应用三角形中位线定理解决相关的问题

专题22 三角形中位线定理应用问题1．三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

3.对三角形中位线的深刻理解（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线.【例题1】（2020•福建）如图，面积为1的等边三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则△DEF 的面积是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．14 【答案】D【解析】根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．∵D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，1214∴DE =12AC ，DF =12BC ，EF =12AB ，∴DF BC =EF AB =DE AC =12，∴△DEF ∽△ABC ，∴S △DEFS △ABC =（DE AC ）2＝（12）2=14， ∵等边三角形ABC 的面积为1，∴△DEF 的面积是14.【对点练习】（2019内蒙古赤峰）如图，菱形ABCD 周长为20，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是CD 的中点，则OE 的长是（ ）A ．2.5B ．3C ．4D ．5【答案】A ．【解析】∵四边形ABCD 为菱形，∴CD ＝BC ＝＝5，且O 为BD 的中点， ∵E 为CD 的中点，∴OE 为△BCD 的中位线，∴OE ＝CB ＝2.5。

【点拨】掌握菱形特点，根据三角形中位线定理解决问题。

【例题2】（2020•临沂）如图，在△ABC 中，D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，H 为AF 与DG 的交点．若AC ＝6，则DH ＝ ．【解析】1．【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出BE ＝DE ＝AD ，BF ＝GF ＝CG ，AH ＝HF ，DH 是△AEF 的中位线，易证△BEF ∽△BAC ，得EF AC =BE AB ，解得EF ＝2，则DH =12EF ＝1． 【解析】∵D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，∴BE ＝DE ＝AD ，BF ＝GF ＝CG ，AH ＝HF ，∴AB ＝3BE ，DH 是△AEF 的中位线，∴DH =12EF ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴EF AC =BE AB ，即EF 6=BE 3BE ，解得：EF ＝2，∴DH =12EF =12×2＝1，【对点练习】（2019广西梧州）如图，已知在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 、G 分别是AD 、AE 的中点，且FG ＝2cm ，则BC 的长度是 cm ．【答案】8．【解析】利用三角形中位线定理求得FG＝DE，DE＝BC．如图，∵△ADE中，F、G分别是AD、AE的中点，∴DE＝2FG＝4cm，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE＝8cm【点拨】连续两次应用三角形中位线定理处理本题，是关键。

三角形中位线定理的教学设计10篇三角形中位线定理的教学设计10篇三角形中位线定理的教学设计(1)三角形中位线定理2、教学目标（一）知识目标（1）理解三角形中位线的概念（2）会证明三角形的中位线定理（3）能应用三角形中位线定理解决相关的问题；（二）过程与方法目标进一步经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，发展推理论证的能力。

体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用。

（三）情感目标通过拼图活动，来激发学生的求知欲，进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度。

3、重点与难点重点：理解并应用三角形中位线定理。

难点：三角形中位线定理的证明和运用。

【教学方法】启发式教学，在课堂教学，我始终贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线”【教学过程】（一）设景激趣，导入新课为了测量广场上的小假山外围圆形的宽(不能直接测量) 在平地上选一点A，再分别找出线段AB、AC的中点D、E，若测出DE的长，就可以求出宽BC。

你知道这是为什么吗？设计意图：问题是一切学习探究的先父，教材中创设的问题情境难度较大，学生不容易突破。

这里创设了一个现实情景，在这里教师不急予让学生找出答案，而是让学生带着问题去学习。

为了让学生主动的获得新知，先让学生动手做以下一个环节的动手操作活动。

2、三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段,叫做三角形的中位线如图，DE、EF、DF是三角形的3条中位线。

跟踪训练：①如果D、E分别为AB、AC的中点，那么DE为△ABC的；②如果DE为△ABC的中位线，那么 D、E分别为AB、AC的。

设计意图：学以致用，为了及时的使学生加深三角形中位线的概念印象，为后面的探究打下基础，设立了以上两道简单的抢答题，让学生学会及时的从图中找出信息。

（三）拼图活动、探索定理（用时大概5分钟）整个的拼图游戏我设计了以下两个问题：问题一：怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？问题二：猜想得出平行四边形后，简述证明过程。

如何使用三角形中位线定理解决问题答案：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

【举一反三】典例：已知△ABC的周长为50cm，中位线DE=8cm，中位线EF=10cm,则另一条中位线DF的长是（）A、5cm D、10cm C、9cmB、7cm思路导引:本题利用了三角形的中位线等于第三边的一半求解．三角形的中位线等于第三边的一半，所以三条中位线的长为：50÷2=25，所求的中位线为25减去另两条中位线的长．标准答案：解：∵三角形的中位线等于第三边的一半∴三条中位线长的和为：50÷2=25∴另一条中位线DF的长为：50÷2-（8+10）=7，故选B．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

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三角形中位线定理的证明与应用三角形中位线定理是初中数学中的重要定理，也是几何学中的基本概念之一。

本文将通过证明与应用，来深入解析三角形中位线定理的原理和意义。

一、三角形中位线定理的证明三角形中位线定理是指在任意三角形ABC中，连接三个顶点A、B、C处的中点形成的三条线段AD、BE、CF，它们两两平行且长度相等。

为了证明这个定理，我们可以利用向量和线段相等的性质进行推导。

假设三角形ABC的顶点分别为A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3），中点分别为D（x4,y4）、E（x5,y5）、F（x6,y6）。

可以得到以下向量关系式：AB = AO + OB = (x2 - x1, y2 - y1) + (x2, y2)BC = BO + OC = (x3 - x2, y3 - y2) + (x3, y3)AC = AO + OC = (x3 - x1, y3 - y1) + (x3, y3)根据中点的定义，可以得到：D = (A + B) / 2 = (x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2E = (B + C) / 2 = (x2 + x3) / 2, (y2 + y3) / 2F = (A + C) / 2 = (x1 + x3) / 2, (y1 + y3) / 2利用向量的加减法，可以计算得到：AD = D - A = [(x1 + x2) / 2 - x1, (y1 + y2) / 2 - y1]BE = E - B = [(x2 + x3) / 2 - x2, (y2 + y3) / 2 - y2]CF = F - C = [(x1 + x3) / 2 - x3, (y1 + y3) / 2 - y3]将上述结果代入，得到：AD = [(-x1 + x2) / 2, (-y1 + y2) / 2]BE = [(-x2 + x3) / 2, (-y2 + y3) / 2]CF = [(x1 - x3) / 2, (y1 - y3) / 2]可以观察到AD、BE、CF的x方向和y方向的分量相等，即它们的长度相等。

三角形中位线定理应用举例三角形的中位线定理是几何中一个重要定理，它不仅反映了图形间线段的位置关系，而且还揭示了线段间的数量关系，利用三角形中位线定理可以解决许多相关的问题.一、借助中位线定理选择结论例1如图1，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（ ）.（A ）线段EF 的长逐渐增大（B ）线段EF 的长逐渐减小（C ）线段EF 的长不变（D ）线段EF 的长与点P 的位置有关分析：由E ，F 分别为AP ，RP 的中点，由此可联想三角形的中位线，故连接AR ，由于已知条件可知EF 为ARP 的中位线，根据中位线定理可知EF=21AR ， 由于点P 从点C 到点D 移动的移动过程中，AR 始终不变，∴EF 的长度也不变.解：连接AR ，∵E ，F 分别是PA ，PR 的中点，∴EF=21AB ， ∵AR 不变，∴线段EF 的长不变.故选（C ）.点评：本题通过巧妙地连接AR ，把问题转化为三角形中位线问题，借助于中位线的性质俩来解决.二、借助中位线定理求长度例2 某花木场有一块如四边形ABCD 的空地（如图2），两对角线相等，各边的中点分别是E 、F 、G 、H ，用篱笆围成的四边形EFGH 场地的周长为40cm ，则对角线AC= cm 分析：根据E 、F 分别为BA ，BC 的中点，可知EF 为△ABC 的中位线，根据中位线定理可得EF=21AC ，同理可得HG=21AC ，HE=21BD ，FG=21BD ，根据两对角线相等可得EF=FG=GH=HE ，由此可求到EF 的长，也就求到AC 的长.解：∵E ，F 分别是BA ，BC 的中点，∴EF=21AC ，同理可得HG=21AC ， ∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴EH=21BD ，同理可得FG=21BD ， ∵AC=BD ，∴EF=FG=GH=HE ，∵EF+FG+GH+HE=40cm ，∴EF=10cm ，∴AC=2EF=20cm.点评：根据已知条件的特点，本题是将四边形问题转化为三角形问题，通过多次利用三角形中位线的性质，确定EF 的长，进而求到AC 的长.例3 如图3，已知四边形ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，且EF//AB ，与对角线交于M 、N 两点，若EF=20cm ，MN=8cm ，求AB 的长.图3分析：根据E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且EF//AB ，可知EN 、FM 分别是△ABD 和△ABC 的中位线，根据三角形的中位线的性质可得到EN 、FM 与AB 之间的数量关系，进而求到EF 、MN 与AB 之间的关系.解：因为EF//AB ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，所以EN 是△ABD 的中位线，所以EN=21AB ， 同理可得FM=21AB ， 所以EN+FM=AB ， 所以(EM+MN)+(MN+NF)=AB ，即EF+MN=AB ，所以AB=20+8=28(cm). 评注:本题借助三角形中位线的性质找到AB 与EN 、MF 之间的关系，然后通过线段之间的转化得到AB 与EF 、MN 之间的关系.三、借助中位线定理说理例4 如图4，在△ABC 中，BC>AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连结EF.说明EF ∥CB 理由分析：根据E 为AB 的中点，要说明EF//BC ，可说明EF 为△ABC 的中位线，为此，需要证明F 为AD 的中点.解：∵CF 平分∠ACB ，∴∠DCF=∠ACF.又∵DC=AC ，∴CF 是△ACD 的中线，∴ 点F 是AD 的中点.∵ 点E 是AB 的中点，∴ EF//BD ，即 EF ∥BC.点评：本题根据点E 为AB 的中点联想三角形的中位线，打开了证明的思路，在解决类似问题中应注意中位线的应用.例5 已知，如图5，在△ABC 中，AE=EC ，AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，BE=2EF ，AD 与BE 相等吗？说明理由.图5分析：根据AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，可知AD//EF ，再根据AE=CE 可知EF 是△ACD 的中位线，根据中位线的性质可知EF 等于AD 的一半，又知EF 等于BE 的一半，所以可以说明AD=BE.解：BE=AD.理由：因为AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，所以AD//EF ，因为AE=CE ，所以EF 是△ACD 的中位线，所以EF=21AD ， 又EF=21BE ，所以BE=AD. 评注：本题主要根据三角形的中位线的性质，找到AD 与EF 的关系，再根据BE 与EF 的关系，进而得到AD=BE.四、借助中位线定理计算角度例6 如图1，四边形形ABCD 中，AB ∥CD ，AD = CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若∠1 = 35 ，则∠D = ．图6分析:根据E 、F 分别是AB 、BC 的中点,可知EF 是ABC 的中位线,根据中位线性质可知EF//AC,这样可得∠CAB=∠1=35°,再根据CD//AB,可得∠DCA=∠CAB=35°,由此可求到∠D 的度数.解:因为E 、F 分别是AB 、BC 的中点,所以EF//CA,所以∠CAB=∠1=35°,又CD//AB,所以∠DAC=∠CAB=35°,又因为DC=DA,所以∠DAC=35°,所以∠D=110°.评注:本题主要借助三角形中位线的性质以及等腰三角形的性质,找到∠1的度数与∠D 的度数之间的关系.五、借助中位线定理判断四边形的形状例7 如图7，点E F G H ，，，分别为四边形ABCD 的边AB BC CD DA ，，，的中点，试判断四边形EFGH 的形状，并说明理由．分析：因为点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的各边中点，中点联想中位线，所以连接AC ，可利用三角形的中位线的性质，说明HG//EF ，HG=EF ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行三边形说明四边形HEFG 是平行四边形.解：四边形EFGH 是平行四边形理由：连结AC ，如图2．因为E 、F 分别是AB 、BC 的中点，所以EF 是ABC △的中位线，所以EF//AC ，且12EF AC =． 同理：GH AC ∥，且12GH AC =，所以EF GH ∴ ∥． 所以四边形EFGH 是平行四边形．评注：当已知四边形各边的中点时，一般需要连接四边形的对角线，将四边形转化为两个三角形，然后利用三角形中位线的性质解决问题.A B C G D H F E 图7。

三角形中位线定理的应用三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好这部分内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习．它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系；（2）等于第三边的一半，这是数量关系．就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系．我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用．一、证明问题1、证明角相等关系例1、如图、四边ABCD 中，AB =CD ，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，EF ⊥MN 交AB 于E ，交CD 于F ，求证：∠AEF =∠DFE分析：欲证：∠AEF =∠DFE ．由MN ⊥EF 想到延长BA ，CD 与MN 的延长线交于P 、Q 只需证明∠EPN =∠Q ，如何利用中点的条件？ 想到三角形的中位线，连线BD ，取BD 的中点G ，则有12GM AB∥，12GN CD ∥，由于AB =CD ，进而有GM =GN ，∠GMN =∠GNM 然后再转化∠EPN =∠Q ，从而证出结论．证明：延长BA ，CD 分别与NM 的延长线交于P 、Q 连结BD ，取BD 的中点G ，连结GM 、GN ．∵G 、M 分别为△ABD 的边BD 、AD 的中点∴12GM AB ∥．同理可证：12GN AB∥，又∵AB =CD ，∴GM =GN ，∴∠GMN =∠GNM ，∵GM //AB ，GN =CD ，∴∠GMN =∠EPN ，∠GNM =∠Q ，∴∠EPN =∠Q ，又 EF ⊥MN ，∴∠AEF =∠DFE （等角的余角相等）说明：添辅助线是证明几何题的难点．若要添多条辅助线，更为困难，掌握一般添辅助线的规律是必要的，更为重要的是分析中自由添加辅助线，添辅助线是分析问题过程的一个步骤，这是几何的证明的较高层次，要在实践中仔细体会，不断摸索，不断总结．2、证明线段的倍分以及相等关系例2.如图，已知平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连线EF ，交BD 于M 点．求证：（1）BM =14BD （2）ME =MF 分析：欲证问题（1）由E 、F 分别为AB 、BC 中点想到连结AC ，由平行线等分线段定理可证得BM =MO ．又因为平行四边形的对角线互相平分，可得BO =OD ，即BM =41BD ．欲证问题(2)，由问题(1)中的辅助线，即连结AC ，由三角形中位线定理可得EM =12AO ，MF =12OC ，又由平行四边形对角线互相平分即可得到问题（2）的结论．证明：（1）连结AC ，交BD 于O 点，∵E 、F 分别为AB 、BC 中点，∴EF ∥AC ，∴BM =MO =12BO （平行线等分线段定理） 又∵四边形ABCD 是平行四边形∴BO =OD =12BD ，AO =OC =12AC ， ∴BM =1124BO BD ，即BM =14BD（2）∵M 是BO 的中点，E 、F 分别是AB 、BC 中的中点．∴12ME AD =，12MF OC =，又∵AO ＝OC ，∴ME ＝MF 小结：问题（1）看起来似乎与三角形中位线定理无关，其实这是从侧面的运用了三角形中位线的位置关系，即三角形的中位线平行于底边，而问题（2）直接运用了三角形中位线的数量关系．3、证明线段平行关系例3.如图，自△ABC 的顶点A ，向∠B 和∠C 的平分线作垂线，重足分别为D 、E ．求证：DE ∥BC 分析：欲证ED //BC 我们可想到有关平行的判定，但要找到有关角的关系很难，这时只要通过延长AD 、AE ，交BC 与CB 的延长线于G 与H ，通过证明△ABD 与△GBD 全等易证D 是AG 中点，同理E 为AH 的中点，故，ED 是△AEG 的中位线，当然有DE ∥BC ．证明：延长AD 、AE 交BC 、CB 的延长线于G 、H ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠1=∠2，又∵BD ⊥AD ，∴∠ADB =∠BDG =900． 在△ABD 与△GBD 中12BD BDBDG BDA⎧⎪⎨⎪⎩=== ∠∠∠∠，∴△ABD ≌△GBD (A S A ) ∴AD =DG ，同理可证，AE =GE ，∴D ，E 分别为AG ，AH 的中点， ∴ED ∥BC小结：由此题我们可以知道证明直线或线段平行除了平行判定等，还可以用中位线定理来证明直线或线段平行．二、比较大小1、比较线段大小 例4.如图，M 、N 是四边形ABCD 的边 BC 、AD 的中点，且AB 与CD 不平行．求证：MN ＜12(AB ＋CD ). 分析：欲证MN ＜12(AB ＋CD )，我们从表面上看这个问题比较复杂，但由M 、N 分别为BC 、AD 中点我们可以联想到如何构造三角形中位线来证明问题，通过连结BD ，并取BD 中点P ，连结NP 、MP 这时分别为△DAB 、△DCB 的中位线,这时三条线段NP 、MP 、MN 都在一个三角形里，问题就迎刃而解了．证明：连结BD 并取BD 中点P ，连结NP ，MP . ∵N 为AD 中点，P 为BD 中点.∴NP 为△DAB 的中位线，∴NP ＝12AB ，同理可得MP ＝12CD ．∵AB 与CD 不平行，∴P 点不在MN 上．在△PMN 中，由于两边之和大于第三边，∴MN ＜PM +PN ＝12(AB +CD )小结：此类题型通过转化,把有关的线段或与之有联系的线段集中在一个三角形中,再应用三角形的有关知识，如：三角形中位线及两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等知识，即可得出证明．2、比较角的大小例5、如图：AD 是△ABC 的中线，如果AB >AC ，那么∠BAD <∠CAD ． 分析：因为D 为BC 中点联想到，过点D 作中位线DE ，因为DE ∥AB 即△ABC 得到∠1=∠3，由AB >AC , 有12AB ＞12AC ，所以就有∠3＜∠2，即∠BAD <∠CAD证明：过点D 作DE ∥AB 交AC 于E ，∴DE ∥AB 且 DE =12AB ，E 为AC 中点．∴∠1=∠3，∵AB >AC ，∴12AB >12AC ，即在△AED 中，DE >AE ，∴∠3<∠2，∴∠1<∠2，即∠BAD <∠CAD小结：本题证角不相等，因为要证的两个角不在同一个三角形中，如果这两个角在同一个三角形中能应用：在同一个三角形中，大边对大角原理这时就考虑到如何将这两个角放在一个三角形中，通过观察只要过D 作DE ∥AB 就可解决求证问题．三、求值问题例6. 如图，正方形ABCD 两对角线相交于点E ，∠CAB 的平分线交BE 于G ，交BC 于F ，若GE ＝24 求FC 的长．分析：求FC 的长，因为E 为对角线交点，就是AC 中点所以作辅助线PE ∥BC 就有PE ∥FC 且有PE =21FC 所以只要能求出PE 的长即可，而PE 的长可由∠3＝∠4求出，因为∠3为△APE 的外角所以有∠3=∠2+∠5同理有∠4=∠1+∠7因为AF 为∠BAC 的平分线所以∠1=∠2又因为所以∠5=∠6,而∠6=∠7所以有∠3=∠4即PE =GE =12FC ,这样问题就解决了． 解：过点E ，作EP ∥BC ，交AF 于点P ，则P 为AF 中点，∵∠3＝∠2＋∠5＝∠2＋∠6，∠4＝∠1＋∠7，又∵AF 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2，又∵∠6＝∠7，∴∠3＝∠4，∴EP ＝EG ，∵PE 是△AFC 的中位线，∴PE ＝12FC =EG ，即FC =2EG =2PE =2×24=48小结：求值问题，主要是如何添加辅助线，将比较难的问题转为容易的问题．总之，三角形中位线定理及其应用，在初中数学中占有很重要的地位，如何正确添加辅助线构造三角形中位线对每个学生来说是一个重点也是一个难点．要求学生要善于觉察图形中的有关定理的基本图形，涉及到中点问题时要及时联想到有关定理．一条或一组合理地利用了题目条件的辅助线常见有一箭双雕甚至一箭多雕的效益，准确而理想的图形能有效地帮助我们迅速地捕捉到题意预定的目标．。

三角形的中位线定理【知识要点】问题1、什么是三角形的中线？什么是三角形的中位线？三角形有几条中位线？问题2、A、B两点被池塘隔开，现在要测量出A、B两点间的距离，但又无法直接去测量，怎么办？例（1）：如图已知，在△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB、AC中点，求证：DE∥BC，且DE=1/2BC．三角形的中位线定理：．应用：已知：如图所示，在四边形ABCD中，E、F、H、M分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：（1）AC和HG的关系；（2）AC和EF的关系；（3）四边形EFHM是平行四边形．【例题讲解】考点1、中位线定理的概念例题1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长是多少？训练1、如图, E、F分别是ABCD 的两边AB、CD的中点, AF交DE于P, BF交CE于Q,则PQ与AB 的关系是 .考点2、中位线定理解决周长相关的问题例题2、如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为（）A．5 B．10 C．20 D．40训练1、如果一个三角形的周长为10，那么连接各边中点所成的三角形的周长为（）A．4B．5C．6D．12例题2-1、如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②∥PAB的周长；③∥PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∥APB 的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）训练1、如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7 B．9 C．10 D．11训练2、如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，对角线AC、BD的长分别为7和9，则四边形EFGH的周长是______.训练3、如图，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是________.已知第一个三角形的周长为1，它的三条中位线组成第二个三角形，第二个三角形的三条中位线又组成第三个三角形，以此类推，则第50个三角形的周长为（）A．（）50B．（）51C．（）49D．（）48考点3、中点四边形问题例题3、证明：顺次连接四边形各边重点所得到的四边形一定是（）；思考：什么情况下得到的平行四边形可以成为矩形？原来四边形的两条对角线连接四边中点所得到的四边形矩形菱形正方形平行四边形练习1.△ABC中，AB=3，BC=5，CA=7，顺次连结三边中点得△DEF的周长为_________.2．若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是（）A．矩形B．菱形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形3.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（）A．矩形B．等腰梯形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形4.顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【及时训练】1、如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD=50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（）3．在△ABC中，D、E分别是BC、AC中点，BF平分△ABC．交DE于点F．AB=8，BC=6，则EF的长为（）A．1B．2C．3D．44．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3cm，则AB的长为（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm5．如图所示，在△ABC中，△A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高，H是BD、CE的交点，求△BHC的度数．6.如图，△ABC中，AB＞AC，AD平分△BAC，CD△AD，点E是BC的中点，若AB=12，AC=10，求DE的长．7.如图，在△ABCD中，AB=3，AD=4，E是CD的中点，则EO等于（）A．3B．4C．1.5D．28.如图，在△ABC中，AD=DE=EF=FB，DG△EH△FI△BC，已知BC=a，则DG+EH+FI的长是（）A．B．C．2a D．9．（1）回顾定理：如图1，在△ABC中，DE是△ABC的中位线．那么DE与BC的关系有．（2）运用定理：如图2，在四边形ABCD中，△ABC=50°，△BCD=40°，点F为AC的中点，点E为BD的中点．若AB=4，CD=6，求EF的长．【课堂总结】1.2.3.4.【课上练习】1．如图，在∥ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∥A=50°，∥ADE=60°，则∥C的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°3．如图，∥ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=4，AO=3，则四边形DEFG的周长为（）A．6B．7C．8D．125．如图，∥ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若DE=2，则BC=（）A．2B．3C．4D．56．如图，等边∥ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∥DEC的度数为（）A．30°B．60°C．120°D．150°7．如图∥ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=5，则BC的长为（）A．8B．9C．10D．118．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（）AB=24m B．MN△AB C．△CMN△△CAB D．CM：MA=1：25.如图，D是△ABC内一点，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．【课后练习】【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.。

2017-2018下学期八数专题复习 二：三角形中位线定理的运用例谈 第 1页（共 8页） 第 2页 （共 8页）2017—2018下学期八年级数学专题复习 二:三角形中位线定理的运用例谈赵化中学 郑宗平三角形的中位线定理在平面几何中比较特殊，它既反映三角形的中位线与三角形边的位置关系，又有与三角形边的数量关系的规律性结论；在一些所谓的几何难题中常见它的身影，而三角形的中位线往往能起牵线搭桥甚至是关键性的作用;下面我精选一部分“含"三角形的中位线的几何解答题，让我们共同来探究、解析、训练.知识要点:三角形的中位线平行于三角形第三边,并且等于第三边的一半.1。

三角形三条中位线围成的三角形与原三角形在某些数量上的关系⑴.周长关系如图点D E F 、、分别是⊿ABC 的三边BC CA AB 、、的中点，请探究⊿DEF 的周长 ⊿ABC 的周长的关系？分析: 点D E F 、、分别是⊿ABC 的三边BC CA AB 、、,,,111EF BC DE AB DF AC 222=== ∴()12EF DE DF BC AC AB ++=++所以三角形的三条中位线围成的三角形的周长是原三角形的周长的一半。

追踪练习：以上面的图为例，若⊿DEF 的周长为23cm ，则⊿ABC 的周长为 . ⑵。

面积关系如图点D E F 、、分别是⊿ABC 的三边BC CA AB 、、的中点，请探究⊿DEF 的面积与⊿ABC 的面积关系？ 略析：根据三角形中位线定理可以得出,,,,111EF BC DF AC DE AB EF BC DF AC DE AB 222===；,再利用线段中点的定义、平行线性质、平行四边形的性质等可以进一步推出DEF 、AFE 、FBD 、DEC是全等的，故它们的面积是相等的,则S ⊿ABC =4S ⊿DEF .所以三角形的三条中位线围成的三角形的面积是原三角形的面积的14. 说明：今后我们学习了相似三角形的性质后，这个结论的推导就简单多了。

如何利用三角形中位线定理三角形是初中数学中的重要内容，但是在学习三角形的时候，很多同学会发现一些特殊的线段，比如三角形中位线，但是很多同学并不知道如何利用这些特殊的线段来解决问题。

本文将介绍如何利用三角形中位线定理来解决一些实际问题。

一、三角形中位线定理的定义在三角形ABC中，连接AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，那么有以下定理：1. 三角形中线定理：DE = 1/2BC，EF = 1/2AC，FD = 1/2AB。

2. 三角形中位线定理：三条中位线交于一点，且交点离每个顶点的距离是从该顶点到对边中点距离的一半。

二、利用三角形中位线定理解决实际问题1. 求三角形中位线长度在三角形ABC中，连接AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，求DE的长度。

根据三角形中位线定理，DE的长度等于BC的一半，因此DE = 1/2BC。

如果知道BC的长度，就可以直接计算出DE的长度了。

2. 判断三角形是否为等腰三角形在三角形ABC中，连接AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，如果DE = EF，则三角形ABC为等腰三角形。

因为DE = 1/2BC，EF = 1/2AC，所以DE = EF等价于1/2BC = 1/2AC，即BC = AC，因此三角形ABC为等腰三角形。

3. 求三角形面积在三角形ABC中，连接AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，求三角形ABC的面积。

根据三角形面积公式，三角形ABC的面积等于1/2底边乘以高，而三角形的高正好是DE，因此三角形ABC的面积等于1/2BC乘以DE。

根据三角形中位线定理，DE = 1/2BC，因此三角形ABC的面积等于1/4BC。

4. 求三角形重心坐标在三角形ABC中，连接AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，三条中位线交于点G，求点G的坐标。

根据三角形中位线定理，点G离每个顶点的距离是从该顶点到对边中点距离的一半。

因此，点G的坐标可以通过计算三个顶点的坐标和对边中点的坐标来求得。

专题22 三角形中位线定理应用问题1．三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

3.对三角形中位线的深刻理解（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线.【例题1】（2020•福建）如图，面积为1的等边三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则△DEF 的面积是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．14 【答案】D【解析】根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．∵D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，1214∴DE =12AC ，DF =12BC ，EF =12AB ，∴DF BC =EF AB =DE AC =12，∴△DEF ∽△ABC ，∴S △DEFS △ABC =（DE AC ）2＝（12）2=14， ∵等边三角形ABC 的面积为1，∴△DEF 的面积是14.【对点练习】（2019内蒙古赤峰）如图，菱形ABCD 周长为20，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是CD 的中点，则OE 的长是（ ）A ．2.5B ．3C ．4D ．5【答案】A ．【解析】∵四边形ABCD 为菱形，∴CD ＝BC ＝＝5，且O 为BD 的中点， ∵E 为CD 的中点，∴OE 为△BCD 的中位线，∴OE ＝CB ＝2.5。

【点拨】掌握菱形特点，根据三角形中位线定理解决问题。

【例题2】（2020•临沂）如图，在△ABC 中，D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，H 为AF 与DG 的交点．若AC ＝6，则DH ＝ ．【解析】1．【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出BE ＝DE ＝AD ，BF ＝GF ＝CG ，AH ＝HF ，DH 是△AEF 的中位线，易证△BEF ∽△BAC ，得EF AC =BE AB ，解得EF ＝2，则DH =12EF ＝1． 【解析】∵D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，∴BE ＝DE ＝AD ，BF ＝GF ＝CG ，AH ＝HF ，∴AB ＝3BE ，DH 是△AEF 的中位线，∴DH =12EF ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴EF AC =BE AB ，即EF 6=BE 3BE ，解得：EF ＝2，∴DH =12EF =12×2＝1，【对点练习】（2019广西梧州）如图，已知在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 、G 分别是AD 、AE 的中点，且FG ＝2cm ，则BC 的长度是 cm ．【答案】8．【解析】利用三角形中位线定理求得FG＝DE，DE＝BC．如图，∵△ADE中，F、G分别是AD、AE的中点，∴DE＝2FG＝4cm，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE＝8cm【点拨】连续两次应用三角形中位线定理处理本题，是关键。

第二课时三角形的中位线定理及应用指导思想：教师必须树立正确的学生观，摆正教师和学生在教育过程中的位置，正确处理教师与学生的关系，主体与主导的有机结合，融为一体。

设计理念：义务教育阶段的数学应体现基础性、普及性和发展性，所以我的设计理念是引导学生进行探究式的学习活动，通过动手操作，发现规律，把自主探索作为数学学习的重要方式，让学生个性得到发展，让学生认识到数学的应用性，乐于投入数学学习中。

教材分析：三角形的中位线是几何学的主要标志之一，是初中数学的重要组成部分。

在当代社会中，三角形的中位线的应用非常广泛，它是人们参加社会生活，从事劳动和学习，研究现代科学技术必不可少的工具，他的内容，思想，方法和语言已广泛渗入自然科学，成为现代文化的重要组成部分。

而且三角形的中位线的性质也学习梯形中位线的基础，为四边形的中点问题服务。

学情分析：本班学生基础知识不是很扎实，因此，本节课着眼于基础，注重能力的培养，积极引导学生首先通过实际操作获得结论，然后借助于平行四边形的有关知识进行探索和证明。

在此过程中注重知识的迁移同时重点渗透转化、类比、归纳的数学思想方法，使学生的优势得以发挥，劣势得以改进，从而提高学生的整体水平。

教学目标：知识与能力：理解并掌握三角形中位线的概念，性质，会利用三角形中位线的性质解决有关问题。

培养学生解决问题的能力和空间思维能力。

过程与方法：1，经历探索三角形性质的过程，让学生动手实践，自主探索，合作交流。

2，通过对问题的探索研究，培养学生大胆猜想。

合理论证的科学精神，培养思维的灵活性情感与评价：通过学生的团结协作，交流，培养学生友好相处的感情。

体会数学学科的价值，建立正确的数学学习观。

教学的重点，难点：探索并运用三角形中位线的性质，是本课的重点。

从学生年龄特点考虑，证明三角形中位线性质定理的辅助线的添法和性质的灵活应用，运用转化思想解决有关问题是本课的难点。

破这个难点，必须理解三角形中位线与中线的区别这个关键问题，正确应用已有的知识，发现并寻找比较的方法。

数学篇数苑纵横三角形中位线的性质是平面几何中的一个重要定理.该定理的结论既包含两线段所在直线的位置关系，又包含两线段之间的数量关系，在解答平面几何问题中有着广泛的应用．在运用三角形中位线的性质解题时，有时需要运用平行关系，有时需要运用倍分关系，可以根据具体情况，按需选用.下面结合例题予以说明.一、三角形中位线的定义和性质三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形有三条边，所以三角形的中位线应该有三条，如图1所示：如果点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，那么线段DE 、EF 、FD 都是三角形的中位线.三角形中位线的性质:三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.由此不难得到三角形的中位线与第三边的关系：(1)位置关系：三角形的中位线与第三边互相平行，如在图1中，有DF ∥BC ；(2)数量关系：三角形的中位线等于第三边的一半，如在图1中，有DF =12BC.图1二、三角形中位线的性质在解题中的应用中位线的性质在解三角形问题时通常有以下三种用途：第一种是用于三角形的线段长度的计算；第二种是证明线段间的位置关系或由位置关系得出角之间的关系；第三种是求解三角形内线段间的和、差、倍分关系．1.利用三角形中位线的性质证明角相等由于三角形的中位线与三角形第三边之间存在平行的位置关系，因此，在证明两个角相等的时候，就可以借助或构造三角形的中位线，利用两直线平行，同位角及内错角相等来证明.这样既快捷，又简便.例1如图2，四边形ABCD 中，AB =CD ，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，GH ⊥EF 交于点P .延长BA ，FE 相交于点Q ，延长CD 交FE 的延长线于点K ，求证：∠AGH =∠DHG．图2图3分析：如图，连接BD ，作BD 的中点M ，连接EM 、FM ．利用三角形中位线定理证得△MEF 是等腰三角形，则∠EMP =∠FMP ．利用三角形中位线定理、平行线的性质推知∠Q =∠CKF ，由等量代换，证得∠AGH =∠DHG ．证明：如图3，连接BD ，作BD 的中点M ，三角形中位线的性质及其应用探析江西九江卢明23数学篇数苑纵横连接EM 、FM ，∵点E 是AD 的中点，∴ME 是△ADG 的中位线，∴ME ∥AB ，ME ＝12AB ，∴∠AGH ＝∠EMP ，同理可证：MF ∥DC ，MF ＝12DC ，∵AB ＝CD ，∴ME ＝MF ，∴∠MFE ＝∠MEF ，∵∠MFE ＝∠CKF ，∠MEF ＝∠Q ，∴∠Q ＝∠CKF ，∵GH ⊥EF ，∴∠QPG ＝∠KPH ＝90°，∴∠Q +∠AGH ＝90°，∠CKF +∠DHG ＝90°，∴∠AGH ＝∠DHG ．2.利用三角形中位线的性质求线段的长度三角形中位线的长度等于第三边长度的一半.利用好这个性质，可以为我们求解两线段的数量关系提供一个重要的依据.所以当题目中遇到三角形一边的中点，所求的问题涉及求线段的长度时，常将三角形中位线的性质和三角形其他知识结合起来.例2如图4，△ABC 中，M 是BC 的中点，AD 是∠A 的平分线，BD ⊥AD 于D ，AB =12，AC =18，求DM的长．例4图5分析：由于DM 无法直接求出，因此可通过构建三角形来得出与DM 相关联的线段，延长BD 交AC 于E ．AD 是∠BAC 的平分线，那么∠BAD ＝∠CAD ，AD ⊥BE ，又有一条公共边，所以△ABD 和△ADE 全等.那么AB ＝AE ，BD ＝DE ，又有BM ＝MC ，所以DM 是三角形BCE 的中位线，那么DM ＝12CE ，又因为CE ＝AC -AE ＝AC -AB ＝6，因此DM ＝3．解：延长BD 交AC 于E ，如图5，∵BD ⊥AD ，∴∠ADB ＝∠ADE ＝90°，∵AD 是∠A 的平分线，∴∠BAD ＝∠EAD ，在△ABD 与△AED 中ìíîïï∠BAD =∠EAD ,AD =AD ,∠ADB =∠ADE ,∴△ABD ≌△AED （ASA ），∴BD ＝ED ，AE ＝AB ＝12，∴EC ＝AC -AE ＝18-12＝6，∵M 是BC 的中点，∴DM ＝12EC ＝12×6=3．3.利用三角形中位线的性质证明线段的倍分关系三角形的中位线不仅体现了线段之间的位置关系，也体现了线段之间的数量关系．在证明线段的和差倍分等问题中，最重要的是找到线段之间的数量关系，而很多题目是难以直接进行数量转换的，因此需作出正确的辅助线，找出图形中形状、位置或者数量上的联系，借助中间量，将所求线段之间的间接关系转化为直接关系，最终求得答案．例5已知，如图6，在△ABC 中AB =AC ，延长AB 到D ，使BD =AB ，E 为AB 的中点，求证：CD =2CE .图6分析：这是证明线段的倍半问题，证明一24数学篇数苑纵横条线段等于另一条线段的二倍或一半时，常常是先找出短线段二倍长的线段，或者取长线段的一半，设法把线段的倍半问题转化为证明线段相等的问题.这就是通常所说的“加倍”“折半”的方法.方法1：找出CD 的一半，然后证明CD 的一半和CE 相等，取CD 中点F ，证CF =CE .证明：取CD 的中点F ，连接BF ，如图7.图7∴CD =2CF ，∵AB =BD ，∴BF 是△ADC 的一条中位线，BF ∥AC ，BF =12AC ，∴∠2=∠ACB ，∵AB =AC ,∴∠1=∠ACB ，∠1=∠2，∴E 是AB 中点，BE =12AC ，∵BF =12AC ，且AB =AC ，∴BE =BF .在△BCE 和△BCF 中，ìíîïïBE =BF ,∠1=∠2,BC =BC ,∴△BCE ≌△BCF (SAS)，∴CE =CF ，∵CD =CF ，CD =2CF ，∴CD =2CE .方法2：找出CE 的2倍，然后证明CE 的2倍和CD 相等，因此，要延长CE 到F ,使EF =CE ，证CF =CD .证明：延长CE 至F ,使EF =CE ，连接FB ，如图8.图8∴CF =2CE ，∠1=∠2，∵E 为AB 中点，∴AE =BE ，在△AEC 和△BEF 中ìíîïïCE =EF ,∠1=∠2,AE =BE ,∴△AEC ≌△BEF (SAS),∴AC =BF ，∠3=∠F ，∴AC ∥BF ，∠FBC +∠ACB =180°，∵∠CBD +∠ABC =180°，又∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ，∴∠FBC =∠DBC ，∵AC =AB ，AB =BC ，AC =BF ，∴BF =BD .在△CBF 和△CBD 中，ìíîïïCB =CB ,∠FBC =∠DBC ,BF =BD ,∴△CBF ≌△CBD (SAS)，∴CD =CF ，CF =2CE ，∴CD =2CE .由以上几例不难看出，当题目有中点这一条件时，应设法寻找另一个“中点”，以构造三角形的中位线，然后利用中位线的性质解题.这是一种常用的解题技巧.25。

6.4 三角形的中位线教学目标【知识与能力】（1）理解三角形中位线的概念。

（2）会证明三角形的中位线定理。

（3）能应用三角形中位线定理解决相关的问题。

【过程与方法】进一步经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，发展推理论证的能力。

体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用。

【情感态度价值观】通过拼图活动，来激发学生的求知欲，进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度。

教学重难点【教学重点】理解并应用三角形中位线定理。

【教学难点】三角形中位线定理的证明和运用。

课前准备无教学过程本节课分为五个环节：设景激趣，引入新课 概念学习，感悟新知 拼图活动，探索定理 巩固练习，强化新知 小结归纳，作业布置（一）设景激趣，导入新课为了测量广场上的小假山外围圆形的宽(不能直接测量) 在平地上选一点A ，再分别找出线段AB 、AC 的中点D 、E ，若测出DE 的长，就可以求出宽BC 。

你知道这是为什么吗？设计意图：问题是一切学习探究的先父，教材中创设的问题情境难度较大，学生不容易突破。

这里创设了一个现实情景，在这里教师不急于让学生找出答案，而是让学生带着问题去学习。

为了让学生主动的获得新知，先让学生动手做以下一个环节的动手操作活动。

（二） 概念学习（引导探究，获得新知） BAC DE1、动手实践探索请您做一做（让学生拿出自己预先准备好的三角形纸板）：1、找出三边的中点2、连接6点中的任意两点3、找找哪些线是你已经学过的，哪些是未曾学过的B F设计意图：在本环节，让学生经过动手操作，学生会发现有3条是已经学过的中线，有3条是没有学过的。

最终给出三角形中位线的定义。

也引出了本节课的课题：三角形的中位线。

这样做，既让学生得出三角形中位线的概念又让学生在无形中区分了三角形的中线和三角形中位线2、三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段,叫做三角形的中位线.如图，DE、EF、DF是三角形的3条中位线。

例谈中位线定理在几何问题中的应用作者：***来源：《中学教学参考·理科版》2024年第02期［摘要］中位线定理是初中数学的重要定理，它在平面几何问题的解决中有广泛的应用。

文章通过分析典型例题，介绍一些中位线定理的应用方法，旨在帮助学生提高解题效率，提升解题能力。

［关键词］中位线定理；几何问题；应用［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2024）05-0009-03中位线定理是初中数学的重要定理，它在平面几何问题的解决中有广泛的应用。

下面笔者结合一些典型例题介绍一些中位线定理的应用方法。

一、利用中位線定理求线段的长因为中位线定理反映两条线段之间的数量关系，所以已知三角形中位线与第三边中的其中一个量，就可以求得另一个量。

［例1］（1）课本再现：如图1所示，[D]、[E]分别是[△ABC]的边[AB]、[AC]的中点。

求证：[DE]∥[BC]，且[DE=12BC]。

定理证明：如图2所示，延长[DE]至点[F]，使得[EF=DE]，连接[CF]。

请你写出完整的证明过程。

（2）知识应用：如图3所示，在四边形[ABCD]中，[AB=6]，[CD=8]，[∠BAC=30°]，[∠ACD=120°]，点[E]、[F]、[M]分别是[AD]、[BC]、[AC]的中点，求[EF]的长。

（1）证明：在[△AED]和[△CEF]中，[DE=FE，∠AED=∠CEFAE=CE，]，∴[△AED ]≌[△CEF]（SAS），∴[AD=CF]，[∠A=∠ECF]，∴[AB]∥[CF]，∵[AD=BD]，∴[BD=CF]，∴四边形[DBCF]为平行四边形，∴[DF]∥[BC]，[DF=BC]，∴[DE]∥[BC]，[DE=12BC]。

（2）解：∵点[E]、[M]分别是[AD]、[AC]的中点，∴[EM]是[△ADC]的中位线，∴[EM=12CD=4]，[EM]∥[CD]，∴[∠EMC+∠ACD=180°]，∵[∠ACD=120°]，∴[∠EMC=60°]。

三角形中位线定理与应用引言三角形是几何学中的重要概念，其性质和定理被广泛应用于数学和物理学的各个领域。

本文将介绍三角形中的一个重要定理——三角形中位线定理，并讨论其应用。

三角形中位线定理三角形中位线定理是指一个三角形的三个中位线交于一点且该点距离三个顶点的距离相等。

具体地说，对于任意三角形ABC，连接其中任意两个顶点的中点，得到三条中线AD，BE和CF。

中位线定理表明这三条中线交于一点G，并且G到三个顶点A、B和C的距离相等。

证明为了证明三角形中位线定理，我们先假设以点G为交点的中线AD与边BC的交点为点E。

根据中线的性质，AD的长度是线段BE的一半。

因此，我们可以得到以下等式： AE = 1/2 * BE （1）同理，根据中线的性质，AD的长度是线段EC的一半。

因此，我们可以得到以下等式： AE = 1/2 * EC （2）由等式（1）和（2）可知： 1/2 * BE = 1/2 * EC通过上述等式我们可以推导出BE = EC。

因此，点E在线段BC的中点。

同理，我们可以证明点G也是线段AB和线段AC的中点。

因此，三条中线AD、BE和CF都通过一点G，并且G到三个顶点A、B和C的距离相等。

应用三角形中位线定理不仅仅是一个理论定理，它还具有一些实际的应用。

下面我们将介绍一些常见的应用情况。

1. 建模问题三角形中位线定理可以用于解决一些建模问题。

例如，假设我们要在一个三角形中找到一个点，使得该点到三个顶点的距离之和最小。

根据中位线定理，我们可以简单地找到三条中线的交点，即为所求点。

这种方法在处理一些几何建模问题时非常实用。

2. 三角形特性分析通过三角形中位线定理，我们可以研究三角形的一些特性。

例如，我们可以推导出一个结论：三角形中位线的长度之和等于三角形三边长度之和的一半。

这个结论可以帮助我们分析三角形的性质和特点，并且在解决相关问题时提供了重要的线索。

3. 相似三角形问题三角形中位线定理还可以应用于相似三角形的问题。

3角形中位线定理三角形中位线定理，是在三角形中，与三条相邻边的中点相连的线段，它们构成的三个交点都在同一点上。

本文将从定理的证明、推广应用、例题等三个方面进行阐述。

一、定理的证明证明思路：设三角形ABC的三边分别为a、b、c，D为BC的中点，E为AC的中点，F 为AB的中点，则连接AD、BE、CF的交点为G。

则需证明AD、BE、CF三条线段的交点G是一个固定点。

证明：由于D、E、F都是各边中点，可得：∵ D是BC的中点，∴ BD = DC；又∵ G是AD与BE的交点，故可以得出：∵ D、E分别为BC和AC的中点，∴ DE // AC，同时AE = EC，∴ △AED与△CEB 相似。

$\frac{GA}{BD}=\frac{GC}{CE}$又 $\because BD=DC$ ， $\therefore GA=GC$同理可得：于是，我们得到了两个相等的值：GA=GC，GB=GC。

由此，可知三角形GAC是一个等腰三角形，且AG与CF之间的线段垂直于CF，同理可得：因为三角形GAC、GBA、CBG均拥有最长边CG，所以它们就构成了一个共同的圆，而这个圆的中心就是点G。

因此可以得知：三角形ABC的三边中位线的交点G是一个固定点。

二、推广应用利用中位线定理，我们可以推导容易证明的三条定理和一个相关问题：中位线长定值定理、七分线长定值定理、以及在四边形中应用中位线定理、解决中位线问题。

1. 中位线长定值定理在三角形中，如果其中一条中位线相等，那么这个三角形就是等边三角形。

设△ABC为等边三角形，则BD、AE、CF三条中位线的长度均为$\frac{1}{2}$边长，又 $\because BD=AE=CF$ ，所以可以得到：BD=AE=CF=$\frac{1}{2}$a=a，同理可得：b=c=a。

在三角形中，三条中位线可将它们所在线段的长分为1:2:3的比例。

首先，由于三角形的三角形内部对角线互不交于同一点，那么三角形内部的线段AB、AC、BC是不会共线的。