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浙江省鄞州高级中学2009届高三数学复习讲义线面平行和线面垂直（1）例1（1）有下列三个命题：①分别在两个平行平面内的两条直线一定是异面直线；②垂直于同一平面的两条直线是平行直线；③过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直。
其中正确的命题的个数为（ ） A 、０ B 、１ C 、２ D 、３（2）设P 是60的二面角l αβ--内一点，,PA PB αβ⊥⊥平面平面,B A ,分别为垂足，4,2,PA PB ==则AB 的长为：（ ）A 、B 、C 、D 、例2如图，在四棱锥ABCD V -中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD 。
（Ⅰ）证明AB ⊥平面VAD ；（2）若E 为VD 的中点，求证//VB 平面EBD （3）求VB 与底面ABCD 所成角的正切值 （1)证明：AB ADAB AB ABCD AD VAD ABCD ⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪=⋂⎭平面VAD 平面ABCD平面VAD 平面平面平面（2）连AC 交BD 于O（3） 取AD 的中点F 则AF ⊥平面ABCD ，故VBF ∠即为VB 与底面ABCD所成角，又tan 5VF VBF BF ∠==故VB 与底面ABCD例3 如图，在底面为平行四边形的四棱锥ABCD P -中，AC AB ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且 AB PA =，点E 是PD 的中点.。
（Ⅰ）求证：PB AC ⊥；（Ⅱ）求证PB //平面AEC ； （Ⅲ）求二面角B AC E --的大小。
Ⅰ）∵PA ⊥平面 ABCD ，∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影. 又∵AB ⊥AC ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥PB.（Ⅱ）连接BD ，与 AC 相交于 O ，连接 EO. ∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点 ∴EO ∥PB. 又 PB ∉平面 AEC ，EO ⊂平面 AEC ， ∴PB ∥平面 AEC.例4 如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面为正方形,1O ,O 分别为 上、下底面中心，且1A 在底面ABCD 上的射影为O ．(1) 求证：1O DC ABCD ⊥平面平面；(2) 若点E 、F 分别在棱1AA 、BC 上，且1AE 2EA =，问F 在何处时，EF AD ⊥？(3) 若1A AB 60∠= ,求二面角1C AA B --的大小．．(1) 平行六面体底面为正方形，∴1A A //1，∴ 1A C //，又1O ,O 分别为上下底面中心,∴1A O //，∴CO //1O . 1A 在底面ABCD 射影为O ，∴1A O AC ⊥平面，1CO AC ⊥平面，又11CO O DC ⊂平面，∴1O DC ABCD ⊥平面平面．(2)过E 作AC 垂线,垂足为G,则1EG //A O ，∴EG AC ⊥平面，若要EF AD ⊥,即EF BC ⊥,则需GF BC ⊥， 底面ABCD 图形为正方形,∴FG //AB ， 由11A E AE 2=,则1OG AG 2=，∴GF CF 42AB CB 63CG CA ====，∴F 为BC 的三等分点,靠近B ．(3) 11,,BO AO BO A O AO A O O ⊥⊥⋂=,1BO CA ∴⊥面,过O 作1OM AA M ⊥于，连接BM ，则1BM AA ⊥，BMO ∠是二面角1C A A B--的平面角，由1,AO AC AO BO ⊥=面得111,60O A A A B A AB =∠=，∴1A A B 为正三角形，设ABCDD 1A 1B 1C 1OO 1EF1,,AB a A A a AO BO ====则，1A ∴，122AA a OM ==，在R t B O M中，tan BOBMO BMO OM∠==∠=所以所求的二面角大小为． 同步练习1平面//α平面β的一个充分条件．．．．是 （ D ）A ．存在一条直线a a a αβ，//，//B ．存在一条直线a a a αβ⊂，，//C ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，//，// D ．存在两条异面直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，//，//2三棱锥ABC S -中,90=∠=∠SCA SBA , △ABC 是斜边a AB =的等腰直角三角形,则以下结论中: ① 异面直线SB 与 AC 所成的角为90; ② 直线⊥SB 平面ABC ;③ 面⊥SBC 面 S A C ; ④ 点C 到平面SAB 的距离是a 21. 其中正确结论．．．．的序号是_______________ .答案：①．②．③．④3半径为25的球面上有A 、B 、C 三点，AB=6，BC=8，AC=10，则球心到平面ABC 的距离为 5 ．4 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ C ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要 5 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为DA.3B.5C.5D.56在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=BC =2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为( )A.3 B 23C.4D.13已知直线α⊂a ，直线l 与平面α所成的角为3π，则两直线a 、l 所成的角的范围是 .]2,3[ππ6四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．（1）取BC 中点F ，连接DF 交CE 于点O ， AB AC =，∴AF BC ⊥，又面ABC ⊥面BCDE ，∴AF ⊥面BCDE ，∴AF CE ⊥．tan tan 2CED FDC ∠=∠=， ∴90OED ODE ∠+∠= ，90DOE ∴∠= ，即CE DF ⊥，CE ∴⊥面ADF ，CE AD ∴⊥．（2）在面ACD 内过C 点作AD 的垂线，垂足为G ．CG AD ⊥，CE AD ⊥，AD ∴⊥面CEG ，EG AD ∴⊥，则CGE ∠即为所求二面角的平面角．AC CD CG AD ==，DG =，EG ==，CE =222cos 2CG GE CE CGE CG GE +-∠==πarccos CGE ∴∠=-⎝⎭，即二面角C AD E --的大小πarccos -⎝⎭．CDEAB7 如图：正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1=AB=1．（1）求证：A 1C//平面AB 1D ； （2）求二面角B —AB 1—D 的大小； （3）求点C 到平面AB 1D 的距离．（1）连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1=E ，连结DE ，∵ABC —A 1B 1C 是正三棱柱且AA 1=AB ， ∴四边形A 1ABB 1是正方形，∴E 是A 1B的中点，又D 是BC 的中点，∴DE//A 1C …DE ⊂平面AB1D ，A 1C ⊄平面AB 1D ，∴A 1C//平面AB 1D （2）在平面ABC 内作DF ⊥AB 于点F ，在平面A 1ABB 1内作FG ⊥AB 1于点G ，连结DG 。
