泛函分析第二章知识点总结

第一章 预备知识第一节 极限点和闭集一、极限点1、 定义：极限点：假设：=R 度量空间，R A =中的点集，R x ∈0 如果：对于0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O都有：∅≠-A x x O }){)((00ε，则称：A x =0的极限点2、 性质⑴、性质：内点是极限点，孤立点不是极限点⑵、证明：A x =0的内点0x ∃⇒的一个-*ε环境A x O ⊂*)(0ε，对于0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O①如果*εε≥：A x x O A x x O }){*)((}){)((0000-⊃-εε，，∅≠-=}{*)(00x x O ε，②如果*εε<：∅≠-=-}{)(}){)((0000x x O A x x O εε，，⑶、归纳：点=内点+边缘点+孤立点，极限点=内点+边缘点3、 等价定理⑴、定理：假设：=R 度量空间，R A =中的点集，R x ∈0①、A x =0的极限点②、00x x x x A x n n n →≠∈∃，，③、∃各不相同的00x x x x A x n n n →≠∈，，④、对于0x 的任何一个环境)(0x O ，含有A 的无穷多个点⑵、证明：②①⇒A x =0的极限点⇒对于0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O ，都有∅≠-A x x O }){)((00ε，⇒对于0x 的任何一个-ε环境)1(0n x O ，，都有∅≠-A x nx O }){)1((00， A x nx O x n }){)1((00-∈∃⇒， A x x x nx O x n n n ∈≠∈∃⇒，，，00))1(( 在度量空间中，0lim 00=⇔→∞→），（x x x x n n n ρ 00x x x x A x n n n →≠∈∃⇒，，⑶、证明：③②⇒00x x x x A x n n n →≠∈∃，，反证法：假设}{n x 含有有限多个不同的点00x x x n ∃⇒≠的一个-ε环境)(0ε，x O ，)(0ε，x O x n ∉【剔除有限个点】 但是⇒→0x x n 对于00>∃>∀N ，ε，当N n >时，)(0ε，x O x n ∈⇒矛盾}{n x ⇒含有无穷多个不同的点∃⇒各不相同的子点列}{k n x⑷、证明：④③⇒∃各不相同的00x x x x A x n n n →≠∈，，对于0x 的任何一个环境)(0x O)(00x O x =⇒的内点0x ∃⇒的一个-ε环境)()(00x O x O ⊂ε，⇒→0x x n 对于00>∃>∀N ，ε，当N n >时，)(0ε，x O x n ∈ N ∃⇒，当N n >时，)()(00x O x O x n ⊂∈ε，)(0x O ⇒含有无穷多个n x )(0x O ⇒含有A 的无穷多个点【A x n ∈】⑸、证明：①④⇒对于0x 的任何一个环境)(0x O ，含有A 的无穷多个点⇒0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O ，含有A 的无穷多个点⇒}{)(00x x O -ε，，含有A 的无穷多个点∅≠-⇒A x x O }){)((00ε，二、闭集1、 基本概念⑴、定义：A A ='的导集A =的所有极限点 ⑵、定义：A A =的闭包'A A =⑶、定义：=A 闭集，如果A A ⊂'2、 分析⑴、=A 内点+边缘点+∈)(A 孤立点⑵、='A 内点+边缘点=内点+边缘点+∈)(A 边缘点)(A ∉ ⑶、=A 内点+边缘点+孤立点3、 等价定理⑴、定理：假设：=R 度量空间，R A =中的点集，R x ∈0 ①、A x ∈0②、对于0x 的任何一个环境)(0x O ，含有A 的点③、0x x A x n n →∈∃，⑵、证明：②①⇒A x A A x A x ∈⇒∈⇒∈000' 或者'0A x ∈如果：⇒∈A x 0对于0x 的任何一个环境)(0x O ，含有A 的点 如果：A x A x =⇒∈00'的极限点⇒对于0x 的任何一个环境)(0x O ，含有A 的无穷多个点⑶、证明：③②⇒对于0x 的任何一个环境)(0x O ，含有A 的点⇒对于0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O ，含有A 的点⇒对于0x 的任何一个-ε环境)1(0nx O ，，含有A 的点 )1(0nx O x A x n n ，，∈∈∃⇒ 0x x A x n n →∈∃⇒，⑷、证明：①③⇒0x x A x n n →∈∃，如果：A x A x ∈⇒∈00如果：000x x x x A x A x n n n →≠∈∃⇒∉，，A x =⇒0的极限点A x A x ∈⇒∈⇒00'4、 核心定理⑴、定理：=A 闭集A x x x A x n n ∈⇒→∈∀⇔00，⑵、证明：①必要性：反证法：假设A x ∉0000x x x x A x A x n n n →≠∈⇒∉，，A x =⇒0的极限点'0A x ∈⇒=A 闭集A A ⊂⇒'⇒∈⇒A x 0矛盾②充分性：反证法：假设≠A 闭集≠A 闭集A x A x A A ∉∈∃⇒⊄⇒，''A x A x =⇒∈'的极限点x x x x A x n n n →≠∈∃⇒，，⇒⊂⇒A x 矛盾5、 性质 ⑴、性质：=A A ，'闭集⑵、证明：='A 闭集')''(00A x A x =⇒∈∀的极限点⇒对于0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O ，都有∅≠-'}){)((00A x x O ε， ')('}){)((0000A y x y x O y A x x O y ∈≠∈∃⇒∅≠-∈∃⇒，，，，εε A y A y =⇒∈'的极限点⇒对于y 的任何一个-δ环境)(δ，y O ，∅≠-A y y O }){)((δ，构造))0()0(min(y x y x ，，，ρερδ-=y ⇒的-δ环境)(δ，y O 满足： ①：)()(0εδ，，x O y O ⊂②：)(0δ，y O x ∉③：∅≠-A y y O }){)((δ，A x y x y O x A y y O x ∈≠∈∃⇒∅≠-∈∃⇒，，，，)(}){)((δδ ∅≠-⇒∈≠∈∃⇒A x x O A x x x x O x }){)(()(0000εε，，，，A x =⇒0的极限点=⇒⊂⇒∈⇒')''(''0A A A A x 闭集 ⑶、证明：=A 闭集：证明同上6、 性质⑴、性质：⊂A 闭集F A F ⊂⇒⑵、证明：①：首先证明：⊂A 闭集''F A F ⊂⇒A x A x =⇒∈∀'的极限点⇒对于x 的任何一个-ε环境)(ε，x O ，都有∅≠-A x x O }){)((ε，⇒对于x 的任何一个-ε环境)(ε，x O ，都有∅≠-F x x O }){)((ε， F x =⇒的极限点'''F A F x ⊂⇒∈⇒②：=F 闭集F F ⊂⇒'F A A F A A F A ⊂⇒⊂⇒⊂⇒ ''⑶、推论：=A 包含A 的最小闭集⑷、证明：假设：=*A 包含A 的最小闭集=A 闭集，⇒⊂A A =A 包含A 的闭集A A ⊂⇒*【最小】=*A 包含A 的闭集=⇒*A 闭集，**A A A A ⊂⇒⊂【定理】 A A =⇒*7、 性质⑴、性质：=A 闭集A A =⇔⑵、证明：①必要性：=A 闭集A A A A A A A A ⊂⇒⊂⇒⊂⇒ '' A A A A A ⊂⇒='A A =⇒ ②充分性：=⇒⊂⇒=⇒=A A A A A A A A '' 闭集8、 基本概念⑴、定义：如果：=R 赋范线性空间，R A =中的点集则称：==)()(A span A L 由A 张成的线性子空间A =中向量的所有可能的线性组合 ⑵、定义：==)()(A span A L 由A 张成的闭线性子空间第二节 Holder 不等式和Minkowski 不等式1、 定义：共轭指标：如果：1>q p ，并且：111=+qp 则称：=q p ，一对共轭指标2、 引理 ⑴、公式：q p b qa p ab 11+≤ 其中：=q p ，一对共轭指标，1>b a ， ⑵、证明：1)1)(1(111=--⇒+=⇒=+q p q p pq qp 假设：1111---==⇒=q p p y yx x y q p b q a p b q a p dy y dx x ab 110101+=+≤⇒⎰⎰--3、 Holder 不等式 ⑴、公式：qnk q k pnk pk nk kky x yx 11111)||()||(||∑∑∑===≤其中：=q p ，一对共轭指标，)n 21(，，，， =∈k R y x k k 【实数点列】⑵、证明： ①：如果：0||1=∑=nk pkx或者0||1=∑=nk q k y 0=⇒k x 或者⇒=0k y 结论成立②：否则：令qnk q k k k pn k p k k k y y b x x a 1111)||(||)||(||∑∑====，∑∑∑∑====+=+=⇒nk q k qk n k p k p k q k p k qn k q k p n k p k k k k k y y qx x p b q a p y x y x b a 111111||||1||||111)||()||(||， ∑∑∑∑====+≤⇒nk q k qk n k p k p k q n k q k p n k p k k k y y q x x p y x y x 111111||||1||||1)||()||(||111||||1||||1)||()||(||111111111=+=+≤⇒∑∑∑∑∑∑∑=======qp yy qx x py x yx nk qknk qkn k pk nk pkqnk q k pnk p k nk kkqnk q k pnk pk n k k k y x y x 11111)||()||(||∑∑∑===≤⇒4、 Minkowski 不等式 ⑴、公式：pnk pk pnk pk pnk pk ky x y x111111)||()||()||(∑∑∑===+≤+其中：1>p ，)n 21(，，，， =∈k R y x k k⑵、证明：令p q =的共轭指标∑∑∑∑=-=-=-=+++≤++=+nk p k k k nk p k k k nk p k k k k nk pk ky x y y x x y x y x y x1111111||||||||||||||qnk q k pnk p k nk kky x yx 11111)||()||(||∑∑∑===≤qnk p k k pnk pk qnk p q k k pnk pk nk p k k k y x x y x x y x x 111111)1(1111)||()||()||()||(||||∑∑∑∑∑===-==-+=+≤+⇒qnk p k k pnk p k qnk p q k k pnk p k nk p k k ky x y y x y y x y111111)1(1111)||()||()||()||(||||∑∑∑∑∑===-==-+=+≤+qnk p k k pnk p k qnk p k k pnk p k nk pk k y x y y x x y x 111111111)||()||()||()||(||∑∑∑∑∑=====+++≤+⇒pnk p k pnk p k qn k p k k nk pk ky x y x y x1111111)||()||()||(||∑∑∑∑====+≤++⇒pnk pk pnk pk pnk pk k y x y x 111111)||()||()||(∑∑∑===+≤+⇒5、 积分形式的Holder 不等式和Minkowski 不等式⑴、Holder 不等式qbaq pbapb adx x g dx x f dx x g x f 11)|)(|()|)(|(|)()(|⎰⎰⎰≤⑵、Minkowski 不等式pbap pbap bapp dx x g dx x f dx x g x f 111)|)(|()|)(|()|)()(|(⎰⎰⎰+≤+第三节 ][b a L p，和pl一、定义1、 定义：}|)(||)({][+∞<=⎰bappdx x f x f b a L ，2、 定义：}|||{1+∞<=∑+∞=n p nn pxx l二、线性空间1、 性质：=][b a L p，线性空间⑴、思路：①：定义加法：函数相加，定义数乘：函数数乘②：两种运算保持封闭 ③：满足8条规则⑵、证明：加法封闭：][)()(][)()(b a L x g x f b a L x g x f pp，，，∈+⇒∈∀⎰⎰≤+bap bap dx x g x f dx x g x f |)])(|)(m ax (|2[|)()(|，⎰⎰+≤=bap ppba p pdx x g x f dx x g x f ]|)(||)([|2|)])(|)([m ax (|2，+∞≤+≤⎰⎰b ap p b ap p dx x g dx x f |)(|2|)(|22、 性质：=pl 线性空间⑴、思路：定义加法：数列相加，定义数乘：数列数乘 ⑵、证明：同上三、赋范线性空间1、 性质：=][b a L p，赋范线性空间⑴、定义：pba pp dx x f f 1)|)(|(||||⎰=⑵、证明：满足范数的3条性质①：齐次性：p pbappbapp f dx x f dx x f f ||||*||)|)(|(||)|)(|(||||11αααα===⎰⎰②：三角不等式：p p p g f g f ||||||||||||+=+【Minkowski 不等式】③：正定性：0)|)(|||||1≥=⎰pbapp dx x f f0)(0)|)(|(0||||1=⇔=⇔=⎰x f dx x f f pb ap p2、 性质：=pl 赋范线性空间 ⑴、定义：pn p nn xx 11)||(||||∑∞+==⑵、证明：同上四、Banach 空间1、性质：=ppl b a L 、，][Banach 空间 2、证明：详见夏道行P61五、Hilbert 空间1、 性质：=][2b a L ，Hilbert 线性空间 ⑴、定义：⎰>=<ba dx x g x f x g x f )()()()(，⑵、证明：满足内积的3条性质 ①：共轭对称性：><==>=<⎰⎰)()()()()()()()(x f x g dx x f x g dx x g x f x g x f baba，，②：第一变元的线性：⎰+>=+<badx x z x g x f x z x g x f )()]()([)()()(βαβα，⎰⎰+=babadx x z x g dx x z x f )()()()(ββα><+><=)()()()(x z x g x z x f ，，βα③：正定性：0|)(|)()()()(2≥=>=<⎰⎰babadx x f dx x f x f x f x f ，0)(0|)(|0)()(2=⇔=⇔>=<⎰x f dx x f x f x f ba，2、 性质：=2l Hilbert 线性空间 ⑴、定义：∑+∞=>=<1n n nn n y xy x ，⑵、证明：同上3、 性质：)2(][≠p l b a L pp 、，不是Hilbert 空间第二章 Hilbert 空间第一节 极限和连续性1、 度量空间⑴、定义：0)(lim 00=⇔→→∞x x x x n n n ，ρ⑵、性质：距离)(y x ，ρ的连续性：)()(lim 0000y x y x y y x x n n n n n ，，，ρρ=⇒→→∞→2、 赋范线性空间⑴、定义：0||||lim 00=-⇔→∞→x x x x n n n⑵、性质：范数||||x 的连续性：||||lim ||||lim 00x x x x n n n n ∞→∞→=⇒→3、 内积空间⑴、定义：0||||lim 00=-⇔→∞→x x x x n n n 【利用内积定义范数，再利用范数定义极限】⑵、性质：内积)(y x ，的连续性：)()(lim 0000y x y x y y x x n n n n n ，，，=⇒→→→∞第二节 投影定理一、正交和投影1、 基本概念⑴、定义：0)(=⇔⊥y x y x ，⑵、定义：⇔⊥M x 对于0)(=∈∀y x M y ，，⑶、定义：⇔⊥N M 对于0)(=∈∀∈∀y x N y M x ，，， ⑷、定义：=⊥M 所有与M 正交的向量2、 基本性质：M x M x ⊥⇔∈⊥3、 性质⑴、性质：x y y x ⊥⇒⊥⑵、证明：x y x y y x y x ⊥⇒=⇒=⇒⊥0)(0)(，，⑶、性质：0=⇒⊥x H x⑷、证明：00)(=⇒=⇒∈⊥x x x H x H x ，，⑸、性质：⊥⊥⊂⇒⊂M N N M⑹、证明：⇒⊥⇒∈∀⊥N x N x 对于0)(=∈∀y x N y ，，⇒⊂N M 对于⊥∈⇒⊥⇒=∈∀M x M x y x M y 0)(，，⑺、性质：{0}=⊥MM⑻、证明：00)(=⇒=⇒∈∈⇒∈∀⊥⊥x x x M x M x M M x ，，⑼、性质：勾股定理：222||||||||||||y x y x y x +=+⇒⊥⑽、证明：)()()()()(||||2y y x y y x x x y x y x y x ，，，，，+++=++=+ 0)(0)(==⇒⊥x y y x y x ，，，222||||||||)()(||||y x y y x x y x +=+=+⇒，，4、 正交补定理⑴、定理：⊂M 内积空间H H M =⇒⊥的闭线性子空间⑵、证明：①：=⊥M 线性子空间 两种运算封闭：⊥⊥∈+⇒∈∀M y x M y x ，0)(=⇒∈∈∀⊥z x Mx M z ，，0)(=⇒∈⊥z y M y ，⊥∈+⇒⊥+⇒⊥+⇒=+⇒M y x M y x z y x z y x 0)(，②：=⊥M 闭集假设：0x x M x n n →∈∀⊥，⇒⊥⇒∈∀⊥M x M x n n 对于0)(=∈∀y x M y n ，，根据内积的连续性0)()(lim 0==⇒∞→y x y x n n ，，=⇒∈⇒⊥⇒⊥⇒⊥⊥M M x M x y x 000闭集⑶、推论：⊂M 内积空间H ⊥⊥=⇒M M span )( ⑷、证明：①：⊥⊥⊂⇒⊂M M span M span M )()(②：⊥⊥⊥⊂⇒⊂⇒∈∀}{}{x M M x Mx⊥⊂⇒}{)(x M span 【=⊥}{x 线性子空间，线性运算封闭】⊥⊂⇒}{)(x M span 【=⊥}{x 闭集，最小闭集】⊥⊥⊥⊥⊂⇒∈⇒⊂⇒)()()(}{M span M M span x M span x5、 投影⑴、定义：投影：假设：=M 内积空间H 的线性子空间如果：对于H x ∈，存在：⊥∈∈M x M x 10，使得：10x x x +=， 则称：x x =0在M 上的投影⑵、关键：投影投在线性子空间⑶、性质：x x =0在M 上的投影⊥∈-∈⇒M x x M x 00，⑷、性质：投影不一定存在，如果存在必定唯一⑸、证明：假设：x x =0在M 上的投影⊥∈-∈⇒M x x M x 00，x x ='0在M 上的投影⊥∈-∈⇒M x x M x ''00，=M 线性子空间M x x ∈-⇒'00=⊥M 闭线性子空间⊥⊥∈-⇒∈---⇒M x x M x x x x ')'()(0000'0)''(000000x x x x x x =⇒=--⇒，6、 最佳逼近⑴、定理：假设：=M 内积空间H 的线性子空间 如果：H x ∈，x x =0在M 上的投影 那么：||||||||inf 0x x y x My -=-∈并且：M x =0上使等式成立的唯一向量⑵、思想：①：利用M 上的变元y ，来逼近H 中的x②：如果存在投影，则最佳逼近等于投影⑶、证明：①x x =0在M 上的投影M x x M x ⊥-∈⇒00， y x x x M y x M x M y -⊥-⇒∈-⇒∈∈∀0000，2020200||||||||||||y x x x y x x x -+-=-+-⇒【勾股定理】 20202||||||||||||y x x x y x -+-=-⇒||||||||inf ||||||||||||||||00202x x y x x x y x x x y x My -≥-⇒-≥-⇒-≥-⇒∈②唯一性：假设：M y =0上使等式成立的向量 ||||||||00x x y x -=-⇒0020020200||||||||||||x y y x x x y x =⇒=-⇒-=-⇒二、投影定理1、 变分引理【极值可达】⑴、定义：x 到M 的距离||||inf )(y x M x d d My -===∈，⑵、性质：完备⇔闭集，线性子空间⇒凸集⑶、定理：假设：=M 内积空间H 的完备凸集如果：H x ∈那么：存在唯一的M x ∈0，使得d x x =-||||0 ⑷、关键：①：x 到M 的距离②：完备凸集则极值可达⑸、证明：①：点列||||inf y x d My -=∈⇒存在点列M x n ⊂}{，d x x n n =-∞→||||lim②：基本点列平行四边形公式：2222||||2||||2||||||||y x y x y x +=-++2222||2||2||2||2||||||||x x x x x x x x x x x x n m n m n m +--+-+-=-+-⇒2222||2||2||2||2||||||||n m n m n m x x x x x x x x x -+-+=-+-⇒2222||2||2||||||||||2||2x x x x x x x x x nm n m n m -+--+-=-⇒=M 凸集d x x x M x x nm n m ≥+-⇒∈+⇒||2||222222||||||||||2||2d x x x x x x n m n m --+-≤-⇒22222||||lim ||||lim ||2||2lim 0d x x x x x x n m n m m n n m m n --+-≤-≤⇒∞→∞→∞→，，，⇒=-⇒∞→0||||lim 2n m m n x x ，=}{n x 基本点列③：收敛点列=M 完备=⇒}{n x 收敛点列0x x n →⇒④：存在性=M 完备⇒=M 闭集，M x n ∈，M x x x n ∈⇒→00根据范数的连续性d x x x x n n =-=-⇒∞→||||||||lim 0⑤：唯一性假设存在M y ∈0，使得d y x =-||||0构造点列：}{}{0000 ，，，，y x y x z n = =⇒=-⇒=-⇒∞→}{||||lim ||||n n n n z d z x d z x 基本点列【证明同上】0||||lim 0||||lim 0||||lim 001=-⇒=-⇒=-⇒∞→+∞→∞→y x z z z z n n n n m n m n ，00000||||x y y x =⇒=-⇒2、 投影引理⑴、定理：假设：=M 内积空间H 的线性子空间 H x ∈，M x ∈0 如果：d x x =-||||0 那么：M x x ⊥-0 ⑵、思想：极值可达点正交⑶、证明：⇒∈≠∀M z 0对于λ∀，M z x ∈+λ0220220||||||)(||d z x x d z x x ≥--⇒≥+-⇒λλ )(||||0020z x x z x x z x x λλλ----=--，22020||||||)}(Re{2||||z z x x x x λλ+---=， 令2020||||)(||||)(z z x x z z x x ，，-=⇒-=λλ 2202002020||||||||)(||||)()(||||)(2||||z z z x x z z x x z x x z z x x x x ，，，，--+----⇒ 22020||||||)(||||||z z x x x x ，---= 0||||||)(||||||||)(||||||220222020=-⇒≥---⇒z z x x d z z x x x x ，， M x x z x x z x x ⊥-⇒⊥-⇒=-⇒0000)(，3、 投影定理⑴、定理：如果：=M 内积空间H 的完备线性子空间 那么：对于H x ∈∀存在：M x M x ⊥∈10，，使得：10x x x +=⑵、思想：任意向量x 在M 上的投影，存在并且唯一⑶、证明：①存在性：变分引理M x ∈∃⇒0，使得d x x =-||||0 投影引理M x x ⊥-⇒0 构造01x x x -=M x ⊥⇒1②唯一性：参见变分引理4、 推论⑴、推论：如果：=M 内积空间H 的完备线性子空间 那么：⊥⇒≠M H M 含有非零元素 ⑵、证明：M x H x M H x H M ∉∈∃⇒-∈∃⇒≠，投影定理⇒投影存在⇒假设x x =0在M 上的投影⊥∈-⇒M x x 0000≠-⇒∈∉⇒x x M x M x ，第三节 就范正交系一、级数1、 基本概念 ⑴、定义：级数：∑∞=++++=121i i iu u u u⑵、定义：部分和：∑==ni in us 1【将级数转换为数列】⑶、定义：收敛级数：如果s s n n =∞→lim ，则称∑∞=1i iu收敛2、 基本性质 ⑴、性质：∑∞=1i iu收敛s s u un n ni i n i i===⇒∞→=∞→∞=∑∑lim lim 11⑵、性质：∑∞=1i iu收敛0lim =⇒∞→i n u 【1--=i i i s s u 】⑶、性质：Cauchy 收敛原理∑∞=1i iu收敛⇔对于00>∃>∀N ，ε，当N m n >，时，ε<∑=||mni iu二、有限正交系1、 基本概念⑴、定义：正交系：假设：=F 内积空间H 的一族非零向量 如果：对于F y x ∈∀，，都有：0)(=y x ， 则称：=F 正交系⑵、定义：就范正交系：如果：=F 正交系并且：对于F x ∈∀，都有：1||||=x 则称：=F 就范正交系2、 基本性质⑴、性质：假设：=}{21n e e e ，，， 内积空间H 中的就范正交系 如果：H x ∈，∑==ni iie e x x 10)(，那么：)()(0i i e x e x ，，=⑵、证明：)())(())(())(((10iiiiiiinj ijji e x e e e x e e e x e e e x e x ，，，，，，，），====∑=3、 定理⑴、定理：假设：=}{21n e e e ，，， 内积空间H 中的就范正交系 如果：H x ∈，∑==ni iie e x x 10)(，，}{21ne e e span M ，，， = 那么：x x =0在M 上的投影 并且：∑==ni ie x x 1220|)(|||||，，20202||||||||||||x x x x -+=⑵、证明：①：M x ∈0②：∑==⇒∈⇒∈∀ni i i n e y e e e span y M y 121}{α，，，0)()()(10100=-=-=-⇒∑∑==ni i i ni i i e x x e x x y x x ，，，ααM x x y x x ⊥-⇒⊥-⇒00x x =⇒0在M 上的投影 ③：))(()(||||100020∑===ni i i e e x x x x x ，，，21110|)(|)()()()(∑∑∑======ni i ni i i ni i i e x e x e x e x e x ，，，，，④：0000x x x M x x M x ⊥-⇒⊥-∈，【勾股定理】20202002||||||||||||||||x x x x x x x -+=-+=⇒4、 推论⑴、性质：如果：=}{21n e e e ，，， 就范正交系，H x ∈ 那么：∑=≥ni i e x x 122|)(|||||， ⑵、证明：∑==≥⇒-+=ni ie x x x x x x x 1220220202|)(|||||||||||||||||||||，⑶、性质：如果：=}{21n e e e ，，， 就范正交系，H x ∈ 那么：对于i α∀，||)(||||||11∑∑==-≥-ni iin i ii e e x x e x ，α⑷、证明：假设：∑==ni iie e x x 10)(，，}{21ne e e span M ，，， = x x =⇒0在M 上的投影假设：M y ey ni ii ∈⇒=∑=1α根据最佳逼近定理||||||||inf 0x x y x My -=-⇒∈||||||||0x x y x -≥-⇒||)(||||||11∑∑==-≥-⇒ni i i n i i i e e x x e x ，α三、无限正交系1、 Bessel （贝塞尔）不等式⑴、定理：如果：=∈}|{N i e i 内积空间H 中的就范正交系 那么：对于H x ∈∀，∑∞=≥122|)(|||||i ie x x ，⑵、证明：=∈}|{N i e i 就范正交系⇒对于n ∀，=}{21n e e e ，，， 就范正交系 ∑=≥⇒ni i e x x 122|)(|||||，【单调递增，必有极限】∑∑∞==∞→≥⇒≥⇒122122|)(||||||)(|lim ||||i i n i i n e x x e x x ，，2、 性质⑴、性质：如果：=∈}|{N i e i 内积空间H 中的就范正交系 那么：对于H x ∈∀，0)(lim =∞→i i e x ，⑵、证明：对于H x ∈∀，⇒≥∑∞=122|)(|||||i ie x x ，∑∞=12|)(|i i e x ，收敛0)(lim 0|)(|lim 2=⇒=⇒∞→∞→i i i i e x e x ，，四、完备正交系1、 定义：完备正交系：假设：=∈}|{N i e i 内积空间H 中的就范正交系 如果：对于H x ∈∀，都有：∑∞==122|)(|||||i ie x x ，则称：=∈}|{N i e i 完备正交系2、 性质 ⑴、性质：∑∞=1i i i e α收敛y s e en n ni i i n i ii ===⇔∞→=∞→∞=∑∑lim lim 11αα⑵、性质：=⇒∞<∑∑=∞=}{||112ni i i i ie αα基本点列⑶、证明：假设：∑==ni ii n es 1α||||||||1∑+==-⇒mn i i i n m e s s α2111212||)(||||||||∑∑∑∑+=+=+=+====-⇒mn i imn i i i mn i i i mn i ii n m e e e s s αααα，=⇒∞<∑∑∞=∞=1212||||i i i iαα收敛级数=⇒∑=}||{12ni i α基本点列⇒对于00>∃>∀N ，ε，当N m n >，时，εα<∑+=||||12mn i i⇒对于00>∃>∀N ，ε，当N m n >，时，ε<-||||||2n m s s=⇒}{n s 基本点列3、 定义：傅里叶级数：如果：=∈}|{N i e i 就范正交系，H x ∈ 则称：==∑∞=1)(i iiee x x ，傅里叶级数4、 定义：=∈}|{N i e span i 由}|{N i e i ∈张成的线性子空间}|{N i e i ∈=的所有可能的有限个向量的线性组合5、 等价定理⑴、定理：如果：=∈}|{N i e i 就范正交系，}|{N i e span E i ∈= 那么：①E x ∈；②∑∞==122|)(|||||i ie x x ，；③∑∞==1)(i iie e x x ，⑵、证明：②①⇒反证法：假设：∑∞=≠122|)(|||||i ie x x ，E x ∈∃⇒，)0(0|)(|||||2122>>=-∑∞=ααi i e x x ， x x N i e span x N i e span x E x n i n i →∈∈∃⇒∈∈⇒∈，}|{}|{∑==⇒∈∈ni i i n i n e x N i e span x 1}|{α0||||lim 2=-⇒→∞→x x x x n n n⇒对于00>∃>∀N ，ε，当N n >时，ε<-||||x x n⇒对于00>∃>N ，α，当N n >时，α<-||||x x n212122||)(||||||||||||||∑∑==-≥-=->⇒<-ni i i ni i i n n e e x x e x x x x x ，ααα⇒=-≥-=∑∑∞==2212212|)(||||||)(|||||αi i ni i e x x e x x ，，矛盾③②⇒ 21221|)(|||||||)(||∑∑==-=-ni i ni iie x x e e x x ，，]|)(|||[||lim ||)(||lim 21221∑∑=∞→=∞→-=-⇒ni i n ni i i n e x x e e x x ，，212121||)(||||)(lim ||||)(||lim ∑∑∑∞==∞→=∞→-=-=-i i i n i i i n ni iin e e x x e e x x e e x x ，，，0|)(|||||]|)(|||[||lim 212212=-=-=∑∑∞==∞→i i ni i n e x x e x x ，，∑∑∞=∞==⇒=-⇒121)(0||)(||i i i i iie e x x e e x x ，，①③⇒假设：∑==ni iin e e x x 1)(，n n ni i i n i i i x e e x e e x x ∞→=∞→∞====⇒∑∑lim )(lim )(11，，=⇒E 闭集，E x x x E x n n ∈⇒→∈，第四节 Banach 空间的共轭算子一、)(Y X →和)(Y X B →1、 )(Y X →⑴、定义：Y X Y X →=→)(的全体线性算子，其中：=Y X 、线性空间 ⑵、性质：=•+→))((，；；P Y X 线性空间⑶、证明：①：定义加法：)()())((x B x A x B A +=+ 定义数乘：)())((x A x A αα=②：两种运算封闭：)()())((y x B y x A y x B A βαβαβα+++=++)()()()()()()()(y B x B y A x A y B x B y A x A βαβαβαβα+++=+++= ))(())(()()()()(y B A x B A y B y A x B x A +++=+++=βαββαα2、 )(Y X B →⑴、定义：Y X Y X B →=→)(的全体有界线性算子，其中：=Y X 、赋范线性空间 ⑵、性质：=•+→))((，；；P Y X B 赋范线性空间⑶、证明：①：定义算子范数：||||||||sup||||0x Tx T x ≠= ②：算子范数满足范数的3条性质【齐次性，三角不等式，正定性】3、 定理⑴、定理：如果：=X 赋范线性空间，=Y Banach 空间 那么：=→)(Y X B Banach 空间 ⑵、证明：①：假设：)(}{Y X B T n →=的基本点列⇒对于00>∃>∀N ，ε，当N m n >，时，ε≤-||||m n T T⇒对于00>∃>∀∈∀N X x ，，ε，当N m n >，时，||||||||*||||||)(||||||x x T T x T T x T x T m n m n m n ε<-≤-=-【=n T 有界】 =⇒}{x T n 基本点列【固定x 】=⇒}{x T n 收敛点列【=Y 完备】②：定义：算子T ：x T Tx n n ∞→=limY X T →=的算子：=Y 闭集，Y Tx Tx x T Y x T n n ∈⇒→∈，Y X T →=的线性算子：21212121lim lim )(lim )(Tx Tx x T x T x x T x x T n n n n n n +=+=+=+∞→∞→∞→Y X T →=的有界线性算子：||||||||||||||||lim ||||||||x Tx x T x x T x T x x T x T n m n m m n εεε<-⇒<-⇒<-∞→)()()(Y X B T Y X B T Y X B T T n n →∈⇒→∈→∈-⇒，③：εεε<-=-⇒<-⇒<-≠||||||||sup ||||||||||||||||||||0x Tx x T T T x Tx x T x Tx x T n x n n n=⇒→⇒=-⇒∞→n n n n T T T T T 0||||lim 收敛点列二、共轭空间1、 共轭空间⑴、定义：如果：=X 赋范线性空间，X X =*上的全体连续线性泛函则称：X P X =•+)*(，；；的共轭空间⑵、性质：=•+)*(，；；P X 赋范线性空间【实数域=赋范线性空间】2、 二次共轭空间⑴、定义：如果：=*X 赋范线性空间，***X X =上的全体连续线性泛函则称：X P X =•+)**(，；；的二次共轭空间⑵、性质：=•+)**(，；；P X 赋范线性空间3、 基本概念⑴、定义：**x ：)()*(*x f f x =其中：***X x =上的泛函，X x X f ∈∈，*⑵、定义：保范算子：假设：=Y X ，赋范线性空间，Y X U →=的算子 如果：对于X x ∈∀，都有：||||||||x Ux = 则称：Y X U →=的保范算子4、 基本性质⑴、性质：***X x =上的线性泛函⑵、证明：))(()*(*22112211x f k f k f k f k x +=+)*(*)*(*)()(22112211f x k f x k x f k x f k +=+=⑶、性质：***X x =上的有界泛函 ⑷、证明：||||*||||||)(||||)*(*||x f x f f x ≤=⑸、性质：||||||**||x x ≤⑹、证明：||||||||||)*(*||sup ||**||||||||||||)*(*||||||*||||||)*(*||0x f f x x x f f x x f f x f ≤=⇒≤⇒≤≠⑺、性质：***X x =上的保范线性算子 ⑻、证明：未能证明三、共轭算子1、 定义：共轭算子：假设：=Y X ，赋范线性空间，)(Y X B A →∈ 如果：存在***X Y A →=使得：对于*Y h X x ∈∀∈∀，，都有：)())(*(Ax h x h A = 则称：A A =*的共轭算子2、 共轭定理⑴、定理：如果：=Y X ，赋范线性空间那么：对于)(Y X B A →∈∀，共轭算子存在并且唯一 ⑵、证明：①定义：对于*Y h A x ∈∀∈∀，定义X Ax h x A =→=)('上的泛函)()('Ax h x A =⇒②线性：)]()([)]([)('212121x A x A h x x A h x x A +=+=+)(')(')]([)]([2121x A x A x A h x A h +=+=③有界：||||*||||*||||||||*||||||)(||||)('||x A h Ax h Ax h x A ≤≤= ④存在：='A 有界线性泛函*'X A ∈⇒定义**'*X Y A h A →=→=的算子'*A h A =⇒)())(*()()(''*Ax h x h A Ax h x A A h A =⇒==，⑤唯一：假设：)())(()())((*2*1Ax h x h A Ax h x h A ==，))(())((*2*1x h A x h A =⇒【*Y h A x ∈∀∈∀，】*2*1*2*1A A h A h A =⇒=⇒第五节 Hilbert 空间的共轭算子一、连续线性泛函的表示1、 定理⑴、定理：如果：=X 赋范线性空间，X F =上的线性泛函那么：=F 连续F ⇔的零空间===}0)(|{x F x M 闭线性子空间 ⑵、证明：①必要性：假设：x x M x n n →∈∀，=→F x x n ，连续)()(x F x F n →⇒=⇒∈⇒==⇒∞→M M x x F x F n n 0)(lim )(闭集②充分性：反证法：≠F 有界∞=⇒=|)(|sup 1||||x F x⇒存在点列}{n x ，n x F x n n ≥=|)(|1||||， ⇒构造点列}{n y ，M y y F x F xx F x y n n n n n ∈⇒=⇒-=0)()()(11 )()()()(1111n nn n n n x F x x F x y x F x x F x y =+⇒-=|)(|1||)(||||)(||11n n n n x F x F x x F x y ==+⇒ )(0|)(|1lim ||)(||lim 1111x F xy x F x F x y n n n n n -→⇒==+⇒∞→∞→ =M 闭集，M x F xx F x y M y n n ∈-⇒-→∈)()(1111， 但是⇒∉≠-=-M x F x F 01))((11矛盾2、 性质⑴、性质：如果：)()(y x x F y ，=【固定H x H y ∈∀∈，】 那么：=y F 由y 导出的有界线性泛函 并且：||||||||y F y =⑵、证明：①线性：)()(22112211y x k x k x k x k F y ，+=+)()()()(22112211x F k x F k y x k y x k y y +=+=，，②有界：||||*||||||)(||||)(||y x y x x F y ≤=，【固定H y ∈】 ③公式：||||||||)(sup||||||||)(||||*||||||)(||0y x x F F y x x F y x x F y x y y y ≤=⇒≤⇒≤≠||||||||)(||||)()()()(2y y y F y y y y F y x x F y y y =⇒==⇒=，，||||||||y F y =⇒3、 Riesz 定理⑴、定理：如果：=H Hilbert 空间，H F =上的连续线性泛函 那么：存在唯一的H y ∈使得：对于H x ∈∀，都有：)()(y x x F ，= 并且：||||||||y F =⑵、证明：①存在性：假设：}0)(|{==x F x M00=⇒=y FM x H x x F H x F ∉∈∃⇒≠∈∃⇒≠，，0)(0⊥⇒≠⇒M H M 含有非零元素⊥∈≠∃⇒M z z ，0 0)(}0{≠⇒∉⇒=⊥z F M z M M⇒对于M z z F x F x z z F x F x F H x ∈-⇒=-∈∀)()(0))()((， 2||||)()()()()()(0))()((z z F x F z z z F x F z x z z z F x F x ==⇒=-⇒，，， z z z F y z z z F x z x z z F x F 222||||)()||||)(()(||||)()(=⇒==⇒，， ②唯一性：假设：H y ∈∃，对于H x ∈∀，都有)()(y x x F ，=H z ∈∃，对于H x ∈∀，都有)()(z x x F ，=⇒对于H x ∈∀，z y z y x =⇒=-0)(，否则⇒≠--⇒≠-⇒≠0)(0z y z y z y z y ，矛盾二、共轭算子1、 定理⑴、定理：如果：=H Hilbert 空间，=G 内积空间，)(G H B A →∈ 那么：存在唯一的)(H G B B →∈使得：对于G y H x ∈∀∈∀，，都有：)()(By x y Ax ，，= ⑵、证明：①定义：)()(y Ax x y ，=ϕ【固定H x G y ∈∀∈，】线性：)()()()())(()(21212121x x y Ax y Ax y x x A x x y y y ϕϕϕ+=+=+=+，，， 有界：||||*||||*||||||||*||||||)(||||)(||y x A y Ax y Ax x y ≤≤=，ϕ ||||*||||||||||)(||sup||||||||*||||||||||)(||0y A x x y A x x y x y y ≤=⇒≤⇒≠ϕϕϕH y Ax x y ==⇒)()(，ϕ上的有界线性泛函⇒根据Riesz 定理：存在唯一的H z ∈，使得)()()(z x y Ax x y ，，==ϕ，并且||||||||z y =ϕ②定义：H G z y B →=→=的算子z By =⇒【给定一个y ，得到一个z 】 线性：))(()(2121y y B x y y Ax +=+，，)()()()()()(21212121By By x By x By x y Ax y Ax y y Ax +=+=+=+，，，，，，⇒对于H x ∈∀，21212121)(0))((By By y y B By By y y B x +=+⇒=--+，有界：||||*||||||||||||||||||||||||y A z z By z By y y ≤==⇒=ϕϕ，，||||||||||||sup ||||||||||||||||||||*||||||||0A y By B A y By y A By y ≤=⇒≤⇒≤⇒≠③唯一：假设：)()()()(21y B x y Ax y B x y Ax ，，，，，==2121210)(0))((B B y B B y B B x =⇒=-⇒=-⇒，【G y H x ∈∀∈∀，】2、 共轭算子⑴、定义：假设：=G H ，内积空间，)(*)(H G B A G H B A →∈→∈， 如果：对于G y H x ∈∀∈∀，，都有：)*()(y A x y Ax ，，= 则称：A A =*的共轭算子（伴随算子）⑵、定理：如果：=H Hilbert 空间，=G 内积空间那么：对于)(G H B A →∈∀，存在唯一的)(*H G B A →∈3、 Banach 空间与Hilbert 空间中的共轭算子⑴、性质：在Banach 空间中，**)*(B A B A βαβα+=+ ⑵、证明：)())(*(Ax h x h A =)()()))((())(*)((Bx h Ax h x B A h x h B A βαβαβα+=+=+⇒))(*)*(())(**())(*())(*(x h B A x h B h A x h B x h A βαβαβα+=+=+=⑶、性质：在Hilbert 空间中，**)*(B A B A βαβα+=+ ⑷、证明：)*()(y A x y Ax ，，=)()())(()*)((y Bx y Ax y x B A y B A x ，，，，βαβαβα+=+=+⇒ )*)*(()**()*()*(y B A x y B y A x y B x y A x βαβαβα+=+=+=，，，，4、 性质：假设：=K H ，Hilbert 空间，=G 内积空间 )()(H K B C G H B B A →∈→∈，， ⑴、性质：A A =*)*(⑵、证明：A A Ax y x y A y A x y Ax **)()()*()*()(⇒=⇒=，，，，⑶、性质：||||*||||||||B A AB ≤⑷、证明：||||*||||*||||||||*||||||||x B A Bx A ABx ≤≤||||*||||||||||||sup ||||||||*||||||||||||0B A x ABx AB B A x ABx x ≤=⇒≤⇒≠⑸、性质：)*()(y A Cx y ACx ，，=⑹、证明：)*()()*()(y A Cx y ACx Cx z y A z y Az ，，，，，=⇒==⑺、性质：||*||||||||*||22A A A A ==⑻、证明：①：根据共轭定理：||||||*||||||||||A A A B ≤⇒≤||*||||||||*|||*)*(||||||A A A A A =⇒≤=⇒②：2||||||*||*||||||*||A A A AA =≤对于)*()(||||1||||2x Ax A Ax Ax Ax x H x ，，，==⇒=∈∀ ||*||||||*||*||||*||||||*||*||||||2A A x A A Ax A x Ax A Ax =≤=≤⇒||*||||||sup ||||21||||2A A Ax A x ≤=⇒=复习和重点归纳第一章 预备知识第一节 极限点和闭集1、 极限点⑴、定义：A x =0的极限点∅≠-⇔A x x O }){)((00ε， ⑵、定理：A x =0的极限点00x x x x A x n n n →≠∈∃⇔，，2、 闭集⑴、定义：导集'A 、闭包A 、=A 闭集⑵、定理：=A 闭集A x x x A x n n ∈⇒→∈∀⇔00， ⑶、性质：①：=A A ，'闭集 ②：=A 包含A 的最小闭集 ③：=A 闭集A A =⇔3、 定义：)()(A span A L =，)()(A span A L =第二节 Holder 不等式和Minkowski 不等式1、 Holder 不等式：qnk q k pnk pk nk kky x yx 11111)||()||(||∑∑∑===≤2、 Minkowski 不等式：pnk p k pnk p k pnk p k ky x y x111111)||()||()||(∑∑∑===+≤+第三节 ][b a L p，和pl1、 =ppl b a L ，，][赋范线性空间⑴、定义范数：pba pp dx x f f 1)|)(|(||||⎰=⑵、定义范数：pn pnn xx 11)||(||||∑∞+==2、 =22][l b a L ，，Hilbert 空间 ⑴、定义内积：⎰>=<badx x g x f x g x f )()()()(，⑵、定义内积：∑+∞=>=<1n n nn n y xy x ，第二章 Hilbert 空间一、投影定理1、 归纳：极限和连续⑴度量空间⑵赋范线性空间⑶内积空间2、 正交：⑴：定义：①y x ⊥②M x ⊥③N M ⊥④⊥M⑵：性质：①M x Mx ⊥⇔∈⊥②⊥⊥⊂⇒⊂M N N M③勾股定理④0=⊥MM⑶：正交补定理①=⊥M 闭线性子空间②⊥⊥=M M span )(3、投影：⑴：投影的定义和性质⑵：最佳逼近：如果：=M 线性子空间，H x ∈，x x =0在M 上的投影那么：||||||||inf 0x x y x My -=-∈⑶：变分引理：如果：=M 完备凸集，H x ∈那么：存在唯一的M x ∈0，使得d x x =-||||0 ⑷：投影引理：如果：=M 线性子空间，M x H x ∈∈0， 那么：M x x d x x ⊥-⇒=-00|||| ⑸：投影定理：如果：=M 完备线性子空间，H x ∈∀那么：⊥∈∃∈∃M x M x 10，，使得10x x x +=，分解式唯一 ⑹：推论：⊥⇒≠M H M 含有非零元素二、就范正交系1、 基本概念：⑴正交系⑵就范正交系⑶完备正交系2、 有限正交系：定理：假设：=}{21n e e e ，，， 内积空间H 中的就范正交系 如果：H x ∈，∑==ni iie e x x 10)(，，}{21ne e e span M ，，， = 那么：x x =0在M 上的投影 并且：∑==ni ie x x 1220|)(|||||，，20202||||||||||||x x x x -+=3、 无限正交系：⑴：Bessel 不等式：∑∞=≥122|)(|||||i ie x x ，⑵：等价定理：①E x ∈②∑∞==122|)(|||||i ie x x ，③∑∞==1)(i iie e x x ，三、Banach 空间的共轭算子1、 )(Y X →和)(Y X B →⑴、性质：如果：Y X Y X →=→)(的全体线性算子，其中=Y X 、线性空间那么：=•+→))((，；；P Y X 线性空间⑵、性质：如果：Y X Y X B →=→)(的全体有界线性算子，其中=Y X 、赋范线性空间那么：=•+→))((，；；P Y X B 赋范线性空间⑶、性质：如果：=X 赋范线性空间，=Y Banach 空间 那么：=→)(Y X B Banach 空间2、 二次共轭空间⑴、概念：共轭空间⇒二次共轭空间⇒⇒**x 保范算子⑵、性质：***X x =上的连续有界泛函***||||||**||X x x x =⇒≤⇒上保范线性算子3、 共轭算子⑴、概念：共轭算子⑵、定理：对于)(Y X B A →∈∀，共轭算子存在并且唯一。

备课第二章用点集纸§1 度量空间， n 维欧氏空间教学目的 1、深刻理解 R n 中的距离、邻域、点列收敛等概念，弄清它们在刻划不同类型 的点及点集中的作用. 2、理解距离的性质、点到集合的距离、两集合之间的距离、集合的直径等概念， 理解有界集、无界集、区间及区间的体积等概念. 3、了解邻域的四条性质. 本节要点 度量空间的概念. 本节难点 度量空间的概念. 一、 度量空间 定义 1：设 X 为一非空集合， d ： X  X  R 为一映射，且满足 （1） d ( x , y )  0 ， d ( x , y ) （2） d ( x , y ) （3） d ( x , y ) d ( y, x)  0  x  y（正定性）（对称性） （三角不等式） d ( x, z )  d ( z, y )则称 ( X , d ) 为度量空间. 例 1: (1) 欧氏空间 ( R n , d ) ,其中 d ( x , y )  (xi 1ni yi )2(2)离散空间 ( X , d ) ，其中 d ( x , y )  1 0x  y x  y(3) C  a , b  空 间 ( C  a , b  表 示 闭 区 间  a , b  上 实 值 连 续 函 数 全 体 ), 其 中d ( x , y )  m ax | x ( t )  y ( t ) |atb二、 邻域 定义2： 称集合 { P | d ( P , P0 )   } 为 P0 的  邻域，并记为 U ( P0 ,  ) . P0 称为邻域的中 心，  称为邻域的半径. 在不需要特别指出是什么样的半径时，也简称为 P0 的邻域，并记为 U ( P0 ) . 不难看出：点列 { Pm } 收敛于 P0 的充分必要条件是对任意   0 ，存在 N ，当第 页备m  N课用纸时有： Pm  U ( P0 ) .容易验证邻域具有下面的基本性质： 1)P  U (P ) ；2) 对于  U 1 ( P ) 和 U 2 ( P ) ， 如果存在 P  U 1 ( P )  U 2 ( P ) ，则存在U 3 (P )  U 1 (P )  U 2 (P )3) 对于  Q  U ( P ) ，存在 U ( Q )  U ( P ) ； 4) 对于  Q P，存在 U ( Q ) 和 U ( P ) 满足 U ( Q )  U ( P )定义3：两个非空的点集 A , B 间的距离定义为d  A, B  P  A ,Q  Bin fd  P,Q 注：1）如果 A , B 中至少有一个是空集，则规定 d  A , B   0 ； 2）若 B   X  ，则记d  A, B   d  A, X3）若 A  B   ，则 d  A , B   0 。

泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。

本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。

一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。

1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。

（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。

这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。

⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。

⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。

为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。

⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。

实变函数与泛函分析概要第一章集合根本要求：1、理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。

2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。

3、会求集合的并、交、差、余集。

4、了解对等的概念及性质。

5、掌握可数集合的概念和性质。

6、会判断己知集合是否是可数集。

7、理解基数、不可数集合、连续基数的概念。

8、了解半序集和Zorn引理。

第二章点集根本要求：1、理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。

2、掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。

掌握聚点的性质。

3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。

4、会求己知集合的开集和导集。

5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。

6、会判断一个集合是非是开〔闭〕集，完备集。

7、了解Peano曲线概念。

主要知识点：一、根本结论：1、聚点性质§2 中T1聚点原那么：P0是E的聚点⇔P0的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于P0的点⇔存在E中互异的点列{Pn}，使Pn →P0 〔n→∞〕2、开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3T2：设A⊂B，那么A⊂B，·Ａ⊂·Ｂ，－Ａ⊂－Ｂ。

T3：〔A∪B〕′=A′∪B′.3、开〔闭〕集性质〔§3中T1、2、3、4、5〕T1：对任何E⊂Rⁿ，Ė是开集，E´和―Ｅ都是闭集。

〔Ė称为开核，―Ｅ称为闭包的理由也在于此〕T2：〔开集与闭集的对偶性〕设E是开集，那么CE是闭集；设E是闭集，那么CE是开集。

T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。

T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。

T5：〔Heine-Borel有限覆盖定理〕设F是一个有界闭集，ℳ是一开集族{Ui}iєI它覆盖了F〔即Fс∪ｉєＩUi〕，那么ℳ中一定存在有限多个开集U1，U2…Um，它们同样覆盖了F〔即F⊂ｍ∪Ui〕〔iєI〕4、开〔闭〕集类、完备集类。

第一部分线性代数第一章 线性空间第一节 线性空间一、基本概念1、 定义：数域P ＝复数子集＋四则运算封闭2、 定义：线性空间=•+），；；（P V 数域P 上的线性空间V ＝线性空间V ⑴、解释：=V 非空集合⑵、解释：V V V →⨯=+【加法，加法保持封闭】 ⑶、解释：V V P →⨯=•【数乘，数乘保持封闭】 ⑷、解释：=•+），（线性运算【满足8条规则】3、 8条规则加法规则：⑴、交换律：αββα+=+⑵、结合律：)()(γβαγβα++=++⑶、零元素：V ∈∃0，对于V ∈∀α，都有αα=+0⑷、负元素：对于V ∈∀α，V ∈∃β，使得0=+βα【记为：α-】数乘规则：⑸、αα=1⑹、αα)()(kl l k =加法数乘规则：⑺、βαβαk k k +=+)(⑻、αααl k l k +=+)(二、基本性质1、 性质⑴、性质：零元素唯一⑵、证明：假设：V ∈∃10，对于V ∈∀α，都有αα=+10 V ∈∃20，对于V ∈∀α，都有αα=+20 对于V ∈∀α，都有⇒=+αα10特别：212000=+对于V ∈∀α，都有⇒=+αα20特别：121000=+12120000+=+【交换律】2100=⇒ ⑶、性质：负元素唯一2、 性质⑴、性质：ααα-=-==)1(0000，，k⑵、证明：ααααααα==+=+=+1)10(100【规则5＋规则8】 )()(]0[0αααααααα-+=-++⇒=+⇒αααααααα000)]([0)(]0[=+=-++=-++⇒【结合律】0)(=-+αα【负元素的定义】00=⇒α第二节 线性无关一、基本概念1、 概念：线性组合（线性表出）如果：r r k k k αααα+++=Λ2211则称：向量α是向量组r ααα，，，Λ21的一个线性组合 或称：向量α可由向量组r ααα，，，Λ21线性表出2、 概念：线性相关如果：存在不全为0的P k k k r ∈，，，Λ21 使得：02211=+++r r k k k αααΛ则称：向量组r ααα，，，Λ21线性相关3、 概念：线性无关如果：不存在不全为0的P k k k r ∈，，，Λ21 使得：02211=+++r r k k k αααΛ则称：向量组r ααα，，，Λ21线性无关 4、 关键：00212211====⇒=+++r r r k k k k k k ΛΛααα二、基本性质1、 性质⑴、性质：向量组r ααα，，，Λ21线性相关 ⇔其中某一向量可由其余向量线性表出 ⑵、证明：必要性：r r r r k kk k k k k αααααα)()(0121212211-++-=⇒=+++ΛΛ 充分性：0)()(221221=-++-+⇒++=r r r r k k k k ααααααΛΛ2、 性质⑴、性质：如果：向量组r ααα，，，Λ21线性无关 并且：可由向量组s βββ，，，Λ21线性表出 则有：s r ≤⑵、证明：∑∑===⇒=⇒+++=sj j ji i sj j j s s t tt t t 111112211111βαβαβββαΛ∑∑∑∑∑=======⇒=+++s j ri j ji i ri sj j jiiri iir r t k tk k k k k 111112211][][0ββααααΛ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒=+++=+++=+++⇒000221122222111122111sr r s s rr r r t k t k t k t k t k t k t k t k t k ΛΛΛΛs 个方程，r 个未知数⇒如果s r >，则方程存在非零解r k k k ，，，Λ21 ⇒向量组r ααα，，，Λ21线性相关⇒矛盾3、 等价⑴、概念：两个向量组等价【互相线性表出】⑵、性质：两个等价的线性无关向量组，必定含有相同数目的向量⑶、证明：假设：向量组r ααα，，，Λ21线性无关 向量组s βββ，，，Λ21线性无关4、 性质⑴、性质：如果：向量组r ααα，，，Λ21线性无关 并且：向量组βααα，，，，r Λ21线性相关 那么：β可由向量组r ααα，，，Λ21线性表出，并且表法唯一 ⑵、证明：向量组βααα，，，，r Λ21线性相关 ⇒存在不全为0的P k k k k r ∈β，，，，Λ21 使得：02211=++++βαααβk k k k r r Λr r k kk k k k k αααβββββ)()()(02221-++-+-=⇒≠⇒Λ 假设：r r k k k αααβ+++=Λ2211r r l l l αααβ+++=Λ22110)()()(222111=-++-+-⇒r r r l k l k l k αααΛ⇒===⇒r r l k l k l k ，，，Λ2211表法唯一第三节 维数、基和坐标1、 定义：n 维线性空间V ：恰好存在n 个线性无关的向量2、 定义：n 维线性空间V 的一组基：n 个线性无关的向量n εεε，，，Λ213、定义：坐标：对于V ∈∀α，向量组n εεε，，，Λ21线性无关 向量组n a εεε，，，，Λ21线性相关【否则1+n 维】 n n a a a εεεα+++=⇒Λ2211⇒坐标)(21n a a a ，，，Λ=4、 定理⑴、定理：如果：向量组n ααα，，，Λ21线性无关 并且：线性空间V 中的任意向量，均可由它们线性表出那么：V 的维数n =，并且n ααα，，，Λ21是V 的一组基 ⑵、证明：假设：V 的维数1+=n⇒121+n βββ，，，Λ线性无关，可由向量组n ααα，，，Λ21线性表出 ⇒n n ≤+1⇒矛盾第四节 极大线性无关组1、 定义：极大线性无关组：一个向量组的一部分组称为极大线性无关组 如果：该部分组线性无关并且：添加任一向量均线性相关2、 性质⑴、性质：极大线性无关组与向量组本身等价⑵、证明：假设：向量组r k αααα，，，，，ΛΛ21= 极大线性无关组k ααα，，，Λ21= k ααα，，，Λ21⇒可由r k αααα，，，，，ΛΛ21线性表出 对于}{21r k ααααβ，，，，，ΛΛ∈∀ βααα，，，，k Λ21⇒线性相关【否则与极大线性无关组矛盾】 β⇒可由k ααα，，，Λ21线性表出3、 性质⑴、性质：向量组的极大线性无关组，含有相同个数的向量 ⑵、证明：向量组与极大线性无关组1等价 向量组与极大线性无关组2等价⇒极大线性无关组1与极大线性无关组2等价【等价的传递性】第五节 线性子空间1、 定义：），；；（•+P W 是线性空间），；；（•+P V 的一个子空间 ＝W 是数域P 上的线性空间V 的一个子空间 ＝W 是线性空间V 的一个子空间如果：⑴、V W =的非空子集⑵、两种运算封闭：W W W ∈+∈∀∈∀βαβα，， W k W P k ∈∈∀∈∀αα，，2、 )(21r L ααα，，，Λ ⑴、性质：如果：∈r ααα，，，Λ21线性空间V 那么：所有可能的线性组合r r k k k ααα+++Λ2211构成V 的一个子空间称为：由r ααα，，，Λ21生成的子空间 记为：)(21r L ααα，，，Λ ⑵、证明：非空子集＋两种运算封闭3、 性质⑴、性质：)()(2121s r L L βββααα，，，，，，ΛΛ= ⇔向量组r ααα，，，Λ21与向量组s βββ，，，Λ21等价⑵、证明：①：充分性：∑==+++=⇒∈∀ri ii r r r k k k k L 1221121)(αααααααααΛΛ，，，∑∑===⇒=+++=sj j ji i s j j j s s i t t t t t 1111221111βαββββαΛ∑∑∑∑∑========⇒s j ri j ji i r i sj j jiir i ii t k tk k 11111][][ββαα)()()(212121s r s L L L βββαααβββα，，，，，，，，，ΛΛΛ⊂⇒∈⇒ ②：必要性：)()(2121s i r i L L βββααααα，，，，，，ΛΛ∈⇒∈ i α⇒可由向量组s βββ，，，Λ21线性表出4、 性质⑴、性质：如果：W 是n 维线性空间V 的一个m 维子空间并且：m ααα，，，Λ21是W 的一组基 那么：m ααα，，，Λ21可以扩充为线性空间V 的一组基 ⑵、证明：V ∈∃β，使得βααα，，，，m Λ21线性无关 反证法：βαααβ，，，，，m V Λ21∈∀线性相关 β∀⇒可由m ααα，，，Λ21线性表出 ⇒线性空间V 的维数⇒=m 矛盾第六节 子空间的交与和1、 定义：}|{22112121V V V V ∈∈+=+αααα，2、 性质⑴、性质：如果：21V V ，是线性空间V 的两个子空间 那么：21V V I 也是线性空间V 的子空间 ⑵、证明：=21V V I 非空子集【至少都包含零元素】 2121V V V V ∈∈⇒∈∀ααα，I 2121V V V V ∈∈⇒∈∀βββ，I2121V V V V I ∈+⇒∈+∈+⇒βαβαβα，3、 性质⑴、性质：如果：21V V ，是线性空间V 的两个子空间 那么：21V V +也是线性空间V 的子空间 ⑵、证明：22112121V V V V ∈∈+=⇒+∈∀αααααα，， 22112121V V V V ∈∈+=⇒+∈∀ββββββ，， 222111V V ∈+∈+⇒βαβα，2122112121)()()()(V V +∈+++=+++=+⇒βαβαββααβα4、 维数公式⑴、公式：维+1V 维=2V 维+)(21V V I 维)(21V V +⑵、证明：假设：m αα，，Λ1是21V V I 的一组基 111n m ββαα，，，，，ΛΛ是1V 的一组基 211n m γγαα，，，，，ΛΛ是2V 的一组基证明：21111n n m γγββαα，，，，，，，，ΛΛΛ是21V V +的一组基①、线性无关：022********=++++++++n n n n m m q q p p k k γγββααΛΛΛ2211111111n n n n m m q q p p k k γγββααα---=+++++=ΛΛΛm m l l V V V V αααααα++=⇒∈⇒∈-∈⇒ΛI 112121， m m n n m m l l p p k k ααββαα++=+++++ΛΛΛ11111111 01111====⇒n m m p p l k l k ，，m m n n l l q q ααγγ++=++ΛΛ11221100211=====⇒n m q q l l ，Λ②、21V V +∈∀α，均可由21111n n m γγββαα，，，，，，，，ΛΛΛ线性表出第七节 子空间的直和1、 直和⑴、定义：=+21V V 直和⇔任何元素的分解式唯一⑵、分析：22112121V V V V ∈∈+=⇒+∈∀αααααα，，唯一2、 性质⑴、性质：=+21V V 直和⇔零元素的分解式唯一⑵、证明：充分性：假设：22112121V V V V ∈∈+=⇒+∈αααααα，，221121V V ∈∈+=ββββα，，)()()()(022112121βαβαββαα-+-=+-+=⇒ 2211βαβα==⇒，3、 性质⑴、性质：=+21V V 直和}0{21=⇔V V I⑵、证明：充分性：22112121V V V V ∈∈+=⇒+∈∀αααααα，，2211210V V ∈∈+=⇒αααα，，1221221121V V V V ∈∈∈∈⇒-=⇒αααααα，，， 021212211==⇒∈∈⇒ααααV V V V I I ， 必要性：212121V V V V V V ∈-∈⇒∈∈⇒∈∀ααααα，，I 00)(=⇒=-+ααα4、 性质⑴、引理：⇔=}0{V 维0=V⑵、证明：必要性：向量0线性相关⇒不存在线性相关的向量组 充分性：假设：线性空间V 至少包括一个非零向量α ⇒≠⇒0α向量α线性无关α⇒可以扩充为线性空间V 的一组基⇒维1≥V ⇒矛盾⑶、性质：=+21V V 直和⇔维+1V 维=2V 维)(21V V +第八节 线性空间的同构1、 定义：同构如果：=W V ，线性空间并且：存在W V →的双射σ【双射＝一一映射＝满射＋单射】并且：σ满足两条性质：①)()()(βσασβασ+=+②)()(ασασk k = 则称：V 和W 同构，=σ同构映射2、 基本性质⑴、性质：数域P 上的n 维线性空间V 与n P 同构⑵、证明：①、=•+)(，，；P P n线性空间【两种运算封闭＋满足8条性质】 n n n n P b b b P a a a ∈=∀∈=∀)()(2121，，，，，，，ΛΛβα )(2211n n b a b a b a +++=+⇒，，，Λβα n n P a a a P k ∈=∀∈∀)(21，，，，Λα)(21n ka ka ka k ，，，Λ=•⇒α ②、构造nP V →的双射σ【向量到坐标的双射】假设：V n =εεε，，，Λ21的一组基 )()(212211n n n a a a a a a V ，，，ΛΛ=⇒++=⇒∈∀ασεεεαα ③、σ满足两条性质)()(212211n n n a a a a a a V ，，，ΛΛ=⇒++=⇒∈∀ασεεεαα )()(212211n n n b b b b b b V ，，，ΛΛ=⇒++=⇒∈∀βσεεεββn n n b a b a b a εεεβα)()()(222111+++++=+⇒Λ)()()()(2211βσασβασ+=++++=+⇒n n b a b a b a ，，，Λ3、 性质群1⑴、性质：)()()()(22112211r r r r k k k k k k ασασασααασ+++=+++ΛΛ ⑵、证明：σ的两条性质⑶、性质：r ααα，，，Λ21线性无关)()()(21r ασασασ，，，Λ⇔线性无关 ⑷、证明：必要性：假设：0)()()(2211=+++r r k k k ασασασΛ0)(2211=+++⇒r r k k k ααασΛ由于0)0(=σ，并且=σ双射00212211====⇒=+++⇒r r r k k k k k k ΛΛααα⑸、性质：r ααα，，，Λ21线性相关)()()(21r ασασασ，，，Λ⇔线性相关 ⑹、证明：反证法⑺、性质：同构的线性空间同维⑻、证明：假设：线性空间V 和W 同构，并且维n V =)(，维m W =)(维⇒=n V )(存在n 个线性无关的向量组V n ∈ααα，，，Λ21 ⇒存在n 个线性无关的向量组W n ∈)()()(21ασασασ，，，Λ ⇒维n m W ≥=)( 同理：n m n m =⇒≤4、 性质群2⑴、性质：如果：1V 是线性空间V 的一个子空间那么：}|)({)(11V V ∈=αασσ是线性空间)(V σ的子空间 ⑵、证明：①、=1V 非空子集=⇒)(1V σ非空子集②、两种运算封闭假设：111*)()(*)(*V V ∈=⇒=⇒∈∀-αασασασα【双射】 111*)()(*)(*V V ∈=⇒=⇒∈∀-ββσβσβσβ111*)(*)(V ∈+⇒--βσασ【运算封闭】)(*)](*)([111V σβσασσ∈+⇒--【定义】【σ的两条性质】***)]([*)]([*)](*)([1111βαβσσασσβσασσ+=+=+----)(**1V σβα∈+⇒⑶、性质：=-στσ、1同构映射 ⑷、证明：①、=-1σ双射②、1-σ的两条性质)]([)]([)]([111βσσασσβασσβαβα---+=+⇒+=+ )]()([)]([111βσασσβασσ---+=+⇒【σ的两条性质】)()()(111βσασβασ---+=+⇒第二章 欧几里得空间第一节 实线性空间1、 定义：实线性空间)(•+=，；；R R n⑴、两种运算：①、向量加法n n n n R b b b R a a a ∈=∀∈=∀)()(2121，，，，，，，ΛΛβα)(2211n n b a b a b a +++=+⇒，，，Λβα ②、向量数乘n n R a a a R k ∈=∀∈∀)(21，，，，Λα)(21n ka ka ka k ，，，Λ=•⇒α ⑵、两种运算封闭＋满足8条性质第二节 欧几里得空间一、基本概念1、 定义：内积==)(βα，内积的4条性质 ⑴、交换：)()(αββα，，= ⑵、数乘：)()(βαβα，，k k =⑶、分解：)()()(γβγαγβα，，，+=+ ⑷、正定：0)(≥αα，，00)(=⇔=ααα，2、 欧几里得空间【欧氏空间】⑴、定义：欧几里得空间+•+=)(，；；R V 内积⑵、分析：未确定因素；③，；②①•+V 内积⑶、典例：=nE 实线性空间+•+)(，；；R R n内积 ⑷、分析：①、nR V =；②、=•+，向量加法＋向量数乘；③、内积：n n n n R b b b R a a a ∈=∀∈=∀)()(2121，，，，，，，ΛΛβα n n b a b a b a +++=⇒Λ2211)(βα，【满足内积的4条性质】3、 基本概念⑴、概念：向量长度)(||ααα，== ⑵、概念：单位向量||αα=⑶、概念：向量距离)(||)(βαβαβαβα--=-==，，d ⑷、概念：夹角||||)(cos 1βαβαβα，，->==<二、柯西不等式1、 基本公式⑴、公式：|||||)(|βαβα≤，⑵、证明：①0)(0||0==⇒=βαββ，， ②⇒≠0β令βαγt +=022≥++=++=⇒），（），（），（），（），（βββαααβαβαγγt t t t04]2[2≤-=∆⇒），）（，（），（ββααβα【开口向上＋单根或者无根】），）（，（），（ββααβα≤⇒2][③等号成立条件：βαβαγγγt t -=⇒=+⇒=⇒=000），（），（），（βββα-=-=a b t 2【单根】 βαββββαα、），（），（⇒=⇒线性相关2、 推论⑴、推论：||||||βαβα+≤+⑵、证明：），（），（），（），（βββαααβαβα++=++2 222|]||[|||||||2||βαββαα+=++≤⑶、推论：||||||γββαγα-+-≤-⑷、证明：令γαβαγβββαα-=+⇒-=-=，【代入上式】第三节 标准正交基1、 基本概念⑴、定义：两个向量正交【如果0)(=βα，，则称βα、正交，记为βα⊥】⑵、性质：n 维欧几里得空间V 的内积∑∑====n j ni jiji b a 11)()(εεβα，，⑶、证明：假设：V n =εεε，，，Λ21的一组基 n n a a a V εεεαα+++=⇒∈∀Λ2211n n b b b V εεεββ+++=⇒∈∀Λ22112、 基本概念⑴、定义：正交向量组＝两两正交的非零向量组⎩⎨⎧≠==≠==ji ji j i 00)(αα，⑵、定义：正交基＝正交向量组＋基⑶、定义：标准正交基＝正交基＋单位向量3、 基本性质⑴、性质：正交向量组线性无关⑵、证明：假设：=r ααα，，，Λ21正交向量组 02211=+++++⇒r r i i k k k k ααααΛΛ0)()(2211==+++++⇒i i i i r r i i k k k k k ααααααα，，ΛΛ 0=⇒i k4、 定理⑴、定理：任何一个正交向量组，可以扩充为一组正交基⑵、证明：①假设：=m ααα，，，Λ21线性空间V 的正交向量组 V ∈∃β，使得βααα，，，，m Λ21线性无关 否则：βαααβ，，，，，m V Λ21∈∀线性相关 β∀⇒可由m ααα，，，Λ21线性表出 ⇒维V ⇒=m 矛盾 ②∑=+-=mj jj m k 11αβαm i k i mj j j i m ，，，，，，Λ21)()(11=-=⇒∑=+ααβαα0))1=-=-=∑=），（，（），（，（i i i i i mj j j i k k αααβαααβ），（，（i i i i k αααβ)=⇒5、 定理⑴、定理：如果：V n =εεε，，，Λ21的一组基 那么：可以找到一组标准正交基n ηηη，，，Λ21 并且：)()(2121n n L L ηηηεεε，，，，，，ΛΛ= ⑵、证明：①||111εεη=②假设：已经找到一组单位正交向量m ηηη，，，Λ21 使得：)()(2121m m L L ηηηεεε，，，，，，ΛΛ= ∑=+++-=⇒mj j j m m m 1111)(ηηεεγ，m i i mj j j m m i m ，，，，，，，Λ21))(()(1111=-=⇒∑=+++ηηηεεηγ))(()())(()(11111i i i m i m i mj j j m i m ηηηεηεηηηεηε，，，，，，++=++-=-=∑0))(()(11=-=++i i i m i m ηηηεηε，，， ||111+++=⇒m m m γγη ③∑=++++-=nj j j m m m m 11111)(||ηηεεγη，1+⇒m η可由121+m εεε，，，Λ线性表出 1+m ε可由121+m ηηη，，，Λ线性表出121+⇒m εεε，，，Λ与121+m ηηη，，，Λ等价 )()(121121++=⇒m m L L ηηηεεε，，，，，，ΛΛ第四节 正交补1、 基本概念⑴、定义：V ⊥α：如果V ∈∀β，都有0)(=βα，则称V 、α正交，记为V ⊥α⑵、定义：W V ⊥：如果W V ∈∀∈∀βα，，都有0)(=βα，则称W V 、正交，记为W V ⊥⑶、定义：正交补：假设：=21V V ，线性空间V 的两个子空间 如果：V V V V V =+⊥2121，则称：12V V =的正交补，记为：⊥=12V V2、 性质⑴、性质：如果：s V V V ，，，Λ21两两正交 那么：=+++s V V V Λ21直和 ⑵、证明：假设：i i s V ∈+++=αααα，Λ21000)(0)(21=⇒=⇒=+++⇒i i i i s ααααααα，，Λ3、 性质⑴、性质：任何子空间的正交补，存在并且唯一⑵、证明：假设：=1V 线性空间V 的一个子空间，⊥=12V V ①、V V V =⇒=21}0{②、1211}0{V V m =⇒≠εεε，，，Λ的一组正交基 ⇒可以扩充为=n m εεε，，，，ΛΛ1V 的一组正交基 )(12n m L V εε，，Λ+=⇒⊥=⇒12V V 【证明集合相等】【根据定义证明正交】③、假设：21V V ⊥，并且V V V =+2131V V ⊥，并且V V V =+313311312222V V V V ∈∈+=⇒∈∀⇒∈∀ααααααα，，00((111131112=⇒=⇒+=⇒ααααααααα），），（），），（ 32323323V V V V ⊂⇒∈⇒∈=⇒αααα， 同理可证：3223V V V V =⇒⊂第三章 线性变换一、线性变换的定义1、 定义：线性变换假设：=T 线性空间），；；（•+P V 的一个变换 如果：T 满足两个条件⑴、V T T T ∈∀+=+βαβαβα，，)()()( ⑵、V P k kT k T ∈∀∈∀=ααα，，)()(则称：=T 线性变换2、 等价条件⑴、性质：T 的两个条件等价于V P k k T k T k k k T ∈∀∈∀+=+βαβαβα，，，，212121)()()(⑵、证明：①必要性：)()()()()(212121βαβαβαT k T k k T k T k k T +=+=+②充分性：)()()(121βαβαT T T k k +=+⇒==)()(021ααkT k T k k k =⇒==，二、线性变换的运算1、 线性变换的乘积⑴、定义：V T T T T ∈=ααα，))(())((2121 ⑵、性质：线性变换的乘积，仍是线性变换⑶、证明：①))(())(())((2212121βαβαβα（）T T T T T T T +=+=+))(())(())(())((21212121βαβαT T T T T T T T +=+=②）））ααααα)(()(()(())(())((2121212121T T k T kT kT T k T T k T T ====2、 线性变换的加法⑴、定义：V T T T T ∈+=+αααα，)()())((2121 ⑵、性质：线性变换的加法，仍是线性变换 ⑶、证明：同上类似三、线性变换的矩阵1、 定理：⑴、定理：如果：=V 数域P 上的n 维线性空间），；；（•+=P V V n =εεε，，，Λ21的一组基 =n a a a ，，，Λ21任意一组向量那么：存在唯一的一个线性变换T使得：n i a T i i ，，，，Λ21==ε ⑵、证明：存在性和唯一性2、 唯一性⑴、性质：如果：n i T T i i ，，，，Λ2121==εε 那么：21T T =⑵、证明：n n x x x x V x εεε+++=⇒∈∀Λ2211n n n n T x T x T x x x x T x T εεεεεε1212111221111)(+++=+++=⇒ΛΛ x T x x x T T x T x T x n n n n 2221122222121)(=+++=+++=εεεεεεΛΛ3、 存在性⑴、性质：如果：=V 数域P 上的n 维线性空间），；；（•+=P V V n =εεε，，，Λ21的一组基=n a a a ，，，Λ21任意一组向量那么：存在一个线性变换T使得：n i a T i i ，，，，Λ21==ε⑵、证明：①变换T ：∑==+++=⇒∈∀ni ii n n x x x x x V x 12211εεεεΛ∑==+++=⇒ni ii n n ax a x a x a x Tx 12211Λ②线性变换T ：假设：∑∑===⇒∈∀=⇒∈∀ni ii ni i i z z V z y y V y 11εε，∑∑===+=+⇒ni i i ni i i iky ky z yz y 11)(εε，Tz Ty a z a y a z yz y T ni i i n i i i ni i i i+=+=+=+⇒∑∑∑===111)()(kTy a y k aky ky T ni i i ni ii ===⇒∑∑==11)(③证明i i a T =ε：n i i εεεεε010021+++++=ΛΛi n i a a a a a T =+++++=⇒0100221ΛΛε4、 定义：如果：=V 数域P 上的n 维线性空间），；；（•+=P V V n =εεε，，，Λ21的一组基 V T =的一个线性变换那么：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=⇒nnn n n n n n n n a a a T a a a T a a a T εεεεεεεεεεεεΛΛΛΛ22112222112212211111 )()(2121222211121121n nn n n n n n T T T a a a a a a a a a εεεεεε，，，，，，ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⇒ )()(2121n n T T T A εεεεεε，，，，，，ΛΛ=⇒ 则称：=A 线性变换T 在n εεε，，，Λ21下的矩阵⑵、性质：如果：取定一组基并且：=ϕ线性变换n n T ⨯→矩阵的一个映射那么：=ϕ双射⑶、证明：①单射：假设：2211)()(A T A T ==ϕϕ，212121T T T T A A i i =⇒=⇒=εε【唯一性】②满射：i i ni i i i a T a a a a A =⇒=⇒ε)(21，，，Λ【存在性】5、 定理⑴、线性变换的加法，对应于矩阵的加法⑵、线性变换的乘积，对应于矩阵的乘积⑶、线性变换的数乘，对应于矩阵的数乘⑷、线性变换的逆，对应于矩阵的逆第二部分泛函分析第一章 度量空间第一节 度量空间一、度量空间1、 符号约定：），；；（），；；（•+⇒•+F R P V2、 定义：距离ρρ==），（y x 的两条性质⑴、正定：R y x y x y x y x ∈∀=⇔=≥，；），（，），（00ρρ⑵、三角不等式：R z y x z y z x y x ∈∀+≤，，）；，（），（），（ρρρ3、 定义：度量空间)ρ，（R =【距离空间】⑴、解释：=R 非空集合⑵、解释：=ρ距离【满足ρ的两条性质】4、 对称性⑴、性质：），（），（x y y x ρρ= ⑵、证明：），（），（），（z y z x y x ρρρ+≤），（），（），（），（），（x y y x x y x x y x ρρρρρ≤⇒+≤⇒同理可证：），（），（），（），（x y y x y x x y ρρρρ=⇒≤二、基本概念1、 子空间⑴、性质：度量空间的任何子空间，仍是度量空间⑵、证明：假设：=)ρ，（R 度量空间， =)ρ，（M 度量空间的子空间证明：=M 非空子集，ρ的两条性质仍然满足2、 一致离散：如果：0>∃α使得：y x R y x ≠∈∀，，；都有：αρ>），（y x则称：=R 一致离散的度量空间3、 等距映射和等距同构⑴、定义：等距映射：假设：=))11ρρ，，（，（R R 度量空间；1R R →=ϕ的映射 如果：），（），（y x y x ϕϕρρ1= 则称：1R R →=ϕ的等距映射⑵、性质：1R R →=ϕ的等距映射1R R →=⇒ϕ的单射⑶、证明：y x y x y x y x ϕϕϕϕρρ≠⇒≠⇒≠⇒≠001），（），（⑷、定义：等距同构：假设：1R R →=ϕ的等距映射如果：1)(R R =ϕ则称：=))11ρρ，，（，（R R 等距同构【双射】 ⑸、性质：11)(R R R R →=⇒=ϕϕ的满射三、极限1、 极限⑴、定义：假设：=R 度量空间，R x n x n ∈=，，，)21(Λ 如果：0)(lim =∞→x x n n ，ρ则称：点列}{n x 按距离收敛于x记为：x x n →【x x n n =∞→lim 】 并称：=}{n x 收敛点列，}{n x x =的极限⑵、归纳：0)(lim lim =⇔=⇔→∞→∞→x x x x x x n n n n n ，ρ2、 性质⑴、性质：收敛点列的极限唯一⑵、证明：假设：0)(lim =⇒→∞→x x x x n n n ，ρ 0)(lim =⇒→∞→y x y x n n n ，ρ )()()(0y x x x y x n n ，，，ρρρ+≤≤⇒【三角不等式】0)]()([lim )(0=+≤≤⇒∞→y x x x y x n n n ，，，ρρρ【夹逼原则】 y x y x =⇒=⇒0)(，ρ3、 性质⑴、性质：如果：00y y x x n n →→，那么：)()(lim 00y x y x n n n ，，ρρ=∞→【y x y x ，，=)(ρ的连续函数】 ⑵、证明：0)(lim 00=⇒→∞→x x x x n n n ，ρ 0)(lim 00=⇒→∞→y y y y n n n ，ρ )()()()(0000n n n n y y y x x x y x ，，，，ρρρρ++≤)()()()(0000y y x x y x y x n n n n ，，，，ρρρρ+≤-⇒)()()()(0000y y y x x x y x n n n n ，，，，ρρρρ++≤)()()()(0000y y x x y x y x n n n n ，，，，ρρρρ+≤-⇒)()(|)()(|00000y y x x y x y x n n n n ，，，，ρρρρ+≤-≤⇒0)]()([lim |)()(|lim 00000=+≤-≤⇒∞→∞→y y x x y x y x n n n n n n ，，，，ρρρρ )()(lim 00y x y x n n n ，，ρρ=⇒∞→4、 定义：开球})(|{)(00R x r x x x r x O ∈<==，，，ρ其中：=R 度量空间，R x ∈0，+∞<<r 0【=r 有限正数】5、 定义：有界集：假设：=R 度量空间，R M =中的点集如果：M 包含在某个开球)(0r x O ，中则称：R M =中的有界集6、 性质⑴、性质：如果=}{n x 收敛点列，那么=}{n x 有界集⑵、证明：=}{n x 收敛点列0lim x x n n =⇒∞→ 0>∃⇒N ，使得当N n >时，都有1)(0<x x n ，ρ1)1)()(m ax (001+=⇒，，，，，x x x x r N ρρΛ }{n x ⇒包含在开球)(0r x O ，中四、常见的度量空间1、 欧氏空间nE =，其中：)()(y x y x y x --=，，ρ【内积】2、 函数空间==][b a C ，区间][b a ，上的连续函数的全体其中：|)()(|max )(][t y t x y x b a t -=∈，，ρ第二节 范数一、范数1、 定义：R 上的实值函数)(x P 的4个条件【范数的4个条件】⑴、正定1：R x x P ∈∀≥，0)(⑵、齐次性：R x F x P x P ∈∀∈∀=，，ααα)(||)(⑶、三角不等式：R y x y P x P y x P ∈∀+≤+，，)()()(⑷、正定2：00)(=⇔=x x P2、 定义：范数：假设：=•+），；；（F R 实数域F 上的线性空间如果：R 上的实值函数)(x P 满足范数的4个条件则称：x x P =)(的范数记为：x x =||||的范数【)(||||x P x =】并称：=R 赋范线性空间【赋范空间】3、 性质⑴、定义：半范数：如果满足范数的前3个条件⑵、性质：范数的第4个条件可以简化为：00)(=⇒=x x P⑶、证明：0)0(0)(|0|)0()0(00=⇒===⇒=P x P x P P x4、 典例：函数空间][b a C ，⑴、性质：如果：][|)(|max ||||][b a C f x f f b a x ，，，∈∀=∈ 那么：=][b a C ，赋范线性空间⑵、证明：①=][b a C ，线性空间），；；（•+F R 定义：=+向量加法，=•向量数乘⇒两种运算封闭＋满足8个条件②范数的4个条件正定1：0|)(|max ||||][≥=∈x f f b a x ， 齐次性：||||*|||)(|max |||)(|max ||||][][f x f x f f b a x b a x αααα===∈∈，， 三角不等式：|)()(|max ||||][x g x f g f b a x +=+∈， |||||||||)(|max |)(|max ][][g f x g x f b a x b a x +=+≤∈∈，， 正定2：0)(0|)(|max 0||||][=⇒=⇒=∈x f x f f b a x ，5、 典例：n 维向量空间n R⑴、范数1：n n ni i R x x x x x x x x x ∈=∀===∑=)()(||||||2112，，，，，Λ ⑵、范数2：∑==n i ix x 1|||||| ⑶、范数3：||max ||||1i ni x x ≤≤=二、范数和距离1、 性质⑴、性质：利用范数可以定义距离：||||)(y x y x -=，ρ⑵、证明：距离的两个条件①正定：0||||)(≥-=y x y x ，ρy x y x y x =⇔=-⇔=0||||0)(，ρ②三角不等式：||||||||||||y x y x +≤+y x y x y z y z x x -=+⇒-=-=，||||||||||||||||||||z y z x y z z x y x -+-=-+-≤-⇒)()()(z y z x y x ，，，ρρρ+≤⇒⑶、归纳：赋范线性空间＋利用范数定义距离⇒度量空间【线性空间＋范数＋距离】2、 极限⑴、定义：假设：=R 赋范线性空间，R x n x n ∈=，，，)21(Λ 如果：0||||lim =-∞→x x n n 则称：点列}{n x 按范数收敛于x记为：x x n →【x x n n =∞→lim 】 ⑵、归纳：0||||lim lim =-⇔=⇔→∞→∞→x x x x x x n n n n n3、 性质⑴、性质：如果0x x n →，那么||||||||lim 0x x n n =∞→【x x =||||的连续函数】 ⑵、证明：0||||lim 00=-⇒→∞→x x x x n n n ||||||||||||||||||||||||0000x x x x x x x x n n n n -≤-⇒+-≤||||||||||||||||||||||||0000x x x x x x x x n n n n -≤-⇒+-≤||||||||||||||000x x x x n n -≤-≤⇒0||||lim |||]||||[|||lim 000=-≤-≤⇒∞→∞→x x x x n n n n ||||||||lim 0||]||||[||lim 0||||||||||lim 000x x x x x x n n n n n n =⇒=-⇒=-⇒∞→∞→∞→4、 性质⑴、性质：利用范数定义距离，必然满足两个条件①、)0()(，，y x y x -=ρρ②、)0(||)0(，，x x ρααρ=⑵、证明：①、||||)(y x y x -=，ρ||||||0||)0(y x y x y x -=--=-，ρ②、||||*||||||||0||)0(x x x x ααααρ==-=，||||*||||0||*||)0(||x x x ααρα=-=，5、 性质⑴、性质：如果：)(y x ，ρ满足两个条件那么：可以利用距离定义范数：)0(||||，x x ρ=⑵、证明：范数的4个性质①正定1：0)0(||||≥=，x x ρ②齐次性：||||*||)0(||)0(||||x x x x αρααρα===，，③三角不等式：），（），（），（z y z x y x ρρρ+≤ ），（），（），（），（），（），（00000y x y x y x y x ρρρρρρ+≤-⇒+≤⇒ ），（），（），（00|1|0y y y ρρρ=-=- ），（），（），（），（），（），（000000y x y x y x y x ρρρρρρ+≤+⇒-+≤-⇒ ||||||||||||y x y x +≤+⇒④正定2：00)0(0||||=⇒=⇒=x x x ，ρ6、 定理⑴、利用范数，可以定义距离⑵、利用函数，可以定义距离＋满足两个条件⑶、利用距离＋满足两个条件，可以定义范数⑷、利用距离，不一定可以定义范数【反例】第二章 有界线性算子第一节 度量空间中的点集1、 基本概念⑴、概念：0x 的-ε环境})(|{)(00R x x x x x O ∈<==，，，ερε⑵、概念：A x =0的内点：如果存在0x 的一个-ε环境A x O ⊂=)(0ε，⑶、概念：=A 开集：如果A 的每一个点都是内点⑷、概念：0x 的环境==)(0x O 包含0x 的开集2、 基本性质⑴、性质：)(00ε，x O x ∈，)(00ε，x O x =的内点【ερ<=0)(00x x ，】【2*εε=】⑵、性质：)(00x O x ∈，)(00x O x =的内点【定义】3、 重要性质⑴、性质：=)(0ε，x O 开集⑵、证明：ερε<⇒∈∀)()(00x z x O z ，，)(*0)(000x z x z ，，ρεερε-<<⇒-<⇒*)(*)(ερε<⇒∈∀z x z O x ，， ερερρρ<+<+≤⇒)(*)()()(000z x z x z x x x ，，，，)(*)()(00εεε，，，x O z O x O x ⊂⇒∈⇒)(0ε，x O z =⇒的内点=⇒)(0ε，x O 开集4、 重要性质⑴、性质：0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O =，都是0x 的环境⑵、意义：-ε环境=环境的特殊情况⑶、证明：=∈)()(000εε，，，x O x O x 开集⑷、性质：A x =0的内点⇔存在0x 的一个环境A x O ⊂=)(0⑸、意义：利用环境定义内点⑹、证明：①：A x =0的内点⇒存在0x 的一个-ε环境A x O ⊂=)(0ε，⇒存在0x 的一个环境A x O ⊂=)(0②：存在0x 的一个环境A x O ⊂=)(0)(00x O x =⇒的内点⇒存在0x 的一个-ε环境)()(00x O x O ⊂=ε，⇒存在0x 的一个-ε环境A x O ⊂=)(0ε，A x =⇒0的内点5、 定理⑴、定理：⇔→0x x n对于0x 的任何环境)(0x O =，存在0>N ，当N n >时，)(0x O x n ∈⑵、意义：利用环境定义收敛点列⑶、证明：①：任取0x 的一个环境)(0x O =)(00x O x =⇒的内点⇒存在0x 的一个-ε环境)()(00x O x O ⊂=ε，⇒→0x x n 对于0>ε，存在0>N ，当N n >时，ερ<)(0x x n ，)()(00x O x x O x n n ∈⇒∈⇒ε，②：对于0x 的任何环境)(0x O =，存在0>N ，当N n >时，)(0x O x n ∈⇒对于0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O =，存在0>N ，当N n >时，)(0ε，x O x n ∈00)(x x x x n n →⇒<⇒ερ，⑷、推论：⇔→0x x n对于0x 的任何-ε环境)(0ε，x O =，存在0>N ，当N n >时，)(0ε，x O x n ∈ ⑸、意义：利用-ε环境定义收敛点列第二节 连续映射1、 函数)(x f 在0x 点连续⑴、传统描述：对于00>∃>∀δε，，当δ<-||0x x 时，ε<-|)()(|0x f x f⑵、环境描述：对于)(0x f 的任何-ε环境))((0ε，x f O =存在0x 的一个-δ环境)(0δ，x O =当)(0δ，x O x ∈时，))(()(0ε，x f O x f ∈2、 映射f 在0x 点连续【双重扩展】⑴、定义：假设：=Y X ，度量空间，X D =的一个子空间，Y D f →=的映射如果：对于)(0x f 的任何环境Y x f O ⊂=))((0存在0x 的一个环境D x O ⊂=)(0当)(0x O x ∈时，))(()(0x f O x f ∈则称：映射f 在0x 点连续⑵、定义：如果：映射f 在D 上的每一点都连续则称：D f =上的连续映射3、 等价定理⑴、定理：①：映射f 在0x 点连续②：对于)(0x f 的任何-ε环境))((0ε，x f O =存在0x 的一个-δ环境)(0δ，x O =当)(0δ，x O x ∈时，))(()(0ε，x f O x f ∈③：)()(00x f x f x x n n →⇒→⑵、证明：①⇒②映射f 在0x 点连续⇒对于)(0x f 的任何环境))((0x f O =存在0x 的一个环境)(0x O =当)(0x O x ∈时，))(()(0x f O x f ∈【定义】⇒对于)(0x f 的任何-ε环境))((0ε，x f O =存在0x 的一个环境)(0x O =当)(0x O x ∈时，))(()(0ε，x f O x f ∈【-ε环境=环境的特殊情况】 )(00x O x =的内点⇒存在0x 的一个-δ环境)()(00x O x O ⊂=δ，⇒结论【全局满足则局部满足】⑶、证明：②⇒③⇒→0x x n 对于0>∀δ，存在0>N ，当N n >时，)(0δ，x O x n ⊂ N 由δ决定，δ由ε决定⇒N 由ε决定⇒对于0>∀ε，存在0>N ，当N n >时，))(()(0ε，x f O x f n ∈)()(0x f x f n →⇒⑷、证明：③⇒①反证法：映射f 在0x 点不连续⇒存在)(0x f 的一个环境))((0x f O =对于0x 的任何环境)(0x O =存在)(0x O x ∈，))(()(0x f O x f ∉⇒对于0x 的任何环境)1(0nx O ，=，存在)(0x O x n ∈，))(()(0x f O x f n ∉ 0)(lim 1)(0)(000=⇒<<⇒∈∞→x x nx x x O x n n n n ，，ρρ【夹逼定理】 )()(00x f x f x x n n →⇒→⇒【条件】⇒对于0>∀ε，存在0>N ，当N n >时，))(()(0ε，x f O x f n ∈ ))(()(00x f O x f =的内点⇒存在)(0x f 的一个-*ε环境))((*))((00x f O x f O ⊂=ε，⇒对于0*>ε，存在0>N ，当N n >时，))((*))(()(00x f O x f O x f n ⊂∈ε， ⇒存在0>N ，当N n >时，))(()(0x f O x f n ∈⇒矛盾【N 由*ε决定，*ε由))((0x f O 决定】第三节 线性算子1、 算子⑴、定义：算子＝映射⑵、定义：泛函＝取值于实数域或者复数域的算子2、 线性算子⑴、定义：假设：=Y X ，实数域F 上的线性空间X D =的子空间Y D T →=的映射如果：T 满足条件：D F k k T k T k k k T ∈∀∈∀+=+βαβαβα，，，，212121)()()(则称：=T 线性算子并称：T D =的定义域，T D x Tx TD =∈=}|{的值域⑵、定义：如果：=T 线性算子并且：F TD ⊂则称：=T 线性泛函第四节 线性算子的有界性与连续性一、有界算子1、 连续定理⑴、定理：线性算子一点连续，处处连续⑵、描述：假设：=Y X ，赋范线性空间，X D =的一个子空间，Y D T →=的线性算子 如果：T 在D x ∈0连续那么：D T =上的连续算子⑶、证明：①：假设：x x D x n →∀⇒∈∀②：x x n →⇒对于0>∀ε，存在0>N ，当N n >时，ερ<)(x x n ，||||)(x x x x n n -=，ρ【=X 赋范线性空间】||||)(00x x x x x x n n -=+-，ρ⇒对于0>∀ε，存在0>N ，当N n >时，ερ<+-)(00x x x x n ，00x x x x n →+-⇒③：T 在0x 点连续00)(Tx x x x T n →+-⇒【等价定理①⇒③】00Tx Tx Tx Tx n →+-⇒【=T 线性算子】Tx Tx n →⇒【=Y 赋范线性空间】T ⇒在x 点连续【+∀n x 等价定理③⇒①】T ⇒在D 上处处连续【x ∀】。

.第一章实分析概要本章将简要的介绍数学分析与实变函数的一些根底知识，特别是点集的勒贝格测度与勒贝格积分理论。

这些知识不仅是学习泛函分析的必要准备，而且在数学及其它学科中有直接的应用。

第一节集合及其运算第二节实数的完备性第三节可数集与不可数集第四节直线上的点集与连续函数第五节点集的勒贝格测度与可测函数. 1.第六节勒贝格积分第一节集合及其运算1〕A∪A A,A∩A A;2〕A∪ ΦA,A∩ ΦΦ；3〕假设A⊂B，则A∪B B,A∩B A,A\BΦ；4) 设*为根本集，则A ∪ A C * , A ∩ A CΦ, ( A C)C A, A \B A ∩ B C又假设A⊂B，则A C⊃B C。

集合的运算法则：2交换律 A ∪ B B ∪ A, A ∩ B B ∩ A ；结合律( A∪B) ∪C A∪ (B∪C) A∪B∪C；( A∩B) ∩C A∩ (B∩C) A∩B∩C；分配律( A∪B) ∩C ( A∩C) ∪ (B∩C) ；( A∩B) ∪C ( A∪C) ∩ (B∪C) ；( A \ B) ∩C ( A∩C) \ (B∩C) .定理1.1 设*为根本集，Aα为任意集组，则1) ( U Aα )C I ( Aα )C (1.6)α∈I α∈I2) ( I Aα )C U ( Aα )C (1.7)α∈I α∈IA \ ( A \ B) A I B3第二节实数的完备性2.1有理数的稠密性2.2实数的完备性定理定义2.1(闭区间套)设{[a n ,b n ]}(n 1,2,L, ) 是一列闭区间，a n b n，如果它满足两个条件：1〕渐缩性，即[a1,b1]⊃[a2,b2]⊃L⊃[a n,b n]⊃L;2) 区间长度数列{b n− a n }趋于零，即lim(b n−a n)0n→∞4定理2.1 (区间套定理)设{[a n ,b n ]} 为实数轴上的任一闭区间套，其中a n与b n都是实数，则存在唯一的一个实数ξ属∞于一切闭区间[a n ,b n ](n 1,2,L) ，即ξ∈ ∩[a n ,b n ]，并且n 1lim a n lim b nξn→∞n→∞利用区间套定理，可以直接推出所谓的列紧性定理〔定理 2.2〕，这个定理的名称的含义在第二章中解释。

《泛函分析》复习与总结第一部分 空间及其性质泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。

以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。

一．空间（1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：(,)X ρ称为是距离空间，如果对于,,x y z X ∈(i) 【非负性】(,)0x y ρ≥，并且(,)0x y ρ=当且仅当x y =【正定性】；(ii) 【对称性】(,)(,)x y y x ρρ=；(iii) 【三角不等式】(,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+。

距离空间的典型代表：s 空间、S 空间、所有的赋范线性空间、所有的内积空间。

（2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数）！验证范数的三个条件：(,||||)X ⋅称为是赋范线性空间，如果X是数域K =¡（或K =£）上的线性空间，对于a K ∈和,x y X ∈，成立(i) 【非负性】||||0x ≥，并且||||0x =当且仅当0x =【正定性】； (ii) 【齐次性】||||||||||ax a x =⋅；(iii) 【三角不等式】||||||||||||x y x y +≤+。

赋范线性空间的典型代表：n ¡空间（1,2,3,n =L ）、n £空间（1,2,3,n =L ）、p l 空间（1p ≤≤∞）、([,])p L ab 空间（1p ≤≤∞）、[,]Cab 空间、[,]k C a b 空间、Banach 空间、所有的内积空间（范数是由内积导出的范数）。

（3）内积空间 （线性空间 + 内积）！验证内积的四个条件：(,(,))X ⋅⋅称为是内积空间，如果X 是数域K =¡（或K =£）上的线性空间，对于a K ∈和,,x y z X ∈，成立(i) 【非负性】(,)0x x ≥，并且(,)0x x =当且仅当0x =【正定性】；(ii) 【第一变元可加性】(,)(,)(,)x y z x z x z +=+；(iii) 【第一变元齐次性】(,)(,)ax z a x z =；(iv) 【共轭对称性】(,)(,)x z z x =。

泛函分析讲义第二版课后答案第一章函数的概念1.定义函数：函数是一种特殊的数学关系，它把一个或多个自变量映射到一个或多个因变量。

它可以用来描述物理现象、经济关系、社会现象等。

2.定义函数的基本要素：函数的基本要素包括：自变量、因变量、函数表达式、函数图像。

3.定义函数的基本性质：函数的基本性质包括：单调性、可导性、可积性、可级数展开性、可积分性、可极限性、可微分性、可反函数性。

4.定义函数的基本概念：函数的基本概念包括：定义域、值域、增函数、减函数、奇函数、偶函数、有界函数、无界函数、连续函数、间断函数、有穷函数、无穷函数、可积函数、不可积函数、可微分函数、不可微分函数、可反函数函数、不可反函数函数。

第二章函数的极限1.定义极限：极限是指当自变量的值趋近于某一特定值时，函数的值趋近于某一特定值。

2.定义极限的基本性质：极限的基本性质包括：极限的存在性、极限的结合性、极限的分配性、极限的交换性、极限的绝对值性质、极限的恒等性、极限的连续性。

3.定义极限的基本概念：极限的基本概念包括：极限的定义、极限的计算、极限的应用、极限的性质、极限的极限点、极限的极限线、极限的极限面、极限的极限空间。

第三章函数的微分1.定义微分：微分是指求函数的导数，即求函数在某一点处的切线斜率。

2.定义微分的基本性质：微分的基本性质包括：微分的存在性、微分的结合性、微分的分配性、微分的交换性、微分的绝对值性质、微分的恒等性、微分的连续性。

3.定义微分的基本概念：微分的基本概念包括：微分的定义、微分的计算、微分的应用、微分的性质、微分的微分点、微分的微分线、微分的微分面、微分的微分空间。

泛函分析知识总结汇总
一、函数的概念
函数是把特定的输入映射到特定的输出的规律。

常用的函数有：实数
函数、复数函数、多元函数和函数序列等。

二、函数的极限
极限是指当自变量的值向其中一数趋近时，函数的值向另一数趋近。

极限可以用来推导函数的行为，它也对定义微积分有着重要的意义。

三、函数的微分
微分是指将函数的变量的值变化一点点，函数值也发生一点点的变化。

微分是运用微积分最基本的操作，也是后续科学研究的基础。

四、函数的积分
积分是指将函数的不断变化的变量值，加以积分，求出函数的总积分，又称为定积分。

在实际应用中，经常使用积分来解决一些问题，如了解随
机变量的概率分布、求参数方程的解等。

五、函数的反函数
反函数就是由变量x的函数f(x)的一个变量y取得，满足条件
f(x)=y的一个函数。

反函数也是函数的一种，它的研究也是微积分的重
要内容之一
六、函数的条件积分
条件积分是指由两变量函数给定的函数在满足其中一种条件的情况下，确定它的积分。

在现实应用中，条件积分也是常用的一种积分方法，用以
求解参数方程的解等。

七、函数的级数
级数是由一系列的数序列组成的，并且它们满足其中一特定的规律。

泛函知识点总结一、泛函的基本概念1.1 泛函的定义泛函是函数的一个推广概念，它是对函数的一种广义的抽象和概括。

在数学中，泛函一般被定义为一个把函数空间中的函数映射到实数域或复数域的映射，这种映射被称为泛函。

泛函可以看作是一个“函数的函数”，它对函数进行了更高级别的抽象和泛化。

1.2 泛函的表示泛函通常用一般形式的积分或者其他函数操作来表示，这样的表示形式更加抽象和一般，可以适用于更广泛的函数空间和函数类别。

例如，一个泛函可以表示为关于函数f(x)的某种积分形式，如：\[J[f]=\int_{a}^{b} L(x,f(x),f'(x))dx\]其中L(x,f(x),f'(x))是关于函数f(x)及其导数的某种函数，称为被积函数，这种形式的泛函被称为积分型泛函。

1.3 泛函的性质泛函具有一般函数所具有的性质，如可微性、极值性、泛函空间的完备性等。

另外，泛函还具有一些特有的性质，如泛函运算的线性性、变分性等。

这些性质对于泛函的研究和分析具有重要意义。

二、泛函的理论基础2.1 变分法变分法是泛函研究的重要方法和基础理论，它是求解泛函的极值问题的一种基本工具。

变分法通过对函数的微小变动进行分析，得到泛函的极值条件和解的存在唯一性等结论，它在物理学、工程学等领域中具有重要应用。

2.2 泛函空间泛函空间是泛函分析的基本研究对象，它是一种特殊的函数空间，其中的元素是泛函。

泛函空间通常具有一定的结构和性质，如线性空间结构、度量空间结构等，它是研究泛函和泛函运算的重要工具和理论基础。

2.3 函数空间的拓扑结构函数空间是泛函空间的特殊情况，它是泛函研究中的另一个重要对象。

函数空间通常具有一定的拓扑结构，如紧性、连续性、收敛性等，这些拓扑性质对于泛函的收敛性和连续性等问题具有重要意义。

2.4 泛函分析的基本理论泛函分析是对泛函和泛函空间进行研究和分析的一个重要分支，它是泛函研究的基本理论之一。

泛函分析主要研究泛函空间的结构、性质和运算规律等问题，它为泛函的研究和应用提供了重要的理论基础和工具。

度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。

泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。

一、度量空间的进一步例子1、度量空间设x 是一个集合，若对于x 中任意两个元素x,y ,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°的充要条件为x=y 2°对任意的z 都成立， 则称 d(x,y) 是 x,y 之间的距离，称 d(x,y)为度量空间或距离空间。

x 中的元素称为点。

2、常见的度量空间（1）离散的度量空间 设 x 是任意的非空集合，对 x 中的任意两点 ，令 称为离散的度量空间。

（2）序列空间S令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中的任意两点令 称 为序列空间。

（3）有界函数空间B(A ）设A 是一个给定的集合，令B(A)表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B(A)中任意两点x,y ，定义（4）可测函数空间设M(X)为X 上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m 为勒贝格测度，若 ，对任意两个可测函数 及 由于 ，所以这是X 上的可积函数。

令 （5）C[a,b]空间令C[a,b] 表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，对 C[a,b]中任意两点x,y ，定义二、度量空间中的极限、稠密集、可分空间1、收敛点列设 是（X ，d ）中点列，如果存在 ，使 则称点列是（X ，d ） 中的收敛点列，x 是点列 的极限。

收敛点列性质：（1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯一的。

（2）M 是闭集的充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。

(,)0,(,)0d x y d x y ≥=(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+,x y X ∈1,(,)0,if x y d x y if x y ≠⎧=⎨=⎩(,)X d 1212(,,...,,...),(,,...,,...),n n x y ξξξηηη==1||1(,)21||i i i i i i d x y ξηξη∞=-=+-∑(,)S d (,)sup |()()|t A d x y x t y t ∈=-()m X <∞()f t ()g t |()()|11|()()|f tg t f t g t -<+-|()()|(,)1|()()|X f t g t d f g dt f t g t -=+-⎰(,)max |()()|a t b d x y x t y t ≤≤=-{}n x x X ∈lim (,)0n n d x x →∞={}n x {}n x2、收敛点列在具体空间中的意义（1）n 维欧式空间中：为 中的点列， 即：按欧式距离收敛于x 的充要条件是 依坐标收敛于（2）序列空间S 中：为 S 中的点列，（3）C[a,b]空间设 及X 分别为C[a,b] 中的点列及点，（4）可测函数空间M(X)设 及 f 分别为可测函数空间中的点列及点，3、稠密集，可分空间（1）设X 是度量空间，E 和M 是X 中的两个子集，令 表示M 的闭包，如果 ，那么称集M 在集E 中稠密。

泛函分析知识点知识体系概述（一）、度量空间和赋线性空间 第一节 度量空间的进一步例子1.距离空间的定义：设X 是非空集合，若存在一个映射d ：X ×X →R ，使得∀x,y,z ∈X,下列距离公理成立：（1）非负性：d(x,y)≥0，d(x,y)=0⇔x=y;（2）对称性：d(x,y)=d(y,x);（3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);则称d(x,y)为x 与y 的距离，X 为以d 为距离的距离空间，记作（X ，d ） 2.几类空间例1 离散的度量空间 例2 序列空间S例3 有界函数空间B(A) 例4 可测函数空M(X)例5 C[a,b]空间 即连续函数空间 例6 l 2第二节 度量空间中的极限，稠密集，可分空间 1. 开球定义 设（X,d ）为度量空间，d 是距离，定义U(x 0, ε)＝{x ∈X | d(x, x 0) <ε}为x 0的以ε为半径的开球，亦称为x 0的ε一领域. 2. 极限定义 若{x n }⊂X, ∃x ∈X, s.t. ()lim ,0n n d x x →∞= 则称x 是点列{x n }的极限.3. 有界集定义 若()(),sup ,x y Ad A d x y ∀∈=<∞，则称A 有界4. 稠密集定义 设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令M 表示M 的闭包，如果E M ⊂,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时称M 为X 的一个稠密集。

5. 可分空间定义 如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。

第三节 连续映射1.定义 设X=(X,d),Y=(Y, ~d )是两个度量空间，T 是X 到Y 中映射，x0X ∈,如果对于任意给定的正数ε，存在正数0δ>，使对X 中一切满足()0,d x x δ<的x ，有()~0,d Tx Tx ε<，则称T 在x 连续.2.定理1 设T 是度量空间（X,d ）到度量空间~Y,d ⎛⎫ ⎪⎝⎭中的映射，那么T 在0x X∈连续的充要条件为当()0n x x n →→∞时，必有()0n Tx Tx n →→∞3.定理2 度量空间X 到Y 中的映射T 是X 上连续映射的充要条件为Y 中任意开集M 的原像1T M -是X 中的开集.第四节 柯西（cauchy ）点列和完备度量空间1.定义 设X=(X,d)是度量空间，{}n x 是X 中点列，如果对任意给定的正数0ε>，存在正整数()N N ε=,使当n,m>N 时，必有(),n m d x x ε<，则称{}n x 是X 中的柯西点列或基本点列。