江苏省2020版高考数学一模试卷(理科)(II)卷(精编)

江苏省2020年高考理科数学模拟试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）、选择题（本题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。

）1.已知全集 U =R ，集合 A={x|2x>4}, B ={x|(x-1)(x-3)<0},则(@AflB=()的焦点距离相等，那么这样的点 P 有（）如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积A. (1,2)B. (1,2]C. (1,3)D.(-二，2]2.已知复数z =（a+i ）（1 -i ） （i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线 y = 2x 上，则实数a 的值A. 0B. -1C. 11 D.33 . AABC 的内角 A, B, C 的对边分别为b = J6, 8=60%则C 等于（）A. 30. 60. 150. 30°或150°4 .执行如图所示的程序框图，如果输入5. 6. A. 6 B. 24 C. 120 D. 720已知等差数列 A.1｛叫的前行项和为且取 ”&产2,则凡二B.C.D. 30已知直线1 ：做-孙+ 6=0和抛物线C ： / 二做，P 为C 上的一点，且P 到直线l 的距离与P 到CA.0个B. 1个C. 2个D. 无数个7. N=4,则^^出p 为（开始/ IttU P/A. IL 2e 2B.e-1,J2C. D. ；——；.•；8 .从2个不同的红球，2个不同的黄球，2个不同的蓝球中任取两个，放入颜色分别为红、黄、蓝的三个袋子中，每个袋子中至多放入 1个球，且球的颜色与袋子的颜色不同，那么不同的放法有( )A. 46 种 B .36 种 C . 72 种 D . 42 种x 2y 29 .已知双曲线c ：-2—q=1 ( a>0,b >0)的左焦点为F ,第二象限的点 M 在双曲线 a b bC 的渐近线上，且|OM | = a ,若直线MF 的斜率为一，则双曲线的渐近线万程为() a A. y = ±x B . y = ±2x C. y = ±3xD . y = ±4x2n — i32i 10 .已知数列但J 的通项公式是 %小——,其前E 项和5n = 7丁，则项数内=2nt)4p = f (log 4 25 ),则m, n, p 的大小关系为() A. m p n B. p n m C. p m n D. n p m12.已知函数f(x) = e x-ax-1在区间(-1,1)内存在极值点，且f (x )<0恰好有唯一整数解，则a的取值范围是(其中e 为自然对数的底数，e = 2.71828||| )A. 13B. 10C. 9D. 611.已知f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0,+ 8)单调递增，设m = f 1log 21 I, n = f (7皿-e 2-1 e-1；/C. |丁丈,——U(e-1,e ) D.(e -1,e)je e J二、填空题(本题共 4小题，每小题5分，共20分。

江苏省2020年高考理科数学模拟试题及答案（二）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知集合M ＝{x|x 2﹣2x ﹣3≤0}，N ＝{x|y ＝lg （x ﹣2）}，则M∪N ＝（ ）A. [﹣1，+∞）B. （﹣1，+∞）C. （2，3]D. （1，3）2. 若复数（2﹣i ）（a+i ）的实部与虚部互为相反数，则实数a ＝（ ）A. 3B.C.D. ﹣33．若，则“”是“”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4．已知()()4,f x g x =-函数()g x 是定义在R 上的奇函数,若(2017)2017,f =则(-2017)f = （ ）。

A ．-2017B ．-2021C ．-2025D ．20255. 已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心距离等于球半径的一半，且AC ＝BC ＝6，AB ＝4，则球面面积为（ ） A. 42πB. 48πC. 54πD. 60π6是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．()1,8B ．()1,+∞C ．()4,8D ．[)4,87. 已知α为第二象限角,sin cos αα+=,则cos2α= ( ) A．B．CD8. 如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（ ）A. 24B. 48C. 96D. 1209. 定义运算：32414321a a a a a a a a -=，将函数xx x f ωωcos 1sin 3)(=（0>ω）的图像向左平移32π 个单位所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是（ ） A.45 B.41 C.47 D.43 10.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，若目标函数y ax z 3+=仅在点（1,0）处取得最小值，则a的取值范围（ ）A.（-6，-3）B.（-6,3）C.（0,3）D.（-6,0]11.已知过点A （a ，0）作曲线C ：y ＝x•e x的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（ ） A. （﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B. （0，+∞） C. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D. （﹣∞，﹣1）12.在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为F ，点B 的坐标为(0，b)，若直线BF 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，且，则双曲线C 的离心率为（ ） A.B.C.D. 2二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年普通高等学校招生考试数学模拟测试一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},则A ∪B= A.{1,2,3,4,5}B.{0,1,4,5}C.{2,3}D.{0,1,2,3,4,5}2.i 是虚数单位,z=2—i,则|z|=B.23.已知向量a =(1,2),b =(-1,λ),若a ∥b ,则实数λ等于 A.-1B.1C.-2D.24.设命题p:∀x ∈R ,x 2>0,则p ⌝为A.∀x ∈R ,x 2≤0B.∀x ∈R ,x 2>0C.∃x ∈R ,x 2>0D.∃x ∈R ,x 2≤05.51(1)x-展开式中含x -2的系数是 A.15B.-15C.10D.-106.若双曲线22221(0,x y a b a b -=>>)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为53，点P(b,0),为则12||||PF PF =A.6B.8C.9D.107.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差,从而求出牟合方盖的体积等于32(3d d 为球的直径),并得到球的体积为16V d π=,这种算法比外国人早了一千多年,人们还用过一些类似的公式,根据π=3.1415926…,判断下列公式中最精确的一个是A.d ≈3B .d ≈√2V 3C.d≈√300157V3D .d≈√158V 38.已知23cos cos ,2sin sin 2αβαβ-=+=则cos(a+β)等于 A.12B.12-C.14D.14-二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.第18届国际篮联篮球世界杯(世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯)于2019年8月31日至9月15日在中国的北京广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示,则下列说法正确的是A.第一场得分的中位数为52 B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等10.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N,若线段MN 1,则 A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为43πC.正方体的边长为2D.线段MN 的最大值为11.已知圆M 与直线x 十y ＋2=0相切于点A(0,-2),圆M 被x 轴所截得的弦长为2,则下列 结论正确的是A.圆M 的圆心在定直线x-y-2=0上B.圆M 的面积的最大值为50πC.圆M 的半径的最小值为1D.满足条件的所有圆M 的半径之积为1012.若存在m,使得f(x)≥m 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有下界,其中m 为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有上界,其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列说法正确的是A.1不是函数1()(0)f x x x x=+>的一个下界 B.函数f(x)=x l nx 有下界,无上界C.函数2()xe f x x=有上界有,上无界下,界无下界D.函数2sin ()1xf x x =+有界 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设f(x)是定义在R 上的函数,若g(x)=f(x)+x 是偶函数,且g(-2)=-4,则f(2)=___. 14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0),点2(,0)3π和7(,0)6π是函数f(x)图象上相邻的两个对称中心,则ω=___.15.已知F 1,F 2分别为椭圆的221168x y +=左、右焦点,M 是椭圆上的一点,且在y 轴的左侧,过点F 2作∠F 1MF2的角平分线的垂线,垂足为N,若|ON|=2(О为坐标原点),则|MF 2|-|MF 1|=___,|OM|=__.(本题第一空2分,第二空3分)16.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB =1=2,E,F 分别为AB 1,A 1C 1的中点,平面α过点C 1,且平面α∥平面A 1B 1C ,平面α∩平面A 1B 1C 1=l ,则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为__·四、解答题：本题共6小题，共70分。

江苏省2020年高考数学一模试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）设集合，，则集合（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二下·太原期中) 已知复数z在复平面内对应的点为（3，4），复数z的共轭复数为，那么z• 等于（）A . 5B . ﹣7C . 12D . 253. （2分） (2019高二下·长春期末) 已知向量| |= ，且 ,则（）A .B .C .D .4. （2分）已知函数,根据下列框图,输出S的值为（）A . 670B .C . 671D . 6725. （2分）已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)＜，则f(x)＜的解集为（）A . {x|－1＜x＜1}B . {x|x＜－1}C . {x|x＜－1，或x＞1}D . {x|x＞1}6. （2分） (2017高一下·唐山期末) 若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（）A . 8B . 7C . 4D . 07. （2分） (2020高一上·黄陵期末) 有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该几何体的体积为：（）A . 6πcm3B . 12πcm3C . 24πcm3D . 36πcm38. （2分） (2017高三下·平谷模拟) 若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小正值是（）．A .B .C .D .9. （2分） (2017高二下·资阳期末) 设（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn ，若a1+a2+…+an=63，则展开式中系数最大项是（）A . 20B . 20x3C . 105D . 105x410. （2分） (2016高二上·平原期中) 如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N分别为线段PB，BC的中点，有以下三个命题：①OC∩平面PAC；②MO∥平面PAC；③平面PAC∥平面MON，其中正确的命题是（）A . ①②B . ①③C . ②③D . ①②③11. （2分） (2017高二上·湖南月考) 由不等式组确定的平面区域为，由不等式组确定的平面区域为，在内随机的取一点，则点落在区域内的概率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二下·巨鹿期末) 设和分别是定义在上的奇函数和偶函数．当时，，且，则不等式的解集是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·酒泉期中) 若函数f（x+1）=x，则f（6）=________14. （1分）如图所示，半径R=2的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差等于________15. （1分）在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，O点是△ABC的外心，满足p +λ +μ =，其中p，λ，μ为非零实数，则 =________．16. （1分） (2018高二上·武汉期中) 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，则为________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2019高一下·余姚月考) 已知等差数列的公差，且， .（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和 .18. （10分） (2016高二上·黑龙江期中) 如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC 的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A′，连接EF，A′B．（1）求证：A′D⊥EF；（2）求二面角A′﹣EF﹣D的余弦值．19. （10分）设甲、乙、丙3个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18.现采用分层抽样的方法从这3个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.（1）求应从这3个协会中分别抽取的运动员的人数.（2）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ， A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.①用所给编号列出所有可能的结果；②设事件A为“编号为A5和A6的2名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率.20. （5分）(2018·宝鸡模拟) 在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的离心率且椭圆上的点到点的距离的最大值为3.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在椭圆上，是否存在点，使得直线：与圆：相交于不同的两点、，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由.21. （15分）(2014·天津理) 设f（x）=x﹣aex（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1 ， x2 ，且x1＜x2 ．（1）求a的取值范围；（2）证明：随着a的减小而增大；（3）证明x1+x2随着a的减小而增大．22. （5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（1+2sin2θ）=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．（I）求实数m和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求 + 的值．23. （10分） (2019高三上·广东月考) 已知函数， .（1）求不等式的解集；（2）已知，记函数的最小值为M，求证： .参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、23-2、。

2020年江苏省高考数学模拟试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（∁U B）=．2．已知复数，则z的共轭复数的模为．3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．4．运行如图所示的伪代码，其结果为．5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为．6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为．7．若函数是偶函数，则实数a的值为．8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为．9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是．10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为．11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是．12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是．13．若函数同时满足以下两个条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．则实数a的取值范围为．14．若b m为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．（1）求的值，（2）求的值．16．在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D 一个平面角．（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．17．在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为．（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．18．将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．（1）求V关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．19．设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1﹣3S n=1．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）数列{a n}是否存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．20．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．求函数的最大值．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．26．设数列{a n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3，a2=a4+a5，a3=a5+a6，…．（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？2020年江苏省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（∁U B）=（﹣1，0] ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合B中的一元二次不等式的解集，确定出集合B，由全集R，求出集合B的补集，求出集合A与集合B的补集的交集即可【解答】解：由A={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1），B={x|x2﹣2x＜0}=（0，2），∴C u B=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴A∩∁U B=（﹣1，0]，故答案为：（﹣1，0]．2．已知复数，则z的共轭复数的模为．【考点】复数求模．【分析】根据复数与它的共轭复数的模相等，即可求出结果．【解答】解：复数，则z的共轭复数的模为||=|z|====．故答案为：．3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．【考点】等可能事件的概率．【分析】求出所有基本事件，两数之积为偶数的基本事件，即可求两数之积为偶数的概率．【解答】解：从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，基本事件共有4×4=16个，∵两数之积为偶数，∴两数中至少有一个是偶数，A中取偶数，B中有4种取法；A中取奇数，B中必须取偶数，故基本事件共有2×4+2×2=12个，∴两数之积为偶数的概率是=．故答案为：．4．运行如图所示的伪代码，其结果为．【考点】伪代码．【分析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，用裂项法即可求值得解．【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，所以S=S=++…+=×（1﹣+﹣…+﹣）=（1﹣）=．故答案为：．5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为﹣=1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得已知双曲线的渐近线方程，设出所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），求出渐近线方程和准线方程，由题意可得=，=，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±x，设所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），渐近线方程为y=±x，准线方程为y=±，由题意可得=，=，又a2+b2=c2，解得a=2，b=，即有所求双曲线的方程为﹣=1．故答案为：﹣=1．6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为﹣2．【考点】函数恒成立问题．【分析】由题意可得a≤f（x）的最小值，运用单调性，可得f（0）取得最小值，即可得到a的范围，进而得到a的最大值．【解答】解：由，可得0≤x≤4，由f（x）=﹣，其中y=在[0，4]递增，y=﹣在[0，4]递增，可得f（x）在[0，4]递增，可得f（0）取得最小值﹣2，可得a≤﹣2，即a的最大值为﹣2．故答案为：﹣2．7．若函数是偶函数，则实数a的值为﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由题意可得，f（﹣）=f（），从而可求得实数a的值．【解答】解：∵f（x）=asin（x+）+sin（x﹣）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f（﹣）=f（），即﹣=a，∴a=﹣．故答案为：﹣．8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为20．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出底面中心到边的距离，棱锥的高，然后求解棱锥的体积．【解答】解：设正五棱锥高为h，底面正五边形的角为108°，底面正五边形中心到边距离为：tan54°，h=，则此正五棱锥体积为：×=20．故答案为：20．9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是（1，3）．【考点】分段函数的应用．【分析】判断f（x）在R上递增，由f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4），可得或，解不等式即可得到所求解集．【解答】解：当x＜3时，f（x）=﹣x2+6x=﹣（x﹣3）2+9，即有f（x）递增；故f（x）在R上单调递增．由f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4），可得或，解得或，即为1＜x≤或＜x＜3，即1＜x＜3．即有解集为（1，3）．故答案为：（1，3）．10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为[，1）．【考点】余弦定理．【分析】设=t（0≤t≤1），=﹣=t﹣，=﹣=﹣．由于⊥，可得•=0．化为：﹣16t+12（+1）cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠BAC==（32﹣）=f（t），（0≤t≤1）．利用函数的单调性即可得出．【解答】解：设=t（0≤t≤1），=﹣=t﹣，=﹣=﹣．∴•=（t﹣）•（﹣）=﹣t2+（+1）•﹣2．∵⊥，∴•=﹣t2+（+1）•﹣2=0．化为：﹣16t+12（+1）cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠BAC==（32﹣）=f（t），（0≤t≤1）．由于f（t）是[0，1]是的单调递增函数，∴f（0）≤f（t）≤f（1），即：≤f（t）≤，即：≤cosA≤，∵A∈（0，π），∴cosA＜1，∴cosA的取值范围是：[，1）．故答案为：[，1）．11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（0，1）∪[3，+∞）．【考点】简单线性规划的应用．【分析】由题意作平面区域，从而结合图象可知y=a x的图象过点（3，1）时为临界值a=3，从而解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，结合图象可知，y=a x的图象过点（3，1）时为临界值a=3，且当0＜a＜1时，一定成立；故答案为：（0，1）∪[3，+∞）．12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是{a|a≤﹣4或a≥0} ．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点⇔函数f（x）在（0，1）内单调⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（01，）内恒成立．再利用导数的运算法则、分离参数法、函数的单调性即可得出．【解答】解：函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值⇔函数f（x）=x2+2x+alnx 在区间（0，1）内单调⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（0，1）内恒成立．由f′（x）=2x+2≥0在（0，1）内恒成立⇔a≥（﹣2x﹣2x2）max，x∈（0，1）．即a≥0，由f′（x）=2x+2≤0在（0，1）内恒成立⇔a≤（﹣2x﹣2x2）min，x∈（0，1）．即a≤﹣4，故答案为：a≤﹣4或a≥0．故答案为：{a|a≤﹣4或a≥0}．13．若函数同时满足以下两个条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．则实数a的取值范围为（2，4）．【考点】全称命题；特称命题．【分析】由①可得当x≤﹣1时，g（x）＜0，根据②可得g（1）=a（1﹣a+3）＞0，由此解得实数a的取值范围．【解答】解：∵已知函数，根据①∀x∈R，f（x）＜0，或g（x）＜0，即函数f（x）和函数g（x）不能同时取非负值．由f（x）≥0，求得x≤﹣1，即当x≤﹣1时，g（x）＜0恒成立，故，解得：a＞2；根据②∃x∈（﹣1，1），使f（x）•g（x）＜0成立，∴g（1）=a（1﹣a+3）＞0，解得：0＜a＜4，综上可得：a∈（2，4），故答案为：（2，4）14．若b m为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为64或65．【考点】数列递推式．【分析】由题意可得：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，则2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得d＜4，d为正整数，得出d=1，2，3，分类讨论后求得满足条件的正整数A的值．【解答】解：依题意：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，∴2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得：2t≤A＜2t+1，2t+d﹣3≤A＜2t+d﹣2，，故max{}≤A＜min{}，由以下关系：2t+d﹣3＜2t+1，，得d＜4，∵d为正整数，∴d=1，2，3．当d=1时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＜2t，不合题意，舍去；当d=2时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＜2t，不合题意，舍去；当d=3时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＞2t，适合题意．此时2t≤A＜，b1=t，b2=t+3，b5=t+6，∴t+3≤b3≤t+6．∵b3=10，∴4≤t≤7，∵t为整数，∴t=4，t=5，t=6或t=7．∵f（3）=27A，b3=10，∴210≤27A＜211，∴≤A＜．当t=4时，24≤A＜，∴无解．当t=5时，25≤A＜，∴无解．当t=6时，26≤A＜，∴64≤A＜．当t=7时，27≤A＜，∴无解．则26≤A＜．∵A∈N*，∴A=64或A=65．综上：A=64或65．故答案为：64或65．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．（1）求的值，（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】（1）利用已知条件求出sin（）与cos（），然后利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．（2）求出正切函数的二倍角的值，利用两角和的正切函数化简求解即可．【解答】解：（1）角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，可得sin（）=，cos（）=，sin（2）=2sin（）cos（）==，cos（2）=2×=．=sin（2﹣）=sin（2）cos﹣sin cos（2）==．（2）∵，∴tan（2α+2β）===．sin（2）=，cos（2）=．tan（2）=．tan（2α+2β）=tan[（）+（2）]==，解得=．16．在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D 一个平面角．（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知得PA⊥AB，PA⊥AD，从而BD⊥PA，由四边形ABCD是菱形，得AC ⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAC．（2）由四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，得CD与AB有交点P，从而直线l∩平面ABCD=P，由此得到直线l不能与平面ABCD平行．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D一个平面角，∴PA⊥AB，PA⊥AD，又AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，∵BD⊥PA，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．解：（2）直线l不能与平面ABCD平行．理由如下：∵四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，∴CD与AB有交点P，∴P∈l，∴直线l∩平面ABCD=P，∴直线l不能与平面ABCD平行．17．在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为．（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设P（x，y），由题意可得k PD•k PE=﹣，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求轨迹方程；（2）设过F的直线为x=my+，代入椭圆方程x2+2y2=4，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理，点满足直线方程，再由过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，求得M，N的坐标，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到直线AM与直线BN斜率之和为定值0．【解答】解：（1）设P（x，y），由题意可得k PD•k PE=﹣，即有•=﹣，化为+=1；（2）设过F的直线为x=my+，代入椭圆方程x2+2y2=4，可得（2+m2）y2+2my﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有y1+y2=﹣，y1y2=﹣，x1=my1+，x2=my2+，由题意可得，过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，解得M（﹣，），N（，﹣），可得k AM+k BN=+，通分后的分子=x2y1﹣x2﹣y1+x1y2+x1+y2+=2my1y2+（y1+y2）+（x1﹣x2）+（y2﹣y1）+=﹣﹣+（y1﹣y2）+（y2﹣y1）+=0．即有直线AM与直线BN斜率之和为定值0．18．将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．（1）求V关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）根据面积得出圆锥的底面半径，利用勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式即可；（2）利用基本不等式得出体积的最值及取得最值得条件；（3）求出圆锥内切球的半径，与0.5比较大小．【解答】解：（1）由题意知圆锥的母线l=3，设圆锥的底面半径为r，则2πr=3α，∴r=，∴圆锥的高h===．∴V==．（2）V==≤=2．当且仅当4π2﹣α2=即α=时，取等号．∴当α=时，体积V取得最大值．（3）当圆锥体积最大时，圆锥的底面半径r=．设圆锥轴截面△ABC的内切圆⊙O半径为R，如图所示，则OD=R，CD=CE=，AC=3，∴AE=，AD=3﹣．由△AOD∽△ACE得，∴，解得R=3≈0.8．∵0.8＞0.5，∴容积最大的圆锥形容器能完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球．19．设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1﹣3S n=1．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）数列{a n}是否存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；等比关系的确定．=1作差可知a n+1=3a n（n≥2），进而可知数列{a n}【分析】（1）通过S n+1﹣3S n=1与S n﹣3S n﹣1是首项为1、公比为3的等比数列；（2）通过（1）可知a n=3n﹣1、S n=（3n﹣1），假设存在满足题意的项a k，则3k﹣1=S r+t﹣S t，进而化简可知不存在r满足3r﹣x﹣=2，进而可得结论；（3）通过（1）可知b n=，假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列，通过化简可知q=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），利用当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0可知当p≥3时不满足题意，进而验证当p=2时是否满足题意即可．【解答】（1）证明：∵S n+1﹣3S n=1，=1，∴当n≥2时，S n﹣3S n﹣1两式相减得：a n+1=3a n，又∵S n+1﹣3S n=1，a1=1，∴a2=S2﹣S1=2a1+1=3满足上式，∴数列{a n}是首项为1、公比为3的等比数列；（2）解：结论：不存在满足题意的项a k；理由如下：由（1）可知a n=3n﹣1，S n==（3n﹣1），假设数列{a n}中存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和，则3k﹣1=S r+t﹣S t=（3r+t﹣1）﹣（3t﹣1）=（3r+t﹣3t）=•3t（3r﹣1），于是（3r﹣1）=3x（其中x为大于1的自然数），整理得：3r﹣x﹣=2，显然r无解，故假设不成立，于是不存在满足题意的项a k；（3）解：结论：存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意；理由如下：由（1）可知b n=，假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列，则2b p=b1+b q，即2=+，整理得：2p•3q﹣p=3q﹣1+q，∴q=2p•3q﹣p﹣3q﹣1=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），∵当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0，∴当p≥3时不满足题意，当p=2时，2=+即为：=+，整理得：=，解得：q=3，综上所述，存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意．20．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，（2）先求出当直线和y=lnx相切时a的取值，然后进行讨论求解即可．【解答】解：（1）若ax＞lnx恒成立，则a＞，在x＞0时恒成立，设h（x）=，则h′（x）==，由h′（x）＞0得1﹣lnx＞0，即lnx＜1，得0＜x＜e，由h′（x）＜0得1﹣lnx＜0，即lnx＞1，得x＞e，即当x=e时，函数h（x）取得极大值同时也是最大值h（e）==．即a＞．（2）设f（x）=lnx，g（x）=ax，（x＞0），则f′（x）=，当g（x）与f（x）相切时，设切点为（m，lnm），则切线斜率k=，则过原点且与f（x）相切的切线方程为y﹣lnm=（x﹣m）=x﹣1，即y=x﹣1+lnm，∵g（x）=ax，∴，得m=e，a=．即当a＞时，ax＞lnx恒成立．当a=时，当x0≥时，要使ax＞lnx恒成立．得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．当0＜a＜时，f（x）与g（x）有两个不同的交点，不妨设较大的根为x1，当x0≥x1时，当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．∴∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连结OD、AD，证出△ADB≌△ODC，得到AB=CO，从而证出结论．【解答】证明：如图示：，连结OD、AD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，AB=2AO，∵DC是⊙O的切线，∴∠CDO=90°，∵DB=DC，∴∠B=∠C，∴△ADB≌△ODC，∴AB=CO，即2OA=OA+CA，∴CA=AO．B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】设矩阵A﹣1=，通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1，进而可得结论．【解答】解：设矩阵A的逆矩阵为，则=，即=，故a=﹣1，b=0，c=0，d=，从而A﹣1=，∴A﹣1B==．C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】求出点A，B的直角坐标，利用点斜式方程得出直线l的直角坐标方程，再求出曲线C的普通方程，求出圆心和半径，利用d=r构建出a的方程，解出a的值．【解答】解：由直线l过点，可得A，B的直角坐标为A（，），B（0，3），直线AB的斜率k==，即有直线l的方程为：y﹣3=x，即y=x+3，由曲线C：ρ=asinθ（a＞0），可得曲线C的普通方程为x2+y2﹣ay=0，即有圆心C（0，），r==，直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点即直线和圆相切，可得，解得a=2或﹣6，由a＞0，可得a=2．D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．求函数的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据条件利用平方关系结合一元二次函数的性质进行求解即可．【解答】解：由得，即5≤x≤7，由平方得y2=x﹣5+7﹣x+2=2+2，∵5≤x≤7，∴当x=6时，函数y2=2+2取得最大值为y2=2+2=4，当x=5或7时，函数y2=2+2取得最小值为y2=2，即2≤y2≤4，则≤y≤2，即函数的最大值为2．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PC与BD所成角的余弦值．（2）求出平面PBC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出钝二面角B﹣PC﹣D的大小．【解答】解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设AP=AB=AD=2BC=2，则P（0，0，2），C（2，1，0），B（2，0，0），D（0，2，0），=（2，1，﹣2），=（﹣2，2，0），设异面直线PC与BD所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线PC与BD所成角的余弦值为．（2）=（2，0，﹣2），=（2，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设平面PCD的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（1，2，2），设钝二面角B﹣PC﹣D的平面角为θ，cosθ=﹣|cos＜＞|=﹣||=﹣，∴θ=135°，∴钝二面角B﹣PC﹣D的大小为135°．26．设数列{a n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3，a2=a4+a5，a3=a5+a6，…．（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？【考点】归纳推理．【分析】（1）若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得a7，a10中一个为1，一个为0，进而得到答案；（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，且a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，进而得到答案．【解答】解：（1）若第二层的两个数为0或1，则a1=a2+a3，由a1为奇数，可得第二层的两个数有2种不同的取法；若第三层的三个数为0或1，则a1=a4+2a5+a6，由a1为奇数，可得第三层的三个数有4种不同的取法；若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得第四层的四个数有8种不同的取法；（2）根据（1）中结论，若第十一层十一个数为0或1，则a1=a56+2（a57+a58+…+a65）+a66，若a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，即a57，a58，…，a65中有2个1或2个0，则第十一层十一个数共有=144种不同取法．2020年8月12日。

2020年江苏省南京师大附中高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．集合A={0，e x}，B={﹣1，0，1}，若A∪B=B，则x=___________．【点睛】根据A∪B=B，得A⊆B，是解题的关键．【答案】0【解析】因为A∪B=B，所以A⊆B，由题意，集合A={0，e x}，B={﹣1，0，1}，所以e x=1，所以x=0．故答案为：0．【点评】本题考查集合的运算，考查运算求解能力，是基础题．2．已知复数z12ii+=（i是虚数单位），则z的虚部是___________．【点睛】先进行复数的乘除运算，化简后即可得到答案．【答案】﹣1【解析】由题意得z()212i i i22ii1+-===--，所以z的虚部是﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查复数的基本概念与乘除运算，是基础题．3．log24+log42=___________．【点睛】熟记对数运算的性质．【答案】5 2【解析】原式=22242loglog+=21522+=．故答案为：52．【点评】本题考查对数运算的性质，考查计算能力，是基础题．4．执行如图所示的程序框图，输出的s值为___________．【点睛】该流程图的功能：利用循环结构来输出变量s 的值；看懂程序框图即可解决问题． 【答案】56【解析】由程序框图得：第一次运行：k =1时，()1111111122s =+-⨯=-=+； 第二次运行：k =2时，111151212236s =+⨯=+=+； 第三次运行：此时k =3满足条件k ≥3，结束循环，输出的s 值为56，故答案为：56． 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5．在△ABC 中，a =4，b =5，c =6，则sin2sin AC=___________． 【点睛】利用正余弦定理、二倍角公式即可得出结论． 【答案】1【解析】△ABC 中，a =4，b =5，c =6，由余弦定理得cos A 25361632564+-==⨯⨯；由正弦定理、二倍角公式得sin2sin A C =2sin cos sin A A C =2cos ca A=32446⨯⨯=1．故答案为：1．【点评】本题考查二倍角公式、正余弦定理，考查学生的计算能力，基础题．6．已知函数()()()sin f x x x ϕϕ=++，0≤φ≤π．若f （x ）是奇函数，则π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为___________． 【点睛】先利用辅助角公式化简，再由f （x ）的奇偶性求出φ，可得π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值． 【答案】﹣1【解析】由辅助角公式化简得()()()12sin 2f x x x ϕϕ⎡⎤=⨯++=⎢⎥⎣⎦2sin （x +φπ3+）；因为0≤φ≤π， f （x ）是奇函数，则φ2π3=；∴f （x ）=2sin （x +π）=﹣2sin x ；所以π6f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin π6=-1.故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，三角函数的奇偶性，属于基础题．7．已知f （x ）=|log 3x |，若a ，b 满足f （a ﹣1）=f （2b ﹣1），且a ≠2b ，则a +b 的最小值为___________．【点睛】先推出（a ﹣1）（2b ﹣1）=1，整理得a +b 2222a aa -=-；再利用导数求函数的最值．【答案】32+【解析】由f （x ）=|log 3x |， f （a ﹣1）=f （2b ﹣1），且a ≠2b ，得（a ﹣1）（2b ﹣1）=1，则b 22a a =-且a ﹣1>0，即a >1；所以a +b =a 222222a a a a a -+=--；构造函数g （x ）2222x x x -=-，则g ′（x ）22482(22)x x x -+=-，令g ′（x ）=0，则x =1±2；当x ∈（1，12+）时，g ′（x ）<0，当x ∈（12+，+∞）时，g ′（x ）>0；故当x =12+g （x ）取最小值32+a +b 的最小值为32+故答案为：32+ 【点评】本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，导数法求函数的最值，难度中档．8．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为___________． 【点睛】先算基本事件总数N =3×3=9，再算所求基本事件个数n =2×2=4，即可求得概率．【答案】49【解析】由题意得基本事件总数N =3×3=9；黑白两球均不在1号盒子包含的基本事件个数n =2×2=4，所以黑白两球均不在1号盒子的概率为P 49n N ==．故答案为：49． 【点评】本题考查古典概型，考查学生的运算求解能力，是基础题．9．若抛物线x 2=4y 的焦点到双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的渐近线距离等于13，则双曲线C 的离心率为___________．【点睛】先求出抛物线的焦点与双曲线的渐近线，再由点到线的距离公式即可求出双曲线的离心率． 【答案】3【解析】由题意得x 2=4y 的焦点为（0，1），双曲线C 的一条渐近线方程为y ba=x ，由点到线的距离公式得13a c==，所以e c a ==3.故答案为：3． 【点评】本题考查圆锥曲线的性质，考查学生的计算能力，是基础题．10．设m ，n 为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ②若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β； ③若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α； ④若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β． 其中的正确命题序号是___________．【点睛】①α与β平行或相交；②由面面垂直的判断定理得α⊥β；③n ⊂α或n ∥α；④由线面垂直的判定定理得m ⊥β． 【答案】②④ 【解析】由题意得①若m ∥α，m ∥β，则α与β平行或相交，所以①错误；②若m ⊥α，m ∥β，则由面面垂直的判断定理得α⊥β，所以②正确； ③若m ∥α，m ∥n ，则n ⊂α或n ∥α，所以③错误；④若m ⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得m ⊥β，所以④正确． 其中的正确命题序号是②④. 故答案为：②④．【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查空间想象能力，是中档题．11．设x >0，y >0，向量a =r （1﹣x ，4），b =r （x ，﹣y ），若a r ∥b r，则x +y 的最小值为___________．【点睛】由向量平行得14x y+=1，再由基本不等式即可求出最值． 【答案】9【解析】因为a r ∥b r，所以4x +（1﹣x ）y =0，整理得14x y+=1；又x >0，y >0，所以x +y =（14x y +）（x +y ）=54y xx y++≥9．当且仅当x =3，y =6时，等号成立，即x +y 的最小值为9．故答案为：9． 【点评】本题考查向量平行与基本不等式，属于基础题．12．在△ABC 中，点P 是边AB 的中点，已知|CP u u u r |=|CA u u r |=4，∠ACB 2π3=，则CP u u u r •CA =u u r _____．【点睛】先用CACBu u r u u u r ，表示CP u u u r ，再计算CP u u u r •CA u u r的值． 【答案】6【解析】∵点P 是边AB 的中点，∴1122CP CA CB =+u u u r u u r u u u r，两边同时平方得222111424CP CA CA CB CB =+⋅+u u u r u u r u u r u u u r u u u r ，代入数据得3=412π14cos 234CB +⨯⨯⨯+⨯u u u r |CB u u u r |2，解得|CB u u u r |=2；∴CA CB ⋅=u u r u u u r 4×2×cos 2π3=-4，∴CP u u u r •CA =u u r （1122CA CB +u u r u u ur ）21122CA CA CB CA ⋅=+⋅=u u r u u r u u u r u u r 6．故答案为：6．【点评】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算，是中档题． 13．已知正数a ，b ，c 满足b 2+2（a +c ）b ﹣ac =0，则ba c+的最大值为___________． 【点睛】由已知条件得（b +a +c ）2=ac +（a +c ）22()4a c +≤+（a +c ）254=（a +c ）2是解决本题的关键．【答案】22【解析】由b 2+2（a +c ）b ﹣ac =0得（b +a +c ）2=ac +（a +c ）22()4a c +≤+（a +c ）254=（a +c ）2，两边同时开方得b +a +c ≤a +c ），所以b ≤a +c ），即b a c ≤+，当且仅当a =c 时取等号．所以ba c+.．【点评】本题考查基本不等式及其应用，属中档题．14．若2101m x mx -<+（m ≠0）对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 【点睛】先将分式不等式转化为一元二次不等式，再对m 分﹣1<m <0，及m =﹣1两类讨论即可求解． 【答案】（﹣∞，12-） 【解析】2101m x mx -<+等价于（m 2x ﹣1）（mx +1）<0，因为m ≠0，所以x 121m =，x 21m=-；因为2101m x mx -<+（m ≠0）对一切x ≥4恒成立，所以m <0；当﹣1≤m <0时，211m m ≥-，则21m <4，解得﹣1≤m 12<-；当m <﹣1时，211m m <-，则1m-<4，解得m <﹣1；所以实数m 的取值范围是（﹣∞，12-）.故答案为：（﹣∞，12-）． 【点评】本题考查不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，较难．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为矩形，AB =BC =1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，DE ⊥P A ．（1）求证：EF ∥平面P AD ； （2）求证：平面P AC ⊥平面PDE ．【点睛】（1）连EC ，并延长与DA 的延长线交于N ，则E 是AC 的中点，得EF ∥PA ，得EF ∥平面PAD ； （2）先证DE ⊥平面PAC ，即得平面PAC ⊥平面PDE ．【解析】（1）如图，连接EC 并延长，与DA 的延长线交于N ，则E 是AB 的中点． 又因为F 是PC 的中点，所以EF ∥PN ； 又EF ⊄平面PAD ，PN ⊂平面PAD ， 所以EF ∥平面PAD ．（2）设AC ∩DE =G ，由△AEG ∽△CDG 及E 为AB 中点得12AG AE CG CD ==；又因为AB =BC =1，所以AC =AG 13=AC =．所以AG AB AE AC ==， 又∠BAC 为公共角，所以△GAE ∽△BAC ． 所以∠AGE =∠ABC =90°，即DE ⊥AC ． 又DE ⊥PA ，PA ∩AC =A ，所以DE ⊥平面PAC ． 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥面PDE ． 【点评】本题考查线面平行与垂直，属于中档题．16．在三角形ABC 中，已知1tan 2B =，cos 10C =-．（1）求角A 的值； （2）若△ABC 的面积为310，求边BC 的长． 【点睛】（1）先求得tan C ，再由由诱导公式得tan A ，即可求出A ； （2）由正弦定理求出AB ，由三角形的面积公式求得a =1，即BC =1． 【解析】（1）在△ABC 中，tan B 12=，cosC 0=<，所以C ∈（π2，π）， 所以sinC =，故tan C =﹣3， 所以()()()()13tan tan 2tan tan 111tan tan 132B C A B C B C ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-+=-=-=-⋅⎡⎤-⨯-⎢⎥⎣⎦，∵0<A <π，所以A π4=； （2）由（1）知A =45°，设BC =a ，因为sin sin AB BCC A= ，所以AB a ==，又sin 1tan cos 2B B B ==，联立22sin cos 1B B +=得sinB =，所以△ABC 的面积S 21133sin 221010AB BC B a a =⋅=⨯==，解得a =1； 所以BC =1．【点评】本题考查正弦定理、三角形的面积公式、同角三角函数间的基本关系等，是中档题． 17．建造一个容积为8m 3、深为2m 的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为120元/m 2和80元/m 2．（1）求总造价y （单位：元）关于底边一边长x （单位：m ）的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）如果要求总造价不超过2080元，求x 的取值范围； （3）求总造价y 的最小值． 【点睛】（1）先表示出另一边长为842x x =，由题意可知y =320（x 4x+）+480 （x >0）； （2）令y ≤2080即可求出x 的取值范围；（3）利用基本不等式求y 的最小值，注意等号成立条件． 【解析】（1）由题意得另一边长为842x x=， ∴总造价y =2（x 4x +）82801202⨯⨯+⨯=320（x 4x+）+480，∴总造价y 关于底边一边长x 的函数解析式为：y =320（x 4x+）+480 （x >0）； （2）由（1）可知：y =320（x 4x+）+480， ∴令y ≤2080得，320（x 4x+）+480≤2080，解得：1≤x ≤4， ∴当x ∈[1，4]时，总造价不超过2080元；（3）∵x >0，∴x 44x +≥=，当且仅当x =2时，等号成立， ∴y =320（x 4x+）+480≥320×4+480=1760， ∴当x =2时，总造价y 取得最小值1760元． 【点评】本题考查函数模型及其应用，是中档题．18．在直角坐标系xOy 中，已知椭圆2263x y +=1，若圆O ：x 2+y 2=R 2（R >O ）的一条切线与椭圆C 有两个交点A ，B ，且OA u u u r •OB =u u u r0．（1）求圆O 的方程；（2）已知椭圆C 的上顶点为M ，点N 在圆O 上，直线MN 与椭圆C 相交于另一点Q ，且MN =u u u u r2NQ uuu r ，求直线MN 的方程．【点睛】（1）设出圆的切线，与椭圆联立，由根与系数的关系及数量积为零得圆的半径，即求出圆的方程；（2）设Q ，N 的坐标，在曲线上，写出坐标之间的关系，写出向量的坐标，利用它们的关系求出坐标，进而求出直线方程．【解析】（1）①当圆的切线的斜率不存在时，不妨设切线方程为 x R =，与椭圆的方程联立，解得x R y =⎧⎪⎨=⎪⎩或x Ry =⎧⎪⎨=⎪⎩， 因为OA OB ⋅=u u u r u u u r 0，所以22602R R --=，解得22R =， 此时圆O 的方程为x 2+y 2=2；②当圆的切线的斜率存在时，设切线的方程y =kx +b ，与椭圆的方程联立，整理，得（1+2k 2）x 2+4kbx +2b 2﹣6=0，设A （x ，y ），B （x '，y '）．x +x '2412kb k-=+，xx '222612b k -=+， ∴yy '=k 2xx '+kb （x +x '）+b 2222222222222222642612121212k b k k b b k b b k k k k k -+-=-+=++++，因为OA OB ⋅=u u u r u u u r0，所以xx '+yy '=0，可得2b 2﹣6+b 2﹣6k 2=0，∴b 2=2+2k 2；①=R ，∴b 2=R 2（1+k 2）②，由①②得，2+2k 2=2k 2R 2+R 2，∴R 2=2， 所以圆的方程x 2+y 2=2；（2）由题意得M （0），设Q （m ，n ），N （a ，b ），MN =u u u u r（a ，b ，NQ =u u u r （m ﹣a ，n ﹣b ），由题意得：()()22a m a b n b ⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩，∴a 23m =，b =联立2222262m n a b ⎧+=⎨+=⎩，解得4n 2﹣-9=0，∴n 2=（舍），n 2=-，m =±2， ∴a =，b =0，即N，0）， 所以直线MN+=1， 即直线MN+-=0-=0．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，联立方程套用根与系数的关系，设而不求，属于中档题． 19．已知函数()()()222ln 12a f x ax x x x a =+++∈R ． （1）若曲线y =f （x ）在x =1处的切线的斜率为2，求函数f （x ）的单调区间； （2）若函数f （x ）在区间（1，e ）上有零点，求实数a 的取值范围． 【点睛】（1）由导数的几何意义求得a =0，再求导可得到单调区间； （2）对参数分类讨论，利用零点的存在性定理建立不等式即可求解． 【解析】（1）由题意，易知函数f （x ）的定义域为（0，+∞）， 由()()222ln 12a f x ax x x x =+++， 得()()()()()21'22ln 221ln 1f x ax x ax x ax ax x x=+++⋅+=++， 则f ′（1）=2（a +1）=2，解得a =0，∴f （x ）=2x ln x +1（x >0），f ′（x ）=2（ln x +1）， 令f ′（x ）>0，解得1e x >；令f ′（x ）<0，解得10ex <<； ∴函数f （x ）的单调递减区间为10e ⎛⎫⎪⎝⎭，，单调递增区间为1e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，； （2）函数()()()222ln 12a f x ax x x x a =+++∈R 在区间（1，e ）上是一条不间断的曲线， 由（1）知，f ′（x ）=2（ax +1）（ln x +1），①当a ≥0时，对任意x ∈（1，e ），ax +1>0，ln x +1>0， 则f ′（x ）>0，故函数f （x ）在（1，e ）上单调递增， 此时对任意的x ∈（1，e ），都有()()1102af x f >=+>成立， 从而函数f （x ）在区间（1，e ）上无零点； ②当a <0时，令f ′（x ）=0，解得1e x =或1x a =-，其中11e<， （i ）若11a-≤，即a ≤﹣1，则对任意x ∈（1，e ），f ′（x ）<0，故函数f （x ）在区间（1，e ）上单调递减，由题意可得()()22110e e 2e e 1022a af f a =+>=+++<，， 解得()222e 123e a +-<<-，其中()()22222e 13e 4e 2103e 3e+-----=>， 即()222e 113e +->-，故a 的取值范围为﹣2<a ≤﹣1；②若1e a -≥，即10ea -≤<，则对任意x ∈（1，e ），f ′（x ）>0，所以函数f （x ）在区间（1，e ）上单调递增，此时对任意x ∈（1，e ），都有()()1102af x f >=+>成立， 从而函数f （x ）在区间（1，e ）上无零点； ③若11e a <-<，即11ea -<<-， 则对任意()11'0x f x a ⎛⎫∈-> ⎪⎝⎭，，，所以函数在区间11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增， 对任意()1e '0x f x a⎛⎫∈-< ⎪⎝⎭，，，函数f （x ）在区间1e a⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，由题意可得()22e e 2e e 102a f a =+++<，解得()222e 13e a +<-，其中()22222e 113e 4e 2e 203e e 3e 3e +----⎛⎫---==< ⎪⎝⎭， 即()222e 113e e +⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭，所以a 的取值范围为()222e 113e a +-<<-， 综上所述，实数a 的取值范围为()222e 123e +⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 【点评】本题考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用，考查分类讨论思想、逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题目．20．已知数列{a n }、{b n }、{c n }，对于给定的正整数k ，记b n =a n ﹣a n +k ，c n =a n +a n +k （n ∈N *）．若对任意的正整数n 满足：b n ≤b n +1，且{c n }是等差数列，则称数列{a n }为“H （k ）”数列． （1）若数列{a n }的前n 项和为S n =n 2，证明：{a n }为H （k ）数列；（2）若数列{a n }为H （1）数列，且a 1=1，b 1=﹣1，c 2=5，求数列{a n }的通项公式； （3）若数列{a n }为H （2）数列，证明：{a n }是等差数列． 【点睛】（1）用定义法证明数列为H （k ）数列．（2）用赋值法和定义法进行证明，求出数列的通项公式． （3）用代换法和定义法证明数列为等差数列．【解析】（1）因为S n =n 2，所以当n ≥2时，221(1)n n n a S S n n -=-=--=2n ﹣1． 当n =1时，a 1=S 1=1，也符合上式， 所以a n =2n ﹣1所以b n =a n ﹣a n +k =﹣2k ，c n =a n +a n +k =4n ﹣2k ﹣2． 所以b n ≤b n +1，c n +1﹣c n =4．对任意的正整数n 满足b n ≤b n +1，且数列{c n }，是公差为4的等差数列， 所以数列{a n }为H （k ）数列；（2）因为数列{a n }为H （1）数列，所以数列{c n }是等差数列， 因为a 1=1， b 1=a 1﹣a 2=﹣1，c 1= a 1+a 2，所以a 2=2，c 1=3，又c 2=5，所以c n =2n +1，即a n +a n +1=2n +1， 所以a n +1﹣（n +1）=a n ﹣n ，则{a n ﹣n }是常数列， 而a 1﹣1=0，所以a n ﹣n =0，则a n =n ． 验证，得b n =a n ﹣a n ﹣1=﹣1，所以b n ≤b n +1对任意正整数n 都成立， 所以a n =n ．（3）由数列{a n }为H （2）数列可知：{c n }是等差数列，记公差为dc n +2﹣c n =（a n +2+a n +4）﹣（a n +a n +2）=﹣b n ﹣b n +2=2d ，所以﹣b n +1﹣b n +3=2d ．则（b n ﹣b n +1）+（b n +2﹣b n +3）=2d ﹣2d =0 又b n ≤b n +1，所以b n =b n +1， 所以数列{b n }为常数列， 则b n =a n ﹣a n +2=b 1 所以c n =a n +a n +2=2a n ﹣b 1． 由c n +1﹣c n =2（a n +1﹣a n ）=d ， 所以12n n d a a +-=． 所以{a n }是等差数列．【点评】本题考查数列定义的应用，赋值法的应用，考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4–2：矩阵与变换]21．（10分）已知矩阵A 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B 201a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且AB =BA ．（1）求实数a ；（2）求矩阵B 的特征值．【点睛】（1）AB 202a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，BA 2202a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，进而求解；（2）矩阵B 的特征多项式为f （λ）=（λ﹣2）（λ﹣1），令f （λ）=0，进而求解． 【解析】（1）由题意，AB 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 220102a a ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，BA 201a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 10220202a ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 因为AB =BA ，所以a =2a ，所以a =0． （2）因为B 201a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵B 的特征多项式为f （λ）2001λλ-==-（λ﹣2）（λ﹣1）， 令f （λ）=0，解得λ=2，λ=1．【点评】本题考查矩阵的性质，矩阵的特征值，属于基础题． [选修4–4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线35(45x t l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩：为参数）．现以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦AB 的长．【点睛】将直线l 与圆C 化为直角坐标方程，求出圆C 的圆心到直线l 的距离，即可求弦AB 的长． 【答案】65AB =【解析】消去参数t ，直线l 化为普通方程为4x ﹣3y =0， 圆C 的极坐标方程ρ=2cos θ，即ρ2=2ρcos θ， 化为直角坐标方程为222x y x +=，即（x ﹣1）2+y 2=1， 则圆C 的圆心到直线l 的距离为45d ==， 所以65AB ==． 【点评】本题考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程之间的转化，点到直线的距离公式，是基础题． [选修4–5：不等式选讲]23．已知x 1，x 2，x 3∈（0，+∞），且满足x 1+x 2+x 3=3x 1x 2x 3，证明：x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1≥3． 【点睛】先变形得2313121113x x x x x x ++=，再将x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1变形为()122331133x x x x x x ⨯⨯++，替换3，最后由柯西不等式即可证得． 【解析】∵x 1+x 2+x 3=3x 1x 2x 3， 两边同时除以x 1x 2x 3，得2313121113x x x x x x ++=， ∴()212233112233112233111111(111)333x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫++=++++≥++= ⎪⎝⎭， 当且仅当“x 1=x 2=x 3=1”时取等号，故x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1≥3，即得证．【点评】本题考查柯西不等式的应用，属于基础题．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．（10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2．若DC =u u u rλAB uuu r ，且向量PC uuu r 与BD u u u r 夹角的余弦值为15．（1）求实数λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．【点睛】（1）建立恰当的空间直角坐标系，求出P ，A ，B ，C ，D 点的坐标，利用向量PC uuu r 与BD u u ur 夹角的余弦值为求出λ的值．（2）求出平面PCD 的法向量，利用向量夹角的余弦公式求解直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值． 【解析】（1）如图，以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．则A （0，0，0），B （1，0，0），D （0，2，0），P （0，0，2），所以AB =u u u r （1，0，0），因为DC =u u u rλAB uuu r =（λ，0，0），所以得C （λ，2，0）．（1）PC =u u u r （λ，2，﹣2），BD =u u u r （﹣1，2，0），向量PC uuu r 与BD u u u r ．可得15=，解得λ=10（舍去）或λ=2． 实数λ的值为2．；（2）PC =u u u r （2，2，﹣2），PD =u u u r （0，2，﹣2），平面PCD 的法向量n =r（x ，y ，z ）．则0n PC ⋅=u u u r r 且0n PD ⋅=u u ur r ，即：x +y ﹣z =0，y ﹣z =0，∴x =0，不妨去y =z =1，平面PCD 的法向量n =r（0，1，1）．又PB =u u u r （1，0，2）．故cos n PB n PB n PB⋅==u u u r r u u u r r u u u r r ，直线PB 与平面PCD ． 【点评】本题考查空间向量向量、空间角，建立恰当的空间直角坐标系是关键，中等题 25．已知（1+x ）2n +1=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2n +1x2n +1，n ∈N *．记T n 0ni ==∑（2k +1）a n ﹣k．（1）求T 2的值；（2）化简T n 的表达式，并证明：对任意的n ∈N *，T n 都能被4n +2整除． 【点睛】（1）由二项式定理得a i 21C in +=，利用公式计算T 2的值； （2）由组合数公式化简T n ，把T n 化为（4n +2）的整数倍即可． 【解析】（1）由二项式定理可得a i 21C i n +=（i =0，1，2，…，2n +1）； 所以T 2=a 2+3a 1+5a 025C =+315C +505C 10355=+⨯+=30； （2）因为（n +1+k ）121C n k n +++=（n +1+k ）•()()()()()()()21!212!1!!!!n n n n k n k n k n k ++⋅=++-+⋅- =（2n +1）2C n k n+， 所以T n 0nk ==∑（2k +1）a n ﹣k0 nk ==∑（2k +1）21C n kn -+0 nk ==∑（2k +1）121C n k n +++0 nk ==∑[2（n +1+k ）﹣（2n +1）]121C n k n +++=2nk =∑（n +1+k ）121C n kn +++-（2n +1）1210C nn kn k +++=∑=2（2n +1）20C nn knk +=-∑（2n +1）1210C nn kn k +++=∑=2（2n +1）•12•（22n 2C nn +）﹣（2n +1）•12•22n +1 =（2n +1）2C nn ；T n =（2n +1）2C n n =（2n +1）（12121C C n n n n ---+）=2（2n +1）21C nn -；因为21C nn -∈N *，所以T n 能被4n +2整除．【点评】本题考查二项式定理与组合数公式的应用问题，是难题．。

2. 3. 4.已知集合如｛一顷封如｛M3｝则刀口=已知i是虚数单位，贝愎数z=（E）（2t）的实部是已知一组数据4,2a.3・a ,5,6的平均数为4,则a的值是.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次观察向上的点数，则点数和为5的概率是o4. S.右图是一个算法流程图,若输出y的值为2则输入x的值为ago6.2在平面宜角坐标系xOy中若以仙线/5=l(a>0)的一条渐近线方w程为'一2二则该双曲线的离心率是—o27.已知y=f（x>是奇函数，当x>0时，/⑴二F，则，（一8）的值是。

sin2（—+«）=—.8.已知43,则sm2a的值是_。

9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的，己知螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是cm\* = 3sin 2x + —10.将函数 I 4的图像向右平移M 个单位长度，则T 移后的图像与*轴最近的对称轴方程是—0U.设｛■｝是公差为〃的等差数列，｛如｝是公比为q 的等比数列，己知数列 ｛"心的前项和&顼-"1*^),则d+g 的值是—。

12.已知5xy +/=l(W e/e)t 则x 2+/的最小值是。

13.在△此中，t !B = 4, 4C=3.匕助C=90。

，。

在边AC 延长血坦炉，使得如=9,若是一 O后=血而专_』无(S 为常数),则co 的於度«㈣■14 .在平面直角坐标系H 夕中尸修。

已知I z 4、B 是圆 2)=36上的两个动点，满足PA=PB ,则△ "8的面积的最大值是15.在三棱柱如C —44G 中，ABLAC. B X CL 平面"分别是AC> %7的中点<1)求证：£少〃平面"MG ：< 2)求证：平面^C±平面“时16.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a=3,c=旧,B=45。

2020 年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷一、填空题（共 14 题，每题 5 分）1．（ 2020?江苏一模）已知会集 A ＝（ 0， +∞），全集 U ＝ R ，则 ?U A ＝ （﹣∞， 0] ．2．（ 2020?江苏一模）设复数 z ＝2+ i ，此中 i 为虚数单位，则 z? ＝ 5 ．3．（ 2020?江苏一模）学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷检查，则 甲被选中的概率为．4．（2020?江苏一模） 命题“ ?θ∈R ，cos θ+sin θ＞1”的否定是 真命题．（填“真” 或“假”）5．（ 2020?江苏一模）运转以下列图的伪代码，则输出的 I 的值为 6 ．6．（ 2020?江苏一模）已知样本 7， 8，9，x ， y 的均匀数是 9，且 xy ＝ 110，则此样本的方差 是 2 ．7．（ 2020?江苏一模） 在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线 y 2＝ 4x 上的点 P 到其焦点的距离 为 3，则点 P 到点 O 的距离为 2 ．8．（ 2020?江苏一模）若数列 { a n } 是公差不为 0 的等差数列， lna 1、 lna 2、lna 5 成等差数列， 则的值为3 ．9．（ 2020?江苏一模）在三棱柱 ABC ﹣ A 1B 1C 1 中，点 P 是棱 CC 1 上一点，记三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 与四棱锥 P ﹣ ABB 1A 1 的体积分别为 V 1 与 V 2，则 ＝ ．10．（ 2020?江苏一模）设函数 f（ x）＝ sin（ωx+φ）（ω＞ 0，0＜φ＜）的图象与y 轴交点的纵坐标为， y 轴右边第一个最低点的横坐标为，则ω 的值为7．11．（2020?江苏一模）已知 H 是△ ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），＝+，则 cos∠ BAC 的值为．12．（ 2020?江苏一模）若无量数列{cos （ωn） } （ω∈R）是等差数列，则其前10 项的和为10．13．（ 2020?江苏一模）已知会集P＝ { （x， y） |x|x|+y|y|＝ 16} ，会集Q＝{ （ x， y） |kx+b1≤ y ≤ kx+b2} ，若 P? Q，则的最小值为4．14．（ 2020?江苏一模）若对随意实数x∈（﹣∞， 1]，都有 ||≤ 1 成立，则实数 a 的值为．二、解答题（共 6 题，满分 90 分）15．（ 2020?江苏一模）已知△ ABC 满足 sin（ B+）＝2cosB．（1）若 cosC＝，AC＝3，求AB；（ 2）若 A∈（0，），且cos（B﹣A）＝，求sinA．16．（ 2020?江苏一模）如图，长方体 ABCD ﹣ A1B1C1D1中，已知底面ABCD 是正方形，点 P 是侧棱 CC1上的一点．（ 1）若 AC1∥平面 PBD，求的值；（ 2）求证： BD ⊥ A1P．2 / 52020 年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷17．（ 2020?江苏一模）如图，是一块半径为4 米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．详尽做法是从⊙ O 中裁剪出两块全等的圆形铁皮⊙P 与⊙ Q 做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽视不计），AB为圆柱的一条母线，点A、B 在⊙ O 上，点 P、Q 在⊙ O 的一条直径上，AB∥ PQ，⊙ P、⊙ Q 分别与直线BC、 AD 相切，都与⊙ O 内切．（1）求圆形铁皮⊙ P 半径的取值范围；（2）请确立圆形铁皮⊙ P 与⊙ Q 半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）18．（2020?江苏一模）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F 2，离心率是 e，动点 P（ x0， y0）在椭圆 C 上运动．当PF 2⊥ x 轴时， x0＝ 1， y0＝ e．（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）延伸 PF 1，PF 2分别交椭圆 C 于点 A，B（ A， B 不重合）．设＝λ，＝μ，求λ+μ的最小值．19．（ 2020?江苏一模）定义：若无量数列{ a n} 满足 { a n+1﹣ a n} 是公比为q 的等比数列，则称数列 { a n} 为“ M（ q）数列”．设数列 { b n} 中 b1＝ 1， b3＝ 7．（ 1）若 b2＝ 4，且数列 { b n} 是“ M（ q）数列”，求数列 { b n} 的通项公式；（ 2）设数列 { b n} 的前 n 项和为 S n，且 b n+1＝2S n﹣n+λ，请判断数列 { b n} 能否为“ M（ q）数列”，并说明原由；（ 3）若数列 { b n} 是“ M（ 2）数列”，能否存在正整数m，n 使得＜＜？若存在，央求出全部满足条件的正整数m， n；若不存在，请说明原由．x ﹣x﹣mx（ m∈R）为奇函数，且x＝ x20．（ 2020?江苏一模）若函数﹣ae时 f（x）f（ x）＝ e 0有极小值 f（x0）．（1）务实数 a 的值；（2）务实数 m 的取值范围；（ 3）若 f（ x0恒成立，务实数m 的取值范围．）≥﹣四、选做题（任选 2 道，每道10 分）21．（ 2020?江苏一模）已知圆C 经矩阵 M＝变换后获得圆C′： x2+y2＝ 13，务实数a的值．22．（ 2020?江苏一模）在极坐标系中，直线ρcosθ+2ρsinθ＝m被曲线ρ＝4sinθ截得的弦为AB ，当 AB 是最长弦时，务实数 m 的值．23．（ 2020?江苏一模）已知正实数 a ， b ， c 满足 + + ＝ 1，求 a+2b+3 c 的最小值．五、必做题（每题 10 分，合计 2 题）24．（ 2020?江苏一模）如图， AA 1、BB 1 是圆柱的两条母线， A 1B 1、AB 分别经过上下底面圆的圆心 O 1、O ， CD 是下底面与 AB 垂直的直径， CD ＝ 2．（ 1）若 AA 1＝ 3，求异面直线 A 1C 与 B 1D 所成角的余弦值；（ 2）若二面角 A 1﹣ CD ﹣ B 1 的大小为，求母线 AA 1 的长．25．（ 2020?江苏一模） 设 i2 2n（1﹣ 2x ）＝ a 0+a 1x+a 2x + +a 2n x （ n ∈N* ），记 S n ＝ a 0+a 2+a 4+ +a 2n ． （ 1）求 S n ；（ 2）记 T n1 n123nn3 恒成立． +S 2?n ﹣ S 3n+ +（﹣ 1） n n ，求证： |T n＝﹣ S?? S ? |≥ 6n。

2020年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷答案解析一、填空题（共14题，每题5分）1．（2020•江苏一模）已知集合A＝（0，+∞），全集U＝R，则∁U A＝（﹣∞，0]．【解答】解：∵A＝（0，+∞），U＝R，∴∁U A＝（﹣∞，0]．故答案为：（﹣∞，0]．2．（2020•江苏一模）设复数z＝2+i，其中i为虚数单位，则z•＝5．【解答】解：∵z＝2+i，∴．故答案为：5．3．（2020•江苏一模）学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为．【解答】解：学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，基本事件总数n＝＝3，甲被选中包含的基本事件个数m＝＝2，则甲被选中的概率为P＝＝．故答案为：．4．（2020•江苏一模）命题“∀θ∈R，cosθ+sinθ＞1”的否定是真命题．（填“真”或“假”）【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃θ0∈R，cosθ0+sinθ0≤1为真命题，故答案为：真．5．（2020•江苏一模）运行如图所示的伪代码，则输出的I的值为6．【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝0，I＝0满足条件S≤10，执行循环体，S＝0，I＝1满足条件S≤10，执行循环体，S＝1，I＝2满足条件S≤10，执行循环体，S＝3，I＝3满足条件S≤10，执行循环体，S＝6，I＝4满足条件S≤10，执行循环体，S＝10，I＝5满足条件S≤10，执行循环体，S＝15，I＝6不满足条件S≤10，退出循环，输出I的值为6．故答案为：6．6．（2020•江苏一模）已知样本7，8，9，x，y的平均数是9，且xy＝110，则此样本的方差是2．【解答】解：∵样本7，8，9，x，y的平均数是9，且xy＝110，∴，解得x＝10，y＝11或x＝11，y＝10，∴此样本的方差为：S2＝[（7﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（11﹣9）2]＝2．故答案为：2．7．（2020•江苏一模）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2＝4x上的点P到其焦点的距离为3，则点P到点O的距离为2．【解答】解：∵抛物线y2＝4x＝2px，∴p＝2，准线方程为：x＝﹣1，抛物线y2＝4x上的点P到其焦点的距离为3，所以P（2，）则点P到点O的距离为：＝，故答案为：2．8．（2020•江苏一模）若数列{a n}是公差不为0的等差数列，lna1、lna2、lna5成等差数列，则的值为3．【解答】解：数列{a n}是公差不为0的等差数列，lna1、lna2、lna5成等差数列，∴2ln（a1+d）＝lna1+ln（a1+4d），∴＝a1（a1+4d），∴，解得d＝2a1，∴＝＝3．故答案为：3．9．（2020•江苏一模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点P是棱CC1上一点，记三棱柱ABC﹣A1B1C1与四棱锥P﹣ABB1A1的体积分别为V1与V2，则＝．【解答】解：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点P是棱CC1上一点，记三棱柱ABC﹣A1B1C1与四棱锥P﹣ABB1A1的体积分别为V1与V2，设AB＝a，△ABC的高为b，三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为h，则，，∴＝＝．故答案为：．10．（2020•江苏一模）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象与y轴交点的纵坐标为，y轴右侧第一个最低点的横坐标为，则ω的值为7．【解答】解：∵f（x）的图象与y轴交点的纵坐标为，∴f（0）＝sinφ＝，∵0＜φ＜，∴φ＝，则f（x）＝sin（ωx+），∵y轴右侧第一个最低点的横坐标为，∴由五点对应法得ω+＝得φ＝7，故答案为：7．11．（2020•江苏一模）已知H是△ABC的垂心（三角形三条高所在直线的交点），＝+，则cos∠BAC的值为．【解答】解：∵＝+，令，∴如图，点B，H，E三点共线，则有，，∴．∴，即．∴，∴＝（其中点F为边AB的中点），则有，边AB上的中线与垂线重合，即CB＝CA．∵且．由对称性可知，且．建立如图所示的平面直角坐标系，则有，D（0，0），B（2，0），C（1，0），设A（0，4t），∴H（0，t），t＞0．由BC＝CA可得，．cos∠BAC＝＝．故答案为．12．（2020•江苏一模）若无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）是等差数列，则其前10项的和为10．【解答】解：∵无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）是等差数列，∴ω＝0，∴cos（ωn）＝1，∴无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）的前10项的和为：S10＝10×1＝10．故答案为：10．13．（2020•江苏一模）已知集合P＝{（x，y）|x|x|+y|y|＝16}，集合Q＝{（x，y）|kx+b1≤y ≤kx+b2}，若P⊆Q，则的最小值为4．【解答】解：当x≥0，y≥0时，x2+y2＝16，即y＝；当x≥0，y＜0时；x2﹣y2＝16，即当x＜0，y≥0时；﹣x2+y2＝16，即y＝当x＜0，y＜0时，x2+y2＝﹣16，舍去．作出图象，x2﹣y2＝16的一条渐近线为y＝﹣x，与该渐近线平行，且与圆x2+y2＝16的一条切线为，由图可知，k＝﹣1，最小值为＝．故答案为：4．14．（2020•江苏一模）若对任意实数x∈（﹣∞，1]，都有||≤1成立，则实数a 的值为．【解答】解：依题意，，令，若x2﹣2ax+1＝0的判别式△＝4a2﹣4≥0，则x2﹣2ax+1＝0有解，设一解为x1，则当x→x1时，|f（x）|→+∞，不满足|f（x）|≤1恒成立，故﹣1＜a＜1，，①当2a+1＜0，即时，函数f（x）在（2a+1，1）单调递减，f（0）＝1，则f（2a+1）＞1，不满足题意；②当2a+1＞0，即时，记1，2a+1中的较小值为x0，则函数f（x）在（﹣∞，x0）单调递增，由f（0）＝1可得f（x0）＞f（0）＝1，不满足题意；③当2a+1＝0，即时，f（x）在（﹣∞，0），（0，1）单调递减，则f（x）≤f（0）＝1，＞0，则|f（x）|≤1恒成立．故答案为：．二、解答题（共6题，满分90分）15．（2020•江苏一模）已知△ABC满足sin（B+）＝2cos B．（1）若cos C＝，AC＝3，求AB；（2）若A∈（0，），且cos（B﹣A）＝，求sin A．【解答】解：（1）由sin（B+）＝2cos B，可知sin B+cos B＝2cos B，即sin B＝cos B，因为cos B≠0，所以tan B＝，又B∈（0，π），故B＝，由cos C＝，C∈（0，π），可知sin C＝，在△ABC中，由正弦定理，所以AB＝2；（2）由（1）知B＝，所以A∈（0，）时，﹣A∈（0，），由cos（B﹣A）＝，即cos（）＝，所以sin（）＝，所以sin A＝sin[﹣（）]＝sin cos（）﹣cos sin（）＝＝．16．（2020•江苏一模）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面ABCD是正方形，点P 是侧棱CC1上的一点．（1）若AC1∥平面PBD，求的值；（2）求证：BD⊥A1P．【解答】解：（1）连结AC交BD于点O，连结OP．因为AC1∥平面PBD，AC1⊂平面ACC1，平面ACC1∩平面BDP＝OP，所以AC1∥OP．因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O，所以点O是AC的中点，所以AO＝OC，所以在△ACC1中，＝＝1．（2）证明：连结A1C1．因为ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，所以侧棱C1C⊥平面ABCD．又BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD．因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又AC∩CC1＝C，AC⊂面ACC1A1，CC1⊂面ACC1A1，所以BD⊥面ACC1A1，又因为A1P⊂面ACC1A1，所以BD⊥A1P．17．（2020•江苏一模）如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O中裁剪出两块全等的圆形铁皮⊙P与⊙Q做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB为圆柱的一条母线，点A、B在⊙O上，点P、Q在⊙O的一条直径上，AB∥PQ，⊙P、⊙Q分别与直线BC、AD相切，都与⊙O内切．（1）求圆形铁皮⊙P半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P与⊙Q半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）【解答】解：（1）设⊙P的半径为r，则AB＝4（2﹣r），所以⊙P的周长，解得，故⊙P半径的取值范围为；（2）在（1）的条件下，油桶的体积V＝πr2•AB＝4πr2（2﹣r），设函数，则f′（x）＝4x﹣3x2，由于，所以f′（x）＞0在定义域上恒成立，即函数f（x）在定义域上单调递增，故当时，体积取倒最大值．18．（2020•江苏一模）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率是e，动点P（x0，y0）在椭圆C上运动．当PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e．（1）求椭圆C的方程；（2）延长PF1，PF2分别交椭圆C于点A，B（A，B不重合）．设＝λ，＝μ，求λ+μ的最小值．【解答】解：（1）由题意知当PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e．知c＝1，＝e＝，∴b ＝c＝1，又a2＝b2+c2＝2，所以椭圆的方程为：＝1；（2）由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0）设A（x0，y0），由＝λ得，即，代入椭圆方程得：+（﹣λy0）2＝1，又＝1，得，两式相减得：＝1﹣λ2，因为λ+1≠0，所以2λx0+λ+1＝2（1﹣λ），故；同理可得：，故λ+μ＝+＝，当且仅当x0＝0时取等号，故λ+μ的最小值为．19．（2020•江苏一模）定义：若无穷数列{a n}满足{a n+1﹣a n}是公比为q的等比数列，则称数列{a n}为“M（q）数列”．设数列{b n}中b1＝1，b3＝7．（1）若b2＝4，且数列{b n}是“M（q）数列”，求数列{b n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，且b n+1＝2S n﹣n+λ，请判断数列{b n}是否为“M（q）数列”，并说明理由；（3）若数列{b n}是“M（2）数列”，是否存在正整数m，n使得＜＜？若存在，请求出所有满足条件的正整数m，n；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为b2＝4，且数列{b n}是“M（q）数列”，所以q＝＝＝1，所以＝1，n≥2，即b n+1﹣b n＝b n﹣b n﹣1，n≥2，所以数列{b n}是等差数列，其公差为b2﹣b1＝3，所以数列{b n}通项公式为b n＝1+（n﹣1）×3＝3n﹣2．（2）由，得，b3＝4+3λ＝7，解得λ＝7，由，得，两式作差，得：，∴，n∈N*，∵，∴，∴对n∈N*恒成立，则＝3（），∵，∴，∴＝3，∴是等比数列，∴，∴，∴＝＝3，∴{b n+1﹣b n}是公比为3的等比数列，故数列{b n}是“M（q）数列“．（3）由数列{b n}是“M（2）”数列，∴b n+1﹣b n＝（b2﹣b1）×2n+1，∵＝2，∴＝2，∴b2＝3，∴b2﹣b1＝2，∴b n+1﹣b n＝2n，∴当n≥2时，b n＝（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1，＝2n﹣1+2n﹣2+…+2+1＝2n﹣1，假设存在正整数m，n，使得，则，由＝，∴，∴m﹣n＝1，∴，即，∴，∴n＝10，m＝11．∴存在满足条件的正整数m，n，其中m＝11，n＝10．20．（2020•江苏一模）若函数f（x）＝e x﹣ae﹣x﹣mx（m∈R）为奇函数，且x＝x0时f（x）有极小值f（x0）．（1）求实数a的值；（2）求实数m的取值范围；（3）若f（x0）≥﹣恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由函数f（x）为奇函数，得f（x）+f（﹣x）＝0在定义域上恒成立，∴e x﹣ae﹣x﹣mx+e﹣x﹣ae x+mx＝0，化简可得（1﹣a）（e x+e﹣x）＝0，故a＝1；（2）由（1）可得f（x）＝e x﹣e﹣x﹣mx，则，①当m≤2时，由于e2x﹣me x+1≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，故不存在极小值；②当m＞2时，令e x＝t，则方程t2﹣mt+1＝0有两个不等的正根t1，t2（t1＜t2），故可知函数f（x）＝e x﹣e﹣x﹣mx在（﹣∞，lnt1），（lnt2，+∞）上单调递增，在（lnt1，lnt2）上单调递减，即在lnt2出取到极小值，所以，实数m的取值范围为（2，+∞）；（3）由x0满足代入f（x）＝e x﹣e﹣x﹣mx，消去m得，构造函数h（x）＝（1﹣x）e x﹣（1+x）e﹣x，则h′（x）＝x（e﹣x﹣e x），当x≥0时，，故当x≥0时，h′（x）≤0恒成立，故函数h（x）在[0，+∞）上单调减函数，其中，则，可转化为h（x0）≥h（1），故x0≤1，由，设y＝e x+e﹣x，可得当x≥0时，y′＝e x﹣e﹣x≥0，∴y＝e x+e﹣x在（0，1]上递增，故，综上，实数m的取值范围为．四、选做题（任选2道，每道10分）21．（2020•江苏一模）已知圆C经矩阵M＝变换后得到圆C′：x2+y2＝13，求实数a的值．【解答】解：设圆C上任一点（x，y），经矩阵M变换后得到圆C’上一点（x’，y’），所以，所以，又因为（x′）2+（y′）2＝13，所以圆C的方程为（ax+3y）2+（3x﹣2y）2＝13，化简得（a2+9）x2+（6a﹣12）xy+13y2＝13，所以解得a＝2．所以，实数a的值为2．22．（2020•江苏一模）在极坐标系中，直线ρcosθ+2ρsinθ＝m被曲线ρ＝4sinθ截得的弦为AB，当AB是最长弦时，求实数m的值．【解答】解：以极点为原点，极轴为x轴的正半轴（单位长度相同）建立平面直角坐标系，由直线ρcosθ+2ρsinθ＝m，可得直角坐标方程为x+2y﹣m＝0．又曲线ρ＝4sinθ，所以ρ2＝4ρsinθ，其直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4，所以曲线ρ＝4sinθ是以（0，2）为圆心，2为半径的圆．为使直线被曲线（圆）截得的弦AB最长，所以直线过圆心（0，2），于是0+2×2﹣m＝0，解得m＝4．所以，实数m的值为4．23．（2020•江苏一模）已知正实数a，b，c满足++＝1，求a+2b+3c的最小值．【解答】解：根据题意，因为++＝1，则++＝1，由柯西不等式得a+2b+3c＝（a+2b+3c）（++）≥（1+2+3）2；即a+2b+3c≥36，当且仅当a＝b＝c时取等号，解得a＝b＝c＝6，所以当且仅当a＝b＝c＝6时，a+2b+3c取最小值36．五、必做题（每题10分，共计2题）24．（2020•江苏一模）如图，AA1、BB1是圆柱的两条母线，A1B1、AB分别经过上下底面圆的圆心O1、O，CD是下底面与AB垂直的直径，CD＝2．（1）若AA1＝3，求异面直线A1C与B1D所成角的余弦值；（2）若二面角A1﹣CD﹣B1的大小为，求母线AA1的长．【解答】解：（1）以CD，AB，OO1所在直线建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz．由CD＝2，AA1＝3，所以A（0，﹣1，0），B（0，1，0），C（﹣1，0，0），D（1，0，0），A1（0，﹣1，3），B1（0，1，3），从而＝（﹣1，1，﹣3），＝（1，﹣1，﹣3），所以cos＝，所以异面直线A1C与B1D所成角的余弦值为：．（2）设AA1＝m＞0，则A1（0，﹣1，m），B1（0，1，m），所以＝（﹣1，1，﹣m），＝（1，﹣1，﹣m），，＝（2，0，0），设平面A1CD的一个法向量＝（x1，y1，z1），则所以x1＝0，令z1＝1，则y1＝m，所以平面A1CD的一个法向量＝（0，m，1）．同理可得平面B1CD的一个法向量＝（0，﹣m，1）．因为二面角A1﹣CD﹣B1的大小为，所以|cos＜，＞|＝＝，解得m＝或m＝，由图形可知当二面角A1﹣CD﹣B1的大小为时，m＝．25．（2020•江苏一模）设（1﹣2x）i＝a0+a1x+a2x2+…+a2n x2n（n∈N*），记S n＝a0+a2+a4+…+a2n．（1）求S n；（2）记T n＝﹣S1∁n1+S2∁n2﹣S3∁n3+…+（﹣1）n S n∁n n，求证：|T n|≥6n3恒成立．【解答】解：（1）由题意，令x＝1，得a0+a1+a2+…+a2n＝＝0；令x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a2n﹣1+a2n＝＝31+32+…+32n＝•（9n﹣1）．两式相加，得2（a0+a2+a4+…+a2n）＝•（9n﹣1），即2S n＝•（9n﹣1），∴S n＝（9n﹣1），n∈N*．（2）由题意，T n＝﹣S1∁n1+S2∁n2﹣S3∁n3+…+（﹣1）n S n∁n n＝{[﹣91+92﹣93+…+（﹣1）n9n]﹣[﹣+﹣+…+（﹣1）n]}＝{[90﹣91+92﹣93+…+（﹣1）n9n]﹣[﹣+﹣+…+（﹣1）n ]}＝[90﹣91+92﹣93+…+（﹣1）n9n]＝[（﹣9）0﹣（﹣9）1+（﹣9）2﹣（﹣9）3+…+（﹣9）n]＝（1﹣9）n＝•（﹣8）n．故|T n|＝|•（﹣8）n|＝•8n．要证|T n|≥6n3，即证×8n≥6n3，只需证明8n﹣1≥n3，即证2n﹣1≥n．当n＝1，2时，2n﹣1≥n显然成立．当n≥3时，2n﹣1＝++…+≥＝+＝1+（n﹣1）＝n，即2n﹣1≥n，所以2n﹣1≥n对n∈N*恒成立．综上，|T n|≥6n3恒成立．。

2020年江苏省南京市高考一模数学一、填空题(每题5分，共70分)1.已知集合A={x||x|≤2}，B={x|3x-2≥1}，则A ∩B=____. 解析：由A 中不等式解得：-2≤x ≤2，即A={x|-2≤x ≤2}， 由B 中不等式解得：x ≥1，即B={x|x ≥1}， 则A ∩B={x|1≤x ≤2}. 答案：{x|1≤x ≤2}2.复数212a ii-+(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为____. 解析：()()()()()()2124212124121212555＝＝a i i a a i a a i a i i i i ----++--=-++-． ∵复数212a ii-+是纯虚数 ∴()4052105＝a a ⎧⎪-+-⎨≠⎪⎪⎪⎩，解得：a=4．答案：4．3.已知命题p ：∃x ∈R ，x 2+2x+a ≤0是真命题，则实数a 的取值范围是____.解析：若命题p ：∃x ∈R ，x 2+2x+a ≤0是真命题， 则判别式△=4-4a ≥0， 即a ≤1.答案：(-∞，1]．4.从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为____. 解析：从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条， 共有2、3、5；2、3、6；2、5、6；3、5、6；4种情况， 能构成三角形的有2、5、6；3、5、6，共两种情况， 所以P(任取三条，能构成三角形)=24=12． 答案：125.某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4，5)上的数据的频数为____.解析：根据题意，在区间[4，5]的频率为：1-(0.05+0.1+0.15+0.4)×1=0.3， 而总数为100，因此频数为30． 答案：30．6.在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为26，则输入的x 的值为____.解析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出254224＜x y x x x ≥=-+⎧⎨⎩的值，当输出的y 的值为26时，显然x ＜4，有x 2-2x+2=26， 解得：x=-4或x=6(舍去) 答案：-47.在平面直角坐标系xOy 中，点F 为抛物线x 2=8y 的焦点，则点F 到双曲线2219y x -=的渐近线的距离为____.解析：抛物线x 2=8y 的焦点F(0，2)，双曲线2219y x -=的渐近线方程为y=±3x ， 则F 到双曲线2219y x -=的渐近线的距离为 2221031d ==+．答案：5．8.已知a ，b 为实数，且a ≠b ，a ＜0，则a____22b b a-．(填“＞”、“＜”或“=”)解析：∵a ≠b ，a ＜0，∴()2220（）＜a b ba b a a---=， ∴22＜b a b a-．答案：＜．9.△ABC 是直角边等于4的等腰直角三角形，D 是斜边BC 的中点，1·4＝AM AB m AC +u u u u r u u u r u u u r，向量AM u u u u r 的终点M 在△ACD 的内部(不含边界)，则·AM BM u u u u r u u u u r 的取值范围是____.解析：以AB 为x 轴，AC 为y 轴，作图如下图，点A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，D(2，2)，则11·44＝=AM AB m AC +u u u u r u u u r u u u r (4，0)+m(0，4)=(1，4m)，则M(1，4m)．又∵点M 在△ACD 的内部(不含边界)，∴1＜4m ＜3，1344＜＜m ，则·AM BM u u u u r u u u u r ═(1，4m)·(-3，4m)=16m 2-3，∴-2＜16m 2-3＜6.答案：(-2，6)．10.已知四数a 1，a 2，a 3，a 4依次成等比数列，且公比q 不为1．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则正数q 的取值集合是____.解析：因为公比q 不为1，所以不能删去a 1，a 4．设{a n }的公差为d ，则①若删去a 2，则由2a 3=a 1+a 4得2a 1q 2=a 1+a 1q 3，即2q 2=1+q 3，整理得q 2(q-1)=(q-1)(q+1)．又q ≠1，则可得q 2=q+1，又q ＞0解得12q +=； ②若删去a 3，则由2a 2=a 1+a 4得2a 1q=a 1+a 1q 3，即2q=1+q 3，整理得q(q-1)(q+1)=q-1．又q ≠1，则可得q(q+1)=1，又q ＞0解得q =．综上所述，q =答案：{12-，12}．11.已知棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，F 是棱BC 的中点，M 是线段A 1F 上的动点，则△MDD 1与△MCC 1的面积和的最小值是____. 解析：由题意，就是求M 到DD 1与CC 1距离和的最小值，由于A 1F 在平面ABCD 上的射影为AF ，故问题转化为正方形ABCD 中，AF 上的点到D ，C 距离和的最小值，设出D 关于AF 的对称点D'，则DD ′cos ∠CDD ′∴CD '==，∴△MDD 1与△MCC 1的面积和的最小值是12=.12.已知函数f(x)=-x 2+ax+b(a ，b ∈R)的值域为(-∞，0]，若关于x 的不等式f(x)＞c-1的解集为(m-4，m+1)，则实数c 的值为____.解析：∵函数f(x)=-x 2+ax+b(a ，b ∈R)的值域为(-∞，0]， ∴△=0， ∴a 2+4b=0，∴24a b =-．∵关于x 的不等式f(x)＞c-1的解集为(m-4，m+1)， ∴方程f(x)=c-1的两根分别为：m-4，m+1，即方程：2214a x ax c -+-=-两根分别为：m-4，m+1，∵方程：2214a x ax c -+-=-根为：2＝ax ±∴两根之差为：14（）（）m m =+--，214c =-． 答案：214-．13.若对任意的x ∈D ，均有f 1(x)≤f(x)≤f 2(x)成立，则称函数f(x)为函数f 1(x)到函数f 2(x)在区间D 上的“折中函数”．已知函数f(x)=(k-1)x-1，g(x)=0，h(x)=(x+1)lnx ，且f(x)是g(x)到h(x)在区间[1，2e]上的“折中函数”，则实数k 的值构成的集合是____. 解析：根据题意，可得0≤(k-1)x-1≤(x+1)lnx 在x ∈[1，2e]上恒成立． 当x ∈[1，2e]时，函数f(x)=(k-1)x-1的图象为一条线段，于是，()()1020f f e ≥≥⎧⎪⎨⎪⎩，解得k ≥2．另一方面，()1ln 11x x k x++-≤在x ∈[1，2e]上恒成立．令()()1ln 1ln 1ln ＝x x x m x x xxx++=++，则()2ln ＝x xm x x -'． 由于1≤x ≤2e ， 所以()1ln 10＝x x x-'-≥， 于是函数x-lnx 为增函数， 从而x-lnx ≥1-ln1＞0， 所以m ′(x)≥0，则函数m(x)为[1，2e]上的增函数． 所以k-1≤[m(x)]min =m(1)=1， 即k ≤2． 综上，k=2． 答案：{2}．14.若实数x ，y满足x -=x 的取值范围是____. 解析：方法一：【几何法】当x=0时，解得y=0，符合题意，当x ＞0时，解答如下：令[0t =，原方程可化为：22xt -+=， 记函数22（）xf t t =-+，（）g t =t ∈[0]， 这两个函数都是关于t 的函数，其中x 为参数， f(t)的图象为直线，且斜率为定值-2， g(t)，问题等价为，在第一象限f(t)，g(t)两图象有公共点， ①当直线与圆相切时，由d=r 解得x=20， ②当直线过的点A(0，2x)在圆上的点(0处时，2x，解得x=4， 因此，要使直线与圆有公共点，x ∈[4，20]， 综合以上分析得，x ∈[4，20]∪{0}． 方法二：【代数法】令[0t =，原方程可化为：4x t -=因为x-y=x-t 2≥0，所以x ≥t 2≥0，两边平方并整理得，20t 2-8xt+x 2-4x=0(*)，这是一个关于t 的一元二次方程，则方程(*)有两个正根(含相等)，()()2221264804014020＝＝x x x t t x x ⎧∆--≥⎪⎨-≥⎪⎩，解得，x ∈[4，20]∪{0}． 特别地，当x=0时，y=0，符合题意．答案：[4，20]∪{0}．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.如图，在平面直角坐标系xOy 上，点A(1，0)，点B 在单位圆上，∠AOB=θ(0＜θ＜π)．(1)若点B 34()55，-，求tan(θ+4π)的值；(2)若OA OB OC +=u u u r u u u r u u u r ，1813OB OC ⋅=u u u r u u u r ，求cos(3π-θ)．解析：(1)利用三角函数的定义及其和差公式即可得出；(2)利用向量的坐标运算、数量积运算性质、同角三角函数基本关系式、和差公式即可得出．答案：(1)由点B 34()55，-，∴sin θ=45，cos θ＝35-，tan θ=43-． ∴41tan tan13tan 471tan tan 44413（）ππθθπθ-+++===--⋅+；(2)∵OA OB OC +=u u u r u u u r u u u r ，∴OC u u u r=(1+cos θ，sin θ)．1813OB OC ⋅=u u u r u u u r ，∴(cos θ，sin θ)·(1+cos θ，sin θ)=cos θ+cos 2θ+sin 2θ=cos θ+1=1813， 解得cos θ=513，∵0＜θ＜π，∴12sin 13θ=．∴15125coscoscos sinsin 33321321326（）πππθθθ+-=+=⨯+=．16.如图，六面体ABCDE 中，面DBC ⊥面ABC ，AE ⊥面ABC ． (1)求证：AE ∥面DBC ；(2)若AB ⊥BC ，BD ⊥CD ，求证：AD ⊥DC ．解析：(1)过点D作DO⊥BC，O为垂足，由已知得DO⊥面ABC，由此能证明AE∥面DBC．(2)由已知得DO⊥AB，AB⊥面DBC，从而AB⊥DC，由此能证明AD⊥DC．答案：(1)过点D作DO⊥BC，O为垂足．因为面DBC⊥面ABC，又面DBC∩面ABC=BC，DO⊂面DBC，所以DO⊥面ABC．又AE⊥面ABC，则AE∥DO．又AE⊄面DBC，DO⊂面DBC，故AE∥面DBC．(2)由(1)知DO⊥面ABC，AB⊂面ABC，所以DO⊥AB．又AB⊥BC，且DO∩BC=O，DO，BC⊂平面DBC，则AB⊥面DBC．因为DC⊂面DBC，所以AB⊥DC．又BD⊥CD，AB∩DB=B，AB，DB⊂面ABD，则DC⊥面ABD．又AD⊂面ABD，故可得AD⊥DC．17.如图，某城市有一条公路正西方AO通过市中心O后转向北偏东α角方向的OB，位于该市的某大学M与市中心O的距离OM=，且∠AOM=β，现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M，其中tanα=2，β=，AO=15km．cos(1)求大学M在站A的距离AM；(2)求铁路AB段的长AB．解析：(1)在△AOM 中，利用已知及余弦定理即可解得AM 的值； (2)由cos β=，且β为锐角，可求sin β，由正弦定理可得sin ∠MAO ，结合tan α=2，可求sin α，cos α，sin ∠ABO ，sin ∠AOB ，结合AO=15，由正弦定理即可解得AB 的值． 答案：(1)在△AOM 中，A0=15，∠AOM=β，且cos β=，OM = 由余弦定理可得：AM 2=OA 2+OM 2-2OA ·OM ·cos ∠AOM=221521572（+-⨯=．所以可得：AM =M 在站A 的距离AM为km ． (2)∵cos β=，且β为锐角，∴sin β=在△AOM 中，由正弦定理可得：sin sin AM OM MAO β=∠=∴sin 2MAO ∠=， ∴4MAO π∠=，∴∠ABO=α-4π，∵tan α=2，∴sin α，cos α=，∴sin sin4（）ABO πα∠=-=又∵∠AOB=π-α， ∴sin ∠AOB=sin(π-α在△AOB 中，AO=15，由正弦定理可得：sin sin AB AOAOB ABO =∠∠15AB ，∴解得AB =AB 段的长AB为km ．18.设椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率2e =，直线与以原点为圆心、椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 相切．(1)求椭圆C 的方程； (2)设直线12x =与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆D ，若圆D 与y 轴相交于不同的两点A ，B ，求△ABD 的面积；(3)如图，A 1，A 2，B 1，B 2是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线B 2P 交x 轴于点F ，直线A 1B 2交A 2P 于点E ，设A 2P 的斜率为k ，EF 的斜率为m ，求证：2m-k 为定值． 解析：(1)由于直线与以原点为圆心、椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 相切，可得b =，解得b．又离心率ce a==，b 2=a 2-c 2，联立解得即可得出． (2)把12x =代入椭圆方程可得：21116＝y -，可得⊙D 的方程为：22115216＝x y ⎛⎫ ⎪+⎝⎭-．令x=0，解得y ，可得|AB|，利用Δ1·2ABD S AB OD =即可得出． (3)由(1)知：A 1(-2，0)，A 2(2，0)，B 2(0，1)，可得直线A 1B 2AD 的方程，设直线A 2P 的方程为y=k(x-2)，k ≠0，且k ≠±12，联立解得E ．设P(x 1，y 1)，与椭圆方程联立可得(4k 2+1)x 2-16k 2x+16k 2-4=0．解得P ．设F(x 2，0)，则由P ，B 2，F 三点共线得，kB 2P ＝kB 2F ．可得F ．即可证明2m-k 为定值．答案：(1)∵直线与以原点为圆心、椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 相切，b =，化为b=1．∵离心率32ce a==，b 2=a 2-c 2=1，联立解得a=2，c=3．∴椭圆C 的方程为2214x y +=； (2)解：把12x =代入椭圆方程可得：21116＝y -，解得4y =±． ∴⊙D 的方程为：22115216＝x y ⎛⎫ ⎪+⎝⎭-．令x=0，解得4y =±，∴AB =，∴Δ111222ABD S AB OD =⋅== (3)证明：由(1)知：A 1(-2，0)，A 2(2，0)，B 2(0，1)， ∴直线A 1B 2的方程为y ＝12x+1， 由题意，直线A 2P 的方程为y=k(x-2)，k ≠0，且k ≠±12， 由()1122＝＝y x y k x ⎧+⎪⎨⎪-⎩，解得42421(2)1，k k E k k +--．设P(x 1，y 1)，则由()22214＝y k x x y ⎧-⎪⎨+=⎪⎩，得(4k 2+1)x 2-16k 2x+16k 2-4=0．∴212164241k x k -=+，∴2128241k x k -=+，1124241（）ky k x k -=-=+． ∴222824414)1(，k k P k k --++． 设F(x 2，0)，则由P ，B2，F 三点共线得，kB 2P ＝kB 2F ．即2222410141820041kk k x k ---+=---+，∴24221k x k -=+，∴F(4221k k -+，0)．∴EF的斜率402121424242121kkkmk kk k-+-==+---+．∴211222km k k+-=-=为定值．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n+n=2a n(n∈N*)．(1)证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=(2n+1)a n+2n+1，数列{b n}的前n项和为T n．求满足不等式2201021＞nTn--的n的最小值．解析：(1)利用递推式，再写一式，两式相减，可得数列{a n+1}为等比数列，从而可求数列{a n}的通项公式；(2)求出数列{b n}的前n项和为T n，代入可求满足不等式2201021＞nTn--的n的最小值．答案：(1)证明：当n=1时，2a1=a1+1，∴a1=1．∵2a n=S n+n，n∈N*，∴2a n-1=S n-1+n-1，n≥2，两式相减得a n=2a n-1+1，n≥2，即a n+1=2(a n-1+1)，n≥2，∴数列{a n+1}为以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n+1=2n，∴a n=2n-1，n∈N*；(2)解：b n=(2n+1)a n+2n+1=(2n+1)·2n，∴T n=3·2+5·22+…+(2n+1)·2n，∴2T n=3·22+5·23+…+(2n+1)·2n+1，两式相减可得-T n=3·2+2·22+2·23+…+2·2n-(2n+1)·2n+1，∴T n=(2n-1)·2n+1+2∴2201021＞nTn--可化为2n+1＞2010∵210=1024，211=2048∴满足不等式2201021＞nTn--的n的最小值为10．20.已知函数21ln 2（）f x ax x =+，g(x)=-bx ，其中a ，b ∈R ，设h(x)=f(x)-g(x)， (1)若f(x)在2x =处取得极值，且f ′(1)=g(-1)-2．求函数h(x)的单调区间； (2)若a=0时，函数h(x)有两个不同的零点x 1，x 2 ①求b 的取值范围；②求证：1221＞x x e． 解析：(1)根据极值点处的导数为零，结合f(1)=g(-1)-2列出关于a ，b 的方程组，求出a ，b ，然后再利用导数研究导数研究单调区间；(2)①将a=0代入，研究极值的符号，即可求出求b 的取值范围，②结合①的结论，通过适当的变形，利用放缩法和基本不等式即可证明． 答案：(1)由已知得()1＝f x ax x'+，(x ＞0)， 所以022＝f a ⎛⎫ ⎪⎪⎭+⎝'，所以a=-2． 由f ′(1)=g(-1)-2，得a+1=b-2， 所以b=1．所以h(x)=-x 2+lnx+x ，(x ＞0)．则()()1211221＝＝x x h x x x x⎛⎫ ⎪⎝+⎭+-'--+，(x ＞0)， 由h ′(x)＞0得0＜x ＜1，h ′(x)＜0得x ＞1．所以h(x)的减区间为(1，+∞)，增区间为(0，1)． (2)①由已知h(x)=lnx+bx ，(x ＞0)． 所以()1＝h x b x'+，(x ＞0)，当b ≥0时，显然h ′(x)＞0恒成立，此时函数h(x)在定义域内递增，h(x)至多有一个零点，不合题意．当b ＜0时，令h ′(x)=0得10＞x b =-，令h ′(x)＞0得10＜＜x b-；令h ′(x)＜0得1＞x b-． 所以h(x)极大=110（）（）＞h ln b b-=---，解得10＜＜b e-． 且x →0时，lnx ＜0，x →+∞时，lnx ＞0． 所以当b ∈(1e-，0)时，h(x)有两个零点．②证明：由题意得1122ln 0ln 0＝＝x bx x bx ++⎧⎨⎩，即1212＝①＝②bx bx e x e x --⎧⎪⎨⎪⎩，①×②得()1212＝b x x ex x -+．因为x 1，x 2＞0，所以-b(x 1+x 2)＞0， 所以()1212＝b x x ex x -+＞1，因为10＜＜b e-， 所以e -b＜1，所以2212＞x x e ee -，所以1221＞x x e ．[选做题](选修4-2：矩阵与变换)21.已知点P(a ，b)，先对它作矩阵12 12M ⎡⎢⎥=⎥⎥⎦对应的变换，再作20 02N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换，得到的点的坐标为(8，，求实数a ，b 的值．解析：利用矩阵的乘法，求出MN ，(NM)-1，利用变换得到的点的坐标为(8，，即可求实数a ，b 的值．答案：依题意，1201202112NM ⎡⎢⎡⎡⎤⎥==⎢⎥⎥⎣⎦⎥⎦⎥⎦，由逆矩阵公式得，11414（）NM -⎡⎢⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以185414⎡⎢⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎣⎢⎥⎣⎦，即有a=5，b=．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，若直线l 的极坐标方程为sin 4（）p πθ-=．(1)把直线l 的极坐标方程化为直角坐标系方程；(2)已知P 为椭圆C ：22139＝x y +上一点，求P 到直线l 的距离的最小值． 解析：(1)把直线l 的极坐标方程化为直角坐标系方程即可；(2)设3sin ，）P αα，利用点到直线的距离公式表示出P 到直线l 的距离d ，利用余弦函数的值域确定出最小值即可． 答案：(1)直线l的极坐标方程为sin 4（）p πθ-=，整理得：sin cos cos sinsin cos 4422（）ππρθθρθρθ-=-=， 即ρsin θ-ρcos θ=4，则直角坐标系中的方程为y-x=4，即x-y+4=0；(2)设3sin ，）P αα，∴点P到直线l的距离(s 4)d πα++==≥=，则P 到直线l的距离的最小值为【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分.23.抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x ，y ．设ξ为随机变量，若x y 为整数，则ξ=0；若xy为小于1的分数，则ξ=-1；若xy为大于1的分数，则ξ=1． (1)求概率P(ξ=0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)． 解析：(1)数对(x ，y)共有16种，利用列举法求出使xy为整数的种数，由此能求出概率P(ξ=0)．(2)随机变量ξ的所有取值为-1，0，1，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．答案：(1)依题意，数对(x ，y)共有16种，其中使xy为整数的有以下8种： (1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(4，2)， 所以81016)2(＝＝＝P ξ； (2)随机变量ξ的所有取值为-1，0，1，ξ=-1有以下6种：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)， 故63-116)8(＝＝＝P ξ， ξ=1有以下2种：(3，2)，(4，3)，故21116)8(＝＝＝P ξ， ∴31101882（）P ξ==--=， ∴ξ的分布列为：ξ的数学期望为101828()4＝＝E ξ-⨯+⨯+⨯-．24.已知(x+2)n =a 0+a 1(x-1)+a 2(x-1)2…+a n (x-1)n(n ∈N*)． (1)求a 0及1＝nn i i S a =∑；(2)试比较S n 与(n-2)3n+2n 2的大小，并说明理由． 解析：(1)令x=1，则a 0＝3n，再令x=2，则4＝＝nni i a ∑，可得1＝nn i i S a =∑的值．(2)要比较S n 与(n-2)3n+2n 2的大小，只要比较4n与(n-1)3n+2n 2的大小．检验可得当n=1或4或5时，4n ＞(n-1)3n +2n 2，当n=2或3时，4n ＞(n-1)3n +2n 2．猜测当n ≥4时，4n ＞(n-1)3n +2n 2，再用下面用数学归纳法、放缩法证明结论． 答案：(1)令x=1，则a 0＝3n，令x=2，则4＝＝nni i a ∑，所以143＝＝nnn n i i S a =-∑．(2)要比较S n 与(n-2)3n+2n 2的大小，只要比较4n与(n-1)3n+2n 2的大小．当n=1时，4n ＞(n-1)3n +2n 2，当n=2或3时，4n ＜(n-1)3n +2n 2，当n=4或5时，4n ＞(n-1)3n +2n 2．猜想：当n ≥4时，4n ＞(n-1)3n +2n 2．下面用数学归纳法证明： ①由上述过程可知，当n=4时，结论成立．②假设当n=k(k ≥4，k ∈N*)时结论成立，即4k ＞(k-1)3k +2k 2，两边同乘以4，得4k+1＞4[(k-1)3k +2k 2]=k3k+1+2(k+1)2+[(k-4)3k +6k 2-4k-2]，而(k-4)3k +6k 2-4k-2=(k-4)3k +6(k 2-k-2)+2k+10=(k-4)3k+6(k-2)(k+1)+2k+10＞0，所以4k+1＞[(k+1)-1]3k+1+2(k+1)2，即n=k+1时结论也成立．由①②可知，当n≥4时，4n＞(n-1)3n+2n2成立．综上所述，当n=1时，S n＞(n-2)3n+2n2；当n=2或3时，4n＜(n-1)3n+2n2，S n＜(n-2)3n+2n2；当n≥4时，S n＞(n-2)3n+2n2．考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。

2020年高考数学一模试卷一、选择题1．已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝．2．已知复数z满足（1+i）z＝2i，其中i是虚数单位，则z的模为．3．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值为．4．根据如图所示的伪代码，输出的a的值为．5．已知等差数列{a n}的公差d不为0，且a1，a2，a4成等比数列，则的值为．6．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为．7．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则三棱锥A1﹣BB1C1的体积为．8．已知函数（ω＞0），若当时，函数f（x）取得最大值，则ω的最小值为．9．已知函数f（x）＝（m﹣2）x2+（m﹣8）x（m∈R）是奇函数，若对于任意的x∈R，关于x的不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，则实数a的取值范围是．10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别在双曲线C：x2﹣y2＝1的两条渐近线上，且双曲线C经过线段AB的中点．若点A的横坐标为2，则点B的横坐标为．11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如．地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的倍．12．已知△ABC的面积为3，且AB＝AC，若，则BD的最小值为．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2＝8与圆C2：x2+y2+2x+y﹣a＝0相交于A、B 两点．若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为．14．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）+2af（x）+1﹣a2＝0有五个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PC⊥AB，D，E分别为BC，AC的中点．求证：（1）AB∥平面PDE；（2）平面PAB⊥平面PAC．16．在△ABC中，已知AC＝4，BC＝3，cos B＝﹣．（1）求sin A的值．（2）求的值．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＝1（a＞b＞0）的焦距为4，两条准线间的距离为8，A，B分别为椭圆E的左、右顶点．（1）求椭圆E的标准方程：（2）已知图中四边形ABCD是矩形，且BC＝4，点M，N分别在边BC，CD上，AM与BN 相交于第一象限内的点P．①若M，N分别是BC，CD的中点，证明：点P在椭圆E上；②若点P在椭圆E上，证明：为定值，并求出该定值．18．（16分）在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a的正三角形ABC绕其中心O逆时针旋转θ到三角形A1B1C1，且顺次连结A，A1，B，B1，C，C1，A，得到六边形徽标AA1BB1CC1．（1）当θ＝时，求六边形徽标的面积；（2）求六边形微标的周长的最大值．19．（16分）已知数列{a n}满足：a1＝1，且当n≥2时，a n＝λa n﹣1+（λ∈R）．（1）若λ＝1，证明：数列{a2n﹣1}是等差数列；（2）若λ＝2．①设b n＝a2n+，求数列{b n}的通项公式；②设∁n＝，证明：对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有∁p≥∁m．20．（16分）设函数（a∈R），其中e为自然对数的底数．（1）当a＝0时，求函数f（x）的单调减区间；（2）已知函数f（x）的导函数f'（x）有三个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）．①求a的取值范围；②若m1，m2（m1＜m2）是函数f（x）的两个零点，证明：x1＜m1＜x1+1．【选做题】本题包含21、22、23小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．已知a，b∈R，向量是矩阵A＝的属于特征值3的一个特征向量．（1）求矩阵A；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'（2，2），求点P的坐标．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），椭圆C 的参数方程为（θ为参数），求椭圆C上的点P到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a，b，c都是正实数，且＝1．证明：（1）abc≥27；（2）≥1．第24题、第25题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝AA1＝2BC＝2．（1）求二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值；（2）若点P为棱AD的中点，点Q在棱AB上，且直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，求AQ的长．25．一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只．现从口袋中先后有放回地取球2n次（n∈N*），且每次取1只球．（1）当n＝3时，求恰好取到3次红球的概率；（2）随机变量X表示2n次取球中取到红球的次数，随机变量，求Y 的数学期望（用n表示）．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝{﹣1，2} ．【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，∴A∩B＝{﹣1，2}．故答案为：{﹣1，2}．2．已知复数z满足（1+i）z＝2i，其中i是虚数单位，则z的模为．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．解：由（1+i）z＝2i，得．则复数z的模为：．故答案为：．3．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值为40 ．【分析】根据题意，由平均数的计算公式计算可得答案．解：根据题意，5名党员教师的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值＝（35+35+41+38+51）＝40，故答案为：404．根据如图所示的伪代码，输出的a的值为11 ．【分析】模拟程序语言的运行过程知，该程序的功能是计算并输出a的值．解：模拟程序语言的运行过程知，该程序的功能是计算并输出a＝1+1+2+3+4＝11．故答案为：11．5．已知等差数列{a n}的公差d不为0，且a1，a2，a4成等比数列，则的值为 1 ．【分析】本题根据等比中项有＝a1a4，然后根据等差数列通项公式代入化简，可得a1与d的关系式，即可得到的值．解：由题意，可知＝a1a4，∴（a1+d）2＝a1（a1+3d），即+2a1d+d2＝+3a1d．化简，得a1＝d．∴＝1．故答案为：1．6．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为．【分析】将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，利用n次独立试验中事件A恰好发生k 次的概率计算公式能求出恰好出现2次正面向上的概率．解：将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为：P＝＝．故答案为：．7．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则三棱锥A1﹣BB1C1的体积为．【分析】由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝2，可得：棱锥A1﹣BB1C1的体积＝＝••B1B，代入即可得出．解：如图所示，由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则三棱锥A1﹣BB1C1的体积＝＝••B1B＝＝．故答案为：．8．已知函数（ω＞0），若当时，函数f（x）取得最大值，则ω的最小值为 5 ．【分析】由已知可得sin（ω﹣）＝1，利用正弦函数的性质可得ω﹣＝+2kπ，k∈Z，结合ω＞0，可求ω的最小值．解：当x＝时，f（x）取得最大值，即f（）＝sin（ω﹣）＝1，即ω﹣＝+2kπ，k∈Z，即ω＝12k+5，k∈Z，由于ω＞0，所以当k＝0时，ω的最小值为5．故答案为：5．9．已知函数f（x）＝（m﹣2）x2+（m﹣8）x（m∈R）是奇函数，若对于任意的x∈R，关于x的不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，1）．【分析】由已知结合奇函数的定义可求m，然后结合不等式的恒成立与最值的相互关系及二次函数的性质可求．解：由奇函数的性质可得，f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，即（m﹣2）x2﹣（m﹣8）x＝﹣（m﹣2）x2﹣（m﹣8）x，故m﹣2＝0即m＝2，此时f（x）＝﹣6x单调递减的奇函数，由不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，可得x2+1＞a恒成立，结合二次函数的性质可知，x2+1≥1，所以a＜1．故答案为：（﹣∞，1）10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别在双曲线C：x2﹣y2＝1的两条渐近线上，且双曲线C经过线段AB的中点．若点A的横坐标为2，则点B的横坐标为．【分析】写出双曲线的渐近线方程，从而得到A和B两点的坐标，再利用中点坐标中式求得线段AB的中点，将其代入双曲线的标准方程，即可得解．解：设点B的横坐标为m，因为双曲线C：x2﹣y2＝1，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨设点A在直线y＝x上，点B在直线y＝﹣x上．则点A坐标为（2，2），点B坐标为（m，﹣m），所以线段AB的中点坐标为，因为双曲线C经过线段AB的中点，所以，解得，故答案为：．11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如．地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的1000 倍．【分析】根据地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE ＝4.8+1.5M．分别计算出：2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量E1，2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量E2，利用对数运算性质即可得出．解：地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量满足：lgE1＝4.8+1.5×8.0，2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量满足：lgE2＝4.8+1.5×6.0．∴lgE1﹣lgE2＝3，解得：＝103＝1000．故答案为：1000．12．已知△ABC的面积为3，且AB＝AC，若，则BD的最小值为．【分析】由题意画出图形，设AB＝AC＝x，由，得AD＝，设∠BAC＝θ（0＜θ＜π），由余弦定理及△ABC的面积为3得，则，令y＝，再由三角函数求最值，即可求得BD的最小值．解：如图，设AB＝AC＝x，由，得AD＝，设∠BAC＝θ（0＜θ＜π），由余弦定理可得：cosθ＝，得，①由△ABC的面积为3，得，即，②联立①②，得，∴，令y＝，则y sinθ＝5﹣3cosθ，∴y sinθ+3cosθ＝5，即（θ+φ）＝5，得sin（θ+φ）＝，由，解得y≥4或y≤﹣4（舍）．即，得BD，∴BD的最小值为．故答案为：．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2＝8与圆C2：x2+y2+2x+y﹣a＝0相交于A、B 两点．若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为{8，8﹣2，8+2} ．【分析】根据题意，求出AB所在直线的方程，按直角顶点的位置分情况讨论，求出a 的值，综合即可得答案．解：已知圆C1：x2+y2＝8与圆C2：x2+y2+2x+y﹣a＝0相交于A、B两点，则AB所在直线的方程为2x+y﹣a+8＝0，若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，分2种情况讨论：①，P为直角顶点，则AB为圆C1的直径，即直线2x+y﹣a+8＝0经过圆C1的圆心C1，必有﹣a+8＝0，解可得a＝8；②，A或B为直角顶点，则点C1到直线AB的距离d＝r＝×2＝2，则有d＝＝2，解可得a＝8﹣2或8+2，综合可得：a的取值的集合为{8，8﹣2，8+2}；故答案为：{8，8﹣2，8+2}．14．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）+2af（x）+1﹣a2＝0有五个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．【分析】令f（x）＝t，则g（t）＝t2+2at+1﹣a2，作f（x）的图象，观察图象可知，函数g（t）在（0，1）及（1，+∞）各有一根，由二次函数的根的分布列出不等式组得解．解：令f（x）＝t，则g（t）＝t2+2at+1﹣a2，作f（x）的图象如下，设g（t）的零点为t1，t2，由图可知，要满足题意，则需，故，解得．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PC⊥AB，D，E分别为BC，AC的中点．求证：（1）AB∥平面PDE；（2）平面PAB⊥平面PAC．【分析】（1）由中位线的性质可知DE∥AB，由此即可得证；（2）先由PA⊥平面ABC，可证PA⊥AB，再结合已知PC⊥AB，即可证得AB⊥平面PAC，进而得证．【解答】证明：（1）∵D，E分别为BC，AC的中点，∴DE是三角形ABC的一条中位线，∴DE∥AB，∵AB不在平面PDE内，DE在平面PDE内，∴AB∥平面PDE；（2）∵PA⊥平面ABC，AB在平面ABC内，∴PA⊥AB，又PC⊥AB，PA∩PC＝P，且PA，PC都在平面PAC内，∴AB⊥平面PAC，∵AB在平面PAB内，∴平面PAB⊥平面PAC．16．在△ABC中，已知AC＝4，BC＝3，cos B＝﹣．（1）求sin A的值．（2）求的值．【分析】（1）根据条件可求出，然后根据正弦定理即可求出；（2）可以求出，然后根据cos C＝cos[π﹣（A+B）]即可求出cos C＝，从而由进行数量积的运算即可求出答案．解：（1）如图，∵，∴，又AC＝4，BC＝3，∴根据正弦定理得，，解得；（2）∵，∴，∴cos C＝cos[π﹣（A+B）]＝﹣cos（A+B）＝sin A sin B﹣cos A cos B＝，∴＝＝＝．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＝1（a＞b＞0）的焦距为4，两条准线间的距离为8，A，B分别为椭圆E的左、右顶点．（1）求椭圆E的标准方程：（2）已知图中四边形ABCD是矩形，且BC＝4，点M，N分别在边BC，CD上，AM与BN 相交于第一象限内的点P．①若M，N分别是BC，CD的中点，证明：点P在椭圆E上；②若点P在椭圆E上，证明：为定值，并求出该定值．【分析】（1）根据椭圆的性质列方程组即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）①求得直线AM和BN的方程，联立，求得P点坐标，由P满足椭圆方程，即可判断P在椭圆E上；②解法一：根据直线的斜率公式及直线的斜率公式分别求得直线AP和BP的方程，求得M和N点坐标，表示出，利用P在椭圆上，即可证明为定值；解法二：设直线AP和BP的方程，同理求得M和N点坐标，根据直线斜率公式即可证明为定值．解：（1）设椭圆的E的焦距为2c，则由题意，得，解得，所以b2＝a2﹣c2＝4，所以椭圆E的标准方程为；（2）①证明：由已知，得M（2，2），N（0，4），B（2，0），直线AM的方程为，直线BN的方程为，联立，解得，即P（，），因为，所以点P在椭圆上；②解法一：设P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则，，直线AP的方程为，令，得，直线BP的方程，令y＝4，得，所以＝＝＝＝＝．解法二：设直线AP的方程为（k1＞0），令，得，设直线BP的方程为（k2＜0），令y＝4，得，所以＝＝|k1k2|，设P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则，所以k1k2＝•＝＝＝，所以＝．18．（16分）在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a的正三角形ABC绕其中心O逆时针旋转θ到三角形A1B1C1，且顺次连结A，A1，B，B1，C，C1，A，得到六边形徽标AA1BB1CC1．（1）当θ＝时，求六边形徽标的面积；（2）求六边形微标的周长的最大值．【分析】（1）由旋转图形的性质可知，图中存在全等三角形，再结合边长和角度的计算以及三角形的正弦面积公式，即可求出六边形徽标的面积；（2）由全等三角形的性质，可知六边形徽标的周长等于3（AA1+BA1），再结合余弦定理和基本不等式的性质，即可得最大值．解：（1）因为正三角形ABC的边长为a，所以∠AOB＝120°，且OA＝OA1＝OB＝OB1＝OC ＝OC1＝，由旋转图形的性质可知，△A1AC1≌△AA1B≌△B1BA1≌△BB1C≌△C1CB1≌△CC1A，所以∠AA1B＝∠A1BB1＝∠BB1C＝∠B1CC1＝∠CC1A＝∠C1AA1＝120°，在等腰△AOA1中，因为∠AOA1＝θ＝，所以∠AA1O＝，所以∠BA1O＝，因此∠A1OB＝，依此类推可得，∠BOB1＝∠COC1＝，∠B1OC＝∠C1OA＝，所以六边形徽标的面积S＝+＝3（）＝3•＝，故六边形徽标的面积为．（2）由（1）可知，A1A＝B1B＝C1C，A1B＝B1C＝C1A，不妨设A1A＝x，A1B＝y，则六边形徽标的周长L＝3（x+y）．在△AA1B中，由余弦定理得，cos∠AA1B＝cos120°＝所以xx2+y2+xy＝a2，变形得（x+y）2﹣xy＝a2①由基本不等式可知，②由①②解得，x+y≤，当且仅当x＝y＝时取等号所以六边形徽标的周长L＝3（x+y）≤3×＝故六边形徽标的周长的最大值为．19．（16分）已知数列{a n}满足：a1＝1，且当n≥2时，a n＝λa n﹣1+（λ∈R）．（1）若λ＝1，证明：数列{a2n﹣1}是等差数列；（2）若λ＝2．①设b n＝a2n+，求数列{b n}的通项公式；②设∁n＝，证明：对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有∁p≥∁m．【分析】（1）将λ＝1代入，则可得到，故a2n+1﹣a2n﹣1＝1为常数，进而判断为等差数列；（2）λ＝2时，a1＝1，且当n≥2时，a n＝2a n﹣1+，①有b n＝a2n+＝4（a2n﹣2+），所以＝4是常数，所以数列{b n}时首项为，公比为4的等比数列，即可求出其通项公式；②∁n＝＝[]（n∈N+），当n＝1时，C2﹣C1＝0，则C2＝C1；当n＝2时，C3﹣C2＝0，则C3＝C2；当n≥3时，C n+1﹣∁n＞0，则C n+1＞∁n，故对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有∁p≥∁m．解：（1）当λ＝1时，则根据a1＝1，a n＝a n﹣1+（n≥2），得，所以a2n+1＝a2n﹣1+1，即a2n+1﹣a2n﹣1＝1为常数，即数列{a2n﹣1}是首项为1，公差为1的等差数列；（2）λ＝2时，a1＝1，且当n≥2时，a n＝2a n﹣1+，①当n≥2时，，所以a2n＝4a2n﹣2+2，则a2n+＝4（a2n﹣2+），又因为b n＝a2n+，即有b n＝a2n+＝4（a2n﹣2+），而b1＝a2+＝2a1+＝≠0，所以＝4是常数，所以数列{b n}时首项为，公比为4的等比数列，则b n的通项公式为b n＝•4n﹣1＝•4n（n∈N+）；②由①知，a2n＝b n﹣＝（4n﹣1），a2n﹣1＝a2n＝（4n﹣1），则＝＝＝（）﹣n＝，所以∁n＝＝[]（n∈N+），则C n+1﹣∁n＝﹣＝，当n＝1时，C2﹣C1＝0，则C2＝C1；当n＝2时，C3﹣C2＝0，则C3＝C2；当n≥3时，C n+1﹣∁n＞0，则C n+1＞∁n，故对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有∁p≥∁m．20．（16分）设函数（a∈R），其中e为自然对数的底数．（1）当a＝0时，求函数f（x）的单调减区间；（2）已知函数f（x）的导函数f'（x）有三个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）．①求a的取值范围；②若m1，m2（m1＜m2）是函数f（x）的两个零点，证明：x1＜m1＜x1+1．【分析】（1）将a＝0代入f（x）中，然后求导，再由f'（x）＜0得到f（x）的单调递减区间；（2）①对f'（x）求导，然后构造函数g（x）＝ax3﹣x+1，再根据f'（x）有三个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），得到函数g（x）有三个非零的零点，进一步求出a的范围；②根据m1，m2（m1＜m2）是函数f（x）的两个零点，得到f（m1）＝f（m2）＝0，然后p（x）＝ax2﹣ax﹣1（a＞0），进一步证明x1＜m1＜x1+1．解：（1）当a＝0时，，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），．令f'（x）＜0，则x＞1，∴f（x）的单调递减区间为（1，+∞）．（2）①由，得，设g（x）＝ax3﹣x+1，则导函数f'（x）有三个零点，即函数g（x）有三个非零的零点．又g′（x）＝3ax2﹣1，若a≤0，则g′（x）＝3ax2﹣1＜0，∴g（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，g（x）至多有1个零点，不符合题意，∴a＞0．令g′（x）＝0，，则当x∈∪时，g'（x）＞0；当x∈，g'（x）＜0，∴g（x）在上单调递减，在和上单调递增，∴，即，∴．又g（0）＝1＞0，∴g（x）在上有且只有1个非零的零点．∵当时，，，且，又函数g（x）的图象是连续不间断的，∴g（x）在和上各有且只有1个非零的零点，∴实数a的取值范围是．②由f（m1）＝f（m2）＝0，得，设p（x）＝ax2﹣ax﹣1（a＞0），且p（m1）＝p（m2）＝0，∴．又∵m1＜m2，∴m1＜0＜m2．∴x＜m1或x＞m2时，p（x）＞0；m1＜x＜m2时，p（x）＜0．由①知a＞0，x1＜0＜x2＜x3．∵，∴，，∴，，∴x1＜m1＜x1+1成立．【选做题】本题包含21、22、23小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．已知a，b∈R，向量是矩阵A＝的属于特征值3的一个特征向量．（1）求矩阵A；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'（2，2），求点P的坐标．【分析】（1）由矩阵特征向量，特征值得关系，可以得到满足的等式，代入可得．（2）直接由矩阵变换，代入等式可求．解：（1）由矩阵特征值和特征向量的关系可知：Aα＝3α，带入可知：＝3，即，解得a＝2，b＝﹣1，故矩阵A＝．（2）设P为（x，y），因为点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'（2，2），所以，解得x＝1，y＝0，故P（1，0）．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），椭圆C 的参数方程为（θ为参数），求椭圆C上的点P到直线l的距离的最大值．【分析】首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：已知直线l的参数方程（t为参数），转换为直角坐标方程为x+2y+3＝0，椭圆C的参数方程为（θ为参数），设椭圆上的点P（2cosθ，sinθ）到直线l的距离d＝＝，当sin（）＝1时，．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a，b，c都是正实数，且＝1．证明：（1）abc≥27；（2）≥1．【分析】（1）利用，即可得证；（2）利用基本不等式直接证明即可．【解答】证明：（1）∵a，b，c都是正实数，∴，又∵＝1，∴，即abc≥27，得证；（2）∵a，b，c都是正实数，∴，，，由①+②+③得，，∴，得证．第24题、第25题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝AA1＝2BC＝2．（1）求二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值；（2）若点P为棱AD的中点，点Q在棱AB上，且直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，求AQ的长．【分析】（1）推导出AB⊥AA1，AD⊥AA1，AB⊥AD，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值．（2）设AQ＝λ（0≤λ≤2），则Q（λ，0，0），求出平面B1PQ的法向量，利用向向量能求出AQ．解：（1）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AA1⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，∴AB⊥AA1，AD⊥AA1，∵AB⊥AD，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB＝AD＝AA1＝2BC＝2．∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（2，1，2），D1（0，2，2），＝（﹣2，2，0），＝（0，1，﹣2），设平面B1CD1的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，则＝（2，2，1），∵AB⊥平面B1C1C，∴平面B1CC1的一个法向量＝（2，0，0），设二面角C1﹣B1C﹣D1的的平面角为α，由图形得锐角，∴二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值为：cosα＝＝．（2）设AQ＝λ（0≤λ≤2），则Q（λ，0，0），∵点P是AD中点，则P（0，1，0），＝（λ，﹣1，0），＝（λ﹣2，0，﹣2），设平面B1PQ的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，2λ，λ﹣2），设直线B1C与平面B1PQ所成角大小为β，∵直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，∴sinβ＝＝＝，解得λ＝1或．∴AQ＝1．25．一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只．现从口袋中先后有放回地取球2n次（n∈N*），且每次取1只球．（1）当n＝3时，求恰好取到3次红球的概率；（2）随机变量X表示2n次取球中取到红球的次数，随机变量，求Y 的数学期望（用n表示）．【分析】（1）当n＝3时，从装有5只小球的口袋中有放回地取球6次，共有n＝56个基本事件，记“恰好取到3次红球”为事件A，则事件A包含的基本事件个数为m＝，由此能求出当n＝3时，恰好取到3次红球的概率．（2）由题意知随机变量Y的所在可能取值为0，1，3，5，…，2n﹣1，（n∈N*），则P （Y＝2t+1）＝•（2i+1）＝．（0≤i≤n﹣1，i∈N），E（Y）＝（+++…+），令x n ＝+++…+，y n＝++，由此求出．从而能求出E（Y）．解：（1）当n＝3时，从装有5只小球的口袋中有放回地取球6次，共有n＝56个基本事件，记“恰好取到3次红球”为事件A，则事件A包含的基本事件个数为m＝，∴当n＝3时，恰好取到3次红球的概率P（A）＝＝．（2）由题意知随机变量Y的所在可能取值为0，1，3，5，…，2n﹣1，（n∈N*），则P（Y＝2t+1）＝•（2i+1）＝＝．（0≤i≤n﹣1，i∈N），∴E（Y）＝0•P（Y＝0）+3P（Y＝3）+5P（Y＝5）+…+（2n﹣1）P（Y＝2n﹣1）＝（+++…+），令x n＝+++…+，y n＝++，则，x n﹣y n＝（4﹣1）2n﹣1＝32n﹣1．∴．∴E（Y）＝＝＝．。

2020年高考数学一模试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝．2．已知复数z满足z2＝﹣4，且z的虚部小于0，则z＝．3．若一组数据7，x，6，8，8的平均数为7，则该组数据的方差是．4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为．5．函数的定义域为．6．某学校高三年级有A，B两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为．7．若关于x的不等式x2﹣mx+3＜0的解集是（1，3），则实数m的值为．8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线y2＝2px 上，则实数p的值为．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a9＝8，S5＝﹣5，则S15的值为．10．已知函数的图象与函数y＝cos2x的图象相邻的三个交点分别是A，B，C，则△ABC的面积为．11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：x2+y2﹣4x﹣8y+12＝0，圆N与圆M外切于点（0，m），且过点（0，﹣2），则圆N的标准方程为．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x＝1对称，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣e ax（其中e是自然对数的底数），若f（2020﹣ln2）＝8，则实数a的值为．13．如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，，则cos∠ADE 的最小值为．14．设函数f（x）＝|x3﹣ax﹣b|，x∈[﹣1，1]，其中a，b∈R．若f（x）≤M恒成立，则当M取得最小值时，a+b的值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AP＝AB，M，N分别为棱PB，PC的中点，平面PAB⊥平面PBC．（1）求证：BC∥平面AMN；（2）求证：平面AMN⊥平面PBC．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）若a＝5，，求b的值；（2）若，求tan2C的值．17．如图，在圆锥SO中，底面半径R为3，母线长l为5．用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面圆的圆心为O1，半径为r．现要以截面圆为底面，圆锥底面圆心O为顶点挖去一个倒立的小圆锥，记小圆锥的体积为V．（1）将V表示成r的函数；（2）求小圆锥的体积V的最大值．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右顶点为A，过点A作直线l与圆O：x2+y2＝b2相切，与椭圆C交于另一点P，与右准线交于点Q．设直线l的斜率为k．（1）用k表示椭圆C的离心率；（2）若，求椭圆C的离心率．19．（16分）已知函数（a∈R）．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣1＝0，求a的值；（2）若f（x）的导函数f'（x）存在两个不相等的零点，求实数a的取值范围；（3）当a＝2时，是否存在整数λ，使得关于x的不等式f（x）≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，说明理由．20．（16分）已知数列{a n}的首项a1＝3，对任意的n∈N*，都有a n+1＝ka n﹣1（k≠0），数列{a n﹣1}是公比不为1的等比数列．（1）求实数k的值；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，求所有正整数m的值，使得恰好为数列{b n}中的项．数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知矩阵M＝的一个特征值为4，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）＝12，曲线C的参数方程为（θ为参数，θ∈R），在曲线C上求点M，使点M到l的距离最小，并求出最小值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知正数x，y，z满足x+y+z＝1，求++的最小值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C为菱形，∠BB1C1＝60°，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C．（1）求直线AC1与平面AA1B1B所成角的正弦值；（2）求二面角B﹣AC1﹣C的余弦值．25．已知n为给定的正整数，设，x∈R．（1）若n＝4，求a0，a1的值；（2）若，求的值．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝（﹣1，2）．【分析】进行并集的运算即可．解：∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}＝（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．2．已知复数z满足z2＝﹣4，且z的虚部小于0，则z＝﹣2i．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出a，b．解：设z＝a+bi，（a，b∈R）．复数z满足z2＝﹣4，∴a2﹣b2+2abi＝﹣4，∴a2﹣b2＝﹣4，2ab＝0，且z的虚部小于0，∴a＝0，b＝﹣2．则z＝﹣2i．故答案为：﹣2i．3．若一组数据7，x，6，8，8的平均数为7，则该组数据的方差是．【分析】由平均数的定义列方程求出n的值，再计算这组数据的方差．解：由题意知，×（7+x+6+8+8）＝7，解得x＝6，计算该组数据的方差为S2＝×[（7﹣7）2+（6﹣7）2+（6﹣7）2+（8﹣7）2+（8﹣7）2]＝．故答案为：．4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为20 ．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解：模拟程序的运行，可得S＝0，I＝1满足条件I＜6，执行循环体，I＝2，S＝2满足条件I＜6，执行循环体，I＝3，S＝5满足条件I＜6，执行循环体，I＝4，S＝9满足条件I＜6，执行循环体，I＝5，S＝14满足条件I＜6，执行循环体，I＝6，S＝20此时，不满足条件I＜6，退出循环，输出S的值为20．故答案为：20．5．函数的定义域为[4，+∞）．．【分析】函数f（x）＝有意义，只需log2x﹣2≥0，且x＞0，解不等式即可得到所求定义域．解：函数f（x）＝有意义，只需log2x﹣2≥0，且x＞0，解得x≥4．则定义域为[4，+∞）．故答案为：[4，+∞）．6．某学校高三年级有A，B两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为．【分析】基本事件总数n＝23＝8，甲、乙两人不在同一教室上自习包含的基本事件个数m＝＝4，由此能求出甲、乙两人不在同一教室上自习的概率．解：某学校高三年级有A，B两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，基本事件总数n＝23＝8，甲、乙两人不在同一教室上自习包含的基本事件个数m＝＝4，∴甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为p＝＝＝．故答案为：．7．若关于x的不等式x2﹣mx+3＜0的解集是（1，3），则实数m的值为 4 ．【分析】利用不等式与对应方程的关系，和根与系数的关系，即可求得m的值．解：不等式x2﹣mx+3＜0的解集是（1，3），所以方程x2﹣mx+3＝0的解1和3，由根与系数的关系知，m＝1+3＝4．．故答案为：4．8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线y2＝2px 上，则实数p的值为．【分析】求出双曲线的渐近线方程，右准线方程，得到交点坐标代入抛物线方程求解即可．解：双曲线的右准线x＝，渐近线y＝x，双曲线的右准线与渐近线的交点（，），交点在抛物线y2＝2px上，可得：＝3p，解得p＝．故答案为：．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a9＝8，S5＝﹣5，则S15的值为135 ．【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式解答．解：由于a2+a9＝8，S5＝﹣5，所以．则．所以S15＝15×（﹣5）+×15×14×2＝135．故答案是：135．10．已知函数的图象与函数y＝cos2x的图象相邻的三个交点分别是A，B，C，则△ABC的面积为．【分析】根据函数相等，建立方程关系求出x的值，求出点的坐标，结合三角形的面积公式进行计算即可．解：由＝cos2x得tan2x＝，则2x＝kπ+，得x＝+，k∈Z，取相邻的三个k，k＝﹣1时，x＝﹣，2x＝﹣，此时y＝cos2x＝﹣，即A（﹣，﹣），k＝0时，x＝，2x＝，此时y＝cos2x＝，即B（，），k＝1时，x＝，2x＝，此时y＝cos2x＝﹣，即C（，﹣），则|AC|＝﹣（﹣）＝π，B到线段AC的距离h＝﹣（﹣）＝，则△ABC的面积S＝π×＝π，故答案为：π11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：x2+y2﹣4x﹣8y+12＝0，圆N与圆M外切于点（0，m），且过点（0，﹣2），则圆N的标准方程为（x+2）2+y2＝8 ．【分析】直接利用圆与圆的位置关系式的应用和相关的运算的应用求出圆的方程．解：已知圆M：x2+y2﹣4x﹣8y+12＝0，整理得：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝8，令y＝0，圆的方程转换为：y2﹣8y+12＝0，解得y＝2或6．由于圆N与圆M相切于（0，m）且过点（0，﹣2）．所以m＝2．即圆N经过点A（0，2），B（0，﹣2）．所以圆心在这两点连线的中垂线x轴上，x轴与MA的交点为圆心N．所以MA：y＝x+2．令y＝0，则x＝﹣2．即N（﹣2，0），R＝|NA＝2．所以圆N的标准方程为：（x+2）2+y2＝8．故答案为：（x+2）2+y2＝812．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x＝1对称，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣e ax（其中e是自然对数的底数），若f（2020﹣ln2）＝8，则实数a的值为 3 ．【分析】根据题意，分析可得f（x）是周期为4的周期函数，进而结合函数的奇偶性与周期性可得f（2020﹣ln2）＝f（﹣ln2）＝﹣f（ln2）＝﹣（﹣e x•ln2）＝8，计算可得答案．解：根据题意，f（x）的图象关于x＝1对称，所以f（1+x）＝f（1﹣x）又由f（x）是R上的奇函数，所以f（x+1）＝﹣f（x﹣1），则有f（x+2）＝﹣f（x），f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）．则f（x）是周期为4的函数，故f（2020﹣ln2）＝f（﹣ln2）＝﹣f（ln2）＝﹣（﹣e x•ln2）＝8，变形可得：2x＝8，解可得x＝3；故答案为：313．如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，，则cos∠ADE 的最小值为．【分析】由D，E为三等分点可得相等的向量，，分别写出，，，用与∠ADE的边有关系的向量表示，再由均值不等式求出最小值．解：由D，E是BC上的两个三等分点可得，由图形可得＝＝﹣，＝＝2﹣，又因为即（﹣）＝2（2），整理可得：7＝，即7||•cos∠ADE＝||2+4||2，由基本不等式可得cos∠ADE＝≥＝，故cos∠ADE的最小值为：．故答案为：．14．设函数f（x）＝|x3﹣ax﹣b|，x∈[﹣1，1]，其中a，b∈R．若f（x）≤M恒成立，则当M取得最小值时，a+b的值为．【分析】构造函数g（x）＝x3﹣ax﹣b，可知该函数关于点（0，﹣b）对称，然后分a≤0、a≥3、0＜a＜3三种情况讨论，分析函数y＝g（x）在区间[﹣1，1]上的单调性，得出函数f（x）＝|g（x）|在区间[﹣1，1]上最值的可能取值，利用绝对值三角不等式可求出当M取得最小值时a+b的值．解：构造函数g（x）＝x3﹣ax﹣b，则f（x）＝|g（x）|，由于g（x）+g（﹣x）＝（x3﹣ax﹣b）+（﹣x3+ax﹣b）＝﹣2b，∴，函数y＝g（x）的图象关于点（0，﹣b）对称，且g'（x）＝3x2﹣a．①当a≤0时，g'（x）≥0，函数y＝g（x）在区间[﹣1，1]上单调递增，则，∴，此时，当a＝0，﹣1≤b≤1时，M取最小值1；②当a≥3时，对任意的x∈[﹣1，1]，g'（x）≤0，函数y＝g（x）在区间[﹣1，1]上单调递减，则，∴，此时，当a＝3，﹣2≤b≤2时，M取最小值2；③当0＜a＜3时，令g'（x）＝0，得，令，列表如下：x[﹣1，﹣t）﹣t（﹣t，t）t（t，1] g'（x）+ 0 ﹣0 +g（x）↗极大值↘极小值↗不妨设g（0）＝﹣b≥0，则b≤0，则，∴M≥max{f（1），f（t），f（﹣t），f（﹣1）}，∵g（﹣t）+g（t）＝2g（0）≥0，且g（t）＜g（﹣t），∴g（﹣t）≥|g（t）|＝f（t），∵g（﹣1）+g（1）＝2g（0）≥0，若g（﹣1）≥g（1），则g（﹣1）≥|g（1）|＝f（1），若g（﹣1）＜g（1），则g（1）＞0，但g（﹣t）＞g（﹣1），∵g（﹣t）﹣g（1）＝（2t3﹣b）﹣（1﹣a﹣b）＝2t3+a﹣1＝2t3+3t2﹣1＝（2t﹣1）（t+1）2，∴．当时，，当且仅当b＝0，时，即当，b＝0时，M取得最小值；当时，M≥g（﹣t）＝2t3﹣b≥2t3＞2．综上所述，当，b＝0时，M取得最小值，此时．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AP＝AB，M，N分别为棱PB，PC的中点，平面PAB⊥平面PBC．（1）求证：BC∥平面AMN；（2）求证：平面AMN⊥平面PBC．【分析】（1）线面平行的定理的应用，注意一定要有面内，面外的说明；（2）面面垂直定理的性质定理及判定定理的应用．【解答】证明：如图所示：（1）M，N分别为棱PB，PC的中点，∴MN∥BC，MN⊂AMN，BC⊄AMN，所以BC∥面AMN；（2）PA＝AB，点M为棱PB的中点，∴AM⊥PB，又平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，AM⊂PAB，AM⊥面PBC，又AM⊂AMN，∴平面AMN⊥平面PBC．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）若a＝5，，求b的值；（2）若，求tan2C的值．【分析】（1）结合已知，可利用余弦定理求出b；（2）由已知结合同角平方关系可求sin A，然后结合诱导公式及和差角公式可求cos C，sin C，再利用同角基本关系及二倍角正切公式可求．解：（1）在△ABC中，由余弦定理b2+c2﹣2bc cos A＝a2，得，即b2﹣4b﹣5＝0，解得b＝5或b＝﹣1（舍），所以b＝5．（2）由及0＜A＜π得，，所以，又因为0＜C＜π，所以，从而，所以．17．如图，在圆锥SO中，底面半径R为3，母线长l为5．用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面圆的圆心为O1，半径为r．现要以截面圆为底面，圆锥底面圆心O为顶点挖去一个倒立的小圆锥，记小圆锥的体积为V．（1）将V表示成r的函数；（2）求小圆锥的体积V的最大值．【分析】（1）在△SAO中，，由△SNO1∽△SAO可知，，从而，，由此能将V表示成r的函数．（2）由，得，令V'（r）＝0，得r＝2，由此能求出小圆锥的体积V的最大值．解：（1）在△SAO中，，由△SNO1∽△SAO可知，，所以，所以，所以．（2）由（1）得，所以，令V'（r）＝0，得r＝2，当r∈（0，2）时，V'（r）＞0，所以V（r）在（0，2）上单调递增；当r∈（2，3）时，V'（r）＜0，所以V（r）在（2，3）上单调递减．所以当r＝2时，V（r）取得最大值．答：小圆锥的体积V的最大值为．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右顶点为A，过点A作直线l与圆O：x2+y2＝b2相切，与椭圆C交于另一点P，与右准线交于点Q．设直线l的斜率为k．（1）用k表示椭圆C的离心率；（2）若，求椭圆C的离心率．【分析】（1）写出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于半径可得．由此求得椭圆的离心率；（2）设椭圆C的焦距为2c，则右准线方程为，分别联立直线方程、直线与椭圆方程求得Q与P的坐标，结合，得a（a2k2﹣b2）＝2b2k2（a﹣c），由（1）知，，由此列等式求解椭圆C的离心率．解：（1）直线l的方程为y＝k（x﹣a），即kx﹣y﹣ak＝0，∵直线l与圆O：x2+y2＝b2相切，∴，故．∴椭圆C的离心率；（2）设椭圆C的焦距为2c，则右准线方程为，由，得，∴，由，得（b2+a2k2）x2﹣2a3k2x+a4k2﹣a2b2＝0，解得，则，∴，∵，∴，即a（a2k2﹣b2）＝2b2k2（a﹣c），由（1）知，，∴，整理得a＝2a﹣2c，即a＝2c，∴，故椭圆C的离心率为．19．（16分）已知函数（a∈R）．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣1＝0，求a的值；（2）若f（x）的导函数f'（x）存在两个不相等的零点，求实数a的取值范围；（3）当a＝2时，是否存在整数λ，使得关于x的不等式f（x）≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，说明理由．【分析】（1）求导，利用导数的几何意义即可求解；（2）因为存在两个不相等的零点，所以g（x）＝ax﹣1+lnx存在两个不相等的零点，则，再对a分情况讨论求出a的取值范围；（3）当a＝2时，，，设g （x）＝2x﹣1+lnx，则．所以g（x）单调递增，且，g（1）＝1＞0，所以存在使得g（x0）＝0，所以x＝x0时，f（x）取得极小值，也是最小值，此时，因为，所以f（x0）∈（﹣1，0），因为f（x）≥λ，且λ为整数，所以λ≤﹣1，即λ的最大值为﹣1．解：（1），因为曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣1＝0，所以f'（1）＝a﹣1＝﹣1，得a＝0；（2）因为存在两个不相等的零点，所以g（x）＝ax﹣1+lnx存在两个不相等的零点，则，①当a≥0时，g'（x）＞0，所以g（x）单调递增，至多有一个零点，②当a＜0时，因为当时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，当时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以时，，因为g（x）存在两个零点，所以，解得﹣e﹣2＜a＜0，因为﹣e﹣2＜a＜0，所以，因为g（1）＝a﹣1＜0，所以g（x）在上存在一个零点，因为﹣e﹣2＜a＜0，所以，因为，设，则y＝2lnt﹣t﹣1（t＞e2），因为，所以y＝2lnt﹣t﹣1（t＞e2）单调递减，所以y＜2ln（e2）﹣e2﹣1＝3﹣e2＜0，所以，所以g（x）在上存在一个零点，综上可知，实数a的取值范围为（﹣e﹣2，0）；（3）当a＝2时，，，设g（x）＝2x﹣1+lnx，则．所以g（x）单调递增，且，g（1）＝1＞0，所以存在使得g（x0）＝0，因为当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，所以f（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，所以f（x）单调递增，所以x＝x0时，f（x）取得极小值，也是最小值，此时，因为，所以f（x0）∈（﹣1，0），因为f（x）≥λ，且λ为整数，所以λ≤﹣1，即λ的最大值为﹣1．20．（16分）已知数列{a n}的首项a1＝3，对任意的n∈N*，都有a n+1＝ka n﹣1（k≠0），数列{a n﹣1}是公比不为1的等比数列．（1）求实数k的值；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，求所有正整数m的值，使得恰好为数列{b n}中的项．【分析】（1）利用递推关系a n+1＝ka n﹣1，取特殊值n＝1，2，3，从而得到a1＝3，a2＝3k﹣1，．因为数列{a n﹣1}是等比数列，利用等比中项公式，可得，进而算出k＝2或，然后检验即可得解；（2）由（1）可得，结合分组求和法算得S2m，S2m﹣1，并得知S2m＞0，S2m＞0．于是假设，则t＝1，3或t为偶数，然后分类﹣1讨论每种情形是否符合题意即可得解．解：（1）由a n+1＝ka n﹣1，a1＝3，可知a2＝3k﹣1，，∵{a n﹣1}为等比数列，∴，即（3k﹣2）2＝2×（3k2﹣k﹣2），整理，得3k2﹣10k+8＝0，解得k＝2或．①当时，，此时a n＝3，则a n﹣1＝2，∴数列{a n﹣1}的公比为1，不符合题意；②当k＝2时，a n+1﹣1＝2（a n﹣1），所以数列{a n﹣1}的公比，综上所述，实数k的值为2．（2）由（1）知，，∴．则＝（4﹣1）+（4﹣3）+...+[4﹣（2m﹣1）]+4+42+ (4)＝，．∵，∴，∵b2+b3＝5＞0，b1＝3＞0，∴S2m﹣1＞0，S2m＞0．设，则t＝1，3或t为偶数，因为S2m≠S2m﹣1，所以t＝3（即b3＝1）不可能，所以t＝1或t为偶数，①当时，，化简得6m2﹣24m+8＝﹣4m≤﹣4，即m2﹣4m+2≤0，所以m可取值为1，2，3，验证得，当m＝2时，成立．②当t为偶数时，，设，则，由①知m＞3，当m＝4时，；当m＞4时，c m+1﹣c m＞0，所以c4＞c5＜c6＜…，所以c m的最小值为，所以，令，则，即﹣3m2+12m﹣4＝0，而此方程无整数解．综上，正整数m的值为2．数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知矩阵M＝的一个特征值为4，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．【分析】写出矩阵M的特征多项式f（λ），根据题意知f（4）＝0求出t的值，写出矩阵M，再求它的逆矩阵．解：矩阵M的特征多项式为f（λ）＝＝（λ﹣2）（λ﹣1）﹣3t；因为矩阵M的一个特征值为4，所以方程f（λ）＝0有一根为4；即f（4）＝2×3﹣3t＝0，解得t＝2；所以M＝，设M﹣1＝，则MM﹣1＝＝，由，解得；由，解得；所以M﹣1＝．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）＝12，曲线C的参数方程为（θ为参数，θ∈R），在曲线C上求点M，使点M到l的距离最小，并求出最小值．【分析】首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）＝12，转换为直角坐标方程x+y﹣12＝0．曲线C的参数方程为（θ为参数，θ∈R），设点P（），所以点P（）到直线x+y﹣12＝0的距离d＝＝，当时，即M（3，1）到直线的距离的最小值为4．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知正数x，y，z满足x+y+z＝1，求++的最小值．【分析】根据题意，分析可得（x+2y）+（y+2x）+（z+2x）＝3（x+y）＝3，结合柯西不等式分析可得答案．解：根据题意，x+y+z＝1，则（x+2y）+（y+2x）+（z+2x）＝3（x+y）＝3；则有[（x+2y）+（y+2x）+（z+2x）]（++）≥[（×）+（×）+（×）]2＝9；当且仅当x＝y＝z＝时等号成立；变形可得：++≥3，即++的最小值为3．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C为菱形，∠BB1C1＝60°，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C．（1）求直线AC1与平面AA1B1B所成角的正弦值；（2）求二面角B﹣AC1﹣C的余弦值．【分析】（1）在平面BB1C1C内过点B作Bz⊥BB1，以点B为坐标原点，分别以BA，BB1所在的直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz，用向量法求出即可；（2）求出平面BAC1的一个法向量和平面ACC1的一个法向量，利用向量的夹角公式求出即可．解：（1）在正方形ABB1A1中，AB⊥BB1，因为平面AA1B1B⊥平面BB1C1C，平面AA1B1B∩平面BB1C1C＝BB1，AB⊂平面ABB1A1，所以AB⊥平面BB1C1C，在平面BB1C1C内过点B作Bz⊥BB1，以点B为坐标原点，分别以BA，BB1所在的直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz，设A（2，0，0），则B1（0，2，0）．在菱形BB1C1C中，∠BB1C1＝60°，C（0，﹣1，），C1（0，1，），，平面AA1B1B的一个法向量为，则由cos＝＝＝，故线AC1与平面AA1B1B所成角的正弦值为；（2）设平面BAC1的一个法向量为，，由，得，故，设平面ACC1的一个法向量，，，由，得，故，由cos＝，故二面角B﹣AC1﹣C的余弦值为．25．已知n为给定的正整数，设，x∈R．（1）若n＝4，求a0，a1的值；（2）若，求的值．【分析】（1）利用二项式展开式公式计算n＝4时a0和a1的值；（2）由x＝写出a k x k，利用k＝n，讨论n＝1和n≥2时，计算（n﹣k）•a k•x k的值即可．解：（1）因为n＝4，所以a0＝•＝，a1＝•＝；（2）当x＝时，a k x k＝••，又因为k＝k•＝n•＝n，当n＝1时，（n﹣k）a k x k＝•＝；当n≥2时，（n﹣k）•a k•x k＝（n﹣k）•••＝n﹣k＝n﹣n＝n﹣n＝n﹣n＝n，当n＝1时，也符合．所以（n﹣k）a k x k的值为n．。

2020届江苏省高三高考全真模拟考试（二）数学试卷★祝考试顺利★(解析版)数学Ⅰ试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页,均为非选择题（第1题~第20题共20题）．本卷满分为160分,考试时间为120分钟,考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米色水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符．4．作答试题必须用0.5毫米色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其他位置作答律无效．5．如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条符号等须加黑、加粗．一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1.已知集合{}1U x x =>,{}2A x x =>,则U A ________． 【答案】{}12x x <≤【解析】直接根据补集的定义进行计算,即可得答案； 【详解】{}1U x x =>,{}2A x x =>,∴12U A x x , 故答案为：12x x . 2.已知复数z 满足2020(1)i z i +=（i 为虚数单位）,则z 在复平面内对应的点位于第________象限．【答案】四【解析】根据复数的次幂运算和除法运算,化简复数,再根据复数的几何意义,即可得答案；【详解】20202(111)1i z i i z i -⇒==++=, ∴z 在复平面内对应的点位于第四象限,故答案为：四.3.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的方差为________ 【答案】53【解析】先计算平均数,再利用方差公式求解即可. 【详解】该组数据平均数46587666x +++++==. 故方差()()()()()()222222214666568676666s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎣⎦ ()1540141063=+++++=. 故答案为：534.已知向量(1,2)a =, (2,1)b =-,则()a ab ⋅-的值为________．【答案】5【解析】利用向量数量积的坐标运算,即可得答案；【详解】(1,3)a b -=-, ∴()(1,2)(1,3)5a a b ⋅-=⋅-=, 故答案为：5.5.执行如图所示的伪代码,则输出的S 的值为________．。

江苏省2020年高考数学一模试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2020高二下·徐州月考) 设实部为正数的复数，满足，且复数在复平面上对应的点在第一、三象限角平分线上，若为纯虚数，则实数的值为（）．A .B .C .D .2. （2分）已知集合U=R，集合，则（）A .B .C .D .3. （2分）已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则q是￢p成立的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既非充分也非必要条件4. （2分） (2016高二下·上饶期中) 不等式|2﹣x|＜5的解集是（）A . {x|x＞7或x＜﹣3}B . {x|﹣3＜x＜7}C . {x|﹣7＜x＜3}D . {x|x＞﹣3}5. （2分）下列说法错误的是（）A . 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B . 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高C . 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点（x1 ， y1），（x2 ， y2），…，（xn ， yn）中的一个点D . 在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好6. （2分）(2017·石家庄模拟) 已知函数y=f（x）的图象关于直线x=0对称，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，若a=f（﹣3），，c=f（2），则a，b，c的大小关系是（）A . a＞b＞cB . b＞a＞cC . c＞a＞bD . a＞c＞b7. （2分）(2018·南宁模拟) 过椭圆的左顶点且斜率为的直线与圆交于不同的两个点，则椭圆的离心率的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高三上·永春期中) 已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数a的值是A .B .C .D .9. （2分）(2017·泉州模拟) 执行一次如图所示的程序框图，若输出i的值为0，则下列关于框图中函数f （x）（x∈R）的表述，正确的是（）A . f（x）是奇函数，且为减函数B . f（x）是偶函数，且为增函数C . f（x）不是奇函数，也不为减函数D . f（x）不是偶函数，也不为增函数10. （2分）若对可导函数，恒有，则（）A . 恒大于0B . 恒小于0C . 恒等于0D . 和0的大小关系不确定二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）力=(-1,-2)作用于质点P，使P产生的位移为=（3，4），则力质点P做的功为________12. （1分） (2017高二下·岳阳期中) 一个正三棱柱的正视图和俯视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为________．13. （1分） (2017高三上·甘肃开学考) 若x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值是________．14. （1分） (2019高二下·上海期末) 在二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中含的项为________．15. （1分） (2016高三上·闽侯期中) 下列说法正确的是________．（写出所有正确说法的序号）①若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的必要不充分条件；②命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＜3x”；③设x，y∈R．命题“若xy=0，则x2+y2=0”的否命题是真命题；④若三、解答题 (共6题；共55分)16. （10分）(2019高三上·成都月考) 在中，角所对的边分别为，.（1）求证：是等腰三角形；（2）若，且的周长为5，求的面积.17. （10分） (2016高二下·海南期末) 设甲、乙、丙三人进行围棋比赛，每局两人参加，没有平局．在一局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．比赛顺序为：首先由甲和乙进行第一局的比赛，再由获胜者与未参加比赛的选手进行第二局的比赛，依此类推，在比赛中，有选手获胜满两局就取得比赛的胜利，比赛结束．（1）求只进行了三局比赛，比赛就结束的概率；（2）记从比赛开始到比赛结束所需比赛的局数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望Eξ．18. （5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分别是AB、BB1的中点．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）设AA1=AC=CB=2，AB=2 ，求异面直线BC1与A1D所成角的大小．19. （10分） (2020高一下·武汉期中) 在数列，中，，，.等差数列的前两项依次为 .（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和 .20. （10分） (2019高三上·西安月考) 已知函数 .（1）若，解不等式；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.21. （10分） (2019高二上·桥西月考) 已知椭圆的离心率为，右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为 . （1）求椭圆的方程；（2）求的面积.参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共55分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、第11 页共11 页。

2020年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．1．已知集合A ＝（0，+∞），全集U ＝R ，则∁U A ＝ ． 【点睛】直接取补集即可． 【答案】（﹣∞，0]【解答】因为A ＝（0，+∞），U ＝R ，所以∁U A ＝（﹣∞，0]．故答案为（﹣∞，0]． 【点评】本题考查补集的运算，是基础题．2．设复数z ＝2+i ，其中i 为虚数单位，则z •z = ． 【点睛】先求z =2−i ,再求z •z ． 【答案】5【解答】因为z ＝2+i ，所以z =2−i ，所以z ⋅z =4−i 2=4+1=5．故答案为5． 【点评】本题考查复数的概念与运算，是基础题．3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ．【点睛】分别求出所有基本事件总数、所求事件中基本事件个数，问题即可解决． 【答案】23【解答】由题意得：基本事件有N =C 32=3个，甲被选中所包含的基本事件有n =C 11C 21=2个，则所求概率P =n N =23．故答案为：23． 【点评】本题考查古典概型，可以用枚举法，也可以用排列组合来解决，是基础题． 4．命题“∀θ∈R ，cosθ+sinθ＞1”的否定是 命题．（填“真”或“假”） 【点睛】全称命题的否定为特称命题． 【答案】真【解答】由题意得该命题的否定为“∃θ0∈R ，cosθ0+sinθ0≤1”；因为cosθ+sinθ=√2cos (θ+δ)∈[−√2,√2],所以命题“∀θ∈R ，cosθ+sinθ＞1”的否定是真命题， 故答案为真．【点评】本题考查含有量词的命题的否定，辅助角公式，是基础题． 5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ．【点睛】每次循环得S 、I 的值，当S ＝15时，不满足S ≤10跳出循环，得I 的值为6． 【答案】6【解答】循环开始之前：S ＝0，I ＝0； 满足S ≤10，第1次循环后：S ＝0，I ＝1； 满足S ≤10，第2次循环后：S ＝1，I ＝2； 满足S ≤10，第3次循环后：S ＝3，I ＝3； 满足S ≤10，第4次循环后：S ＝6，I ＝4； 满足S ≤10，第5次循环后：S ＝10，I ＝5； 满足S ≤10，第6次循环后：S ＝15，I ＝6；此时不满足S ≤10，结束循环，输出的I 的值为6．故答案为6．【点评】本题考查循环结构的伪代码，看懂伪代码是解题的关键，是基础题． 6．已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是9，且xy ＝110，则此样本的方差是 ． 【点睛】求出x 、y 的值，便能求出样本方差． 【答案】2【解答】由题意得{xy =1107+8+9+x+y5=9，解得{x =10y =11或{x =11y =10；由方差公式得S 2=15[（7﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（11﹣9）2]＝2．故答案为2．【点评】本题考查平均数与方差，是基础题．7．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝4x 上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为 ．【点睛】由抛物线定义将已知条件转化，求出P 点，即可求出PO ． 【答案】2√3【解答】抛物线y 2＝4x ＝2px ，所以p ＝2，其准线方程为x ＝﹣1；因为抛物线y 2＝4x 上的点P 到其焦点的距离为3，由抛物线的定义得P 到准线x ＝﹣1的距离为3，所以x p ＝2,点P 在抛物线，所以P （2，±2√2），所以PO =√22+(±2√2)2=2√3.即点P 到点O 的距离为2√3.故答案为2√3．【点评】本题考查抛物线的定义、两点间的距离公式，是基础题． 8．若数列{a n }是公差不为0的等差数列，lna 1、lna 2、lna 5成等差数列，则a 2a 1的值为 ．【点睛】由已知推出d ＝2a 1，可得a 2a 1．【答案】3【解答】因为lna 1、lna 2、lna 5成等差数列，所以2lna 2= lna 1+lna 5；又因为{a n }是公差不为0的等差数列，所以2ln （a 1+d ）＝lna 1+ln （a 1+4d ），所以(a 1+d)2=a 1（a 1+4d ），化简得d ＝2a 1；所以a 2a 1=a 1+d a 1=3．故答案为3．【点评】本题考查对数运算、等差数列，是基础题．9．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点P 是棱CC 1上一点，记三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1与四棱锥P ﹣ABB 1A 1的体积分别为V 1与V 2，则V 2V 1= ．【点睛】将三棱柱、四棱锥的体积表示出来，即可求出V 2V 1． 【答案】23【解答】令AB ＝a ，△ABC 中AB 上的高为b ，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的高为h ，由题意得V 2=13×aℎ⋅b =13abℎ，V 1=12abℎ=12abℎ，所以V 2V 1=13abℎ12abℎ=23．故答案为23．【点评】本题考查空间几何体的体积，考查空间想象能力，是中档题． 10．设函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的图象与y 轴交点的纵坐标为√32，y 轴右侧第一个最低点的横坐标为π6，则ω的值为 ．【点睛】由已知列出等式，求出φ、ω． 【答案】7【解答】因为f （x ）的图象与y 轴交点的纵坐标为√32，所以f （0）＝sinφ=√32；又因为0＜φ＜π2，所以φ=π3，即f （x ）＝sin （ωx +π3）；因为y 轴右侧第一个最低点的横坐标为π6，所以π6ω+π3=3π2，解得ω＝7.故答案为7．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，是中档题．11．已知H 是△ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），AH →=14AB →+12AC →，则cos∠BAC 的值为 ．【点睛】先由题意得到BC ＝AC ，再由向量的夹角公式求出cos ∠BAC ． 【答案】√33【解答】因为AH →=14AB →+12AC →，设AE →=λAC →，所以AH →=14AB →+12λAE →；如图由点B 、H 、E 三点共线得14+12λ=1，解得λ=23；所以AH →=14AB →+34AE →，所以BH →=3HE →；所以CH →−CB →=3(CE →−CH →)，令点F 为边AB 的中点，所以CH →=14CB →+34CE →=14(CB →+CA)→=2CF →，因为AB 上的垂线与中线重合，所以CB ＝CA ；又因为BH →=3HE →且AE →=23AC →，所以AH →=3HD →且BD →=23BC →；如图建立平面直角坐标系，则B （-2，0），C （1，0）；令A （0，4x ），则H （0，x ），x ＞0；由BC ＝CA 得x 2=12．所以cos ∠BAC =BA →⋅BC →|BA →||BC→|=2√16x 2+4×√16x 2+1=23×3=√33．故答案为√33．【点评】本题考查平面向量的线性运算与数量积．12．若无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）是等差数列，则其前10项的和为．【点睛】由题意得ω＝0，即cos（ωn）＝1，问题便可解决．【答案】10【解答】因为无穷数列{cos（ωn）}是等差数列，所以{cos（ωn）}是常数列，所以ω=0,所以cos（ωn）＝1，所以S10＝10×1＝10．故答案为10．【点评】本题考查数列的概念、等差数列、余弦函数的性质等，是中档题．13．已知集合P＝{（x，y）|x|x|+y|y|＝16}，集合Q＝{（x，y）|kx+b1≤y≤kx+b2}，若P⊆Q，则12√k2+1的最小值为．【点睛】先去绝对值，再画出集合P表示的图形，数形结合即可求解．【答案】4【解答】当x＜0且y＜0时，x2+y2＝﹣16(舍去)；当x＜0且y≥0时，﹣x2+y2＝16；当x≥0且y＜0时，x2﹣y2＝16；当x≥0且y≥0时，x2+y2＝16；作出集合P中曲线的图象：x2﹣y2＝16的一条渐近线为y＝﹣x，与该渐近线平行且与圆x2+y2＝16相切的直线为y=−x+4√2；因为P⊆Q，由图可得k＝﹣1；所以12√k2+1=12√2≥√2−0|√2=4,所以12√k2+1的最小值为4．故答案为4．【点评】本题考查圆、双曲线的图象与性质，考查转化与化归思想、数形结合思想，是中档题．14．若对任意实数x ∈（﹣∞，1]，都有|e xx 2−2ax+1|≤1成立，则实数a 的值为 ．【点睛】先构造函数求出﹣1＜a ＜1，再对a 进行分类讨论即可． 【答案】−12【解答】由题意得−1≤e x x 2−2ax+1≤1；令f(x)=e xx 2−2ax+1；若x 2﹣2ax +1＝0有解，设一解为x 1，当x →x 1时，|f （x ）|→+∞，不满足|f （x ）|≤1恒成立；所以x 2﹣2ax +1＝0无解，所以△＝4a 2﹣4<0，解得﹣1＜a ＜1；f′(x)=e x [(x−1)(x−(2a+1))](x 2−2ax+1)2；①当a ＞−12时，记1，2a +1中的较小值为x 0，则f （x ）在（﹣∞，x 0）单增，所以f （x 0）＞f （0）＝1，矛盾，舍去；②当a ＜−12时，即2a +1＜0，f （x ）在（2a +1，1）单减，则f （2a +1）＞f （0）＝1，矛盾，舍去；③当a =−12时，即2a +1＝0，f （x ）在（0，1）与（﹣∞，0）上单减，则f （x ）≤f （0）＝1，f(x)=e x x 2−2ax+1＞0，满足题意，所以a =−12.故答案为−12．【点评】本题考查不等式恒成立问题，导数在研究函数中的应用，考查分类讨论思想、化归与转化思想，是难题． 二、解答题（共6小题，满分90分） 15．已知△ABC 满足sin （B +π6）＝2cos B ． （1）若cos C =√63，AC ＝3，求AB ；（2）若A ∈（0，π3），且cos （B ﹣A ）=45，求sin A ． 【点睛】（1）先求出tan B ，即得B ，再由正弦定理求出AB ； （2）先求出cos （π3−A ）、sin （π3−A ），再利用差角公式求出sin A ．【解析】（1）由sin （B +π6）＝2cos B 得√32sin B +12cos B ＝2cos B ，化简得sin B =√3cos B ； 因为cos B ≠0，所以tan B =√3，又B ∈（0，π），故B =π3； 因为C ∈（0，π）且cos C =√63，所以sin C =√33；在△ABC 中，由正弦定理得ACsin π3=AB sinC，即√32=√33;解得AB ＝2；（2）由（1）知B =π3，又因为A ∈（0，π3），所以B −A ∈（0，π3）；因为cos （B ﹣A ）=45，即cos （π3−A ）=45，所以sin （π3−A ）=35；所以sin A ＝sin[π3−（π3−A ）]＝sin π3cos （π3−A ）﹣cos π3sin （π3−A ）=4√3−310． 【点评】本题考查和角差角公式、同角三角函数的基本关系、正弦定理，中档题． 16．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱CC 1上的一点．（1）若AC 1∥平面PBD ，求PC 1PC的值；（2）求证：BD ⊥A 1P ．【点睛】（1）由线面平行推出AC 1∥OP ，再结合AO ＝OC 得PC 1PC=AO OC=1．（2）由线面垂直得CC 1⊥BD ，再结合AC ⊥BD 推出BD ⊥面ACC 1A 1，即得BD ⊥A 1P ． 【解析】（1）连AC 交BD 于点O ，连结OP ．因为AC 1∥平面PBD ，AC 1⊂平面ACC 1，平面ACC 1∩平面BDP ＝OP ， 由线面平行的性质得AC 1∥OP ．因为四边形ABCD 是正方形，所以点O 是AC 的中点，即AO ＝OC ， 在△ACC 1中，PC 1PC=AO OC=1．（2）证明：连结A 1C 1．因为ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为长方体，所以侧棱C 1C ⊥底面ABCD ． 又BD ⊂平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ． 因为底面ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ．又AC∩CC1＝C，AC⊂面ACC1A1，CC1⊂面ACC1A1，所以BD⊥面ACC1A1，又因为A1P⊂平面ACC1A1，所以BD⊥A1P．【点评】本题考查线面平行与垂直，是中档题．17．如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O中裁剪出两块全等的圆形铁皮⊙P与⊙Q做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB为圆柱的一条母线，点A、B在⊙O上，点P、Q在⊙O的一条直径上，AB∥PQ，⊙P、⊙Q分别与直线BC、AD相切，都与⊙O内切．（1）求圆形铁皮⊙P半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P与⊙Q半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）【点睛】（1）由图形列出不等式，即可求解;（2）先求出油桶的体积，再求导即可．【解析】（1）令⊙P的半径为r，由题意得AB＝8﹣4r，由题意得⊙P的周长BC=2πr≤2√42−(4−2r)2，解得r≤162，所以⊙P半径的取值范围为(0，16π2+4]；（2）由（1）得油桶的体积V＝πr2•AB＝4πr2（2﹣r），令f(x)=4πx 2(2−x)，x ∈(0，16π2+4]，则f ′（x ）＝4πx 2(4x ﹣3x 2)， 因为16π2+4＜43，所以f ′（x ）＞0，所以f （x ）在(0，16π2+4]上单增，故当r =16π2+4时，体积取到最大值． 所以圆形铁皮⊙P 与⊙Q 半径为16π+4，油桶的体积最大．【点评】本题考查导数在研究函数中的应用、圆柱的体积等，属于中档题． 18．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率是e ，动点P （x 0，y 0）在椭圆C 上运动．当PF 2⊥x 轴时，x 0＝1，y 0＝e ． （1）求椭圆C 的方程；（2）延长PF 1，PF 2分别交椭圆C 于点A ，B （A ，B 不重合）．设AF 1→=λF 1P →，BF 2→=μF 2P →，求λ+μ的最小值．【点睛】（1）由已知条件求出c 、b 、a ，即得椭圆的方程；（2）先求出F 1、F 2，再将λ、μ用x 0表示出，最终求出λ+μ的最小值． 【解析】（1）因为当PF 2⊥x 轴时，x 0＝1，y 0＝e ， 所以c ＝1，b 2a=e =ca，所以b ＝c ＝1，a 2＝b 2+c 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；（2）因为C ：x 22+y 2=1，所以F 1（﹣1，0），F 2（1，0）；令A （x 1，y 1），因为P （x 0，y 0），由AF 1→=λF 1P →得{−1−x 1=λ(x 0+1)−y 1=λy 0，整理得{x 1=−λx 0−λ−1y 1=−λy 0，将A （x 1，y 1）代入椭圆方程得(−λx 0−λ−1)22+（﹣λy 0）2＝1①，又x 022+y 02=1，两边同乘λ得(λx 0)22+(λy 0)2=λ2②，①－②得：(λ+1)(2λx 0+λ+1)2=1﹣λ2，因为λ+1≠0，所以2λx 0+λ+1＝2（1﹣λ），解得λ=13+2x 0；同理求得μ=13−2x 0， 所以λ+μ=13+2x 0+13−2x 0=69−4x 02≥23(当且仅当x 0＝0时等号成立)所以λ+μ的最小值为23．【点评】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，是中难题．19．定义：若无穷数列{a n }满足{a n +1﹣a n }是公比为q 的等比数列，则称数列{a n }为“M （q ）数列”．设数列{b n }中b 1＝1，b 3＝7．（1）若b 2＝4，且数列{b n }是“M （q ）数列”，求数列{b n }的通项公式；（2）设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n +1＝2S n −12n +λ，请判断数列{b n }是否为“M （q ）数列”，并说明理由；（3）若数列{b n }是“M （2）数列”，是否存在正整数m ，n 使得40392019＜b m b n＜40402019？若存在，请求出所有满足条件的正整数m ，n ；若不存在，请说明理由． 【点睛】（1）先推出q ，进而推出b n+1−b n b n −b n−1=1，可得{b n }是等差数列及b n ．（2）先求得λ＝7，再由递推公式做差得b n+1=3b n −12，变形可证{b n −14}是等比数列，推出{b n +1﹣b n }是等比数列，可得{b n }是“M （q ）数列“． （3）累加得b n ＝2n ﹣1，先假设存在，消元整理得20212＜2n ＜2020，求出m 、n ．【解析】（1）因为{b n }是“M （q ）数列”，b 2＝4，所以q =b 3−b2b 2−b 1=7−44−1=1；由M （q ）数列的定义得b n+1−b n b n −b n−1=1，n ≥2，即b n +1﹣b n ＝b n ﹣b n ﹣1，n ≥2，所以{b n }是等差数列，其公差d =b 2﹣b 1＝3，所以b n ＝1+3（n ﹣1）＝3n ﹣2 所以数列{b n }通项公式b n ＝3n ﹣2．（2）由b n+1=2S n −12n +λ，得b 2=32+λ，b 3＝4+3λ＝7，解得λ＝7， 由b n+1=2S n −12n +λ，得b n+2=2S n+1−12(n +1)+1，两式相减得b n+2−b n+1=2b n+1−12，所以b n+2=3b n+1−12，n ∈N *，又因为b 2=52=3b 1−12，即b n+1=3b n −12对n ∈N *恒成立， 所以b n+1−14=3（b n −14）， 因为b 1−14=34≠0，所以b n −14≠0，所以b n+1−14b n −14=3，所以{b n −14}是等比数列，所以b n −14=(1−14)×3n−1=14×3n ，所以b n =14×3n +14， 所以b n+2−b n+1b n+1−b n=(14×3n+2+14)−(14×3n+1+14)(14×3n+1+14)−(14×3n +14)=3，所以{b n +1﹣b n }是公比为3的等比数列，所以数列{b n }是“M （q ）数列“．（3）因为数列{b n }是“M （2）”数列，所以b n +1﹣b n ＝（b 2﹣b 1）×2n -1， 因为b 3−b 2b 2−b 1=2，即7−b 2b 2−1=2，解得b 2＝3，所以b 2﹣b 1＝2；所以b n +1﹣b n ＝2×2n -1=2n ，所以当n ≥2时，b n ＝（b n ﹣b n ﹣1）+（b n ﹣1﹣b n ﹣2）+…+（b 2﹣b 1）+b 1，＝2n ﹣1+2n ﹣2+…+2+1＝2n ﹣1，假设存在正整数m ，n ，使得40392019＜b m b n＜40402019，则40392019＜2m −12n −1＜40402019，由2m −12n −1=2m−n (2n −1)+2m−n −12n −1=2n−m+2m−n −12n −1＜40402019，所以2m−n ＜40402019＜3，所以m ﹣n ＝1， 所以2m −12−1=2+12−1，所以40392019＜2+12−1＜40402019，解得20212＜2n ＜2020，解得n ＝10，m ＝11．所以存在满足条件的正整数m ，n ，其中m ＝11，n ＝10．【点评】本题考查等差、等比数列的定义与通项、数列求和，数列新定义问题，是难题． 20．若函数f （x ）＝e x ﹣a e ﹣x ﹣mx （m ∈R ）为奇函数，且x ＝x 0时f （x ）有极小值f （x 0）．（1）求实数a 的值； （2）求实数m 的取值范围；（3）若f （x 0）≥−2e 恒成立，求实数m 的取值范围． 【点睛】（1）由f （x ）+f （﹣x ）＝0列出等式，求出a ； （2）先求导，再对m 分情况讨论即可；（3）m =f (x 0)=e x 0+e −x 0，先求导得出x 0≤1，再由f (x 0)的单调性得m 的范围．【解析】（1）因为f （x ）为奇函数，所以f （x ）+f （﹣x ）＝0， 代入得e x ﹣a e ﹣x ﹣mx +e ﹣x ﹣a e x +mx ＝0，整理得（a ﹣1）（e x +e ﹣x ）＝0，因为e x +e ﹣x >0,所以a ﹣1=0；解得a ＝1；（2）由（1）得f （x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣mx ，所以f′(x)=e x +e −x −m =e 2x −me x +1e x， ①当m ≤2时，因为e 2x ﹣m e x +1≥0恒成立，所以f ′（x ）≥0恒成立， 所以f （x ）单增，所以f （x ）不存在极小值，舍去;②当m ＞2时，令e x ＝t ，则方程t 2﹣mt +1＝0有两个不等的正根t 1，t 2（不妨设t 1＜t 2）， 因为x ＝x 0时f （x ）有极小值，所以f （x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣mx 在（lnt 1，lnt 2）上单调递减，在（﹣∞，lnt 1），（lnt 2，+∞）上单调递增， 所以f （x ）在lnt 2处取到极小值，满足题意； 所以m 的取值范围为（2，+∞）； （3）x 0满足e x 0+e −x 0=m ，将x 0代入f （x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣mx ，消去m 得f(x 0)=(1−x 0)e x 0−(1+x 0)e −x 0，令h （x ）＝（1﹣x ）e x ﹣（1+x ）e ﹣x ，则h ′（x ）＝x （e ﹣x ﹣e x ），当x ≥0时，e−x−e x=1−e 2xe x≤0，即h ′（x ）≤0，所以h （x ）在[0，+∞）上单减，因为f (x 0)≥−2e=ℎ(1)，所以x 0≤1，y ＝e x +e ﹣x ，当x ≥0时，y ′＝e x ﹣e ﹣x ≥0，所以y ＝e x +e﹣x在（0，1]上递增；因为m =e x 0+e −x 0且x 0≤1，所以e x 0+e −x 0≤e +e −1= e +1e ，即m ≤e +1e ， 所以实数m 的取值范围为(2，e +1e]．【点评】本题考查函数的性质，导数在研究函数中的应用，是中档题．【选做题】在21、22、23三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．[选修4-2：矩阵与变换]已知圆C 经矩阵M =[a33−2]变换后得到圆C ′：x 2+y 2＝13，求实数a 的值． 【点睛】通过矩阵变换列出变量间的关系式即可.【解析】设圆C 上一点（x ，y ）经矩阵M 变换后得到圆C ′上一点（x′，y′），由题意得[a33−2][x y ]=[x′y′]，所以{ax +3y =x′3x −2y =y′，因为点（x′，y′）在圆C ′x 2+y 2＝13上，所以（x ′）2+（y ′）2＝13； 消去x′、y′得圆C 的方程为（ax +3y ）2+（3x ﹣2y ）2＝13， 整理得（a 2+9）x 2+（6a ﹣12）xy +13y 2＝13，由圆的方程可得{a 2+9=136a −12=0，解得a ＝2．所以实数a 的值为2．【点评】本题考查矩阵变换、圆的方程，是基础题． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，直线ρcosθ+2ρsinθ＝m 被曲线ρ＝4sinθ截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值．【点睛】先建立平面直角坐标系，求出直线与曲线的直角坐标方程，要使直线被圆截得的弦AB 最长，则直线过圆心，便可求出m ．【解析】以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系（单位长度相同）， 因为直线ρcosθ+2ρsinθ＝m ，所以可得其直角坐标方程x +2y ﹣m ＝0． ρ＝4sinθ两边同乘ρ得：ρ2＝4ρsinθ，其直角坐标方程为x 2+（y ﹣2）2＝4，其表示以（0，2）为圆心，2为半径的圆． 即曲线ρ＝4sinθ是以（0，2）为圆心，2为半径的圆．要使直线被圆截得的弦AB 最长，则直线过圆心（0，2），即0+2×2﹣m ＝0，解得m ＝4． 所以实数m =4．【点评】本题考查直角坐标与极坐标、直线与圆的位置关系，是中档题． 23．[选修4-5：不等式选讲]已知正实数a ，b ，c 满足1a +2b+3c =1，求a +2b +3c 的最小值．【点睛】先将1a +2b +3c =1变形为1a+42b +93c=1，再利用柯西不等式求解．【解析】因为1a+2b+3c=1，变形可得1a+42b+93c =1， 所以a +2b +3c ＝（a +2b +3c ）×1=（a +2b +3c ）（1a+42b+93c）由柯西不等式得： （a +2b +3c ）（1a +42b+93c）≥（1+2+3）2=36(当且仅当a ＝b ＝c=6时等号成立)所以a +2b +3c ≥36，所以a +2b +3c 的最小值为36．【点评】本题考查柯西不等式，注意等式的恒等变形，是基础题．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，AA 1、BB 1是圆柱的两条母线，A 1B 1、AB 分别经过上下底面圆的圆心O 1、O ，CD 是下底面与AB 垂直的直径，CD ＝2．（1）若AA 1＝3，求异面直线A 1C 与B 1D 所成角的余弦值； （2）若二面角A 1﹣CD ﹣B 1的大小为π3，求母线AA 1的长．【点睛】（1）建立恰当的空间直角坐标系，利用空间向量即可求解． （2）求出面A 1CD 、面B 1CD 的法向量，通过空间向量的数量积即可求解． 【解析】（1）如图，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ． 因为CD ＝2，AA 1＝3，所以A （0,﹣1,0），A 1（0,﹣1,3），B （0,1,0），B 1（0,1,3），C （﹣1,0,0），D （1,0,0）; 所以B 1D →=（1,﹣1,﹣3），A 1C →=（﹣1,1,﹣3）， 所以cos ＜B 1D →,A 1C →＞=−1×1+1×(−1)+(−3)×(−3)√1+(−1)2+(−3)2⋅√(−1)2+1+(−3)2=711， 所以异面直线A 1C 与B 1D 所成角的余弦值为711．（2）令AA 1＝m ＞0，则A 1（0，﹣1，m ），B 1（0，1，m ），所以A 1C →=（﹣1，1，﹣m ），B 1D →=（1，﹣1，﹣m ），CD →=（2，0，0）， 设平面A 1CD 的法向量n 1→=（x 1，y 1，z 1），在平面A 1CD 中，CD →=（2，0，0），A 1C →=（﹣1，1，﹣m ）所以{n 1→⋅CD →=2x 1=0，n 1→⋅A 1C →=−x 1+y 1−mz 1=0，解得x 1＝0，令z 1＝1，则y 1＝m ，所以n 1→=（0，m ，1）． 同理得平面B 1CD 的法向量n 2→=（0，﹣m ，1）．因为二面角A 1﹣CD ﹣B 1的大小为π3，所以|cos ＜n 1→，n 2→＞|=√m +1⋅√(−m)2+1=12，解得m =√3或m =√33，由图形知当A 1﹣CD ﹣B 1的大小为π3时，m =√3．所以母线AA 1=√3.【点评】本题考查空间向量、空间角，化归与转化思想，是中档题.25．设∑ 2n i=1（1﹣2x ）i ＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2n x 2n（n ∈N *），记S n ＝a 0+a 2+a 4+…+a 2n ． （1）求S n ；（2）记T n ＝﹣S 1∁n 1+S 2∁n 2﹣S 3∁n 3+…+（﹣1）n S n ∁n n ，求证：|T n |≥6n 3恒成立． 【点睛】（1）先赋值得两等式，再两式相加即可求出S n ．（2）先将T n 化简整理，再对不等式|T n |≥6n 3化简，利用放缩法即可证明．【解析】（1）令x ＝﹣1得a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+…﹣a 2n ﹣1+a 2n =∑ 2n i=13i=32•（9n ﹣1）． 令x ＝1得a 0+a 1+a 2+…+a 2n =∑ 2n i=1(−1)i =0；两式相加得2（a 0+a 2+a 4+…+a 2n ）=32•（9n ﹣1），即2S n =32•（9n ﹣1）， 所以S n =34（9n ﹣1），n ∈N *． （2）由(1)得：T n ＝﹣S 1∁n 1+S 2∁n 2﹣S 3∁n 3+…+（﹣1）n S n ∁n n=34{[﹣91C n 1+92C n 2−93C n 3+⋯+（﹣1）n 9n C n n ]﹣[−C n 1+C n 2−C n 3+⋯+（﹣1）n C n n ]} =34{[90C n 0−91C n 1+92C n 2−93C n 3+⋯+（﹣1）n 9n C n n ]﹣[C n 0−C n 1+C n 2−C n 3+⋯+（﹣1）n C nn ]}=34[90C n 0−91C n 1+92C n 2−93C n 3+⋯+（﹣1）n 9n C n n]=34[C n 0（﹣9）0−C n 1（﹣9）1+C n 2（﹣9）2−C n 3（﹣9）3+⋯+C n n （﹣9）n ]=34（1﹣9）n =34•（﹣8）n ．故|T n |＝|34•（﹣8）n |=34•8n ．要证|T n |≥6n 3恒成立，即证34×8n ≥6n 3恒成立，只需证8n ﹣1≥n 3恒成立，即证2n ﹣1≥n 恒成立．下面证明2n ﹣1≥n 恒成立：当n ＝1、2时，2n ﹣1≥n 显然成立．当n ≥3时，2n ﹣1=C n−10+C n−11+⋯+C n−1n−1≥C n−10+C n−11=1+（n ﹣1）＝n ，即2n ﹣1≥n ，所以2n ﹣1≥n 对n ∈N *恒成立．所以|T n |≥6n 3恒成立．【点评】本题考查等比数列、二项式定理等，是中难题．。

江苏省2020年高考数学一模试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合，集合，集合．则集合可表示为（）A .B .C .D .2. （2分）复数的共轭复数是（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高三上·金台月考) 在等差数列中，，则的前项的和为（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·广安模拟) 执行如图所示的程序框图，则输出b的值为（）A . 2B . 4C . 8D . 165. （2分）(2013·新课标Ⅱ卷理) 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A . ∃xα∈R，f（xα）=0B . 函数y=f（x）的图象是中心对称图形C . 若xα是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，xα）单调递减D . 若xα是f（x）的极值点，则f′（xα）=06. （2分）设n∊N+ ，则5 +52 +53 +…+5n 除以7的余数为（）A . 0或5B . 1或3C . 4或6D . 0或27. （2分） (2019高三上·邹城期中) 已知向量 , ,若向量与垂直,则（）A . 9B . 3C .D .8. （2分）如图，是一个几何体的三视图，侧视图和正视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为（）A . 6B .C . 24D . 39. （2分）(2018·中原模拟) 已知实数满足，则的最大值为（）A . 2B . 8C . 11D . 1510. （2分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（）A .B . 8πC .D . 4π11. （2分） (2016高二上·包头期中) 已知方程﹣ =1表示双曲线，那么k的取值范围是（）A . k＞5B . ﹣2＜k＜2C . k＞2或k＜﹣2D . k＞5或﹣2＜k＜212. （2分） (2019高三上·佛山月考) 已知，若，且，则与2的关系为（）A .B .C .D . 大小不确定二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高三上·辽宁期中) 已知，，则 ________．14. （1分） (2018高二上·黑龙江期末) 已知点在抛物线上，抛物线的焦点满足＋＋＝ ,则 ________.15. （1分）(2019·揭阳模拟) 已知数列满足，，则数列中最大项的值为________.16. （1分） (2019高一上·北京月考) 若对，，使得成立，则实数的取值范围是________.三、解答题 (共7题；共50分)17. （10分） (2016高三上·宁波期末) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a=2，2cos2+sinA= ．（1）若满足条件的△ABC有且只有一个，求b的取值范围；（2）当△ABC的周长取最大值时，求b的值．18. （5分）(2017·荆州模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；（Ⅱ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值．19. （5分）(2017·湖北模拟) 为创建全国文明城市，某区向各事业行政单位征集“文明过马路”义务督导员．从符合条件的600名志愿者中随机抽取100名，按年龄作分组如下：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45]，并得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求图中x的值，并根据频率分布直方图统计这600名志愿者中年龄在[30.40）的人数；（Ⅱ）在抽取的100名志愿者中按年龄分层抽取10名参加区电视台“文明伴你行”节目录制，再从这10名志愿者中随机选取3名到现场分享劝导制止行人闯红灯的经历，记这3名志愿者中年龄不低于35岁的人数为X，求X 的分布列及数学期望．20. （5分）已知动圆P过定点F（0，1），且与定直线y=﹣1相切．（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹W的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l与轨迹W相交于A，B两点，若在直线y=﹣1上存在点C，使△ABC为正三角形，求直线l的方程．21. （10分） (2019高二下·临川月考) 已知：在与时都取得极值.（1）求的值；（2）若在区间，上不单调，求的取值范围。

江苏省 2020 年高考数学一模试卷（理科）（II）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1.（2 分）(2018 高二上·福州期末) 已知集合 A＝，B＝，则 A∩B 等于（ ）A . [1,3]B . [1,5]C . [3,5]D . [1，＋∞)2. （2 分） (2017·延边模拟) 若复数 x 满足（3+4i）x=|4+3i|，则 x 的虚部为（ ）A. B . ﹣4C.﹣ D.43. （2 分） (2020·长春模拟) 已知等差数列 的前 项和为 ，，，则（）A. B. C. D. 4. （2 分） (2016 高二下·红河开学考) 执行如图所示的程序框图，若输入的 x 的值为 1，则输出的 n 的值为 （）第 1 页 共 13 页A.5 B.3 C.2 D.1 5. （2 分） (2016 高二下·金堂开学考) 已知 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个不同的平面，则下 列命题正确的是（ ） A . 若 α⊥γ，α⊥β，则 γ∥β B . 若 m∥n，m⊂ α，n⊂ β，则 α∥β C . 若 α⊥β，m⊥β，则 m∥α D . 若 m∥n，m⊥α，n⊥β，则 α∥β 6. （2 分） (2013·上海理) （1+x）10 的二项展开式中的一项是（ ） A . 45x B . 90x2 C . 120x3 D . 252x4第 2 页 共 13 页7. （2 分） (2019 高二下·绍兴期中) 已知向量 ， 满足，，且向量 ， 的夹角为 ，若与 垂直，则实数 的值为（ ）A.B.C.D. 8. （2 分） 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）A . 72 B . 66 C . 60 D . 309. （2 分） 设变量 x，y 满足约束条件 A.2， 则目标函数 z=2x+3y 的最小值为（ ）第 3 页 共 13 页B.4 C.5 D . 20 10. （2 分） 已知正四面体 ABCD 的棱长为 ，则其外接球的体积为（ ） A. πB.πC. π D . 3π11. （2 分） (2018 高二下·柳州月考) 已知左顶点和的右焦点，，若为双曲线 ，则双曲线右支上一点， 的离心率为（ ）A.B.C.D.分别为双曲线12. （2 分） (2019·哈尔滨模拟) 若函数与图像的交点为,，…， A.2 B.4 C.6 D.8，则（）第 4 页 共 13 页二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2020 高一上·杭州期末) 若，，则14. （1 分） 抛物线的方程为 x=2y2 ， 则抛物线的焦点坐标为________________15. （1 分） (2016 高二上·清城期中) 在数列{an}中，a1=2，an+1=an+ln（1+ ），则 an=________．16. （1 分） (2019 高一下·汕头月考) 已知函数 恒成立，则实数 的取值范围是________．三、 解答题 (共 7 题；共 85 分)，若对任意的17. （15 分） (2018 高三上·天津月考) 设函数．（1） 求函数的最小正周期．（2） 求函数的单调递减区间；（3） 设为的三个内角，若，，且 为锐角，求．18. （15 分） (2019 高三上·深圳月考) 如图，AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上异于 A，B 的点，PO 垂直于 圆 O 所在的平面，且 PO＝OB＝1.（1） 若 D 为线段 AC 的中点，求证：AC⊥平面 PDO； （2） 求三棱锥 P－ABC 体积的最大值；（3） 若，点 E 在线段 PB 上，求 CE＋OE 的最小值．19. （15 分） (2020 高三上·潍坊期中) 2020 年 10 月 16 日，是第 40 个世界粮食日.中国工程院院士袁隆平第 5 页 共 13 页海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地 YC-801 测产，亩产超过 648.5 公斤， 通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入.某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为 表：，其质量指标等级划分如下质量指标值质量指标等级良好优秀良好合格废品为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了 1000 件， 将其质量指标值 的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：（1）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取 3 件产品，记“抽出的产品中至少有 1 件不是废品”为事件 ， 求事件 发生的概率；（2） 若从质量指标值的样本中利用分层抽样的方法抽取 7 件产品，然后从这 7 件产品中任取 3 件产品，求质量指标值的件数 的分布列及数学期望；（3） 若每件产品的质量指标值 与利润 （单位：元）的关系如下表：质量指标值利润 （元）试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定 为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：，）.第 6 页 共 13 页20. （10 分） (2020 高二上·建瓯月考) 已知动点 与平面上点 （1） 试求动点 的轨迹方程 .（2） 设直线与曲线 交于 、 两点，当21. （10 分） (2017 高三上·长葛月考) 已知函数，，的距离之和等于.时，求直线的方程. .（1） 当时，比较与的大小；（2） 设，若函数在上的最小值为22. （10 分） (2017 高二下·曲周期末) 选修 4-4：坐标系与参数方程，求 的值.在平面直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数，点，x 轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位，建立极坐标系.曲线），以坐标原点 o 为极（1） 若直线 l 曲线 相交于点 ， ，，证明：为定值；（2） 将曲线 上的任意点内接矩形周长的最大值.作伸缩变换后，得到曲线 上的点23. （10 分） (2020·安徽模拟) 已知函数.（1） 求不等式 （2） 若不等式的解集； 在 R 上恒成立，求实数 m 的取值范围.，求曲线 的第 7 页 共 13 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)参考答案13-1、 14-1、 15-1、第 8 页 共 13 页16-1、三、 解答题 (共 7 题；共 85 分)17-1、 17-2、 17-3、 18-1、 18-2、第 9 页 共 13 页18-3、19-1、19-2、第 10 页 共 13 页19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。