公式法和十字相乘法

2、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。

主要有：平方差公式a b a b a b 22-=+-()() 完全平方公式 a ab b a b 2222±+=±()立方和、立方差公式a b a b a ab b 3322±=±⋅+()()μ 补充：欧拉公式：特别地：（1）当a b c ++=0时，有ab c abc 3333++= （2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。

运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。

但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。

用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。

因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。

下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1. 把a a b b 2222+--分解因式的结果是（ ）A. ()()()a b a b -++22B. ()()a b a b -++2C. ()()a b a b -++2D. ()()a b b a 2222-- 分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。

再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。

说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。

同时要注意分解一定要彻底。

2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。

分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m 的值。

解：根据已知条件，设221322xx m x x ax b -+=+++()() 则222123232x x m x a x a b x b -+=+++++()()由此可得21112023a a b m b +=-+==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()()由（1）得a =-1 把a =-1代入（2），得b =12把b =12代入（3），得m =123. 在几何题中的应用。

因式分解之四大基本解法知识锦囊经典例题【必会考点1】提取公因式1．因式分解：2281012x y xy --【解答】解：原式222(456)x y xy =--2(43)(2)xy xy =+-．2．因式分解：324824m m m -+-．【解答】解：32248244(26)m m m m m m -+-=--+．3．因式分解：325()10()x y y x -+-．【解答】解：325()10()x y y x -+-325()10()x y x y =-+-25()[()2]x y x y =--+25()(2)x y x y =--+．4．因式分解：3()3()a x y b y x ---．【解答】解：3()3()a x y b y x ---3()3()a x y b x y =-+-3()()x y a b =-+．【必会考点2】公式法1．因式分解：（1）22169x y - （2）22222()4x y x y +-． 【解答】解：（1）原式22(4)(3)(43)(43)x y x y x y =-=+-；（2）原式222222(2)(2)()()x y xy x y xy x y x y =+++-=+-．2．分解因式：22(23)m m -+．【解答】解：原式(23)(23)m m m m =++--(33)(3)m m =+--3(1)(3)m m =-++．3．因式分解：2()6()9x y y x -+-+【解答】解：2()6()9x y y x -+-+2()6()9x y x y =---+2(3)x y =--．【必会考点3】提取公因式与公式法综合1．因式分解：（1）2x xy -； （2）329189x x x -+； 【解答】解：（1）22(1)(1)(1)x xy x y x y y -=-=+-；（2）322291899(21)9(1)x x x x x x x x -+=-+=-；2．因式分解：（1）244am am a -+； （2）22()()a x y b y x -+-． 【解答】解：（1）22242(44)(2)am am a a m m a m -+=-+=-；（2）2222()()()()()()()a x y b y x x y a b x y a b a b -+-=--=-+-．【必会考点3】分组分解法1．因式分解：2m my mx yx -+- 【解答】解：（3）2m my mx yx -+-2()()m my mx yx =-+-()()m m y x m y =-+-()()m y m x =-+.2．因式分解：2221b bc c -+-【解答】解：2221b bc c -+-2()1b c =--(1)(1)b c b c =-+--．【必会考点4】十字相乘法1．因式分解：（1）256x x +- （2）2234a ab b -- 【解答】解：（1）256(1)(6)x x x x +-=-+（2）2234a ab b --(4)()a b a b =-+．2．分解因式：2231x x -+【解答】解：2231(1)(21)x x x x -+=--.巩固练习1．因式分解：（1）2()3()m a b n b a ---； （2）2282()x x y --．2．分解因式：（1）()()x x a y a x -+- （2）321025x y x y xy -+3．因式分解：53242357a b c a b c a bc +-4．分解因式：222(4)16m m +-．5．分解因式（1）222(1)4a a +- （2）229()25()a b a b +--．6．因式分解：22436x xy x y -+-7．因式分解：22144a ab b -+-8．分解因式（1）2249x y - （2）2221x y y -+-9．分解因式：22221x y x y -+-．10．分解因式①226x x -- ②332x x -+11．分解因式：2228x xy y --．12．十字相乘法因式分解：（1）256x x ++ （2）256x x --（3）2231x x -+ （4）2656x x +-．13．因式分解：（1）23a b b -； （2）1n m mn -+-；（3）2221x x y -+-； （4）2()()()x y x y x y -++-14．把下列各式分解因式：（1）225x -； （2）2816a a -+；（3）2()9()x x y x y +-+； （4）3222a a b ab -+-．15．因式分解：（1）236x xy x -+； （2）3241628m m m -+-；（3）2318()12()a b b a ---．巩固练习解析1．因式分解：（1）2()3()m a b n b a ---； （2）2282()x x y --．【解答】解：（1）2()3()m a b n b a --- 2()3()m a b n a b =-+- ()(23)a b m n =-+；（2）2282()x x y --222[4()]x x y =-- 2(3)()x y x y =-+．2．（1）分解因式()()x x a y a x -+- （2）分解因式321025x y x y xy -+ 【解答】（1）解：()()x x a y a x -+- (x =x a -)(y -x a -) (=x a -)(x y -)；（2）解：321025x y x y xy -+ (xy =21025)x x -+ (xy =25)x -．3．因式分解：53242357a b c a b c a bc +- 【解答】解：原式322(57)a bc a b c ab =+-； 4．分解因式：222(4)16m m +-． 【解答】解：222(4)16m m +-22(44)(44)m m m m =+++- 22(2)(2)m m =+-．5．分解因式 （1）222(1)4a a +- （2）229()25()a b a b +--． 【解答】解：（1）222(1)4a a +-22(12)(12)a a a a =+++- 2(1)a =+2(1)a -； （2）229()25()a b a b +--[3()5()][3()5()]a b a b a b a b +=+--+- .4(4)(4)a b b a =--．6．因式分解：22436x xy x y -+- 【解答】解：原式2(2)3(2)x x y x y =-+- (2)(23)x y x =-+．7．22144a ab b -+-【解答】解：22144a ab b -+-221(44)a ab b =--+ 21(2)a b =--(12)(12)a b a b =+--+．8．分解因式 （1）2249x y - （2）2221x y y -+-【解答】解：（1）原式(23)(23)x y x y =-+； （2）原式22(21)x y y =--+22(1)x y =--(1)(1)x y x y =+--+．9．分解因式：22221x y x y -+-．【解答】解：原式222222(1)1(1)(1)(1)(1)(1)x y y y x y y x =-+-=-+=+-+． 10．分解因式 ①226x x -- ②332x x -+【解答】解：①226(23)(2)x x x x --=+-； ②332x x -+ 342x x x =-++ (2)(2)(2)x x x x =+-++2(2)(21)x x x =+-+ 2(2)(1)x x =+-．11．分解因式：2228x xy y --． 【解答】解：2228x xy y -- (4)(2)x y x y =-+．12．十字相乘法因式分解： （1）256x x ++ （2）256x x -- （3）2231x x -+ （4）2656x x +-．【解答】解：（1）原式(2)(3)x x =++； （2）原式(6)(1)x x =-+； （3）原式(21)(1)x x =--； （4）原式(23)(32)x x =+-． 13．因式分解： （1）23a b b -； （2）1n m mn -+-； （3）2221x x y -+-；（4）2()()()x y x y x y -++-【解答】解：（1）原式22()()()b a b b a b a b =-=-+；（2）原式(1)()(1)(1)(1)(1)n m mn n m n m n =-+-=-+-=+-；（3）原式2222(21)(1)(1)(1)x x y x y x y x y =-+-=--=---+；（4）原式()()2()x y x y x y x x y =--++=-．14．把下列各式分解因式：（1）225x -；（2）2816a a -+；（3）2()9()x x y x y +-+；（4）3222a a b ab -+-．【解答】解：（1）原式(5)(5)x x =+-；（2）原式2(4)a =-；（3）原式2()(9)x y x =+-()(3)(3)x y x x =++-；（4）原式22(2)a a ab b =--+2()a a b =--．15．因式分解：（1）236x xy x -+；（2）3241628m m m -+-；（3）2318()12()a b b a ---．【解答】解：（1）236(361)x xy x x x y -+=-+；（2）322416284(47)m m m m m m -+-=--+；（3）23218()12()6()(322)a b b a a b a b ---=-+-．。

2、运用公式法‎进行因式分‎解【知识精读】把乘法公式‎反过来，就可以得到‎因式分解的‎公式。

主要有：平方差公式‎ a b a b a b 22-=+-()()完全平方公‎式 a ab b a b 2222±+=±()立方和、立方差公式‎a b a b a ab b 3322±=±⋅+()() 补充：欧拉公式：a b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()() =++-+-+-12222()[()()()]a b c a b b c c a 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++=（2）当c =0时，欧拉公式变‎为两数立方‎和公式。

运用公式法‎分解因式的‎关键是要弄‎清各个公式‎的形式和特‎点，熟练地掌握‎公式。

但有时需要‎经过适当的‎组合、变形后，方可使用公‎式。

用公式法因‎式分解在求‎代数式的值‎，解方程、几何综合题‎中也有广泛‎的应用。

因此，正确掌握公‎式法因式分‎解，熟练灵活地‎运用它，对今后的学‎习很有帮助‎。

下面我们就‎来学习用公‎式法进行因‎式分解【分类解析】1. 把分解因式‎a a b b 2222+--的结果是（ ）A. ()()()a b a b -++22B. ()()a b a b -++2C. ()()a b a b -++2D. ()()a b b a 2222-- 分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。

再利用平方‎差公式进行‎分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。

说明：解这类题目‎时，一般先观察‎现有项的特‎征，通过添加项‎凑成符合公‎式的形式。

同时要注意‎分解一定要‎彻底。

2. 在简便计算‎、求代数式的‎值、解方程、判断多项式‎的整除等方‎面的应用例：已知多项式‎232x x m -+有一个因式‎是21x +，求m 的值。

公式法和十字相乘法概念回顾：1.公式法因式分解的平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)因式分解的完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2,a2－2ab+b2=(a－b)22．十字相乘法定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.要将二次三项式x2+ px + q因式分解，就需要找到两个数a、b，使它们的积等于常数项q，和等于一次项系数p, 满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即x2 + px + q = x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b).用十字交叉线表示: x +ax +bax + bx = (a + b)x由于把x2+ px + q中的q分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行因式分解.将二次三项式x2+ 4x + 3因式分解，就需要将二次项x2分解为x·x，常数项3分解为3×1，而且3 + 1= 4，恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示:x2+ 4x + 3 = (x + 3)(x + 1).x +3x +13x + x = 4x把x2 + px + q分解因式时，准确地找出a、b，使a ·b = q；a + b = p符号规律：当q＞0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；当q＜0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同。

例题精讲：基础训练：1. 用完全平方公式分解因式：2.用完全平方公式分解因式：3.用十字相乘法分解因式4.用十字相乘法分解因式5.用十字相乘法分解因式6.分解因式7.能力提高：1. 分解因式2.分解因式3. 分解因式4．解答题5.解答题6.解答题思维拓展：练习：一、选择题二．填空题。

一元二次解法：（1）公式法【知识要点】1．计算方法一，先将方程变为标准形式)0(02≠=++a c bx ax ，确认a ，b ，c 。

如何变：① 通过移项或通分（如例一，例二，例三）注意：尽量使a 为正整数，方便计算② 通过公式计算展开（如例四，例五） 注意：符号③ 通过待定系数法结合①②（如例六） 注意：除了X ，其他均看做已知数二，再计算△，当△=042≥-ac b ，有实数根。

如△＜0，则方程无解 三，根据求根公式，将a,b,c ,△代入公式，即得：2--4=2b b ac x a±。

【典型例题】领练：例一例①4722=-x x 例②02122412=+-x x例③05422=-+-x x 例④x x x x 6)1()12()12(22++=--+例⑤2(3)2(1)7x x x --+=- 例⑥())1(03212≠=+++-m m mx x m测试：例二1，x x 4212=- 2，11)2(5)31)(13(+-=-+x x x3，(2)(3)56x x --= 4，02222=-+-n m mx x二，熟练掌握△，不解方程，能够判断方程根的情况。

方程有两个实数根→△≥0方程有两个相等的实数根→△＝0方程有两个不相等的实数根→△＞0方程没有实数根→△＜0例三，变式训练①不解方程，请判别下列方程根的情况； （1）22340t t +-= ; （2）216924x x += ; （3）25(1)70y y +-= ;②方程242()0x a b x ab ---=的根的情况是 ;③如果关于x 的方程222(41)210x k x k -++-=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 .④已知0,0,p q <<则一元二次方程20x px q ++=的根的情况是 ;⑤已知关于x 的方程2(2)20x a x a b -++-=的判别式等于0,且12x =是方程的根，则a b +的值为 ______________.⑥若m =______ （m 为整数），方程22x m x mx m +=-+有整数解.（2）分解因式法，十字相乘法【知识要点】1，分解因式法：将一元二次方程利用因式分解把其变成因式乘积的形式。

1.因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的 的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。

2．常用的因式分解方法：（1）提公因式法：对于ma mb mc ++， 叫做公因式， 叫做提公因式法。

①多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

②公因式的构成：系数：各项系数的 ；字母：各项都含有的相同字母； 指数：相同字母的最低次幂。

（2）公式法：①常用公式平方差： 完全平方：立方和：3322a b (a+b)(a -ab+b )+= 立方差：②常见的两个二项式幂的变号规律： 22()()n n a b b a -=-；2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数）（3）十字相乘法①二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成②二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2中，如果能把二次项系数a 分解成两个因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系数b ，那么它就可以分解成：()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。

（4）分组分解法①定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。

再提公因式或利用公式法，即可达到分解因式的目的。

例如22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

②原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。

4.3公式法要点：1、 有公因式，先提公因式。

2、 两项式且异号的情况下，找找有否平方差。

有则运用平方差公式。

3、 三项式的情况下，注意找“头尾平方，中间两倍”再运用完全平方公式。

例题：1.下列各式中能用平方差公式分解因式的是（ ）A.224x y +B.281a -+C.225m n --2D.221p p -+ 2.一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（）A.46-bB.64b -C.46+bD.94b -3．下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）A.412m m ++B.222y xy x -+-C.49142++-a a D.13292+-n n4.不论y x ,为任何实数，82422+--+y x y x 的值总是（ ）A ．正数 B.负数 C.非负数 D.非正数（1） y y x -2 （2）()224z y x --（1）1442-+-a a （2） 3229124y xy y x -+-总结：有公因式的情况下，先提公因式。

有负号在前的情况下，先处理负号的问题。

公式法分解因式实际上是一种式子变形的方法，灵活运用可以解决很多问题。

一、选择题3.下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ）A.22b a +-B.22249m y x -C.22y x --D.242516n m - 6.若非零实数 b a ,满足ab b a 4422=+，则ba的值为（ ） A.－2 B.2 C.21 D.21-7.若224a x x +-是完全平方式，那么a 等于( ).A.4B.2C.±4D.±29．下列各式是完全平方式的是（ ）A. 122-+x xB.x x 392-+C.22y xy x ++D. 412+-x x 10．若a 、b 、c 是△ABC 的三边，满足0222=+-b ab a 且022=-c b ，则△ABC 的形状是（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形 11．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（ ）A. 22a ab b ++B.294y y -C.a a 4142-+D.221q q +- 12．下列各式能用公式法进行因式分解的是( )A.42+xB.422++x xC.42y x -D.24x -- 13．已知3-=+b a ，2=ab ，则()2b a -的值是（ ）A.1B.4C.16D.9 二、填空题14.分解因式：(1)22y x +-= ；(2)2225.049y x -= ．15.若162+-mx x 是完全平方式，那么m =________. 16.已知03442=-+++b a a ，则b a += . 17.分解因式：2411x x +-= . 18.在括号内填上适当的因式：（1）()2211025=++x x ； （2）()2221=+-b b（3）()()22___4+=++x x x ； （4）()()22294=++n m19.已知31=+a a ，则221aa +的值是 20.若2222690m mn n n ++-+=，则2mn的值为三、解答题21.利用因式分解简便计算（要求写出完整计算过程）(1)22199201- （2）01.099.199.12⨯+22.把下列各式分解因式：（1）22254y x - （4）22)()(16b a b a +--（5）y x xy 33273+- (6) 2222416a x a y -(8)4481y x - (9)22)3()32(4q p q p --+23．分解因式：（3）1)(6)(92+---x y y x （4） 2363x x +-（5）322a a a -+- （6） 222224)(y x y x -+（7）42242b b a a +- （8）22236)9(x x -+（9）4322329n mn n m ++ （10）n n n ax ax ax 1218211+--+-24．已知0136422=++-+y x y x ，求x 和y 的值分别是多少？能力提升1.分解因式：13++-m m x x = .2．若n 为任意整数，22)11(n n -+的值总可以被k 整除，则k 等于（ ）A ．11B ．22C ．11或22D ．11的倍数 3．如果,2008=+b a 1=-b a ，那么=-22b a . 4.试解一元二次方程（1）0122=++x x （2）0242=+-x x初中数学十字相乘法因式分解要点：一、2()x p q x pq +++型的因式分解特点是：（1）二次项的系数是1（2）常数项是两个数之积（3）一次项系数是常数的两个因数之和。

一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。

例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。

常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。

湘教版七下数学3.3公式法十字相乘法教学设计一. 教材分析湘教版七下数学3.3公式法十字相乘法是本册教材中的一个重要内容，主要介绍了公式法十字相乘法的概念、方法和应用。

这部分内容是学生学习了二元一次方程组的解法之后，进一步拓展到多元一次方程组的解法，对于学生来说，是一个新的挑战。

这部分内容不仅考查了学生对于数学知识的理解和应用，也考查了学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习了二元一次方程组的解法之后，对于解方程组的方法已经有了一定的了解和掌握，但是面对多元一次方程组，学生可能会感到困惑和无从下手。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生理解多元一次方程组的概念，掌握解多元一次方程组的方法，并且能够灵活运用。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解多元一次方程组的概念，掌握公式法十字相乘法的解法步骤，能够运用公式法十字相乘法解多元一次方程组。

2.过程与方法：通过学生自主探究，合作交流，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，增强学生自信心，培养学生克服困难的意志。

四. 教学重难点1.重点：学生能够理解多元一次方程组的概念，掌握公式法十字相乘法的解法步骤，能够运用公式法十字相乘法解多元一次方程组。

2.难点：学生能够灵活运用公式法十字相乘法解多元一次方程组，并能够解释其背后的数学原理。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置情境，引导学生主动探究，发现问题，解决问题。

2.合作学习法：通过小组合作，培养学生的团队协作能力，提高学生的沟通能力。

3.引导发现法：教师引导学生发现问题，引导学生通过自己的思考得出结论。

六. 教学准备1.教师准备：教师需要熟悉教材内容，了解学生的学习情况，准备相关的教学资源和教具。

2.学生准备：学生需要预习教材内容，了解本节课的学习目标，准备相关的学习用品。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过创设情境，引导学生回顾二元一次方程组的解法，为新课的学习做好铺垫。

因式分解的七种常见方法因式分解是代数学中非常重要的一个基本概念，可以帮我们优化计算过程，得到简化的式子。

在因式分解的过程中，需要运用不同的方法来将一个给定的式子分解为若干个简单的乘积，本文将会介绍七种常见的因式分解方法。

1. 公式法公式法是一种较为常见的因式分解方法，它可以应用于一些特定的式子。

公式法常用的公式有两个：（1）$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$该公式被称为"a二次减b二次"公式。

它告诉我们，一个平方数减另一个平方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差。

例如：$16-9=7\times5=(4+3)\times(4-3)$（2）$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$该公式被称为"a立方加b立方"公式。

它告诉我们一个立方数加另一个立方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差减去它们的积。

例如：$8^3+1^3=513=(8+1)\times(8^2-8+1)$2. 提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法。

它的主要思想是将式子中的公因式先提出来，再对剩下的部分进行因式分解。

例如：$ax^2+bx=a(x^2+\frac{b}{a}x)$在上述式子中，$a$是公因式，$(x^2+\frac{b}{a}x)$是剩余部分的因式分解。

这样我们就把原始式子分解成了两个因子的乘积。

3. 十字相乘法十字相乘法主要用于二次三项式的因式分解。

该方法基于以下思想：将二次三项式分解为两个一次三项式的乘积，其中每个一次三项式的首项系数积等于原始式子的二次项系数，常数项积等于原始式子的常数项。

例如：$ax^2+bx+c$，首先将它分解为两个一次三项式$(px+q)(rx+s)$，然后进行十字相乘运算$(px+q)(rx+s)=px\times rx+px\times s+qrx+qs$，其中最后两项括号里的$c$是常数项。

例2.分解因式：（1）； （2）； （3）； （4）类型二、平方差公式的应用 例3.在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如x 4﹣y 4=（x ﹣y ）（x+y ）（x 2+y 2），当x=9，y=9时，x ﹣y=0，x+y=18，x 2+y 2=162，则密码018162．对于多项式4x 3﹣xy 2，取x=10，y=10，用上述方法产生密码是什么？例4.阅读下面的计算过程：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=（28﹣1）．根据上式的计算方法，请计算：（1）2128x -+33a b ab -516x x -2(1)(1)a b a -+-（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣．【课堂练习】1.将下列各式分解因式：（1）； （2）； （3）； （4）；2.先化简，再求值：（2a+3b ）2﹣（2a ﹣3b ）2，其中a=．知识点二（完全平方公式）【知识梳理】一、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．()()22259a b a b +--()22234x y x --33x y xy -+32436x xy -4.若（2015﹣x ）（2013﹣x ）=2014，则（2015﹣x ）2+（2013﹣x ）2=．知识点三（十字相乘法及分组分解法）【知识梳理】一、十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在 ，则二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式（≠0）中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.三、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.四、添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.【例题精讲】类型一、十字相乘法2x bx c ++pq c p q b =⎧⎨+=⎩()()2x bx c x p x q ++=++2ax bx c ++a a 12a a a =c 12c c c =1212a a c c ，，，1221a c a c +2ax bx c ++b 1221a c a c b +=11a x c +22a x c +()()21122ax bx c a x c a x c ++=++例1.分解因式：例2.分解因式：例3.分解下列因式（1） （2）类型二、分组分解法 例4.分解因式：类型三、拆项或添项分解因式例5.阅读理解：对于二次三项式x 2+2ax+a 2可以直接用公式法分解为（x+a ）2的形式，但对于二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2，就不能直接用公式法了．我们可以在二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2中先加上一项a 2，使其成为完全平方式，再减去a 2这项，使整个式子的值不变，于是又：22(1)(6136)x a x a a ++--+22(1)(2)12x x x x ++++-22(33)(34)8x x x x +-++-222332x xy y x y -++-+x 2+2ax ﹣8a 2=x 2+2ax ﹣8a 2+a 2﹣a 2=（x 2+2ax+a 2）﹣8a 2﹣a 2=（x+a ）2﹣9a 2=[（x+a ）+3a][（x+a ）﹣3]=（x+4a ）（x ﹣2a ）像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．（1）请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式：x 2+2ax ﹣3a 2分解因式．（2）直接填空：请用上述的添项法将方程的x 2﹣4xy+3y 2=0化为（x ﹣ ）•（x ﹣ ）=0并直接写出y 与x 的关系式．（满足xy≠0，且x≠y ）（3）先化简﹣﹣，再利用（2）中y 与x 的关系式求值．【课堂练习】1.分解因式：2.分解因式：；23345xy y x y ++--222(3)2(3)8x x x x ----4.下列各式中，能利用完全平方公式分解因式的是（ ）．A ．221x x -++B ．221x x -+-C ．221x x --D ．224x x -+ 5.分解因式：（1）； （2）； （3）； （4）．6.已知：x+y=3，xy=﹣8，求：（1）x 2+y 2（2）（x 2﹣1）（y 2﹣1）．7.将下列各式分解因式：（1）； （2）； （3）8.将下列各式分解因式：（1）； （2）21449x x ++29124x x -+214a a ++22111162a b ab -+21016x x -+2310x x --（1） －1998×2000 （2）（3）8.设，，……，（为大于0的自然数）（1）探究是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”.试找出，，……，这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当满足什么条件时，为完全平方数.9.如果是一个完全平方公式，那么是（ ）A. B. C. D. 10.若为任意实数时，二次三项式的值都不小于0，则常数满足的条件是（ ）A. B. C. D.11.因式分解: ＝_____________.12.如果实数x 、y 满足2x 2﹣6xy+9y 2﹣4x+4=0，那么= ．219992253566465⨯-⨯222222221009998979695......21-+-+-++-22131a =-22253a =-()()222121n a n n =+--n n a 1a 2a n a n n a 24a ab m --m 2116b 2116b -218b 218b -x 26x xc -+c 0c ≥9c ≥0c >9c >2221x x y ++-。

十字相乘法口诀图解如下：
十字交叉法因式分解：先将二次项系数拆成两个乘积的形式，再将常数项拆成两个乘积的形式，然后交叉乘积后等于一次项系数。

1、提取公因式法。

2、公式法（平方差公式和完全平方公式）。

例如：配方法和十字交叉法等。

(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2。

(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3。

(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3。

这就是所谓的双十字相乘法。

十字相乘法的方法口诀：
十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

十字相乘法的用处：
（1）用十字相乘法来分解因式。

（2）用十字相乘法来解一元二次方程。

十字相乘法的优点：
用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。

第05讲 因式分解—公式法与十字相乘法1. 平方差公式分解因式的内容：两个数的平方差等于这两个数的 乘以这两个数的 。

即：=-22b a 2. 式子特点分析与因式分解结果：①式子特点分析：式子是一个 ，符号 且都可以写成 的形式。

②因式分解结果：等于写成平方形式时的 的和乘以 的差。

考点题型：①判断式子能否用平方差公式分解。

②利用平方差公式分解因式。

【即学即练1】1．下列各式能用平方差公式进行分解因式的是（ ）A ．x 2﹣25B ．x 3﹣4C ．x 2﹣2x +1D ．x 2+1【即学即练2】2．下列各个多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是（ ）A ．﹣m 2+n 2B ．﹣m 2﹣n 2C ．4m 2﹣1D ．（m +n ）2﹣9【即学即练3】3．把下列各式因式分解：（1）x 2﹣25y 2． （2）﹣4m 2+25n 2． （3）（a +b ）2﹣4a 2．（4）a 4﹣1． （5）9（m +n ）2﹣（m ﹣n ）2． （6）mx 2﹣4my 2．知识点02 完全平方公式分解因式1. 完全平方公式分解因式的内容： =+±222b ab a 。

2. 式子特点分析与因式分解结果： ①式子特点分析：式子是一个 ，其中两项符号 且都能写成 的形式，第三项是平方两项 乘积的 。

②因式分解结果：等于 的平方或 的平方。

若第三项与平方两项符号 ，则等于底数和的平方，若第三项与平方两项符号 ，则等于底数差的平方。

若平方两项是符号，则在括号前添加负号。

题型考点：①判断式子能否用平方差公式分解。

②利用平方差公式分解因式。

③求值【即学即练1】4．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．a 2+ab +b 2B ．9y 2﹣4yC ．4a 2+1﹣4aD ．q 2+2q ﹣1【即学即练2】5．下列各式中：①x 2﹣2xy +y 2；②a 2+ab +b 2；③﹣4ab ﹣a 2+4b 2；④4x 2+9y 2﹣12xy ；⑤3x 2﹣6xy +3y 2，能用完全平方公式分解的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【即学即练3】6．把下列各式分解因式．（1）n 2﹣6mn +9m 2 （2）a 2﹣14ab +49b 2（3）a 2﹣4ab +4b 2 （4）m 2﹣10m +25．【即学即练4】7．分解因式：①x 2+6x +9＝ ；②1﹣4x +4y 2＝ ；③﹣a 2+2a ﹣1＝ ．【即学即练5】8．已知x 2﹣y 2＝69，x +y ＝3，则x ﹣y ＝ ．【即学即练6】9．若x 2+mx +16＝（x +n ）2，其中m 、n 为常数，则n 的值是（ ）A ．n ＝8B ．n ＝±8C ．n ＝4D ．n ＝±4【即学即练7】10．若x 2+5x +m ＝（x +n ）2，则m ，n 的值分别为（ ）A ．m ＝，n ＝B ．m ＝，n ＝5C ．m ＝25，n ＝5D ．m ＝5，n ＝知识点03 十字相乘法分解因式1. 十字相乘法分解因式：对于一个二次三项式c bx ax ++2，若存在21a a a ⋅=，21c c c ⋅=，且b c a c a =+1221，那么二次三项式c bx ax ++2可以分解为：()()22112c x a c x a c bx ax ++=++ 举例说明：3522++x x 12⨯ 13⨯23== 523=+。

公式法·十字相乘法主备教师：学生：班学习目标1、初步了解用十字相乘法来分解二次三项式X2+px+q的方法。

2、进一步培养自己的观察、推理、联想及逆向思维的能力。

学习重点用十字相乘法来分解因式的方法。

学习难点掌握拆分常数项的规律。

学习过程一、学生自学1、计算：(x+5)(x+9）=(x-12)(x+5）=(x+a)(x+b）=2、分解因式：X2+14x+45=X2-7x-60=X2+(a+b)x+ab=3、根据上面第2题，你能在下列横线上填写适当的数吗？X2+14x+45=X2+( + )x+ ×X2-7x-60=X2+( + )x+ ×4、根据上面第3题右端的多项式能写成两个一次多项式的乘积吗？X2+14x+45=X2+( + )x+ ×=（x+ ）（x+ ）：X2-5x+6=X2+( + ）x+ ×=（x+ ）（x+ ）：X2-7x-60=X2+( + )x+ ×=（x+ ）（x+ ）；X2+x-2=X2+( + ）x+ ×=（x+ ）（x+ ）。

5、那么，对于X2+（a+b）x+ab又怎样分解呢？一般地，由多项式乘法（x+a）（x+b）=X2+（a+b）x+ab，反过来，就得到X2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b），这就是说，对于二次三项式X2+px+q，如果能够把常数项q分解成q=a×b，且a+b=p，那么X2+px+q= X2+（ + ）x+ ×=（x+ ）（x+ ）想一想：1）当q为正时， a、b 号，它们的符号与p的符号。

2）当q为负时，a、b 号，其中的符号与P的符号相同。

二、合作交流把下列二次三项式分解因式:(1) 232x x++ (2) 276x x-+小结: 当常数项为正数时,分解成两个同号因数,与一次项系数的符号相同.(3) 220m m+- (4) 2536p p--小结: 当常数项为负数时,分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同。