无理数的常见形式

无理数的常见形式，科学计数法无理数概念：无理数即无限不循环小数。

明确无理数的存在无理数来自实践，无理数并不“无理”，也不是人们臆想出来的，它是实实在在存在的，例如：（1）一个直角三角形，两条直角边长分别为1和2，由勾股定理知，它的斜边长为；（2）任何一个圆，它的周长和直径之比为一常数等等；像这样的数，在我们周围的生活中，不是只有少数几个，而是像有理数一样有无限个。

概念剖析：无限不循环小数叫无理数，这说明无理数是具有两个基本特征的小数：一是小数位数是无限的；二是不循环的。

这对初学者来说有一定难度，因此，我们必须掌握它的表现形式。

无理数的常见形式：在初中阶段，无理数表现形式主要有以下几种：1. 无限不循环的小数，如0.1010010001……（两个1之间依次多一个0）2. 含的数，如：，，等。

3. 开方开不尽而得到的数，如，等。

4. 某些三角函数值：如，等。

无理数与有理数的区别：1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=4.0，4/5=0.8，1/3=0.33333……。

而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562…………。

根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数；2、无理数不能写成两整数之比。

错误辨析：1. 无限小数都是无理数；2. 无理数包括正无理数、负无理数和零；3.带根号的数是无理数；4. 无理数是用根号形式表示的数；5.无理数是开方开不尽的数；6. 两个无理数的和、差、积、商仍是无理数；7.无理数与有理数的乘积是无理数；8. 有些无理数是分数；9. 无理数比有理数少；10. 一个无理数的平方一定是有理数。

综上，学习无理数应把握住无理数的三个特征：（1）无理数是小数；（2）无理数是无限小数；（3）无理数是不循环小数。

判断一个数是否是无理数对照这三个特征一个不能少。

另外，还应注意无理数的几种常见的表示形式，才是弄清无理数概念的关键。

初二数学无理数知识点总结初二数学无理数知识点总结知识要领：无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。

若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

无理数概念无理数是无限不循环小数。

如圆周率、√2(根号2)等。

有理数是由所有分数，整数组成，它们都可以化成有限小数，或无限循环小数。

如22/7等。

实数(real number)分为有理数和无理数(irrational number)。

有理数可分为整数(正整数、0、负整数)和分数(正分数、负分数); 也可分为正有理数(正整数、正分数)，0，负有理数(负整数、负分数)。

除了无限不循环小数以外的实数统称有理数。

无理数与有理数的区别区别1把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=4.0， 4/5=0.8，1/3=0.33333……。

而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562…………。

根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数。

区别2无理数不能写成两整数之比。

利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。

证明：假设√2。

”他闻听此言，便摔掉柴禾南渡地中海到泰勒斯门下去求学。

毕达哥拉斯本来就极聪明，经泰勒一指点，许多数学难题在他的手下便迎刃而解。

其中，他证明了三角形的内角和等于180度;能算出你若要用瓷砖铺地，则只有用正三角、正四角、正六角三种正多角砖才能刚好将地铺满;还证明了世界上只有五种正多面体，即：正4、6、8、12、20面体。

他还发现了奇数、偶数、三角数、四角数、完全数、友数，直到毕达哥拉斯数。

然而他最伟大的成就是发现了后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理(勾股弦定理)，即：直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。

据说，这是当时毕达哥拉斯在寺庙里见工匠们用方砖铺地，经常要计算面积，于是便发明了此法。

毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后，觉得不能只满足于用来算，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。

初一数学下册知识点《无理数》经典例题及解析副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共121 小题，共363.0 分）1.下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③负数没有立方根；④ 16 的平方根是±4，用式子表示是=±4；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，其中错误的是（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】 D【解析】【分析】此题考查了实数，数轴，相反数，绝对值，平方根及立方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．解题时，根据实数，相反数，绝对值，平方根及立方根，的概念对各说法进行判断即可.【解答】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，正确；②无理数不一定是开方开不尽的数，例如π，错误；③负数有立方根，错误；④ 16 的平方根是±4，用式子表示是±=±4，错误；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是 0，正确，则其中错误的是 3 个.故选 D．2. 在实数：3.14159，，1.010010001π中，无理数有（）⋯，，，A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】 B【解析】【分析】本题考查了无理数的概念：无限不循环小数叫无理数．常有三种表现形式：字母π等；开方开不尽的数，如等；无限不循环小数，如0.1010010001⋯等．故选： B．可化为 4，根据无理数的定义即可得到无理数为 1.010010001⋯，π．【解答】解：∵=4，∴无理数有： 1.010010001⋯，π．故选 B．3.在，，0，-2这四个数中，为无理数的是（）A. B. C.0 D.-2【答案】 A【解析】解：， 0， -2 是有理数，是无理数，故选： A．分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008⋯（每两个8 之间依次多 1 个 0）等形式．4. 四个数0，1，，中，无理数的是（）A. B. 1 C. D. 0【答案】 A【解析】解： 0， 1，是有理数，是无理数，故选： A．分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008⋯（每两个8 之间依次多 1 个 0）等形式．5.下列各数： -2， 0，， 0.020020002⋯，π，，其中无理数的个数是（）A.4B.3C.2D.1【答案】 C【解析】解：在 -2， 0，， 0.020020002⋯，π，中，无理数有0.020020002⋯，π这 2个数，故选： C．依据无理数的三种常见类型进行判断即可．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008⋯（每两个8 之间依次多 1 个 0）等形式．6.下列实数中的无理数是（）A. B. π C. 0 D.【答案】 B【解析】解：，0，是有理数，π是无理数，故选： B．根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008⋯（每两个8 之间依次多 1 个 0）等形式．7.下列几个数中，属于无理数的是（）A. B.2 C.0 D.【答案】 A【解析】解： 2， 0，是有理数；开方开不尽故是无理数．故选： A．由于无理数是开不尽方的数，或者无限不循环小数为无理数，由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，或者无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008⋯（每两个8 之间依次多 1 个 0）等形式．8.下列实数中，是无理数的为（）A. -1B. -C.D. 3.14【答案】 C【解析】解： A、是整数，是有理数，选项错误；B、是分数、是有理数，选项错误；C、正确；D、是有限小数，是有理数，选项错误．故选： C．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π， 2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001⋯，等有这样规律的数．9.下列实数中，是无理数的为（）A. -4B. 0.101001C.D.【答案】 D【解析】解： A、-4 是整数，是有理数，故本选项不符合题意；B、 0.101001 是小数，属于分数，故本选项不符合题意；C、是小数，属于分数，故本选项不符合题意；D 、是无理数，正确；故选 D．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π， 2π等；开方开不尽的数；以及像 0.1010010001⋯，等有这样规律的数．10. 下列说法中正确的是（）A. 带根号的数都是无理数B.C. 无理数都是无限不循环小数D.【答案】 C 无限小数都是无理数无理数是开方开不尽的数【解析】解：A、如=2 ，是整数，是有理数，选项错误；B、无限循环小数是有理数，选项错误；C、正确；D、π是无理数，不是开方开不进得到的数，选项错误．故选： C．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．11. 实数2，，，0 中，无理数是（）A. 2B.C.D. 0【答案】B【解析】解： 2，， 0 是有理数，是无理数，故选： B．分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008⋯（每两个8 之间依次多 1 个 0）等形式．12. 下列各数中，属于无理数的是（）A. B. 1.414 C. D.【答案】 C【解析】解：=2 是有理数；是无理数；故选： C．根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数即可求解；本题考查无理数；能够化简二次根式，理解无理数的定义是解题的关键．13. 下列各数：1.414，，-0），，其中是无理数的为（A. 1.414B.C. -D. 0【答案】 B【解析】解：是无理数．故选： B．根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，解答即可．本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．14.在实数-1.414π2+ 3.212212221 3.14），，，，，⋯，中，无理数的个数是（个．A.1B.2C.3D.4【答案】 D【解析】【分析】本题主要考查的是无理数的认识，掌握无理数的常见类型是解题的关键，无理数常见的三种类型（ 1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的数，如 2π；根据无理数的定义求解即可.【解答】解： -1.414 是有限小数，是有理数；是无理数，π是无理数；无限循环小数是有理数；2+是无理数；3.212212221⋯是无限不循环小数是无理数；3.14 有限小数是有理数；∴无理数有 4 个 .故选 D．15. 下列各数：，-π， -，0.， -0.1010010001 ⋯（两个 1 之间依次多一个0）， -中无理数的个数为（）A. 2个B. 3个C.4个D.5个【答案】 B【解析】【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．其中初中范围内学习的无理数有：与π有关的数；开方开不尽的数；以及像 0.1010010001⋯，等有这样规律的数．解答此题根据无理数的定义判断即可.【解答】解：题中的无理数有：-π，-，-0.1010010001⋯（两个1之间依次多一个0）是无理数，共3 个，故选 B.16.在，，，，0，，， 127，中，无理数的个数有A. 2个B. 3个C.4个D.5个【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，， 0.8080080008⋯（每两个 8 之间依次多 1 个 0）等形式．根据无理数的定义求解即可．【解答】解：， 0.454455444555 ⋯， -是无理数，共 3 个.故选 B．17. 在-2，，，3.14，，，这6个数中，无理数共有（）A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】 C【解析】解：根据判断无理数的 3 类方法，可以直接得知：是开方开不尽的数是无理数，属于π类是无理数，因此无理数有 2 个．故选： C．要确定题目中的无理数，在明确无理数的定义的前提下，知道无理数分为 3 大类：π类，开方开不尽的数，无限不循环的小数，根据这3 类就可以确定无理数的个数．从而得到答案．本题考查了无理数的定义，判断无理数的方法，要求学生对无理数的概念的理解要透彻．18.下列四个数中，是无理数的是（）A. B. C. D.【答案】 A【解析】【分析】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，， 0.8080080008⋯（每两个 8 之间依次多 1 个 0）等形式．根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：是无理数，，，（）2是有理数.故选 A．19. 在下列实数：、、、、-1.010010001⋯中，无理数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】 C【解析】【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，， 0.8080080008⋯（每两个 8 之间依次多 1 个 0）等形式．根据无理数的定义，可得答案．【解答】解：、、-1.010010001⋯是无理数，故选 C．20. 下列实数中的无理数是（）A. 0.7B.C. πD. -8【答案】 C【解析】【分析】本题考查了无理数的定义，题目整体较简单，是要熟记无理数的性质，即可解决此类问题．无理数就是无限不循环小数，最典型就是π，选出答案即可．第6页，共 44页【解答】解：∵无理数就是无限不循环小数，且 0.7 为有限小数，为有限小数，-8 为负数，都属于有理数，π为无限不循环小数，∴π为无理数．故选 C．21. 下列结论中正确的个数为（）（1）开方开不尽的数是无理数．（2）数轴上的每一个点都表示一个实数；（3）无理数就是带根号的数；（4）负数没有立方根；（5）垂线段最短．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】 C【解析】【分析】本试题考查无理数，实数，立方根的概念，及垂线的性质．只要正确理解概念和垂线的性质不难得到正确答案．无限不循环小数叫做无理数，开方开不尽的数是无理数，π是无理数，有规律但无限循环的小数是无理数，实数与数轴上的点一一对应，任何一个实数都有立方根，直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．简单的说，垂线段最短．【解答】解：根据无理数的定义，（1）正确，（ 3）不正确；由实数与数轴上的点一一对应，（2）正确；由立方根的性质，（4）不正确；由垂线的性质，（5）正确；故选 C22. 在实数2，，，， 0.1010010001⋯， 3.1415926，0.123123123⋯，π，（相邻两个 1 中间一次多 1 个 0）中，无理数有（）A. 2个B. 3个C.4个D.5个【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π， 2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001⋯，等有这样规律的数 .无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】2，， 0.1010010001⋯（相邻两个 1 中间一次多 1 个 0）中是无理数，解：π，故选 C．23. 实数，，，，，，0.1010010001⋯（相连两个1之间依次多一个），0-π0其中无理数有（）个．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】 C【解析】【分析】无理数就是无限不循环小数，根据定义即可作出判断．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，， 0.8080080008⋯（每两个 8 之间依次多 1 个 0）等形式．【解答】解：无理数有：，-π， 0.1010010001⋯（相连两个 1 之间依次多一个0），共 3 个．故选： C．24. 在实数3.14，-，- 1.70-π 4.262262226⋯（两个6之间一次增加一，，，，，个“2”）中，无理数的个数是（）A. 1个B. 2个C.3个D.4 个【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，， 0.8080080008⋯（每两个 8 之间依次多 1 个 0）等形式．解答此题根据无理数的定义判断即可 .【解答】解：无理数有：，-π， 4.262262226⋯（两个 6 之间一次增加一个“2”）共 3 个．故选 C.25. 在、、、、中无理数的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】 B【解析】【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π， 2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001⋯，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解： - 、是无理数，故选： B．26. 在下列各实数中，属于无理数的是（）A. 0.1010010001B.C.D.【答案】 C【解析】 解： 0.1010010001， - ，=13 是有理数， 是无理数．故选： C ．根据无理数的定义进行解答即可．本题考查的是无理数的定义， 注意带根号的要开不尽方才是无理数， 无限不循环小数为无理数，含有 π的绝大部分数，如 2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形 式，要看化简结果，是解题的关键．27. 在下列实数中，属于无理数的是（）A.0B. C.3 D.【答案】 B【解析】 解： 0、 3、 都是有理数，是无理数．故选 B ．根据无理数的定义在数0、 、 3、 中，只有 是无理数．本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫无理数，常见形式有：开方开不尽的数， 如等；无限不循环小数，如 0.1010010001⋯等；字母表示的无理数，如π等．28. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1ABC 中，边长，则网格上的三角形为无理数的边数是 ()A.0B.1C.2D.3【答案】 D【解析】 解：观察图形，应用勾股定理，得AB=，BC=，AC=，∴三个边长都是无理数； 故选 D ．29. 下列各数中，3.14159 ，， ⋯， ，， ，无理数的个数有 （）-0.141141114 2π - -A. 1个B. 2 个C.3个D.4个【答案】 C【解析】 解： 0.141141114⋯， 2π,- 是无理数， 故选： C ．根据无理数的定义求解即可． 此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如 π， ， 0.8080080008⋯（每两个 8 之间依次多 1 个 0）等形式．30. 下列 4 个数：， ， π， 0，其中无理数是（ ）A.B. C. π D. 0【答案】 C【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，解决本题的关键是熟记无理数的定义． 根据无理数的定义，即可解答． 【解答】 解： A 、=3，是有理数；B 、 是有理数；C 、 π是无理数；D 、0 是有理数； 故选： C ．31. 下列各数：、 1.414、 0. 、 、 中，其中无理数有（ ）个．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】 A 【解析】 解： 是无理数，故选： A ．根据无理数的定义求解即可． 此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如 π， ， 0.8080080008⋯（每两个 8 之间依次多 1 个 0）等形式．32. 下列说法中，不正确的个数有：（）①所有的正数都是整数．②|a|一定是正数．③无限小数一定是无理数．8A.3个B.4个C.5个D.6个【答案】 D【解析】 解：①所有的正数都是整数，如 2.5，故说法①错误； ② |a|一定是正数．如 a=0 ，故说法②错误；③无限小数一定是无理数．无限不循环小数才是无理数，故说法③错误；④（ -2） 8 没有平方根．有平方根为⑤不是正数的数一定是负数，如⑥带根号的一定是无理数．如 故选 D ．①根据正数和整数的定义即可判定； ②根据绝对值的性质即可判定； ③根据无理数的性质即可判定；④根据平方根的定义和乘方运算法则即可判定； ⑤根据正负数的定义即可判定； ⑥根据无理数的定义即可判定．=2，故说法⑥错误．±16，故说法④错误，0 既不是正数也不是负数，故说法⑤错误；本题主要考查了有理数和无理数的区别，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．33. 在3.14，-，π，，-0.23 ， 1.131331333133331⋯（每两个 1 之间依次多一个3）中，无理数的个数是（）A. 1个B. 2个C.3个D.4个【答案】 C【解析】解： -，π，1.131331333133331⋯（每两个1 之间依次多一个3）是无理数，故选： C．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π， 2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001⋯，等有这样规律的数．34. 下列各数中是无理数的有（）-0.333⋯，，， -π， 3π， 3.1415．A. 3个B. 4个C.5个D.6个【答案】 A【解析】解：无理数有， -π，3π，共3 个，故选 A．根据无理数的定义逐个判断即可．本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫无理数，常见形式有：①开方开不尽的数，如等；②无限不循环小数，如0.101001000⋯等；③字母，如π等．35.在，，，，，，每两个1之间依次多一个中，无理数的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】 C【解析】【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，， 0.8080080008⋯（每两个 8 之间依次多 1 个 0）等形式．无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断．【解答】解：无理数有： -，π，1.131331333133331 ⋯（每两个 1 之间依次多一个3）共 3 个．故选 C．36. 下列各数：、、、0.020020002⋯（每相邻两个 2 之间依次多一个0）、、、，无理数有（）个．A.2B.3C.4D.5【答案】 B【解析】【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解： 0.020020002⋯（每相邻两个 2 之间依次多一个0）、、是无理数，故选 B．37. 下列四个实数中，无理数是（）A. 3.14B. -πC. 0D.【答案】 B【解析】解： -π是无理数，故选： B．根据无理数的定义，可得答案．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008⋯（每两个8 之间依次多 1 个 0）等形式．38. 在实数0，π，，，中，无理数的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】 B【解析】解：π，是无理数，故选： B．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π， 2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001⋯，等有这样规律的数．39. 实数-2， 0.3，，， -π中，无理数的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】解：在实数 -2， 0.3，，，-π中无理数有：， -π共有 2 个．故选： A．无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，开方开不尽的数，以及像0.1010010001⋯，等有这样规律的数．据此判断再选择．此题主要考查了无理数的概念，同时也考查了有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．40. 在-2，，， 3.14 这 4 个数中，无理数是（）A. -2B.C.D. 3.14【答案】 C【解析】【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【解答】解： -2，，3.14是有理数，是无理数，故选 C．41. 下列都是无理数的是（）A. 0.07，，B.C. ，，πD.0.7，，3.14，，【答案】 C【解析】解：，，π是无理数，故选： C．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π， 2π等；开方开不尽的数；以及像 0.1010010001⋯，等有这样规律的数．42. 在实数：， 3.141 59，，1.010 010 001⋯， 4.， -π，中，无理数有（）A. 1个B. 2个C.3个D.4个【答案】 C【解析】解：， 1.010 010 001⋯， -π是无理数，故选： C．分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，， 0.8080080008⋯（每两个 8 之间依次多 1 个 0）等形式．43.在实数，，，，3.14中，无理数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】 B【解析】解：，是无理数，故选： B．根据无理数是无限不循环小数，可得答案．本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，注意带根号的数不一定是无理数．44.有下列说法：①如果一个数的立方根等于它本身，那么它一定是或；②无限小数都是无理数；③实数与数轴上的点一一对应；④是分数；⑤近似数所表示的准确数的范围是：．A.1B.2C.3D.4【答案】 A【解析】【分析】本题主要考查了立方根、无理数、实数的性质和近似数的性质.根据相关概念及性质即可解答 .【解答】解：如果一个数的立方根等于它本身，那么它一定是±1 或 0，故①错误；无限不循环小数都是无理数，故②错误；实数与数轴上的点一一对应，故③正确；是无理数，不是分数，故④错误；近似数 5.60 所表示的准确数x 的范围是： 5.595 ≤x＜5.605，故⑤错误；故正确的有 1 个 .故选 A．45. 下列实数中，无理数是（）A. B. C. D. 3.14【答案】 B【解析】解：、、 3.14 是有理数，是无理数．故选： B．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π， 2π等；开方开不尽的数；以及像 0.2020020002⋯相邻两个 2 之间 0 的个数逐次加 1，等有这样规律的数．46. 下列各数中，无理数是（）A. 0B.C.D. 0.121221222⋯【答案】 D【解析】解： 0，，是有理数，0.121221222⋯⋯是无理数，故选： D．分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008⋯（每两个8 之间依次多 1 个 0）等形式．47. 在数-3.14，，0，π，，0.1010010001⋯中无理数的个数有（）A.3个B.2个C.1个D.4个【答案】 A【解析】解：在数 -3.14，，0，π，，0.1010010001⋯中，∵=4，∴无理数有，π，0.1010010001⋯共3个．故选 A．由于无理数就是无限不循环小数，利用无理数的概念即可判定选择项．的数；以及像0.1010010001⋯，等有这样规律的数．48. 在下列实数中，无理数是（）A. B. C. 3.14 D.【答案】 A【解析】解： A、是无理数；B、 =2 是整数，属于有理数；C、 3.14 是有限小数，是有理数；D 、是分数，属于有理数；故选： A．根据无理数是无限不循环小数，可得答案．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，0.8080080008⋯（每两个8之间依次多1个）等形式．，49. 下列四个实数中是无理数的是（）A. πB.C.D.0【答案】 A【解析】解：， 0 是有理数，π是无理数，故选： A．分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，， 0.8080080008⋯（每两个8 之间依次多 1 个 0）等形式．50. 下列说法错误的是（）A.的平方根是±3B. 两个无理数的和一定是无理数C.（ -1）2010是最小的正整数D. 实数与数轴上的点一一对应【答案】 B【解析】解： A、=9， 9的平方根是±3，故本选项说法正确，不符合题意；B、无理数π与 -π的和为 0， 0 是有理数，故本选项说法错误，符合题意；2010是最小的正整数，故本选项说法正确，不符合题意；C、（ -1）=1， 1D、实数与数轴上的点一一对应，故本选项说法正确，不符合题意；故选： B．根据算术平方根、平方根的定义判断A；根据无理数的定义以及运算法则判断B；根据正整数的定义判断C；根据实数与数轴的关系判断 D ．本题考查了算术平方根、平方根的定义，无理数的定义，正整数的定义，实数与数轴的关系等知识，都是基础知识，需熟练掌握．51. 已知面积为8 的正方形边长是x，则关于x 的结论中，正确的是( )A. x是有理数B. x不能在数轴上表示C. x是方程的解D. x是8的算术平方根【答案】 D【解析】解：由题意，得x=，B、 x 能在数轴上表示出来，故 B 不符合题意；C、 x 是 x2=8 的解，故 C 不符合题意；D 、x 是 8 的算术平方根，故 D 符合题意；故选： D．根据算术平方根的意义，无理数的意义，实数与数轴的关系，可得答案．本题考查了实数与数轴，利用算术平方根的意义，无理数的意义，实数与数轴的关系是解题关键．52. 下列实数中的无理数是（）A. 1.414B. 0C. -D.【答案】 D【解析】解：∵无理数就是无限不循环小数，且 1.414 为有限小数， - 为分数， 0 是整数，都属于有理数，为无限不循环小数，∴为无理数．故选： D．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π， 2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001⋯，等有这样规律的数．53. 实数，，，，其中为无理数的是（）A. B. C. D.【答案】 B【解析】【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π， 2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001⋯，等有这样规律的数，根据无理数就是无限不循环小数 .理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项.【解答】解：实数是无理数，其余均是有理数.故选 B.54. 下列实数：，，，无理数的个数是（）A. 1个B. 2个C.3个D.4个【答案】 B【解析】解：无理数有，π共 2 个，故选： B．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无。

七年级无理数的概念与运算无理数是指既不能表示为两个整数的比值，也不能表示为有限小数或循环小数的实数。

它们是无限不循环小数的一种特殊形式。

在七年级数学中，我们将学习无理数的概念和运算。

一、无理数的概念无理数是指不能写成两个整数的比值的实数，也不是有限小数或循环小数的实数。

无理数的表示一般用根号形式表示，如√2，√5等。

无理数可以是正数也可以是负数。

二、无理数的运算2.1 无理数的加减运算无理数的加减运算与有理数的加减运算类似，只需要将无理数的根号部分进行合并即可。

例如，√2 + √2 = 2√2。

2.2 无理数的乘法运算无理数的乘法运算也是将根号部分进行合并。

例如，√2 × √3 = √6。

2.3 无理数的除法运算无理数的除法运算需要用到有理化的方法，将无理数分母的根号部分有理化。

例如，√2 ÷ √3 = (√2 × √3) ÷ (√3 × √3) = √6/3 = (√6)/3。

三、无理数的应用无理数在数学和实际生活中都有广泛的应用。

在几何中，无理数常用于描述无法精确表示的长度，如正方形的对角线长度等。

在物理学中，无理数也常用于科学计算中，例如计算圆的面积、体积等。

四、无理数的性质4.1 无理数与有理数的关系无理数和有理数是实数的两个主要子集，它们之间没有交集。

无理数和有理数的并集构成了实数的全体。

4.2 无理数的无穷性和稀疏性无理数存在无限多个，并且无理数的任意两个数之间都存在有理数。

这个性质被称为无理数的无穷性和稀疏性。

4.3 无理数的数轴表示无理数可以在数轴上表示，位于有理数之间。

例如，√2位于1和2之间，√3位于1和2之间。

五、无理数的近似值无理数通常无法精确表示，但可以使用有理数来近似表示。

例如，我们通常将√2近似为1.414，将√3近似为1.732。

六、总结无理数是既不能表示为两个整数的比值，也不能表示为有限小数或循环小数的实数。

我们学习了无理数的概念和运算方法，包括加减运算、乘法运算和除法运算。

无理数化简什么是无理数在数学中，无理数是指不能表示为两个整数的比例的实数。

与之相对的是有理数，有理数可以表示为两个整数的比例，例如1/2、3/4等。

而无理数则包括了所有不能写成有限小数或者循环小数形式的实数。

最著名的无理数就是圆周率π，它是一个无限不循环小数。

其他常见的无理数还有根号2、根号3等。

无理数化简方法在实际计算中，我们经常需要对无理数进行化简。

化简后的结果更加简洁明了，方便我们进行进一步计算和分析。

方法一：近似值表示最直接的方法就是使用近似值来表示无理数。

例如，我们可以用3.14来近似表示圆周率π。

这种方法适用于只需要一个粗略结果或者计算量较大的情况下。

然而，近似值表示往往会引入误差，并且不能提供精确结果。

因此，在需要高精度计算或者准确结果时，我们需要采用其他方法进行化简。

方法二：连分数展开连分数展开是一种将无限不循环小数表示为一个连分式（也称为埃及分数）的方法。

连分数展开可以将无理数表示为一个无限的分数序列。

例如，根号2可以表示为以下连分式：连分数展开的优点是可以提供精确结果，并且可以通过截断展开来获得任意精度的近似值。

方法三：代数运算对于一些特殊的无理数，我们可以利用代数运算进行化简。

例如，对于根号2，我们可以进行如下计算：假设x = 根号2，则x^2 = 2。

通过移项可得x^2 - 2 = 0。

这样，我们就得到了一个关于x的二次方程。

通过求解这个方程，我们可以得到根号2的一个表达式。

方法四：特殊函数一些无理数可以表示为特殊函数的形式。

例如，圆周率π可以表示为级数或者积分形式。

这种方法需要一定的数学知识和技巧，并且适用范围有限。

应用举例例1：根号3化简我们来看一个具体的例子，如何将根号3进行化简。

首先，我们可以尝试使用连分数展开来表示根号3：根号3 = [1; (1, 2, 1, 2, …)]其中，[1; (1, 2, 1, 2, …)]表示一个无限循环的连分式。

通过截断展开，我们可以得到不同精度的近似值。

第六章 实数6.3 实数（能力提升）【要点梳理】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….要点二、实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.要点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.要点四、实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.【典型例题】类型一、实数概念例1、把下列各数分别填入相应的集合内：14π，52-，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）【答案与解析】有理数有：14，52-，，0，π，，0.3737737773……【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773……③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，，，举一反三：【变式】判断正误，在后面的括号里对的用“√”，错的记“×”表示，并说明理由.(1)无理数都是开方开不尽的数.()有理数集合无理数集合(2)无理数都是无限小数.( ) (3)无限小数都是无理数.( )(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( ) (5)不带根号的数都是有理数.( ) (6)带根号的数都是无理数.( ) (7)有理数都是有限小数.( ) (8)实数包括有限小数和无限小数.( ) 【答案】(1)(×)无理数不只是开方开不尽的数，还有π，1.020 020 002…这类的数也是无理数. (2)(√)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数.(3)(×)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数.(4)(×)0是有理数.(5)(×)如π，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数. (6)(×)如，虽然带根号，但＝9，这是有理数.(7)(×)有理数还包括无限循环小数.(8)(√)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以 实数可以用有限小数和无限小数表示.类型二、实数大小的比较例2、比较20101-与19491+的大小．【思路点拨】根据a b <，b c <，则a c <来比较两个实数的大小． 【答案与解析】 解：因为201012025145144-<-=-=，194911849143144+>+=+=．所以20101-＜19491+【总结升华】实数的比较有多种方法，除了上述方法外，还有作差法、作商法、同分子法、倒数法等.举一反三：【变式】若两个连续整数x 、y 满足x ＜+1＜y ，则x+y 的值是 ．【答案】7． 解：∵， ∴，∵x ＜+1＜y ，∴x=3，y=4， ∴x+y=3+4=7． 类型三、实数的运算 例3323m m 【答案与解析】解：（1）当m ≥02m m =33m m =， 3232m m m m m =+=．（2）当m ＜02m m =-，33m m =， 3230m m m m =-+=． 323m m 0或2m ．【总结升华】本题是涉及平方根（算术平方根）和立方根的综合运算，但还应注意本题需要分类讨论．要注意对m 的讨论，而开立方不需要讨论符号．举一反三：【变式】若a 的两个平方根是方程322x y +=的一组解． （1）求a 的值；（2）求2a 的算术平方根． 【答案】解：（1）∵ a 的平方根是322x y +=的一组解，则设a 的平方根为1a ，2a ，则根据题意得：1212322,0,a a a a +=⎧⎨+=⎩解得122,2.a a =⎧⎨=-⎩∴ a 为2(2)4±=． （2）∵ 22416a ==．∴ 2a 的算术平方根为4． 类型四、实数的综合运用例4、已知2(21)0a b -++=4=【答案与解析】解：∵2(21)0a b -++=，且2(21)0a b -+≥0≥．∴2(21)0,0a b --==，即210a b -+=，30b -=．解得 b ＝3，a ＝54=得c ＝64． ∴6==．【总结升华】本题考查非负性与立方、立方根的综合运用，由210a b -+=，30b -=可求a 、b4=，所以c ＝64举一反三：=，求xy 的值． 【答案】解：知条件得2309030x y x x -=⎧⎪-=⎨⎪+≠⎩①②③，由②得29x =，3x =±，∵ 30x +≠，∴ 3x ≠-，则3x =． 把3x =代入①得330y -=，y ＝1．∴331x y ==． 例5、如图，半径为1个单位的圆片上有一点Q 与数轴上的原点重合（提示：圆的周长C=2πr ）（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q 到达数轴上点A 的位置，点A 表示的数是 ；（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2①第几次滚动后，Q 点距离原点最近？第几次滚动后，Q 点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，Q 点运动的路程共有多少？此时点Q 所表示的数是多少？【思路点拨】（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离； （2）①利用滚动的方向以及滚动的周数即可得出Q 点移动距离变化； ②利用绝对值得性质以及有理数的加减运算得出移动距离和Q 表示的数即可． 【答案与解析】解：（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q 到达数轴上点A 的位置，点A 表示的数是﹣2π；故答案为：﹣2π；（2）①第4次滚动后Q 点离原点最近，第3次滚动后，Q 点离原点最远； ②|﹢2|+|﹣1|+|﹣5|+|+4|+|+3|+|﹣2|=17， Q 点运动的路程共有：17×2π×1=34π；（+2）+（﹣1）+（﹣5）+（+4 ）+（+3 ）+（﹣2）=1， 1×2π=2π，此时点Q 所表示的数是2π．【总结升华】此题主要考查了数轴的应用以及绝对值得性质和圆的周长公式应用，利用数轴得出对应数是解题关键．【提升练习】 一.选择题1．下列说法正确的是（ ） A ．|﹣2|=﹣2 B ．0的倒数是0 C ．4的平方根是2D ．﹣3的相反数是32. 三个数π-，－3，3-的大小顺序是（ ）． A ．33π-<-<．33π-<-<-C ．33π-<-<-D ．33π-<-<- 3. 要使33(3)3k k -=-，k 的取值范围是（ ）． A ．k ≤3 B ．k ≥3 C ．0≤k ≤3 D ．一切实数 4. 估算287-的值在（ ）．A ．7和8之间B ．6和7之间C ．3和4之间D ．2和3之间5. 若0a ≠，a 、b 互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对是（ ） A.a b 与 B.2a 与2b C.3a 与3b D.3a 与()33b -6. 实数x 、y 、z 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列关系正确的是（ ）A ．x y z ++＞0B ．x y z ++＜0C ．xy yz <D ．xy xz < 二.填空题 7．227，3.33……，2π，22- ，8±， 554544554445.0，3271，90.0- ，中，无理数的个数是 个.8. m ＜0时，化简323||m m m m +++＝________. 9. 计算：|62||21||36|-+---＝__________． 10. 如图，数轴上A ，B 两点表示的数分别为﹣1和，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为 ．11. 若23|3|()03x y ++-=，求2010()xy 的值. 12. 当x 时,243x --有最大值,最大值是 ________.三.解答题13．（1）求出下列各数：①2的平方根； ②﹣27的立方根； ③的算术平方根．（2）将（1）中求出的每个数准确地表示在数轴上．（3）将（1）中求出的每个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接．14.已知实数x 、y 、z 满足211|441|2()032x y y z z -++-=，求2()y z x +的值；15. 已知nm m n A -+-=3是3n m -+的算术平方根，322n m B n m +=+-是2m n +的立方根，求B －A 的平方根．【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】D【解析】A 、|﹣2|=2，错误；B 、0没有倒数，错误；C 、4的平方根为±2，错误； D 、﹣3的相反数为3，正确. 2. 【答案】B ；【解析】3333ππ<<⇒->->-． 3. 【答案】D ；【解析】本题主要考查立方根的性质，即33a a =．因为33(3)3k k -=-，所以k 可取一切实数．4. 【答案】D ； 【解析】5285.5<<，2.573<<，所以选D.5. 【答案】C ；【解析】a ＋b ＝0，a ＝－b ，所以333a b b =-=- ，所以 3a ＋3b ＝0.6. 【答案】B ；【解析】从数轴上可以看出－3＜x ＜－2，－2＜y ＜－1，0＜z ＜1，所以很明显x y z ++＜0.二.填空题 7. 【答案】4； 【解析】2π，22- ，8±， 554544554445.0为无理数. 8. 【答案】0；【解析】∵ 0m <，∴ 323||0m m m m m m m m +++=--++=． 9. 【答案】426-+；【解析】|62||21||36|622136426-+---=-+--+=-+．10.【答案】﹣﹣2．【解析】如图，∵数轴上A ，B 两点表示的数分别为﹣1和，∴AB=﹣（﹣1）=+1，∵点B 关于点A 的对称点为C ，∴AC=+1，∴点C 所表示的数为﹣（+1）﹣1=﹣﹣2．11.【答案】1；【解析】33,,3x y =-=∴1xy =-，∴2010()1xy =. 12.【答案】±2；3；【解析】当240x -=时，243x --有最大值3. 三.解答题 13.【解析】解：（1）2的平方根是，﹣27的立方根是﹣3，的算术平方根2；（2）如图：（3）﹣3＜﹣＜＜2．14.【解析】解：∵ |441|0x y -+≥20y z +≥，2102z ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭．由题意，得方程组44102012x y y z z ⎧⎪-+=⎪+=⎨⎪⎪-=⎩， 解得121412x y z ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩． ∴2()y z x +＝21111114224416⎛⎫⎛⎫-+⋅=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.15.【解析】 解：∵nm m n A -+-=3是3n m -+的算术平方根，322n m B n m +=+-是2m n +的立方根，∴2m n -=，233m n -+= 解得4,2m n ==∴A＝1，B＝2，B－A＝1 ∴B－A的平方根＝±1．。

2．x 2=8，则x______分数，______整数，______有理数．（填“是”或“不是”）3．a 2=2,b 2=5中的a ，b 既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？其实它们它们都是无限不循环小数,即无理数.和我们原来学过的有理数有着本质的区别.你会区别它们吗?以下各数：－1,23,3.14,－π,3.⋅3,0,2,27,24,－0.2020020002……(相邻两个2之间0的个数逐次加1),其中，是有理数的是_____________，是无理数的是_______________.在上面的有理数中，分数有__________，整数有____________.4．下列说法中正确的是（ ）A ．不循环小数是无理数B ．分数不是有理数C ．有理数都是有限小数D ．3.1415926是有理数5．下列语句正确的是（ ）A ．3.78788788878888是无理数B ．无理数分正无理数、零、负无理数C ．无限小数不能化成分数D ．无限不循环小数是无理数6．下列数中是无理数的是（ ）A.0.12∙∙32B.2π C.0 D.722 7．在直角△ABC 中，∠C =90°，AC =23，BC =2，则AB 为（ ） A.整数 B.分数 C.无理数 D.不能确定8．面积为6的长方形，长是宽的2倍，则宽为（ ）A.小数B.分数C.无理数D.不能确定9、下列六种说法正确的个数是 ( )(A) 1 ( B) 2 (C) 3 (D) 4○1无限小数都是无理 ○2正数、负数统称有理数 ○3无理数的相反数还是无理数 ○4无理数与无理数的和一定还是无理数 ○5无理数与有理数的和一定是无理数 ○6 无理数与有理数的积一定仍是无理数 10．判断题:(1)有理数与无理数的差都是有理数( )(2)无限小数都是无理数( )(3)无理数都是无限小数( )(4)两个无理数的和不一定是无理数( )11．设面积为5π的圆的半径为a ，a 是有理数吗？说说你的理由.12．已知：数－43，－∙∙24.1，π，3.1416，32，0，42，n 2)1(-，－1.424224222…， （1）写出所有有理数；（2）写出所有无理数；13．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，AC=6，AD=5，问：CD 可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？14.在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数.15．请你估计一下，若702=x ，x 是多少？（精确到小数点后一位）注意.“无理数”认识的几种错误（1）“无理数就是没有理由的数.”这是一种望文生义的认识.实质上，无理数在现实世界中也是有意义的.如a 2=2中的a 表示 .（2）“无理数就是无限小数.”这显然是错误的.如∙3.0就不是无理数，=∙3.0 ,它是有理数.（3）“无理数的和、差、积、商仍是无理数.”其实并非如此.如π－π= ，π÷π= .。

【本讲教育信息】 一. 教学内容：1. 无理数和实数的概念以及有理数和无理数的区别；2. 数的范围扩大后，实数的运算有什么发展；3. 实数和数轴上的点的关系，平面直角坐标系中的点和有序实数对之间的关系。

二. 知识要点：1. 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。

常见的无理数有以下几种形式：①字母型：指含有某种特定意义的字母，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π3＋8等；②构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间多一个0）就是一个无限不循环的小数； ③根号型：如2、5、36、…都是一些开方开不尽的数。

2. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数。

判断一个实数的属性（如有理数、无理数），应遵循：一化简，二辨析，三判断。

要注意：“神似”而不是“形似”：①所有的有理数都可以写成分数，无理数不可化成分数。

像32虽看似分数形式，但分子中的2不是整数，因此它实际上并不是分数，而是一个无理数；②要注意将“3.525225222522225”与“3.525225222522225…”区别开来，前者是一个有限小数，因此是有理数；③判断时要看结果，不要看表面形式，如25是一个有理数。

3. 实数的分类：①实数⎩⎪⎨⎪⎧ 有理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ 整数⎩⎪⎨⎪⎧正整数零负整数分数⎩⎪⎨⎪⎧正分数负分数有限小数或无限循环小数无理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫正无理数负无理数无限不循环小数②实数⎩⎪⎨⎪⎧正实数⎩⎪⎨⎪⎧正有理数⎩⎪⎨⎪⎧正整数正分数正无理数零负实数⎩⎪⎨⎪⎧负有理数⎩⎪⎨⎪⎧负整数负分数负无理数4. 当数从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。

平面直角坐标系中的点和有序实数对也是一一对应的关系。

5. 实数的相反数、绝对值的概念及实数的运算实数a的相反数是－a，一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

第二讲 无理数与实数【知识要点】1．无理数(1)无理数的概念无限不循环小数叫做无理数．学习无理数应把握住无理数的三个特征：①无理数是小数；②无理数是无限小数；③无理数是不循环小数．判断一个数是否是无理数对照这三个特征一个也不能少．(2)有理数与无理数的区别事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数来表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．如3可看做3.0这样的有限小数，也可以化为31这样的分数形式；无限循环小数都可以化为分数，如：3.14可化为3750.有理数与无理数的主要区别：①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数；②任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数不能．【例1】 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3．141 592 6，－43，2.5·8·，6.751 755 175 551 7…(相邻7,1之间5的个数逐次加1),0，227，－5.23·，－π2. 分析：有理数指有限小数或无限循环小数，整数和分数都是有理数，无理数指无限不循环小数．解：有理数有：3.141 592 6，－43，2.5·8·，0，227，－5.23·；无理数有：6.751 755 175 551 7…(相邻7,1之间5的个数逐次加1)，－π2.2．无理数近似值的估算方法 要估算无理数的近似值，第一步应确定被估算无理数的整数取值范围；第二步以较小整数逐步开始加0.1(或以较大整数逐步开始减0.1)，并求其平方，确定被估算数的十分位；…；如此继续下去，可以求出无理数的近似值．【例2】 面积为7的正方形的边长为x ，请你回答下列问题． (1)x 的整数部分是多少？(2)把x 的值精确到十分位是多少？精确到百分位呢？ (3)x 是有理数吗？请简要说明理由．解：令正方形的面积为S ，则S ＝x 2＝7，当2＜x ＜3时，4＜x 2＜9，当2.6＜x ＜2.7时，6.76＜x 2＜7.29；当2.64＜x ＜2.65时，6.969 6＜x 2＜7.022 5；当2.645＜x ＜2.646时，6.996 025＜x 2＜7.001 316； … 则有：(1)x 的整数部分为2.(2)精确到十分位时，x ≈2.6，精确到百分位时，x ≈2.65. (3)x 不是有理数．因为没有一个整数的平方等于7，也没有一个分数的平方等于7，另由计算可知，x 是无限不循环小数． 释疑点 如何四舍五入利用四舍五入法取近似值时要比精确到的位数多考查一位．3．无理数的常见类型 判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数，无理数常见的形式主要有三种：(1)一般的无限不循环小数，如1.414 213 56…是无理数．看似循环而实质不循环的小数，如0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次增加1)是无理数．(2)圆周率π以及含π的数，如π，2π，π＋5，都是无理数． (3)开方开不尽的数(下一节学到)．【例3】 下列各数，哪些是有理数？哪些是无理数？0，π2，－4,0.12··，－117，1.112 111 211…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)，3.141592 7.分析：1.112 111 211…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)为无限不循环小数，π2为含π的数，两者都为无理数.0，－4为整数，是有理数；0.12··，－34，3.141 592 7为分数或可化为分数，是有理数．解：有理数为0，－4,0.12··，－117，3.141 592 7；无理数为π2，1.112 111 211…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)．辨误区 π与3.141 592 7的区别3．141 592 7属于有限小数，不是π，要注意区分． 4．实数的概念及分类(1)有理数和无理数统称实数． (2)实数的分类：我们所学习的实数范围大、类别多，按照不同的标准就有不同的分类方法，总体来说有两种情况：①按定义来分类②按正、负数来分类实数⎩⎪⎨⎪⎧正实数⎩⎪⎨⎪⎧ 正有理数正无理数0负实数⎩⎪⎨⎪⎧负有理数负无理数分类是一个重要的数学思想，对实数分类时要做到按同一标准，既不重复，又不遗漏． 对啊! 还要注意：0既不是正数，也不是负数，它是一个中性数，它在实数里扮演着重要角色. 我们通常把正实数和0合称为非负数，把负实数和0合称为非正数.【例4】 把下列各数填入相应的集合内：0，2，15，0.3·，－π，－3－27，1.234 56…，－49. (1)有理数集合：{ …}；(2)无理数集合：{ …}； (3)正实数集合：{ …}； (4)负实数集合：{…}．分析：实数按照不同的分类标准有两种分类方法，将实数分类时，属于有理数集合的一定不属于无理数集合，属于正实数集合的一定不属于负实数集合，但是属于有理数集合的数有可能属于正实数集合．解：(1)有理数集合：⎩⎨⎧0，15，0.3·，－3－27，－49，… }.(2)无理数集合：{2，－π，1.234 56…，…}．(3)正实数集合：⎩⎨⎧2，15，0.3·，－3－27，1.234 56…，… }.(4)负实数集合：{－π，－49，…}． 点技巧 实数的有关性质解答本题时要注意以下几点：(1)对于－3－27，虽然有负号，但是最终化为正数，虽然含有根号，但是可以开得尽方，所以它既是正数又是有理数；(2)0既不是正数又不是负数；(3)一切分数都是有理数．5.实数的性质在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．(1)相反数：实数a 的相反数是－a,0的相反数是0，具体地，若a 与b 互为相反数，则a ＋b ＝0；反之，若a ＋b ＝0，则a 与b 互为相反数．如：π与－π，3与－3均互为相反数．(2)绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.实数a 的绝对值可表示为|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.就是说实数a 的绝对值一定是一个非负数，即|a |≥0，并且若|x |＝a (a ≥0)，则x ＝±a .例如：|－3|＝3，|－π|＝π，|3|＝3，|2－3|＝－(2－3)＝3－2，….(3)倒数：乘积为1的两个实数互为倒数，即若a 与b 互为倒数，则ab ＝1；反之，若ab ＝1，则a 与b 互为倒数．这里应特别注意的是0没有倒数．(4)实数大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立，所以我们可以得到比较实数大小的法则：①正实数都大于0，负实数都小于0，正数大于一切负数；两个负实数，绝对值大的反而小；②数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．在进行实数比较大小时，我们会经常用到估算法、乘方法、作商法、求差法等等，由于方法多种多样，所以要根据实际采用适当的方法，亦可分别尝试应用．【例5－1】 解答下列问题：(1)求3－216的绝对值；(2)若某数的绝对值是13，求这个数； (3)已知|x |＝26，求实数x ；(4)设a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 的倒数是其本身，化简cdm＋(a ＋b )m －|m |.分析：(1)3－216＝－6，－6的绝对值是6；(2)(3)在解决时要考虑到正负两种情形；(4)由a 与b 互为相反数可得a ＋b ＝0，由c 与d 互为倒数可得cd ＝1，由m 的倒数是其本身可得m ＝±1，然后化简可解．解：(1)|3－216|＝|－6|＝6.(2)∵|13|＝13，|－13|＝13，∴绝对值是13的数是±13.(3)∵|x|＝26，∴x＝±26.(4)由题意，得a＋b＝0，cd＝1，m＝±1.当m＝1时，原式＝1＋0×1－1＝0；当m＝－1时，原式＝－1＋0×(－1)－|－1|＝－1－1＝－2.注：(2)(3)两题实质是一样的，只是表达形式不同，解题时要防止丢掉负实数．【例5－2】比较下列各组数的大小：(1)－3.141 5和－π；(2)211和3 5.分析：解：(1)∵|－3.141 5|＝3.141 5，|－π|＝π＝3.141 592…，3．141 5＜π，∴－3.141 5＞－π.(2)∵(211)2＝4×11＝44，(35)2＝9×5＝45,44＜55，∴211＜3 5.点技巧比较负无理数的大小(1)比较两个负实数大小时，应先比较其绝对值的大小，绝对值大的反而小；(2)因为211和35都是无理数，整数部分很难确定，所以可以利用乘方法，乘方大的这个数就大．6．实数与数轴上点的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是一一对应的．因此，数轴正好可以被实数填满．【例6】大家知道，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，请你在数轴上画出表示13的点．分析：考虑到(13)2＝9＋4＝32＋22，可以利用勾股定理在数轴上作出长为13的线段，从而找到表示13的点．解：作法如下：(1)在数轴上找到一点A，使OA＝3；(2)过A作AT垂直于数轴，垂足为A，在AT上截取AB＝2；(3)连接OB；(4)以O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示13的点．点评：在数轴上作无理数一般是借助勾股定理．7.a与a的算术平方根之区别a与a的算术平方根是代数中两个十分重要的概念，两者有非常密切的联系，但也有所区别，主要表现在以下几方面：(1)a是一种代数式，而a的算术平方根是一种运算.a(a≥0)是一种代数式，一种含有二次根号“”的代数式．而算术平方根是指一种运算，一种与平方互为逆关系的运算．(2)a比a的算术平方根内涵更丰富.a虽然建立在a的算术平方根上，但它比a的算术平方根的含义更丰富．对于a来说，它表示的意义仍然是非负数a的算术平方根．用a的形式表示一个非负数的算术平方根具有形式简洁、含义深刻等优点，通过二次根式探索、表达算术平方根的性质更是如鱼得水、简便之极．(3)算术平方根不一定带根号．如3是9的算术平方根．【例7】 对于题目“化简并求值：1a ＋1a ＋a 2－2，其中a ＝15”，甲、乙二人的解答不同．甲的解答是：1a ＋1a 2＋a 2－2＝1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a 2＝1a ＋1a －a ＝2a －a ＝495； 乙的解答是：1a ＋1a2＋a 2－2＝1a＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝1a＋a －1a ＝a ＝15.谁的解答是错误的？为什么？ 分析：甲、乙二人的解答区别在于1a2＋a 2－2的化简，1a2＋a 2－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ，其值是非负数．由于a ＝15，所以结果应是1a－a .解：乙的解答是错误的．理由：∵a ＝15，则a －1a ＜0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝1a －a . 注意：|a |与a 2在化简时一定要考虑其值的非负性．8．实数在生活中的应用实数是日常生活、生产中必不可少的数，它们与我们的生活息息相关，因此，与实数相关的问题自然成为中考命题的热点．数学知识生活化是近几年来中考热点之一，实数也不例外，将生活中的实数搬进中考已成为中考的一个亮点．【例8】 教生物的老师想设计一个长方形的实验基地，便于同学们进行实地观察，为了考查一下同学们的计算能力，他把长方形的基地设计成长为8020 m ，宽为345 m ，让学生算出这块实验基地的面积解：实验基地的面积为8020×345＝80×3×20×45＝240900＝240×30＝7 200(m 2)．答：这块实验基地的面积为7 200 m 2.【素质能力测试】 A 组1． 小数，叫做无理数。

第三章实数（解析板）4、无理数知识点梳理无理数（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．（2）、无理数与有理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，如等．（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．（3）含有π的绝大部分数，如2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数同步练习一．选择题（共14小题）1．π、，﹣，，3.1416，0.中，无理数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】无理数．【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可判定选择项．【解答】解：在π、，﹣，，3.1416，0.中，无理数是：π，共2个．故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义．注意带根号的数与无理数的区别：带根号的数不一定是无理数，带根号且开方开不尽的数一定是无理数．本题中是有理数中的整数．2．在下列实数中：0，，﹣3.1415，，，0.343343334…无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】无理数．【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：，0.343343334…是无理数，故选：B．【点评】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．3．下列各数：1.414，，﹣，0，其中是无理数的为（）A．1.414B．C．﹣D．0【考点】无理数．【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，解答即可．【解答】解：是无理数．故选：B．【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．4．四个数0，1，，中，无理数的是（）A．B．1C．D．0【考点】算术平方根；无理数．【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【解答】解：0，1，是有理数，是无理数，故选：A．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．5．在实数0.3，0，，，0.123456…中，无理数的个数是（）A．2B．3C．4D．5【考点】无理数．【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合所给数据即可得出答案．【解答】解：实数0.3，0，，，0.123456…中，无理数有：，，0.123456…，共3个．故选：B．【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式．6．在数中，有理数的个数为（）A．3B．4C．5D．6【考点】无理数．【分析】根据有理数的概念可判断出有理数的个数．【解答】解：在数中，理数有，，﹣，0.303030…，共4个．故选：B．【点评】此题考查了有理数的定义及其分类．有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，例5＝5.0；分数都可以化为有限小数或无限循环小数．有限小数和无限循环小数都可以化为分数，也就是说，一切有理数都可以用分数来表示．7．在，3.33，，﹣2，0，0.454455444555…，﹣，127，中，无理数的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】算术平方根；立方根；无理数．【分析】根据无理数的定义求解即可．【解答】解：，0.454455444555…，﹣是无理数，故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．8．在下列实数：、、、、﹣1.010010001…中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】无理数．【分析】根据无理数的定义，可得答案．【解答】解：、、﹣1.010010001…是无理数，故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．9．有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示．其中正确的说法的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】无理数．【分析】根据无理数的定义以及实数的分类即可作出判断．【解答】解：（1）π是无理数，而不是开方开不尽的数，则命题错误；（2）无理数就是无限不循环小数，则命题正确；（3）0是有理数，不是无理数，则命题错误；（4）正确；故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．10．在3.14159，4，1.1010010001…，4.，π，中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】无理数．【分析】无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．【解答】解：在3.14159，4，1.1010010001…，4.，π，中，无理数有1.1010010001…，π共2个．故选：B．【点评】本题主要考查的是无理数的概念，熟练掌握无理数的常见类型是解题的关键．11．在下列各数：3.1415926、、0.2、、、、中无理数的个数是（）A．2B．3C．4D．5【考点】无理数．【分析】根据无理数的定义及常见的无理数的形式即可判定．【解答】解：在下列各数：3.1415926、、0.2、、、、中，根据无理数的定义可得，无理数有、两个．故选：A．【点评】此题主要考查了无理数的定义，解题要注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．12．下列各数中，3.14159，，0.131131113…（相邻两个3之间1的个数逐次加1个），﹣π，，，无理数的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】无理数．【分析】无限不循环小数为无理数，由此可得出无理数的个数．【解答】解：由定义可知无理数有：0.131131113…，﹣π，共两个．故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．13．在3.14，，，，π，2.01001000100001这六个数中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】无理数．【分析】无理数是指无限不循环小数，包括三方面的数：①含π的，②一些有规律的数，③开方开不尽的数，根据以上内容判断即可．【解答】解：无理数有﹣，π，共2个，故选：B．【点评】本题考查了对无理数的定义的理解和运用，注意：无理数是指无限不循环小数，包括三方面的数：①含π的，②一些有规律的数，③开方开不尽的数．14．在﹣3，，π，0.35中，无理数是（）A．﹣3B．C．πD．0.35【考点】无理数．【分析】根据无理数的三种形式求解．【解答】解：﹣3，，0.35为有理数，π为无理数．故选：C．【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．二．填空题（共19小题）15．写出一个比3大且比4小的无理数：π（答案不唯一）．【考点】无理数．【分析】根据无理数的定义即可．【解答】解：写出一个比3大且比4小的无理数：π（答案不唯一）．故答案为：π（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．16．两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是和﹣（答案不唯一）．【考点】无理数．【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可求解【解答】解：∵两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是和﹣．（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了无理数的定义和性质，解题时注意无理数的积不一定是无理数．17．以下各数：①﹣1；②；③；④；⑤1.010010001…（相邻两个1之间依次多一个0），其中是无理数的有②⑤③．（只填序号）【考点】无理数．【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项【解答】解：②；③，⑤1.010010001…（相邻两个1之间依次多一个0）是无理数，故答案为：②⑤③．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．18．下列一组数：﹣8，2.6，﹣|﹣3|，﹣π，﹣，0.101001…（每两个1中逐次增加一个0）中，无理数有2个．【考点】无理数．【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【解答】解：﹣8，2.6，﹣|﹣3|，﹣是有理数，﹣π，0.101001…（每两个1中逐次增加一个0）是无理数，故答案为：2．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．19．在，2π，0，，0.454454445…，中，无理数有3个．【考点】无理数．【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数可得答案．【解答】解：在所列实数中，无理数有2π，0.454454445…，这3个，故答案为：3．【点评】此题主要考查了无理数，关键是掌握无理数定义．20．在数3.16，﹣10，2π，，1.，1.2121121112…（每两个2之间依次多1个1）中有2个无理数．【考点】无理数．【分析】根据无理数的定义求解即可．【解答】解：在数3.16，﹣10，2π，﹣，1.，1.2121121112…（每两个2之间依次多1个1）中有2π，1.2121121112…（每两个2之间依次多1个1）是无理数，一共2个无理数．故答案为：2．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，1.2121121112…（每两个2之间依次多1个1）等形式．21．在，3.14159，，﹣8，，0.6，0，，中是无理数的个数有3个．【考点】无理数．【分析】无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，；（2）特定结构的无限不循环小数，（3）含有π的绝大部分数，如2π．如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）；【解答】解：是有理数，3.14159是一个有限小数，是有理数，是无理数，﹣8是有理数，是无理数，0.6是有理数，0是有理数，＝6是有理数，是无理数．故答案为：3．【点评】本题主要考查的是无理数的认识，掌握无理数常见类型是解题的关键．22．写出一个同时符合下列条件的数：﹣．（1）它是一个无理数；（2）在数轴上表示它的点在原点的左侧；（3）它的绝对值比2小．【考点】无理数．【分析】根据无理数的定义求解即可．【解答】解：写出一个同时符合下列条件的数﹣，故答案为：﹣．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．23．写出一个比﹣4大的负无理数．【考点】无理数．【分析】本题需先根据已知条件，写出一个负数并且是无理数即可求出答案．【解答】解：∵写一个比﹣4大的负无理数，首先写出一个数是无理数，再写出它是负数∴如﹣等．故答案为：﹣（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了无理数的概念，在解题时要根据无理数的定义写出结果是解题的关键．24．已知实数：﹣3.14，0，﹣，π，，其中无理数有2个．【考点】算术平方根；无理数．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此进行解答即可．【解答】解：在实数﹣3.14，0，﹣，π，中，无理数有﹣，π共2个．故答案为：2【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．25．在、π、、0.5、这五个数中，无理数有π，，．【考点】算术平方根；立方根；无理数．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．【解答】解：是分数，属于有理数；0.5是有限小数，属于有理数；∴在、π、、0.5、这五个数中，无理数有π，，．故答案为：π，，．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．26．实数，，﹣8，，，中的无理数有3个．【考点】无理数．【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数即可．【解答】解：＝6，根据无理数的三种形式可得，无理数有，，，共3个．故答案为：3．【点评】本题考查了无理数，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．27．在实数3.1415927，，2﹣，，中，无理数的个数是2个．【考点】立方根；无理数．【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数．【解答】解：无理数有，2﹣，，两个，故答案为：2【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．28．在实数3.14，﹣，﹣，0.13241324…，，﹣π，中，无理数的个数是3．【考点】无理数．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：3.14、﹣＝﹣0.6、0.13241324…、这四个数是有理数，﹣、和﹣π这三个数是无理数，故答案为：3．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．29．下列各数：①﹣2π；②；③0；④2.3中，是无理数的是①（填写序号）．【考点】无理数．【分析】根据无理数的定义逐个判断即可．【解答】解：无理数有﹣2π，故答案为：①．【点评】本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义的内容是解此题的关键，注意：无理数是指无限不循环小数．30．在下列各数：3.1415926、、0.5、、、、中无理数有2个．【考点】无理数．【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：、是无理数．故答案为：2．【点评】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，注意带根号的数不一定是无理数．31．在实数﹣，﹣，0，，中，无理数有，．【考点】算术平方根；无理数．【分析】无理数常见的三种类型：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．【解答】解：﹣＝﹣2是有理数，﹣是有理数，0是有理数，是无理数，是无理数，故答案为：，．【点评】本题主要考查的是无理数的概念，熟练掌握无理数的常见类型是解题的关键．32．在实数﹣，0，﹣1，0.121121112，，π中，无理数的个数为2个．【考点】算术平方根；无理数．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．【解答】解：无理数有：，π共2个．故答案为：2【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．33．实数，，﹣7，中，无理数有2个．【考点】算术平方根；立方根；无理数．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此进行解答即可．【解答】解：是分数，属于有理数；﹣7是整数，属于有理数；无理数有，共2个．故答案为：2．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．三．解答题（共2小题）34．已知实数x，y满足关系式+|y2﹣1|＝0．（1）求x，y的值；（2）判断是有理数还是无理数？并说明理由．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；无理数．【分析】（1）根据非负数的和等于零，可得方程组，根据解方程组，可得答案；（2）根据开平方，无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：（1）由题意，得，解得：；（2）当x＝2，y＝1时，＝，是无理数．当x＝2，y＝﹣1时，＝＝2，是有理数．【点评】本题考查了非负数的性质，利用非负数的性质得出方程组是解题关键．35．课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：﹣，，|﹣|，0，2π，﹣0.6，﹣其中，甲说“﹣”，乙说“”，丙说“2π”．（1）甲、乙、丙三个人中，说错的是甲．（2）请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内：【考点】算术平方根；无理数．【分析】（1）根据无理数的定义解答即可；（2）根据有理数的分类解答即可．【解答】解：（1）因为“﹣”是负分数，属于有理数；“”是无理数，“2π”是无理数．所以甲、乙、丙三个人中，说错的是甲．故答案为：甲（2）整数有：0、；负分数有：、﹣0.6．故答案为：0、；、﹣0.6．【点评】本题主要考查了实数法分类，实数分为有理数与无理数，有理数又分为整数与分数。

无理数运算无理数运算是数学中一个非常重要的概念，在数学的发展历程中也扮演了非常重要的角色。

所谓无理数，就是无法用分数形式表示的数，比如$\sqrt{2}$和$\pi$。

一、无理数概述1.1 定义无理数是指不能写成分数形式的实数。

所谓分数形式，指的是一个有理数的分子和分母都是整数，并且分母不为零。

1.2 例子最常见的无理数是$\sqrt{2}$，其实$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$等等无限多个数都是无理数。

除此之外，$\pi$、$e$、黄金分割数$\phi$等也是无理数。

1.3 区别有理数和无理数是数学中两个互不相同的概念，有理数指的是可以写成分数形式的数，而无理数则意味着不能够写成此形式的数。

二、无理数运算2.1 加法两个无理数的加法，只需将它们的代数和相加即可。

例如：$\sqrt{2}+\sqrt{3}$我们可以考虑一下近似值，即将$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$都换算成有理数然后相加，无理数的近似值为$2.4$和$1.7$，两者相加得$4.1$。

但是，这不是真正的解决方案，我们不能确定这是精确的答案。

另一种方法，我们可以利用公式：$(a + b)^2=a^2+2ab+b^2$用这个式子可以将$\sqrt{2}+\sqrt{3}$平方，则得出：$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=2+2\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}+3$所以，$ \sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{6}+1.4$但是，这个值来自近似，不是准确的值。

更多地，这并不是唯一的方法来处理无理数。

《数论导引》提到一个更好的方法，可以将$\sqrt{2}+\sqrt{3}$从经典几何角度考虑。

若$AB=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{3}$，如图所示，则应用勾股定理，有：$AC^2 = AB^2 + BC^2=2+3=5$因此，$AC=\sqrt{5}$，也就是说，$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$这样我们得到了准确的结果。

小学数学知识点认识简单的有理数和无理数知识点一：有理数有理数是可以表示为两个整数的比值的数。

有理数包括正整数、负整数、零和分数。

有理数可以用分数、小数或整数来表示。

1. 正整数：正整数是大于零的整数，例如1、2、3等。

2. 负整数：负整数是小于零的整数，例如-1、-2、-3等。

3. 零：零表示无数量的概念，即没有东西或没有数值。

零用0来表示。

4. 分数：分数是表示整体被分割成若干等分的数。

分数由一个分子和一个分母组成，分子表示被分割的部分，分母表示总的分割数。

例如1/2、3/4等。

知识点二：无理数无理数是不能表示为两个整数的比值的数，无理数的小数部分是无限不循环的。

无理数包括无限不循环小数以及不能表示为整数比值的根号形式。

1. 无限不循环小数：无限不循环小数是指小数部分无限不重复的小数，例如π(3.1415926...)和e(2.7182818...)等。

2. 根号形式：根号形式是不能表示为整数比值的根号数。

例如√2、√3等。

无理数和有理数一起构成了实数集合，实数集合包括了所有的数。

知识点三：有理数与无理数的比较有理数和无理数之间可以进行比较。

根据数轴的性质，对于任意两个数a和b，如果a<b，则a在数轴上的位置会在b的左边。

在数轴上，有理数和无理数是混合分布的，没有一条明确的界限将它们分开。

例如，√2是无理数，而1.5是有理数，但它们在数轴上是相邻的。

总结：小学数学中，我们学习了有理数和无理数的基本概念。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数、零和分数。

无理数是不能表示为两个整数的比值的数，包括无限不循环小数和不能表示为整数比值的根号形式。

在数轴上，有理数和无理数混合分布，没有明确的界限。

了解这些基本概念对于小学数学的学习和进一步的数学知识的构建是非常重要的。

通过不断学习和练习，我们可以更好地掌握有理数和无理数的概念，并应用到实际问题中。

一起走近无理数之前我们认识了负数，使数的范围扩展到有理数．现在我们又开始学习无理数，把数的范围扩展到了实数．刚开始学习无理数，认为无理数不像有理数那样直观易懂，总有一种虚幻的感觉．那么该怎样学习无理数呢？一、明确无理数的存在无理数并不是“无理”，也不是人们臆想出来的，而是实实在在的存在．如：（1）两条直角边都为1的等腰直角三角形，它的斜边为2；（2）任何一个圆，它的周长和直径之比为常数π．像2、π这样的数在我们的身边还有很多．二、弄清无理数的定义及常见无理数无理数是指无限不循环小数，这说明无理数可以化为具有两个特征的小数：一是小数的位数时无限的，二是不循环的．我们比较常见的无理数往往具备以下几种表现形式：1．某些含有π的数，如：π，π3等； 2．开方开不尽得到的数，如：3、5等；3．依某种规律构造的无限不循环小数，如0．1010010001…(两个1之间依次多一个0)．三、了解无理数的性质1．所有的无理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示，并且右边的无理数总比左边的大；2．在有理数中的互为相反数的定义、绝对值得定义、大小比较法则及运算法则、运算律等，对于无理数仍然适用，如52-的相反数是25-，因为052<-，所以52-的绝对值是25-．四、澄清一些模糊认识1．无理数包括正无理数、0、负无理数0是一个整数，故它是有理数，因此无理数只能分为正无理数和负无理数两类．2．带根号的数就是无理数由于像4、38-这样的数通过计算可以化为2和－2，因此它们是有理数，可见带根号的不一定是无理数．特别是π，它是无理数但并不是用根号形式表示的．3．无理数的数量比有理数少有些同学认为1、2、3、4、5这五个数，它们都是有理数，而开平方后得到的无理数只有2、3、5三个，因此得出无理数的数量要比有理数少．其实，我们对1、2、3、4、5开立方时还会产生32、33、34、35等无理数，如果再开四次方、五次方……还可以产生更多的无理数．因此无理数并不比有理数少．4．有些无理数是分数因为分数属于有理数，且无理数与有理数是两类不同的数，所以无理数不可能写成分数．当然，有些无理数可以借助分数线来表示，如32，但不能因为它具备了分数的形式就认为它是分数．。

无理数判定方法
无理数的判定方法如下：
1. 定义法：根据无理数的三种形式进行判断。

例如，无法开方开得尽方的数是无理数，无限不循环小数是无理数。

2. 特殊值法：选取适当的特殊值进行检验，如对于平方根类无理数，可取其算术平方根或0进行检验。

3. 性质法：根据无理数的性质进行判断，例如，无理数加（减）无理数既可以是无理数又可以是有理数。

无理数乘（除）无理数既可以是无理数又可以是有理数。

无理数加（减）有理数一定是无理数。

无理数乘（除）一个非0有理数一定是无理数。

4. 运算判别法：通过实数的运算性质来判断，如利用有理数的运算性质，反证无理数的存在。

5. 放缩法：通过放缩法判断一个数是否为无理数。

例如，对于形如√n的开
方类无理数，可通过放缩其范围来判定。

6. 代数法：通过代数法来判断一个数是否为无理数。

例如，对于形如
√n+√m的复杂形式，可通过代数变形来判定。

7. 反证法：通过反证法来判断一个数是否为无理数。

例如，假设一个数为有理数，然后利用有理数的性质进行推导，得出矛盾，从而证明原假设不成立，该数为无理数。

以上方法仅供参考，具体应用时需要根据具体情况选择合适的方法进行判断。

同时需要注意，判定一个数是否为无理数需要严格按照定义和性质进行判断，不能随意臆断。

【数学知识点】有理数和无理数的定义及区别
有理数为整数和分数的统称，不是有理数的实数称为无理数。

接下来给大家分享有理数和无理数的定义及区别。

有理数是指整数(正整数、0、负整数)和分数的统称，有理数是整数和分数的集合。

正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。

因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。

有理数a,b的大小顺序的规定：如果a-b是正有理数，则称当a大于b或b小于a，记作a>b或b<a。

任何两个不相等的有理数都可以比较大小。

无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。

若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e(其中后两者均为超越数)等。

无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。

简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如圆周率等。

(1)性质的区别：
有理数是两个整数的比，总能写成整数、有限小数或无限循环小数。

无理数不能写成两个整数之比，是无限不循环小数。

(2)结构的区别：
有理数是整数和分数的统称。

无理数是所有不是有理数的实数。

(3)范围区别：
有理数集是整数集的扩张，在有理数集内，加法、减法、乘法、除法(除数不为零)4种运算均可进行。

无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。

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第三讲 实数的概念和运算【要点梳理】一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，二、实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.三、实数大小的比较正实数大于0，负实数小于0.两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小.从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大.四、实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.五、近似数及有效数字1.近似数：完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数；与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数.2.精确度：近似数与准确数的接近程度即近似程度.对近似程度的要求叫做精确度.要点诠释：精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．3.有效数字：从一个数的左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有的数字都是这个数的有效数字，如0.208的有效数字有三个：2，0，8．【典型例题】例1、指出下列各数中的有理数和无理数：222,,0,,10.1010010001 (73)π-例2、在下列语句中：①无理数的相反数是无理数；②一个数的绝对值一定是非负数；③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数．其中正确的是（ ）A ．②③B ．②③④C ．①②④D ．②④例30.5的大小． 例4、比较大小___ 3.14π--4__3 2 03___- |___(7)---例5、实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．ac ＞bcB ．|a ﹣b|=a ﹣bC ．﹣a ＜﹣b ＜cD ．﹣a ﹣c ＞﹣b ﹣c例6、化简：(1) 1.4| (2)4|| (3)|12|例7、若2|2|(4)0a c --=，则a b c -+=________．例8、已知2(16)|3|0x y +++=例9、下列各数有几个有效数字，分别是什么？（1）0.01020 ；（2）1.50万；（3）15000； （4）42.3010-⨯【课堂练习】一.选择题1.实数，0，﹣π，，﹣，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），其中无理数的个数是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．32. 下列说法正确的是（ ）A ．无理数都是无限不循环小数B ．无限小数都是无理数C ．有理数都是有限小数D ．带根号的数都是无理数3.估计76的大小应在（ ） A ．7～8之间 B ．8.0～8.5之间C ．8.5～9.0之间D ．9～10之间4.如图，数轴上点表示的数可能是（ ）.A ．B ．C ．D ．5. 实数2.6和 ）A ．2.6<<B 2.6<<C ．2.6<<D ． 2.6<<6. 0.3989精确到百分位，约等于（ ）A. 0.39B. 0.40C. 0.4D. 0.400二.填空题7.在54，11-，∙7.0，π2，38这五个实数中，无理数是_________________．8.在数轴上与1______．9.｜3.14－π｜＝______；|= ______．10. 5________，小数部分是________．11.已知x 为整数，且满足x ≤≤x =________．12.﹣的相反数是 ，﹣2的绝对值是________，的立方根是 ．三.解答题13．化简：|﹣|﹣|3﹣|．15. 2|313|0,x y --=求x y +的值．【家庭作业】一.选择题1．下列说法正确的是（ ）A ．|﹣2|=﹣2B ．0的倒数是0C ．4的平方根是2D ．﹣3的相反数是32. 三个数π-，－3， ）．A ．3π-<-<．3π-<-<C ．3π<-<-D ．3π-<<-3. 3k =-，k 的取值范围是（ ）．A ．k ≤3B ．k ≥3C ．0≤k ≤3D ．一切实数4. 的值在（ ）．A ．7和8之间B ．6和7之间C ．3和4之间D ．2和3之间5. 若0a ≠，a 、b 互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对是（ ）与()33b - 6. 对于由四舍五入取得的近似数1.30万与1.30×410，下列说法正确的是 （ ）A.有效数字和精确度都不同；B. 有效数字相同，精确度不同；C.有效数字不同，精确度相同D. 有效数字和精确度都相同二.填空题7．227，3.33……，2π，22- ，8±， 554544554445.0，3271，90.0- ，中，无理数的个数是 个.8. m ＜0时，化简||m m ＝________.9. 计算：|1||3+-＝__________．10. （2015•南漳县模拟）如图，数轴上A ，B 两点表示的数分别为﹣1和，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为 ．11. 若2|()03x y +-=，求2010()xy 的值.12. 当x 时,243x --有最大值,最大值是 ________.三.解答题13．（1）求出下列各数：①2的平方根； ②﹣27的立方根； ③的算术平方根．（2）将（1）中求出的每个数准确地表示在数轴上．（3）将（1）中求出的每个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接．14.已知实数x 、y 、z 满足21|441|()02x y z -+-=，求2()y z x +的值；15. 已知n m m n A -+-=3是3n m -+的算术平方根，322n m B n m +=+-是2m n +的立方根，求B －A 的平方根．。