liu10-4重积分的应用
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§10.4 重积分的应用
π
z
∫∫∫ zdxdydz
o
3 1 2 = h (3 h + h ) 9 2 5 60 30h + 4h2 ∴ z =h 2 90 40h + 5h
3
x
π
21
四,物体的转动惯量
因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数
z 2 z 2 1+ ( ) + ( ) d x d y x y
A= ∫∫
D
若光滑曲面方程为 x = g( y, z) , ( y, z) ∈Dy z ,则有
Dy z
9
若光滑曲面方程为 y = h(z, x) , (z, x) ∈Dz x ,则有
A= ∫∫ Dz x
y 2 y 2 1+ ( ) + ( ) d zd x z x
A
(A 为 D 的面积)
18
例1. 求位于两圆 的质心.
和
之间均匀薄片
y
解: 利用对称性可知 x = 0 1 y = ∫∫ ydxdy 而 A D 1 = ∫∫ r 2 sinθ drdθ 3π D
4
C2 D
o
x
4sinθ 2 1 π 56 π 4 r d r = ∫ sin θ dθ = ∫ sinθ dθ ∫ 2sinθ 3π 0 9π 0
12
例6. 计算半径为 a 的球的表面积. 方法2 解: 方法 利用球坐标方程. 设球面方程为 r = a 球面面积元素为
z
asin
asindθ dθ
d A= a2 sin d dθ
∴
π 2 2π A= a dθ sin d 0 0 2
04重积分应用
元素பைடு நூலகம் 首页 上页 返回 下页 结束 铃
一、曲面的面积
曲面的面积元素 设曲面S的方程为zf(x y) f(x y)在 区域D上具有连续偏导数 设dA为曲面上点M处的面积元素 dA在xOy平面上的投影为小闭区域d 点 M 在 xOy 平面上的投影为点 P ( x y ) 因为点M处的法向量为n(fx fy 1) 所以
d
D
y
yd
D
d
D
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结束
铃
二、质心
设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y) 是闭区域D上的连续函数 则该平面薄片的质心坐标为
My x M
x(x, y)d
D D
Mx y M ( x , y ) d
显然 质心在 z 轴上 故x y 0
因为
zdv zdv 3 a z dv dv 8
所以质心坐标为(0, 0, 3a ) 8
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铃
三、转动惯量
设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y) 是D上的连续函数 则该平面薄片对x、y轴的转动惯量为
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P(x,y)
d
结束
铃
三、转动惯量
设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y) 是D上的连续函数 则该平面薄片对x、y轴的转动惯量为
I x y 2 (x, y)d I y x2 (x, y)d
D D
类似地 设一物体占有空间闭区域 其密度(x y z)是 上的连续函数 则该物体对于x、y、z轴的转动惯量为
一、曲面的面积
曲面的面积元素 设曲面S的方程为zf(x y) f(x y)在 区域D上具有连续偏导数 设dA为曲面上点M处的面积元素 dA在xOy平面上的投影为小闭区域d 点 M 在 xOy 平面上的投影为点 P ( x y ) 因为点M处的法向量为n(fx fy 1) 所以
d
D
y
yd
D
d
D
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二、质心
设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y) 是闭区域D上的连续函数 则该平面薄片的质心坐标为
My x M
x(x, y)d
D D
Mx y M ( x , y ) d
显然 质心在 z 轴上 故x y 0
因为
zdv zdv 3 a z dv dv 8
所以质心坐标为(0, 0, 3a ) 8
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三、转动惯量
设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y) 是D上的连续函数 则该平面薄片对x、y轴的转动惯量为
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P(x,y)
d
结束
铃
三、转动惯量
设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y) 是D上的连续函数 则该平面薄片对x、y轴的转动惯量为
I x y 2 (x, y)d I y x2 (x, y)d
D D
类似地 设一物体占有空间闭区域 其密度(x y z)是 上的连续函数 则该物体对于x、y、z轴的转动惯量为
重积分的应用
I z ( x y ) ( x , y , z )dv
2 2
x
x
y
2 2 2 2 [( x , y , z ) 到 l 的距离 ] )d (x I0 ( x , y ,z v, y , z )dv l ( x y z )
16
例 设一均匀的直角三角形薄板,两直角边长分别为 a,b,求这三角形对其中任一直角边的转动惯量.
2
b
y a (1 b )
D
0
0
1 3 x dx a b . 12
17
例 求由y 2 ax及直线x a(a 0)所围图形对直线
y a的转动惯量( 1).
解
y
I ( y ( a )) d
2 D
( x, y)
y 2 ax (a , a )
xa
o x
y
x2 y2 a2 , z a
在xy 平面上的投影域为 Dxy : x 2 y 2 a 2 ,
1 2 由 z ( x y 2 )得 a
2x 2y zx , zy , a a
6
1 2 由 z ( x y 2 )得 a
Dxy : x y a ,
解 由对称性知 A 4 A1 , (A1为第一卦限图形的面积,如图) 2 2 D1 xy : x y ax ( x , y 0) 曲面方程 z a 2 x 2 y 2 于是,
2 dA 1 z x z2 y dxdy a dxdy 2 2 2 a x y
2 A 1 x 2 x y z dydz
Dxy
Dzx ３．设曲面的方程为：y h( z, x), 投影域为
北林高数下10(4)-重积分的应用
O
极 坐 标
2 dS 1 z x z2 y dxdy ?
a x y O a cos 1 2 2 2 2 a 4 a 4a d d 2 2 0 a 0
D1 2 2 2
A 4
a
a x y
第 一 挂 限 图 形 a y
x 2 y 2 ax
Dxy
0
A
1 2 a 4 x 2 4 y 2 dxdy 2dxdy a D
xy
d
2
a
0
1 2 a 4 2 d 2 a 2 ...... a
13
例. 计算双曲抛物面 所截出的面积A .
被柱面
解: 曲面在 xOy 面上投影为 D : x 2 y 2 R 2 ,则
2
一、重积分在几何上的应用
1. 平面区域的面积 2. 体积
D d
D
z f ( x, y ) 0, ( x, y ) D.
D
则D上的曲顶柱体体积为: V f ( x , y )d 占有空间有界域的立体的体积: V d xd ydz
把定积分的元素法推广到重积分的应用中.
第四节
元 素 法
重积分的应用
重积分在几何上的应用
重积分在物理上的应用
1
1. 能用重积分解决的实际问题的特点: 分布在有界闭域上的整体量 所求量是 对区域具有可加性
2. 用重积分解决问题的方法: —— 用微元分析法 (元素法)建立积分式 3. 解题要点: 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便
1 3
令 x x0 cos , y y0 sin
π d d π
极 坐 标
2 dS 1 z x z2 y dxdy ?
a x y O a cos 1 2 2 2 2 a 4 a 4a d d 2 2 0 a 0
D1 2 2 2
A 4
a
a x y
第 一 挂 限 图 形 a y
x 2 y 2 ax
Dxy
0
A
1 2 a 4 x 2 4 y 2 dxdy 2dxdy a D
xy
d
2
a
0
1 2 a 4 2 d 2 a 2 ...... a
13
例. 计算双曲抛物面 所截出的面积A .
被柱面
解: 曲面在 xOy 面上投影为 D : x 2 y 2 R 2 ,则
2
一、重积分在几何上的应用
1. 平面区域的面积 2. 体积
D d
D
z f ( x, y ) 0, ( x, y ) D.
D
则D上的曲顶柱体体积为: V f ( x , y )d 占有空间有界域的立体的体积: V d xd ydz
把定积分的元素法推广到重积分的应用中.
第四节
元 素 法
重积分的应用
重积分在几何上的应用
重积分在物理上的应用
1
1. 能用重积分解决的实际问题的特点: 分布在有界闭域上的整体量 所求量是 对区域具有可加性
2. 用重积分解决问题的方法: —— 用微元分析法 (元素法)建立积分式 3. 解题要点: 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便
1 3
令 x x0 cos , y y0 sin
π d d π
高等数学A10-4重积分应用
D 上连续，计算该平面薄片对位于 z 轴上的点
M 0 (0,0, a)处的单位质点的 引力．(a 0) z
薄片对 z 轴上单位质点的引力:
Fr{Frrx
, Fy
{
, Fz
x, r
},
y r
,
r {x, a}, r
y,
a},
Fr
o
y
( x, y)
r r x2 y2 a2 ,
内部的面积.
10-4 重积分的应用
四、重积分的物理应用
1. 平面薄片的质量M
y
设面密度为 ( x, y),
薄片所占的区域为D，
o
则 M ( x, y) dx dy.
D
(x, y)
x
10-4 重积分的应用
2. 质心 ① 质点系的质心 ( x, y)
设xoy 面 有n个 质 点 组 成 一 个 质 点 系， 点 质： 量( x：im, yi i ) (i 1,2,, n)
G
( x, y)d
r2
(0 a) r
a( x, y)d
G
r3
故
Fx =
D
G
x( x, y)d
r3
=G
D
x( x, y) 3 d
(x2 y2 a2)2
10-4 重积分的应用
Fy =
D
G
y( x, y)d
r3
=G
D
y( x, y) 3 d
10-4 重积分的应用
思考与练习
1. 计算由曲面z x2 y2及z x2 y2所围成的立体
的体积.(要求利用三重积分计算)
4 重积分的应用
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 4
| cos( n, z ) | = | cos γ i | =
1 1 + f x2 (ξ i ,η i ) + f y2 (ξ i ,η i )
.
因为 Ai 在 xy 平面上的投影为 σ i , 所以
σ i Ai = = 1 + f x2 (ξ i ,η i ) + f y2 (ξ i ,ηi ) σ i . cos γ i
20
由
∫∫∫ z dxdydz =
V
π
4
abc 2 ,
故得
z=
π
4
abc
2
3c 2π abc = , 3 8
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 2
平面 π i , 并在 π i 上取出一小块 Ai , 使得 Ai 与 S i 在
x y 平面上的投影都是 σ i
z S : z = f ( x, y)
(见图). 见图).
在点 M i 附
近用切平面 Ai 代替小 代替小 曲面片 Si , 从而当 T 充分小时, 充分小时, 有
i =1
Hale Waihona Puke n的面积. 作为 S 的面积. 现在按照上述曲面面积的概念, 现在按照上述曲面面积的概念, 来建立曲面面积的 计算公式. 计算公式. 为此首先计算 Ai 的面积 由于切平面 π i 的法向量就 的面积. 是曲面 是曲面 S 在点 M i (ξ i ,η i , i ) 处的法向量 n, 记它与 z 轴的夹角为 γ i , 则
y = f ( x ), x ∈ [a , b] ( f ( x ) ≥ 0).
求证此曲线绕 x 轴旋转一周得到的旋转面的面积为
| cos( n, z ) | = | cos γ i | =
1 1 + f x2 (ξ i ,η i ) + f y2 (ξ i ,η i )
.
因为 Ai 在 xy 平面上的投影为 σ i , 所以
σ i Ai = = 1 + f x2 (ξ i ,η i ) + f y2 (ξ i ,ηi ) σ i . cos γ i
20
由
∫∫∫ z dxdydz =
V
π
4
abc 2 ,
故得
z=
π
4
abc
2
3c 2π abc = , 3 8
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 2
平面 π i , 并在 π i 上取出一小块 Ai , 使得 Ai 与 S i 在
x y 平面上的投影都是 σ i
z S : z = f ( x, y)
(见图). 见图).
在点 M i 附
近用切平面 Ai 代替小 代替小 曲面片 Si , 从而当 T 充分小时, 充分小时, 有
i =1
Hale Waihona Puke n的面积. 作为 S 的面积. 现在按照上述曲面面积的概念, 现在按照上述曲面面积的概念, 来建立曲面面积的 计算公式. 计算公式. 为此首先计算 Ai 的面积 由于切平面 π i 的法向量就 的面积. 是曲面 是曲面 S 在点 M i (ξ i ,η i , i ) 处的法向量 n, 记它与 z 轴的夹角为 γ i , 则
y = f ( x ), x ∈ [a , b] ( f ( x ) ≥ 0).
求证此曲线绕 x 轴旋转一周得到的旋转面的面积为
重积分的应用
z
设从卫星中心到地面的距离
为 h ,地球半径为 R 。
的方程： x R sin cos
y
R
sin
sin
z R cos
y
, 为参数。
OR
x
2020/3/20
x Rsinsin Ex2y2z2
x Rcoscos R2 sin2
y Rsincos y Rcossin
z 0
Gx2y2z2 R 2
O
x
2020/3/20
y
(d )
(x, y)
(x, y)
D xy
d
cos 1
dA d
1
f
S dA
1 fx2 fy2 d z
(x,y, f(x,y))
n
dA
(x,y, f(x,y))
O
y
x
2020/3/20
(x, y)
(d )
D xy
d
(x, y)
z S dA
(x,y, f(x,y))
)2dxdy
a2 x2 y2
a2 x2 y2
D xy
a
a2 x2 y2 dxdy
z
被积函数
a a2 x2 y2
z a2x2y2 在积分区域 D xy 上
是无界的
此积分不是二重积分
y 因而，不能直接用
x
2020/3/20
D xy x2y2 a2
曲面面积公式来求。
设 0ba ，作一个小闭区域 D b :x2y2b2 分布在 D b 上的那部分球面面积为
O
曲面 S的面积
A dA
D xy
1 fx2 fy2 d
D xy
成都理工大学 高数下 重修 PPT D10_4重积分的应用
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x
物体的转动惯量
因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数
( x, y, z ) . 该物体位于(x , y , z) 处的微元
对 z 轴的转动惯量为
z
d I z ( x 2 y 2 ) ( x, y , z ) d v
x ( x, y, z ) d x d y d z x ( x, y, z ) d x d y d z
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同理可得
y ( x, y, z ) d x d y d z y ( x, y, z ) d x d y d z z ( x, y, z ) d x d y d z z ( x, y, z ) d x d y d z
为
x
x k mk
k 1 n
n
mk
k 1
,
y
y k mk
k 1 n
n
mk
k 1
, z
z k mk
k 1 n
n
mk
k 1
设物体占有空间域 , 有连续密度函数
则
采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其重心
公式 , 即:
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x y 0, z
z d xd yd z
3 9 1 2 V h ( 2h h ) 9 2 4
z
z d xd yd z
O
3 3 1 2 h (3 h h ) 9 2 5 2 60 30h 4h zh 90 40h 5h 2
x
物体的转动惯量
因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数
( x, y, z ) . 该物体位于(x , y , z) 处的微元
对 z 轴的转动惯量为
z
d I z ( x 2 y 2 ) ( x, y , z ) d v
x ( x, y, z ) d x d y d z x ( x, y, z ) d x d y d z
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同理可得
y ( x, y, z ) d x d y d z y ( x, y, z ) d x d y d z z ( x, y, z ) d x d y d z z ( x, y, z ) d x d y d z
为
x
x k mk
k 1 n
n
mk
k 1
,
y
y k mk
k 1 n
n
mk
k 1
, z
z k mk
k 1 n
n
mk
k 1
设物体占有空间域 , 有连续密度函数
则
采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其重心
公式 , 即:
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x y 0, z
z d xd yd z
3 9 1 2 V h ( 2h h ) 9 2 4
z
z d xd yd z
O
3 3 1 2 h (3 h h ) 9 2 5 2 60 30h 4h zh 90 40h 5h 2
重积分的应用解析
x2 y2 R2及x2 z2 R2 所围立体的表面积.
解 因第一卦限部分的表面积由两个相同部
分构成，故只需求出一个部分的表面积，再乘16
即得所求的表面积.
z
z R2 x2
z x , z 0
x
R2 x2 y
o
y
积分区域 D :
x2 y2 R2, x 0, y 0
x
A 16
xi
2
,
i 1
i 1
Io
n
mi
(
xi2
yi2 ).
i 1
设有一薄片，占有xoy面上的闭区域 D,在点 ( x, y) 处的面密度为 ( x, y) ，假定 ( x, y) 在 D
* 上连续，求薄片对于 x 轴和 y 轴的转动惯量。
薄片对于x 轴的转动惯量
I x y2( x, y)d ,
D
薄片对于2 d 0103
14 15
1
36r 2 1010
rdr
104
54
5044231,
面积比
S高 S低
09333.
练习1 求半径为 a 的球的表面积。 练习2 设有一颗地球同步轨道通讯卫星，距地 面的高度为 h 36000km, 运行的角速度与地球自转 的角速度相同.试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球 表面积的比值(地球半径 R 6400 km )。
02
d
02
d
02a
cos
r
6
sin3
dr
256a7
7
02
(cos7
cos9
)d cos
32a7 .
35
练习6 求密度为 的均匀球体对于过球心的一
重积分的应用
z
当 ( x, y, z ) 常数时, 则得形心坐标：
x z
xd x d y d z
V zd x d y d z V
,
y
yd x d y d z
V
,
V d x d y d z 为的体积
机动 目录 上页 下页 返回 结束
若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片, 其面密度 则它的重心坐标为
将 分成 n 小块, 在第 k 块上任取一点 将第 k 块看作质量集中于点 的重点, 此质点
系的重心坐标就近似该物体的重心坐标. 例如,
k ( k ,k , k )vk
x
k 1 n
n
( k ,k , k )vk
k 1
令各小区域的最大直径 0 , 即得
面的交线 , 求其形心 . 解: 如图所示 , 交线长度为 2 R
l 3
L1
z
R
3 R 2
L2
ds 3
L3
由对称性 , 形心坐标为
z yx
1 l
4
o
L1
1
l L L L
1 2
R x
x ds
x ds x d s 2 l L
R y
3
L1
2
56 9
D 0
o
r dr
56
2
x
4
sin d
4
2 sin
4 sin
56 9
0
sin d
2
2
0
3 1 7 sin d 2 9 4 2 2 3
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S lim
0
i 1 n
cos dA n ( f x , f y,1) 1 cos 2 f x2 1 fx
S 1 f x 2 f y 2 d . 1 f x f y d
2 2
D
即 １．设曲面的方程为：z f ( x , y ) 在 xoy面上的投影区域为 xy , 即( x, y ) Dxy D
z
z f ( x, y )
M
o
sS d
( x, y)
y
x
D
z
z f ( x, y )
M
d
则面积 A 可看成曲面上各点 M ( x, y, z )处小切平面的面积 d A n 无限积累而成. S lim dA
则有 d
s dA
y
cos dA
0
i 1
o
( x, y)
x
d
2.质心：(1)静矩： 质点对轴的静矩=质点的质量 质点到轴的距离.
(2)质点系的质心坐标( x , y )： xoy平面上有n个质点, 设在
A 1 4( x 2 y 2 )dxdy
2 1
2
x
Dxy
1 4r rdrd d
2 Dxy
2
0
1 4r rdr (17 17 5 5 ) 6
2
Dxy
四、物理应用
1.质量：
m ( x , y )d .
D
m ( x , y , z )dv .
2 R
o D
x
2
1 3 2 [ (1 R 2 ) 2 1) ] 3
x
例3. 求由抛物线 z=x2 上从 x=1 到 x=2 的一段绕z 轴旋转一周所生成的旋转曲面的面积.
z
解：: z=x2+y2 Dxy: 1≤x2+y2≤2
z=x2
y
0 1
z 2 z 2 1 ( ) ( ) 1 4x 2 4 y 2 x y
复习:重积分计算的基本方法 —— 累次积分法
f ( x, y )d xdy
D
X 型区域 直角坐标系下计算 Y 型区域
极点在区域D的外部 极坐标系下计算 极点在区域D的边界上 极点在区域D的内部
“先一后二” dxdy z1 ( x , y ) f dz Dxy 直角坐标系 c2 “先二后一” dz fdxdy
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 1 (记所围域为D )
V 2 x0 x 2 y0 y 1 x0 2 y0 2 x 2 y 2 d x d y
D
1 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2
D
d x d y
思考：计算双曲抛物面 出的面积 A .
被柱面
所截
解: 曲面在 xoy 面上投影为D : x 2 y 2 R 2 , 则
A
D z=xy
D
1
z2 zx
z y d xd y
2
y
1
y
x2 y2 R2
0
1 x 2 y 2 d xd y
d o 1 r r dr 0
D1：x y b (0 b a), 算出D1 上的球面
面积 A1 后， b a 0 取 A1的极限就得半球面的 令
面积， 1 A
D1
a a2 x2 y2
dxdy,
A1
D1
a a x y
2 2 2
dxdy, D1：x 2 y 2 b2 (0 b a),
• 占有空间有界域 的立体的体积为
V d xd yd z
1 2 (c 0), 和z 0 所围立体体积为 v c (a b), 2 为任意正的连续函数。 其中 a ( x ) b ( y ) z( x , y ) 证明：v z( x, y )dxdy ( x) ( y) D a ( x ) b ( y ) v dxdy a ( x ) b ( y )dxdy D ( x) ( y) ( x) ( y) x y c a ( y ) b ( x ) dxdy ( y) ( x) x y c
D
元素法也可推广到三重积分上
f ( x, y, z )dv lim f ( , ,
0 i 1 i i
n
i
)vi .
体积
• 曲顶柱体的顶为连续曲面
则其体积为
V f ( x, y )d xd y
D
f ( x, y) 0
或V
D
f ( x , y ) g( x , y ) d x d y
Dxy
dxdy
6 2 x 2 y 2 x2 2 y2
dz
[(2 x 2 y 2 ) ( x 2 y 2 )]d
Dxy
6
问题：满足什么条件的量可用重积分解决？ x2 y2 2 1. 能用重积分解决的实际问题的特点 分布在有界闭域上的整体量. 所求量是 对区域具有可加性. 2. 用重积分解决问题的方法 -----元素法
曲面面积公式为： S 同理可得
1 ( ) ( ) dxdy
z 2 x z 2 y Dxy
２．设曲面的方程为：x g( y , z ) 曲面面积公式为： A
( y, z ) Dyz
2 x z 2
D yz
1
dydz;
x y
３．设曲面的方程为：y h( z , x ) ( z, x) Dzx
元素法的步骤：
把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.
f ( x, y)d lim f ( , ) .
(1)作图, 分割区域D，取一代表性的小区域d , 其面积也为d ,
D 0 i 1 i i i
பைடு நூலகம்
n
(2)求出与d 对应的部分量的近似值dU f ( x, y)d , 其中( x, y ) D， 量U的微分元素 U (3)写出二重积分的表达式： f ( x , y )d
利用极坐标，得
A1
D1
a a
2
2
2
d d
2 b
2 0
d
b 0
a a
2 2
d
2a[ a ] 0 2a(a a 2 b 2 )，
lim A1 lim 2a(a a 2 b 2 ) 2a 2 . 故
ba 0 ba 0
曲面面积公式为：A
Dzx
1
dzdx.
y z 2 y x 2
例1 求半径为a的球的表面积. 解 取直角坐标系， 使上半球面
z a 2 x 2 y 2， 的方程为
则上半球面在xoy面上的 投影区域D可表示为
x y a .由 z x z y , ,得 2 2 2 x a x y y a2 x2 y2
2 2 2
1 (a b )dxdy 1 (a b)c 2 . 2 x y c 2
2 2 2
例3 求曲面
任一点的切平面与曲面
所围立体的体积 V . 的切平面方程为 解: 曲面 S1 在点 2 2 z 2 x0 x 2 y0 y 1 x0 y0 它与曲面 的交线在 xoy 面上的投影为
z x x a2 x2 y2
x
yx
D1
Dxy
x
,
z y
y a2 x2 y2
o
,
x x 2 y 2 ax
z 2 y
于是 1
z 2 x
=？
于是 1
z 2 x
z 2 y
y
D1
a , 2 2 2 a x y
d cos dA
n k
a
z
dA
b
1 dA ab 2
1 d ab cos 2 d
z
z f ( x, y )
s
M
是切平面与 面的夹角 xoy .
因为 d 为 d A 在xoy面上的 则有 d 投影，
dA
o
x
( x, y)
y
d
d dA 1 f x2 f y2 d ------曲面S的面积元素 cos
c1
z2 ( x , y )
f ( x , y , z )dv 柱面坐标系 球面坐标系
f ( cos , sin , z ) d d dz
F ( r , , )r 2sin drd d
Dz
第四节 重积分的应用
即为半球面的面积. 因此整个球面的面积为 A
4 a .
2
例 2 求球面 x 2 y 2 z 2 a 2 ，含在圆柱体 z zz 2 2 x y ax 内部的那部分面积.
解
由对称性知 A 4A1 ,
D1 ： x y ax ( x , y 0)
2 2
y
y
z a2 x2 y2 , 曲面方程
2 2 2
z 2 z 2 1 ( ) ( ) x y
a a x y
2 2 2
.
A
D
a a x y
0
i 1 n
cos dA n ( f x , f y,1) 1 cos 2 f x2 1 fx
S 1 f x 2 f y 2 d . 1 f x f y d
2 2
D
即 １．设曲面的方程为：z f ( x , y ) 在 xoy面上的投影区域为 xy , 即( x, y ) Dxy D
z
z f ( x, y )
M
o
sS d
( x, y)
y
x
D
z
z f ( x, y )
M
d
则面积 A 可看成曲面上各点 M ( x, y, z )处小切平面的面积 d A n 无限积累而成. S lim dA
则有 d
s dA
y
cos dA
0
i 1
o
( x, y)
x
d
2.质心：(1)静矩： 质点对轴的静矩=质点的质量 质点到轴的距离.
(2)质点系的质心坐标( x , y )： xoy平面上有n个质点, 设在
A 1 4( x 2 y 2 )dxdy
2 1
2
x
Dxy
1 4r rdrd d
2 Dxy
2
0
1 4r rdr (17 17 5 5 ) 6
2
Dxy
四、物理应用
1.质量：
m ( x , y )d .
D
m ( x , y , z )dv .
2 R
o D
x
2
1 3 2 [ (1 R 2 ) 2 1) ] 3
x
例3. 求由抛物线 z=x2 上从 x=1 到 x=2 的一段绕z 轴旋转一周所生成的旋转曲面的面积.
z
解：: z=x2+y2 Dxy: 1≤x2+y2≤2
z=x2
y
0 1
z 2 z 2 1 ( ) ( ) 1 4x 2 4 y 2 x y
复习:重积分计算的基本方法 —— 累次积分法
f ( x, y )d xdy
D
X 型区域 直角坐标系下计算 Y 型区域
极点在区域D的外部 极坐标系下计算 极点在区域D的边界上 极点在区域D的内部
“先一后二” dxdy z1 ( x , y ) f dz Dxy 直角坐标系 c2 “先二后一” dz fdxdy
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 1 (记所围域为D )
V 2 x0 x 2 y0 y 1 x0 2 y0 2 x 2 y 2 d x d y
D
1 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2
D
d x d y
思考：计算双曲抛物面 出的面积 A .
被柱面
所截
解: 曲面在 xoy 面上投影为D : x 2 y 2 R 2 , 则
A
D z=xy
D
1
z2 zx
z y d xd y
2
y
1
y
x2 y2 R2
0
1 x 2 y 2 d xd y
d o 1 r r dr 0
D1：x y b (0 b a), 算出D1 上的球面
面积 A1 后， b a 0 取 A1的极限就得半球面的 令
面积， 1 A
D1
a a2 x2 y2
dxdy,
A1
D1
a a x y
2 2 2
dxdy, D1：x 2 y 2 b2 (0 b a),
• 占有空间有界域 的立体的体积为
V d xd yd z
1 2 (c 0), 和z 0 所围立体体积为 v c (a b), 2 为任意正的连续函数。 其中 a ( x ) b ( y ) z( x , y ) 证明：v z( x, y )dxdy ( x) ( y) D a ( x ) b ( y ) v dxdy a ( x ) b ( y )dxdy D ( x) ( y) ( x) ( y) x y c a ( y ) b ( x ) dxdy ( y) ( x) x y c
D
元素法也可推广到三重积分上
f ( x, y, z )dv lim f ( , ,
0 i 1 i i
n
i
)vi .
体积
• 曲顶柱体的顶为连续曲面
则其体积为
V f ( x, y )d xd y
D
f ( x, y) 0
或V
D
f ( x , y ) g( x , y ) d x d y
Dxy
dxdy
6 2 x 2 y 2 x2 2 y2
dz
[(2 x 2 y 2 ) ( x 2 y 2 )]d
Dxy
6
问题：满足什么条件的量可用重积分解决？ x2 y2 2 1. 能用重积分解决的实际问题的特点 分布在有界闭域上的整体量. 所求量是 对区域具有可加性. 2. 用重积分解决问题的方法 -----元素法
曲面面积公式为： S 同理可得
1 ( ) ( ) dxdy
z 2 x z 2 y Dxy
２．设曲面的方程为：x g( y , z ) 曲面面积公式为： A
( y, z ) Dyz
2 x z 2
D yz
1
dydz;
x y
３．设曲面的方程为：y h( z , x ) ( z, x) Dzx
元素法的步骤：
把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.
f ( x, y)d lim f ( , ) .
(1)作图, 分割区域D，取一代表性的小区域d , 其面积也为d ,
D 0 i 1 i i i
பைடு நூலகம்
n
(2)求出与d 对应的部分量的近似值dU f ( x, y)d , 其中( x, y ) D， 量U的微分元素 U (3)写出二重积分的表达式： f ( x , y )d
利用极坐标，得
A1
D1
a a
2
2
2
d d
2 b
2 0
d
b 0
a a
2 2
d
2a[ a ] 0 2a(a a 2 b 2 )，
lim A1 lim 2a(a a 2 b 2 ) 2a 2 . 故
ba 0 ba 0
曲面面积公式为：A
Dzx
1
dzdx.
y z 2 y x 2
例1 求半径为a的球的表面积. 解 取直角坐标系， 使上半球面
z a 2 x 2 y 2， 的方程为
则上半球面在xoy面上的 投影区域D可表示为
x y a .由 z x z y , ,得 2 2 2 x a x y y a2 x2 y2
2 2 2
1 (a b )dxdy 1 (a b)c 2 . 2 x y c 2
2 2 2
例3 求曲面
任一点的切平面与曲面
所围立体的体积 V . 的切平面方程为 解: 曲面 S1 在点 2 2 z 2 x0 x 2 y0 y 1 x0 y0 它与曲面 的交线在 xoy 面上的投影为
z x x a2 x2 y2
x
yx
D1
Dxy
x
,
z y
y a2 x2 y2
o
,
x x 2 y 2 ax
z 2 y
于是 1
z 2 x
=？
于是 1
z 2 x
z 2 y
y
D1
a , 2 2 2 a x y
d cos dA
n k
a
z
dA
b
1 dA ab 2
1 d ab cos 2 d
z
z f ( x, y )
s
M
是切平面与 面的夹角 xoy .
因为 d 为 d A 在xoy面上的 则有 d 投影，
dA
o
x
( x, y)
y
d
d dA 1 f x2 f y2 d ------曲面S的面积元素 cos
c1
z2 ( x , y )
f ( x , y , z )dv 柱面坐标系 球面坐标系
f ( cos , sin , z ) d d dz
F ( r , , )r 2sin drd d
Dz
第四节 重积分的应用
即为半球面的面积. 因此整个球面的面积为 A
4 a .
2
例 2 求球面 x 2 y 2 z 2 a 2 ，含在圆柱体 z zz 2 2 x y ax 内部的那部分面积.
解
由对称性知 A 4A1 ,
D1 ： x y ax ( x , y 0)
2 2
y
y
z a2 x2 y2 , 曲面方程
2 2 2
z 2 z 2 1 ( ) ( ) x y
a a x y
2 2 2
.
A
D
a a x y