【创新方案】2020高考数学 第八章第八节 课下冲关作业

时间60分钟，满分80分
一、选择题共6个小题，每小题5分，满分30分
1．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上的点，－2到焦点的距离为4，则m 的值为
A．4 B．－2
C．4或－4 D．12或－2
解析：设标准方程为2＝－2＝±4
答案：C
2．2022·陕西高考已知抛物线2＝2PA PB PA PB，的中点
的横坐标相等时，求h的最小值．
解：1由题意，得错误!
从而错误!因此，所求的椭圆方程为错误!＋2＝1
2如图，设M1，1，N2，2，N的方程为：＝2t－t2＋h
将上式代入椭圆C1的方程中，得42＋2t－t2＋h2－4＝0
即41＋t22－4tt2－h＋t2－h2－4＝0①
因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，
所以①式中的Δ1＝16[－t4＋2h＋2t2－h2＋4]＞0②
设线段MN的中点的横坐标是3，
则3＝错误!＝错误!
设线段PA的中点的横坐标是4，则4＝错误!
由题意，得3＝4，
即t2＋1＋ht＋1＝0③
由③式中的Δ2＝1＋h2－4≥0，得h≥1或h≤－3
当h≤－3时，h＋2＜0,4－h2＜0，则不等式②不成立，所以h≥1
当h＝1时，代入方程③得t＝－1，
将h＝1，t＝－1代入不等式②，检验成立．
所以，h的最小值为1。

(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( ) A ．4B ．－2C ．4或－4D ．12或－2解析：设标准方程为x 2＝－2py (p >0)， 由定义知P 到准线距离为4， 故p2＋2＝4，∴p ＝4， ∴方程为x 2＝－8y ，代入P 点坐标得m ＝±4. 答案：C2．(·陕西高考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4解析：由已知，可知抛物线的准线x ＝－p2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切．圆心为(3,0)，半径为4，圆心到直线的距离d ＝3＋p2＝4，解得p ＝2.答案：C3．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A ．y 2＝±22x B ．y 2＝±2x C ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42x解析：因为双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0) 设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝ 2.∴p ＝22，所以抛物线方程为y 2＝±42x . 答案：D4．(·辽宁高考)设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16解析：由抛物线的定义得，|PF |＝|PA |，又由直线AF 的斜率为－3，可知∠PAF ＝60°.△PAF 是等边三角形，∴|PF |＝|AF |＝4cos60°＝8.答案：B5．若双曲线x 23－16y 2p2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( )A ．2B ．3C ．4D. 2解析：双曲线的左焦点(－3＋p 216，0)，抛物线的准线x ＝－p2，∴－3＋p 216＝－p2⇒p 2＝16，由题意知p ＞0， ∴p ＝4. 答案：C6．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( )A.π6或5π6B.π4或3π4 C.π3或2π3D.π2解析：抛物线焦点是(32，0)，设直线方程为y ＝k (x －32)，代入抛物线方程，得k 2x 2－(3k 2＋6)x ＋94k 2＝0，设弦两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝3k 2＋6k2，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3k 2＋6k2＋3＝12，解得k ＝±1，∴直线的倾斜角为π4或3π4.答案：B二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分) 7．抛物线2x 2＋y ＝0的焦点坐标是________．解析：依题意得x 2＝－12y ，因此其焦点坐标是(0，－18)．答案：(0，－18)8．(·南京模拟)已知点A (－2,1)，y 2＝－4x 的焦点是F ，P 是y 2＝－4x 上的点，为使|PA |＋|PF |取得最小值，P 点的坐标是________．解析：过P 作PK ⊥l (l 为抛物线的准线)于K ， 则|PF |＝|PK |，∴|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PK |，∴当P 点的纵坐标与A 点的纵坐标相同时，|PA |＋|PK |最小．此时P 点的纵坐标为1，把y ＝1代入y 2＝－4x 得x ＝－14.即当P 点的坐标为(－14，1)时，|PA |＋|PF |最小．答案：(－14，1)9．(·湖南高考)过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B 在x 轴上的正射影分别为D ，C .若梯形ABCD 的面积为122，则p ＝________.解析：依题意，抛物线的焦点F 的坐标为(0，p2)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 的方程为y －p2＝x ，代入抛物线方程得，y 2－3py ＋p 24＝0，故y 1＋y 2＝3p ，|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋y 2＋p ＝4p ， 直角梯形有一个内角为45°， 故|CD |＝22|AB |＝22×4p ＝22p ，梯形面积为12(|BC |＋|AD |)×|CD |＝12×3p ×22p ＝32p 2＝122，p ＝2.答案：2三、解答题(共3小题，满分35分)10．已知点A (0，－2)，B (0,4)，动点P (x ，y )满足PA ·PB ＝y 2－8.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹方程与直线y ＝x ＋2交于C ，D 两点，求证：OC ⊥OD (O 为原点)． 解：(1)由题意可得PA ·PB ＝(－x ，－2－y )·(－x,4－y )＝y 2－8，化简得x 2＝2y .(2)证明：将y ＝x ＋2代入x 2＝2y 中， 得x 2＝2(x ＋2)． 整理得x 2－2x －4＝0，可知Δ＝4＋16＝20>0，x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4. ∵y 1＝x 1＋2，y 2＝x 2＋2，∴y 1·y 2＝(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝4.∴k OC ·k OD ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝－1，∴OC ⊥OD .11．(·福建高考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解：(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2. 故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t y 2＝4x 得y 2＋2y －2t ＝0.因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.由直线OA 与l 的距离d ＝55可得|t |5＝15，解得t ＝±1. 因为－1∉[－12，＋∞)，1∈[－12，＋∞)，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.12.已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A (1,0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R)上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，2·b 2a＝1.从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.因此，所求的椭圆方程为y 24＋x 2＝1.(2)如图，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (t ，t 2＋h )，则抛物线C 2在点P 处的切线斜率为y ′|x ＝t ＝2t ，直线MN 的方程为：y ＝2tx －t 2＋h .将上式代入椭圆C 1的方程中，得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0. 即4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0.① 因为直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点，所以①式中的Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]＞0.② 设线段MN 的中点的横坐标是x 3，则x 3＝x 1＋x 22＝t t 2－h 21＋t2. 设线段PA 的中点的横坐标是x 4，则x 4＝t ＋12.由题意，得x 3＝x 4， 即t 2＋(1＋h )t ＋1＝0.③由③式中的Δ2＝(1＋h )2－4≥0，得h ≥1或h ≤－3.当h ≤－3时，h ＋2＜0,4－h 2＜0，则不等式②不成立，所以h ≥1. 当h ＝1时，代入方程③得t ＝－1， 将h ＝1，t ＝－1代入不等式②，检验成立． 所以，h 的最小值为1.。

1．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y25－x24＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( )A ．x 2＝4yB ．x 2＝－4yC ．y 2＝－12xD ．x 2＝－12y解析：选D.由题意得c ＝5＋4＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)，∴该抛物线的标准方程为x 2＝12y 或x 2＝－12y ，故选D.2．(2011·高考课标全国卷)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( ) A ．18 B ．24 C ．36 D ．48解析：选C.不妨设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为x ＝p2.代入y 2＝2px 得y ＝±p ，即|AB |＝2p ，又|AB |＝12，故p ＝6，所以抛物线的准线方程为x ＝－3，故S △ABP ＝12×6×12＝36.3．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A (2,2)，其焦点F 在x 轴上． (1)求抛物线C 的标准方程；(2)求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程．解：(1)设抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，因为点A (2,2)在抛物线C 上，所以p ＝1，因此，抛物线C 的标准方程为y 2＝2x .(2)由(1)得焦点F 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1，因此，所求直线的方程是x ＋y －12＝0.一、选择题1．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：选D.由已知得椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为F (2,0)，∴p2＝2，得p ＝4.2．(2010·高考湖南卷)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12解析：选B.y 2＝8x 的焦点是F (2,0)， 准线x ＝－2，如图所示，|PA |＝4，|AB |＝2，∴|PB |＝|PF |＝6.故选B.3．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )A ．y 2＝±22xB ．y 2＝±2xC ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42x 解析：选D.因为双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)， 则p2＝2，所以p ＝22， 所以抛物线方程为y 2＝±42x .4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是( )A.125B.19C.15D.13解析：选B.根据抛物线定义可得，抛物线的准线方程为x ＝－4，则抛物线方程为y 2＝16x . 把M (1，m )代入得m ＝4，即M (1,4)．在双曲线x 2a －y 2＝1中，A (－a ，0)，则k AM ＝41＋a ＝1a .解得a ＝19.5．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为( ) A ．(1,0) B ．(2,2) C ．(3,2) D ．(2,4) 解析：选C.依题意得，抛物线C 的方程是y2＝4x ，直线l 的方程是y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝x －1消去y 得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0，因此线段AB 的中点的横坐标是62＝3，纵坐标是y＝3－1＝2，所以线段AB 的中点坐标是(3,2)，因此选C. 二、填空题6．已知抛物线y 2＝4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF |＝4，则点M 的横坐标x ＝________.解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1.根据抛物线的定义，点M 到准线的距离为4，则M 的横坐标为3. 答案：37．(2012·开封质检)已知抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的焦点为F ，准线l 与对称轴交于R 点，过已知抛物线上一点P (1,2)作PQ ⊥l 于Q ，则(1)抛物线的焦点坐标是________；(2)梯形PQRF 的面积是________．解析：代入(1,2)得a ＝2，所以抛物线方程为x 2＝12y ，故焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.又R ⎝⎛⎭⎪⎫0，－18，|FR |＝14，|PQ |＝2＋18＝178， 所以梯形的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋178×1＝1916.答案：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 (2)1916 8．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面的宽度为8米，当水面上升12米后，水面的宽度是________米．解析：设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，将(4，－2)代入方程得16＝－2p ·(－2)，解得2p ＝8，故方程为x 2＝－8y ，水面上升12米，则y ＝－32，代入方程，得x 2＝－8·(－32)＝12，x ＝±2 3.故水面宽4 3 米．答案：4 3 三、解答题9．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(32，6)，求抛物线与双曲线的方程．解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点， ∴p ＝2c .设抛物线方程为y 2＝4c ·x ，∵抛物线过点(32，6)，∴6＝4c ·32，∴c ＝1，故抛物线方程为y 2＝4x .又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点(32，6)，∴94a 2－6b 2＝1.又a 2＋b 2＝c 2＝1， ∴94a 2－61－a2＝1. ∴a 2＝14或a 2＝9(舍)．∴b 2＝34，故双曲线方程为：4x 2－4y 23＝1.10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M . (1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)．又∵F (1,0)，∴k FA ＝43，∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34.又FA 的方程为y ＝43(x －1)，故MN 的方程为y －2＝－34x ，解方程组得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. 11．已知直线AB 与抛物线y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，OD ⊥AB 于点D ，点D 的坐标为(2,1)，求抛物线的方程．解：由题意得k OD ＝12，∵AB ⊥OD ，∴k AB ＝－2， 又直线AB 过点D (2,1)，∴直线AB 的方程为y ＝－2x ＋5， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵以AB 为直径的圆过点O ，∴O A →·O B →＝0， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋5y 2＝2px得4x 2－(2p ＋20)x ＋25＝0，∴x 1＋x 2＝p ＋102，x 1x 2＝254，∴y 1y 2＝(－2x 1＋5)(－2x 2＋5) ＝4x 1x 2－10(x 1＋x 2)＋25 ＝25－5p －50＋25＝－5p ， ∴254＋(－5p )＝0， ∴p ＝54，∴抛物线方程为y 2＝52x .。

【创新方案】高考数学 第八章第三节 课下冲关作业 新人教A 版(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为( ) A ．(1,2) B ．(2,1) C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)解析：设P (x,5－3x )， 则d ＝|x －5＋3x －1|12＋－12＝2，|4x －6|＝2,4x －6＝±2， ∴x ＝1或x ＝2，∴P (1,2)或(2，－1)．答案：C2．(2011·广州模拟)已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为( )A.12B ．－12C ．2D ．－2解析：∵l 2、l 1关于y ＝－x 对称，∴l 2的方程为－x ＝－2y ＋3，即y ＝12x ＋32，∴l 2的斜率为12. 答案：A3．点P (m －n ，－m )到直线x m ＋y n ＝1的距离等于( )A.m 2＋n 2B.m 2－n 2C.－m 2＋n 2D.m 2±n 2 解析：因为直线x m ＋y n＝1可化为nx ＋my －mn ＝0，则由点到直线的距离公式得 d ＝|m －n n ＋－m m －mn |n 2＋m 2＝m 2＋n 2. 答案：A4．(2011·长春模拟)直线l 与两条直线x －y －7＝0，y ＝1分别交于P 、Q 两点，线段PQ的中点为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ．－32 B.32 C.23 D ．－23解析：设l 与直线x －y －7＝0交于P (x ′，y ′)，由中点坐标公式：－1＝1＋y ′2，y ′＝－3，将y ′＝－3代入x －y －7＝0得x ′＝4，即l 与x －y －7＝0的交点为(4，－3)，所以k PQ ＝－1－－31－4＝－23. 答案：D5．若直线l 1：y ＝kx ＋k ＋2与l 2：y ＝－2x ＋4的交点在第一象限，则实数k 的取值范围是( )A ．k >－23B ．k <2C ．－23<k <2D ．k <－23或k >2 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋k ＋2，y ＝－2x ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2－k k ＋2y ＝6k ＋4k ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2－k k ＋2>0，6k ＋4k ＋2>0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2<k <2，k <－2或k >－23，∴－23<k <2. 答案：C 6．设△ABC 的一个顶点是A (3，－1)，∠B ，∠C 的平分线方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程是( )A ．y ＝2x ＋5B ．y ＝2x ＋3C ．y ＝3x ＋5D ．y ＝－12x ＋52解析：点A (3，－1)关于直线x ＝0，y ＝x 的对称点为A ′(－3，－1)，A ″(－1,3)且都在直线BC 上，故得直线BC 的方程为y ＝2x ＋5.答案：A二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．过两直线x ＋3y －10＝0和y ＝3x 的交点，并且与原点距离为1的直线方程为________________．解析：设所求直线为(x ＋3y －10)＋λ(3x －y )＝0，整理，得(1＋3λ)x ＋(3－λ)y －10＝0.由点线距离公式，得λ＝±3.∴所求直线为x ＝1和4x －3y ＋5＝0.答案：x ＝1或4x －3y ＋5＝08．已知直线l 与两直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0的距离相等，则l 的方程为______________．解析：显然l 1∥l 2，可设l 的方程为2x －y ＋m ＝0， 由题意知|3－m |5＝|m ＋1|5，解得m ＝1， 从而直线l 方程为2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝09．(2011·临沂模拟)已知A (3,1)、B (－1,2)，若∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上， 则AC 所在直线方程是____________．解析：设点A 关于直线y ＝x ＋1对称的点A ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－1x 0－3＝－1，y 0＋12＝x 0＋32＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝4，即A ′(0,4)．∴直线A ′B 的方程为2x －y ＋4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋4＝0，y ＝x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝－2，得C (－3，－2)．∴直线AC 的方程为x －2y －1＝0.答案：x －2y －1＝0三、解答题(共3小题，满分35分)10．求过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)的距离为2的直线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，∴l 1，l 2交点为(1,2)．设所求直线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，∵P (0,4)到直线距离为2，∴2＝|－2－k |1＋k2，解得：k ＝0或k ＝43. ∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.11．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．解：设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)．∵k PP ′·k 1＝－1，即y ′－y x ′－x×3＝－1. ① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，∴3×x ′＋x 2－y ′＋y2＋3＝0. ②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝－4x ＋3y －95， ③y ′＝3x ＋4y ＋35. ④(1)把x ＝4，y ＝5代入③及④得x ′＝－2，y ′＝7，∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0. 12．已知点P (2，－1)，求：(1)过点P 且与原点的距离为2的直线方程．(2)过点P 且与原点的距离最大的直线方程，并求出最大值．(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)若所求直线斜率k 不存在，则所求直线l ：x ＝2.∵原点到l 的距离为2，∴直线x ＝2即为所求．若l 斜率存在，则设l ：y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由已知得|2k ＋1|k 2＋1＝2，∴k ＝34.∴直线l ：y ＋1＝34(x －2)， 即3x －4y －10＝0.∴所求直线方程为x －2＝0或3x －4y －10＝0.(2)由题设条件知，所求直线与直线OP 垂直时，过点P 的直线与原点距离最大，且最大值|OP |＝5，此时k OP ＝－12，∴k l ＝2.∴l 的方程为y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.(3)由于原点到过点(2，－1)的直线的最大距离为5，而6>5，所以这样的直线不存在．。

【优化方案】2021-2021学年高中数学 第8章知能演练轻松闯关 湘教版选修2-31.篮球运动员在竞赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为，那么罚球一次得分ξ的期望是( )A ．B ．C ．1D ．0解析：选B.因为P (ξ＝1)＝，P (ξ＝0)＝，因此E (ξ)＝1×＋0×＝.2.(2021·奉节检测)有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若ξ表示取到次品的个数，则E (ξ)等于( )D ．1解析：选A.ξ～H (10，3，2)，E (ξ)＝3×210＝35.3.(2021·渝北调研)随机抛掷一枚骰子，那么所得骰子点数X 的期望为( ) A ． B ．1 C ．D ．2解析：选C.抛掷骰子所得点数X 的散布列为X 1 2 3 4 5 6 p161616161616E (X )＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×16＝.4.某各类子每粒发芽的概率都为，现播种了1000粒，关于没有发芽的种子，每粒需再补种1粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________．解析：∵种子发芽率为，不发芽率为，每粒种子发芽与否彼此独立，没有发芽的种子数即为补种的种子数， 则X ～B (1000，，∴E (X )＝1000×＝100. 答案：100 一、选择题1.假设X 的散布列为X 0 1p15a，则E (X )＝( )解析：选A.由题意知15＋a ＝1，则a ＝45，故E (X )＝0×15＋a ＝45.2.篮球运动员在竞赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球的命中率是，那么他罚球6次的总得分的均值是( ) A ． B ．6 C ．D ．解析：选C.得分X ～B (6，，E (X )＝6×＝.3.已知ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12，η～B (n ，13)，且E (ξ)＝15，则E (η)等于( )A ．5B ．10C ．15D ．20解析：选(ξ)＝12n ＝15，∴n ＝30，∴η～B ⎝⎛⎭⎪⎫30，13，∴E (η)＝30×13＝10.4.(2021·涪陵调研)李教师搭车到学校，途中有3个交通岗，假设在各交通岗碰到红灯的事件是彼此独立的，且概率都是，那么他上班途中遇见红灯次数的数学期望是( ) A ． B ． C ．D ．解析：选B.途中碰到红灯次数X 服从二项散布X ～B (3，，∴E (X )＝3×＝.5.某人进行一项实验，假设实验成功，那么停止实验，假设实验失败，再从头实验一次，假设实验3次均失败，那么舍弃实验，假设这人每次实验成功的概率为23，那么这人实验次数ξ的期望是( )解析：选B.实验次数ξ的可能取值为1，2，3. P (ξ＝1)＝23，P (ξ＝2)＝13×23＝29，P (ξ＝3)＝13×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋13＝19.因此ξ的散布列为ξ 1 2 3 p232919因此E (ξ)＝1×23＋2×29＋3×19＝139.6.假设X 、Y 是离散型随机变量，且Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，那么有E (Y )＝aE (X )＋b .利用那个公式计算E (E (ξ)－ξ)＝( )A．0 B．1C．2 D．不确信解析：选A.∵E(ξ)是常数，∴E(E(ξ)－ξ)＝E(ξ)＋E(－ξ)＝E(ξ)－E(ξ)＝0.二、填空题7.(2020·高考上海卷)马教师从讲义上抄写一个随机变量ξ的概率散布列如下表：X123P(ξ＝x)？！？请小王同窗计算ξ的数学期望，尽管“！”处无法看清，且两个“？”处笔迹模糊，但能判定这两个“？”处的数值相同．据此，小王给出了正确答案E(ξ)＝________．解析：由散布列的性质可知2×？＋！＝1，E(ξ)＝？＋2×！＋3×？＝4×？＋2×！＝2(2×？＋！)＝2.答案：28.(2021·奉节质检)随机变量X的散布列为X135p则E(X)＝________．解析：由数学期望的概念得E(X)＝1×＋3×＋5×＝.答案：9.设离散型随机变量ξ可能的取值为1，2，3，4，P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3，4)，又ξ的数学期望E(ξ)＝3，则a＋b＝________．解析：∵E(ξ)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3，①又a＋b＋2a＋b＋3a＋b＋4a＋b＝1，即10a＋4b＝1，②由①②解得a＝110，b＝0，∴a＋b＝.10答案：10三、解答题10.某寻呼台共有客户3000人，假设寻呼台预备了100份小礼物，邀请客户在指按时刻来领取，假设任一客户去领奖的概率为4%.问：寻呼台可否向每一位顾客都发出领奖邀请？假设能使每一名领奖人都取得礼物，寻呼台至少应预备多少份礼物？解：设来领奖的人数ξ＝k(k＝0，1，2，…，3000)，因此P(ξ＝k)＝C k3000·(1－3000－k，可见ξ～B(3000，，所以E(ξ)＝3000×＝120(人)>100(人)．因此不能向每一名顾客都发出领奖邀请，寻呼台至少应预备120份礼物，才能使每一名领奖人都取得礼物．11.某游戏射击场规定：①每次游戏射击5发子弹；②5发全数命中奖励40元；命中4发不奖励，也没必要付款；命中3发或3发以下，应付款2元．现有一游客，其命中率为.(1)求该游客在一次游戏中5发全数命中的概率；(2)求该游客在一次游戏中取得奖金的均值.解：(1)设5发子弹命中ξ(ξ＝0，1，2，3，4，5)发，那么由题意知，P(ξ＝5)＝C55＝1 32 .(2)ξ的散布列为ξ012345p 13253210321032532132设游客在一次游戏中取得奖金为X元，故X的散布列为X －2 0 40 p2632532 132故该游客在一次游戏中取得奖金的均值为 E (X )＝(－2)×2632＋0×532＋40×132＝－(元)．12.(创新题)设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S .(1)记“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n )”为事件A ，试列举A 包括的大体事件； (2)设ξ＝m 2，求ξ的散布列及其数学期望E (ξ)． 解：(1)(x －3)(x ＋2)≤0⇒－2≤x ≤3， 则m ，n ∈{－2，－1，0，1，2，3}，m ＋n ＝0有⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0n ＝0， 因此A 包括的大体事件为：(1，－1)，(－1，1)，(2，－2)，(－2，2)，(0，0)． (2)m 的可能取值为－2，－1，0，1，2，3， 则m 2的可能取值为0，1，4，9，P (m 2＝0)＝P (m 2＝9)＝16， P (m 2＝1)＝P (m 2＝4)＝26＝13，因此ξ的散布列为ξ 0 1 4 9因此其数学期望为E (ξ)＝13＋43＋32＝53＋32＝196.。

第一章 集合与常用逻辑用语第1节 集 合 学生用书 课时冲关一[基础训练组]1．(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,3,4,5}，则A ∩B ＝( ) A ．{3} B ．{5} C ．{3,5}D ．{1,2,3,4,5,7}解析：C [A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,3,4,5}，∴A ∩B ＝{3,5}，故选C.]2．(2019·石嘴山市一模)集合P ＝{x |0≤x ＜3}，M ＝{x ||x |≤3}，则P ∩M ＝( ) A ．{1,2} B ．{0,1,2} C ．{x |0≤x ＜3}D ．{x |0≤x ≤3}解析：C [集合P ＝{x |0≤x ＜3}，M ＝{x ||x |≤3}＝{x |－3≤x ≤3}，则P ∩M ＝{x |0≤x ＜3}．]3．(2019·张家口市模拟)如图，I 为全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )A ．(M ∩P )∩SB ．(M ∩P )∪SC ．(M ∩P )∩∁I SD ．(M ∩P )∪∁I S解析：C [图中的阴影部分是M ∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集的子集，即是∁I S 的子集，则阴影部分所表示的集合是(M ∩P )∩∁I S .故选C.]4．(2019·漳州市模拟)满足{2018}⊆A {2018,2019,2020}的集合A 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：C [满足{2018}⊆A {2018,2019,2020}的集合A 可得：A ＝{2018}，{2018,2019}，{2018,2020}． 因此满足的集合A 的个数为3.]5．已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：C [因为P ∪M ＝P ，所以M ⊆P ，即a ∈P ， 得a 2≤1，解得－1≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－1,1]．]6．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－1}，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}，则∁R (A ∩B )＝( ) A.⎣⎡⎭⎫0，12 B ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫0，12 D ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞解析：D [A ＝{y |y ＝x 2－1}＝[0，＋∞)，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}＝⎝⎛⎭⎫0，12， 所以A ∩B ＝⎝⎛⎭⎫0，12，所以∁R (A ∩B )＝(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞.] 7．(2019·合肥市模拟)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞) B.⎣⎡⎦⎤12，1 C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：A [因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.] 8．(2019·石家庄市模拟)函数y ＝x －2与y ＝ln(1－x )的定义域分别为M ，N ，则M ∪N ＝( ) A ．(1,2]B ．[1,2]C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪[2，＋∞)解析：D [使x －2有意义的实数x 应满足x －2≥0，∴x ≥2，∴M ＝[2，＋∞)，y ＝ln(1－x )中x 应满足1－x ＞0，∴x ＜1，∴N ＝(－∞，1)，所以M ∪N ＝(－∞，1)∪[2，＋∞)，故选D.]9．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，y ＝4x 2－1}，则A ∩B 的元素个数是________．解析：集合A 是以原点为圆心，半径等于1的圆周上的点的集合，集合B 是抛物线y ＝4x 2－1上的点的集合，观察图像可知，抛物线与圆有3个交点，因此A ∩B 中含有3个元素．答案：310．已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________． 解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]11．对于集合M 、N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－(x －1)2＋2，x ∈R }，则A ⊕B ＝________.解析：由题意得A ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }＝{y |y >0}，B ＝{y |y ＝－(x －1)2＋2，x ∈R }＝{y |y ≤2}，故A －B ＝{y |y >2}，B －A ＝{y |y ≤0}，所以A ⊕B ＝{y |y ≤0，或y >2}．答案：(－∞，0]∪(2，＋∞)12．(2019·淮南市一模)若A ＝{x |ax 2－ax ＋1≤0，x ∈R }＝∅，则a 的取值范围是________．解析：∵A ＝{x |ax 2－ax ＋1≤0，x ∈R }＝∅，∴a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝(－a )2－4a <0，解得0≤a ＜4.∴a 的取值范围是[0,4)． 答案：[0,4)．[能力提升组]13．集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}解析：B [易知A ＝(－1,2)，B ＝(－∞，1)，∴∁U B ＝[1，＋∞)，A ∩(∁U B )＝[1,2)．因此阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}．]14．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1,0,1}，Q ＝{－2,2}，则集合P *Q 中元素的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：B [当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0； 当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝(－1)÷(－2)＝12；当a ＝－1，b ＝2时，z ＝(－1)÷2＝－12；当a ＝1，b ＝－2时，z ＝1÷(－2)＝－12；当a ＝1，b ＝2时，z ＝1÷2＝12.故P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，－12，该集合中共有3个元素．]15．若集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0，x ∈R }有且仅有两个子集，则实数a 的值为________． 解析：由题意知，方程(a －1)x 2＋3x －2＝0，x ∈R ，有一个根，∴当a ＝1时满足题意，当a ≠1时，Δ＝0，即9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－18.答案：1或－1816．(2019·西城区一模)某班共有学生40名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是________．解析：设同时会打乒乓球和篮球的学生有x 人， 同时会打乒乓球和排球的学生有y 人， 同时会打排球和篮球的学生有z 人，∵该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球， ∴该班会打乒乓球或篮球的学生有24人， 会打乒乓球或排球的学生有16人， 会打篮球或打排球有22人， ∴x ＋y ＋z ＝24＋16＋22－40＝22. ∴该班会其中两项运动的学生人数是22. 答案：22第2节 命题、充分条件与必要条件学生用书 课时冲关二[基础训练组]1．命题“若a 2＋b 2＝0，a ，b ∈R ，则a ＝b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a ≠b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2＝0 B ．若a ＝b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 C ．若a ≠0且b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 D ．若a ≠0或b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0解析：D [写逆否命题只要交换命题的条件与结论，并分别否定条件与结论即可．]2．(2019·晋城市一模)设a ∈R ，则“a ＞3”是“函数y ＝log a (x －1)在定义域上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A [因为函数y ＝log a (x －1)在定义域(1，＋∞)上为增函数，所以a ＞1， 因此“a ＞3”是“函数y ＝log a (x －1)在定义域上为增函数”的充分不必要条件．]3．(2019·天津市模拟)“m ＝1”是“圆C 1：x 2＋y 2＋3x ＋4y ＋m ＝0与圆C 2“x 2＋y 2＝4的相交弦长为23”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A [由题意知圆C 1与圆C 2的公共弦所在的直线是3x ＋4y ＋m ＋4＝0，故(0,0)到3x ＋4y ＋m ＋4＝0的距离d ＝|m ＋4|5＝4－3＝1，即|m ＋4|＝5，解得m ＝1或m ＝－9.故m ＝1是m ＝1或m ＝－9的充分不必要条件，故选A.]4．(2019·大庆市模拟)已知条件p ：|x －4|≤6，条件q ：x ≤1＋m ，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，9]C ．[1,9]D ．[9，＋∞)解析：D [由|x －4|≤6，解得－2≤x ≤10，即p ：－2≤x ≤10；又q ：x ≤1＋m ，若p 是q 的充分不必要条件，则1＋m ≥10，解得m ≥9.故选D.]5．(2019·洛阳市一模)若x ＞m 是x 2－3x ＋2＜0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，2] C ．(－∞，1]D ．[2，＋∞)解析：C [由x 2－3x ＋2＜0得1＜x ＜2，若x ＞m 是x 2－3x ＋2＜0的必要不充分条件， 则m ≤1，即实数m 的取值范围是(－∞，1]．]6．(2019·南昌市模拟)a 2＋b 2＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A [因为a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin (θ＋φ)≤a 2＋b 2，所以由a 2＋b 2＝1可推得a sin θ＋b cos θ≤1恒成立．反之，取a ＝2，b ＝0，θ＝30°，满足a sin θ＋b cos θ≤1，但不满足a 2＋b 2＝1，即由a sin θ＋b cos θ≤1推不出a 2＋b 2＝1，故a 2＋b 2＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的充分不必要条件．故选A.]7．(2019·新余市模拟)“m ＞1”是“函数f (x )＝3x ＋m －33在区间[1，＋∞)无零点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：A [因为函数f (x )＝3x＋m－33在区间[1，＋∞)上单调递增且无零点，所以f (1)＝31＋m －33＞0，即m ＋1＞32，解得m ＞12，故“m ＞1”是“函数f (x )＝3x＋m －33在区间[1，＋∞)无零点的充分不必要条件，故选A.]8．(2019·焦作市质检)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .给出命题s ：若|q |＝2，则S 6＝7S 2，则在命题s 的逆命题、否命题、逆否命题中，错误命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：B [若|q |＝2，则q 2＝2，S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝a 1(1－q 2)(1＋q 2＋q 4)1－q ＝7·a 1(1－q 2)1－q ＝7S 2，所以原命题为真，从而逆否命题为真；而当S 6＝7S 2时，显然q ≠1，这时a 1(1－q 6)1－q ＝7·a 1(1－q 2)1－q ，解得q ＝－1或|q |＝2，因此，逆命题为假，否命题为假，故错误命题的个数为2.]9．(2019·西宁市模拟)《左传·僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在．皮之不存，毛将焉附？则“有毛”是“有皮”的_______条件(将正确的序号填入空格处)．①充分条件 ②必要条件 ③充要条件 ④既不充分也不必要条件解析：由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件． 答案：①10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的__________条件．解析：由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，故a ≤b ⇔sin A ≤sinB.答案：充要11．(2019·曲靖市一模)若“x ＞a ”是“x 2－5x ＋6≥0”成立的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_________．解析：由x 2－5x ＋6≥0得x ≥3或x ≤2，若“x ＞a ”是“x 2－5x ＋6≥0”成立的充分不必要条件，则a ≥3，即实数a 的取值范围是[3，＋∞)． 答案：[3，＋∞)12．(2019·日照模拟)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若非p 是非q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由2x 2－3x ＋1≤0，得12≤x ≤1，∴命题p 为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤1.由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1， ∴命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}． 非p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞1或x ＜12，非q 对应的集合B ＝{x |x ＞a ＋1或x ＜a }． ∵非p 是非q 的必要不充分条件， ∴a ＋1≥1且a ≤12，∴0≤a ≤12，即实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12 [能力提升组]13．(2019·合肥市模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A [设命题a ：“若p ，则q ”，可知命题a 是祖暅原理的逆否命题，则a 是真命题．故p 是q 的充分条件．设命题b ：“若q ，则p ”，若A 比B 在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积大一些，且大的总量与小的总量相抵，则它们的体积还是一样的．所以命题b 是假命题，即p 不是q 的必要条件．综上所述，p 是q 的充分不必要条件．故选A.]14．(2019·保定市模拟)已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2＋x ＜a 2－a ，且非q 的一个充分不必要条件是非p ，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－2，－12 B.⎣⎡⎦⎤12，2C ．[－1,2]D.⎝⎛⎦⎤2，12∪[2，＋∞) 解析：C [由4x －1≤－1，移项得4x －1＋1≤0，通分得x ＋3x －1≤0，解得－3≤x ＜1；由x 2＋x ＜a 2－a ，得x 2＋x －a 2＋a ＜0.由非q 的一个充分不必要条件是非p ，可知非p 是非q 的充分不必要条件，即p 是q 的必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．设f (x )＝x 2＋x －a 2＋a ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)＝－a 2＋a ＋6≥0，f (1)＝－a 2＋a ＋2≥0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜3－1≤a ≤2∴－1≤a ≤2，故选C.]15．给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件； ②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．解析：对于①，当数列{a n }为等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列，但当数列{a n a n ＋1}为等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m ＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m ＝3，也可能m ＝0.因此③不正确；对于④，由题意得b a ＝sin B sin A ＝3，若B ＝60°，则sin A ＝12，注意到b >a ，故A ＝30°，反之，当A ＝30°时，有sinB ＝32，由于b >a ，所以B ＝60°或B ＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④. 答案：①④16．设命题p ：2x －1x －1<0，命题q ∶x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：2x －1x －1<0⇒(2x －1)(x －1)<0⇒12<x <1，x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0⇒a ≤x ≤a ＋1. 由题意，得⎝⎛⎭⎫12，1⊆[a ，a ＋1]． 故⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1， 解得0≤a ≤12.答案：⎣⎡⎦⎤0，12第3节 量词与逻辑联结词 学生用书 课时冲关三[基础训练组]1．(2019·安阳市模拟)已知命题p ：存在x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0，则非p 为( ) A ．存在x 0∈[0，＋∞)，2x 0<3x 0 B ．存在x 0∈(－∞，0)，2x 0≥3x 0 C ．任意x 0∈[0，＋∞)，2x ＜3x D ．任意x ∈(－∞，0)，2x ≥3x解析：D [由特称命题的否定为全称命题，可得 命题p ：存在x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0， 则非p 为：任意x ∈(－∞，0)，2x ≥3x ，故选D.]2．(2019·济南市一模)若命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，则( ) A ．命题p 与命题q 都是真命题 B ．命题p 与命题q 都是假命题 C ．命题p 是真命题，命题q 是假命题 D ．命题p 是假命题，命题q 是真命题解析：D [命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题， 则p 是假命题，q 是真命题，故选D.]3．(2019·濮阳市一模)已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面．命题p ：若α∩β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥α；命题q ：若m ∥α，m ⊂β，α∩β＝n ，则m ∥n .那么下列命题中的真命题是( )A ．p 且qB ．p 或非qC ．非p 且qD ．非p 且非q解析：C [直线垂直于平面内的一条直线，不能确定该直线与平面垂直，命题p 是假命题；命题q 满足直线与平面平行的性质定理，命题q 是真命题；所以非p 是真命题，可得非p 且q 是真命题．故选C.]4．已知命题p ：若a ＝0.30.3，b ＝1.20.3，c ＝log 1.20.3，则a ＜c ＜b ；命题q ：“x 2－x －6＞0”是“x ＞4”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )A ．p 且qB ．p 且(非q )C ．(非p )且qD ．(非p )且(非q )解析：C [因为0＜a ＝0.30.3＜0.30＝1，b ＝1.20.3＞1.20＝1，c ＝log 1.20.3＜log 1.21＝0，所以c ＜a ＜b ，故命题p 为假命题，非p 为真命题；由x 2－x －6＞0可得x ＜－2或x ＞3，故“x 2－x －6＞0”是“x ＞4”的必要不充分条件，q 为真命题，故(非p )且q 为真命题，选C.]5．(2019·沈阳市模拟)命题p ：“任意x ∈N ＋，⎝⎛⎭⎫12x ≤12”的否定为( ) A ．任意x ∈N ＋，⎝⎛⎭⎫12x ＞12 B ．任意x ∉N ＋，⎝⎛⎭⎫12x ＞12C ．存在x 0∉N ＋，⎝⎛⎭⎫12x 0＞12 D ．存在x 0∈N ＋，⎝⎛⎭⎫12x 0＞12解析：D [命题p 的否定是把“任意”改成“存在”，再把“⎝⎛⎭⎫12x ≤12”改为“⎝⎛⎭⎫12x 0＞12”即可，故选D.] 6．短道速滑队组织6名队员(含赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内)进行冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，(非q )且r 是真命题，则选拔赛的结果为( )A ．甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名B ．甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名C ．甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名D ．甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名解析：D [(非q )且r 是真命题意味着非q 为真，q 为假(乙没得第二名)且r 为真(丙得第三名)；p 或q 是真命题，由于q 为假，只能p 为真(甲得第一名)，这与p 且q 是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，故选D.]7．(2019·玉溪市模拟)有四个关于三角函数的命题： p 1：存在x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2； p 2：存在x ∈R ，sin 2x ＝sin x ； p 3：任意x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 1＋cos 2x2＝cos x ； p 4：任意x ∈(0，π)，sin x ＞cos x . 其中真命题是( ) A ．p 1，p 4 B ．p 2，p 3 C ．p 3，p 4D ．p 2，p 4解析：B [因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，所以sin x ＋cos x 的最大值为2， 可得不存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2成立，得命题p 1是假命题； 因为存在x ＝k π(k ∈Z )，使sin 2x ＝sin x 成立，故命题p 2是真命题； 因为1＋cos 2x2＝cos 2x ，所以1＋cos 2x 2＝|cos x |，结合x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2得cos x ≥0 由此可得1＋cos 2x2＝cos x ，得命题p 3是真命题； 因为当x ＝π4时，sin x ＝cos x ＝22，不满足sin x ＞cos x ，所以任意x ∈(0，π)，使sin x ＞cos x 不成立，故命题p 4是假命题．故选B.] 8．(2019·瓦房店市一模)下列说法错误的是( )A ．命题“若x 2－4x ＋3＝0，则x ＝3”的逆否命题是“若x ≠3，则x 2－4x ＋3≠0”B ．“x ＞1”是“|x |＞0”的充分不必要条件C ．命题p ：“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”，则非p ：“任意x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”D ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题解析：D [命题“若x 2－4x ＋3＝0，则x ＝3”的逆否命题是“若x ≠3，则x 2－4x ＋3≠0”，故A 正确； 由x ＞1，可得|x |＞1＞0，反之，由|x |＞0，不一定有x ＞1，如x ＝－1， ∴“x ＞1”是“|x |＞0”的充分不必要条件，故B 正确；命题p ：“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”，则非p ：“任意x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”，故C 正确； 若p 且q 为假命题，则p 、q 中至少有一个为假命题，故D 错误．] 9．(2019·银川市模拟)命题“存在x 0∈R,2x 0＞3”的否定是________．解析：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“存在x 0∈R,2x 0＞3”的否定是：“任意x ∈R,2x ≤3”． 答案：任意x ∈R,2x ≤310．若命题“任意x ∈R ，kx 2－kx －1＜0”是真命题，则k 的取值范围是________．解析：命题“任意x ∈R ，kx 2－kx －1＜0”是真命题，当k ＝0时，则有－1＜0；当k ≠0时，则有k ＜0且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k ＜0，解得－4＜k ＜0，综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]．答案：(－4,0]11．(2019·西宁市一模)命题“存在x ∈R ，x 2－(m －1)x ＋1＜0”为假命题，则实数m 的取值范围为________．解析：命题“存在x ∈R ，x 2－(m －1)x ＋1＜0”为假命题， 可得任意x ∈R ，x 2－(m －1)x ＋1≥0恒成立， 即有Δ＝(m －1)2－4≤0，解得－1≤m ≤3， 则实数m 的取值范围为[－1,3]． 答案：[－1,3]12．若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－b a ，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集是{x |a <x <b }，则在命题“p 且q ”、“p 或q ”、“非p ”、“ 非q ”中，是真命题的有________．解析：依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p 且q ”为假、“p 或q ”为假、“非p ”为真、“非q ”为真．答案：非p ，非q[能力提升组]13．已知命题p 1：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0成立；p 2：对任意x ∈[1,2]，x 2－1≥0.以下命题为真命题的是( )A ．(非p 1)且(非p 2)B ．p 1或(非p 2)C ．(非p 1)且p 2D ．p 1且p 2解析：C [∵方程x 20＋x 0＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴x 20＋x 0＋1<0无解，故命题p 1为假命题，非p 1为真命题；由x 2－1≥0，得x ≥1或x ≤－1.∴对任意x ∈[1,2]，x 2－1≥0，故命题p 2为真命题， 非p 2为假命题．∵非p 1为真命题，p 2为真命题， ∴(非p 1)且p 2为真命题，选C.]14．已知命题p ：任意x ∈R,2x ＋12x ＞2，命题q ：存在x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，使sin x 0＋cos x 0＝12，则下列命题中为真命题的是( )A ．非p 且非qB ．非p 且qC ．p 且非qD ．p 且q解析：A [命题p ：任意x ∈R,2x ＋12x ＞2，当x ＝0时，命题不成立．所以命题p 是假命题，则非p 是真命题；命题q ：任意x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，使sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[1，2]，所以存在x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，使sin x 0＋cos x 0＝12，不正确，则非q 是真命题．所以非p 且非q .故选A.]15．若“任意x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1”为真命题，则实数m 的最大值为________． 解析：由“任意x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1”为真命题，可得－1≤tan x ≤1，∴0≤tan x ＋1≤2，∴实数m 的最大值为0.答案：016．(2019·洛阳市一模)已知p ：任意x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x ＜m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是________．解析：已知p ：任意x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x ＜m (x 2＋1)，故m ＞2x x 2＋1.令g (x )＝2xx 2＋1，则g (x )在⎣⎡⎦⎤14，12递增，所以g (x )≤g ⎝⎛⎭⎫12＝45，故p 为真时：m ＞45；q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1＝(2x ＋1)2＋m －2，令f (x )＝0，得2x ＝2－m －1.若f (x )存在零点，则2x ＝2－m －1>0， 解得m ＜1， 故q 为真时，m ＜1.若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫45，1. 答案：⎝⎛⎭⎫45，1第二章 函数、导数及其应用 第1节 函数的概念及其表示 学生用书 课时冲关四[基础训练组]1．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图像可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]2．(2016·全国Ⅱ卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x 的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x 的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.] 3．已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( ) A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1)解析：C [f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝(x ＋1)2x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]4．(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解； 当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7， 所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]5．(2019·孝义市模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1x ＋4x－3，x >1，( )A ．[1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[0,1)∪(1，＋∞)解析：B [由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1x ＋4x －3，x >1，知当x ≤1时，x 2≥0； 当x ＞1时，x ＋4x－3≥2x ·4x －3＝4－3＝1，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取“＝”． 取并集得f (x )的值域是[0，＋∞)．]6．图中的图像所表示的函数的解析式f (x )＝________.解析：由图像知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝⎛⎭⎫1，32和⎝⎛⎭⎫1，32，(2,0)分别代入求解，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎨⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤27．若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是________． 解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]8．(2019·东莞市模拟)已知函数f (x )＝ax －b (a ＞0)，f (f (x ))＝4x －3，则f (2)＝__________. 解析：∵f (x )＝ax －b ，∴f (f (x ))＝f (ax －b )＝a (ax －b )－b ＝a 2x －ab －b ＝4x －3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4ab ＋b ＝3，且a ＞0，∴a ＝2，b ＝1. ∴f (x )＝2x －1，∴f (2)＝2×2－1＝3. 答案：39．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有 a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x . ∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4，或x ＜－1}． 10．已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图像，并结合图像写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值范围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时，x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图像如图，由图像可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(2019·遂宁市模拟)设函数f (x )＝x －1，则f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f ⎝⎛⎭⎫4x 的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤12，4 B ．[2,4] C ．[1，＋∞)D.⎣⎡⎦⎤14，2解析：B [∵函数f (x )＝x －1的定义域为[1，＋∞)，∴⎩⎨⎧x 2≥14x ≥1，解得2≤x ≤4.∴f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f ⎝⎛⎭⎫4x 的定义域为：[2,4]．]12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值范围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12D.12<m ≤1 解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2m －1≤0，12m ＋1<12， 或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，(2m －1)2－2(2m －1)<12， 解得12<m ≤1，故选D.]13．若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立．∴x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图像，得⎩⎨⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y＝x2200＋x100(x≥0)．(2)令x2200＋x100≤25.2，得－72≤x≤70.∵x≥0，∴0≤x≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．第2节 函数的单调性与最值 学生用书 课时冲关五[基础训练组]2．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，34 B.⎣⎡⎭⎫0，34 C.⎝⎛⎦⎤0，34 D.⎣⎡⎦⎤0，34 解析：D [当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数； 当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0－4(a －3)4a ≥3，得0<a ≤34.综上，a 的取值范围是0≤a ≤34.]3．(2019·聊城市模拟)函数y ＝ln (x 2－4x ＋3)的单调减区间为( ) A ．(2，＋∞) B ．(3，＋∞) C ．(－∞，2)D ．(－∞，1)解析：D [令t ＝x 2－4x ＋3＞0，求得x ＜1，或x ＞3， 故函数的定义域为{x |x ＜1，或x ＞3}，且y ＝ln t .由二次函数的性质得，t 在区间(－∞，1)上为减函数，在区间(3，＋∞)为增函数，又y ＝ln t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，根据复合函数单调性的判断方法，知函数y ＝ln (x 2－4x ＋3)的单调减区间为(－∞，1)．]4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎣⎡⎭⎫17，13D.⎣⎡⎭⎫17，1解析：C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，0<a <1，(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <13，0<a <1，a ≥17，所以17≤a <13.故选C.]5．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析：D [由题意知a <1，∴g (x )＝f (x )x ＝x ＋ax －2a ，当a <0时，显然g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，当a >0时，g (x )在[a ，＋∞)上是增函数，故在(1，＋∞)上为增函数，∴g (x )在(1，＋∞)上一定是增函数．]6．(2019·日照市模拟)已知奇函数f (x )为R 上的减函数，若f (3a 2)＋f (2a －1)≥0，则实数a 的取值范围是 ________.解析：∵奇函数f (x )为R 上的减函数， ∴不等式f (3a 2)＋f (2a －1)≥0， 等价为f (3a 2)≥－f (2a －1)＝f (1－2a )，即3a 2≤1－2a ，即3a 2＋2a －1≤0，得(a ＋1)(3a －1)≤0，得－1≤a ≤13，即实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，13. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，13 7．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a 在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是________．解析：f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a ，定义域为(－∞，－2a )∪(－2a ，＋∞)， ∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1＞0－2a ≤－2即⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1＞0a ≥1，解得a ≥1. 答案：[1，＋∞)8．(2019·沈阳市一模)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]的最大值为2，则nm＝________.解析：∵f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m ＜n ，且f (m )＝f (n )，∴－log 3m ＝log 3n ，∴mn ＝1. ∵f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2,1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数， ∴－log 3m 2＝2，或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2是最大值，得m ＝13，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意条件．此时n m ＝3÷13＝9.同理：若log 3n ＝2是最大值，得n ＝9，则m ＝19，此时－log 3m 2＝4，不满足题意条件． 综合可得 m ＝13，n ＝3，nm ＝9.答案：99．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )，(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2) 且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任取x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任设1<x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知a 的取值范围是(0,1]．10．(2019·西安市模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足： ①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x >0时，f (x )>－1.(1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数． (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4. 解：(1)令x ＝y ＝0得f (0)＝－1. 在R 上任取x 1>x 2， 则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1.又f (x 1)＝f ((x 1－x 2)＋x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)， 所以，函数f (x )在R 上是单调增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)，又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3，解得x <－2或x >1， 故原不等式的解集为{x |x <－2，或x >1}．[能力提升组]11．(2019·天津市一模)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上对于任意两个不相等的实数x 1，x 2恒有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，若实数a 满足f (log 6a )≥f (－1)，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤16，6B.⎣⎡⎭⎫16，＋∞ C ．(0,6]D ．(－∞，6]解析：A [根据题意，函数f (x )在区间[0，＋∞)上有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则函数f (x )在区间[0，＋∞)上是减函数，又函数f (x )为偶函数，则f (log 6a )≥f (－1)等价于f (|log 6a |)≥f (1)， 即|log 6a |≤1，解得－1≤log 6a ≤1，所以16≤a ≤6.]12．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤k ，k ，f (x )>k ，取函数f (x )＝2－|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：C [由f (x )>12，得－1<x <1.由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以f 12(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1，12，－1<x <1，2x，x ≤－1.故f 12(x )的单调递增区间为(－∞，－1)．]13．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数，当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数，∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1.答案：114．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b >0成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它； (2)解不等式：f ⎝⎛⎭⎫x ＋12<f ⎝⎛⎭⎫1x －1；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2， 则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2) ＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)·(x 1－x 2)，由已知得f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[－1,1]上单调递增． (2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＜1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1.∴－32≤x <－1.所以，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x <－1.(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增． ∴在[－1,1]上，f (x )≤1. 问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]恒成立． 设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须有g(－1)≥0且g(1)≥0，∴m≤－2或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或m≥2或m≤－2.第3节 函数的奇偶性与周期性学生用书 课时冲关六[基础训练组]1．(2019·呼和浩特市一模)下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝－x 3 B ．y ＝2|x | C ．y ＝x －2D ．y ＝log 3(－x )解析：B [选项A ，函数是奇函数，不满足条件；选项B ，函数是偶函数，当x ＜0时，y ＝2|x |＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数，满足条件；选项C ，函数是偶函数，当x ＜0时，y ＝x －2＝1x2是增函数，不满足条件；选项D ，函数的定义域为(－∞，0)，不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足条件．故选B.]2．(2019·赣州市一模)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－3)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－1,3)解析：D [由偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减， f (2)＝0， 得f (x )＝f (|x |)，因为f (x －1)＞0，则f (|x －1|)＞f (2)，即|x －1|＜2，解得－1＜x ＜3，即x 的取值范围是(－1,3)．故选D.]3．(2019·保定市一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0－1，x <0，设g (x )＝f (x )x2，则g (x )是( )A ．奇函数，在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递增B ．奇函数，在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递减C ．偶函数，在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递增D ．偶函数，在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递减 解析：B [根据题意，g (x )＝f (x )x2＝⎩⎨⎧1x 2，x >0，－1x 2，x <0，其定义域关于原点对称．设x ＞0，则－x ＜0，g (－x )＝－1(－x )2＝－1x 2＝－g (x )；设x ＜0，则－x ＞0，g (－x )＝1(－x )2＝1x 2＝－g (x )，故g (x )为奇函数．又g (x )＝1x2＝x －2在区间(0，＋∞)上递减，则g (x )在(－∞，0)上也递减．故选B.]4．已知f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：A [∵f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21＋x ＋a ＋lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a ＝0，解得a ＝－1，即f (x )＝lg 1＋x 1－x ，由f (x )＝lg 1＋x 1－x <0，得0<1＋x1－x<1，解得－1<x <0，故选A.] 5．(2019·安庆市模拟)定义在R 上的奇函数f (x )满足：f (x ＋1)＝f (x －1)，且当－1＜x ＜0时，f (x )＝2x －1，则f (log 220)等于( )A.14 B ．－14C ．－15D.15解析：D [∵f (x ＋1)＝f (x －1)，∴函数f (x )是周期为2的周期函数， 又∵log 232＞log 220＞log 216，∴4＜log 220＜5， ∴f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝⎛⎭⎫log 254 ＝－f ⎝⎛⎭⎫－log 254. 又∵x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x －1，∴f ⎝⎛⎭⎫－log 254 ＝－15，f (log 220)＝15.故选D.]6．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是________．解析：在f (x )－g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x ，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x.于是解得f (x )＝2－x －2x2，g (x )＝－2－x ＋2x 2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)．答案：f (1)>g (0)>g (－1)7．(2019·惠州市模拟)已知函数f (x )＝2x －2－x，则不等式f (2x ＋1)＋f (1)≥0的解集是________． 解析：根据题意，有f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x )＝－f (x )，则函数f (x )为奇函数，又函数f (x )在R 上为增函数，f (2x ＋1)＋f (1)≥0等价于f (2x ＋1)≥－f (1)， 即f (2x ＋1)≥f (－1)，所以2x ＋1≥－1，解得x ≥－1，即不等式的解集为[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞)8．(2019·泰安市模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f (x ＋2)＝－f (x )且f (x )在[－1,0]上是增函数，给出下列几个命题：①f (x )是周期函数；②f (x )的图像关于x ＝1对称；③f (x )在[1,2]上是减函数；④f (2)＝f (0)，其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．解析：f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )对任意x ，y ∈R 恒成立．令x ＝y ＝0， 所以f (0)＝0.令x ＋y ＝0，所以y ＝－x ，所以f (0)＝f (x )＋f (－x )． 所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．因为f (x )在x ∈[－1,0]上为增函数，又f (x )为奇函数，所以f (x )在[0,1]上为增函数．由f (x ＋2)＝－f (x )⇒f (x ＋4)＝－f (x ＋2)⇒f (x ＋4)＝f (x )，所以周期T ＝4，即f (x )为周期函数． f (x ＋2)＝－f (x )⇒f (－x ＋2)＝－f (－x )．又因为f (x )为奇函数，所以f (2－x )＝f (x )，所以函数关于x ＝1对称． 由f (x )在[0,1]上为增函数，又关于x ＝1对称，所以f (x )在[1,2]上为减函数． 由f (x ＋2)＝－f (x )，令x ＝0得f (2)＝－f (0)＝f (0)． 答案： ①②③④9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数， 要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．结合f (x )的图像知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图像关于直线x ＝1对称． (1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式． 解：(1)证明：由函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称， 有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)． 又函数f (x )是定义在R 上的奇函数， 故有f (－x )＝－f (x )．故f (x ＋2)＝－f (x )． 即f (x )是周期为4的周期函数．(2)由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0. x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，f (x )＝－f (－x )＝－x . 故x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x . x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]， f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，函数f (x )＝－－x －4.[能力提升组]11．函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13，若f (1)＝2，则f (99)等于( ) A ．13 B ．2 C.213D.132解析：D [∵f (x )·f (x ＋2)＝13，∴f (x ＋2)＝13f (x )，则f (x ＋4)＝13f (x ＋2)＝1313f (x )＝f (x )， 故函数f (x )的周期为4， ∴f (99)＝f (3)＝13f (1)＝132.] 12．(2019·佛山市一模)已知f (x )＝2x ＋a2x 为奇函数，g (x )＝bx －log 2(4x ＋1)为偶函数，则f (ab )＝( )A.174B.52 C ．－154D ．－32解析：D [根据题意，f (x )＝2x ＋a2x 为奇函数，则有f (－x )＋f (x )＝0，即(2－x ＋a 2－x )＋⎝⎛⎭⎫2x ＋a 2x ＝0，解得a ＝－1. 因为g (x )＝bx －log 2(4x ＋1)为偶函数，则g (x )＝g (－x )， 即bx －log 2(4x ＋1)＝b (－x )－log 2(4－x ＋1)，解得b ＝1，则ab ＝－1，f (ab )＝f (－1)＝2－1－12－1＝－32.]13．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调增函数．如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t <2f (1)时，那么t 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )是偶函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ＝f (－ln t )＝f (ln t )＝f (|ln t |)． 则有f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t <2f (1)，即2f (ln t )<2f (1)， 等价于f (|ln t |)<f (1)，因为函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数，所以|ln t |<1，解得1e <t <e.答案：⎝⎛⎭⎫1e ，e14．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图像与x 轴所围成图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调区间． 解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数． ∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4) ＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )， 得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]， 即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图像关于原点成中心对称，则f (x )的图像如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图像与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4. (3)函数f (x )的单调递增区间为[4k －1,4k ＋1](k ∈Z )， 单调递减区间为[4k ＋1,4k ＋3](k ∈Z )．。

【优化方案】2021-2021学年高中数学 第8章知能演练轻松闯关 湘教版选修2-3 1.下列正确的选项是( )A ．P (A |B )＝P (B |A )B ．P (A ∩B |A )＝P (B )＝P (B |A )D ．P (A |B )＝n （AB ）n （B ）答案：D2.已知P (B |A )＝12，P (AB )＝38，则P (A )＝( ) 解析：选C.由P (AB )＝P (A )P (B |A )可得P (A )＝34. 3.(2021·大足质检)把一枚硬币任意掷两次，假设设事件A ＝{第一次显现正面}，事件B ＝{第二次显现正面}，则P (B |A )＝( )解析：选B.事件A 发生有2种结果：(正正)、(正反)，事件B 发生时有(正正)一种结果，∴P (B |A )＝12. 4.(2021·渝北检测)某人一周晚上值班2次，在已知他周日必然值班的条件下，那么他在周六晚上值班的概率为________．解析：设事件A 为“周日值班”，事件B 为“周六值班”，则P (A )＝C 16C 27，P (AB )＝1C 27，故P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝16.答案：16 一、选择题 1.(2020·高考辽宁卷)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )解析：选(A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110， P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝14. 2.袋中有大小相同的3个红球，5个白球，从中不放回地依次摸取2球，在已知第一次掏出白球的前提下，第二次取得红球的概率是( )解析：选D.设事件A 为“第一次取白球”，事件B 为“第二次取红球”，则P (A )＝C 15C 178×7＝58，P (AB )＝C 15C 138×7＝1556，故P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝37. 3.抛掷一枚均匀的骰子所得的样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6}，令事件A ＝{2，3，5}，B ＝{1，2，4，5，6}，则P (A |B )等于( )解析：选A.∵A ∩B ＝{2，5}，∴n (AB )＝2.又∵n (B )＝5，故P (A |B )＝n （AB ）n （B ）＝25. 4.(2021·南川质检)盒中有10只灯泡，其中有3只是坏的，现从中任取4只，那么“最多有2只是好的”的概率是( )解析：选B.设掏出的4只灯泡中坏的灯泡个数为X ，则X ～H (4，3，10)．“恰有1只是坏的”的概率为P (X ＝1)＝C 13C 37C 410＝12，“4只满是好的(坏的个数为0)”的概率为P (X ＝0)＝C 03C 47C 410＝16，那么“最多有2只是好的(即至少有2只是坏的)”的概率为P (X ≥2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)＝1－16－12＝13. 5.抛掷两枚骰子，那么在已知它们点数不同的情形下，至少有一枚显现6点的概率是( )解析：选A.设“至少有一枚显现6点”为事件A ，“两枚骰子的点数不同”为事件B . 则n (B )＝6×5＝30，n (AB )＝10，因此P (A |B )＝n （AB ）n （B ）＝13. 6.某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行实验，已知这批水稻种子的发芽率为，出芽后的幼苗成活率为，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，那么这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为( )A ．B ．C ．D ．解析：选D.设“这粒水稻种子发芽”为事件A ，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗”为事件B |A ，“这粒水稻种子能成长为幼苗”为事件AB ，且P (A )＝，P (B |A )＝，由条件概率计算公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝×＝.即这粒种子能成长为幼苗的概率为.二、填空题7.抛掷一枚骰子，观看显现的点数，假设已知显现的点数不超过3，那么显现的点数是奇数的概率为________．解析：设事件A 表示“点数不超过3”，事件B 表示“点数为奇数”，则n (A )＝3，n (AB )＝2，因此P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝23. 答案：238.袋中有7只白球，3只红球，白球中有4只木球，3只塑料球，红球中有2只木球，1只塑料球，现从袋中任取1球，假设每一个球被取到的可能性相同，假设已知取到的球是白球，那么它是木球的概率是________．解析：设A 表示“取到的球是白球”； B 表示“取到的球是木球”．那么n (A )＝7，n (AB )＝4，因此P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝47. 答案：47位同窗参加百米短跑初赛，赛场共有6条跑道，已知甲同窗排在第一跑道，那么乙同窗排在第二跑道的概率是________．解析：甲同窗排在第一跑道后，还剩5个跑道，那么乙排在第二跑道的概率为15. 答案：15三、解答题10.某班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中共青团员4人．此刻要在班内任选一名共青团员当团员代表，求那个代表恰好在第一小组的概率．解：设在班内任选一名学生，该学生是共青团员为事件A，在班内任选一名学生，该学生恰好在第一小组为事件B ，那么所求概率为P (B |A )．∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝4401540＝415. 因此所求概率为415. 11. (2021·奉节调研)在某次考试中，从20道题中随机抽取6道题，假设考生至少能答对其中的4道即可通过；假设至少能答对其中5道就取得优秀．已知某考生能答对其中10道题，而且明白他在这次考试中已经通过，求他取得优秀成绩的概率．解：设事件A 为“该考生6道题全答对”，事件B 为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C 为“该考生答对了其中4道题，另2道答错”，事件D 为“该考生在这次考试中通过”，事件E 为“该考生在这次考试中取得优秀”，则A 、B 、C 两两互斥，且D ＝A ∪B ∪C ，E ＝A ∪B .由古典概型的概率公式及互斥事件的加法公式可知 P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝C 610C 620＋C 510C 110C 620＋C 410C 210C 620＝12180C 620. ∵P (AD )＝P (A ∩D )＝P (A )，P (BD )＝P (B ∩D )＝P (B )．∴P (E |D )＝P (A ∪B |D )＝P (A |D )＋P (B |D )＝P（A）P（D）＋P（B）P（D）＝C610 C62012180 C620＋C510C110C620 12180C620＝1358.因此他取得优秀成绩的概率是13 58 .12.(创新题)一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回，假设已知第一只是好的，求第二只也是好的的概率．解：令A i ＝{第i 只是好的，i ＝1，2}．法一：n (A 1)＝C 16C 19，n (A 1A 2)＝C 16C 15，故P (A 2|A 1)＝n （A 1A 2）n （A 1）＝C 16C 15C 16C 19＝59. 法二：因事件A 1已发生(已知)，故咱们只研究事件A 2发生即可，在A 1发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只好的，因此P (A 2|A 1)＝C 15C 19＝59.。

2021年高考数学 第八章 第8课时 曲线与方程知能演练轻松闯关 新人教A 版1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( )A ．一条直线和一条双曲线B ．两条双曲线C ．两个点D ．以上答案都不对解析：选C ．(x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎨⎧x －y ＝0，xy －1＝0.故⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1.2．若点P (x ，y )到点F (0，2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y解析：选C ．点P (x ，y )到点F (0，2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，说明点P (x ，y )到点F (0，2)和到直线y ＋2＝0的距离相等，所以P 点的轨迹为抛物线，设抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，其中p ＝4，故所求的轨迹方程为x 2＝8y .3．(xx·河南焦作模拟)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A|＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2解析：选D ．如图，设P (x ，y )，圆心为M (1，0)．连接M A ，则M A ⊥P A ，且|M A|＝1.又∵|P A|＝1，∴|PM |＝|M A|2＋|P A|2＝2，即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.4．平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C 满足O C →＝λ1O A →＋λ2O B →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线 解析：选A ．设C(x ，y )， 则O C →＝(x ，y )，O A →＝(3，1)，O B →＝(－1，3)．∵O C →＝λ1O A →＋λ2O B →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．5．设动点P 在直线x －1＝0上，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰直角三角形OP Q ，则动点Q 的轨迹是( )A ．椭圆B ．两条平行直线C ．抛物线D ．双曲线 解析：选B ．设Q(x ，y )，P (1，a )，a ∈R ，则有OP →·O Q →＝0，且|OP →|＝|O Q →|，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1＋a 2，x ＋ay ＝0， 消去a ，得x 2＋y 2＝1＋x 2y 2＝x 2＋y 2y2.∵x 2＋y 2≠0，∴y ＝±1.即动点Q 的轨迹为两条平行直线y ＝±1.6．(xx·广东阳江质检)已知点A(－2，0)，B(3，0)，动点P (x ，y )，满足P A →·P B →＝x 2－6，则动点P 的轨迹是________．解析：∵动点P (x ，y )满足P A →·P B →＝x 2－6，∴(－2－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2－6，∴动点P 的轨迹方程是y 2＝x ，轨迹为抛物线．答案：抛物线7．已知定点A(1，0)和定直线l ：x ＝－1，在l 上有两动点E ，F 且满足A E →⊥A F →，另有动点P ，满足EP →∥O A →，FO →∥OP →(O 为坐标原点)，则动点P 的轨迹方程为________．解析：设P (x ，y )，E (－1，y 1)，F (－1，y 2)(y 1，y 2均不为零)．由EP →∥O A →⇒y 1＝y ，即E (－1，y )．由FO →∥OP →⇒y 2＝－y x.由A E →⊥A F →⇒y 2＝4x (x ≠0)．答案：y 2＝4x (x ≠0)8．点P 是圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4上的动点，定点F (2，0)，线段PF 的垂直平分线与直线C P 的交点为Q ，则点Q 的轨迹方程是______________．解析：依题意有|Q P |＝|Q F |，则||QC|－|Q F ||＝|C P |＝2，又|C F |＝4>2，故点Q 的轨迹是以C 、F 为焦点的双曲线，a ＝1，c ＝2，得b 2＝3，所求轨迹方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝19．已知点A(－1，0)，B(2，4)，△ABC 的面积为10，求动点C 的轨迹方程．解：∵AB ＝32＋42＝5，∴AB 边上高h ＝205＝4.故C 的轨迹是与直线AB 距离等于4的两条平行线．∵k AB ＝43，AB 的方程为4x －3y ＋4＝0，可设轨迹方程为4x －3y ＋c ＝0. 由|c －4|5＝4，得c ＝24或c ＝－16，故动点C 的轨迹方程为4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.10．过双曲线x 2－y 2＝1上一点M 作直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段M N 的中点P 的轨迹方程．解：设动点P 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x 0，y 0)， 则N(2x －x 0，2y －y 0)．由N 在直线x ＋y ＝2上，得2x －x 0＋2y －y 0＝2.①由PM 垂直于直线x ＋y ＝2，得y －y 0x －x 0＝1，即x －y －x 0＋y 0＝0.②由①②得x 0＝32x ＋12y －1，y 0＝12x ＋32y －1，代入双曲线方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋12y －12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋32y －12＝1， 整理得2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0，即点P 的轨迹方程为2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0.[能力提升]1．已知两条直线l 1：2x －3y ＋2＝0和l 2：3x －2y ＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l 1、l 2都相交，且l 1、l 2被圆截得的弦长分别是定值26和24，则圆心的轨迹方程是( )A ．(x ＋1)2－y 2＝65B ．(x －1)2－y 2＝65C ．(x ＋1)2＋y 2＝65D ．(x －1)2＋y 2＝65解析：选A ．设动圆的圆心为M (x ，y )，半径为r ，点M 到直线l 1，l 2的距离分别为d 1和d 2.由弦心距、半径、半弦长间的关系得，⎩⎨⎧2r 2－d 21＝26，2r 2－d 22＝24，即⎩⎪⎨⎪⎧r 2－d 21＝169，r 2－d 22＝144， 消去r 得动点M 满足的几何关系为d 22－d 21＝25，即（3x －2y ＋3）213－（2x －3y ＋2）213＝25.化简得(x ＋1)2－y 2＝65.此即为所求的动圆圆心M 的轨迹方程．2．已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：选B ．设N(a ，b )，M (x ，y )，则a ＝x －22，b ＝y2，代入圆O 的方程得点M 的轨迹方程是(x －2)2＋y 2＝22，此时|PF 1|－|PF 2|＝|PF 1|－(|PF 1|±2)＝±2，即||PF 1|－|PF 2||＝2，故所求的轨迹是双曲线．3．直线x a ＋y2－a＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程为______________．解析：设直线x a ＋y2－a＝1与x ，y 的轴交点为A(a ，0)，B(0，2－a )，AB 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1.∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.答案：x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1)4．(xx·四川成都质检)P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，有一动点Q 满足O Q →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是______________．解析：由O Q →＝PF 1→＋PF 2→， 又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q(x ，y )，则OP →＝－12O Q →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2，即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y2.又P 在椭圆上，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b2＝1， 即x 24a 2＋y 24b2＝1. 答案：x 24a 2＋y 24b2＝15．(xx·高考辽宁卷) 如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p >0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B(M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线M A 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )． 解：(1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线M A 的斜率为－12，所以A 点坐标为(－1，14)，故切线M A 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14.因为点M (1－2，y 0)在切线M A 及抛物线C 2上，于是 y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224，①y 0＝－（1－2）22p ＝－3－222p.②由①②得p ＝2.(2)设N(x ，y )，A(x 1，x 214)，B(x 2，x 224)，x 1≠x 2，由N 为线段AB 中点知x ＝x 1＋x 22，③y ＝x 21＋x 228.④切线M A ，M B 的方程为y ＝x 12(x －x 1)＋x 214，⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得M A ，M B 的交点M (x 0，y 0)的坐标为x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝43y .因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝43y .6．(选做题)(xx·湖北恩施质检)在直角坐标平面上，O 为原点，M 为动点，|OM →|＝5，O N →＝255OM →.过点M 作MM 1⊥y 轴于点M 1，过N 作NN 1⊥x 轴于点N 1，OT →＝M 1M →＋N 1N →.记点T 的轨迹为曲线C ，点A(5，0)、B(1，0)，过点A 作直线l 交曲线C 于两个不同的点P 、Q(点Q 在A 与P 之间)．(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得|B P |＝|BQ|，并说明理由．解：(1)设点T 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x ′，y ′)，则M 1的坐标为(0，y ′)，O N →＝255OM →＝255(x ′，y ′)，于是点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫255x ′，255y ′，N 1的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫255x ′，0， 所以M 1M →＝(x ′，0)，N 1N →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，255y ′.由OT →＝M 1M →＋N 1N →，有(x ，y )＝(x ′，0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0，255y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝255y ′.由此得x ′＝x ，y ′＝52y . 由|OM →|＝5，得x ′2＋y ′2＝5，所以x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52y 2＝5，得x 25＋y 24＝1，即所求的方程表示的曲线C 是椭圆．(2)点A(5，0)在曲线C 即椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆C 无交点，所以直线l 的斜率存在，并设为k ，直线l 的方程为y ＝k (x －5)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝k （x －5），得(5k 2＋4)x 2－50k 2x ＋125k 2－20＝0.依题意知Δ＝20(16－80k 2)>0， 得－55<k <55.当－55<k <55时，设交点P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，P Q 的中点为R(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝50k 25k 2＋4，x 0＝x 1＋x 22＝25k25k 2＋4.∴y 0＝k (x 0－5)＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫25k 25k 2＋4－5＝－20k5k 2＋4.又|B P |＝|BQ|⇔BR ⊥l ⇔k ·k BR ＝－1，k ·k BR ＝k ·20k 5k 2＋41－25k 25k 2＋4＝20k 24－20k 2＝－1⇔20k 2＝20k 2－4，而20k 2＝20k 2－4不成立，所以不存在直线l ，使得|B P |＝|BQ|.27520 6B80 殀]34833 8811 蠑32601 7F59 罙524033 5DE1 巡33047 8117 脗37428 9234 鈴23948 5D8C 嶌#29837 748D 璍 29475 7323 猣。

(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．若直线a与b是异面直线，b与c也是异面直线，则直线a与c( )A．平行B．异面C．相交D．都有可能解析：可借助于正方体模型加以说明，a与c可能相交、平行或异面，故选D.答案：D2．(2020·宁波模拟)已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中假命题是( ) A．若α∥β，l⊂α，则l∥βB．若α∥β，l⊥α，则l⊥βC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β解析：对于选项C，直线l与m可能构成异面直线，故选C.答案：C3．(2020·湖北高考)用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是( )A．①②B．②③C．①④D．③④解析：由平行公理4知①正确；由直线与平面垂直的性质定理可知④正确；结合正方体模型知②、③错误，故选C.答案：C4．(2020·龙岩模拟)设α、β是两个不同的平面，l、m是两条不重合的直线，下列命题中正确的是( )A．若l∥α，α∩β＝m，则l∥mB．若l∥m，m⊂α，则l∥αC．若l∥α，m∥β，且α∥β，则l∥mD．若l⊥α，m⊥β且α⊥β，则l⊥m解析：若m⊥β，α⊥β，则m⊂α或m∥α，又l⊥α.所以l⊥m，D正确．答案：D5．正四棱锥S－ABCD的侧棱长为2，底面边长为3，E为SA的中点，则异面直线BE和SC所成的角为( )A．30° B．45°C．60° D．90°解析：设AC中点为O，则OE∥SC，连接BO，则∠BEO(或其补角)即为异面直线BE和SC 所成的角，EO＝12SC＝22，BO＝12BD＝62，△SAB中，cos A＝12ABSA＝322＝64＝AB2＋AE2－BE22AB·AE，∴BE＝ 2.△BEO中，cos∠BEO＝12，∴∠BEO＝60°.答案：C6．(2020·汕头模拟)平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是直线m1和直线n1，给出下列四个命题：①m1⊥n1⇒m⊥n；②m⊥n⇒m1⊥n1；③m1与n1相交⇒m 与n相交或重合；④m1与n1平行⇒m与n平行或重合．其中不正确的命题个数是( ) A．1 B．2C．3 D．4解析：如图，在正方体中，AD1，AB1，B1C在底面上的射影分别是A1D1，A1B1，B1C1.由A1D1⊥A1B1，而AD1不垂直AB1，故①不正确；又因为AD1⊥B1C，而A1D1∥B1C1，故②也不正确；若m1与n1相交，则m与n还可以异面，③不正确；若m1与n1平行，m与n可以异面，④不正确．答案：D二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有________．解析：①中两直线相交确定平面，则第三条直线在这个平面内．②中可能有直线和平面平行．③中直线最多可确定3个平面．④同①.答案：①④8．(2020·临沂模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．解析：由已知：①错．因为AM与CC1为异面直线；②错，因为若AM∥BN，则取DD1中点G，连结AG，由AG∥BN可得：AM∥AG，这与AM与AG相交矛盾．③、④正确．答案：③④9．在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝BC，则直线PC与AB所成角的大小是 ________.解析：分别取PA，AC，CB的中点F，D，E，连接FD，DE，EF，AE，则∠FDE是直线PC与AB所成角或其补角．设PA＝AC＝BC＝2a，在△FDE中，易求得FD＝2a，DE＝2a，FE＝6a，根据余弦定理，得cos∠FDE＝2a2＋2a2－6a22×2a×2a ＝－12，所以∠FDE＝120°.所以PC与AB所成角的大小是60°.答案：60°三、解答题10．如图所示，已知E、F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1和棱CC1的中点．试判断四边形EBFD1的形状．解：如图取BB1的中点M，连接A1M、MF.∵M、F分别是BB1、CC1的中点，∴MF綊B1C1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有A1D1綊B1C1，∴MF綊A1D1，∴四边形A1MFD1是平行四边形，∴A1M綊D1F.又E、M分别是AA1、BB1的中点，∴A1E綊BM，∴四边形A1EBM为平行四边形，∴EB綊A1M.故EB綊D1F.∴四边形EBFD 1是平行四边形．又Rt △EAB ≌Rt △FCB ，∴BE ＝BF ，故四边形EBFD 1为菱形．11．如图，已知：E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 、CC 1、C 1D 1的中点，证明：FE 、HG 、DC 三线共点．证明：连结C 1B ，由题意知HC 1綊EB ，∴四边形HC 1BE 是平行四边形，∴HE ∥C 1B .又C 1G ＝GC ＝CF ＝BF ，故GF 綊12C 1B ， ∴GF ∥HE ，且GF ≠HE ，∴HG 与EF 相交．设交点为K ，则K ∈HG ，HG ⊂面D 1C 1CD ， ∴K ∈面D 1C 1CD .∵K ∈EF ，EF ⊂面ABCD ，∴K ∈面ABCD .∵面D 1C 1CD ∩面ABCD ＝DC ，∴K ∈DC ，∴FE 、HG 、DC 三线共点．12．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 为AB 的中点．(1)求证：AC ⊥平面BDD 1.(2)求异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值；(3)求点B 到平面A 1EC 的距离．解：(1)证明：由已知有D 1D ⊥平面ABCD ，得AC ⊥D 1D ，又由ABCD 是正方形，得AC ⊥BD ，∵D 1D 与BD 相交于D ，∴AC ⊥平面BDD 1.(2)延长DC 至G ，使CG ＝EB ，连结BG 、D 1G ，∵CG 綊EB ，∴四边形EBGC 是平行四边形．∴BG ∥EC .∴∠D 1BG 就是异面直线BD 1与CE 所成的角． 在△D 1BG 中，D 1B ＝23，BG ＝5，D 1G＝22＋32＝13. ∴cos ∠D 1BG ＝D 1B 2＋BG 2－D 1G 22D 1B ·BG ＝12＋5－132×23×5＝1515， 故异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值是1515. (3)∵△A 1AE ≌△CBE ， ∴A 1E ＝CE ＝ 5. 又∵A 1C ＝23， ∴点E 到A 1C 的距离 d ＝5－3＝ 2.∴S 1A EC V ＝12A 1C ·d ＝6，S 1A EB V ＝12EB ·A 1A ＝1. 又由V B －1A EC ＝V C －1A EB ， 设点B 到平面A 1EC 的距离为h ， 则13S 1A ECV ·h ＝13S 1A EBV ·CB ， ∴6·h ＝2，h ＝63. ∴点B 到平面A 1EC 的距离为63.。