AFBE=； ②由垂直的定义可得AF ⊥BE ；（2）由题意可证△ACF ∽△BCE ，可得AF ACBE BC==∠FAC ＝∠CBE ，由余角的性质可证AF ⊥BE ；（3）分两种情况讨论，由旋转的性质和勾股定理可求AF 的长． 【详解】解：（1）∵90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，∴tan BC A AC ∠==，∴AC =， ∵EF AB ∥， ∴30CFE A ∠=∠=︒，∴tan CE CFE CF ∠==∴CF =，∴)AF AC CF BC CE =-=-，BE BC CE =-，∴AFBE， ∵90ACB ∠=︒， ∴AF BE ⊥，AF BE ⊥；（2）AFBE=AF BE ⊥ 如图，连接AF ，延长BE 交AF 于G ，交AC 于点H ，∵旋转，∴BCE ACF ∠=∠， ∵3AC BC =，3CF CE = ∴3AC CFBC CE==，且BCE ACF ∠=∠， ∴ACF BCE ∆∆∽， ∴3AF ACBE BC==，FAC CBE ∠=∠， ∵90CBE BHC ∠+∠=︒， ∴90FAC AHG ∠+∠=︒， ∴AF BE ⊥；（3）①如图，过点C 作CG AF ⊥交AF 的延长线于点G ，∵3AC BC ，3CF CE =，3BC =，2CE =， ∴AC 33=23CF = ∵30CFE ∠=︒，90FCE ∠=︒，∴60FEC ∠=︒，且,,B E F 三点在同一直线上， ∴120CEB ∠=︒， ∵旋转，∴120AFC BEC ∠=∠=︒， ∴60CFG ∠=︒，且CG AF ⊥， ∴132GF CF ==33CG GF ==，∴2227932AG AC CG -- ∴323AF AG FG =-= ②如图，过点C 作CG AF ⊥于点G ，∵3AC BC ，3CF CE =，3BC =，2CE =， ∴AC 33=23CF = ∵30CFE ∠=︒，90FCE ∠=︒， ∴60FEC ∠=︒，∵旋转，∴60AFC BEC ∠=∠=︒，且CG AF ⊥， ∴132GF CF ==33CG GF ==，∴2232AG AG CG - ∴323AF AG GF =+= 【点睛】本题是相似综合题，考查了平行线的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．12．（1）；（2）结论成立，见解析；（3）1或2 【分析】（1）问题发现：通过角的关系可证△ABD ∽△DCE ，根据相似三角形对应边成比例可得到线段的关系；（2）拓展探究:可证明△ABD ∽△DCE ，解析：（1）AB BDDC CE=；（2）结论成立，见解析；（3）1或2 【分析】（1）问题发现：通过角的关系可证△ABD ∽△DCE ，根据相似三角形对应边成比例可得到线段的关系；（2）拓展探究:可证明△ABD ∽△DCE ，即可得到结论； （3）解决问题:可证△PBM ∽△MCG ，然后得到PB BMMC CG=，用t 可表示线段的长，当G 点在线段AC 上时，若△APG 为等腰三角形时，则AP ＝AG ，代入计算即可；当G 点在CA 延长线上时，若△APG 为等腰三角形时，则△APG 为等边三角形，代入计算得到t ． 【详解】 解：（1）问题发现AB ，CE ，BD ，DC 之间的数量关系是：AB BDDC CE=， 理由：∵△ABC 是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BAD+∠ADB＝180°﹣60°＝120°，∠ADE＝60°，∴∠CDE+∠ADB＝180°﹣60°＝120°，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE，∴AB BDDC CE=．故答案为：AB BD DC CE=．（2）拓展探究（1）中的结论成立，∵AB＝AC，∠B＝α，∴∠B＝∠C＝α，∴∠BAD+∠ADB＝180°﹣α，∵∠ADE＝α，∴∠CDE+∠ADB＝180°﹣α，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE，∴AB BDDC CE=；（3）解决问题∵∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BPM+∠PMB＝180°﹣30°＝150°，∵∠PMG＝30°，∴∠CMG+∠PMB＝180°﹣30°＝150°，∴∠BPM＝∠CMG，又∠B＝∠C＝30°，∴△PBM∽△MCG，∴BP BMMC CG=，由题意可知AP＝t，BM＝3t，即BP＝4﹣t，如图1，过点A作AH⊥BC于H，∵∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，∴AH ＝2cm ，BH ＝22AB AH -＝2242-＝23cm ，∵AB ＝AC ，AH ⊥BC ，∴BC ＝2BH ＝43cm ，∴MC ＝（433-t ）cm ，∴43433t t cGt -=-，即CG ＝3t ， 当G 点在线段AC 上时，若△APG 为等腰三角形时，则AP ＝AG ，如图2，此时AG ＝AC ﹣CG ＝4﹣3t ，∴4﹣3t ＝t ，解得：t ＝1，当G 点在CA 延长线上时，若△APG 为等腰三角形时，如图3，此时∠PAG ＝180°﹣120°＝60°，则△APG 为等边三角形，AP ＝AG ，此时AG ＝CG ﹣AC ＝3t ﹣4，∴3t ﹣4＝t ，解得：t ＝2，∴当△APG 为等腰三角形时，t 的值为1或2．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握分类的思想方法是解题的关键．13．（1）等腰三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）；（4）或【分析】（1）如图1中，△AFG 是等腰三角形，利用全等三角形的性质证明即可． （2）如图2中，过点O 作OL ∥AB 交DF 于L ，则∠AFG解析：（1）等腰三角形，理由见解析；（2）见解析；（3545105【分析】（1）如图1中，△AFG是等腰三角形，利用全等三角形的性质证明即可．（2）如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG=∠OLG．首先证明OG=OL，再证明BF=2OL即可解决问题．（3）如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA=∠CDA=90°，利用相似三角形的性质解决问题即可．（4）设OG=a，AG=k．分两种情形：①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G 在OA上．②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．分别求解即可解决问题．【详解】（1）解：如图1中，△AFG是等腰三角形．理由：∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠2，∵DF⊥AE，∴∠AHF=∠AHG=90°，∵AH=AH，∴△AHF≌△AHG（ASA），∴AF=AG，∴△AFG是等腰三角形．（2）证明：如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG=∠OLG．∵AF=AG，∴∠AFG=∠AGF，∵∠AGF=∠OGL，∴∠OGL=∠OLG，。