高三上期末数学分类汇编(35)选修4系列(含答案)

三、坐标系与参数方程（一）试题细目表1.（南通泰州期末·21C ）在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与曲线211x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.【答案】曲线211x t y t =-⎧⎨=-⎩的普通方程为22y x x =+.联立2,2,y x y x x =⎧⎨=+⎩解得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩ 所以(0,0)A ，(1,1)B --， 所以AB ==2.（无锡期末·21C ）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是122x t y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆C 的极坐标方程是4sin ρθ=，且直线l 与圆C 相交，求实数m 的取值范围.【答案】解：由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，所以224x y x +=， 即圆C 的方程为22(2)4x y +-=，又由1232x t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消t ，得30x y m -+=，由直线l 与圆C 相交， 所以|2|22m -<，即26m -<<.3.（扬州期末·21C ）在直角坐标系Oy 中，直线l 的参数方程是：（是参数，是常数）。

以为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。

(1) 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； (2) 若直线与曲线相交于两点，且，求实数的值。

【答案】解：（1）因为直线l 的参数方程是222x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 是参数)， 所以直线l 的普通方程为0x y m --=． -------------------2分因为曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=，故26cos ρρθ=，所以226x y x +=所以曲线C 的直角坐标方程是22(3)9x y -+= -------------------5分(2)设圆心到直线l 的距离为d ，则223122d =-=，又322m d -==， ------------------8分所以34m -=，即1m =-或7m = -------------------10分4.（常州期末·21C ）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C 的参数方程为2cos 1,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（为参数），直线l 的极坐标方程为πsin()4ρθ+l 与曲线C 交于M ，N 两点，求MN 的长．【答案】解：曲线22:(1)4C x y -+=，直线:20l x y +-=，圆心(1,0)C 到直线l 的距离为d ==所以弦长MN ==5.（南京盐城期末·21C ）.在极坐标系中，直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=(0r >)相切，求的值.【答案】解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，由cos()13πρθ+=，得(cos cossin sin )133ππρθθ-=，得直线的直角坐标方程为20x --=．………………5分 曲线r ρ=，即圆222x y r +=，所以圆心到直线的距离为1d ==．因为直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=（0r >）相切，所以r d =，即1r =.……………10分6.（苏州期末·21C ）在平面直角坐标系Oy 中，直线l 的参数方程为1,3x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以原点O 为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos =sin θρθ，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．【答案】解由曲线C 的极坐标方程是22cos =sin θρθ，得ρ2sin 2θ=2ρcos θ． 所以曲线C 的直角坐标方程是y 2=2． ··················································· 2分由直线l 的参数方程1,3x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，得40x y --=，所以直线l 的普通方程为40x y --=． ················································ 4分 将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程y 2=2，得2870t t -+=， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，所以12|AB t t -=， ············ 7分因为原点到直线40x y --=的距离d ==所以△AOB的面积是111222S AB d =⋅⋅=⨯⨯=． ···················· 10分7.（苏北四市期末·21C ）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线12:12x tl y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与圆2:2cos 2sin 0C ρρθρθ+-=的位置关系． 【答案】把直线方程12:12x t l y t=+⎧⎨=-⎩化为普通方程为2x y +=． ……………………………3分 将圆:C 22cos 2sin 0ρρθρθ+-=化为普通方程为22220x x y y ++-=，即22(1)(1)2x y ++-=． ………………………………………………………………6分圆心C 到直线l的距离d =，所以直线l 与圆C 相切.…………………………………………………………………10分8.（镇江市期末·21C ）在平面直角坐标系Oy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞b ＞0，ϕ为参数），且曲线C 上的点M （2）对应的参数ϕ＝3π，以O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

数 学N 单元 选修4系列N1 选修4-1 几何证明选讲21．A.N1 选修4­1：几何证明选讲如图1­7，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，D 为垂足，E 是BC 的中点，求证：∠EDC ＝∠ABD .图1­721．A.证明：在△ADB 和△ABC 中， 因为∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，∠A 为公共角， 所以△ADB ∽△ABC ，于是∠ABD ＝∠C . 在Rt △BDC 中，因为E 是BC 的中点， 所以ED ＝EC ，从而∠EDC ＝∠C ， 所以∠EDC ＝∠ABD .22．N1 选修4­1：几何证明选讲如图1­6所示，△OAB 是等腰三角形，∠AOB ＝120°.以O 为圆心，12OA 为半径作圆．(1)证明：直线AB 与⊙O 相切；(2)点C ，D 在⊙O 上，且A ，B ，C ，D 四点共圆，证明：AB ∥CD .图1­622．证明：(1)设E 是AB 的中点，连接OE . 因为OA ＝OB ，∠AOB ＝120°， 所以OE ⊥AB ，∠AOE ＝60°.在Rt △AOE 中，OE ＝12AO ，即O 到直线AB 的距离等于⊙O 的半径，所以直线AB 与⊙O相切．(2)因为OA＝2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设O′是A，B，C，D 四点所在圆的圆心，作直线OO′.由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O′在线段AB的垂直平分线上，所以OO′⊥AB.同理可证，OO′⊥CD，所以AB∥CD.22．N1选修4­1：几何证明选讲如图1­6，⊙O中AB的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．(1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小；(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD.图1­622．解：(1)连接PB，BC，则∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD.因为AP＝BP，所以∠PBA＝∠PCB，又∠BPD＝∠BCD，所以∠BFD＝∠PCD.又∠PFB＋∠BFD＝180°，∠PFB＝2∠PCD，所以3∠PCD＝180°，因此∠PCD＝60°.(2)证明：因为∠PCD＝∠BFD，所以∠PCD＋∠EFD＝180°，由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上，又O也在CD的垂直平分线上，因此OG⊥CD.22．N1选修4­1：几何证明选讲如图1­5，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上(不与端点重合)，且DE＝DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.(1)证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；(2)若AB ＝1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．图1­522．解：(1)证明：因为DF ⊥EC ，所以△DEF ∽△CDF ，则有∠GDF ＝∠DEF ＝∠FCB ，DF CF ＝DE CD ＝DG CB， 所以△DGF ∽△CBF ，由此可得∠DGF ＝∠CBF ，因此∠CGF ＋∠CBF ＝180°，所以B ，C ，G ，F 四点共圆． (2)由B ，C ，G ，F 四点共圆，CG ⊥CB 知FG ⊥FB ，连接GB .由G 为Rt △DFC 斜边CD 的中点，知GF ＝GC ，故Rt △BCG ≌Rt △BFG ，因此，四边形BCGF 的面积S 是△GCB 面积S △GCB 的2倍，即S ＝2S △GCB ＝2×12×12×1＝12.N2 选修4-2 矩阵21．B ．N2 选修4­2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 2，求矩阵AB .21．B ．解：设B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则B －1B ＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a －12c b －12d 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1，故⎩⎪⎨⎪⎧a －12c ＝1，b －12d ＝0，2c ＝0，2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14，c ＝0，d ＝12，所以B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 140 12.因此，AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 140 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 540 －1.N3 选修4-4 参数与参数方程16．N3 下列极坐标方程中，对应的曲线为图1­3的是( )图1­3A ．ρ＝6＋5cos θB ．ρ＝6＋5sin θC ．ρ＝6－5cos θD ．ρ＝6－5sin θ16．D 依次取θ＝0，π2，π，3π2，结合图形可知只有ρ＝6－5sin θ满足题意．11．N3 在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则|AB |＝________．11．2 将极坐标方程转化为直角坐标方程进行运算．由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得直线的直角坐标方程为x －3y －1＝0，因为ρ＝2cos θ，ρ2(sin 2θ＋cos 2θ)＝2ρcos θ，所以圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心(1，0)在直线上，因此AB 为圆的直径，所以|AB |＝2.21．C ．N3 选修4­4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB的长．21．C ．解：椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1.将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得1＋12t 2＋32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.23．N3 选修4­4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .23．解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知得tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上， 所以a ＝1.23．N3 选修4­4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ＋π4＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 23．解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin(α＋π3)－2， 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为(32，12).23．N3 选修4­4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．23．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入圆C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11，所以|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44. 由|AB |＝10得cos 2α＝38，则tan α＝±153，所以l 的斜率为153或－153.N4 选修4-5 不等式选讲 21．D ．N4 选修4­5：不等式选讲设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a3，求证：|2x ＋y －4|<a .21．D ．证明：因为|x －1|<a 3，|y －2|<a3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|<2×a 3＋a3＝a .24．N4 选修4­5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)在图1­7中画出y ＝f (x )的图像； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．图1­724．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32， 则y ＝f (x )的图像如图所示．(2)由f (x )的表达式及图像得，当f (x )＝1时，x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >5.所以|f (x )|>1的解集为{x ⎪⎪⎪x <13或1<x <3或x >5}.24．N4 选修4­5：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|，当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 24．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6，得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解． 当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是 选修4­5：不等式选讲已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.24．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2得－2x ＜2，解得x ＞－1；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2；当x ≥12时，由f (x )＜2得2x ＜2，解得x ＜1.所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)＜0，因此|a ＋b |＜|1＋ab |.N5 选修4-7 优选法与试验设计。

高中数学选修四习题及答案高中数学选修四习题及答案高中数学选修四是一门重要的课程，它不仅对学生的数学素养有着较高的要求，而且对培养学生的逻辑思维和解决问题的能力也起到了重要的作用。

下面将为大家分享一些高中数学选修四的习题及其答案，希望能够帮助到大家。

一、函数与导数1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1，求其导函数f'(x)。

答案：f'(x)=3x^2-6x+22.已知函数f(x)在区间[-1,1]上连续，且在(-1,1)内可导，若f(-1)=1，f(1)=2，求证：存在ξ∈(-1,1)，使得f'(ξ)=1。

答案：根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈(-1,1)，使得f'(ξ)=(f(1)-f(-1))/(1-(-1))=1。

二、数列与级数1.已知等差数列{an}的公差d=2，前n项和Sn=3n^2-n，求第n项an的通项公式。

答案：由Sn=3n^2-n可得an=3n^2-n-(3(n-1)^2-(n-1))=6n-4。

2.已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=0.5，求前n项和Sn的表达式。

答案：由等比数列的前n项和公式可得Sn=b1(1-q^n)/(1-q)=2(1-0.5^n)/(1-0.5)=4(1-0.5^n)。

三、概率与统计1.设事件A、B相互独立，且P(A)=0.4，P(B)=0.6，求P(A∪B)。

答案：由事件A、B相互独立可得P(A∩B)=P(A)P(B)=0.4×0.6=0.24，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.4+0.6-0.24=0.76。

2.某班级有60名学生，其中30人喜欢篮球，20人喜欢足球，10人既喜欢篮球又喜欢足球，随机选择一名学生，求该学生不喜欢篮球也不喜欢足球的概率。

答案：设事件A表示喜欢篮球，事件B表示喜欢足球，根据题意可得P(A)=30/60=0.5，P(B)=20/60=1/3，P(A∩B)=10/60=1/6，所以所求概率为P(A'∩B')=1-P(A∪B)=1-(P(A)+P(B)-P(A∩B))=1-(0.5+1/3-1/6)=1/6。

2023-2024学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |log 2x ＜1}，N ＝{x |x ＞1}，则集合{x |0＜x ≤1}＝（ ） A ．M ∪NB ．M ∩NC ．（∁U M ）∩ND ．（∁U N ）∩M2．设i 为虚数单位，复数z 满足（3﹣i ）z ＝4+2i ，则|z |＝（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．43．2023年9月28日，沪宁沿江高速铁路开通运营，形成上海至南京间的第二条城际高速铁路，沪宁沿江高速铁路共设8座车站（如图）．为体验高铁速度，游览各地风光，甲乙两人准备同时从南京南站出发，甲随机选择金坛、武进、江阴、张家港中的一站下车，乙随机选择金坛、武进、江阴、张家港、常熟中的一站下车．已知两人不在同一站下车，则甲比乙晚下车的概率为（ ）A ．320B ．14C ．120D ．384．已知函数f （x ）＝cos （ωx +π3）+1（ω＞0）的最小正周期为π，则f （x ）在区间[0，π2]上的最大值为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．25．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =π2，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，以下底BC 所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（ ） A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π6．在平面直角坐标系xOy 中，已知A 是圆C 1：x 2+（y ﹣3）2＝1上的一点，B ，C 是圆C 2：（x ﹣4）2+y 2＝4上的两点，则∠BAC 的最大值为（ ） A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π37．已知正实数a ，b ，c 满足2a+1a=2a ﹣a ，3b+1b =3b ﹣b ，4c+1c=4c ﹣c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜a ＜c8．若sin π10是函数f （x ）＝ax 3﹣bx +1（a ，b ∈N *）的一个零点，则f （1）＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

OAE BDFCOA E BDFC选修4-11、（常州市2013届高三期末） A ．选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点，OC ⊥AB ， 过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连结CF 交 AB 于点E .求证：2DE DB DA =⋅.A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结OF ．因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD =90°． 所以∠OFC +∠CFD =90°．因为OC =OF ，所以∠OCF =∠OFC ． 因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF +∠CEO =90°． 所以∠CFD =∠CEO =∠DEF ，所以DF =DE ． 因为DF 是⊙O 的切线,所以DF 2=DB ·DA ． 所以DE 2=DB ·DA ．2、（连云港市2013届高三期末）答案：．A.证明:设F 为AD 延长线上一点， ∵A 、B 、C 、D 四点共圆，AB EFDCO(第21A 题)∴∠ABC =∠CDF ， …………3分又AB =AC ， ∴∠ABC =∠ACB ， ……………………5分 且∠ADB =∠ACB ， ∴∠ADB =∠CDF ， …………………7分 对顶角∠EDF =∠ADB ， 故∠EDF =∠CDF ，即AD 的延长线平分∠CDF . ……………………… 10分3、（南京市、盐城市2013届高三期末）A.（选修4—1：几何证明选讲） 如图，圆O 的直径8=AB , C 为圆周上一点, 4=BC , 过C 作圆的切线, 过A 作直线的垂线AD , D 为垂足, AD 与圆O 交于点E , 求线段AE 的长．A 、解：连结AC BE OC ,,，则AE BE ⊥．∵4=BC ,∴4===BC OC OB , 即OBC ∆为正三角形, ∴ 60=∠=∠COB CBO ……………………………………………4分 又直线切⊙O 与C ， ∴60DCA CBO ，∵AD l ， ∴906030DAC………………………6分而3021=∠=∠=∠COB ACO OAC ,∴60=∠EAB ………8分在Rt △BAE 中，∠EBA=30°，∴421==AB AE ……………10分4、（南通市2013届高三期末）A ．选修4－1：几何证明选讲如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，F是BC 的中点．求证： （1）AB AC AE AD ⋅=⋅； （2）FAE FAD ∠=∠．证明：（1）连BE ，则E C ∠=∠，又Rt ABE ADC ∠=∠=∠，所以△ABE ∽△ADC ，所以AB AE AD AC=．∴AB AC AE AD ⋅=⋅． ………………………………………………………5分 （2）连OF ，∵F 是BC 的中点，∴BAF CAF ∠=∠．由(1)，得BAE CAD ∠=∠，∴FAE FAD ∠=∠． ……………………………10分5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）A[选修4—1 ：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为,B 直线ADE ,CGE CFD ,都是⊙O 的割线，已知.AB AC =求证：AC FG //答案：A ．因为AB 为切线，AE 为割线，所以2AB AD AE =⋅，又因为AC AB =，所以2AD AE AC ⋅=．……………………………………………4分所以AD ACAC AE=，又因为EAC DAC ∠=∠，所以ADC △∽ACE △， 所以ADC ACE ∠=∠，又因为ADC EGF ∠=∠，所以EGF ACE ∠=∠，所以GF AC ．………………………………………………………………………10分6、（苏州市2013届高三期末）A ．（选修4－1 几何证明选讲） （本小题满分10分）如图，设直线切⊙O 于点P ，AB 为⊙O的任一条不与垂直的直径，AC l ⊥，BD l ⊥，垂足分别为点C ，D ．求证：PC PD =，且AP 平分CAB ∠．答案：第21—A 题图（第21-A 题）A B · l P DC O7、（泰州市2013届高三期末）A.（本小题满分10分，几何证明选讲）如图⊙O 的两弦AB ，CD 所在直线交于圆外一点P .(1)若PC =2，CD =1，点A 为PB 的中点，求弦AB 的长；(2)若PO 平分∠BPD ，求证：PB =PD .A.解（1）∵PA ·PB =PC ·PD ,AB =CD ，∴AB ·2AB =2×3,∴AB =3……………….5分 (2)作OM ⊥CD 于 M ,ON ⊥AB 于N ，∵PO 平分∠BPD ，∴OM =ON ∴AB =CD ，∴点M 平分弦CD ,点N 平分弦AB ，………………………………………………7分 又∵∆PON ≌∆POM ，∴PN =PM ，∴PB =PD ………………………………………………………..…………………….10分8、（无锡市2013届高三期末）A ．选修4－1:几何证明选讲（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交圆O 于点D ，DE ⊥AC 且交AC的延长线于点E ．求证：DE 是圆O 的切线．答案：9、（镇江市2013届高三期末）PA B D CO•A ．（选修4－1 几何证明选讲） 如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE =AC ， DE 交AB 于点F ．求证：△PDF ∽△POC ．A ．证明：∵AE =AC ，∠CDE ＝∠AOC ，……2分又∠CDE ＝∠P +∠PFD ，∠AOC ＝∠P +∠OCP ，……6分从而∠PFD ＝∠OCP ．……7分 在△PDF 与△POC 中， ∠P ＝∠P ，∠PFD ＝∠OCP ， 故△PDF ∽△POC ．……10分（第21-A 题）A BPF OE DC·。

CDEABP2021年高考数学试题分类汇编 N 单元 选修4系列（含解析）目录N 单元 选修4系列1N1 选修4-1 几何证明选讲 1 N2 选修4-2 矩阵 1N3 选修4-4 参数与参数方程 1 N4 选修4-5 不等式选讲 1 N5 选修4-7 优选法与试验设计 1N1 选修4-1 几何证明选讲【文·宁夏银川一中高二期末·xx 】22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．如图，在正ΔABC 中，点D 、E 分别在边BC, AC 上,且,，AD ，BE 相交于点P.求证：(I) 四点P 、D 、C 、E 共 圆； (II) AP ⊥CP 。

【知识点】【答案解析】解析：证明：（I ）在中，由知： ≌，即.所以四点共圆； （II ）如图，连结.在中，,,由正弦定理知由四点共圆知，,所以【思路点拨】证明四点共圆一般利用定理：若四边形对角互补，则四点共圆进行证明，再利用同弧所对的圆周角相等证明第二问.【文·广东惠州一中高三一调·xx 】15．（几何证明选讲选做题）如图，是圆的直径，是圆的切线，切点为，平行于弦， 若，，则 . 【知识点】与圆有关的比例线段． 【答案解析】4 解析 ：解：由于，，而，因此，，，，，，，，故， 由于切圆于点，易知， 由勾股定理可得，因此.【思路点拨】利用圆的切线的性质和勾股定理可得BC ，再利用平行线的性质和全等三角形的性质可得CD=CB ．即可得出．【理·重庆一中高二期末·xx 】14 .如图，过点P 作圆O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点，连接AE,BE ，∠APE 的平分线分别与 AE 、BE 相交于C 、D ，若∠AEB=,则∠PCE等于 .【知识点】弦切角的性质和应用. 【答案解析】解析 ：解：PE 是圆的切线，∴∠PEB=∠PAC ，∵PC 是∠APE 的平分线， ∴∠EPC=∠APC ，根据三角形的外角与内角关系有： ∠EDC=∠PEB+∠EPC ；∠ECD=∠PAC+∠APC ，∴∠EDC=∠ECD ，∴△EDC 为等腰三角形，又∠AEB=40°，∴∠EDC=∠ECD=75°，即∠PCE=70°， 故答案为：70°．【思路点拨】利用弦切角，以及三角形的外角与内角的关系，结合图形即可解决．【理·吉林长春十一中高二期末·xx 】22.(本小题满分10分）选修4-1：平面几何选讲 如图所示，是⊙直径，弦的延长线交于，垂直于的延长 线于.求证：(1)； （2）.【知识点】与圆有关的比例线段;四点共圆的证明方法;三角形相似.P E B A DCODCB A【答案解析】(1) 见解析（2）见解析解析：解：（1）连AD，∵AB是圆O的直径，∴则A、D、E、F四点共圆，∴ 5分（2）由（1）知,又≌∴即∴()2ABAFBFABAFABBFBAACAEBDBE=-⋅=⋅-⋅=⋅-⋅即 5分【思路点拨】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，，再利用三角形≌得到比例式，最后利用线段间的关系即求得．N2 选修4-2 矩阵N3 选修4-4 参数与参数方程【浙江效实中学高一期末·xx】19．已知曲线，．（1）化的方程为普通方程；（2）若上的点对应的参数为为上的动点，求中点到直线距离的最小值．【知识点】参数方程、点到直线的距离【答案解析】（1），；（2）.解析：解：(1)由曲线得，平方相加得，由得，平方相加得；(2)由已知得P点坐标为(－4，4)，设Q点坐标为(8cosθ，3sinθ)，则M点坐标为，又直线的普通方程为x－2y－7=0，所以M到直线的距离为==≥=【思路点拨】参数方程化普通方程常见的方法有代入消参和利用正弦和余弦平方和等于1消元，当直接利用参数方程不方便时可考虑化成普通方程解答.【文·宁夏银川一中高二期末·xx】23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．已知直线为参数), 曲线（为参数）.(I)设与相交于两点,求；(II)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.【知识点】直线与圆、椭圆的参数方程、点到直线距离公式【答案解析】C解析：解：（I）的普通方程为的普通方程为联立方程组解得与的交点为,,则.（II）的参数方程为为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是]2)4sin(2[432|3sin23cos23|+-=--=πθθθd,由此当时,取得最小值,且最小值为.【思路点拨】一般由参数方程研究直线与曲线位置关系不方便时，可化成普通方程进行解答，当遇到圆锥曲线上的点到直线的距离问题时可选择用圆锥曲线的参数方程设点求距离.【文·黑龙江哈六中高二期末考试·xx】21. （本小题满分12分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为（1）求的参数方程；（2）设点在上，在处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定的坐标。

数 学 N 单元 选修4系列N1 选修4-1 几何证明选讲15．N1 (几何证明选讲选做题)如图1­1，已知AB 是圆O 的直径，AB ＝4，EC 是圆O 的切线，切点为C ，BC ＝1.过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD ＝________.图1­115．8 连接OC ，因为AB 是圆O 的直径，则∠ACB ＝π2，而BC ∥OD ，故CP ⊥OD ，由题知CD 是圆O 的切线，∴CP 是Rt △ODC 斜边上的高，由射影定理知OC 2＝OP ·OD ，而OC ＝2，OP ＝12BC ＝12，∴OD ＝OC 2OP ＝ 4 12＝8.15．N1 (选修4­1：几何证明选讲)如图1­4，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BC ＝3PB ，则AB AC＝________．图1­415.12 由切割线定理知PA 2＝PB ·PC ，又BC ＝3PB ，所以PA ＝2PB .由弦切角定理知∠PAB ＝∠PCA ，又∠APC ＝∠BPA ，所以△PAB ∽△PCA ，所以AB AC ＝PB PA ＝12. 21．N1 A ．如图1­5，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D . 求证：△ABD ∽△AEB .图1­5N2B .已知x ，y∈R ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．N3C .已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．N4D.解不等式x ＋|2x ＋3|≥2.21．A.证明：因为AB ＝AC ，所以∠ABD ＝∠C . 又因为∠C ＝∠E ，所以∠ABD ＝∠E ， 又∠BAE 为公共角，所以△ABD ∽△AEB . B ．解：由已知，得Aα＝－2α，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－2，y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1120. 从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩阵A 的另一个特征值为1.C ．解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简得ρ2＋2ρsinθ－2ρcos θ－4＝0，则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6， 所以圆C 的半径为 6.D ．解：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，3x ＋3≥2， 解得x ≤－5或x ≥－13.综上，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－5或x ≥－13.22．N1 选修4­1：几何证明选讲如图1­8，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点．(1)证明：EF ∥BC ；(2)若AG 等于⊙O 的半径，且AE ＝MN ＝23，求四边形EBCF 的面积．图1­822．解：(1)证明：由于△ABC 是等腰三角形，AD ⊥BC ，所以AD 是∠CAB 的平分线．又因为⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，所以AE ＝AF ，故AD ⊥EF ，从而EF ∥BC .(2)由(1)知，AE ＝AF ，AD ⊥EF ，故AD 是EF 的垂直平分线．又EF 为⊙O 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE ⊥AE .由AG 等于⊙O 的半径得AO ＝2OE ，所以∠OAE ＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形．因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3，所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033.所以四边形EBCF 的面积为12×⎝⎛⎭⎪⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633. 22．N1 选修4­1：几何证明选讲如图1­7，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E . (1)若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； (2)若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小．图1­722．解：(1)证明：连接AE ，由已知得，AE ⊥BC ，AC ⊥AB . 在Rt △AEC 中，由已知得，DE ＝DC ，故∠DEC ＝∠DCE . 连接OE ，则∠OBE ＝∠OEB .又∠ACB ＋∠ABC ＝90°，所以∠DEC ＋∠OEB ＝90°，故∠OED ＝90°，即DE 是⊙O 的切线．(2)设CE ＝1，AE ＝x ，由已知得AB ＝23，BE ＝12－x 2.由射影定理可得，AE 2＝CE ·BE ，所以x 2＝12－x 2，即x 4＋x 2－12＝0， 可得x ＝3，所以∠ACB ＝60°.N2 选修4-2 矩阵21．N1 A ．如图1­5，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D . 求证：△ABD ∽△AEB .图1­5N2B .已知x ，y∈R ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．N3C .已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．N4D.解不等式x ＋|2x ＋3|≥2.21．A.证明：因为AB ＝AC ，所以∠ABD ＝∠C . 又因为∠C ＝∠E ，所以∠ABD ＝∠E ， 又∠BAE 为公共角，所以△ABD ∽△AEB .B ．解：由已知，得Aα＝－2α，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－2，y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1120. 从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩阵A 的另一个特征值为1.C ．解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简得ρ2＋2ρsinθ－2ρcos θ－4＝0，则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6， 所以圆C 的半径为 6.D ．解：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，3x ＋3≥2， 解得x ≤－5或x ≥－13.综上，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－5或x ≥－13. 21．N2、N3、N4 (1)选修4­2：矩阵与变换 已知矩阵A ＝错误!)，B ＝错误!))． (i)求A 的逆矩阵A －1； (ii)求矩阵C ，使得AC ＝B. (2)选修4­4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t (t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m (m ∈R )．(i)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (ii)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值． (3)选修4­5：不等式选讲已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4. (i)求a ＋b ＋c 的值； (ii)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．21．解：(1)(i)因为|A |＝2×3－1×4＝2， 所以A －1＝错误!)) ＝错误!))．(ii)由AC ＝B 得(A －1A )C ＝A －1B ，故C ＝A －1B＝错误!))错误!))＝错误!,),－3)))．(2)(i)消去参数t ，得到圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9. 由2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m ，得 ρsin θ－ρcos θ－m ＝0.所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0. (ii)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2， 即|1－（－2）＋m |2＝2，解得m ＝－3±2 2.(3)(i)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ， 当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立， 又a ＞0，b ＞0，所以|a ＋b |＝a ＋b ， 所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c . 又已知f (x )的最小值为4， 所以a ＋b ＋c ＝4.(ii)由(i)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16， 即14a 2＋19b 2＋c 2≥87， 当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立．故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为错误!.N3 选修4-4 参数与参数方程12．N3 在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是________．12．6 依题意得圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－8y ＝0，即x 2＋(y －4)2＝16，直线的直角坐标方程为3x －y ＝0，故圆心到直线的距离d ＝|0－4|3＋1＝2，因此圆上的点到直线的最大距离为d ＋r ＝6.14．N3 (坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________．14.52 2 直线l 的极坐标方程2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2化为直角坐标方程为x －y ＋1＝0，A ⎝⎛⎭⎪⎫22，74π在直角坐标系中的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22cos 7π4，22sin 7π4，即A (2，－2)，故点A 到直线的距离为|1×2－1×（－2）＋1|2＝52 2.16．N3 (选修4­4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝t ＋1t (t 为参数)，l与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________．16．2 5 将直线l 的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x－y ＝0，将曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝t ＋1t(t为参数)化为普通方程为y 2－x 2＝4.联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，y 2－x 2＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22，y ＝－322，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝322.不妨设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－322，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，322，所以||AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－3222＝2 5.21．N1 A ．如图1­5，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D . 求证：△ABD ∽△AEB .图1­5N2B .已知x ，y∈R ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．N3C .已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．N4D.解不等式x ＋|2x ＋3|≥2.21．A.证明：因为AB ＝AC ，所以∠ABD ＝∠C . 又因为∠C ＝∠E ，所以∠ABD ＝∠E ， 又∠BAE 为公共角，所以△ABD ∽△AEB .B ．解：由已知，得Aα＝－2α，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－2，y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1120. 从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩阵A 的另一个特征值为1.C ．解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简得ρ2＋2ρsinθ－2ρcos θ－4＝0，则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6， 所以圆C 的半径为 6.D ．解：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，3x ＋3≥2，解得x ≤－5或x ≥－13.综上，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－5或x ≥－13.23．N3 选修4­4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．23．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝⎛⎭⎪⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)，所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3. 故当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.23．N3 选修4­4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．23．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.又C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.11．N3 在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________．11．1 利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，把极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3转化为平面直角坐标(1，3)，把直线方程ρ(cos θ＋3sin θ)＝6转化为x ＋3y －6＝0.利用点到直线的距离公式可知，d ＝|1＋3－6|1＋3＝1. 21．N2、N3、N4 (1)选修4­2：矩阵与变换 已知矩阵A ＝错误!)，B ＝错误!))． (i)求A 的逆矩阵A －1； (ii)求矩阵C ，使得AC ＝B. (2)选修4­4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t (t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m (m ∈R )．(i)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (ii)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值． (3)选修4­5：不等式选讲已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4. (i)求a ＋b ＋c 的值； (ii)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．21．解：(1)(i)因为|A |＝2×3－1×4＝2， 所以A －1＝错误!)) ＝错误!))．(ii)由AC ＝B 得(A －1A )C ＝A －1B ，故C ＝A －1B＝错误!))错误!))＝错误!,),－3)))．(2)(i)消去参数t ，得到圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9. 由2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m ，得 ρsin θ－ρcos θ－m ＝0.所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0. (ii)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2， 即|1－（－2）＋m |2＝2，解得m ＝－3±2 2.(3)(i)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ， 当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立， 又a ＞0，b ＞0，所以|a ＋b |＝a ＋b ， 所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c . 又已知f (x )的最小值为4， 所以a ＋b ＋c ＝4.(ii)由(i)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16， 即14a 2＋19b 2＋c 2≥87， 当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立．故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为错误!.N4 选修4-5 不等式选讲5．A2、N4、D3 设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则( )A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件5．A 当p 成立，即a 1，a 2，…，a n 成等比数列时，a 1a 2＝a 2a 3＝…＝a n －1a n，满足柯西不等式(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )≥(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2等号成立的条件，故(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋ a n －1a n )2，即q 成立；但当q 成立时，不一定非要a 1，a 2，…，a n 成等比数列，如：当a 1＝1，a 2＝a 3＝…＝a n ＝0时，q 成立，但不满足a 1，a 2，…，a n 成等比数列．所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件．故选A.21．N1 A ．如图1­5，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D . 求证：△ABD ∽△AEB .图1­5N2B .已知x ，y∈R ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．N3C .已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．N4D.解不等式x ＋|2x ＋3|≥2.21．A.证明：因为AB ＝AC ，所以∠ABD ＝∠C . 又因为∠C ＝∠E ，所以∠ABD ＝∠E ， 又∠BAE 为公共角，所以△ABD ∽△AEB .B ．解：由已知，得Aα＝－2α，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－2，y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1120. 从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩阵A 的另一个特征值为1.C ．解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简得ρ2＋2ρsinθ－2ρcos θ－4＝0，则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6， 所以圆C 的半径为 6.D ．解：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，3x ＋3≥2， 解得x ≤－5或x ≥－13.综上，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－5或x ≥－13.24．N4 选修4­5：不等式选讲设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件． 24．证明：(1)(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ， 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd ， 得(a ＋b )2>(c ＋d )2， 因此a ＋b >c ＋d .(2)(i)若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即 (a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)得a ＋b >c ＋d . (ii)若a ＋b >c ＋d ， 则(a ＋b )2>(c ＋d )2， 即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2， 因此|a －b |<|c －d |.综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件． 24．N4 选修4­5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 24．解：(1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 23<x <2.(2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a ，所以函数f (x )的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1，0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．21．N2、N3、N4 (1)选修4­2：矩阵与变换 已知矩阵A ＝错误!)，B ＝错误!))． (i)求A 的逆矩阵A －1； (ii)求矩阵C ，使得AC ＝B. (2)选修4­4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t (t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m (m ∈R )．(i)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (ii)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．(3)选修4­5：不等式选讲已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4. (i)求a ＋b ＋c 的值； (ii)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．21．解：(1)(i)因为|A |＝2×3－1×4＝2， 所以A －1＝错误!)) ＝错误!))．(ii)由AC ＝B 得(A －1A )C ＝A －1B ，故C ＝A －1B＝错误!))错误!)) ＝错误!,),－3)))．(2)(i)消去参数t ，得到圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9. 由2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m ，得ρsin θ－ρcos θ－m ＝0.所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0. (ii)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2， 即|1－（－2）＋m |2＝2，解得m ＝－3±2 2.(3)(i)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ， 当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立， 又a ＞0，b ＞0，所以|a ＋b |＝a ＋b ， 所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c . 又已知f (x )的最小值为4， 所以a ＋b ＋c ＝4.(ii)由(i)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16， 即14a 2＋19b 2＋c 2≥87，当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立．故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为错误!.N5 优选法与试验设计。

一、几何证明选讲（一）试题细目表1.（南通泰州期末·21A ） 如图，已知1O 的半径为2，2O 的半径为1，两圆外切于点T .点P 为1O 上一点，PM 与2O 切于点M .若PM =，求PT 的长.【答案】延长PT 交2O 与点C ，连结1O P ，2O C ，12O O ，则12O O 过点T ， 由切割线定理得：23PM PC PT =⨯=. 因为12O TP O TC ∠=∠，1O TP ∆与2O TC ∆均为等腰三角形，所以12O TPO TC ∆∆，所以122PO PT TC CO ==， 所以23PT PC =，即32PC PT =.因为PC PT ⨯=332PT PT ⨯=，所以PT =2.（镇江期末·21）如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC ＝BD ，BA 的延长线交CD 的延长线于点E ，延长CA 至F 。

求证：AE 是∠DAF 的角平分线。

【答案】证明：因为ABCD 是圆的内接四边形，所以∠DAE=∠BCD ，∠FAE=∠BAC=∠BDC. 因为BC=BD ．所以∠BCD=∠BDC, 所以∠DAE=∠FAE,所以AE 是四边形ABCD 的外角∠DAF 的平分线． 3.（常州期末·21A ）在ABC ∆中，N 是边AC 上一点，且2CN AN =，AB 与NBC ∆的外接圆相切，求BCBN的值． 【答案】解：记NBC ∆外接圆为圆O ，AB 、AC 分别是圆O 的切线和割线，所以2AB AN AC =⋅， 又A A ∠=∠，所以ABN ∆与ACB ∆相似，所以BC AB ACBN AN AB==，所以 23BC AB AC AC BN AN AB AN ⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭，BC BN 4.（南京盐城期末·21A ）.如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D . 若4DE =，求切点E 到直径AB 的距离EF ．ABE DF O ·第21(A)图【答案】解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，① 在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，②………………5分 由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠， 又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，所以ADE AFE ∆≅∆，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =， 即E 到直径AB 的距离为4.………………10分5.（苏州期末·21）如图，AB ，AC 与圆O 分别切于点B ，C ，点P 为圆O 上异于点B ，C 的任意一点，PD AB ⊥于点D ，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F .求证：2PF PD PE =⋅.【答案】证明连PB ，PC ，因为,PCF PBD ∠∠同弧BP 上的圆周角和弦切角，所以PCF PBD ∠=∠. ································ 2分因为PD BD ⊥，PF FC ⊥， 所以△PDB ∽△PFC ，故PD PBPF PC=. ············· 5分 同理，PBF PCE ∠=∠， 又PE EC ⊥，PF FB ⊥， 所以△PFB ∽△PEC ，故PF PBPE PC=. ····················································· 8分 所以PD PFPF PE=，即2PF PD PE =⋅. ····················································· 10分 6.（苏北四市期末·21）如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ,CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ．A BE DF O · 第21(A)图E ADE求证：2AB BE BD AE AC =⋅-⋅【答案】证明：连接AD ，因为AB 为圆的直径，所以AD BD ⊥，又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，所以BD BE BA BF ⋅=⋅． …………………………………………………………5分 又△ABC ∽△AEF ， 所以AB ACAE AF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， ∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=．…………10分ABCDEF(第21－A 题)O. AC DEF(第21－A 题)O.。

N单元选修4系列N1选修4-1 几何证明选讲图1－622．N1选修4－1：几何证明选讲如图1－6所示，直线AB为圆的切线，切点为B，点C 在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．22．解：(1)证明：联结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG＝32.设DE的中点为O，联结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于32.15．N1(几何证明选讲选做题)如图1－3所示，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝________．图1－315．2 3 由题知∠ACB＝90°，又BC ＝CD ， ∴AD ＝AB ＝6，∠BAC＝∠CAE，∴AE＝AD －ED ＝4. ∵CE 为切线，∴∠ACE＝∠ABC. ∴∠ACE ＋∠CAE＝∠ABC＋∠BAC＝90°. 在△ACD 中，∠ACD＝90°，CE⊥AD，∴CD 2＝ED·DA＝12，解得CD ＝2 3，故BC ＝23.图1－515．N1 (选修4－1：几何证明选讲)如图1－5所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E.若AB ＝3AD ，则CEEO的值为________．15．8 设AB ＝6k ，则AD ＝2k ，DO ＝k ，CO ＝3k ，设EO ＝x ，由射影定理：DO 2＝EO·CO，k 2＝x·3k，x ＝k 3，故CE EO ＝3k －k 3k3＝8.图1－311．N1 如图1－2所示，在半径为7的⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P.PA ＝PB ＝2，PD ＝1，则圆心O 到弦CD 的距离为________．11.32由相交弦定理可知PA·PB＝PC·PD，得PC ＝4，故弦CD ＝5，又半径r ＝7，记圆心O 到直线CD 的距离为d ，则d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝7，即d 2＝34，故d ＝32.21．N1 A ．如图1－1所示，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC. 求证：AC ＝2AD.图1－1证明：联结OD ，因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ， 所以∠ADO＝∠ACB＝90°.又因为∠A＝∠A，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB ， 所以BC OD ＝AC AD .又BC ＝2OC ＝2OD. 故AC ＝2AD.11．N1 如图1－2，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若PA ＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD ＝________，AB ＝________．图1－211.95 4 由于PD∶DB＝9∶16，设PD ＝9a ，则DB ＝16a ，PB ＝25a ，根据切割线定理有PA 2＝PD·PB，∴a＝15，∴PD＝95，PB ＝5.又∵△PBA 为直角三角形，∴AB 2＋AP 2＝PB 2，∴AB＝4.22．N1 选修4－1：几何证明选讲如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，联结AE ，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF 2＝AD·BC.图1－822．证明：(1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB＝∠E AB. 由AB 为⊙O 的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝π2. 又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝π2，从而∠FEB＝∠EAB. 故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE 是公共边， 得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF. 类似可证，Rt △ADE ≌Rt △AFE ，得AD ＝AF. 又在Rt △AEB 中，EF⊥AB，故EF 2＝AF·BF， 所以EF 2＝AD·BC. N1B ．(几何证明选做题)如图1－4，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.图1－46 利用已知可得，∠BCE＝∠PED＝∠BAP，可得△PDE∽△PEA，可得PE PA ＝PDPE ，而PD＝2DA ＝2，则PA ＝3，则PE 2＝PA·PD＝6，PE ＝ 6.15．C8，E8，N1 设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到P 1，P 2，…，P n 点的距离之和最小，则称点P 为P 1，P 2，…，P n 点的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A ，B 的中位点．则有下列命题：①若A ，B ，C 三个点共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)15．①④ 对于①，如果中位点不在直线AB 上，由三角形两边之和大于第三边可知与题意矛盾．而当中位点在直线AB 上时，如果不与C 重合，则|PA|＋|PB|＋|PC|＞|PA|＋|PB|也不符合题意，故C 为唯一的中位点，①正确；对于②，我们取斜边长为4的等腰直角三角形，此时，斜边中点到三个顶点的距离均为2，和为6；而我们取斜边上中线的中点，该点到直角顶点的距离为1，到两底角顶点的距离均为5，显然2 5＋1＜6，故该直角三角形的斜边中点不是中位点，②错误；对于③，当A ，B ，C ，D 四点共线时，不妨设他们的顺序就是A ，B ，C ，D ，则当点P 在B ，C 之间运动时，点P 到A ，B ，C ，D 四点的距离之和相等且最小，即这个时候的中位点有无穷多个，③错误；对于④，同样根据三角形两边之和大于第三边的性质，如果中位点不在对角线的交点上，则距离之和肯定不是最小的，④正确．13．N1 如图1－2所示，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD∥AC.过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F ，若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝5，则线段CF 的长为________．图1－213.83 由切割线定理可得EA 2＝EB·ED ，有EB ＝4，ED ＝9. 因为AB ＝AC ，所以∠ABC＝∠C＝∠ADB，由弦切角定理可得∠EAB＝∠ADB，所以∠EAB＝∠ABC，故AE∥BC.又BD∥AC， 所以四边形AEBC 是平行四边形，可得BC ＝AE ＝6，又由平行线分线段成比例定理可得BFAE ＝BD DE ，因为AE ＝6，所以BF ＝103，故CF ＝BC －BF ＝83. 22．N1 选修4－1：几何证明选讲：如图1－5，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB与弦AC 上的点，且BC·AE＝DC·AF，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．图1－522．解：(1)证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知BC FA ＝DCEA，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.所以∠CBA＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)联结CE ，因为∠CBE＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB·DA＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.1－614．N1 如图1－6所示，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD⊥CD，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为________．14．5 联结CE.由弦切角定理知∠BCD＝∠A＝60°，所以在Rt △BCD 中，∠CBD＝30°.又在Rt △ABC 中，∠ABC＝30°，AC ＝12AB ＝10，所以CE ＝AC ＝10.在Rt △CDE 中，∠DCE＝30°，故DE ＝12CE ＝5.N2 选修4-2 矩阵21． N2(Ⅰ)选修4－2：矩阵与变换已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝错误!)对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by ＝1. (1)求实数a ，b 的值；(2)若点P(x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0)，求点P 的坐标．(Ⅰ)解：(1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M(x ，y)在矩阵A 对应的变换作用下的像是M′(x′，y′)．由⎝⎛⎭⎪⎫x′y′)＝错误!))错误!)＝错误!)，得错误! 又点M′(x′，y′)在l′上，所以x′＋by′＝1， 即x ＋(b ＋2)y ＝1.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.(2)由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0.又点P(x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1. 故点P 的坐标为(1，0)． N2 B ．已知矩阵A ＝－1,0) 0,2)，B ＝1,0) 2,6)，求矩阵A －1B . 解：设矩阵A 的逆矩阵为a,c) b,d)， 则－1,0) 0,2)a,c) b,d)＝1,0) 0,1)． 即－a,2c) －b,2d)＝1,0) 0,1)， 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0,12)))．所以A－1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0,12)))1,0) 2,6)＝－1,0) －2,3)．2．N2，N3 已知a∈R “矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块(1)以极坐标系Ox 的极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，并在两种坐标系中取相同的长度单位．把极坐标方程cos θ＋ρ2sin θ＝1化成直角坐标方程．(2)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点P(2，1)的直线与曲线C 交于A ，B 两点．若|PA|·|PB|＝83，求|AB|的值．2．解：(1)极坐标方程两边同乘以ρ得ρcos θ＋ρ3sin θ＝ρ. 又在直角坐标系下，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2， 故化成直角坐标方程为x ＋y(x 2＋y 2)＝x 2＋y 2. 又(0，0)满足原极坐标方程．故所求的直角坐标方程为x ＋y(x 2＋y 2)＝x 2＋y 2. (2)由题意，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋2y 2＝2. 设过点P(2，1)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋tcos α，y ＝1＋tsin α(t 为参数)． 及点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2. 将直线的参数方程代入x 2＋2y 2＝2得 (2＋tcos α)2＋2(1＋tsin α)2－2＝0. 即(1＋sin 2α)t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0. 则Δ＝16(2sin αcos α－sin 2α)>0，且t 1＋t 2＝－4（sin α＋cos α）1＋sin 2α，t 1t 2＝41＋sin 2α， 由|PA|·|PB|＝83得|t 1t 2|＝41＋sin 2α＝83. 故sin 2α＝12.又由Δ>0得0<tan α<2.故t 1＋t 2＝8 23，t 1t 2＝83.所以|AB|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）－4t 1t 2＝4 23. N3选修4-4 参数与参数方程23．N3 选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．23．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.7．N3 在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2 B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝17．B 圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，故垂直于极轴的两条切线的直角坐标方程为x ＝0，x ＝2，其极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2.9．N3 在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．9．1 极坐标系中点的⎝⎛⎭⎪⎫2，π6对应直角坐标系中的点的坐标为(3，1)，极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线方程为y ＝2，所以距离为1.N3(Ⅱ)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上． (1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．(Ⅱ)解：(1)由点A 2，π4在直线ρcos θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0. (2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. 所以圆C 的圆心为(1，0)，半径r ＝1， 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交．14．N3 (坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1，1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标，则l 的极坐标方程为________．14．ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2 曲线C 的参数方程化为普通方程是x 2＋y 2＝2，点(1，1)在曲线上，易求得过(1，1)作圆C 切线的方程是：x ＋y ＝2，其极坐标方程是ρ(cos θ＋sin θ)＝2，即ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2. 16．N3 (选修4－4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φ，y ＝bsin φ(φ为参数，a>b>0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin θ＋π4＝22m(m 为非零常数)与ρ＝b.若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．16.63直线l 的直角坐标方程为x ＋y －m ＝0，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝b 2，由直线与圆相切得：m 2＝2b 2.又椭圆C 的一般方程为x 2a 2＋y2b2＝1，直线过椭圆焦点，故m ＝c ，所以c 2＝2b2e ＝c a ＝63. 9．N3 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．9．3 将参数方程化为普通方程可得，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，即y ＝x －a ，椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ，即x 29＋y 24＝1，可知其右顶点为(3，0)，代入直线方程可得a ＝3.N3 C ．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)，试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2，2)，12，－1.15． N3(1)(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．N4 (2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为__________________．15．(1)ρcos 2θ－sin θ＝0 (2)[]0，4(1)曲线方程为y ＝x 2，将y ＝ρsin θ，x ＝ρcos θ代入得ρcos 2θ－sin θ＝0. (2)－1≤|x－2|－1≤10≤|x －2|≤2－2≤x－2≤2，得0≤x≤4.23．N3 选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t∈R 为参数)，求a ，b 的值．23．解：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（y －2）2＝4，x ＋y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫2 2，π4.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)， 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0. 由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧b2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.C ．N3(坐标系与参数方程选做题)如图1－5，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．图1－5⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ(θ为参数) 设P(x ，y)，则随着θ取值变化，P 可以表示圆上任意一点，由所给的曲线方程x 2＋y 2－x ＝0x －122＋y 2＝14，表示以12，0为圆心，半径为12的圆，可得弦OP ＝1×cos θ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝OP·cos θ，y ＝OP·sin θ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ，故已知圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ(θ为参数)．11．N3 已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为4，π3，则|CP|＝________.11．2 3 ∵圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，∴圆心C 的直角坐标为(2，0)．∵P 点极坐标⎝⎛⎭⎪⎫4，π3，∴化为直角坐标为(2，23)，∴|CP|＝（2－2）2＋（0－2 3）2＝2 3.23．N3 选修4—4：坐标系与参数方程已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 23．解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0<α<2π)． (2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．2．N2，N3 已知a∈R “矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块(1)以极坐标系Ox 的极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，并在两种坐标系中取相同的长度单位．把极坐标方程cos θ＋ρ2sin θ＝1化成直角坐标方程．(2)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点P(2，1)的直线与曲线C 交于A ，B 两点．若|PA|·|PB|＝83，求|AB|的值．2．解：(1)极坐标方程两边同乘以ρ得ρcos θ＋ρ3sin θ＝ρ. 又在直角坐标系下，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2， 故化成直角坐标方程为x ＋y(x 2＋y 2)＝x 2＋y 2. 又(0，0)满足原极坐标方程．故所求的直角坐标方程为x ＋y(x 2＋y 2)＝x 2＋y 2. (2)由题意，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋2y 2＝2. 设过点P(2，1)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋tcos α，y ＝1＋tsin α(t 为参数)． 及点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2. 将直线的参数方程代入x 2＋2y 2＝2得 (2＋tcos α)2＋2(1＋tsin α)2－2＝0. 即(1＋sin 2α)t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0. 则Δ＝16(2sin αcos α－sin 2α)>0，且t 1＋t 2＝－4（sin α＋cos α）1＋sin 2α，t 1t 2＝41＋sin 2α， 由|PA|·|PB|＝83得|t 1t 2|＝41＋sin 2α＝83. 故sin 2α＝12.又由Δ>0得0<tan α<2.故t 1＋t 2＝8 23，t 1t 2＝83.所以|AB|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）－4t 1t 2＝4 23. 15．N3 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB|＝________．15．16 直线的普通方程为x ＝4，代入曲线的参数方程 得t ＝±2，当t ＝2时x ＝4，y ＝8；当t ＝－2时x ＝4，y ＝－8，即有A(4，8)，B(4，－8)，于是|AB|＝8－(－8)＝16.N4(Ⅲ)选修4－5：不等式选讲24．N4 选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x －1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a ＞－1，且当x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f(x)≤g(x)，求a 的取值范围． 24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f(x)<g(x)化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x<12，－x －2，12≤x≤1，3x －6，x>1.其图像如图所示，从图像可知，当且仅当x∈(0，2)时，y<0，所以原不等式的解集是{x|0<x<2}．(2)当x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f(x)＝1＋a. 不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.所以x≥a－2对x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12都成立，故－a 2≥a －2，即a≤43， 从而a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－1，43设不等式|x －2|<a(a∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12 A.(1)求a 的值；(2)求函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －2|的最小值．(Ⅲ)解：(1)因为32∈A ，且12A ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2≥a.解得12<a ≤32.又因为a∈N *，所以a ＝1.(2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x≤2时取到等号，所以f(x)的最小值为3. 13．N4 设x ，y ，z∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z ＝________.13.3 147 由柯西不等式得(x 2＋y 2＋z 2)(1＋4＋9)＝14≥(x＋2y ＋3z)2＝14，当x 1＝y 2＝z 3时取“＝”，故x ＝1414，y ＝147，z ＝31414，则x ＋y ＋z ＝3 147. 10．N4 已知a ，b ，c∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________． 10．12 因a ＋2b ＋3c ＝6，由柯西不等式可知(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12)≥(a＋2b ＋3c)2，可知a 2＋4b 2＋9c 2≥363＝12，即最小值为12.N4 D ．已知a≥b>0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b.证明：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b)＝2a(a 2－b 2)＋b(a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b)＝(a －b)(a ＋b)(2a ＋b)．因为a≥b>0，所以a －b≥0，a ＋b>0，2a ＋b>0.从而(a －b)(a ＋b)(2a ＋b)≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b.24.N4 选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x －a|，其中a>1.(1)当a ＝2时，求不等式f(x)≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f(2x ＋a)－2f(x)|≤2的解集为{}x|1≤x≤2，求a 的值． 24．解：(1)当a ＝2时，f(x)＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x≥4.当x≤2时，由f(x)≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1； 当2＜x ＜4时，f(x)≥4－|x －4|无解；当x≥4时，由f(x)≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5； 所以f(x)≥4－|x －4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．(2)记h(x)＝f(2x ＋a)－2f(x)，则 h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x≥a.由|h(x)|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2.于是a ＝3.15．N4 (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分) A ．(不等式选做题)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn)(bm ＋an)的最小值为________．2 利用柯西不等式式可得：(am ＋bn)(bm ＋an)≥(am an ＋bm bn)2＝mn(a ＋b)2＝2.14．N4 设a ＋b ＝2，b>0，则当a ＝________时，12|a|＋|a|b 取得最小值．14．－212|a|＋|a|b ＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋|a|b ≥a 4|a|＋2 b 4|a|×|a|b ≥－14＋1＝34，当且仅当b 4|a|＝|a|b时，等号成立．联立a ＋b ＝2，b>0，a<0.可解得a ＝－2. 24．N4 选修4－5：不等式选讲设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ca≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c2a≥1.24．证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得 a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca.由题设得(a ＋b ＋c)2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca)≤1，即ab ＋bc ＋ca≤13.(2)因为a 2b ＋b≥2a，b 2c ＋c≥2b，c2a＋a≥2c，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c)≥2(a＋b ＋c)，即a 2b ＋b 2c ＋c2a≥a ＋b ＋c ，又a ＋b ＋c ＝1，所以a 2b ＋b2c＋错误!≥1.1．N4 (1)解不等式|x －1|＋|x －4|≥5.(2)求函数y ＝|x －1|＋|x －4|＋x 2－4x 的最小值．1．解：(1)当x<1时，1－x ＋4－x≥5，得x ≤0，此时x≤0； 当1≤x≤4时，x －1＋4－x≥5，得3≥5，此时x∈； 当x>4时，x －1＋x －4≥5，得x≥5，此时x≥5.综上所述，原不等式的解集是(－∞，0]∪ 若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|＜a 无解，则实数a 的取值范围是________．16．(－∞，8] 要使不等式无解，则a 必须小于或等于|x －5|＋|x ＋3|的最小值，而|x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8，则a≤8，所以实数a 的取值范围是(－∞，8]．N5 选修4-7 优选法与试验设计。