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13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册二、例题讲解例1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知线段AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE最小？最小为多少？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值．变式1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8．（1）请问点C什么位置时AC+CE的值最小？最小值为多少？（2）设BC＝x，则AC+CE可表示为，请直接写出的最小值为．例2.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．变式1.如图，在⊥ABC中，BA＝BC，BD平分⊥ABC，交AC于点D，点M、N 分别为BD、BC上的动点，若BC＝10，⊥ABC的面积为40，则CM+MN的最小值为．变式2.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则⊥CDM的周长的最小值为（）A．7B．8C．9D．10变式3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．（1）点D的坐标为；（2）若E为边OA上的一个动点，当⊥CDE的周长最小时，求点E的坐标．例3.如图，⊥AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若⊥PMN的周长是6cm，则P1P2的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm变式1.已知点P在⊥MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P 关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．（1）若⊥MON＝50°，求⊥GOH的度数；（2）如图2，若OP＝6，当⊥P AB的周长最小值为6时，求⊥MON的度数．变式2.如图，⊥MON＝45°，P为⊥MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当⊥P AB的周长取最小值时，⊥APB的度数为（）A．45°B．90°C．100°D．135°变式3.如图，⊥AOB＝30°，P是⊥AOB内的一个定点，OP＝12cm，C，D分别是OA，OB上的动点，连接CP，DP，CD，则⊥CPD周长的最小值为．变式4.如图，在五边形中，⊥BAE＝140°，⊥B＝⊥E＝90°，在边BC，DE上分别找一点M，N，连接AM，AN，MN，则当⊥AMN的周长最小时，求⊥AMN+⊥ANM 的值是（）A．100°B．140°C．120°D．80°例4.如图，在⊥ABC中，AB＝AC，⊥A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，⊥DNM+⊥EMN的大小是（）A．45°B．90°C．75°D．135°变式1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，0），C（m+2，2），D（m，2），当四边形ABCD的周长最小时，m的值是（）A．B．C．1D．变式2.如图，在四边形ABCD中，⊥B＝90°，AB⊥CD，BC＝3，DC＝4，点E 在BC上，且BE＝1，F，G为边AB上的两个动点，且FG＝1，则四边形DGFE 的周长的最小值为．例5.如图，⊥AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记⊥MPQ＝α，⊥PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．60°变式1.如图，∠AOB＝20°，M，N分别为OA，OB上的点，OM＝ON＝3，P，Q分别为OA，OB上的动点，求MQ+PQ+PN的最小值。
初二数学上册：利用轴对称求解最短路径问题一、知识重点1、最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．2、运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．3、利用平移确定最短路径选址解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．二、经典例子解析【例一】有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．解：如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E就是所求的点．【例二】如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点解：如图，【例三】如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短。
解：先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B【例四】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小解：如图，作点B关于直线l的对称点B′；连接AB′交直线l于点M.则点M即为所求的点．【例五】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A 村与B村供水。
利用轴对称求最短距离问题基本题引入:如图（1），要在公路道a上修建一个加油站，有Ａ，Ｂ两人要去加油站加油。
加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？你可以在a上找几个点试一试,能发现什么规律?·B ·A·B·Aa·B·Aa·A′图1M·A′MNa 图2图3思路分析：如图2，我们可以把公路a近似看成一条直线，问题就是要在a上找一点M，使AM与BM的和最小。
设A′是A的对称点，本问题也就是要使A′M与BM的和最小。
在连接A′B的线中，线段A′B最短。
因此，线段A′B与直线a的交点C的位置即为所求。
如图3，为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线a上另外任取一点N，连接AN、BN、A′N。
因为直线a是A，A′的对称轴，点M,N在a上，所以AM= A′M,AN= A′N。
∴AM+BM= A′M+BM= A′B在△A′BN中，∵A′B＜A′N+BN∴AM+BM＜AN+BN即AM+BM最小。
点评：经过复习学生恍然大悟、面露微笑，不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道中考题解决了。
思路如下：②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小.由题意可知，点C关于直线DE的对称点是点A，显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小.此时DP＝DE，PB＋PA＝AB.由∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，得△DAF∽△ABC.EF∥BC，1159AB＝，EF＝.∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15.∴AD＝10.Rt△ADF22292525中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8.∴DE＝DF＋FE＝8＋＝.∴当x＝时，△PBC的周长222得AE＝BE＝最小， y值略。
数学新课程标准告诉我们：教师要充分关注学生的学习过程，遵循学生认知规律，合理组织教学内容，建立科学的训练系统。
使学生不仅获得数学基础知识、基本技能，更要获得数学思想和观念，形成良好的数学思维品质。
利用图形的对称性（轴对称）求最短路径问题一、已知两点求一点例1设A，B两点在直线L的异侧，图-1，在L上找一点M使AM+BM最小。
说明理由。
BLMA图-1例2设A，B两点在直线L的同侧，图-2，在L上找一点M使AM+BM最小。
方法：寻找对称点，运用定理，两点之间直线最短。
ABLMA’图--2二、已知两点求两点例3 设A，B两点位于两相交直线L1、L2所形成的某一夹角内。
图-3，求作M,N使得M,N分别在两相交直线L1、L2上且满足AN+MN+BM最小。
L1B’. AM . BL2NA’图--3例4 设P，Q两点位于锐角 ABC的BC边上，有两动点M,N分别位于另外两边上，图-4，求作M,N使四边形PQNM的周长最短。
P’ BM PQCA N图--4Q’三、已知一点求两点例5 点P位于三角形的某一边上，动点M,N分别位于另外两边上。
图-5，试作M,N使得❒PMN周长最短。
P’ BPMA N CP’’图—5例6 点P位于两相交直线L1，L2所形成的夹角内，动点M,N分别位于两直线上。
图-6，试作M,N使得❒PMN周长最短。
L2PML1N图-6我们将这些情况放在直角坐标系下考虑。
第一种情况：设A,B两点都在第一象限，直线L与X轴重合，M点在X轴上，且使AM+BM最小。
求（1）M点的坐标。
（2）AM+BM的长度。
第二种情况设A,B两点，B点在第Ⅰ象限，M,N分别在Y轴，X轴上，A点分别在第Ⅰ象限，第Ⅱ象限，第Ⅲ象限，第Ⅳ象限时，试求（1）M,N的坐标，使得AM+MN+BN最小，并求出最小值。
（2）两动点M,N到达何处时，四边形AMNB周长最短。
Y训练题1.已知，AB是圆O的直径，P、Q是圆O上的两点，且直线PQ//AB,M是直径AB是上动点，试问：∆PQM周长最短时，M点处于何处？并证明。
A B【思路】由于三角形∆PQM的一边PQ是定长，因此要使它的周长最短就是要求动点M到点P、Q的距离之和最短。
利用图形的对称性，作Q关于直线AB的对称点Q’，连接PQ’，它与AB相交于M即为所求。
龙源期刊网 运用“轴对称”解决最短路径问题作者：刘军来源：《初中生世界·八年级》2014年第10期在学习“轴对称图形”时，我们经常会遇到与最短路径有关的问题，同学们往往在处理这类问题时感到困难. 这类问题通常会转化成“两点之间，线段最短”来解决，而轴对称的性质是实现这一转化的有效方法之一. 只要我们能把握轴对称的性质，那么问题便迎刃而解.在苏科版八（上）“轴对称图形”一章的课后习题中就有这样一个问题：如图1，点A、B在直线l同侧，点B′是点B关于l的对称点，AB′交l于点P. （1）AB′与AP+PB相等吗？为什么？（2）在l上再取一点Q，并连接AQ和QB，比较AQ+QB与AP+PB的大小，并说明理由.【解析】（1）由点B与点B′关于直线l成轴对称可知PB=PB′，则AB′=AP+PB′=AP+PB. （2）利用“三角形任意两边之和大于第三边”及（1）的结论可知，AQ+QB>AB′=AP+PB.这个问题还可以进一步说明直线l上的点P能使得线段PA+PB的和最小.下面再通过对几个最短路径问题的分析，帮助同学们熟悉并掌握这类问题的解题策略，真正能做到融会贯通，一通百通.一、已知两点在一条直线的同一侧例1 （将军饮马）古希腊一位将军要从A地出发到河边（如下图MN）去饮马，然后再回到驻地B. 问怎样选择饮马地点P，才能使路程最短？【点拨】分别作点A、B关于OM、ON的对称点A1、B1，连接A1B1，分别交OM、ON于点C、D，即得点C、D就是所求的两点.利用“轴对称”解决最短路径问题的关键是根据轴对称的性质，将不在一条直线的线段转化到同一条直线上，然后用“两点之间，线段最短”来解决. 解决这类问题，还需要认真审题，不仅要注意图形，而且要重视问题的要求，才能够有效地解决此类问题.（作者单位：江苏省无锡市天一实验学校）。
第一章平移、对称与旋转第4讲利用轴对称破解最短路径问题一、学习目标1. 理解“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题通过轴对称的性质与作图转化为“两点之间，线段最短”问题求解。
2.能将实际问题或几何问题（对称背景图）中有关最短路径（线段之差最大值）问题借助轴对称转化为两点之间，线段最短问题分析与求解。
二、基础知识·轻松学与轴对称有关的最短路径问题关于最短距离，我们有下面几个相应的结论：（1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）；（2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。
（4）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；【精讲】一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用“两点之间线段最短”或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明，关键是找相关点关于直线的对称点实现“折”转“直”。
另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。
（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等。
）三、重难疑点·轻松破最短路径问题在平面图形中要解决最短路径问题，自然离不开构建与转化“两点之间，线段最短”的数学公理，通常将涉及到的两点中的任一点作出关于直线的对称点，从而运用两点之间，线段最短解决实际问题．在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。
“最短路径问题”的原型来自于“饮马问题”、“造桥选址问题”，出题通常以直线、角、等腰（边）三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景。
（1）“一线同侧两点”问题例1 如图，点A、B在直线m的同侧，点B′是点B关于m 的对称点，′交m于点P．（1）′与相等吗？为什么？（2）在m上再取一点N，并连接与，比较与的大小，并说明理由．解析：（1）∵点B′是点B关于m的对称点，∴′，∵′′，∴′．（2）如图：连接，，B′N，∵′，∴′＞′，∴＞．点评：两条线段之和最短，往往利用对称的思想，把两条线段的和变为一条线段来研究，利用两点之间的线段最短得出结果。
这类题主考实际问题转化为数学问题的能力，关键是利用轴对称、“两点之间，线段最短”及三角形三边的关系等．变式1 需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到A，B两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置．（2）“两点两线（平行）”问题例2 如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A到B的距离最短？解析：虽然A、B两点在河两侧，但连接的线段不垂直于河岸．关键在于使最短，但与未连起来，要用线段公理就要想办法使P与D重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的．如图，作'垂直于河岸，使′等于河宽，连接′，与河岸相交于P，作⊥，则∥′且′，于是′为平行四边形，故′．根据“两点之间线段最短”，′最短，即最短．故桥建立在处符合题意．点评：此题考查了轴对称﹣﹣﹣最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，解决“造桥选址”的简单的实际问题．但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．此类题往往需要利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法．变式2 如图，两个村庄A和B被一条河隔开，现要在河上架设一座桥．请你为两村设计桥址，使由A村到B村的距离最小（假定两河岸m、n是平行的，且桥要与河垂直）．要求写出作法，并说明理由．（3）“一点两线（相交）”解决周长最短问题例3：如图所示，∠内有一点P，在、边上各取一点P1、P2，使△1P2的周长最小．解析：依据两点之间线段最短，可分别作点P关于，的对称点，如图，以为对称轴作P的对称点M，以为对称轴作出P的对称点N，连交、于点P1、P2∴△1P2为所求作三角形．点评：解题关键是转化“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题（将军饮马问题），其核心是化折为直（两点之间线段最短）的思想，转化技巧是能够运用轴对称性质及作图求解问题．变式3 城关中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的，），桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？（4）“一线异侧两点”“差最大”问题例4 在定直线异侧有两点A、B，在直线上求作一点P，使与之差的绝对值最大．解析：作法：作点B关于直线的对称点B′，作直线′交于P点，则点P为所求点（如图）；若B′A∥（即B′、A到直线的距离相等），则点P不存在．证明：连接，在上任意取点P′，连接P′A、P′B，则′，P′′B，因为′B﹣P′′B′﹣P′＜′′B﹣﹣，所以，此时点P使﹣最大．点评：本题考查的是最短线路问题，解答此类题目的关键是根据轴对称的性质画出图形，再由两点之间线段最短的知识求解．变式4.如图，在△中，，的垂直平分线交于N，交于M，连接，若＝8 ，△的周长是14 ，（1）求的长（2）在直线上是否存在点P，使｜－｜的值最大，若存在，画出点P的位置，并求最大值，若不存在，说明理由。
（5）“两点一线＋线段”例5 直线L的同侧有两点A、B，在直线L上求两点C、D，使得、、的和最小，且的长为定值a，点D在点C的右侧。
作法：①将点A向右平移a个单位到A1②作点B关于直线L的对称点B1③连结A1B1交直线L于点D④过点A作∥A1D交直线L于点C，连结，则线段、、的和最小。
点C、D即为所求。
变式5长方形，3，4，D为边的中点．（1）若E为边上的一个动点，当△的周长最小时，画出点E的位置；（2）若E、F为边上的两个动点，且2，当四边形的周长最小时，画出点E、F的位置；（6）台球击点问题例6如图，在台球桌面上，有白和黑两球分别位于M，N两点处，问：怎样撞击白球M，使白球先撞击台边，反弹后再去击中黑球N？解析：作N关于的对称点N′，连接′交于点E，连接．按方向撞击白球M，白球M反弹后必沿方向击中黑球N．点评：要使白球M撞击台边反弹后再去击中黑球N，必须使∠∠．由轴对称还可得，∠N′∠．又对顶角∠∠N′，故可得到∠∠．本题重在考查轴对称的性质在实际生活中的应用，关键注意对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．变式6 如图，甲乙丙丁四人做接力游戏．开始时，甲站在长方形操场内部的E点处，丙在的中点G处，乙，丁分别站在、边上．游戏规则是，甲将接力棒传给乙，乙传给丙，丙传给丁，最后丁跑回传给甲．如果他们四人的速度相同，试找出乙，丁站在何处，他们的比赛用时最短？（请画出路线，并保留作图痕迹，作法不用写）四、课时作业·轻松练A.基础题组1.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A、B、 C、D、2.已知，如图△为等边三角形，高10，P为上一动点，D为的中点，则的最小值为．第2题第3题3.如图，是正方形的一条对称轴，点P是直线上的一个动点，当最小时，∠°．4.为庆祝60年国庆圣典，阳光中学八年级（2）班举行一次文艺晚会，桌子摆成两真线（如图：，）桌子上摆满苹果，桌子上摆满桔子，坐在C处的小华想先拿苹果再拿桔子，然后回到座位C处，∠小于90度，请你帮助他设计一条行走路线，使小华所走路程最短．请作出路线图，并用字母表示所走路线．（保留作图痕迹，不写作法、不必说明理由）B.中档题组5.如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊，然后赶羊到小河l2饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为它设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置．6.如图，一牧民从A点出发，到草地出发，到草地去喂马，该牧民在傍晚回到营帐B之前先带马去小河边给马饮水（、均为直线），试问牧民应走怎样的路线，才能使整个路程最短？（简要说明作图步骤，并在图上画出）C.挑战题组7.如图，荆州古城河在′处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：′，′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，如何架桥可使到A到B 的路程最短，画出路程图五、我的错题本参考答案变式练习变式1解：利用轴对称图形的性质可作点A关于公路的对称点A′，连接A′B，与公路的交点就是点P的位置．变式2 解：如图，过点B作⊥n，且使等于河宽，连接交直线m与M，作∥即可．理由：两点之间线段最短．变式3解析：本题意思是在上找一点D，在上找一点E，使△的周长最小．如果作点C关于的对称点是M，关于的对称点是N，当点D、E在上时，△的周长为，此时周长最小．变式4解：（1）因垂直平分，所以＝，又因△的周长是14 ，故＝14 ，所以＝6 .（2）当点P位于直线与延长线的交点时，－的值最大，最大值是6，理由：因A、B关于直线对称，所以，当点P位于（直线与延长线的交点除外）上时，根据三角形三边关系始终有｜－｜<，当点P位于直线与延长线的交点P时，即B、C、P三点成线时，存在｜－｜＝＝6 为最大值，变式5解：（1）如图，作点D关于的对称点D'，连接'与交于点E，连接．若在边上任取点E'与点E不重合、，连接'、'、D'E'由'''E''＞''，可知△的周长最小．（2）如图，作点D关于的对称点D'，在边上截取2，连接D'G与交于点E，在上截取2，∵∥，，∴四边形为平行四边形，有，又、的长为定值，∴此时得到的点E、F使四边形的周长最小．变式6解：作点G关于的对称点G′，作E关于的对称点E′连接G′E′，交于点F、交于点H，故比赛最短的路线为：E→H→G→F．课堂作业A.基础题组1解析：利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．作点P关于直线L的对称点P′，连接′交直线L于M．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．故选D．2.10解析：连接，根据等边三角形三线合一的性质，可得，要取最小值，应使D、P、C三点一线．连接，∵△为等边三角形，D为的中点，∴的最小值为：10．3. 45°解析：∵当最小时，作出D点关于的对称点，正好是A点，连接，为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠45°，∴∠45°．4.解析：要求小华所走路程最短路线，如图，可作点C关于的对称点M，作点C关于的对称点N．连接，交于点F，交于点E，最短路线．B.中档题组5解：作出点A关于l1的对称点E，点B适于l2的对称点F，连接，交于l1，l2于点C，点B，则，，是他走的最短路线．6.解：如图，分别作A点关于直线的对称点A′、B点关于直线的对称点B′，连接A′B′，分别交于点C，交于点D，连接、，∴路线最短．C.挑战题组7.解：作⊥，且河宽，作⊥，且河宽，连接，与河岸相交于E′、D′．作′、′即为桥．证明：由作图法可知，∥′，′，则四边形′D为平行四边形，于是′，同理，′，由两点之间线段最短可知，最小；即当桥建于如图所示位置时，′E′最短．。
