哈尔滨工业大学1993年量子力学试题

量子力学基础试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 量子力学中，物质的波粒二象性是由哪位科学家提出的？A. 爱因斯坦B. 普朗克C. 德布罗意D. 海森堡答案：C2. 量子力学的基本原理之一是不确定性原理，该原理是由哪位科学家提出的？A. 玻尔B. 薛定谔C. 海森堡D. 狄拉克答案：C3. 量子力学中，描述粒子状态的数学对象是：A. 波函数B. 概率密度C. 动量D. 能量答案：A4. 量子力学中，哪个方程是描述粒子的波动性质的基本方程？A. 薛定谔方程B. 麦克斯韦方程C. 牛顿第二定律D. 相对论方程答案：A5. 量子力学中，哪个原理说明了粒子的波函数在测量后会坍缩到一个特定的状态？A. 叠加原理B. 波函数坍缩原理C. 不确定性原理D. 泡利不相容原理答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 在量子力学中，粒子的动量和位置不能同时被精确测量，这一现象被称为______。

答案：不确定性原理2. 量子力学中的波函数必须满足______条件，以确保物理量的概率解释是合理的。

答案：归一化3. 量子力学中的粒子状态可以用______来描述，它是一个复数函数。

答案：波函数4. 量子力学中的______方程是描述非相对论性粒子的波函数随时间演化的基本方程。

答案：薛定谔5. 量子力学中的______原理表明，不可能同时精确地知道粒子的位置和动量。

答案：不确定性三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述量子力学与经典力学的主要区别。

答案：量子力学与经典力学的主要区别在于，量子力学描述的是微观粒子的行为，它引入了波粒二象性、不确定性原理和量子叠加等概念，而经典力学主要描述宏观物体的运动，遵循牛顿力学的确定性规律。

2. 描述量子力学中的波函数坍缩现象。

答案：波函数坍缩是指在量子力学中，当对一个量子系统进行测量时，系统的波函数会从一个叠加态突然转变到一个特定的本征态，这个过程是不可逆的，并且与测量过程有关。

《量子力学》大一题集一、选择题（每题5分，共50分）1.量子力学的研究对象主要是？A. 宏观物体的运动规律B. 微观粒子的运动规律C. 宇宙天体的运动规律D. 生命现象的运动规律2.下列哪位科学家是量子力学的奠基人之一？A. 牛顿B. 爱因斯坦C. 薛定谔D. 伽利略3.波粒二象性是指？A. 粒子只具有波动性B. 粒子只具有粒子性C. 粒子同时具有波动性和粒子性D. 波动和粒子是两种不同的物质4.在量子力学中，描述微观粒子状态的数学工具是？A. 牛顿运动定律B. 麦克斯韦方程组C. 波函数D. 爱因斯坦场方程5.下列哪个实验是量子力学发展史上的重要里程碑？A. 迈克尔逊-莫雷实验B. 双缝干涉实验C. 托马斯·杨的光干涉实验D. 薛定谔的猫实验6.量子力学中的“不确定性原理”是由谁提出的？A. 玻尔B. 海森堡C. 狄拉克D. 费曼7.在量子力学中，观测者对系统的影响称为？A. 观测者效应B. 量子纠缠C. 超位置D. 量子跃迁8.下列哪个现象是量子力学特有的，而经典力学无法解释？A. 光的折射B. 物体的自由落体C. 电子的双缝干涉D. 行星的运动9.量子纠缠是指？A. 两个粒子之间的引力作用B. 两个粒子之间的电磁作用C. 两个粒子之间的量子态的关联D. 两个粒子之间的强相互作用10.量子计算机相比经典计算机的最大优势是？A. 计算速度更快B. 存储容量更大C. 能耗更低D. 体积更小二、填空题（每题5分，共20分）1.在量子力学中，描述微观粒子运动状态的波函数需要满足_______方程。

2.量子力学中的“不确定性原理”表明，微观粒子的位置和动量是不确定的，其不确定度的乘积有一个_______的下限。

3.量子纠缠是_______之间的一种特殊关联，当其中一个粒子的状态发生改变时，另一个粒子的状态也会瞬间发生改变。

4.在量子力学中，观测者对系统的影响是不可忽视的，这种影响被称为_______。

【关键字】试题量子力学自测题（１）一、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。

（4分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。

（4分）4、证明是厄密算符（5分）5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标和动量之间的测不准关系。

（6分）2、（15分）已知厄密算符，满足，且，求1、在A表象中算符、的矩阵表示；2、在B表象中算符的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。

三、（15分）设氢原子在时处于状态，求1、时氢原子的、和的取值几率和平均值；2、时体系的波函数，并给出此时体系的、和的取值几率和平均值。

四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出这里，，是一个常数，，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。

五、（10分）令，，分别求和作用于的本征态和的结果，并根据所得的结果说明和的重要性是什么？量子力学自测题（１）参考答案一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：2、定态：定态是能量取确定值的状态。

性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。

3、全同费米子的波函数是反对称波函数。

两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：。

4、=，因为是厄密算符，所以是厄密算符。

5、设和的对易关系，是一个算符或普通的数。

以、和依次表示、和在态中的平均值，令，，则有，这个关系式称为测不准关系。

坐标和动量之间的测不准关系为：2、解1、由于，所以算符的本征值是，因为在A表象中，算符的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符的矩阵是：设在A 表象中算符的矩阵是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，， 令，其中为任意实常数，得在A 表象中的矩阵表示式为： 2、类似地，可求出在B 表象中算符的矩阵表示为：在B 表象中算符的本征方程为：，即 和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 对有：，对有：所以，在B 表象中算符的本征值是，本征函数为和 3、类似地，在A 表象中算符的本征值是，本征函数为和从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即 三、解： 已知氢原子的本征解为： ，将向氢原子的本征态展开， 1、=，不为零的展开系数只有三个，即，，，显然，题中所给的状态并未归一化，容易求出归一化常数为：，于是归一化的展开系数为： ，，（1）能量的取值几率，， 平均值为：（2）取值几率只有：，平均值 （3）的取值几率为： ，，平均值 2、时体系的波函数为：=由于、和皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变，与时的结果是一样的。

2003年量子力学试题解答一、（30分）回答下列问题 1、何谓微观粒子的波粒两象性？解：微观粒子既不是粒子，也不是波。

更确切地说，它既不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波，但是，它即具有经典粒子的第一条属性（具有确定的质量、电荷与自旋），又具有经典波动的第三条属性（具有干涉与衍射现象）。

严格地说，电子就是电子，粒子与波只是微观粒子的两种不同的属性。

如果硬是要用经典的概念来理解它的话，那么，它既具有经典粒子的属性又具有经典波动的属性，是经典粒子与经典波动这一对矛盾的综合体。

2、波函数()t r ,ψ是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？()2,t r ψ的物理含义是什么？解：波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。

()2,t r ψ表示在t 时刻r附近τd 体积元中粒子出现的几率密度。

3、分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？ 解：当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。

若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。

将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。

4、物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？解：物理上可观测量对应线性厄米特算符。

线性是状态叠加原理要求的，厄米特算符的本征值是实数，可与观测值比较。

5、坐标x 分量算符与动量x 分量算符x pˆ的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。

解：对易关系为[] i ˆ,=x p x ，测不准关系为2≥∆⋅∆x p x 6、厄米算符Fˆ的本征值n f 与本征矢n 分别具有什么性质？ 解：本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系。

二、（20分）（见习题选讲6.1）设氢原子处于()()()()()()()ϕθϕθϕθϕθψ,Y R 21,Y R 21,Y R 21,,112110311021---=r r r r的状态上，求其能量、角动量平方及角动量z 分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们的平均值。

一. 质量为m 的粒子作一维自由运动，如果粒子处于()kx A x 2sin =ψ的状态上，求其动量pˆ与动能T ˆ的取值几率分布及平均值。

解：作一维自由运动粒子的动量与动能算符分别为m p T x p2ˆˆ ;d d i ˆ2=-=显然，两者相互对易，有共同完整本征函数()⎪⎭⎫⎝⎛=px x p i ex p 21πϕ 且满足()()()()x mp x T x p x pp p p p ϕϕϕϕ2ˆˆ2== 将()x ψ向()x p ϕ展开，即()()p x c x p p d ϕψ⎰∞∞-=展开系数()()()()()()()()[]()()()()[]()()()[]k p p k p Ax x x x x A x kx kx x A xkx kx x A xx x c k k p p pp p 202224d 224d i 2exp 2i 2exp 4d i 2i exp i exp d 202**2**++----=+--=-+--=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅==-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-⎰⎰⎰⎰δδδπϕϕϕπϕϕϕψϕ只有当 k p 2,0±=时，0≠p c 。

利用归一化条件12=∑ppc可知，归一化常数为π34=A于是有61 ;32 ;61202-==-=-k k c c c动量的取值几率为()()()612 ;320 ;612=-===== k p W p W k p W平均值为()0==∑pp pW p动能的的取值几率与动量相同，而平均值为()m k p W m p T p322222 ==∑ 二. 质量为m 的粒子处于如下一维势阱中()⎪⎩⎪⎨⎧>>≤≤<∞=a x V ax x x V )0(0 ,00 .0若已知该粒子在此势阱中存在一个能量20V E =的状态，试确定此势阱的宽度a 。

解：对于002V V E <=的情况，三个区域中的波函数分别为()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧+-=+==x C x B x kx A x x ααψδψψexp exp sin 0321 其中，()E V m mE k -==02 ;2α 由∞→x 处，()03=x ψ，可知0=C 。

量子力学试题集量子力学期末试题及答案(A)选择题（每题3分共36分）1．黑体辐射中的紫外灾难表明：CA. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；B. 黑体在紫外线部分不辐射能量；C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。

2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：BA. Ψ代表微观粒子的几率密度；B. Ψ归一化后，ψψ*代表微观粒子出现的几率密度；C. Ψ一定是实数；D. Ψ一定不连续。

3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：DA. 偏振光子的一部分通过偏振片；B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片；C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的；D.每个光子以一定的几率通过偏振片。

4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：AA.*ψ一定也是该方程的一个解；B.*ψ一定不是该方程的解；C. Ψ与*ψ一定等价；D.无任何结论。

5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：CA. 粒子在势垒中有确定的轨迹；B.粒子在势垒中有负的动能；C.粒子以一定的几率穿过势垒；D粒子不能穿过势垒。

6．如果以∧l表示角动量算符，则对易运算],[yxll为：BA. ih∧z lB. ih∧zlC.i∧x l D.h∧xl7．如果算符∧A 、∧B 对易，且∧A ψ=Aψ，则：BA.ψ 一定不是∧B 的本征态； B.ψ一定是 ∧B 的本征态； C.*ψ一定是∧B 的本征态；D. ∣Ψ∣一定是∧B 的本征态。

8．如果一个力学量∧A 与H∧对易，则意味着∧A ：CA. 一定处于其本征态；B.一定不处于本征态；C.一定守恒；D.其本征值出现的几率会变化。

9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。

10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23)h ω下，简并度为：BA. )1(21+N N ；B.)2)(1(21++N N ；C.N(N+1)；D.(N+1)(n+2)12．判断自旋波函数 )]1()2()2()1([21βαβαψ+=s 是什么性质：CA. 自旋单态；B.自旋反对称态；C.自旋三态；D.z σ本征值为1.二 填空题（每题4分共24分）1．如果已知氢原子的电子能量为eV nE n 26.13-= ，则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时，发出的光子能量为：———————————，光的波长为———— ————————。

2.2.3 2008年真题【题目】1. 轨道角动量的三个分量x L ，y L 和z L 是否有共同本征态？若果有，写出一个来；如果没有，请说明为什么【解题】没有，^^^,x y z L L i L ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦不对易，故无共同本征态【分析】 本题考察两个算符具有共同本征态的条件——两个算符对易。

属于基础概念的考核。

对易这一概念是量子力学考试中肯定会出现的概念，通常穿插在答题中间，对常用的对易关系一定要做到熟练运用，记忆的程度。

【题目】2. 已知哈密顿量221()2H V r μ=-∇+的本征值为n E ，相应的本征函数为()n r ϕ，求222()2H V r C μ=-∇++的本征值和本征函数（C 为常数）。

【解题】^1^^^211()()()()()()()()()()()n n n n n n n n n n n n H r E r H r H C r H r C r E r C r E C r ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ==+=+=+=+ 由上式知，^2H 的本征函数为()n r ϕ，本征值为nE C +【分析】首先写出哈密顿量的本征方程，通过两个不同哈密顿量的关系可以得出相关结果【题目】3. 计算对易关系2[,]?;[,]?z x y z p L L iL L =+= 【解题】 （1）22^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^,,,,()()()0z z z z y x y x y x x y y x x y p L L p L p p p L p i p i i p j p p i p i i p j i p p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=----=--+-=（2）^^^^^^^^^,,,x y z x z y z y x L i L L L L i L L i L i L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【分析】本题需要掌握常见量子算符的对易关系，比如坐标与动量、动量与动量、角动量与动量，并且有关对易几条性质得知道，比如⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧∧∧∧∧∧∧∧∧C A B C B A C ,,B A ，，能将复杂的算符用一些简单并且我们所熟知的算符表示出来，并化简得出结果【题目】4. 利用不确定关系估算线性谐振子的基态能量。

哈尔滨工业大学《量子力学》考研大纲考试科目名称：量子力学考试科目代码：[833]一.考试要求量子力学是应用最广泛，发展最迅速的物理基础理论，是处理介观和微观领域问题的重要工具。

量子力学的许多基本概念和方法与经典物理迥然不同，对考生的要求是：，1．掌握量子力学的基本概念、基本原理和基本物理规律；2．掌握量子力学处理问题的基本方法，能够运用这些方法处理微观粒子运动的一些基本问题，具有一定的公式推导能力；3．能够灵活运用量子力学知识分析和解决较综合性问题。

二.考试内容1量子力学的诞生了解经典物理学的困难和量子力学诞生的实验基础与理论背景。

理解微观粒子运动的特殊性。

2波函数与薛定諤方程掌握波函数及其统计解释，状态叠加原理，薛定諤方程，概率密度与概率流密度，薛定谔方程的定态解。

掌握一维定态的一般性质，在给定的简单位势下能正确求解定态薛定谔方程（束缚态问题、非束缚态问题）。

3力学量的算符表示掌握算符的概念及其运算规则、厄米算符的本征问题、坐标算符和动量算符的本征解、共同本征函数系、展开假定、不确定关系、力学量随时间的变化；理解对称性与守恒定律。

4中心力场掌握球对称势和径向薛定谔方程、氢原子问题的求解方法及结果。

掌握角动量算符本征值问题的求解方法，理解对称性与简并度的关系。

5表象理论理解态和力学量的表象；掌握力学量和量子力学公式的矩阵表示、幺正变换；熟悉狄拉克符号及谐振子的占有数表象。

6自旋与角动量加法了解电子自旋的实验基础，掌握自旋算符和自旋波函数、泡利矩阵、电磁场中的薛定谔方程、两个角动量的耦合、自旋单态与三重态；熟悉塞曼效应和光谱的精细结构。

7近似方法了解定态微扰论的适用范围和条件；掌握无简并微扰论、简并微扰论、氢原子的斯塔克效应、变分法。

8多体理论理解全同性原理及其对于多体系统波函数的限制、费米子和玻色子系统的性质及泡利原理。

9量子跃迁熟悉散射过程的一般描述，散射截面；理解分波法和玻恩近似；了解与时间有关问题的处理方法。