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2017-2018学年吉林省吉化一中、前郭五中等高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∃x∈R，使得x3﹣x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，都有x3﹣x2+1≤0 B．∀x∈R，都有x3﹣x2+1＞0C．∃x∈R，都有x3﹣x2+1≤0 D．∃x∈R，都有x3﹣x2+1＜02．（5分）已知函数f（x）=ax2+c，且f'（1）=2，则实数a的值为（）A．1 B．C．﹣1 D．03．（5分）若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则实数m等于（）A．B．C．D．4．（5分）命题“若x2+y2≤1，则x+y＜2”的逆否命题为（）A．若x+y≥2，则x2+y2＞1 B．若x+y＞2，则x2+y2≥1C．若x+y≥2，则x2+y2≥1 D．若x+y＞2，则x2+y2＞15．（5分）已知曲线y=﹣3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣2或36．（5分）已知抛物线的方程为y=2ax2，且过点（1，4），则焦点坐标为（）A．（1，0） B．（，0）C．（0，）D．（0，1）7．（5分）设a∈R，则“a＜1”是“a2+a﹣2＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知函数，则该函数的导函数f'（x）等于（）A．B．2x﹣cosxC．D．9．（5分）已知命题p：对任意，cosxtanx≥0；命题q：存在实数a，使函数f（x）=x2﹣2ax+1（x∈R）有零点，则下列命题为真命题的是（）A．p且q B．p或（¬q）C．（¬p）且q D．p且（¬q）10．（5分）若圆C：x2+（y+1）2=1经过双曲线的一个焦点，则圆心C 到该双曲线的渐近线的距离为（）A．B．C．D．11．（5分）若三次函数y=f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（）A．f（x）=x2﹣2x B．f（x）=x2+2x C．f（x）=x3﹣x2D．f（x）=x3+x212．（5分）已知点P在椭圆上，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，PF1的中点在y轴上，则等于（）A．7 B．5 C．4 D．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知双曲线的方程为，则渐近线方程为．14．（5分）某物体作直线运动，其位移S与时间t的运动规律为（t的单位为秒，S的单位为米），则它在第4秒末的瞬时速度应该为米/秒．15．（5分）已知抛物线C的焦点在x轴正半轴上且顶点在原点，若抛物线C上一点（m，2）（m＞1）到焦点的距离是，则抛物线C的方程为．16．（5分）给出下列命题：①∀x∈R，且x≠0，；②∃x∈R，使得x2+1≤2x；③若x＞0，y＞0，则；④当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则实数m的取值范围是m≤﹣5．其中所有真命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知p：方程表示双曲线；q：过点M（2，1）的直线与椭圆恒有公共点，若p∧q为真命题，求实数k的取值范围．18．（12分）设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x﹣4y﹣12=0．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=f（x）﹣x，证明：函数y=g（x）图象上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为定值，并求此定值．19．（12分）已知直线l：y=kx﹣1（k∈R）和抛物线y2=4x．（1）若直线l与抛物线有两个不同的公共点，求k的取值范围；（2）当k=1时，直线l与抛物线相交于A、B两点，求|AB|的长．20．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0；q：实数x满足﹣1＜x﹣3＜1．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若a＞0且¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a2x2+ax（a≥1）．（1）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；（2）当a=1时，证明：函数f（x）只有一个零点．22．（12分）设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆（a＞b＞0）上的两点，若，且椭圆的离心率，短轴长为2，O为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值．2017-2018学年吉林省吉化一中、前郭五中等高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∃x∈R，使得x3﹣x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，都有x3﹣x2+1≤0 B．∀x∈R，都有x3﹣x2+1＞0C．∃x∈R，都有x3﹣x2+1≤0 D．∃x∈R，都有x3﹣x2+1＜0【解答】解：由特称命题的否定为全称命题，可得，命题“∃x∈R，使得x3﹣x2+1＞0”的否定是：“∀x∈R，使得x3﹣x2+1≤0”，故选：A．2．（5分）已知函数f（x）=ax2+c，且f'（1）=2，则实数a的值为（）A．1 B．C．﹣1 D．0【解答】解：∵函数f（x）=ax2+c，∴f′（x）=2ax，∵f'（1）=2，∴2a=2，解得a=1，故选：A．3．（5分）若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则实数m等于（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，椭圆的焦点在x轴上，则m＜2，则a=，b=，c=，若其离心率为，则有e===，解可得m=；故选：B．4．（5分）命题“若x2+y2≤1，则x+y＜2”的逆否命题为（）A．若x+y≥2，则x2+y2＞1 B．若x+y＞2，则x2+y2≥1C．若x+y≥2，则x2+y2≥1 D．若x+y＞2，则x2+y2＞1【解答】解：命题“若x2+y2≤1，则x+y＜2”的逆否命题为：若x+y≥2，则x2+y2＞1．故选：A．5．（5分）已知曲线y=﹣3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣2或3【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），则函数的导数f′（x）=，由f′（x）==，即x2﹣x﹣6=0，解得x=3或x=﹣2（舍），故切点的横坐标为3，故选：C．6．（5分）已知抛物线的方程为y=2ax2，且过点（1，4），则焦点坐标为（）A．（1，0） B．（，0）C．（0，）D．（0，1）【解答】解：∵抛物线过点（1，4），∴4=2a，解得a=2，∴抛物线方程为x2=y，焦点坐标为（0，）．故选：C．7．（5分）设a∈R，则“a＜1”是“a2+a﹣2＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由a2+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1．∴“a＜1”是“a2+a﹣2＜0”的必要不充分条件．故选：B．8．（5分）已知函数，则该函数的导函数f'（x）等于（）A．B．2x﹣cosxC．D．【解答】解：函数，则该函数的导函数f'（x）==，故选：D．9．（5分）已知命题p：对任意，cosxtanx≥0；命题q：存在实数a，使函数f（x）=x2﹣2ax+1（x∈R）有零点，则下列命题为真命题的是（）A．p且q B．p或（¬q）C．（¬p）且q D．p且（¬q）【解答】解：令x=﹣，则cos（﹣）tan（﹣）＜0，显然命题p是假命题，若存在实数a，使函数f（x）=x2﹣2ax+1（x∈R）有零点，则△=4a2﹣4≥0，解得：a≥1或a≤﹣1，故存在实数a≥1或a≤﹣1，使函数f（x）=x2﹣2ax+1（x∈R）有零点，故命题q是真命题，故（¬p）且q是真命题，故选：C．10．（5分）若圆C：x2+（y+1）2=1经过双曲线的一个焦点，则圆心C 到该双曲线的渐近线的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：圆C：x2+（y+1）2=1经过双曲线的一个焦点，可得一个焦点为（0，﹣2），则c=2，即m+2=4，解得m=2，双曲线的方程为y2﹣x2=2，渐近线方程为y=±x，圆心C（0，﹣1）到渐近线的距离为=．故选：A．11．（5分）若三次函数y=f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（）A．f（x）=x2﹣2x B．f（x）=x2+2x C．f（x）=x3﹣x2D．f（x）=x3+x2【解答】解：根据导函数的图象，显然f（x）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，0）递减，在（0，+∞）递增，故函数f（x）是三次函数，答案在C，D中选，对于C：f′（x）=x2﹣2x=x（x﹣2），令f′（x）=0，解得：x=0或x=2，不合题意；对于D：f（x）=x2+2x=x（x+2），令f′（x）=0，解得：x=0或x=﹣2，符合题意；故选：D．12．（5分）已知点P在椭圆上，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，PF1的中点在y轴上，则等于（）A．7 B．5 C．4 D．3【解答】解：由PF1的中点在y轴上，则PF1⊥F1F2，则|PF2|==，由|PF 1|+|PF2|=2a=4，则|PF1|=，则=7，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知双曲线的方程为，则渐近线方程为y=．【解答】解：双曲线的方程为，则渐近线方程为：即．故答案为：y=．14．（5分）某物体作直线运动，其位移S与时间t的运动规律为（t的单位为秒，S的单位为米），则它在第4秒末的瞬时速度应该为米/秒．【解答】解：，∴S′=1+，∴它在4秒末的瞬时速度为1+=，故答案为：．15．（5分）已知抛物线C的焦点在x轴正半轴上且顶点在原点，若抛物线C上一点（m，2）（m＞1）到焦点的距离是，则抛物线C的方程为y2=2x．【解答】解：设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），抛物线C上一点（m，2）（m＞1），即有4=2pm，①由抛物线的准线方程为x=﹣，由抛物线的定义可得，m+=②由①②解得m=2，p=1．即有抛物线的方程为y2=2x．故答案为：y2=2x．16．（5分）给出下列命题：①∀x∈R，且x≠0，；②∃x∈R，使得x2+1≤2x；③若x＞0，y＞0，则；④当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则实数m的取值范围是m≤﹣5．其中所有真命题的序号是②③④．【解答】解：①∀x∈R，且x≠0，，x＜0时不成立；②∃x=1∈R，使得x2+1≤2x，正确；③若x＞0，y＞0，则（x2+y2）（x+y）2≥2xy•4xy=8x2y2，化为，当且仅当x=y＞0时取等号，因此正确；④当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m＜﹣，令f（x）=﹣，x∈（1，2）．则f′（x）=﹣1+=＞0，∴函数f（x）在x∈（1，2）时单调递增．∴f（x）＞f（1）=﹣5．∴m≤﹣5，因此实数m的取值范围是m≤﹣5．正确．综上可得：只有②③④正确．故答案为：②③④．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知p：方程表示双曲线；q：过点M（2，1）的直线与椭圆恒有公共点，若p∧q为真命题，求实数k的取值范围．【解答】解：若p为真命题，得（k﹣4）•（k﹣6）＜0，∴4＜k＜6．若q为真命题，得∴k＞5，又p∧q为真命题，则5＜k＜6，所以k的取值范围是（5，6）．18．（12分）设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x﹣4y﹣12=0．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=f（x）﹣x，证明：函数y=g（x）图象上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【解答】解：（1）方程7x﹣4y﹣12=0可化为，当x=2时，，又，于是解得，故；（2）证明：由题意知，，设为函数y=g（x）图象上的任一点，则过点P的切线方程为，令x=0，则；令y=0，则x=2x0，所以过点P的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为，故函数y=g（x）图象上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为定值，且定值为6．19．（12分）已知直线l：y=kx﹣1（k∈R）和抛物线y2=4x．（1）若直线l与抛物线有两个不同的公共点，求k的取值范围；（2）当k=1时，直线l与抛物线相交于A、B两点，求|AB|的长．【解答】解：（1）联立，得k2x2﹣（2k+4）x+1=0．由△=[﹣（2k+4）]2﹣4k2=16k+16＞0，解得：k＞﹣1；（2）当k=1时，直线l：y=x﹣1，联立，得：x2﹣6x+1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6，x1x2=1，∴|AB|==．20．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0；q：实数x满足﹣1＜x﹣3＜1．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若a＞0且¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，当a=1时，1＜x＜3，即p为真实数x的取值范围是（1，3），由﹣1＜x﹣3＜1，得2＜x＜4，即q为真实数x的取值范围是（2，4），若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是（2，3）；（2）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，¬p是¬q的充分不必要条件，即¬p⇒¬q，且¬q≠＞¬p，设A={x|x2﹣4ax+3a2≥0}，B={x|x﹣3≥1或x﹣3≤﹣1}，又A{x|x2﹣4ax+3a2≥0}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|x﹣3≥1或x﹣3≤﹣1}={x|x≥4或x≤2}，则0＜a≤2，且3a≥4，所以实数a的取值范围是．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a2x2+ax（a≥1）．（1）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；（2）当a=1时，证明：函数f（x）只有一个零点．【解答】证明：（1）显然函数f（x）=lnx﹣a2x2+ax的定义域为（0，+∞）．∴=．∵a≥1，x＞1，∴2ax+1＞0，ax﹣1＞0，∴f'（x）＜0，所以函数f（x）在（1，+∞）上是减函数．（2）当a=1时，f（x）=lnx﹣x2+x，其定义域是（0，+∞），∴．令f'（x）=0，即，解得或x=1．∵x＞0，∴舍去．当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1﹣12+1=0，当x≠1时，f（x）＜f（1），即f（x）＜0，∴函数f（x）只有一个零点．22．（12分）设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆（a＞b＞0）上的两点，若，且椭圆的离心率，短轴长为2，O为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值．【解答】解：（1）∵2b=2，所以b=1．又，∴a=2，，椭圆的方程为．（2）由题意，设AB的方程为，由，整理得，∴，．即，解得．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
2017-2018学年吉林省高三（上）期中数学试卷（文科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．（5分）已知集合M={x|y=lg（2﹣x）}，N={y|y=+}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M=N D．N∈M2．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+bi﹣2i=2﹣bi，则（a+bi）2=（）A．3﹣4i B．3+4i C．4﹣3i D．4+3i3．（5分）在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M满足等于（）A．2 B．3 C．4 D．64．（5分）如图，几何体的正视图和侧视图都正确的是（）A．B．C．D．5．（5分）命题p：若sinx＞siny，则x＞y；命题q：x2+y2≥2xy，下列命题为假命题的是（）A．p或q B．p且q C．q D．￢p6．（5分）关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则的最小值是（）A．B．C．D．7．（5分）“k=﹣1”是“直线l：y=kx+2k﹣1在坐标轴上截距相等”的（）条件．A．充分必要 B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要8．（5分）我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（）A．B．C．D．a9．（5分）已知函数f（x）=3sin（ωx﹣）（ω＞0）和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同，若x∈[0，]，则f（x）的取值范围是（）A．[﹣3，3] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，3]10．（5分）若，，均为单位向量，且•=﹣，=x+y（x，y∈R），则x+y的最大值是（）A．2 B．C．D．111．（5分）数列{a n}中，a1=，a n+1=（其中n∈N*），则使得a1+a2+a3+…+a n≥72成立的n的最小值为（）A．236 B．238 C．240 D．24212．（5分）已知函数y=f（x）是R上偶函数，且对于∀x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x1，x2∈[0.3]，且x1≠x2时，都有＞0．对于下列叙述；①f（3）=0；②直线x=﹣6是函数y=f（x）的一条对称轴；③函数y=f（x）在区间[﹣9，﹣6]上为增函数；④函数y=f（x）在区间[﹣9，9]上有四个零点．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．①② C．①②④D．②③④二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）若f（x）=x a是幂函数，且满足=3，则f（）= ．14．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=x+y（m＞0）的最大值为2，则y=sin（mx+）的图象向右平移后的表达式为．15．（5分）已知不等式5﹣x＞7|x+1|与不等式ax2+bx﹣2＞0的解集相同，则a= ；b= ．16．（5分）设过曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g （x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为．三．解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知命题P：函数y=log a（2x+1）在定义域上单调递增；命题q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立，若p且¬q为真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）已知，，且．（1）求函数f（x）的解析式；并求其最小正周期和对称中心．（2）当时，f（x）的最小值是﹣4，求此时函数f（x）的最大值，并求出相应的x的值．19．（12分）已知x=1是的一个极值点．（1）求函数f（x）的单调减区间；（2）设函数，若函数g（x）在区间[1，2]内单调递增，求a的取值范围．20．（12分）在△ABC中，2sin2AcosA﹣sin3A+cosA=．（1）求角A的大小；（2）已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若a=1且sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，求△ABC的面积．21．（12分）已知等比数列{a n}是递增数列，a2a5=32，a3+a4=12，又数列{b n}满足b n=2log2a n+1，S n是数列{b n}的前n项和（1）求S n；（2）若对任意n∈N+，都有成立，求正整数k的值．22．（12分）已知函数f（x）=ln（e x+a）（a为常数，e为自然对数的底数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx在区间[﹣1，1]上是减函数．（1）求实数a的值；（2）若g（x）≤t2+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数t的取值范围；（3）讨论关于x的方程的根的个数．2017-2018学年吉林省高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．（5分）（2015秋•葫芦岛校级期中）已知集合M={x|y=lg（2﹣x）}，N={y|y=+}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M=N D．N∈M【分析】由题意先化简集合M，N；再确定其关系．【解答】解：∵集合M={x|y=lg（2﹣x）}=（﹣∞，2），N={y|y=+}={0}，故选B．【点评】本题考查了集合之间的相互关系的判断，集合的化简很重要，属于基础题．2．（5分）（2015秋•葫芦岛校级期中）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+bi﹣2i=2﹣bi，则（a+bi）2=（）A．3﹣4i B．3+4i C．4﹣3i D．4+3i【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵a+bi﹣2i=2﹣bi，∴，解得a=2，b=1．则（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）（2013•文昌模拟）在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M满足等于（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】由•=（）•，再利用向量和的夹角等于45°，两个向量的数量积的定义，求出•的值．【解答】解：由题意得 AB=3，△ABC是等腰直角三角形，•=（）•=+=0+||•||cos45°=×3×3×=3，故选B．【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，注意向量和的夹角等于45°这一条件的运用．4．（5分）（2010•蚌埠三模）如图，几何体的正视图和侧视图都正确的是（）A．B．C．D．【分析】通过简单几何体的三视图的画法法则，直接判断四个选项的正误，即可推出结论．【解答】解：侧视图中，看到一个矩形且不能有实对角线，故A、D排除，而正视图中，应该有一条实对角线，且其对角线位置应为B中所示．故选B【点评】本题考查三视图的画出法则，做到看得见的为实线，看不到的为虚线，注意排除法，在选择题中的应用，有时起到事半功倍的效果．5．（5分）（2016•武汉模拟）命题p：若sinx＞siny，则x＞y；命题q：x2+y2≥2xy，下列命题为假命题的是（）A．p或q B．p且q C．q D．￢p【分析】根据正弦函数的图象即可判断出sinx＞siny时，不一定得到x＞y，所以说命题p是假命题，而根据基本不等式即可判断出命题q为真命题，然后根据￢p，p或q，p且q的真假和p，q真假的关系即可找出正确选项．【解答】解：x=，y=π，满足sinx＞siny，但x＜y；∴命题p是假命题；x2+y2≥2xy，这是基本不等式；∴命题q是真命题；∴p或q为真命题，p且q为假命题，q是真命题，￢p是真命题；∴是假命题的是B．故选B．【点评】考查正弦函数的图象，能够取特殊角以说明命题p是假命题，熟悉基本不等式：a2+b2≥2ab，a=b 时取“=”，以及￢p，p或q，p且q的真假和p，q真假的关系．6．（5分）（2013秋•宁德期末）关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则的最小值是（）A．B．C．D．【分析】由不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），利用根与系数的关系可得x1+x2，x1x2，再利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），∴△=16a2﹣12a2=4a2＞0，又a＞0，可得a＞0．∴x1+x2=4a，，∴=4a+==，当且仅当a=时取等号．∴的最小值是．故选：C．【点评】本题考查了一元二次不等式解集与相应的一元二次方程的实数根的关系、根与系数的关系、基本不等式的性质，属于基础题．7．（5分）（2015秋•丰城市校级期末）“k=﹣1”是“直线l：y=kx+2k﹣1在坐标轴上截距相等”的（）条件．A．充分必要 B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要【分析】根据直线截距的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当k=﹣1时，直线l：y=kx+2k﹣1=﹣x﹣3，即，满足在坐标轴上截距相等，即充分性成立，当2k﹣1=0，即k=时，直线方程为y=，在坐标轴上截距都为0，满足相等，但k=﹣1不成立，即必要性不成立，故“k=﹣1”是“直线l：y=kx+2k﹣1在坐标轴上截距相等”的充分不必要条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线截距的定义是解决本题的关键．8．（5分）（2015秋•天水校级期末）我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（）A．B．C．D．a【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质【解答】解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到BF=a，BO=AO=a，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2，把数据代入得到OE=a，∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a，故选：A．【点评】本题是基础题，考查类比推理及正四面体的体积的计算，转化思想的应用，考查空间想象能力，计算能力．9．（5分）（2016•岳阳二模）已知函数f（x）=3sin（ωx﹣）（ω＞0）和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同，若x∈[0，]，则f（x）的取值范围是（）A．[﹣3，3] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，3]【分析】先根据函数f（x）=3sin（ωx﹣）和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同确定ω的值，再由x的范围确定ωx﹣的范围，最后根据正弦函数的图象和性质可得到答案【解答】解：由题意可得ω=2，∵x∈[0，]，∴ωx﹣=2x﹣∈[﹣，]，由三角函数图象知：f（x）的最小值为3sin（﹣）=﹣，最大值为3sin=3，所以f（x）的取值范围是[﹣，3]，故选：D【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想，属于基础题10．（5分）（2014•洛阳二模）若，，均为单位向量，且•=﹣，=x+y（x，y∈R），则x+y的最大值是（）A．2 B．C．D．1【分析】由题设知==x2+y2﹣xy=1，设x+y=t，y=t﹣x，得3x2﹣3tx+t2﹣1=0，由方程3x2﹣3tx+t2﹣1=0有解，知△=9t2﹣12（t2﹣1）≥0，由此能求出x+y的最大值．【解答】解：∵，，均为单位向量，且•=﹣，=x+y（x，y∈R），∴==x2+y2﹣xy=1，设x+y=t，y=t﹣x，得：x2+（t﹣x）2﹣x（t﹣x）﹣1=0，∴3x2﹣3tx+t2﹣1=0，∵方程3x2﹣3tx+t2﹣1=0有解，∴△=9t2﹣12（t2﹣1）≥0，﹣3t2+12≥0，∴﹣2≤t≤2∴x+y的最大值为2．故选A．【点评】本题考查平面向量的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意平面向量的数量积和换元法的灵活运用．本题也可用基本不等式解答11．（5分）（2016春•丰城市校级期末）数列{a n}中，a1=，a n+1=（其中n∈N*），则使得a1+a2+a3+…+a n≥72成立的n的最小值为（）A．236 B．238 C．240 D．242【分析】由数列递推式得到数列为周期是4的周期数列，求出前4项的和，得到前236项和小于72，加上第237和第238项和后满足条件．【解答】解：由a1=，a n+1=，得，，，，…由上可知，数列{a n}是以4为周期的周期数列，又．∵，∴数列{a n}的前236项和小于72，加上为大于72，∴使得a1+a2+a3+…+a n≥72成立的n的最小值为238．故选：B．【点评】本题考查数列的递推公式的应用，解题时要认真审题，先由递推公式求出前5项，注意观察寻找规律，正确解题的关键是发现数列是以4为周期的数列，是中档题．12．（5分）（2012•潍坊模拟）已知函数y=f（x）是R上偶函数，且对于∀x∈R都有f（x+6）=f（x）+f （3）成立，当x1，x2∈[0.3]，且x1≠x2时，都有＞0．对于下列叙述；①f（3）=0；②直线x=﹣6是函数y=f（x）的一条对称轴；③函数y=f（x）在区间[﹣9，﹣6]上为增函数；④函数y=f（x）在区间[﹣9，9]上有四个零点．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．①② C．①②④D．②③④【分析】分析4个命题，对于①，在用特殊值法，将x=﹣3代入f（x+6）=f（x）+f（3）中，变形可得f （﹣3）=0，结合函数的奇偶性可得f（3）=f（﹣3）=0，可得①正确；对于②，结合①的结论可得f（x+6）=f（x），即f（x）是以6为周期的函数，结合函数的奇偶性可得f（x）的一条对称轴为y轴，即x=0，可得直线x=﹣6也是函数y=f（x）的一条对称轴，可得②正确；对于③，由题意可得f（x）在[0，3]上为单调增函数，结合函数是偶函数，可得f（x）在[﹣3，0]上为减函数，又由f（x）是以6为周期的函数，分析函数y=f（x）在区间[﹣9，﹣6]的单调性可得③错误；对于④，由①可得，f（3）=f（﹣3）=0，又由f （x）是以6为周期的函数，则f（﹣9）=f（9）=0，即函数y=f（x）在区间[﹣9，9]上有四个零点，④正确；综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析命题，对于①，在f（x+6）=f（x）+f（3）中，令x=﹣3可得，f（3）=f（﹣3）+f（3），即f（﹣3）=0，又由函数y=f（x）是R上偶函数，则f（3）=f（﹣3）=0，则①正确；对于②，由①可得，f（3）=0，又由f（x+6）=f（x）+f（3），则有f（x+6）=f（x），即f（x）是以6为周期的函数，又由函数y=f（x）是R上偶函数，即f（x）的一条对称轴为y轴，即x=0，则直线x=﹣6也是函数y=f（x）的一条对称轴，②正确；对于③，由当x1，x2∈[0，3]，都有＞0，可得f（x）在[0，3]上为单调增函数，又由函数y=f（x）是R上偶函数，则f（x）在[﹣3，0]上为减函数，又由f（x）是以6为周期的函数，则函数y=f（x）在区间[﹣9，﹣6]上为减函数，③错误；对于④，由①可得，f（3）=f（﹣3）=0，又由f（x）是以6为周期的函数，则f（﹣9）=f（﹣3）=0，f（9）=f（3）=0，即函数y=f（x）在区间[﹣9，9]上有四个零点，④正确；正确的命题为①②④；故选C．【点评】本题考查抽象函数的应用，涉及函数奇偶性，单调性的应用；关键是根据题意，分析出f（x）的周期性、单调性以及f（3）的值．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）（2012秋•新余期末）若f（x）=x a是幂函数，且满足=3，则f（）= ．【分析】可设f（x）=xα，由=3可求得α，从而可求得f（）的值．【解答】解析：设f（x）=xα，则有=3，解得2α=3，α=log23，∴f（）=====．故答案为：【点评】本题考查幂函数的单调性和奇偶性及应用，关键是掌握对数恒等式及其灵活应用，属于中档题．14．（5分）（2015秋•葫芦岛校级期中）设x，y满足约束条件，若目标函数z=x+y（m＞0）的最大值为2，则y=sin（mx+）的图象向右平移后的表达式为y=sin2x ．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得m，再由三角函数的图象平移得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（1，1），化目标函数z=x+y（m＞0）为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为1+，即m=2．∴y=sin（mx+）=sin（2x+），y=sin（2x+）的图象向右平移后，得y=sin（2x+）=sin[2（x﹣）+]=sin2x．故答案为：y=sin2x．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了函数图象的平移，是中档题．15．（5分）（2015秋•葫芦岛校级期中）已知不等式5﹣x＞7|x+1|与不等式ax2+bx﹣2＞0的解集相同，则a= ﹣4 ；b= ﹣9 ．【分析】不等式5﹣x＞7|x+1|的解集可直接求出，本题变为已知ax2+bx﹣2＞0的解集求a、b的问题，结合不等式的解集和对应方程根的关系，利用韦达定理求解即可．【解答】解：5﹣x＞7|x+1|⇔解得：﹣2＜x＜﹣，故ax2+bx﹣2=0的两根为﹣和﹣2，且a＜0，由韦达定理得，解得故答案为：﹣4；﹣9．【点评】本题考查绝对值不等式和二次不等式的解法，注意二次不等式和二次方程、二次函数之间的联系．16．（5分）（2015•石家庄一模）设过曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为[﹣1，2] ．【分析】求出函数f（x）=﹣e x﹣x的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．【解答】解：由f（x）=﹣e x﹣x，得f′（x）=﹣e x﹣1，∵e x+1＞1，∴∈（0，1），由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，要使过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则，解得﹣1≤a≤2．即a的取值范围为﹣1≤a≤2．故答案为：[﹣1，2]．【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把问题转化为集合间的关系求解，是中档题．三．解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2015秋•葫芦岛校级期中）已知命题P：函数y=log a（2x+1）在定义域上单调递增；命题q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立，若p且¬q为真命题，求实数a的取值范围．【分析】先求出命题p，q成立的等价条件，利用p且¬q为真命题，p真 q假，确定实数a的取值范围【解答】解：∵命题P函数y=log a（2x+1）在定义域上单调递增；∴a＞1，又∵命题Q不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立；∴a=2或，∴﹣2＜a＜2，综上所述：﹣2＜a≤2，∵p且¬q为真命题，∴p真q假，∴∴a∈（2，+∞）．【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．18．（12分）（2015秋•葫芦岛校级期中）已知，，且．（1）求函数f（x）的解析式；并求其最小正周期和对称中心．（2）当时，f（x）的最小值是﹣4，求此时函数f（x）的最大值，并求出相应的x的值．【分析】（1）由平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用可得解析式f（x）=．利用周期公式可求最小正周期，由2x+=kπ，k∈Z解得对称中心．（2）由，可求，从而可得，解得m，利用正弦函数的有界限即可得解．【解答】解：（1）∵，，．∴=．…（3分）∴最小正周期T==π，∴由2x+=kπ，k∈Z解得对称中心为．…（6分）（2）=，由，∴，∴，∴，∴m=±2…（10分）∴，此时，．…（12分）【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用，考查了周期公式及正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．19．（12分）（2016秋•崇礼县校级期中）已知x=1是的一个极值点．（1）求函数f（x）的单调减区间；（2）设函数，若函数g（x）在区间[1，2]内单调递增，求a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，利用函数的极值点，求解b，然后验证求解函数的单调区间．（2）求出函数的导数，利用函数的单调性求解函数的最值，推出结果即可．【解答】解：（1）因为x=1是的一个极值点，所以f′（1）=0，解得b=3，经检验，适合题意，所以b=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）定义域为（0，+∞），f′（x）=2﹣+＜0，解得x∈（﹣，1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所以函数的单调递减区间为：（0，1]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）因为函数在[1，2]上单调递增，所以g'（x）≥0恒成立，即恒成立所以a≥﹣2x2﹣x，即a≥（﹣2x2﹣x）max﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）而在[1，2]上（﹣2x2﹣x）max=﹣3所以a≥﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的单调性函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．20．（12分）（2014•江西校级二模）在△ABC中，2sin2AcosA﹣sin3A+cosA=．（1）求角A的大小；（2）已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若a=1且sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，求△ABC的面积．【分析】（1）已知等式左边化简，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据A为三角形内角求出这个角的范围，确定出A的度数即可；（2）已知等式两边化简后，得到cosC=0或sinB=2sinC，①当cosC=0时，求出C与B度数，根据a的值利用三角函数定义求出b的值，求出此时三角形ABC面积；②当sinB=2sinC时，利用正弦定理得到b=2c，再利用余弦定理求出c2，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．【解答】解：（1）已知等式化简得：2sin2AcosA﹣sin3A+cosA=2sin2AcosA﹣sin（2A+A）+cosA=sin2AcosA﹣cos2AsinA+cosA=sinA+cosA=2sin（A+）=，∴sin（A+）=，∵A∈（0，π），∴A+∈（，），∴A+=，即A=；（2）∵sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，∴sin（B+C）+sin（B﹣C）=4sinCcosC，∴2sinBcosC=4sinCcosC，∴cosC=0或sinB=2sinC，①当cosC=0时，C=，∴B=，∴b=atanB=，则S△ABC=ab=×1×=；②当sinB=2sinC时，由正弦定理可得b=2c，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=4c2+c2﹣2c2，即c2=，则S△ABC=bcsinA=c2sinA=×=，综上，△ABC的面积为．【点评】此题考查正弦定理，三角形面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．21．（12分）（2015秋•葫芦岛校级期中）已知等比数列{a n}是递增数列，a2a5=32，a3+a4=12，又数列{b n}满足b n=2log2a n+1，S n是数列{b n}的前n项和（1）求S n；（2）若对任意n∈N+，都有成立，求正整数k的值．【分析】（1）运用等比数列的性质和通项，可得数列{a n}的通项公式，再由对数的运算性质，可得数列{b n}的通项公式，运用等差数列的求和公式，可得S n；（2）令，通过相邻两项的差比较可得{C n}的最大值，即可得到结论．【解答】解：（1）因为a2a5=a3a4=32，a3+a4=12，且{a n}是递增数列，所以a3=4，a4=8，所以q=2，a1=1，所以；所以．所以．（2）令，则．所以当n=1时，c1＜c2；当n=2时，c3=c2；当n≥3时，c n+1﹣c n＜0，即c3＞c4＞c5＞…．所以数列{c n}中最大项为c2和c3．所以存在k=2或3，使得对任意的正整数n，都有．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的单调性的判断和应用，以及不等式恒成立问题的解法，属于中档题．22．（12分）（2016春•石家庄校级期末）已知函数f（x）=ln（e x+a）（a为常数，e为自然对数的底数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx在区间[﹣1，1]上是减函数．（1）求实数a的值；（2）若g（x）≤t2+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数t的取值范围；（3）讨论关于x的方程的根的个数．【分析】（1）利用定义法进行判断得a（e x+e﹣x+a）=0恒成立，求出a的值；（2）利用导数，结合单调性可知g'（x）≤0恒成立，λ≤﹣1；要使g（x）≤t2+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒成立，只需﹣λ﹣sin1≤t2+λt+1在λ≤﹣1时恒成立即可．可构造函数，看成关于λ的一次函数进行求解，进而得出λ的范围；（3）利用构造函数法，令，通过导函数判断函数的单调性，通过极值，单调性，模拟函数图象，利用数学结合得出m的不同分类．【解答】解：（1）∵f（x）=ln（e x+a）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即ln（e﹣x+a）=﹣ln（e x+a）恒成立，∴（e﹣x+a）（e x+a）=1，∴1+ae﹣x+ae x+a2=1．即a（e x+e﹣x+a）=0恒成立，故a=0…（3分）（2）由（l）知g（x）=λf（x）+sinx，∴g'（x）=λ+cosx，x∈[﹣1，1]，∴要使g（x）=λf（x）+sinx是区间[﹣1，1]上的减函数，则有g'（x）≤0恒成立，∴λ≤﹣1．又∵g（x）max=g（﹣1）=﹣λ﹣sin1，∴要使g（x）≤t2+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒成立，只需﹣λ﹣sin1≤t2+λt+1在λ≤﹣1时恒成立即可．∴（t+1）λ+t2+sin1+1≥0（其中λ≤﹣1）恒成立即可．令h（λ）=（t+1）λ+t2+sin1+1≥0（λ≤﹣1），则即而t2﹣t+sin1≥0恒成立，∴t≤﹣1…（7分）（3）由（1）知方程，即，令∵当x∈（0，e]时，f'1（x）≥0，∴f1（x）在（0，e]上为增函数；当x∈[e，+∞）时，f'1（x）≤0，∴f1（x）在[e，+∞）上为减函数；当x=e时，．而当x∈（0，e]时f2（x）是减函数，当x∈[e，+∞）时，f2（x）是增函数，∴当x=e时，．故当，即时，方程无实根；当，即时，方程有一个根；当，即时，方程有两个根．…（12分）【点评】考查了函数奇偶性的应用，导函数的应用和恒成立问题的转换，属于难度较大的题型．。
吉林大学《数值分析》2017-2018学年第一学期期末试卷一、 单项选择题（每小题3分，共15分）1. 以下误差限公式不正确的是（ ） A ．()()(1212)x x x εεε−=−x B. ()()()1212x x x x εεε+=+C ．()()()122112x x x x x x εε=+ε D. ()()22x x x εε=2. 步长为的等距节点的插值型求积公式，当h 2n =时的牛顿－科茨求积公式为（ ） A ．()()()2bahf x dx f a f b ≈+⎡⎤⎣⎦∫B ．()()()432bah a b f x dx f a f f b ⎡+⎛⎞≈++⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∫⎤ C ．()()()32bah a b f x dx f a f f b ⎡+⎛⎞≈++⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∫⎤ D ．()()3442bah b a a b f x dx f a f a f f a ⎡−+⎛⎞⎛⎞⎛≈+++++⎜⎟⎜⎟⎜⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎣⎦∫4b a −⎤⎞⎟⎠3. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ．＝0， B ． ()00l x ()110l x =()00l x ＝0，()111l x = C ．＝1，()00l x ()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x =4. 用二分法求方程在区间()0f x =[],a b 上的根，若给定误差限ε，则计算二分次数的公式是（ ） n ≥ A ．ln()ln 1ln 2b a ε−++ B.ln()ln 1ln 2b a ε−+− C. ln()ln 1ln 2b a ε−−+ D.ln()ln 1ln 2b a ε−−− 5. 若用列主元消去法求解下列线性方程组，其主元必定在系数矩阵主对角线上的方程组是（ ）A ． B.123123123104025261x x x x x x x x x −+=⎧⎪−+=⎨⎪−+=−⎩123123123315226x x x x x x x x x −+=⎧⎪01−−+=⎨⎪++=−⎩ C. D.12312312322526x x x x x x x x x −+=⎧⎪−−+=⎨⎪++=⎩01012312312310402501x x x x x x x x x −+=⎧⎪−+=⎨⎪−+=−⎩二、 填空题（每小题3分，共15分）6. 数x ∗＝2.1972246···的六位有效数字的近似数的绝对误差限是 。
2017-2018学年吉林省长春市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．圆（x﹣2）2+（y+3）2=2的圆心和半径分别是（）A．（﹣2，3），1 B．（2，﹣3），3 C．（﹣2，3），D．（2，﹣3），2．抛物线x2=y的准线方程是（）A．4x+1=0 B．4y+1=0 C．2x+1=0 D．2y+1=03．圆（x﹣1）2+y2=4上的点可以表示为（）A．（﹣1+cos θ，s in θ ）B．（1+sin θ，cos θ ）C．（﹣1+2cos θ，2sin θ ）D．（1+2cos θ，2sin θ ）4．已知曲线C的参数方程是（t为参数），点M（6，a）在曲线C上，则a的值为（）A．9 B．6 C．﹣6 D．﹣95．椭圆x2+my2=1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（）A．B．C．2 D．46．将双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫做双曲线的“黄金三角形“，则双曲线C：x2﹣y2=4的“黄金三角形“的面积为（）A．B．C．1 D．27．已知圆C1：（x﹣a）2+（y+2）2=4与圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1恰有三条公切线，则ab的最大值为（）A．B．C．D．8．已知一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），则直线AB方程为（）A．4x+9y﹣13=0B．4x+9y+13=0 C．9x+4y﹣13=0 D．9x+4y+13=09．F1，F2分别为椭圆x2+2y2=1的左右焦点，点P在椭圆上，线段PF2与y轴的交点为M，且，则点M到坐标原点O的距离为（）A．2 B．C．D．110．设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11．己知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．2 B．3 C．D．12．已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2﹣y2=1的左、右焦点，点P 为双曲线左支上任一点，自点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|=（）A．1 B．2 C．4 D．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径等于2的圆的方程是．14．平面内有一长度为2的线段AB与一动点P，若满足|PA|+|PB|=8，则|PA|的取值范围为．15．已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的左焦点，且被双曲线解得的线段长为6，则双曲线的渐近线方程为．16．已知抛物线C：y=ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为，且C上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，并且，那么m=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（本题共6小题，其中17题10分，18-22题每小题10分，共70分）17．根据下列条件写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F（3，0）；（2）准线方程是．18．如图抛物线顶点在原点，圆（x﹣2）2+y2=4的圆心恰是抛物线的焦点．（1）求抛物线的方程；（2）一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A、B、C、D四点，求|AB|+|CD|的值．19．已知曲线方程为：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若此曲线是圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．20．已知圆C的圆心在直线3x﹣y=0上且在第一象限，圆C与x轴相切，且被直线x﹣y=0截得的弦长为．（1）求圆C的方程；（2）若点P（x，y）是圆C上的点，满足恒成立，求m的取值范围．21．已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，它的一个焦点到短轴顶点的距离为2，动直线l：y=kx+m交椭圆E于A、B两点，设直线OA、OB的斜率都存在，且k OA•k OB=﹣．（1）求椭圆E的方程；（2）求证：2m2=4k2+3；（3）求|AB|的最大值．22．已知直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆3x2+y2=a相交于A、B两个不同的点，记l与y轴的交点为C．（Ⅰ）若k=1，且|AB|=，求实数a的值；（Ⅱ）若=2，求△AOB面积的最大值，及此时椭圆的方程．2017-2018学年吉林省长春市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．圆（x﹣2）2+（y+3）2=2的圆心和半径分别是（）A．（﹣2，3），1 B．（2，﹣3），3 C．（﹣2，3），D．（2，﹣3），【考点】J1：圆的标准方程．【分析】根据圆的标准方程，即可写出圆心坐标和半径．【解答】解：∵圆的标准方程为（x﹣2）2+（y+3）2=2∴圆的圆心坐标和半径长分别是（2，﹣3），故选D．2．抛物线x2=y的准线方程是（）A．4x+1=0 B．4y+1=0 C．2x+1=0 D．2y+1=0【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=1，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=1，即p=，所以：=，∴准线方程y=﹣，即4y+1=0．故选：B3．圆（x﹣1）2+y2=4上的点可以表示为（）A．（﹣1+cos θ，sin θ ）B．（1+sin θ，cos θ ）C．（﹣1+2cos θ，2sin θ ）D．（1+2cos θ，2sin θ ）【考点】J1：圆的标准方程．【分析】根据圆的参数方程进行判断．【解答】解：∵（x﹣1）2+y2=4，∴（）2+（）2=1，设，则x=1+2cosθ，y=2sinθ，故选D．4．已知曲线C的参数方程是（t为参数），点M（6，a）在曲线C上，则a的值为（）A．9 B．6 C．﹣6 D．﹣9【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】曲线C的参数方程消去参数t，得曲线C的方程为2x2﹣9y+9=0，再由点M（6，a）在曲线C上，能求出a的值．【解答】解：∵曲线C的参数方程是（t为参数），∴消去参数t，得曲线C的方程为2x2﹣9y+9=0，∵点M（6，a）在曲线C上，∴2×36﹣9a+9=0，解得a=9．故选：A．5．椭圆x2+my2=1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（）A．B．C．2 D．4【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】椭圆x2+my2=1的焦点在x轴上，化为，可得a=1，b=．利用长轴长是短轴长的2倍，即可得出．【解答】解：椭圆x2+my2=1的焦点在x轴上，∴，∴a=1，b=．∵长轴长是短轴长的2倍，∴，解得m=4．故选：D．6．将双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫做双曲线的“黄金三角形“，则双曲线C：x2﹣y2=4的“黄金三角形“的面积为（）A．B．C．1 D．2【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据条件求出右焦点、右顶点、虚轴的一个端点的坐标，结合三角形的面积公式进行计算即可．【解答】解：根据题意，双曲线C：x2﹣y2=4的标准方程为：﹣=1，其中a==2，b==2，c==2，则该双曲线的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点的坐标分别为（2，0）、（2，0）、（0，2），则双曲线C：x2﹣y2=4的“黄金三角形“的面积S=×（2﹣2）×2=2﹣2；故选：A．7．已知圆C1：（x﹣a）2+（y+2）2=4与圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1恰有三条公切线，则ab的最大值为（）A．B．C．D．【考点】J7：圆的切线方程．【分析】根据两圆外切得出（a+b）2=9，再利用基本不等式得出ab的最大值．【解答】解：圆C1的圆心为（a，﹣2），半径为2，圆C2的圆心为（﹣b，﹣2），半径为1，∵两圆有三条公切线，∴两圆外切，∴|a+b|=3，∴a2+b2=9﹣2ab≥2ab，∴ab≤，故选C．8．已知一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），则直线AB方程为（）A．4x+9y﹣13=0B．4x+9y+13=0 C．9x+4y﹣13=0 D．9x+4y+13=0【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】根据题意设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦AB的中点坐标为M（1，1），求出斜率，即可求得直线AB的方程．【解答】解：根据题意，设直线方程AB为y=k（x﹣1）+1，设A、B的横坐标分别为x1、x2，且AB的中点坐标为M（1，1），则有（x1+x2）=1，即x1+x2=2，将直线AB的方程代入椭圆方程4x2+9y2=36中，整理得（9k2+4）x2+18k（1﹣k）x+9（1﹣k）2﹣36=0，有x1+x2=﹣，设则有﹣=2，解可得k=﹣，则直线AB方程为y=﹣（x﹣1）+1，变形可得4x+9y﹣13=0；故选：A．9．F1，F2分别为椭圆x2+2y2=1的左右焦点，点P在椭圆上，线段PF2与y轴的交点为M，且，则点M到坐标原点O的距离为（）A．2 B．C．D．1【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】画出图形，利用椭圆的简单性质判断M的位置，求解即可．【解答】解：F1、F2分别是椭圆x2+2y2=1的左、右焦点，点P在椭圆上，线段PF2与y轴的交点为M，且，如图：x2+2y2=1，可得a=1，b=，c=，可知OM∥F1P，|F1P|==，则点M到坐标原点O的距离是：．故选：B．10．设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质；I9：两条直线垂直的判定．【分析】先设出双曲线方程，则F，B的坐标可得，根据直线FB与渐近线y=垂直，得出其斜率的乘积为﹣1，进而求得b和a，c的关系式，进而根据双曲线方程a，b和c的关系进而求得a和c的等式，则双曲线的离心率可得．【解答】解：设双曲线方程为，则F（c，0），B（0，b）直线FB：bx+cy﹣bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b2=ac所以c2﹣a2=ac，即e2﹣e﹣1=0，所以或（舍去）11．己知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．2 B．3 C．D．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】由x=﹣1是抛物线y2=4x的准线，推导出点P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离和到直线l2：x=﹣1的距离之和的最小值．【解答】解：∵x=﹣1是抛物线y2=4x的准线，∴P到x=﹣1的距离等于PF，∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0）∴过P作4x﹣3y+6=0垂线，和抛物线的交点就是P，∴点P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离和到直线l2：x=﹣1的距离之和的最小值就是F（1，0）到直线4x﹣3y+6=0距离，∴最小值==2．故选：A．12．已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2﹣y2=1的左、右焦点，点P 为双曲线左支上任一点，自点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|=（）A．1 B．2 C．4 D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题设条件推导出PQ=PF2，由双曲线性质推导出PF2﹣PQ=QF2=2a，由中位线定理推导出QF2=2a=2OH=2，由此求解OH．【解答】解：∵F1，F2是双曲线x2﹣y2=1的左右焦点，延长F1H交PF2于Q，∵PA是∠F1PF2的角平分线，∴PQ=PF1，∵P在双曲线上，∴PF2﹣PF1=2a，∴PF2﹣PQ=QF2=2a，∵O是F1F2中点，H是F1Q中点，∴OH是F2F1Q的中位线，∴QF2=2a=2OH，∴a=1，OH=1故选：A．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径等于2的圆的方程是（x+2）2+y2=4．【考点】J2：圆的一般方程．【分析】根据题意，设圆的标准方程为（x﹣a）2+y2=4（a＜0），将原点的坐标代入得到关于a的等式，解出a=﹣2，即可得出所求圆的方程．【解答】解：设圆的圆心为（a，0）（a＜0），由圆的半径为2，可得圆的方程为（x﹣a）2+y2=4，又∵原点O（0，0）在圆上，∴（0﹣a）2+02=4，得a2=4，解得a=﹣2（舍正）由此可得圆的方程为（x+2）2+y2=4．故答案为：（x+2）2+y2=414．平面内有一长度为2的线段AB与一动点P，若满足|PA|+|PB|=8，则|PA|的取值范围为[3，5] ．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】根据题意有AB|=2且动点P满足|PA|+|PB|=8，利用椭圆的定义，可知动点P的轨迹是以A，B为左，右焦点，定长2a=8的椭圆，利用P为椭圆长轴端点时，|PA|分别取最大，最小值，即可求出|PA|的最大值和最小值．【解答】解：根据题意，|AB|=2且动点P满足|PA|+|PB|=8，则动点P的轨迹是以A，B为焦点，定长2a=8的椭圆∵2c=2，∴c=1，∴2a=8，∴a=4∵P为椭圆长轴端点时，|PA|分别取最大，最小值∴|PA|≥a﹣c=4﹣1=3，|PA|≤a+c=4+1=5∴|PA|的取值范围是：3≤|PA|≤5；故答案为：[3，5]15．已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的左焦点，且被双曲线解得的线段长为6，则双曲线的渐近线方程为y=±x．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先求出双曲线的左焦点坐标，再利用抛物线y2=8x的准线被双曲线解得的线段长为6，可得=6，借助于c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：由抛物线y2=8x，可得=2，故其准线方程为x=﹣2，∵抛物线y2=8x的准线过双曲线的左焦点，∴c=2．∵抛物线y2=8x的准线被双曲线解得的线段长为6，∴=6，∵c2=a2+b2，∴a=1，b=，∴双曲线的渐近线方程为y=±x．故答案为：y=±x．16．已知抛物线C：y=ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为，且C上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，并且，那么m=．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】先由抛物线的定义p的意义可求出a，根据C上的两点A（x1，y1），B （x2，y2）关于直线y=x+m对称可设出直线AB的方程，把直线AB的方程与抛物线的方程联立，根据根与系数的关系即可得出直线AB的方程，再根据线段AB 关于直线y=x+m对称性即可求出m的值．【解答】解：∵抛物线C：y=ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为，∴，解得a=2．∴抛物线C的方程为：y=2x2（a＞0）．∵抛物线C上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，∴可设直线AB的方程为y=﹣x+t．联立，消去y得2x2+x﹣t=0，∵直线AB与抛物线相较于不同两点，∴△=1+4t＞0．据根与系数的关系得，，，由已知，∴t=1．于是直线AB的方程为y=﹣x+1，设线段AB的中点为M（x M，y M），则=，∴y M==．把M代入直线y=x+m得，解得m=．故答案为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（本题共6小题，其中17题10分，18-22题每小题10分，共70分）17．根据下列条件写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F（3，0）；（2）准线方程是．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（1）根据题意，分析可得要求抛物线的焦点在x轴正半轴上，且=3，由抛物线标准方程的形式分析可得答案；（2）根据题意，分析可得要求抛物线的焦点在x轴正半轴上，且=，由抛物线标准方程的形式分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，抛物线的焦点是F（3，0）；则抛物线的焦点在x轴正半轴上，且=3，设抛物线的方程为y2=2px则抛物线的方程为：y2=12x；（2）根据题意，抛物线的准线方程是，则抛物线的焦点在x轴正半轴上，且=，设抛物线的方程为y2=2px则抛物线的方程为：y2=x．18．如图抛物线顶点在原点，圆（x﹣2）2+y2=4的圆心恰是抛物线的焦点．（1）求抛物线的方程；（2）一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A、B、C、D四点，求|AB|+|CD|的值．【考点】KI：圆锥曲线的综合．【分析】（1）设抛物线方程为y2=2px（p＞0），由已知得p=4．即可得抛物线的方程；（2）依题意直线AB的方程为y=2x﹣4，设A（x1，y1），D（x2，y2），则，得x2﹣6x+4=0，由抛物线的定义可得|AD|=x1+x2+p．可得|AB|+|CD|=|AD|﹣|CB|，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）设抛物线方程为y2=2px（p＞0），∵圆（x﹣2）2+y2=22的圆心恰是抛物线的焦点，∴=2即p=4．∴抛物线的方程为：y2=8x；（2）依题意直线AB的方程为y=2x﹣4，设A（x1，y1），D（x2，y2），则，得x2﹣6x+4=0，∴x1+x2=6，|AD|=x1+x2+p=6+4=10．则|AB|+|CD|=|AD|﹣|CB|=10﹣4=6．19．已知曲线方程为：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若此曲线是圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】（1）首先利用圆的一般式与标准式的互化得出m的取值范围．（2）利用直线与圆的位置关系，进一步转化成一元二次方程，进一步根据根和系数的关系利用直线垂直的充要条件求出m的值．【解答】解：（1）曲线方程为：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．整理得：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，则5﹣m＞0，解得：m＜5．（2）直线x+2y﹣4=0与圆：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0的交点为M（x1，y1）N（x2，y2）．则：，整理得：5y2﹣16y+8+m=0，则：，，且OM⊥ON（O为坐标原点），则：x1x2+y1y2=0，x1=4﹣2y1，x2=4﹣2y2，则（4﹣2y1）（4﹣2y2）+y1y2=0．解得：m=，故m的值为．20．已知圆C的圆心在直线3x﹣y=0上且在第一象限，圆C与x轴相切，且被直线x﹣y=0截得的弦长为．（1）求圆C的方程；（2）若点P（x，y）是圆C上的点，满足恒成立，求m的取值范围．【考点】JE：直线和圆的方程的应用；J1：圆的标准方程．【分析】（1）根据圆心在3x﹣y=0上，设出圆心C坐标以及半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到x﹣y=0的距离d，由弦长与半径，利用垂径定理及勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出圆心与半径，写出圆C的方程即可．（2）由题知，m≥（x+y）max．利用圆的参数方程，结合辅助角公式化简，即可得出结论．【解答】解：（1）设圆心为（3t，t），t＞0，半径为r=3t，则圆心到直线y=x的距离d==t，而（）2=r2﹣d2，∴9t2﹣2t2=7，∴t=1，∴圆心在第一象限的圆是（x﹣3）2+（y﹣1）2=9；（2）由题知，m≥（x+y）max．设x=3+3cosθ，y=1+3sinθ，则x+y=（3+3cosθ）+（1+3sinθ）=6sin（θ+）+1+3∴sin（θ+）=1时，（x+y）max=7+3∴m≥7+3．21．已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，它的一个焦点到短轴顶点的距离为2，动直线l：y=kx+m交椭圆E于A、B两点，设直线OA、OB的斜率都存在，且k OA•k OB=﹣．（1）求椭圆E的方程；（2）求证：2m2=4k2+3；（3）求|AB|的最大值．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的离心率为，它的一个焦点到短轴顶点的距离为2，列出方程组，求出a=2，c=1，b=，由此能求出椭圆E的方程．（2）联立方程组，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由此利用韦达定理、直线的斜率，结合已知条件能证明2m2=4k2+3．（3）由弦长公式和韦达定理，得|AB|=2•=，由此能求出当k=0时，|AB|取最大值2．【解答】解：（1）∵椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，它的一个焦点到短轴顶点的距离为2，∴，解得a=2，c=1，b=，∴椭圆E的方程为证明：（2）联立方程组，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2=﹣+m2=，∵直线OA、OB的斜率都存在，且k OA•k OB=﹣，∴k OA•k OB=====﹣．∴2m2=4k2+3．解：（3）由（2）和弦长公式和韦达定理，得：|AB|=•=2•=，由判别式△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）＞0，得k∈R，当k=0时，|AB|取最大值2．22．已知直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆3x2+y2=a相交于A、B两个不同的点，记l与y轴的交点为C．（Ⅰ）若k=1，且|AB|=，求实数a的值；（Ⅱ）若=2，求△AOB面积的最大值，及此时椭圆的方程．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）若k=1，联立直线和椭圆方程，结合相交弦的弦长公式以及|AB|=，即可求实数a的值；（Ⅱ）根据=2关系，结合一元二次方程根与系数之间的关系，以及基本不等式进行求解即可．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），（Ⅰ）由得4x2+2x+1﹣a=0，则x1+x2=，x1x2=，则|AB|==，解得a=2．（Ⅱ）由，得（3+k2）x2+2kx+1﹣a=0，则x1+x2=﹣，x1x2=，由=2得（﹣x1，1﹣y1）=2（x2，y2﹣1），解得x1=﹣2x2，代入上式得：x1+x2=﹣x2=﹣，则x2=，==，当且仅当k2=3时取等号，此时x2=，x1x2=﹣2x22=﹣2×，又x1x2==，则=﹣，解得a=5．所以，△AOB面积的最大值为，此时椭圆的方程为3x2+y2=5．。
2017-2018学年吉林省吉林市舒兰一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）命题“∃x∈R，使得x3﹣x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，都有x3﹣x2+1≤0 B．∀x∈R，都有x3﹣x2+1＞0C．∃x∈R，都有x3﹣x2+1≤0 D．∃x∈R，都有x3﹣x2+1＜02．（5分）在△ABC中，若（a+c）（a﹣c）=b（b+c），则角A等于（）A．120°B．90°C．60°D．30°3．（5分）不等式x2﹣3x+2≤0的解为（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．[1，2]D．[﹣3，﹣2]4．（5分）命题“若x2+y2≤1，则x+y＜2”的逆否命题为（）A．若x+y≥2，则x2+y2＞1 B．若x+y＞2，则x2+y2≥1C．若x+y≥2，则x2+y2≥1 D．若x+y＞2，则x2+y2＞15．（5分）如果在等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a7等于（）A．4 B．6 C．8 D．126．（5分）如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0 C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＜07．（5分）设a∈R，则“a＜1”是“a2+a﹣2＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若B=60°，且，则sinA等于（）A．B．C．D．19．（5分）已知命题p：对任意，cosxtanx≥0；命题q：存在实数a，使函数f（x）=x2﹣2ax+1（x∈R）有零点，则下列命题为真命题的是（）A．p且q B．p或（¬q）C．（¬p）且q D．p且（¬q）10．（5分）在△ABC中，1+cosA=，则三角形的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形11．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1=﹣23，S n≥0的最小正整数解为n=11，则公差d的取值范围是（）A．（，]B．[，） C．（，]D．[，）12．（5分）已知a＞0，b＞0，则的最小值为（）A．4 B．7.5 C．8 D．16二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知在等比数列{a n}中，a1+a3=10，a4+a6=，则等比数列{a n}的公比q的值为．14．（5分）已知变量x、y满足，则x+y的最小值是．15．（5分）如表给出一个“直角三角形数阵”满足每一列成等差数列，从第三行起每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行，第j列的数为a ij（i ≥j，i，j∈N*），则第1列的公差等于，a83等于．16．（5分）△ABC中，如果满足sinB（1+cosA）≥（2﹣cosB）sinA，则A的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（Ⅰ）若，求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积等于，求a，b的值．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）在锐角三角形ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且a=2csin A．（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．20．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0；q：实数x满足﹣1＜x﹣3＜1．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若a＞0且¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和．（1）证明：数列{a n}为等比数列，并求{a n}的通项公式．（2）设b n=log3a n，求数列{a n b n}的前n项和．22．（12分）在海岛A上有一座海拔1km的山峰，山顶设有一个观察站P．有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11：00时，测得此船在岛北偏东15°、俯角为30°的B处，到11：10时，又测得该船在岛北偏西45°、俯角为60°的C 处．（1）求船的航行速度；（2）求船沿BC行驶过程中与观察站P的最短距离．2017-2018学年吉林省吉林市舒兰一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）命题“∃x∈R，使得x3﹣x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，都有x3﹣x2+1≤0 B．∀x∈R，都有x3﹣x2+1＞0C．∃x∈R，都有x3﹣x2+1≤0 D．∃x∈R，都有x3﹣x2+1＜0【解答】解：由特称命题的否定为全称命题，可得，命题“∃x∈R，使得x3﹣x2+1＞0”的否定是：“∀x∈R，使得x3﹣x2+1≤0”，故选：A．2．（5分）在△ABC中，若（a+c）（a﹣c）=b（b+c），则角A等于（）A．120°B．90°C．60°D．30°【解答】解：∵（a+c）（a﹣c）=b（b+c），∴a2﹣c2=b2+bc，可得a2=b2+c2+bc又∵a2=b2+c2﹣2bccocA∴cocA=﹣∵A∈（0°，180°），∴A=120°．故选：A．3．（5分）不等式x2﹣3x+2≤0的解为（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．[1，2]D．[﹣3，﹣2]【解答】解：不等式x2﹣3x+2≤0对应方程为x2﹣3x+2=0，解方程得x=1或x=2，∴不等式的解集为[1，2]．故选：C．4．（5分）命题“若x2+y2≤1，则x+y＜2”的逆否命题为（）A．若x+y≥2，则x2+y2＞1 B．若x+y＞2，则x2+y2≥1C．若x+y≥2，则x2+y2≥1 D．若x+y＞2，则x2+y2＞1【解答】解：命题“若x2+y2≤1，则x+y＜2”的逆否命题为：若x+y≥2，则x2+y2＞1．故选：A．5．（5分）如果在等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a7等于（）A．4 B．6 C．8 D．12【解答】解：在等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，可得a1+a7=a3+a5=2a4，即为3a4=12，可得a4=4，则a1+a7=8．故选：C．6．（5分）如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0 C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＜0【解答】解：对于A，∵c＜b＜a且ac＜0，∴则a＞0，c＜0，必有ab＞ac，故A一定成立对于B，∵c＜b＜a∴b﹣a＜0，又由c＜0，则有c（b﹣a）＞0，故B一定成立，对于C，当b=0时，cb2＜ab2不成立，当b≠0时，cb2＜ab2成立，故C不一定成立，对于D，∵c＜b＜a且ac＜0∴a﹣c＞0∴ac（a﹣c）＜0，故D一定成立故选：C．7．（5分）设a∈R，则“a＜1”是“a2+a﹣2＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由a2+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1．∴“a＜1”是“a2+a﹣2＜0”的必要不充分条件．故选：B．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若B=60°，且，则sinA等于（）A．B．C．D．1【解答】解：在△ABC中，∵B=60°，，∴sinB=，∴由正弦定理可得：sinA===．故选：A．9．（5分）已知命题p：对任意，cosxtanx≥0；命题q：存在实数a，使函数f（x）=x2﹣2ax+1（x∈R）有零点，则下列命题为真命题的是（）A．p且q B．p或（¬q）C．（¬p）且q D．p且（¬q）【解答】解：令x=﹣，则cos（﹣）tan（﹣）＜0，显然命题p是假命题，若存在实数a，使函数f（x）=x2﹣2ax+1（x∈R）有零点，则△=4a2﹣4≥0，解得：a≥1或a≤﹣1，故存在实数a≥1或a≤﹣1，使函数f（x）=x2﹣2ax+1（x∈R）有零点，故命题q是真命题，故（¬p）且q是真命题，故选：C．10．（5分）在△ABC中，1+cosA=，则三角形的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形【解答】解：∵1+cosA=，∴cosA=，即=，去分母得：b2+c2﹣a2=2b2，即a2+b2=c2，则△ABC为直角三角形．故选：A．11．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1=﹣23，S n≥0的最小正整数解为n=11，则公差d的取值范围是（）A．（，]B．[，） C．（，]D．[，）【解答】解：因为等差数列{a n}中，S n≥0的最小正整数解为n=11，所以S11≥0，S10＜0，又a1=﹣23，则，解得，所以公差d的取值范围是[，），故选：D．12．（5分）已知a＞0，b＞0，则的最小值为（）A．4 B．7.5 C．8 D．16【解答】解：根据题意，=+=++2（+）++≥2+2+2×2=2（+）+2×2≥4+4=8；则的最小值为8，当且仅当a=b时，等号成立；故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知在等比数列{a n}中，a1+a3=10，a4+a6=，则等比数列{a n}的公比q的值为．【解答】解：依题意，设公比为q，∵a1+a3=10，a4+a6=，∴q3==，∴q=．故答案为：14．（5分）已知变量x、y满足，则x+y的最小值是2．【解答】解：作出不等式組所表示的平面区域如图作直线l0：x+y=0把直线向上平移可得过点A时x+y最小由可得A（1，1）x+y的最小值2故答案为：215．（5分）如表给出一个“直角三角形数阵”满足每一列成等差数列，从第三行起每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行，第j列的数为a ij（i≥j，i，j∈N*），则第1列的公差等于，a83等于．【解答】解：由题意知，第一列成等差数列，且公差d=，每行成等比数列，且公比q=，又a83是第8行第3个数，由已知a81==2，故==故答案为：，16．（5分）△ABC中，如果满足sinB（1+cosA）≥（2﹣cosB）sinA，则A的取值范围是（0，60°] ．【解答】解：△ABC中，∵sinB（1+cosA）≥（2﹣cosB）sinA，sinB+sinBcosA+cosBsinA ≥2sinA，即sinB+sin（A+B）≥2sinA，∴sinB+sinC≥2sinA，由正弦定理可得b+c≥2a，故边a不是最大边，故A为锐角．再利用和差化积公式可得2sin cos≥2sinA，∴sinA≤2sin=2sin（90°﹣），∴A≤90°﹣，∴0＜A≤60°，故答案为：（0，60°]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（Ⅰ）若，求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积等于，求a，b的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，c=2，C=，a=，由正弦定理得，=，∴sinA==；又0＜A＜，∴A=．（Ⅱ）△ABC的面积为S=absinC=ab×=，解得ab=4；①由余弦定理得a2+b2﹣2abcosC=c2，即a2+b2﹣ab=4；②由①②组成方程组，解得a=b=2．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵a1，a3，a7成等比数列．∴a32=a1a7，即（a1+2d）2=a1（a1+6d），化简得d=a1，d=0（舍去）．∴S3=3a1+=a1=9，得a1=2，d=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=2+（n﹣1）=n+1，即a n=n+1．（2）∵b n=2a n=2n+1，∴b1=4，．∴{b n}是以4为首项，2为公比的等比数列，∴T n==2n+2﹣4．19．（12分）在锐角三角形ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且a=2csin A．（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【解答】解：（1）由a=2csin A及正弦定理得，==．因为sin A≠0，所以sin C=．因为△ABC是锐角三角形，所以C=．（2）因为c=，C=，由面积公式得：absin=，即ab=6．（i）由余弦定理得，a2+b2﹣2abcos=7，即a2+b2﹣ab=7．（ii）由（ii）变形得（a+b）2=3ab+7．（iii）将（i）代入（iii），得（a+b）2=25，可得：a+b=5．20．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0；q：实数x满足﹣1＜x﹣3＜1．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若a＞0且¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，当a=1时，1＜x＜3，即p为真实数x的取值范围是（1，3），由﹣1＜x﹣3＜1，得2＜x＜4，即q为真实数x的取值范围是（2，4），若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是（2，3）；（2）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，¬p是¬q的充分不必要条件，即¬p⇒¬q，且¬q≠＞¬p，设A={x|x2﹣4ax+3a2≥0}，B={x|x﹣3≥1或x﹣3≤﹣1}，又A{x|x2﹣4ax+3a2≥0}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|x﹣3≥1或x﹣3≤﹣1}={x|x≥4或x≤2}，则0＜a≤2，且3a≥4，所以实数a的取值范围是．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和．（1）证明：数列{a n}为等比数列，并求{a n}的通项公式．（2）设b n=log3a n，求数列{a n b n}的前n项和．【解答】解：（1）证明：∵，∴，两式相减，得，=3a n，n∈N+．即，∴a n+1又，即，∴a1=3，∴{a n}是首项为3，公比为3的等比数列，从而{a n}的通项公式是．（2）由（1）知b n=log3a n=n，设数列{a n b n}的前n项和为T n，则，3T n=1×32+2×33+3×34+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，两式相减得=，∴．22．（12分）在海岛A上有一座海拔1km的山峰，山顶设有一个观察站P．有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11：00时，测得此船在岛北偏东15°、俯角为30°的B处，到11：10时，又测得该船在岛北偏西45°、俯角为60°的C 处．（1）求船的航行速度；（2）求船沿BC行驶过程中与观察站P的最短距离．【解答】解：（1）设船速为xkm/h，则km．在Rt△PAB中，∠PBA与俯角相等为30°，∴．同理，Rt△PCA中，．在△ACB中，∠CAB=15°+45°=60°，∴由余弦定理得，∴km/h，∴船的航行速度为km/h．（2）（方法一）作AD⊥BC于点D，∴当船行驶到点D时，AD最小，从而PD 最小．此时，．∴PD=．∴船在行驶过程中与观察站P的最短距离为km．（方法二）由（1）知在△ACB中，由正弦定理，∴．作AD⊥BC于点D，∴当船行驶到点D时，AD最小，从而PD最小．此时，．∴PD=．∴船在行驶过程中与观察站P的最短距离为km．。
2017-2018学年吉林省名校调研系列卷（省命题）七年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．比﹣3大2的数是（ ） A ．﹣5B ．﹣1C ．1D ．52．估算投资107亿元的长春地铁1号线已于2017年6月30日投入运营，将数据107亿用科学记数法表示为（ ） A ．1.07×108B ．1.07×109C ．1.07×1010D ．107×1083．下列计算错误的是（ ） A ．（﹣3）2＝6B ．−12+13=−16C ．0﹣（﹣1）＝1D ．|﹣3|＝34．下列关于单项式−xy 25的说法中，正确的是（ ）A ．系数是1，次数是2B ．系数是15，次数是2C ．系数是15，次数是3D ．系数是−15，次数是35．下列去（或添）括号正确的是（ ） A ．x 2﹣x ﹣1＝x 2﹣（x +1） B ．a ﹣（b ﹣c ）＝a ﹣b ﹣cC ．﹣（a ﹣b +c ）＝﹣a +b +cD ．c +2（a ﹣b ）＝c +2a ﹣b6．如图1，将一个边长为a 的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为（ ）A ．2a ﹣3bB ．4a ﹣8bC ．2a ﹣4bD ．4a ﹣10b二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 7．比较大小：﹣3 ﹣7．8．用四舍五入法取近似数0.31415，精确到0.001的结果是．9．计算：6a﹣12a＝．10．多项式2x2﹣3x2y是次项式．11．如果3a x﹣1b2与7a3b2y是同类项，那么x+y＝．12．当m＝时，多项式3x2+2xy+y2﹣mx2中不含x2项．13．小明有一个魔术盒，当任意有理数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的有理数a2+b ﹣1，例如，把有理数对（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1＝6，现将有理数对（﹣1，﹣2）放入其中，则会得到．14．观察下列单项式：3a2、5a5、7a10、9a17、11a26…它们是按一定规律排列的，那么这列式子的第n个单项式是．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）计算：7﹣（﹣3）+（﹣5）﹣|﹣8|．16．（5分）计算：3+50÷（﹣2）2×（−15）﹣1．17．（5分）合并同类项：2ax2﹣3ax2﹣7ax2．18．（5分）化简：7a+3（a﹣3b）﹣2（b﹣a）．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）先化简，再求值：3（x2﹣x）+2（1+x﹣x2），其中x＝﹣2．20．（7分）已知多项式7x m+kx2+（n+1）x+57是关于x的三次三项式，并且一次项系数为3，求m+n﹣k的值．21．（7分）已知多项式A＝5x2+3xy﹣2y2，B＝2x2﹣6xy+y2，求下列各式的值：（1）A+B；（2）A﹣3B．22．（7分）一个同学做一道题，已知两个多项式A、B，计算A+B的值，他误将A+B看作A ﹣B求得结果是3x2﹣2x+5，若A＝4x2﹣3x﹣6，请你帮助他求得A+B的正确答案．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）在一次抗震救灾中，某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资到灾民安置区，按计划每辆汽车只能装运一种救灾物资且必须装满．已知用了a辆汽车装运食品，用了b辆汽车装运药品，其余剩下的汽车装运生活用品，根据表中提供的信息，解答下列问题：物资种类食品药品生活用品每辆汽车运载（吨）654每吨所需运费（元）120160100（1）20辆汽车共装载了多少吨救灾物资？（2）装运这批救灾物资的总费用是多少元？24．（8分）如图，长方形ABCD的周长为20cm，填写下表：AB长（cm）123456789BC长（cm）5长方形的面积（cm2）25（1）设AB边的长为xcm，则BC边的长为cm，长方形ABCD的面积为cm2（用含x的式子表示）；（2）你从表格中发现长方形的周长一定时，它的面积有什么特点？六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）开学期间，为了打扫卫生，班主任派卫生委员小敏去轻工市场购买一些扫帚和抹布．选定一家店后，老板告诉小敏，扫帚每把25元，抹布每块5元，现为了搞促销，有两种优惠方案．方案一：买一把扫帚送一块抹布；方案二：扫帚和抹布都按定价的90%付款．小敏需要购买扫帚6把，抹布x块（x＞6）．（1）若小敏按方案一购买，需付款多少元（用含x的式子表示）；（2）若小敏按方案二购买，需付款多少元（用含x的式子表示）；（3）当x＝10时，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算；（4）当x＝10时，你能给小敏提供一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．26．（10分）A、B两个动点在数轴上同时出发，分别向左、向右做匀速运动，它们的运动时间以及在数轴上的位置记录如下．（1）根据题意，填写下列表格；时间（秒）057A点位置19﹣1B点位置1727（2）A、B两点能否相遇，如果能相遇，求相遇时的时刻及在数轴上的位置；如果不能相遇，请说明理由；（3）A、B两点能否相距9个单位长度，如果能，求相距9个单位长度的时刻；如不能，请说明理由．2017-2018学年吉林省名校调研系列卷（省命题）七年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．比﹣3大2的数是（ ） A ．﹣5B ．﹣1C ．1D ．5解：﹣3+2＝﹣（3﹣2）＝﹣1．故选B ．2．估算投资107亿元的长春地铁1号线已于2017年6月30日投入运营，将数据107亿用科学记数法表示为（ ） A ．1.07×108B ．1.07×109C ．1.07×1010D ．107×108解：107亿＝107 0000 0000＝1.07×1010， 故选：C ．3．下列计算错误的是（ ） A ．（﹣3）2＝6B ．−12+13=−16C ．0﹣（﹣1）＝1D ．|﹣3|＝3解：A 、原式＝9，错误； B 、原式=−16，正确； C 、原式＝0+1＝1，正确； D 、原式＝3，正确， 故选：A ．4．下列关于单项式−xy 25的说法中，正确的是（ ）A ．系数是1，次数是2B ．系数是15，次数是2C ．系数是15，次数是3D ．系数是−15，次数是3解：∵单项式−xy 25的数字因数是−15，所有字母指数的和＝1+2＝3，∴此单项式的系数是−15，次数是3． 故选：D ．5．下列去（或添）括号正确的是（ ） A ．x 2﹣x ﹣1＝x 2﹣（x +1）B ．a ﹣（b ﹣c ）＝a ﹣b ﹣cC．﹣（a﹣b+c）＝﹣a+b+c D．c+2（a﹣b）＝c+2a﹣b解：A、原式＝x2﹣（x+1），故本选项正确；B、原式＝a﹣b+c，故本选项错误；C、原式＝﹣a+b﹣c，故本选项错误；D、原式＝c+2a﹣2b，故本选项错误；故选：A．6．如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为（）A．2a﹣3b B．4a﹣8b C．2a﹣4b D．4a﹣10b解：根据题意得：2[a﹣b+（a﹣3b）]＝4a﹣8b．故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）7．比较大小：﹣3＞﹣7．解：两个负数，绝对值大的反而小：﹣3＞﹣7．8．用四舍五入法取近似数0.31415，精确到0.001的结果是0.314．解：近似数0.31415精确到0.001的结果是0.314．故答案为0.314．9．计算：6a﹣12a＝﹣6a．解：6a﹣12a＝﹣6a．故答案为﹣6a．10．多项式2x2﹣3x2y是三次二项式．解：多项式2x2﹣3x2y是三次二项式，故答案为：三；二．11．如果3a x﹣1b2与7a3b2y是同类项，那么x+y＝5．解：∵3a x﹣1b2与﹣7a3b2y是同类项，∴x﹣1＝3，2y＝2，∴x＝4，y＝1，∴x+y＝5，故答案为：5．12．当m＝3时，多项式3x2+2xy+y2﹣mx2中不含x2项．解：将多项式合并同类项得（3﹣m）x2+2xy+y2，∵不含x2项，∴3﹣m＝0，∴m＝3．故填空答案：3．13．小明有一个魔术盒，当任意有理数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的有理数a2+b ﹣1，例如，把有理数对（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1＝6，现将有理数对（﹣1，﹣2）放入其中，则会得到﹣2．解：把有理数对（﹣1，﹣2）代入得：原式＝1﹣2﹣1＝﹣2，故答案为：﹣214．观察下列单项式：3a2、5a5、7a10、9a17、11a26…它们是按一定规律排列的，那么这列式子的第n个单项式是（2n+1）a n2+1．．解：3a2＝（2×1+1）a12+1，5a5＝（2×2+1）a22+1，7a10＝（2×3+1）a32+1，…第n个单项式是：（2n+1）a n2+1．故答案为：（2n+1）a n2+1．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）计算：7﹣（﹣3）+（﹣5）﹣|﹣8|．解：7﹣（﹣3）+（﹣5）﹣|﹣8|＝7+3+（﹣5）﹣8＝﹣3．16．（5分）计算：3+50÷（﹣2）2×（−15）﹣1．解：3+50÷（﹣2）2×（−15）﹣1＝3+50÷4×（−15）﹣1＝3−52−1=−12．17．（5分）合并同类项：2ax2﹣3ax2﹣7ax2．解：2ax2﹣3ax2﹣7ax2＝﹣8ax2．18．（5分）化简：7a+3（a﹣3b）﹣2（b﹣a）．解：7a+3（a﹣3b）﹣2（b﹣a）＝7a+3a﹣9b﹣2b+2a＝12a﹣11b．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）先化简，再求值：3（x2﹣x）+2（1+x﹣x2），其中x＝﹣2．解：原式＝3x2﹣3x+2+2x﹣2x2＝x2﹣x+2，当x＝﹣2时，原式＝4+2+2＝8．20．（7分）已知多项式7x m+kx2+（n+1）x+57是关于x的三次三项式，并且一次项系数为3，求m+n﹣k的值．解：由题意得：m＝3，k＝0，n+1＝3，解得：n＝2，则m+n﹣k＝3+2﹣0＝5．21．（7分）已知多项式A＝5x2+3xy﹣2y2，B＝2x2﹣6xy+y2，求下列各式的值：（1）A+B；（2）A﹣3B．解：（1）∵A＝5x2+3xy﹣2y2，B＝2x2﹣6xy+y2，∴A+B＝5x2+3xy﹣2y2+2x2﹣6xy+y2＝7x2﹣3xy﹣y2；（2）∵A＝5x2+3xy﹣2y2，B＝2x2﹣6xy+y2，∴A﹣3B＝5x2+3xy﹣2y2﹣3（2x2﹣6xy+y2）＝5x2+3xy﹣2y2﹣6x2+18xy﹣3y2＝﹣x2+21xy﹣5y2．22．（7分）一个同学做一道题，已知两个多项式A、B，计算A+B的值，他误将A+B看作A ﹣B求得结果是3x2﹣2x+5，若A＝4x2﹣3x﹣6，请你帮助他求得A+B的正确答案．解：由题意可得，B＝A﹣（3x2﹣2x+5）＝4x2﹣3x﹣6﹣（3x2﹣2x+5）＝4x2﹣3x﹣6﹣3x2+2x﹣5＝x2﹣x﹣11，∴A+B＝4x2﹣3x﹣6+x2﹣x﹣11＝5x2﹣4x﹣17，即A+B的值是5x2﹣4x﹣17．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）在一次抗震救灾中，某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资到灾民安置区，按计划每辆汽车只能装运一种救灾物资且必须装满．已知用了a辆汽车装运食品，用了b辆汽车装运药品，其余剩下的汽车装运生活用品，根据表中提供的信息，解答下列问题：物资种类食品药品生活用品每辆汽车运载（吨）654每吨所需运费（元）120160100（1）20辆汽车共装载了多少吨救灾物资？（2）装运这批救灾物资的总费用是多少元？解：（1）由题意，装运生活用品的汽车有（20﹣a﹣b）辆，故20辆汽车装载的救灾物资＝6a+5b+4（20﹣a﹣b）＝6a+5b+80﹣4a﹣4b＝2a+b+80（吨）；（2）总费用＝120×6a+160×5b+100×4（20﹣a﹣b）＝720a+800b+8000﹣400a﹣400b ＝320a+400b+8000（元）．24．（8分）如图，长方形ABCD的周长为20cm，填写下表：AB长（cm）123456789BC长（cm）5长方形的面积（cm2）25（1）设AB边的长为xcm，则BC边的长为（10﹣x）cm，长方形ABCD的面积为x （10﹣x）cm2（用含x的式子表示）；（2）你从表格中发现长方形的周长一定时，它的面积有什么特点？解：填表如下：AB长（cm）123456789BC长（cm）9 87 6 5 4 3 2 1 长方形的面积（cm2）9 16 21 24 2524 21 16 9（1）设AB边的长为xcm，则BC边的长为（10﹣x）cm，长方形ABCD的面积为x（10﹣x）cm2；故答案为（10﹣x）；x（10﹣x）．（2）周长一定的长方形，长宽相等时面积最大．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）开学期间，为了打扫卫生，班主任派卫生委员小敏去轻工市场购买一些扫帚和抹布．选定一家店后，老板告诉小敏，扫帚每把25元，抹布每块5元，现为了搞促销，有两种优惠方案．方案一：买一把扫帚送一块抹布；方案二：扫帚和抹布都按定价的90%付款．小敏需要购买扫帚6把，抹布x块（x＞6）．（1）若小敏按方案一购买，需付款多少元（用含x的式子表示）；（2）若小敏按方案二购买，需付款多少元（用含x的式子表示）；（3）当x＝10时，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算；（4）当x＝10时，你能给小敏提供一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．解：（1）∵方案一：买一把扫帚送一块抹布，∴小敏需要购买扫帚6把，抹布x块（x＞6），若小敏按方案一购买，需付款25×6+5（x ﹣6）＝（5x+120）元；（2）∵方案二：扫帚和抹布都按定价的90%付款，∴小敏需要购买扫帚6把，抹布x块（x＞6），若小敏按方案二购买，需付款25×6×0.9+5x •0.9＝（4.5x+135）元；（3）方案一需：5×10+120＝170元，方案二需4.5×10+135＝180元，故方案一划算；（4）其中6把扫帚6块抹布按方案一买，剩下4块抹布按方案二买，共需168元．26．（10分）A、B两个动点在数轴上同时出发，分别向左、向右做匀速运动，它们的运动时间以及在数轴上的位置记录如下．（1）根据题意，填写下列表格；时间（秒）057A点位置19﹣1﹣9B点位置﹣81727（2）A、B两点能否相遇，如果能相遇，求相遇时的时刻及在数轴上的位置；如果不能相遇，请说明理由；（3）A、B两点能否相距9个单位长度，如果能，求相距9个单位长度的时刻；如不能，请说明理由．解：（1）[19﹣（﹣1）]÷（5﹣0）＝4，19﹣4×7＝﹣9；（27﹣17）÷（7﹣5）＝5，17﹣5×5＝﹣8．故答案是：﹣9；﹣8；（2）能相遇，理由如下：根据题意可得：27÷（4+5）＝3（秒），19﹣3×4＝7，答：能在第3秒时相遇，此时在数轴上7的位置；（3）第一种：A、B相遇前相距9个单位．（27﹣9）÷（4+5）＝2，第二种：A、B相遇后相距9个单位．（27+9）÷（4+5）＝4，能在第2或4秒时相距9个单位．。
2017-2018学年吉林省吉大附中高三（上）9月月考数学试卷（文科）一、选择题（共60分，每小题5分）1．设集合U={1，2，3，4，5}，M={1，2，5}，N={2，3，5}，则M∪（∁U N）=（）A．{1}B．{1，2，3，5} C．{1，2，4，5} D．{1，2，3，4，5}2．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．f（x）=0 B．f（x）=2x+C．f（x）=sinx+x D．f（x）=lg|x|+x3．设函数f（x）=，若f（f（1））=1，则b=（）A．B．C．1 D．2100千米平均耗油量为（）A．6升B．8升C．10升D．12升5．下列，正确的是（）A．“∃x0∈R，使得x02﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2﹣1＞0”B．“存在四边相等的空间四边形不是正方形”，该是假C．“若x2=y2，则x=y”的逆否是真D．“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否是“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”6．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列正确的是（）A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．58．设x∈R，定义符号函数sgnx=，则函数f（x）=|x|sgnx的图象大致是（）A．B． C．D．9．若函数y=f（x）图象上的任意一点P的坐标（x，y）满足条件|x|≥|y|，则称函数f（x）具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是（）A．f（x）=e x﹣1 B．f（x）=ln（x+1）C．f（x）=sinx D．f（x）=tanx10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是BC1、CD1的中点，则下列说法错误的是（）A．MN∥AB B．MN⊥AC C．MN⊥CC1D．MN∥平面ABCD11．已知函数f（x）=x2+ax+b，a≠b，则f（2）=4是f（a）=f（b）的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．不是充分条件，也不是必要条件12．已知函数f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊆D，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．给出下列说法：①函数f（x）=不可能是k型函数；②若函数y=﹣x2+x是3型函数，则m=﹣4，n=0；③设函数f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k型函数，则k的最小值为；④若函数y=（a≠0）是1型函数，则n﹣m的最大值为．下列选项正确的是（）A．①③B．②③C．①④D．②④二、填空题（共20分，每小题5分）13．函数f（x）=的定义域为．14．若定义在R上的可导函数f（x）是奇函数，且对∀x∈[0，+∞），f'（x）＞0恒成立．如果实数t满足不等式f（lnt）﹣f（ln）＜2f（1），则t的取值范围是．15．三棱锥S﹣ABC中，三条侧棱SA=SB=SC=2，底面三边AB=BC=CA=2，则此三棱锥S﹣ABC外接球的表面积是．16．若函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣mx+m有且只有一个零点，则m的取值范围是．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知p：“方程x2+mx+1=0恰好有两个不相等的负根”；q：“不等式3x﹣m+1≤0存在实数解”．若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．18．已知函数f（x）=﹣4x+4．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）求函数f（x）闭区间[﹣2，m]上的最小值．19．已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．20．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱BB1⊥底面A1B1C1，D为AC 的中点，A1B1=BB1=2，A1C1=BC1，∠A1C1B=60°．（Ⅰ）求证：AB1∥平面BDC1；（Ⅱ）求多面体A1B1C1DBA的体积．21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣bx（b为常数）．（1）函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与g（x）的图象相切，求实数b的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围；（3）若b＞1，对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求b的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4—1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD和CGE都是⊙O的割线，AC=AB （1）证明：AC2=AD•AE；（2）证明：FG∥AC．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣与曲线C交于（不包括极点O）三点A，B，C．（Ⅰ）求证：|OB|+|OC|=|OA|；（Ⅱ）当φ=时，求三角形△OBC的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2+b2+c2＞ab+bc+ca．2016-2017学年吉林省吉大附中高三（上）9月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共60分，每小题5分）1．设集合U={1，2，3，4，5}，M={1，2，5}，N={2，3，5}，则M∪（∁U N）=（）A．{1}B．{1，2，3，5} C．{1，2，4，5} D．{1，2，3，4，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据并集与补集的定义，进行计算即可．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5}，M={1，2，5}，N={2，3，5}，∴∁U N={1，4}，∴M∪（∁U N）={1，2，4，5}．故选：C．2．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．f（x）=0 B．f（x）=2x+C．f（x）=sinx+x D．f（x）=lg|x|+x【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据基本函数的性质逐项判断即可．【解答】解：对于A，既是奇函数，也是偶函数，排除A；对于B，满足f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数，排除B；对于C，满足f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数，排除C；对于D，不满足f（﹣x）=﹣f（x），也不满足f（﹣x）=f（x），既不是奇函数，也不是偶函数，符合题意；故选：D．3．设函数f（x）=，若f（f（1））=1，则b=（）A．B．C．1 D．2【考点】函数的值．【分析】由已知得f（1）=，f（f（1））=f（）=，由此能求出b．【解答】解：∵函数f（x）=，f（f（1））=1，∴f（1）=，f（f（1））=f（）=，解得b=．故选：B．100千米平均耗油量为（）A．6升B．8升C．10升D．12升【考点】一次函数的性质与图象．【分析】由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，由此得到该车每100千米平均耗油量．【解答】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8；故选：B．5．下列，正确的是（）A．“∃x0∈R，使得x02﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2﹣1＞0”B．“存在四边相等的空间四边形不是正方形”，该是假C．“若x2=y2，则x=y”的逆否是真D．“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否是“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”【考点】的真假判断与应用．【分析】写出特称的否定判断A；举例说明B错误；写出的逆否并判断真假说明C错误；写出的否判断D．【解答】解：“∃x0∈R，使得x02﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2﹣1≥0”，故A错误；菱形的四边相等，只有一个内角为90°时为正方形，∴存在四边相等的四边形不是正方形为真，故B错误；“若x2=y2，则x=y”的逆否是“若x≠y，则x2≠y2”，该是假，如2≠﹣2，但22=（﹣2）2，故C 错误；“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否是“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”，故D正确．∴正确的是：D．故选：D．6．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列正确的是（）A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答．【解答】解：对于A ，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，例如墙角的三个平面；故A 错误；对于B ，若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行．相交或者异面；故B 错误； 对于C ，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C 错误；对于D ，若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D 正确； 故选D ．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A ．2+B ．4+C ．2+2D ．5【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可判断直观图为：OA ⊥面ABC ，AC=AB ，E 为BC 中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC ⊥面AEO ，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积． 【解答】解：根据三视图可判断直观图为： OA ⊥面ABC ，AC=AB ，E 为BC 中点， EA=2，EC=EB=1，OA=1， ∴可得AE ⊥BC ，BC ⊥OA ，运用直线平面的垂直得出：BC ⊥面AEO ，AC=，OE=∴S △ABC =2×2=2，S △OAC =S △OAB =×1=．S △BCO =2×=．故该三棱锥的表面积是2，故选：C ．8．设x∈R，定义符号函数sgnx=，则函数f（x）=|x|sgnx的图象大致是（）A．B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据新定义可得f（x）=|x|sgnx==x，问题得以解决．【解答】解：函数f（x）=|x|sgnx==x，故函数f（x）=|x|sgnx的图象为y=x所在的直线，故选：C9．若函数y=f（x）图象上的任意一点P的坐标（x，y）满足条件|x|≥|y|，则称函数f（x）具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是（）A．f（x）=e x﹣1 B．f（x）=ln（x+1）C．f（x）=sinx D．f（x）=tanx【考点】函数的图象．【分析】根据性质S的定义，只需要满足函数的图象都在区域|x|≥|y|内即可．【解答】解：要使函数具有性质S，则对应的函数图象都在区域|x|≥|y|内，分别作出函数的对应的图象，由图象可知满足条件的只有函数f（x）=sinx，故选：C．10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是BC1、CD1的中点，则下列说法错误的是（）A．MN∥AB B．MN⊥AC C．MN⊥CC1D．MN∥平面ABCD【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】先利用三角形中位线定理证明MN∥BD，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN 与CC1垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN与AC垂直，即可得出结论．【解答】解：如图：连接C1D，BD，∵A1B1与BD异面，MN∥BD，∴MN与A1B1不可能平行，A错误∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN与AC垂直，B正确；∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD，∴MN与CC1垂直，故C正确；在三角形C1DB中，MN∥BD，故MN∥平面ABCD，D正确．故选：A11．已知函数f（x）=x2+ax+b，a≠b，则f（2）=4是f（a）=f（b）的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．不是充分条件，也不是必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若f（a）=f（b）则a2+a2+b=b2+ab+b，即2a2﹣ab﹣b2=0，则（a﹣b）（2a+b）=0，∵a≠b，∴2a+b=0，即b=﹣2a，此时f（2）=4+2a+b=4，即必要性成立，若f（2）=4=4+2a+b，则2a+b=0，b=﹣2a，则f（x）=x2+ax+b=x2+ax﹣2a，则f（a）=a2+a2+b=2a2﹣2a，f（b）=b2+ab+b=（﹣2a）2+a（﹣2a）﹣2a=2a2﹣2a，则f（a）=f（b），即充分性成立，即f（2）=4是f（a）=f（b）的充要条件，故选：C12．已知函数f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊆D，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．给出下列说法：①函数f（x）=不可能是k型函数；②若函数y=﹣x2+x是3型函数，则m=﹣4，n=0；③设函数f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k型函数，则k的最小值为；④若函数y=（a≠0）是1型函数，则n﹣m的最大值为．下列选项正确的是（）A．①③B．②③C．①④D．②④【考点】的真假判断与应用．【分析】根据题目中的新定义，结合函数与方程的知识，逐一判定①②③④是否正确，从而确定正确的答案．【解答】解：对于①，f（x）的定义域是{x|x≠0}，假设f（x）是k型函数，则方程=kx有相异两实根，即kx2﹣3x+1=0（k≠0）有相异两实根，∴△=32﹣4k＞0，得k．∴假设成立，函数f（x）=是k型函数，故①错误；对于②，y=﹣x2+x是3型函数，即﹣x2+x=3x，解得x=0，或x=﹣4，∴m=﹣4，n=0，故②正确；对于③，f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k型函数，则x3+2x2+x=kx有二不等负实数根，即x2+2x+（1﹣k）=0有二不等负实数根，∴，解得0＜k＜1，故③错误；对于④，y=（a≠0）是1型函数，即（a2+a）x﹣1=a2x2，∴a2x2﹣（a2+a）x+1=0，∴方程的两根之差x1﹣x2====≤，即n﹣m的最大值为，故④正确．综上，正确的是②④．故选：D．二、填空题（共20分，每小题5分）13．函数f（x）=的定义域为[1，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：4x﹣2x+1≥0，解得x≥1，故答案为：[1，+∞）．14．若定义在R上的可导函数f（x）是奇函数，且对∀x∈[0，+∞），f'（x）＞0恒成立．如果实数t满足不等式f（lnt）﹣f（ln）＜2f（1），则t的取值范围是（0，e）．【考点】函数恒成立问题．【分析】先根据对数的运算性质和函数的奇偶性性化简不等式，然后利用函数是奇函数得到不等式f（lnt）＜f（1）即lnt＜（1），解得即可．【解答】解：∵对∀x∈[0，+∞），f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在[0，+∞）为增函数，∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）在R上为增函数，∴f（lnt）﹣f（ln）=f（lnt）﹣f（﹣lnt）=f（lnt）+f（lnt）=2f（lnt），∴不等式等价为2f（lnt）＜2f（1），即f（lnt）＜f（1）．∴lnt＜1，解得0＜t＜e，即实数t的取值范围是（0，e）故答案为：（0，e）15．三棱锥S﹣ABC中，三条侧棱SA=SB=SC=2，底面三边AB=BC=CA=2，则此三棱锥S﹣ABC外接球的表面积是36π．【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】证明S，A，B，C可看作正方体的三个顶点，三棱锥S﹣ABC的外接球为正方体的外接球，直径为6，即可求出三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积．【解答】解：由题意，三条侧棱SA=SB=SC=2，底面三边AB=BC=CA=2，∴SA，SB，SC互相垂直，∴S，A，B，C可看作正方体的三个顶点，∴三棱锥S﹣ABC的外接球为正方体的外接球，直径为6，∴三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为4πR2=36π．故答案为：36π16．若函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣mx+m有且只有一个零点，则m的取值范围是1或4或m≤0．【考点】函数零点的判定定理．【分析】令f（x）=e x（2x﹣1）﹣mx+m=0，可得m=（x≠1），构造函数g（x）=，确定函数的单调性，利用函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣mx+m有且只有一个零点，求出m的取值范围．【解答】解：令f（x）=e x（2x﹣1）﹣mx+m=0，可得m=（x≠1），构造函数g（x）=，g′（x）=，∴函数g（x）在（﹣∞，0），（1.5，+∞）上单调递增，在（0，1），（1，1.5）上单调递减，∵g（0）=1，g（1.5）=4，函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣mx+m有且只有一个零点，∴m=1或4或m≤0，故答案为1或4或m≤0．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知p：“方程x2+mx+1=0恰好有两个不相等的负根”；q：“不等式3x﹣m+1≤0存在实数解”．若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．【考点】复合的真假．【分析】求出p、q为真时m的取值范围，再根据p∨q为真，p∧q为假时p、q一真一假，从而求出m的取值范围．【解答】解：p：“方程x2+mx+1=0恰好有两个不相等的负根”为真时，，即，解得m＞2；q：“不等式3x﹣m+1≤0存在实数解”为真时，3x≤m﹣1，即m﹣1＞0，解得m＞1；若p∨q为真，p∧q为假，则p、q一真一假，当p真q假时，，m的值不存在；当p假q真时，1＜m≤2；综上，实数m的取值范围是（1，2]．18．已知函数f（x）=﹣4x+4．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）求函数f（x）闭区间[﹣2，m]上的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）通过讨论m的范围，求出函的单调区间，从而求出函数的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x2﹣4，令f′（x）=0，得x1=﹣2，x2=2，当f′（x）＞0时，即x＜﹣2或x＞2时，函数f（x）单调递增，当f′（x）＜0时，即﹣2＜x＜2时，函数f（x）单调递减，当x=﹣2时，函数有极大值，且f（﹣2）=，当x=2时，函数有极小值，且f（2）=﹣；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，2）递减，在（2，+∞）递增，若﹣2＜m≤2，则f（x）在（﹣2，m]递减，f（x）min=f（m）=m3﹣4m+4，若m＞2，则f（x）在（﹣2，2）递减，在（2，m]递增，f（x）min=f（2）=﹣8+4=﹣．19．已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．【解答】解：（1）利用利润等于收入减去成本，可得当0＜x≤40时，W=xR（x）﹣（16x+40）=﹣6x2+384x﹣40；当x＞40时，W=xR（x）﹣（16x+40）=∴W=；（2）当0＜x≤40时，W=﹣6x2+384x﹣40=﹣6（x﹣32）2+6104，∴x=32时，W max=W（32）=6104；当x＞40时，W=≤﹣2+7360，当且仅当，即x=50时，W max=W（50）=5760∵6104＞5760∴x=32时，W的最大值为6104万美元．20．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱BB1⊥底面A1B1C1，D为AC 的中点，A1B1=BB1=2，A1C1=BC1，∠A1C1B=60°．（Ⅰ）求证：AB1∥平面BDC1；（Ⅱ）求多面体A1B1C1DBA的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）证明AB1∥平面BDC1，证明OD∥AB1即可；（Ⅱ）利用割补法，即可求多面体A1B1C1DBA的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连B1C交BC1于O，连接OD，在△CAB1中，O，D分别是B1C，AC 的中点，∴OD∥AB1，而AB1⊄平面BDC1，OD⊂平面BDC1，∴AB1∥平面BDC1；（Ⅱ）解：连接A1B，作BC的中点E，连接DE，∵A1C1=BC1，∠A1C1B=60°，∴△A1C1B为等边三角形，∵侧棱BB1⊥底面A1B1C1，∴BB1⊥A1B1，BB1⊥B1C1，∴A1C1=BC1=A1B=2，∴B1C1=2，∴A1C12=B1C12+A1B12，∴∠A1B1C1=90°，∴A1B1⊥B1C1，∴A1B1⊥平面B1C1CB，∵DE∥AB∥A1B1，∴DE⊥平面B1C1CB，∴DE是三棱锥D﹣BCC1的高，∴==，∴多面体A1B1C1DBA的体积V=﹣=（）×2﹣=．21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣bx（b为常数）．（1）函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与g（x）的图象相切，求实数b的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围；（3）若b＞1，对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求b的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题；函数的单调性与导数的关系．【分析】（1）由f（x）求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和切线过原点写出切线方程，再和g（x）联立，利用根的判别求解即可．（2）通过求h′（x），结合函数h（x）在定义域上存在单调减区间，转化为存在性问题求b的取值范围．（3）要使得对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，即＞，利用导数的几何是切线的斜率，得到对于区间[1，2]上的任意实数x，|f′（x）|＞|g′（x）|，列出b的不等关系，从而得出b的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=lnx得f′（x）=，函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为f′（1）=1，切线方程为：y﹣0=x﹣1即y=x﹣1．由已知得它与g（x）的图象相切，将y=x﹣1代入得x﹣1=x2﹣bx，即x2﹣（b+1）x+1=0，∴△=（b+1）2﹣2=0，解得b=﹣1，即实数b的值为﹣1．（2）h（x）=f（x）+g（x）=lnx+x2﹣bx，∴h′（x）=+x﹣b，根据函数h（x）在定义域（0，+∞）上存在单调减区间，∴存在x＞0，使得+x﹣b＜0，即b＞+x，由于当x＞0时， +x≥2，∴b＞2．∴实数b 的取值范围（2，+∞）．（3）对于区间[1，2]上的任意实数x，f′（x）=∈[，1]．g′（x）=x﹣b∈[1﹣b，2﹣b]，要使得对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，若用注意到f（x）是增函数，不妨设x1＞x2，则f（x1）＞f（x2），问题转化为|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|等价于﹣f（x1）+f（x2）＜g（x1）﹣g（x2）＜f（x1）﹣f（x2）从而f（x1）﹣g（x1）＞f（x2）﹣g（x2）且f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），即f（x）﹣g（x）与f（x）+g（x）都是增函数，利用导数的几何是切线的斜率，得到|f′（x）|＞|g′（x）|，即＞|b﹣x|，于是x﹣≤b≤x+即（x﹣）max≤b≤（x+）min∴≤b≤2．则b的取值范围[，2]．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4—1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD和CGE都是⊙O的割线，AC=AB （1）证明：AC2=AD•AE；（2）证明：FG∥AC．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【分析】（1）利用切线长与割线长的关系及AB=AC进行证明．（2）利用成比例的线段证明角相等、三角形相似，得到同位角角相等，从而两直线平行．【解答】证明：（1）因为AB是ΘO的一条切线，AE为割线所以AB2=AD•AE，又因为AB=AC，所以AD•AE=AC2…（2）由（1）得．∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE．∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，∴GF∥AC…[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣与曲线C交于（不包括极点O）三点A，B，C．（Ⅰ）求证：|OB|+|OC|=|OA|；（Ⅱ）当φ=时，求三角形△OBC的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）当φ∈，|OB|+|OC|=4cos（φ+）+4cos（φ﹣），展开可与|OA相等|．φ∈∪时，同理可得．（II）φ=时，ρB=，ρC=4cos，φ+﹣（φ﹣）=．利用直角三角形面积计算公式即可得出．【解答】（I）证明：当φ∈时，∴|OB|+|OC|=4cos（φ+）+4cos（φ﹣）=4cosφ=|OA|．φ∈∪时，同理可得．（II）解：φ=时，ρB==2，ρC=4cos=2，φ+﹣（φ﹣）=．∴三角形△OBC的面积==2．[选修4-5：不等式选讲]24．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2+b2+c2＞ab+bc+ca．【考点】不等式的证明．【分析】（Ⅰ）用分析法证明，两边平方，化简即可证得；（Ⅱ）用分析法证明，两边同乘以2，化简即可证得【解答】解：（Ⅰ）要证，只要证+＞+，只要证（+）2＞（+）2，只要证21+2＞21+2，只要证＞，只要证110＞108，显然成立，故；（Ⅱ）要证a2+b2+c2＞ab+bc+ca，只要证2a2+2b2+2c2＞2ab+2bc+2ca，只要证2a2+2b2+2c2﹣2ab+2bc+2ca＞0，只要证（a﹣c）2+（a﹣b）2+（b﹣c）2＞0∴a，b，c是不全相等的实数，∴（a﹣c）2+（a﹣b）2+（b﹣c）2＞0，∴a2+b2+c2＞ab+bc+ca2016年11月7日。
