数学建模 雨中行走问题

数学实验作业雨中漫步系部：数学系专业：s10数学教育学号：103103011013姓名：张鹏飞实验目的：1.生活中的我们常常会遇到下雨而没带雨具的时刻，我们在那时会有很多选择，其中之一就是淋雨，往往好多人会在雨中快走或奔跑而使自己身体淋雨量最小化，但往往很多人会感觉到淋雨量并不会因为快走或奔跑而减少多少，反而有时候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有关参数的关系如何，是否人走得越快雨淋得越少2.运用matlab软件实验内容：给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。

其中文中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。

淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。

1，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设得人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。

2，雨迎面吹来，雨线方向与行走方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。

因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。

据此可列出总淋雨量v时，淋W与行走速度v之间的函数关系。

分析表明当行走速度为m ax雨量最少。

3，雨从背面吹来，雨线与行走方向在同一平面内，人淋雨量与人和雨相对速度有关。

列出函数关系式分析并求解。

实验准备： matlab软件绘图，从网上查找各种资料a---长方体的长单位：米b---长方体的宽单位：米c---长方体的厚度单位：米Q---淋雨量单位：升v---人行走的速度单位：米每秒D---路程单位：米I---降雨强度单位：厘米每小时P---雨滴的密度单位：u---雨滴下落的速度单位：米每秒θ---雨迎面吹来时与人体的夹角α---与从后面吹来与人体的夹角实验步骤：在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。

雨中行走问题的研究
人们外出行走，途中遇雨，未带雨伞势必淋雨，自然就会想到，走多快才会少淋雨呢？一个简单的情形是只考虑人在雨中沿直线从一处向另一处行进,雨的速度(大小和方向)已知，问行人走的速度多大才能使淋雨量最少。

参与这问题的因素：
降雨的大小；风(降雨)的方向；路程的远近和人跑的快慢。

分析：
淋雨量在数学上如何表示？
假设
1. 人行走的路线为直线，行走距离为L
选择适当的直角坐标系，使人行走速度为：v1=(u,0,0),则行走的时间为L/u.
2. 雨的速度不变，记为：v2=(vx,vy,vz)
相对速度：v= v2- v1 =(vx-u,vy,vz)
3. 人体为长方体，其前、侧、顶的面积之比为1:b:c
单位时间内的淋雨量: | vx －u|＋| vy |b＋| vz |c
从而总淋雨量:
R(u)=(| vx －u|＋| vy |b＋| vz |c)T (行走的时间为L/u)
=(| vx －u| +a)L/u (a=| vy |b+| vz |c >0)
于是雨中行走问题抽象成如下数学问题：
已知L,Vx,a,求u为何值时R(u)最小？
1. Vx > 0
vx >a的情形（有最小值）vx a时, u=vx才使取最小值Rmin=La/Vx
当vx a>0时，取u=Vx可使前后不淋雨，其淋雨总量最小，其它情况下，都应使u尽可能大，才能使淋雨量尽可能小，这比较符合人们生活的常识。

队号：第四队成员：刘桂清、徐丽蓉、林雪梅指导老师：刘于江老师雨中行走少淋雨问题真题摘要建一模型说明当你在雨中行走又想少淋雨时，应当如下做：(1)若你行走的方向是顺风且雨的夹角至少为，你应以雨速水平分量的速度行走，以便使雨相对于你是垂直下落的（2）在其他情况下，你都应以最快的速度行走。

关键词：少淋雨；雨速的水平分量；夹角；人速1.问题的重述当下雨时，假如你当时没带雨伞你又不得不从A地走到B地，该如何行走才能少淋到雨呢？针对这个问题，建立合理的数学模型。

讨论一下，人在顺风行走时，你以雨速的水平分量的速度走时，雨的夹角至少是多少？进而近一步讨论，在其他情况下，你都应以最快的速度行走。

2.模型的假设与符号说明2.1模型的假设（1）把人体看作长方体，底边长a米、宽为b米;高为h米；（2）风速保持不变,人速以V（m/s）匀速行走;（3）人从A地行走到B地，路程为L=1000米；2.2符号说明a 人体的宽度 (m)b 人体的厚度 (m)h 人体的身高 (m)V 人的速度（m/s）ν风速（雨速）（m/s）L 人行走的路程 (m)θ下雨的方向与人的夹角t 人在雨中行走的时间 (s)ρ降雨密度3.模型的建立与求解（1）考虑人在顺风行走时，此种情况下，如图：人淋雨的部位有头、背后，则：头顶的淋雨量：C1=VLabθρνcos侧面的淋雨量：C2=VVLbh)sin(θνρ-总淋雨量： C=C1+C2=VVhaLb)]sin(cos[θνθνρ-+结论：可以看出总淋雨量与速度.角度有关，且与人的速度成反比，当V=νsinθ时，即=θarcsinνV,总淋雨量C最小。

所以，上述情况就转化为与θ有关的问题：（1）当0=θ时C=VhV a Lb )(+νρ=ρρνLbh VLab +结论：可以看出总淋雨量与人的行走速度成反比，当速度尽可能大的时候，淋雨量越小。

（2）当4πθ=时C=VV h a Lb )]22(22[ννρ-+=VLab νρ22+h Lb ρ-Vh Lb νρ22=(Vh Lbb a ρ22)1-+h Lb ρ结论：可以看出总淋雨量与人的行走速度成反比，当速度尽可能大的时候，淋雨量越小。

关于雨中行走模型第六讲建模方法论(5)——建模实例(一)雨中行走问题夏季的某天，你去某地办事，接近目的地时，天空突然下起了大雨，糟糕的是你没有带雨具，且难以找到避雨的地方。

一个似乎很简单的事实是你应该在雨中尽可能的快走(跑)，以减少雨淋时间。

这样做合理吗,试组建数学模型来探讨如何在雨中行走才能最大限度地减少雨淋的程度，即确定最优行走策略。

问题分析问题是在给定的降雨条件下，设计一个在雨中行走的策略(调整行走速度)，使得你被雨水淋湿的程度最低。

所谓被雨水淋湿的程度，可以用其间被淋在身上的雨水量的大小来刻划，而与此有关的主要因素有:降雨的大小、风(降雨)的方向、路程的远近和行走的速度。

为了简化问题的研究，我们先做以下假设: 模型假设1(降雨的速度(即雨滴降落的速度)和降雨强度保持不变;2(行走速度恒定;3(风速及风向始终保持不变(这三项都是均匀化假设)。

4(把人的身体看成是一个呈长方体形状的物体(理想化)。

5(淋在身上的雨水被完全吸收(极端化)。

6(不考虑降雨的角度的影响，也就是说在行走的过程中身体的上方及前后左右都将淋到雨水。

7(设定变量和参数雨中行走的距离(单位:米):D;雨中行走的速度(单位:米/秒):v;人体的高度、宽度、厚度(单位:米):h，w, d被淋雨水总量(单位:升):C;降雨强度(单位:厘米/小时):I;2 身体被雨淋的面积(单位:米):S;雨中行走时间(单位:秒):t=D/v.其中，降雨强度是单位时间内平面上降雨的厚度，用以刻划降雨的大小。

在本问题中，D，d,w,h从而S是问题的参数;v,t,I是问题中的变量。

C是因变量，而v是决策变量。

模型中的参数可以通过观测和日常的调查资料得到。

模型的建立与求解按上面的分析与假设，容易知道:在雨中行走时被淋雨水总量等于被雨淋时间、被雨淋面积和降雨强度三者的乘积。

考虑到量纲一致性，并注意到I、v、D为常数，我们有C(v)=tS(米)=(米)=模型表明，被淋在身上的雨水总量与在雨中行走的速度成反比，因此在雨中最优行走策略是尽可能的快跑。

雨中行走问题(数学问题解决)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN科目：数学问题解决摘要：雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅有一公里，况且事情紧急，你不准备花时间翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。

假设刚刚出发雨就大了，但你也不打算再回去了。

一路上，你将被大雨淋湿。

一个似乎很简单的事实是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。

但是如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。

通过建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度，分别从雨与人的方向以及是否在同一平面等情况找出如何在雨中行走才能淋雨最少。

一．问题的提出对于雨中行走这个实际的问题，它的背景是简单的，人人皆知无需进一步讨论。

我们的问题是：要在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最低。

显然它可以按确定性模型处理。

分析参与这一问题的因素，主要有：①降雨的大小；②风（降雨）的方向；③路程的远近与你跑的快慢。

二、模型假设1、降雨的速度（即雨滴下落速度）和降水强度（单位时间平面上降下雨水的厚度）保持不变；2、你以定常的速度跑完全程；3、风速始终保持不变；4、把人体看成一个长方体的物体；三、模型的建立与求解1、不考虑降雨的角度的影响即在你行走的过程中身体的前后左右和上方都将淋到雨水。

参数与变量：:d雨中行走的距离；t雨中行走的时间；::v雨中行走的速度；:a你的身高；:b你的宽度;:c你的厚度；:q你身上被淋的雨水的总量；:w降水强度（降雨的大小，即单位时间平面上降下雨水的厚度，厘米/时）行走距离d，身体尺寸不变，从而身体被雨淋的面积22s ba ca bc=++是不变的，可认为是问题的参数。

雨中行走的速度v，从而在雨中行走的时间/t d v=及降雨强度的大小在问题中是可以调节、分析的，是问题中的变量。

考虑到各参数取值单位的一致性，可得在整个雨中行走期间整个身体被淋的雨水的总量是：()3(/3600)0.01()/(/3600)10() q t w S d v w S=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅米升模型中的参数可以通过观测和日常的调查资料得到。

数学建模论文数学系信息1001班宋世云10404326雨中行走问题信息1001班宋世云 10404326摘要一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。

假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。

一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。

但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。

试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度关键词人速;雨速；风向；夹角1 建模准备建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最小。

主要因素：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度2 模型假设及符号说明1）把人体视为长方体，身高h米，宽度w米，厚度d米。

淋雨总量用C升来记。

2）降雨大小用降雨强度I厘米/时来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下的厚度。

在这里可视其为一常量。

3）风速保持不变。

4）你一定常的速度v米/秒跑完全程D米。

3 模型建立与计算1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。

淋雨的面积S=2wh+2dh+wd(m^2)雨中行走的时间 t=D/v(s)降雨强度I(cm/h)=0.01I(m/h)=0.01/3600I(m/s)C=t(i/3600)*0.01*S(m^3)=10(D/v)*i/3600*S(L)模型中，D，I，S为参数，而v为变量。

结论，淋雨量与速度成反比。

这也验证了尽可能快跑能减少淋雨量。

若取参数D=1000米，I=2厘米/小时，h=1.50米，w=0.50米，d=0.20米你在雨中行走的最大速度v=6米/秒，计算得你在雨中行走了167秒，即2分47秒。

从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。

经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分 47 秒，但被淋了2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。

雨中行走模型08机制三班 乔中朋 0822318问题的来源在我们上海地区下雨时非常平凡的事情 ，特别是在临港这块风水宝地，老天更是有一天不下雨不善罢甘休之势，往往是昨天还风和日丽阳光普照，今天就电闪雷鸣风雨交加。

刚开始来真有点受不了这里的鬼天气，唉 毕竟人不能胜天，老天要下雨我们有什么办法，只有经常带雨伞以避免雨水的洗礼，但智者千虑必有一失阿。

不定哪天就忘带雨伞了，天有不测风云谁都没有办法专著变幻莫测的老天啊。

为了在不带雨伞的情况下能少淋雨，更好的保护自己的身体，这次我就用数学建模的知识来研究一下怎样在雨中行走才能尽量少淋雨的问题。

那么当我们在雨中行走的时候是走得快淋的雨少，还是走得慢淋雨少呢？我们一般都会认为走得快淋雨少！现在我们还不知道答案，记下来我们就建立一个模型来研究。

但这里面有些因素我们不得不考虑：1。

降雨的大小 ；2。

降雨的方向 ； 3。

在雨中行走的路程和速度模型的假设设雨滴下落的速度为r （米/秒）,降水强度（单位时间平面上的降水厚度）为I （厘米/秒）,且r ,I 为常量.2. 设雨中行走的速度为v （米/秒）,（固定不变）.雨中行走的距离为D （米）.3. 设降雨的角度（雨滴下落的反方向与人前进的方向之间的夹角）为θ（固定不变）.4. 视人体为一个长方体,其身高为h （米）,身宽为w （米）,厚度为d （米）. 模型建立降雨强度系数r I p =,1,1=≤p p 时意味着大雨倾盆.当雨水是迎面而来落下时,被淋湿的部分将仅仅是人体的顶部和前方.令21,C C 分别是人体的顶部和前部的雨水量.考虑顶部的雨水量1C ：顶部面积wd S =1.雨滴垂直速度的分量为θsin r.则在时间vD t =内淋在顶部的雨水量 )sin ()(1θpr wd v D C =.再考虑人体前部的雨水量：前部面积wh S =2,雨速分量为v r +θcos ,则v D t =内的2C 为()[]v r wph vD C +=θcos 2 于是在整个行程中被淋到的雨水总量为()[]v r h dr vpwD C C C ++=+=θθcos sin 21 (1)数据家设计模型求解设r =4m/s,I =2cm/h,可得61039.1-⨯=p ,米1000=D ,米50.1=h ,米50.0=w ,米20.0=d . ()v vC 5.1cos 6sin 8.01095.64++⨯=-θθ…………………………………2 1. 当00900<<θ时,0cos ,sin >θθ,C 是v 的减函数.人将以最快的速度跑,淋雨量最小,取米6=v .当060=θ时,升米47.1107.1434=⨯=-C 2. 当090=θ时,()v v C 5.190sin 8.01095.604+⨯=- ()v 8.05.11095.64+⨯=- 取米6=v ,升米13.1103.1134=⨯=-C3. 当0018090<<θ时,令αθ+=090则0900<<α,此时 []v hr dr h pwD C )sin cos (αα-+=或 ()]sin 6cos 8.05.1[1095.64v C αα-+⨯=-这种情形,雨滴将从后面向人体落下,当α充分大时,C 可能为负值,这显然不合理,这主要是我们开始讨论时,假定了人体是一面淋雨,当00900<<θ时,这是对的；但当0018090<<θ,而αsin r v >时,人体将赶上前面的雨. ① 当αsin r v <时,淋在背上的雨量为[]v vh rh pwD -αsin ,雨水总量()[]v v r h dr pwD C -+=ααsin cos .② 当αsin r v =时,此时02=C .雨水总量αcos vpwDdr C =,如030=α,升24.0=C 这表明人体仅仅被头顶部位的雨水淋湿.实际上这意味着人体刚好跟着雨滴向前走,身体前后将不被淋雨.③ 当αsin r v >时,即人体行走的快于雨滴的水平运动速度αsin r .此时将不断地赶上雨滴.雨水将淋胸前（身后没有）,胸前淋雨量()v r v pwDh C αsin 2-=.于是()[]v r v h rd pwD C ααsin cos -+=例如当秒米6=v 且030=α时,升77.0=C .结论1. 如果雨是迎着你的前进的方向，向你落下()090≤θ ,你应以最大速度向前跑.2. 如果雨是从你的后落下,这时你应该控制你在雨中的行走速度,让它刚好等于落雨速度的水平分量.就这样一部不太简单的问题我们用数学的知识给解决了 ，其实生活中的许多问题我们都能用数学的方法给以解决，只要我们用心观察，用心思考，数学能带给我们许多大的帮助虽然以后我在课堂上学习数学的机会很少了，但我会在生活中更多地去运用数学 把以前学的东西灵活的运用，使自己的生活更加丰富多彩，在此谢谢老师在这一个学期的教导和关怀以后我还可能选老师的课哦！现在还不能说再见 您说是不？雨中行走姓名：乔中朋班级：08机制三班学号：0822318。