2018年中考数学满分冲刺讲义：第4讲 依据背景转化

第1讲、依据特征作图——填空压轴（讲义）1. 在矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，点P 在线段AB 上．若将△DAP 沿DP 折叠，使点A 落在矩形对角线上的A′处，则AP 的长为_____________．DC BA D CB A2. 已知点A (0，4)，B (7，0)，C (7，4)，连接AC ，BC 得到矩形AOBC ，点D 在边AC 上，将边OA 沿OD 折叠，点A 的对应点为A′，若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1:3，则点A′的坐标为____________．3. 如图，矩形ABCD 中，AD =4，AB =7，点E 为DC 上一动点，△ADE 沿AE 折叠，点D 落在矩形ABCD 内一点D′处，若△BCD′为等腰三角形，则DE 的长为______________． D CB A DC B A 4. 在矩形ABCD 中，AB =6，AD=E 是AB 边上一点，AE =2，F 是直线CD 上一动点，将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 的对应点为A ′，当E ，A ′，C 三点在一条直线上时，DF 的长为________________．D CBAE DF CB A5. 如图是矩形纸片ABCD ，AB =16cm ，BC =40 cm ，M 是边BC 的中点，沿过M 的直线翻折．若点B 恰好落在边AD 上，则折痕长度为_________cm ．D6. 如图，在矩形ABCD 中，AB AD =4，点E 是BC 边上的一个动点，连接AE ，过点D 作DF ⊥AE 于点F ，连接CF ．当△CDF 是等腰三角形时，BE 的长为_____________．CBA D。

数学思想方法数学思想方法是把知识转化为能力的桥梁，是解题规律的总结，是达到以点带面、触类旁通、摆脱题海的有效之路.因此我们应抓住临近中考的这段时间，去研究、归纳、熟悉那些常用的解题方法与技巧，从而为夺取中考高分搭起灵感和智慧的平台.初中数学中的主要数学思想有整体思想、化归思想、分类讨论思想、数形结合思想、方程和函数思想等.由于我们前面各种思想方法均有渗透，故本专题只是侧重如下几个思想方法予以强化.类型之一整体思想例1 （2017广东）已知4a+3b=1，则整式8a+6b﹣3的值为﹣1 ．【考点】33：代数式求值．【分析】先求出8a+6b的值，然后整体代入进行计算即可得解．【解答】解：∵4a+3b=1，∴8a+6b=2，8a+6b﹣3=2﹣3=﹣1；故答案为：﹣1．方法归纳：整体思想就是在解决问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，通过对整体的把握和运用达到解决问题的目的.1.（2017内江）若实数x满足x2﹣2x﹣1=0，则2x3﹣7x2+4x﹣2017= ．类型之二分类思想例2 （2017浙江义乌）如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是x=0或x=4﹣4或4＜x＜4．【考点】KI：等腰三角形的判定．【分析】分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的x值，①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，构建腰长为4的等腰直角△OMC，和半径为4的⊙M，发现M在点D的位置时，满足条件；③如图3，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可．【解答】解：分三种情况：①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，∴MC⊥OB，∵∠AOB=45°，∴△MCO是等腰直角三角形，∴MC=OC=4，∴OM=4，当M与D重合时，即x=OM﹣DM=4﹣4时，同理可知：点P恰好有三个；③如图3，取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆，则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；∴当4＜x＜4时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足点P恰好有三个；综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x=0或x=4﹣4或4．故答案为：x=0或x=4﹣4或4．方法归纳：在几何问题中，当图形的形状不完整时，需要根据图形的已知边角及图形特征进行分类画出图形，特别注意涉及等腰三角形与直角三角形的边和角的分类讨论.1.（2017齐齐哈尔）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为．2. （2017绥化）在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=BC，则△ABC的顶角的度数为．3.如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．4. （2017.湖南怀化）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为cm．类型之三转化思想例3 （2017山东临沂）如图，AB是⊙O的直径，BT是⊙O的切线，若∠ATB=45°，AB=2，则阴影部分的面积是（）A．2 B．﹣πC．1 D．+π【分析】设AC交⊙O于D，连结BD，先根据圆周角定理得到∠A DB=90°，则可判断△ADB、△BDC都是等腰直角三角形，所以AD=BD=CD=AB=，然后利用．弓形AD的面积等于弓形BD的面积得到阴影部分的面积=S△BTD【解答】解：∵BT是⊙O的切线；设AT交⊙O于D，连结BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，而∠ATB=45°，∴△ADB、△BDT都是等腰直角三角形，∴AD=BD=TD=AB=，∴弓形AD的面积等于弓形BD的面积，∴阴影部分的面积=S=××=1．△BTD故选C．【点评】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是利用等腰直角三角形的性质把阴影部分的面积转化为三角形的面积．方法归纳：化归意识是指在解决问题的过程中，对问题进行转化，将“未知”转化为“已知”、将“陌生”转化为“熟知”、将“复杂”转化为“简单”的解题方法，其核心就是将有待解决的问题转化为已有明确解决的问题，以便利用已有的结论来解决问题.1.（2017内蒙古赤峰）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD ⊥AM垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．2.如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．（1）求∠AFE的度数；（3）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．3.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是25 尺．类型之四数形结合思想例4 （2017•温州）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为24﹣8cm．【考点】HE：二次函数的应用．【专题】153：代数几何综合题．【分析】先建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG 于P，根据△ABQ∽△ACG，求得C（20，0），再根据水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24），可设抛物线为y=ax2+bx+24，把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得抛物线为y=﹣x2+x+24，最后根据点E的纵坐标为10.2，得出点E的横坐标为6+8，据此可得点E到洗手盆内侧的距离．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，由题可得，AQ=12，PQ=MD=6，故AP=6，AG=36，∴Rt△APM中，MP=8，故DQ=8=OG，∴BQ=12﹣8=4，由BQ∥CG可得，△ABQ∽△ACG，∴=，即=，∴CG=12，OC=12+8=20，∴C（20，0），又∵水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24），∴可设抛物线为y=ax2+bx+24，把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得，解得，∴抛物线为y=﹣x2+x+24，又∵点E的纵坐标为10.2，∴令y=10.2，则10.2=﹣x2+x+24，解得x1=6+8，x2=6﹣8（舍去），∴点E的横坐标为6+8，又∵ON=30，∴EH=30﹣（6+8）=24﹣8．故答案为：24﹣8．【点评】本题以水龙头接水为载体，考查了二次函数的应用以及相似三角形的应用，在运用数学知识解决问题过程中，关注核心内容，经历测量、运算、建模等数学实践活动为主线的问题探究过程，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题．方法归纳：数形结合主要有两种：①由数思形，数形结合，用形解决数的问题；②由形思数，数形结合，用数解决形的问题.1. （2017哈尔滨）周日，小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报，看了一段时间后，他按原路返回家中，小涛离家的距离y（单位：m）与他所用的时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（）A．小涛家离报亭的距离是900mB．小涛从家去报亭的平均速度是60m/minC．小涛从报亭返回家中的平均速度是80m/minD．小涛在报亭看报用了15min2. （2017山东临沂）某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳的水费y（元）与每月用水量x（m3）之间的关系如图所示．（1）求y关于x的函数解析式；（2）若某用户二、三月份共用水40cm3（二月份用水量不超过25cm3），缴纳水费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少m3？3. （2017浙江衢州）如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是a+6 ．4.（2017宁夏）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（）A．=a2﹣abC．（a﹣b）5. （2017•温州）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（）A．12S B．10S C．9S D．8S6. （2017浙江衢州）“五•一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．根据以上信息，解答下列问题：（1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数表达式；（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．类型之五方程、函数思想例5 （2017浙江湖州）湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本=放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg．根据以往经验可知：m与t的函数关系为；y与t的函数关系如图所示．①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W 最大？并求出最大值．（利润=销售总额﹣总成本）【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）由放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元可得答案；（2）①分0≤t≤50、50＜t≤100两种情况，结合函数图象利用待定系数法求解可得；②就以上两种情况，根据“利润=销售总额﹣总成本”列出函数解析式，依据一次函数性质和二次函数性质求得最大值即可得．【解答】解：（1）由题意，得：，解得，答：a的值为0.04，b的值为30；（2）①当0≤t≤50时，设y与t的函数解析式为y=k1t+n1，将（0，15）、（50，25）代入，得：，解得：，∴y与t的函数解析式为y=t+15；当50＜t≤100时，设y与t的函数解析式为y=k2t+n2，将点（50，25）、代入，得：，解得：，∴y与t的函数解析式为y=﹣t+30；②由题意，当0≤t≤50时，W=20000（t+15）﹣=3600t，∵3600＞0，∴当t=50时，W最大值=180000（元）；当50＜t≤100时，W=（﹣t+30）﹣=﹣10t2+1100t+150000=﹣10（t﹣55）2+180250，∵﹣10＜0，∴当t=55时，W最大值=180250（元），综上所述，放养55天时，W最大，最大值为180250元．方法归纳：在问题中涉及“最大值”或“最小值”时，一般要运用函数思想去解决问题，解决这里问题的关键是建立两个变量之间的函数关系.1.（2017甘肃张掖）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．2.（2017江苏盐城）如图，曲线l是由函数y=在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（﹣4，4），B（2，2）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为．参考答案类型之一整体思想1.（2017内江）若实数x满足x2﹣2x﹣1=0，则2x3﹣7x2+4x﹣2017= ﹣2020 ．【考点】59：因式分解的应用．【分析】把2x2分解成x2与x2相加，然后把所求代数式整理成用x2﹣x表示的形式，然后代入数据计算求解即可．【解答】解：∵x2﹣2x﹣1=0，∴x2﹣2x=1，2x3﹣7x2+4x﹣2017=2x3﹣4x2﹣3x2+4x﹣2017，=2x（x2﹣2x）﹣3x2+4x﹣2017，=6x﹣3x2﹣2017，=﹣3（x2﹣2x）﹣2017=﹣3﹣2017=﹣2020，故答案为：﹣2020．类型之二分类思想1.（2017齐齐哈尔）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为113°或92°．【考点】S7：相似三角形的性质；KH：等腰三角形的性质．【分析】由△ACD是等腰三角形，∠ADC＞∠BCD，推出∠ADC＞∠A，即AC≠CD，分两种情形讨论①当AC=AD时，②当DA=DC时，分别求解即可．【解答】解：∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD=∠A=46°，∵△ACD是等腰三角形，∵∠ADC＞∠BCD，∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD，①当AC=AD时，∠ACD=∠ADC==67°，∴∠ACB=67°+46°=113°，②当DA=DC时，∠ACD=∠A=46°，∴∠ACB=46°+46°=92°，故答案为113°或92°．2. （2017绥化）在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=BC，则△ABC的顶角的度数为30°或150°或90°．【考点】KO：含30度角的直角三角形；KH：等腰三角形的性质．【分析】分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．【解答】解：①BC为腰，∵AD⊥BC于点D，AD=BC，∴∠ACD=30°，如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，AD=BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=×180°=90°，∴顶角∠BAC=90°，综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．故答案为：30°或150°或90°．3.如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．【分析】（1）根据两角相等证明：△ABD∽△DCE；（2）如图1，作高AF，根据直角三角形30°的性质求AF的长，根据勾股定理求BF的长，则可得BC的长，根据（1）中的相似列比例式可得函数关系式，并确定取值；（3）分三种情况进行讨论：①当AD=DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2﹣x；②当AE=ED时，如图3，则ED=EC，即y=（2﹣y）；③当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在．【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE；（2）如图1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，过A作AF⊥BC于F，∴∠AFB=90°，∵AB=2，∠ABF=30°，∴AF=AB=1，∴BF=，∴BC=2BF=2，则DC=2﹣x，EC=2﹣y，∵△ABD∽△DCE，∴，∴，化简得：y=x+2（0＜x＜2）；（3）当AD=DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2﹣x，x=2﹣2，代入y=x+2，解得：y=4﹣2，即AE=4﹣2，当AE=ED时，如图3，∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°，∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，则ED=EC，即y=（2﹣y），解得：y=，即AE=，当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在，∴当△ADE是等腰三角形时，AE=4﹣2或．【点评】本题是相似形的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质、直角三角形30°角的性质，本题的几个问题全部围绕△ABD∽△DCE，解决问题；难度适中．4. （2017.湖南怀化）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为10﹣10 cm．【考点】L8：菱形的性质；KH：等腰三角形的性质．【分析】分三种情形讨论①若以边BC为底．②若以边PB为底．③若以边PC为底．分别求出PD的最小值，即可判断．【解答】解：连接BD，在菱形ABCD中，∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10；②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC 相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP最小，最小值为10﹣10；③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；综上所述，PD的最小值为10﹣10（cm）；故答案为：10﹣1．类型之三转化思想1.（2017内蒙古赤峰）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD ⊥AM垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．【考点】ME ：切线的判定与性质；MO ：扇形面积的计算．【分析】（1）由已知条件得到△BOC 是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠1=∠2=60°，由角平分线的性质得到∠1=∠3，根据平行线的性质得到∠OAM=90°，于是得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到∠OAC=60°，根据三角形的内角和得到∠CAD=30°，根据勾股定理得到AD=2，于是得到结论．【解答】解：（1）∵∠B=60°， ∴△BOC 是等边三角形， ∴∠1=∠2=60°， ∵OC 平分∠AOB ， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴OA ∥BD ，∴∠BDM=90°，∴∠OAM=90°， ∴AM 是⊙O 的切线； （2）∵∠3=60°，OA=OC ， ∴△AOC 是等边三角形， ∴∠OAC=60°， ∵∠OAM=90°， ∴∠CAD=30°， ∵CD=2， ∴AC=2CD=4，∴AD=2，∴S 阴影=S 梯形OADC ﹣S 扇形OAC =（4+2）×2﹣=6﹣．2.如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．（1）求∠AFE的度数；（3）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．【考点】MO：扇形面积的计算；M5：圆周角定理．【分析】（1）连接OD，OC，根据已知条件得到∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，根据圆周角定理得到∠CAB=30°，于是得到结论；（2）由（1）知，∠AOD=60°，推出△AOD是等边三角形，OA=2，得到DE=，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）连接OD，OC，∵C、D是半圆O上的三等分点，∴==，∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，∴∠CAB=30°，∵DE⊥AB，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°﹣30°=60°；（2）由（1）知，∠AOD=60°，∵OA=OD，AB=4，∴△AOD是等边三角形，OA=2，∵DE ⊥AO ，∴DE=，∴S 阴影=S 扇形AOD ﹣S △AOD =﹣×2=π﹣．3. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处，则问题中葛藤的最短长度是 25 尺．【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出． 【解答】解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺， 另一条直角边长5×3=15（尺），因此葛藤长为=25（尺）．故答案为：25．【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．类型之四数形结合思想1. （2017哈尔滨）周日，小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报，看了一段时间后，他按原路返回家中，小涛离家的距离y（单位：m）与他所用的时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（）A．小涛家离报亭的距离是900mB．小涛从家去报亭的平均速度是60m/minC．小涛从报亭返回家中的平均速度是80m/minD．小涛在报亭看报用了15min【考点】E6：函数的图象．【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案．【解答】解：A、由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是1200m，故A不符合题意；B、由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是1200m，由横坐标看出小涛去报亭用了15分钟，小涛从家去报亭的平均速度是80m/min，故B不符合题意；C、返回时的解析式为y=﹣60x+3000，当y=1200时，x=30，由横坐标看出返回时的时间是50﹣30=20min，返回时的速度是1200÷20=60m/min，故C不符合题意；D、由横坐标看出小涛在报亭看报用了30﹣15=15min，故D符合题意；故选：D．2. （2017山东临沂）某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳的水费y（元）与每月用水量x（m3）之间的关系如图所示．（1）求y关于x的函数解析式；（2）若某用户二、三月份共用水40cm3（二月份用水量不超过25cm3），缴纳水费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少m3？【分析】（1）根据函数图象可以分别设出各段的函数解析式，然后根据函数图象中的数据求出相应的函数解析式；（2）根据题意对x进行取值进行讨论，从而可以求得该用户二、三月份的用水量各是多少m3．【解答】解：（1）当0≤x≤15时，设y与x的函数关系式为y=kx，15k=27，得k=1.8，即当0≤x≤15时，y与x的函数关系式为y=1.8x，当x＞15时，设y与x的函数关系式为y=ax+b，，得，即当x＞15时，y与x的函数关系式为y=2.4x﹣9，由上可得，y与x的函数关系式为y=；（2）设二月份的用水量是xm3，当15＜x≤25时，2.4x﹣9+2.4（40﹣x）﹣9=79.8，解得，x无解，当0＜x≤15时，1.8x+2.4（40﹣x）﹣9=79.8，解得，x=12，∴40﹣x=28，答：该用户二、三月份的用水量各是12m3、28m3．【点评】本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．3. （2017浙江衢州）如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是a+6 ．【考点】4G：平方差公式的几何背景．【分析】根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积列式整理即可得解．【解答】解：拼成的长方形的面积=（a+3）2﹣32，=（a+3+3）（a+3﹣3），=a（a+6），∵拼成的长方形一边长为a，∴另一边长是a+6．故答案为：a+6．4.（2017宁夏）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（）A．=a2﹣abC．（a﹣b）【分析】利用正方形的面积公式和矩形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．【解答】解：第一个图形阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）．则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选D．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示阴影部分的面积是关键．5. （2017•温州）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（）A．12S B．10S C．9S D．8S【考点】KR：勾股定理的证明．【分析】设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2，由题意可知EF=（2a ﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，由此即可解决问题．【解答】解：设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，∵AM=2EF，∴2a=2b，∴a=b，∵正方形EFGH的面积为S，∴b2=S，∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=9b2=9S，故选C．【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．6. （2017浙江衢州）“五•一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．根据以上信息，解答下列问题：（1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数表达式；（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．【考点】FH：一次函数的应用；FA：待定系数法求一次函数解析式．【分析】（1）根据函数图象中的信息，分别运用待定系数法，求得y1，y2关于x的函数表达式即可；（2）当y1=y2时，15x+80=30x，当y1＞y2时，15x+80＞30x，当y1＜y2时，15x+80＞30x，分求得x的取值范围即可得出方案．【解答】解：（1）设y1=k1x+80，把点（1，95）代入，可得95=k1+80，解得k1=15，∴y1=15x+80（x≥0）；设y2=k2x，把（1，30）代入，可得30=k2，即k2=30，∴y2=30x（x≥0）；（2）当y1=y2时，15x+80=30x，解得x=；当y1＞y2时，15x+80＞30x，解得x＜；当y1＜y2时，15x+80＞30x，解得x＞；∴当租车时间为小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于小时，选择乙公司合算；当租车时间大于小时，选择甲公司合算．类型之五方程、函数思想1.（2017甘肃张掖）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．【考点】LB：矩形的性质；L7：平行四边形的判定与性质；L8：菱形的性质．【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO=FO，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BE⊥EF，设BE=x，则 DE=x，AE=6﹣x，在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，∴x2=42+（6﹣x）2，解得：x=，∵BD==2，∴OB=BD=，∵BD⊥EF，∴EO==，∴EF=2EO=．2.（2017江苏盐城）如图，曲线l是由函数y=在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（﹣4，4），B（2，2）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为8 ．【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；G5：反比例函数系数k 的几何意义．【分析】由题意A （﹣4，4），B （2，2），可知OA ⊥OB ，建立如图新的坐标系（OB 为x′轴，OA 为y′轴，利用方程组求出M 、N 的坐标，根据S △OMN =S △OBM ﹣S △OBN 计算即可．【解答】解：∵A （﹣4，4），B （2，2）， ∴OA ⊥OB ，建立如图新的坐标系（OB 为x′轴，OA 为y′轴．在新的坐标系中，A （0，8），B （4，0），∴直线AB 解析式为y′=﹣2x′+8，由，解得或，∴M （1.6），N （3，2），∴S △OMN =S △OBM ﹣S △OBN =•4•6﹣•4•2=8，故答案为8。

第12讲、新背景（讲义）1.在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：若在图形M上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称点P为图形M的关联点．（1）当⊙O的半径为2时，①在点P1(12，0)，P21()22，，P3(52，0)中，⊙O的关联点是___________．②点P在直线y=-x上，若点P为⊙O的关联点，求点P横坐标的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=-x+1与x轴，y轴交于点A，B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C横坐标的取值范围．2.在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．下图为点P，Q的“相关矩形”的示意图．（1）已知点A的坐标为(1，0)．①若点B的坐标为(3，1)，求点A，B的“相关矩形”的面积；②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式．（2）⊙O，点M的坐标为(m，3)．若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．3.在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．（1）当⊙O的半径为1时．①分别判断点M(2，1)，N(32，0)，T(1关于⊙O的反称点是否存在，若存在，求其坐标；②当点P在直线y=-x+2上时，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围．（2）当⊙C的圆心在x轴上，且半径为1时，直线y x=+与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．4. 在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的“非常距离”，给出如下定义：若1212x x y y --≥，则点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的非常距离为12x x -； 若1212x x y y -<-，则点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的非常距离为12y y -．例如：点P 1(1，2)，P 2(3，5)，因为 1325-<-，所以点P 1与P 2的“非 常距离”为253-=，也就是图1中 线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值． （Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直 于x 轴的直线P 2Q 的交点）（1）已知点1(0)2A -，，B 为y 轴上的一个动点．①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值．（2）已知C是直线334y x=+上的一个动点．①如图2，点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．图2 图3【参考答案】1. （1）①P 2，P 3；②点P x ≤或x ≤（2）圆心C 横坐标的取值范围为21C x -≤≤2C x ≤≤ 2. （1）①点A ，B 的“相关矩形”的面积为2；②C 1(3，2)1AC l ⇒：y =x -1，C 2(3，-2)2AC l ⇒：y =-x +1； （2）m 的取值范围为-5≤m ≤-1或1≤m ≤5．3. （1）①M 反称点不存在，N 反称点N′(12，0)，T 反称点T′(0，0)；②点P 的横坐标的取值范围为0＜x P ＜2； （2）圆心C 的横坐标的取值范围为2≤x C ≤8． 4. （1）①B (0，2)；②点A与点B的“非常距离”的最小值为12；（2）①点C与点D的“非常距离”的最小值为87，此时点C坐标为815()77-，；②点C与点E的“非常距离”的最小值为1，此时34()55E-，，89()55C-，．。

2018中考冲刺依据特征构造——补全模型（讲义）1. 如图，在△ABC 中，AB =AC=BAC =120°，点D ，E 都在BC 上，∠DAE =60°，若BD =2CE ，则DE 的长为_____．2. 如图，在矩形ABCD 中，将∠ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度后，BC 的对应边B′C′交CD 边于点G ．连接BB′，CC′，若AD =7，CG =4，AB′=B′G ，则CC BB''的值是________．3. 如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，将AB 边绕点A 逆时针旋转90°得到线段AD ，将AC 边绕点C 顺时针旋转90°得到线段CE ，AE 与BD 交于点F ．若DFEF=BC 边的长为____________．AD CB E AD CB E C'B'GD CBAC'B'GD CBAFDEBAFDEBAlE D C BA4. 如图，已知△ABC 是等边三角形，直线l 过点C ，分别过A ，B 两点作AD ⊥l 于点D ，作BE ⊥l 于点E ．若AD =4，BE =7，则△ABC 的面积为____________．5. 如图，△ABC 和△CDE 均为等边三角形，连接BD ，AE ．（1）如图1，证明：BD =AE ．（2）如图2，如果D 在AC 边上，BD 交AE 于点F ，连接CF ，过E 作EH ⊥CF 于点H ，若FB -FA =6，CF =4DF ，求CH 的长．图1 图2l ED C BAE DCBADH FEABC6.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y=x-3经过B，C两点．（1）过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D，点P是直线CD下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P作PE⊥x轴于点E，PE交CD于点F，交BC于点M，连接AC，过点M作MN⊥AC于点N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（2）在（1）的条件下，连接PC，过点B作BQ⊥PC于点Q（点Q在线段PC上），BQ交CD于点T，连接OQ交CD于点S，当ST=TD时，求线段MN的长．7. 如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线212y x bx c =-++经过A ，C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的函数表达式．（2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点．①连接BC ，CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2，求12S S 的最大值． ②过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1.32.53.1 4.5. （1）证明略；（2）CH 的长为154． 6. （1）d =； （2）线段MN． 7. （1）抛物线的函数表达式为213222y x x =--+；（2）①12S S 的最大值为45；②存在，点D 的坐标为(-2，3)，(2911-，300121)．2018中考冲刺依据特征作图——动态几何（讲义）1. 如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =∠C ，点P 在边AB 上．（1）判断四边形ABCD 的形状并加以证明．（2）若AB =AD ，以过点P 的直线为轴，将四边形ABCD 折叠，使点B ，C 分别落在点B′，C′处，且B′C′经过点D ，折痕与四边形的另一交点为Q ． ①在图2中作出四边形PB′C′Q （保留作图痕迹，不必说明作法和理由）；图22. 如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一个动点，连接BE ，作点A 关于BE 的对称点F ，且点F 落在矩形ABCD 的内部，连接AF ，BF ，EF ，过点F 作GF ⊥AF 交AD 于点G ，设ADn AE． （1）当点F 落在AC 上时，用含n 的代数式表示ADAB的值； （2）若AD =4AB ，且以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形，求n 的值．CCGFE DCB A参考答案1. （1）四边形ABCD 为平行四边形，证明略；（2）①作图略；②AP PB =时，B′P ⊥AB ．2. （1）ADAB=（2）n 的值为16或8+ 3. （1）5；（2）0≤t ≤3．4. 线段AG 的长为83，2+或4．2018中考冲刺类比结构构造——类比探究（讲义）1. 我们定义：如图1，在△ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β=180°时，我们称△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”． 特例感知：（1）在图2、图3中，△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中线”．①如图2，当△ABC 为等边三角形时，AD 与BC 的数量关系为AD =_____BC ； ②如图3，当∠BAC =90°，BC =8时，则AD 的长为_________． 猜想论证：（2）在图1中，当△ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明． 拓展应用（3）如图4，四边形ABCD ，∠C =90°，∠D =150°，BC =12，CD=DA =6．在四边形内部是否存在点P ，使△PDC 是△P AB 的“旋补三角形”？若存在，请给予证明，并求△P AB 的“旋补中线”长；若不存在，请说明理由．图1图2βαC'B'DAAB CDB'C'DC BA2.【探索发现】如图1，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE，EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________．【拓展应用】如图2，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P，N 分别在边AB，AC上，顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为__________（用含a，h的代数式表示）．【灵活应用】如图3，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．【实际应用】如图4，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且4tan tan3B C==，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M，N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．图1 图2 图33. 折纸的思考．【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．第一步，对折矩形纸片ABCD （AB ＞BC ）（如图1），使AB 与DC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平（如图2）．第二步，如图3，再一次折叠纸片，使点C 落在EF 上的P 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BG ，折出PB ，PC ，得到FEDC BAAC ENPQ ABCD E图（2）图EDCB AAD图（4）AD△PBC ．图1 图2 图3（1）说明△PBC 是等边三角形． 【数学思考】（2）如图4，小明画出了图3的矩形ABCD 和等边三角形PBC ．他发现，在矩形ABCD 中把△PBC 经过图形变化，可以得到图5中的更大的等边三角形．请描述图形变化的过程．图4图5（3）已知矩形一边长为3 cm ，另一边长为a cm ．对于每一个确定的a 的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形．请画出不同情形的示意图，并写出对应的a 的取值范围．【问题解决】（4）从一张正方形铁片中剪出一个直角边长分别为4 cm 和1 cm 的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为__________cm ． 4. 已知四边形ABCD 的一组对边AD ，BC 的延长线交于点E ．（1）如图1，若∠ABC =∠ADC =90°，求证：ED ·EA =EC ·EB ．D C B A FED C BAE FGPDCBAPD CB ADCB A（2）如图2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=35，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积．（3）如图3，另一组对边AB，DC的延长线相交于点F．若cos∠ABC=cos∠ADC=35，CD=5，CF=ED=n，直接写出AD的长（用含n的式子表示）．图1图2图3E DCBAE DCBAFE DC BA参考答案1.（1）①12；②4；（2）AD=12BC，证明略；（3）存在，2.【探索发现】12；【拓展应用】14 ah；【灵活应用】该矩形的面积为720；【实际应用】该矩形的面积为1944 cm2．3.（1）证明略；（2）先将△BPC按点B逆时针旋转某个适当角度得△BP1C1，再将△BP1C1以B为位似中心放大，使点C1的对应点C2落在边CD上，得到△BP2C2；（3）略；（4）165．4.（1）证明略；（2）四边形ABCD的面积为75-（3）AD的长为5256nn++．2018中考冲刺分析特征转化——逆向思考（讲义）1.如图，已知抛物线27 34y x x=--的顶点为D，并与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．（1）求点A，B，C，D的坐标．（2）取点E(32-，0)和点F(0，34-)，直线l经过E，F两点，点G是线段BD的中点．①判断点G是否在直线l上，请说明理由．②在抛物线上是否存在点M，使点M关于直线l的对称点在x轴上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2. 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数213y x bx c =-++的图象与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中点A 的坐标为(-3，0)，点B 的坐标为(4，0)，连接AC ，BC ．动点P 从点A 出发，在线段AC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 作匀速运动；同时，动点Q 从点O 出发，在线段OB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t 秒，连接PQ ． （1）填空：b =_________，c =__________； （2）如图2，点N 的坐标为(32-，0)，线段PQ 的中点为H ，连接NH ，当点Q 关于直线NH 的对称点Q′恰好落在线段BC 上时，求出点Q′的坐标．图1 图23. 如图，抛物线y =-x 2+2x +3与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，直线l：334y x =-+过点C ，交x 轴于点E ．点Q 在x 轴的正半轴上运动，过Q 作y 轴的平行线，交直线l 于点M ，交抛物线于点N ．连接CN ，将△CMN 沿CN 翻折，M 的对应点为M′．探究：是否存在点Q ，使得M′恰好落在y 轴上？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4. 如图，曲线l 是由函数在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转6y x=45°得到的，过点A(-，B的直线与曲线l相交于点M，N，求△OMN的面积．5.如图1，直线43y x n=-+交x轴于点A，交y轴于点C(0，4)．抛物线223y x bx c =++经过点A ，交y 轴于点B (0，-2)．点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m ． （1）求抛物线的解析式；（2）当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；（3）如图2，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD ′P ′，且旋转角∠PBP ′=∠OAC ，当点P 的对应点P ′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标．参考答案图1图2备用图1. （1）A (12-，0)，B (72，0)，C (0，74-)，D (32，-4)； （2）①G 在直线l 上，理由略；②存在，M 1(32，-4)，M 2(16，209-)．2. （1）13；4；（2）Q′(67，227)．3. 存在，Q 1(32，0)，Q 2(4，0)．4. △OMN 的面积为8．5. （1）抛物线的解析式为224233y x x =--； （2）线段PD 的长为12或72； （3）P 143-)，P 2(43)，P 3(258，1132)．2018中考冲刺依据特征作图——填空压轴（讲义）1. 在矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，点P 在线段AB 上．若将△DAP 沿DP 折叠，使点A 落在矩形对角线上的A′处，则AP 的长为_____________．2. 已知点A (0，4)，B (7，0)，C (7，4)，连接AC ，BC 得到矩形AOBC ，点D 在边AC 上，将边OA 沿OD 折叠，点A 的对应点为A′，若点A′到矩形较长两DCBADCBA对边的距离之比为1:3，则点A′的坐标为____________．3. 如图，矩形ABCD 中，AD =4，AB =7，点E 为DC 上一动点，△ADE 沿AE折叠，点D 落在矩形ABCD 内一点D′处，若△BCD′为等腰三角形，则DE 的长为______________．4. 在矩形ABCD 中，AB =6，AD=E 是AB 边上一点，AE =2，F 是直线CD 上一动点，将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 的对应点为A ′，当E ，A ′，C 三点在一条直线上时，DF 的长为 ________________．D C B A D CBA EDFC BACBAD CBA5. 如图是矩形纸片ABCD ，AB =16 cm ，BC =40cm ，M 是边BC 的中点，沿过M的直线翻折．若点B 恰好落在边AD 上，则折痕长度为_________cm ．6. 如图，在矩形ABCD中，AB AD =4，点E 是BC 边上的一个动点，连接AE ，过点D 作DF ⊥AE 于点F ，连接CF ．当△CDF 是等腰三角形时，BE 的长为_____________．DD7. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC 是直角，AB =3，BC =4，P 是BC 边上的动点，设BP =x ，若能在AC 边上找到一点Q ，使 ∠BQP =90°，则x 的取值范围是_____________．8. 如图，∠AOB =45°，点M ，N 在边OA 上，OM =x ，ON =x +4，点P 是边OB上的点．若使P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 恰好有三个，则x 的值是_____________________________．9. 在三角形纸片ABC 中，∠A =90°，∠C =30°，AC =30cm ，将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A 落在斜边BC 上的一点E 处，折痕记为BD （如图1），剪去△CDE 后得到双层△BDE （如图2），再沿着过△BDE 某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为___________cm ．图1图2QPCBACBAE (A )BDD A10. 在□ABCD 中，AD =BD ，BE 是AD 边上的高，∠EBD =20°，则∠A 的度数为______________．11. 在□ABCD 中，CD 长为6．点E 是线段AB 上一点，沿直线DE 折叠，使点A 落在线段DC 上．延长DE 交直线BC 于点F ，若△FCD的面积为，则∠ADC =_____________．12. 在平行四边形ABCD 中，AB ＜BC ，已知∠B =30°，AB=ABC 沿AC 翻折至△AB′C ，使点B′落在平行四边形ABCD 所在的平面内，连接B′D ．若△AB′D 是直角三角形，则BC 的长为______________．DCBA参考答案1.94或322.3)，1)或(-2)3.4.6-6+5.6.2，4-7.3≤x≤48.0，4或4＜x＜9.或4010.55°或35°11.120°或60°12.6或43.已知抛物线C1：y=x2．如图1，平移抛物线C1得到抛物线C2，C2经过C1的顶点O和A(2，0)，C2的对称轴分别交C1，C2于点B，D．图1图2图2参考答案1. （1）B (4，-1)；C (4，3)；（2）点M 的坐标为(4，-1)，(12-，(-2，-7)，或(12-． 2. （1）l AB ：y =x +1；l BC ：y =2x -5；（2）当△A′C′K 是直角三角形时，t 的值为0， 3. （1）抛物线C 2的解析式为y =x 2-2x ；（2）四边形ODAB 为正方形，证明略；（3）当m 的值为38或158时，在抛物线C 3上存在点Q ，使得以M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形．4. （1）抛物线C 的函数表达式为2142y x =-+；2018中考冲刺依据背景转化（讲义）1. 已知点A (-1，1)，B (4，6)在抛物线y =ax 2+bx 上．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，点F 的坐标为(0，m )（m ＞2），直线AF 交抛物线于另一点G ，过点G 作x 轴的垂线，垂足为H ．设抛物线与x 轴的正半轴交于点E ，连接FH ，AE ，求证：FH ∥AE ．（3）如图2，直线AB 分别交x 轴，y 轴于C ，D 两点．点P 从点C 出发，沿射线CD 方向匀速运动，速度为每秒Q 从原点O 出发，沿x 轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M 是直线PQ 与抛物线的一个交点，当运动到t 秒时，QM =2PM ，直接写出t 的值．图1 图22.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(0，2)，点E为线段AB上的一动点（点E不与点A，B重合）．以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线2=++经过A，C两点．y mx n（1）求此抛物线的函数表达式．（2）当△EOF为等腰三角形时，求点E的坐标．（3）在（2）的条件下，设直线EF交x轴于点D，P为（1）中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的1)倍？若存在，请直接．．写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3. 抛物线y =ax 2-bx +4（a ≠0）过点A (1，-1)，B (5，-1)，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的函数表达式．（2）如图，⊙O 1过A ，B ，C 三点，AE 为直径，点M 为ACE ︵上的一动点（不与点A，E重合），连接MB，作BN⊥MB交ME的延长线于点N，求线段BN长度的最大值．图24.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A(6，0)，B(0，8)，点C的坐标为(0，m)，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴上的一动点，连接CD，DE，以CD，DE为边作□CDEF．（1）当0＜m＜8时，求CE的长（用含m的代数式表示）；（2）点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得□CDEF为矩形，请求出所有满足条件的m的值．参考答案1. （1）抛物线的解析式为21122y x x =-； （2）证明略；（3）t ．2. （1）抛物线的函数表达式为2y =+（2）E 1(2，E 2(-1，1)；（3）P 1(-1，，P 2(0，． 3. （1）抛物线的函数表达式为y =x 2-6x +4；（2）BN 长度的最大值为 4. （1）CE 的长为3(8)5m -； （2）满足条件的m 的值为0，6，9961. （3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C 在x 轴上．原抛物线上一点P 平移后的对应点为点Q ，如果OP =OQ ，求点Q 的坐标．2.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，1)，取一点B(b，0)，连接AB，作线段AB的垂直平分线l1，过点B作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P．（1）当b=3时，在图1中补全图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2）小慧多次取不同数值b，得出相应的点P，并把这些点用平滑的曲线连接起来发现：这些点P竟然在一条曲线L上．①设点P的坐标为(x，y)，试求y与x之间的关系式，并指出曲线L是哪种曲线；②设点P到x轴、y轴的距离分别是d1，d2，求d1+d2的范围，当d1+d2=8时，求点P的坐标；③将曲线L在直线y=2下方的部分沿直线y=2向上翻折，得到一条“W”形状的新曲线，若直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点，直接写出k的取值范围．图13. 已知二次函数y =ax 2-2ax +c （a ＜0）的最大值为4，且抛物线过点79()24-，，点P (t ，0)是x 轴上的动点，抛物线与y 轴交点为C ，顶点为D ． （1）求该二次函数的解析式及顶点D 的坐标； （2）求|PC -PD |的最大值及对应的点P 的坐标；（3）设Q (0，2t )是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数y =a |x |2-2a |x |+c 的图象只有一个公共点，请直接写出t 的取值．4. 如图，抛物线L ：1()(4)2y x t x t =---+（常数t ＞0）与x 轴从左到右的交点为B ，A ，过线段OA 的中点M 作MP ⊥x 轴，交双曲线ky x=（k ＞0，x ＞0）于点P ，且12OA MP ⋅=．（1）求k 的值；（2）当t =1时，求AB 的长，并求直线MP 与L 对称轴之间的距离； （3）把L 在直线MP 左侧部分的图象（含与直线MP 的交点）记为G ，用t 表示图象G 最高点的坐标；（4）设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足4≤x0≤6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围．参考答案1. （1）抛物线的表达式为y =-x 2+2x +2；点B (1，3)；（2）tan ∠AMB =12m -；（3）点Q 的坐标为3)2-，3)2-． 2. （1）作图略；（2）①21122y x =+，曲线L 是抛物线； ②d 1+d 2≥12；P 1(3，5)，P 2(-3，5)；③k 的取值范围为k <<． 3. （1）二次函数的解析式为y =-x 2+2x +3；顶点D (1，4)；（2）|PC -PD |P 坐标为(-3，0)； （3）32≤t ＜3，72t =或t ≤-3．4. （1）k 的值为6；（2）直线MP 与L 对称轴之间的距离为32； （3）图象G 最高点的坐标为2()28t t t -+，；（4）t 的取值范围为5≤t ≤87≤t ≤8+。

第7讲、拆解转化（讲义）1. 在平面直角坐标系中，直线314y x =-+交y 轴于点B ，交x 轴于点A ，抛物线212y x bx c =-++经过点B ，与直线314y x =-+交于点C (4，-2)． （1）求抛物线的解析式；（2）如图，横坐标为m 的点M 在直线BC 上方的抛物线上，过点M 作ME ∥y 轴交直线BC 于点E ，以ME 为直径的圆交直线BC 于另一点D ，当点E 在x 轴上时，求△DEM 的周长；（3）将△AOB 绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90°，得到△A 1O 1B 1，点A ，O ，B 的对应点分别是A 1，O 1，B 1，若△A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A 1的坐标．E2. 如图，已知抛物线211(1)444by x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴交于点A ，B （点A 在点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为________，点C的坐标为________（用含b的代数式表示）．（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．3.如图，已知二次函数y=x2+(1-m)x-m（其中0＜m＜1）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为对称轴l上一点，且PA=PC．（1）∠ABC的度数为________．（2）求点P的坐标（用含m的代数式表示）．（3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点O不重合），使得以Q，B，C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4.已知抛物线y=ax2+bx+c，其中2a=b＞0＞c，且a+b+c=0．（1）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根；（2）证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限；（3）直线y=x+m与x，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，D两点．设抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与x轴相交于点E．如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F，使得△ADF与△BOC相似，并且S△ADF=1 2 S△ADE ，求此时抛物线的表达式．【参考答案】1. （1）抛物线的解析式为215124y x x =-++； （2）△DEM 的周长为6415； （3）A 1的坐标为(712-，29288)或(34，3196)．2. （1）(b ，0)；(0，4b)； （2）存在，点P 的坐标为(165，165)；（3）存在，点Q 的坐标为(1，2或(1，4)． 3. （1）45°；（2）P (12m -，12m-)； （3）存在，点Q 的坐标为(25-，0)或(0，25)． 4. （1）x =1；（2）证明略；（3）此时抛物线的解析式为y =x 2+2x -3．。

第7讲、拆解转化（讲义）1. 在平面直角坐标系中，直线314y x =-+交y 轴于点B ，交x 轴于点A ，抛物线212y x bx c =-++经过点B ，与直线314y x =-+交于点C (4，-2)．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，横坐标为m 的点M 在直线BC 上方的抛物线上，过点M 作ME ∥y 轴交直线BC 于点E ，以ME 为直径的圆交直线BC 于另一点D ，当点E 在x 轴上时，求△DEM 的周长；（3）将△AOB 绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90°，得到△A 1O 1B 1，点A ，O ，B 的对应点分别是A 1，O 1，B 1，若△A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A 1的坐标．2. 如图，已知抛物线211(1)444by x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为________，点C 的坐标为________（用含b 的代数式表示）． （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明 理由．（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO ，△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．3.如图，已知二次函数y=x2+(1-m)x-m（其中0＜m＜1）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为对称轴l上一点，且PA=PC．（1）∠ABC的度数为________．（2）求点P的坐标（用含m的代数式表示）．（3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点O不重合），使得以Q，B，C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4.已知抛物线y=ax2+bx+c，其中2a=b＞0＞c，且a+b+c=0．（1）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根；（2）证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限；（3）直线y=x+m与x，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，D 两点．设抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与x轴相交于点E．如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F，使得△ADF与△BOC相似，并且S△ADF=12S△ADE，求此时抛物线的表达式．【参考答案】1. （1）抛物线的解析式为215124y x x =-++； （2）△DEM 的周长为6415； （3）A 1的坐标为(712-，29288)或(34，3196)． 2. （1）(b ，0)；(0，4b)； （2）存在，点P 的坐标为(165，165)； （3）存在，点Q 的坐标为(1，2)或(1，4)． 3. （1）45°；（2）P (12m -，12m-)； （3）存在，点Q 的坐标为(25-，0)或(0，25)．4.（1）x=1；（2）证明略；（3）此时抛物线的解析式为y=x2+2x-3．。

安徽省2018届初中毕业考试模拟冲刺数学卷(四)一、单选题1.如果a与2互为相反数,则下列结论正确的为( )A.a=B.a=-2C.a=D.a=22.小杰从正面（图示“主视方向”）观察左边的热水瓶时，得到的俯视图是（）A. B. C. D.3.计算(-2a2)·3a的结果是( )A. -6a2B. -6a3C. 12a3D. 6a34.下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（）A.x2＋1B.x2＋2x－1C.x2＋x＋1D.x2＋4x＋45.某商品原价为180元,连续两次提价x%后售价为300元,下列所列方程正确的是( )A. 180(1+x%)=300B. 180(1+x%)2=300C. 180(1-x%)=300D. 180(1-x%)2=3006.计算的结果是（）A. ﹣B.C.D.7.如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O（使该角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是（）A. 4B. 5C. 6D. 78.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转．若这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为（）A. B. C. D.9.如图，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动．设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（）A. B. C. D.10.如图,正方形A1A2A3A4,A5A6A7A8,A9A10A11A12,…(每个正方形从第三象限的顶点开始,按顺时针方向顺序,依次记为A1,A2,A3,A4;A5,A6,A7,A8;A9,A10,A11,A12;…)的中心均在坐标原点O,各边均与x轴或y轴平行,若它们的边长依次是2,4,6,…,则顶点A20的坐标为( )A. (5,5)B. (5,-5)C. (-5,5)D. (-5,-5)二、填空题11.若﹣2x m﹣n y2与3x4y2m+n是同类项，则m﹣3n的立方根是________．12.甲、乙、丙三位选手各10次射击成绩的平均数和方差，统计如下表：则射击成绩最稳定的选手是________．（填“甲”、“乙”、“丙”中的一个）13.如图,已知☉O是△ABC的外接圆,且∠C =70°,则∠OAB =________.14.如图,已知正方形ABCD的对角线交于O点,点E,F分别是AO,CO的中点,连接BE,BF,DE,DF,则下列结论中一定成立的是________.(把所有正确结论的序号都填在横线上)①BF=DE;②∠ABO=2∠ABE;③S△AED= S△ACD;④四边形BFDE是菱形.三、解答题15.计算:(m-n)(m+n)+(m+n)2-2m2.16.解方程:x2-4x-1=0.17.探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数,每边上相邻钉子间的距离为1),连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数:当n=2时,钉子板上所连不同线段的长度值只有1与，所以不同长度值的线段只有2种,若用S表示不同长度值的线段种数,则S=2;当n=3时,钉子板上所连不同线段的长度值只有1, ，2, ，2 五种,比n=2时增加了3种,即S=2+3=5. （1）观察图形,填写下表:（2）写出(n-1)×(n-1)和n×n的两个钉子板上,不同长度值的线段种数之间的关系;(用式子或语言表述均可). （3）对n×n的钉子板,写出用n表示S的代数式.18.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,其中每个小正方形的边长为1个单位长度.①将△ABC向右平移2个单位长度,作出平移后的△A1B1C1,并写出△A1B1C1各顶点的坐标.②若将△ABC绕点(-1,0)顺时针旋转180°后得到△A2B2C2,并写出△A2B2C2各顶点的坐标.③观察△A1B1C1和△A2B2C2,它们是否关于某点成中心对称?若是,请写出对称中心的坐标;若不是,说明理由.19.如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB=cos∠DAC．（1）求证：AC=BD（2）若sin∠C= ，BC=12，求AD的长．20.光明中学组织全校1000名学生进行了校园安全知识竞赛.为了解本次知识竞赛的成绩分布情况,从中随机抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为100分),并绘制了如图的频数分布表和频数分布直方图(不完整).请根据以上提供的信息,解答下列问题:（1）直接写出频数分布表中a,b,c的值,补全频数分布直方图.（2）上述学生成绩的中位数落在哪一组范围内?（3）学校将对成绩在90.5～100.5分之间的学生进行奖励,请估计全校1000名学生中约有多少名获奖?21.某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．已知王老师5月1日前不是该商店的会员．（1）若王老师不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？（2）请帮王老师算一算，所购买商品的价格在什么范围内时，采用方案一更合算？22.如图，直线y＝x＋2与抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)相交于点A( ，)，B(4，m)，点P是线段AB上异于A，B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．23.如图①,在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与A,B重合),分别连接ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”;如果这三个三角形都相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”.（1）【试题再现】如图②,在△ABC中,∠ACB=90°,直角顶点C在直线DE上,分别过点A,B作AD⊥DE于点D,BE⊥DE于点E.求证:△ADC∽△CEB.（2）【问题探究】在图①中,若∠A=∠B=∠DEC=40°,试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点,并说明理由.（3）【深入探究】如图③,AD∥BC,DP平分∠ADC,CP平分∠BCD交DP于点P,过点P作AB⊥AD于点A,交BC于点B.①请证明点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点.②若AD=3,BC=5,试求AB的长.安徽省2018届初中毕业考试模拟冲刺数学卷(四)一、单选题1.如果a与2互为相反数,则下列结论正确的为( )A.a=B.a=-2C.a=D.a=2【答案】B【考点】实数的相反数【解析】【解答】因为a与2互为相反数，所以a=-2.故答案为：B.【分析】只有符号不同的两个数互为相反数.2.小杰从正面（图示“主视方向”）观察左边的热水瓶时，得到的俯视图是（）A. B. C. D.【答案】C【考点】简单组合体的三视图【解析】【解答】从上面看可得到图形的左边是一个小矩形，右边是一个同心圆.故答案为：C.【分析】俯视图是从热水瓶正上方往下看.3.计算(-2a2)·3a的结果是( )A. -6a2B. -6a3C. 12a3D. 6a3【答案】B【考点】单项式乘单项式【解析】【解答】(-2a2)·3a=(-2×3)×(a2·a)=-6a3.故答案为：B.【分析】单项式与单项式相乘，掌握运算法则.4.下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（）A.x2＋1B.x2＋2x－1C.x2＋x＋1D.x2＋4x＋4【答案】D【考点】完全平方式【解析】【解答】完全平方公式是a2±2ab＋b2＝（a±b）2，根据完全平方公式可得选项A、B、C都不能用完全平方公式进行分解因式，选项D利用完全平方公式分解为x2＋4x＋4＝（x＋2）2．故答案为：D．【分析】完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2.只有D满足条件.5.某商品原价为180元,连续两次提价x%后售价为300元,下列所列方程正确的是( )A. 180(1+x%)=300B. 180(1+x%)2=300C. 180(1-x%)=300D.180(1-x%)2=300【答案】B【考点】一元二次方程的应用【解析】【解答】当商品第一次提价x%时,其售价为180+180x%=180(1+x%),当商品第二次提价x%后,其售价为180(1+x%)+180(1+x%)x%=180(1+x%)2.∴180(1+x%)2=300.故答案为：B.【分析】先表示第一次提价后商品的售价，再表示第二次提价后的售价，得到关于x%的方程.6.计算的结果是（）A. ﹣B.C.D.【答案】A【考点】分式的混合运算【解析】【解答】故答案为：A.【分析】先计算括号内的，把除法转化为乘法，通分、因式分解和约分.7.如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O（使该角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可，即让周角除以30的倍数就可以解决问题：360÷30=12；360÷60=6；360÷90=4；360÷120=3；360÷180=2，因此n的所有可能的值共五种情况.故答案为：B.【分析】根据圆内接正多边形的性质可知，只需让圆周角除以30°的倍数即可.8.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转．若这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【考点】列表法与树状图法【解析】【解答】列表得：∴一共有9种情况，两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的有一种，∴两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是．故答案为：C．【分析】列表将所有情况列出.9.如图，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动．设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（）A. B.C. D.【答案】B【考点】函数的图象【解析】【解答】解：（1）当点P沿O→C运动时，当点P在点O的位置时，y=90°，当点P在点C的位置时，∵OA=OC，∴y=45°，∴y由90°逐渐减小到45°；（2）当点P沿C→D运动时，根据圆周角定理，可得y≡90°÷2=45°；（3）当点P沿D→O运动时，当点P在点D的位置时，y=45°，当点P在点0的位置时，y=90°，∴y由45°逐渐增加到90°．故选：B．【分析】根据图示，分三种情况：（1）当点P沿O→C运动时；（2）当点P沿C→D运动时；（3）当点P沿D→O运动时；分别判断出y的取值情况，进而判断出y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是哪个即可．10.如图,正方形A1A2A3A4,A5A6A7A8,A9A10A11A12,…(每个正方形从第三象限的顶点开始,按顺时针方向顺序,依次记为A1,A2,A3,A4;A5,A6,A7,A8;A9,A10,A11,A12;…)的中心均在坐标原点O,各边均与x轴或y轴平行,若它们的边长依次是2,4,6,…,则顶点A20的坐标为( )A. (5,5)B. (5,-5)C. (-5,5)D. (-5,-5)【答案】B【考点】探索图形规律【解析】【解答】∵=5,∴A20在第四象限,∵A4所在正方形的边长为2,A4的坐标为(1,-1),同理可得:A8的坐标为(2,-2),A12的坐标为(3,-3),…,∴A20的坐标为(5,-5).故答案为：B.【分析】探究规律、发现规律、利用规律解决问题，首先确定象限，再有边的关系确定坐标.二、填空题11.若﹣2x m﹣n y2与3x4y2m+n是同类项，则m﹣3n的立方根是________．【答案】2【考点】同类项【解析】【解答】解：∵﹣2x m﹣n y2与3x4y2m+n是同类项，∴，解得：m=2，n=－2，∴=2．故答案为：2．【分析】是同类项则系数相同，列出方程组，求出m、n.12.甲、乙、丙三位选手各10次射击成绩的平均数和方差，统计如下表：则射击成绩最稳定的选手是________．（填“甲”、“乙”、“丙”中的一个）【答案】乙【考点】方差【解析】【解答】解：因为0.015＜0.026＜0.032，即乙的方差＜甲的方差＜丙的方差，因此射击成绩最稳定的选手是乙．故答案为：乙．【分析】从统计表可以看出甲、乙、丙三位选手的平均数相同，进一步比较方差，方差小的数据的比较稳定，由此解决问题即可．13.如图,已知☉O是△ABC的外接圆,且∠C =70°,则∠OAB =________.【答案】20°【考点】圆周角定理【解析】【解答】∵☉O是△ABC的外接圆,∴∠C= ∠AOB(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半).又∵∠C=70°,∴∠AOB=140°.∴∠OAB=(180°-140°)÷2=20°.故答案为：20°.【分析】同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半可以求出∠AOB ，OA和OB相等是半径，在三角形OAB中求∠OAB就很容易.14.如图,已知正方形ABCD的对角线交于O点,点E,F分别是AO,CO的中点,连接BE,BF,DE,DF,则下列结论中一定成立的是________.(把所有正确结论的序号都填在横线上)①BF=DE;②∠ABO=2∠ABE;③S△AED= S△ACD;④四边形BFDE是菱形.【答案】①③④【考点】全等三角形的判定与性质，菱形的判定，正方形的性质【解析】【解答】∵点E,F分别是AO,CO的中点,∴OE=OF,∵四边形ABCD是正方形,∴OD=OB,AC⊥BD,∴四边形BEDF是平行四边形,∴BF=DE,故①正确;∵四边形BEDF是平行四边形,AC⊥BD,∴四边形BFDE是菱形,故④正确;∵△AED的一边AE是△ACD的边AC的,且此边的高相等,∴S△AED= S△ACD,故③正确,∵AB>BO,BE不垂直于AO,AE∶EO不是∶1,∴BE不是∠ABO的平分线,∴∠ABO≠2∠ABE,故②没有足够的条件证明成立.故答案为：①③④.【分析】熟记各种特殊的四边形的判定方法和性质，根据正方形的性质、平行四边形的判定和性质以及菱形的判定方法逐项分析.三、解答题15.计算:(m-n)(m+n)+(m+n)2-2m2.【答案】解：(m-n)(m+n)+(m+n)2-2m2=m2-n2+m2+2mn+n2-2m2=2mn.【考点】利用整式的混合运算化简求值【解析】【分析】括号打开，合并同类项，化简.16.解方程:x2-4x-1=0.【答案】解：∵x2-4x-1=0,∴x2-4x=1,∴x2-4x+4=1+4,∴(x-2)2=5,∴x=2± ,∴x1=2+ ,x2=2- .【考点】配方法解一元二次方程【解析】【分析】把常数项移动的另一边，方程两边都加上一次项系数一半的平方，配方.17.探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数,每边上相邻钉子间的距离为1),连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数:当n=2时,钉子板上所连不同线段的长度值只有1与，所以不同长度值的线段只有2种,若用S表示不同长度值的线段种数,则S=2;当n=3时,钉子板上所连不同线段的长度值只有1, ，2, ，2 五种,比n=2时增加了3种,即S=2+3=5. （1）观察图形,填写下表:（2）写出(n-1)×(n-1)和n×n的两个钉子板上,不同长度值的线段种数之间的关系;(用式子或语言表述均可). （3）对n×n的钉子板,写出用n表示S的代数式.【答案】（1）4；2+3+4+5(或14)（2）解：①n×n的钉子板比(n-1)×(n-1)的钉子板中不同长度的线段种数增加了n种或②分别用a,b表示n×n与(n-1)×(n-1)的钉子板中不同长度的线段种数,则a=b+n.（3）解：S=2+3+4+…+n= ×(n-1)=【考点】探索数与式的规律【解析】【解答】（1）钉子数为2×2时，共有不同的线段2条；钉子数为3×3时，共有不同的线段2+3条；钉子数为4×4时，共有不同的线段2+3+4条；那么钉子数为5×5时，共有不同的线段2+3+4+5条．【分析】观察、分析已知数据，钉子数为2×2时，不同的线段2条；钉子数为3×3时，不同的线段2+3条；钉子数为4×4时，不同的线段2+3+4条；那么钉子数为5×5时，共有不同的线段2+3+4+5条.钉子数为（n-1）×（n-1）时，共有不同的线段2+3+4+5+…+（n-1）条.钉子数为n×n时，探寻其规律共有不同的线段2+3+4+5+…+（n-1）+n条相减后不同长度的线段种数增加n种.钉子数为n×n时，共有不同的线段应从2开始加，一直加到n.18.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,其中每个小正方形的边长为1个单位长度.①将△ABC向右平移2个单位长度,作出平移后的△A1B1C1,并写出△A1B1C1各顶点的坐标.②若将△ABC绕点(-1,0)顺时针旋转180°后得到△A2B2C2,并写出△A2B2C2各顶点的坐标.③观察△A1B1C1和△A2B2C2,它们是否关于某点成中心对称?若是,请写出对称中心的坐标;若不是,说明理由. 【答案】如图，①A1(0,4),B1(-2,2),C1(-1,1)②A2(0,-4),B2(2,-2),C2(1,-1)③△A1B1C1与△A2B2C2关于点(0,0)成中心对称.【考点】作图﹣平移【解析】【分析】将△ABC的三个顶点分别向右平移2个单位长度，连接各点，可以得到△A1B1C1，利用网格即可找到三个顶点的坐标.以(-1,0)为原点顺时针旋转180°后画出△A2B2C2，写出△A2B2C2各顶点的坐标.中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.19.如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB=cos∠DAC．（1）求证：AC=BD（2）若sin∠C= ，BC=12，求AD的长．【答案】（1）证明：∵AD是BC上的高，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∠ADC=90°．在Rt△ABD和Rt△ADC 中，∵tanB= ，cos∠DAC= ，tanB=cos∠DAC，∴= ，∴AC=BD（2）解：在Rt△ADC中，sinC= ，故可设AD=12k，AC=13k，∴CD= =5k，∵BC=BD+CD，AC=BD，∴BC=13k+5k=18k．由已知BC=12，∴18k=12，∴k= ，∴AD=12k=12× =8．【考点】解直角三角形【解析】【分析】由于tanB=cos∠DAC，将tanB和cos∠DAC用概念展开，表示成边的比值，即可得到AC=BD.设AD=12k，AC=13k，用含有k的式子表示BC，求出k，得到AD.20.光明中学组织全校1000名学生进行了校园安全知识竞赛.为了解本次知识竞赛的成绩分布情况,从中随机抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为100分),并绘制了如图的频数分布表和频数分布直方图(不完整).请根据以上提供的信息,解答下列问题:（1）直接写出频数分布表中a,b,c的值,补全频数分布直方图.（2）上述学生成绩的中位数落在哪一组范围内?（3）学校将对成绩在90.5～100.5分之间的学生进行奖励,请估计全校1000名学生中约有多少名获奖? 【答案】（1）解：由频数分布表第四组数据可得:c= =200,所以a==0.05,b=200(1-0.05-0.2-0.26-0.37)=24,第三组中的频数等于200×0.2=40.补全频数分布直方图如下:（2）解：80.5～90.5（3）解：由样本中频数90.5～100.5的频率0.37可估计全校学生成绩在90.5～100.5之间的频率为0.37,所以1000×0.37=370(人).答:估计全校1000名学生中约有370人获奖【考点】频数（率）分布表，频数（率）分布直方图，中位数，用样本估计总体【解析】【分析】统计图表的识别，求出抽取的学生人数，然后分别求出a，b，c，补全频数分布直方图.由于知道抽取的人数，根据中位数的定义即可求出中位数落在哪一组.根据表格数据求出90.5～100.5分之间的学生频率，利用样本估计总体求出全校1000名学生中约有多少名获奖.21.某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．已知王老师5月1日前不是该商店的会员．（1）若王老师不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？（2）请帮王老师算一算，所购买商品的价格在什么范围内时，采用方案一更合算？【答案】（1）解：120×0.95=114（元），若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付114元（2）解：设所付钱为y元，购买商品价格为x元，则按方案一可得到一次函数的关系式：y=0.8x+168，则按方案二可得到一次函数的关系式：y=0.95x，如果方案一更合算，那么可得到：0.95x＞0.8x+168，解得：x＞1120，∴所购买商品的价格在1120元以上时，采用方案一更合算．【考点】一元一次不等式组的应用【解析】【分析】根据商品的价格和折扣计算120×0.95.两种不同方案分别求出商品的原价与实际所付价钱的一次函数关系式，方案一更合算，那么可得到一个不等式，解此不等式可得所购买商品的价格范围. 22.如图，直线y＝x＋2与抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)相交于点A( ，)，B(4，m)，点P是线段AB上异于A，B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∵B(4，m)在直线y＝x＋2上，∴m＝4＋2＝6，∴B(4，6)，∵A( ，)，B(4，6)在抛物线y＝ax2＋bx＋6上，∴解得∴抛物线的解析式为y＝2x2－8x＋6（2）解：设动点P的坐标为(n，n＋2)，则C点的坐标为(n，2n2－8n＋6)，∴PC＝(n＋2)－(2n2－8n＋6)＝－2n2＋9n－4＝－2(n－)2＋，∵PC＞0，∴当n＝时，线段PC最大为【考点】待定系数法求二次函数解析式【解析】【分析】B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线上的A、B两点坐标，可代入抛物线的解析式中，联立方程组求得待定系数的值.PC的长是直线AB与抛物线函数值的差，设出P点横坐标n，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质求出PC的最大值.23.如图①,在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与A,B重合),分别连接ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”;如果这三个三角形都相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”.（1）【试题再现】如图②,在△ABC中,∠ACB=90°,直角顶点C在直线DE上,分别过点A,B作AD⊥DE于点D,BE⊥DE于点E.求证:△ADC∽△CEB.（2）【问题探究】在图①中,若∠A=∠B=∠DEC=40°,试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点,并说明理由.（3）【深入探究】如图③,AD∥BC,DP平分∠ADC,CP平分∠BCD交DP于点P,过点P作AB⊥AD于点A,交BC于点B.①请证明点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点.②若AD=3,BC=5,试求AB的长.【答案】（1）解：∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,∵AD⊥DE,∴∠ACD+∠CAD=90°,∴∠BCE=∠CAD,∵∠ADC=∠CEB=90°,∴△ADC∽△CEB.（2）解：点E是四边形ABCD的边AB上的相似点.理由如下:∵∠DEC=40°,∴∠DEA+∠CEB=140°.∵∠A=40°,∴∠ADE+∠AED=140°,∴∠ADE=∠CEB,又∵∠A=∠B,∴△ADE∽△BEC,∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点（3）①解：∵AD∥BC,∴∠ADC+∠BCD=180°,∵DP平分∠ADC,CP平分∠BCD,∴∠CDP+∠DCP= (∠ADC+∠BCD)=90°,∵DA⊥AB,DA∥BC,∴CB⊥AB,∴∠DPC=∠A=∠B=90°,∵∠ADP=∠CDP,∴△ADP∽△PDC,同理△BPC∽△PDC,∴△ADP∽△PDC∽△BPC,即点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点.②解：过点P作PE⊥DC于点E,过点D作DF⊥BC于点F,则四边形ABFD是矩形,∴DF=AB,在△ADP与△EDP中,∴△ADP≌△EDP,∴AD=DE,同理△CBP≌△CEP,∴BC=EC,∴DC=AD+BC=8.在Rt△CDF中,CF=BC-BF=BC-AD=5-3=2,由勾股定理,得DF= =2 ,∴AB=2 .【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【分析】要证明△ADC∽△CEB，需要利用直角倒角得到∠BCE=∠CAD.证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，证明有一组三角形相似就行，证明△ADE∽△BEC，理解全相似点的定义.证明△ADP∽△PDC，同理可得△BPC∽△PDC，那么就有这样的关系△ADP∽△PDC∽△BPC，点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点.过点P作PE⊥DC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，首先得到DF=AB，然后证明△ADP≌△EDP，△CBP≌△CEP，可得DC=AD+BC ，CF=BC-BF=BC-AD，可由勾股定理求出DF=AB的长.。