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高中数学必修5第一章余弦定理第一课时课件.

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高中数学必修五北师大版 余弦定理课件(30张)

高中数学必修五北师大版 余弦定理课件(30张)

a c 方法一 由正弦定理sin A＝sin C得： 3 5× 2 csin A 5 3 sin C＝ a ＝ 7 ＝ 14 . 5 3 ∴最大角 A 为 120° ，sin C＝ . 14 a2＋b2－c2 72＋32－52 11 解法二 ∵cos C＝ ＝ ＝ ， 2ab 2×7×3 14 ∴C 为锐角，∴sin C＝ 1－cos C＝
[ 分析 ] 可先由大边对大角，确定出最大的角，再由正、余弦定 理求出最大角及sin C.
[解析] ∵a>c>b，∴A 为最大角．
由余弦定理变形得： b2＋c2－a2 32＋52－72 1 cos A＝ 2bc ＝ ＝－2. 2×3×5 又∵0° <A<180° ，∴A＝120° . 3 ∴sin A＝sin 120° ＝2.
)
2a2 ＝ 2a ＝a＝2.
答案：C
2．在△ABC中，如果sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，那么cos C等
于________．
解析：由条件可设 a＝2t，b＝3t，c＝4t a2＋b2－c2 4t2＋9t2－16t2 1 cos C＝ 2ab ＝ ＝－4. 2×2×3t2
1 答案：－4
1.2 余弦定理
第1课时 余弦定理
பைடு நூலகம்
1.能证明余弦定理，了解并可以从向量方 法、解析方法和三角方法等多种途径证 明余弦定理； 重点：余弦定理的理 解和简单应用．
2.能够应用余弦定理及其推论解三角形； 难点：余弦定理的推 3.了解余弦定理与勾股定理之间的联系， 导及解决简单的三角 知道解三角形问题的几种情形及其基本 解法. 形度量问题.
1 3 3 解法二 由 b<c，B＝30° ，b>csin 30° ＝3 3×2＝ 2 知本题有两解． 1 3 3×2 csin B 3 由正弦定理 sin C＝ ＝ ＝ ， b 3 2 ∴C＝60° 或 120° ， 当 C＝60° 时，A＝90° ， 由勾股定理 a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6，

人教A版高中数学高二必修5课件余弦定理(一)

人教A版高中数学高二必修5课件余弦定理(一)

第三边所对的角是直角.
1.1.2 余弦定理(一)
32
1.1.2 余弦定理(一)
5
[预习导引]
1.余弦定理 三角形中任何一边的 平方等于其他两边的 平方 的和 减去这两边与它们的 夹角 的余弦的积的 两倍 . 即a2＝b2＋c2－2bccos A ，b2＝ c2＋a2－2cacos B ， c2＝ a2＋b2－2abcos C .
1.1.2 余弦定理(一)
1.1.2 余弦定理(一)
9
(2)在△ABC中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，解此三角 形.
解 由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accos B.
∴2＝3＋c2－2 3·22c.
即 c2－
6c＋1＝0，解得 c＝
6＋ 2
2 或 c＝
6－ 2
2 ，
1.1.2 余弦定理(一)
10
当c＝
6＋ 2
1.1.2 余弦定理(一)
8
当 a＝6 时，由正弦定理得 sin A＝asibn B＝6×3 21＝1. ∴A＝90°，∴C＝60°. 法二 由正弦定理得 sin C＝csibn B＝3 33×21＝ 23， 由b＜c，∴C＝60°或120°， 当C＝60°时，A＝90°，
由勾股定理得 a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6， 当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形. ∴a＝3.
解 ∵c＞a，c＞b，∴角C最大. 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C， 即37＝9＋16－24cos C，∴cos C＝－12， ∵0°＜C＜180°，∴C＝120°. ∴△ABC的最大内角为120°.
1.1.2 余弦定理(一)
17
规律方法 (1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理 求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据 边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解. (2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k， 从而转化为已知三边解三角形.

人教A版高中数学必修5第一章1.1.2 余弦定理 课件(共19张PPT)

人教A版高中数学必修5第一章1.1.2 余弦定理 课件(共19张PPT)

及时巩固
。
1、在△ABC中，若三边a,b,c满足，则A= 。
2、△ABC中，已知 这个三角形是
三角形
总结
（1）余弦定理适用于任何三角形 （2）余弦定理的作用：
a、已知三边，求三个角
b、已知两边及这两边的夹角，求第三边， 进而可求出其它两个角
c、判断三角形的形状
（3）由余弦定理可知：
A 9 0 o a 2 b 2 c 2 A 9 0 o a 2 b 2 c 2 A 9 0 o a 2 b 2 c 2
Ca
B
A2 C si2nCC2B 2CB Ac CoCsA2 C co2C s
A2 C C2B 2CB Ac CoCs
c 2 a 2 b 2 2 acb C os
新情课境探引究入
你还有别的方法吗？
A
b
c
Ca
c2a2b2 勾股定理
你能用向量证明勾股定理吗？
即证
2
2
2
ABACCB
B ABACCB
新情课境探引究入 向量法 A 那么一般三角形呢
当角C为锐角时
A
证明：过A作AD CB交CB于D
b
c
在Rt ADC中
A A D sC C i,C n A D cC C o C s a D
B
在 RtABD中
A2BA2 D B2 D
(AsCiC n)2(C BC)D 2
A2 C si2nCC2B 2CB Ac CoCsA2 C co2C s
A2 C C2B 2CB Ac CoCs
A ( b cC , o b sC s i ) B ( n , a , 0 ) C ( , 0 , 0 )
A2 B (bcoCsa)2(bsiC n0)2 b2co2C s2acboCsa2b2si2n C a2b22acboCs c 2 a 2 b 2 2 acb C os

人教A版高中数学必修5第一章1.1.2余弦定理 (1)课件(共13张PPT)

人教A版高中数学必修5第一章1.1.2余弦定理 (1)课件(共13张PPT)

脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即
线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。
已测的：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝
3 2
千米
角Ａ＝６０Ｏ
求山脚ＢＣ的长度．
解：BC2 | AB |2 | AC |2 2 | AB | AC | cos A
12 ( 3)2 21 3 1 7
2
22 4
1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。
2、已知三边求三个角。
2、利用正弦定理可以解决的问题：
1、已知三角形的任意两角与一边， 求其他两边和另一角。
2、已知三角形的两边与其中一边的对角，求 三角形的其他的边和角。
✓如果出现两个解，根据“三角形中大边对大角”来
决定取舍！
所夹的角
复习引入
3、 相同起点，尾尾相连，指向被减向量。
4、
ar
r b
ar
r b
cos
rO
1.1.2 余弦定理（1）
1、正弦定理：
= 2R
• 变型式：
（R为三角形外接圆的半径）
a:b:c=＿s＿in＿A：＿s＿in＿B：＿＿sin＿C ；
a=＿2＿Rs＿in＿A ，b=＿2＿Rs＿in＿B ，c=＿2＿Rs＿in＿C ；
a
b
c
sinA= 2R , sinB= 2R , sinC= 2R .
2bc cos A b2 c2 a2
cos A b2 c2 a2 2bc
由余弦定理变型得：
cos A b 2 c 2 a 2 2bc
cos B a2 c2 b2 2ac
cos C a 2 b 2 c 2 2ab
应用：已知三条边求角度．

高中数学 第一章 1.1.2(一)余弦定理(一)课件 新人教A版必修5

高中数学 第一章 1.1.2(一)余弦定理(一)课件 新人教A版必修5

本 讲
形求第三边和其他两角呢？或者已知三边怎么解三角形求三
栏 目
个角呢？这是余弦定理所能解决的问题，这一节我们就来学
开 习余弦定理及其应用．
关
第四页，共20页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更高 效
探究点一 利用向量法证明余弦定理
问题 如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三
本
讲
角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确
开 关
为角之间的关系或边之间的关系．若统一为角之间的关
系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统
一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化
简，找到边之间的关系．
第二十页，共20页。
讲 栏
⇔(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
目 开
∴a2＝b2或a2＋b2－c2＝0，
关 ∴a＝b或a2＋b2＝c2.
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
小结 边角混合关系式要根据正、余弦定理统一转化为角的
关系式或边的关系式，本题可采用正弦定理转化为角的关系
式或采用余弦定理转化为边的关系式．
第十四页，共20页。
【典型例题】
例1 在△ABC中，已知a＝2，b＝2 2，C＝15°，求A.
解 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝8－4 3，
本
所以c＝ 6－ 2，
讲 栏 目
由正弦定理得sin A＝asicn C＝12，
开 关
因为b>a，所以B>A，所以A＝30°.
小结 解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理，本例中的 条件是已知两边及其夹角，而不是两边及一边的对角，所以 本例的解法应先从余弦定理入手．

人教版2017高中数学(必修五)第一章 §1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2(一)PPT课件

人教版2017高中数学(必修五)第一章 §1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2(一)PPT课件

a2＋b2－c2 cos C ＝ 2ab .
知识点三
适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题
思考1
观察知识点二第1条中的公式结构，其中等号右边涉及几个 量？你认为可用来解哪类三角形？ 答案
每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角 . 故如果已知三
角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形.
思考2
观察知识点二第2条中的公式结构，其中等号右边涉及几个
跟踪训练1
例1涉及线段长度，，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立直角坐标系，
则A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A)，
∴BC2＝b2cos2A－2bccos A＋c2＋b2sin2A，
即a2＝b2＋c2－2bccos A.
跟踪训练2 在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2， C＝15°，求A. 解答
由余弦定理，得 c ＝a ＋b －2abcos C＝8－4 3，
2 2 2
所以 c＝ 6－ 2.
asin C 1 由正弦定理，得 sin A＝ c ＝2，
因为b>a，所以B>A，所以A为锐角，所以A＝30°.
命题角度2 已知三边 例3 在△ABC中，已知a＝134.6 cm，b＝87.8 cm，c＝161.7 cm，解 三角形.(角度精确到1′) 解答
第一章 §1.1
正弦定理和余弦定理
1．1.2 余弦定理(一)
学习目标
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
内容索引
问题导学
题型探究
当堂训练
问题导学
知识点一
余弦定理的推导
思考1
根据勾股定理，若△ABC 中， ∠C ＝ 90°，则 c2 ＝ a2 ＋ b2 ＝ a2 ＋b2－2abcos C．① 试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？ 答案 当a＝b＝c时，∠C＝60°，

高二数学人教A必修5课件：1.1.2 余弦定理 (一)

，判断三角形的形状.
解 因为a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，
所以可令a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0).
2k ＋4k －5k C为钝角，从而三角形为钝角三角形 c所以 最大， cos C＝ <0， . 2×2k×4k
≈0.839 8， ∴B≈32°53′. ∴C ＝ 180° － (A ＋ B)≈180° － (56°20′ ＋ 32°53′) ＝ 90°47′. 反思与感悟 已知三边求三角：余弦值是正值时，角是
锐角；余弦值是负值时，角是钝角.
跟踪训练2 在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5
∴BC2＝b2cos2A－2bccos A＋c2＋b2sin2A，
即a2＝b2＋c2－2bccos A. 同理可证：b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.
例1 在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝34 cm，A＝41° ，解
三角形(角度精确到1° ，边长精确到1 cm). 解 根据余弦定理， a2 ＝ b2 ＋ c2 － 2bccos A ＝ 602 ＋ 342 － 2×60×34×cos 41°≈1 676.82， 所以a≈41(cm).
csin A 34×sin 41° 34×0.656 由 正 弦 定 理 得 ， sin C ＝ a ≈ ≈ 41 41 ≈0.544 0.
因为 c 不是三角形中最大的边，所以 C 为锐角，利用计算器
可得C≈33°，
∴B＝180°－(A＋C)≈180°－(41°＋33°)＝106°.
反思与感悟 解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理，本
思考1
如何用数学符号来表达 “已知三角形的两边及其夹

(人教新课标)高二数学必修5第一章 解三角形《正、余弦定理》精品课件


正弦定理的应用举例 一、已知两个角和一边
变式训练一
二、已知两个边和其中一边的一个对角
变式训练二
已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断 三角形是否有解？有解的作出解答． (1)a＝7，b＝8，∠A＝105°； (2)a＝10，b＝20，∠A＝80°； (3)b＝10，c＝5，∠C＝60°； (4)a＝2，b＝6，∠A＝30°.
余弦定理的由来 /edu/ppt/ppt_playVideo.action?medi aVo.resId=55c96ff1af508f0099b1c5b6
高铁隧道招标，利用三角形确定隧道长度 /edu/ppt/ppt_playVideo.action? mediaVo.resId=55c97049af508f0099b1c5bc
A 5620
a 2 c 2 b 2 134.6 2 161.7 2 87.82 cosB 0.8398 , 2ac 2 134.6 161.7
B 3253
C 180 A B 180 5620 3253 9047
解三角形:
一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形素的过程叫做解三角形. 说明： 根据初中学习的三角形全等，我们知道确定一个三角需要
三个条件，所以在利用正弦定理时要求已知两边和其中一 边的对角或者两角和一边，才可以进一步确定三角形其它 的边和角.
回忆一下直角三角形的边角关系? b a sin B sin A c c
两等式间有联系吗？
B
A c a b
a b c sin A sin B
sin C 1
C
a b c sin A sin B sin C

高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.1.2余弦定理


当 C=120°时,A=30°,△ABC 为等腰三角形. 所以 a=3.
(2)在△ABC 中,已知 a= 3 ,b= 2 ,B=45°,解此三角形.
解:(2)因为 b2=a2+c2-2accos B,所以 2=3+c2-2 3 · 2 c,即 c2- 6 c+1=0, 2
当 c=
6
2 时,由余弦定理,得 cos A= b2 c2 a2 = 2
2
2
因为 B∈(0°,180°),所以 B=60°,
所以由余弦定理得 cos B= a2 c2 b2 = 1 ,
2ac
2
又因为 a+c=2b,所以 a2+c2-（ a c ）2=ac, 2
所以 4a2+4c2-(a2+c2+2ac)=4ac,所以 3a2+3c2-6ac=0,所以(a-c)2=0, 所以 a=c,所以△ABC 为等边三角形.
所以 BC= 52 =2 13 .故选 B.
2.在△ABC 中,a=7,b=4 3 ,c= 13 ,则△ABC 的最小角为(
(A) π 3
(B) π 6
(C) π 4
(D) π 12
解析:由 c= 13 最小知角 C 最小,
cos C= a2 b2 c2 = 49 48 13 = 3 ,
2ab
(5)以cos A= b2 c2 a2 为例:
2bc
若角A为锐角,则cos A>0,从而b2+c2-a2>0,则b2+c2>a2,反之亦成立; 若角A为钝角,则cos A<0,从而b2+c2-a2<0,则b2+c2<a2,反之亦成立; 若角A为直角,则cos A=0,从而b2+c2-a2=0,则b2+c2=a2,反之亦成立. 由此概括为:如果一个三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方, 那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方,那么第三边所对的 角是钝角;如果大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角. 由此可判断三角形是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. 注意:判断三角形是锐角三角形时,需要确定最大角是锐角或者三个角都 是锐角才行.

人教B数学必修五课件：第1章1.11.1.2余弦定理

第一章解三角形1.1 正弓玄定理和余弓玄定理1. 1. 2 余弦定理1^嘗L知□新知初探二1.余弦定理⑴三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即(^― b2-}~c2— 2Z?ccos A , b?= H + c? —2accos B ,c2=a2-\~b2— 2abcos C■(2)应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题.①已知三边，求三角・②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.思考：利用余弦定理只能解决以上两类问题吗? ［提示］是.(2)利用余弦定理的变形判定角：在MBC中,F二『+卩㈡/C为直角；+&244ZC为钝L cW+fe2^ZC为锐角•1匚初试身手二1.在AABC 中,sinA : sinB : sinC=3：2：3,则cosC的值为C・41 D- -4A ［根据正弦定理,a ：b ： cA. 3B.-1=sin A ： sin B sin C=3 ：2 ： 3,设a = 3k, b = 2k, c = 3檢＞0)・则有cos C=9尸+4尸—2X 3kX2k2.在MBC中,若a=3, c=7, ZC=60°,则0为(A. 5B. 8C. 5 或-8D. -5 或8B [由余弦定理得c^M-labm C, 即49=9+产一30,所以e—8)(b+5)=0.因为b>0,所以0=8.]3.在Z\ABC 中,o=l, 0=寸3，c=2,r+^-b2 4+1-3 1 60° ^B=^a^=^r=r 则灯=_ 25=60°.]iimAABC^氓a2Hb2+0c+c120。

「・<H0+h +>><-:o o 〈Z A 〈1F严严护知两边及一角解三角形【例1】已知®BC,根据下列条件解三角形：a二吊,b=\［2, 25=45°.［解］由余弦定理知b2=a2+c2-2accosB.・：2=3+『-2诵•学c,即亠血+1=0,解得尸誓或尸乎些2时，由余弦定理，得cos A="2+C2_CL _当2bc ArrayV0°<ZA<180°, ；.ZA=60°, ；.ZC=75°.当c = “2巾时，由余弦定理，得cos A = " tbc "=V0°<ZA<180°, AZA = 120°, ZC=15°.ZC=15°.,乙4=60°, ZC=15Q^c=,乙4=120。

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2
2
2
c a b 2ab cos C
2 2 2
法四:正弦定理1
a c 由 得 sin A sin C
c sin A a sin C
同理c sin B b sin C
(1)
(2)
利用B (C A)代入(2)消去角B得
c cos A b a cos C
2 2 2 2
c a b 2ab cos C
2 2 2
余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方和减去这两边与它们夹 角的余弦的积的两倍.
c a b 2ab cos C
2 2 2
推论
a b c cos C 2ab
2 2
2
一、余弦定理的应用
例1.在三角形ABC中,已知b=8,c=3,
利用(1)2 +(3)2消去A即得证
(3)
法五:正弦定理2
求证 : c a b 2ab cos C
2 2 2
证明: 右边 (2R sin A) (2R sin B) 8R sin Asin B cos C
2 2 2
C ( A B)
右边 4R2 sin 2 ( A B)
2 2
2
2
例2、用
, , 填空
2
(1)在ABC中,当C为锐角时, a b
2
c2
2
(2)在ABC中,当C为直角时, a b
(3)在ABC中,当C为钝角时, a b
2
c2
2
c2
例2.解 : (1)当0 C 90时, cos C 0 c a b 2ab cos C a b
A=600
(1)求a;
(2)求三角形中最大角的余弦值; (3)判断三角形的形状.(用锐角 ,钝角,直角三角形回答)
解 : (1)由a b c 2bc cos A得
2 2 2
a 8 3 2 8 3cos 60 49
2 2 2
a 7
解 : (1)由a 2 b2 c 2 2bc cos A得 a 2 82 32 2 8 3cos 60 49 a 7
2 2 2 2 2
(2)当C 90时, cos C 0 c 2 a 2 b2 2ab cos C a 2 b2
(3)当90 C 180时, cos C 0 c a b 2ab cos C a b
2 2 2 2 2
课堂小结
c2 =a2+ b2－2abcosC
c b2 cos2 C 2ab cos C a2 b2 sin2 C
c a b 2ab cos C
2 2 2
A
法三:向量法
b
C
c
令CA b, CB a, AB c
由三角形法则有c a b
B
a
| c | c (a b)2
2
| c | a b 2a b
法六:正弦定理3
由C ( A B)得
利用c 2R sin C证明
c 4R (sin A cos B cos Asin B 2sin A cos Asin B cos B)
2 2 2 2 2 2
把 cos A 1 sin A,cos B 1 sin B代入得
(2)由b a c得角B最大 a 2 c 2 b2 49 9 64 1 cosB= 2ac 2 73 7
解 : (1)由a 2 b2 c 2 2bc cos A得 a 2 82 32 2 8 3cos 60 49 a 7
(SAS问题) 在三角形ABC中,已知边a,b,夹角C, 求边c
A
b
C
c a
B
余弦定理的证明
法一:平面几何(作高法)
法二: 坐标法 法三:平面向量法
法四:正弦定理1 法五:正弦定理2
法六:正弦定理3
(SAS问题) 在三角形ABC中,已知边a,b,角C, 求边c
A
法一：作高法
解 : 过A点作AD BC交BC于点D AD b sin C , CD b cos C BD BC CD a b cos C 在直角三角形ABC中,由勾股定理得
余弦定理是任意三角形边和角之间的规律，勾 一、 股定理是它的特殊形式。
余弦定理可解决两类问题： 二、
（1）已知两边和它们的夹角，求第三 边（SAS）； （2）已知三边，求三个角（SSS）。
作业 P10 习题A组 3题,4题
同学们再见
余弦定理
复习: 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等，即
a b c sin A sin B sin C
正弦定理可以解什么类型的三角形问题？
(1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一 角(AAS,ASA)； (2) 已知两边和其中一边的对角，可以求出三角 形的其他的一边和另外两角(SSA)。
(2)由b a c得角B最大 a 2 c 2 b2 49 9 64 1 cosB= 2ac 2 73 7
(3) cos B 0 B 90 所以ABC为钝角三角形.
余弦定理
有关系吗?
勾股定理
c a b 2ab cos C
2 2 2
c a b
B c 2 (b sin C ) 2 (a b cos C ) 2
b
C
c a
D
c 2 a 2 b2 2ab cos C
法二:坐标法
A
y
(bcosC,bsinC)
b a
c?
B (a,0)
C
O
x
解:以C为原点,BC为x轴建立直角坐标系
c
(b cos C a) 2 (b sin C 0) 2