高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的几何性质(一)1教案 新人教A版选修1-1

2.2.2 双曲线的几何性质课堂探究探究一 由双曲线方程研究其几何性质已知双曲线的方程求该双曲线的有关性质的步骤：先将双曲线的方程化为标准形式x 2a2－y 2b 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫或y 2a 2－x 2b 2＝1，再根据a ，b 的值(注意分母分别为a 2，b 2，而不是a ，b )求出c ，进而对照双曲线的几何性质得到相应的答案．画几何图形时，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a,2b 为两邻边的矩形的对角线所在的直线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势画出双曲线的近似图形．【典型例题1】 求双曲线16x 2－9y 2＝－144的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率和渐近线方程，并作出草图．思路分析：将双曲线方程变为标准方程，确定a ，b ，c 后求解．解：把方程16x 2－9y 2＝－144化为标准方程y 242－x 232＝1，由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3，c ＝a 2＋b 2＝5，焦点坐标为(0，－5)，(0,5)；顶点坐标为(0，－4)，(0,4)；离心率为e ＝c a ＝54；渐近线方程为y ＝±43x .作草图．探究二 利用几何性质求双曲线的标准方程双曲线标准方程的求法和椭圆方程的求法类似，一般都采用待定系数法，即先设出标准方程，再利用条件列出关于a ，b ，c 的方程，解方程组求出待定系数．【典型例题2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，焦距为10；(2)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，且过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－1； (3)与椭圆x 249＋y 224＝1有公共焦点，且率心率e ＝54.思路分析：根据题设条件确定a ，b 的关系式，利用解方程的方法求得a ，b 的值．但焦点位置不明确的，要注意分情况讨论．也可根据双曲线的几何情况，设出双曲线系方程再求解．解：(1)解法一：当焦点在x 轴上时，设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1.由渐近线方程为y ＝±12x ，得b a ＝12，2c ＝10.又c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝20，b 2＝5， 所以双曲线的标准方程为x 220－y 25＝1. 同理，当焦点在y 轴上时，可得双曲线的方程为y 25－x 220＝1，所以所求双曲线的标准方程为x 220－y 25＝1或y 25－x 220＝1.解法二：由渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，即x 24λ－y 2λ＝1.由a 2＋b 2＝c 2,2c ＝10，得|4λ|＋|λ|＝25， 所以|λ|＝5，所以λ＝±5，所以所求双曲线的标准方程为x 220－y 25＝1或y 25－x 220＝1.(2)因为双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0， 所以可设双曲线的方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)．又因为双曲线过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－1，所以λ＝4×814－9＝72.所以双曲线方程为4x 2－9y 2＝72， 即标准方程为x 218－y 28＝1.(3)解法一：由椭圆方程可得焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，即c ＝5且焦点在x 轴上．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，且c ＝5.又e ＝c a ＝54，所以a ＝4， 所以b 2＝c 2－a 2＝9.所以双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.解法二：因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设双曲线方程为x 249－λ－y 2λ－24＝1(24＜λ＜49)．又e ＝54，所以λ－2449－λ＝2516－1，解得λ＝33.所以双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.点评：(1)，(2)题中，利用渐近线方程与双曲线方程的关系，可设有公共渐近线的双曲线系方程x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确率．(3)题的解法二利用共焦点的曲线系方程，不失为一种巧妙的解题方法．探究三 双曲线的离心率问题求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a ，b ，c 的关系式，再根据c 2＝a 2＋b 2，直接求a ，c 的值．而在解题时常把c a 或b a 视为整体，把关系式转化为关于c a 或b a的方程，解方程求之，从而得到离心率的值．【典型例题3】 双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率为__________．思路分析：分焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论，把b a看作一个整体进行求解．解析：方法1：当焦点在x 轴上时，其渐近线方程为y ＝±b a x ，依题意得b a ＝34，b ＝34a ，c ＝a 2＋b 2＝54a ，故e ＝c a ＝54.当焦点在y 轴上时，其渐近线方程为y ＝±a b x ，依题意得a b ＝34，b ＝43a ，c ＝a 2＋b 2＝53a ，即e ＝c a ＝53.方法2：由e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2得：当b a ＝34时，e ＝54；当b a ＝43时，e ＝53. 答案：53或54规律小结 求双曲线的离心率的常用方法：(1)利用a ，c 求．若可求得a ，c ，则直接利用e ＝c a得解． (2)利用a ，b 求．若已知a ，b ，可直接利用e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2得解． (3)利用方程求．若得到的是关于a ，c 的齐次方程(p ，q ，r 为常数，且p ≠0)，即p ·c 2＋q ·ac ＋r ·a 2＝0，则转化为关于e 的方程p ·e 2＋q ·e ＋r ＝0求解．探究四 双曲线的渐近线问题根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法中，最简单且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了此双曲线的渐近线方程．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；若已知双曲线的渐近线方程x a ±y b ＝0或y ＝±b a x ，则双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．当λ＞0时，焦点在x 轴上；当λ＜0时，焦点在y 轴上．【典型例题4】 已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°，求该双曲线的渐近线方程．思路分析：求双曲线的渐近线方程就必须求渐近线的斜率，也就是求a ，b 间的关系．本题利用双曲线的定义和直角三角形边角之间的关系，求a ，b 间的关系．解：设F 2(c,0)(c ＞0)，P (c ，y 0)，则c 2a 2－202y b ＝1，解得y 0＝±b 2a ， 所以|PF 2|＝b 2a.在Rt△PF 2F 1中，∠PF 1F 2＝30°， 所以|F 1F 2|＝3|PF 2|，即2c ＝3×b 2a.①将c 2＝a 2＋b 2代入①式，解得b 2＝2a 2或b 2＝－23a 2(舍去)，故b a ＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .。

2.2 双曲线第1课时 双曲线及其标准方程[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 45～P 48的内容，回答下列问题． (1)观察教材P 45－图2.2－1，思考下列问题：①在点M 移动的过程中，|||MF 1|－|MF 2|的值发生变化吗？ 提示：不变.|||MF 1|－|MF 2|＝|FF 2|． ②动点M 的轨迹是什么？ 提示：双曲线．(2)利用教材P 46－图2.2－2所建立的坐标系，类比椭圆标准方程的推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？提示：设M (x ，y )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，由|||MF 1|－|MF 2|＝2a ，可得x 2a 2－y 2c 2－a 2＝1，令b 2＝c 2－a 2，则双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．2．归纳总结，核心必记 (1)双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．(2)双曲线的标准方程焦点位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 焦点坐标 F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦点位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上a ，b ，c c 2＝a 2＋b 2的关系[问题思考](1)双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？提示：双曲线的一支．(2)在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F 1F 2|”，那么“常数等于|F 1F 2|”，“常数大于|F 1F 2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？提示：①如果定义中常数等于|F 1F 2|，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线(包括端点)．②如果定义中常数大于|F 1F 2|，此时动点轨迹不存在．③如果定义中常数为0，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线．(3)如何判断方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)所表示双曲线的焦点位置？提示：若x 2的系数为正，则焦点在x 轴上，若y 2的系数为正，则焦点在y 轴上．(4)方程x 2m ＋y 2n＝1表示哪种曲线呢？提示：当m ＝n >0时表示圆；当m >n >0或n >m >0时表示椭圆；当mn <0时表示双曲线． (5)椭圆标准方程和双曲线标准方程中的a ，b ，c 之间的关系有什么区别？ 提示：在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2．[课前反思](1)双曲线的定义是： ；(2)双曲线的标准方程是： ； (3)如何由双曲线方程确定焦点的位置？． [思考] 要求双曲线的标准方程，应确定哪些条件？ 名师指津：(1)确定焦点的位置；(2)确定a 和b 的值． 讲一讲1．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5；(2)c ＝6，经过点(－5，2)，焦点在x 轴上．[尝试解答] (1)法一：若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154和Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎪⎨⎪⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 2 9－x 216＝1.法二：设双曲线方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．∵P 、Q 两点在双曲线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)法一：依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．依题设有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1. 法二：∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5，2)，∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，实为一种好方法．练一练1．求满足下列条件的双曲线方程：(1)焦点在y 轴上，且过点(3，－42)和⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．解：(1)由已知可设所求双曲线方程为y 2a 2－x2b 2＝1(a >0，b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝9， ∴双曲线的方程为y 216－x 29＝1.(2)法一：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1.由题意易求得c ＝2 5. 又双曲线过点(32，2)， ∴（32）2a 2－4b2＝1. 又∵a 2＋b 2＝(25)2， ∴a 2＝12，b 2＝8.故所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1.法二：设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k ＝1(－4<k <16)，将点(32，2)代入得k ＝4， ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.讲一讲2．如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积． [尝试解答] 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义得|||MF 1|－|MF 2|＝2a ＝6， 又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16， 假设点M 到另一个焦点的距离等于x ， 则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22. 故点M 到另一个焦点的距离为10或22.(2)将|||PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0， ∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据|||PF 1|－|PF 2|＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件|||PF 1|－|PF 2|＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．练一练2．已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解：由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，则S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.讲一讲3．如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sinB ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．[尝试解答] 以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R ，sin C ＝c2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．因为2sin A ＋sin C ＝2sin B ， 所以2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2，从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)． 因为a ＝2，c ＝22，所以b 2＝c 2－a 2＝6， 即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．(1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．练一练3．如图所示，已知定圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5，0)，半径r 1＝1；圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5，0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3<10＝|F 1F 2|.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1⎝⎛⎭⎪⎫x ≤－32.——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是双曲线的定义及标准方程的求法，难点是双曲线定义的应用． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)双曲线标准方程的求法，见讲1；(2)利用双曲线的定义解决与焦点有关的三角形问题，见讲2； (3)求与双曲线有关的轨迹问题，见讲3.3．双曲线定义中|||PF 1|－|PF 2|＝2a (2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线．在双曲线的标准方程中，a >b 不一定成立．要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别．在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.这是本节课的两个易错点．课时达标训练（九） [即时达标对点练]题组1 双曲线的标准方程1．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )A ．32B ．4 2C ．3 3D ．4 3解析：选D 由双曲线x 210－y 22＝1可知，a ＝10，b ＝2，c 2＝a 2＋b 2＝12.∴c ＝23，∴焦距为2c ＝4 3.2．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 225－y 224＝1 B.y 225－x 224＝1 C.x 225－y 224＝1或 y 225－x 224＝1 D.x 225－y 224＝0或 y 225－x 224＝0 解析：选C 由于焦点所在轴不确定， ∴有两种情况． 又∵a ＝5，c ＝7， ∴b 2＝72－52＝24.3．若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．(－1，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：选B 依题意，应有m ＋1>0，即m >－1.4．焦点分别为(－2，0)，(2，0)且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D.x 22－y 22＝1 解析：选A 由双曲线定义知，2a ＝（2＋2）2＋32－（2－2）2＋32＝5－3＝2， ∴a ＝1.又c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3， 因此所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.题组2 双曲线定义的应用5．已知F 1(－8，3)，F 2(2，3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则P 点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．直线 D ．一条射线解析：选D F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|＝10，所以满足条件|PF 1|－|PF 2|＝10的点P 的轨迹应为一条射线．6．双曲线 x 225－y 29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到焦点F 1的距离是12，则点P 到焦点F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22解析：选D 依题意及双曲线定义知，|||PF 1|－|PF 2|＝10，即12－|PF 2|＝±10，∴|PF 2|＝2或22，故选D.7．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2s －y 2t＝1(s ，t >0)有相同的焦点F 1和F 2，而P 是这两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．m －s B.12(m －s )C ．m 2－s 2D.m －s解析：选A 不妨设点P 是两曲线在第一象限内的交点，由题意得⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2s ，解得⎩⎨⎧|PF 1|＝m ＋s ，|PF 2|＝m －s ，则|PF 1|·|PF 2|＝(m ＋s )(m －s )＝m －s . 题组3 与双曲线有关的轨迹问题8．已知动圆M 过定点B (－4，0)，且和定圆(x －4)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 24－y 212＝1(x >0)B.x 24－y 212＝1(x <0) C.x 24－y 212＝1 D.y 24－x 212＝1 解析：选C 设动圆M 的半径为r ，依题意有|MB |＝r ，另设A (4，0)，则有|MA |＝r ±4，即|MA |－|MB |＝±4，亦即动圆圆心M 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于常数4，又4<|AB |，因此动点M 的轨迹为双曲线，且c ＝4，2a ＝4，∴a ＝2，a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝12，故轨迹方程是x 24－y 212＝1.9．△ABC 的一边的两个顶点B (－a ，0)，C (a ，0)(a >0)，另两边的斜率之积等于m (m ≠0)．求顶点A 的轨迹方程，并且根据m 的取值情况讨论轨迹的图形．解：设顶点A 的坐标为(x ，y )，则k AB ＝yx ＋a，k AC ＝yx －a.由题意，得yx ＋a ·yx －a ＝m ，即x 2a 2－y 2ma2＝1(y ≠0)．当m >0时，轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(两顶点除外)；当m <0且m ≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x 轴的两个交点)，其中当－1<m <0时，椭圆焦点在x 轴上；当m <－1时，椭圆的焦点在y 轴上；当m ＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a 的圆(除去与x 轴的两个交点)．[能力提升综合练]1．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0，3)，则k 的值是( ) A ．1 B ．－1 C.653 D ．－653解析：选B 原方程可化为x 21k－y 28k＝1，由焦点坐标是(0，3)可知c ＝3，且焦点在y 轴上，∴k <0.c 2＝－1k －8k ＝－9k＝9，∴k ＝－1.2．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1 解析：选D 由于a >0，0<a 2<4，且4－a 2＝a ＋2，所以可解得a ＝1，故选D. 3．已知定点A ，B 且|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，则|PA |的最小值为( ) A.12 B.32 C.72D ．5 解析：选C 如图所示，点P 是以A ，B 为焦点的双曲线的右支上的点，当P 在M 处时，|PA |最小，最小值为a ＋c ＝32＋2＝72.4．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 22－y 23＝1D.x 23－y 22＝1 解析：选B 由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 25－a 2＝1，又由中点坐标公式可得P (5，4)， ∴5a 2－165－a2＝1，解得a 2＝1. 5．已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C .给出以下四个判断：①当1<t <4时，曲线C 表示椭圆；②当t >4或t <1时， 曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52；④若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t >4.其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．解析：①错误，当t ＝52时，曲线C 表示圆；②正确，若C 为双曲线，则(4－t )(t －1)<0，∴t <1或t >4; ③正确，若C 为焦点在x 轴上的椭圆，则4－t >t －1>0.∴1<t <52； ④正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t <0，t －1>0，∴t >4.答案：②③④6．若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若|AB |＝5，则△AF 1B 的周长为________．解析：由双曲线定义可知|AF 1|＝2a ＋|AF 2|＝4＋|AF 2|；|BF 1|＝2a ＋|BF 2|＝4＋|BF 2|， ∴|AF 1|＋|BF 1|＝8＋|AF 2|＋|BF 2|＝8＋|AB |＝13. △AF 1B 的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝18. 答案：187．双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，求点P 到x轴的距离．解：设点P 为(x 0，y 0)，而F 1(－5，0)，F 2(5，0)， 即(－5－x 0)(5－x 0)＋(－y 0)·(－y 0)＝0， 整理，得x 20＋y 20＝25. ①∵P (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 209－y 2016＝1. ②联立①②，得y 20＝25625，即|y 0|＝165.因此点P 到x 轴的距离为165.8．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判别△MF 1F 2的形状．解：(1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则有⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2，所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1.(2)不妨设点M 在右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝23， 又|MF 1|＋|MF 2|＝63，故解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝2 3. 又|F 1F 2|＝25，因此在△MF 1F 2中，边MF 1最长，因为cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22·|MF 2|·|F 1F 2|<0，所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．第2课时 双曲线的简单几何性[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 49～P 53的内容，回答下列问题．类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的哪些几何性质？提示：双曲线的范围、对称性、顶点坐标和离心率． 2．归纳总结，核心必记 (1)双曲线的简单几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质焦点 (±c ，0) (0，±c ) 焦距 2c2c范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R y ≥a 或y ≤－a ，x ∈R对称性对称轴：x 轴和y 轴，中心：(0，0)顶点(±a ，0)(0，±a )轴长 实轴长＝2a ，虚轴长＝2b离心率e ＝ca∈(1，＋∞)渐近线y ＝±b axy ＝±a bx(2)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x .[问题思考](1)如何用a ，b 表示双曲线的离心率？提示：e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2． (2)椭圆的离心率反映了椭圆的扁圆程度．那么，双曲线的离心率与开口大小有关系吗？怎样反映这种关系？提示：e ＝c a ＝1＋b 2a2，当e 越大时，双曲线开口越大；当e 越小，接近于1时，双曲线开口越小．(3)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2b 2－x 2a 2＝1的渐近线有什么关系？提示：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2b 2－x 2a2＝1的渐近线相同．(4)等轴双曲线的离心率为何值？提示：e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝2，即等轴双曲线的离心率为2． [课前反思](1)双曲线的几何性质有哪些？；(2)等轴双曲线的定义： ． 讲一讲1．求双曲线9x 2－16y 2＋144＝0的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出这个双曲线的草图．[尝试解答] 把方程9x 2－16y 2＋144＝0化为标准方程为y 29－x 216＝1.由此可知，半实轴长a ＝3，半虚轴长b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝9＋16＝5，焦点坐标为(0，－5)，(0，5)；离心率e ＝c a ＝53；渐近线方程为y ＝±a b x ＝±34x .双曲线的草图如图所示．已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的先化成标准方程，确定方程中a ，b 的对应值，利用c 2＝a 2＋b 2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．练一练1．求双曲线4y 2－9x 2＝－4的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图．解：将双曲线方程化成标准方程x 249－y 21＝1，可知半实轴长a ＝49＝23， 半虚轴长b ＝1＝1.于是有c ＝a 2＋b 2＝49＋1＝133， 所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±133，0，离心率为e ＝c a ＝132，渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±32x . 双曲线的草图如图所示. 讲一讲2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0，13)，且离心率为135；(2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)．[尝试解答] (1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13，又c a ＝135， 所以a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12， 故其标准方程为y 252－x 2122＝1.(2)∵所求双曲线与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线， ∴设所求双曲线方程为x 2－2y 2＝λ. 又双曲线过点M (2，－2)，则 22－2·(－2)2＝λ，即λ＝－4. ∴所求双曲线方程为y 22－x 24＝1.(1)根据双曲线几何性质求标准方程时，常用方法是先定型(焦点在哪个轴上)，再定量(确定a 2，b 2的值)．要特别注意a 2＋b 2＝c 2的应用，并注意不要与椭圆中的关系相混淆．(2)如果已知双曲线的方程为标准形式，但不知焦点所处的位置，也可把双曲线方程设为mx 2－ny 2＝1(m ，n 同号)，然后由条件求m ，n .(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有共同渐近线的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，然后再结合其他条件求出λ的值即可得到双曲线方程．练一练2．求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程： (1)与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52；(2)虚轴长为12，离心率为54.解：(1)设双曲线的方程为x 29－λ－y 2λ－4＝1(4<λ<9)，则a 2＝9－λ，b 2＝λ－4，∴c 2＝a 2＋b 2＝5. ∵e ＝52， ∴e 2＝c 2a 2＝59－λ＝54，解得λ＝5，∴所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.(2)设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题设知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2， ∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.讲一讲3．(1)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为 ( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2(2)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．[尝试解答] (1)不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°， ∴M 点的坐标为()2a ，3a . ∵M 点在双曲线上， ∴4a 2a 2－3a2b2＝1，a ＝b ，∴c ＝2a ，e ＝ca＝ 2.故选D. (2)如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为b a，又直线l 过右焦点F (c ，0)，则直线l 的方程为y ＝b a (x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y2b2＝1，化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)，故点P 的坐标为(2a ，－3b )，代入直线方程得－3b ＝b a (2a －c )，化简可得离心率e ＝c a＝2＋ 3.[答案](1)D (2)2＋ 3求双曲线离心率的常用方法(1)依据条件求出a ，c .计算e ＝c a；(2)依据条件建立a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化成离心率e 的方程求解，另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba后利用e ＝1＋b 2a2求解． 练一练3．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．解：设F 1(c ，0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，则y ＝±b 2a.由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°， 知|PF 1|＝|F 1F 2|，∴b 2a＝2c ，∴b 2＝2ac . ∴c 2－2ac －a 2＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－2×c a －1＝0. 即e 2－2e －1＝0.∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． ∴所求双曲线的离心率为1＋ 2.讲一讲4．已知直线l ：x ＋y ＝1与双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)．(1)若a ＝12，求l 与C 相交所得的弦长；(2)若l 与C 有两个不同的交点，求双曲线C 的离心率e 的取值范围． [尝试解答] (1)当a ＝12时，双曲线C 的方程为4x 2－y 2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4x 2－y 2＝1，消去y ，得3x 2＋2x －2＝0.设两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－23，x 1x 2＝－23，则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（x 1－x 2）2＋（x 1－x 2）2＝2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2×289＝2143. (2)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2（1－a 2）>0，解得0<a <2且a ≠1. ∵双曲线的离心率e ＝1＋a2a＝1a 2＋1，∴e >62且e ≠ 2. 即离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞)． (1)判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去x 或y 中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x 2项或y 2项系数是否为零的情况，否则容易漏解．(2)直线y ＝kx ＋b 与双曲线相交所得的弦长d ＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝ 1＋1k2|y 1－y 2|.练一练4．若直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4只有一个公共点，则k 的值等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝4，得(1－k 2)x 2＋2kx －5＝0.①直线与双曲线只有一个公共点， 则①式只有一个解．当1－k 2＝0，即k ＝±1时，①式只有一个解； 当1－k 2≠0时，应满足Δ＝4k 2＋20(1－k 2)＝0， 解得k ＝±52， 故k 的值为±1或±52. 答案：±1或±52——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是双曲线几何性质的求法，难点是直线与双曲线的位置关系． 2．本节课要重点掌握的规律方法(1)由双曲线的标准方程研究几何性质，见讲1； (2)由双曲线的几何性质求标准方程，见讲2； (3)双曲线离心率的求法，见讲3.3．直线与双曲线有一个公共点有两种情况：(1)直线与双曲线相切；(2)直线与双曲线的渐近线平行．这也是本节课的易错点．4．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．课时达标训练（十） [即时达标对点练]题组1 根据双曲线的标准方程研究几何性质1．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( ) A ．－14B ．－4C ．4 D.14解析：选A 由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0，则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1，则a 2＝1，a ＝1.又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2， ∴－1m＝b 2＝4，∴m ＝－14.2．双曲线x 225－y 24＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±25xB ．y ＝±52xC ．y ＝±425xD ．y ＝±254x解析：选A 由x 225－y 24＝0，得y 2＝425x 2，即y ＝±25x .3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )A. 3B. 2C.52 D.22解析：选B 由题意可知，此双曲线为等轴双曲线．等轴双曲线的实轴与虚轴相等，则a ＝b ，c ＝a 2＋b 2＝2a ，于是e ＝ca＝ 2.题组2 由双曲线的几何性质求标准方程4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 解析：选A 由题意知c ＝4，焦点在x 轴上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋1＝e 2＝4，所以b a ＝3，又由a 2＋b 2＝4a 2＝c 2＝16，得a 2＝4，b 2＝12.所以双曲线方程为x 24－y 212＝1. 5．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4解析：选A 令y ＝0得，x ＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4，0)，∴c ＝4，a 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A. 6．已知双曲线两顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ，求双曲线的标准方程． 解：设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)， 当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94. 当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为x 29－y 2814＝1和y 29－x 24＝1. 题组3 求双曲线的离心率 7．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为( ) A. 2 B.15 C ．4 D.17解析：选D 由双曲线的定义知，(|PF 1|－|PF 2|)2＝4a 2， 所以4a 2＝b 2－3ab ，即b 2a 2－3·b a ＝4， 解得b a＝4(－1舍去)．因为双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋b 2a 2， 所以e ＝17，故选D. 8．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作等边三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e ＝________．解析：依题意知，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，不妨设M 在x 轴上方，则M (0，3c )，所以MF 1的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2，32c ，代入双曲线方程可得 c 24a 2－3c 24b 2＝1，又c 2＝a 2＋b 2，所以c 24a 2－3c 24（c 2－a 2）＝1， 整理得e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4＋23(e 2＝4－23<1舍去)，所以e ＝3＋1.答案：3＋1题组4 直线与双曲线的位置关系9．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1，0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选B ∵双曲线方程为x 2－y 24＝1，故P (1，0)为双曲线右顶点，∴过P 点且与双曲线只有一个公共点的直线共3条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．10．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝6，y ＝kx ＋2，得x 2－(kx ＋2)2＝6. 则(1－k 2)x 2－4kx －10＝0有两个不同的正根． 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝40－24k 2>0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2>0，x 1x 2＝－101－k 2>0，得－153<k <－1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，－1 [能力提升综合练]1．如图，ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab (ab ≠0)所表示的曲线只可能是( ) 解析：选C 直线方程可化为y ＝ax ＋b ，曲线方程可化为x 2a ＋y 2b＝1，若a >0，b >0，则曲线表示椭圆，可排除A 、B 、D ，若a >0，b <0，C 符合．2．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴长相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝2B ．x 2－y 2＝ 2C ．x 2－y 2＝1D ．x 2－y 2＝12解析：选A 设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ>0)，渐近线方程为y ＝±x ，焦点到渐近线的距离c 2＝2，∴c ＝2.∵2λ＝c 2＝4，∴λ＝2. 3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±14x B ．y ＝±13x C ．y ＝±12x D ．y ＝±x 解析：选C 因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的焦点在x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为y ＝ ±b a x .又离心率为e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝52，所以b a ＝12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±12x . 4．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2 解析：选C 双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设直线AB ：y ＝2x 与椭圆C 1的一个交点为C (第一象限的交点)，则|OC |＝a 3， ∵tan ∠COx ＝2，∴sin ∠COx ＝25，cos ∠COx ＝15， 则C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 35，2a 35， 代入椭圆方程得a 245a 2＋4a 245b2＝1，∴a 2＝11b 2. ∵5＝a 2－b 2，∴b 2＝12. 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．解析：由题可得直线的斜率为3，要使直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，只要b a ≥3，∴e 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≥4. 答案：[2，＋∞)6．已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为________．解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)， 由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1， 两式作差得，y 1－y 2x 1－x 2＝b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2， 又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1， 所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5， 所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1. 答案：x 24－y 25＝17．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a ，0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率． 解：由l 过两点(a ，0)，(0，b )，设l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0.由原点到l 的距离为34c ，得ab a 2＋b 2＝34c . 将b ＝c 2－a 2代入，平方后整理，得16⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 22－16×a 2c 2＋3＝0.令a 2c 2＝x ， 则16x 2－16x ＋3＝0，解得x ＝34或x ＝14. 因为e ＝c a ，有e ＝1x .故e ＝233或e ＝2. 因为0<a <b ，故e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a2>2，所以离心率e 为2. 8．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求△F 1PF 2的面积．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线方程为x 2m 2－y 2n2＝1(a ，b ，m ，n >0，且a >b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ， 解得a ＝7，m ＝3，所以b ＝6，n ＝2， 所以椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1. (2)不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝45， 所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2 ＝12×10×4×35＝12.。

学习资料2。

2.2 双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质内容标准学科素养1.掌握双曲线的简单几何性质．2。

理解双曲线的渐近线及离心率的意义．3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。

运用直观想象提升数学运算发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第34页［基础认识]知识点双曲线的几何性质错误!椭圆的简单几何性质有哪些？研究方法是什么？双曲线是否有类似的性质呢?提示：范围、对称性、顶点、离心率．研究方法是：通过方程来研究图形的几何性质．知识梳理（1）双曲线的几何性质标准方程错误!－错误!＝1（a>0，b〉0)错误!－错误!＝1（a〉0,b〉0）性质图形焦点F1(－c，0），F2(c，0）F1（0,－c），F2（0，c）焦距|F1F2｜＝2c范围x≤－a或x≥a y∈R y≤－a或y≥a x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心:原点顶点A1(－a，0),A2（a,0）A1（0，－a),A2（0，a)轴实轴：线段A1A2,长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长:b离心率e＝错误!∈(1,＋∞)渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x2.[自我检测]1．若点M(x0，y0)是双曲线错误!－错误!＝1上支上的任意一点，则x0的取值范围是________，y0的取值范围是________．答案：(－∞,＋∞)［2，＋∞）2．双曲线4x2－2y2＝1的实轴长等于________，虚轴长等于________，焦距等于________．答案：12错误!3．双曲线错误!－错误!＝1的离心率为________．答案：2错误!授课提示：对应学生用书第35页探究一根据双曲线方程研究几何性质[阅读教材P51例3］求双曲线9y2－16x2＝144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．题型:根据双曲线方程研究其几何性质．方法步骤：①将方程化成标准方程的形式．②写出a2,b2,从而求出a，b,c的值．③求出双曲线的几何性质．［例1］求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．［解析]将9y2－4x2＝－36化为标准方程错误!－错误!＝1，即错误!－错误!＝1，∴a＝3，b＝2，c＝错误!。

２．２．２双曲线的简单几何性质学习目标核心素养１．掌握双曲线的简单几何性质．（重点）２．理解双曲线的渐近线及离心率的意义．（难点）１．通过学习双曲线的简单几何性质，培养学生的直观想象素养.２．借助双曲线的几何性质解题，培养逻辑推理、数学运算的素养.１．双曲线的几何性质标准方程错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）图形性质范围x≥a或x≤—a y≤—a或y≥a对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点（—a,0），（a,0）（0，—a），（0，a）轴长实轴长＝２a，虚轴长＝２b离心率e＝错误!>１渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x（２）双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示] （１）渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．（２）e２＝错误!＝１＋错误!，错误!是渐近线的斜率或其倒数．２．双曲线的中心和等轴双曲线（１）双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．（２）等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝错误!.１．双曲线错误!—y２＝１的顶点坐标是（）Ａ．（４,0），（0,１）Ｂ．（—４,0），（４,0）Ｃ．（0,１），（0，—１）Ｄ．（—４,0），（0，—１）B[由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且a＝４，因此双曲线的顶点坐标是（—４,0），（４,0）．]２．中心在原点，实轴长为１0，虚轴长为6的双曲线的标准方程是（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１或错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１或错误!—错误!＝１B[由题意可知２a＝１0,２b＝6，即a＝５，b＝３，∴双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１或错误!—错误!＝１，故选Ｂ．]３．若点M（x0，y0）是双曲线错误!—错误!＝１上任意一点，则x0的取值范围是________，y0的取值范围是________；该双曲线的渐近线方程为________，离心率为________．（—∞，—４]∪[４，＋∞）R y＝±错误!x错误![由错误!—错误!＝１得错误!≥１，即x0≥４或x0≤—４，y0∈R.渐近线方程为y＝±错误!x，离心率e＝错误!＝错误!＝错误!.]双曲线的几何性质２２线方程．[思路点拨] 先将双曲线的方程化为标准方程，再研究其性质．[解] 双曲线的方程化为标准形式是错误!—错误!＝１，∴a２＝9，b２＝４，∴a＝３，b＝２，c＝错误!.又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为（—３,0），（３,0），焦点坐标为（—错误!，0），（错误!，0），实轴长２a＝6，虚轴长２b＝４，离心率e＝错误!＝错误!，渐近线方程为y＝±错误!x.由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤１把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.２由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.３由c２＝a２＋b２求出c值，从而写出双曲线的几何性质.提醒：求性质时一定要注意焦点的位置.错误!１．（１）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±２x的是（）Ａ．x２—错误!＝１Ｂ．错误!—y２＝１Ｃ．错误!—x２＝１Ｄ．y２—错误!＝１（２）若双曲线错误!—错误!＝１的离心率为错误!，则其渐近线方程为（）Ａ．y＝±２xＢ．y＝±错误!xＣ．y＝±错误!xＤ．y＝±错误!x（１）C（２）B[（１）A、B选项中双曲线的焦点在x轴上，可排除；C、D选项中双曲线的焦点在y轴上，令错误!—x２＝0，得y＝±２x；令y２—错误!＝0，得y＝±错误!x.故选Ｃ．（２）在双曲线中，离心率e＝错误!＝错误!＝错误!，可得错误!＝错误!，故所求的双曲线的渐近线方程是y＝±错误!x.]由双曲线的几何性质求标准方程（１）以直线２x±３y＝0为渐近线，过点（１,２）；（２）与双曲线错误!—错误!＝１具有相同的渐近线，且过点M（３，—２）；（３）过点（２,0），与双曲线错误!—错误!＝１离心率相等；（４）与椭圆错误!＋错误!＝１有公共焦点，离心率为错误!.[解] （１）法一：由题意可设所求双曲线方程为４x２—9y２＝λ（λ≠0），将点（１,２）的坐标代入方程解得λ＝—３２．因此所求双曲线的标准方程是错误!—错误!＝１．法二：由题意可设所求双曲线方程为错误!—错误!＝１（mn>0）．由题意，得错误!解得错误!因此所求双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．（２）设所求双曲线方程为错误!—错误!＝λ（λ≠0）．由点M（３，—２）在双曲线上，得错误!—错误!＝λ，λ＝—２．故所求双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．（３）当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为错误!—错误!＝λ（λ>0），将点（２,0）的坐标代入方程得λ＝错误!，故所求双曲线的标准方程为错误!—y２＝１；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为错误!—错误!＝λ（λ>0），将点（２,0）的坐标代入方程得λ＝—错误!<0（舍去）．综上可知，所求双曲线的标准方程为错误!—y２＝１．（４）法一：由椭圆方程可得焦点坐标为（—３,0），（３,0），即c＝３且焦点在x轴上．设双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１（a>0，b>0）．因为e＝错误!＝错误!，所以a＝２，则b２＝c２—a２＝５，故所求双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．法二：因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１（１6<λ<２５）．因为e＝错误!，所以错误!＝错误!—１，解得λ＝２１．故所求双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．１．由双曲线的几何性质求双曲线的方程的常用方法：一是设法确定基本量a，b，c，从而求出双曲线方程；二是采用待定系数法．首先依据焦点的位置设出标准方程，再由题目条件确定参数的值．当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止漏解．为了避免讨论，也可设方程为mx２—ny２＝１（mn>0），从而直接求解．２．常见双曲线方程的设法（１）渐近线为y＝±错误!x的双曲线方程可设为错误!—错误!＝λ（λ≠0，m>0，n>0）；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A２x２—B２y２＝m（m≠0，A>0，B>0）．（２）与双曲线错误!—错误!＝１或错误!—错误!＝１（a>0，b>0）共渐近线的双曲线方程可设为错误!—错误!＝λ或错误!—错误!＝λ（λ≠0）．（３）与双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）离心率相等的双曲线系方程可设为错误!—错误!＝λ（λ>0）或错误!—错误!＝λ（λ>0），这是因为离心率不能确定焦点位置．错误!２．求适合下列条件的双曲线的标准方程：（１）虚轴长为１２，离心率为错误!；（２）焦点在x轴上，离心率为错误!，且过点（—５,３）；（３）顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±错误!x.[解] （１）设双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１或错误!—错误!＝１（a>0，b>0）．由题意知２b＝１２，错误!＝错误!且c２＝a２＋b２，∴b＝6，c＝１0，a＝8，∴双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１或错误!—错误!＝１．（２）∵e＝错误!＝错误!，∴c＝错误!a，b２＝c２—a２＝a２.又∵焦点在x轴上，∴设双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１（a>0）．把点（—５,３）代入方程，解得a２＝１6．∴双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．（３）设以y＝±错误!x为渐近线的双曲线方程为错误!—错误!＝λ（λ≠0），当λ>0时，a２＝４λ，∴２a＝２错误!＝6⇒λ＝错误!.当λ<0时，a２＝—9λ，∴２a＝２错误!＝6⇒λ＝—１．∴双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１或错误!—错误!＝１．双曲线的离心率问题１．若过双曲线右焦点的直线l与双曲线的一条渐近线平行，则该直线与双曲线有几个交点？提示：有且只有一个．２．若探究１中的直线l与双曲线右支有且只有一个交点，则l的斜率与双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）中的a，b存在怎样的关系？提示：直线l的斜率k≤错误!.【例３】（１）设△ABC是等腰三角形，∠ABC＝１２0°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为________；（２）已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的范围是________．[思路点拨] （１）根据图形并由双曲线的定义确定a与c的关系求出离心率；（２）可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则必有错误!≥tan 60°.（１）错误!（２）[２，＋∞）[（１）由题意２c＝|AB|＝|BC|，所以|AC|＝２×２c×sin 60°＝２错误!c，由双曲线的定义，有２a＝|AC|—|BC|＝２错误!c—２c⇒a＝（错误!—１）c，∴e＝错误!＝错误!＝错误!.（２）因为双曲线渐近线的斜率为k＝错误!，直线的斜率为k１＝tan 60°＝错误!，故有错误!≥错误!，所以e＝错误!＝错误!≥错误!＝２，所以所求离心率的取值范围是e≥２．]双曲线的离心率问题主要有两种，一是求离心率，二是求离心率的取值范围.求圆锥曲线的离心率的关键是探寻a与c的关系，由于a，b，c三者具有固定的关系，因此由题目条件找到它们中任意两个的等量关系或不等关系，都能转化为离心率的方程或不等式，从而求得离心率的值或范围.错误!３．（１）如图，F１和F２分别是双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的两个焦点，A，B是以O 为圆心、以|OF１|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F２AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．（２）已知点F是双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．（１）错误!＋１（２）（１,２）[（１）∵|F１F２|＝２c，且|OF１|＝|OA|＝|OF２|＝c，∴△AF１F２为直角三角形．又∵△F２AB为等边三角形，∴|AF２|＝错误!c，|AF１|＝c.由双曲线的定义知错误!c—c＝２a，∴e＝错误!＝错误!＝错误!＋１．（２）如图，要使△ABE为锐角三角形，只需∠AEB为锐角，由双曲线对称性知△ABE为等腰三角形，从而只需满足∠AEF<４５°.又当x＝—c时，y＝错误!，∴tan∠AEF＝错误!＝错误!<１，∴e２—e—２<0，又e>１，∴１<e<２．]１．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程错误!—错误!＝１（a>0，b>0）右边的常数１换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a２x２—b２y２＝λ（λ≠0），再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程．２．解决与几何图形有关的双曲线离心率问题常借助几何图形的性质建立等量或不等关系．１．判断正误（１）双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上．（）（２）若两条双曲线的焦点相同，则其渐近线也一定相同．（）（３）焦点在x轴上的双曲线的离心率越大，其渐近线斜率的绝对值就越大．（）（４）焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线．（５）等轴双曲线的离心率等于错误!. （）[答案] （１）√（２）×（３）√（４）×（５）√２．双曲线错误!—错误!＝１的渐近线方程是（）Ａ．y＝±错误!xＢ．y＝±错误!xＣ．y＝±错误!xＤ．y＝±错误!xC[双曲线的焦点在x轴上，且a＝２，b＝３，因此渐近线方程为y＝±错误!x.]３．若a>１，则双曲线错误!—y２＝１的离心率的取值范围是（）Ａ．（错误!，＋∞）Ｂ．（错误!，２）Ｃ．（１，错误!）Ｄ．（１,２）C[由题意得双曲线的离心率e＝错误!.即e２＝错误!＝１＋错误!.∵a>１，∴0<错误!<１，∴１<１＋错误!<２，∴１<e<错误!.]４．求满足下列条件的双曲线的标准方程：（１）两渐近线方程为y＝±错误!x，且经过点错误!；（２）以椭圆错误!＋错误!＝１的焦点为焦点，以直线y＝±错误!x为渐近线；（３）过点P（３，—错误!），离心率e＝错误!.[解] （１）∵双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，∴可设双曲线方程为错误!—错误!＝λ（λ≠0），将错误!代入方程，得λ＝２，故所求方程为错误!—错误!＝１．（２）设所求的双曲线方程为错误!—y２＝λ（λ>0），又双曲线的焦点为（±错误!，0），∴c２＝４λ＋λ＝１0，解得λ＝２．故所求的双曲线方程为错误!—错误!＝１．（３）若双曲线的实轴在x轴上，设错误!—错误!＝１为所求．由e＝错误!，得错误!＝错误!. １由点P（３，—错误!）在双曲线上，得错误!—错误!＝１．２由１２及a２＋b２＝c２，得a２＝１，b２＝错误!.若双曲线的实轴在y轴上，设错误!—错误!＝１为所求．同理有错误!＝错误!，错误!—错误!＝１，a２＋b２＝c２.解之，得b２＝—错误!（不符，舍去）．故所求双曲线方程为x２—４y２＝１．即x２—错误!＝１．。

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双曲线的简单几何性质1.类比椭圆的性质，能根据双曲线的标准方程，讨论双曲线的几何性质．2.能运用双曲线的性质解决一些简单的问题．重点：双曲线的几何性质．难点：双曲线性质的应用，渐近线的理解．方法：合作探究一新知导学1。

在双曲线方程中，以－x、－y代替x、y方程不变，因此双曲线是以x轴、y轴为对称轴的__________图形；也是以原点为对称中心的__________图形，这个对称中心叫做__________ ________．2．双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的____，双曲线错误!－错误!＝1(a〉0，b>0)的顶点是________,这两个顶点之间的线段叫做双曲线的________，它的长等于__________.同时在另一条对称轴上作点B1（0，－b)，B2（0，b)，线段B1B2叫做双曲线的_________,它的长等于________，a、b分别是双曲线的__________和__________．3。

设P(x,y）是双曲线错误!－错误!＝1（a>0，b>0）上一点，则x ，y .4．双曲线的半焦距c与实半轴长a的比值e叫做双曲线的_________，其取值范围是_____ ．e越大,双曲线的张口越_________．5．双曲线错误!－错误!＝1（a〉0，b〉0）位于第一象限部分上一点P(x,y)到直线y＝错误!x的距离d＝________________ (用x 表示)，d随x的增大而__________．这表明，随着x的增大，点P到直线y＝错误!x的距离越来越______，称直线y＝错误!x为双曲线错误!－错误!＝1的一条_________由对称性知，直线____________也是双曲线错误!－错误!＝1的一条__________．课堂随笔：6.过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条__________所在直线即为双曲线的渐近线．“渐近"两字的含义：当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线__________接近，接近的程度是无限的 7。

双曲线简单几何性质（一）合作学习导纲
1、下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是：
A 、141622=-y x
B 、116
42
2=-y x
C 、1222=-y x
D 、12
2
2=-y x
2、求中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程。

作业：
必做题：教课书113页习题8.4（1、3、4题）
选做题：1、双曲线18
42
2=-y x 的两渐近线所夹锐角的正切值。

2、已知双曲线
1162
22=-b y x 的实轴的一个端点为A 1，虚轴的一个端点为 B 1，且 A 1 B 1=5，求双曲线方程。

课外研讨题：若直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 有：①一个公共点；②两个公共点；③无公共点；④在右支上有两个公共点；⑤在右支上有一个公共点，求k 的取值范围。

人教版高中数学第二册（上）
8.4双曲线简单几何性质（一）
教案
抚顺县高级中学数学教师：吴春义
2006年12月1日。

2.2.2 双曲线的简单几何性质学习目标：1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．双曲线的几何性质(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示] (1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．(2)e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，ba是渐近线的斜率或其倒数．2．双曲线的中心和等轴双曲线 (1)双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心． (2)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e ＝ 2.[基础自测]1．思考辨析(1)双曲线虚轴的两个端点，不是双曲线的顶点． ( ) (2)等轴双曲线的渐近线是y ＝±x . ( )(3)双曲线的实轴长一定大于虚轴长．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)×2．双曲线x 216－y 2＝1的顶点坐标是( )A ．(4,0)，(0,1)B ．(－4,0)，(4,0)C ．(0,1)，(0，－1)D ．(－4,0)，(0，－1)B [由题意知，双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4,0)，(4,0)．]3．若双曲线x 24－y 2m ＝1(m ＞0)的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是________.【导学号：97792019】(－7，0)，(7，0) [由双曲线方程得出其渐近线方程为y ＝±m2x ，∴m ＝3，求得双曲线方程为x 24－y 23＝1，从而得到焦点坐标为(－7，0)，(7，0)．] [合 作 探 究·攻 重 难](1)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为a 2＋b 2＝1，双曲线C 2的方程为a 2－b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0(2)求双曲线nx 2－my 2＝mn (m ＞0，n ＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．[解] (1)椭圆C 1的离心率e 1＝a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率e 2＝a 2＋b 2a.由e 1e 2＝a 2－b 2a ·a 2＋b2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝32，解得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝12，所以b a ＝22，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±22x ，即x ±2y ＝0. [答案] A(2)把方程nx 2－my 2＝mn (m ＞0，n ＞0)，化为标准方程x 2m －y 2n＝1(m ＞0，n ＞0)，由此可知，实半轴长a ＝m ，虚半轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ， 焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)， 离心率e ＝c a＝m ＋nm＝1＋n m.顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)． ∴渐近线的方程为y ＝±n mx ＝±mn m x .1．(1)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1C [A 、B 选项中双曲线的焦点在x 轴上，可排除；C 、D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，令y 24－x 2＝0，得y ＝±2x ；令y 2－x 24＝0，得y ＝±12x .故选C.] (2)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x B [在双曲线中，离心率e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，可得b a＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .](1)已知双曲线a 2－b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)的双曲线方程为________________.【导学号：97792019】[思路探究] (1)△OAF 是边长为2的等边三角形⇒求c 和点A 的坐标⇒渐近线的斜率⇒求a ，b(2)方法一：分焦点在x 轴和y 轴上两种情况求解． 方法二：待定系数法求解．[解析] (1)不妨设点A 在第一象限，由题意可知c ＝2，点A 的坐标为(1，3)，所以b a＝3，又c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＝1，b 2＝3，故所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1，故选D.(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.① 因为点A (2，－3)在双曲线上， 所以4a 2－9b2＝1.②联立①②，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③ 因为点A (2，－3)在双曲线上， 所以9a 2－4b2＝1.④联立③④，解得a 2＝8，b 2＝32. 故所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.法二：由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线的方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)．因为点A (2，－3)在双曲线上， 所以2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8.832[答案] (1)D (2)y 28－x 232＝12．求满足下列条件的双曲线的标准方程； (1)以直线2x ±3y ＝0为渐近线，过点(1,2)；(2)与双曲线y 24－x 23＝1具有相同的渐近线，且过点M (3，－2)；(3)过点(2,0)，与双曲线y 264－x 216＝1离心率相等；[解] (1)由题意可设所求双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得λ＝－32.因此所求双曲线的标准方程为y 2329－x 28＝1.(2)设所求双曲线方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．由点M (3，－2)在双曲线上得44－93＝λ，得λ＝－2.68(3)当所求双曲线的焦点在x 轴上时，可设其方程为x 264－y 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1；当所求双曲线的焦点在y 轴上时，可设其方程为y 264－x 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(1)若双曲线 a 2－b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73 B.54 C.43 D.53(2)已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )【导学号：97792019】A. 5 B ．2 C. 3 D. 2[思路探究] (1)渐近线经过点(3，－4)⇒渐近线的斜率⇒离心率． (2)由已知条件画图⇒点M 的坐标⇒代入双曲线方程．[解析] (1)由题意知b a ＝43，则e 2＝1＋b 2a 2＝259，所以e ＝53.(2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，不妨设点M 在双曲线的右支上，如图，AB ＝BM ＝2a ，∠MBA ＝120°，作MH ⊥x 轴于H ，则∠MBH ＝60°，BH ＝a ，MH ＝3a ，所以M (2a ，3a )．将点M 的坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1，得a ＝b ，所以e ＝ 2.故选D.[答案] (1)D (2)D3．(1)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D ．3 B [考虑双曲线的对称性，不妨设P 在右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，而|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，两式等号左右两边平方后相减，得|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 24.又已知|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，∴94ab ＝9b 2－4a 24，得b a ＝43(负值舍去)．∴该双曲线的离心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53.](2)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．2＋3 [如图，F 1，F 2为双曲线C 的左，右焦点，将点P 的横坐标2a 代入x 2a 2－y 2b2＝1中，得y 2＝3b 2，不妨令点P 的坐标为(2a ，－3b )， 此时kPF 2＝3b c －2a ＝b a， 得到c ＝(2＋3)a ，即双曲线C 的离心率e ＝c a＝2＋ 3.]1．直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线一定相切吗？提示：可能相切，也可能相交，当直线和渐近线平行时，直线和双曲线相交且只有一个交点．2．过点(0,2)和双曲线x 216－y 29＝1只有一个公共点的直线有几条？提示：四条，其中两条切线，两条和渐近线平行的直线．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1，(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．[思路探究] 直线方程与双曲线方程联立方程组⇒判断“Δ”与“0”的关系⇒直线与双曲线的位置关系．[解] (1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，消去y 并整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋－k2＞0，解得－2＜k ＜2，且k ≠±1.∴若l 与C 有两个不同交点，实数k 的取值范围为 (－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，对于(1)中的方程(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2k1－k2，x 1x 2＝－21－k2， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2 ＝＋k2－4k 2－k22.又∵点O (0,0)到直线y ＝kx －1的距离d ＝11＋k2，∴S △AOB ＝12·|AB |·d ＝128－4k2－k22＝2，即2k 4－3k 2＝0，解得k ＝0或k ＝±62. ∴实数k 的值为±62或0.4．已知双曲线x 24－y 2＝1，求过点A (3，－1)且被点A 平分的弦MN 所在直线的方程.【导学号：97792019】[解] 法一 由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y ＋1＝k (x －3)，即y ＝kx －3k －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3k －1，x 24－y 2＝1，消去y ，整理得(1－4k 2)x 2＋8k (3k ＋1)x －36k 2－24k －8＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝8k k ＋4k 2－1.∵A (3，－1)为MN 的中点， ∴x 1＋x 22＝3，即8kk ＋k －＝3，解得k ＝－34.当k ＝－34时，满足Δ>0，符合题意，∴所求直线MN 的方程为y ＝－34x ＋54，即3x ＋4y －5＝0.法二 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∵M ，N 均在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 214－y 21＝1，x 224－y 22＝1，两式相减，得x 22－x 214＝y 22－y 21，∴y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 1y 2＋y 1.∵点A 平分弦MN ，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－2.∴k MN ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 1y 2＋y 1＝－34.经验证，该直线MN 存在．∴所求直线MN 的方程为y ＋1＝－34(x －3)，即3x ＋4y －5＝0.[当 堂 达 标·固 双 基]1．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±94xC [双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝2，b ＝3，因此渐近线方程为y ＝±32x .]2．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62 C.52D ．1 D [由题意得e ＝a 2＋3a＝2，∴a 2＋3＝2a ，∴a 2＋3＝4a 2，∴a 2＝1，∴a ＝1.]3．若一双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为( )A ．y 2－3x 2＝36 B ．x 2－3y 2＝36 C ．3y 2－x 2＝36D ．3x 2－y 2＝36A [椭圆4x 2＋y 2＝64，即x 216＋y 264＝1，焦点为(0，±43)，离心率为32，则双曲线的焦点在y 轴上，c ＝43，e ＝23，从而a ＝6，b 2＝12，故所求双曲线的方程为y 2－3x 2＝36.]4．直线y ＝mx ＋1与双曲线x 2－y 2＝1有公共点，则m 的取值范围是( )【导学号：97792019】A ．m ≥2或m ≤－ 2B ．－2≤m ≤2且m ≠0C ．m ∈RD ．－2≤m ≤ 2D [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋1x 2－y 2＝1，得(1－m 2)x 2－2mx －2＝0，由题意知1－m 2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧1－m 2≠0Δ＝4m 2＋－m2，解得－2≤m ≤ 2.]5．求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，经过点(3，－2)，且一条渐近线的倾斜角为π6的双曲线的方程．[解] 渐近线方程为y ＝±33x ，设双曲线方程为x 2－3y 2＝λ.将(3，－2)代入求得λ＝－3，所以双曲线方程为y 2－x 23＝1.。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的几何性质学案新人教B版选修2、2、2 双曲线的几何性质1、了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)、2、理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程、(重点)3、能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题、(难点)[基础初探]教材整理双曲线的简单几何性质阅读教材P51～P52例1以上部分，完成下列问题、1、双曲线的简单几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a 或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b离心率e＝且e＞1渐近线y＝xy＝x2、等轴双曲线(1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线、其方程的一般形式为x2－y2＝λ(λ≠0)、(2)性质：①渐近线方程为：y＝x、②离心率为：e＝、判断(正确的打“√”，错误的打“”)(1)双曲线是中心对称图形、( )(2)双曲线方程中a，b分别为实、虚轴长、()(3)方程－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝x、()(4)离心率e越大，双曲线－＝1的渐近线的斜率绝对值越大、()【答案】(1)√(2) (3) (4)√[质疑手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_______________________________________________________[小组合作型]双曲线的几何性质(1)双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于()A、B、C、1D、(2)(xx广东高考)若实数k满足0<k<5，则曲线－＝1与曲线－＝1的()A、实半轴长相等B、虚半轴长相等C、离心率相等D、焦距相等(3)已知F1，F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为()【导学号：】A、＋1B、＋1C、2D、2【自主解答】(1)双曲线x2－y2＝1的顶点坐标为(1,0)，渐近线为y＝x，∴xy＝0，∴顶点到渐近线的距离为d＝＝、(2)因为0<k<5，所以两曲线都表示双曲线，在－＝1中a2＝16，b2＝5－k；在－＝1中a2＝16－k，b2＝5、由c2＝a2＋b2知两双曲线的焦距相等，故选D、(3)不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a、∵△PF1F2是等腰直角三角形，∴只能是∠PF2F1＝90，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，∴|PF1|＝2a＋|PF2|＝2a＋2c，∴(2a＋2c)2＝2(2c)2，即c2－2ac－a2＝0，两边同除以a2，得e2－2e－1＝0、∵e＞1，∴e＝＋1、【答案】(1)B (2)D (3)B由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤[再练一题]1、(1)已知双曲线x2－＝1(b>0)的一条渐近线的方程为y＝2x，则b＝________、【解析】由双曲线x2－＝1，得a＝1，∴＝2，b＝2、【答案】2(2)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程、【导学号：】【解】将原方程转化为－＝1，即－＝1，∴a＝3，b＝2，c＝，因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程y＝x、利用双曲线的几何性质求其标准方程分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝x；(3)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)、【精彩点拨】用待定系数法求双曲线的标准方程时，注意先定位再定量，充分利用题中所给出的双曲线的几何性质、【自主解答】(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)、由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8、∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1、(2)当焦点在x轴上时，由＝且a＝3得b＝、∴所求双曲线的标准方程为－＝1、当焦点在y轴上时，由＝且a＝3得b＝2、∴所求双曲线的标准方程为－＝1、(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k，将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2、∴双曲线的标准方程为－＝1、1、一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得、再结合c2＝a2＋b2及e＝列关于a，b 的方程(组)，解方程(组)可得标准方程、2、如果已知双曲线的渐近线方程为y＝x，那么此双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)、[再练一题]2、求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：【导学号：】(1)双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)；(2)双曲线过点(3,9)，离心率e＝、【解】(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)、由已知得a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1、故双曲线C的方程为－y2＝1、(2)由e2＝，得＝，设a2＝9k(k>0)，则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k、于是，设所求双曲线方程为－＝1，①或－＝1，②把(3,9)代入①，得k＝－161与k>0矛盾；把(3,9)代入②，得k＝9，故所求双曲线方程为－＝1、[探究共研型]直线与双曲线的位置关系探究1 怎样判断直线与双曲线的位置关系？【提示】判断直线与双曲线的位置关系，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程，再根据一元二次方程去讨论直线和双曲线的位置关系、这时首先要看二次项的系数是否等于0、当二次项系数等于0时，就转化成x或y的一元一次方程，只有一个解、这时直线与双曲线相交只有一个交点、当二次项系数不为零时，利用根的判别式，判断直线和双曲线的位置关系、探究2 直线和双曲线只有一个公共点，直线和双曲线一定相切吗？【提示】直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点、已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1、(1)如果直线与双曲线有两个公共点，求a的取值范围；(2)如果直线与双曲线只有一个公共点，求a的取值范围；(3)如果直线与双曲线没有公共点，求a的取值范围、【精彩点拨】将直线与双曲线方程联立用判别式Δ判断方程组解的个数，并注意对二次项系数的讨论、【自主解答】把y＝ax＋1代入3x2－y2＝1，整理得(3－a2)x2－2ax－2＝0、(1)∵直线与双曲线有两个公共点，∴判别式Δ＝4a2＋8(3－a2)＝24－4a2＞0，且3－a2≠0，得－＜a＜，且a≠、故当－＜a ＜，且a≠时，直线与双曲线有两个公共点、(2)∵直线与双曲线只有一个公共点，∴或3－a2＝0，∴a＝或a＝、故当a＝或a＝时，直线与双曲线只有一个公共点、(3)∵直线与双曲线没有公共点，∴3－a2≠0，且Δ＝24－4a2＜0、∴a＞或a＜－、故当a＞或a＜－时，直线与双曲线没有公共点、1、研究直线与双曲线位置关系的一般解法仍然是联立二者方程，解方程组或者转化为一元二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解、2、直线与双曲线有三种位置关系(1)无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线、(2)有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点、(3)有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点、[再练一题]3、(1)已知过点P(1,1)的直线l与双曲线x2－＝1只有一个公共点，则直线l的斜率k的取值为________、【解析】设直线l的斜率为k，则l：y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程，得到(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0、若4－k2＝0，即k＝2，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；若4－k2≠0，则Δ＝[－(2k－2k2)]2－4(4－k2)(－k2＋2k－5)＝0，解得k＝、综上可得，直线l的斜率k的取值为或2、【答案】或2【解】①当a＝时，双曲线C的方程为4x2－y2＝1，联立消去y得3x2＋2x－2＝0、设两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)、则x1＋x2＝－，x1x2＝－，于是|AB|＝＝＝＝＝、②将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，∴解得0＜a＜且a≠1、又双曲线的离心率e＝＝，∴e＞且e≠，即离心率e的取值范围是∪(，＋∞)、[构建体系]1、双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A、2B、2C、4D、4【解析】双曲线标准方程为－＝1，故实轴长为4、【答案】 C2、下列双曲线中离心率为的是()A、－＝1B、－＝1C、－＝1D、－＝1【解析】双曲线－＝1中a＝2，b＝，∴c＝，e＝、【答案】 B3、已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为________、【解析】由题意得双曲线的焦点在x轴上，且a＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c∶b＝5∶4，解得c＝5，b＝4，∴双曲线的标准方程为－＝1、【答案】－＝14、已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝________，b ＝________、【解析】由题意得解得a2＝1，b2＝4、又a＞0，b＞0，故a＝1，b＝2、【答案】 125、求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，经过点(3，－2)，且一条渐近线的倾斜角为的双曲线的方程、【导学号：】【解】渐近线方程为y＝x，设双曲线方程为x2－3y2＝λ、将(3，－2)代入求得λ＝－3，所以双曲线方程为y2－＝1、。

2.2.2 双曲线的简单几何性质学习目标核心素养1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点) 1．通过学习双曲线的简单几何性质，培养学生的直观想象素养.2.借助双曲线的几何性质解题，培养逻辑推理、数学运算的素养.1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b离心率e＝ca>1渐近线y＝±ba x y＝±ab x思考：(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示](1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．(2)e2＝c2a2＝1＋b2a2，ba是渐近线的斜率或其倒数．2．双曲线的中心和等轴双曲线(1)双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．(2)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝ 2.1．双曲线x 216－y 2＝1的顶点坐标是( )A ．(4,0)，(0,1)B ．(－4,0)，(4,0)C ．(0,1)，(0，－1)D ．(－4,0)，(0，－1)B [由题意知，双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4,0)，(4,0)．]2．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( ) A ．x 225－y 29＝1B ．x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1C ．x 2100－y 236＝1D ．x 2100－y 236＝1或y 2100－x 236＝1B [由题意可知2a ＝10,2b ＝6，即a ＝5，b ＝3，∴双曲线的标准方程为x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1，故选B ．] 3．若点M (x 0，y 0)是双曲线x 216－y 225＝1上任意一点，则x 0的取值范围是________，y 0的取值范围是________；该双曲线的渐近线方程为________，离心率为________．(－∞，－4]∪[4，＋∞) R y ＝±54x414 [由x 2016－y 2025＝1得x 2016≥1，即x 0≥4或x 0≤－4，y 0∈R .渐近线方程为y ＝±54x ，离心率e ＝ca＝1＋b 2a 2＝414.]双曲线的几何性质率和渐近线方程．[思路点拨] 先将双曲线的方程化为标准方程，再研究其性质． [解] 双曲线的方程化为标准形式是x 29－y 24＝1，∴a 2＝9，b 2＝4，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13.又双曲线的焦点在x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±23x .由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置，确定a ，b 的值.(3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 值，从而写出双曲线的几何性质. 提醒：求性质时一定要注意焦点的位置. [跟进训练]1．(1)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1 B ．x 24－y 2＝1C ．y 24－x 2＝1D ．y 2－x 24＝1 (2)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x(1)C (2)B [(1)A 、B 选项中双曲线的焦点在x 轴上，可排除；C 、D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，令y 24－x 2＝0，得y ＝±2x ；令y 2－x 24＝0，得y ＝±12x .故选C ．(2)在双曲线中，离心率e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，可得b a＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .]由双曲线的几何性质求标准方程(1)以直线2x ±3y ＝0为渐近线，过点(1,2)；(2)与双曲线y 24－x 23＝1具有相同的渐近线，且过点M (3，－2)；(3)过点(2,0)，与双曲线y 264－x 216＝1离心率相等；(4)与椭圆x 225＋y 216＝1有公共焦点，离心率为32.[解] (1)法一：由题意可设所求双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得λ＝－32.因此所求双曲线的标准方程是y 2329－x 28＝1.法二：由题意可设所求双曲线方程为x 2m －y 2n＝1(mn >0)．由题意，得⎩⎨⎧1m －4n＝1，n m ＝49，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－8，n ＝－329.因此所求双曲线的标准方程为y 2329－x 28＝1.(2)设所求双曲线方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．由点M (3，－2)在双曲线上，得44－93＝λ，λ＝－2.故所求双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1.(3)当所求双曲线的焦点在x 轴上时，可设其方程为x 264－y 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1；当所求双曲线的焦点在y 轴上时，可设其方程为y 264－x 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(4)法一：由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，即c ＝3且焦点在x 轴上． 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．因为e ＝c a ＝32，所以a ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝5，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.法二：因为椭圆焦点在x 轴上，所以可设双曲线的标准方程为x 225－λ－y 2λ－16＝1(16<λ<25)．因为e ＝32，所以λ－1625－λ＝94－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.1．由双曲线的几何性质求双曲线的方程的常用方法：一是设法确定基本量a ，b ，c ，从而求出双曲线方程；二是采用待定系数法．首先依据焦点的位置设出标准方程，再由题目条件确定参数的值．当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止漏解．为了避免讨论，也可设方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求解．2．常见双曲线方程的设法(1)渐近线为y ＝±n m x 的双曲线方程可设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0，m >0，n >0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0，A >0，B >0)．(2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ或y 2a 2－x 2b2＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)离心率相等的双曲线系方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ>0)或y 2a2－x 2b2＝λ(λ>0)，这是因为离心率不能确定焦点位置． [跟进训练]2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦点在x 轴上，离心率为2，且过点(－5,3)； (3)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .[解] (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8， ∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵e ＝ca ＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝a 2.又∵焦点在x 轴上，∴设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a >0)．把点(－5,3)代入方程，解得a 2＝16.∴双曲线的标准方程为x 216－y 216＝1.(3)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)，当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94.当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为x 29－4y 281＝1或y 29－x 24＝1.双曲线的离心率问题1．若过双曲线右焦点的直线l 与双曲线的一条渐近线平行，则该直线与双曲线有几个交点？提示：有且只有一个．2．若探究1中的直线l 与双曲线右支有且只有一个交点，则l 的斜率与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中的a ，b 存在怎样的关系？提示：直线l 的斜率k ≤ba.【例3】 (1)设△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为________；(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的范围是________．[思路点拨] (1)根据图形并由双曲线的定义确定a 与c 的关系求出离心率；(2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则必有ba≥tan 60°.(1)1＋32 (2)[2，＋∞) [(1)由题意2c ＝|AB |＝|BC |，所以|AC |＝2×2c ×sin 60°＝23c ，由双曲线的定义，有2a ＝|AC |－|BC |＝23c －2c ⇒a ＝(3－1)c ，∴e ＝c a ＝13－1＝1＋32.(2)因为双曲线渐近线的斜率为k ＝b a ，直线的斜率为k 1＝tan 60°＝3，故有ba ≥3，所以e ＝ca＝a 2＋b 2a 2≥1＋3＝2，所以所求离心率的取值范围是e ≥2.]双曲线的离心率问题主要有两种，一是求离心率，二是求离心率的取值范围.求圆锥曲线的离心率的关键是探寻a 与c 的关系，由于a ，b ，c 三者具有固定的关系，因此由题目条件找到它们中任意两个的等量关系或不等关系，都能转化为离心率的方程或不等式，从而求得离心率的值或范围.[跟进训练]3．(1)如图，F 1和F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，A ，B 是以O 为圆心、以|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为________．(2)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________．(1)3＋1 (2)(1,2) [(1)∵|F 1F 2|＝2c ，且|OF 1|＝|OA |＝|OF 2|＝c ， ∴△AF 1F 2为直角三角形．又∵△F 2AB 为等边三角形， ∴|AF 2|＝3c ，|AF 1|＝c . 由双曲线的定义知3c －c ＝2a ， ∴e ＝c a ＝23－1＝3＋1.(2)如图，要使△ABE 为锐角三角形，只需∠AEB 为锐角，由双曲线对称性知△ABE 为等腰三角形，从而只需满足∠AEF <45°.又当x ＝－c 时，y ＝b 2a ，∴tan ∠AEF ＝|AF ||EF |＝b 2a (a ＋c )<1，∴e 2－e －2<0， 又e >1，∴1<e <2.]1．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程．2．解决与几何图形有关的双曲线离心率问题常借助几何图形的性质建立等量或不等关系．1．判断正误(1)双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上．( ) (2)若两条双曲线的焦点相同，则其渐近线也一定相同．( )(3)焦点在x 轴上的双曲线的离心率越大，其渐近线斜率的绝对值就越大．( ) (4)焦点在x 轴上的双曲线与焦点在y 轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线． (5)等轴双曲线的离心率等于 2.( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√2．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±94xC [双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝2，b ＝3，因此渐近线方程为y ＝±32x .]3．若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2) C [由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a. 即e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2. ∵a >1，∴0<1a 2<1，∴1<1＋1a2<2，∴1<e < 2.]4．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)两渐近线方程为y ＝±23x ，且经过点⎝⎛⎭⎫92，－1； (2)以椭圆x 213＋y 23＝1的焦点为焦点，以直线y ＝±12x 为渐近线；(3)过点P (3，－2)，离心率e ＝52. [解] (1)∵双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，∴可设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0)，将⎝⎛⎭⎫92，－1代入方程，得λ＝2，故所求方程为x 218－y28＝1. (2)设所求的双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ>0)，又双曲线的焦点为(±10，0)，∴c 2＝4λ＋λ＝10，解得λ＝2.故所求的双曲线方程为x 28－y 22＝1.(3)若双曲线的实轴在x 轴上，设x 2a 2－y 2b 2＝1为所求．由e ＝52，得c 2a 2＝54.① 由点P (3，－2)在双曲线上，得9a 2－2b 2＝1.②由①②及a 2＋b 2＝c 2，得a 2＝1，b 2＝14.若双曲线的实轴在y 轴上，设y 2a 2－x 2b 2＝1为所求．同理有c 2a 2＝54，2a 2－9b 2＝1，a 2＋b 2＝c 2.解之，得b 2＝－172(不符，舍去)．故所求双曲线方程为x 2－4y 2＝1. 即x 2－y 214＝1.。