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数学与应用数学专业课程设计
金融数学课程设计
公式在认股权证定价中的应用
题目 B-S
YUE 姓名
111010402 班级
学号
1. 课程设计评价参考标准及得分（占80%）
绩文成论
任课教师签名
2
B-S公式在认股权证定价中的应用
【摘要】在全球证券市场上，权证被越来越多的投资者应用作为投资、对冲、套利的工具。从我国为配合股权分置改革而再次推出权证，并很快得到市场的认可，市场交投活跃，成交量直线上升，在全球权证交易金额排名靠前，为活跃我国资本市场做出了巨大的贡献。但是，我国权证市场一直存在着换手率过高、投机氛围浓厚、定价偏高等现象，导致此现象的原因错综复杂，但关键原因之一是我国认股权证定价不合理，因此定价问题的研究就具有很重要的现实意义和研究价值。本文我们基于B-S公式模型做认股权证定价研究，优化认股权证定价，以及讨论B-S公式在认股权证定价中的运用。
【关键词】证券市场认股权证权证定价 B-S模型
一、引言
作为现代金融创新中一种被普遍运用的衍生工具,权证以其融资便利、对冲风险、高杠杆性等优点获得上市公司和投资者的广泛欢迎。同时,通过权证与债
券等金融工具的组合,可以创造出更多的、具有不同风险收益特征的金融产品。因此，它理所当然成为新兴市场金融创新的首选品种。在我国内地资本市场上权证也正在作为一股新生力量茁壮发展起来。随着2005年股权分置改革的进行上市公司纷纷推出公司股票认股权证，作为一种对流通股股东的对价支付方式。从而使得关闭多年的权证市场重新打开。
在我国内地证券市场期货、股票期权等金融产品条件还不成熟的条件下，率先推出权证产品是安全、有效和可行的选择。推出权证产品有利于我国证券市场尽快实现与国际市场的接轨，可以为投资者提供新的投资工具活跃市场交易，同时有利于券商提升竞争力，参与国际竞争。
一直以来，我国证券市场上投资品种单一，没有任何避险工具，投资者只能进行方向性交易追涨杀跌，这些都加剧了市场的整体风险。权证作为现代金融创新中的一种基本工具，其品种十分丰富，同时权证与债券等金融品种组合，又可创新出更多的具有不同收益风险特征的金融产品，有助于投资者进行风险管理。在结合当前国内市场实际情况的基础上，科学合理地对权证进行理论定价，对市场行为进行指导就显示出其紧迫性及重要性。
二、认股权证定价
2.1认购——认沽平价原理
权证的定价模型一般考虑认购权证的情形，并给出由模型推导出的定价公式，对认沽权证而言，在知道了相应认购权证的定价之后，可以由认购权证与认沽权证的平价关系进行简单推算得出认沽权证的定价公式。
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认购—认沽平价2.2p X、行权比例（假定）、行权价（记为对具有相同标的
证券（现价记为）0P、相同结算方式）、相同到期日（假定到到期日的无风险借贷利率为）为1：1（记认我们首先考虑如下两种投资策略的损益状态的欧式认购、认沽权证而言，PP认沽权证的价格为；购权证的价格为）,cP从两种投资策略期末的损益状态来看，无论到期标的证券的价格如何变化，策略如果场不存在无风险套利的情形的话，它们都具有同样的收益结果，因此，就是完全等价的，
即：与策略BA??R1P?X/??PP?cP0认购权证与认沽权证价格之间的这种关系成为：认购—认沽平价关系。 2.3简单实例4.53（以宝钢权证为例，假定某机构发行了宝钢股份的认沽权证，其行权价格、到期日、行权比例、结算方式与目前市场交易的宝钢认购权证完全一样，元），我该认沽权证成功上市并进行交易。假定与到期期限匹配的无风险利率为4% 们计算该认沽权证的价格。1.1034.31日收盘时宝钢股份、宝钢认购权证的价格、9以2013年月23 元
为基础，利用上述计算公式，可以得出宝钢认沽权证的价格为：????元
149%41?PX/1?R?P?.103?.53/1?4.?431?1.0c B-S公式模型的研究。此价格相对于实际价格偏高，进而我们下面做 Black-Scholes定价模型三、 3.1 Black-Scholes期权定价模型的假设条件 Black-Scholes期权定价模型
的七个假设条件如下：。S期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为风险资产（Black-Scholes 遵循几何布朗运动，即：S dS??dz??dt S
?dt?dzdt dz，称为为均值为零，方差为的无穷小的随机变化值（其中，?代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为标准布朗运动，1的正态分布）??则是股票价，中取的一个随机值）为股票价格在单位时间内的期望收益率，4
??和格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。都是已知的。来简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）?可以，源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化被称为漂移项，?dz，可以
看作随机波动使得被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即股票价格变动偏离总体趋势的部分。．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外2 部因素。 3. 资产价格的变动是连续而均匀的，不存在
突然的跳跃。该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分4.
的。r保持不变，投资者可以此利率无限制地在期权有效期内，无风险利率5. 进行借贷。 6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。．所有无风险套利机会
均被消除。7期权定价公式3.2 B-S得到了如下适用于无收益资产Scholes
在上述假设条件的基础上，Black和微分方程：欧式看涨期权的
Black-Schole2f?f1??f22?rfrSS???2S?S2??t
其中f为期权价格，其他参数符号的意义同前。得到了如下适用于无收益资产欧式看Black和Scholes通过这个微分方程，涨期权的定价公式：
????)?tr(T?d?SNd?XeNc12其中，
2?/2)(T?t)Sln(/X)?(r?d?1?T?t2?/2)(?rT?t))ln(S/X?(?T???dt?d12?T?t
??xN c为标准正态分布变量的累计概率为无收益资产欧式看涨期权价格；x的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有：分布函数（即这个变量小于
5
????xN?1N??x
3.3 Black-Scholes期权定价公式的理解
????)T?t?r(dSNdKeN K可看作可看作证券或无价值看涨期权的多头；1. 21份现金或无价值看涨期权的多头。????dNdN/?S??f份证可以证明，。为构造一份欧式看涨期权，需持有11??rT?dKeN的现金。券多头，以及卖空数量为2Black-Scholes 期权定价公式用于不支付股利的欧式看涨期权的定价。
2.风险中性定价原理
风险中性定价原理：我们可以注意到期权价格是与标的资产的预期收益率无
???tSC,?S tTK r无有关，而与股票的期望收益率、与、关的。、以及、
关。这说明欧式Call的价格与投资者的风险偏好无关。
在对欧式Call 定价时，可假设投资者是风险中性的（对所承担的风险不要求额外回报，所有证券的期望收益率等于无风险利率）。
为了更好地理解风险中性定价原理，我们可以举一个简单的例子来说明。
假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。
由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。
?单位的我们可构建一个由一单位看涨期权空头和为了找出该期权的价值，标的股票多头组成的组合。若3个月后该股票价格等于11元时，该组合价值等??元。该组合价值等于9个月后该股票价格等于若3911于（元时，－0.5）元；?值，
