初一数学联赛班七年级
第1讲几何变换——平移
典型例题
【例1】如图，在梯形ABCD中，AD BC
∥，已知3
AD BC
+=
，AC=
，BD=ABCD 的面积．
【例2】如图所示，梯形ABCD中，AB CD
∥，90
A B︒
∠+∠=，AB a
=，CD b
=，E、F分别是AB、CD的中点，求EF的长．
【例3】求证：两中线相等的三角形都是等腰三角形．
A
C
D
B
F
D C
B
A
E
初一数学联赛班 七年级
【例4】 求证10条两两相交的直线所成的所有角中，至少有一个角不大于18︒．
【例5】 已知六边形ABCDEF 的三双对边分别平行并且AB ED =，求证：BC EF =，CD FA =．
【例6】 在六边形ABCDEF 中，AB DE BC EF CD AF ∥，∥，∥，且BC EF -=DE AB -=AF CD
-0＞．求证：六边形ABCDEF 的各内角相等．
初一数学联赛班七年级【例7】如图，ABC
△中，D是BC的中点，DE DF
⊥，试判断BE CF
+与EF的大小关系，并证明你的结论．
【例8】如图，ABC
△中，BD DC AC
==，E是DC的中点，求证：AD平分BAE
∠．
【例9】已知：ABCD是凸四边形，且AC BD
=．E、F分别是AD、BC的中点，EF交AC于M；
EF交BD于N，AC和BD交于G点．
求证：GMN GNM
∠=∠．
E
D
C
A
B
A
B
D C
F
E
E
N
G
F
D
C
B
A
M
初一数学联赛班 七年级
【例10】 已知，如图，四边形ABCD 中AD ＝BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，延长AD 、EF 和BC
的延长线分别交于M N ，两点，求证：AME BNE ∠=∠．
【例11】 如图，任意五边形ABCDE 中，M 、N 、P 、Q 分别为AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K 、
L 分别为MN 、PQ 的中点，求证：KL AE ∥，且1
4
KL AE =
．
【例12】 已知：矩形ABCD 内有定点M ，求证：存在四边形，它的四条边分别等于MA 、MB 、MC 、
MD ，对角线分别等于AB 和BC ，且两条对角线互相垂直．
D
A
M
N
D
C
B
E
F
E
D C
B
A
L M
K
Q P
初一数学联赛班七年级【例13】如图，已知ABC
△中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，BD=CE，连DE，
求证：DE BC
＞．
【例14】如图，在等腰三角形ABC的两腰AB、AC上分别取点E和F，使得AE CF
=．已知2
BC=，求证：1
EF≥．
【例15】已知：M是三角形ABC内的定点，从M点出发沿平行于边BC的直线运动，直到和AC边交
于
1
B点，然后再沿平行于AB边的直线运动，直到和BC边交于
1
A点，然后再沿平行于AC边
的直线运动，直到和AB边交于
1
C点，…如此继续下去．求证：若干步后，M点的轨迹将是封闭的．
初一数学联赛班 七年级
【例16】 已知ABC △的三条中线长分别为3，4，5，求ABC △的面积．
【例17】 已知：ABCD 是梯形，A ∠、B ∠的平分线交于M 点，C ∠、D ∠的平分线交于N ．
求证：2MN AB CD BC AD =+--．
【例18】 如图所示，在ABC △中，90C ︒∠=，点M 在BC 上，且BM AC =，N 在AC 上，且AN MC =，
AM 与BN 相交于P ．求证：45BPM ︒∠=．
A
B
C
P N M
初一数学联赛班七年级作业
1.如图，在梯形ABCD中，//
AB CD，AC BD
⊥．求证：222
()
AC BD AB DC
+=+．
2.如图，在四边形ABCD中，AB CD
∥，AD BC
=，BD DC
=，AC BD
⊥于M．求证：
1
()
2
CM AB DC
=+．
3.四边形ABCD中，AB CD
∥，2
D B
∠=∠，若AD a
=,AB b
=，求CD的长．
4.叙述并证明梯形中位线的性质定理．
A
M
D C
B
初一数学联赛班 七年级
5. 如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，垂足为E ，DF BC ⊥于F ，MN 是梯形的中位线，
求证：DF MN =．
6. 在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别AB 、BC 、CD 、DA 边上的点，且EG FH ⊥，求证：
EG FH =．
7.
ABCD 是四边形，N 是BC 中点，M 是AD 边中点，BA 、NM 的延长线交于P ，CD 、NM 的延
长线交于Q ，如果BPN NQC ∠=∠，求证：AB CD =． 8.
ABC △中，BE 和CD 分别是B ∠和C ∠的角平分线，P 是DE 的中点，PQ BC ⊥于Q ，PM AB
⊥于M ，PN AC ⊥于N ．求证：PQ PM PN =+．
E
F
N
N
D C
B
A
