二次函数压轴题分类精选---等边三角形

中考数学复习---二次函数中三角形存在性问题压轴题练习（含答案解析）一．相似三角形的存在性1．（2022•陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y 轴的交点为C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x 轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）如图：∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OB＝OC＝4，∴△BOC是等腰直角三角形，∵△PMN和△OBC相似，∴△PMN是等腰直角三角形，∵PM⊥直线x＝1，PN⊥x轴，∴∠MPN＝90°，PM＝PN，设P（m，m2﹣m﹣4），∴|m﹣1|＝|m2﹣m﹣4|，∴m﹣1＝m2﹣m﹣4或m﹣1＝﹣m2+m+4，解得m＝+2或m＝﹣+2或m＝或m＝﹣，∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，∴P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．2．（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A（﹣1，0），∴B（3，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入抛物线的解析式，则﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．（2）存在，P（0，﹣1），理由如下：∵∠APB+∠ACB＝180°，∴∠CAP+∠CBP＝180°，∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，由（1）知，OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠APC＝∠ABC＝45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP＝OA＝1，∴P（0，﹣1）．（3）存在，理由如下：由（1）知抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∴D（1，4），由抛物线的对称性可知，E（2，3），∵A（﹣1，0），∴AD＝2，DE＝，AE＝3．∴AD2＝DE2+AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°，DE：AE＝1：3．∵点M在直线l下方的抛物线上，∴设M（t，﹣t2+2t+3），则t＞2或t＜0．∴EF＝|t﹣2|，MF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，若△MEF与△ADE相似，则EF：MF＝1：3或MF：EF＝1：3，∴|t﹣2|：（t2﹣2t）＝1：3或（t2﹣2t）：|t﹣2|＝1：3，解得t＝2（舍）或t＝3或﹣3或（舍）或﹣，∴M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．3．（2022•恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+c与y 轴交于点P（0，4）．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）如图，将抛物线y＝﹣x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．（3）直线BC与抛物线y＝﹣x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若将抛物线y＝﹣x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝﹣x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+c与y轴交于点P（0，4），∴c＝4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4；（2）△BCQ是直角三角形．理由如下：将抛物线y＝﹣x2+4向左平移1个单位长度，得新抛物线y＝﹣（x+1）2+4，∴平移后的抛物线顶点为Q（﹣1，4），令x＝0，得y＝﹣1+4＝3，∴C（0，3），令y＝0，得﹣（x+1）2+4＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0），A（1，0），如图1，连接BQ，CQ，PQ，∵P（0，4），Q（﹣1，4），∴PQ⊥y轴，PQ＝1，∵CP＝4﹣3＝1，∴PQ＝CP，∠CPQ＝90°，∴△CPQ是等腰直角三角形，∴∠PCQ＝45°，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°，∴∠BCQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△BCQ是直角三角形．（3）在x轴上存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似．∵△ABC是锐角三角形，∠ABC＝45°，∴以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，必须∠NBT＝∠ABC＝45°，即点T在y轴的右侧，设T（x，0），且x＞0，则BT＝x+3，∵B（﹣3，0），A（1，0），C（0，3），∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝3，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x+3，由，解得：，，∴M（﹣，），N（，），∴BN＝×＝，①当△NBT∽△CBA时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；②当△NBT∽△ABC时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；综上所述，点T的坐标T（，0）或（，0）．（4）抛物线y＝﹣x2+4的顶点为P（0，4），∵直线BC的解析式为y＝x+3，∴直线BC与y轴的夹角为45°，当抛物线沿着垂直直线BC的方向平移到只有1个公共点时，平移距离最小，此时向右和向下平移距离相等，设平移后的抛物线的顶点为P′（t，4﹣t），则平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣t）2+4﹣t，由﹣（x﹣t）2+4﹣t＝x+3，整理得：x2+（1﹣2t）x+t2+t﹣1＝0，∵平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点，∴Δ＝（1﹣2t）2﹣4（t2+t﹣1）＝0，解得：t＝，∴平移后的抛物线的顶点为P′（，），平移的最短距离为．二．直角三角形的存在性4．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C 坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△P AB为直角三角形，请求出点P 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）存在．理由：如图1中，设D （t ，t 2+t ﹣4），连接OD ．令y ＝0，则x 2+x ﹣4＝0，解得x ＝﹣4或2，∴A （﹣4，0），C （2，0），∵B （0，﹣4），∴OA ＝OB ＝4，∵S △ABD ＝S △AOD +S △OBD ﹣S △AOB ＝×4×（﹣﹣t +4）+×4×（﹣t ）﹣×4×4＝﹣t 2﹣4t ＝﹣（t +2）2+4，∵﹣1＜0，∴t ＝﹣2时，△ABD 的面积最大，最大值为4，此时D （﹣2，﹣4）； （3）如图2中，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，过点B 作BM ⊥抛物线的对称轴于点M ．则N （﹣1.0）．M （﹣1，﹣4）；∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，∴AN＝NP1＝3，∴P1（﹣1，3），当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），∴PJ＝AB＝2，∴12+（n+2）2＝（2）2，解得n＝﹣2或﹣﹣2，∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．5．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC 于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣3x+4；（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+4，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），∴DH＝﹣n2﹣4n，∵DH∥OC，∴＝＝，∵OC＝4，∴DH＝3，∴﹣n2﹣4n＝3，解得n＝﹣1或n＝﹣3，∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝90°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，∵∠DOF＝45°，∴DF＝DO，∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，∴∠NDO＝∠MFD，∴△MDF≌△NOD（AAS），∴DM＝ON，MF＝DN，∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，∴D点纵坐标为2，∴﹣x2﹣3x+4＝2，解得x＝或x＝，∴D点坐标为（，2）或（，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，∴∠LFO＝∠KDF，∵DF＝FO，∴△KDF≌△LFO（AAS），∴KD＝FL，KF＝LO，∴KL＝t+4﹣t＝4，∴D点纵坐标为4，∴﹣x2﹣3x+4＝4，解得x＝0或x＝﹣3，∴D（0，4）或（﹣3，4）；综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．三．等腰三角形的存在性6．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入得：，解得，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）证明：∵正方形OBDC，∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，∵BF＝BF，∴△BOF≌△BDF，∴∠BOF＝∠BDF；（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴E（2，3），①如图，当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，∴∠FDM为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴DF＝DM，∴∠M＝∠DFM，∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，∵BM∥OC，∴∠M＝∠MOC，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，∴∠M＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；②如图，当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴MF＝DM，∴∠BDF＝∠MFD，∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BMO＝2∠BOM，∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，∴∠BOM＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．7．（2022•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P 运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），设直线BC解析式为y＝kx+4，将B（8，0）代入得：8k+4＝0，解得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4；（2）过C作CG⊥PD于G，如图：设P（m，﹣m2+m+4），∴PD＝﹣m2+m+4，∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°，∴四边形CODG是矩形，∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，∴PG＝PD﹣DG＝﹣m2+m+4﹣4＝﹣m2+m，∵CP＝CE，CG⊥PD，∴GE＝PG＝﹣m2+m，∵∠GCE＝∠OBC，∠CGE＝90°＝∠BOC，∴△CGE∽△BOC，∴＝，即＝，解得m＝0（舍去）或m＝4，∴P（4，6）；（3）存在点P，使得CE＝FD，理由如下：过C作CH⊥PD于H，如图：设P（m，﹣m2+m+4），由A（﹣2，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝2x+4，根据PF∥AC，设直线PF解析式为y＝2x+b，将P（m，﹣m2+m+4）代入得：﹣m2+m+4＝2m+b，∴b＝﹣m2﹣m+4，∴直线PF解析式为y＝2x﹣m2﹣m+4，令x＝0得y＝﹣m2﹣m+4，∴F（0，﹣m2﹣m+4），∴OF＝|﹣m2﹣m+4|，同（2）可得四边形CODH是矩形，∴CH＝OD，∵CE＝FD，∴Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），∴∠HCE＝∠FDO，∵∠HCE＝∠CBO，∴∠FDO＝∠CBO，∴tan∠FDO＝tan∠CBO，∴＝，即＝，∴﹣m2﹣m+4＝m或﹣m2﹣m+4＝﹣m，解得m＝2﹣2或m＝﹣2﹣2或m＝4或m＝﹣4，∵P在第一象限，∴m＝2﹣2或m＝4．8．（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CB交对称轴于点Q，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A、B关于对称轴x＝1对称，∴AQ＝BQ，∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，∵C（0，﹣3），B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）；（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，∴M点与A点重合，∴M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH 交于H，过点M作MG⊥HG交于G，∵∠PBM＝90°，∴∠PBH+∠MBG＝90°，∵∠PBH+∠BPH＝90°，∴∠MBG＝∠BPH，∵BP＝BM，∴△BPH≌△MBG（AAS），∴BH＝MG，PH＝BG＝2，设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），∵M点在对称轴的左侧，∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；如图2，当P点在M点下方时，同理可得M（3+t，2），∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，∴M（1﹣，2）；综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．9．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE 内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S△OPE ＝S△OPG+S△EPG＝PG•AE＝×3×（﹣m2+5m﹣3）＝﹣（m2﹣5m+3）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，△OPE面积最大，此时，P点坐标为（，﹣）；（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则E（3，3），∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝（舍）或，∴P的坐标为（，）；②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1＝（舍）或m2＝，∴P的坐标为（，）；③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1＝或m2＝（舍）；P的坐标为（，）；④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m＝或（舍），P的坐标为：（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．方法二：作直线DE：y＝x﹣2，E（1，﹣1）是D点（2，0）绕O点顺时针旋转45°并且OD缩小倍得到，易知直线DE即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转45°，且到O点距离缩小倍的轨迹，联立直线DE和抛物线解析式得x2﹣4x+3＝x﹣2，解得x1＝，x2＝，同理可得x3＝或x4＝；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．10．（2023•澄城县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C（0，3），直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在对称轴l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）、点C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得．解得．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．则该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．故设M（1，m）．∵A（﹣1，0）、点C（0，3），∴AC2＝10，AM2＝4+m2，CM2＝1+（m﹣3）2．①若AC＝AM时，10＝4+m2，解得m＝±．∴点M的坐标为（1，）或（1，﹣）；②若AC＝CM时，10＝1+（m﹣3）2，解得m＝0或m＝6，∴点M的坐标为（1，0）或（1，6）．当点M的坐标为（1，6）时，点A、C、M共线，∴点M的坐标为（1，0）；③当AM＝CM时，4+m2＝1+（m﹣3）2，解得m＝1，∴点M的坐标为（1，1）．综上所述，符合条件的点M的坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，0）或（1，1）．11．（2023•碑林区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，∴a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+2；（2）∵BM＝5﹣2t，∴M（2t﹣1，0），设P（2t﹣1，m），∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，∵PB＝PC，∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，∴m＝4t﹣5，∴P（2t﹣1，4t﹣5），∵PC⊥PB，∴×＝﹣1，∴t＝1或t＝2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）．12．（2023•东洲区模拟）抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴正半轴交于点C．（1）求此抛物线解析式；（2）如图①，连接BC，点P为抛物线第一象限上一点，设点P的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S最大时P点坐标；（3）如图②，连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，设BC直线解析式为：y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴y＝﹣x+3，由题意可知P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），S＝S△PBE+S△PCE，S＝PE•OB＝（﹣m2+2m+3+m﹣3）×3，，∵，∴当时，S有最大值，此时P点坐标为；（3）存在，M1（1，0），，，M4（1，1），①当AC＝AM时，如图，设对称轴l与AB交于点E，则，∵AM2＝AE2+EM2，∴，解得：，∴M点的坐标为或，②当AC＝MC时，则OC为AM的垂直平分线．因此M与E重合，因此，M点的坐标为（1，0），③当AM＝CM时，如图，设M点的坐标为（1，n），则AM2＝22+n2＝4+n2，CM2＝12+（3﹣n）2，∴4+n2＝12+（3﹣n）2，解得：n＝1，∴M点的坐标为（1，1），综上可知，潢足条件的M点共四个，其坐标为M1（1，0），，，M4（1，1）．13．（2023•三亚一模）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC 与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）求四边形ABDC的面积；（3）P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC ＝S△ABC时，求点P的坐标；（4）在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）过点A（﹣2，0）和C（0，8），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+8．令y＝0，得．解得x1＝﹣2，x2＝8．∴点B的坐标为（8，0）．设直线BC的解析式为y＝kx+b．把点B（8，0），C（0，8）分别代入y＝kx+b，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8．（2）如图1，设抛物线的对称轴l与x轴交于点H．∵抛物线的解析式为，∴顶点D的坐标为．∴S四边形ABDC ＝S△AOC+S梯形OCDH+S△BDH＝＝＝70．（3）∵．∴．如图2，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F．设点．∵点F在直线BC上，∴F（t，﹣t+8）．∴．∴．∴．解得t1＝2，t2＝6．∴点P的坐标为（2，12）或P（6，8）．（4）存在．∵△BEM为等腰三角形，∴BM＝EM或BE＝BM或BE＝EM，设M（3，m），∵B（8，0），E（3，5），∴BE＝＝5，EM＝|m﹣5|，BM＝＝，当BM＝EM时，＝|m﹣5|，∴m2+25＝（m﹣5）2，解得：m＝0，∴M（3，0）；当BE＝BM时，5＝，∴m2+25＝50，解得：m＝﹣5或m＝5（舍去），∴M（3，﹣5）；当BE＝EM时，5＝|m﹣5|，解得：m＝5+5或m＝5﹣5，∴M（3，5+5）或（3，5﹣5），综上所述，点M的坐标为（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，5﹣5）．14．（2023•南海区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a ＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC 于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）中，得，解得，∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，故抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）当x＝0时，y＝3，∴C（0，﹣3），∵B（3，0），∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PN∥y轴，∴∠MNP＝45°，∵PM⊥BC，∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大，设BC的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴BC解析式为y＝x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，x﹣3），∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝，∴P（，），故PM最大值为，P点坐标为（，﹣）；（3）存在，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．∵CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，∵∠CEQ＝90°，∴∠QEM+∠CEN＝90°，∵∠QEM+∠MQE＝90°，∴∠EQM＝∠CEN，∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，∴△EMQ≌△CNE（AAS），∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，∴|x Q|+MQ＝CN，﹣x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝﹣2，x＝3（舍去），∴OE＝CM＝2+3＝5，E（﹣5，0），②如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），③如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0），④如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），综上所述，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）41。

中考数学总复习《二次函数与三角形综合压轴综合题》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC ，边BC =120mm ，高AD =80mm ，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，设EG =xmm ，EF =ymm ．（1）写出x 与y 的关系式；（2）用S 表示矩形EGHF 的面积，某同学说当矩形EGHF 为正方形时S 最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S 的最大值．2．如图，在直角坐标系中有Rt AOB ，O 为坐标原点，()03A ，和()10B -，，将此三角形绕原点O 顺时针旋转90︒，得到Rt COD ，二次函数2y ax bx c =++的图象刚好经过A ，B ，C 三点.（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（2）过定点Q 的直线3l y kx k =-+：与二次函数图象相交于M ，N 两点.①若2PMN S =，求k 的值；②证明：无论k 为何值，PMN 恒为直角三角形.3．如图，在直角坐标系中有Rt AOB ，O 为坐标原点，()03A ，和()10B -，，将此三角形绕原点O 顺时针旋转90︒，得到Rt COD ，二次函数2y ax bx c =++的图象刚好经过A ，B ，C 三点.（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（2）过定点Q 的直线3l y kx k =-+：与二次函数图象相交于M ，N 两点.①若2PMN S =，求k 的值；②证明：无论k 为何值，PMN 恒为直角三角形；③当直线l 绕着定点Q 旋转时，PMN 外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式.4．如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB ＝5，AD ＝4．在进行如下操作时遇到了下列几个问题，请你帮助解决．（1）如图2，将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时EF恰好经过点A，请证明：△ADE△△FGE；（2）如图3，在（1）的条件下，小明先将△EFG的边EG和矩形的边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式．（3）如图，在（1）的条件下，小明把该图形放在直角坐标系中，使B（G）为坐标原点BC为x 轴，在x轴和y上分别找P，Q两点使△DPQ与△ABF相似，直接写出P点的坐标。

中考数学中二次函数压轴题分类总结[超经典.无重复][附答案](总11页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-中考数学专题训练 二次函数压轴题一、抛物线关于三角形面积问题例题 二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1，4-).（1）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=45,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.练习：1. 如图．平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（－2，2），点B 的坐标为（6，6），抛物线经过A 、O 、B 三点，线段AB 交y 轴与点E ． （1）求点E 的坐标；（2）求抛物线的函数解析式； （3）点F 为线段OB 上的一个动点（不与O 、B 重合），直线EF 与抛物线交与M 、N 两点（点N 在y 轴右侧），连结ON 、BN ，当点F 在线段OB 上运动时，求∆BON 的面积的最大值，并求出此时点N 的坐标；2. 如图，已知抛物线4212++-=x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式；（2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ．若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值．二、抛物线中线段长度最小问题例题 如图，对称轴为直线x ＝－1的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（－3，0）． （1）求点B 的坐标；（2）已知a =1，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且S △POC ＝4S △BOC ，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴，QD 交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值． OABP EQ FxyEN MDCBAOyx练习：1. 如图， Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线223y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线52x =上． （1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．三、抛物线与线段和最小的问题例题 如图，已知抛物线()()()120y x x a a a=-+>与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线过点M （﹣2，﹣2），求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；①求出△BCE 的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H ，使CH+EH 的值最小，直接写出点H 的坐标．练习：1. 如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A （-1， 0）和点B （0，-5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得△ABP（3）在（2）的条件下，在x 轴上找一点M ，使得△APM 条件的点M 的坐标．2. 如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出H 的坐标；（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，△EFK 的面积最大？并求出最大面积．四、抛物线与等腰三角形例题：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习：1. .如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线12 x=-（1）求抛物线的解析式；（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．2. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B 三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．3. 如图，已知抛物线于x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）. （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三角形，若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由：（3）若点M 是抛物线上一点，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标。

二次函数中考压轴题（三角形与存在性问题）解析精选【例1】. 已知：如图一，抛物线c bx ax y 2++=与x 轴正半轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线2x y -=经过A 、C 两点，且AB=2. （1）求抛物线的解析式；（2）若直线DE 平行于x 轴并从C 点开始以每秒1个单位的速度沿y 轴正方向平移，且分别交y 轴、线 段BC 于点E 、D ，同时动点P 从点B 出发，沿BO 方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；当点P 运动到原点O 时，直线DE 与点P 都停止运动，连DP ，若点P 运动时间为t 秒 ；设OPED OPED s ⋅+=，当t 为何值时，s 有最小值，并求出最小值。

（3）在（2）的条件下，是否存在t 的值，使以P 、B 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似；若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由。

【答案】解：（1）在y x 2=-中，由x=0得y=－2，∴C （0，－2）。

由 y=0得 x=2，∴A （2，0）。

∵AB=2，∴B （4，0）。

∴可设抛物线的解析式为()()y a x 2x 4=--，代入点C （0，－2）得1a 4=-。

∴抛物线的解析式为()()2113y x 2x 4x x 2442=---=-+-。

（2）由题意：CE=t ，PB=2t ，OP=4－2t 。

∵ED ∥BA ，∴△CED ∽△COB 。

∴ED CE OB CO =，即ED t42=。

∴ED=2t 。

∴()()()222t+42t ED OP 41s ===ED OP 2t 42t 4t +8t t 1+1-+=⋅⋅----。

∴当t=1时，()2t 1+1--有最大值1。

∴当t=1时，ED OPs ED OP+=⋅的值最小，最小值是1。

（3）存在。

设BC 所在直线的解析式为y=kx+b ，由B （4，0），C （0，－2）得4k+b=0b=2⎧⎨-⎩，解得1k=2b=2⎧⎪⎨⎪-⎩，∴C 所在直线的解析式为1y=x 22-。

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（相似三角形问题）1．如图，二次函数216y x bx c =++的图象交坐标轴于点()4,0A ，()0,2B -，点P 为x 轴上一动点．(1)求二次函数216y x bx c =++的表达式； (2)将线段PB 绕点P 逆时针旋转90︒得到线段PD ，若D 恰好在抛物线上，求点D 的坐标； (3)过点P 作PQ x ⊥轴分别交直线AB ，抛物线于点Q ，C ，连接AC ．若以点B 、Q 、C 为顶点的三角形与APQ △相似，直接写出点P 的坐标． 2．抛物线25y ax bx =++经过点1,0A 和点()5,0B ．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线25y x =+相交于C 、D 两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM y ∥轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N ．①连结PC PD 、，如图1，在点P 运动过程中，PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；①连结PB ，过点C 作CQ PM ⊥，垂足为点Q ，如图2，是否存在点P ，使得CNQ 与PBM 相似？若存在，直接写出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．3．已知抛物线24y ax ax b =-+与x 轴交于A ，B 两点，（A 在B 的左侧），与y 轴交于C ，若OB OC =，且03C （，）．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且APD ACB ∠=∠，求点P 的坐标； (3)在抛物线上是否存在一点M ，过M 作MN x ⊥轴于N ，以A 、M 、N 为顶点的三角形与AOC ∆相似，若存在，求出所有符合条件的M 点坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图．在平面直角坐标系中．抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．点A 的坐标为()1,0-，点C 的坐标为()0,2-．已知点(),0E m 是线段AB 上的动点（点E 不与点A ，B 重合）．过点E 作PE x ⊥轴交抛物线于点P ，交BC 于点F ．(1)求该抛物线的表达式；(2)若:1:2EF PF =，请求出m 的值；(3)是否存在这样的m ，使得BEP △与ABC 相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由；(4)当点E 运动到抛物线对称轴上时，点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上的动点，在运动过程中，是否存在以C 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点M 的坐标．5．如图，二次函数212y x bx c =-++图像交x 轴于点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点(0,3)C ，CD y ⊥轴，交抛物线于另一点D ，且5CD =，P 为抛物线上一点，PE y轴，与x 轴交于E ，与BC ，CD 分别交于点F ，G ．(1)求二次函数解析式；(2)当P 在CD 上方时，是否存在点P ，使得以C ，P ，G 为顶点的三角形与FBE 相似，若存在，求出CPG △与FBE 的相似比，若不存在，说明理由．(3)点D 关于直线PC 的对称点为D ，当点D 落在抛物线的对称轴上时，此时点P 的坐标为________．6．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，已知A ，B 两点坐标分别是(1,0)A ，(4,0)B -，连接,AC BC ．(1)求抛物线的表达式；(2)将ABC ∆沿BC 所在直线折叠，得到DBC ∆，点A 的对应点D 是否落在抛物线的对称轴上？若点D 在对称轴上，请求出点D 的坐标；若点D 不在对称轴上，请说明理由；(3)若点P 是抛物线位于第二象限图象上的一动点，连接AP 交BC 于点Q ，连接BP ，BPQ ∆的面积记为1S ，ABQ ∆的面积记为2S ，求12S S 的值最大时点P 的坐标． 7．已知，二次函数23y ax bx =+-的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于C 点，点A 的坐标为()1,0-，且OB OC =．(1)求二次函数的解析式；(2)当04x ≤≤时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？(3)设点C '与点C 关于该抛物线的对称轴对称．在y 轴上是否存在点P ，使PCC '△与POB 相似，且PC 与PO 是对应边？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知菱形OABC 的边长为5，且点(34)A ，，点E 是线段BC 的中点，过点A ，E 的抛物线2y ax bx c =++与边AB 交于点D ，(1)求点E 的坐标；(2)连接DE ，将BDE △沿着DE 翻折痕．①当B 点的对应点B '恰好落在线段AC 上时，求点D 的坐标；①连接OB ，BB '，若BB D '△与BOC 相似，请直接写出此时抛物线二次项系数=a ______． 9．如图，抛物线22(0)y ax x c a =-+≠与x 轴交于A 、()3,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C -，抛物线的顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点M 是x 轴上的动点，过点M 作x 轴的垂线交抛物线于点G ，是否存在这样的点M ，使得以点A 、M 、G 为顶点的三角形与BCD △相似，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在直线BC 下方抛物线上一点P ，作PQ 垂直BC 于点Q ，连接CP ，当CPQ 中有一个角等于ACO ∠时，求点P 的坐标．10．如图，抛物线顶点D 在x 轴上，且经过(0,3)-和(4,3)-两点，抛物线与直线l 交于A 、B 两点．(1)直接写出抛物线解析式和D 点坐标；(2)如图1，若()03A ，-，且 94ABDS ＝，求直线l 解析式； (3)如图2，若90ADB ∠=︒，求证：直线l 经过定点，并求出定点坐标．11．如图1，已知抛物线2=23y x x --与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 是线段BC 下方抛物线上一动点，过点P 作∥PE BC ，交x 轴于点E ，连接OP 交BC 于点F ．(1)直接写出点A ，B ，C 的坐标以及抛物线的对称轴； (2)当点P 在线段BC 下方抛物线上运动时，求BFPE取到最小值时点P 的坐标； (3)当点P 在y 轴右边抛物线上运动时，过点P 作PE 的垂线交抛物线对称轴于点G ，是否存在点P ，使以P 、E 、G 为顶点的三角形与①AOC 相似？若存在，来出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线212ax ax b =-+y 经过()1,0A -，32,2C ⎛⎫⎪⎝⎭两点，与x 轴交于另一点B ．(1)求此抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为M ，点P 为线段OB 上一动点(不与点B 重合)，点Q 在线段MB 上移动，且2PM MQ MB =⋅，设线段OP x =，2MQ y =，求2y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；并直接写出PM APPQ BQ-的值；(3)在同一平面直角坐标系中，两条直线x m =，x n =分别与抛物线交于点E ，G ，与（2）中的函数图象交于点F ，.H 问四边形EFHG 能否为平行四边形？若能，求m ，n 之间的数量关系；若不能，请说明理由．13．已知抛物线213222y x x =-++交x 轴于A 、B 两点，A 在B 的左边，交y 轴于点C ．(1)求抛物线顶点的坐标；(2)如图1，若10,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，P 在抛物线上且在直线AE 上方，PQ AE ⊥于O ，求PQ 的最大值；(3)如图2，点(),3D a （32a <）在抛物线上，过A 作直线交抛物线于第四象限另一点F ，点M 在x 轴上，以M 、B 、D 为顶角的三角形与AFB △相似，求点M 的坐标． 14．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A 、()3,0B ，与y 轴交于点C ，联结AC 、BC ．(1)求该抛物线的表达式及顶点D 的坐标；(2)如果点P 在抛物线上，CB 平分ACP ∠，求点P 的坐标：(3)如果点Q 在抛物线的对称轴上，DBQ 与ABC 相似．求点Q 的坐标．15．如图，抛物线23y ax x c =-+与x 轴交于(4,0)A -，B 两点，与y 轴交于点(0,4)C ，点D 为x 轴上方抛物线上的动点，射线OD 交直线AC 于点E ，将射线OD 绕点O 逆时针旋转45︒得到射线OP ，OP 交直线AC 于点F ，连接DF ．(1)求抛物线的解析式； (2)当点D 在第二象限且34DE EO =时，求点D 的坐标； (3)当ODF △为直角三角形时，请直接写出点D 的坐标．16．如图①，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，3），顶点为D （4，-1），对称轴与直线BC 交于点E ，与x 轴交于点F ．(1)求二次函数的解析式；(2)点M 在第一象限抛物线的对称轴上，若点C 在BM 的垂直平分线上，求点M 的坐标； (3)如图①，过点E 作对称轴的垂线在对称轴的右侧与抛物线交于点H ，x 轴上方的对称轴上是否存在一点P ，使以E ，H ，P 为顶点的三角形与EFB △相似，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax x c =++经过()2,0A -，()0,4B 两点，直线3x =与x 轴交于点C ．(1)求a ，c 的值；(2)经过点O 的直线分别与线段AB ，直线3x =交于点D ，E ，且BDO △与OCE △的面积相等，求直线DE 的解析式；(3)P 是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC 和直线3x =上是否分别存在点F ，G ，使B ，F ，G ，P 为顶点的四边形是以BF 为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图1，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ，B （点A 在点B 左侧），与y 轴负半轴交于C ，且满足2OA OB OC ===．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，D 为y 轴负半轴上一点，过D 作直线l 垂直于直线BC ，直线l 交抛物线于E ，F 两点（点E 在点F 右侧），若3DF DE =，求D 点坐标； (3)如图3，点M 为抛物线第二象限部分上一点，点M ，N 关于y 轴对称，连接MB ，P 为线段MB 上一点（不与M 、B 重合），过P 点作直线x t =（t 为常数）交x 轴于S ，交直线NB 于Q ，求QS PS -的值（用含t 的代数式表示）．参考答案：1．(1)211266y x x =-- (2)()3,1D -或()8,10D -(3)点P 的坐标为()011-，或()10，．2．(1)265y x x =-+ (2)37,24⎛⎫- ⎪⎝⎭或()3,4-3．(1)243y x x =-+ (2)()2,2P 或()2,2-(3)存在符合条件的M 点，且坐标为：110(3M ，7)9-，()26,15M ，38(3M ，5)9-4．(1)213222y x x =--； (2)2m =；(3)存在，m 的值为0或3；(4)存在，M 点的坐标为()7,0或()1,0M 或⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭．5．(1)215322y x x =-++；(2)存在点P ，使得以C ，P ，G 为顶点的三角形与FBE 相似，CPG △与FBE 的相似比为2或25；(3)P 点横坐标55．6．(1)213222y x x =--+(2)点D 不在抛物线的对称轴上， (3)(2,3)-7．(1)2=23y x x --(2)函数的最大值为5，最小值为4- (3)存在，(0,9)P -或9(0,)5P -8．(1)13(2)2E ， (2)①11(4)2D ，或23(4)6D ，；①47-9．(1)2=23y x x --(2)()0,0，()6,0，8,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,03⎛⎫⎪⎝⎭(3)57,24⎛⎫- ⎪⎝⎭或者315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭10．(1)()2324y x =--，()2,0D (2)334y x =-或1534y x =- (3)证明见解析，定点坐标为423⎛⎫- ⎪⎝⎭，11．(1)A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3），对称轴为直线x ＝1(2)当t ＝32时，BF PE 最小，最小值为47，此时P （32，﹣154）．(3)存在，点P 的坐标为（2，﹣3）12．(1)211322y x x =-++(2)22150322y x x x =-+≤<（），PM AP PQ BQ -的值为0 (3)m 、n 之间的数量关系是2(1)m n m +=≠13．(1)（32，258）答案第3页，共3页(3)（2，0）或（-5，0）或13,07⎛⎫ ⎪⎝⎭或2205⎛⎫- ⎪⎝⎭，14．(1)2=+43y x x --，(21)D ， (2)111639⎛⎫ ⎪⎝⎭，- (3)(2，−2)或12,3⎛⎫ ⎪⎝⎭15．(1)234y x x =--+(2)(1,6)D -或(3,4)D -(3)(3,4)-或(0,4)或2⎫⎪⎪⎝⎭或2⎫⎪⎪⎝⎭16．(1)21234y x x =-+(2)(4,3(3)存在P 1)或(4,1)，使以E ，H ，P 为顶点的三角形与EFB △相似，17．(1)12a =-，4c = (2)23y x =- (3)存在这样的点F ，点F 的坐标为(2,0)或18．(1)2122y x =- (2)()0,1D -或190,8D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， (3)24QS PS t -=-+。

例题示范先填写思路分析；再对比过程示范例1：如图，已知直线y =kx -6与抛物线y =ax 2+bx +c 相交于A ，B 两点，与y 轴交于点D ，且点A (1，-4)为抛物线的顶点，点B 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线对称轴与x 轴交于点E ，F 是y 轴上一动点，在y 轴右侧的抛物线上是否存在一点P ，使△POE 与△POF 全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第一问：研究背景图形【思路分析】①将A (1，-4)代入y =kx -6，可以求出k =___，直线解析式为________；再由直线解析式可知点B _____．已知抛物线顶点A (1，-4)，设顶点式_____________，又因为点B 也在抛物线上，所以可求得抛物线解析式__________________．②研究抛物线解析式，可知点C (，)，研究直线解析式可知D (，)．（注意有无特殊角）【过程示范】解：（1）将A (1，-4)代入y =kx -6，得k =2∴y =2x -6令y =0，解得，x =3∴B (3，0)由点A (1，-4)是抛物线的顶点，设y =a (x -1)2-4，二次函数压轴题之全等三角形的存在性（习题）把B(3，0)代入，解得，a=1∴y=(x-1)2-4=x2-2x-3第二问：全等三角形的存在性【思路分析】①分析不变特征：先研究定点、动点，其中_________为定点，动点为_______________；进一步在两个三角形中进行研究，发现定线段_____，所以两个三角形都不确定．②考虑形成因素，画图，求解：三角形形状不明确，则考虑两个三角形的对应关系：注意到△POE与△POF有公共边，则OP和OP应该是一组_______，则OE要么和_____对应，要么和______对应．I当OE与OF对应，此时根据OE=OF=___，能找到合适的___个点F的位置，分别记为F1，F2（x轴上方为F1）．①考虑E，F1，O，P四点组成的△OPE和△OPF1，此时，这两个三角形满足：OE=OF1，OP=OP，要想全等，只需满足这两组对应边的夹角相等即可．可确定OP为∠EOF1的________．②考虑E，F2，O，P四点组成的△OPE和△OPF2，此时，这两个三角形满足：OE=OF2，OP=OP，要想全等，只需满足这两组对应边的夹角相等即可．则确定OP为∠EOF2的________．II当OE与PF对应，此时，这两个三角形满足：OE=PF，OP=OP，考虑两种情况：①当OE，PF在OP的异侧时，要想全等，只需满足这两组对应边的夹角相等即可．若这两个角相等，说明___∥___，则此时四边形OEPF为__________，借助其特征，可求出点P．②当OE，PF在OP的同侧时，要想全等，需满足两组对应边的夹角相等即可，此时可进一步分析可得四边形OEFP为等腰梯形，结合点P的范围，在y轴右侧的抛物线上，此种情况不存在符合题意的点P．③结果验证：考虑点P还要在y轴右侧的抛物线上，将点P 代入抛物线解析式验证．【过程示范】I 当△POE ≌△POF 时，OE =OF =1∴F 1(0，1)，F 2(0，-1)①当OF 1=OE 时，此时∠F 1OP =∠EOP ，则l OP ：y =x∴223y x y x x =⎧⎨=--⎩则32123212x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩或32123212x y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩（舍）∴P 1(3212+，3212+)②当OF 2=OE 时，此时∠F 2OP =∠EOP ，则l OP ：y =-x∴223y x y x x =-⎧⎨=--⎩则11321132x y ⎧+=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩或11321132x y ⎧-=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩（舍）∴P 2(1132+，1132--)II 当△POE ≌△OPF 时，当OE ，PF 在OP 的异侧时，分析可得四边形OEPF 为平行四边形（矩形），此时，P 与A 重合，P 3(1，-4)．当OE ，PF 在OP 的同侧时，分析可得四边形OEFP 为等腰梯形，此时不存在符合题意的点P ．综上，点P 的坐标为(3212+，3212+)，(1132+，1132--)，(1，-4)．巩固练习1.已知抛物线23632y x bx =++经过点A (2，0)，顶点为P ，与x 轴的另一交点为B ．（1）求b 的值及点P ，点B 的坐标．（2）如图，在直线3y x =上是否存在点D ，使四边形OPBD 为平行四边形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，使△AMP ≌△AMB ？如果存在，请求出点M 的坐标；如果不存在，试说明理由．2.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-6，0)，B(2，0)和C(0，3)，点D是该抛物线的顶点，AC，OD相交于点M．（1）求点D的坐标．（2）在x轴下方的平面内是否存在点N，使△DBN与△ADM 全等？若存在，请求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．63.已知抛物线212y x bx c =-++过点(-6，-2)，与y 轴交于点C ，且对称轴与x 轴交于点B (-2，0)，顶点为A ．（1）求该抛物线的解析式和点A 的坐标．（2）若点M 是第二象限内该抛物线上的一个动点，经过点M 的直线MN 与y 轴交于点N ，是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△OMB 全等？若存在，请求出直线MN 的解析式；若不存在，请说明理由．思考小结回顾全等三角形存在性问题的处理流程：分析不变特征：从顶点入手，分析定点、动点，在两个三角形中逐层分析确定的角、边长，把公共边作为对应边．分析形成因素：根据分析得到的不变特征，结合两个三角形全等的判定，同时考虑两个三角形出现的对应关系，综合在一起分析．画图求解：根据上面的分析，画出符合题意的图形，结合图形特征，设计方案．结果验证：回归点的运动范围进行验证；估算数值，结合图形进行验证．【参考答案】例题示范第一问思路分析：①2；y =2x -6；(3，0)；y =a (x -1)2-4；y =x 2-2x -3②(0，-3)；(0，-6)第二问思路分析：①O ，E ；P ，F ；OE②对应边；OF ；PFI 1；两；①角平分线；②角平分线；II OE ；PF ；矩形巩固练习1.（1）43b =-，(423)P -，，B (6，0)；（2）存在，(223)D ，，理由略．（3）存在，16103()39M -，，理由略．2.（1）D (-2，4)；（2）存在，24()55N -，，理由略．3.（1）21242y x x =--+，A (-2，6)；（2）存在，122y x =-+或y =6，理由略．。

26．（12分）（2015•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ⊥x轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形（1）求该抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）求证：CE=EF；（4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使△CQM与△CPE全等？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．[注：3+2=（+1）2]．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据抛物线的顶点是（2，1），因而设抛物线的表达式为y=a（x﹣2）2+1，把A的坐标代入即可求得函数的解析式；（2）根据△PCQ为等边三角形，则△CGQ中，∠CQD=30°，CG的长度可以求得，利用直角三角形的性质，即可求得CQ，即等边△CQP的边长，则P的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得P的坐标；（3）解方程组即可求得E的坐标，则EF的长等于E的纵坐标，OE的长度，利用勾股定理可以求得，同理，OC的长度可以求得，则CE的长度即可求解；（4）可以利用反证法，假设x轴上存在一点，使△CQM≌△CPE，可以证得EM=EF，即M与F重合，与点E为直线y=x上的点，∠CEF=45°即点M与点F不重合相矛盾，故M不存在．解答：解：（1）设抛物线的表达式为y=a（x﹣2）2+1，将点A（0，2）代入，得a（0﹣2）2+1=2，解这个方程，得a=，∴抛物线的表达式为y=（x﹣2）2+1=x2﹣x+2；（2）将x=2代入y=x，得y=2∴点C的坐标为（2，2）即CG=2，∵△PCQ为等边三角形∴∠CQP=60°，CQ=PQ，∵PQ⊥x轴，∴∠CQG=30°，∴CQ=4，GQ=2．∴OQ=2+2，PQ=4，将y=4代入y=（x﹣2）2+1，得4=（x﹣2）2+1解这个方程，得x1=2+2=OQ，x2=2﹣2＜0（不合题意，舍去）．∴点P的坐标为（2+2，4）；（3）把y=x代入y=x2﹣x+2，得x=x2﹣x+2解这个方程，得x1=4+2，x2=4﹣2＜2（不合题意，舍去）∴y=4+2=EF∴点E的坐标为（4+2，4+2）∴OE==4+4，又∵OC==2，∴CE=OE﹣OC=4+2，∴CE=EF；（4）不存在．如图，假设x轴上存在一点，使△CQM≌△CPE，则CM=CE，∠QCM=∠PCE∵∠QCP=60°，∴∠MCE=60°又∵CE=EF，∴EM=EF，又∵点E为直线y=x上的点，∴∠CEF=45°，∴点M与点F不重合．∵EF⊥x轴，这与“垂线段最短”矛盾，∴原假设错误，满足条件的点M不存在．点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及等边三角形的性质，解直角三角形，反证法，正确求得E的坐标是关键．。

专题23 二次函数与等边三角形存在问题1．（2021·浙江鄞州·中考一模）如图，点A 是二次函数y 2图象上的一点，且位于第一象限，点B 是直线y 上一点，点B ′与点B 关于原点对称，连接AB ，AB ′，若△ABB ′为等边三角形，则点A 的坐标是（ ）A ．（13B ．（23C ．（1D ．（43 【答案】B【分析】 连接OA ，作AM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N ，根据题意∠ABO ＝60°，AO ⊥BB ′，即可得到tan∠ABO ＝OA OB 设A （m 2），通过证得△AOM ∽△OBN ，得到B （﹣m 2），代入直线y 即可得到关于m 的方程，解方程即可求得A 的坐标． 【详解】 解：连接OA ，作AM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N ，∵点B ′与点B 关于原点对称，∴OB ＝OB ′，∵△ABB ′为等边三角形，∴∠ABO ＝60°，AO ⊥BB ′，∴∠BON +∠AOM ＝90°，tan ∠ABO ＝OA OB∴OA OB ∵∠BON +∠OBN ＝90°，∴∠AOM ＝∠OBN ，∵∠BNO ＝∠AMO ＝90°，∴△AOM ∽△OBN ，∴BN ON OBOM AM OA==，设A（m2），∴OM＝m，AM2，∴BN，ON＝m2，∵点A在第一象限内，∴B（﹣m2），∵点B是直线y上一点，（﹣m2），解得m＝23或m＝0（舍去），当m＝232∴A（23），故选：B．【点睛】本题考查二次函数上的点的坐标特征、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，熟练掌握相关性质并熟记特殊角的三角函数值是解题关键．2．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x 轴分别交于点A(﹣1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；（3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当BMN为等边三角形时，请直接写出点M的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2＋2x＋3，对称轴x＝1；（2）P(1，1)或(2，1)；（3）M或(1【分析】（1）利用待定系数法求解即可．（2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）．求出PT的长，构建方程求出m即可．（3）分两种情形：当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T，设N（1，t），设抛物线的对称轴交x轴于E．如图3﹣2中，当点M在第四象限时，设N（1，n），过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T．分别利用相似三角形的性质求出点M的坐标，再利用待定系数法求解．【详解】解：（1）把A（﹣1，0），点C（0，3）的坐标代入y＝﹣x2＋bx＋c，得到310cb c=⎧⎨--+=⎩，解得23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3，对称轴x＝﹣22-＝1．（2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）．∵点D与点C关于对称轴对称，C（0，3），∴D （2，3），∵B （3，0），∴T （52，32），BD∵∠NPD ＝90°，DT ＝TB ，∴PT ＝12BD∴（1﹣52）2＋（m ﹣32）22， 解得m ＝1或2，∴P （1，1），或（2，1）．（3）当点M 在第一象限时，△BMN 是等边三角形，过点B 作BT ⊥BN 交NM 的延长线于T ，设N （1，t ），作TJ ⊥x 轴于点J ，设抛物线的对称轴交x 轴于E ．∵△BMN 是等边三角形，∴∠NMB ＝∠NBM ＝60°，∵∠NBT ＝90°，∴∠MBT ＝30°，BT ，∵∠NMB ＝∠MBT ＋∠BTM ＝60°，∴∠MBT ＝∠BTM ＝30°，∴MB ＝MT ＝MN ，∵∠NBE ＋∠TBJ ＝90°，∠TBJ ＋∠BTJ ＝90°，∴∠NBE ＝∠BTJ ，∵∠BEN ＝∠TJB ＝90°， ∴△BEN ∽△TJB ，∴TJ BJ BT EB EN BN ==∴BJ ，TJ ＝∴T （3，，∵NM＝MT，∴M），∵点M在y＝﹣x2＋2x＋3上，）2＋＋3，整理得，3t2＋（2）t﹣12＋0，解得t＝﹣∴M．如图3﹣2中，当点M在第四象限时，设N（1，n），过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T．同法可得T（3，﹣，M，）2＋＋3，整理得，3n2＋（2﹣n﹣12﹣0，解得n，∴M（1，综上所述，满足条件的点M1．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，结合等边三角形的判定与性质、勾股定理和一元二次方程求解计算是解题的关键．3．（2021—2022江苏射阳九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝ax2+bx经过A（﹣4，0），B（﹣3AB，BO．（1）求抛物线表达式和直线OB 解析式；（2）点C 是第二象限内直线OB 上方抛物线上的一个动点，是否存在一点C 使△COB 面积最大？若存在请求出点C 坐标及最大面积，若不存在请说明理由；（3）若点D 从点O 出发沿线段OA 向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时线段OA 上另一个点H 从点A 出发沿线段AO 向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位长度（当点H 到达点O 时，点D 也同时停止运动）．过点D 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长DE 到点F ，使得EF ＝DE ，以DF 为边，在DF 左侧作等边△DGF （当点D 运动时点G 、点F 也随之运动）．过点H 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点L ，延长HL 到点M ，使得LM ＝HL ，以HM 为边，在HM 的右侧作等边△HMN （当点H 运动时，点M 、点N 也随之运动）．当点D 运动t 秒时，△DGF 有一条边所在直线恰好过△HMN 的重心，直接写出此刻t 的值．【答案】（1）抛物线解析式2y =，直线OB 解析式y x =；（2）存在，点32C ⎛- ⎝⎭（3）t 的值为4s 5或4s 11时，△DGF 有一条边所在直线恰好过△HMN 的重心．【分析】（1）利用待定系数法分别把点A 、B 的坐标代入抛物线解析式，设直线OB 解析式为y kx =，进而代点求解即可；（2）过点C 作CQ ∥y 轴，交OB 于点Q ，由（1）可设点2,,,C m Q m ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有2CQ =，然后根据铅垂法可进行求解； （3）由题意可分两种情况：①当直线DF 经过△HMN 的重心P 时，②当直线DG 经过△HMN 的重心P 时，然后根据相似三角形的性质与判定及三角函数可进行求解．【详解】解：（1）由题意得：把点A 、B 的坐标代入抛物线解析式y ＝ax 2+bx 得：164093a b a b -=⎧⎪⎨-=⎪⎩a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线解析式为2y x =， 设直线OB 解析式为y kx =，∴3k -k =， ∴直线OB解析式为y =； （2）过点C 作CQ ∥y 轴，交OB 于点Q ，如图所示：由（1）可设点2,,,C m Q m ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴22CQ ==， ∵点B （﹣3，∴△COB 的水平宽为3，∴2213322COB S m ⎛⎫⎫=⨯⨯=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵0<， ∴当32m =-时，△COB， 把32m =-代入抛物线解析式得：y =，∴点32C ⎛- ⎝⎭；（3）由题意可分两种情况：①当直线DF 经过△HMN 的重心P 时，如图2，连接NL ，∵LM LH =，且△HMN 是等边三角形，∴点P 在NL 上，由题意得：,2OD t AH t ==，2,4,AB OA OB ==∴222AB OB OA +=，且12AB OA =， ∴30,60AOB BAO ∠=︒∠=︒，∵MH ⊥x 轴，∴∠ALH =30°，∴LH =，∴2HN HM HL ===，∵∠LHN =60°，∴sin606LN HN t =⋅︒=，∵FD ⊥x 轴，MH ⊥x 轴，∴90LHD PDH PLH ∠=∠=∠=︒，∴四边形PLHD 是矩形，∵点P 是重心，∴123PL DH LN t ===， ∵4OA AH HD OD =++=，∴224t t t ++=，解得：45t =； ②当直线DG 经过△HMN 的重心P 时，如图3，连接NL ，∵//DP MN，∴12 LP LKPN KM==，∵LH LM=，∴14 KLKH=，∵//LP DH，∴14KL LPKH DH==，即21434tt=-，解得：411t=，综上所述：t的值为4s5或4s11时，△DGF有一条边所在直线恰好过△HMN的重心．【点睛】本题主要考查二次函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握二次函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．4．（2021·重庆市育才中考模拟预测）如图，抛物线y＝ax2﹣2x＋c与x轴相交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点C在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将ABC沿直线AC翻折得到AB C'，点B'恰好落在抛物线的对称轴上．若点G为直线AC下方抛物线上的一点，求当AB G'△面积最大时点G的横坐标；（3）点P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，在抛物线的对称轴上存在一点Q使得BPQ为等边三角形，请直接写出此时直线AP的函数表达式．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2；（3）y或y＝x【分析】（1）根据待定系数法，把点A（﹣1，0），C（3，0）的坐标代入y＝ax2﹣2x＋c得到方程组求解即可；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），AH＝2，由翻折得AB′＝AB＝4，求出B′H的长，可得点B′的坐标，设点G（t，r），且r＝t2﹣2t﹣3，设直线AG 解析式为y＝kx＋b，对称轴与AG交于点D，先求得AG解析式，再求得点D的坐标，将△AB'G 面积表示成关于t的函数，利用二次函数的最值即可．（3）由题意可知△B′BA为等边三角形，分两种情况讨论：①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，B′P．证出△BAQ≌△BB′P，可得AP垂直平分BB′，则C点在直线AP 上，可求出直线AP的解析式，②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．同理可求出另一直线解析式．【详解】解：（1）由题意得：02096a ca c=++⎧⎨=-+⎩，解得：13ac=⎧⎨=-⎩，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），AH＝2，由翻折得AB′＝AB＝4，在Rt△AB′H中，由勾股定理，得B′H==∴点B′的坐标为（1，，设点G（t，r），且r＝t2﹣2t﹣3，设直线AG解析式为y＝kx＋b，对称轴与AG交于点D，则：0tk b r k b +=⎧⎨-+=⎩，解得：11r k t r b t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， ∴直线AG 解析式为y ＝11r r x t t +++， ∴D （1，21r t +）， ∴B ′D ＝21r t +， ∴AB G AB D GB D SS S ''+'= ＝12•B ′D •2＋12•B ′D •（t ﹣1） ＝12•B ′D •（t ＋1） ＝12（21r t +）（t ＋1）t ＋1）﹣（t 2﹣2t ﹣3）＝﹣t 2＋（2t ＋3∵﹣1＜0，∴当t时，S △AB ′G 的值最大，此时点G134-）； （3）取（2）中的点B ′，B ，连接BB ′，∵AB ′＝AB ，∠B ′AB ＝60°，∴△ABB ′为等边三角形．分类讨论如下：①当点P 在x 轴的上方时，点Q 在x 轴上方，连接BQ ，B ′P ．∵△PBQ ，△ABB ′为等边三角形，∴BQ ＝BP ，AB ＝BB ′，∠PBQ ＝∠B ′BA ＝60°，∴∠ABQ ＝∠B ′BP ，∴△ABQ ≌△B ′BP （SAS ），∴AQ ＝B ′P ．∵点Q 在抛物线的对称轴上，∴AQ ＝BQ ，∴B ′P ＝BQ ＝BP ，又∵AB ′＝AB ，∴AP 垂直平分BB ′，由翻折可知AC 垂直平分BB ′，∴点C 在直线AP 上，设直线AP 的函数表达式为y ＝k 1x ＋b 1，则1110k b k b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩11k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AP 的函数表达式为y②当点P 在x 轴的下方时，点Q 在x 轴下方．∵△PBQ ，△ABB ′为等边三角形，∴BP ＝BQ ，AB ＝BB ′，∠BB ′A ＝∠QBP ＝∠B ′BA ＝60°．∴∠ABP ＝∠B ′BQ ，∴△ABP ≌△B ′BQ （SAS ），∴∠BAP ＝∠BB ′Q ，∵AB ′＝BB ′，B ′H ⊥AB ，∴∠BB ′Q ＝12∠BB ′A ＝30°，∴∠BAP ＝30°，设AP 与y 轴相交于点E ，在Rt △AOE 中，OE ＝OA •tan ∠BAP ＝OA •tan30°＝∴点E 的坐标为（0． 设直线AP 的函数表达式为y ＝mx ＋n ，则0m n n =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AP 的函数表达式为y＝． 综上所述，直线AP 的函数表达式为yx +或y＝．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数最值的应用，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，综合性较强，有一定的难度．5．（2021·广西柳南·中考三模）如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点N，交抛物线于点M，点D为线段MN上一动点．（1）求抛物线的表达式及C点坐标；（2）若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；（3）连接BD，在BD左侧构造等边△BDH，求当点D从点M运动到点N的过程中，H运动的路径长．【答案】（1）y ＝−x 2＋2x ＋3，（0，3）；（2）（1，1）或（1）；（3）4【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式，进而求出C 的坐标；（2）分CD ＝AD 、AC ＝AD 两种情况，利用勾股定理求出边的长度，分别求解即可；（3）设点H 的坐标为（x ，y ），点D （1，m ），过点H 作HE ⊥BD ，过点E 作x 轴的平行线GR ，交过点B 与y 轴的平行线于点R ，交过点H 与y 轴的平行线于点G ，证明△EGH ∽△BRE，可得212x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，从而确定点H的轨迹为：y x = 【详解】解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 过点A （﹣1，0）和点B （3，0），把A ，B 两点的坐标代入关系式，得01093b c b c =--+⎧⎨=-++⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的关系式为：y ＝−x 2＋2x ＋3，把x ＝0代入y ＝−x 2＋2x ＋3得y ＝3，∴C 点坐标为（0，3）；（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为：直线x ＝1，设D 点坐标为（1，m ），①当CD ＝AD 时，由题意得：1＋（3−m ）2＝22＋m 2，解得：m ＝1，∴D 点坐标为（1，1）；②当AC ＝AD 时，由题意得：12＋32＝22＋m 2，解得：m＝，故m，∴D 点坐标为（1，∴D 点坐标为（1，1）或（1）；（3）设点H 的坐标为（x ，y ），点D （1，m ），过点H 作HE ⊥BD ，∵△DBH 为等边三角形，∴则点E 是BD 的中点且BD ⊥EH ，则EH ：BE ＝E 为BD 的中点，则点E 的坐标为（2，12m ）， 过点E 作x 轴的平行线GR ，交过点B 与y 轴的平行线于点R ，交过点H 与y 轴的平行线于点G ，∵∠REB ＋∠GEH ＝90°，∠GEH ＋∠GHE ＝90°，∴∠REB ＝∠GHE ，∴△EGH ∽△BRE ，∴EG GH HE BR ER BE=== 则GH ＝12m −y ，ER ＝3−2＝1，GE ＝2−x ，BR ＝12m ，即122112m y x m --==212x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，整理得：y x = 即点H 的轨迹为直线，当点D 在点M 处时，则m ＝4，则2x ==2x =-122y m =即此时点H的坐标为（2-，2，当点D在点N处时，则m＝2，同理可得，此时点H'的坐标为（2，，则H运动的路径长为H H'4=．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．6．如图，已知抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，该抛物线顶点为D，对称轴交x轴于点H．（1）求A，B两点的坐标；（2）设点P在x轴下方的抛物线上，当∠ABP=∠CDB时，求出点P的坐标；（3）以OB为边最第四象限内作等边△OBM．设点E为x轴的正半轴上一动点（OE＞OH），连接ME，把线段ME绕点M顺时针旋转60°得MF，求线段DF的长的最小值．【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0）；（2）P（2，﹣3）；（3）线段DF的长的最小值存在，最小值是2+．【详解】试题分析：（1）令y=0，求得关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的解即为点A、B的横坐标；（2）设P（x，x2﹣2x﹣3），根据抛物线解析式求得点D的坐标为D（1，﹣4）；结合坐标与图形的性质求得线段CD=，CB=3，BD=2；所以根据勾股定理的逆定理推知∠BCD=90°，则易推知相似三角形△BCD∽△PNB，由该相似三角形的对应边成比例来求x的值，易得点P的坐标；（3）正确做出等边△OBM和线段ME所对应的旋转线段MF，如图2．过点B，F作直线交对称轴于点G．构建全等三角形：△EOM≌△FBM，由该全等三角形的性质和图形中相关角间的和差关系得到：∠OBF=120°为定值，即BF所在直线为定直线．过D点作DK⊥BF，K为垂足线段DF的长的最小值即为DK的长度．解：（1）令y=0，得x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0）（2）设P（x，x2﹣2x﹣3），如图1，过点P作PN⊥x轴，垂足为N．连接BP，设∠NBP=∠CDB．令x=0，得y=x2﹣2x﹣3=﹣3，∴C（0，﹣3）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4）．由勾股定理，得CD=，CB=3，BD=2．∴BD2=BC2+CD2，∴∠BCD=90°．∵∠BCD=∠PNB=90°，∠NBP=∠CDB．∴△BCD∽△PNB．∴=，=，即x2﹣5x+6=0，解得x1=2，x2=3（不合题意，舍去）．∴当x=2时，y=﹣3∴P（2，﹣3）；（3）正确做出等边△OBM和线段ME所对应的旋转线段MF，如图2．过点B，F作直线交对称轴于点G．由题意可得：，∴△EOM≌△FBM，∴∠MBF=∠MOB=60°．∵∠OBF=∠OBM+∠MBF=60°+60°=120°为定值，∴BF所在直线为定直线．过D点作DK⊥BF，K为垂足．在Rt△BGH中，∠HBG=180°﹣120°=60°，∴∠HGB=30°．∵HB=3，∴BG=4，HG=2．∵D（1，﹣4），∴DH=4，∴DG=2+4．在Rt△DGK中，∠DGK=30°．∴DK=DG=2+．∵当点E与点H重合时，这时BF=OH=1，则GF=4+1=5．而GK=DK=3+2＞5，即点K在点F运动的路径上，所以线段DF的长的最小值存在，最小值是2+．考点：二次函数综合题．7．如图，抛物线2=--+经过点A和点B.已知点A的坐标是（2，4），点B的横坐标y a x(1)5是－2.（1）求a 的值及点B 的坐标；（2）设点D 为线段AB 上的一个动点，过D 作x 轴的垂线,垂足为点H .在DH 的右侧作等边△DHG . 将过抛物线顶点Ｍ的直线记为l ，设l 与x 轴交于点N .① 如图1，当动点D 的坐标为(1，2)时，若直线l 过△DHG 的顶点G .求此时点N 的横坐标是多少？② 若直线l 与△DHG 的边DG 相交，试求点N 横坐标的取值范围.【答案】(1)a=1,B(-2,-4);(2)1;②23x -≤≤【分析】（1）由于抛物线经过A 、B 两点，将A 点坐标代入抛物线中，即可求得待定系数的值，进而可求出B 点的坐标．（2）①已知点D 的坐标，即可求得正△DGH 的边长，过G 作GE ⊥DH 于E ，易求得DE 、EH 、EG 的长；根据（1）题所求得抛物线的解析式，即可求出点M 的坐标，也就能得到ME 、MH 的长，易证△MEG ∽△MHN ，根据相似三角形所得比例线段，即可求得N 点的横坐标．②求点N 横坐标的取值范围，需考虑N 点横坐标最大、最小两种情况：①当点D 、A 重合，且直线l 经过点G 时，N 点的横坐标最大；解法可参照（2）的思路，过点G 作GQ ⊥x 轴于Q ，过点M 作MF ⊥x 轴于F ，设出点N 的横坐标，然后分别表示出NQ 、NF 的长，通过证△NQG ∽△NFM ，根据所得比例线段，即可求得此时N 点的横坐标； ②当点D 、B 重合，直线l 过点D 时，N 点的横坐标最小，解法同①．【详解】（1）∵点A （2，4）在抛物线2(1)5y a x =--+上，∴代入得a=1 ,于是抛物线的解析式为224y x x =-++,又∵点B 的横坐标为－2，代入得y=-4,∴B (－2,－4) ;（2）①由题意M (1，5)，D (1，2)，且DH ⊥x 轴，∴点M 在DH 上，MH =5，过点G 作GE ⊥DH ，垂足为E .∵△DHG 是正三角形，可得EG EH =1，∴ME ＝4.设N (x ，0 )，则NH ＝x －1,由△MEG ∽△MHN ，得ME EG MH HN =,∴45=解得1x =,∴点N 1 ; ②如图，当点D 运动至与点A 重合时，直线与DG 交于点G ，此时点N 的横坐标最大． 过点G ，M 作x 轴的垂线，垂足分别为点Q ，F .设N （x ，0），∵A (2, 4)，∴G (2+∴NQ =2x --NF =x -1，GQ =2，MF =5.由题意，△NGQ ∽△NMF ， ∴NQ GQ NF MF =,25=.∴x =, 如图，当点D 运动至与点B 重合时，直线与DG 交于点D （即点B ）此时点N 的横坐标最小.∵B (－2, －4) ，∴H (－2, 0)，D (－2, －4).设N （x ，0）.由题意△BHN ∽△MFN ， ∴NH BH FN MF =, ∴()2415x x --=-, ∴23x =-,综上，点N 的横坐标取值范围是23x -≤≤ 【点睛】 二次函数的综合题，主要考查二次函数解析式的确定、等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质；在解答（2）题时，关键是正确地作图，构造出与所求相关的相似三角形，然后利用相似三角形的性质来求解．8．（2021·江西寻乌·九年级期末）如图，已知抛物线1C 与x 轴交于(4,0),(1,0)A B -两点，与y 轴交于点(0,2)C ．将抛物线1C 向右平移(0)m m >个单位得到抛物线22C C ，与x 轴交于D ，E 两点（点D 在点E 的左侧），与抛物线1C 在第一象限交于点M ．（1）求抛物线1C 的解析式，并求出其对称轴；（2）①当1m =时，直接写出抛物线2C 的解析式；②直接写出用含m 的代数式表示点M 的坐标；（3）连接DM AM ，．在抛物线1C 平移的过程中，是否存在ADM △是等边三角形的情况？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）213222y x x =-++，其中对称轴是直线32x =；（2）①21522=-+y x x ；②点M 的坐标为2325,28m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（3）存在，5m =． 【分析】（1）直接利用待定系数法即可求得抛物线解析式，继而根据解析式即可求得抛物线的对称轴； （2）①利用抛物线平移规律即可求得C 2解析式；②利用抛物线平移规律即可求得M 的横坐标，进而代入C 1抛物线解析式即可；（3）过点M 做MN AD ⊥于点N ，分别表示出点D 、M 、N 、A 的坐标，根据两点间的坐标公式可得DN 、MN ，根据等边三角形的性质列方程，解方程即可求解．【详解】解：（1）设抛物线1C 的解析式为()20y ax bx c a =++≠．则164002a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩解得12322a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩抛物线1C 的解析式为213222y x x =-++， 其中对称轴是直线32x =（2）①由（1）知：抛物线1C 的解析式为213222y x x =-++， 即21325228y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 当1m =时，根据抛物线平移规律可得： 抛物线2C 解析式为：22132515122822y x x x ⎛⎫=---+=-+ ⎪⎝⎭ ②根据抛物线平移规律可得，抛物线1C 向右平移(0)m m >个单位得到抛物线解析式为： 213225228m y x +⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 其对称轴为：322m x += ∴交点M 横坐标为：3233332222222m m m +⎛⎫- ⎪+⎝⎭+=+= 将其代入1C 抛物线解析式可得：2258m y -= ∴点M 的坐标为2325,28m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭； （3）存在m 值使ADM △是等边三角形．理由如下：过点M 做MN AD ⊥于点N∵()()()232531,0,,,,0,4,004282m m m D m M N A m ⎛⎫+-+⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()35122m m DN m +-=--= 2258m MN -= 若ADM △是等边三角形，则30DMN ∠=︒，∴MN =即225582m m --=解得55m m ==，（不合题意，舍去），∴当5m =时，ADM △是等边三角形．【点睛】本题考查二次函数的有关知识，解题的关键是熟练掌握抛物线的性质、待定系数法求解析式、抛物线平移规律、等边三角形的性质．9．如图1，已知在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是矩形点,A C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，连结AC ，3OA =，an t OAC =∠，D 是BC 的中点. (1)求OC 的长和点D 的坐标；(2)如图2，M 是线段OC 上的点，OM OC =，点P 是线段OM 上的一个动点，经过,,P D B 三点的抛物线交x 轴的正半轴于点E ，连结DE 交AB 于点F①将DBF ∆沿DE 所在的直线翻折，若点B 恰好落在AC 上，求此时BF 的长和点E 的坐标； ②以线段DF 为边，在DF 所在直线的右上方作等边DFG ∆，当动点P 从点O 运动到点M 时，点G 也随之运动，请直接写出点G 运动路径的长.【答案】(1) OC D 的坐标为3(2；(2) ①点E 的坐标为9(,0)2 【分析】（1）由OA=3，tan ∠OAC=OC OA =得，由四边形OABC 是矩形，得BC=OA=3，所以CD=12 BC=32，求得D （32）； （2）①由易知得ACB=∠OAC=30°，设将△DBF 沿DE 所在的直线翻折后，点B 恰好落在AC 上的B'处，则DB'=DB=DC ，∠BDF=∠B'DF ，所以∠BDB'=60°，∠BDF=∠B'DF=30°，所以BFD=∠AEF ，所以∠B=∠FAE=90°，因此△BFD ≌△AFE ，AE=BD=32，点E 的坐标（92 ，0）；②动点P 在点O 时，求得此时抛物线解析式为y=229x -，因此E （92，0），直线DE ：y =+F 1（3；当动点P 从点O 运动到点M 时，求得此时抛物线解析式为2y x =++，所以E （6，0），直线DE ：y =+，所以F 2（3；所以点F 运动路径的长为12F F ==，即G 运动路径的长． 【详解】(1) ∵3,t an AO OA OC OA C ===∠∴OC∵四边形OABC 是矩形，∴3BC AO ==.∵D 是BC 的中点， ∴1322CD BC ==，∴点D 的坐标为3(2.(2) ①∵tan OAC =， ∴30OAC ∠=︒， ∴30ACB OAC ∠=∠=︒.设将DBF ∆翻折后，点B 落在AC 上的'B 处，则','DB DB DC BDF BD F ==∠=∠，∴'30DB C ACB ∠=∠=︒，∴60BDB ∠=︒，∴'30BDF B DF ∠=∠=︒.∵90B ∠=︒，∴tan 30BF BD =⋅︒=∵AB =∴AF BF == ∵,90BFD AFE B FAE ∠=∠∠=∠=︒，∴BFD AFE ∆∆≌.∴32AE BD ==. ∴92OE OA AE =+=，∴点E 的坐标为9(,0)2. ②动点P 在点O 时，∵抛物线过点P （0，0）、3,2D B ⎛ ⎝求得此时抛物线解析式为y=229x - ∴E （92，0），∴直线DE ： y =+，∴F 1（3； 当动点P 从点O 运动到点M 时，∵抛物线过点3,,2P D B ⎛⎛ ⎝⎝⎭求得此时抛物线解析式为2y =+ ∴E （6，0），∴直线DE ：y=-y =+∴F 2（3∴点F 运动路径的长为12F F ==， ∵△DFG 为等边三角形，∴G 【点睛】 本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、特殊三角函数以及三角形全等的判定与性质是解题的关键．10．如图1，矩形OABC 的顶点A 的坐标为（4,0），O 为坐标原点，点B 在第一象限，连接AC ， tan ∠ACO=2，D 是BC 的中点，（1）求点D 的坐标；（2）如图2，M 是线段OC 上的点，OM=23OC ，点P 是线段OM 上的一个动点，经过P 、D 、B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连接DE交AB于点F.①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时点P的坐标；②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动的路径的长.【答案】（1）D（2,2）；（2）①P（0,0）；②1 3【分析】（1）根据三角函数求出OC的长度，再根据中点的性质求出CD的长度，即可求出D点的坐标；（2）①证明在该种情况下DE为△ABC的中位线，由此可得F为AB的中点，结合三角形全等即可求得E点坐标，结合二次函数的性质可设二次函数表达式（此表达式为交点式的变形，利用了二次函数的平移的特点），将E点代入即可求得二次函数的表达式，根据表达式的特征可知P点坐标；②可得G点的运动轨迹为'GG，证明△DFF'≌△FGG'，可得GG'＝FF'，求得P点运动到M点时的解析式即可求出F'的坐标，结合①可求得FF'即GG'的长度.【详解】解：（1）∵四边形OABC为矩形，∴BC=OA=4，∠AOC=90°，∵在Rt△ACO中，tan∠ACO=OAOC=2，∴OC=2，又∵D为CB中点，∴CD=2，∴D（2,2）；（2）①如下图所示，若点B 恰好落在AC 上的'B 时,根据折叠的性质1'','2BDF B DF BDB BD B D ∠=∠=∠=, ∵D 为BC 的中点，∴CD=BD,∴'CD B D =, ∴1''2BCA DB C BDB ∠=∠=∠, ∴BCA BDF ∠=∠，∴//DF AC ,DF 为△ABC 的中位线，∴AF=BF,∵四边形ABCD 为矩形∴∠ABC=∠BAE=90°在△BDF 和△AEF 中，∵ABC BAE BF AFBFD AFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BDF ≌△AEF ，∴AE=BD=2,∴E(6,0),设(2)(4)2y a x x ，将E （6,0）带入，8a+2=0∴a=14-，则二次函数解析式为21342y x x =-+，此时P （0,0）； ②如图，当动点P 从点O 运动到点M 时，点F 运动到点F'，点G 也随之运动到G'．连接GG'．当点P 向点M 运动时，抛物线开口变大，F 点向上线性移动，所以G 也是线性移动．∵OM=23OC=43∴4(0,)3M , 当P 点运动到M 点时，设此时二次函数表达式为1(2)(4)2y a x x ，将4(0,)3M 代入得14823a ，解得1112a ，所以抛物线解析式为1(2)(4)212y x x ，整理得21141223y x x =-++. 当y=0时，211401223x x -++=，解得x=8（已舍去负值）， 所以此时(8,0)E ，设此时直线'DF 的解析式为y=kx+b ，将D （2,2），E （8,0）代入2208k b k b =+⎧⎨=+⎩解得1383k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以1833y x =-+， 当x=4时，43y =，所以4'3AF =, 由①得112AF AB ==， 所以1''3FF AF AF =-=, ∵△DFG 、△DF'G'为等边三角形，∴∠GDF ＝∠G'DF'＝60°，DG ＝DF ，DG'＝DF'，∴∠GDF ﹣∠GDF'＝∠G'DF'﹣∠GDF'，即∠G'DG ＝∠F'DF，在△DFF'与△FGG'中，''''DF DG F DF G DG DF DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DFF'≌△FGG'（SAS ），∴GG'＝FF'，即G 运动路径的长为13． 【点睛】本题考查二次函数综合，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，一次函数的应用，折叠问题.（1）中能根据正切求得OC 的长度是解决此问的关键；（2）①熟练掌握折叠前后对应边相等，对应角相等是解题关键；②中能通过分析得出G 点的运动轨迹为线段GG',它的长度等于FF'，是解题关键.11．（2020—2021辽宁和平九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，抛物线2y ax bx =+经过()5,0A -，154B ⎛- ⎝⎭两点，连接AB ，BO ．（1）求抛物线表达式；（2）点C 是第三象限内的一个动点，若AOC △与AOB 全等，请直接写出点C 坐标______；（3）若点D 从点O 出发沿线段OA 向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时线段OA 上另一个点H 从点A 出发沿线段AO 向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位长度(当点H 到达点O 时，点D 也同时停止运动)．过点D 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长DE 到点F ，使得EF DE =，以DF 为边，在DF 左侧作等边三角形DGF (当点D 运动时，点G 、点F 也随之运动)．过点H 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点L ，延长HL 到点M ，使得LM HL =，以HM 为边，在HM 的右侧作等边三角形HMN (当点H 运动时，点M 、点N 也随之运动)．当点D 运动t 秒时，DGF △有一条边所在直线恰好过HMN △的重心，直接写出此刻t 的值____________．【答案】（1）2y x =-；（2）54⎛- ⎝⎭或154⎛- ⎝⎭；（3）107或2519【分析】（1）将A 、B 两点坐标代入解析式，可求得；（2）存在2种情况，一种是△AOB ≌△AOC ，则点B 与点C 关于x 轴对称，可求得C 点坐标；另一种是△AOB ≌△OAC ，则OC ∥AB ，AC ∥BO ，联立直线AC 和OC 的解析式，可求得点C 的坐标；（3）有2大类情况，一种是点D 在点H 的左侧，还有一种是点D 在点H 的右侧，画图可得出只有点D 在点H 的左侧有可能．又分为3种情况，一种是DF 过△HMN 的重心，第二种是GF 过△HMN 的重心，第三种是GD 过△HMN 的重心．【详解】（1）∵抛物线过点A(－5，0)，B(154-∴0255a b =-21515()44a b =⋅--解得：a =b =∴抛物线解析式为：2y =； （2）情况一：△AOB ≌△AOC ，图形如下从图形易知，点C 与点B 关于x 轴对称∵B(154-)，∴C(154-，； 情况二：△AOB ≌△OBC ，图形如下∴∠BAO=∠AOC ，∠BOA=∠CAO∴AB ∥CO ，BO ∥AC∵A(－5，0)，B(154-)∴直线AB 的解析式为：+直线OB 的解析式为：y=∴OC 的解析式为：AC 的解析式设为：y=b +，将点A 代入得：y=x联立OC 和AC 的解析，解得：x=54-，y=∴C(54-，)； （3）当点D 在点H 的左侧时，即5＞3t ，t ＜53时，图形如下根据题意可知D(－t ，0)，H(2t －5，0)∵OB 的解析式为：y=x∴E(－t)，F(－t)，L(2t－5，M(2t－5)∴HD=5－3t，∵△GFD是等边三角形，∴易知FD∥MH，FG∥HN，GD∥MN情况一：当DF过△MHN的重心时，图形如下，连接LN，交FD于点O则点O为△MHN的重心∴ON：OL=2：1，∴OL=13 LN∵△HMN是等边三角形∴2-t∵OL=HD=5－3t∴5－3t=52t 3 -解得：t=107(成立)；情况二：FG过△HMN的重心，如下图，GF交HM于点P，过点P作FD的垂线，交FD于点Q，过点M作HN的垂线，交GF于点O，交HN于点R则点O为△HNM的中线，∴MO：OR=2:1易知△MOP∽△MRH，∴MP：PH=2:1∴PH=13MH =由题意可知，PQ=HD=5－3t ，∠FPQ=30°∴在Rt △FPQ 中，∴QD=FD －=∴= 解得：t=2519(成立)； 情况三：DG 过△MHN 的重心，如下图，HN 与GD 交于点S ，过点S 作x 轴的垂线，交x 轴于点T易知∠SDH=∠SHD=30°，∠HSD=120°，HD=5－3t则在Rt △SHR 中，HT=53t 2－，同理：SH=2233HN MH ===t=－5(舍)综上得：t=107或t=2519． 【点睛】本题考查二次函数的综合，注意第（2）、（3）问都存在多种情况，第（3）问解题关键是利用重心的性质，即重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，从而转化为边长之比进行求解．。

沈阳二次函数压轴题分类汇总2006 沈阳24．某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润y A(万元)与投资金额x(万元)之间存在正比例函数关系：y A=kx，并且当投资5万元时，可获利润2万元；信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润y B(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系：y B=ax2＋bx，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元，可获利润3.2万元。

(1)请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；(2)如果企业同时对A、B两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少。

26．如图○14，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A在第二象限内，点B、点C在x轴的负半轴上，∠CAO=30°，OA=4。

(1)求点C的坐标；(2)如图○15，将△ACB绕点C按顺时针方向旋转30°到△A’CB’的位置，其中A’C交直线OA于点E，A’B’分别交直线OA、CA于点F、G，则除△A’B’C≌△AOC外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；(不再另外添加辅助线)3时，求直线CE的函数(3)在(2)的基础上，将△A’CB’绕点C按顺时针方向继续旋转，当△COE的面积为4表达式。

图15142007沈阳七、（本题12分）25．化工商店销售某种新型化工原料，其市场指导价是每千克160元（化工商店的售价还可以在市场指导价的基础上进行浮动），这种原料的进货价是市场指导价的75%．（1）为了扩大销售量，化工商店决定适当调整价格，调整后的价格按八折销售，仍可获得实际售价的20%的利润．求化工商店调整价格后的标价是多少元？打折后的实际售价是多少元？（2）化工商店为了解这种原料的月销售量y（千克）与实际售价x（元/千克）之间的关系，每个月调整一次实际售价，试销一段时间后，部门负责人把试销情况列成下表：实际售价x（元/千克）…150 160 168 180 …月销售量y（千克）…500 480 464 440 …①请你在所给的平面直角坐标系中，以实际售价x（元/千克）为横坐标，月销售量y（千克）为纵坐标描出各点，观察这些点的发展趋势，猜想y与x之间可能存在怎样的函数关系；②请你用所学过的函数知识确定一个满足这些数据的y与x之间的函数表达式，并验证你在①中的猜想；③若化工商店某月按同一实际售价共卖出这种原料450千克，请你求出化工商店这个月销售这种原料的利润是多少元？第25题图八、（本题14分）26．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C 在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．第26题图2008沈阳24．一辆经营长途运输的货车在高速公路的A处加满油后，以每小时80千米的速度匀速行驶，前往与A处相距636千米的B地，下表记录的是货车一次加满油后油箱内余油量y（升）与行驶时间x（时）之间的关系：（1y与x之间的变化规律，说明选择这种函数的理由，并求出它的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围）（2）按照（1）中的变化规律，货车从A处出发行驶4.2小时到达C处，求此时油箱内余油多少升？（3）在（2）的前提下，C处前方18千米的D处有一加油站，根据实际经验此货车在行驶中油箱内至少保证有10升油，如果货车的速度和每小时的耗油量不变，那么在D处至少加多少升油，才能使货车到达B地．（货车在D处加油过程中的时间和路程忽略不计）26．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，OB =ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60o 后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，．（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．第26题图2009沈阳24．种植能手小李的试验田可种植A种作物或B种作物(A、B两种作物不能同时种植)，原有的种植情况如下表．通过参加农业科技培训，小李提高了种植技术．现准备在原有的基础上增种作物，以提高总产量，但根据科学种植的经验，每增种1棵A种或B种作物，都会导致单棵作物平均产量减少0.2kg，而且每种作物的增种量y B kg．(1)A种作物增种m棵后，单棵平均产量为kg，B种作物增种n棵后，单棵平均产量为kg；(2)求y A与m之间的函数关系式及y B与n之间的函数关系式；(3)求提高种植技术后小李增种何种作物可获得最大总产量？最大总产量是多少？26．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．△OAB的边OA在x轴的正半轴上，点A的坐标为(2，0)，点B在第一象限内，且OB＝3，∠OBA＝90º．以OB所在直线折叠Rt△OAB，使点A落在点C处．(1)求证：△OAC为等边三角形；(2)点D在x轴上，且点D的坐标为(4，0)．点P为线段OC上一动点(点P不与点O重合)，连接P A、PD．设PC＝x，S△P AD＝y，求y与x之间的函数关系式；(3)在(2)的条件下，当x＝12时，过点A作AM⊥PD于点M，若k＝7AM2PD，求证：二次函数y＝－2x2－(7k－33)x＋3k的图象关于y轴对称．2010沈阳23. 某公司有甲、乙两个绿色农产品种植基地，在收获期这两个基地当天收获的某种农产品，一部份存入仓库，另一部分运往外地销售。

专题03 二次函数中的存在性问题之等边三角形【典例1】（2019•成都）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A （﹣2，5），与x 轴相交于B （﹣1，0），C （3，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将△BCD 沿直线BD 翻折得到△BC 'D ，若点C '恰好落在抛物线的对称轴上，求点C '和点D 的坐标；（3）设P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q 在抛物线的对称轴上，当△CPQ 为等边三角形时，求直线BP 的函数表达式．【点拨】（1）根据待定系数法，把点A （﹣2，5），B （﹣1，0），C （3，0）的坐标代入y ＝ax 2+bx +c 得到方程组求解即可；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，则H 点的坐标为（1，0），BH ＝2，由翻折得C ′B ＝CB ＝4，求出C ′H 的长，可得∠C ′BH ＝60°，求出DH 的长，则D 坐标可求；（3）由题意可知△C ′CB 为等边三角形，分两种情况讨论：①当点P 在x 轴的上方时，点Q 在x 轴上方，连接BQ ，C ′P ．证出△BCQ ≌△C ′CP ，可得BP 垂直平分CC ′，则D 点在直线BP 上，可求出直线BP 的解析式，②当点P 在x 轴的下方时，点Q 在x 轴下方．同理可求出另一直线解析式．【解答】解：（1）由题意得：{4a ‒2b +c =5，a ‒b +c =09a +3b +c =0，解得，{a =1b =‒2c =‒3∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2﹣2x ﹣3．（2）∵抛物线与x 轴交于B （﹣1，0），C （3，0），∴BC ＝4，抛物线的对称轴为直线x ＝1，如图，设抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，则H 点的坐标为（1，0），BH ＝2，由翻折得C ′B ＝CB ＝4，在Rt △BHC ′中，由勾股定理，得C ′H 2，=C'B 2‒BH 2=42‒22=3∴点C ′的坐标为（1，2），tan ，3∠C 'BH =C'H BH =232=3∴∠C ′BH ＝60°，由翻折得∠DBH ∠C ′BH ＝30°，=12在Rt △BHD 中，DH ＝BH •tan ∠DBH ＝2•tan30°，=233∴点D 的坐标为（1，）．233（3）解：取（2）中的点C ′，D ，连接CC ′，∵BC ′＝BC ，∠C ′BC ＝60°，∴△C ′CB 为等边三角形．分类讨论如下：①当点P 在x 轴的上方时，点Q 在x 轴上方，连接BQ ，C ′P ．∵△PCQ ，△C ′CB 为等边三角形，∴CQ ＝CP ，BC ＝C ′C ，∠PCQ ＝∠C ′CB ＝60°，∴∠BCQ ＝∠C ′CP ，∴△BCQ ≌△C ′CP （SAS ），∴BQ ＝C ′P ．∵点Q 在抛物线的对称轴上，∴BQ ＝CQ ，∴C ′P ＝CQ ＝CP ，又∵BC ′＝BC ，∴BP 垂直平分CC ′，由翻折可知BD 垂直平分CC ′，∴点D 在直线BP 上，设直线BP 的函数表达式为y ＝kx +b ，则，解得，{0=‒k +b 233=k +b{k =33b=33∴直线BP 的函数表达式为y ．=33x +33②当点P 在x 轴的下方时，点Q 在x 轴下方．∵△PCQ ，△C ′CB 为等边三角形，∴CP ＝CQ ，BC ＝CC ′，∠CC ′B ＝∠QCP ＝∠C ′CB ＝60°．∴∠BCP ＝∠C ′CQ ，∴△BCP ≌△C ′CQ （SAS ），∴∠CBP ＝∠CC ′Q ，∵BC ′＝CC ′，C ′H ⊥BC ，∴．∠CC 'Q =12∠CC 'B =30°∴∠CBP ＝30°，设BP 与y 轴相交于点E ，在Rt △BOE 中，OE ＝OB •tan ∠CBP ＝OB •tan30°＝1，×33=33∴点E 的坐标为（0，）．‒33设直线BP 的函数表达式为y ＝mx +n ，则，解得，{0=‒m +n ‒33=n{m =‒33n =‒33∴直线BP 的函数表达式为y ．=‒33x ‒33综上所述，直线BP 的函数表达式为或．y =33x +33y =‒33x ‒33【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，综合性较强，有一定的难度．【精练1】如图，抛物线y ＝ax 2+bx +3交x 轴于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC ，若点P 为线段BC 上的一个动点（不与点B 、点C 重合），过点P 作直线PN ⊥x 轴于点N ，交抛物线于点M ，当△BCM 面积最大时，求△BPN 的周长．（3）在（2）的条件下，当△BCM 面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△CNQ 为等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【点拨】（1）由A 、B 两点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）先求出直线BC 的解析式，设P （x ，﹣x +3），则M （x ，﹣x 2+2x +3），求出△BCM 面积的表达式，这是一个二次函数，求出其取最大值的条件；然后利用勾股定理可求出△BPN 的周长；（3）由（2）可知N （），设Q （1，a ），由两点间的距离公式可分别表示出CQ 2，QN 2，CN 2，若32，0△CNQ 为等腰三角形，可分CQ ＝QN 、CQ ＝CN 、QN ＝CN 三种情况考虑，由此可得到关于a 的方程，解方程求出符合题意的坐标即可．【解答】解：（1）由题意可得：，{a ‒b +3=09a +3b +3=0解得，{a =‒1b =2∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）设直线BC 的解析式为：y ＝kx +b ，则有：，{3k +b =0b =3解得：，{k =‒1b =3∴直线BC 的解析式为：y ＝﹣x +3．设P （x ，﹣x +3），则M （x ，﹣x 2+2x +3），∴PM ＝（﹣x 2+2x +3）﹣（﹣x +3）＝﹣x 2+3x ．∴S △BCM ＝S △PMC +S △PMB （x B ﹣x C ），=12PM ⋅=32PM ∴S △BCM ，=32(‒x 2+3x )=‒32(x ‒32)2+278∴当x 时，△BCM 的面积最大．=32此时P （），32，32∴PN ＝ON ，=32∴BN ＝OB ﹣ON ＝3，‒32=32在Rt △BPN 中，由勾股定理得：PB ，=322C △BCN ＝BN +PN +PB ＝3，+322∴当△BCM 的面积最大时，△BPN 的周长为3；+322（3）由（2）知P 点坐标为（），32，32∴，N (32，0)∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为x ＝1，设Q （1，a ），∵C （0，3），N （），32，0∴CQ 2＝12+（3﹣a ）2，，，CN 2=(32)2+32QN 2=(1‒32)2+a 2若△CNQ 为等腰三角形，可分三种情况：当CQ ＝QN 时，1，+(3‒a )2=(1‒32)2+a 2解得：a ，=138∴点Q 的坐标为（1，），138当CQ ＝CN 时，1，+(3‒a )2=94+9解得：a ＝3，±412∴点Q 的坐标为（1，3），（1，3），‒412+412当QN ＝CN 时，，(1‒32)2+a 2=(32)2+32解得：a ，=±11∴点Q 的坐标为（1，），（1），11‒11综合以上可得点Q 的坐标为（1，）或（1，3）或（1，3）或（1，）或（1，138‒412+41211‒11）．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、等腰三角形的性质及分类讨论思想等知识．把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．【精练2】已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 和点C 的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），抛物线的对称轴为x ＝1，D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）点E 为线段BC 上一动点，过点E 作x 轴的垂线，与抛物线交于点F ，求四边形ACFB 面积的最大值，以及此时点E 的坐标．（3）抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△PCD 为等腰三角形？若存在，写出点P 点的坐标；若不存在，说明理由．【点拨】（1）由B 、C 的坐标，结合抛物线对称轴，根据待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由B 、C 可求得直线BC 解析式，可设出F 点坐标，则可表示出E 点坐标，从而可求得EF 的长，则可表示出△CBF 的面积，从而可表示出四边形ACFB 的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，可求出E 点的坐标；（3）由抛物线解析式可求得D 点坐标，可设P 点坐标为（1，t ），则可表示出PC 、PD 和CD 的长，由等腰三角形可分PC ＝PD 、PC ＝CD 和PD ＝CD 三种情况分别得到关于t 的方程，可求得P 点坐标．【解答】解：（1）∵点B 和点C 的坐标分别为（3，0）（0，﹣3），抛物线的对称轴为x ＝1，∴，解得，{9a +3b +c =0‒b2a =1c =‒3{a =1b =‒2c =‒3∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2））∵B （3，0），C （0，﹣3），∴直线BC 解析式为y ＝x ﹣3，∵E 点在直线BC 上，F 点在抛物线上，∴设F （x ，x 2﹣2x ﹣3），E （x ，x ﹣3），∵点F 在线段BC 下方，∴EF ＝x ﹣3﹣（x 2﹣2x ﹣3）＝﹣x 2+3x ，∴S △BCF EF •OB 3（﹣x 2+3x ）x 2x （x ）2，=12=12×=‒32+92=‒32‒32+278又∵S △ABC AB •OC 4×3＝6，=12=12×∴S 四边形ACFB ＝S △ABC +S △BCF （x ）26（x ）2，=‒32‒32+278+=‒32‒32+758∵0，‒32＜∴当x 时，S 四边形ACFB 有最大值，最大值为，此时E 点坐标为（，），=3275832‒32综上可得四边形ACFB 面积的最大值为，此时点E 的坐标为（，）；75832‒32（3）∵y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4，∴D （1，﹣4），且C （0，﹣3），∵P 点为抛物线对称轴上的一点，∴设P （1，t ），∴PC ，PD ＝|t +4|，CD ，=12+(t +3)2=t 2+6t +10=12+(‒4+3)2=2∵△PCD 为等腰三角形，∴分PC ＝PD 、PC ＝CD 和PD ＝CD 三种情况，①当PC ＝PD 时，则|t +4|，解得t ＝﹣3，此时P 点坐标为（1，﹣3）；t 2+6t +10=②当PC ＝CD 时，则，解得t ＝﹣2或t ＝﹣4（与D 点重合，舍去），此时P 点坐标t 2+6t +10=2为（1，﹣2）；③当PD ＝CD 时，则|t +4|，解得t ＝﹣4或t ＝﹣4，此时P 点坐标为（1，﹣4）或=2+2‒2+2（1，﹣4）；‒2综上可知存在满足条件的P 点，其坐标为（1，﹣3）或（1，﹣2）或（1，﹣4）或（1，﹣4+2‒2）．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的面积、方程思想及分类讨论思想等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【精练3】已知抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3与x 轴交于点A （﹣1，0）、B 两点，与y 轴交于点C ，且过点P （5，12）．（1）求抛物线的解析式．（2）如图，点Q 为线段CP 上一动点，过点Q 作QF ⊥x 轴于点F ，交抛物线于点D ，连接CD ，PD ，若S △QDC ：S △QDP ＝2：3，求直线PD 的解析式．（3）过点B 的直线交抛物线于M ，是否存在点M 使∠ABM ＝∠PCO ，若存在，求出点M 的坐标．若不存在，说明理由．【点拨】（1）根据抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3过点A 、P 两点，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；（2）由条件可得CQ ：QP ＝2：3，过点P 作PN ⊥y 轴，QM ⊥y 轴，则可得QM ∥PN ，得出，QM PN =25由点P 的坐标得出QM ＝2，把x ＝2代入抛物线解析式可得y ＝﹣3，则D （2，﹣3），根据待定系数法求出直线PD 的解析式即可；（3）分两种情况，当点M 在x 轴上方或x 轴下方，过点P 作PN ⊥y 轴，则可得tan ∠PCO =tan∠PCN ，若点M 在x 轴上方，在y 轴上取E （0，1），求出直线BE 的解析式为y ，联立直=PN CN =13=‒13x +1线y 和抛物线方程y ＝x 2﹣2x ﹣3，可求出点M 的橫坐标，代入直线方程可求得点M 的纵坐=‒13x +1标；当点M 在x 轴下方，同理取点D （0，﹣1），求出直线BD 的解析式，联立直线BD 的解析式和抛物线解析式可求得点M 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3过点A （﹣1，0）、P （5，12）两点，∴，{a ‒b ‒3=025a +5b ‒3=12解得：，{a =1b =‒2∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）如图1，过点P 作PN ⊥y 轴，QM ⊥y 轴，∵S △QDC ：S △QDP ＝2：3，∴，CQ PQ =23∴，CQ CP =25∵PN ⊥y 轴，QM ⊥y 轴，∴QM ∥PN ，∴△CQM ∽△CPN ，∴，QM PN =CQ CP =25∵PN ＝5，∴QM ＝2，∵QF ⊥x 轴于点F ，交抛物线于点D ，∴D 点的橫坐标为2，把x ＝2代入y ＝x 2﹣2x ﹣3＝4﹣4﹣3＝﹣3，∴D （2，﹣3），设直线PD 的解析式为y ＝kx +b ，∴，{2k +b =‒35k +b =12解得：，{k =5b =‒13∴直线PD 的解析式为y ＝5x ﹣13；（3）如图2，过点P 作PN ⊥y 轴，∵P （5，12），C （0，﹣3），∴CN ＝OC +ON ＝12+3＝15，PN ＝5，∴，tan∠PCN =PN CN =515=13∵∠ABM ＝∠PCO ，∴，tan∠ABM =tan∠PCO =13如图2，若点M 在x 轴上方，∵OB ＝3，∴在y 轴上取E （0，1），tan ∠OBE ，=13设直线BE 的解析式为y ＝mx +n ，∴，{n =13m +n =0解得：m ，=‒13，n =1∴直线BE 的解析式为y ，=‒13x +1∴，{y =‒13x +1y =x 2‒2x ‒3解得：x 1＝3，，x 2=‒43∴M （），‒43，139如图3，当点M 在x 轴下方，同理取点D （0，﹣1），求得直线BD 的解析式为y x ﹣1，=13∴，{y =13x ‒1y =x 2‒2x ‒3解得：，x 1=3，x 2=‒23∴M （），‒23，‒53综合以上可得M 点的坐标为（或．‒43，139)(‒23，‒53)【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式和一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义、三角形的面积等知识，注意分类思想和方程思想的运用是解题的关键．【精练4】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x 2+bx +c 经过原点O ，与x 轴交于点A （5，0），第一=16象限的点C （m ，4）在抛物线上，y 轴上有一点B （0，10）．（Ⅰ）求抛物线的解析式及它的对称轴；（Ⅱ）点P （0，n ）在线段OB 上，点Q 在线段BC 上，若OP ＝2BQ ，且PA ＝QA ．求n 的值；（Ⅲ）在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使以A ，B ，M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【点拨】（Ⅰ）把点A （5，0），O （0，0）分别代入抛物线y ，解得b ，c 的值，即可得=16x 2+bx +c 出抛物线的解析式和其对称轴；（Ⅱ）由条件可求出点C 的坐标为（8，4），用勾股定理逆定理判断出△ABC 是直角三角形，OP ＝n ，则BQ ，CQ ＝10，由PA ＝AQ ，可得到关于n 的方程，求出n 的值；=12n ‒12n （Ⅲ）可分三种情况考虑：当MA ＝MB ，MA ＝AB ，MB ＝AB 时，可分别求出点M 的坐标．【解答】（Ⅰ）解：∵抛物线y 经过点A （5，0），O （0，0），=16x 2+bx +c ∴，解得b ，c ＝0，{256+5b =0c =0=‒56∴抛物线的解析式为；y =16x 2‒56x 对称轴为x ．=‒b 2a=‒‒5616×2=52（Ⅱ）如图，连接PA ，AB ，PQ ，∵点C （m ，4）在抛物线上，∴，解得m 1＝8，m 2＝﹣3（舍去）16m 2‒56m =4∴C （8，4），∵A （5，0），B （0，10），∴AB 2＝52+102＝125，BC 2＝82+（10﹣4）2＝100，AC 2＝42+（8﹣5）2＝25，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，∵点P （0，n ）在线段OB 上，OP ＝2BQ ，∴OP ＝n ，则BQ ，CQ ＝10，=12n ‒12n ∵AP ＝AQ ，∴，52+n 2=52+(10‒12n )2∵n ＞0，∴n ．=203（Ⅲ）存在，∵A （5，0），B （0，10），∴AB ＝55设点M （，m ），52①若BM ＝BA 时，∴，(52)2+(m ‒10)2=125∴，m ，m 1=20+51922=20‒5192∴M 1（），M ，52，20+51922(52，20‒5192)②若AM ＝AB 时，∴(52)2+m 2=125∴，，m 3=5192m 4=‒5192∴，M 3(52，5192)，M 4(52，‒5192)③若MA ＝MB 时，∴，(52‒5)2+m 2=(52)2+(10‒m )2∴m ＝5，∴M （，5），此时点M 恰好是线段AB 的中点，构不成三角形，舍去，52∴点M 的坐标为：M ，，M ，．1(52，20+5192)M 2(52，20‒5192)3(52，5192)M 4(52，‒5192)【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，等腰三角形的性质，其中对等腰三角形存在性的判断和分类讨论是函数与几何综合题里的常考题型．【精练5】如图，抛物线y x 2+bx +c 与y 轴交于点C ，与x 轴相交于A ，B 两点，点A 的坐标为（2，=120），点C 的坐标为（0，﹣4）．（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q 是线段BA 上的一动点，点E 为线段AC 上一动点，若始终保持∠AQE ＝∠ABC ，连接CQ ，求△CQE 的面积S 关于点Q 的横坐标m 的函数关系式；（3）若点D 为OB 的中点，点M 是线段BC 上一点，当△OMD 为等腰三角形时，直接写出点M 的坐标．【点拨】（1）将点A 、C 的坐标代入抛物线，利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）先求出点B 的坐标，再根据三角形的面积公式求出S △ABC ，设Q （m ，0），表示出QA ，再判断出△AQE ∽△ABC ，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方表示出S △AQE ，再根据S △QCE ＝S △AQC ﹣S △AQE 整理得到关于m 的函数关系；（3）分①当DM ＝DO 时，DO ＝DM ＝DB ＝2，∠OBC ＝∠BMD ＝45°，再求出∠BDM ＝90°，然后写出M 点的坐标；②当MD ＝MO 时，过点M 作MN ⊥OD 于点N ，根据等腰三角形三线合一的性质可得点N 为OD 的中点，求出DN ＝ON ＝1，BN ＝BD +DN ＝3，再根据△BMN 为等腰直角三角形求出MN ＝BN ＝3，然后写出M 点的坐标；③当OD ＝OM 时，根据△OBC 为等腰直角三角形求出点O 到BC 的距离，然后与OD 相比较判断出不存在．【解答】解：（1）将点A （2，0），C （0，﹣4），分别代入y x 2+bx +c ，=12，{2+2b +c =0c =‒4解得：，{b =1c =‒4∴抛物线的解析式为y ；=12x 2+x ‒4（2）令y ＝0，即x 2+x ﹣4＝0，解得x 1＝﹣4，x 2＝2，12∴点B （﹣4，0），AB ＝2﹣（﹣4）＝2+4＝6，S △ABC AB •OC 12，=12=12×6×4=设Q 点坐标为（m ，0），则QA ＝2﹣m ．∵∠AQE ＝∠ABC ，∴QE ∥BC ，∴△AQE ∽△ABC ，∴，S △AQES △ABC=(2‒m 6)2∴，S △AQE =13(2‒m )2S △QCE ＝S △AQC ﹣S △AQE ，=12(2‒m )‒13×(2‒m )2．=‒13m 2‒23m +83（3）△OMD 为等腰三角形，可能有三种情形：①当DM ＝DO 时，DO ＝DM ＝DA ＝2，所以，∠OBC ＝∠BMD ＝45°，所以，∠BDM ＝90°，所以，M 点的坐标为（﹣2，﹣2）；②当MD ＝MO 时，如图，过点M 作MN ⊥OD 于点N ，则点N 为OD 的中点，∴DN ＝ON ＝1，BN ＝BD +DN ＝3，又△BMN 为等腰直角三角形，∴MN ＝BN ＝3，∴M 点的坐标为（﹣1，﹣3）；③当OD ＝OM 时，∵△OBC 为等腰直角三角形，∴点O 到BC 的距离为4＝2，22×2即BC 上的点与点O 之间的最小距离为2，2∵22，2＞∴OD ＝OM 的情况不存在，综上所述，点M 的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x 轴的交点问题，三角形的面积，相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，注意等腰三角形根据腰长的不同分情况讨论．。

备战2019年中考数学压轴题之二次函数专题07二次函数背景下的三角形相似（全等）【方法综述】三角形全等是三角形相似的特殊情况。

三角形的全等和相似是综合题中的常见要素，解答时注意应用全等三角形和相似的判定方法。

另外，注意题目中“”与全等表述、“”和相似表述的区别。

全等和相似的符号，标志着三角形全等（相似）的对应点的一、一对应关系。

解答时，对于确定的对应边角可以直接利用于解题。

而全等、相似的语言表述，标志着对应点之间的组合关系，解答时，要进行对应边的分类讨论。

【典例示范】类型一确定的全等三角形条件的判定应用例1：（陕西省渭南市大荔县中考数学三模试题）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，抛物线的顶点为P．求b的值，并求出点P、B的坐标；在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使≌？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，试说明理由．【答案】存在，【解析】抛物线经过，，解得：，抛物线的表达式为．，点P的坐标为令得：，解得或，的坐标为．存在，点如图：过点P作轴，垂足为C，连接AP、BP，作的平分线，交PB与点N，交抛物线与点M，连接PM、BM．，，，，，，是等边三角形，，．，，．在和中，，≌．存在这样的点M，使得≌．，，点N是PB的中点，设直线AM的解析式为，将点A和点N的坐标代入得：，解得：，直线AM的解析式为．将代入抛物线的解析式得：，解得：或舍去，当时，，点M的坐标为针对训练1．（2018年九年级数学北师大版下册：第二章检测卷）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －8与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．(1)求抛物线的解析式，并分别求出点B 和点E 的坐标；(2)试探究抛物线上是否存在点F ，使△FOE ≌△FCE .若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y ＝12x 2－3x －8；（2）点F 的坐标为(3＋17，－4)或(3－17，－4)．【解析】（1）∵抛物线y=ax 2+bx-8经过点A（-2，0），D（6，-8），∴4280{36688a b a b --+--＝＝解得1{23a b -＝＝∴抛物线的函数表达式为y ＝12x 2−3x −8；∵y ＝12x 2−3x −8＝12(x −3)2−252，∴抛物线的对称轴为直线x=3．又抛物线与x 轴交于A，B 两点，点A 的坐标为（-2，0）．∴点B 的坐标为（8，0），设直线L 的函数表达式为y=kx．∵点D（6，-8）在直线L上，∴6k=-8，解得k=-4 3，∴直线L的函数表达式为y=-43x，∵点E为直线L和抛物线对称轴的交点，∴点E的横坐标为3，纵坐标为-43×3=-4，∴点E的坐标为（3，-4）；（2）抛物线上存在点F，使△FOE≌△FCE．∵OE=CE=5，∴FO=FC，∴点F在OC的垂直平分线上，此时点F的纵坐标为-4，∴12x2-3x-8=-4，解得x=3±17，∴点F的坐标为（3-17，-4）或（3+17，-4）．2．（河南省濮阳市2018届九年级中考数学二模试题）如图，一次函数与坐标轴分别交于A，B 两点，抛物线经过点A，B，点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BA运动，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AO运动，两点同时出发，运动时间为t秒．求此抛物线的表达式；求当为等腰三角形时，所有满足条件的t的值；点P在线段AB上运动，请直接写出t为何值时，的面积达到最大？此时，在抛物线上是否存在一点T，使得≌？若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；（2）当为等腰三角形时，t的值为、或或4；（3）点T的坐标为．【解析】把代入中，得．把代入中，得．，把，分别代入中，得，，抛物线的表达式为，，由勾股定理，得，．运动t秒后，，．为等腰三角形，有，，三种情况，当时，过点Q作于点D．在中，，，．解得；当时，若点P在x轴上方的直线AB上，，，，解得；若点P在x轴下方的直线AB上，，，解得：；当时，过点P作于点E．则，在中，，．解得：综上所述，当为等腰三角形时，t的值为、或或4．过点P作于点F，延长FP交抛物线与点T．为底边AQ上的高．，，．．当时，的面积最大此时点P为AB的中点，且．连接OP，则，点，点T的横坐标为，将代入抛物线的解析式得：．．在中，由勾股定理可知：，．≌．点T的坐标为．类型二全等三角形的存在性探究例2．（四川省眉山市洪雅县2018届九年级中考适应性考）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点分别为A （﹣6，0）和点B（4，0），与y轴的交点为C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是线段OA上一动点（不与点A重合），过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，点D、M在线段AB上，点N在线段AC上．①是否同时存在点D和点P，使得△APQ和△CDO全等，若存在，求点D的坐标，若不存在，请说明理由；②若∠DCB=∠CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标．【答案】（1）y=﹣x2﹣x+3；（2）①点D坐标为（﹣，0）；②点M（，0）.【解析】（1）将点（-6，0），C（0，3），B（4，0）代入y=ax2+bx+c，得，解得：，∴抛物线解析式为：y=-x2-x+3；（2）①存在点D，使得△APQ和△CDO全等，当D在线段OA上，∠QAP=∠DCO，AP=OC=3时，△APQ和△CDO全等，∴tan∠QAP=tan∠DCO，，∴，∴OD=，∴点D坐标为（-，0）.由对称性，当点D坐标为（，0）时，由点B坐标为（4，0），此时点D（，0）在线段OB上满足条件．②∵OC=3，OB=4，∴BC=5，∵∠DCB=∠CDB，∴BD=BC=5，∴OD=BD-OB=1，则点D坐标为（-1，0）且AD=BD=5，连DN，CM，则DN=DM，∠NDC=∠MDC，∴∠NDC=∠DCB，∴DN∥BC，∴，则点N为AC中点．∴DN时△ABC的中位线，∵DN=DM=BC=，∴OM=DM-OD=∴点M（，0）针对训练1．如图，在平面直角坐标系中，以点M（2，0）为圆心的⊙M与y轴相切于原点O，过点B（﹣2，0）作⊙M的切线，切点为C，抛物线经过点B和点M．（1）求这条抛物线解析式；（2）求点C的坐标，并判断点C是否在（1）中抛物线上；（3）动点P从原点O出发，沿y轴负半轴以每秒1个单位长的速度向下运动，当运动t秒时到达点Q处．此时△BOQ与△MCB全等，求t的值．【答案】（1）y＝﹣x2+；（2）点C在（1）的抛物线上；（3）t＝2．【解析】（1）将点M（2，0）、B（﹣2，0）代入y x2+bx+c中，得：解得：∴抛物线的解析式：y x2．（2）连接MC，则MC⊥BC；过点C作CD⊥x轴于D，如图，在Rt△BCM中，CD⊥BM，CM＝2，BM＝4，则：DM1，CD，OD＝OM﹣DM＝1，∴C（1，）．当x＝1时，y x2，所以点C在（1）的抛物线上．（3）△BCM和△BOQ中，OB＝CM＝2，∠BOQ＝∠BCM＝90°，若两三角形全等，则：OQ＝BC，∴当t＝2时，△MCB和△BOQ全等．2．（广西田阳县实验中学2019届九年级中考一）如图所示，抛物线（m＞0）的顶点为A，直线与轴的交点为点B.（1）求出抛物线的对称轴及顶点A的坐标（用含的代数式表示）；（2）证明点A在直线上，并求∠OAB的度数；（3）动点Q在抛物线对称轴上，问：抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等？若存在，求出的值，并写出所有符合上述条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）抛物线的对称轴为直线，顶点A的坐标为（，0）；（2）∠OAB=30°；（3）存在，①=时，P（0，-），P（，-）；②=时，P（，-3），P（3+，-3）；③=2时，P（，-3），P（，-3）；④=时，P（，-），P（，-）.【解析】（1）对称轴：x=m；顶点：A（m，0）．（2）将x=m代入函数y=x-m，得y=×m-m=0∴点A（m，0）在直线l上．当x=0时，y=-m，∴B（0，-m）tan∠OAB=，∴∠OAB=30度．（3）以点P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等共有以下四种情况：①当∠AQP=90°，PQ=m，AQ=m时，如图1，此时点P在y轴上，与点B重合，其坐标为（0，-m），代入抛物线y=-（x-m）2得-m=-3m2，∵m＞0，∴m=这时有P（0，-）1（，-）也满足条件．其关于对称轴的对称点P2②当∠AQP=90°，PQ=m，AQ=m时点P坐标为（m-m，-m），代入抛物线y=-（x-m）2得m=m2，∵m＞0，∴m=这时有P 3（3-，-3）还有关于对称轴的对称点P 4（3+，-3）．③当∠APQ=90°，AP=m ，PQ=m 时点P 坐标为（m ，−m ），代入抛物线y=-（x-m）2得m=m 2，∵m＞0，∴m=2这时有P 5（，-3）还有关于对称轴的对称点P 6（3，-3）．④当∠APQ=90°，AP=m，PQ=m 时点P 坐标为（m ，−m ），代入抛物线y=-（x-m）2得m=m 2，∵m＞0，∴m=这时有P 7（，-）还有关于对称轴对称的点P 8（，-）．所以当m=时，有点P 1（0，-），P 2（，-）；当m=时，有点P 3（3-，-3），P 4（3+，-3）；当m=2时，有点P 5（，-3），P 6（3，-3）；当m=时，有点P 7（，-），P 8（，-）．3．如图1，抛物线y 1=ax 2﹣x+c 与x 轴交于点A 和点B（1，0），与y 轴交于点C（0，），抛物线y 1的顶点为G，GM⊥x 轴于点M．将抛物线y 1平移后得到顶点为B 且对称轴为直线l 的抛物线y 2．（1）求抛物线y 2的解析式；（2）如图2，在直线l 上是否存在点T，使△TAC 是等腰三角形？若存在，请求出所有点T 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P 为抛物线y 1上一动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线y 2于点Q，点Q 关于直线l 的对称点为R，若以P，Q，R 为顶点的三角形与△AMG 全等，求直线PR 的解析式．【答案】（1）y 2=-x 2+x-；（2）存在；（3）y=﹣x+或y=﹣.【解析】（1）由已知，c=，将B（1，0）代入，得：a﹣=0，解得a=﹣，抛物线解析式为y 1=x 2-x+，∵抛物线y 1平移后得到y 2，且顶点为B（1，0），∴y 2=﹣（x﹣1）2，即y 2=-x 2+x-；（2）存在，如图1：抛物线y 2的对称轴l 为x=1，设T（1，t），已知A（﹣3，0），C（0，），过点T 作TE⊥y 轴于E，则TC 2=TE 2+CE 2=12+（）2=t 2﹣t+，TA 2=TB 2+AB 2=（1+3）2+t 2=t 2+16，AC 2=，当TC=AC 时，t 2﹣t+=，解得：t 1=，t 2=；当TA=AC 时，t 2+16=，无解；当TA=TC 时，t 2﹣t+=t 2+16，解得t 3=﹣；当点T 坐标分别为（1，），（1，），（1，﹣）时，△TAC 为等腰三角形；（3）如图2：设P（m，），则Q（m，），∵Q、R 关于x=1对称∴R（2﹣m，），①当点P 在直线l 左侧时，PQ=1﹣m，QR=2﹣2m，∵△PQR 与△AMG 全等，∴当PQ=GM 且QR=AM 时，m=0，∴P（0，），即点P、C 重合，∴R（2，﹣），由此求直线PR 解析式为y=﹣x+，当PQ=AM 且QR=GM 时，无解；②当点P 在直线l 右侧时，同理：PQ=m﹣1，QR=2m﹣2，则P（2，﹣），R（0，﹣），PQ 解析式为：y=﹣；∴PR 解析式为：y=﹣x+或y=﹣.类型三确定的相似三角形条件的判定应用例3：（重庆市九龙坡区西彭三中2019届九年级（上)期末）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m，0），过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点Q，交直线BD 于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）点P在线段AB上运动的过程中，是否存在点Q，使得△BOD∽△QBM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）已知点F（0，），点P在x轴上运动，试求当m为何值时以D、M、Q、F为顶点的四边形是平行四边形．【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）存在，点Q的坐标为（3，2）；（3）m＝﹣1或m＝3或m＝1+或1﹣时，四边形DMQF是平行四边形．【解析】（1）由抛物线过点A（﹣1，0）、B（4，0）可设解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），将点C（0，2）代入，得：﹣4a＝2，解得：a＝﹣，则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+2；（2）如图所示：∵当△BOD∽△QBM时，则，∵∠MBQ＝90°，∴∠MBP+∠PBQ＝90°，∵∠MPB＝∠BPQ＝90°，∴∠MBP+∠BMP＝90°，∴∠BMP＝∠PBQ，∴△MBQ∽△BPQ，∴，∴，解得：m 1＝3、m 2＝4，当m＝4时，点P、Q、M 均与点B 重合，不能构成三角形，舍去，∴m＝3，点Q 的坐标为（3，2）；（3）由题意知点D 坐标为（0，﹣2），设直线BD 解析式为y＝kx+b，将B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得：，解得：，∴直线BD 解析式为y＝x﹣2，∵QM⊥x 轴，P（m，0），∴Q（m，﹣m 2+m+2）、M（m，m﹣2），则QM＝﹣m 2+m+2﹣（m﹣2）＝﹣m 2+m+4，∵F（0，）、D（0，﹣2），∴DF＝，∵QM∥DF，∴当|﹣m 2+m+4|＝时，四边形DMQF 是平行四边形，解得：m＝﹣1或m＝3或m＝1+或1﹣即m＝﹣1或m＝3或m＝1+或1﹣时，四边形DMQF是平行四边形．针对训练1．（湖南省长沙一中2018届九年级（下)段考）如图1，一次函数y＝﹣x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点D，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C，其图象过A、D两点，并与x轴交于另一个点B（B点在A 点左侧），若；（1）求此抛物线的解析式；（2）连结AC、BD，问在x轴上是否存在一个动点Q，使A、C、Q三点构成的三角形与△ABD相似．如果存在，求出Q点坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，若点P是抛物线上一动点，且在直线AD下方，（点P不与点A、点D重合），过点P作y轴的平行线l与直线AD交于点M，点N在直线AD上，且满足△MPN∽△ABD，求△MPN面积的最大值．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）见解析;（3）△MPN的面积的最大值为:．【解析】（1）当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则D（3，0）；当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，则A（3，0），∵OD＝OA，∴△OAD为等腰直角三角形，∴AD＝3，∵，∴AB＝2，∴B（1，0），设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），把D（0，3）代入得a•（﹣1）•（﹣3）＝3，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3；（2）作CH⊥x轴，如图1，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴C（2，﹣1）∴AH＝CH＝1，∴△ACH为等腰直角三角形，∴∠CAH＝45°，AC＝，∵△OAD为等腰直角三角形，∴∠DAO＝45°，∵∠CAQ＝∠DAB，∴当时，△AQC∽△ADB，即，解得AQ＝3，此时Q（0，0）；当时，△AQC∽△ABD，即，解得AQ＝，此时Q（，0）；综上所述，Q点的坐标为（0，0）或（，0）；（3）作PE⊥AD于E，如图2，∵△MPN∽△ABD，∴，∴MN＝MP，设P（x，x2﹣4x+3），则M（x，﹣x+3），∴MP＝﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，MP有最大值，∴MN的最大值为＝，∵∠PME＝45°，∴PE＝PM，∴PE的最大值为×＝，∴△MPN的面积的最大值为××＝．2．（浙江省嘉兴市海宁新仓中学2019届九年级上学期数学第一次月考）如图，抛物线y=ax2+bx+c过原点O、点A（2，﹣4）、点B（3，﹣3），与x轴交于点C，直线AB交x轴于点D，交y轴于点E．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标；（2）直线AF⊥x轴，垂足为点F，AF上取一点G，使△GBA∽△AOD，求此时点G的坐标；（3）过直线AF左侧的抛物线上点M作直线AB的垂线，垂足为点N，若∠BMN=∠OAF，求直线BM的函数表达式．【答案】（1）y=x2-4x；（2，-4）；（2）G（2，）；（3）y=或y=-3x+6．【解析】（1）解：将原点O（0,0）、点A（2，﹣4）、点B（3，﹣3），分别代入y=ax2+bx+c，得，解得，∴y=x2-4x=，∴顶点为（2，-4）.（2）解：设直线AB为y=kx+b，由点A（2，-4），B（3，-3），得解得，∴直线AB为y=x-6.当y=0时，x=6，∴点D（6，0）.∵点A（2，-4），D（6,0），B（3，-3），∴OA=，OD=6，AD=，AF=4，OF=2，DF=4，AB=，∴DF=AF，又∵AF⊥x轴，∴∠AD0=∠DAF=45°，∵△GBA∽△AOD，∴，∴，解得，∴FG=AF-AG=4-，∴点G（2，）.（3）解：如图1，∵∠BMN=∠OAF，，∴∠MBN=∠AOF，设直线BM与AF交于点H，∵∠ABH=∠AOD，∠HAB=∠ADO，∴∴，则，解得AH=，∴H（2，）.设直线BM为y=kx+b，∵将点B、G的坐标代入得，解得．∴直线BM的解析式为y=；如图2，BD=AD-AB=．∵∠BMN=∠OAF，∠GDB=∠ODA，∴△HBD∽△AOD．∴，即，解得DH=4．∴点H的坐标为（2，0）．设直线BM的解析式为y=kx+b．∵将点B和点G的坐标代入得：，解得k=-3，b=6．∴直线BM的解析式为y=-3x+6．综上所述，直线MB的解析式为y=或y=-3x+6．3．（江西省景德镇市2018届九年级第二次质检）如果一条抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，［a，b，c］称为“抛物线系数”．（1）任意抛物线都有“抛物线三角形”是______（填“真”或“假”）命题；（2）若一条抛物线系数为［1，0，－2］，则其“抛物线三角形”的面积为________；（3）若一条抛物线系数为［－1，2b，0］，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；（4）在（3）的前提下，该抛物线的顶点为A，与x轴交于O，B两点，在抛物线上是否存在一点P，过P 作PQ⊥x轴于点Q，使得△BPQ∽△OAB，如果存在，求出P点坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）假；（2）；（3）y＝－x2＋2x或y＝－x2－2x；（4）P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3）或（－1，1）．【解析】（1）当△＞0时，抛物线与x轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；（2）由题意得：，令y=0，得：x=，∴S==；（3）依题意：y＝－x2＋2bx，它与x轴交于点（0，0）和（2b，0）；当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形．∵y＝－x2＋2bx=，∴顶点为（b，b2），由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到：，∴，解得：b＝0（舍去）或b＝±1，∴y＝－x2＋2x或y＝－x2－2x．（4）①当抛物线为y＝－x2＋2x时．∵△AOB为等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，∴△BPQ为等腰直角三角形，设P（a，－a2＋2a），∴Q（（a，0），则｜－a2＋2a｜＝｜2－a｜，即．∵a－2≠0，∴，∴a=±1，∴P（1，1）或（－1，－3）．②当抛物线为y＝－x2－2x时．∵△AOB为等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，∴△BPQ为等腰直角三角形，设P（a，－a2－2a），∴Q（（a，0），则｜－a2－2a｜＝｜2+a｜，即．∵a+2≠0，∴，∴a=±1，∴P（1，－3，）或（－1，1）．综上所述：P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3，）或（－1，1）．类型四相似三角形存在性探究例4.（江苏省苏州市张家港市）如图，直线与轴交于点，与轴交于点,抛物线经过点.(1)求抛物线的解析式，(2)已知点是抛物线上的一个动点，并且点在第二象限内，过动点作轴于点，交线段于点.①如图1，过作轴于点，交抛物线于两点(点位于点的左侧)，连接，当线段的长度最短时，求点的坐标，②如图2，连接，若以为顶点的三角形与相似，求的面积.【答案】(1)；(2)①点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；②【解析】(1)把代入得，由，得，(2)①由题意可知，四边形是矩形，所以.由(1)可知，当时，最短，即最短，此时点是的中点，所以，，点的坐标为，将代入得，，点的坐标为，将代入得，，解得，，点的坐标为，点的坐标为②当时(如图2)，则、关于抛物线的对称轴对称，的坐标为，点的坐标为，，当时(如图3)，则是等腰直角三角形，，过点作于点，设点的坐标为，，，，解得，.针对训练1．（贵州黔东南州锦屏县敦寨中学2018-2019学年度九年级（上)期末数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝-x+2分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．点P是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．设点P的横坐标为m．（1）点A的坐标为．（2）求这条抛物线所对应的函数表达式．（3）点P在线段OA上时，若以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，求m的值．（4）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），称E、F、P三点为“共谐点”．直接写出E、F、P三点成为“共谐点”时m的值．【答案】（1）（4，0）（2）y＝﹣x2+x+2（3），（4）﹣1或﹣或【解析】（1）在y＝-x+2中，令y＝0，则x＝4，∴A（4，0）；故答案为：（4，0）；（2）∵在y＝-x+2中，令x＝0，则y＝2，∴B（0，2），把A（4，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，得b＝，∴这条抛物线所对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+2；（3）∵P（m，0），E（m，﹣m2+m+2），F（m，﹣m+2），∵且∠BFE＝∠AEP，∴∠BEP＝∠APF＝90°或∠EBF＝∠APF＝90°，则有BE⊥PE，∴E点的纵坐标为2，∴解得m＝0（舍去）或m＝，如图1，过点E作EC⊥y轴于点C，则∠EBC+∠BEC＝90°，EC＝m，BC＝﹣m2+m+2﹣2＝﹣m2+m，∵∠EBF＝90°，∴∠EBC+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BEC，∴Rt△ECB∽Rt△BOA，∴,∴,解得m＝0（舍去）或m＝，解得，m＝，综上所述，以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，m的值＝，（4）由（1）知，P（m，0），E（m，﹣m2+m+2），F（m，﹣m+2），∵E、F、P三点为“共谐点”，∴有F为线段PE的中点、P为线段FE的中点或E为线段PF的中点，当F为线段PE的中点时，则有2（﹣m+2）＝﹣m2+m+2，解得m＝4（三点重合，舍去）或m＝；当P为线段FE的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2）＝0，解得m＝4（舍去）或m＝﹣1；当E为线段FP的中点时，则有﹣m+2＝2（﹣m2+m+2），解得m＝4（舍去）或m＝﹣；综上可知当E、F、P三点成为“共谐点”时m的值为﹣1或﹣或．2．（广东省汕头市龙湖区2019届九年级上学期期末质量检测）如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点．(1)求出抛物线的解析式；(2)P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝－x 2＋x－2;(2)点P 为(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)或(0，－2).【解析】解：(1)∵该抛物线过点C(0，－2)，∴可设该抛物线的解析式为y＝ax 2＋bx－2.将A(4，0)，B(1，0)代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为.(2)存在，设P 点的横坐标为m，则P 点的纵坐标为－m 2＋m－2，当1＜m＜4时，AM＝4－m，PM＝－m 2＋m－2.又∵∠COA＝∠PMA＝90°，∴①当＝＝时，△APM∽△ACO，即4－m＝2(－m 2＋m－2)．解得m 1＝2，m 2＝4(舍去)，∴P(2，1)．②当＝＝时，△APM∽△CAO，即2(4－m)＝－m 2＋m－2.解得m 1＝4，m 2＝5(均不合题意，舍去)，∴当1＜m＜4时，P(2，1)．类似地可求出当m＞4时，P(5，－2)．当m＜1时，P(－3，－14)或P(0，－2)，综上所述，符合条件的点P 为(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)或(0，－2).3．（2018年四川省绵阳市中考数学试卷）如图，已知抛物线过点A(,-3)和B(3,0)，过点A 作直线AC//x 轴，交y 轴与点C.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P 作直线AC 的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P 为顶点的三角形与△AOC 相似，求出对应点P 的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）P点坐标为（4,6）或（,-）；（3）Q点坐标（3，0）或（-2，15）【解析】（1）把，和点，代入抛物线得：，解得：，，则抛物线解析式为；（2）当在直线上方时，设坐标为，则有，，当时，，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此时，；当时，，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此时，；当点时，也满足；当在直线下方时，同理可得：的坐标为，，综上，的坐标为，或，或，或；（3）在中，，，根据勾股定理得：，，，，边上的高为，过作，截取，过作，交轴于点，如图所示：在中，，即，过作轴，在中，，，即，，设直线解析式为，把坐标代入得：，即，即，联立得：，解得：或，即，或，，则抛物线上存在点，使得，此时点的坐标为，或，．4．（湖南省衡阳市2019届中考数学试卷）如图，已知直线分别交轴、轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①②答案见解析（2）存在，或【解析】（1）①如图1，，顶点为的坐标为，，当时，，则点坐标为，；②不存在．理由如下：，设点坐标为，则，，，当时，四边形为平行四边形，即，解得（舍去），，此时点坐标为，，，，平行四边形不为菱形，不存在点，使四边形为菱形；（2）存在．如图2，，，则，当时，，则，，设抛物线的解析式为，把代入得，解得，抛物线的解析式为，当时，，则，，，，当时，，即，解得，此时抛物线解析式为；当时，，即，解得，此时抛物线解析式为；综上所述，满足条件的抛物线的解析式为或．5．（湖北省襄州区2018届九年级上学期）如图，已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（2，0）、C（0，﹣4），直线l：y＝﹣x﹣4与x轴交于点D，点P是抛物线y＝ax2+x+c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F．（1）试求该抛物线表达式；（2）如图1，若点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标；（3）如图2，过点P作PH⊥y轴，垂足为H，连接AC．①求证：△ACD是直角三角形；②试问是否存在这样的点P，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝；（2）P的坐标为（﹣8，﹣4）或（﹣2.5，﹣）；（3）①详见解析；②点P 的横坐标为2或﹣5.5或﹣10.5或﹣18时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似．【解析】解：（1）把A（2，0）、C（0，﹣4）代入y＝ax2+x+c中得：，解得：，∴该抛物线表达式为：y＝x2+x﹣4；（2）如图1，设点P的坐标为（x，x2+x﹣4），则F（x，﹣x﹣4），∵点P在第三象限，∴PF＝（﹣x﹣4）﹣（x2+x﹣4）＝﹣﹣x，∵C（0，﹣4），∴OC＝4，∵四边形PCOF是平行四边形，且PF∥OC，∴PF＝OC＝4，即﹣﹣x＝4，2x 2+21x +40＝0，（x +8）（2x +5）＝0，x 1＝﹣8，x 2＝﹣2.5，当y ＝0时，x 2+x ﹣4＝0，解得：x 1＝﹣10，x 2＝2，∴P 的坐标为（﹣8，﹣4）或（﹣2.5，﹣）；（3）①当y ＝0时，﹣x ﹣4＝0，x ＝﹣8，∴D （﹣8，0），由勾股定理得：DC 2＝82+42＝80，AC 2＝22+42＝20，AD 2＝102＝100，∴AD 2＝AC 2+DC 2，∴∠ACD ＝90°，∴△ACD 是直角三角形；②设点P 的坐标为（x ，x 2+x ﹣4），由①知：∠ACD ＝90°，∠PHC ＝90°，AC ＝＝2，CD ＝＝4，∴＝如图3，点P 在第一象限，当△ACD ∽△PHC 时，则＝＝，∴CH ＝2PH ，∴x 2+x ﹣4﹣（﹣4）＝2x ，解得：x 1＝0（P 与C 重合，舍去），x 2＝2，∴此时点P 的横坐标为2；如图4，点P 在第一象限，当△ACD ∽△CHP 时，则＝，∴PH ＝2CH ，∴﹣x ＝2[﹣4﹣（x 2+x ﹣4）]，解得：x 1＝0（舍去），x 2＝﹣5.5，∴此时点P 的横坐标为﹣5.5；如图5，点P 在第二象限，当△ACD ∽△CHP 时，则＝，∴PH ＝2CH ，∴﹣x ＝2[（x 2+x ﹣4）﹣（﹣4）]，解得：x 1＝0（舍），x 2＝﹣10.5，∴此时点P 的横坐标为﹣10.5（P 在直线l 上）；如图6，点P 在第二象限，当△ACD ∽△PHC 时，则＝＝，∴CH ＝2PH ，∴[（x 2+x ﹣4）﹣（﹣4）]＝﹣2x ，解得：x 1＝0（舍），x 2＝﹣18，∴此时点P 的横坐标为﹣18；综上所述，点P 的横坐标为2或﹣5.5或﹣10.5或﹣18时，使得以点P 、C 、H 为顶点的三角形与△ACD 相似．6．（江西省南昌市2018届九年级中考三模数学）如图，一次函数y ＝﹣x ﹣2的图象与二次函数y ＝ax 2+bx ﹣4的图象交于x 轴上一点A ，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点C ．已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣4的图象与y 轴交于点D ，对称轴为直线x ＝n （n ＜0），n 是方程2x 2﹣3x ﹣2＝0的一个根，连接AD ．（1）求二次函数的解析式．（2）当S △ACB ＝3S △ADB 时，求点C 的坐标．（3）试判断坐标轴上是否存在这样的点C ，使得以点A 、B 、C 组成的三角形与△ADB 相似？若存在，试求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝2x 2+2x ﹣4；（2）点C 的坐标为（4，0）或（﹣8，0）；（3）在x 轴上有一点C （﹣4，0）或（﹣6，0），使得以点A 、B 、C 组成的三角形与△ADB 相似．【解析】（1）在y=-x-2中，令y=0，则x=-2∴A（-2，0）．由2x 2-3x-2=0，得x 1=-，x 2=2，∴二次函数y=ax 2+bx-4的对称轴为直线x=-，∴，解得，∴二次函数的解析式为：y=2x 2+2x-4；（2）∵S △ADB =BD•OA=2，∴S △ACB =3S △ADB =6．∵点C 在x 轴上，∴S △ACB =AC•OB=×2AC=6，∴AC=6．∵点A 的坐标为（-2，0），∴当S △ACB =3S △ADB 时，点C 的坐标为（4，0）或（-8，0）；（3）存在．理由：令x=0，一次函数与y 轴的交点为点B（0，-2），∴AB=，∠OAB=∠OBA=45°．∵在△ABD 中，∠BAD、∠ADB 都不等于45°，∠ABD=180°-45°=135°，∴点C 在点A 的左边．①AC 与BD 是对应边时，∵△ADB∽△BCA，∴=1，∴AC=BD=2，∴OC=OA+AC=2+2=4，∴点C 的坐标为（-4，0）．②当AC 与AB 是对应边时，∵△ADB∽△CBA ∴=，∴AC=AB=×2=4，∴OC=OA+AC=2+4=6，∴点C 的坐标为（-6，0）．综上所述，在x 轴上有一点C（-4，0）或（-6，0），使得以点A、B、C 组成的三角形与△ADB 相似．7．（人教版九年级上学期第二十二章二次函数单元检测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A、B 两点，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于点C（0，﹣3），点P 是直线BC 下方抛物线上的任意一点．（1）求这个二次函数y=x 2+bx+c 的解析式．（2）连接PO，PC，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C 为菱形,求点P 的坐标．（3）如果点P 在运动过程中，能使得以P、C、B 为顶点的三角形与△AOC 相似，请求出此时点P 的坐标．【答案】（1）y=x 2﹣2x﹣3（2）（2）（，-）（3）P、C、B 为顶点的三角形与△AOC 相似，此时点P的坐标（1，﹣4）【解析】（1）将B 、C 点代入函数解析式，得：，解得：，这个二次函数y ＝x 2+bx +c 的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）∵四边形POP ′C 为菱形，∴OC 与PP ′互相垂直平分，∴y P，即x 2﹣2x ﹣3，解得：x 1，x 2（舍），P （）；（3）∵∠PBC ＜90°，∴分两种情况讨论：①如图1，当∠PCB ＝90°时，过P 作PH ⊥y 轴于点H ，BC 的解析式为y ＝x ﹣3，CP 的解析式为y ＝﹣x ﹣3，设点P 的坐标为（m ，﹣3﹣m ），将点P 代入代入y ═x 2﹣2x ﹣3中，解得：m 1＝0（舍），m 2＝1，即P （1，﹣4）；AO ＝1，OC ＝3，CB ，CP ，此时3，△AOC ∽△PCB ；②如图2，当∠BPC ＝90°时，作PH ⊥y 轴于H ，作BD ⊥PH 于D ．∵PC ⊥PB ，∴△PHC ∽△BDP ，∴．设点P 的坐标为（m ，m 2﹣2m ﹣3），则PH =m ，HC =－（m 2﹣2m ﹣3）－（－3）=－m 2+2m ，BD =－（m 2﹣2m ﹣3），PD =3－m ，∴，∴，解得：m 或（舍去）．当m 时，m 2﹣2m ﹣3=．∵△PHC ∽△BDP ，∴==3，以P 、C 、B 为顶点的三角形与△AOC不相似．综上所述：P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，﹣4）．8．（江苏省东台市第二联盟2019届九年级12月月考）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．⑴求抛物线的解析式及点C的坐标；⑵求证：△ABC是直角三角形；⑶若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=﹣x2+2x；C(-1，-3)；(2)证明过程略；(3)（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）.【解析】解：（1）∵顶点坐标为（1，1），∴设抛物线解析式为y=a（x-1）2+1，又抛物线过原点，∴0=a（0-1）2+1，解得a=-1，∴抛物线解析式为y=-（x-1）2+1，即y=-x2+2x，联立抛物线和直线解析式可得,解得或,∴B（2，0），C（-1，-3）；（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形；（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，-x2+2x），∴ON=|x|，MN=|-x2+2x|，由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB=，BC=3，∵MN⊥x轴于点N∴∠ABC=∠MNO=90°，∴当△ABC和△MNO相似时有或，当时，则有，即|x||-x+2|=|x|，∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，∴x≠0，∴|-x+2|=，即-x+2=±，解得x=或x=，此时N点坐标为（，0）或（，0）；②当时，则有，即|x||-x+2|=3|x|，∴|-x+2|=3，即-x+2=±3，解得x=5或x=-1，此时N点坐标为（-1，0）或（5，0），综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（-1，0）或（5，0）．9．（江苏省东台市第二联盟2019届九年级12月月考）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．⑴求抛物线的解析式及点C的坐标；⑵求证：△ABC是直角三角形；⑶若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=﹣x2+2x；C(-1，-3)；(2)证明过程略；(3)（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）.【解析】解：（1）∵顶点坐标为（1，1），∴设抛物线解析式为y=a（x-1）2+1，又抛物线过原点，∴0=a（0-1）2+1，解得a=-1，∴抛物线解析式为y=-（x-1）2+1，即y=-x2+2x，联立抛物线和直线解析式可得,解得或,∴B（2，0），C（-1，-3）；（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形；（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，-x2+2x），∴ON=|x|，MN=|-x2+2x|，由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB=，BC=3，∵MN⊥x轴于点N∴∠ABC=∠MNO=90°，∴当△ABC和△MNO相似时有或，当时，则有，即|x||-x+2|=|x|，∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，∴x≠0，∴|-x+2|=，即-x+2=±，解得x=或x=，此时N点坐标为（，0）或（，0）；②当时，则有，即|x||-x+2|=3|x|，∴|-x+2|=3，即-x+2=±3，解得x=5或x=-1，此时N点坐标为（-1，0）或（5，0），综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（-1，0）或（5，0）．10．（段考模拟君之2018-2019学年九年级数学上学期期末原创卷A卷）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，1）和C（4，3）两点，与x轴交于点D、点E，过点B和点C的直线与x轴交于点A．(1)求二次函数的解析式；(2)在x轴上有一动点P，随着点P的移动，存在点P使△PBC是直角三角形，请你求出点P的坐标；(3)若动点P从A点出发，在x轴上沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q也从A点出发，以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，直接写出a的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)抛物线解析式y=x 2–x+1；(2)点P 坐标为（1，0），（3，0），（，0），（，0）；(3)a=或．【解析】(1)∵二次函数y=0.5x 2+bx+c 的图象过点B（0，1）和C（4，3）两点，∴，解得，∴抛物线解析式y=x 2–x+1．(2)设点P 坐标为（x，0）．∵点P（x，0），点B（0，1），点C（4，3），∴PB==，CP==，BC==2，若∠BCP=90°，则BP 2=BC 2+CP 2．∴x 2+1=20+x 2–8x+25，∴x=．若∠CBP=90°，则CP 2=BC 2+BP 2．∴x 2+1+20=x 2–8x+25，∴x=．若∠BPC=90°，则BC 2=BP 2+CP 2．∴x 2+1+x 2–8x+25=20，∴x 1=1，x 2=3，综上所述：点P 坐标为（1，0），（3，0），（，0），（，0）．(3)a=或．。

中考数学总复习《二次函数压轴题（特殊三角形问题）》专题训练(附有答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，抛物线24(0)y ax bx a =+-≠经过点()1,0A -，()3,0B 和点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）作直线BC ，点G 是线段BC 上一个动点，过点G 作y 轴的平行线交x 轴于点E ，交抛物线于点F ，过点F 作直线BC 的垂线，垂足为点D ，若设BEG ∆的周长为1C ，GDF ∆的周长为2C ，12C C C =+点G 的横坐标为()03m m <<，请用含m 的代数式表示C ，并计算当m 取何值时，C 取得最大值；（3）点P 是抛物线对称轴上的一点，若以点P ，C ，B 为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点P 的坐标． 2．如图，抛物线23233393y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ．点P 沿AC 以每秒1个单位长度的速度由点A 向点C 运动，同时，点Q 沿BO 以每秒2个单位长度的速度由点B 向点O 运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ ．过点Q 作OD x ⊥轴，与抛物线交于点D ，与BC 交于点E ，连接PD ，与BC 交于点F ．设点P 的运动时间为t 秒（0t >）．（1）求直线BC 的函数表达式；（2）求出P ，D 两点的纵坐标（用含t 的代数式表示，结果需化简）；（3）试探究在点P ，Q 运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F 为PD 的中点？若存在，请直接写出此时t 的值：若不存在，请说明理由．4⎝⎭当FPM是等边三角形时，求如图，在平面直角坐标系中，求证：△OAC求该抛物线的解析式；若点P是(2)坐标；若不存在，请说明理由，使得ACM7．如图，抛物线243y x x =-+的图像与坐标轴交于,,A B C 三点(1)求,A B 两点坐标；(2)如图1，若抛物线的顶点为E ，求ABC 与ABE 的面积之和；(3)在抛物线上是否存在点P ，使得ACB PAB ∠=∠，若存在，求出点P 坐标，若不存在，请说明理由． 8．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与y 轴交于点A(0，-4)，与x 轴交于点B(-2，0)，C(8，0)，连接AB ，AC ． （1）求出二次函数表达式；（2）若点N 在线段BC 上运动（不与点B ，C 重合），过点N 作NM∠AB ，交AC 于点M ，连接AN ，当以点A ，M ，N 为顶点的三角形与以点A ，B ，O 为顶点的三角形相似时，求此时点N 的坐标；（3）若点N 在x 轴上运动，当以点A ，N ，C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N 的坐标．9．已知抛物线C 1的顶点为P （1，0），且过点（0，14）．将抛物线C 1向下平移h 个单位（h ＞0）得到抛物线C 2．一条平行于x 轴的直线与两条抛物线交于A 、B 、C 、D 四点（如图），且点A 、C 关于y 轴对称，直线AB 与x 轴的距离是m 2（m ＞0）．（1）求抛物线C 1的解析式的一般形式；（2）当m=2时，求h 的值；（3）若抛物线C 1的对称轴与直线AB 交于点E ，与抛物线C 2交于点F ．求证：tan∠EDF ﹣tan∠ECP=．10．已知抛物线y =ax 2+bx +c （a >0）经过A （m ，n ）、B （2-m ，n ）两点．(1)求a 、b 满足的关系式；(2)如果抛物线的顶点P 在x 轴上，∠P AB 是面积为1的直角三角形，点C 是抛物线上动点（不与A 、B 重合），直线AC 、BC 分别与抛物线的对称轴交于点M 、N ．∠求抛物线的解析式；∠求证：PM =PN ．11．如图，抛物线()230y ax x c a =++≠与x 轴交于点()2,0A -和点B ，与y 轴交于点()0,8C ，顶点为D ，连接AC CD DB ，，，P 是第一象限内抛物线上的动点，连接PB PC ，，设点P 的横坐标为t ．(1)求抛物线的解析式；(2)当t 为何值时，PBC 的面积最大？并求出最大面积；(3)M 为直线BC 上一点，求MO MA +的最小值；(4)过P 点作PE x ⊥轴，交BC 于E 点．是否存在点P ，使得PEC 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线(5)(1)y a x x =-+与x 轴交于点A ，B 两点，与y 轴交于点C (0，52)．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在点P ，使△ACP 是以点A 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点G 为抛物线上的一动点，过点G 作GE 垂直于y 轴于点E ，交直线AC 于点D ，过点D 作x 轴的垂线，垂足为点F ，连接EF ．当线段EF 的长度最短时，求出点G 的坐标．13．如图所示，抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()1,0A -，点()4,0B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点M 是线段OB 上不与点O 、B 重合的点，过点M 作DM x ⊥轴，交抛物线于点D ，交BC 于点E ．（1）求抛物线的表达式；（2）过点D 作DF BC ⊥，垂足为点F ．设M 点的坐标为(),0M m ，请用含m 的代数式表示线段DF 的长，并求出当m 为何值时DF 有最大值，最大值是多少？（3）试探究是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点(1,0)A -，(4,0)B 与y 轴交于点(0,4)C ．(1)求此抛物线的解析式；(2)设点(2,)P n 在此抛物线上，AP 交y 轴于点E ，连接BE ，BP ，请判断BEP △的形状，并说明理由；(3)设抛物线的对称轴交x 轴于点D ，在线段BC 上是否存在点Q ，使得DBQ 成为等腰直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．参考答案： 1．（1）抛物线的关系式为248433y x x -=-；（2）216281255C m m =-++，当78m =时，C 取得最大值；（3）点P 的坐标为191,4⎛⎫- ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或(1,62)-或(1,62)--． 2．（1）3333y x =-+；（2）点P 的纵坐标为32t ，D 的纵坐标为2438393t t -+；（3）存在，t =3 3．(1)二次函数的解析式为214y x =； (2)略 (3)点P 的坐标为()233，或()233-，．4．（1）证明略；（2）213442y x x =-++；（3）（3，4+11），（3，4-11），（3，0）. 5．(1)-2(2)存在，317,48⎛⎫-- ⎪⎝⎭或5122⎛⎫- ⎪⎝⎭，6．(1)2142y x x =+- (2)当P 点的坐标为(-1，0)时，PCE S 的最大，且最大值为3 (3)(1，1)或(2，0)7．(1)(1,0)A (3,0)B(2)4(3)存在，点P 坐标为75,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或53,24⎛⎫- ⎪⎝⎭8．（1）213442y x x =--；（2）(3，0)或(0，0)；（3）(-8，0)或()845,0-或(3，0)或（8+45，0）9．解：（1） 2111y x x 424=-+． （2） h=5时，PBC的面积最大，最大面积为点的坐标为P25 22x x ++。

2020年中考数学压轴题复习：二次函数综合题1．已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；（3）设PQ的长为x（cm），试确定y与x之间的关系式．【分析】（1）本题要分情况进行讨论：①∠BPQ＝90°；②∠BQP＝90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．（2）本题可先用△ABC的面积﹣△PBQ的面积表示出四边形APQC的面积，即可得出y，t的函数关系式，然后另y等于三角形ABC面积的三分之二，可得出一个关于t的方程，如果方程无解则说明不存在这样的t值，如果方程有解，那么求出的t值就是题目所求的值．（3）可过P作PM⊥BC于M，先在直角三角形PQM中，用t表示出x，然后将x替换掉（2）中得出的y，t的函数关系式中t的值，即可得出y，x的函数关系式．【解答】解：（1）根据题意得AP＝tcm，BQ＝tcm，△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，∴BP＝（3﹣t）cm，△PBQ中，BP＝3﹣t，BQ＝t，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，当∠BQP＝90°时，BQ＝BP，即t＝（3﹣t），t＝1（秒），当∠BPQ＝90°时，BP＝BQ，3﹣t＝t，t＝2（秒），答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形．（2）过P作PM⊥BC于M，△BPM中，sin∠B＝，∴PM＝PB•sin∠B＝（3﹣t），∴S△PBQ＝BQ•PM＝•t•（3﹣t），∴y＝S△ABC﹣S△PBQ，＝×3×（3×）﹣•t•（3﹣t），＝t2﹣t+，∴y与t的关系式为y＝t2﹣t+，假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的，则S四边形APQC＝S△ABC，∴t2﹣t+＝××32×，∴t2﹣3t+3＝0，∵（﹣3）2﹣4×1×3＜0，∴方程无解，∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的．（3）在Rt△PQM中，∵MQ＝|BM﹣BQ|＝|（1﹣t）|，MQ2+PM2＝PQ2，∴x2＝[（1﹣t）]2+[（3﹣t）]2，＝（t2﹣2t+1）+（9﹣6t+t2），＝（4t2﹣12t+12）＝3t2﹣9t+9，∴t2﹣3t＝（x2﹣9），∵y＝t2﹣t+，∴y＝t2﹣t+＝×（x2﹣9）+＝x2+，∴y与x的关系式为y＝x2+．【点评】本题主要考查了直角三角形的判定、图形面积的求法、勾股定理以及二次函数的应用等知识点．考查学生数形结合的数学思想方法．。

二次函数中以三角形为主的中考压轴题
【例1】．（2013凉山州）如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c （a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴L在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；
(3)求S△APC的最大值。

【例2】．（2013•本溪）如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y的正半轴上，点B 的坐标是（5，3），抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一个交点是点D，连接BD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线对称轴上的一点，以M、B、D为顶点的三角形的面积是6，求点M的坐标；
【例3】．（2013•抚顺）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；。