郑州大学2008至2009学年第一学期线性代数期末考试试题A

北京师范大学珠海分校2007-2008学年第一学期期末考试（A ）答案开课单位： 应用数学系 课程名称： 线性代数 任课教师：__李兴斯 考试类型：_ 闭卷_ 考试时间：__120 __分钟 学院___________ 姓名___________ 学号______________ 班级____________试卷说明：（本试卷共4页，满分100分）------------------------------------------------------------------------------------------------------一、 填空（每空3分，共30分）1、行列式123456____0_____789=2、行列式sin cos cos sin _______+-=-32323302xxxx 3、设行列式 -5 11 1 31 0 2D =1，则+=21232A A 04、设A ，B 均为三阶方阵且||,||A B ==65，则||______=30AB5、设A 为3阶方阵，且A =3，则A -=13 96、设矩阵A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭11111101101，则A 的秩()R A = 3 7、已知4阶矩阵A 的伴随矩阵的行列式8=*A ，则=A 28、向量组,,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1234111110221002αααα线性相关还是无关 线性相关试卷装订线9、设向量()(),,,,,x αα==1212369线性相关，则___3____=x10、设4元方程组=0Ax 的系数矩阵A 的秩为2，则其解向量的秩应为 2二、选择题（每小题3分，共15分）1、行列式197621962394180第3行第2列元素的代数余子式A =32（ D ）（A ）3； （B ）6； （C ）9； （D ）12。

2、若1112131112131212223221222331323331323323,2323a a a a a a D a a a D a a a a a a a a a ==，则()21=D C D（A ）2； （B ）4； （C ）6； （D ）8。

2007~2008学年第二学期《线性代数》A 卷参考答案及评分标准一、单项选择（每小题2分，共20分）请将正确选项前的字母填入下表中1、2-。

2、159206915-⎛⎫⎪-⎝⎭。

3、4。

4、213/21/2-⎛⎫⎪-⎝⎭。

5、 3 。

6、3。

7、 0 。

8、2。

9、1/λ。

10、222123122344x x x x x x x ++++ 三、计算题（1、2每小题6分，其余每小题6分，共40分）1、解：212223242322A A A A +++=1222232********* ……3分122201220011001---=1=- ……6分2、解：由AX A X =+有()A E X A -=()1002001002001101200101201111120112A E A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ……4分 200120012X ⎛⎫⎪∴=- ⎪ ⎪-⎝⎭……6分 3、解：由225A A E O --=有()()32A E A E E -+= ……3分320A E A E -+=≠有30A E -≠ 所以3A E -可逆 ……6分 且11(3)()2A E A E --=+ ……7分4、解：()1234310111512112370122318100001397000TTTTαααα⎛⎫ ⎪--⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭……3分 ∴1234,,,αααα线性相关，1234(,,,)2R αααα=，12,αα是它的一个极大无关组，……4分且31241237, 222αααααα=-=+. ……7分5、解：矩阵A 的特征方程为0)1)(2(163530642=--=-+--=-λλλλλλA E得特征值 12321==-=λλλ ……3分当21-=λ时有⎩⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+=--00,036303306632313212121x x x x x x x x x x x 即它的基础解系是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111，所以对应于21-=λ的全部特征向量是)0(111≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-c c ……5分当132==λλ时有 02,6306306321212121=+⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=--x x x x x x x x 即它的基础解系是向量⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100012及，所以对应于132==λλ的全部特征向量是不全为零）2121,(100012c c c c ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- ……7分6、解： 22020021201002000410011201001201001A E -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪⎪⎪⎪-⎛⎫=→⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……3分112012001P -⎛⎫⎪∴=- ⎪ ⎪⎝⎭……6分 222123123(,,)24f x x x y y y=-+ ……7分 四、证明题（每题5分，共10分）1、证明：由 AB O = 有 12(,,,)s A X X X O = 即12(,,,)s AX AX AX O = 得i AX O = ()1,2,i s =即i X 为A X O =的s 个解 ……2分 显然12()(,,,)()s R B R X X X n R A =≤-即()()R A R B n +≤ ……3分 2、证明：()123,,3R ααα= ，()1234,,,3R αααα= 123,,ααα 线性无关 1234,,,αααα线性相关 则有 4112233m m m αααα=++ 成立 ……2分 设 112233454()0k k k k ααααα+++-=有 112233454112233()0k k k k k m m m ααααααα+++-++= 1411242234334()()()0k k m k k m k k m kαααα-+-+-+=……3分 ()1235,,,4R αααα=1235,,,αααα 线性无关则有141242343400k k m k k m k k m k -=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪=⎩ 解之有 12340k k k k ==== ……4分故 12354,,,ααααα-线性无关 即12354(,,,)4R ααααα-=……5分。

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2008-2009学年第2学期 考试科目： 线性代数考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 评阅人试卷说明: T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，1A -表示矩阵A 的逆矩阵，A 表示方阵A 的行列式, R (A )表示矩阵A 的秩, I 是单位矩阵.一. 选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内1. 设n B A 均为,阶方阵，满足等式0=AB ，则必有( C )(A) 0=A 或 0=B(B) 0=+B A () 0||=A 或 0||=B(D) 0||||=+B A2. 已知,,A B C 均为n 阶可逆方阵，且ABC I =，则下列结论必然成立的是( C )(A) ACB I = (B) BAC I = () BCA I = (D) CBA I =3．设有n 维向量组（Ⅰ）：12,,,r ααα 和（Ⅱ）：12,,,()m m r ααα> ，则( B )(A) 向量组（Ⅰ）线性无关时，向量组（Ⅱ）线性无关() 向量组（Ⅰ）线性相关时，向量组（Ⅱ）线性相关 (C) 向量组（Ⅱ）线性相关时，向量组（Ⅰ）线性相关 (D) 向量组（Ⅱ）线性无关时，向量组（Ⅰ）线性相关4．设n 元齐次线性方程组AX =0的系数矩阵A 的秩为r ，则AX =0有非零解的充分必要条件是( B )5. Matlab 软件中, 在命令窗口输入[1:3][321]'*, 显示ans=( D )二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）6. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010021A ，则=-1A120010001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． (A) r=n() r<n(C) r ≥n(D) r>n(A) 7 (B) 8 (C) 9 () 107. 设t ηηη,,,21 及t t ηληληλ+++ 2211都是非齐次线性方程组b A =X 的解向量，则=+++t λλλ 21______1__________.8. 矩阵20002023A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵10002000B b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似, 则a b += . 9. 设123,1,1),0,2,3),1,0,1),k ααα===（（（则当k = 时，α1,α2,α3 线性相关.10.设A 为三阶方阵，其特征值2,1,3,- 则*A = ．11.已知二次型222123112132233(,,)2245f x x x x tx x x x x x x x =+-+++正定, 则t 的取值范围为 ．三、计算题12.(7分) 已知100110,021A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭131011,002B ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭求:2T A AB +13.（8分）计算下列行列式3214214314324321四、解方程组14. (10分)求方程组123412341234311232x x x xx x x xx x x x⎧⎪--+=⎪-+-=⎨⎪⎪--+=-⎩的通解.五、解答题15.（10分）求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：a1=(1, 2,-1, 4)T,a2=(9, 100, 10, 4)T, a3= (-2,-4, 2,-8)T．16. (8分) 已知1121 342 012A--⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭，求A的伴随矩阵*A．17.(12分) 设212122221A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求一个正交阵P ，使1P AP -=Λ为对角阵．六、证明题18.(6分) 设向量组322211,a a b a a b +=+= 433,a a b += 144,a a b +=, 证明向量组4321,,,b b b b 线性相关.2008—2009第二学期《线性代数》（A ）参考答案和评分标准一. 选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1. C2. C3. B4. B5. D二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）6. 120010001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭ 7. 18. 8 9. -1/2 10. 36 11. 405t -<<三、计算题12.T T A AB A E B 2(2)+=+=1001001001102010310021001112⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪ ⎪-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3分100300110330021114⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 5分 300030754⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭7分 13.将行列式第2、3、4列加到第1列上，得3214214314324321=32110214101431043210=101110222031104321------ 4分=10400440311--- 6分=160 8分14.11110111101111011131002410024111231/200121/200000⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪ ⎪--→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4分 x x x x x x 1234340241--+=⎧⎨-=⎩，x x x x x x x x 1324132431-=-⎧⎨+=++⎩， 5分 取x x 2400⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得*120120η⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 6分取x x 2410,01⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，x x 1311,02⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 8分 得齐次方程组基础解系为121110,0201ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 9分通解为x x k kx x 12123411120101022010⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭10分 15. 192192192210040820010110201900004480320000A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦6分rank(A)=2 7分 所以向量组的秩为2． 8分 a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T 不成比例，所以 a 1，a 2为最大无关组. 10分16. 因为1*1,||A A A -=2分*1111||||A A AA A ---==4分 1||1A -=- 6分*1||1*A A -=-=121342012--⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭8分17.123(1)(1)(5),1,1,5A E λλλλλλλ-=-+--=-==， 3分对应于11λ=-，由 ()0A E x += 得111122ξ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，得111162p -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭； 6分 对应于21λ=，由 ()0A E x -= 得2110ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，得211120p -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 8分 对应于35λ=，由 (5)0A E x -= 得3111ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，得311131p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 10分 11162311162321063P ⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，有1100010005TP AP P AP --⎛⎫⎪==Λ= ⎪ ⎪⎝⎭． 12分18. 设有4321,,,x x x x 使得044332211=+++b x b x b x b x即0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 3分整理得 01100011000111001)(43214321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x a a a a 4分而011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x x x 有非零解，所以结论成立 6分。

2008-2009第一学期《线性代数》试卷（A 卷） 一、填空题（每小题4分，共20分）1、若n 阶方阵A 满足E A =2009，则_____1=-A 。

2、已知三阶行列式||A 的第一行各元素及其余子式均为1，则____||=A 。

3、若三维向量组),1,1(),1,,1(),1,1,(c b a 为正交向量组，则向量____),,(=c b a 。

4、设A 是54⨯矩阵，B 是45⨯矩阵，且2)(=A r ，B 的列向量都是0 =x A 的解，则____)}({max =B r B。

5、设21,ηη 是四元线性非齐次方程组b x A =的两个不同的解，3)(=A r ，则b x A =的通解为___=x 。

二、选择题（每小题4分，共20分）1、设B A ,均为n 阶方阵，且O AB =，则必有（ ）。

(A) O A =或O B = (B) O BA = (C)0||=A 或0||=B (D) BA AB =2、n 维向量组m a a a ,,,21)3(n m ≤≤线性无关的充要条件是（ ）。

(A) m a a a ,,,21中任意两个向量均线性无关(B) 向量组m a a a ,,,21的秩小于m(C) m a a a,,,21中任意一个向量均不能由其余1-m 个向量线性表示 (D) 方程组02211 =+++m m a x a x a x 有非零解3、方程组0321=++x x x 的一个基础解系为（ ）。

(A) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011,000 (B)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101,011 (C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110,011,101 (D) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111,011 4、已知A 为三阶实对称阵，且1)(,2==A r A A ，则A 的特征值为（ ）。

(A) 0,0,0 (B) 1,0,0 (C) 1,1,0 (D) 1,1,15、下列矩阵中不能．．相似于对角阵的是（ ）。

郑州大学2008至2009学年第一学期线性代数期末模拟试题郑州大学软件学院《线性代数》课程试题2008-2009学年第一学期（【模拟试卷】）（适用专业：考试时间：）合分人：复查人：一、填空题：【每空 2 分，共 16 分】分数评卷人1．设A 为4阶方阵且＝3，则＝; =48.2．设A ＝，则＝;3．设A ，B 均为n 阶方阵，且R （A ）＝2，R （B ）＝n,则R （AB ）=___2_____;题号一二三四五六七总分分数4．设A为可逆方阵，k为实数，则kA为可逆矩阵的充要条件是____k≠0_______;5．实对称阵的属于不同特征值的特征向量必___正交_________;6．设A与B合同，则R（A）___＝_____R(B);7．与二次f(=对应的实对称阵有___1______个正的特征值。

分数评卷人二、是非判断题：（正确打√，错误打×）【每空 2 分，共 10 分】1．设的第1、2、。

9列分别是的第9、8.。

1列，且A与B 均为9阶方阵，则＝（∨）；2．设A与B是同阶方阵，若＝，则A＝B （×）；3.任意方阵都与n阶对角阵相似。

（×）；4.若方程组A=导出组A=有无穷多解，则A=必有无穷多解（×）；5.若A与B为同阶正定阵，则A与B必合同。

（∨）。

分数评卷人三、【，共 26 分】1.计算D＝（8分）D＝＝＝9＝9×＝9 2.求满足方程的矩阵X（10分）X＝3.确定参数t,使得矩阵A＝的一个特征值为1（8分）=9(6-)=0t=±分数评卷人四、（共 10 分）设向量组：＝（1，3，－1，2），＝（2，1，4，－3），＝（0，5，－6，7），＝（3，4，3，－1）.问，，，是否线性相关？若线性相关，求其极大无关组并将其余向量用该无关组线性表出。

(,,,)=→，，为最大无关组，＝3－分数评卷人五、（共 10 分）当a,b取何值时，方程组：有解？在有解的情况下，求它的通解。

XXX 学年期末考试试卷《线性代数》期末考试题及详细答案（本科A 、B 试卷）A 卷一、填空题 （将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）。

1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12DD OO=_____________。

2、四阶方阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。

3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。

4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。

5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。

二、单项选择题 （每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，每小题2分，共20分）。

1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立，则x 是：课程代码： 适用班级：命题教师：任课教师：（A ）-2或3； （B ）-3或2； （C ）-2或-3； （D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为： （A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+； B ）()()22A B A+B =A B --； （C ）()()2A E=A E A+E --； （D ）()222AB =A B ； 3、设A 为可逆n 阶方阵，则()**A=？（A ）A E ； （B ）A ； （C ）nA A ； （D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵：（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭； （B ）100010011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭； （C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； （D ）010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；5、下列命题正确的是：（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=，则1,α2α，，m α 线性无关； （B ）向量组1,α2α，，m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关； （D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。

郑州大学软件学院《微积分上》课程考试题2008-2009学年第一学期期末试题合分人： 复查人：一、求下列极限（每小题5分，共20分） 1. ()111limcos 1xx x xe x -→-=--2. ()()21ln 10lim cos x x x +→=3. 01lim cot x x x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭4.21cos x t dt →-=二．求下列函数的导数或微分（每小题5分，共20分） 1．设()()()F x x a f x =-，其中()f x 为连续函数，求().F a '2．设函数()x y y =由方程()22y f x y =+确定，其中()f t 具有一阶连续导数，求.dy3．设()ln sin 0,xx y x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭求.y '4．求方程220y y y '''++=的通解.三．求下列积分（每小题6分，共30分） 1. 411dx x =-⎰2. 2=郑州大学软件学院____________________专业_____________ 班 姓名_______________学号______________________密 封 线 内 不 要 答 题———————————密———————————————封———————————————线————————————3. 220sin sin 21cos x xdx xπ+=+⎰4. 设()0,ln x f x >=求()22.xf x dx -'⎰5.()2111ln dx x x +∞=+⎰四．求解下列各题（共10分）讨论方程12x xe e-=的根的个数.五．设()f x 有连续导数，且()()()2220x f x xt f t dt x '=-+⎰（1），求()f x （共10分）六.求曲线ln y x =与与x 轴及直线x e =所围图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周所生成的立体的体积.（10分）———————————密———————————————封———————————————线————————————密 封 线 内 不 要 答 题郑州大学软件学院《微积分上》课程考试题 2008-2009学年第一学期期末参考答案一、（每小题5分，共20分）1．()()()ln 11111111ln lim lim lim cos 1cos 1cos 1x x x x x x x x x x e x x e x e x e x ---→→→---==------ ()11l n 1l i m 1s i n 1x x x e x -→--==-+- .()()()()22cos 111ln 1cos 1ln 1002.lim cos lim 1cos 1x x x x x x x x -+-+→→⎧⎫=+-⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭()2cos 11ln 12.x x e e --+==其中，()2200cos 112limlim .2ln 1x x x x x x →→--==-+ 20000111tan tan 3.lim cot lim lim lim tan tan x x x x x x x x x x x x x x x→→→→--⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222000s e c 1t a n l i ml i m l i m 0.222x x x x x x x xx →→→-====()220001cos 1cos 124.lim lim .451022x x x x xt dt x x x x →→→→--====++二．（每小题5分，共20分）.1．解：()()()()()()()limlim lim x a x a x a F x F a x a f x F a f x f a x a x a→→→--'====--.2． 解：方程两边同时关于x 求导，得：()()2222.y f x yx y y '''=++ (1)所以， ()()2222212xf x y y yf x y '+'='-+ (2)故 ()()22222.12xf x y dy dx yf x y'+='-+3．解：两边取对数，得：2ln ln .lnsin ln .y x x x =- 上式两边同时关于x 求导，得：11c o s1.l n s i n l n .2.l n .s i n x y x x x y x x x'=+- 所以 11.lnsin ln .cot 2.ln y y x x x x x x ⎡⎤'=+-⎢⎥⎣⎦ln sin 11..lnsin ln .cot 2.ln .xx x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4．解：特征方程为 2220r r ++=，特征根为1r i =-±，故通解为 ()12cos sin .x y e C x C x -=+ 三．（每小题6分，共30分）42222111111111.12112121dx dx dx dx x x x x x⎛⎫=+=+ ⎪--+-+⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 111l n.a r c t a n.412x x C x+=++-22112.x -+==-+11arcsin arcsin arcsin .22x x C x C =++=+另解：令sin ,x t =则cos ,dx tdt =原式22sin 1cos21.cos sin sin2cos 224t t t tdt tdt dt t C t -====-+⎰⎰⎰ 郑州大学软件学院____________________专业_____________ 班 姓名_______________学号______________________密 封 线 内 不 要 答 题———————————密———————————————封———————————————线————————————11sin .cos arcsin .222t t t C x C =-+=+ 3.222222000sin sin2sin sin21cos 1cos 1cos x x x x dx dx dx xx x πππ+=++++⎰⎰⎰ 其中 ()()22222000sin 1cos arctan cos 1cos 1cos 4|x dx d x x x x ππππ=-=-=++⎰⎰； ()()22222000sin211cos ln 1cos ln2.1cos 1cos |x dx d x x x xπππ=-+=-+=++⎰⎰ 所以，220sin sin 2ln 2.1cos 4x x dx x ππ+=++⎰4.解：因为()()ln 0.f x x > 故()()2,0xf x e x -==>.()()()()22222222|xf x dx xdf x xf x f x dx ----'==-⎰⎰⎰()()()()221122222224.|xx f f e dx e e ee ------=+--=++=⎰5()()()()2211111.ln arctan ln .21ln 1ln |dx d x x x x x π+∞+∞+∞===++⎰⎰ 四．共10分） 解： 令()()1,0,2x f x xe x e-=-∈+∞，则()()1x x x f x e xe x e ---'=-=- 令()0,f x '=得唯一驻点 1.x =因为当(),1x ∈-∞时，()0;f x '>而当()1,x ∈+∞时，()0.f x '< 因此 ()111122f e e e-=-=为函数的最大值. 又()011lim lim ;22x x x f x xe e e++-→→⎛⎫=-=⎪⎝⎭ ()11111l i m l i m l i m l i m .2222x x x x x x x x x f x e e e ee e e →+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫=-=-=-=- ⎪⎝⎭ 综合以上信息可以画出函数()12x y f x xe e-==-之草图. 从图易见方程12x xe e-=恰有两根. 五．（共10分）解：由（1）式显然得()00.f =()()()2220x xf x x f t dt t f t dt x ''=-+⎰⎰ (2)(2)式两边关于x 求导，得 ()()()()2222xf x xf t dt x f x x f x x ⎡⎤''''=+-+⎢⎥⎣⎦⎰即 ()()022xf x x f t dt x ''=+⎰即()()22f x xf x x '=+ ，也就是 ()()22f x xf x x '-= （3）此为一阶线性微分方程，故其通解为()()222222xdx xdx x x f x e xe dx C f x e xe dx C ----⎡⎤⎰⎰⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 2221x x x e eC C e -⎡⎤=-+=-⎣⎦（4） 将()00.f =代入（4）式，得1C =，所以()21x f x e =-.六.（10分）解：（一） 22111ln ln 2ln |ee e x V xdx x x xdx ππ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦⎰⎰()()1112ln 2.ln 12212.|ee ee xdx e x x dx e e e e πππππππ⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦=-+-=-⎰⎰ （二）2211112ln 2ln 2.ln 222|eee e y x x x V x xdx xd x dx πππ⎛⎫⎡⎤===- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰()()22222111.222|e x e e e e πππππ=-=--=+———————————密———————————————封———————————————线————————————密 封 线 内 不 要 答 题。

郑州大学软件学院《线性代数》课程试题2008-2009学年第一学期（B 卷）（适用专业： 考试时间：）一、填空题：（每空3分，共15分）1．设A 是3阶方阵，A ＝21，则12-A ＝____________;2．设A ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ，则*A ＝_________________; 3.设A 为5×3矩阵，则方程组A X＝β 有唯一解的充要条件是__________________;4．方阵A 的属于不同特征值的特征向量必___________________; 5．若方阵A 与B 合同，则R （A ）________R(B) (＝或≠).二、计算下列各题（每题10，共20分）1． D ＝2605232112131412- 2.设 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--X 632111112111，试求矩阵X三、 （共 15 分）设有向量组：1α ＝（1，0，2，1）， 2α ＝（1， 2，0，1）3α ＝（2，1，3，0） 4α＝（2，5，－1，4）5α＝（1，－1，3，－1）四、（15分）设线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-+-=++-tx x x x x x x x x x x x 43214321432133631212 试求t ,使方程组有解并求其通解五、 （ 20 分）设实对称阵 A ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111111 ，求正交矩阵T ，使Λ=AT T =AT T -/1 为对角阵。

六、证明题：（共15分）1.（8分）设向量组1α ， 2α ， 3α线性无关，证明：1α＋2α，2α＋3α ，3α ＋1α也线性无关。

2.（7分）设方阵A 满足矩阵方程 O =E -A -A 22，证明：A 可逆并求1-A。