江苏省苏州市星海中学2020-2021学年第一学期期中试卷高二数学

2020-2021学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为（）A.8B.16C.18D.272.（单选题，5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.（单选题，5分）不等式x+12x−1≤0的解集为（）A.[-1，12）B.[-1，12]C.（-∞，-1]∪（12，+∞）D.（-∞，-1]∪[ 12，+∞）4.（单选题，5分）已知椭圆的准线方程为x=±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为（）A. x22+y2=1B.x2+ y22=1C. x24+y23=1D. x23+y24=15.（单选题，5分）数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n-1，则a10=（）A.511B.513C.1025D.10246.（单选题，5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小一份为（）A. 53B. 103C. 56D. 1167.（单选题，5分）椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，P为椭圆C上的动点，若a= √2 b，满足∠F1PF2=90°的点P有（）个A.2个B.4个C.0个D.1个8.（单选题，5分）正数a，b满足9a+b=ab，若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A.[3，+∞）B.（-∞，3]C.（-∞，6]D.[6，+∞）9.（多选题，5分）若实数a＞0，b＞0，a•b=1，若下列选项的不等式中，正确的是（）A.a+b≥2B. √a+√b≥2C.a2+b2≥2D. 1a +1b≤210.（多选题，5分）对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件C.“a＜5”是“a＜3”的必要条件D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件11.（多选题，5分）设椭圆x29+y23=1的右焦点为F，直线y=m（0＜m＜√3）与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是（）A.AF+BF为定值B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]C.当m= √2时，△ABF 为直角三角形D.当m=1时，△ABF 的面积为√612.（多选题，5分）已知数列{a n}，{b n}均为递增数列，{a n}的前n项和为S n，{b n}的前n项和为T n．且满足a n+a n+1=2n，b n•b n+1=2n（n∈N*），则下列说法正确的有（）A.0＜a1＜1B.1＜b1＜√2C.S2n＜T2nD.S2n≥T2n13.（填空题，5分）命题“∀x∈R，ax+b≤0”的否定是___ ．14.（填空题，5分）不等式x2-kx+1＞0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是___ ．15.（填空题，5分）椭圆x25+y2m=1的离心率为√105，则实数m的值为___ ．16.（填空题，5分）对于数列{a n}，定义A n= a1+2a2+⋯+2n−1a nn为数列{a n}的“好数”，已知某数列{a n}的“好数”A n=2n+1，记数列{a n-kn}的前n项和为S n，若S n≤S7对任意的n∈N*恒成立，则实数k的取值范围是___ ．17.（问答题，10分）求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆x 22 +y2=1有相同的焦点，且经过点（1，32）；（2）经过A（2，- √22），B（- √2，- √32）两点．18.（问答题，12分）已知等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n+a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．19.（问答题，12分）已知函数f（x）=ax2+bx-a+2．（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．20.（问答题，12分）某工厂年初用98万元购买一台新设备，第一年设备维修及燃料、动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用12万元，以后每年都增加4万元，新设备每年可给工厂收益50万元．（Ⅰ）工厂第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：① 年平均获利最大时，以26万元出售该设备；② 总纯收入获利最大时，以8万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？21.（问答题，12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆的右焦点F作直线l，与椭圆相交于A，B两点，求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．22.（问答题，12分）已知各项均为正数的两个数列{a n}，{b n}满足a n+12-1=a n2+2a n，2a n=log2b n+log2b n+1+1，且a1=b1=1．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，求使得等式2S m+a m-36=T i成立的有序数对（m，i）（m，i∈N*）．2020-2021学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为（）A.8B.16C.18D.27【正确答案】：C【解析】：由已知利用等比数列的通项公式即可求解．【解答】：解：若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n=a1•q n-1，由已知可得：a1=2，q=3，则它的通项a3=a1•q2=2×32=18．故选：C．【点评】：本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n=a1•q n-1，属于基础题．2.（单选题，5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：解得a的范围，即可判断出结论．【解答】：解：由a2＞a，解得a＜0或a＞1，故a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，故选：A．【点评】：本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.（单选题，5分）不等式x+12x−1≤0的解集为（）A.[-1，12）B.[-1，12]C.（-∞，-1]∪（12，+∞）D.（-∞，-1]∪[ 12，+∞）【正确答案】：A【解析】：根据题意，分析可得原不等式等价于（x+1）（2x-1）≤0且（2x-1）≠0，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】：解：根据题意，原不等式等价于（x+1）（2x-1）≤0且（2x-1）≠0，解可得：-1≤x＜12，及原不等式的解集为[-1，12）；故选：A．【点评】：本题考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式变形为整式不等式．4.（单选题，5分）已知椭圆的准线方程为x=±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为（）A. x22+y2=1B.x2+ y22=1C. x24+y23=1D. x23+y24=1【正确答案】：C【解析】：由椭圆的准线方程可知椭圆的焦点在x轴上，再由已知列关于a，b，c的方程组，求得a2与b2的值，则椭圆标准方程可求．【解答】：解：由椭圆的准线方程为x=±4，可知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0），由 { a 2c =4c a =12a 2=b 2+c 2 ，解得a 2=4，b 2=3，c 2=1．∴椭圆的标准方程为 x 24+y 23 =1． 故选：C ．【点评】：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆标准方程的求法，是基础题．5.（单选题，5分）数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n -1，则a 10=（ ）A.511B.513C.1025D.1024【正确答案】：B【解析】：直接利用构造法的应用，整理出数列{a n -1}是等比数列，进一步求出数列的通项公式，最后求出结果．【解答】：解：数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n -1，所以a n+1-1=2（a n -1），所以 a n+1−1a n −1=2 （常数），所以数列{a n -1}是以a 1-1=1为首项，2为公比的等比数列．所以 a n −1=2n−1 ，所以 a n =2n−1+1 ．所以 a 10=29+1=513 ．故选：B ．【点评】：本题考查的知识要点：数列的递推关系式，构造法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6.（单选题，5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 17 是较小的两份之和，问最小一份为（ ）A. 53B. 103C. 56D. 116【正确答案】：A【解析】：设五个人所分得的面包为a-2d ，a-d ，a ，a+d ，a+2d ，（d ＞0）；则由五个人的面包和为100，得a 的值；由较大的三份之和的 17 是较小的两份之和，得d 的值；从而得最小的一份a-2d 的值．【解答】：解：设五个人所分得的面包为a-2d ，a-d ，a ，a+d ，a+2d ，（其中d ＞0）； 则，（a-2d ）+（a-d ）+a+（a+d ）+（a+2d ）=5a=100，∴a=20；由 17 （a+a+d+a+2d ）=a-2d+a-d ，得3a+3d=7（2a-3d ）；∴24d=11a ，∴d=55/6； 所以，最小的1分为a-2d=20-1106 = 53 ． 故选：A ．【点评】：本题考查了等差数列模型的实际应用，解题时应巧设数列的中间项，从而容易得出结果．7.（单选题，5分）椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1和F 2，P 为椭圆C 上的动点，若a= √2 b ，满足∠F 1PF 2=90°的点P 有（ ）个A.2个B.4个C.0个D.1个【正确答案】：A【解析】：由题意画出图形，由a= √2 b ，结合隐含条件可得b=c ，再由∠F 1PF 2=90°，可得P 为短轴的两个端点，则答案可求．【解答】：解：设椭圆的半焦距为c ，当a= √2 b 时，则 c =√a 2−b 2=√b 2=b ，如图，连接PO ，若∠F 1PF 2=90°，则|PO|=|OF 1|=b ，此时P 点在短轴的上下端点，即符合条件的P 有2个．故选：A ．【点评】：本题考查椭圆的几何性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8.（单选题，5分）正数a，b满足9a+b=ab，若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A.[3，+∞）B.（-∞，3]C.（-∞，6]D.[6，+∞）【正确答案】：A【解析】：求出a+b=（a+b）（1a + 9b）=10+ ba+ 9ab≥10+6=16（当且仅当b=3a时取等号），问题转化为m≥-x2+2x+2对任意实数x恒成立，运用二次函数的最值求法和恒成立思想，即可求出实数m的取值范围．【解答】：解：∵正数a，b满足1a + 9b=1，∴a+b=（a+b）（1a + 9b）=10+ ba+ 9ab≥10+2 √ba•9ab=10+6=16（当且仅当b=3a时取等号）．由不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，可得-x2+2x+18-m≤16对任意实数x恒成立，即m≥-x2+2x+2对任意实数x恒成立，即m≥-（x-1）2+3对任意实数x恒成立，∵-（x-1）2+3的最大值为3，∴m≥3，故选：A．【点评】：本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用基本不等式和二次函数的最值求法，考查化简运算能力，属于中档题．9.（多选题，5分）若实数a＞0，b＞0，a•b=1，若下列选项的不等式中，正确的是（）A.a+b≥2B. √a+√b≥2C.a2+b2≥2D. 1a +1b≤2【正确答案】：ABC【解析】：直接利用不等式的性质和均值不等式的应用判定A、B、C、D的结论．【解答】：解：实数a＞0，b＞0，a•b=1，则对于A：a+b≥2√ab=2，成立，故A正确；对于B：√a+√b≥2√√a•√b=2成立，故B正确；对于C：a2+b2≥2ab=2成立，故C正确；对于D：1a +1b≥2√1ab=2成立，故D不正确．故选：ABC．【点评】：本题考查的知识要点：不等式的性质和均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10.（多选题，5分）对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件C.“a＜5”是“a＜3”的必要条件D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件【正确答案】：CD【解析】：由题意逐一考查所给的命题是否成立即可．【解答】：解：逐一考查所给的选项：取a=2，b=3，c=0，满足ac=bc，但是不满足a=b，选项A错误，取a=2，b=-3，满足a＞b，但是不满足a2＞b2，选项B错误，“a＜5”是“a＜3”的必要条件，选项C正确，“a+5是无理数”，则“a是无理数”，选项D正确，故选：CD．【点评】：本题主要考查不等式的性质，等式的性质，命题真假的判定等知识，属于中等题．11.（多选题，5分）设椭圆x29+y23=1的右焦点为F，直线y=m（0＜m＜√3）与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是（）A.AF+BF为定值B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]C.当m= √2时，△ABF 为直角三角形D.当m=1时，△ABF 的面积为√6【正确答案】：AD【解析】：利用椭圆的性质以及定义，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积公式，逐一分析四个选项得答案．【解答】：解：设椭圆的左焦点为F'，则AF'=BF，可得AF+BF=AF+AF'为定值6，故A正确；△ABF的周长为AB+AF+BF，∵|AF+BF为定值6，可知AB的范围是（0，6），∴△ABF的周长的范围是（6，12），故B错误；将y= √2与椭圆方程联立，可解得A（−√3，√2），B（√3，√2），又知F（√6，0），如图，由图可知∠ABF为钝角，则△ABF为钝角三角形，故C错误；将y=1与椭圆方程联立，解得A（−√6，1），B（√6，1），∴ S△ABF=12×2√6×1=√6，故D正确．故选：AD．【点评】：本题考查椭圆的性质，椭圆与直线的位置关系．考查分析问题解决问题的能力，是中档题．12.（多选题，5分）已知数列{a n}，{b n}均为递增数列，{a n}的前n项和为S n，{b n}的前n项和为T n．且满足a n+a n+1=2n，b n•b n+1=2n（n∈N*），则下列说法正确的有（）A.0＜a1＜1B.1＜b1＜√2C.S2n＜T2nD.S 2n ≥T 2n【正确答案】：ABC【解析】：利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，在求出其前2n 项和的表达式即可判断大小；【解答】：解：∵数列{a n }为递增数列；∴a 1＜a 2＜a 3；∵a n +a n+1=2n ，∴ {a 1+a 2=2a 2+a 3=4； ∴ {a 1+a 2＞2a 1a 2+a 3＞2a 2=4−4a 1∴0＜a 1＜1；故A 正确．∴S 2n =（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n-1+a 2n ）=2+6+10+…+2（2n-1）=2n 2；∵数列{b n }为递增数列；∴b 1＜b 2＜b 3；∵b n •b n+1=2n∴ {b 1b 2=2b 2b 3=4； ∴ {b 2＞b 1b 3＞b 2； ∴1＜b 1＜ √2 ，故B 正确．∵T 2n =b 1+b 2+…+b 2n=（b 1+b 3+b 5+…+b 2n-1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）= b 1•(1−2n )2+b 2(1−2n )2=(b 1+b 2)(2n −1)≥2√b 1b 2(2n −1)=2√2(2n −1) ；∴对于任意的n∈N*，S 2n ＜T 2n ；故C 正确，D 错误．故选：ABC ．【点评】：本题考查了数列的综合运用，考查学生的分析能力与计算能力．属于中档题．13.（填空题，5分）命题“∀x∈R ，ax+b≤0”的否定是___ ．【正确答案】：[1]∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0【解析】：根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】：解：命题为全称命题，则命题“∀x∈R ，ax+b≤0”的否定是∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0， 故答案为：∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0．【点评】：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14.（填空题，5分）不等式x 2-kx+1＞0对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-2，2）【解析】：设y=x 2-kx+1，将不等式恒成立的问题转化为函数y=x 2-kx+1图象始终在x 轴上方，进而根据判别式处理即可．【解答】：解：依题意，设y=x 2-kx+1，因为不等式x 2-kx+1＞0对任意实数x 都成立，所以△=k 2-4＜0，解得k∈（-2，2），故答案为：（-2，2）．【点评】：本题考查了二次函数的性质，二次函数与二次不等式的关系，考查分析解决问题的能力，属于基础题．15.（填空题，5分）椭圆 x 25+y 2m =1 的离心率为 √105 ，则实数m 的值为___ ． 【正确答案】：[1] 253或3【解析】：分当m ＞5和m ＜5时两种情况，根据e= c a 求得m ．【解答】：解：当m ＞5时，√m−5√m = √105 ，解得m= 253 ， 当m ＜5√5−m √5 = √105 解得m=3符合题意， 故答案为： 253或3【点评】：本题主要考查了椭圆的简单性质．要利用好椭圆标准方程中a ，b ，c 的关系．16.（填空题，5分）对于数列{a n }，定义A n = a 1+2a 2+⋯+2n−1a n n为数列{a n }的“好数”，已知某数列{a n }的“好数”A n =2n+1，记数列{a n -kn}的前n 项和为S n ，若S n ≤S 7对任意的n∈N *恒成立，则实数k 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] [94，167] 【解析】：先根据数列的递推式求出a n =2n+2，所以a n -kn=（2-k ）n+2，显然{a n -kn}是等差数列，所以{S n }中S 7最大，则数列{a n -kn}的第7项大于等于0，第八项小于等于0，列出不等式组，即可解得实数k 的取值范围．【解答】：解：由题意可知， a 1+2a 2+⋯…+2n−1a n =n •2n+1 ，则n≥2时， a 1+2a 2+⋯…+2n−2a n−1=(n −1)•2n ，两式相减得： 2n−1a n =n •2n+1−(n −1)•2n ，∴a n =2n+2，又∵A 1= a 11 =4，∴a 1=4，满足a n =2n+2，故a n =2n+2，∴a n -kn=（2-k ）n+2，显然{a n -kn}是等差数列，∵S n ≤S 7对任意的n∈N *恒成立，∴{S n }中S 7最大，则 {a 7−7k =7(2−k )+2≥0a 8−8k =8(2−k )+2≤0，解得： 94≤k ≤167 ， 故实数k 的取值范围是：[ 94 ， 167 ]．【点评】：本题主要考查了数列的递推式，以及等差数列的性质，是中档题．17.（问答题，10分）求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆 x 22 +y 2=1有相同的焦点，且经过点（1， 32 ）；（2）经过A （2，- √22 ），B （- √2 ，- √32 ）两点．【正确答案】：【解析】：（1）先求出已知椭圆的焦点坐标（±1，0），则可设出所求椭圆方程，代入已知点即可求解，（2）待定系数法设出椭圆方程，代入已知点即可求解．【解答】：解：（1）由已知椭圆方程可得焦点坐标为（±1，0），则可设所求的椭圆方程为： x 2m +y 2m−1=1(m ＞1) ，代入点（1， 32 ），解得m=4或 14 （舍），所以所求椭圆方程为： x 24+y 23=1 ，（2）设所求的椭圆方程为： x 2m +y 2n =1(m ＞0，n ＞0，m ≠n) ，代入已知两点可得：{4m +12n=12 m +34n=1，解得m=8，n=1，故所求的椭圆方程为：x 28+y2=1．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程以及焦点相同和不确定的问题的椭圆方程的设法，属于基础题．18.（问答题，12分）已知等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n+a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．【正确答案】：【解析】：（1）根据等差中项可得q=2，即可求出通项公式；（2）利用分组求和即可求出．【解答】：解：（1）设等比数列{a n}公比为q，则q≠0，∵a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项，∴2a2=a1+a3-1，即2q=1+q2-1，解得q=2，∴a n=2n-1；（2）b n=2n+a n=2n+2n-1；∴S n=2（1+2+3+…+n）+（20+21+22+…+2n-1）=n（n+1）+2n-1=n2+n+2n-1．【点评】：本题考查等比数列的通项公式和等差数列的性质，以及等差数列和等比数列的求和公式，考查了运算求解能力，属于基础题．19.（问答题，12分）已知函数f（x）=ax2+bx-a+2．（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程ax2+bx-a+2=0的两根分别为-1和3，由此建立关于a、b的方程组并解之，即可得到实数a、b的值；（2）不等式可化成（x+1）（ax-a+2）＞0，由此讨论-1与a−2a的大小关系，分3种情形加以讨论，即可得到所求不等式的解集．【解答】：解：（1）∵不等式f（x）＞0的解集是（-1，3）∴-1，3是方程ax2+bx-a+2=0的两根，∴可得{a−b−a+2=09a+3b−a+2=0，解之得{a=−1b=2------------（5分）（2）当b=2时，f（x）=ax2+2x-a+2=（x+1）（ax-a+2），∵a＞0，∴ (x+1)(ax−a+2)＞0⇔(x+1)(x−a−2a)＞0① 若−1=a−2a，即a=1，解集为{x|x≠-1}．② 若−1＞a−2a ，即0＜a＜1，解集为{x|x＜a−2a或x＞−1}．③ 若−1＜a−2a ，即a＞1，解集为{x|x＜−1或x＞a−2a}．------------（14分）【点评】：本题给出二次函数，讨论不等式不等式f（x）＞0的解集并求参数的值，着重考查了一元二次不等式的应用、一元二次不等式与一元二方程的关系等知识国，属于中档题．20.（问答题，12分）某工厂年初用98万元购买一台新设备，第一年设备维修及燃料、动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用12万元，以后每年都增加4万元，新设备每年可给工厂收益50万元．（Ⅰ）工厂第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：① 年平均获利最大时，以26万元出售该设备；② 总纯收入获利最大时，以8万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，第n年时累计的纯收入f （n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98，获利为f（n）＞0，解得n的值，可得第几年开始获利；（Ⅱ）计算方案① 年平均获利最大时及总收益；方案② 总纯收入获利最大时及总收益；比较两种方案，总收益相等，第一种方案需7年，第二种方案需10年，应选择第一种方案．【解答】：解：（Ⅰ）由题设每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，设第n年时累计的纯收入为f（n），则f（n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98=40n-2n2-98，获利为：f（n）＞0，∴4n-2n2-98＞0，即n2-20n+49＜0，∴10- √51＜n＜10+ √51；又n∈N，∴n=3，4，5， (17)∴当n=3时，即第3年开始获利．（Ⅱ）① 年平均收入为：f(n)n =40−2(n+49n)≤40−4√n•49n=12（万元）即年平均收益最大时，总收益为：12×7+26=110（万元），此时n=7；② f（n）=-2（n-10）2+102，∴当n=10时，f（n）max=102；总收益为110万元，此时n=10；比较两种方案，总收益均为110万元，但第一种方案需7年，第二种方案需10年，故选择第一种方案．【点评】：本题考查了数列与函数的综合应用问题，也是方案设计的问题；解题时应细心分析，认真解答，以免出错．21.（问答题，12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆的右焦点F作直线l，与椭圆相交于A，B两点，求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．【正确答案】：【解析】：（1）由长轴长即等边三角形可得a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）设直线l 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，代入面积公式，由均值不等式的性质可得面积的最大值，及直线l 的方程．【解答】：解：（1）由题意可得2a=4，2b= √b 2+c 2 =a ，所以a=2，b=1，所以椭圆的方程为： x 24 +y 2=1；（2）由（1）可得右焦点F 2（ √3 ，0），显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x=my+ √3 ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线l 与椭圆的方程 {x =my +√3x 24+y 2=1 ，整理可得：（4+m 2）y 2+2 √3 my-1=0， 可得y 1+y 2= −2√3m 4+m 2 ，y 1y 2= −14+m 2 ，所以S △AOB = 12 |OF 2||y 1-y 2|= 12×√3 × √(y 1+y 2)2−4y 1y 2= √32 •√12m 2(4+m 2)2+44+m 2= √32 •4√1+m 24+m 2=2 √3 •√1+m 24+m 2 =2 √3 •√1+m 2+3√2 √3 • 2√1+m 2•3√2 =1， 当且仅当 √1+m 2 = √1+m 2 m= ±√2 ，时三角形的面积最大为1，所以面积的最大值为1，这时直线l 的方程为x= ±√2 y+ √3 ．【点评】：本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题．22.（问答题，12分）已知各项均为正数的两个数列{a n }，{b n }满足a n+12-1=a n 2+2a n ，2a n =log 2b n +log 2b n+1+1，且a 1=b 1=1．（1）求证：数列{a n }为等差数列；（2）求数列{b n }的通项公式；（3）设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，求使得等式2S m +a m -36=T i 成立的有序数对（m ，i ）（m ，i∈N*）．【正确答案】：【解析】：（1）根据递推关系可得a n+12=（a n+1）2，从而得到数列{a n}为等差数列；（2）根据2a n=log2b n+log2b n+1+1，可知数列{b n}的奇数项和偶数项，进而整合即可得{b n}的通项公式．（3）分别求S n，T n，带入2S m+a m-36=T i成立，则存在s，t∈N*，使得2s=m+7，即2t=m-5，从而2s-2t=12，在证明s≥5不成立，从而得到s=4，m=9，i=6．【解答】：证明（1）：由a n+12-1=a n2+2a n，可得a n+12=a n2+2a n+1即a n+12=（a n+1）2，∵各项均为正数的两个数列{a n}，{b n}，可得a n+1=a n+1，即数列{a n}是首项为1，公差d=1的等差数列．解（2）：由（1）可得a n=n，∵2a n=log2b n+log2b n+1+1，可得b n b n+1=22n-1…… ①∴b n+1b n+2=22n+1…… ②将②①可得：b n+2b n=4．所以{b n}是奇数项和偶数项都成公比q=4的等比数列，由b1=1，b2=2，可得b2k-1=4k-1，b2k=2×4k-1，k∈N*，∴b n=2n-1．故得数列{b n}的通项公式为b n=2n-1．（3）由（1）和（2）可得S n= n(n+1)2，T n=2n-1；由2S m+a m-36=m（m+1）+m-36=2i-1，即（m-5）（m+7）=2i．则存在s，t∈N*，使得2s=m+7，即2t=m-5，从而2s-2t=12，若s≥5，则2s-2t-12≥20，∴t≥5，又∵s＞t，那么2s-2t≥2t+1-2t=2t≥32，可知与2s-2t=12相矛盾，可得s≤4，根据2s-2t=12，s，t∈N*，可得s=4，t=2，此时可得m=9，i=6．【点评】：本题考查了等差、等比数列的通项公式与前n项和公式的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于压轴题．。

2020-2021苏州星海学校高三数学上期中模拟试卷(含答案)一、选择题1．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810B ．840C ．870D ．9002．若不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]0,1C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U3．已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( ) A ．1SB ．19SC ．20SD ．37S4．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（ ） A ．1B ．32C ．2D ．35．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49B ．91C ．98D ．1826．在ABC V 中，4ABC π∠=，AB =3BC =，则sin BAC ∠=（ ）A．10B．5CD7．20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-38．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ）A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．403720209．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．210．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9B ．92C ．5D ．5211．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或13- B ．-3或13C ．3或13D ．-3或13-12．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，43a=，4b =，则B =（ ） A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒ C ．30B =︒ D ．60B =︒二、填空题13．在ABC V 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，且满足222sin sin sin sin sin A B C A B +=+，若ABC V 的面积为3，则ab =__14．已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．15．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++，则122016111a a a +++=L _________． 16．在平面内，已知直线12l l P ，点A 是12,l l 之间的定点，点A 到12,l l 的距离分别为和，点是2l 上的一个动点，若AC AB ⊥，且AC 与1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小值为____．17．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为________． 18．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元． 19．在中，若，则__________．20．正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ，6290-=a a ，则{}n a 前5项和为________.三、解答题21．在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S . 22．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1122log ,n n n n n b a a S b b b ==+++L ，求使1·262n nS n ++>成立的正整数n 的最小值．23．已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n n n a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 24．各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{(1)}nn a -•的前2n 项和2n T ．25．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，225+=-a S ，515=-S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求12231111+++⋯+n n a a a a a a . 26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211a =，7161S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若6512n n S a n >--，求n 的取值范围； （3）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3165)8402+=，选B.2．D解析：D【解析】【分析】要确定不等式组22yx yx yx y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出22yx yx y⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…，再对a值进行分类讨论，找出满足条件的实数a的取值范围．【详解】不等式组22yx yx y⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…表示的平面区域如图中阴影部分所示．由22x yx y=⎧⎨+=⎩得22,33A⎛⎫⎪⎝⎭，由22yx y=⎧⎨+=⎩得()10B,．若原不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭U 故选：D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．3．D解析：D 【解析】 【分析】由已知条件判断出公差0d <，对20191<-a a 进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求出结果. 【详解】已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，则2019190a a a +<， 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>， 31208190a a a a ∴+=+<，380S <，则n S 的最小正值为37S 故选D 【点睛】本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.4．B解析：B 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线20kx y -+=过定点()0,1，再利用k 的几何意义，只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时，k 值即可． 【详解】直线20kx y -+=过定点()0,1，作可行域如图所示，，由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得()2,4B ． 当定点()0,1和B 点连接时，斜率最大，此时413202k -==-， 则k 的最大值为：32故选：B ． 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．5．B解析：B 【解析】∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．6．C解析：C 【解析】试题分析：由余弦定理得229223cos5,54b b π=+-⋅==.由正弦定理得35sin sin4BAC π=∠310sin BAC ∠= 考点：解三角形.7．D解析：D 【解析】作出不等式对应的平面区域， 由z=x+y,得y=−x+z,平移直线y=−x+z ，由图象可知当直线y=−x+z 经过点A 时，直线y=−x+z 的截距最大， 此时z 最大为6.即x+y=6.经过点B 时，直线y=−x+z 的截距最小，此时z 最小． 由6{x y x y +=-=得A(3,3)，∵直线y=k 过A ， ∴k=3. 由3{20y k x y ==+=,解得B(−6,3).此时z 的最小值为z=−6+3=−3， 本题选择D 选项.点睛：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：b zy x a b =-+，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．8．B解析：B 【解析】 【分析】由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得1n a =()21n n +=2（1n -11n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1， 即有n ≥2时，a n -a n -1=n ，可得a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1）=1+2+3+…+n=12n（n+1），1n=也满足上式1na=()21n n+=2（1n-11n+），则122019111a a a++⋯+=2（1-12+12-13+…+12019-12020）=2（1-12020）=20191010．故选:B．【点睛】本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．9．D解析：D【解析】作出不等式组2040x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域，如图所示，当0x≥时，可行域为四边形OBCD内部，目标函数可化为2z y x=-，即2y x z=+，平移直线2y x=可知当直线经过点(0,2)D时，直线的截距最大，从而z最大，此时，max2z=，当0x<时，可行域为三角形AOD，目标函数可化为2z y x=+，即2y x z=-+，平移直线2y x=-可知当直线经过点(0,2)D时，直线的截距最大，从而z最大，max2z=，综上，2z y x=-的最大值为2．故选D．点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by+型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b+++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.10．B解析：B【解析】【分析】设f（x）1221x x=+-，根据形式将其化为f（x）()1152221x xx x-=++-．利用基本不等式求最值，可得当且仅当x13=时()11221x xx x-+-的最小值为2，得到f（x）的最小值为f（13）92=，再由题中不等式恒成立可知m≤（1221x x+-）min，由此可得实数m的最大值．【详解】解：设f（x）11222211x x x x=+=+--（0＜x＜1）而1221x x+=-[x+（1﹣x）]（1221x x+-）()1152221x xx x-=++-∵x∈（0，1），得x＞0且1﹣x＞0∴()11221x xx x-+≥-=2，当且仅当()112211x xx x-==-，即x13=时()11221x xx x-+-的最小值为2∴f（x）1221x x=+-的最小值为f（13）92=而不等式m1221x x≤+-当x∈（0，1）时恒成立，即m≤（1221x x+-）min因此，可得实数m的最大值为9 2故选：B．【点睛】本题给出关于x 的不等式恒成立，求参数m 的取值范围．着重考查了利用基本不等式求函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．11．C解析：C 【解析】很明显等比数列的公比1q ≠，由题意可得：()231113S a q q =++=，①且：()21322a a a +=+，即()211122a q a a q +=+，②①②联立可得：113a q =⎧⎨=⎩或1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，综上可得：公比q =3或13. 本题选择C 选项.12．C解析：C 【解析】 【分析】将已知代入正弦定理可得1sin 2B =，根据a b >，由三角形中大边对大角可得：60B <︒，即可求得30B =︒. 【详解】解：60A =︒Q，a=4b =由正弦定理得：sin 1sin 2b A B a === a b >Q 60B ∴<︒30B ∴=︒故选C. 【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.二、填空题13．4【解析】【分析】由正弦定理化简已知等式可得由余弦定理可得根据同角三角函数基本关系式可得进而利用三角形面积公式即可计算得解【详解】由正弦定理可得即：由余弦定理可得可得的面积为可得解得故答案为4【点睛解析：4【解析】 【分析】由正弦定理化简已知等式可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得cos C ，根据同角三角函数基本关系式可得sin C ，进而利用三角形面积公式即可计算得解． 【详解】222sin sin sin sin sin A B C A B +=+Q ，∴由正弦定理可得，222ab c a b +=+，即：222a b c ab +-=，∴由余弦定理可得，2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，可得sin 2C ==， ABC QV1sin 2ab C ==，∴解得4ab =，故答案为4． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．14．【解析】【分析】利用余弦定理得到进而得到结合正弦定理得到结果【详解】由正弦定理得【点睛】本题考查解三角形的有关知识涉及到余弦定理正弦定理及同角基本关系式考查恒等变形能力属于基础题解析：3【解析】 【分析】 利用余弦定理得到cos C ，进而得到sin C ，结合正弦定理得到结果. 【详解】925491cos ,sin 302C C +-==-=，由正弦定理得2sin c R R C ===. 【点睛】本题考查解三角形的有关知识，涉及到余弦定理、正弦定理及同角基本关系式，考查恒等变形能力，属于 基础题.15．【解析】试题分析：所以所以考点：累加法；裂项求和法解析：40322017【解析】试题分析：111,n n n n a a n a a n +--=+-=，所以()11221112n n n n n n n a a a a a a a a ---+=-+-++-+=L ，所以11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，122016111140322120172017a a a ⎛⎫+++=-= ⎪⎝⎭L . 考点：累加法；裂项求和法.16．6【解析】【分析】【详解】如图所示设由题意知与相似所以所以所以当且仅当即时等号成立所以面积的最小值为6解析：6 【解析】 【分析】 【详解】 如图所示，设BF x =，由题意知3,2AE AF ==ABF ∆与CAE ∆相似，所以AB BF CA AE =,所以3AC AB x=,所以211322ABC S AB AC AB x∆==⨯ 21363(4)622x x x x =⨯⨯+=+≥，当且仅当632xx =，即2x =时，等号成立，所以CAE ∆面积的最小值为6.17．或6【解析】【分析】由题意要分公比两种情况分类讨论当q ＝1时S3＝3a1即可求解当q≠1时根据求和公式求解【详解】当q ＝1时S3＝3a1＝3a3＝3×＝符合题意所以a1＝；当q≠1时S3＝＝a1(1解析：32或6【解析】 【分析】由题意，要分公比1,1q q =≠两种情况分类讨论，当q ＝1时，S 3＝3a 1即可求解，当q ≠1时，根据求和公式求解. 【详解】当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3a 3＝3×32＝92，符合题意，所以a 1＝32； 当q ≠1时，S 3＝()3111a q q--＝a 1(1＋q ＋q 2)＝92，又a 3＝a 1q 2＝32得a 1＝232q ，代入上式，得232q (1＋q ＋q 2)＝92，即21q ＋1q －2＝0， 解得1q ＝－2或1q＝1(舍去)． 因为q ＝－12，所以a 1＝23122⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭ ＝6，综上可得a 1＝32或6. 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质及等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属于中档题.18．2300【解析】【分析】【详解】设甲种设备需要生产天乙种设备需要生产天该公司所需租赁费为元则甲乙两种设备生产AB 两类产品的情况为下表所示:产品设备 A 类产品（件）（≥50） B 类产品（件）（≥140解析：2300 【解析】 【分析】 【详解】设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则200300z x y =+，甲、乙两种设备生产A,B 两类产品的情况为下表所示:产品 设备A 类产品 （件）（≥50）B 类产品 （件）（≥140）租赁费（元）甲设备510200乙设备620300则满足的关系为5650{10201400,0x y x y x y +≥+≥≥≥即:6105{2140,0x y x y x y +≥+≥≥≥, 作出不等式表示的平面区域,当200300z x y =+对应的直线过两直线610{5214x y x y +=+=的交点（4,5）时，目标函数200300z x y =+取得最低为2300元．19．2π3【解析】∵由正弦定理可得sinA:sinB:sinC=7:8:13∴a：b ：c=7：8：13令a=7kb=8kc=13k （k>0）利用余弦定理有cosC=a2+b2-c22ab=49k2+64 解析：【解析】 ∵由正弦定理可得，∴，令，，（），利用余弦定理有，∵，∴，故答案为.20．93【解析】【分析】运用等比数列通项公式基本量的计算先求出首项和公比然后再运用等比数列前项和公式求出前项和【详解】正项等比数列满足即则有代入有又因为则故答案为【点睛】本题考查了求等比数列前项和等比数解析：93【解析】 【分析】运用等比数列通项公式基本量的计算，先求出首项和公比，然后再运用等比数列前n 项和公式求出前5项和. 【详解】正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ，6290-=a a ，即24222218,90a q a a q a -=-=则有()()()22222118,1190a q a q q -=-+= 代入有221=5,4q q +=又因为0q >，则212,6,3q a a =∴==()553129312S ⨯-∴==-故答案为93 【点睛】本题考查了求等比数列前n 项和等比数列通项公式的运用，需要熟记公式，并能灵活运用公式及等比数列的性质等进行解题，本题较为基础.三、解答题21．（1）32n a n =-+（2）n S 23212n n n-=+-【解析】 【分析】（1）依题意()()382726a a a a d +-+==-，从而3d =-.由此能求出数列{}n a 的通项公式；（2）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求出112322n n n n b a n --=-=-+，再分组求和即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差是d . 由已知()()382726a a a a d +-+==-， ∴3d =-，∴2712723a a a d +=+=-， 得 11a =-，∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-+.（2）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，∴12n n n a b -+=，∴112322n n n n b a n --=-=-+，∴()()21147321222n n S n -=+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦()31212nn n -=+-， 23212n n n -=+-.【点睛】本题考查数列的通项公式和前n 项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.22．（1）2nn a =；（2）6．【解析】试题分析：（1）求等比数列的通项公式，关键是求出首项和公比，这可直接用首项1a 和公比q 表示出已知并解出即可（可先把已知化简后再代入）；（2）求出n b 的表达式后，要求其前n 项和，需用错位相减法．然后求解不等式可得最小值． 试题解析：（1）∵32a +是24,a a 的等差中项，∴()32422a a a +=+， 代入23428a a a ++=，可得38a =，∴2420a a +=，∴212118{20a q a q a q =+=，解之得122a q =⎧⎨=⎩或132{12a q ==， ∵1q >，∴122a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2nn a =（2）∵1122log 2log 2?2n n nn n n b a a n ===-， ∴()21222?2n n S n =-⨯+⨯++L ，．．．．．．．．．．．．．．．①()23121222?2?2nn S n n +=-⨯+⨯+++L ，．．．．．．．．．．．．．②②—①得()2311112122222?2?222?212nn n n n n nS n n n ++++-=+++-=-=---L∵1·262n n S n ++>，∴12262n +->，∴16,5n n +>>， ∴使1·262n n S n ++>成立的正整数n 的最小值为6 考点：等比数列的通项公式，错位相减法． 23．（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）先由公式1n n n a S S -=-求出数列{}n a 的通项公式；进而列方程组求数列{}n b 的首项与公差，得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）可得()1312n n c n +=+⋅，再利用“错位相减法”求数列{}n c 的前n 项和nT .试题解析：（1）由题意知当2n ≥时，165n n n a S S n -=-=+， 当1n =时，1111a S ==，所以65n a n =+． 设数列{}n b 的公差为d ，由112223{a b b a b b =+=+，即11112{1723b d b d=+=+，可解得14,3b d ==， 所以31n b n =+．（2）由（1）知()()()116631233n n n nn c n n +++==+⋅+，又123n n T c c c c =+++⋅⋅⋅+，得()2341322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，()34522322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，两式作差，得()()()23412224213222221234123221nn n n n n T n n n ++++⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯=⨯+-+⨯=-⋅⎣⎦-⎢⎥⎣⎦所以232n n T n +=⋅．考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前n 项和. 【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前n 项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前n 项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -. 24．(1) 23n a n =- (2) 22n T n = 【解析】 【分析】（1）由题意，可知2324(1)a a S =⋅+，解得2d =，即可求解数列的通项公式；（2）由（1），可知12n n a a --=，可得()()()21234212...n n n T a a a a a a -=-++-+++-+，即可求解.【详解】（1）由题意，可知数列{}n a 中，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列.则2324(1)a a S =⋅+，即()()()212136d d d -+=-+-+，解得2d =，所以数列的通项公式23n a n =-. （2）由（1），可知12n n a a --=，所以()()()21234212...2n n n T a a a a a a n -=-++-+++-+=. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“分组求和”的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确求得等差数列的公差是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 25．（1）n a n =-；（2）1n n +. 【解析】 【分析】(1)利用方程的思想，求出首项、公差即可得出通项公式；（2）根据数列{}n a 的通项公式表示出11n n a a +，利用裂项相消法即可求解. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由221325+=+=-a S a d ，5151015=+=-S a d ，即123+=-a d ，解得11a =-，1d =-， 所以()11=---=-n a n n .（2）由n a n =-，所以11111(1)1+==-++n n a a n n n n ， 所以122311111111112231+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n a a a a a a n n 1111nn n =-=++. 【点睛】 利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项； (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．26．（1）61n a n =-；（2）9n ≥且*n N ∈；（3）5(65)n nT n =+．【解析】 【分析】（1）首先根据题意列出方程217111721161a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解方程组再求n a 即可.（2）首先计算n S ，再解不等式6512n n S a n >--即可.（3）首先得到11166(1)65n b n n =--+，再利用裂项法即可得到前n 项和n T 的值. 【详解】（1）由题意得217111721161a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得156a d =⎧⎨=⎩所以61n a n =-． （2）由（1）得2(1)56322n n n S n n n -=+⨯=+， 因为6512n n S a n >--，即2329180n n -+≥. 解得23n ≤或9n ≥， 因为1n ≥且*n ∈N ，所以n 的取值范围为9n ≥且*n ∈N . （3）因为11111611()()6(615)566n n n b a a n n n n +===--+-+， 所以1111111[()()()]651111176165n T n n =-+-+⋯+--+ 1116565(5)65)(n n n -==++ 【点睛】本题第一问考查等差数列通项公式的求法，第二问考查等差数列前n 项和n S 的求法，第三问考查裂项法求和，属于中档题.。

2020-2021苏州星海学校高二数学上期末模拟试卷(含答案)一、选择题1．气象意义上的春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度不低于022C .现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是正整数）： ①甲地：5个数据是中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据是中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8 则肯定进入夏季的地区有（ ） A ．①②③B ．①③C ．②③D ．①2．将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（ ） A ．0795B ．0780C ．0810D ．08153．2018年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数是（ ）A ．45B ．47C ．48D ．634．在半径为2圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（ ） A ．4π B ．3πC ．2πD ．1π5．已知线段MN 的长度为6，在线段MN 上随机取一点P ，则点P 到点M ，N 的距离都大于2的概率为( ) A ．34B ．23C ．12D ．136．执行如图的程序框图，如果输出的是a=341，那么判断框（ ）A ．4k <B ．5k <C ．6k <D ．7k <7．我国古代数学著作《九章算术》中，有这样一道题目：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升.问：米几何？”下图是源于其思想的一个程序框图，若输出的3S =（单位：升），则输入的k =（ ）A ．9B ．10C ．11D ．128．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化、相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被3sin6y x π=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．136B ．118C ．112D ．199．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( ) A ．13B ．512C ．12D ．71210．根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 关于x 的线性回归方程是9944y x =+$，则表中m 的值为( ) x 8 10 1112 14 y2125m2835A ．26B ．27C ．28D ．2911．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以,OA OB 为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．21π-B ．122π- C ．2πD ．1π12．下表是某两个相关变量x ，y 的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆ0.70.35yx =+，那么表中t 的值为（ ） x 3 4 5 6 y2.5t44.5A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.5二、填空题13．将函数sin 23cos 2y x x =-的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则5()6g π__________.14．在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相离”发生的概率为_______。

江苏省昆山中学2020～2021学年第一学期期中考试高二数学 2020．11注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包括单项选择题(第1题～第8题)、多项选择题(第9题～第12题)、填空题(第13题～第16题)、解答题(第17题～第22题)四个部分．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置．3．答题时，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．请将各小题的唯一正确．．．．选项填涂在答题卡的相应位置上．．．．．．．．．． 1．不等式(2)8x x -<的解集是 ·································································· ( ▲ ) A ．{|42}x x -<<B ．{|42}x x x <->或C ．{|24}x x -<<D ．{|24}x x x <->或2．已知命题p ：0x ∀≥，2x ≥1，则命题p 的否定是 ···································· ( ▲ ) A ．0x ∃≥，21x <B ．0x ∀≥，21x <C ．0x ∃<，21x <D ．0x ∀<，21x <3．已知a b <，则下列结论正确的是 ··························································· ( ▲ ) A ．22a b <B ．33a b <C ．2b ab >D ．11a b> 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28S =，38522a a a +=+，则1a 等于 ··· ( ▲ ) A ．1B ．2C ．3D ．45．已知x 为实数，则“0x >”是“451x x +-≥”的 ···································· ( ▲ ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知关于x 的不等式|||2|3x a x a -+-≥对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围 是 ···································································································· ( ▲ ) A ．11a -≤≤ B ．1a -≤或1a ≥ C ．33a -≤≤D ．3a -≤或3a ≥7．在我国古代数学著作《九章算术》里有这样一段描述：今有良马和驽马发长安至齐， 齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十 七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．则二马相逢时，良马比驽马 多走了多少路程 ················································································· ( ▲ ) A ．440里B ．540里C ．630里D ．690里8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列命题一定正确的是 ···················· ( ▲ )A ．若20210S >，则130a a +>B ．若20200S >，则130a a +>C ．若20210S >，则240a a +>D ．若20200S >，则240a a +>二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将各小题的所有正确．．．．选项填涂在答题卡的相应位置上．．．．．．．．．．（选出全部正确选项得5分，漏选正确选项得3分，错选得0分） 9．若正实数a ，b 满足a +b =4ab ，则下列不等式一定成立的是 ·························· ( ▲ ) A ．14ab ≥B ．14ab ≤C ．1a b +≥D ．1a b +≤10．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，4n n b a =+，若数列{}n b 有连续4项在集合{50,20,22,40,85}--中，则公比q 的值可以是 ········································· ( ▲ ) A ．34-B ．23-C ．43-D ．32-11．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，0d <，则下列结论正确的是 ( ▲ )A ．数列{}n a 单调递减B ．数列{}n a 有最大值C ．数列{}n S 单调递减D ．数列{}n S 有最大值12．若关于x 的不等式21ax bx c ++0≤≤(0a >)的解集为{|12}x x -≤≤，则3a +2b +c的值可以．．是······················································································ ( ▲ ) A ．13B ．23C ．45D ．54三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 13．若命题“∃x ∈R ，使得20x ax a ++<”是真命题，则实数a 的取值范围是▲． 14．已知正实数a ，b 满足1ab =，则118a b a b+++的最小值为▲． 15．已知等比数列{}n a 单调递增，若147a a +=，236a a +=，则12a a +=▲． 16．在数列{}n a 中，11a =，131n n n a a n++=+(n ∈N *)，则3a =▲，n a =▲．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）已知集合{|||1}A x x a =-<，2{|230}B x x x =+-<． （1）若x A ∈是x B ∈充分不必要条件，求实数a 的取值范围；（2）若存在实数x ，使得x A ∈和x B ∈同为真命题，求实数a 的取值范围．18．（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，▲． ①382a a +=-；②728S =-；③245,,a a a 成等比数列．请在①②③这三个条件中选择一个，填入题中的横线上，并解答下面的问题： （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值并指明相应n 的值．19．（本题满分12分）已知数列{}n a 满足a 1＝1，na n +1＝2(n ＋1)a n ，设nn a b n=． （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{a n }的前n 项和n S ．20．（本题满分12分）如图，设矩形ABCD (AB >BC )的周长为20cm ，把△ABC 沿AC 向△ADC 折叠，AB 折过去后交DC 于点P ．设AB =x (cm)，DP =y (cm)，△ADP 的面积为S ． （1）请用x 表示y ，并指明x 的取值范围； （2）求出S 的最大值及相应的x 的值．21．（本题满分12分）已知函数()||f x x x m =-．（1）若3m =，解不等式()2f x >；（2）若0m >，且()f x 在[0,2]上的最大值为3，求正实数m 的值．22．（本题满分12分）数列{}n a 是公差为d 的等差数列，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，记数列{}n b 的 前n 项和为n S ．已知11a b =，221a b a =≠．（1）若k m b a =(m ，k 是大于2的正整数)，求证：11(1)k S m a -=-；（2）若3i b a =(i 是某个确定的正整数)，求证：数列{}n b 中每个项都是数列{}n a 的项．2020~2022学年第一学期期中调研测试试卷高二数学参考解答与评分标准一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．EPDCBA(第20题)1．C 2．A 3．B 4．C 5．B6．D7．B8．A二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 9．AC10．BD11．ABD12．BC三、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．13．0a <或4a > 14． 15．4 16．272，2(3)4n n +四、解答题：本大题共6小题，共计70分． 17．(本题满分10分)解：（1）∵{|||1}{|11}A x x a x a x a =-<=-<<+． ········································· 2ʹ又∵2{|230}{|31}B x x x x x =+-<=-<<． ·············································· 4ʹ ∵x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，∴A B ⊆．······································· 5ʹ ∴1311a a --⎧⎨+⎩≥≤， ·················································································· 6ʹ 解得：20a -≤≤．∴实数a 的取值范围是[2,0]-． ································ 7ʹ （2）∵存在实数x ，使得x A ∈和x B ∈同为真命题，∴AB ≠∅． ············· 8ʹ∴1311a a +>⎧⎨-<⎩， ···················································································· 9ʹ 解得：42a -<<．∴实数a 的取值范围是(4,2)-． ································· 10ʹ18．(本题满分12分)解：（1）∵12n n n S S a +=++，∴12n n a a +-=． ··············································· 2ʹ∴数列{}n a 是公差d =2的等差数列． ························································ 3ʹ 选①，∵382a a +=-，∴1292a d +=-，解得：110a =-． ························ 5ʹ ∴212n a n =-． ·················································································· 6ʹ 选②，∵728S =-，∴1767282a d ⨯+=-，解得：110a =-． ······················ 5ʹ ∴212n a n =-． ·················································································· 6ʹ 选③，∵245,,a a a 成等比数列，∴2425a a a =，即2111(3)()(4)a d a d a d +=++．解得：110a =-． ················································································ 5ʹ ∴212n a n =-． ·················································································· 6ʹ（2）解法一：令100n n a a +⎧⎨⎩≤≥，即21202100n n -⎧⎨-⎩≤≥，解得：56n ≤≤．∴12345,,,,0a a a a a <，60a =，78,,0a a ⋅⋅⋅>． ··········································· 8ʹ∴当n =5或n =6时，n S 可取得最小值． ····················································· 10ʹ ∴min 56()(10)(8)(2)30n S S S ===-+-+⋅⋅⋅+-=-． ······························· 12ʹ解法二：∵2(1)102112n n n S n n n -=-+⨯=-(n ∈N *) ································ 8ʹ ∴当n =5或n =6时，n S 可取得最小值． ····················································· 10ʹ ∴2min 56()511530n S S S ===-⨯=-． ·················································· 12ʹ19．(本题满分12分) 解：（1）∵12(1)n n na n a +=+，∴121n n a a n n+=+． 又∵nn a b n=，∴12n n b b +=． ································································· 2ʹ∵111b a ==，∴12n nb b +=． ·································································· 3ʹ ∴数列{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列． ······································· 4ʹ ∵12n nb -=． ······················································································ 5ʹ （2）∵12n nn a nb n -==⋅． ·································································· 6ʹ 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，∴121122322n n S n -=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯①．∴12312122232(1)22n n nS n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+⨯②．由①－②可得：121112222n n nS n ---=+++⋅⋅⋅+-⨯． ······························· 8ʹ ①②1221(1)212nn n n S n n --=-⨯=----．∴(1)21n n S n =-+． ··········································································· 12ʹ20．(本题满分12分)EPDCBA (第20题)解：（1）∵矩形ABCD ，且△ABC 沿AC 向△ADC 折叠．∴AD=EC ，∠ADP=∠CEP=90°，∠APD =∠CPE ． ∴△ADP ≌△CEP ，∴AP =CP ．························· 2ʹ 在直角三角形ADP 中，∵AB =x (cm)，DP =y (cm)，∴AP =CP =x －y (cm)． 又∵矩形ABCD (AB >BC )的周长为20cm ，∴AD =10－x (cm)． 由勾股定理可得：222(10)()x y x y -+=-． ············································ 4ʹ 化简可得：2010050102x y x x-==-． ····················································· 5ʹ ∵AB >BC ，∴50010x x<-<，解得：510x <<． ···································· 6ʹ （2）∵115050(10)(10)5[15()]22S AD DP x x x x=⋅=--=-+． ················ 8ʹ ∵510x <<，由基本不等式：50x x+≥ ······································ 10ʹ∴75S -≤当且仅当x =时，等号成立)． ································ 11ʹ∴当x =时，S可取得最大值75- ······································· 12ʹ21．(本题满分12分)解：（1）∵m=3，∴()|3|2f x x x =->．1°当3x <时，原不等式可化为：(3)2x x ->，即：2320x x -+<，解得：12x <<．∴12x <<符合题意． ···················· 2ʹ 2°当3x ≥时，原不等式可化为：(3)2x x ->， 即：2320x x -->，解得：32x <或32x +>．∴32x +>符合题意． ······································································ 4ʹ综上所述：原不等式的解集为：{|12x x x <<>或． ······················ 5ʹ （2）解法一：∵m >0，∴f (x )的大致图像如下图所示：∴函数y=f(x)在[0,2]上的最大值只可能 在2mx =或x =2处取得． ······················· 6ʹ 1°若()32m f =，则||322m mm -=，即212m =，∵m当m =()|f x x x =-，此时(2)1)<3f =，符合题意． ·· 8ʹ 2°若(2)3f =，则2|2|3m -=，解得：12m =或72m =． ····························· 9ʹ 当12m =时，1()||2f x x x =-，此时11()()32416m f f ==<，符合题意． ····· 10ʹ 当72m =时，7()||2f x x x =-，此时749()()32416m f f ==>，不符合题意． ·· 11ʹ综上可知：正实数m 的值为12m =或m = ········································ 12ʹ 解法二：1°当22m≥时，即4m ≥时． 函数()||f x x x m =-在[0,2]上单调递增，∴max ()(2)2|2|3f x f m ==-=解得：12m =或72m =，均不符合题意，舍去． ··········································· 7ʹ2°当1222m m <≤时，即44m <≤时．函数()||f x x x m =-在[0,]2m ，[,)m +∞上单调递增，在[,]2mm 上单调递减， 且(2)()2m f f ≤．∴max ()()||3222m m mf x f m ==-=解得：m = ···································································· 9ʹ3°当122m >时，即4m <时函数()||f x x x m =-在[0,]2m ，[,)m +∞上单调递增，在[,]2mm 上单调递减， 且(2)()2mf f >．∴max ()(2)2|2|3f x f m ==-=，解得：12m =或72m =(不符合题意，舍去)．∴12m =．······························· 11ʹ综上可知：正实数m 的值为12m =或m = ········································ 12ʹ22．(本题满分12分)解：（1）∵11a b =，22a b =且12a a ≠．∴11a d a q +=，∴1(1)d a q =-且1q ≠．∵km b a =，∴111(1)k a q a m d -=+-，即11(1)(1)k a q m d --=-． ················ 2ʹ又∵11111(1)(1)(1)(1)(1)111k k a q m a q m d S m a q q q--------====----． ············· 4ʹ （2）首先证明q 为整数∵3i b a =，∴211(1)a qa i d =+-，即21(1)(1)a q i d -=-又∵211(1)d a a a q =-=-，∴211(1)(1)(1)a q a i q -=--．∵10a ≠且1q ≠，∴11q i +=-，即2q i =-． ······································ 6ʹ∴q 为整数．再证明数列{}n b 中的任意一项m b 都在数列{}n a 中1°当m =1或m =2时，∵11a b =，22a b =，∴结论成立． 2°当3m ≥时，只要证明：对任意的3m ≥，m ∈N*， 总存在正整数k 使得等式m k b a =，即111(1)m a q a k d -=+-成立． ················· 7ʹ令111(1)m mb a q a k d -==+-，则111(1)(1)(1)m a q a k q --=--∴1221121m m q k q q q q ---=+=+++⋅⋅⋅+-． ··············································· 9ʹ ∵2q i =-．（i ）若1i =，则1q =-，22m q qq -++⋅⋅⋅+=－1或0，此时k=1或k=2． ···· 10ʹ （ii ）若2i =，则0q =，不符合题意． ··················································· 11ʹ （iii ）若3i ≥，则q 为正整数，∴k 为正整数． ······································· 12ʹ ∴对任意的3m ≥，m ∈N*，总存在正整数k 使得等式m k b a =．∴原命题得证．。

2020-2021学年江苏省苏州市工业园区星海中学初三上期中模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列方程为一元二次方程的是（ ）A ．320x -=B ．223x x --C ．2410x x --=D ．10xy +=2．如图，等腰三角形ABC 的顶角为120︒，底边BC =AB 为（ ）．A ．2BC ．12D 3．Rt ABC △中的各边都扩大2倍，则A ∠的余弦值（ ）．A ．扩大2倍B ．缩小2倍C ．不变D ．不能确定 4．二次函数22(1)1y m x x m =-++-图像经过原点，则m 的值为（ ）． A ．1 B ．1- C ．1或1- D ．0 5．在同一坐标系中，函数y ＝ax 2+bx 与y ＝b x的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 6．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋ax －2b ＝0的两个实数根，且x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝1，则b a 的值是( )A ．14B ．－14C ．4D ．－17．一人乘雪橇沿坡度为1S （米）与时间t （秒）之间的关系为S=10t+2t 2，若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为（ ）A ．72米B ．36米C ．D ．米8．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么abc ，24b ac -，2a b +，a b c++这四个代数式中，值为正数的有（ ）．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．抛物线243y x x =--与x 轴交于点A 、B ，顶点为P ，则PAB △的面积是（ ）．A．B ．C ．D ．1210．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，如果12OB OC OA ==，那么b 的值为（ ）．A ．2-B ．1-C ．12-D ．12二、填空题 11．已知关于x 的方程()()21210m x m x m -++-=是一元二次方程，则m 的取值应满足__________．12．设m ，n 分别为一元二次方程x 2+2x ﹣2018=0的两个实数根，则m 2+3m+n=______． 13．抛物线2(0)y ax bx c a =++≠，对称轴为直线2x =，且经过点(3,1)P -，则a b c ++的值=__________．14．已知α是锐角，且()sin 15a +︒=，则()1014cos 7π-3.14tan 3αα-⎛⎫-++= ⎪⎝⎭__________．15．某坡面的坡度为__________度． 16．如图，小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得8CD =，20BC =米，CD 与地面成30角，且此时测得1米的影长为2米，则电线杆的高度为=__________米．17．二次函数y=x 2-2x-3的图象如图所示,若线段AB 在x 轴上,且AB 为,以AB 为边作等边△ABC,使点C 落在该函数y 轴右侧的图象上,则点C 的坐标为__.18．甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P ，羽毛球飞行的水平距离s （米）与其距地面高度h （米）之间的关系式为21231232h s s =-++，如图，已知球网AB 距原点5米，乙（用线段CD 表示）扣球的最大高度为94米，设乙的起跳点C 的横坐标为m ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m 的取值范围是__________．三、解答题19．解下列方程：（1）2630x x --=；（2）223(2)4x x -=-．20．（2011•淮安）如图．已知二次函数y=﹣x 2+bx+3的图象与x 轴的一个交点为A （4，0），与y 轴交于点B ．（1）求此二次函数关系式和点B 的坐标；（2）在x 轴的正半轴上是否存在点P ．使得△PAB 是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知关于x 的方程：2244(3)x m x m --=（1）求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根．（2）若这个方程的两个实数根1x 、2x 满足211x x -=，求m 的值及相应的1x 、2x ．22．如图，抛物线23y x bx =+-与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，并且OA OC =．（1）求这条抛物线的关系式；（2）过点C 作CE x ∥轴，交抛物线于点E ，设抛物线的顶点为点D ，试判断CDE △的形状，并说明理由．23．如图，在一笔直的海岸线l 上有A ，B 两个观测站，A 在B 的正东方向，AB ＝2（单位：km ）．有一艘小船在点P 处，从A 测得小船在北偏西600的方向，从B 测得小船在北偏东450的方向．（1）求点P 到海岸线l 的距离；（2）小船从点P 处沿射线AP 的方向航行一段时间后，到达点C 处．此时，从B 测得小船在北偏西150的方向．求点C 与点B 之间的距离．（上述2小题的结果都保留根号）24．某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观，如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响，但同时考虑到文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入，因此，博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数，在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系．在这种情况下，如果要保证每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价格应是多少．25．如图，抛物线与y 轴交于点()0,4A ，与x 轴交于B 、C 两点，其中OB 、OC 是方程的210160x x -+=两根，且OB OC <．（1）求抛物线的解析式；（2）直线AC 上是否存在点D ，使BCD 为直角三角形．若存在，求所有D 点坐标；反之说理；（3）点P 为x 轴上方的抛物线上的一个动点（A 点除外），连PA 、PC ，若设PAC 的面积为S ．P 点横坐标为t ，则S 在何范围内时，相应的点P 有且只有1个．参考答案1．C【详解】解：选项A 是一元一次方程；选项B 是二次三项式，是多项式，不是等式；选项C 是一元二次方程；选项D 是二元方程．故选C2．C【解析】过A 作AD BC ⊥，∵120BAC ∠=︒，AB AC =．∴60BAD CAD ∠=∠=︒，12BD CD BC === 在Rt △ABD 中，90ADB ∠=︒，60BAD ∠=︒，∴30B ∠=︒，12AD AB =，BD AB =，∴2AB AD ==，∴12AB ==． 故选C.3．C【解析】∵每条边都扩大2倍，∴cos A A ∠∠=的邻边斜边的值不变．故选C. 4．B【解析】22(1)1y m x x m =-++-的图像过原点，所以当0x =时0y =，即21010m m ⎧-=⎨-≠⎩，解得m=-1．故选B.5．D【解析】试题解析：A 、根据反比例函数得出b ＞0，根据二次函数得出a ＞0，b ＜0，所以b 的范围不同，故本选项错误；B 、根据反比例函数得出b ＞0，根据二次函数得出a ＜0，b ＜0，所以b 的范围不同，故本选项错误；C 、根据反比例函数得出b ＜0，根据二次函数得出a ＞0，b ＞0，所以b 的范围不同，故本选项错误；D 、根据反比例函数得出b ＞0，根据二次函数得出a ＜0，b ＞0，所以b 的范围相同，故本选项正确；故选D ．6．A【解析】【分析】根据根与系数的关系和已知x 1+x 2和x 1•x 2的值，可求a 、b 的值，再代入求值即可．【详解】解：∵x 1，x 2是关于x 的方程x 2+ax ﹣2b=0的两实数根，∴x 1+x 2=﹣a=﹣2，x 1•x 2=﹣2b=1，解得a=2，b=−12，∴b a =（−12）2=14．故选A ．7．B【分析】求滑下的距离，设出下降的高度，表示出水平高度，利用勾股定理即可求解.【详解】当4t =时，210272s t t =+=，设此人下降的高度为x 米，过斜坡顶点向地面作垂线，在直角三角形中，由勾股定理得：)22272x +=， 解得36x =.故选：B .【点睛】此题主要考查了坡角问题，理解坡比的意义，使用勾股定理，设未知数，列方程求解是解题关键.8．B【解析】∵开口向上，∴0a >， ∵02b x a=->对 ， ∴0b <，当0x =时，0y c ==，∴0abc =，∵图像与x 轴有2个不同的交点，∴240b ac ->， ∵012b a<-<， ∴2b a =-，∴20a b +>，当1x =时，0y a b c =++>．故选B.9．A【解析】243y x x =--，根据根与系数的关系可得124x x +=，123x x ⋅=-，所以12x x -==2243(2)7y x x x =--=--，可得(2,7)P -，1212P S x x y =-⋅ 172=⨯= A. 10．C【解析】根据题意可知OC=c ，则OA=2c ，OB=c ，即A （-2c ，0），B （c ，0），将A 、B 坐标入解析式，则有224200ac bc c ac bc c ⎧-+⎨++⎩＝①＝②， 由①-4×②得：-6bc-3c=0， ∴12b =-． 故选C ．点睛：本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，解决本题要利用抛物线与y 轴的交点和已知条件表示出抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，进一步借助解析式进行解方程．11．m≠-1【解析】由题意可知，10m -≠，即m≠1.12．2016【解析】由题意可得，2220180x x +-=，222018x x +=，∵m ，n 为方程的2个根，∴222018m m +=，2m n +=-，∴223(2)()m m n m m m n ++=+++2016=．13．-1【解析】 已知对称轴22=-=b x a，可得4b a =-． ∵图像过点(3,1)P -．∴931a b c ++=-，∴9121a a c -+=-，∴31c a -=-，∴31c a =-，∴4311a b c a a a ++=-+-=-．14．3【解析】∵()sin 152a +︒=， ∴α+15°=60°，即α=45°.∴原式=4cos451tan 453=︒-+︒+113=-++3=．15．60【解析】已知坡面的坡度为tan α==所以60α=︒．16．（【分析】过D 作DE ⊥BC 的延长线于E ，连接AD 并延长交BC 的延长线于F ，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE ，再根据勾股定理求出CE ，然后根据同时同地物高与影长成正比列式求出EF ，再求出BF ，再次利用同时同地物高与影长成正比列式求解即可．【详解】如图，过D 作DE ⊥BC 的延长线于E ，连接AD 并延长交BC 的延长线于F ．∵CD =8，CD 与地面成30°角，∴DE =12CD =12×8=4，根据勾股定理得：CE ∵1m 杆的影长为2m ， ∴DE EF =12， ∴EF =2DE =2×4=8，∴BF =BC +CE +EF =20+8=（28+∵ABBF=12，∴AB=12（28+=14故答案为（14）．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比的性质，作辅助线求出AB的影长若全在水平地面上的长BF是解题的关键．17．,3)或(2,-3).【解析】【分析】△ABC是等边三角形，且边长为，所以该等边三角形的高为3，又点C在二次函数上，所以令y=±3代入解析式中，分别求出x的值．由因为使点C落在该函数y轴右侧的图象上，所以x＞0．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，且，∴AB边上的高为3，又∵点C在二次函数图象上，∴C的纵坐标为±3，令y=±3代入y=x2-2x-3，∴0或2∵使点C落在该函数y轴右侧的图象上，∴x＞0，∴或x=2∴C （，3）或（2，-3）故答案为：（，3）或（2，-3）【点睛】本题考查二次函数的图象性质，涉及等边三角形的性质，分类讨论的思想等知识，题目比较综合，解决问题的关键是根据题意得出C 的纵坐标为±3． 18．54m <<【解析】当94h =时，2123912324S S -++=，解得4S = ∵扣球点必须在球网右边，即5m >， ∴54m <<．点睛：本题主要考查了二次函数的应用题，求范围的问题，可以选取h 等于最大高度，求自变量的值，再根据题意确定范围．19．（1）13x =+.A FCE ∴∠=∠（2）12x =，24x =【解析】试题分析：（1）利用公式法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可.试题解析：（1）x =3=±，13x =+，23x =-．（2）()()()23222x x x -=+- ()()()()23622x x x x --=+-()()23620x x x ----=()()2280x x --=．20x -=或280x -=，12x =，24x =．20．解：（1）把点A （4，0）代入二次函数有：0=﹣16+4b+3得：b=134所以二次函数的关系式为：y=﹣x 2+134x+3． 当x=0时，y=3∴点B 的坐标为（0，3）．（2）如图作AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，连接BP ，则：BP=AP设BP=AP=x ，则OP=4﹣x ，在直角△OBP 中，BP 2=OB 2+OP 2即：x 2=32+（4﹣x ）2解得：x=258∴OP=4﹣258=78所以点P 的坐标为：（78，0） 【解析】略21．（1）证明见解析（2）①1152x -=，2152x --=②1117x +=2117x -=【解析】试题分析：（1）求出b 2-4ac>0，即可判断方程总有两个实数根；（2）根据根与系数的关系求得123x x m +=-，21204m x x ⋅=-≤，即可得1x 、2x 异号或有1个为0．再根据211x x -=，分①10x ≥，20x <和②10x ≤，2>0x 两种情况求m 的值及相应的1x 、2x ．试题解析：（1）()2216316m m ∆=-+ 23296144m m =-+2332722m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 72≥．∴无论m 取何值，方程有两个异根．（2）()224430x m x m ---=． ∵4a =，124b m =-，2c m =-．∴123x x m +=-，21204m x x ⋅=-≤， ∴1x 、2x 异号或有1个为0．211x x -=，①10x ≥，20x <，211x x --=即121x x +=-，31m -=-，∴2m =．24440x x +-=．1x =，2x =． ②10x ≤，2>0x ．211x x +=，4m =．244160x x --=．240x x --=．112x =212x =． 22．（1）223y x x =+-;（2）等腰直角三角形，理由详见解析.【解析】试题分析：试题解析：（1）23y x bx =+-， ()0,3C -，∵OA OC =，∴()3,0A -，把()3,0A -代入23y x bx =+-， 9330b --=，2b =．∴223y x x =+-．(2)由CE ∥x 轴，C(0，－3)，可设点E(m ，－3)．由点E 在抛物线223y x x =+-上，得2323m m -=+-．解得m 1＝－2，m 2＝0．∴E(－2，－3)又∵223y x x =+-=（x+1）2-4，∴顶点D(－1，－4)，∵CD ==ED ==CE ＝2，∴CD ＝ED ，且222CD ED CE += ．∴△CDE 是等腰直角三角形.23．（1）1)km ;（2【分析】（1）过点P 作PD ⊥AB 于点D ，构造直角三角形BDP 和PDA ，PD 即为点P 到海岸线l 的距离，应用锐角三角函数即可求解．（2）过点B 作BF ⊥CA 于点F ，构造直角三角形ABF 和BFC ，应用锐角三角函数即可求解．【详解】解：（1）如图，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，设PD=x ，由题意可知 ，PBD=45°，∠PAD=30°，∴在Rt △BDP 中，BD=PD=x在Rt △PDA 中，AD=PD=∵AB=2，∴解得x 1(km)==∴点P 到海岸线l 的距离为1)km（2）如图，过点B 作BF ⊥CA 于点F ，在Rt △ABF 中，，在Rt △ABC 中，∠C=180°－∠BAC －∠ABC=45°，∴在Rt △BFC 中，∴点C 与点B 之间的距离为24．每周应限定参观人数是2000人，门票价格是20元【解析】【分析】观察图象可知一次函数经过（15，4500）、（10，7000）两点，用待定系数法求得函数解析式即可；根据“门票收入=参观人数×一张门票的价格”列出方程，解方程即可.【详解】解：设每周参观人数与门票之间的一次函数的关系式为y=kx+b ．由题意，得107000154500k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得50012000k b =-⎧⎨=⎩∴ y=-500x+12000．根据题意，得xy=40000，即x(-500x+12000)=40000，x 2-24x+80=0．解得x 1=20，x 2=4．把x 1=20，x 2=4分别代入y=-500x+12000中，得y 1=2000，y 2=10000．因为控制参观人数，所以取x=20，y=2000．答：每周应限定参观人数是2000人，门票价格是20元．25．（1）213442y x x =-++；（2）()0,4；（3）1620S <<. 【解析】试题分析：（1）解方程求得抛物线与x 轴交点的横坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式即可；（2）用待定系数法求得直线AC 的解析式，再分①∠DBC=90°、②∠DBC=90°两种情况求点D 的坐标即可；（3）求得点P 在抛物线AB 段上时S 的最大值，再求得点P 在抛物线AC 段上时，S 的最大值，即可得S 的取值范围.试题解析：（1）210160x x -+=， 12x =，28x =，设()()28y a x x =+-，把()0,4代入得，164a -=，解得14a =-． ∴()216164y x x =--- 213442y x x =-++． （2）设直线AC 的解析式为y=kx+b ，将A 、C 两点坐标代入得，4 80b k b =⎧⎨+=⎩， 解得 ,k=12-,b=4 , ∴1:42AC y x =-+． ①∠BDC=90°时，:24BD y x =+．14224y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩，04x y =⎧⎨=⎩， ∴()0,4D ．②∠DBC=90°时，x=-2，y=-12×（-2）+4=5，则D 点坐标为（-2，5）； ∴()12,5D -，()20,4D ．（3）点P 在抛物线AC 段上时S 最大值为16，点P 在抛物线AB 段上时S 最大值为20， 则S 的取值范围为16＜S ＜20．点睛：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有待定系数法求一次函数和抛物线的解析式等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用．。

江苏省苏州星海中学2021届高三数学上学期10月月考试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{﹣1，0}，则A B ＝ ． 答案：{﹣1，0，1} 考点：集合间的运算解析：因为集合A ＝{0，1}，B ＝{﹣1，0}，所以A B ＝{﹣1，0，1}．2．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 ． 答案：(﹣1，1)(1，+∞)考点：函数的另一与 解析：由题意，得1010x x -≠⎧⎨+>⎩，解得x ＞﹣1，且x ≠1，所以原函数的定义域是(﹣1，1)(1，+∞)．3．“a ＞1”是“()cos f x ax x =+在R 上单调递增”的 条件．（空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”） 答案：充分不必要条件考点：常用的逻辑用语（充要条件）解析：因为()cos f x ax x =+，所以()sin f x a x '=-．当a ＞1时，()sin f x a x '=-＞0恒成立，所以()f x 在R 上单调递增成立；当()cos f x ax x =+在R 上单调递增，则()sin f x a x '=-≥0恒成立，则a ≥1．故“a ＞1”是“()cos f x ax x =+在R 上单调递增”的充分不必要条件．4．在△ABC 中，若a ＝2，b ＝B ＝3π，则角A 的大小为 ． 答案：6π 考点：正弦定理解析：由正弦定理，得sin A sin Ba b =，即2sin A sin 3=，解得sinA ＝12，因为0＜A ＜π，所以A ＝6π或56π，当A ＝56π时，A ＋B ＞π，不符题意，所以A ＝6π．5．已知α∈(0，π)，cos α＝45-，则tan()4πα+＝ ． 答案：17考点：同角三角函数关系式，两角和与差的正切公式 解析：由cos α＝45-以及22sin cos 1αα+=，得29sin 25α=，又α∈(0，π)，则sin α＞0，所以sin α＝35，tan 3sin 354cos 45ααα===--，则tan tan 4tan()41tan tan 4παπαπα++=- 3114371()14-+==--⨯．6．设n S 是首项不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且1S ，2S ，4S 成等比数列，则21a a ＝ ． 答案：1或3考点：等差数列与等比数列解析：因为n S 是首项不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，所以11S a =，212S a d =+，4146S a d =+，又1S ，2S ，4S 成等比数列，则2214S S S =⋅， 即2111(2)(46)a d a a d +=+，化简得0d =或12d a =，所以2111a da a =+＝1或3． 7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是：一共7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 ． 答案：3考点：等比数列的前n 项和解析：设第n 层塔的灯数为n a ，n 层塔共有灯数为n S ，可知{}n a 以2为公比的等比数列，则717(21)38121a S -==-，求得1a ＝3． 8．在曲线331y x x =-+的所有切线中，斜率最小的切线的方程为 ． 答案：31y x =-+考点：导数的几何意义解析：因为331y x x =-+，所以233y x '=-，当x ＝0时，斜率有最小值为﹣3，此时切点坐标为(0，1)，故此时切线方程为31y x =-+．9．若函数62()3log 2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩，，(a ＞0且a ≠1)的值域是[4，+∞)，则a 的取值范围是 ．答案：(1，2] 考点：函数的值域解析：当x ≤2时，y ＝﹣x ＋6≥4，要使()f x 的值域是[4，+∞)，则y ＝3log a x +的最小值要大于或等于4，所以13log 24a a >⎧⎨+≥⎩，解得1＜a ≤2．10．如图，平面四边形ABCD 中，若AC ＝5，BD ＝2，则(AB DC)(AC BD)+⋅+＝答案：1考点：平面向量数量积解析：取BD 中点O ，则(AB DC)(AC BD)(OB OA OC OD)(AC BD)+⋅+=-+-⋅+ ＝2222(DB AC)(AC BD)AC BD (5)21++=-=-=．11．设()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足()()0f x xf x '+>，则不等式(1)f x +>21(1)x x --的解集为 ．答案：[1，2)考点：利用导数研究函数的单调性解析：令()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x ''=+>，所以()()g x xf x =单调递增 1)f x +>21(1)x x --11)x x ++>221(1)x x --即2(1)(1)g x g x +>-，根据()()g x xf x =单调递增，可得如下不等式组：21010xx⎧+≥⎪-≥⎨>，解得1≤x＜2，故原不等式的解集为[1，2)．12．若正数a，b满足21a b+=，则224a b++的最大值为．答案：1716考点：基本不等式解析：22214(2)4414a b a b ab ab++=+-=-=⋅-211171()14216+≤⨯+=，当且仅当21164a bab+=⎧⎪⎨=⎪⎩时，取“＝”．13．已知函数21()221xe x a xf xx ax x⎧--≥-⎪=⎨-+<-⎪⎩，，(e是自然对数的底数)恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．答案：[32-，）考点：函数与方程解析：当a＝0时，x＜﹣1时，2()20f x x=+>，而()xf x e x=-，最多两个零点，即有()f x不可能有三个零点；当a＞0时，x＜﹣1时，22()2()f x a x a=-+-递减，且()(1)320f x f a>-=+>，而()xf x e x=-，最多两个零点，即有()f x不可能有三个零点；当a＜0时，x＜﹣1时，由于()f x的对称轴为x＝a，可得顶点为(a，2﹣a2)，若2﹣a2＞0，不满足题意；若2﹣a2＜0，3＋2a≥0，110ae---<，解得32a-≤<，满足()f x恰有三个零点；若2﹣a2＝0，3＋2a＞0，110ae---≥，解得a∈∅，不满足题意；综上可得a的范围是[32-，）．14．已知△ABC ，若存在△A 1B 1C 1，满足111cos A cos B cos C1sin A sin B sinC ===，则称△A 1B 1C 1是△ABC的一个“友好”三角形．若等腰△ABC 存在“友好”三角形，则其底角的弧度数为 ． 答案：38π考点：三角函数与解三角形 解析：1cos A 1A sin A =⇒∈(0，2π)，11(A A )(A A )022ππ+---=，存在友好⇔B ＋C ﹣A ＝2π（循环）在锐角△ABC 中， 等腰△ABC 存在友好⇒底＋底﹣顶＝2π⇒底＝38π． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且sin 2C sin Bc b=． （1）求角C 的值； （2）若3sin(B )35π-=，求cosA 的值．16．（本小题满分14分）已知函数()2cos(3sin)222xxxf x ωωω=-(ω＞0)的最小正周期为2π．（1）求函数()f x 的表达式；（2）设θ∈(0，2π)，且6()35f θ=，求cos θ的值．17．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11221n n n S a ++=-+，且1a ，25a +，3a 成等差数列．（1）求1a ，2a 的值； （2）求证：数列{}2nn a +是等比数列，并求数列{}na 的通项公式．18．（本小题满分16分）如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB 的长为4.5 km ，且跑道所在的直线与海岸线l 的夹角为60度（海岸线可以看做是直线），跑道上离海岸线距离最近的点B 到海岸线的距离BC ＝43km ．D 为海湾一侧海岸线CT 上的一点，设CD ＝x (km )，点D 对跑道AB 的视角为θ．（1）将tan θ表示为x 的函数；（2）求点D 的位置，使θ取得最大值．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 中，1=1a ，2=a a ，且12()n n n a k a a ++=+对任意正整数n 都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若12k =，且18171S =，求a ； （2）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项m a ，1m a +，2m a +按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由；（3）若12k =-，求n S （用a ，n 表示）．20．（本小题满分16分）已知函数1()ln f x a x x=+，a ∈R ． （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）当x ∈[1，2]时，()f x 的最小值是0，求实数a 的值；（3）试问过点P(0，2)可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由．附加题21．A．已知点A在变换T：xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦→xy'⎡⎤⎢⎥'⎣⎦＝2x yy+⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B，若点B坐标为(﹣3，4)，求点A的坐标．B ．求曲线C 1：222121x t ty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩被直线l ：12y x =-所截得的线段长．22．如图，在四棱锥O —ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的萎形，∠ABC ＝45°，OA ⊥平面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．（1）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（2）求平面OAB 与平面OCD 所成二面角的余弦值．23．设数列{}n t 满足101t <<，1sin n n n t t t +=-．（1）求证：101n n t t +<<<；（2）若112t =，求证：2112n n t -≤．。

23年第一学期期中考试（苏州中学、星海实验中学、新区实验综合一） 高二数学本试卷仅供内部教学使用.未经授权，严禁擅自使用、复制或传播本试卷的任何部分.违者将承担法律责任.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.所有答案均写在答题纸上.第I 卷（选择题，共60分）一、单选题（每题5分，共8题.选对得5分，选错或不选得0分）1. 已知直线l的方程为10x ，则直线的倾斜角为（ ） A. 30B. 60C. 120D. 1502. 已知等差数列 n a 满足3243a =a ，则 n a 中一定为零的项是（ ） A. 6aB. 4aC. 10aD. 12a3. 在等比数列 n a 中，2a ，10a 是方程2640x x 的两根，则396a a a （ ） A. 2B. 2C. 2 或2D. 34. 直线:1l y kx 圆22:1O x y 相交于A ，B 两点，则“1k ”是“||AB 的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件5. 已知圆224x y 上有四个点到直线y x b 的距离等于1，则实数b 的取值范围为（）A.B.C. 2,2D. 1,16. 某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益．如果每年存款数额相同，依年利息2%并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（ ）万元．（参考数据：781.02 1.149, 1.02 1.172 ） A. 5.3B. 4.6C. 7.8D. 6的7. 已知数列 n a 满足111,2,3,n n n a n a a a n 为奇数为偶数，记21n n b a ，则（ ） A. 13b B. 28b C. 14n n b bD. 42n b n8. 已知圆22:1O x y ，点00,P x y 是直线:3240l x y 上的动点，若圆O 上总存在不同的两点,A B ，使得直线AB 垂直平分OP ，则0x 的取值范围为（ ）A. 240,13B. 240,13C. 10,213D. 10,213二、多选题（每题5分，共4题.选对得5分，少选得2分，选错或不选得0分）9. 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0.则以下几个命题正确的有（ ）A. 直线l 恒过定点(3，1)B. 直线l 与圆C 相切C. 直线l 与圆C 恒相交 D 直线l 与圆C 相离10. 已知无穷等差数列 n a 的前n 项和为n S ，20222023S S 且20232024S S ，则（ ） A. 在数列 n a 中，1a 最大 B. 在数列 n a 中，2023a 最大 C. 20240aD. 当2024n 时，0n a11. 已知等比数列 n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，且满足427a ，12n n a S c ，则（ ） A. 3q B. 1c C. 13aD. 若2023nn a b，则当12n b b b 最小时，7n 12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆22:1O x y ，若曲线12y k x 上存在四个点 1,2,3,4 i P i ，过动点i P 作圆O 的两条切线，A ，B 为切点，满足32i iP A PB ，则k 的值可能为（ ） A. -7B. -5C. -2D. –1第II 卷（非选择题，共90分）三、填空题（每题5分，共4题.选对得5分，选错或不选得0分）.13. 若a ，b 为正实数，直线 2110a x y 与直线10x by 互相垂直，则ab 的最大值为______. 14. 等差数列 n a 中，145,1a a ，设数列n a 的前n 项和为n S ，则n S __________.15. 已知圆22:20C x y x m 与圆 22334x y 外切，点P 是圆C 上一动点，则点P 到直线51280x y 的距离的最大值为________16. 若等差数列{}n a 满足22120110,a a 则201202203401M a a a a 的最大值为_____四、解答题（共6题，17题10分，其余12分）17. 在平面直角坐标系中，已知直线l 经过直线4320x y 和220x y 交点P ． （1）若直线l 与直线3210x y 平行，求直线l 的方程； （2）若直线l 与圆2220x x y 相切，求直线l 的方程．18. 已知数列 n a 的前n 项和为n S ，且满足*n 2n S n a n N ．（1）证明：数列 1n a 是等比数列；（2）设12nn n n b a a ，求数列 n b 的前n 项和n T ．19. 在平面直角坐标系xOy 中，已知两直线1:330l x y 和2:10l x y ，定点(1,2)A . （1）若1l 与2l 相交于点P ，求直线AP 的方程；（2）若1l 恰好是△ABC 的角平分线BD 所在的直线，2l 是中线CM 所在的直线，求△ABC 的边BC 所在直线的方程.20. 已知数列 n a 为等差数列，11a ，公差0d ，数列 n b 为等比数列，且22a b ，84a b ，*326N a b n ．（1）求数列 n a 、 n b 的通项公式；（2）设2n n n c a b ，数列 n c 的前n 项和为n T ，求满足14n a n T 的n 的最小值．21 如图，圆224x y 与x 轴交于A 、B 两点，动直线l ：1y kx 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，与圆交于C 、D 两点．的.第4页/共4页（1）求CD 中点M 的轨迹方程；（2）设直线AD 、CB 的斜率分别为1k 、2k ，是否存在实数k 使得122k k ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．22. 已知等差数列 n a 的前n 项和为S n，若为等差数列，且11a．（1）求数列 n a 的通项公式；（2）否存在正整数n ， 使22441,2,4n n n n n n a S a S a S 成等比数列？若存在，请求出这个等比数列；若不存在，请说明理由；（3）若数列 n b 满足21n n n n b b b S ，11b k，且对任意的*n N ，都有1n b ，求正整数k 的最小值．是。

2020-2021学年江苏省常州高级中学高二上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.以下判断正确的是( )A. 命题“负数的平方是正数”不是全称命题B. 命题“∀x ∈N ，x 3>x 2”的否定是“∃x ∈N ，x 3<x 2”C. “a =1”是函数f(x)=cos 2ax −sin 2ax 的最小正周期为π的必要不充分条件D. “b =0”是“函数f(x)=ax 2+bx +c 是偶函数”的充要条件2.数列{a n }满足a n =4a n−1+3，且a 1=0，则此数列的第5项是( )A. 15B. 255C. 16D. 363.已知各项不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5=2a 2，则S6a 2=( )A. 4B. 162C. 9D. 124. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 在平面BCC 1B 1内，且D 1P ⊥AC 1，则线段D 1P 的长度的最小值为( )A. √3B. √6C. 2√2D. 2√65.现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座位号分别是1，2，3，4的四个座位上，他们分别有以下要求，甲：我不坐座位号为1和2的座位； 乙：我不坐座位号为1和4的座位； 丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不坐座位号为2的座位，我就不坐座位号为1的座位． 那么坐在座位号为3的座位上的是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁6.如图，在△ABC 中，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 23AB ⃗⃗⃗⃗⃗+14AC ⃗⃗⃗⃗⃗B. 12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 7.设数列lg100，lg(100sin π4)，lg(100sin 2π4)，⋯⋯，lg(100sin n−1π4)⋯的前n 项和为S n ，那么数列{S n }中最大的项是( )A. 13B. 14C. S 13D. S 148.△ABC 中，AB =6，AC =8，∠BAC =90°，△ABC 所在平面α外一点P 到点A 、B 、C 的距离都是13，则P 到平面α的距离为( )A. 7B. 9C. 12D. 13二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.已知空间向量a ⃗ =(−2,−1,1)，b ⃗ =(3,4,5)，则下列结论正确的是( )A. (2a ⃗ +b ⃗ )//a ⃗B. 5|a ⃗ |=√3|b ⃗ |C. a ⃗ ⊥(5a ⃗ +6b ⃗ )D. a ⃗ 与b ⃗ 夹角的余弦值为−√3610. 下列说法正确的是( )A. 过直线l 外一点P ，有且仅有一个平面与l 垂直B. 空间中不共面的四点能确定无数多个球C. 如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面D. 过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内11. 狄利克雷函数f(x)={1,x ∈Q0,x ∈C R Q是高等数学中的一个典型函数，对于狄利克雷函数f(x)，下列命题中真命题的有( )A. 对任意x ∈R ，都有f[f(x)]=1B. 对任意x ∈R ，都有f(−x)+f(x)=0C. 若a <0，b >1，则有{x|f(x)>a}={x|f(x)<b}D. 存在三个点A(x 1,f(x 1))，B(x 2,f(x 2))，C(x 3,f(x 3))，使得△ABC 为等腰三角形12. 关于下列命题，正确的是( )A. 若点(2,1)在圆x 2+y 2+kx +2y +k 2−15=0外，则k >2或k <−4B. 已知圆M ：(x +cosθ)2+(y −sinθ)2=1与直线y =kx ，对于任意的θ∈R ，总存在k ∈R 使直线与圆恒相切C. 已知圆M：(x+cosθ)2+(y−sinθ)2=1与直线y=kx，对于任意的k∈R，总存在θ∈R使直线与圆恒相切D. 已知点P(x,y)是直线2x+y+4=0上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2−2y=1的两条切线，A、B是切点，则四边形PACB的面积的最小值为√6三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在数列中，，，则．14.下列函数为偶函数，且在上单调递增的函数是．①②③④15.直线与圆相交于、两点，若，则.(其中为坐标原点)16.在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合A={x|2≤x≤6,x∈R}，B={x|−1<x<5,x∈R}，全集U=R．(1)求A∩(∁U B)；(2)若集合C={x|x<a,x∈R}，A∩C=⌀，求实数a的取值范围．(3)若集合D={x|m+1<x<2m−1,x∈R}，B∩D≠⌀，求实数m的取值范围．18.某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．(1)记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{a n}，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{b n}，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；a1=10a2=9.5a3=______ a4=______ …b1=2b2=______ b3=______ b4=______ …(2)从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？19. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是底面ABCD对角线的交点．(Ⅰ)求证：BD⊥平面ACC1A1；(Ⅱ)求直线BC1与平面ACC1A1所成的角．20. 已知等差数列{a n}的公差为2，且a1−1，a2−1，a4−1成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=1a n a n+1(n∈N∗)，数列{b n}的前n项和S n，求使S n<17成立的最大正整数n的值．21. 如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=4，AA1=3√2，M，N分别是棱A1C1，AC的中点，E在侧棱A1A上，且A1E=2EA．(1)求证：平面MEB⊥平面BEN；(2)求平面BEN与平面BCM所成的锐二面角的余弦值．22. 在数列{a n}中，a1=1，a4=7，an+2−2a n+1+a n=0(n∈N﹢)(1)求数列a n的通项公式；(2)若b n=1n(3+a n))(n∈N+)，求数列{b n}的前n项和S n．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题之间的转化及充分必要条件的概念及应用，考查函数的周期性与奇偶性，属于中档题．A，命题“负数的平方是正数”的含义为“任意一个负数的平方是正数”，是全称命题，可判断A；B，写出命题“∀x∈N，x3>x2”的否定，可判断B；C，利用充分必要条件的概念，从充分性与必要性两个方面可判断C；D，利用充分必要条件的概念与偶函数的定义可判断D．解：对于A，命题“负数的平方是正数”是全称命题，故A错误；对于B，命题“∀x∈N，x3>x2”的否定是“∃x∈N，x3≤x2”，故B错误；=π，充分性成立；对于C，a=1时，函数f(x)=cos2x−sin2x=cos2x的最小正周期为T=2π2反之，若函数f(x)=cos2ax−sin2ax=cos2ax的最小正周期T=2π2|a|=π，则a=±1，必要性不成立；所以“a=1”是函数f(x)=cos2ax−sin2ax的最小正周期为π的充分不必要条件，故C错误；对于D，b=0时，函数f(−x)=ax2+c=f(x)，y=f(x)是偶函数，充分性成立；反之，若函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数，f(−x)=f(x)，解得a=0，即必要性成立；所以“b=0”是“函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数”的充要条件，故D正确．故选：D．2.答案：B解析：解：a2=4a1+3=3a3=4a2+3=4×3+3=15a4=4a3+3=4×15+3=63a5=4a4+3=4×63+3=255故选B．分别令n=2，3，4，5代入递推公式计算即可．本题考查数列递推公式简单直接应用，属于简单题．3.答案：C。

2020-2021学年江苏省苏州中学高二（上）期初数学试卷一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设，，则( )A. B.C. D.2.如果，则的解析式为( )A. B.C. D.3.在中，M 是BC 的中点，，点P 在AM 上且满足，则等于( )A. B. C.D.4.直线是圆C ：的一条对称轴，过点作圆C 的一条切线，切点为B ，则( )A. B.C.D. 15.已知锐角中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则的取值范围是( )A.B.C.D.6.如图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点．为小球相交部分图中阴影部分的体积，为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是( )A. B. C. D.二、多选题：本题共2小题，共10分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

7.已知函数，则下列说法正确的是( )A. 函数的图象与x轴有两个交点B. 函数的最小值为C. 函数的最大值为4D. 函数的图象关于直线对称8.已知圆C被x轴分成两部分的弧长之比为1：2，且被y轴截得的弦长为4，当圆心C到直线的距离最小时，圆C的方程为( )A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

9.已知函数在区间内是减函数，则实数a的取值范围是______.10.已知直线：和直线：，若，且坐标原点到这两条直线距离相等，则ab的值为______.11.如图，已知线段，四边形ABNM的两顶点M、N在以AB为直径的半圆弧上，且，则的取值范围是______.四、解答题：本题共3小题，共45分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

12.本小题15分在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知求证：为定值；若，求的值．13.本小题15分如图，在三棱锥中，，，点M是BC上一点，P是SB上一点，N是SC的中点，且平面求证：；若P为SB中点，求证：平面平面14.本小题15分已知圆：，圆：过点作圆的切线MA，MB，A，B为切点，求直线AB的方程；是否存在定点P，使得过点P有无穷多对互相垂直的直线，分别被圆和圆截得的弦长之比为1：2？若存在，求出点P的坐标；否则，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算，属于基础题.可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：，；故选：2.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查了配方法求函数解析式，属于基础题．由，运用换元法，令代入可得答案.【解答】解：，令，则，，则，故选3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查向量的数量积、几何应用等.由M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM 上且满足，即可求解．【解答】解：是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足，是三角形ABC的重心，，又，，故选4.【答案】D【解析】解：由圆C：，得圆心，则，即，，如图，，可得切线长为，故选：利用对称轴过圆心求得a，从而确定点A，结合图形即得切线长．本题考查了圆的对称性，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．5.【答案】C【解析】解：由，余弦定理，可得，正弦定理边化角，得，，，，是锐角三角形，，即，，那么：，可得，则故选：由利用余弦定理，可得，正弦定理边化角，在消去C，可得，利用三角形ABC是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得的取值范围．本题考查三角形的正余弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：设大球的半径为R，则小球的半径为：，由题意可得：所以即：故选：根据题意推知小球半径是大球的一半，建立大球体积小球体积和阴影部分的体积的关系，可推知选项．本题考查组合体的体积，空间想象能力，逻辑推理能力，是难题．7.【答案】AB【解析】解：函数，令，解得，可得，或，所以A正确；，所以函数的最小值为，所以B正确，没有最大值，所以C不正确；函数的定义域为：，所以函数的图象不可能关于对称，所以D不正确；故选：求出函数的零点判断A；求解函数的最小值判断B；利用函数的值域判断C；函数的定义域判断本题考查函数的零点与方程根的关系，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．8.【答案】AB【解析】解：设圆心为，半径为r，圆C被x轴分成两部分的弧长之比为1：2，则其中劣弧所对圆心角为，由圆的性质可得，又圆被y轴截得的写出为4，，，变形为，即在双曲线上，易知双曲线上与直线平行的切线的切点为，此点到直线有最小距离．由，消去y得，解得当时，，当时，即切点为或，半径r为圆的方程为或故选：设圆心为，半径为r，由圆C被x轴分成两部分的弧长之比为1：2，得，再由圆被y轴截得的写出为4，可得，说明在双曲线上，求出双曲线上与直线平行的切线的切点坐标，即圆心坐标，由此可得圆的方程．本题考查圆的标准方程，考查导数的几何意义，解题的关键是圆心到直线的距离的最小值的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】【解析】解：函数在区间内是减函数．由于在区间内单调递增，且，，，故答案为：由题意利用二倍角公式可得在区间内是减函数，再利用二次函数的性质可得，由此求得a的范围．本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，二倍角公式的应用，属于中档题．10.【答案】或【解析】解：直线：和直线：，若，则，求得直线、直线和y轴的交点分别为、，直线、直线和x轴的交点分别为、，且坐标原点到这两条直线距离相等，，求得，；或，，或，故答案为：或由题意利用两条直线平行的性质，线段的中点公式，求出a、b的值，可得ab的值．本题考查两条直线平行的性质，线段的中点公式，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】【解析】解：连接OM，ON，则，当线段MN在上运动时，的夹角由到0再到，所以，即可得的取值范围为故答案为：连接OM，ON，则，结合的夹角范围即可求解．本题考查向量数量积的运算，关键是对，的变形，要尽量用知道模和夹角的向量来表示，是一道中档题．12.【答案】解：证明：因为：，所以由正弦定理可得：，①因为A，B为三角形的内角，所以，所以①式两边同时乘以，可得：，所以，得证．因为，所以，可得，因为A为三角形内角，，所以，可得，因为由可得，解得，所以【解析】由正弦定理化简已知等式，由于，可得，进而根据同角三角函数基本关系式即可求得，从而得解．由已知利用余弦定理可求，利用同角三角函数基本关系式可求，的值，由进而可求的值，进而根据两角和的正切函数公式即可求解的值．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，两角和的正切函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．13.【答案】证明：由平面ASB，平面SBC，且平面平面，可得，又N是SC的中点，可得M为BC的中点，即；由，M为BC的中点，可得，由，M为BC的中点，可得，又，可得平面SAM，由PN为的中位线，可得，则平面SAM，又平面ANP，可得平面平面【解析】由线面平行的性质和平行线的性质，即可得证；由等腰三角形的性质和线面垂直的判定定理，可得平面SAM，再由中位线定理和面面垂直的判定定理，即可得证．本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．14.【答案】解：因为，，以为直径的圆的方程：，又圆：，圆和圆的方程相减可得：即直线AB的方程：设P点坐标为，直线的斜率为依题意，则直线的方程为，即，直线的方程为，即因为直线被圆截得的弦长的2倍与直线被圆截得的弦长相等，且圆的半径是圆的半径的2倍，所以圆心到直线的距离的2倍与圆心到直线的距离相等，整理得：或由于关于k的方程有无穷多解，第11页，共11页所以，，或，，解得，，或，，所以所有满足条件的P 点坐标为或 【解析】求出以为直径的圆的方程，是圆与圆的相交弦，将两圆方程相减即可的答案；利用直线的垂直关系，进一步建立点到直线的距离公式的关系式，进一步建立方程组，求出点的坐标．本题考查了直线与圆的位置关系的应用，方程组的解法，点到直线的距离公式的应用．属于中档题．。

2020-2021苏州迎春中学高二数学上期中第一次模拟试题(含答案)一、选择题1．设,m n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则方程20x mx n ++=有实根的概率为（ ） A ．1936B ．1136C ．712D ．122．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 A ．k ＞4? B ．k ＞5? C ．k ＞6?D ．k ＞7?3．从区间[]0,2随机抽取4n 个数1232,,,...,n x x x x ，1232,,,...,n y y y y 构成2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，其中两数的平方和小于4的数对有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率疋的近似值为（ ） A ．2m nB ．2mnC ．4m nD ．16m n4．我校高中生共有2700人,其中高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分层抽样法抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 ( ) A ．45,75,15B ．45,45,45C ．45,60,30D ．30,90,155．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是( ) ． A ．12B ．13C ．23D ．16．已知0,0,2,a b a b >>+=则14y a b=+的最小值是 ( )A ．72B ．4C ．92D ．57．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是( )A ．336B ．510C ．1326D ．36038．如图所示是为了求出满足122222018n +++>L 的最小整数n ，和两个空白框中，可以分别填入（ ）A ．2018S >？，输出1n -B ．2018S >？，输出nC ．2018S ≤？，输出1n -D ．2018S ≤？，输出n9．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k 的值可以为A ．6B ．10C ．8D ．410．从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn11．设点(a,b)为区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内任意一点，则使函数f(x)=2ax 2bx 3-+在区间[12，+∞）上是增函数的概率为 A ．13 B ．2 3C ．1 2D ．1 412．同时掷三枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（ ） A ．78B ．58C ．38D ．18二、填空题13．已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是______． 14．下列说法正确的个数有_________（1）已知变量x 和y 满足关系23y x =-+，则x 与y 正相关；（2）线性回归直线必过点(),x y ；（3）对于分类变量A 与B 的随机变量2k ，2k 越大说明“A 与B 有关系”的可信度越大 （4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数2R 的值越大，说明拟合的效果越好.15．连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和不超过9的概率为______．16．为了防止职业病，某企业采用系统抽样方法，从该企业全体1200名员工中抽80名员工做体检，现从1200名员工从1到1200进行编号，在115~中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从4660~这15个数中应抽取的数是__________．17．一盒中有6个乒乓球，其中4个新的，2个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒子中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则(4)P X =的值为___________. 18．下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②基本事件空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}，若事件A ＝{1，3}，B ＝{3，5，6}，A ，B 为互斥事件，但不是对立事件；③某校高三（1）班和高三（2）班的人数分别是m ，n ，若一模考试数学平均分分别是a ，b ，则这两个班的数学平均分为na mb m n+； ④如果平面外的一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，那么这条直线与这个平面的位置关系为平行或相交． 其中真命题的序号是__________． 19．已知变量,x y 取值如表：x0 1 4 5 6 8y 1.3 1.85.66.17.4 9.3若y 与x 之间是线性相关关系，且ˆ0.95yx a =+，则实数a =__________． 20．下方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为14，乙组数据的平均数为16，则x y +的值为__________．三、解答题21．已知椭圆的焦距为2，离心率12e =． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆上一点，且1260F PF ∠=o，求△F 1PF 2的面积．22．(1)从区间[1，10]内任意选取一个实数x ，求26160x x --≤的概率； (2)从区间[1，12]内任意选取一个整数x ，求()ln 22x -<的概率. 23．已知关于x 的一元二次函数2()4 1.f x ax bx =-+（1）若,a b 分别表示将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次时第一次、第二次正面朝上出现的点数，求满足函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率；（2）设点(,)a b 是区域28000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，求函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率.24．为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩．（1）现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；（2）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．甲班 乙班 合计优秀不优秀合计参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++参考数据：()20P K k ≥0.050 0.010 0.0010k3.841 6.635 10.82825．某学校随机抽取部分学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据制成频率分布直方图（如图），若上学路上所需时间的范围为[]0,100，样本数据分组为[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100.（1）求直方图中a 的值；（2）如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿，若招收学生1200人，请估计所招学生中有多少人可以申请住宿； （3）求该校学生上学路上所需的平均时间.26．地球海洋面积远远大于陆地面积，随着社会的发展，科技的进步，人类发现海洋不仅拥有巨大的经济利益，还拥有着深远的政治利益.联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”.2019年6月8日，某大学的行政主管部门从该大学随机抽取100名大学生进行一次海洋知识测试，并按测试成绩（单位：分）分组如下：第一组[65，70），第二组[70，75），第二组[75，80），第四组[80，85），第五组[85，90]，得到频率分布直方图如下图：（1）求实数a 的值；（2）若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取6名学生组成中国海洋实地考察小队，出发前，用简单随机抽样方法从6人中抽取2人作为正、副队长，列举出所有的基本事件并求“抽取的2人为不同组”的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件数是6×6=36种结果， 方程x 2+mx +n =0有实根要满足m 2−4n ⩾0， 当m =2，n =1 m =3，n =1，2 m =4，n =1，2，3，4 m =5，n =1，2，3，4，5，6， m =6，n =1，2，3，4，5，6 综上可知共有1+2+4+6+6=19种结果 ∴方程x 2+mx +n =0有实根的概率是1936； 本题选择A 选项.2．A解析：A 【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行112,224k S =+==+=，第二次运行213,8311k S =+==+=，第三次运行314,22426k S =+==+=，第四次运行4154,52557k S =+=>=+=，输出57S =，所以判断框内为4?k >，故选C.考点：程序框图.3．B解析：B 【解析】 【分析】根据随机模拟试验的的性质以及几何概型概率公式列方程求解即可. 【详解】 如下图：由题意，从区间[]0,2随机抽取的2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，落在面积为4的正方形内，两数的平方和小于4对应的区域为半径为2的圆内，满足条件的区域面积为2124ππ⋅=，所以由几何概型可知42π=m n ，所以2π=m n. 故选：B【点睛】本题主要考查几何概型，属于中档题.4．C解析：C 【解析】因为共有学生2700，抽取135，所以抽样比为1352700，故各年级分别应抽取135900452700⨯=，1351200602700⨯=，135600302700⨯=，故选C. 5．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】解：甲，乙，丙三人中任选两名代表有233C =种选法，甲被选中的情况有两种，所以甲被选中的概率23223P C ==，故选C. 6．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合均值不等式的结论即可求得14y a b=+的最小值，注意等号成立的条件. 【详解】 由题意可得：14y a b =+()11414522b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯++=⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14522b a a b ⎛⎫≥⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭92=， 当且仅当24,33a b ==时等号成立. 即14y a b =+的最小值是92. 故选：C. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．7．B解析：B 【解析】试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数, 化为十进制数为321737276510⨯+⨯+⨯+=,故选B.考点：1、阅读能力及建模能力；2、进位制的应用.8．A解析：A 【解析】 【分析】通过要求122222018n +++>L 时输出且框图中在“是”时输出确定“”内应填内容；再通过循环体确定输出框的内容． 【详解】因为要求122222018n +++>L 时输出，且框图中在“是”时输出， 所以“”内输入“2018S >？”，又要求n 为最小整数， 所以“”中可以填入输出1n -，故选：A ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．9．C解析：C 【解析】 【分析】执行如图所示的程序框图，逐次循环，计算其运算的结果，根据选项即可得到答案. 【详解】由题意可知，执行如图所示的程序框图，可知：第一循环：134,2146n S =+==⨯+=； 第二循环：437,26719n S =+==⨯+=； 第三循环：7310,2191048n S =+==⨯+=， 要使的输出的结果为48，根据选项可知8k =，故选C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的计算与输出问题，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，逐次准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10．C解析：C 【解析】此题为几何概型．数对(,)i i x y 落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为41m P n π==，所以4mnπ=．故选C ． 11．A解析：A 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示：若f （x ）=2ax 2bx 3-+在区间[12，+∞）上是增函数， 则02122a b a >⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，即020a a b >⎧⎨-≥⎩，则A （0，4），B （4，0），由4020a b a b +-=⎧⎨-=⎩得8343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即C （83，43）， 则△OBC 的面积S=14423⨯⨯=83． △OAB 的面积S=14482⨯⨯=． 则使函数f(x)=2ax 2bx 3-+在区间[12，+∞）上是增函数的概率为P=OBC OAB S S n n =13， 故选：A ．12．A解析：A【解析】【分析】先根据古典概型概率公式求没有正面向上的概率，再根据对立事件概率关系求结果.【详解】 因为没有正面向上的概率为112228=⨯⨯，所以至少有1枚正面向上的概率是1-1788=，选A.【点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 二、填空题13．【解析】数据4849525556的平均数为×（48+49+52+55+56）=52∴该组数据的方差为：s2=×（48–52）2+（49–52）2+（52–52）2+（55–52）2+（56–52）2解析：0.1【解析】数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为15x =×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2， ∴该组数据的方差为：s 2=15×[（4.8–5.2）2+（4.9–5.2）2+（5.2–5.2）2+（5.5–5.2）2+（5.6–5.2）2]=0.1．故答案为0.1．14．3个【解析】【分析】直接利用线性回归直线的相关理论知识的应用求出结果【详解】（1）已知变量x和y满足关系y=-2x+3则x与y正相关；应该是：x与y负相关故错误（2）线性回归直线必过点线性回归直线解析：3个【解析】【分析】直接利用线性回归直线的相关理论知识的应用求出结果．【详解】（1）已知变量x和y满足关系y=-2x+3，则x与y正相关；应该是：x与y负相关．故错误.（2）线性回归直线必过点(),x y，线性回归直线必过中心点．故正确．（3）对于分类变量A与B的随机变量2k，2k越大说明“A与B有关系”的可信度越大．根据课本上有原句，故正确．（4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数R2的值越大，说明拟合的效果越好．故正确，根据课本上有原句．故填3个．【点睛】本题主要考查了线性回归直线的应用，学生对知识的记忆能力，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题.15．【解析】【分析】根据古典概型概率公式求解【详解】连续抛掷一颗骰子2次共有36种基本事件其中掷出的点数之和不超过9的事件有种故所求概率为【点睛】本题考查古典概型概率考查基本分析与运算能力属基础题解析：5 6【解析】【分析】根据古典概型概率公式求解.【详解】连续抛掷一颗骰子2次，共有36种基本事件，其中掷出的点数之和不超过9的事件有66654330+++++=种，故所求概率为305 366=.【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析与运算能力，属基础题.16．52【解析】由题意可知抽取的人数编号组成一个首项为7公差为15的等差数列则从这个数中应抽取的数是：故答案为52解析：52【解析】由题意可知，抽取的人数编号组成一个首项为7，公差为15的等差数列，则从4660~这15个数中应抽取的数是：715352+⨯=.故答案为 52．17．【解析】【分析】要使盒子中恰好有4个是用过的球要求开始取的3个球1个是用过的2个没有用过的结合组合知识根据古典概型公式可得到结果【详解】从盒子中任取的3个球使用用完全后装回盒子中要使盒子中恰好有4个 解析：35【解析】【分析】要使盒子中恰好有4个是用过的球，要求开始取的3个球1个是用过的，2个没有用过的，结合组合知识根据古典概型公式可得到结果.【详解】从盒子中任取的3个球使用，用完全后装回盒子中，要使盒子中恰好有4个是用过的球，则要求开始取的3个球1个是用过的，2个没有用过的，共有214212C C =种方法，从装有6个乒乓球的盒子任取3个球使用有3620C =种方法，∴盒子中恰好有4个是用过的球的概率为123205P ==，故答案为35. 【点睛】 本题主要考查古典概型概率公式的应用，所以中档题.要应用古典概型概率公式，分清在一个概型中某随机事件包含的基本事件个数和试验中基本事件的总数是解题的关键.18．①④【解析】分析：根据方差定义互斥与对立概念平均数计算方法以及线面位置关系确定命题真假详解：因为样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；所以①对因为基本事件空间是Ω＝{123456}若事解析：①④.【解析】分析：根据方差定义、互斥与对立概念、平均数计算方法以及线面位置关系确定命题真假. 详解：因为样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；所以①对因为基本事件空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}，若事件A ＝{1，3}，B ＝{3，5，6}，A ，B 不为互斥事件，所以②错；因为某校高三（1）班和高三（2）班的人数分别是m ，n ，若一模考试数学平均分分别是a ，b ，则这两个班的数学平均分为ma nb m n++，所以③错； 因为如果平面外的一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，那么这条直线与这个平面的位置关系为平行（同侧时）或相交（异侧时），所以④对.因此真命题的序号是①④.点睛：对命题真假的判断，主要要明确概念或公式.19．【解析】分析：首先求得样本中心点然后结合回归方程过样本中心点即可求得实数a 的值详解：由题意可得：回归方程过样本中心点则：解得：故答案为：145点睛：本题主要考查回归方程的性质及其应用等知识意在考查学解析：1.45【解析】分析：首先求得样本中心点，然后结合回归方程过样本中心点即可求得实数a 的值. 详解：由题意可得：01456846x +++++==，1.3 1.8 5.6 6.17.49.3 5.256y +++++==， 回归方程过样本中心点，则：5.250.954a =⨯+，解得： 1.45a =.故答案为： 1.45．点睛：本题主要考查回归方程的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．9【解析】阅读茎叶图由甲组数据的中位数为可得乙组的平均数：解得：则:点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)叶的位置只有一个数字而茎的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录不能遗漏特别解析：9【解析】阅读茎叶图，由甲组数据的中位数为14 可得4x = ， 乙组的平均数：824151810165y +++++= ，解得：5y = ， 则:459x y +=+= . 点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据．三、解答题21．（Ⅰ）22143x y +=或22143y x +=（Ⅱ 【解析】【分析】（Ⅰ）由已知可得1c =，再由离心率求得2a =，结合隐含条件求得b 的值，从而求得椭圆的方程；（Ⅱ）在焦点三角形中利用余弦定理求得|PF 1||PF 2|=4，代入三角形的面积公式得答案.【详解】（Ⅰ）椭圆方程可设为2222222211x y y x a b a b+=+=或且c =1，又12c e a ==，得a =2， ∴b 2=a 2-c 2=4-1=3， ∴椭圆的方程为22143x y +=或22143y x +=. （Ⅱ）在△PF 1F 2中，由余弦定理可得：22212124||2c PF PF PF PF cos =+-∠F 1PF 2， 即212124()2PF PF PF PF =+--2|PF 1||PF 2|×cos 60°，∴4=16-3|PF 1||PF 2|，即|PF 1||PF 2|=4．∴△F 1PF 2的面积S =12|PF 1||PF 2|sin 60°=142⨯= 【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆的标准方程的求解，椭圆焦点三角形的面积，余弦定理，属于简单题目. 22．(1)79；（2）712. 【解析】【分析】 （1）求解不等式26160x x --≤可得x 的范围，由测度比为长度比求得26160x x --≤的概率；（2）求解对数不等式可得满足()ln 22x -<的x 的范围，得到整数个数，再由古典概型概率公式求得答案．【详解】解：（1）26160x x --≤Q ，∴28x -剟，又[]1,10x ∈Q []1,8x ∴∈ 故由几何概型可知，所求概率为8110971-=-． （2）()ln 22x -<Q ，222x e ∴<<+，则在区间[]1,12内满足()ln 22x -<的整数为3,4,5,6,7,8,9共有7个， 故由古典概型可知，所求概率为712． 【点睛】本题考查古典概型与几何概型概率的求法，正确理解题意是关键，是基础题． 23．(1)14;(2) 15【解析】【分析】（1）由题意函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数，可得0a ＞，2b a ≤，可得可得先后抛掷两次骰子的基本事件数为36个，求出所求事件包含基本事件，可得其概率； （2）由（1）可得0a ＞，2b a ≤，可得实验的全部结果所构成的区域与所求事件所构成的区域，由几何概型可得答案.【详解】解：可得函数2()41f x ax bx =-+的对称轴为：2b x a =， 要使函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数，当且仅当0a ＞，21b a ≤，2b a ≤， 由题意可得先后抛掷两次骰子的基本事件数为36个，所求事件包含基本事件：(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(6,3)，所求事件包含的事件为为9个，可得所求事件的概率为：91364=； （2）由（1）得，要使函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数，当且仅当0a ＞，21b a≤，2b a ≤， 由题意可得实验的全部结果所构成的区域是：280(,)00a b a b a b ⎧⎫+-≤⎧⎪⎪⎪>⎨⎨⎬⎪⎪⎪>⎩⎩⎭，构成所求事件的区域为三角形部分，由2802a b a b +-≤⎧⎪⎨=⎪⎩得交点坐标168(,)55P ，可得所求事件概率为：18412515482p ⨯⨯==⨯⨯ 【点睛】本题主要考查不等式，线性规划问题及几何概率求解，属于中档题，注意运算准确.24．（1）710；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据茎叶图可知成绩不低于80分的学生共有5人，其中成绩为87分的有2人，先求解出成绩为87分的同学没有人被抽中的概率，利用对立事件的概率公式求得结果；（2）根据茎叶图补全列联表，根据公式计算得到2K ，对比临界值表得到结果.【详解】（1）由茎叶图可知，甲班中成绩不低于80分的学生共有5人，其中成绩为87分的有2人 记：“成绩为87分的同学至少有一名被抽中”为事件A()2325310C P A C ∴== ()()37111010P A P A ∴=-=-= （2）由茎叶图可补全列联表如下：()2240661414() 6.4 3.841()()()()20202020n ad bc K a b c d a c b d ⨯⨯-⨯-∴===>++++⨯⨯⨯ ∴有95%的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”【点睛】本题考查对立事件概率的求解问题、独立性检验的应用，属于常规题型.25．（1）0.0135a =（2）276人（3）32.8【解析】【分析】（1）由直方图中频率和（小矩形面积和）为1可求得a ；（2）求出上学路上所需时间不少于40分钟的学生的频率，然后乘以1200可得；（3）用各小矩形中点估算为这一组的均值，然后乘以频率，并相加可得．【详解】解：（1）由200.025200.0055200.0032201a ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，解得0.0135a =.（2）Q 上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿，招收学生1200人， ∴估计所招学生中有可以申请住宿人数为：()0.00550.0032201200276+⨯⨯⨯=.（3）该校学生上学路上所需的平均时间为：100.013520300.02520500.005520700.00320900.0032032.8⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=【点睛】本题考查频率分布直方图，考查数学期望，解题关键是掌握频率分布直方图的性质：直方图中所有频率之和为1，即各小矩形面积和为1.26．（1）0.04a =（2）基本事件见解析, 所求的概率为815 【解析】【分析】（1）由所有小矩形面积和为1计算出a ；（2）先计算出第4、5两组人数，再按比例计算出抽取的人数，然后把第四组的4人表示为a ，b ，c ，d ，第五组的2人表示为A ，B ，用列举法写出所有基本事件，并计数求出概率。