黄冈启黄中学2013年秋季九年级入学考试数学试题
时间:120分钟满分:120分
一、选择题(每小题3分,共24分)
1、若3
x 在实数范围内有意义,则x的取值范围是()
A.x<3 B.x>3 C.x≤3 D.x≥3
2、若关于x的一元二次方程(a+1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,则a的值为()
A.1 B.-1 C.1或-1 D.1 2
3、如图,在正方形ABCD中有一点E,把△ABE绕点B旋转到△CBF,连接EF,则△EBF 的形状是()
A.等边三角形B.等腰三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形
4、如图,若AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=55°,则∠BCD=()
A.35°B.45°C.55°D.75°
5、今年福安白云山千古冰臼群迎来旅游高峰,前三天
...的游客人数共计
..约5.1万人,其中第一天的游客人数是1.2万人,假设每天游客增加的百分率相同,且设为x,则根据题意可列方程为()
A.1.2(1+x)2=5.1 B.1.2(3+x)2=5.1
C.1.2(1+2x)2=5.1 D.1.2+1.2(1+x)+1.2(1+x)2=5.1
6、已知m,n是方程x2-2x-1=0的两根,且(7m2-14m+a)(3n2-6n-7)=8,则a 的值为()
A.-5 B.5 C.-9 D.9
7、如图,⊙O 的半径为2 ,弦23AB =,点C 在弦AB 上,1
4
AC AB =,则OC 的长为( )
A .2
B .
72
C .
23
3
D .3
8、如图,AB 为⊙O 的直径,点M 为半圆的中点,点P 为半圆上的一点(不与A .B 重合),点I 为△ABP 的内心,IN⊥BP 于N ,下列结论:
①∠APM=45°;②2AB IM =
;③∠BIM=∠BAP;④
2
2
IN OB PM +=.
其中正确的个数有( )
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个 二、填空题(每小题3分,共21分)
9122718= ______________________.
10、若把代数式x 2
-3x +2化为(x -m )2
+k 的形式,其中m ,k 为常数,则m +k=___________.
11、已知a <0,则点P (a 2
,-a +3)关于原点的对称点P 1在第_____________象限. 12、如图,MN 为⊙O 的直径,A 、B 是⊙O 上的两点,过点A 作AC⊥MN 于点C ,过点B 作BD⊥MN 于点D ,P 为DC 上的任意一点,若MN=20,AC=8,BD=6,则PA +PB 的最小值为__________.
13、已知
33
55x x x x
--=
--,且x 为偶数,则212x x -+的值为_____________. 14、如图,把△ABC 绕点B 逆时针旋转26°得到△EBF,若EF 正好经过A 点,则
∠BAC=_____________.
26°
E
F
B
C
A
15、如图,平面直角坐标系中,⊙O 半径长为1,点P (a ,0),⊙P 的半径长为2,把⊙P 向左平移,当⊙P 与⊙O 相切时,a 的值为________________.
三、解答题(共75分)
16、解下列方程(每小题4分,共8分)
(1)x 2
-2x=1 (2)3x 2
-4x +1=0
17、(6分)已知实数x 、y 22440x y y y +-+=,求3y x +的值.
18、(7分) 如图,已知正方形ABCD 的边长为4,E 为CD 边上的一点,DE=1,以点A 为中心,把△ADE 顺时针旋转90°,得△ABE ′,连接EE ′,求EE ′的长.
C
A D
E
19、(7分)在⊙O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=40°,∠B=25°.
(1)求∠APD的大小;
(2)已知圆心O到BD的距离为3,求AD的长.
20、(7分)某玩具店购进一种儿童玩具,计划每个售价36元,能盈利80%,在销售中出现了滞销,于是先后两次降价,售价降为25元.
(1)求这种玩具的进价;(2)求平均每次降价的百分率(精确到0.1%).
21、(8分)已知x1,x2是关于x的一元二次方程22
2(1)30
x k x k
-++-=的两实根,且12
(1)(1)8
x x
++=,求k的值.
22、(8分)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,O为AB上一点,以O为圆心,OB长为半径的圆交BC于D,DE⊥AC交AC于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若⊙O与AC相切于点F,⊙O的半径为2cm,AB=AC=6cm,求∠A的度数.
E
D
O
A
C
B
F
23、(10分)如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=5cm ,BC=7cm .点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动,点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动.
(1)如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发,那么几秒后,△PBQ 的面积等于4cm 2
? (2)如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发,那么几秒后,PQ 的长度等于5cm ?
(3)如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发,△PBQ 的面积能否等于8cm 2
?说明理由.由
此思考:△PBQ 的面积最多为多少cm 2
?
24、 (14分) 如图1,AD 为⊙O 的直径,B 、C 为⊙O 上两点,点C 在AB 上,且AB CD ,过A 点作⊙O 的切线,交DB 的延长线于点E ,过点E 作DC 的垂线,垂足为点F . (1)求证:∠AED=∠ADF;
(2)探究BD 、BE 、EF 三者之间数量关系,并证明;
(3)如图2,若点B 在AC 上,其余条件不变,则BD 、BE 、EF 三者之间又有怎样的数量关系?请证明;
(4)在(3)的条件下,当AE=3,⊙O 半径为2时,求EF 的长.
参考答案及解析: 一、选择题
1、D
2、A
3、D
4、A
5、D
6、C
7、B
8、C 提示:①②④正确,对于②,连接BM ,证明IM=BM ,又2AB BM =,故②正
确;对于③,∵IM=BM,∴∠BIM=∠MBI,又∠BAP=∠BMI,若③正确,除非△MIB 为等边三角形,而P 是动点,∠PMB 不
一定为60°
,故③错误;对于④,连接OM ,易证
222,222IN PI OB BM IM =
==,22()22
IN OB PI IM PM ∴+=+=,故④正确.
二、填空题
9、22 10、5
4
11、三 12、142
解析:作点B 关于MN 的对称点B′,连接AB′,则AB′即为PA +PB 的最小值,过点B′作AC 的垂线,交AC 的延长线于点E ,连接OA ,OB ﹒
∵MN=20,
∴⊙O 的半径为10.
则在Rt△OBD 中,OB=10,BD=6,
22221068OD OB BD ∴=-=-=﹒
同理OC=6.
∴C D=OC +OD=6+8=14.
易证四边形B′ECD 是矩形,∴B′E= CD= 14,CE=B′D= BD=6, ∴AE=AC+CE=8+6=14.
22221414142AB AE B E ''∴=+=+=.
图1
图2
13、3 14、77° 15、±1,±3
三、解答题
16、(1)1211x x == (2)121
,13
x x ==
17、解析:
22440x y y y +-+=,
2
(2)0y -=﹒
20,(2)0y -≥,
∴2x +y=0,y -2=0﹒
∴x=-1,y=2,于是x +y=1.
18、解析:由旋转可知,△ABE′≌ △ADE,则BE′=DE=1,∠ABE′=∠ADE=90°, 于是∠ABE′+∠ABC=180°,所以点E′、B 、C 三点共线. 在Rt△E′CE 中,E′C=5,CE=3,
由勾股定理可得,E E '=
19、解析:(1)因为∠C=∠B=25°,∠CAB=40°, 所以∠APD=∠C+∠CAB=65°﹒
(2)过点O 作OE⊥BD,垂足为E ,则OE=3 , 由垂径定理可知BE=DE ﹒ 又∵OA=OB,
∴线段OE 是△ABD 的中位线, ∴AD=2OE=6.
20、解析:(1)设这种玩具的进价是x 元,则(1+80%)x=36, 解得x=20.
答:这种玩具的进价为20元.
(2)平均每次降价的百分率为y ,则36(1-y )2
=25, 解得1116.7%6y =
≈,211
6
y =(不合题意,舍去)
﹒ 答:平均每次降价的百分率为16.7%.
21、解析:依题意可知,122(1)22x x k k +=+=+,2123x x k =-, 由(x 1+1)(x 2+1)=8得121218x x x x +++=, 于是2
32218k k -+++=,即2
280k k +-=, 解得122,4k k ==-﹒
而22[2(1)]4(3)0k k ?=-+--≥,所以k ≥-2. 所以k=2.
22、解析:(1)证明:连接OD ,则OB=OD ,
∴∠OBD=∠ODB﹒ 又∵AB=AC, ∴∠OBD=∠C, ∴∠ODB=∠C, ∴OD∥AC﹒ 又∵DE⊥AC, ∴半径OD⊥DE﹒ ∴DE 是⊙O 的切线, (2)连接OF ﹒ ∵⊙O 与AC 相切, ∴半径OF⊥AC﹒
又∵AB=6cm,OF=OB=2cm , ∴AO=4cm, ∴∠A=30°﹒
23、解析:(1)设经过x 秒以后△PBQ 面积为4cm2,则1
(5)24
2x x -=﹒ 整理得x2-5x +4=0.解得121,4x x ==,
当x2=4时,2x=2×4=8>7,说明此时点Q 越过点C ,不合要求. 答:1秒后△PBQ 的面积等于4cm2. (2)当PQ=5时,
在Rt △PBQ 中,∵BP2+BQ2=PQ2, ∴(5-t )2+(2t )2=52, 5t2-10t=0, t (5t -10)=0, t1=0,t2=2,
∵t=0时不合题意,舍去,
∴当t=2时,PQ 的长度等于5cm .
(3)设经过x 秒以后△PBQ 面积为8cm2,则1
(5)28
2x x -=﹒
整理得:x2-5x +8=0, 而△=25-32=-7<0,
∴△PQB 的面积不能等于8cm2.
222152552525
(5)25[()]()224244
PQB S x x x x x x ?=-=-+=---=--+≤,
∴△PBQ 的面积最多为2
25cm 4
.
24、解析:(1)连接AC ,∠AED=90°-∠ADB=90°-∠DAC =∠ADF﹒
(2)过点E 作EP⊥AC 于P ,易证△AEP≌△ABE,∴BE=AP,∴BD=AC=AP-CP=BE -EF .
(3)由面积法及勾股定理得:12169
,,555
AB BD BE ===,作AM⊥EF 于M ,证△AME≌△ABE,ME=BE ,BD=AC=MF=ME +EF=BE +EF ,7
5
EF ∴=.