中心对称图形的性质与图形面积的等分

关键点十七 图形的分割与剪拼纵观近年来全国各地的中考试卷，图形操作型的问题渐多，而这些题又可分为两大类：一类是围绕“图形变换”展开的（我们已有专题论及），另一类是围绕图形的分割与剪拼展开的。

我们现在要研究的，就是这后边的一类，分割与剪拼的形式与依据主要有：Ⅰ、原图形基础上进行分割，而分割的要求又分为： （1）借助于“边、角”计算的分割； （2）依“面积等分”为要求的分割；Ⅱ、将原图形等面积地变化成新图形的“剪与拼”。

一、图形的分割1、借助于“边、角”计算的分割例1 （1）已知ABC ∆中，︒=∠︒=∠5.67,90B A ，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形。

（2）已知ABC ∆中，C ∠是其最小的内角，过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求ABC ∠与C ∠之间的关系。

【观察与思考】对于（1）只需“构造等角”；对于（2）， （1） 可从“等边”推演角之间的关系。

解：（1）如图①，图②，有两种不同的分割法。

（2）设ABC ∠y =，C ∠x =，过顶点B 的直线 ① 交边AC 于D 。

在等腰三角形DBC 中，①若C ∠是顶角，如图③，则︒>∠90ADB ，,2190)180(21x x CDB CBD -︒=-︒=∠=∠ y x A --︒=∠180。

②此时只能有ABD A ∠=∠，即)2190(180x y y x -︒-=--︒， ︒=+∴54043y x ，即ABC ∠与C ∠的关系是：C ABC ∠-︒=∠43135。

②若C∠是底角，则有两种情况。

③AC A BC︒5.67 ︒5.67 ︒5.22︒5.22AB C︒45 ︒5.22︒5.22︒45 ABC DABD ∆中，x y ABD x ADB -=∠=∠,2。

Ⅰ、由AD AB =，得x y x -=2，此时有x y 3=，即有关系C ABC ∠=∠3。

④ Ⅱ、由BD AB =，得x yx 2180=--︒，此时 ︒=+1803y x ，即C ABC ∠-︒=∠3180。

轴对称、中心对称图形的性质及应用一、轴对称图形如果把一个图形沿着某一条直线对折过来，在直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的点互为对称点．轴对称图形具有以下的性质：(1)轴对称图形的两部分是全等的；(2)对称轴是连结两个对称点的线段的垂直平分线．在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质．譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等．另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中．例1 已知直线l外有一定点 P，试在l上求两点A、B，使AB＝m(定长)，且PA＋PB最短．分析当把P点沿l方向平移至C(如图1)，使PC＝m，那么问题就转化为在l上求一点B，使CB＋PB为最短．作法过P作PC∥l，使PC＝m，作P关于l的对称点P＇，连结CP＇交l于B．在l上作AB＝m，点A、B为所求之两点．证在l上另任取A＇B＇＝m，连PA、PA＇、PB＇，CB＇，A＇P＇，B＇P＇，则PA＇＝P＇A＇，PB＇＝P＇B＇，又PA＇B＇C 为平行四边形，∴CB＇＝PA＇．∵CB＇＋B＇P＇＞CP＇，∴ PA＇＋PB＇＞PA＋PB．例2 如图2，△ABC中，P为∠A外角平分线上一点，求证：PB＋PC＞AB＋AC．分析由于角平分线是角的对称轴，作AC关于AP的轴对称图形AD，连结DP、CP，则DP＝CP，BD＝AB＋AC．这样，把 AB＋AC、AC、PB、PC集中到△BDP中，从而由PB＋PD＞BD，可得PB＋PC＞AB＋AC．证 (略)说明通过变为轴对称图形后，起到相对集中条件的作用，又有将折线化直的作用(如AB＋AC化直为BD)．例3 等腰梯形的对角线互相垂直，且它的中位线等于m，求此梯形的高．解如图3．设等腰梯形AD∥BC，AB＝DC，对角线AC与BD相交于O，且AC⊥BD，中位线EF＝m．过AD、BC的中点M、N作直线，由等腰梯形ABCD关于直线MN成轴对称图形，∴O点在MN上，且OA＝OD，OB＝OC，AM＝DM，BN＝CN．又 AC⊥BD，故△AOD和△BOC均为等腰直角三角形．2OM＝AD，2ON＝BC．∵AD＋BC＝2EF＝2m，∴2OM＋2ON＝2m．∴OM＋ON＝m，即梯形高MN＝m．例4 凸四边形EFGH的四个顶点分别在边长为a的正方形ABCD的四条边上．证如图4，连结AA2，EE3．正方形ABCD和正方形A1BCD1关于BC对称；EFGH和E1FG1H1关于BC对称；A1BCD1和A2B1CD1关于 CD1对称；E1FG1H1和 E2F1G1H2关于CD1对称；A2B1CD1和A2B2C1D1关于A2D1对称，E2F1G1H2和E3F2G2H2关于A2D1对称．例5 如果一个四边形关于它的两组对边中点的两条连线成轴对称，则此四边形为矩形．已知如图22－5．四边形ABCD中，M、F、N、E分别为各边的中点，且MN、EF为它的对称轴．求证 ABCD是矩形．分析欲证ABCD是矩形，首先证明它是平行四边形，再证明它有一个直角即可．证∵四边形ABCD关于EF成轴对称，∴DC⊥EF，AB⊥EF，∴AB∥DC．同理AD∥BC．∴ABCD是平行四边形．∴DC＝AB．又∵DE＝DC/2，AF＝AB/2．∴DE AF，∴ADEF为平行四边形．∴AD∥EF，而DE⊥EF，∴DE⊥AD，∠D＝Rt∠．∴ABCD是矩形．二、中心对称图形如果把一个图形绕着某一点旋转180°后，能和原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．这个点叫做对称中心，能重合的点互为对称点．中心对称图形具有以下性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．(2)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一条直线上)且相等．平行四边形是中心对称图形．矩形、菱形、正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形．例6 如图6．已知ABCD，O是对角线 AC与BC的交点． EF过O点与AB交于E，与DC交于F．求证：OE＝OF．证∵O点是ABCD的对称中心，EF过O点与AB相交于E，与DC相交于F．故E、F两点是以点O为对称中心的对称点．∴OE＝OF．例7 △ABC中，底边BC上的两点M、N把BC三等分，BE是AC上的中线，AM、AN分BE 为a，b，c三部分，求：a∶b∶c．分析本题解法很多，我们利用中心对称图形求解．如图7，以E为中心，作已知图形的中心对称图形，则M＇C∥AM，N＇C ∥AN，于是可得a∶(2b＋2c)＝1/2，∴a＝b＋c，①(a＋b)∶2c＝DN＇∶N＇A＝2∶1，∴a＋b＝4c，②由①得，a－b＝c，③②＋③， 2a＝5c，∴a＝5c/2．②－③，2b＝3c，∴b＝3c/2．∴ a∶b∶c＝5c/2∶3c/2∶c＝5∶3∶2．解 (略)例8 若四边形的一组对边相等，延长这一组对边，使各与另一组对边的中点连线的延长线相交，则这两个交角必相等．已知如图8．四边形ABCD中， AD＝BC，E、F分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线分别与EF的延长线交于G、H．求证∠AGE＝∠BHE．分析为了使求证的两个角与已知条件发生联系，利用“旋转法”使角或线段搬家而沟通思路．证如图8，以E为对称中心，作△EBC的中心对称图形△EAM(即连结CE并延长CE到M 使EM＝EC，连结AM)．连结DM，AM＝BC＝AD，∴∠2＝∠3．∵DF＝FC，CE＝EM，∴DM∥HE，∴∠1＝∠2．∵AE＝EB， EM＝EC，∴AMBC是平行四边形．∴AM∥BH，而DA∥HE，∴∠3＝∠BHE．∴∠1＝∠BHE，即∠AGE＝∠BHE．习题1．如图9 一牧童在A处牧马，牧童家在B处．A、B处距河岸分别为300m、500m，CD ＝600m，天黑前，牧童从A点将马牵到河边去饮水后再赶回家．那么牧童最少要走多少米？2．证明：任一点关于正方形各边中点的对称点是一个正方形的顶点．3．求证：在四边形ABCD中，如果AB＝AD，CB＝CD，那么它的面积等于AC·BD/2．4．在直线MN两侧有A，B两点，在MN上求一点P，使P到A、B两点之差最大．5．等腰梯形的周长为22cm，中位线长为 7cm，两条对角线中点连线为3cm，求各边长．。

初中数学中中心对称图形中的面积等分中心对称图形属于图形变换中旋转的特殊形式，它具有独特的一些性质，下面仅从图形的面积角度对中心对称图形进行研究。

一、中心对称图形的相关知识定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，能够重合的顶点叫做对应点（或对称点）。

常见的中心对称图形有：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、边数为偶数的正多边形、圆等。

一般地，中心对称图形的对称中心是唯一的，在图形的内部。

如线段的对称中心为线段的中点；平行四边形、矩形、菱形、正方形这些图形的对称中心为对角线的交点；边数为偶数的正多边形的对称中心为图形的中心；圆的对称中心是圆心。

由定义易得中心对称图形的性质：每组对应点的连线段经过对称中心且被对称中心平分。

在判断一个图形是否是中心对称图形，可以先初步确定对称中心的位置，再由图形的一个顶点与对称中心连线并延长（构建1800），延长线是否经过图形的另外的顶点，若经过，再判断顶点到对称中心的距离是否相等，若都具备，在判断另外的几对对应点是否具有这些性质。

若均具备则是中心对称图形，否则，不是。

二、中心对称图形中的面积等分线中心对称图形中，经过对称中心的任意一条直线将图形的面积被平分。

例1：人教版八年级数学教材 51页 14题如图，用硬纸板剪一个平行四边形，做出它的对角线的交点O，用大头针把一根平放在平行四边形上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，使随意停留在任意位置，观察几次拨动的结果，你发现了什么?解：如图，木条和平行四边形组合成图形，该图形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点O。

当木条绕点O旋转过程中，可以与一组对边AD、BC相交，也可与对边AB、CD相交，此时木条和对角线把平行四边形ABCD分割成六个基本的三角形，三角形①和三角形④、三角形②和三角形⑤、三角形⑥和三角形③分别关于点O中心对称，它们分别全等，且三角形⑥①②在木条一侧，三角形③④⑤在木条另一侧，利用面积割补法易得S⑥+S①+S②=S③+S④+S⑤即木条平分平行四边形ABCD的面积。

中心对称图形的一个性质及应用(初三)
乐华平;陈艳
【期刊名称】《数理天地：初中版》
【年(卷),期】2002(000)004
【摘要】将一个图形绕某一个点旋转180°时,如果旋转后的图形和原来的图形重合,这个图形就叫做中心对称图形.它有一个重要的性质:过中点的任一直线均能将图形分成面积相等的两部分().现结合实例谈谈这个性质的应用,以飨读者.
【总页数】1页(P17-17)
【作者】乐华平;陈艳
【作者单位】湖北省洪湖市府场中学;湖北省洪湖市府场中学;433226;433226【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
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16章轴对称图形和中心对称图形轴对称1.如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形。

2.如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。

（对于一个图形来说）3.把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称。

这条直线就是对称轴。

两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做对称点。

（对于两个图形来说）4.轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段相等，对应角相等。

中心对称5.把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称（central symmetry），这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。

6.于中心对称的两个图形是全等形。

7.关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

8.关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）垂直平分线9.经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。

垂直平分线，简称“中垂线”。

10.垂直平分线垂直且平分其所在线段。

11.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。

12.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。

13.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

14.到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

1st17章特殊三角形等腰三角形及等边三角形1.有两边相等的三角形是等腰三角形。

2.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）。

3.三边都相等的等腰三角形是等边三角形。

4.等边三角形的三个角都相等，并且每个角都为60°，5.如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。

初中数学专题讲座---------直线等分面积问题一、直线等分常见的一些特殊图形二、直线等分三角形（1）不受限制的等分（2）过一边上一点等分三、直线等分梯形（1）不受限制的等分（2）过一腰上一点等分四、等分基本图形练习：1、作图题，请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分，请用一条直线把阴影部分的面积两等分．（保留作图痕迹）2、在一个矩形中，把此矩形面积二等分的直线最多有条，这些直线都必须经过此矩形的点（一个矩形只画一条直线，不写画法）．3、轴对称图形的对称轴将图形面积二等分，中心对称图形过对称中心的直线将图形面积二等分．请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分．4、在一个矩形中，把此矩形面积两等分的直线最多有条，这些直线都必须经过该矩形．5、在复习“四边形”时，刘老师出了这样一道题：如图1，已知四边形ABCD、BEFG都是矩形，点G、H分别在AB、CD上，点B、C、E在同一条直线上．（1）当S矩形AGHD=S矩形CEFH时，试画一条直线将整个图形面积2等分．（不写画法）（2）①当S矩形AGHD＜S矩形CEFH时，如图3；②当S矩形AGHD＞S矩形CEFH时，如图4．画一条直线将整个图形面积2等分，在（1）的基础上，应该如何画图呢？（不写画法，保留作图痕迹或简要的文字说明）（3）小娟和小宇两位同学的画法是图5和图6：刘老师看过之后说这两个图形实质上体现的是一种画法，请你用简要的文字说明两个图形画法的共同点：（把原图形分割或构造成两个矩形，再过这两个矩形对角线的交点画一条直线）．6、通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式7、如图所示，▱ABCD内有一圆，请你画一条直线，同时将圆和平行四边形的周长二等分．（保留画图痕迹，并简要说出画图步骤）8、提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB=BC=5cm，AC=6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．9、提出问题：如图，在“儿童节”前夕，小明和小华分别获得一块分布均匀且形状为等腰梯形和直角梯形的蛋糕（AD∥BC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将自己的这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线既平分了梯形的面积，又平分了梯形的周长，我们称这条线为梯形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以模仿着在自己的蛋糕（图2）中画了一条直线EF分别交AD、BC于点E、F．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．若图2中AD∥BC，∠A=90°，AD＜BC，AB=4cm，BC=6cm，CD=5cm．请你找出梯形ABCD的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．10、阅读下面问题的解决过程：问题：已知△ABC 中，P 为BC 边上一定点，过点P 作一直线，使其等分△ABC 的面积． 解决：情形1：如图①，若点P 恰为BC 的中点，作直线AP 即可．情形2：如图②，若点P 不是BC 的中点，则取BC 的中点D ，连接AP ，过点D 作DE ∥AP 交AC 于E ，作直线PE ，直线PE 即为所求直线． 问题解决：如图③，已知四边形ABCD ，过点B 作一直线（不必写作法），使其等分四边形ABCD 的面积，并证明．11、如图，把一个等边三角形的顶点放置在正六边形的中心O 点，请你借助这个等边三角形的角，以角为工具等分正六边形的面积，等分的情况分别为 等分． 12、用一条直线把下图分成面积相等的两部分．13、用三种不同的方法把▱ABCD 的面积四等分，并简要说明分法．14、、如图，所示，张家兄弟要平分这块地，请你用一条直线把它分成面积相等的两部分．（至少有两种画法）15、抛物线y=x 2，212y x =-和直线x=a （a ＞0）分别交于A 、B 两点，已知∠AOB=90°．（1）求过原点O ，把△AOB 面积两等分的直线解析式； （2）为使直线2y x b =+与线段AB 相交，那么b 值应是怎样的范围才适合．16、如图长为2的线段PQ 在x 的正半轴上，从P 、Q 作x 轴的垂线与抛物线y=x 2交于点p '、12题Q′．（1）已知P的坐标为（k，0），求直线OP′的函数解析式；（2）若直线OP′把梯形P′PQQ′的面积二等分，求k的值．17、一条直线过△ABC的内心，且平分三角形的周长，那么该直线分成的两个图形的面积比为（）A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：118、某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；…现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探究知=S△ABC，请证明．问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究与S四边形ABCD之间的数量关系．问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD=1，求．问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．19、阅读下面材料，再回答问题：有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如：圆的直径所在的直线是圆的“二分线”，正方形的对角线所在的直线是正方形的“二分线”．解决下列问题：（1）菱形的“二分线”可以是（2）三角形的“二分线”可以是（3）在下图中，试用两种不同的方法分别画出等腰梯形ABCD的“二分线”，并说明你的画法．20、用一条直线将一个直角梯形分成面积相等的两部分，请你在下面的图中分别画出两种不同的分割图形．21、下图所示是一块木板的示意图，能不能用一条直线把这块木板分成面积相等的两部分．（3种画法）22、如图所示的图案是一个轴对称图形，直线l是它的一条对称轴，如果最大圆的半径为2，那么阴影部分面积是（）A．π B．2π C．3π D．4π23、如图所示是由7个完全相同的正方形拼成的图形，请你用一条直线将它分成面积相等的两部分．（在原图上作出）．24、九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形．证明：这九条直线中至少有三条经过同一点．抽屉原理．专题：证明题．分析：首先根据抽屉定理证明9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形中至少有5条直线穿过一对边，然后再根据抽屉原理证明至少必有三点经过同一点．解答：证明：按抽屉原理，9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形，则至少有5条直线穿过一对边．又2：3≠1：1，根据“梯形的面积等于中位线长乘以高”，可知这5条直线必过正方形的一条对边中点连线上的两定点．故若5个点不全经过一点，则必经过这条直线上的两点，再据抽屉原理，至少必有三点经过同一点．25、一条直线平行于直线y=2x-1，且与两坐标轴围成的三角形面积是4，则直线的解析式是A．y=2x+4 B．y=2x-4 C．y=2x±4 D．y=x+2 （）26、把一个圆心为点O，半径为r的圆的面积四等分，请你尽可能多地设想各种分割方法．如图，如果圆心也是点O的三个圆把大圆O的面积四等分．求这三个圆的半径OB、OC、OD的长．27、已知直线AB与x，y轴分别交于A、B（如图），AB=5，OA=3，（1）求直线AB的函数表达式；（2）如果P是线段AB上的一个动点（不运动到A，B），过P作x轴的垂线，垂足是M，连接PO，设OM=x，图中哪些量可以表示成x的函数？试写出5个不同的量关于x的函数关系式．（这里的量是指图中某些线段的长度或某些几何图形的面积等）28、（1）如图1所示，已知△ABC中，D为BC的中点，请写出图1中，面积相等的三角形：，理由是（2）如图2所示，已知：平行四边形A′ABC，D为BC中点，请你在图中过D作一条线段将平行四边形A′ABC的面积平分，平分平行四边形A′ABC的方法很多，一般地过画直线总能将平行四边形A′ABC的面积平分．（3）如图3所示，已知：梯形ABCA′中，AA′∥BC，D为BC中点，请你在图3中过D作一条线段将梯形的面积等分．（4）如图4所示，某承包人要在自己梯形ABCD（AD∥BC）区域内种两种等面积的作物，并在河岸AD与公路BC间挖一条水渠EF，EF左右两侧分别种植了玉米、小麦，为了提高效益，要求EF最短．①请你画出相应的图形．②说明方案设计的理由．19、如图，抛物线y=ax2-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y=kx-1（k≠0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值．。

第三章中心对称图形（一）一、平移1、定义在平面内，将一个图形整体沿某方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

2、性质平移前后两个图形是全等图形，对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。

二、旋转1、定义在平面内，将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2、性质旋转前后两个图形是全等图形，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。

三、四边形的相关概念1、四边形在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。

2、四边形具有不稳定性3、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。

四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。

推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于∙-)2(n180°；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。

6、设多边形的边数为n，则多边形的对角线共有2)3(-nn条。

从n边形的一个顶点出发能引（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形。

四．平行四边形1、平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等。

（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。

（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。

（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

3、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

几何图形的重心及面积的平分“凡是没有发自内心求知欲和兴趣的东西，是很容易从记忆中挥发掉的”。

赞可夫这句话说明了发散思维能力的形成，需要以乐于求异的心理倾向作为一种重要的内驱力。

教师妥善于选择具体题例，创设问题情境，精细地诱导学生的求异意识。

对于学生在思维过程中时不时地出现的求异因素要及时予以肯定和热情表扬，使学生真切体验到自己求异成果的价值。

对于学生欲寻异解而不能时，教师则要细心点拨，潜心诱导，帮助他们获得成功，使学生渐渐生成自觉的求异意识，并日渐发展为稳定的心理倾向，在面临具体问题时，就会能动地作出“还有另解吗？”“试试看，再从另一个角度分析一下！”的求异思考。

事实证明，也只有在这种心理倾向驱使下，那些相关的基础知识、解题经验才会处于特别活跃的状态，也才可能对题中数量作出各种不同形式的重组，逐步形成发散思维能力。

例如:初中八年级数学人教版课本中讲到了三角形和特殊四边形的重心问题，由于课本涉及的内容不多，并且涉及的图形过于特殊，很容易造成两个思维错误，一是认为过重心的直线必平分这个图形的面积，二是认为四边形的重心就是对角线的交点或对边中点连线的交点。

现就这两个问题进行一些分析。

一、过一个图形的重心的直线不一定平分这个图形的面积。

现分析一个特例：过△ABC的重心F作AB的平行线则有 GH ：AB = 2 ：3∴ S△CGH：S△CAB = 4 ：9∴ S△CGH：S四边形GABH = 4 ：5显然：S△CGH与S四边形GABH的面积不相等。

也就是说，过重心F的直线GH没有把这个三角形的面积平分。

DA BA B上例中，过重心的直线没有通过顶点，那么过顶点和重心的直线是不是一定平分面积呢，这将在后面讲到。

实际上，只有在中心对称图形中，过重心的直线才平分这个图形的面积。

如平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形等。

要有新的突破训练是以知识中最原始的基本概念为魂，以知识的内在联系为线，对学生已有的知识进行多方位、多角度 的再现。

正方形二等分6种分法本文将介绍正方形二等分6种分法。

一、中心对称分法中心对称分法是最为基础的正方形二等分分法。

首先将正方形的中心点连线，并垂直这条中心线，分别连接两边中点和四角点。

然后再将四角点和中心线上一点相连，则可将正方形二等分为8个等面积图形。

二、好利来定理分法好利来定理是一条几何定理，可以大大简化正方形二等分的计算。

这个定理是指：在正方形ABCD中，过对角线AC的中点M，做垂直于AD的直线MN，交BC于点N，则BN^2=2MN^2。

利用好利来定理，我们可以将正方形分为四个等面积的三角形和一个等面积的菱形。

三、L-形分法L-形分法是将正方形分为两个L形图形的分法。

首先在正方形的右上角和左下角分别做一个权值相等且形状相似的L形。

然后将它们分别旋转90度，再垂直翻转，就可以得到两个等面积的L形图形。

因此，L-形分法将正方形二等分为两个等面积的L形图形。

四、倒A字形分法倒A字形分法是将正方形分为两个倒A字形图形的分法。

首先在正方形的正上方和正下方分别做一个倒A字形，它们的高应等于正方形的一半。

将这两个图形沿正方形的中心线对称翻转，就可以得到两个等面积的倒A字形图形。

因此，倒A字形分法将正方形二等分为两个等面积的倒A字形图形。

五、四边形分法四边形分法是将正方形二等分为2个等面积的四边形。

通过将正方形从中间切割出一个边长为正方形一半的小正方形，并将大正方形分成两个等面积的等边梯形，便可实现这一目标。

六、中心凹伸分法中心凹伸分法是将正方形分为两个由弓形构成的图形。

将正方形的中心点延长，得到正方形的外切圆心，然后从该点引一条半径与正方形一条边相交，再将其连接正方形两对角线的交点。

按此线切开正方形，即可将其二等分为两个由弓形构成的图形。

以上就是正方形二等分6种分法的介绍。

不同的分法在实际应用中有着不同的优势，选择合适的分法能够提高计算的效率。

初中数学专题讲座---------直线等分面积问题一、直线等分常见的一些特殊图形二、直线等分三角形（1）不受限制的等分（2）过一边上一点等分三、直线等分梯形（1）不受限制的等分（2）过一腰上一点等分四、等分基本图形练 习：1、作图题，请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分，请用一条直线把阴影部分的面积两等分．（保留作图痕迹）2、在一个矩形中，把此矩形面积二等分的直线最多有 条，这些直线都必须经过此矩形的 点（一个矩形只画一条直线，不写画法）．3、轴对称图形的对称轴将图形面积二等分，中心对称图形过对称中心的直线将图形面积二等分．请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分．4、在一个矩形中，把此矩形面积两等分的直线最多有 条，这些直线都必须经过该矩形 ．5、在复习“四边形”时，刘老师出了这样一道题：如图1，已知四边形ABCD、BEFG都是矩形，点G、H分别在AB、CD上，点B、C、E在同一条直线上．（1）当S矩形AGHD=S矩形CEFH时，试画一条直线将整个图形面积2等分．（不写画法）（2）①当S矩形AGHD＜S矩形CEFH时，如图3；②当S矩形AGHD＞S矩形CEFH时，如图4．画一条直线将整个图形面积2等分，在（1）的基础上，应该如何画图呢？（不写画法，保留作图痕迹或简要的文字说明）（3）小娟和小宇两位同学的画法是图5和图6：刘老师看过之后说这两个图形实质上体现的是一种画法，请你用简要的文字说明两个图形画法的共同点：（把原图形分割或构造成两个矩形，再过这两个矩形对角线的交点画一条直线）．6、通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式7、如图所示，▱ABCD内有一圆，请你画一条直线，同时将圆和平行四边形的周长二等分．（保留画图痕迹，并简要说出画图步骤）8、提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB=BC=5cm，AC=6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．9、提出问题：如图，在“儿童节”前夕，小明和小华分别获得一块分布均匀且形状为等腰梯形和直角梯形的蛋糕（AD∥BC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将自己的这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线既平分了梯形的面积，又平分了梯形的周长，我们称这条线为梯形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以模仿着在自己的蛋糕（图2）中画了一条直线EF分别交AD、BC于点E、F．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．若图2中AD∥BC，∠A=90°，AD＜BC，AB=4cm，BC=6cm，CD=5cm．请你找出梯形ABCD的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．10、阅读下面问题的解决过程：问题：已知△ABC中，P为BC边上一定点，过点P作一直线，使其等分△ABC的面积．解决：情形1：如图①，若点P恰为BC的中点，作直线AP即可．情形2：如图②，若点P不是BC的中点，则取BC的中点D，连接AP，过点D作DE∥AP交AC于E，作直线PE，直线PE即为所求直线．问题解决：如图③，已知四边形ABCD，过点B作一直线（不必写作法），使其等分四边形ABCD的面积，并证明．11、如图，把一个等边三角形的顶点放置在正六边形的中心O点，请你借助这个等边三角形的角，以角为工具等分正六边形的面积，等分的情况分别为 等分．12、用一条直线把下图分成面积相等的两部分．13、用三种不同的方法把▱ABCD的面积四等分，并简要说明分法．12题图14、、如图，所示，张家兄弟要平分这块地，请你用一条直线把它分成面积相等的两部分．（至少有两种画法）15、抛物线y=x2， 和直线x=a（a＞0）分别交于A、B两点，已知∠AOB=90°．（1）求过原点O，把△AOB面积两等分的直线解析式；（2）为使直线与线段AB相交，那么b值应是怎样的范围才适合．16、如图长为2的线段PQ在x的正半轴上，从P、Q作x轴的垂线与抛物线y=x2交于点、Q′．（1）已知P的坐标为（k，0），求直线OP′的函数解析式；（2）若直线OP′把梯形P′PQQ′的面积二等分，求k的值．17、一条直线过△ABC的内心，且平分三角形的周长，那么该直线分成的两个图形的面积比为（ ）A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：118、某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；…现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S 表示面积）问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探究知=S△ABC，请证明．问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究与S四边形ABCD之间的数量关系．问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD=1，求．问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．19、阅读下面材料，再回答问题：有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如：圆的直径所在的直线是圆的“二分线”，正方形的对角线所在的直线是正方形的“二分线”．解决下列问题：（1）菱形的“二分线”可以是（2）三角形的“二分线”可以是（3）在下图中，试用两种不同的方法分别画出等腰梯形ABCD的“二分线”，并说明你的画法．20、用一条直线将一个直角梯形分成面积相等的两部分，请你在下面的图中分别画出两种不同的分割图形．21、下图所示是一块木板的示意图，能不能用一条直线把这块木板分成面积相等的两部分．（3种画法）22、如图所示的图案是一个轴对称图形，直线l是它的一条对称轴，如果最大圆的半径为2，那么阴影部分面积是（ ）A．π B．2π C．3π D．4π23、如图所示是由7个完全相同的正方形拼成的图形，请你用一条直线将它分成面积相等的两部分．（在原图上作出）．24、九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形．证明：这九条直线中至少有三条经过同一点．抽屉原理．专题：证明题．分析：首先根据抽屉定理证明9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形中至少有5条直线穿过一对边，然后再根据抽屉原理证明至少必有三点经过同一点．解答：证明：按抽屉原理，9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形，则至少有5条直线穿过一对边．又2：3≠1：1，根据“梯形的面积等于中位线长乘以高”，可知这5条直线必过正方形的一条对边中点连线上的两定点．故若5个点不全经过一点，则必经过这条直线上的两点，再据抽屉原理，至少必有三点经过同一点．25、一条直线平行于直线y=2x-1，且与两坐标轴围成的三角形面积是4，则直线的解析式是A．y=2x+4 B．y=2x-4 C．y=2x±4 D．y=x+2 （ ）26、把一个圆心为点O，半径为r的圆的面积四等分，请你尽可能多地设想各种分割方法．如图，如果圆心也是点O的三个圆把大圆O的面积四等分．求这三个圆的半径OB、OC、OD的长．27、已知直线AB与x，y轴分别交于A、B（如图），AB=5，OA=3，（1）求直线AB的函数表达式；（2）如果P是线段AB上的一个动点（不运动到A，B），过P作x轴的垂线，垂足是M，连接PO，设OM=x，图中哪些量可以表示成x的函数？试写出5个不同的量关于x的函数关系式．（这里的量是指图中某些线段的长度或某些几何图形的面积等）28、（1）如图1所示，已知△ABC中，D为BC的中点，请写出图1中，面积相等的三角形： ，理由是（2）如图2所示，已知：平行四边形A′ABC，D为BC中点，请你在图中过D作一条线段将平行四边形A′ABC的面积平分，平分平行四边形A′ABC的方法很多，一般地过画直线总能将平行四边形A′ABC的面积平分．（3）如图3所示，已知：梯形ABCA′中，AA′∥BC，D为BC中点，请你在图3中过D作一条线段将梯形的面积等分．（4）如图4所示，某承包人要在自己梯形ABCD（AD∥BC）区域内种两种等面积的作物，并在河岸AD与公路BC间挖一条水渠EF，EF左右两侧分别种植了玉米、小麦，为了提高效益，要求EF最短．①请你画出相应的图形．②说明方案设计的理由．19、如图，抛物线y=ax2-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2）两点，与y 轴交于点D，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y=kx-1（k≠0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值．。

《中心对称与中心对称图形》教学设计
2.
连接任意一对对称点
6.几何画板演示平行四边形旋转180°和原来的图形重合
练习2：寻找中心对称图形平行四边形和长方形的对称中心。

练习：以平面内的任一点O为对称中心作出四边形ABCD的对称四边形。

练习1：有一块长方形的田地，上面有一口圆形的井，现在要用直线将这
练习2：有一个“L”型的钢板如图所示，现在要用一条直线把它分成两块，并且要满足分割后两块的面积相等，
让学生总结，谈自己的收获和活动经验。

1. 中心对称和中心对称图形概念，两者有什么区别和联系？。

冀教版数学教科书修订情况一、关于整套教科书的修订（一）修订理念好的数学教材的根本特征，应该是具有促进学生全面发展的教育功能。

把学科形态的数学做成较好的“促进学生发展的教育形态”，是我们这次教材修订的核心理念。

1. 以“促进学生发展的教育形态”为出发点，选择教材内容，安排知识结构与体系。

首先，素材选择的着眼点应是学生的“现实性”，在相对严谨的情况下，知识的组织更要符合学生的认知水平和年龄特征。

其次，努力使教材形成螺旋式上升的过程，体现“核心概念”-----数感、符号意识、数学模型、推理意识、应用意识等核心概念逐步生成的过程。

2. 以“促进学生发展的教育形态”为出发点，构建知识的形成过程，解决好“抽象与具体”、“特殊与一般”、“合情推理与演绎推理”、“正向与逆向”以及“整体与部分”的关系，使知识的形成过程成为一个“数学化”的过程，一个“再创造”的过程。

3. 以“促进学生发展的教育形态”为出发点，设置课堂活动过程。

创设恰当的问题情境，向学生提供探究的机会，在教师恰当的组织、引领、合作之下，使学生能体验到努力后的成功和问题解决后的喜悦，使学生的自信心、责任感、实践能力、创新意识和情感态度的培养目标落在实处。

4. 以“促进学生发展的教育形态”为出发点，把“数学基本思想”渗透到数学内容中，增强数学知识的生命力。

坚持从现实开始，经过探索达到抽象，构建数学模型，进而验证、推广和应用。

（二）修订主旨1．通过知识结构和呈现方式的改进，进一步提升本套教材的质量。

2．把数学本身的知识特征与学生自主学习的心智特征，紧密地结合起来，按照学生自主获取知识，实现主动发展的方向，组织教材的教学活动和展开环节，从而使素质教育在课堂教学中得到有效落实。

3．密切联系学生的生活经验和知识经验，围绕数学知识，组织问题情境，激发学习兴趣，便于组织教学，努力实现“教材”与“学材”的互相统一，更好地发挥数学教学的育人功能。

4．坚持优点，弥补不足。

数学活动 - 中心对称图形与面积等分一、教学目标本次数学活动的核心在于帮助学生深入了解中心对称图形与面积等分的相关概念及其应用，提高学生运用中心对称和面积等分原理解决实际问题的能力，进一步提高学生的数学素养。

二、教学内容本次教学活动的主要内容包括：1.中心对称的概念及应用；2.面积等分的概念及应用；3.中心对称图形的构造方法；4.中心对称图形的性质及面积等分原理。

三、教学重难点1.重点：中心对称概念的理解与应用；2.难点：面积等分概念的把握及其应用。

四、教学过程在教学活动的过程中，我们将采用“示范教学 + 学生参与”的方式，具体步骤如下：第一步：引入知识（20分钟）首先，教师将引导学生了解中心对称和面积等分的基本概念，通过与生活中实际场景的联系，激发学生了解数学知识的兴趣。

第二步：示范操作（40分钟）教师将实践操作展示给学生看，比如使用圆规和尺子作图，证明中心对称的原理等。

第三步：学生参与（60分钟）学生将分成小组进行练习，在教师指导下，完成中心对称图形的构造，解决相应的问题。

第四步：总结归纳（20分钟）根据教学内容，教师将对学生进行总结归纳，帮助学生掌握知识点，检查学生的掌握情况。

五、教学评价评估方式：采取个人和小组合作学习的评价方式，以测试、作业和答辩的方式进行。

六、教学建议在教学活动的过程中，教师可以根据学生的实际情况，设置不同层次的问题，帮助学生深入掌握知识，提高其运用数学知识的能力。

七、教学效果通过中心对称图形与面积等分的教学活动，学生能够深入了解中心对称和面积等分的相关原理及应用，掌握构造中心对称图形和解决面积等分问题的方法，提高其运用数学知识解决实际问题的能力。

同时，教学活动也能够激发和培养学生爱好数学的兴趣和热情，为其未来学习打下坚实的基础。

数学：23.2《中心对称》教案（人教版九年级上）一. 教学内容：中心对称1. 中心对称的概念、中心对称与旋转的关系、中心对称的基本性质．2. 画已知图形关于已知点的对称图形．3. 两个关于原点对称的点的坐标间的关系．4. 运用轴对称、平移、旋转等变换关系及组合进行简单的图案设计．二. 知识要点：1. 中心对称和中心对称图形把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够和另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．区别：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于某一点（对称中心）对称叫做中心对称．联系：如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形是中心对称图形．如果把一个中心对称图形中对称的部分看成两个图形，那么它们是中心对称．2. 中心对称的性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形；（2）关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心并且被对称中心平分；（3）如果两个图形的对应点的连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称；（4）过对称中心的直线把中心对称图形分为面积相等的两部分．3. 点P（x，y）关于原点的对称点是P’（－x，－y）．4. 图案设计的步骤（1）整体构思①图案的设计要突出主题，即设计图案的意图，要求简捷，自然、别致，具有一定的意义．例如：奥运会会徽是由五个两两相联的圆环组成的，分别代表世界上五大洲的人民热爱体育运动，携手共创美好的未来．②确定整幅图案的形状（如圆形或正方形）和“基本图案”（不宜太复杂）．③构思图案的形成过程：首先构思该图案由哪几部分构成，再构思如何运用平移、旋转、轴对称等方法实现由“基本图形”到各部分图案的组合，并作出草图．（2）具体作图：根据草图，运用尺规作图的方法，准确地作出图案．（3）对图案进行适当的修饰（如着色等）．三. 重点难点：本讲重点是中心对称的性质和关于原点对称的两点间的坐标关系．难点是正确运用中心对称的性质解决相关问题．四. 考点分析：旋转和轴对称、平移这三种图形变换关系是中考的热点问题，通常出现一道填空题或选择题．从近几年各地中考试卷来看，图形变换经常和三角形、四边形相联系以综合题、探究题的形式出现，相关知识所占分值有所增加．【典型例题】例1.如图所示，已知平行四边形ABCD，画出平行四边形ABCD关于点C对称的平行四边形A’B’CD’．分析：画平行四边形ABCD关于点C的对称图形，只要画出A、B、D关于点C的对称点，而点C的对称点就是它本身．解：连接AC并延长到A’，使CA’＝CA，延长BC到B’使CB’＝CB，延长DC到D’使CD’＝CD．顺次连接A’、B’、C、D’就得到平行四边形ABCD关于点C对称的平行四边形A’B’CD’．评析：画与已知图形关于某点中心对称的图形问题，思路较简单，只要分别画出图形各个顶点关于对称中心的对称点，再顺次连接即可，这样就将问题转化为画点关于点的对称点的问题．例2.如图所示，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－4，4）、B（－4，0）、C（－1，0）、D（－1，4），画出矩形ABCD，并作出与矩形ABCD关于原点对称的图形．分析：找点A关于原点O的对称点A’的坐标，可以根据关于原点对称的点的坐标的关系，即坐标的符号相反，得A’（4，－4），同理可得到其他三点的对称点的坐标．解：由两个点关于原点对称时，它们的符号相反，得到点A、B、C、D关于原点对称的对应点A’、B’、C’、D’的坐标分别为A’（4，－4）、B’（4，0）、C’（1，0）、D’（1，－4），分别画出这四个点，顺次连接，得到矩形ABCD关于原点O对称的矩形A’B’C’D’．评析：通过画出关于原点对称的图形可以验证P（x，y）与P’（－x，－y）关于原点对称．如果在图中发现两个点不是关于O对称，就要检查改变符号是否有误或描点时是否出错．例3.如图所示，一个长方形内有任意一圆，请你用一条直线同时将圆和长方形的面积二等分，并说明作图的道理和方法．分析：因为长方形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心，根据对称的性质，经过对称中心的任何一条直线都将长方形的面积二等分，因此，所作的直线必须经过长方形的两条对角线的交点；因为圆同样是中心对称图形，经过圆心的任何一条直线都将圆面积二等分，所以这条直线必须经过圆的圆心．综上所述，这条直线必须是经过长方形对角线交点和圆心的直线．解：作长方形的两条对角线，令交点为O1，圆的圆心为O2，过O1、O2作直线l，则这条直线l将长方形和圆的面积二等分（如图所示）．评析：根据中心对称图形的性质：过对称中心的任一条直线能将其面积两等分，因此，由两个中心对称图形组合而成的复合图形，经过两个中心对称图形的对称中心画一条直线，将整个图形的面积两等分，这是等分组合图形面积的基本方法．例4.用6根一样长的小棒搭成如图（1）所示的图形，试移动其中两根小棒使组成的图形是中心对称图形．分析：这种题要善于动手操作，抓住中心对称的特征，旋转180°后与原图形重合．解：如图（2）所示，将AC移到BM位置，将DE移到BN位置；或如图（3）所示沿AB所在直线将AC 和BC翻折．例5.（1）在图（1）所示编号为①、②、③、④的四个三角形中，关于y轴对称的两个三角形的编号为__________；关于坐标原点O对称的两个三角形的编号为__________．（2）在图（2）中，画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．分析：（1）观察图（1）知：沿y轴对折后①和②这两个三角形可以重合，故关于y轴对称的两个三角形的编号为①②；连结①和③这两个三角形的对应点，就会发现这些对应点的连线都过原点O且被原点O平分，所以关于原点O对称的两个三角形的编号为①和③．（2）先根据A、B、C的位置确定A1、B1、C1的位置（利用网格确定），再顺次连结．解：（1）①和②；①和③．（2）如图（3）所示．评析：注意中心对称和轴对称的区别，作已知图形的轴对称图形时要特别注意以谁为对称轴．例6.如图所示，过平行四边形ABCD对角线的交点O作两条互相垂直的直线EF、GH分别交平行四边形ABCD四边于E、G、F、H，求证：四边形EGFH是菱形．分析：已知EF⊥GH，只要能证出EF、GH互相平分即可，由对角线互相垂直平分的四边形是菱形可证．证明：∵O是平行四边形ABCD的对称中心，EF经过点O与AB交于点E，与CD交于点F，∴E、F关于点O中心对称，∴EO＝FO．同理可得GO＝HO．又∵EF⊥GH，∴四边形EGFH是菱形．评析：通过平行四边形是中心对称图形，及过对称中心的直线与对应线段的交点等性质证明，思路清晰、新颖．【方法总结】1. 关于原点对称的两个点的坐标的符号相反，可以通过这个规律，确定已知点关于原点对称的点的坐标，由此可以画出已知图形关于原点对称的图形．2. 判定一个图形是中心对称图形主要方法是根据定义，即某点旋转180°后与自身重合，常见的几何图形中是中心对称图形的有：线段、平行四边形、圆等．过中心对称图形的对称中心的直线平分其面积．【预习学案】（期中复习）二. 预习导学2. 解下列方程：（1）x2－2x＝0；（2）2x2－x＋1＝0；（3）4x2－9＝0．3. 将图1按顺时针方向旋转180°后得到的是（）反思：（1）二次根式有什么性质？如何对二次根式进行化简？（2）二次根式的运算法则是怎样的？（3）一元二次方程的常用解法有哪几种？（4）旋转、中心对称的性质是什么？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 选择题1. 下列英文单词或标记中，可看作中心对称图形的是（）A．SOS B．CEO C．MBA D．SARS2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．角B．等边三角形 C．线段 D．长方形4. 下列各图中，是中心对称图形的是（）5. 已知点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，则a＋b的值为（）A. 1B. 3C. －1D. －36. 把下图中①向右平移叠放在图②上，可以形成A～D中的哪个图形（）*7. 下列说法正确的是（）①中心对称与中心对称图形是两个不同的概念；②中心对称图形是指两个图形之间的一种关系；③中心对称与中心对称图形都只有一个对称中心；④关于某点成中心对称的两点连线的中点正好是对称中心．A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ②③④**8. 将平行四边形纸片沿过其对称中心的任一直线对折，下图不可能的是（）二. 填空题1. 关于中心对称的两个图形，对称点的连线经过__________，并且__________．2. 如果△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，那么△ABC与△A'B'C'的关系是__________．3. 利用图形的__________、__________和__________可以设计出许多美丽的图案，我们将图形的平移，旋转和轴对称统称为__________．4. 点A（a，3）与点B（－4，b）关于原点对称，则点P（a，b）在第__________象限．．**6. 在平面直角坐标系中，已知3个点的坐标分别为A1（1，1）、A2（0，2）、A3（－1，1）．一只电子蛙位于坐标原点处，第1次电子蛙由原点跳到以A1为对称中心的对称点P1，第2次电子蛙由P1点跳到以A2为对称中心的对称点P2，第3次电子蛙由P2点跳到以A3为对称中心的对称点P3，…，按此规律，电子蛙分别以A1、A2、A3为对称中心继续跳下去．问当电子蛙跳了2009次后，电子蛙落点的坐标是P2009（_______，_______）．三. 解答题1. 如图所示，找出下列图形的对称中心（画图表示）．2. 已知点M（a－1，2a＋4）关于原点对称的点在第三象限，求a的取值范围．3. 请探究以下两个问题．（1）过中心对称图形的对称中心的任一直线，能否将该图形分成面积相等的两部分？为什么？（2）如图所示的是由5个相同正方形组成的图形，你能否画一条直线将这个图形分成面积相等的两部分？请至少找出两种不同的画法．4. 利用如图所示的两个直角三角形，你能设计出满足下列条件的图案吗？（1）是轴对称图形但不是中心对称图形；（2）是中心对称图形，但不是轴对称图形；（3）既是轴对称图形，又是中心对称图形；（4）既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，但既利用了旋转，又利用了平移．5. 图①、图②均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点上．（1）在图①中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（画一个即可）（2）在图②中确定格点E，并画出以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形．（画一个即可）（1）【试题答案】一. 选择题1. A2. D3. C4. B5. D6. B7. C8. B二. 填空题1. 对称中心；被对称中心平分2. △ABC≌△A'B'C'3. 平移；旋转；轴对称；图形变换4.四 5. m＜0 6. （－2，2）三. 解答题1. 提示：先确定两对对应点，分别连结两对对应点，交点即为对称中心2. 依题意可知，点M在第一象限，∴a－1＞0，且2a＋4＞0，∴a＞1．3. 提示：（1）能．因为被直线分成的两部分之一旋转180°能与另一部分重合．（2）①作出右上角小正方形的对称中心，再作出下边田字形的对称中心，过这两点的直线即是．②作出左边两个小正方形的对称中心．再作出右边三个小正方形的对称中心，过这两点的直线即是．4. 如图所示：5. （1）有以下答案供参考：（2）有以下答案供参考：。