人教版高中数学选修1 1知识点总结全

高中数学选修1-1知识点总结归纳常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1命题1、命题：一般地，在数学中我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。

其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

2、命题的构成：在数学中，命题通常写成“若p ，则q ”的形式。

其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论。

1.1.2四种命题3、互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们这样的两个命题叫做互逆命题。

其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题。

如果原命题为“若p ，则q ”，则它的逆命题为“若q ，则p ”.4、互否命题：一般地，对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题。

如果把其中的一个命题叫做原命题，，那么另一个叫做原命题的否命题。

如果原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、互逆否命题：一般地，对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。

如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题。

如果原命题为“若p ，则q ”，则它的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”.6、以上总结概括：1.1.3四种命题间的相互关系7、四种命题间的相互关系：一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间原命题若p ，则q 逆命题若q ，则p 否命题若p ⌝，则q ⌝逆否命题若q ⌝，则p⌝原命题逆命题否命题逆否命题互为逆否互为逆否互逆互否互否若p ⌝，则q⌝若q ⌝，则p⌝若p ，则q若q ，则p互逆的相互关系：8、四种命题的真假性：一般地，四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题和互否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆否命题或互否命题，它们的真假性没有关系。

1．3 简单的逻辑联结词
1.基本概念: “或”、“且”、“非”称为逻辑联结词.
2.在判断复合命题的真假时，先确定复合命题的构成形成，同时要掌握以下规律：
ⅰ、“非”形式的复合命题的真假与命题的真假相反；
ⅱ、“或”形式的复合命题只有当命题与同时为假时才为假，否则为真；
ⅲ、“且”形式的复合命题只有当命题与同时为真时才真，否则为假。

3.写出一个命题的否定，往往需要对正面词语进行否定，要熟悉常用的正面叙述词语及它的否定形式，比如：“至少”、“最多”、以及“至少有一个是（不是）”、“最多有一个是（不是）”、“都是（不是）”、“不都是”等。

4.逻辑中的“或”与日常生活中的“或”是有区别的:“或”在日常生活中通常有两种解释: “不
可兼有”和“可兼有”.例如：“今天晚上要有一个人在值班室接电话,你去或他去”(不可兼有),“今天下午要留人出黑板报,你留或他留”（可兼有）.在数学上一般采用“可兼有”,如或 . 生活中如果说“苹果是长在树上或长在地里”,就觉得不妥，但在逻辑中却是可以的且是真命题。

5.举出一些生活例子说明逻辑联结词中“或”与“且”的意义.
洗衣机在甩干时,如果“到达预定时间”或“机盖被打开”,就会停机,又如电子保险门在“钥匙
插入”且“密码正确”两个条件都满足时,才会开启.它们相应的电路是或门电路和与门电路。

(名师选题)2023年人教版高中数学选修一全部重要知识点单选题1、动点P在抛物线x2=4y上，则点P到点C(0,4)的距离的最小值为（）A．√3B．2√3C．12√3D．12答案：B分析：设出点P坐标，用两点间距离公式表达出点P到点C(0,4)的距离，配方后求出最小值.设P(x,x 24)，则|PC|=√x2+(x24−4)2=√116(x2−8)2+12，当x2=8时，|PC|取得最小值，最小值为2√3故选：B2、若ab≠0，则ax−y+b=0和bx2+ay2=ab所表示的曲线只可能是下图中的（）A．B．C．D．答案：C分析：根据椭圆、双曲线的性质判断参数a,b 的符号，结合直线的位置判断a,b 与曲线参数是否矛盾，即可知正确选项.方程可化为y =ax +b 和x 2a +y 2b=1.A ：双曲线的位置：a <0，b >0，由直线的位置：a >0，b >0，矛盾，排除；B ：椭圆知a ，b ∈(0,+∞)，但B 中直线的位置：a <0，b <0，矛盾，排除；C ：双曲线的位置：a >0，b <0，直线中a ，b 的符号一致.D ：椭圆知a ，b ∈(0,+∞)，直线的位置：a <0，b >0，矛盾，排除； 故选：C.3、已知A(−2,0),B(4,a)两点到直线l:3x −4y +1=0的距离相等，则a =（ ） A ．2B ． 92C ．2或−8D ．2或92 答案：D分析：利用点到直线距离公式进行求解即可.因为A(−2,0),B(4,a)两点到直线l:3x −4y +1=0的距离相等， 所以有√32+(−4)2=√32+(−4)2⇒|13−4a |=5⇒a =2，或a =92，故选：D4、已知F 是双曲线x 24−y 212=1的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6 答案：A分析：由双曲线方程求出a ，再根据点A 在双曲线的两支之间，结合|PA |+|PF ′|≥|AF ′|=5可求得答案 由x 24−y 212=1，得a 2=4,b 2=12，则a =2,b =2√3,c =√a 2+b 2=4， 所以左焦点为F(−4,0)，右焦点F ′(4,0)， 则由双曲线的定义得|PF |−|PF ′|=2a =4，因为点A(1,4)在双曲线的两支之间，所以|PA|+|PF′|≥|AF′|=√32+42=5，所以|PF|+|PA|≥9，当且仅当A,P,F′三点共线时取等号，所以|PF|+|PA|的最小值为9，故选：A5、已知椭圆x24+y23=1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于M，N两点，若△F1MN的周长为（）A．2B．4C．6D．8答案：D分析：运用椭圆的定义进行求解即可.由x 24+y23=1⇒a=2.因为M，N是椭圆的上的点，F1、F2是椭圆的焦点，所以MF1+MF2=2a,NF1+NF2=2a，因此△F1MN的周长为MF1+MN+NF1=MF1+MF2+NF2+NF1=2a+2a=4a=8，故选：D6、设圆C1:x2+y2−2x+4y=4，圆C2:x2+y2+6x−8y=0，则圆C1，C2的公切线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条答案：B分析：先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系，从而得解．由题意，得圆C1:(x−1)2+(y+2)2=32，圆心C1(1,−2)，圆C2:(x+3)2+(y−4)2=52，圆心C2(−3,4)，∴5−3<|C1C2|=2√13<5+3，∴C1与C2相交，有2条公切线．故选：B．7、已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别是F1，F2，直线y=kx与椭圆C交于A，B两点，|AF1|=3|BF 1|，且∠F 1AF 2=60°，则椭圆C 的离心率是（ ） A ．716B ．√74C ．916D ．34答案：B分析：根据椭圆的对称性可知，|AF 2|=|BF 1|，设|AF 2|=m ，由|AF 1|=3|BF 1|以及椭圆定义可得|AF 1|=3a 2，|AF 2|=a2，在△AF 1F 2中再根据余弦定理即可得到4c 2=7a 24，从而可求出椭圆C 的离心率．由椭圆的对称性，得|AF 2|=|BF 1|.设|AF 2|=m ，则|AF 1|=3m .由椭圆的定义，知|AF 1|+|AF 2|=2a ，即m +3m =2a ，解得m =a2，故|AF 1|=3a2，|AF 2|=a2. 在△AF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2=|AF 1|2+|AF 2|2−2|AF 1||AF 2|cos∠F 1AF 2，即4c 2=9a 24+a 24−2×3a 2×a2×12=7a 24，则e 2=c 2a 2=716，故e =√74. 故选：B.8、已知抛物线x 2=my 焦点的坐标为F(0,1)，P 为抛物线上的任意一点，B(2,2)，则|PB|+|PF|的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．112答案：A分析：先根据焦点坐标求出m ，结合抛物线的定义可求答案. 因为抛物线x 2=my 焦点的坐标为(0,1)，所以m4=1，解得m =4．记抛物线的准线为l ，作PN ⊥l 于N ，作BA ⊥l 于A ，则由抛物线的定义得|PB|+|PF|=|PB|+|PN|⩾|BA|=3，当且仅当P 为BA 与抛物线的交点时，等号成立．故选：A.9、已知动点P 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1(不含端点)上.设D 1PD 1B =λ，若∠APC 为钝角，则实数λ的取值范围为（ ）A ．(0,13)B ．(0,12)C ．(13,1)D ．(12,1) 答案：C分析：建立空间直角坐标系，由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，用坐标法计算，利用∠APC 不是平角，可得∠APC 为钝角等价于cos∠APC <0，即PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PC⃑⃑⃑⃑⃑ <0，即可求出实数λ的取值范围.设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1， 则有A (1,0,0),B (1,1,0),C (0,1,0),D (0,0,1) ∴D 1B ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,1,−1)，∴设D 1P ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(λ,λ,−λ)，∴PA ⃑⃑⃑⃑⃑ =PD 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +D 1A ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−λ,−λ,λ)+(1,0,−1)=(1−λ,−λ,λ−1)， PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =PD 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +D 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−λ,−λ,λ)+(0,1,−1)=(−λ,1−λ,λ−1)， 由图知∠APC 不是平角，∴∠APC 为钝角等价于cos∠APC <0， ∴PA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑ <0， ∴(1−λ)(−λ)+(−λ)(1−λ)+(λ−1)2=(λ−1)(3λ−1)<0， 解得13<λ<1 ∴λ的取值范围是(13,1)故选：C.10、已知两圆分别为圆C 1:x 2+y 2=49和圆C 2:x 2+y 2−6x −8y +9=0，这两圆的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切 答案：B分析：先求出两圆圆心和半径，再由两圆圆心之间的距离和两圆半径和及半径差比较大小即可求解. 由题意得，圆C 1圆心(0,0)，半径为7；圆C 2:(x −3)2+(y −4)2=16，圆心(3,4)，半径为4，两圆心之间的距离为√32+42=5，因为7−4<5<7+4，故这两圆的位置关系是相交. 故选：B.11、设B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是（）A．[√22,1)B．[12,1)C．(0,√22]D．(0,12]答案：C分析：设P(x0,y0)，由B(0,b)，根据两点间的距离公式表示出|PB|，分类讨论求出|PB|的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．设P(x0,y0)，由B(0,b)，因为x02a2+y02b2=1，a2=b2+c2，所以|PB|2=x02+(y0−b)2=a2(1−y02b2)+(y0−b)2=−c2b2(y0+b3c2)2+b4c2+a2+b2，因为−b≤y0≤b，当−b3c2≤−b，即b2≥c2时，|PB|max2=4b2，即|PB|max=2b，符合题意，由b2≥c2可得a2≥2c2，即0<e≤√22；当−b 3c2>−b，即b2<c2时，|PB|max2=b4c2+a2+b2，即b4c2+a2+b2≤4b2，化简得，(c2−b2)2≤0，显然该不等式不成立．故选：C．小提示：本题解题关键是如何求出|PB|的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．12、美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（）A ．5√24B ．7√24C ．9√24D ．11√24答案：B分析：建立平面直角坐标系，求出直线AB 的方程，利用点到直线距离公式进行求解.如图，以鼻尖所在位置为原点O ，中庭下边界为x 轴，垂直中庭下边界为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (12,4),B (-32,2)，直线AB : y -42-4=x -12-32-12，整理为x -y +72=0，原点O 到直线距离为|72|√1+17√24，故选：B 双空题13、设P 为椭圆M:x 28+y 2=1和双曲线N:x 2−y 26=1的一个公共点，且P 在第一象限，F 是M 的左焦点，则M的离心率为___________，|PF |=___________.答案：√1441+2√2##2√2+1分析：根据椭圆方程直接求离心率即可，根据椭圆与双曲线的方程可得其共焦点，再根据椭圆和双曲线的定义即可得出答案.解：M的离心率e=√1−18=√144，设M的右焦点为F′，因为8−1=1+6，且M与N的焦点都在x轴上，所以椭圆M与双曲线N的焦点相同，所以|PF|+|PF′|=2√8=4√2，|PF|−|PF′|=2，解得|PF|=1+2√2.所以答案是：√144；1+2√2.14、直线l：mx−y+1=0截圆x2+y2+4x−6y+4=0的弦为MN，则|MN|的最小值为__________，此时m的值为__________．答案： 2 1分析：设圆心到直线l的距离为d，则d=√m2+1，然后由|MN|=2√r2−d2，可求出|MN|=2√r2−d2=2√5−8m+1m，进而利用均值不等式可求解x2+y2+4x−6y+4=0可化简为(x+2)2+(y−3)2=9，设圆心到直线l的距离为d，则d=√m2+1，可得|MN|=2√r2−d2=2√9−(2m+2)2m2+1=2√9m2+9−4m2−8m−4m2+1=2√5m2−8m+5m2+1=2√5(m2+1)−8mm2+1=2√5−8mm2+1=2√5−8m+1m，当m>0时，|MN|有最小值，当m<0时，|MN|没有最小值，所以，当且仅当m=1m时，等号成立，此时，m=1所以答案是：①2；②1小提示：关键点睛：解题关键在于求出|MN|=2√r2−d2=2√5−8m+1m，进而利用均值不等式求出答案，属于中档题15、已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，双曲线N：x2m2−y2n2=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．答案：√3−1 2分析：方法一：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中m2,n2关系，即得双曲线N的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c+√3c，再根据椭圆定义得c+√3c=2a，解得椭圆M的离心率. ［方法一］：【最优解】数形结合＋定义法由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c+√3c，再根据椭圆定义得c+√3c=2a，所以椭圆M的离心率为ca =1+√3=√3−1.双曲线N的渐近线方程为y=±nm x，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为π3，∴n2m2=tan2π3=3，∴e2=m2+n2m2=m2+3m2m2=4，∴e=2.所以答案是：√3−1 ；2．［方法二］：数形结合＋齐次式求离心率设双曲线x 2m2−y2n2=1的一条渐近线y=nmx与椭圆x2a2+y2b2=1在第一象限的交点为A(x0,y0)，椭圆的右焦点为F2(c,0)．由题可知，A,F2为正六边形相邻的两个顶点，所以∠AOF2=60°（O为坐标原点）．所以tan60°=nm =√3．因此双曲线的离心率e=√m2+n2m=√m2+3m2m=2．由y=nm x与x2a2+y2b2=1联立解得A(√m2b2+a2n2√m2b2+a2n2)．因为△AOF2是正三角形，所以|OA|=c，因此，可得√a2b2m2m2b2+a2n2+a2b2n2m2b2+a2n2=c．将n=√3m,b2=a2−c2代入上式，化简、整理得4a4−8a2c2+c4=0，即e4−8e2+4=0，解得e=√3−1，e=√3+1（舍去）．所以，椭圆的离心率为√3−1，双曲线的离心率为2．所以答案是：√3−1 ；2．［方法三］：数形结合＋椭圆定义＋解焦点三角形由条件知双曲线N在第一、三象限的渐近线方程为y=√3x，于是双曲线N的离心率为√1+(√3)2=2．设双曲线x 2m2−y2n2=1的一条渐近线与椭圆x2a2+y2b2=1在第一象限的交点为A，椭圆的左、右焦点分别为F1,F2．在△AF1F2中，∠AF1F2=π6,∠AF2F1=π3,∠F1AF2=π2．由正弦定理得|AF1|sin∠AF2F1=|AF2|sin∠AF1F2=|F1F2|sin∠F1AF2．于是|AF1|+|AF2|sin∠AF2F1+sin∠AF1F2=|F1F2|sin∠F1AF2．即椭圆的离心率e=2c2a =sinπ2sinπ6+sinπ3=√3−1．所以答案是：√3−1 ；2．【整体点评】方法一：直接根据椭圆的定义以及正六边形性质求解，是该题的最优解；方法二：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，根据平面几何条件创建齐次式求出椭圆的离心率，运算较为复杂；方法三：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，再根据通过解焦点三角形求椭圆离心率．16、已知向量a⃗=(1,−3,2)，b⃑⃗=(−2,m,−4)，若a⃗//b⃑⃗，则实数m的值是________.若a⃗⊥b⃑⃗，则实数m的值是________.答案： 6 −103分析：（1）根据空间向量平行的坐标表示求m的值；（2）根据空间向量垂直的坐标表示求m的值.a ⃗=(1,−3,2)，b ⃑⃗=(−2,m,−4)，若a ⃗//b⃑⃗， 则(1,−3,2)=λ(−2,m,−4)，解得{λ=−12m =6； 若a ⃗⊥b ⃑⃗，则a ⃗⋅b ⃑⃗=−2−3m −8=0，解得：m =−103. 所以答案是：6；−103小提示：本题考查空间向量平行，垂直的坐标公式求参数的取值，属于基础题型.17、已知直线l ：y =k (x −1)与抛物线C ：y 2=2px (p >0)在第一象限的交点为A ，l 过C 的焦点F ，|AF |=3，则抛物线的准线方程为_______；k =_______.答案： x =−1 2√2解析：由直线方程求得焦点坐标，得准线方程，利用焦半径公式得A 点横坐标，结合图形可得直线斜率， 易知直线l 与x 轴的交点为(1,0)，即抛物线的焦点为F(1,0)，∴准线方程为x =−1，设A(x 1,y 1)，则|AF |=x 1+p 2=x 1+1=3，x 1=2，作AC ⊥x 轴于点C ，如图， 则C(2,0)，|FC |=1，∴|AC |=√32−12=2√2，∴直线l 的斜率为k =tan∠AFC =2√21=2√2．所以答案是：x =−1；2√2．小提示：本题考查抛物线的准线方程和焦半径公式，掌握抛物线的定义是解题关键．涉及到抛物线 上的点到焦点的距离时利用焦半径公式可以很快的求解．解答题18、如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成.已知隧道总宽度AD 为6√3m ，行车道总宽度BC 为2√11m ，侧墙高EA ，FD 为2m ，弧顶高MN 为5m .（1）以EF 所在直线为x 轴，MN 所在直线为y 轴，1m 为单位长度建立平面直角坐标系，求圆弧所在的圆的标准方程；（2）为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部（设为平顶）在竖直方向上的高度之差至少为0.5m ，问车辆通过隧道的限制高度是多少？答案：（1）x 2+(y +3)2=36；（2）3.5m .分析：（1）设出圆的方程，代入F,M 即可求解；（2）设限高为ℎ，作CP ⊥AD ，求出点P 的坐标，即可得出答案.（1）由题意，有E(−3√3,0)，F(3√3,0)，M(0,3).∵所求圆的圆心在y 轴上，∴设圆的方程为(x −0)2+(y −b)2=r 2（b ∈R ，r >0），∵F(3√3,0)，M(0,3)都在圆上，∴{(3√3)2+b 2=r 202+(3−b )2=r2 ，解得{b =−3r 2=36 . ∴圆的标准方程是x 2+(y +3)2=36.（2）设限高为ℎ，作CP ⊥AD ，交圆弧于点P ，则CP =ℎ+0.5.将点P 的横坐标x =√11代入圆的方程，得(√11)2+(y +3)2=36，得y =2或y =−8（舍去）.∴ℎ=CP −0.5=(2+2)−0.5=3.5(m ).故车辆通过隧道的限制高度为3.5m .19、如图，已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别是A,B ，且经过点(1,−√32)， 直线 l:x =ty −1恒过定点F 且交椭圆于D,E 两点，F 为OA 的中点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)记△BDE 的面积为S ，求S 的最大值.答案：(1)x 24+y 2=1(2)3√32分析：（1）由直线过定点坐标求得a ，再由椭圆所过点的坐标求得b 得椭圆方程；（2）设E (x 1,y 1),D (x 2,y 2)，直线l 方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得y 1+y 2=2tt 2+4,y 1y 2=−3t 2+4，计算弦长|DE |，再求得B 到直线l 的距离，从而求得三角形面积，由函数的性质求得最大值．（1）由题意可得，直线l:x =ty −1恒过定点F(−1,0)，因为F 为OA 的中点， 所以|OA|=2， 即a =2.因为椭圆C 经过点 (1,−√32)，所以 1222+(−√32)2b 2=1， 解得b =1，所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.（2）设E (x 1,y 1),D (x 2,y 2).由{x 2+4y 2=4x =ty −1得 (t 2+4)y 2−2ty −3=0,Δ>0恒成立， 则y 1+y 2=2tt 2+4,y 1y 2=−3t 2+4，则|ED|=√1+t 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+t 2⋅√(2t t 2+4)2−4×(−3t 2+4)=4√1+t 2⋅√t 2+3t 2+4 又因为点B 到直线l 的距离d =√1+t 2， 所以S =12×|ED|×d =12⋅4√1+t 2⋅√t 2+3t 2+4√1+t 2=6√t 2+3t 2+4 令m =√t 2+3⩾√3， 则6√t 2+3t 2+4=6m m 2+1=6m+1m ， 因为y =m +1m ，m ≥√3时，y ′=1−1m 2>0，y =m +1m 在m ∈[√3,+∞)上单调递增， 所以当m =√3时，(m +1m )min =4√33时，故S max =3√32. 即S 的最大值为 3√32. 小提示：方法点睛：本题求椭圆的标准方程，直线与椭圆相交中三角形面积问题，计算量较大，属于难题．解题方法一般是设出交点坐标，由（设出）直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理，然后由弦长公式求得弦长，再求得三角形的另一顶点到此直线的距离，从而求得三角形的面积，最后利用函数的性质，基本不等式等求得最值．20、已知直线l 1与直线l 2:3x +4y −5=0平行，直线l 1与两坐标轴所构成的三角形的面积为12，求直线l 1的方程.答案：3x +4y ±12√2=0分析：设直线的方程为3x +4y +c =0，求出截距后可求面积，从而可求直线的方程.设直线l 1的方程为3x +4y +c =0.令y =0，得x =−c 3；令x =0，得y =−c4.由题设得12|−c3|⋅|−c4|=12.解得c=±12√2，因此直线l1的方程为3x+4y±12√2=0.。

人教版高中数学选修1-1知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习全称量词与存在量词【学习目标】1．理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念；2．能准确地使用全称量词和存在量词符号“∀” “∃ ”来表述相关的教学内容；3．掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法；4. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【要点梳理】要点一、全称量词与全称命题全称量词全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“∀”表示，读作“对任意”.全称命题全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题.一般形式：“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作：x M ∀∈，()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）.要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题.要点二、存在量词与特称命题存在量词定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“∃ ”表示，读作“存在 ”.特称命题特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题.一般形式：“存在M 中一个元素0x ，有0()p x 成立”，记作：0x M ∃∈，0()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）.要点诠释：（1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在,R R αβ∈∈使sin()sin sin αβαβ+=+.（2）有些特称命题也可能省略了存在量词.（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述要点三、 含有量词的命题的否定对含有一个量词的全称命题的否定全称命题p ：x M ∀∈，()p xp 的否定p ⌝：0x M ∃∈，0()p x ⌝；从一般形式来看，全称命题“对M 中任意一个x ，有p （x ）成立”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意,()x M p x ∈”的否定为“0x M ∃∈，0()p x ⌝”.对含有一个量词的特称命题的否定特称命题p ：0x M ∃∈，0()p xp 的否定p ⌝：x M ∀∈，()p x ⌝；从一般形式来看，特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”，它的否定并不是简单地对结论部分0()p x 进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“0x M ∃∈，0()p x ”的否定为“x M ∀∈，()p x ⌝”.要点诠释：(1)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；(2)命题的否定与命题的否命题是不同的.（3）正面词：等于 、 大于 、小于、 是、 都是、 至少一个 、至多一个、 小于等于否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、 一个也没有、 至少两个 、 大于等于.要点四、全称命题和特称命题的真假判断①要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是真命题，必须对集合M 中的每一个元素x ，证明()p x 成立；要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是假命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得0()p x 不成立，即举一反例即可.②要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得0()p x 成立即可；要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是假命题，必须证明在集合M中，使 ()p x 成立得元素不存在.【典型例题】类型一：量词与全称命题、特称命题【全称量词与存在量词395491例1】例1. 判断下列命题是全称命题还是特称命题.（1）∀x ∈R ，x 2+1≥1；（2）所有素数都是奇数；（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（4）有些整数只有两个正因数.【解析】（1）有全称量词“任意”，是全称命题；（2）有全称量词“所有”，是全称命题；（3）有存在量词“存在”，是特称命题；（4）有存在量词“有些”；是特称命题。

人教版高中数学选修1-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习复数的概念与运算【学习目标】1．理解复数的有关概念：虚数单位i 、虚数、纯虚数、复数、实部、虚部等。

2．理解复数相等的充要条件。

3. 理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。

4. 会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义。

5. 会进行复数乘法和除法运算。

【要点梳理】知识点一：复数的基本概念1.虚数单位i数i 叫做虚数单位，它的平方等于1-，即21i =-。

要点诠释：①i 是－1的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -；②i 可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。

2. 复数的概念形如a bi +（,a b R ∈）的数叫复数，记作：z a bi =+（,a b R ∈）；其中：a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部，i 是虚数单位。

全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示。

要点诠释：复数定义中，,a b R ∈容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.3.复数的分类对于复数z a bi =+（,a b R ∈）若b=0,则a+bi 为实数，若b≠0,则a+bi 为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi 为纯虚数。

分类如下：用集合表示如下图：4.复数集与其它数集之间的关系 N Z Q R C （其中N 为自然数集，Z 为整数集，Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集。

） 知识点二：复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：特别地：00a bi a b +=⇔==.要点诠释：① 一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.② 根据复数a+bi 与c+di 相等的定义，可知在a=c ，b=d 两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）．③ 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大 小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.④ 复数相等的充要条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径，这也是本章常用的方法， 简称为“复数问题实数化”．知识点三、复数的加减运算1.复数的加法、减法运算法则：设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d R ∈），我们规定： 12()()()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++21()()z z c a d b i -=-+-要点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。

高中数学选修1-1知识点总结第一章简单逻辑用语1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句 .真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“假设p，那么q〞形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.3、原命题：“假设p，那么q〞逆命题：“假设q，那么p〞否命题：“假设 p，那么 q〞逆否命题：“假设q，那么 p〞4、四种命题的真假性之间的关系：〔1〕两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；〔2〕两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．5、假设p q，那么p是q的充分条件，q是p的必要条件．假设p q，那么利用集合间的包含关系：例如：假设A B，那么A是B的充分条件或6、逻辑联结词：⑴且(and)：命题形式p q；⑵或〔or〕：命题形式p是q的充要条件〔充分必要条件〕．B是A的必要条件；假设A=B，那么A是B的充要条件；pq；⑶非〔not〕：命题形式p.p q pq pq p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真7、⑴全称量词——“所有的〞、“任意一个〞等，用“〞表示；全称命题p：xM,p(x)；全称命题p的否认p：xM,p(x)。

⑵存在量词——“存在一个〞、“至少有一个〞等，用“〞表示；特称命题p：x M,p(x)；特称命题p的否认p：x M,p(x)；-1-第二章圆锥曲线1、平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数〔大于F1F2〕的点的轨迹称为椭圆．即：|MF||MF|2a,(2a|FF|)。

1212这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2y21a b0y2x21a b0 a2b2a2b2范围a xa且byb bxb且aya1a,0、2a,010,a、20,a 顶点10,b、20,b1b,0、2b,0轴长短轴的长2b长轴的长2a焦点F1c,0、F2c,0F10,c、F20,c焦距F1F22cc2a2b2对称性关于x轴、y轴、原点对称-2-离心率c b 2e a1 a 20e13、平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数〔小于F 1F 2〕的点的轨迹称为双曲线．即：||MF | |MF ||2a,(2a|FF |)。

人教版高中数学选修1-1知识点梳理）巩固练习重点题型（常考知识点命题及其关系【学习目标】1．了解命题、真命题、假命题的概念，能够指出一个命题的条件和结论；2．了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系，能判断四种命题的真假；3．能熟练判断命题的真假性.【要点梳理】要点一、命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.要点诠释：1.不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“x>2”，“2不一定大于3”.2.只有能够判断真假的陈述句才是命题.祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“π是有理数吗？”、“今天天气真好！”等.3.语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键.一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可.命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性.要点二、命题的结构命题可以改写成“若p，则q”的形式，或“如果p，那么q”的形式.其中p是命题的条件，q是命题的结论.要点诠释：1.一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论.2.有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式.要点三、四种命题原命题：“若p，则q”；逆命题：“若q，则p”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置；否命题：“若非p，则非q”，或“若⌝p，则⌝q”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定；逆否命题：“若非q，则非p”，或“若⌝q，则⌝p”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定.要点诠释：对于一般的数学命题，要先将其改写为“若p，则q”的形式，然后才方便写出其他形式的命题.要点四、四种命题之间的关系四种命题之间的构成关系原命题若p则q 互互互逆为逆否逆命题若q则p互否否命题互为逆否否逆否命题若⌝p则⌝q 四种命题之间的真值关系原命题真真假假逆命题真假真假互逆否命题真假真假若⌝q则⌝p逆否命题真真假假要点诠释：（1）互为逆否命题的两个命题同真同假；（2）互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假无必然联系.要点五、反证法：1.反证法是假设结论的否定成立，利用已知条件，经过推理论证得出矛盾，判定结论的否定错误，从而得出要证的结论正确.2.反证法的步骤：（1）假设结论不成立.（2）从假设出发推理论证得到矛盾（3）判定假设错误，肯定结论正确.3.互为逆否命题的两个命题同真同假是命题转化的依据和途径之一，因此在直接证明. 原命题有困难时，可以考虑证明与它等价的逆否命题.要点诠释：反证法是间接证明的重要方法之一.【典型例题】类型一：命题的概念例 1.判断下列语句是否为命题？若是，判断其真假.(1) x > 1 ；(2)当 x = 0 时, x > 1 ； (3) 你是男生吗？ (4) 求证： π 是无理数.【思路点拨】依据命题的定义判断。

高中数学选修1-1知识点总结第一章 简单逻辑用语● 命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．真命题：判断为真的语句．假命题：判断为假的语句．● “若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论． ● 原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ”否命题：“若p ⌝，则q ⌝” 逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝” ● 四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． ● 若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． ● 逻辑联结词：⑴且：命题形式p q ∧；⑵或：命题形式p q ∨； ⑶非：命题形式p ⌝．● ⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示． 全称命题p ：)(,x p M x ∈∀；全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃．⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“∃”表示． 特称命题p ：)(,x p M x ∈∃； 特称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀．第二章 圆锥曲线● 平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．焦距为2c X 2 y 2谁分母大，焦点在哪个轴上，分母大的为a 2 ,分母小的为b 2pqp q ∧p q ∨p ⌝真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假假假假真● 椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b +=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称离心率()22101c b e e a a==-<<● 平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．焦距为2c X 2 y 2谁是正的，焦点在哪个轴上，正的分母为a 2 ,负的分母为b 2 ● 双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210,0x y a b a b-=>> ()222210,0y x a b a b-=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率()2211c b e e a a==+>渐近线方程b y x a=±a y x b=±● 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．● 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．焦点到准线距离为p. ● 抛物线的几何性质：标准方程22y px =()0p >22y px =- ()0p > 22x py = ()0p > 22x py =-()0p >图形顶点()0,0对称轴x 轴y 轴焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程2px =-2p x =2p y =-2p y =离心率1e =范围0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤第三章 导数及其应用● 函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121f x f x x x --● 导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(00000．● 函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率．● 求切线步骤：1、求导()f x '；2、斜率k=()f x '；3、代点斜式y-y o =k(x-x o )，(x o ,y o)为切点。

2 G 圆锥曲线知识点小结圆锥曲线在高考中的地位：圆锥曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。

通过以圆锥曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。

(1).重视圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。

(2).重视圆锥曲线性质与数列的有机结合。

(3).重视解析几何与立体几何的有机结合。

高考再现：2011年（文22）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+y2= 1.如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=-3于点D（-3，m）.（1）求m2+k2的最小值；（2）若∣OG∣=∣OD∣·∣OE∣,①求证：直线l过定点；②试问点B、能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由.（理22）已知动直线l与椭圆C：+=1相交于P（x，y），Q（x，112y△2）两个不同点，且OPQ的面积△SOPQ=，其中O为坐标原点．（1）证明：+ 和 + 均为定值；（2）设线段 PQ 的中点为 M ，求∣OM ∣·∣PQ∣的最大值；（3）椭圆 C 上是否存在三点 D,E,G ，使得 △S OD E= △S OD G= S △OEG= ？若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由．(2009 年山东卷)设 m ∈R,在平面直角坐标系中,已知向量 a =(mx,y+1),向量 b =(x,y-1),a⊥b ,动点 M(x,y)的轨迹为 E.（1）求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;（2）已知 m=1/4,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨 迹 E 恒有两个交点 A,B,且 OA⊥OB(O 为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)已知 m=1/4,设直线 l 与圆 C:x 2+y 2=R 2(1<R<2)相切于 A ,且 l 与轨迹 E 只有1一个公共点 B ,当 R 为何值时,|A B |取得最大值?并求最大值.11 1一.圆锥曲线的定义：椭圆：平面内与两个定点的距离之和等于定长（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆。

高一上数学知识点全部归纳人教版高一上数学知识点全部归纳（人教版）在高中数学的学习过程中，高一上学期是一个重要的阶段。

这一学期，我们将学习许多基础而又重要的数学知识点。

本文将对高一上学期的数学知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和掌握这些知识。

一、集合和函数集合是数学中最基础的概念之一。

我们将学习如何用集合表示事物，如何进行集合的运算等等。

另外，函数也是数学中重要的概念之一，我们将学会如何用数学语言描述函数，并掌握函数的图像、定义域、值域等相关内容。

二、平面向量平面向量是数学中的一种重要工具，它可以用来描述力、速度、位移等物理量。

我们将学习如何表示平面向量、平面向量的加减、数量积和向量积等运算，以及向量的模、共线、垂直等性质。

三、三角函数三角函数是数学中的一大重点内容。

我们将学习正弦、余弦、正切等三角函数的定义，以及它们的周期性、比值关系、图像和性质。

此外，我们还将学会如何使用三角函数解决实际问题，例如三角函数在力学、物理等领域的应用。

四、数列与数学归纳法数列是数学中一个重要并且实用的概念。

我们将学习如何表示数列、数列的通项公式、等差数列和等比数列等常见数列的性质与运算。

同时，我们还将学习数学归纳法的基本思想与应用技巧，通过数学归纳法证明一些数学命题。

五、概率概率是统计学中的一个重要概念，在高中数学中也有一定的涉及。

我们将学习概率的基本定义、概率的性质以及概率计算的方法。

通过概率的学习，我们可以更好地理解和分析随机事件的发生规律，并在实际问题中应用概率计算。

六、平面几何平面几何是数学中一个经典而又实用的分支，我们将学习平面几何中的一些基本概念、定理以及应用技巧。

例如，我们将学习直线和角的性质，平行线与垂直线的判定方法，等腰三角形与直角三角形的性质，以及一些常见的平面几何证明方法等。

七、立体几何立体几何是平面几何的延伸，涉及到了空间中的图形与体积。

我们将学习立体几何中的一些重要概念、性质以及计算方法。

庖丁巧解牛知识·巧学一、命题的概念1.一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题(proposition).并非所有的语句都是命题，命题首先为陈述句,并且一般由条件和结论两部分组成.条件是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.因此，命题是对客观存在事物的肯定或否定的思维形式.命题可以用语言、符号或式子表达，这是指命题可以用文字语言叙述或数学符号表达或数学关系式（如方程、不等式、函数关系式）等表示.方法点拨判断一个语句是不是命题，就要看它是否符合命题的两个要素.首先命题是陈述句，其他的语句如疑问句、感叹句和祈使句均不属于命题；其次命题必须可以判断真假，否则也不属于命题.知识拓展在数学和其他科学技术中，还有一类陈述句经常出现，如“每一个不小于6的偶数都是两个奇数的和”，“在2020年前，将有人登上火星”等，虽然目前还不能确定这些语句的真假，但随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它们的真假，人们把这一类猜想仍算为命题.2.判断为真的语句叫做真命题(true proposition).判断为假的语句叫做假命题(false proposition).判断为真或假的语句是指的陈述句，真或假是指正确还是错误.二、命题的条件和结论在数学中,“若p则q”是命题的常见形式,其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.所有命题都可表示为“若p则q”的形式.“若p则q”的形式的命题也可以写成“如果p，那么q”“只要p，就有q”等形式.如命题“对顶角相等”和“直角都相等”这两个命题都采用简略式，完整表达式为，“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”和“如果有一些角是直角，那么这些角都相等”方法点拨在把命题改写成“若p则q”的形式时，应分清命题的条件和结论分别是什么，然后将条件写在前，结论写在后即可.注意命题形式的改变并不改变命题的真假，只是表述形式上的变化.误区警示在改写时一定要分清命题的条件和结论，产生错误的原因常常在于分不清条件和结论.若在命题中含有大前提，大前提应单独给出，不能把大前提放在命题的条件部分内.容易出现的错误是把大前提放在命题的条件内.问题·探究问题1 如何判断一个语句是否为命题呢？若是命题，如何判断其真假呢？探究:判断一个语句是否为命题的关键，是看它是否符合命题的两个基本要素，即是否符合是“陈述句”和“可以判断真假”，只有同时满足这两个条件的才是命题.一个语句如果是命题，那么它要么是真命题，要么是假命题，但不能同时是真命题和假命题，也不能模凌两可无法判断其真假.把一个命题改写成“若p则q”的形式后，判断真假命题的方法如下：若由“p”经过逻辑推理得出“q”，则可确定“若p则q”是真命题；要确定“若p则q”为假，则只需举一个反例说明即可.如果将含有大前提的命题改写成“若p则q”的形式时，大前提要保持不变，仍作为大前提，不能写在条件p中.问题2我们在前面已经学习了集合的有关知识，从集合的角度看命题的真假与集合间有什么关系呢？探究:从集合的角度看，可以建立集合与命题中的之间的特殊联系.设集合A=｛x|p(x)成立｝，B=｛x|q(x)成立｝.就是说，A是全体能使条件p成立的对象x所构成的集合，B是全体能使条件q成立的x对象所构成的集合，此时，命题“若p则q”为真，意味着“使p成立的对象也使q成立”，当且仅当A⊆B时满足.命题“若p则q”为假，意味着“使p成立的对象不能使q成立”当且仅当A⊄B时满足.典题·热题例1 判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？(1)末位是0的整数能被5整除；(2)平行四边形的对角线相等且互相平分；(3)两直线平行则斜率相等；(4)△ABC中,若∠A=∠B,则sinA=sinB；(5)余弦函数是周期函数吗？思路分析：本题主要考查命题定义的两个要素.首先命题是陈述句，其他的语句如疑问句、感叹句和祈使句均不是命题；其次命题必须可以判断真假，否则也不是命题.命题的两个基本要素缺一不可.解：(1)是命题,真命题；(2)是命题,假命题；(3)是命题,假命题；(4)是命题,真命题；(5)不是命题.例 2 设A、B为两个集合,下列四个命题:①A B⇔对任意x∈A,有x∈B；②A B⇔A∩B=∅；③A B⇔A B；④A B⇔存在x∈A,使得x∉B.其中真命题的序号是_________(把符合要求的命题的序号都填上).思路分析：本题主要考查集合间的运算关系以及命题的真假，A⊆B的含义是若x∈A,则x∈B;A B的含义是A不是B的子集，本题主要依据A⊆B的定义解答.答案：④方法归纳本题借助命题考查集合间的关系.在解答集合间的关系这类题时，可借助于韦恩图和特殊的集合，有时还可在数轴上表示集合间的关系.例3 已知a、b为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,且a⊥α,b⊥β,则下列命题中的假命题是（）A.若a∥b,则α∥βB.若α⊥β,则a⊥bC.若a、b相交,则α、β相交D.若α、β相交,则a、b相交思路分析：如右图,因为α、β为两个不同的平面,所以若α∩β=c,则平面α、β不会重合.因为a⊥α,b⊥β,所以a与b不一定相交.故“α、β相交,则a、b相交”是假命题.答案：D方法归纳 本题借助于命题考查线线、线面和面面间的位置关系.在解决此类问题时，可以结合教室中一些物体的几何形状解决问题.例4 指出下列命题的条件p 和结论q:(1)若空间四边形为正四面体,则顶点在底面上的射影为底面的中心；(2)若两条直线a 和b 都和直线c 平行,则直线a 和直线b 平行.思路分析：本题主要考查命题的条件和结论.只需把命题写成“若p 则q”的形式，在改写时，有大前提的，大前提保持不变.解：(1)条件p:空间四边形为正四面体.结论q:顶点在底面上的射影为底面的中心.(2)条件p:两直线a 和b 都和直线c 平行.结论q:直线a 和b 平行.例5 将下列命题改写成“若p 则q”的形式,并判断真假:(1)偶数能被2整除；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)同弧所对的圆周角不相等.思路分析：本题主要考查把命题改写成“若p 则q”的形式.解：(1)若一个数是偶数,则它能被2整除；真命题.(2)若一个函数是奇函数,则它的图象关于原点对称；真命题.(3)若两个角为同弧所对的圆周角,则它们不相等；假命题.方法归纳 在改写时，要分清命题的条件和结论，这是解这类题的关键；并且要注意大前提的写法.例6 已知m ∈{z|-1<z<1,z≠0}，设p:y=mx+2 004的值随x 的增大而增大；q:不等式x+|x-2m|>1的解集为R .当p 、q 有且只有一个正确时，求实数m 的取值范围.思路分析：本题是函数、不等式与命题的综合题，涉及到函数的单调性和把不等式转化成求函数的最小值的问题，要解此题可以先分q 和p 正确与否，然后求出m 的范围.解：首先研究q ，∵x+|x-2m|=⎩⎨⎧<≥-),2(2),2(22m x m m x m x , ∴x+|x-2m|的最小值是2m.又∵不等式x+|x-2m|>1的解集为R ,∴2m>1,∴m>21. 结合m ∈{z|-1<z<1,z≠0}知，q 正确时，21<m<1;q 不正确时，-1<m≤21且m≠0. 其次研究p ，y=mx+2 004的值随x 的增大而增大，m>0，反之m≤0.所以p 正确时0<m<1，p 不正确时-1<m<0.综上可知，当p 正确q 不正确时,0<m≤21. 当p 不正确q 正确时,m ∈∅.所以m 的取值范围是{m|0<m≤21}. 方法归纳 解答这类问题时要尽量把命题简化，再根据题设条件，推出所有可能的情况.。

(名师选题)2023年人教版高中数学选修一考点总结单选题1、如图，在直三棱柱ABC −AB 1C 1中，AC =3,BC =4,CC 1=3,∠ACB =90∘ ，则BC 1与A 1C 所成的角的余弦值为（ ）A ． 3√210B ． √33C ． √24D ． √55答案：A分析：建立空间直角坐标系，写出CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，由夹角公式可得结果.如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A 1(3,0,3)，B (0,4,0)，C 1(0,0,3)，所以CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(3,0,3)，BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−4,3)，所以cos⟨CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩=CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=3√2×5=3√210， 所以直线BC 1与A 1C 所成角的余弦值为3√210．故选：A.2、已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点与抛物线y 2=2px(p >0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD|=√2|AB|．则双曲线的离心率为（ ）A ．√2B ．√3C ．2D ．3答案：A分析：设公共焦点为(c,0)，进而可得准线为x =−c ，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得a 2=12c 2，再由双曲线离心率公式即可得解. 设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)与抛物线y 2=2px(p >0)的公共焦点为(c,0)，则抛物线y 2=2px(p >0)的准线为x =−c ，令x =−c ，则c 2a 2−y 2b 2=1，解得y =±b 2a ，所以|AB|=2b 2a , 又因为双曲线的渐近线方程为y =±b ax ，所以|CD|=2bc a ， 所以2bc a =2√2b 2a ，即c =√2b ，所以a 2=c 2−b 2=12c 2， 所以双曲线的离心率e =c a =√2.故选：A. 3、如图，正方形ABCD 与正方形ADEF 互相垂直，G 是AF 的中点，则（ ）A ．BE 与CG 异面但不互相垂直B ．BE 与CG 异面且互相垂直C ．BE 与CG 相交但不互相垂直D ．BE 与CG 相交且互相垂直答案：A分析：根据异面直线的定义可判断BE 与CG 异面，由题意建立空间直角坐标系，利用向量法可判断BE 与CG 不互相垂直.解：因为AD//BC ，AD//EF ，所以BC//EF ，所以BC 与EF 确定一个平面α，所以BE ⊂α，因为C ∈α,G ∉α，所以BE 与CG 异面，因为正方形ABCD 与正方形ADEF 互相垂直，平面ABCD ∩平面ADEF =AD ，DE ⊂平面ADEF 且DE ⊥AD ，所以DE ⊥平面ABCD ，又DC ⊥AD ，所以建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，设正方形的边长为1，则B (1,1,0)，E (0,0,1)，C (0,1,0)，G (1,0,12)，所以BE ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,−1,1),CG ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,−1,12)，因为BE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CG ⃑⃑⃑⃑⃑ =−1×1+(−1)×(−1)+1×12=12≠0， 所以BE⃑⃑⃑⃑⃑ 与CG ⃑⃑⃑⃑⃑ 不垂直，即BE 与CG 不互相垂直， 故选：A.4、已知直线斜率为k ，且−1≤k ≤√3，那么倾斜角α的取值范围是（ ）A ．[0,π3]∪[π2,3π4)B ．[0,π3]∪[3π4,π) C ．[0,π6]∪[π2,3π4)D ．[0,π6]∪[3π4,π) 答案：B分析：根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角α的取值范围.解：直线l 的斜率为k ，且−1≤k ≤√3，∴−1≤tanα≤√3，α∈[0,π).∴α∈[0,π3]∪[3π4,π).故选：B.5、在矩形ABCD 中，O 为BD 中点且AD =2AB ，将平面ABD 沿对角线BD 翻折至二面角A −BD −C 为90°，则直线AO 与CD 所成角余弦值为（ ）A ．√55B ．√54C ．3√525D ．4√225答案：C分析：建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线AO 与CD 所成角余弦值.在平面ABD 中过A 作AE ⊥BD ，垂足为E ；在平面CBD 中过C 作CF ⊥BD ，垂足为F .由于平面ABD ⊥平面BCD ，且交线为BD ，所以AE ⊥平面BCD ，CF ⊥平面ABD ，设AB =1,AD =2，12×BD ×AE =12×AB ×AD ⇒AE =√5OE =√OA 2−AE 2=2√5 同理可得CF =√5OF =2√5，以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则A(2√5√5),√52√50),D(−√52,0,0)， CD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−√510,2√50)，设AO 与CD 所成角为θ，则cosθ=|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CD ⃑⃑⃑⃑⃑ |OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|CD ⃑⃑⃑⃑⃑ ||=320√52×12=3√525.故选：C6、如果AB >0且BC <0，那么直线Ax +By +C =0不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：C分析：通过直线经过的点来判断象限.由AB >0且BC <0，可得A,B 同号，B,C 异号，所以A,C 也是异号；令x =0，得y =−C B >0；令y =0，得x =−C A >0； 所以直线Ax +By +C =0不经过第三象限.故选：C.7、在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =a ,AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ,AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =c，则a ⋅(b ⃑ +c )的值为（ ） A ．1B ．0C ．-1D ．-2答案：B分析：由正方体的性质可知AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 两两垂直，从而对a⋅(b ⃑ +c )化简可得答案 由题意可得AB ⊥AD,AB ⊥AA 1,所以a ⊥b ⃑ ,a ⊥c ，所以a ⋅b ⃑ =0,a ⋅c =0，所以a ⋅(b ⃑ +c )=a ⋅b ⃑ +a ⋅c =0，故选：B8、若圆C 1:x 2+y 2−2ay =0(a >0)与圆C 2:x 2+y 2−4x +3=0相外切，则a 的值为（ ）A ．12B ．23C ．1D ．32 答案：D分析：确定出两圆的圆心和半径，然后由两圆的位置关系建立方程求解即可.由x 2+y 2−2ay =0(a >0)可得x 2+(y −a )2=a 2，所以圆C 1的圆心为(0,a )，半径为a ，由x 2+y 2−4x +3=0可得(x −2)2+y 2=1，所以圆C 2的圆心为(2,0)，半径为1，因为两圆相外切，所以√4+a 2=a +1，解得a =32， 故选：D9、在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6答案：D分析：平移直线AD1至BC1，将直线PB与AD1所成的角转化为PB与BC1所成的角，解三角形即可.如图，连接BC1,PC1,PB，因为AD1∥BC1，所以∠PBC1或其补角为直线PB与AD1所成的角，因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥PC1，又PC1⊥B1D1，BB1∩B1D1=B1，所以PC1⊥平面PBB1，所以PC1⊥PB，设正方体棱长为2，则BC1=2√2,PC1=12D1B1=√2，sin∠PBC1=PC1BC1=12，所以∠PBC1=π6.故选：D10、已知直线l的倾斜角为60∘，且经过点(0,1)，则直线l的方程为（）A．y=√3x B．y=√3x−2C．y=√3x+1D．y=√3x+3答案：C分析：先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可.由题意知：直线l的斜率为√3，则直线l的方程为y=√3x+1.故选：C.11、已知F1､F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥PF2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ .若△PF1F2的面积为9，则b=（）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B分析：根据△PF 1F 2的面积以及该三角形为直角三角形可得|PF 1|⋅|PF 2|=18，|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，然后结合|PF 1|+|PF 2|=2a ，简单计算即可.依题意有|PF 1|+|PF 2|=2a ，所以|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1|⋅|PF 2|=4a 2又PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，S △PF 1F 2=12|PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=9，所以|PF 1|⋅|PF 2|=18，又|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，可得4c 2+36=4a 2，即a 2−c 2=9，则b =3，故选：B.12、已知双曲线x 2a 2−y 22=1(a >0)的一条渐近线的倾斜角为π6，则此双曲线的离心率e 为（ ） A ．2√33B ．2√63C ．√3D ．2 答案：A分析：根据题意渐近线的斜率为tan π6=√33，所以该渐近线的方程为y =√33x ，所以2a 2=(√33)2，求得a =√6，利用c =√a 2+b 2，求得c 即可得解.∵双曲线x 2a 2−y 22=1(a >0)的一条渐近线的倾斜角为π6，tan π6=√33， ∴该渐近线的方程为y =√33x ，∴2a 2=(√33)2，解得a =√6或−√6（舍去），∴c =√a 2+b 2=2√2，∴双曲线的离心率为e =c a =√2√6=2√33． 故选：A ．双空题13、如果点M (x,y )在运动过程中，总满足关系式√x 2+(y +3)2+√x 2+(y −3)2=10，则√x 2+(y −3)2=______（用含y 的式子表示），它的标准方程是______．答案： √925y 2−6y +25 x 216+y 225=1分析：根据椭圆的定义，求得椭圆的方程；再结合椭圆方程，求得x 2,y 2的关系，代入√x 2+(y −3)2即可求得结果.因为√x 2+(y +3)2+√x 2+(y −3)2=10，其表示M 到(0,−3),(0,3)点的距离之和为10，又10>6，故点M 的轨迹满足椭圆的定义，设其标准方程为：y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)，显然c =3，2a =10，又b 2=a 2−c 2，解得a 2=25,b 2=16，则标准方程为：x 216+y 225=1；故可得x 2=16−1625y 2代入√x 2+(y −3)2，则√x 2+(y −3)2 =√16−1625y 2+y 2−6y +9=√925y 2−6y +25.所以答案是：√925y 2−6y +25；x 216+y 225=1.14、已知正四面体VABC 的棱长为2，E ，F 分别是棱VA ，BC 的中点，则该正四面体外接球的表面积为___________．异面直线BE 与VF 所成角的余弦值为___________．答案： 6π 23分析：将正四面体补成一个正方体，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，即可得出结论，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值．解：将正四面体补成一个正方体，因为正四面体VABC 的棱长为2，则正方体的棱长为√2，所以正方体的体对角线长为√(√2)2+(√2)2+(√2)2=√6，∵正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长，∴外接球的表面积为4π×(√62)2=6π．如图建立空间直角坐标系，则B(√2,0,0)，F (√22,√22,0)，E (√22,√22,√2)，V(√2,√2,√2)，所以BE ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−√22,√22,√2)，FV ⃑⃑⃑⃑⃑ =(√22,√22,√2)， 所以cos⟨BE ⃑⃑⃑⃑⃑ ,FV ⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩=BE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅FV ⃑⃑⃑⃑⃑ |BE ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|FV ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√3×√3=23， 所以异面直线BE 与VF 所成角的余弦值为23；所以答案是：6π；23；15、如图，在三棱锥S −ABC 中，SB ⊥AB ， SB ⊥BC ， AB ⊥BC ，SB =AB =BC =2，P ， Q 分别为棱AB ， BC 的中点，O 为三棱锥S −ABC 外接球的球心，则球O 的体积为________；平面SPQ 截球O 所得截面的周长为________．答案： 4√3π 2√2π分析：将三棱锥补成正方体，则正方体的外接球是三棱锥的外接球，求出外接球半径，从而求出体积，求解截面周长，方法一：找到截面圆心，得到截面圆的半径，求出截面周长；方法二：建立空间直角坐标系，用空间向量求解出点到平面的距离，进而求出截面半径和周长.因为SB ⊥AB ， SB ⊥BC ， AB ⊥BC ，SB =AB =BC =2将三棱锥S −ABC 补成正方体ABCD −LSMN 如图1，所以三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心O是BN的中点.设外接球的半径为R，则2R=BN=2√3，即R=√3，所以V=4π3√33=4√3π.方法一：设PQ∩BD=E，因为AC⊥平面SBDN，PQ//AC，所以PQ⊥平面SBDN，所以平面SPQ⊥平面SBDN，因为平面SPQ∩平面SBDN=SE，过O作OO1⊥SE，垂足为O1，如图2，则OO1⊥平面SPQ，且O1是截面的圆心.设BN∩SE=F，如图3，在矩形BDNS中BFFN =BESN=14，所以BF OF=23，过B 作BG ⊥SE ，垂足为G ，则BGOO 1=BF FO=23，在RtΔSBE 中，SB =2，BE =14BD =14×2√2=√22， SE =√SB 2+BE 2=3√22，则BG =BE⋅SB SE=23，所以OO 1=32BG =1，设截面圆的半径为r ，则r =√R 2−OO 12=√3−1=√2，故截面的周长为2√2π.方法二：以BC ， BA ， BS 分别为x 轴，y 轴和z 轴建立空间直角坐标系B −xyz ，则S(0 ， 0 ， 2)，P(0 ， 1 ， 0)，Q(1 ， 0 ， 0)，O(1 ， 1 ， 1)， PQ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1 ， −1 ， 0)，PS ⃑⃑⃑⃑ =(0 ， −1 ， 2)，OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1 ， 0 ， −1)， 设平面SPQ 的法向量为n ⃑ =(x ， y ， z)， 由{n ⃑ ⋅PQ ⃑⃑⃑⃑⃑ =0n ⃑ ⋅PS⃑⃑⃑⃑ =0 ，得{x −y =0−x +2z =0 ，所以平面SPQ 的一个法向量n ⃑ =(2 ， 2 ， 1).设直线OP 与平面SPQ 所成的角为θ，球心O 到平面SPQ 的距离为d所以sinθ=|cos <OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ， n ⃑ >|=|OP ⃑⃑⃑⃑⃑⋅n ⃑ ||OP ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |=√22，且d =|OP ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅sinθ=√2×√22=1. 设截面的半径r ，则r =√R 2−d 2=√2，所以截面的周长为2√2π.16、已知抛物线x 2=2py (p >0)的焦点为F ，准线为l ，点P (4,y 0)在抛物线上，K 为l 与y 轴的交点，且PK =√2PF ，则y 0=______，p =______． 答案： 2 4分析：作PM ⊥l ，垂足为M ，则由抛物线的定义结合已知条件可得∠PKM =45°，则|PM|=|MK|=4，再结合抛物线的定义和点P(4,y 0)在抛物线上列方程组可求出结果. 作PM ⊥l ，垂足为M ，由抛物线定义知|PM|=|PF|， 又知|PK|=√2|PF|，所以在Rt △PKM 中，sin∠PKM =|PM||PK|=|PF||PK|=√22， 所以∠PKM =45°，所以△PMK 为等腰直角三角形， 所以|PM|=|MK|=4，又点P 在抛物线x 2=2py(p >0)上， 所以{py 0=8y 0+p 2=4， 解得{p =4y 0=2．所以答案是：2，4小提示：17、已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，焦点F 1(−c,0)，F 2(c,0) (c >0)，若过F 1的直线和圆(x −12c)2+y 2=c 2相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且PF 2⊥x 轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________. 答案：2√55√55分析：不妨假设c =2，根据图形可知，sin∠PF 1F 2=23，再根据同角三角函数基本关系即可求出k =tan∠PF 1F 2=25√5；再根据椭圆的定义求出a ，即可求得离心率．如图所示：不妨假设c =2，设切点为B ， sin∠PF 1F 2=sin∠BF 1A =|AB ||F 1A |=23，tan∠PF 1F 2=√32−22=25√5所以k =2√55, 由k =|PF 2||F 1F 2|,|F 1F 2|=2c =4，所以|PF 2|=8√55，|PF 1|=|PF 2|×1sin∠PF 1F 2=12√55， 于是2a =|PF 1|+|PF 2|=4√5，即a =2√5，所以e =c a =2√5=√55． 所以答案是：2√55；√55． 解答题18、已知圆C 过点A (3,1),B (5,3)，圆心在直线y =x 上. （1）求圆C 的方程.（2）判断点P (2，4)与圆C 的关系答案：（1）(x −3)2+(y −3)2=4；（2）P 在圆C 内部.分析：(1)由给定条件设出圆心C (a,a )、半径r ，进而写出圆的标准方程，再列出关于a ，r 的方程组即可得解 (2)求出点P 与点C 的距离，再将它与r 比较即可得解.（1）由题意设圆心为C (a,a )，半径为r ，则圆的标准方程为(x −a)2+(y −a )2=r 2， 由题意得{(3−a)2+(1−a )2=r 2(5−a)2+(3−a )2=r 2 ，解得{a =3r =2，所以圆C 的标准方程为(x −3)2+(y −3)2=4； （2）由(1)知|PC |=√(3−2)2+(3−4)2=√2<r P (2，4)在圆C 内.19、如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面 ABC,AC ⊥BC,AC =BC =2，CC 1=3，点D, E 分别在棱AA 1和棱 CC 1上，且AD =1 CE =2, M 为棱A 1B 1的中点．（Ⅰ）求证：C 1M ⊥B 1D ；（Ⅱ）求二面角B −B 1E −D 的正弦值； （Ⅲ）求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值． 答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）√306；（Ⅲ）√33. 分析：以C 为原点，分别以CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,CB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系. （Ⅰ）计算出向量C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 和B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，得出C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，即可证明出C 1M ⊥B 1D ；（Ⅱ）可知平面BB 1E 的一个法向量为CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，计算出平面B 1ED 的一个法向量为n ⃑ ，利用空间向量法计算出二面角B −B 1E −D 的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果； （Ⅲ）利用空间向量法可求得直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值.依题意，以C 为原点，分别以CA ⃑⃑⃑⃑⃑ 、CB ⃑⃑⃑⃑⃑ 、CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得C(0,0,0)、A(2,0,0)、B(0,2,0)、C 1(0,0,3)、 A 1(2,0,3)、B 1(0,2,3)、D(2,0,1)、E(0,0,2)、M(1,1,3). （Ⅰ）依题意，C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,1,0)，B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,−2,−2)， 从而C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2−2+0=0，所以C 1M ⊥B 1D ； （Ⅱ）依题意，CA⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,0)是平面BB 1E 的一个法向量， EB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2,1)，ED ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,−1)． 设n ⃑ =(x,y,z)为平面DB 1E 的法向量， 则{n ⃑ ⋅EB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0n ⃑ ⋅ED ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，即{2y +z =02x −z =0， 不妨设x =1，可得n ⃑ =(1,−1,2)．cos <CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ |CA ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |=2×√6=√66， ∴sin <CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=√1−cos 2<CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=√306．所以，二面角B −B 1E −D 的正弦值为√306； （Ⅲ）依题意，AB⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,2,0)． 由（Ⅱ）知n ⃑ =(1,−1,2)为平面DB 1E 的一个法向量，于是cos <AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n⃑ |AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |=2√2×√6=−√33．所以，直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为√3.3小提示：本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.20、如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC=120°,AB=1,BC=4,PA=√15，M，N分别为BC,PC的中点，PD⊥DC,PM⊥MD.（1）证明：AB⊥PM；（2）求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.．答案：（1）证明见解析；（2）√156分析：（1）要证AB⊥PM，可证DC⊥PM，由题意可得，PD⊥DC，易证DM⊥DC，从而DC⊥平面PDM，即有DC⊥PM，从而得证；（2）取AD中点E，根据题意可知，ME,DM,PM两两垂直，所以以点M为坐标原点，建立空间直角坐标系，再⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 和平面PDM的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出．分别求出向量AN（1）在△DCM中，DC=1，CM=2，∠DCM=60∘，由余弦定理可得DM=√3，所以DM2+DC2=CM2，∴DM⊥DC．由题意DC⊥PD且PD∩DM=D，∴DC⊥平面PDM，而PM⊂平面PDM，所以DC⊥PM，又AB//DC，所以AB⊥PM．（2）由PM⊥MD，AB⊥PM，而AB与DM相交，所以PM⊥平面ABCD，因为AM=√7，所以PM=2√2，取AD中点E，连接ME，则ME,DM,PM两两垂直，以点M为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,则A(−√3,2,0),P(0,0,2√2),D(√3,0,0),M(0,0,0),C(√3,−1,0)又N 为PC 中点，所以N (√32,−12,√2),AN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(3√32,−52,√2). 由（1）得CD ⊥平面PDM ，所以平面PDM 的一个法向量n ⃑ =(0,1,0)从而直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值为sinθ=|AN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ ||AN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ‖n ⃑ |=52√274+254+2=√156．小提示：本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明AB ⊥PM ，可以考虑DC ⊥PM ，题中与DC 有垂直关系的直线较多，易证DC ⊥平面PDM ，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出．。

必修1数学知识点第一章：集合与函数概念§1.1.1、集合1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

集合三要素：确定性、互异性、无序性。

2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。

3、常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R .4、集合的表示方法：列举法、描述法.§1.1.2、集合间的基本关系1、一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集。

记作B A ⊆.2、如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B.3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：∅.并规定：空集合是任何集合的子集.4、如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n2个子集，21n-个真子集.§1.1.3、集合间的基本运算1、一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A .2、一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A .3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈∉且§1.2.1、函数的概念1、设A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,.2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.§1.2.2、函数的表示法1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.§1.3.1、单调性与最大（小）值1、注意函数单调性的证明方法：(1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是增函数；],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是减函数.步骤：取值—作差—变形—定号—判断格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则：()()21x f x f -=…(2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.§1.3.2、奇偶性1、一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.2、一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称.知识链接：函数与导数1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.2、几种常见函数的导数①'C 0=；②1')(-=n n nxx ；③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；⑤a a a xx ln )('=；⑥xx e e =')(；⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧xx 1)(ln '=3、导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±.（2）'''()uv u v uv =+.（3）'''2((0)u u v uv v v v -=≠.4、复合函数求导法则复合函数(())y f g x =的导数和函数(),()y f u u g x ==的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.解题步骤:分层—层层求导—作积还原.5、函数的极值(1)极值定义：极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值；极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＞)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极小值.(2)判别方法：①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值；②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.6、求函数的最值(1)求()y f x =在(,)a b 内的极值（极大或者极小值）(2)将()y f x =的各极值点与(),()f a f b 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。

.人教版高中数学选修 1-1知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习椭圆的方程【学习目标】1.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程；2.掌握椭圆的定义和标准方程；3.能用椭圆的定义和标准方程解决简单的实际问题.【要点梳理】要点一、椭圆的定义平面内一个动点 P 到两个定点 F 、F 的距离之和等于常数( PF + PF = 2a > F F )，这个动点 P 的1 21 2 1 2轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距要点诠释：若 PF + PF = F F ，则动点 P 的轨迹为线段 F F ；1 21 21 2若 PF + PF < F F ，则动点 P 的轨迹无图形.1 21 2要点二、椭圆的标准方程标准方程的推导：由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．(1)建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．2 2 以两定点 F 1、F 2 的直线为 x 轴，线段 F 1F 2 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系(如图)．设|F 1F 2|=2c(c＞0)，M(x ，y)为椭圆上任意一点，则有 F 1(-1，0)，F 2(c ，0)．(2)点的集合由定义不难得出椭圆集合为：P={M||MF 1|+|MF 2|=2a ｝．(3)代数方程即：(4)化简方程 由 2a > 2c可得 a 2 - c 2 = b 2 ，则得方程 x 2 y 2 + a b 2= 1 (a > b > 0)关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．因此，方程 x 2 y 2 + a 2 b 2= 1 (a > b > 0) 即为所求椭圆的标准方程.它表示的椭圆的焦点在 x 轴上，焦点是F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)．这里 c 2=a 2-b 2．椭圆的标准方程：1.当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程：2.当焦点在 y轴上时，椭圆的标准方程：x 2 y 2+ a 2 b 2y 2 x2+a b2= 1 (a > b > 0) ，其中 c 2 = a 2 - b 2 ；= 1 (a > b > 0) ，其中 c 2 = a 2 - b 2 ；要点诠释：1.这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2.在椭圆的两种标准方程中，都有 a > b > 0 和 c 2 = a 2 - b 2 ；3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在 x 轴上时，椭圆的焦点坐标为 (c,0) ， (-c,0) ；当焦点在 y 轴上时，.椭圆的焦点坐标为 (0, c) ， (0, -c) ；4. 在两种标准方程中，∵a 2＞b 2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.要点三、求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：（1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数 a,b ，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式： mx 2 + ny 2 = 1 (m , n > 0且 m ≠ n) .（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。

数学选修一知识点归纳总结
嘿，朋友们！今天咱就来好好唠唠数学选修一的知识点归纳总结。

先说说圆锥曲线吧！你看，那抛物线，就像个调皮的孩子，一会儿抛得
高高的，一会儿又落下来。

比如说投篮，球在空中划过的轨迹不就有点像抛物线嘛！椭圆呢，就像是个温柔的大姐姐，总是那么优雅地存在着，像行星绕着恒星运转的轨道不就是椭圆形状的嘛。

而双曲线，哎呀呀，那可真是够特别的，就好像两个相反方向奔跑的人留下的轨迹！
再讲讲导数。

导数就像是一把神奇的钥匙，可以打开很多难题的大门呀！比如研究函数的单调性，哎呀，这可太重要了。

就好比你走在一条路上，导数能告诉你哪里是上坡，哪里是下坡，多有意思呀！当导数大于零，那就是在爬坡呀；小于零，嘿，那就是在下坡呢。

用导数判断极值，那更是一绝，就像在一堆宝藏里一下子找到了最闪亮的那颗宝石！
还有逻辑用语呢，“或”“且”“非”，是不是感觉像在玩文字游戏，但其实它们超有用的呀！“或”就像是有很多条路可以走，随便选一条就行；“且”呢，就要求都得满足，像要满足好多条件才能得到奖励一样；“非”
就更有趣啦，就像是对一个事情的否定，就像你说今天不出去玩，那就是否定了出去玩这件事呀。

咱数学选修一的知识点可真是丰富多彩呀，每个知识点都像是一个独特的宝贝，等着我们去发现，去把玩。

它们可不是死板的公式和定义，而是活灵活现的、能给我们带来乐趣和启发的好东西呢！所以呀，大家一定要好好学，好好掌握这些知识点呀，你会发现数学的世界真的超级有趣！相信我，绝对没错！。

人教版高中数学选修1-1知识点总结(全)高中数学选修1-1知识点总结第一章 简单逻辑用语●命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句． 真命题：判断为真的语句．假命题：判断为假的语句． ● “若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论． ●原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ⌝，则q ⌝” 逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝” ●四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． ●若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．利用集合间的包含关系： 例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件； 若A =B ，则A 是B 的充要条件； ●逻辑联结词：⑴且：命题形式p q ∧； ⑵或：命题形式p q ∨； ⑶非：命题形式p ⌝．pqp q ∧p q ∨p ⌝真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假假假假真●⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示．全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃． ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“∃”表示． 特称命题p ：)(,x p M x ∈∃； 特称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀．第二章 圆锥曲线●平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． ●椭圆的几何性质： 焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b +=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性关于x 轴、y 轴、原点对称离心率()22101c b e e a a==-<<●平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距● 双曲线的几何性质： 焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210,0x y a b a b -=>> ()222210,0y x a b a b-=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率()2211c b e e a a==+>渐近线方程 b y x a=±a y x b=±● 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．●平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．●抛物线的几何性质：标准方程22y px =()0p >22y px =- ()0p > 22x py = ()0p > 22x py =-()0p >图形顶点()0,0对称轴x 轴y 轴焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程2px =-2p x =2p y =-2p y =离心率1e =范围0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤●过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =．●焦半径公式：若点()00,x y P在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02p Fx P =+； 若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则02p F y P =+；第三章 导数及其应用●函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121f x f x x x --● 导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x xx ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(00000．● 函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率．●常见函数的导数公式： ①'C0=； ②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a xx ln )('=； ⑥xx e e =')(； ⑦ax x a ln 1)(log '=； ⑧x x 1)(ln '=●导数运算法则：()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦；()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦；()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦．●在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增；若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减．●求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时：()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．●求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是：()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值；()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．。