学而思初一数学秋季班第7章+含参数的一元一次方程(同步)

一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选（难）1．如图，数轴上 A、B 两点所对应的数分别是 a 和 b，且（a+5）2+|b﹣7|=0．（1）求 a，b；A、B 两点之间的距离．（2）有一动点 P 从点 A 出发第一次向左运动 1 个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当运动到 2019次时，求点P所对应的数．（3）在（2）的条件下，点P在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点 P 到点 A 的距离的3倍？请直接写出此时点 P所对应的数，并分别写出是第几次运动．【答案】（1）解：∵（a+5）2+|b﹣7|=0，∴a+5=0，b﹣7=0，∴a=﹣5，b=7；∴A、B两点之间的距离=|﹣5|+7=12；（2）解：设向左运动记为负数，向右运动记为正数，依题意得：﹣5﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+…+2018﹣2019=﹣5+1009﹣2019=﹣1015．答：点P所对应的数为﹣1015（3）解：设点P对应的有理数的值为x，①当点P在点A的左侧时：PA=﹣5﹣x，PB=7﹣x，依题意得：7﹣x=3（﹣5﹣x），解得：x=﹣11；②当点P在点A和点B之间时：PA=x﹣（﹣5）=x+5，PB=7﹣x，依题意得：7﹣x=3（x+5），解得：x=﹣2；③当点P在点B的右侧时：PA=x﹣（﹣5）=x+5，PB=x﹣7，依题意得：x﹣7=3（x+5），解得：x=﹣11，这与点P在点B的右侧（即 x＞7）矛盾，故舍去．综上所述，点P所对应的有理数分别是﹣11和﹣2．所以﹣11和﹣2分别是点P运动了第11次和第6次到达的位置．【解析】【分析】（1）由绝对值和平方的非负性可得a与b的值，相减得两点间的距离。

（2）设向左运动记为负数，向右运动记为正数，并在-5的基础上把得到的数据相加即可。

（3）设点P对应的有理数的值为x，分别表示PA和PB的长，列方程求解即可。

七年级数学秋季班10 一元一次方程七年级数学秋季班10一元一次方程让孩子和家庭幸福七年级数学（秋季班）第讲一元一次方程概念一、知识点概述知识点一、方程的有关概念1.定义：含有未知数的方程称为方程要点诠释：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是；二.是．2．方程的解：使方程左右两边的值相等的的值，叫做方程的解.关键点解释：要判断一个数字（或一组数字）是否是方程的解，只需看两点：① 它（或它们）是等式中未知数的值；② 将其（或它们）分别代入方程之和。

如果左边和右边相等，它们就是方程的解，否则就不是。

3.解方程：找到方程解的人叫做解方程4．方程的两个特征：（1）.方程是；（2）.方程中必须含有（或未知数）.知识点二、一元一次方程的有关概念定义：一个方程只包含一个未知数（元素），未知数的个数为，称为一元方程要点：（1）“元”指次数，“次”指次数，一元方程满足下列条件：①首先是一个方程;②其次是必须只含有未知数;③未知数的指数是1;④中不含有未知数．（2）一元一次方程的标准形式是：(其中a≠0，a,b是已知数).（3）一元一次方程的最简形式是：（其中a≠0，a,b是已知数）.知识点三、等式的性质1.等式的概念：用符号“=”表示等式关系的等式称为等式2．等式的性质：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果.即：如果(c为一个数或一个式子).方程的性质2：当方程的两边乘以相同的数字，或除以不为0的相同数字时，结果仍然相等，即如果，那然后么；如果，那么.要点：（1）根据方程的两个性质，使方程变形，方程的两边必须同时精确变形；（2）等式性质1中，强调的是，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，例如，在x=0时，如果两边都加上x+，这个方程就不成立；(3)等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为．二、经典例子例1．下列各式，哪些是等式？哪些是方程？①3a+4②x+2y＝8③5-3＝2；④十、二2二18?2；⑤y＝10；⑥??3；xx②⑦3y+y＝0⑧2a-3a⑨3a＜2a。

第三节 一元一次方程的应用1．解一元一次方程应用题的步骤(1)审：分析题目中的已知量和未知量，明确数量关系； (2)找：找出题目中的等量关系；(3)设：设未知数．一般有直接设元和间接设元； (4)列：根据找出的等量关系列方程； (5)解：求解方程的解；(6)验：检验方程的解是否满足为方程的解且要满足实际意义； (7)答：写出答案（注意单位）． 2．等量关系(1)和、差、倍、分问题：①倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现； ②多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现； ③两数和=较大的数+较小的数，较大的数=较小的数×倍数±增（或减）数． (2)公式： ①折扣标签价售价⨯=②进价售价利润-= ③00100⨯=进价利润利润率④速度时间路程⨯=⑤流水行船问题：水船逆水水船顺水；v v -v v -v v == ⑥追击问题：t v v ⋅-=)(s 21；相遇问题：t v v ⋅+=)(s 21 ⑦工程问题：时间工作效率工作量⨯=⑧浓度=0010000100⨯+=⨯溶剂溶质溶质溶液溶质 ．(3).数字问题① 要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a ，十位数字是6，个位数字为。

（其中a ，b ，c 均为整数，且)90,90,91≤≤≤≤≤≤c b a 则这个三位数表示为：.10100c b a ++然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程：② 数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用n 2表示，连续的偶数用22,2+n n 或22-n 表示：奇数用12+n 或12-n 表示，1.设元的方法(1)直接设元：问什么设什么；(2)间接设元：问什么不设什么，而是通过设其他量为未知数，间接求出所求的量：(3)设辅助元：有些时候设的未知数不够，需要再设一个未知数，才能列方程，而设的第二个未知数不需要求解， 解题过程中可以消掉，例1．已知：某商人经营甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为%,40每件乙种商品的利润率为%.60当售出的乙种商品的件数比售出的甲种商品的件数多%50时，这个商人得到的总利润率为%.50那么，当每件甲种商品的进价为600元，求每件乙种商品的进价为多少元，检测1.（山东泰州中考）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售，请你帮商场计算一下，每件衬衫降价元时．销售完这批衬衫正好达到盈利%45的预期目标．例2．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个，或盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有280张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？检测2．某生产车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使每天生产的产品配套．例3．某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．你认为哪种方案获利最多？为什么，检测3.（福建惠安县模拟）某牛奶加工厂现有鲜奶8吨，若市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元，该工厂的生产能力是：如制成酸奶每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨．受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该工厂设计了两种可行方案：方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶； 方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．你认为选择哪种方案获利最多？为什么．例4．（广东深圳中考）下表为深圳市居民每月用水收费标准，（单位：元)./3m（1）某用户用水10立方米，共交水费23元，求a 的值；（2）在(1)的前提下，该用户5月份交水费71元，请问该用户用水多少立方米．检测4.从2004年8月1日起，浙江省城乡居民生活用电执行新的电价政策，小聪家今年安装了新的电表，他了解到安装“一户一表”的居民用户，按用电量（每家用户电表所表示的用电量）实行阶梯式累进加价，其中低于50千瓦时（含50千瓦时）部分电价不调整；51 - 200千瓦时部分每千瓦时电价上调0.03元；超过200千瓦时的部分每千瓦时电价再上调0.10元．已知调整前电价统一为每千瓦时0.53元． (1)若小聪家10月份的用电量为130千瓦时，则10月份小聪家应付电费____元； (2)已知小聪家10月份的用电量为m 千瓦时，请完成下列填空：①若50≤m 千瓦时，则10月份小聪家应付电费为 元；②若20050≤<m 千瓦时，则10月份小聪家应付电费为 元； ③若200>m 千瓦时，则10月份小聪家应付电费为 元．(3)若10月份小聪家应付电费为96.50元，则10月份小聪家的用电量是 千瓦时，第三节一元一次方程的应用(建议用时:35分钟)实战演练10每辆1．（黑龙江大庆）某品牌自行车1月份销售量为100辆，每辆车售价相同．2月份的销售量比1月份增加%,车的售价比1月份降低了80元.2月份与1月份的销售总额相同，则1月份的售价为( ).D元.C元1080.B元720880.A元8002．（哈尔滨）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母（一名工人一天只能生产一种产品），为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，设安排-r 名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是( )x x A 800)26(10002.=-⨯ x x B 800)13(1000.=- x x C 8002)26(1000.⨯=- x x D 800)26(1000.=-3．（哈尔滨香坊区模拟）一艘轮船从甲码头到乙码头顺水航行，用了2小时，从乙码头到甲码头逆水航行，用了2.5小时，已知水流速度为3千米／时．设轮船在静水中的速度为z 千米／时，可列出的方程为( )35.232.-=+x x A )3(5.2)3(2.-=+x x B 35.232.-=-x x C )3(5.2)3(2.+=-x x D4．（贵州沿河县期末）在矩形ABCD 中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图3-3-1所示，求小长方形的宽AE.若AE=x (cm)，依题 意可得方程( )x x A 31426.-=+ )314(26.B x x x -+=+6314.=-x C x x D -=+1426.5．（山东聊城中考）在如图3-3-2所示的2016年6月份的月历表中， 任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是( ) 27.A 51.B 69.C 72.D 6．（江苏南京期末）一件衬衫先按成本加价60元标价，再以8折出售， 仍可获利24元，这件衬衫的成本是多少钱？设衬衫的成本为x 元． (1)填写下表（用含有x 的代数式表示）：(2)根据相等关系列出方程： ． 7.一个长方形的周长为26cm ，这个长方形的长减少1cm ，宽增加2cm ，就可成为一个正方形，设长方形的长为x cm ，可列方程____ ．8. (1)有两个工程队，甲队人数30名，乙队人数10名，问怎样调整两队的人数，才能使甲队的人数是乙队人数的7倍．(2)有一个班的同学准备去划船，租了若干条船，他们计算了一下，如果比原计划多租1条船，那么正好每条船坐6人；如果比原计划少租1条船，那么正好每条船坐9人，问这个班共有多少名同学．9．一份试卷，一共30道选择题，答对一题得3分，答错一题扣1分，小红每题都答了，共得78分，那么小红答对了几道题？请根据题意，列出方程． 10．（山东海阳市校级期末）七年级(2)班的一个综合实践活动小组去A ，B 两个超市调查去年和今年“五一”期间的销售情况，下图是调查后小敏与其他两位同学进行交流的情景．根据他们的对话，求A ，B 两个超市“五一”期间的销售额（只需列出方程即可）．133--233--11．（上海松江区二模）某品牌电动车经销商一月份销售该品牌电动车100辆，二月份的销售量比一月份增加%,10 二月份每辆电动车的售价比一月份每辆电动车的售价低80元，二月份的销售总额比一月份销售总额多12200元，问一月份每辆电动车的售价是多少．12.某人原计划用26天生产一批零件，工作两天后因改变了操作方法，每天比原来多生产5个零件，结果提前4天完成任务，问原来每天生产多少个零件；这批零件有多少个． 13．（山东商河二模）某中学组织七年级学生参观，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；如果租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满．试问： (1)七年级学生人数是多少；(2)原计划租用45座客车多少辆．14．用正方形硬纸板做三棱柱盒子，如图3-3-3所示，每个盒子由3个长方形侧面和2个三边均相等的三角形底面组成，硬纸板以如图3-3-4两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用），现有19张硬纸板，裁剪时x 张用了A 方法，其余用B 方法．(1)用含x 的式子分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子．333-- 433--15.如图3-3-5所示，线段AB= 60厘米．(1)点P 沿线段AB 自A 点向B 点以4厘米／分的速度运动，同时点Q 沿直线自B 点向A 点以6厘米／分的速度运动，几分钟后，P ，Q 两点相遇； (2)几分钟后，P ，Q 两点相距20厘米； (3)如图3-3—6所示，8==PO AO 厘米，,40ο=∠POB 现将点P 绕着点0以20度／分的速度顺时针旋转一周后停止，同时点Q 沿直线BA 沿B 点向A 点运动，假若P ，Q 两点也能相遇，求点Q 的速度．633--16．（四川雁江区期末）小杰到食堂买饭，看到A ，B 两窗口前面排队的人一样多，就站在A 窗口队伍的里面，过了2分钟，他发现A 窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B 窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B 窗口队伍后面每分钟增加5人．此时，若小杰迅速从A 窗口队伍转移到B 窗口后面重新排队，将比继续在A 窗口排队提前30秒买到饭，求开始时，每队有多少人排队． 17．国家规定个人发表文字、出版图书所得稿费的纳税计算方法是：稿费不高于800元的不纳税；稿费高于800元，而低于4000元的应缴纳超过800元的那部分稿费的14%的税；稿费为4000元或高于4000元的应缴纳全部稿费的%11的税，试根据上述纳税的计算方法作答：(1)若王老师获得的稿费为2800元，则应纳税 元，若王老师获得的稿费为4000元，则应纳税 元； (2)设王老师获得的稿费为x 元．当4000800<<x 时，应纳税 元（用含x 的代数式表示）；533--当4000≥x 时，应纳税 元（用含x 的代数式表示）； (3)若王老师获稿费后纳税420元，求这笔稿费是多少元，拓展创新18．（山东烟台中考）由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：若该公司每月生产甲型号产品和生产乙型号产品的利润相同，求生产的甲型号产品的数量和乙型号产品的数量分别是多少．拓展1．在18题的前提下，若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只．拓展2．在18题的前提下，公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过230万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大；并求出最大利润（利润=销售收入一投入总成本）．极限挑战 19.如图3-3-7所示，一个5×5的方格网，按如下规律在每个格内都填有一个数：同一行中右格中的数与紧邻左格中的数的差是定值，同一列中上格中的数与紧邻下格中的数的差也是定值．请根据图中已填好的数，按这个规律将第3行填满（填在图中）．733--课堂答案培优答案。

第10讲_一元一次方程___奥数,学而思,超常班第十讲一元一次方程一、一元一次方程的解法相关概念：等式性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；（2）等式两边同时乘以或除以（除数不为零）同一个数，等式仍然成立。

方程：含有未知数的等式。

（两个注意：（1）含有未知数；（2）等式。

）元：未知数的个数（几种未知数就是几元）；次：未知数最高次项的次数。

解一元一次方程步骤：（1）去括号（注意①乘法分配律；②括号前是减号要变号）（2）移项（过桥变号）（3）合并（4）求解前两步易错。

例1：①2X+12=4X‐12解：12+12=4X‐2X（移项注意过桥变号；未知数放左边不够减就放右边） 24=2X（合并）X=12（求解；最后一步建议把X写左边）②10（X+2）=4（2X+7）解：10X+20=8X+28（去括号，注意乘法分配律）10X‐8X=28‐20（移项，注意变号）2X=8X=4超常学案1：①8X‐2（7+X）=4解：8X‐14‐2X=4（注意去括号要同时完成两个任务①乘法分配律；②括号前是减号要变号8X‐2X=4+146X=18X=3补充题：6（3‐X）‐5（X‐1）=1【X=2】3X+2‐2（2X‐1）=0【X=4】二、列方程解应用题步骤：设、列、解、（检验）、答。

我们学习方程工具以后，复杂的应用题不需要绕来绕去分析。

直接根据题意列方程求解即可。

设未知数有直接设未知数和间接设未知数。

（一）直接设未知数例2：（年龄问题）今年，爷爷的年龄是小李的5倍，小李发现，12年后，爷爷的年龄将是他的3倍，试求出今年小李的年龄。

解：设小李今年X岁，爷爷今年5X今年的年龄 12年后的年龄小李 X X+12爷爷 5X 5X+12根据“12年后，爷爷的年龄将是他的3倍，”列得方程：5X+12=3（X+12）解得X=12答：小李今年12岁。

注：表格助于分析整理条件，熟悉后可略去。

例4：（盈亏问题）一个工人接到加工一批零件的任务，限期完成。

第12讲 一元一次方程的应用一⎧⎪⎨⎪⎩日历问题一元一次方程的应用年龄问题行程问题 知识点1 一元一次方程的实际问题-日历问题1、列方程解应用题的步骤：①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x ）③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）2、日历问题要清楚未知数x 与其左面的数、右面的数、上面的数、下面的数的数量关系【典例】1.如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个长方形圈出2×2个位置相邻的4个数，若圈出的4个数的和为52，则最大数与最小数的积为_____【方法总结】1、明确各个数在日历中的位置关系，设较简单的数为未知数2、依据未知数x与其左面的数、右面的数、上面的数、下面的数的关系，表示其他位置的数【随堂练习】1．（2018•武汉）将正整数1至2018按一定规律排列如下表：平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（）A．2019B．2018C．2016D．20132．（2018春•浦东新区期末）在如图的2018年6月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（）A．72B．69C．51D．273．（2017秋•市南区期末）如图，方格中的格子被填上了数，每一行、每一列以及两条对角线中所填的数字之和均相等，则x的值为（）A．39B．13C．14D．9知识点2 一元一次方程的实际问题-年龄问题在年龄问题中，两个人的年龄差始终不变【典例】1.已知：派派的妈妈和派派今年共36岁，再过5年，派派的妈妈的年龄是派派年龄的4倍还大1岁，当派派的妈妈40岁时，派派的年龄为______岁．【方法总结】1、在年龄问题中，两个人的年龄差始终不变2、看清问题：是问谁的年龄？是现在的年龄还是几年前或几年后的年龄？【随堂练习】1．（2017秋•淮南期末）儿子今年12岁，父亲今年39岁，（）父亲的年龄是儿子的年龄的2倍．A．5年后B．9年后C．12年后D．15年后2．（2016秋•宝丰县期末）小丽今年13岁，她爸爸的年龄比她年龄的3倍小2岁，她爸爸的年龄是（）A．36B．37C．38D．40知识点3 一元一次方程的实际问题-行程问题1、基本量、基本数量关系：路程=速度×时间2、相遇问题：常用的相等关系为：甲走的路程+乙走的路程=两地距离．3、追及问题：寻找相等关系的方法有两种情况，（1）同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；（2）同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离=追者走的路程4、航行问题：（1）顺水速度=静水速度+水流速度（2）逆水速度=静水速度-水流速度5、解题技巧：要熟练画线形示意图来表示数量关系【典例】1.A、B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，20分钟后相遇，再过10分钟，甲所余路程为乙所余路程的2倍，求两人的速度．【方法总结】1、行程问题：路程=速度×时间2、相遇问题，要画线段图来表示和分析数量关系该题的等量关系为：甲剩余路程=乙剩余路程×2，先用总路程、相遇时间表示出俩人的速度，再将各自的速度带入所列的等量关系中。

定 义示例剖析等式的概念：用等号来表示相等关系的式子，叫做等式．123+=，15x +=，s ab =，a b c mxy n ++=+等式的类型恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立．条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立．矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立．33x x ==，方程56x +=需要1x =才成立．如32=，125+=，11x x +=-． 等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子．．），所得结果仍是等式． 等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是．．．．．0．），结果仍是等式． 若a b =，则a c b c ±=±．若a b =，则ac bc =，若a b =且0c ≠，则a bc c=．在等式变形中，以下两个性质也经常用到：①等式具有对称性，即：如果a b =，那么b a =；②等式具有传递性，即：如果a b =，b c =，那么a c =.【例1】 下列各式中，哪些是等式？是等式的请指出类型．43x -、15713++=、1722y -=、231x x =+、64y -、5x y +=、π 3.14≈，20a b +>，22x x =，7171x x +=-.【解析】 等式有：15713++=，1722y -=，231x x =+，5x y +=，22x x =，7171x x +=-；夯实基础模块一 等式的概念及性质7一元一次方程的解法及应用恒等式：15713++=，22x x =；条件等式：1722y -=，231x x =+，5x y +=；矛盾等式：7171x x +=-.【例2】 ⑴ 根据等式的性质填空：① 4a b =-，则a b +=______； ② 359x +=，则39x =- ；③ 683x y =+，则x =________； ④ 122x y =+，则x = ．⑵ 已知等式325a b =+，则下列等式中不一定成立的是（ ）A ．352a b -=B ．3126a b +=+C ．325ac bc =+D ．2533a b =+（北京二中期中）⑶ 下列变形中，根据等式的性质变形正确的是（ ）A ．由1233x -=，得2x = B ．由3222x x -=+，得4x =C ．由233x x -=，得3x =D ．由357x -=，得375x =-（海淀区期末）【解析】 ⑴ ①4，在等式两端同时加上b ； ② 5，在等式两端同时加上5-；③ 836y +，在等式的两端同时乘以16； ④ 24y +，在等式的两端同时乘以2．⑵ C ；⑶ B定 义示例剖析方程：含有未知数的等式．．．即： ①方程中必须含有未知数；②方程是等式，但等式不一定是方程．例如123+=是等式不是方程． 方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．解方程：求方程的解的过程．．．例如3x =是方程36x +=的解方程中的已知数：一般是具体的数值．方程中的未知数：是指要求的数，未知数通常用x 、y 、z 等字母表示．例如50x +=中, 5和0是已知数，例如关于x 、y 的方程2ax by c -=中，a 、2b -、c 是已知数，x 、y 是未知数． 一元一次方程：只含有一个．．未知数，并且未知能力提升模块二 方程的相关概念数的最高次数．．．．是1，系数不等于．．．0．的整式．．方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．235x +=，10y -=，3x =最简形式：方程ax b =（0a ≠，a ，b 为已知数）的形式叫一元一次方程的最简形式．例如35x =，27x =等． 标准形式：方程0ax b +=（0a ≠，a ，b 是已知数）的形式叫一元一次方程的标准形式．例如21040x x +=+=，易错点1：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程． 易错点2：任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证．如方程22216x x x ++=-是一元一次方程．【例3】 ⑴ 下列式子：①3251x x +=-；②213124⎛⎫-+= ⎪⎝⎭；③235x +≤；④212y y -=，其中方程的个数为（ ）个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4⑵ ① 44x x +=+；② 12x=；③ 44x x -=-；④ 23x =；⑤ 2(2)3x x x x +=++．其中是一元一次方程的有 . ⑶ 下列方程中解是2x =的一共有（ ）480x -=① 480x +=② 840x -=③ 240x -=④A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（北大附中期中）【解析】 ⑴ B ； ⑵ ③ ⑤； ⑶ B.【例4】 ⑴ 若3223kkx k -+=是关于x 的一元一次方程，则k = .⑵ 若23(2)5m m x --=是关于x 的一元一次方程，则m 的值是 .⑶ 若(1)5aa x a -+=是关于x 的一元一次方程，则a 的值是 .⑷ 已知2(23)(23)1m x m x ---=是关于x 的一元一次方程，则m = .（北京师范大学附属实验中学期中）⑸ 方程||(1)2m m x m n -=+是关于x 的一元一次方程，若n 是它的解，则n m -=（ ）．A ．14B ．54C ．34D ．54-（人大附中期中）【解析】 ⑴ 1；能力提升夯实基础⑵由一元一次方程的定义，可知231m-=，且20m-≠，解得2m=-；⑶由一元一次方程的定义，可知1a=，且10a-≠，解得1a=-；⑷32；⑸ B.解一元一次方程的一般步骤：⑴去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并同类项；⑸未知数的系数化为1．这五个步骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能重复用，也不一定按从上到下的顺序进行，要根据方程的特点灵活运用．易错点1：去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号．易错点2：去分母：漏乘不含分母的项.易错点3：移项忘记变符号．【例5】⑴方程(32)2(21)0x x+--=去括号正确的是（）A．32210x x+-+=B．32410x x+-+=C．32420x x+--=D．32420x x+-+=⑵方程31252x xx-+-=-去分母正确的是（）A．2(3)25(1)x x x--=-+B．23201051x x x--=-+ C．2(3)20105(1)x x x--=-+D．(3)2010(1)x x x--=-+⑶当x的值为时，代数式45x-和316x-的值互为相反数．⑷若方程15122b x x-=-的解是12x=，则b=．【解析】⑴ D; ⑵ C; ⑶ 3; ⑷1b=-.【例6】⑴解方程1111122x⎛⎫--=⎪⎝⎭（人大附中期中）⑵解方程12223y yy-+-=-（北京五中期中）⑶解方程3221211245x x x+-+-=-（北京师范大学附属实验中学期中）夯实基础模块三一元一次方程的解法及应用⑷解方程7110.251 0.0240.0180.012 x x x--+=-【解析】⑴10x=；⑵1y=；⑶928x=-.⑷原方程可化为7110.251864x x x--+=-，解得5259x=【例7】解下列方程：⑴1113331 2242y⎧⎫⎛⎫---=⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭⑵1112{[(4)6]8}1 9753x++++=【解析】⑴解法一：从内向外去括号去小括号，得1113331 2242y⎡⎤⎛⎫---=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，去中括号，得113331 2842y⎛⎫---=⎪⎝⎭，去大括号，得13331 16842y---=，移项、合并同类项，得129 168y=，系数化为1，得58y=．解法二：从外向内去括号去大括号，得1113331 4222y⎡⎤⎛⎫---=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，去中括号，得113331 8242y⎛⎫---=⎪⎝⎭，去小括号，得13331 16842y---=，移项、合并同类项，得129 168y=，系数化为1，得58y=．解法三：多次去分母两边同乘以2，得1113332 222y⎡⎤⎛⎫---=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，两边同乘以2，得113364 22y⎛⎫---=⎪⎝⎭，两边同乘以2，得1361282y---=，能力提升移项合并同类项，得1292y =， 系数化为1，得58y =．点评：解题时要善于观察题目特点选择合理得理解途径． ⑵ 解得1x =【巩固】解方程：1112(1)(1)223x x x x ⎡⎤---=-⎢⎥⎣⎦【解析】解得117x =-【例8】 解下列方程：⑴ 1123(23)(32)11191313x x x -+-+=⑵ 11311377325235x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】⑴ 原方程可变为：111(23)(23)(23)0111913x x x ---+-=，即：111()(23)0111319x +--=，又1110111319+-≠， 所以230x -=，即32x =．⑵ 这一方程在变换过程中，宜将375x ⎛⎫- ⎪⎝⎭作为一个整体．方程两边同乘以6，得3323(7)32(7)55x x --=--，333(7)2(7)3255x x --+-=-， 333(7)2(7)155x x ----=， 35(7)15x --=， 343x =．【例9】 解下列方程：⑴ 2009122320092010x x x +++=⨯⨯⨯L探索创新⑵...200613352003200520052007x x x x ++++=⨯⨯⨯⨯ 【解析】⑴ 111()2009122320092010x +++=⨯⨯⨯L ，1(1)20092010x -=，即：200920092010x =，故2010x =．⑵ 原方程变形为：1111(...)200613352003200520052007x ++++=⨯⨯⨯⨯，即：2006200620072x ⋅=，4014x =．【例10】解下列方程：⑴ 20181614125357911x x x x x -----++++=⑵ 20101309720092007x x x ---++=【解析】 ⑴ 如果发现203185167149121123+=+=+=+=+=，那么离成功就不远了．201816141250357911x x x x x -----++++-=，2018161412(1)(1)(1)(1)(1)0357911x x x x x ------+-+-+-+-=，23232323230357911x x x x x -----++++=，11111()(23)0357911x ++++-=，因为111110357911++++≠，所以23x =．⑵ 原方程可化为201013(1)(1)0972*******x x x---+-++=，2010201020100972*******x x x ---+-=，111(2010)()0972*******x -+-=，显然1110972*******+-≠，故20100x -=，2010x =．【巩固】226200620072008x x x -+++=的解为 。

第六讲一元一次方程—解法大比拼等式的概念：用等号来表示相等关系的式子，叫做等式。

等式的概念：用等号来表示相等关系的式子，叫做等式。

等式的类型：恒等式的类型：恒等 式 条件等式条件等式 矛盾等式矛盾等式等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），所得结果仍是等式。

，所得结果仍是等式。

若a b =，则a c b c ±=±。

等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0），结果仍是等式。

，结果仍是等式。

若a b =，则ac bc =，若a b =且0c ¹，则a bc c=。

方程：含有未知数的等式。

方程：含有未知数的等式。

方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

解方程：求方程的解的过程。

解方程：求方程的解的过程。

一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次的整式方程叫做一元一次方程。

方程。

一元一次方程的最简形式：ax b =（0a ¹，a ，b 为已知数）为已知数） 一元一次方程的标准形式：0ax b +=（0a ¹，a ，b 是已知数）是已知数）注意：⑴判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证。

如方程 22216x x x ++=-是一元一次方程。

是一元一次方程。

⑵对于方程ax b =的解要分类讨论：的解要分类讨论：①当0a ¹时，方程的解是bx a=；②当0a =且0b =时，方程的解是任意数；时，方程的解是任意数；③当0a =且0b ¹时，方程无解。

时，方程无解。

一元一次方程的基本解法解一元一次方程的一般步骤：解一元一次方程的一般步骤：⑴去分母；⑴去分母； ⑵去括号；⑵去括号； ⑶移项；⑶移项；⑷合并同类项；⑷合并同类项；⑸未知数的系数化为1。

易错点1——去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号。

《佳一动态数学思维》教案教材版本：全国版. 学校：.教师年级七年级授课时间年月日课时2课时课题第10讲—一元一次方程的解法(一)教材分析从数学科学本身看，方程是代数学的核心内容，在整个数学的学习过程中有着至关重要的地位.关于方程，一元一次方程又是最简单的代数方程，也是所有代数方程的基础.本讲内容主要包括：一元一次方程及其相关概念，简单的一元一次方程的解法。

其中，以利用一元一次方程解应用题为重点.本讲内容例6的难度较大，教师讲解时要注意讲解如何设未知数和列方程教学目标知识技能1.了解一元一次方程的概念及简单的一元一次方程的解法.2. 掌握等式的性质，并能利用等式的性质进行变形.3.用一元一次方程解决实际问题数学思考通过解一元一次方程，体会等式变换的数学思想，建立用方程解决问题的意识.问题解决通过具体的实例，初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力情感态度通过一元一次方程的解法的学习，使学生能了解不同形式的方程，并掌握不同形式的方程的解法以及在解决过程中常用的技巧，使学生的解方程和计算能力都得到提高.教学重点、难点重点：掌握解简单一元一次方程的方法：合并同类项，移项难点：用一元一次方程解决实际问题教学准备动画多媒体语言课件第一课时复备内容及讨论记录教学过程一、导入在学习今天内容之前，老师想给大家先讲一个故事：据说，很久很久以前，有一位穷苦的农民在路上遇见了魔鬼.魔鬼拉住农民的衣服，说：“嗨，你的钱多得很啊！”农民答道：“不瞒你说，我穷得叮当响，全部家当，就是这口袋里的几个铜板.”魔鬼说：“我有一个主意，可以让你轻轻松松发大财.”农民不相信，说：“有这等好事吗？”魔鬼说：“只要你从我身后这座桥走过去，你的钱就能增加一倍，你从桥再走回来，钱数又增加一倍，每过一次桥，你的钱都能增加一倍.”农民连连摇头，笑着说：“鬼话连篇！”魔鬼眼睛一翻，喊道：“我就是魔鬼！我有法力，能让你的钱过桥加倍！但是你必须保证，每次在你的钱数加倍以后，你都要给我24个铜板，否则，我就要你的命！”农民挥挥手，说：“好吧，如果你的鬼主意灵光，过一次真的能让我的钱增加1倍，我就给你24个铜板吧！”农民过了一次桥，钱数确实增加1倍，他给了魔鬼24个铜板，然后数一数口袋里还剩多少钱.第二次过桥，口袋里的钱数又增加1倍，他又给了魔鬼24个铜板.第三次过桥，口袋里的钱倒是照例增加1倍，不过增加以后总共只有24个铜板,统统被魔鬼抢了去，自己分文不剩.那么，这位农民在碰见魔鬼以前有多少钱呢？师：同学们，你们知道农民一开始有多少钱吗？学生分组讨论，然后指定学生说说自己思路生：对于这道题，我们可以使用倒推的方法来做，第三次过桥之前，农民有24÷2=12个铜板，第二次过桥之前，农民有（12+24）÷2=18个铜板，第一次过桥之前农民有（18+24）÷2=21个铜板，所以就知道农民一开始有21个铜板. 师，解释的非常的清楚，对于这道题，如果我们利用方程来解的话，怎么设未知数呢?生：设农民最初有x个铜板.师：那么怎么列方程呢？学生可以简单交流，汇报自己的思路.生：设农民最初有x个铜板，根据题意，得2［2（2x-24）-24］-24=0，解这个方程得x=21.答：这位农民最初有21个铜板.师：我们发现用方程去解决问题的的确确方便很多，方程的知识是我们小学就接触过的，但是那只是初步的认知，今天我们就来进一步的学习方程的知识：课件播放导入教师适时暂停讲解，细化知识，然后和学生一起系统的复习一下一元一次方程的基本知识.课件出示回顾1.方程含有未知数的等式叫方程.2.一元一次方程只含有 1 个未知数（元），未知数的指数是 1 ，这样的方程叫做一元一次方程.3.方程的解能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，求方程解的过程叫做解方程.4.等式的性质等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.如果a=b，那么a±c=b±c.等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.如果a=b，那么ac=bc；如果a=b，那么a bc c（c≠0）.师：看来大家基础知识掌握的还不错呀，接下来让我们看看怎么利用这些知识来解决问题.二、新授探究类型之二一元一次方程的概念例2 当m 为何值时，关于x （x ≠0）的方程43432()372m m x x x x --+=+-是一元一次方程？答案：解：去括号，得434322372m m x x x x --+=+-.移项，合并同类项，得4352m x x -+=.当4m -3=1,得m =1，上述方程为6x =2是一元一次方程.当4m -3=0（x ≠0）,得m =34, 上述方程为5x =1是一元一次方程 .所以当m =1或m =34时，原方程都是一元一次方程.例题分析师：什么是一元一次方程？生：只含有1个未知数（元），未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程.师：那么指数4m -3的值是多少？生：0或1.师：好的，到这里我们就求出了m 的值，大家都是这么做的吗？有不同的意见吗？学生思考，汇报我们还要把m 的值代入到方程中，看看最后是不是一个一元一次方程.师追问：呀~，为什么你会有这种想法呢？学生说一说原因，教师补充并大力表扬.师总结就想我们刚刚这么同学说的，在我们求出m 的值后还要代入方程中验证一下方程是否为一元一次方程. 因为有的时候并不是求出的m 的值都能使原方程满足一元一次方程.教师可以适时举例.师适当总结：经过整理后能化为ax=b（a≠0）的方程才是一元一次方程.探究类型之二方程的解例1 已知关于x的方程ax+b=c的解为x=2，求|c-2a-b-6|的值.答案：解：把x=2代入ax+b=c，得2a+b=c，所以c-2a-b=0，所以|c-2a-b-6|=|0-6|=6.例题分析师：我们知道方程的解为x=2，我们能得到哪些条件呢？生：根据方程的解的定义将x=2带入到原方程中,使等式成立,也就是2a+b=c.师：根据我们得到的这个条件能求出|c-2a-b-6|的值吗？学生尝试独立解答本题，汇报答案.教师简单评价讲解.探究类型之三等式的基本性质例3 根据如图所示，对a,b,c三种物体的质量判断正确的是（）A.a＜cB.a＜bC.a＞cD.b＜c答案：C例题分析师：从图中的两个天平，我们能到哪些条件呢？生：3a =4b,3b =4c.师：哪个选项正确呢？生独立计算，然后指定学生说说.生：由3a =4b ，我们可以得到a =34b ；由3b =4c ，我们可以得到b =34c . a ＞b ＞c .师：（1）天平平衡可以抽象成等式，等式的基本性质适合天平平衡.（2）注意应用等式性质2的条件.探究类型之四 利用合并同类项解一元一次方程例4 妞妞是“开心汤姆”的常客，最近此店新推出了一种三色冰淇淋，总质量为90 g ，咖啡色、红色和白色配料的比为1∶2∶6.你知道三色冰淇淋中咖啡色、红色和白色配料的质量分别是多少克吗？师：这道题要怎么列方程呢？生独立思考，然后指定学生说说自己的所列的方程.生：设咖啡色配料的质量为x 克，我们就能知道红色和白色的配料分别是2x 克，6x 克. x +2x +6x =90.师：这个方程怎么解呢？师指定学生到黑板上板演解方程的过程.师引导学生总结：（1）利用合并同类项解一元一次方程的步骤：①合并同类项；②系数化为1.探究类型之四 利用移项解一元一次方程例5 解方程：（1）5x -2=7x +8； （2）5x -0.7=6.5-1.3x .答案：解：（1）5x -2=7x +8，移项，得5x -7x =8+2，合并同类项，得-2x =10，系数化为1，得x =-5．（2）5x -0.7=6.5-1.3x ，。

第一节 一元一次方程的基本概念1．等式的概念：像m+n=n+m ，x+ 2x= 3x ，3×3+1=5×2，3x+1=5y 这样的式子，都是等式，我们可以用a=b 表示一般的等式． 注：用“=”连接的式子叫做等式，但是等式不一定表示相等关系．2．等式的类型(1)恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总成立．例如．3x= 3x 这样，无论字母的取值如何变化，或2=2这样，等式两边恒相等；(2)条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立．例如，2x =2这样，只有当x=l 时等式两边才相等；(3)矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立，例如，x-2= x+2这样，无论字母取什么值，或者2=3这样，等式两边恒不相等．3．等式的性质(1)等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．如果,b a =那么;c b c a ±=±(2)等式的性质2：等式两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．如果b a =那么.bc ac =如果),0(=/=c b a 那么⋅=cb c a (3)对称性：等式左、右两边互换，所得结果仍是等式，即：如果a=b ．那么b=a ；(4)传递性：如果a=b ，b=c ，那么a=c ．4．方程的定义含有未知数的等式叫做方程，注：方程是等式，但是等式不一定是方程．5．方程中的已知数和未知数已知数指具体的数值，未知数指要求的数，通常未知数用z ，y ，z 来表示，例如，方程x+3= y-1，其中3和1指的是已知数，x 和y 指的是未知数．6．方程的解和解方程使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．求方程的解的过程，叫做解方程．例如，x=2是方程3-x=1的解，而求出x=2的过程叫做解方程．注：①方程的解一定要写成x=2这样的形式，2=x 不是方程的解的形式；②方程可能无解，可能只有一个解，也可能有多个解．7．方程解的检验要验证某个数是否为一个方程的解，只需将该数代入这个方程中．若此时方程左右两边数值相等，则这个数为方程的解，否则不是方程的解．8．一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程，注：“元”指的是未知数，“次”指的是未知数项的最高次数．9．最简形式方程b a a b ax ,,0=/=（均为已知数）的形式叫做一元一次方程的最简形式．10．标准形式方程b a a b ax ,,00=/=+（均为已知数）的形式叫做一元一次方程的标准形式注：①一元一次方程均可转化成最简形式或标准形式，在判断一个方程是否为一元一次方程时需要先根据方程的原始形式判断该方程是否为整式方程，如果是整式方程则进行整理化简．若能进一步整理为最简形式或标准形式则该方程为一元一次方程；②一元一次方程一般情况下有唯一解．绝对值符号里有字母的方程不是一元一次方程．(1)在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行 即：同时加或者减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边；(2)若题目条件中给出分式形式，则默认为分母不为零．如“若b c b a = 则c a =是正确的，这里条件中已经出现分式形式，因此默认;0=/b(3)若题目结论中出现分式形式，则需要说明分母不为零，如“若,c a =,b c b a =不正确，而“若,c a =则,),0(=/=b bc b a 正确； (4)注意比较“若,cb ab =则,c a =和“若),1()1(22+=+b c b a 则,c a =前者为错误的说法，后者为正确的说法．这两个判断题从条件到结论的变化，均需同时除以一个数，这里需要我们注意，同时除以的这个数不能为0．前者b 可能为零，但是后者+2b .01=/2．判定一元一次方程的方法(1)看一看：先判定方程是否为整式方程，即等号两边是否为整式，如果是整式则进行化简，若不是整式，则该方程一定不是一元一次方程；(2)消一消：若方程是整式方程，则对方程进行整理化简，如果能化成一元一次方程的最简形式或者是标准形式则为一元一次方程，否则不是一元一次方程．3．已知方程的解，求参数值逢解必代入 ．如果题目中告诉方程的解，解题时一般情况下均需要把方程的解代入原方程，4．求含参一元一次方程中的参数值此时考查了一元一次方程的“110定律”．何为“110定律”？“1”指一元即方程中只含有一个未知数，另一个“1”指一次即未知数项的次数为1，“0”指未知数的系数不为0．求解参数值时，只需按照“110”定律，列方程求参数值即可，例1．（广东中考）已知方程,832=+-y x 则整式y x 2-的值为( )5.A 10.B 12.C 15.D检测1．已知,2,3+=-=k y k x 则y 与x 的关系是( )5.=+y x A 1.=+y x B 1.=-y x C 1.-=x y D例2．下列方程：;33x x =-①;15.0=x ②;34=-x x ③;433x x -=④;13-=+x y ⑤;324222-+=-x x x x ⑥ ;1271x x x x +=-+⑦.37||=-x ⑧其中是一元一次方程的是检测2．在方程,23=-y x ,021=-+x x ,2121=x 0322=--x x 中一元一次方程的个数为( )A.1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个例3．（福建泉港期末）已知x=2是关于x 的方程03=+a x 的一个解，则a 的值是( )6.-A 3.-B 4.-C 5.-D检测3．（福建石狮市期末）下列方程中解为x=0的是( )11.-=+x A x x B 32.= 22.=x C x x D 5421.=++例4．已知方程m m x m x m 24)35()43(2-=----是关于x 的一元一次方程．(1)求m 和x 的值；(2)若n 满足关系式,1|2|=+m n 求n 的值，检测4．（四川自贡期末）若6)2(|32|=--m x m 是一元一次方程，则m 等于( )A ．1B ．2 C.1或2 D ．任何数第一节 一元一次方程的基本概念（建议用时: 25分钟）实战演练1．（山东沂源一模）下列各项中叙述正确的是( )A ．若,nx mx =则n m =B ．若,0||=-x x 则0=xC ．若,nx mx =则121220152015+=+x n x m D ．若,n m =则nx mx -=-24242．下列叙述中，正确的是( )A.方程是含有未知数的式子B.方程是等式C.只有含有字母x ，y 的等式才叫方程D.带等号和字母的式子叫方程3．在以下的式子中：;383=+x ;12x -;3=-y x ;121+=+x x ;1032=x ,752=+其中是方程的个数为( ) 3.A 4.B 5.C 6.D4．下列方程的解是x=2的方程是( ) 084.=+x A 03231.=+-x B 232.=x C 531.=-x D 5．方程024=-x 的解是( )2.=x A 2.-=x B 21.=x C 21.-=x D 6．已知1=x 是方程12-=+a x 的解，那么a 的值是( )1.-A 0.B 1.C2.D7．在下列方程中;122=+x x ①;931=-x x ②;021=x ③;322313=-④,3132+=-y y ⑤是一元一次方程的有( )个．1.A2.B3.C4.D8．（山东威海期末）若关于x 的方程032=+--m mx m 是一元一次方程，则这个方程的解是( )0.=x A 3.=x B 3.-=x C 2.=x D9．（江西校级期末）在等式6253+=-a a 的两边同时减去一个多项式可以得到等式,1=a 则这个多项式是10.将方程634=+y x 变形成用y 的代数式表示x ，则x=11．（河南扶沟期末）阅读下列解题过程，指出它错在了哪一步？为什么?.1)1(31)1(2--=--x x 两边同时加上1，得),1(3)1(2-=-x x 第一步，两边同时除以),1(-x 得2=3，第二步．12．（重庆忠县期末）已知,43143n m =-试用等式的性质比较m 与n 的大小． 13．（重庆忠县期末）已知方程)()32()(3y x m m y y m x -=--+-是关于x 的一元一次方程，求m 的值，并求此时方程的解．14．（重庆忠县期末）已知08)1()1(22=++--x m x m 是关于x 的一元一次方程，求代数式xm 的值． 15.已知08)2()4(22=----x n x n 是关于x 的一元一次方程，(1)试求x 值；(2)求关于y 方程x y n =+||的解．拓展创新16．已知201611)2016(2015||-=++-a x a a 是关于x 的一元一次方程，求a 的值及方程的解．拓展1．已知2016)2016(2015||-=++-a y x a a 为一元一次方程，其中a 为参数，求a 的值及方程的解，拓展2．已知b a y b x a b a +=+++--2015||2015||)2016()2016(为一元一次方程，其中a ，b 为参数，求a+b 的值．极限挑战17.若p ，q 都是质数，以x 为未知数的方程975=+q Px 的根为1，求q P -2的值．课堂答案培优答案。

第二节 一元一次方程的解法1．一元一次方程的基本解法去分母、去括号、移项、合并同类项、x 项系数化为1．注：①去分母时，方程两边要同时乘以分母的最小公倍数，常数项不要漏乘；②去括号时，括号前的系数要与括号里的每一项都要相乘；③移项的时候要变号；④方程的解的形式要写成x 在等号左边的形式． 2．解一元一次方程的技巧小数化为整数、整体思想、裂项、凑项． 3．含绝对值的一元方程运用分类讨论法去绝对值，转化成一元一次方程后，再求解． 4．求含参方程的解的情况对原方程整理后，可化为ax =b （a 和b 为参数，x 为未知数）的形式．求此类方程的解时需要对a 和b 的取值分类讨论． 5．同解方程两个方程的解相同的方程． 6．整数解方程解为整数的方程．1．解一元一次方程的技巧(1)整体思想：方程中重复出现内容相同的括号时，可考虑将括号当成整体；(2)小数化整数：方程中，若分数的分子或分母中有小数出现，则利用分数的性质将分子分母同时扩大若干倍使分子或分母化为整数后再计算；(3)若方程中出现明显的裂项法的特征，则考虑裂项后消项，把方程化为简单形式后再求方程的解． 2．求含参方程的解的情况(1)先把方程整理成b ax =的形式； (2)分类讨论：①当0=/a 时，,abx =原方程有唯一解；②当0=a 且0=b 时．原方程有无数解： ③当a 0=且，0=/b 原方程无解． 3．同解方程问题(1)普通方程和含参方程的解相同：①解出普通方程的解；②将普通方程的解代入含参方程中； ③求出参数值；(2)两个含参方程的解相同：①将其中一个方程的解用参数表示出来；②将①中的解代入另一个方程中，消去未知数； ③求出参数值． 4．方程的 整数解问题①将方程整理成b ax =的形式； ②解方程，得⋅=ab x ③求出满足条件的参数值，常用枚举法或分离常数法．例1．解方程：⋅-=--05.035.22.04x x检测1．（四川雁江区期末）解方程：.2.15.023.01=+--x x 例2．解方程：.2016201720161262=⨯++++xx x x ΛΛ检测2．解方程：⋅=⨯++⨯+⨯+⨯2019120192017755331x x x x ΛΛ 例3．（广东普宁市期末）阅读下列解方程的过程，并完成(1)(2)小题的解答．解方程：.2|1|=-x解：当,01<-x 即1<x 时，原方程可化为：,2)1(=--x 解得,1-=x当≥-1x ,0即1≥x 时，原方程可化为：,21=-x 解得,3=x 综上所述，方程2|1|=-x 的解为1-=x 或.3=x (1)解方程：;8|32|=+x (2)解方程：.1|1||32|=--+x x检测3．解方程：.1|21|=--x x例4．(1)已知关于x 的方程)2(2)1(2--=-+m m x 的解比方程1)1(41)1(5+-=-+x x 的解大2，求m 的值；(2)已知方程1324+=+x m x 和方程1623+=+x m x 的解相同． ①求m 的值； ②求20202019)572()2(-⋅+m m 的值．检测4．（湖北黄冈期末）如果方程22834+-=--x x 的解与方程126)13(4-+=+-a x a x 的解相同，求式子a a 1-的值．例5．已知关于x 的方程b x ax -=+56有无数个解，试求b a +2的值．检测5．讨论关于x 的方程b x x a +-=-12的解的情况，其中a ，b 为已知数．例6．已知关于x 的方程),2(2)1(--=+x k x k 求当k 是取什么整数值时，方程的解是整数．检测6．（北京海淀区期末）已知关于x 的方程x kx -=7有正整数解，则整数k 的值为 例7．我们规定，若关于x 的一元一次方程b ax =的解为a b -则称该方程为定解方程，例如：293=x 的解为,23329=-则该方程293=x 就是定解方程．请根据上边规定解下列问题： (1)若x 的一元一次方程m x =2是定解方程，则=m(2)若x 的一元一次方程a ab x +=2是定解方程，它的解为a ，则=a (3)若x 的一元一次方程m mn x +=2和n mn x +=-2是定解方程，求代数式]2)[(21])[(3)24(222n m mn m m mn m ++-++++-的值，检测7．（福建永春县期末）对于两个不相等的有理数a ，b ，我们规定符号},max{b a 表示a ，b 中的较大值，如：,4}4,2max{=按照这个规定解决下列问题： =--}2,3max{)1((2)方程23},max{+=-x x x 的解为第二节 一元一次方程的解法（建议用时 35分钟）实战演练1．(1)（湖南株洲中考）在解方程21331+=+-x x x 时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是( ) )13(3612.+=+-x x x A )13(36)1(2.+=+-x x x B )13(3)1(2.C +=+-x x x )1(3)1.(+=+-x x x D(2)（四川富顺县模拟）下列解方程过程中，变形正确的是( )A ．由312=-x 得132-=xB ．由2.11.01314++=+x x 得12110314++=+x x C ．由7675=-x 得7675-=xD.由123=-xx 得632=-x x2．已知,1=/a 则关于x 的方程a x a -=-1)1(的解是( )0.=x A 1.=x B 1.-=x C D ．无解3．（山东滕州市期末）规定一种计算法则为,c b d a db ca ⨯-⨯=如--⨯=-)2(12201,202-=⨯依此法则计算2423-=-x 中的x 值为4．a ．b 互为相反数，c ，d 互为倒数，则关于x 的方程02)1(3)(2=--++x x cd x b a 的解为=x 5．马小哈在解一元一次方程923)x (+=-•x 时，一不小心将墨水泼在作业本上了，其中未知数x 前的系数看不清了，他便问邻桌，邻桌不愿意告诉他，并用手遮住解题过程，但邻桌的最后一步“所以，原方程的解为x=-2”（邻桌的答案是正确的）露在手外被马小哈看到了，马小哈由此就知道了被墨水遮住的系数，请你帮马小哈算一算，被墨水遮住的系数是6．已知关于x 的方程439+=-kx x 有整数解，那么满足条件的整数k 有 个 7．（四川岳池县期末）解方程：.14126110312-+=+--x x x 8．解方程：.02}2]2)231(31[31{31=----x9．解方程：⋅+=-++03.002.001.0355.09.05.0xx x10．已知方程,21)20191(541=-+x 求代数式)20191(203-+x 的值．11．（江苏东台市期末）我们定义一种新运算：ab b a b a +-=2*（等号右边为通常意义的运算）：(1)计算：)3(*2-的值；(2)解方程：.*21*3x x =12．解方程：.2020202032132121=+++++++++++ΛΛx x x x 13．（山东牡丹区期末）阅读下面的解题过程：解方程：.2|3|=+x解：当03≥+x 时，原方程可化成为,23=+x 解得,1-=x 经检验1-=x 是方程的解；当,03<+x 原方程可化为，,2)3(=+-x 解得,5-=x 经检验5-=x 是方程的解．所以原方程的解是.5,1-=-=x x 解答下面的两个问题： (1)解方程：;04|23|=--x(2)探究：当a 为何值时，方程,|2|a x =-①无解；②只有一个解；③有两个解．14．当m 为何值时，关于x 的方程524+=-x m x 的解比1)2(3)(2--=-x m x 的解小2． 15．（湖南祁阳县期末）方程0)1(32=+-x 的解与关于x 的方程x k xk 2232=--+的解互为倒数，求k 的值． 16．已知：关于x 的方程b x a x a 3)5()1(2+-=-有无数多解，求a ，b 的值 17.解方程：.121115236362-=---xx x拓展创新18．若a ，b ，c 是正数，解方程：.3=--+--+--bac x a c b x c b a x 拓展1．若a ，b ，c 是正数，解方程：⋅++=-+-+-)111(222Cb a b cab xa bc a x c abc x拓展2．若a ，b ，c ，d 是正数且,1=abcd 解方程：⋅+++=+++)1111(||||||||2222dC b a d x abc b x acd a x bcd c x abd极限挑战19.若,1=abc 解方程：.1121212=++++++++c ca cxb bc bx a ab ax课堂答案培优答案11。

L3 方程组巅峰突破一1- ^rl变形记领先中考培优课程______ I" q M初一寒假・第3讲・目标中考高分班・学生版19知识导航模块三元一次方程组的解法对于多元一次方程组，在求解过程中通常会采用一些特殊的求解方法，需要同学们掌握，如：先初一寒假・第3讲・目标中考高分班・学生版领先中考培优课程.题型切片多元一次方程组的解法同解方程电含希勤的二元一次方程组题型切片（三个）对应题目题型目标三k次方程组的解法例1;例2;例3;同解方程组例4;例5;含有参数的二A次方程组例6;例7;例8定义示例剖析三A次方程组定义：方程组含有二个相同的未知数，并且含未知数的项的次数都是1 ,系数都不是0的整式方程. 3x 2y z 6, 6x y 2z 2 6x 2y 5z 3可以用整体法、倒数法、分类讨论法运用整体法相加或相减得到简易方程.20解决较复杂的二k次方程组，对于三兀一次方程组应先消元转化为二e-次方程组.二市消元一市消元一市■一'兀^ 转化■一*兀^ 转化)L【例1】解二兀,次方程组：⑴2X y z 7②x 3y z 8 ③@能力提升廉【例2】解下列三A次方程组：x y 6⑴ y z 10; z x 8【例3】解含有比例的三e-次方程组：,、9x 7y 3z 160⑴;x: y : z 1:2:3x:y 2:3x y⑵ y: z 5: 6 ; ⑶ 2 32x 3y z 7 2x y七领先中考培优课程⑵ x y 2z 72x 3y z 123x y z 8⑵ x 3y z 10.x y 3z 12z43z 4初一寒假・第3讲・目标中考高分班・学生版21xyz0 ①3x2yz1322互为相反数、多1、2倍等等.，、… 2x 5y 6 、一， 3x 5y 16 ,… …⑵已知方程组 y 和方程组y 的解相同，求代数式ax by 4bx ay 8初一寒假・第3讲・目标中考高分班・学生版领先中考培优课程9若两个二元一次方程组的解相同，则称这两个方程组是 同解方程组.应先分别求出这两个方程组的解，再通过数量关系列等式.两个解的数量关系很多，比如相等、 【例4】⑴当m , n 时，方程组x y 1 「 、一， y 的解和方程组x 2y 10mx y 3x ny的解相同.⑶若关于x 、y 的二元一次方程组x 2y m 3x 5y m的解也是方程x y17的解，求m 的值.2009a 2b能力提升.............. ax 【例5】⑴关于x、y的方程组 a cx 求a、b、c的值. by7y2,甲正确地解出83 ......................... ..,乙因把c看错了，解得2⑵三个同学对问题若方程&xa?x b1y c1的解是b2y C23&x 2b i y 5c i3 a2x 2b2 y 5c2 的解.提出各自的想法：甲说: 这个题好像条件不够, 不能解”；乙说: 可以试试”；丙说：能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以方法来解决参考他们的讨论，你认为该题目的解应该是它的系数有一定的规律，5 ,通过换元替代的模块三含参数的二元一次方程组知识导航初一寒假・第3讲・目标中考高分班・学生版8（先中考培优课程2324方程组a 1x b 1y c 1的解的情况讨论：(对于方程组的解的存在性问题消元法更具有一般性) a 2x b 2 y c 2法一：可以写成比的形式，⑴若曳 巴 巴时，方程组有无穷多组解.a 2b ?c 2 ⑵若a 1%c 1时，方程组无解.a 2b 2 C 2⑶若曳 生时，方程组有唯一解.a ?b 2法二：用代入消元法消去一个未知数，写成 ax b 的形式，再讨论 ax b 的解的情况.a 0⑴当a 0时，ax b 有无穷个解，方程组也有无穷组解. b 0 一,a 0 一，⑵ 当 时，ax b 无解，万程组也无解.b 0⑶当a 0时，ax b 有唯一解，方程组也有唯一解.【例6】a 为何值时，方程组 x y 3n 有无数多组解？无解？唯一一组解?mx y 6y kx b【例7】 求k, b 为何值时，方程组 y的解满足:y (3k 1)x 2①有唯一一组解；②无解；③有无穷多组解.初一寒假・第3讲・目标中考高分班・学生版- r —■, 一「能力提升领先中考培优课程【例8】⑴（2011年海淀期末考试题）关于x的方程（m 1）x n 3 0是一元一次方程.若此方程的根为整数，求整数 m的值.⑵（2012年北大附中期中）,,,, ,、… 2x my 11 .. 一当整数m _________________ 时，方程组的解是正整数x 4y 8题型一多元一次方程组的解法课后演练【演练1】⑴若x3a2b2 2y ab 5是二元一次方程，则a , b领先中考培优课程初一寒假・第3讲・目标中考高分班・学生版25264x 3y 1...⑵ 当k时，方程组的解中x 与y 的值相等.kx k 1 y 3⑶ 已知代数式 3x m1y 3与卫x n y m n 是同类项，那么求 m 、n 的值.22x 3y 9 3x y 8 与 向解，求a 、b 的值.ax by 1 2ax 3by 7初一寒假・第3讲・目标中考高分班・学生版x 2y zx : y 3:2 x yz 3x2y 1 ⑵ y ： z 5:4 ⑶ yzx1x y z 66z xy 2xy z -2【演练2】 解方程组：⑴2 54题型二同解方程组 课后演练_、一一. 2x【演练3】 ⑴已知方程组 3x3y 4yk 2k的解满足x y 3,求k 的值.6⑵已知方程组领先中考培优保程【演练4】关于x 2y 3my的万程组,x y 9m⑴若x的值比y的值小5 ,求m的值；⑵若方程3x 2y 17与方程组的解相同, m的值.题型三含参数的二元一次方程组【演练5】⑴方程组2x6x 3y课后演练43的解的情形是（4A.有唯一解⑵已知关于x,B.无解y的方程组x ay 3x yC.有两解11的解是整数，a是整数，那么a的值为1领先中考培优课程初一寒假・第3讲・目标中考高分班・学生版27第十四种品格：信念坚持不懈，直到成功爱・罗塞尼奥是第七届国际马拉松赛冠军.当他从领奖台上走下来的时候，有记者问他，是什么力量让他坚持到最后，跑在最前面？他想了想，就讲了一个自己的故事.在上中学的时候，有一次他参加学校举办的10公里越野赛.开始，他跑得很轻松, 慢慢地，他感觉有些跑不动了，汗流狭背，脚底发虚，很想停下来歇一歇，喝口水.这时,一辆校巴开了过来，校巴是专门在赛跑路线上接送那些跑不动或者受伤的学生的.他很想上车，但还是忍住了.又跑了一段时间，他感到两眼模糊，胸口发紧，双腿灌铅似的沉重，停下来休息的愿望强烈地袭了上来.又一辆校巴开过来了，他迟疑了一下，还是压制住了他那极速膨胀的渴望，继续朝前跑.不知又跑了多久，到了一个小山坡前，他感到眼冒金星, 全身虚脱，两条腿似乎不再属于自己.他觉得现在要爬上眼前这个小小的山坡，对他来说绝不亚于攀登珠穆朗玛峰. 他绝望了，不再坚持，当校巴再一次开过来的时候，他没有犹豫，上去了.没想到的是，校巴开过那个小山坡一拐弯就到了终点. 他后悔极了，要是再坚持一分钟，冲刺一下，就能越过小山坡，跑到终点，那是多么令人骄傲的事情啊!从那以后，每次参加比赛，当感到自己跑不动、快要泄气的时候，他就不断地对自己说：“再坚持一分钟，快到终点了！”就这样，他一直跑到世界冠军的领奖台!我的字典里不再有放弃、不可能、办不到、没法子、成问题、失败、行不通、没希望、退缩……我要向绝望挑战，我要辛勤耕耘勇往直前。

【一元一次方程５０道】第一部分：题型框架一、等式的概念和性质1.等式的定义2.等式的基本概念二、方程的相关概念1.方程的定义2.方程的解三、一元一次方程的定义1.判断方程是否为一元一次方程2.根据定义求未知数的值四、一元一次方程的解法1.方程的变形2.解方程五、一元一次方程的应用1.和差倍分问题2.利润问题3.方案选择问题4.行程问题5.工程问题6.与几何综合问题7.一元一次方程的其他应用问题六、含参数的一元一次方程的整数解问题1.系数中不含参数的整数解问题2.系数中含参数的整数解问题3.分离常数法七、含参数的一元一次方程的同解问题1.只有一个方程含有参数2.两个方程均含有参数八、含参数的一元一次方程解的情况1.已知方程的解求参数2.已知方程解的情况求参数的范围3.已知方程有定解九、含字母系数的一元一次方程十、含绝对值的一元一次方程1.绝对值方程解的情况2.解单个单层绝对值方程3.解多个单层绝对值方程4.解多重绝对值方程第二部分：经典考题一、 等式的概念和性质1. 等式的定义1. 【易】（北京八中期中）给出下列等式： ①22439-=；②()223232-⨯=-⨯；③234432⎛⎫÷-⨯=- ⎪⎝⎭；④32325353-=-； ⑤()22323a a a a --=-+；⑥19244a a a +=，其中等式成立的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个2. 等式的基本性质2. 【中】（武汉新洲区七年级第一学期期末数学）下列变形中，正确的是（ ）A ．若a b =，则11a b= B ．若ax ay =，则x y = C ．若23ab b =，则a b = D ．若a b c c=，则a b =二、 方程的相关概念3. 方程的定义3. 【易】（武汉市江岸区上学期期末考试）下列四个式子中，是方程的是（ ） A ．123410+++= B ．23x - C ．21x = D ．231-=4. 方程的解4. 【中】（人大附中2012-2013学年度第一学期期中初一年级数学练习）若关于x 的方程32x k =+与方程21x k +=的解相同，则k =________．5. 【中】（广东模拟）若1x m=是方程320mx m -+=的根，则x m -的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．2三、 一元一次方程的定义1. 判断方程是否为一元一次方程6. 【易】在①20x y +=；②510x +=；③11x x+=；④2t t ⑥246+=；⑦12x +>中，方程有________2. 根据定义求未知数的值7. 【中】（北京市朝阳外国语学校第一学期期中校考初一数学A程()1250k k xk --+=是一元一次方程，则k =________．8. 【中】（武汉市华一寄宿学校数学七年级（上）期末）若()1230k k x --+=是关于x的一元一次方程，则k 的值为________．四、 一元一次方程的解法1. 方程的变形9. 【易】（天津市和平区第一学期七年级数学学科期末质量调查试卷）把下列方程去分母后，所得的结果正确的是（ ）A ．方程，去分母，得B ．方程，去分母，得C ．方程，去分母，得D ．方程，去分母，得2. 解方程10. 【易】(2012海淀区七年级第一学期期末练习）5731164x x --+=11. 【易】（深圳外国语初一上期末）423132x x ---=12. 【易】（湖北省武汉市武昌区水果湖第二中学七年级（上）期末数学模拟试卷）51312423x x x -+-=-13. 【易】（杭州市萧山区初一第二学期期初检测）1.510.530.6x x --=14. 【易】（北京市朝阳外国语学校2011-2012学年第一学期期中校考初一数学A 层试卷）0.10.010.0110.20.063x x --= 21101136x x ++-=()2211016x x +-+=2151164x x -+-=()()2213511x x --+=2395028x x ++-=()()423958x x +-+=326132x x -+-=-()()232366x x --+=-15. 【中】解方程：111107213233623x x x x x ⎡+⎤⎡-⎤⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦16. 【中】解方程：()1111113261224x ⎡⎤------=-⎢⎥⎣⎦17. 【难】解方程：20181614125357911x x x x x -----++++=18. 【难】解方程：20101309720092007x x x ---++=19. 【难】（沈阳）解方程：3x b c x c a x a b a b c++++++++=-五、 和差倍分问题20. 【易】（房山区七年级上期末）为防控流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种消毒液每瓶6元，乙种消毒液比甲种消毒液每瓶贵50%．购买这两种消毒液共用780六、 利润问题21. 【易】（武昌区上学期期末七年级数学）某七五折出售，将亏25元；而按定价的九折出售，将赚20（ ）A ．230元B ．275元C ．300元22. 【易】（深圳中学初一上期中）天虹商店打折销售中，某件商品打出“1元换2.5元电子券”的促销活动，此活动相当于打几折？（ ）A ．2.5B ．4C ．6D ．7.523. 【易】（河南郑州市初一上期末）商场推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折．小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品，共节省2800元，则她用贵宾卡在八折基础上继续享受________优惠．24. 【易】（太原市七年级第二次测评）元旦时，某服装店将一件衣服按成本价提高40%后标价，又打8折卖出，结果这件衣服获利24元，这件衣服的成本价是________元25. 【易】（2009年西安高新一中初一分班数学真卷）小明以8折优惠买了一双鞋，省了20元，那么他买鞋实际付了________元．26. 【易】（山东淄博市）家电下乡是我国应对当前国际金融危机，惠农强农，带动工业生产，促进消费，拉动内需的一项重要举措．国家规定，农民购买家电下乡产品将得到销售价格13%的补贴资金．今年5月1日，甲商场向农民销售某种家电下乡手机20部．已知从甲商场售出的这20部手机，国家共发放了2340元的补贴，若设该手机的销售价格为x 元，以下方程正确的是A ．2013%2340x ⋅=B ．20234013%x =⨯C ．20(113%)2340x -=D ．13%2340x ⋅=27. 【易】（河南郑州市初一上期末、武昌区水果湖第二中学初一上期末）一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折（即按标价的80%）优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装的成本价是多少元？28. 【易】（2011-2012西安西铁一中—七年级数学—期末试卷）某种商品的进价是每件1000元，标价是每件1500元。

解方程满分晋级阶梯漫画释义6含参一元一次 方程的解法方程4级 方程中的设元 方程3级含参一元一次方程的解法方程2级 二元一次方程组的 概念及基本解法题型切片（四个） 对应题目题型目标 复杂一元一次方程 例1；例2；练习1； 同解一元一次方程 例3；例8；练习2； 含参一元一次方程 例4；例5；练习3；练习4 绝对值方程例6；例7；练习5；练习6对于复杂的一元一次方程，在求解过程中通常会采用一些特殊的求解方法，需要同学们掌握，如：解一元一次方程中()ax bx a b x +=+的应用.【引例】 解方程：111123452345x x x x +++=+++. 【解析】 法一：1111111123452345x ⎛⎫+++=+++ ⎪⎝⎭，所以1x =；法二：111102345x x x x ----+++=，1111()(1)02345x +++-=，所以1x =.【点评】 注意传递给学生两种解决此类问题的思路.【例1】 ⑴解方程：2152234x x +--=.（西城期末） ⑵解方程：1123(23)(32)11191313x x x -+-+=【解析】 ⑴ 去分母（方程两边同乘以12），得 4(21)3(52)24x x +--=．去括号，得 8415624x x +-+=． 移项，得 8152446x x -=--． 合并同类项，得 714x -=． 系数化为1，得 2x =-．∴ 原方程的解是 2x =-．⑵ 原方程可变为111(23)(23)(23)0111913x x x ---+-=，即111(23)0111319x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭， 又1110111319+-≠，所以230x -=，即32x =． 点评：若0ab =，则0a =或0b =．复杂一元一次方程思路导航题型切片【例2】 解方程：2009122320092010x xx+++=⨯⨯⨯【解析】 1112009122320092010x ⎛⎫+++= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭，1120092010x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭即200920092010x =， 故2010x =.若两个一元一次方程的解有等量关系，先分别求出这两个方程的解，再通过数量关系列等式． 两个解的数量关系有很多种，比如相等、互为相反数、多几倍等等．【引例】 当m =________时，方程5443x x +=-的解和方程2(1)2(2)x m m +-=-的解相同．（北京四中期中考试）【解析】 法一：方程5443x x +=-的解为7x =-，方程2(1)2(2)x m m +-=-的解为362m x -=.由题意解相同，所以3672m --=，解得83m =-. 法二：方程5443x x +=-的解为7x =-，把7x =-代入2(1)2(2)x m m +-=-中，求得83m =-．【点评】同解方程问题，先分别求出这两个方程的解，再让解相等，或求出一个方程的解，把解代入另一个方程．【例3】 ⑴已知：关于x 的方程42x k -=与()322x k +=的解相同，求k 的值及相同的解．（石景山期末）⑵若关于x 的方程5342x x =-和12524ax ax x -=+有相同的解，求a 的值． ⑶若()40k m x ++=和(2)10k m x --=是关于x 的同解方程，求2km-的值．【解析】 ⑴ 22643k k +-=，解得6k =，2x ∴= ⑵ 方程5342x x =-的解为8x =-，把8x =-代入12524a x ax x -=+中，求得12a =．⑶ 法一：方程()40k m x ++=的解为4x k m-=+，方程(2)10k m x --=的解为12x k m =-，所以412k m k m -=+-，所以3m k =，所以523k m -=-. 法二：方程(2)10k m x --=等号两边乘以4-得(48)40m k x -+=，故同解一元一次方程思路导航48k m m k +=-，523k m -=-．当方程的系数用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，含字母系数的方程总能化成ax b =的形式，方程ax b =的解根据a b ，的取值范围分类讨论．① 当0a ≠时，方程有唯一解bx a=．② 当0a =且0b =时，方程有无数个解，解是任意数． ③ 当0a =且0b ≠时，方程无解．【引例】 当a ，b 时，方程1ax x b +=-有唯一解；当a ，b 时，方程1ax x b +=-无解；当a ，b 时，方程1ax x b +=-有无穷多个解． 【解析】 1a b ≠，为任意数；11a b =≠-，；11a b ==-，. 【例4】 ⑴ 已知：关于x 的方程32ax x b +=-有无数多个解，试求2011()5aba b x x a b a b+-=-++ 的解.⑵ 若a 、b 为定值，关于x 的一元一次方程2236kx a x bk+--=，无论k 为何值时，它的解总是1x =，求23a b +的值．（北师大附中期中）【解析】 ⑴ 原方程整理为(2)3a x b -=--，因为当20a -=且30b --=该方程有无数多组解，所以23a b ==-，，故把23a b ==-，代入2011()5aba b x x a b a b+-=-++得610x x --=， 解得107x =-.⑵ 方程2236kx a x bk+--=可化为：(41)212k x a bk -++=，由该方程总有解1x =可知41212k a bk -++=，即(4)132b k a +=-，又k 为任意值，故401320b a +=⎧⎨-=⎩，231a b +=．【例5】 解关于x 的方程()()134m x n x m -=-【解析】 去分母，化简可得：(43)43m x mn m -=-当34m ≠时，方程的解为4343mn mx m -=-；当34m =，34n =时，解为任意值；思路导航含参一元一次方程当34m =，34n ≠时，方程无解．绝对值符号中含有未知数的方程叫绝对值方程，解绝对值方程的基本方法是：去掉绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的方程求解1．形如ax b c +=的方程，可分如下三种情况讨论： ⑴0c <，则方程无解；⑵0c =，则根据绝对值的定义可知，0ax b +=； ⑶0c >，则根据绝对值的定义可知，ax b c +=±． 2．形如ax b cx d +=+型的绝对值方程的解法：首先根据绝对值的定义得出，()ax b cx d +=±+，且0cx d +≥；分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+，然后将得出的解代入0cx d +≥检验即可． 3．含多重绝对值符号的绝对值方程的解法：主要方法是根据定义，逐层去掉绝对值．【引例】 解绝对值方程：15x -=【解析】 15x -=可知，15x -=或15x -=-，故6x =或4x =-．【例6】 若关于x 的方程230x m -+=无解，340x n -+=只有一个解，450x k -+=有两个解，下列选项正确的是（ ）A ．m n k <<B ．m n k ≤≤C ．m n k >>D ．m n k ≥≥【解析】 C .【例7】 解绝对值方程：⑴ 4812x +=⑵ 4329x x +=+⑶ 方程125x x -++=的解是 ．（北京四中期中）【解析】 ⑴由4812x +=可知，4812x +=±，故1x =或5x =-．⑵方程4329x x +=+可化为，43(29)x x +=±+，且290x +≥，解方程4329x x +=+可得，3x =；解方程43(29)x x +=-+可得，2x =-，代入检验可知，3x =，2x =-均满足题意．⑶法一：1x -与2x +的零点分别是1x =和2x =-．由“零点分段法”，分情况讨论： 若2x <-，则原方程可化为(1)25x x ---+=（），解得32x =-<-，满足题意，故3x =-是原方程的解；若21x -≤≤，则原方程可化为(1)25x x --++=（），无解；若1x >，则原方程可化为(1)25x x -++=（），解得21x =>，满足题意，故2x =也思路导航绝对值方程是方程的解．综上：方程125x x -++=的解为3x =-或2x =. 法二：用绝对值的几何意义画数轴即可解决.【选讲题】【例8】 已知：333n x m n p ++-=与2321m x m np --+=-都是关于x 的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求关于x 的方程115x p -+=的解．（人大附中期中练习）【解析】 由题意可知，312211n n m m +==-⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，故题中的两个方程变为1x p +=和42x p -=，由上述两个方程的解互为相反数可知，114205p p p -++=⇒=-，故方程115x p -+=变为1111655x x --=⇒-=，从而可知，5x =-或7x =．训练1. 方程3x a b x b c x c a c a b ------++=中，若11100abc a b c≠++≠，则x = . 【解析】 .x a b c =++训练2. 解关于x 方程：4x a b c x b c d x a c d x a b dd a b c------------+++=【解析】 原方程可变()()()()0x a b c d x a b c d x a b c d x a b c d d a b c -+++-+++-+++-++++++=也就是1111[()]0x a b c d a b c d ⎛⎫+++-+++= ⎪⎝⎭当11110a b c d +++=时，原方程有无穷多个解； 当11110a b c d+++≠时，原方程的解为：x a b c d =+++．训练3. 已知关于x 的方程1(1)12x k -=-的解与351148x k x +--=的解相同，求k 的值.【解析】 由 1(1)12x k -=-得 122x k -=- 12x k -=- 12x k =-+ 由351148x k x +--=得()()23518x k x +--=62518x k x +-+= 72x k =-∵两个方程的解相同， ∴1272k k -+=- ∴2k =.训练4. ⑴ 方程158x x -++=的解是 ．⑵ 解绝对值方程：35162x x ---= 【解析】 ⑴2x =或6x =-.⑵35162x x ---=或6-，即3572x x -=-或3552x x -=+ 当70x -≥时（即7x ≥），3502x ->，3572x x -=-化为3572x x -=-，解得9x =-．当50x +≥时（5x -≥），若还有3502x -≥（即53x ≥），3552x x -=+，解得15x =．当50x +≥时（5x -≥），若还有3502x -<（即5<3x ），3552x x -=--，解得1x =-．检验这三个解9x =-（舍去），故15x =，1x =-.复杂一元一次方程 巩固练习【练习1】 解方程：0.130.41200.20.5x x +--=【解析】 10x =-. (提示：含有小数的一元一次方程在求解过程中通常是先将小数化成整数)两个一元一次方程解的关系问题 巩固练习【练习2】 已知关于x 的方程3242a x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦与3151128x a x +--=有相同的解，求a 的值及方程的解.【解析】 把a 当常数，方程3242a x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的解为37x a =，方程3151128x a x +--=的解为27221a x -=， 故3272721a a -=，解得2711a =，所以8177x =．（同解方程问题）含字母系数的一元一次方程 巩固练习【练习3】 已知关于x 的方程2(1)(5)3a x a x b -=-+无解，那么a = ，b ．【解析】 2253ax a x ax b -=-+，即(35)23a x a b -=+，故350a -=且230a b +≠，即53a =，复习巩固109b ≠-． 【练习4】 如果关于x 的方程2(3)15(23)326kx x +++=有无数个解，求k 值. 【解析】 原方程整理得(410)0k x -=，由方程有无数个解得4100k -=，52k =．绝对值方程 巩固练习【练习5】 解方程：3548x -+=【解析】 3548x -+=或8-（舍），即354x -=，所以354x -=或4-，即39x =或31x =，故3x =或13x =．【练习6】 方程147x x -++=的解是 ．2x =或5x =-.每个人的成功都有秘诀，那你知道爱因斯坦的成功公式是什么？数学史第十三种品格：公平不要羡慕别人的生活，别人不见得比你活得好，世间是公平的，每个人都有自己的欢乐和痛苦。