高三数学第一轮复习《数列求和》讲义

数列求和问题要点梳理1. 等差数列前n 项和S n ＝_n a 1＋a n2__＝__ na 1＋n n －2d ___，推导方法：__倒序相加法_____；等比数列前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧， q ＝1，＝ ， q ≠1. na 1a 1－qn1－qa 1－a n q1－q推导方法：乘公比，错位相减法. 2.常见数列的前n 项和 (1)1＋2＋3＋…＋n ＝___n n ＋2_____；(2)2＋4＋6＋…＋2n ＝__ n 2＋n ______； (3)1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝__ n 2____； (4)12＋22＋32＋…＋n 2＝___n n ＋n ＋6_____；(5)13＋23＋33＋…＋n 3＝___[n n ＋2]2_______.3.数列求和的常用方法（1）公式法：能直接用等差或等比数列的求和公式的方法。

（2）拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（等差、等比、常数列）然后分别求和的方法。

（3）并项求和法：将数列相邻的两项或几项并成一组，得到一个新的更易求和的数列的方法。

（4）裂项相消法：将数列的通项分成二项的差的形式，相加消去中间项，剩下有限项再求和的方法。

（5）错位相减法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，也即是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法。

若}{n a 为等差、}{n b 为等比数列，则求数列}{n n b a 的前n 项和可用此法。

（6）倒序求和法：即仿照推导等差数列前n 项和公式的方法(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过观察数列通项公式特点和规律，判断求和类型，寻找合适的求和方法. 求和过程中同时要对项数作出准确判断. 含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论.(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成.②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.4.常见的拆项公式 ①)11(1)(1k n n k k n n +-=+； ②)(11n k n k n k n -+=++③)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ；④])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n基础自测1.若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为 ( )A.2n＋n 2－1 B.2n ＋1＋n 2－1C.2n ＋1＋n 2－2D.2n＋n －22.已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为 ( )A.158或5B.3116或5C.3116D.1583.已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }满足b n ＝lg a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }的前n 项和的最大值 等于 ( )A.126B.130C.132D.1344.已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为 ( ) A.－110B.－90C.90D .1105.如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为3的等比数列，则a n 等于( )A.3n＋12B.3n＋32C.3n－12D.3n－326.数列1，11＋2，11＋2＋3，…的前n 项和S n ＝__2n n ＋1______. 7.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n－12n ，其中前n 项和S n ＝32164，则项数n ＝__6______.8.已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则这个数列前30项的绝对值的和是___765_____.9.设数列{a n }是公差大于0的等差数列，a 3，a 5分别是方程x 2－14x ＋45＝0的两个实根.则数列{a n }的通项公式是a n ＝_.2n －1___；若b n ＝a n ＋12n ＋1，则数列{b n }的前n 项和T n＝___2－n ＋22n_______.例题分析：题型一 分组转化求和例1 求和：(1)S n ＝32＋94＋258＋6516＋…＋n ·2n＋12n； (2)S n ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋1x n 2.解 (1)由于a n ＝n ·2n ＋12n＝n ＋12n ，∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12 ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋123＋ (12)＝n n ＋2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝n n ＋2－12n ＋1. (2)当x ＝±1时，S n ＝4n .当x ≠±1时，S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋1x n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2＋1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋2＋1x 4 ＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫x 2n ＋2＋1x 2n＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n)＋2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x4＋…＋1x 2n ＝x 2x 2n－x 2－1＋x －2－x－2n1－x－2＋2n＝x 2n －x 2n ＋2＋x 2n x 2－＋2n .∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n x ＝，x 2n－x 2n ＋2＋x 2n x 2－＋2n x探究提高 某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化.特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论. 变式训练1 （1）)()2()1(2n a a a n-++-+-解：（1）)()2()1(2n a a a S n n -++-+-= )21()(2n a a a n+++-+++=当1=a 时，22)1(2n n n n n S n -=+-=当1≠a 时，2)1(1)1(+---=n n a a a S nn （2）求和S n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋…＋12n －1.解 和式中第k 项为a k ＝1＋12＋14＋…＋12k －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 1－12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12k . ∴S n ＝2[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ]＝2[(1＋1＋…＋1n 个－(12＋122＋…＋12n )] ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n1－12＝12n －1＋2n －2.题型二 错位相减法求和例2 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝n a n，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，①∴当n ≥2时， a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13②①－②得3n －1a n ＝13，∴a n ＝13n .在①中，令n ＝1，得a 1＝13，适合a n ＝13n ，∴a n ＝13n .(2)∵b n ＝n a n，∴b n ＝n ·3n.∴S n ＝3＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n， ③ ∴3S n ＝32＋2×33＋3×34＋…＋n ·3n ＋1.④④－③得2S n ＝n ·3n ＋1－(3＋32＋33＋ (3))，即2S n ＝n ·3n ＋1－－3n1－3，∴S n ＝n －n ＋14＋34.变式训练2 ①已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋n ＝2a n (n ∈N *). (1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n .求满足不等式T n －22n －1>2 013的n 的最小值.(1)证明 因为S n ＋n ＝2a n ，即S n ＝2a n －n ， 所以S n －1＝2a n －1－(n －1) (n ≥2，n ∈N *). 两式相减化简，得a n ＝2a n －1＋1. 所以a n ＋1＝2(a n －1＋1) (n ≥2，n ∈N *)， 所以数列{a n ＋1}为等比数列. 因为S n ＋n ＝2a n ，令n ＝1，得a 1＝1.a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2n ，所以a n ＝2n －1.(2)解 因为b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1， 所以b n ＝(2n ＋1)·2n.所以T n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n，① 2T n ＝3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n＋(2n ＋1)·2n ＋1，②①－②，得－T n ＝3×2＋2(22＋23＋ (2))－(2n ＋1)·2n ＋1＝6＋2×22－2n ＋11－2－(2n ＋1)·2n＋1＝－2＋2n ＋2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2－(2n －1)·2n ＋1.所以T n ＝2＋(2n －1)·2n ＋1.若T n －22n －1>2 013，则2＋n －n ＋1－22n －1>2 013，即2n ＋1>2 013.由于210＝1 024,211＝2 048，所以n ＋1≥11，即n ≥10.所以满足不等式T n －22n －1>2 013的n的最小值是10.②.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1 (n ∈N *)，等差数列{b n }中，b n >0 (n ∈N *)，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1、a 2＋b 2、a 3＋b 3成等比数列. (1)求数列{a n }、{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1 (n ∈N *)， ∴a n ＝2S n －1＋1 (n ∈N *，n >1)， ∴a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)，即a n ＋1－a n ＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n (n ∈N *，n >1). 而a 2＝2a 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1.∴数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，∴a n ＝3n －1(n ∈N *).∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，在等差数列{b n }中，∵b 1＋b 2＋b 3＝15， ∴b 2＝5.又∵a 1＋b 1、a 2＋b 2、a 3＋b 3成等比数列，设等差数列{b n }的公差为d ，则有(a 1＋b 1)(a 3＋b 3)＝(a 2＋b 2)2.∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2，∵b n >0 (n ∈N *)， ∴舍去d ＝－10，取d ＝2， ∴b 1＝3，∴b n ＝2n ＋1 (n ∈N *).(2)由(1)知T n ＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n －1)3n －2＋(2n ＋1)3n －1，①∴3T n ＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)·3n －1＋(2n ＋1)3n，②∴①－②得－2T n ＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－(2n ＋1)3n ＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n －1)－(2n ＋1)3n＝3＋2×3－3n1－3－(2n ＋1)3n＝3n－(2n ＋1)3n＝－2n ·3n. ∴T n ＝n ·3n.③．在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件242,1,2,1n n S n n S n +==+，（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记(0)n a n n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T 。