论文《高考三角函数试题分析》

基于核心素养的高考三角函数试题分析及教学启示广东省佛山市顺德区第一中学(528300)杨承根广东省东莞市麻涌中学(523000)骆妃景广东省佛山市顺德区容山中学(528303)潘敬贞云南师范大学数学学院(650500)唐明超摘要基于核心素养的高考试题分析，对了解高考命题动向，把握高考脉搏，提高备考效益具有重要意义.文章对2017-2019年全国卷文理18套试卷中的三角函数试题进行分析，从考点分析到高考透视,整合为八个题型并对其进行深度评析，最后给岀高考备考建议.关键词核心素养；三角函数;试题分析;备考建议三角函数是高中数学的核心内容之一，也是历年高考考查的热点和重点内容.就三年的全国卷高考真题来看，三角函数试题总体稳定,形式略有创新，趋于综合化、试题难度有所提升.既考查学生对基本概念、基本公式的理解和应用，又考查了化繁为简的运算能力以及数形结合、转化与化归等数学思想方法，试题着眼于考查学生的数学运算、直观想象、逻辑推理等数学核心素养.文章整理和分析了2017-2019三年全国卷关于三角函数的考点，将试题划分为8个常见类型,并对真题进行评析，便于广大师生了解高考命题规律，为高三一轮复习提供方向和建议.12017-2019年全国卷高考三角函数考点及分析1.1考点分析为了更清晰地分析近三年来全国卷中三角函数这一重要且必考的知识模块的命题规律，笔者整理得以下表格：试卷题号分值考查问题题型难度2017年全国I卷文11,1510解三角形，三角恒等变换1道选择题，1道填空题11题中15题中理9,1717三角函数相关，解三角形1道选择题，1道解答题9题中17题中2018年全国I卷文8,11,1615三角函数周期最值，三角函数定义应用，解三角形面积2道选择题，1道填空题8题中11题中16题难理16,1717三角函数最值导数，解三角形1道填空题，1道解答题16题难17题中2019年全国I卷文7,11,1515正切函数值，解三角形，三角函数最值2道选择题，1道填空题7题易11题中15题中理11,1717三角函数图象与性质，解三角形1道选择题，1道解答题11题中17题中2017年全国n卷文3,13,1615三角函数周期，三角函数最值，解三角形1道选择题，2道填空题3题易13题易16题难理12,14,1722三角形向量数量积，三角函数最值，解三角形1道选择题，1道填空题，1道解答题12题难14题中17题中2018年全国n卷文7,10,1515解三角形，三角函数单调性，三角恒等变换2道选择题，1道填空题7题易10题中15题中理6,10,1515解三角形，三角函数单调性，三角恒等变换2道选择题，1道填空题6题易10题中15题中2019年全国n卷文8,11,1515三角函数性质，三角函数化简求值，解三角形2道选择题，1道填空题8题易11题中15题中理9,10,1515三角函数性质，三角函数化简求值，解三角形2道选择题，1道填空题9题中10题中15题中2017年全国I卷文4,6,1515三角恒等变换，三角函数最值，解三角形2道选择题，1道填空题4题易6题易15题中理6,16,1722三角函数性质，三角形旋转多选，解三角形1道选择题，1道填空题，1道解答题6题易16题难17题中2018年全国I卷文4,6,1115三角恒等变换，三角函数周期，解三角形面积3道选择题4 题易6题易11题中理4,9,1515三角恒等变换，解三角形面积，三角函数零点2道选择题，1道填空题4题易9题中15题中2019年全国I卷文1812解三角形1道解答题18题中理12,1817三家函数图象性质，解三角形1道选择题，1道解答题12题难18题中1.2题型与分值总体上看，全国卷对“三角函数”的命题风格稳定与创新共存，试题所占分值大多控制在15-22分，题型一般为一个小题和一个大题、两个小题和一个大题或者三个小题,但也有个别年份有所波动，比如2017年文科卷I只考查两个小题10分,2019年文科卷III只查了一个大题12分,I卷理科考查的很稳定,都是一小一大17分；由上表不难发现,三角函数试题中选择题和填空题有易有难，也经常岀现在压轴题的位置,解答题的考查一般稳定在解答题的第一题的位置，但2019年全国文理III卷中解三角形的解答题放在解答题第二题的位置,说明全国卷解答题的考查顺序存在一些不稳定的因素.1.3考查知识点全面高考全国卷数学试题对“三角函数”内容考查比较全面,题型多样，结构灵活，难度适中.重点考查三角函数的图象与性质，三角恒等变换,解三角形等基础知识的理解和应用，兼顾考查数学能力、数学思想方法以及数学核心素养.①对图象与性质的考查主要岀现在选择题，包括三角函数图象的变换、三角函数的最值问题、三角函数的周期性、单调性、对称性等，着重考查学生的数学运算、直观想象等核心素养以及数形结合思想.①对三角恒等变换的考查，选择、填空、解答题都可能会岀现,包括同角三角函数的关系式、诱导公式、两角的和、差、倍角公式等基本概念、基本公式的理解与应用,在选择题、填空题中该部分内容主要考查化简求值，着重考查学生的数学运算核心素养以及转化与化归的能力.①对解三角形的考查，文科多在选择、填空题中，主要考查利用三角恒等变换、正弦定理、余弦定理以及三角面积公式解三角形,理科在解答题中多数与三角恒等变换结合考查.①对三角函数与其他知识的综合运用考查，比如2018年全国I卷理科第16题,三角函数结合导数进行考查，难度较大,考查学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养以及化归转化、数形结合思想.1.4文理差异由上表可以看岀，全国卷文科考查三角函数试题24道,题型基本稳定在三道小题，考查分值15分,2019年全国文科III卷仅考查了一道解答题，分值12分,而理科考查23道,基本稳定为一小一大，二小一大，少数年份三小，比如2018年II卷,2018年III卷,2019年II卷.全国I卷理科都稳定在一小一大,分值17分.文理科的小题都有以压轴题的形式岀现,但理科考查的难度相比文科较大，考查内容综合性强，常与函数零点、函数与导数相结合，对学生的数学运算、逻辑推理等核心素养以及化归能能力要求比较高.2高考动向透视研究历年高考真题,力求以真题引领教学方向，通过对三年高考全国卷“三角函数”命题规律分析，三角函数高考试题主要考查以下几种类型的问题.2.1三角函数恒等变换三角函数恒等变换是历年来高考的必考点，在选择题、填空题、解答题中都会岀现，主要考查三角函数式的化简、求值与变形，但近年来对变形技巧的要求较往年大为降低.因此,在进行三角复习时，不能盲目地追求偏、难、怪的题目，而应利用中、低档题熟练掌握一些基本的变形技巧.题型一化简求值化简求值这类题型主要有三种，分别为给值求值、给角求值、给值求角,但三年都集中考查给值求值，即已知某些角的三角函数值，求其他与题设条件关联的其他三角函数值.给角求值以及给值求角在三年的全国卷高考三角函数试题中暂无涉及.n例1（2019全国II文11）已知a e（0,2），2sin2a cos2a+1,则（）评析：本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系等知识，考查考生的运算求解能力与灵活应用所学知识分析问题、解决问题的能力,考查的数学运算核心素养.答案：B2.2三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质在高考中岀现的频率较高，题型比较稳定，一般都是以选择题的形式岀现，其中，三角函数的性质偶尔会结合三角恒等变换以填空题形式岀现.主要考查学生将函数解析式转化为y=A sin（wx+妬的形式，解答关于函数图象及性质问题的能力.其高考命题形式主要包括以下4种题型.题型二三角函数图象变换例2（2017全国1理9）已知曲线C i:y=cosx, C2:y=sin（2x+警），则下面结论正确的是（）A.把C i上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移n个单位长度，得到曲线C26B.把C i上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C2121C.把C i上各点的横坐标缩短到原来的2倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移n个单位长度，得到曲线C261D.把C i上各点的横坐标缩短到原来的1倍,纵坐标2不变，再把得到的曲线向左平移誇个单位长度，得到曲线C2评析：本题考查图象的变换，但题目岀现了两个异名的三角函数,处理这类问题的方法比较多，但主要是化异名为同名.破解此类题目关键是明晰图象变换的规律，特别要注意的是先相位变换，后周期变换，再振幅变换或者是先周期变换,后相位变换,再振幅变换.答案：D题型三三角函数的最值问题三角函数最值问题对学生的化归转化能力、数形结合能力、综合应用考查比较高，更加深刻地考查学生的数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养.破解此类问题有两种途径，第一，通过恒等变形再利用辅助角公式化为y—A sin(wx+°)+b形式，再利用正弦函数的图象,数形结合求岀最值.第二，可以利用换元法把题设转化为有区间的二次函数最值问题.例3(2017全国2理14)函数f(x)—sin2x+cosx—I(x e［0,2］)的最大值是____.评析：本题主要考查三角函数的图象和性质，换元法求最值,注意还原后新元的取值范围，考查化归与转化思想与数学运算、逻辑推理核心素养.答案：1题型四已知解析式确定函数性质给岀三角函数的具体解析式，求解函数的性质、参数或者确定函数的大致图象，此题主要在选择、填空题中考查，难度中等偏上，破解此类问题的一般方法是通过恒等变形把题设的解析式转化为y—Asin(wx+°)+b 或y—Acos(wx+°)+b的形式，然后根据y—sinx或y—cos x的性质整体求解.例4(2018全国III卷理科15)函数f(x)—cos(3x+彳)在［0,n］的零点个数为—.评析：本此题考查了三角函数的零点，属于三角函数的图象和性质的常考点，这类问题通的处理方法是先得岀问题的通解，再结合给定区间进行对照判断.考查逻辑推理、直观n(0,2n)有且仅有2个极小值点；③f(x)在(0,10)单调递增;122910④f(x)的取值范围是［,29).其中所有正确结论的编号是()A.①④B.②③C.①②③D.①③④评析：本题作为压轴题，难度较大,主要考查三角函数的图象与性质，考查考生的数形结合能力，更加深刻地考查学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养.答案：D2.3解三角形解三角形是三角函数内容的核心考点，历年文理科高考全国卷必考内容,解三角形是历年高考的必考内容,文科多在选择、填空题中，主要考查利用三角恒等变换、正弦定理、余弦定理以及三角面积公式解三角形,理科在解答题中多数与三角恒等变换结合考查,题型和分值较为稳定，属中等难度.命题方向由以下两种.题型六正、余弦定理解三角形在解有关三角形的形时，如果已知式子中含有角的余弦或边的二次式，通常考虑用余弦定理；如果已知式子中含有角的正弦或边的一次式，通常用正弦定理.例6(2019全国I文11)AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a sin A—b sin B—4c sin C,cos A则-—()c14想象等核心素养. A.6 B.5 C.4 D.3答案：3个题型五根据条件确定解析式根据条件确定解析式的试题主要有两大类：一类是题设给岀三角函数的图象，根据图象确定及其已知条件确定三角函数的解析式，然后再求解其他性质;第二类是根据题设所给的三角函数性质求三角函数的解析式.这两类问题是近三年全国卷三角函数考查的热点，文科考查的难度较小，理科考查的难度较大，综合考查学生逻辑推理、数学抽象、数学运算、直观想象等核心素养.破解此类问题需要学生对函数y—A sin(wx+°)+b或y—A cos(wx+°)+b的图象与性质有全面、深刻的理解，要求考生能够根据零点与对称轴信息，以及单调区间与周期的关系，通过数形结合得岀该函数周期性特征，着重考查学生的数形结合能力、逻辑分析能力.例5(2019全国III理12)设函数f(x)—sin(3x+ n-)(宀＞0),已知f(x)在［0, 2n］有且仅有5个零点，下述四5个结论：①f(x)在(0,2n)有且仅有3个极大值点；②f(x)在评析：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,考查运算求解能力以及划归与转化思想,考查数学运算，逻辑推理核心素养.答案：A题型七正、余弦定理与三角恒等变换的综合应用求解此类问题的突破口：一是正确分析已知条件中的边角关系，合理设计“边往角化”还是“角往边化”，活用正弦定理、余弦定理；而是求角的值的值时应注意三角形对角的取值范围的限制；三是熟记两角和、差的三角公式.例7(2019全国I理17)AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sinB—sin C)2—sin2A—sinB sin C.(1)求A;(2)若^2a+b—2c,求sin C.评析：本题主要考查正弦定理余弦定理、三角恒等变换,考查考生的划归与转化能力、云算求解能力，考查的核心素养是数学运算,(1)利用正弦定理进行边角互化，再利用余弦定理，即可求岀cos A的值，从而求得A的大小;(2)利用正弦定理,将边化为角，再利用⑴的结论以及两角差的正弦公式与辅助角公式，即可求岀sinC的值.答案：(1)A=60°;⑵"+血.题型八三角函数与其他知识的综合例8(2018全国一理16)已知函数f(x)=2sin x+ sin2x,则f(x)的最小值是____.评析：本题主要考查导数与三角函数的结合交汇，借助导数的方法求函数的最值,体现导数的工具作用，本题难度较大,综合考查学生化归转化能力、数形结合能力，考查逻辑推理、直观想象、数学运算、数形抽象核心素养.答案：-学.3备考建议3.1利用好教材，研究教材中的例题与习题以必修五第一章“解三角形”为例，教材中至少有如下一些例题、习题需要引起重视，教师要认真研究、分析到位.人教版A版第18页练习3:三角形射影定理：在△ABC中,求证：a=b cos C+c cos B,b=c cos A+a cos C, c=a cos B+b cos A.射影定理在2013年全国II卷第17题, 2016年全国II卷第17题,2017年全国II卷第16题均考查过.人教版A版第20页B组第1题：证明三角形面积公式S=1a2sin B s：C,2017年全国卷I理科第17题考查过.2sin A通过对比我们不难发现，近年高考中的三角命题多是通过课本习题的一个小结论发展演变而来，通过几个公式环环相扣来提高问题的综合性,这样的命题方式让学生入手容易,但完整解决整道题需要较高的数学素养水平.3.2树立“模型”意识，统筹数学思想方法，“以不变应万变”比如课本20页A组第13题,考查三角形的中线长问题,这是解三角形中一个基础但重要的模型.几何图象中有多个三角形时，首先观察是否有“够条件”的三角形，若有，则从够条件的三角形解起，逐步扩展到其他三角形，若没有，则要注意运用向量、方程的思想、利用“共边”、“等角”、“互补角”等关系建立方程求解.模型是没有背景的规律载体，应该是具有通用性的大道理.老子说：道生一,一生二，二生三，三生万物.万变不离其宗，大道归一，大道至简.3.3夯实基础，总结方法比如三角函数求最值：(1)y=a sin x+b,设t=sin x,化为一次函数y=at+b 在［—1,1］上的最值求解.(2)y=a sin x+b cos x+c,引入辅助角0(tan。

52数学教学研究第39卷第5期 2020年9月高考理科数学全国卷中“三角函数”试题分析—以2015—2019年高考试题为例李卫玲，杨丽丽(西北师范大学教育学院，甘肃兰州730070)摘要：本文采用比较分析法对2015—2019年理科全国卷“三角函数”试题从知识点、题型分值、数学思想方法3个维度进行分析.结果表明：高考试题对三角函数各个知识单元都有考查，且采用综合考查方式，考查的知识点基本涵盖了课标中所有知识点；考查题型分值相对稳定，占试卷总分值的10%或11. 3% ;试题涉及6个数学思想方法，其中数形结合思想运用最多.基于以上分析三角函数”教学应注重基础知识间的综合运用；有针对性地进行训练以达到备考目的；体会数学思想方法的重要性.关键词：高考数学；试题；三角函数1引言张景中院士指出：“在数学课程中，三角是 联系几何与代数的一座桥梁，大量实际问题的解决要用到三角知识三角函数是典型的描述周期现象的数学模型，与向量、复数、立体几 何、解析几何等数学知识联系紧密，其在其他领 域中也有非常广泛的应用，如物理中简谐振动、地理中潮汐变化、航海中距离探测等.三角函数 是高中数学中的基础内容，在高考中占有重要地位.对高考试题中“三角函数”试题内容的分析一直是研究的热点问题，陈昂等从数形结合、情境角度及思维深度方面对试题分析，提出学 习与复习要点；闫旭等对2019年三角函数专题 按不同类型和多种方法分析解答；安学保则分析出三角函数的命题规律并探索命题趋势；吉 海波从不同题型的解法中探究各核心素养的培 养[2-5].本文将对2015—2019年高考试卷中三角函数试题进行分析，探究高考试题中对三角函数内容考查的规律和特点，以提出相应的教学建议.2研究对象与方法本文将2015—2019年高考理科数学14套 全国卷中有关“三角函数”内容的34道试题作 为研究对象，运用比较分析的方法从知识点、题 型分值、数学思想方法3个维度进行分析，以相 关高考试题为例分析其特点，从而剖析有关“三 角函数”内容在高考试卷中的呈现规律以及分布特点.3研究结果与分析3.1知识点分布在数学教育学领域，将数学的知识节点或知识条目称为“数学知识点”，包括数学概念、定 义、命题、定理、性质、公式、法则、图形、方法和 范例[6].高考试题的考查最终的落脚点以考查知识点为主，为分析每个知识点在题型中的分布，以总结以后复习的重难点和侧重点，基于课 标中相关知识点[7](如图1所示），在2015— 2019年高考理科全国卷34道试题中统计了 12 个知识点，其中6个为三角函数知识点，4个为解三角形的知识点，2个为三角恒等变换知识点，如表1所示.收稿日期=2020-05-09第39卷第5期 2020年9月数学教学研究53M与M K M S化H A S数+*■像，颺睞M H t M•儀,和供试•三-y r n A s^i^Hp)0m»m s c R m m m m m m三角两<W5g的乘麄公式两_0^«»公式.两公式zmmsE^L%m m9tm正t s^st图i课标中三角函数知识点表1考査知识点在题型中的分布情况〜^题型考査知识点选择题填空题解答题总计三角函数的最值、图像4307三角函数定义0000三角函数的诱导公式2114三角函数的解析式、单调性5005三角函数图像的伸缩、平移变换3003同角三角函数基本关系2024正弦定理、余弦定理431017用两边及夹角表示三角形面积2147解三角形的综合应用0213三角形的内角和定理0022两角和的正弦、余弦、正切公式3328二倍角的正弦、余弦、正切公式6208合计31152268由表1可知：2015—2019年全国卷关于角的正弦、余弦、正切公式的试题分别考查7,8“三角函数”的12个知识点总共考查68次，关 于正弦定理、余弦定理的试题考查17次，主要 在解答题中；关于三角函数的最值、图像，二倍次，但却不涉及解答题，主要以选择和填空题形 式考查；关于两角和的正弦、余弦、正切公式和用两边及夹角表示三角形面积的试题分别考査54数学教学研究第39卷第5期 2020年9月8次和7次，且题型分布基本平衡，3种题型都 涉及；关于三角函数的诱导公式、三角函数的解 析式、单调性、三角函数图像的伸缩、平移变换、同角三角函数基本关系以及解三角形的综合应 用等试题所占比例均衡，主要以选择题形式考査；而关于三角函数定义、三角形的内角和定理 的试题最少.与图1相比，2015—2019年全国 卷关于“三角函数”的考查基本涵盖了课标中所 有知识点，这些知识点的考查次数在不同题型中所占比重不同，如图2所示.综上所述，过去5年高考理科试卷对“三角 函数”知识点考査基本都有涉及，以三角函数的 最值、图像、正弦定理、余弦定理、用两边及夹角 表示三角形面积、两角和的正弦、余弦、正切公 式、二倍角的正弦、余弦、正切公式的考查为主.图表标题參3.2题型分值分布高考题型有选择题、填空题、解答题、选做 解答题.通过对34道试题的分析，有以下特点：试题考查形式固定，数量基本稳定（个别年份如 2015年例外），2015—2019年共34道题，一般 情况是一大（即解答题）两小（即选择题与填空 题）在不出解答题的年份是3道小题（2道选择 题，1道填空题），难度都较适中，如表2所示.由表2可知，5年14套卷子总共考查34 道题，从题型看，每年的全国卷中一大一小或三 小题目最为明显；对于全国I卷，除2015年3 小题目外，其他年份都为一大一小题目；对于全 国n卷，题型考查并不固定，以3小题目为主；对于全国III卷，除2015年无丨丨丨卷外，其他年份 3小与一大一小题目交替考查.从分值看，每年 考査“三角函数”内容为15分或17分，占整个 试卷的10%或11. 3%.综上所述，除个别年份，每年考查的题型基本为3小或一大一小题目，■■选择题■填空题■解答题呈现一定的规律性.图2三角函数知识点在不同题型中考查次数占比表 2 2015 — 2019年高考理科数学全国卷三角试题题型分值分布选择题填空题解答题合计数量分值数M分值数量分值总数总分I2101500315 2015Q0000112112I1500112217 2016n2101500315 in2101500315I1500112217 2017n0015112217 in1500112217i0015112217 2018n2101500315I D2101500315i1500112217 2019D2101500315 in1500112217合计189084089634226第39卷第5期 2020年9月数学教学研究553.3数学思想方法数学思想方法是数学思想与数学方法的合 称，是数学的“精灵”，属于学科“基本结构”的范 畴，它使人们学会数学地思考和解决问题[8].在 三角函数问题中的思想方法有数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、灵活变角思想、整体换元思想、函数与方程思想等.这些思想在2015—2019年高考试卷考查“三角函数”题型中分布情况如表3所示._l+4tan a_64tan2a +125解析本题考查二倍角公式，同角三角函 数基本关系式.在解题时需要利用三角函数的平方关系：sin2j：+cos2J：=1，将关于正弦与余弦的求解问题转化为正切，再由已知正切求出 问题答案，作为选择题，本题比较容易，但要灵 活处理角的关系.解题时我们不难发现，此处用 到了转化以及灵活变角的思想.表3数学思想方法在题型中的分类情况(单位：次)题型数学思想^选择题填空题解答题合计数形结合思想103619分类讨论思想33511转化与化归思想32^510灵活变角思想6129整体换元思想1405方程与函数思想1135合计24142159由表3可知，在3种题型中6个数学思想 方法都有涉及.数形结合思想、分类讨论思想、例2 (2017年全国卷II第14题）函数/(x)=sinzx+V3 cos x--的最大值是（）.解由于3/(x)=sin2j：+V3cos x——=一c os2x+V3^cos x3=—(cos X----)2 +1.4而 ■，则 0<c o s j:<1.转换与化归思想在3种题型中出现的次数最多，占总考查次数的67. 2努；选择题以考查数形结合思想、灵活变角思想为主，占选择题思想 考查总次数的65. 2% ;填空题以整体换元思想 为主；解答题以数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想为主，占解答题思想考查总次 数的73. 7努.由此可知，数形结合思想、分类讨 论思想、转换与化归思想是高考“三角函数”考 查的重点，尤其是在选择题和解答题中更为突出.下面从几道例题中具体分析其数学思想方 法在解题中的应用.例1(2016年全国卷IE第5题）若tan a所以当cos X=，即_r=导时，L〇/(x)m ax=/(y) = l.解析本题考查三角函数的图像与性质，解题时需要将原函数中正弦与余弦转换成只用 余弦表示的函数，利用换元法做中转换成函数求最值问题，由转换后的函数与函数图像的结合可以很容易求最值.此处用到了解题时常用的一种思想方法换元法，同时也涉及化归与变角的方法.例3 (2017年全国卷D1解答题17题）△A B C的内角A，B，C的对边分别为a，6,c,3=二~，则 c〇s2+2sin 2a =4 —解由于tan a =^•，贝l j4cos2a +2sin 2a_cos2o+4sin acos asin2a 十cos2a 已知 sin A+V^cos A=0，a =2V7,6 = 2.(1) 求 c.(2) 设D为B C边上一点，且A D丄A C,求 三角形A B C的面积.解（1)由 sin A+V?cos A=0 可知 tanA=—V?，且在三角形中有大边对大角可知，56数学教学研究第39卷第5期 2020年9月|)=0在0<〇：<71内的根的个数.〇在三角形A B C中，由余弦定理得a2=b2+cz一26ccos A.即 d)2=22+c2-2X2Xcos _，cz+2c-24=0,解得 c =一6(舍去），c =4.(2)由A D丄A C可知，Z C A D=f.所以Z B A D =Z B A C-Z C A D2 丌7T7T----------3 3 6 *故三角形A B D面积与三角形A C D面积 的比值为• A D • sin 7J----------------L=1l•—A C•A D而三角形A B C的面积为S a a b c~^A B •A C •sin^lBAC1V3 广=y X4X2X y=2V3.所以三角形A B D的面积为•S厶ABD =y S厶ABC =y X2V^X V^.解析本题主要考査正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用.三角函数在考查解答题时一般都比较简单，只要灵活运用公式，问题就 会得到解决.在解答（1)时，要将正弦与余弦的关系式转化为正切的形式，运用了转化与化归思想的思想；在解答本题（2)时需要简单画出题 目中所要求的三角形，为顺利快速解题找到切入点，主要用到了数形结合的思想.例4 (2018年全国卷HI填空15题〉函数/(■!)=(：〇3(3^：+|)在区间[0,71：]的零点个数有几个？解根据题意，函数/(j:)=cos(3:c+})〇在区间[0，tt]内零点的个数即为方程cos(3:r+由cos(3:r+~^)=0,得3x+— =^t c+— (^^Z),解得+由得兀，解得—G Z)，即 A =0，1，2.函数的零点个数有3个.解析本题主要考査三角函数的计算.直接从函数角度解答有点难度，但想到教材中零点的定义，我们可以将函数转化为方程的新思路来解答本题，即函数零点个数就是对应方程解的个数.运用了函数与方程思想.除此之外，对于含参三角函数的方程问题有时可以转化为三角函数的最值或值域问题，以此来求得参数的最值或取值范围.综上4例高考试题的分析，在解答三角函数问题时需要灵活运用数学思想方法，在教学中除了要加强双基的学习外，更应该重视基本思想方法的教学.4研究结论与建议通过以上对2015—2019年高考理科数学全国卷中“三角函数”试题分析，可以得出以下结论.(1) 近5年考查的知识点基本涵盖了课标中要求学生理解、掌握的知识点，选择题考査知识点相对灵活，以考查三角函数的最值、图像、单调性等性质和正余弦定理以及二倍角公式为 主；填空题考查知识点相对集中，主要通过化简两角和与差的正弦、余弦、正切公式求解最值问题；解答题考查主要以基础知识综合运用为主，基本从正弦、余弦定理出发，逐步转化，解决问题；且对知识点的考查在3种题型中所占比重不同，选择题最多，解答题次之，填空题最少.(2) 从题型分值分布可知，2016年起全国第39卷第5期2020年9月数学教学研究57I卷与m卷考查题型呈现较强的规律性，全国 I卷连续4年皆考查一大一小题目，全国m卷 二小与一.大一■小题目交替考查，且考查一.大一•小题目时，主要用选择题来搭配解答题；每年考 查分值相对稳定，整个试卷的10%或11. 3务，无论从总体看或从有考查填空题的试卷看，选 择题与解答题所占分值较高，约为填空题的2 倍.(3)数学思想方法渗透在数学问题的分析和解决过程中，体现在数学知识的应用过程中.从上述分析可知，选择题以运用数形结合思想与灵活变角思想为主；填空题运用整体换元、数 形结合思想、分类讨论思想较多；解答题运用数 形结合思想、分类讨论思想及转化与化归思想较多.由此可见，数形结合思想是解决“三角函 数”问题最为普遍的思想方法.综上所述，三角函数的考题相对简单，考查 知识点主要是课标中所要求的知识，考题重点 是通过在掌握基础知识的同时，灵活运用相应 公式与定理以及数学思想方法考查学生的数学 运算能力，在考试中间接促进了学生数学运算素养的养成.而且三角函数知识的考察占整个试卷总分值的10%或11. 3匁，在髙考中至关重 要，基于此提出以下几点建议与思考：在教学过 程中，首先要注重基础知识，整体把握单元内容，灵活运用公式定理解决问题，培养学生的“四基”及分析解决问题的能力，教师可运用思 维导图或框图等帮助学生对三角函数知识进行(上接第51页）参考文献[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018:27-30.[2]章建跃，李增沪.普通高中教科书数学必修（第二册）A版[M].北京：人民教育出版社，2019: 97-171.[3] 2019年高考數学试题解法荟萃[J].中学数学教学参考，2019(19):56-72.[4]李海东.基于核心素养的“立体几何初步”教材设计与教学思考[J].数学教育学报，2019(28卷第梳理，形成完整的知识体系，还需加强同种类型 题及综合题的训练，提高学生灵活运用知识的能力；其次，教师可辨证地参考往年命题规律，有针对性地进行相应知识、题型的复习与训练，使学生有效备考；最后，注重数学思想方法的渗 透，让学生养成良好的数学思维，使其会用数学 思维思考世界，用数学眼光观察世界，用数学语 言表达世界，更好地理解与掌握数学知识，感悟 数学思想的魅力.参考文献[1] 张景中.重建三角、全局皆活—初中数学课程结构性改革的一个建议[J].数学教学，2006(10).[2] 陈昂，任子朝，赵轩.高考中三角函数内容考查研究[J].数学通报，2018(10):44-45.[3] 闫旭，王恩波.2019年高考“三角函数”专題解题分析[J].中国数学教育（高中版），2019(Z4):46-52.[4] 安学保.2018年高考“三角函数”专题命題分析[J].中国数学教育，2018(7/8) :33-37.[5]吉海波.提升解題能力，培养学科素养—基于2018—2019年高考数学“三角函數”的专题分析[J].解法探究，2020(2).[6]曹春艳，吕世虎.民国时期中学数学课程内容的发展历程及其启示[J].数学教育学报，2018(8):42-43.[7]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验）[S].北京：人民教育出版社，2003.[8]熊惠民.数学思想方法通论[M].北京：科学出版社，2010:1-10.1 期）：8-11.[5] 史宁中，王尚志.普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M].北京：高等教育出版社，2018:120-123.[6] 张芹花.浅谈如何有效地进行高中数学的复习[J].数学学习与研究，2012(11)[7] 朱仁林.谈数学核心素养在高考命題中的体现[J].中学數学，2019(11):75-76.[8] 周奇.2019年高考全国I卷立体几何试题解析与备考建议[J].中学数学研究（华南师范大学版），2019(17)：17-22.。

省市年度命题立意及考察的知识点简要过程及评析原题安徽202115.此题考察辅助角公式的应用、考察根本不等式、考察三角函数求值、考察三角函数的单调性以及三角函数的图像.难度：较大16.此题考察了三角形中三角函数式的化简、正余弦定理、三角形的面积公式等，难度适中.15.解析：〔1〕辅助角公式；〔2〕含有绝对值的不等式的转化，即需考虑22ba+和|)6(|πf的关系，abba32322≤+；〔3〕利用重要不等式，确定ba,的关系即可。

【30a b=>，()3sin2cos22sin26f x b x b x b xπ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭.】16解：∵A＋B＋C＝180°，12cos()0B C++=，∴12cos(180)0A+-=，即12cos0A-=，1cos2A=，又0°<A<180°，所以A＝60°.在△ABC中，由正弦定理sin sina bA B=得sin2sin602sin23b ABa===，又∵b a<，所以B＜A，B＝45°，C＝75°，∴BC边上的高AD＝AC·sinC＝2sin752sin(4530)=+2(sin45cos30cos45sin30)=+2321312()22222+=⨯+⨯=15．设()f x=sin2cos2a xb x+，其中a，b∈R，ab≠0，假设()()6f x fπ≤对一切那么x∈R恒成立，那么①11()012fπ=；[②7()10fπ＜()5fπ③()f x既不是奇函数也不是偶函数；④()f x的单调递增区间是2,()63k k k Zππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；⑤存在经过点〔a，b〕的直线与函数()f x的图像不相交以上结论正确的选项是〔写出所有正确结论的编号〕.16．在∆ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=3，b=2，12cos()0B C++=，求边BC上的高.第 1 页AB AC.由余弦定1，及156bc=13.cosAB AC bc⋅=222a b c=+-2)2(1cosb bc+-5.13AB AC；假设1c b-=，求第 2 页第 3 页第 4 页且与该港口相距小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。

一、高中三角函数高考试题分析
1、高考试题的类型
高中三角函数高考试题主要分为两类：一类是基础知识类试题，主要考查学生对三角函数的基本概念、定义、性质、公式等的掌握情况；另一类是应用类试题，主要考查学生对三角函数的应用能力，如求解三角形的边长、角度等。

2、高考试题的难度
高中三角函数高考试题的难度主要取决于试题的类型，基础知识类试题的难度较低，考查的是学生对三角函数的基本概念、定义、性质、公式等的掌握情况；而应用类试题的难度较高，考查的是学生对三角函数的应用能力，如求解三角形的边长、角度等。

二、教学策略研究
1、注重基础
在教学中，要注重基础，让学生掌握三角函数的基本概念、定义、性质、公式等，以便在解决实际问题时能够熟练运用。

2、强调实践
在教学中，要强调实践，让学生多加练习，多解决实际问题，以便提高学生对三角函数的应用能力。

3、注重拓展
在教学中，要注重拓展，让学生掌握三角函数的更多应用，如椭圆的极坐标方程、曲线积分等，以便提高学生的综合运用能力。

全国高考数学“三角函数”试题分析小结一、客观题重基础，有关三角函数的小题其考查重点是三角函数的概念、图象与图象变换、定义域与值域、三角函数的性质和三角函数的化简与求值.【例1】 （2007年四川）下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =Z k k ∈π,2|. ③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 36)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+= ⑤函数.0)2sin(〕上是减函数，在〔ππ-=x y 其中真命题的序号是 ① ④ （（写出所有真命题的编号））解答：①4422sin cos sin cos 2y x x x x cos x =-=-=-，正确；②错误；③sin y x =，tan y x =和y x =在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④．【点评】 本题通过五个小题全面考查三角函数的有关概念、图象、性质的基础知识. 三角函数的概念，在今年的高考中，主要是以选择、填空的形式出现，每套试卷都有不同程度的考查.预计在2008年高考中，三角函数的定义与三角变换仍将是高考命题的热点之一.【例2】（2007年安徽）函数π()3sin(2)3f x x =-的图象为C ：① 图象C 关于直线π1211=x 对称; ② ②函数)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数;③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C .以上三个论断中正确论断的个数为 （A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3解答 C ①图象C 关于直线232x k πππ-=+对称，当k =1时，图象C 关于π1211=x 对称；①正确；②x ∈)12π5,12π(-时，23x π-∈(－2π，2π)，∴ 函数)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数；②正确；③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到23sin(2)3y x π=-，得不到图象，③错误；∴ 正确的结论有2个，选C. 【点评】 本题主要考查了三角函数的图象和性质及三角函数图象的平移变换.二、解答题重技能.三角函数解答题是高考命题的常考常新的基础性题型，其命题热点是章节内部的三角函数求值问题；命题的亮点是跨章节的学科综合命题. 【例3】 （2007年安徽）已知0αβπ<<4，为()cos 2f x x π⎛⎫=+ ⎪8⎝⎭的最小正周期，1tan 1(cos 2)4αβα⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，a b ，且a ·b m =．求22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值．解答：因为β为π()cos 28f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期，故πβ=． 因m =·a b ，又1cos tan 24ααβ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ab ··．故1cos tan 24m ααβ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭·． 由于π04α<<，所以222cos sin 2()2cos sin(22π)cos sin cos sin ααβαααααα++++=--22cos sin 22cos (cos sin )cos sin cos sin ααααααααα++==--1tan π2cos 2cos tan 2(2)1tan 4m ααααα+⎛⎫==+=+ ⎪-⎝⎭·．【点评】 本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．属于三角函数求值问题.本类问题一般有三种形式：①给式求值，②给值求值，③给值求角.其一般解法是：将角化为特殊角或将三角函数化为同角、同名函数进行合并与化简，最后求出三角函数的值来.【例4】 （2007年天津）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．解答：（Ⅰ）解：π()2cos (sin cos )1sin 2cos 22sin 24f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭．因此，函数()f x 的最小正周期为π．（Ⅱ）解法一：因为π()2sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3π28f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3π3πππ2sin 2cos 14244f ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为2，最小值为1-． 解法二：作函数π()2sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长度为一个周期的区间π9π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的图象如下：由图象得函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为2，最小值为3π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【点评】 本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数sin()y A x ωϕ=+的性质等基础知识，考查基本运算能力．三、考应用融入三角形之中.解三角形题目既考查三角形的知识与方法，又考查运用三角公式进行恒等变换的技能. 【例5】 （2007年四川）如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的 三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1， l 2与l 3间的距离是2， 正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长 是 （ ）（A ）32 （B ）364（C ）4173 （D ）3212解答：D 因为l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线， l 1与l 2间的距离是1，l 2与l 3间的距离是2，所以过A 作 l 2的垂线，交l 2、l 3分别于点D 、E ，如图，则∠BAD = ∠BAC +∠CAE ，即∠BAD =60°+∠CAE ,记正三角形ABC 的边长为a ,两边取余弦得：CAE CAE asin 60sin cos 60cos 1︒-︒=， 即aa a a 223233211-⨯-⨯= 整理得3212,,1)9(32==-a a 解之得，故选D. 【点评】 本题以平面几何为平台，主要考查运用三角函数的相关知识解决实际问题的能力.本题意图与新课标接轨，需引起高三备考学生的密切关注.【例6】 （2007年全国Ⅰ）设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；yxO22-π83π8 5π8 3π47π89π8（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭13cos cos sin 22A A A =++3sin 3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<， 所以13sin 232A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭．由此有333sin 3232A π⎛⎫<+<⨯ ⎪⎝⎭，所以，cos sin A C +的取值范围为3322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，． 【点评】 (1)问考查正弦定理的简单应用，当属容易题，（2）问主要考查了三角函数两角和与差的正余弦公式应用，但题干中△ABC 为锐角三角形是不可忽略的条件，必须在分析题目时引起足够的重视.四、综合体现三角函数的工具性作用.虽然工具性作用有所减弱，但是对它的考查还会存在.这是由于近年高考出题突出以能力立意，加强了对知识的应用性地考查经常在知识的交汇点处出题. 【例7】 如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行， 乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于 甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船 航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向 的2B 处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？ 解法一：如图，连结11A B ，由已知22102A B =，122030210260A A =⨯=，北B 2A1201221A A A B ∴=，又12218012060A A B =-=∠，122A A B ∴△是等边三角形，1212102A B A A ∴==，由已知，1120A B =，1121056045B A B =-=∠，在121A B B △中，由余弦定理，22212111212122cos 45B B A B A B A B A B =+-22220(102)2201022=+-⨯⨯⨯200=．12102B B ∴=．因此，乙船的速度的大小为1026030220⨯=（海里/小时）． 答：乙船每小时航行302海里．解法二：如图，连结21A B ，由已知1220A B =，122030210260A A =⨯=，112105B A A =∠， cos105cos(4560)=+cos 45cos60sin 45sin 60=- 2(13)4-=， sin105sin(4560)=+sin 45cos60cos 45sin 60=+ 2(13)4+=． 在211A A B △中，由余弦定理，北1B2B 1A2A120 105 乙甲22221221211122cos105A B A B A A A B A A =+-222(13)(102)202102204-=+-⨯⨯⨯100(423)=+．1110(13)A B ∴=+．由正弦定理1112111222202(13)2sin sin 4210(13)A B A A B B A A A B +===+∠∠， 12145A A B ∴=∠，即121604515B A B =-=∠，2(13)cos15sin1054+==．在112B A B △中，由已知12102A B =，由余弦定理，22212112221222cos15B B A B A B A B A B =++2222(13)10(13)(102)210(13)1024+=++-⨯+⨯⨯200=．12102B B ∴=，乙船的速度的大小为1026030220⨯=海里/小时． 答：乙船每小时航行302海里．【点评】 本题是解斜三角形的应用题，考查了正、余弦定理的应用，等边三角形的判定.求解本类问题时应按照由易到难的顺序来求解，最重要的是首先要对图形进行有效分割，便于运用正、余弦定理.由于近年高考题突出以能力立意，加强对知识和应用性的考查，故常常在知识的交汇点处出题.用三角函数作工具解答应用性问题虽然是高考命题的一个冷点，但在备考时也需要我们去关注.【例8】 已知函数2222()2()21tf x x t x x x t =-++++，1()()2g x f x = （I ）证明：当22t <时，()g x 在R 上是增函数； （II ）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ，上是减函数；（III ）证明：3()2f x ≥解答：(Ⅰ)证明：由题设得.12)(,)1()(22+-='++-=x x x xte e x g x e t ex g又由x x e e -+2≥22,且t ＜22得t ＜x x e e -+2，即12)(2+-='x x te e x g ＞0由此可知，)(x g 为R 上的增函数(Ⅱ)证法一：因为)(x g '＜0是)(x g 为减函数的充分条件，所以只要找到实数k ，使得12)(2+-='x x te e x g ＜0，即t ＞x x e e -+2在闭区间[a ,b ]上成立即可因此y =x x e e -+2在闭区间[a ,b ]上连续，故在闭区[a ,b ]上有最大值，设其为k ，t ＞k 时, )(x g '＜0在闭区间[a ,b ]上恒成立，即)(x g 在闭区间[a ,b ]上为减函数证法二：因为)(x g '＜0是)(x g 为减函数的充分条件，所以只要找到实数k ，使得t ＞k 时12)(2+-='x x te e x g ＜0，在闭区间[a ,b ]上成立即可令,xe m =则)(x g '＜0(],[b a x ∈)当且仅当122+-tm m ＜0(],[b a e e m ∈)而上式成立只需⎩⎨⎧+-+-,012,01222 b b a a te e te e 即⎩⎨⎧++--bb aa ee t e e t 22 成立 取a a e e -+2与b b e e -+2中较大者记为k ，易知当t ＞k 时，)(x g '＜0在闭区[a ,b ]成立，即)(x g 在闭区间[a ,b ]上为减函数(Ⅲ)证法一：设即,1)(22)(222++++-=x et x e t t F xx,1)(21)2(2)(22+-++-=x e x e t t F xx 易得)(t F ≥1)(212+-x e x令,)(x e x H x -=则,)(x e x H x-='易知0)0(='H 当x ＞0时, )(x H '＞0;当x ＜0,)(x H ' ＜0故当x =0时，)(x H 取最小值，1)0(=H 所以1)(212+-x e x ≥23， 于是对任意x 、t ，有)(t F ≥23，即)(x f ≥23证法二：设)(t F =,1)(22222++++-x et x e t xx)(t F ≥23，当且仅当 21)(22222-+++-x e t x e t x x ≥0 只需证明)21(42)(4222--⨯-+x e x e x x ≤0，即2)(x e x -≥1以下同证法一证法三：设)(t F =1)(22222++++-x et x e t xx ，则).(24)(x e t t F x +-='易得.0)2(=+'x e F x 当t ＞2x e x +时, )(t F '＞0; t ＜2x e x +时, )(t F '＜0，故当t =2xe )(t F 取最小值.1)(212+-x e x即 )(t F ≥.1)(212+-x e x以下同证法一证法四: )(x f 1)()(22+-+-=t x t e x设点A 、B 的坐标分别为),(),(t t 、e x x，易知点B 在直线y =x 上，令点A 到直线y =离为d ，则 )(x f 1||2+=AB ≥.1)(21122+-=+x e d x以下同证法一【点评】 本题是辽宁卷的压轴题，在三角函数，导数，最值，不等式恒成立的有关问题的交汇处命题，真正体现了从整体的高度和思维价值的高度上设计试题的宗旨，注重了学科的内在联系和知识的综合性.。

密级：无探讨高考三角函数问题的解析学院、专业：数学学院数学与应用数学学生姓名：年级班：指导教师：2013年 4月18 日摘要 (2)Abstract (2)1.三角函数高考考情分析 (3)2.高考三角函数典型例题解析 (3)2.1三角函数概念和同角三角函数关系式 (3)2.2三角函数的化简求值 (4)2.3三角函数的图像 (4)2.4三角函数的性质 (6)2.5三角函数的最值问题 (8)2.6三角函数与二次函数的综合应用 (10)2.7三角形中的三角函数 (11)2.8三角函数与向量 (12)2.9三角函数的综合应用 (14)3.2013年高考三角函数命题趋势 (15)参考文献 (16)探讨高考三角函数问题的解析摘要：三角函数是高中数学的主要内容，并且是高考的重点也是难点，在高考中主要包括以下内容：诱导公式、同角三角函数关系式、三角函数图像及其性质、三角形中关于三角函数的正余弦定理、三角函数的化简求值、三角函数的最值问题以及实际应用.关键词：三角函数高考题型解题应用Explore college entrance trigonometric problems parsing Abstract: Trigonometric high school mathematics main content, and is the focus of the college entrance examination is difficult mainly include the following: induction formula in the entrance, the same angle trigonometric relationship triangle, the trigonometric images and its nature, about trigonometric functions law of cosines are the simplification evaluated trigonometric functions, trigonometric functions most value, and i related to the practical application.Keywords:Trigonometric College entrance examination questions Problem solving applications1.三角函数高考考情分析三角函数是高中教学课程中的重要内容，不仅在数学方面有广泛的应用，是解析几何、立体几何、复数中的常用工具和媒介，在其他学科中也有相应的应用.在对近几年全国各地高考试题的研究分析来看，高考中三角函数所考查的内容继续保持着稳定（内容、题量、分值）.主要考查的内容大致包括以下三个方面：1、三角函数的恒等变换.2、三角函数的图像及其性质.3.三角函数的应用.同时三角函数这一章所考查的内容在高考中所占的分值比例较高，约占试卷总分的15%左右，可见其地位的重要性.在新课标普及以及高考改革的过程中，三角函数相关知识还增加了现实生活以及科技发展相关的许多新颖的内容，并且注重考查学生如何应用数学知识解决实际问题的能力.并且针对本章内容，不仅考查三角函数的图像和性质，并且加入了平面向量、二次函数，同时进行综合考查.这自然而然会吸引高考命题者的眼光.因此三角函数类例题依旧是高中复习中的重要内容和高考的必考点[]1. 2.高考三角函数典型例题解析2.1三角函数概念和同角三角函数关系式这种类型主要考查的内容是三角函数的诱导公式和其符号规律，要注意一些相关的分类讨论和三角函数符号的正确判定.例1.记=︒=︒-100tan ,)80cos(那么k （ ） A. K K 21- B.K K 21-- C.21K K - D.21KK -- 解：（B ）2221)80(cos 180cos 180sin k -=︒--=︒-=︒k k 2180cos 80sin 80tan 100tan --=︒︒-=︒-=︒∴评析：此题主要考查诱导公式和同一个角的三角函数关系式，应用了弦与切之间互相转化的思想，同时要知道三角函数的符号各个象限是如何确定的.例2.若tan 3α=，则2sin 2cos αα=（ ） A.2 B.3 C.4 D.6解：(D)由题得22sin 22sin cos 2sin 2tan 6cos cos cos αααααααα==== 评析：此题主要考查同一个角的三角函数关系式和二倍角公式，要熟练掌握这些基本公式.2.2三角函数的化简求值这种题型主要考查三角函数的恒等变换，合理选择三角函数公式，如何应用三角函数，准确的计算能力，在解题过程中考生要考虑角之间的关系，式子的结构特征，灵活的运用诱导公式，两角和、差、倍角公式，同时还要知道应该选择正用还是逆用这些公式[]2.例3.已知α为第三象限的角，3cos 25α=-，则tan(2)4πα+= （ ） 解：α为第三象限的角322()2k k k Z ππαππ∴+<<+∈ 42243()k k k Z ππαππ∴+<<+∈ 又3cos 205α=-<4sin 25α∴== 4sin 245tan 23cos 235ααα∴===-- 41tan tan 2134tan 24471tan tan 2143παπαπα-+⎛⎫∴+===- ⎪⎝⎭-+ 评析：此题主要考查同一个角的三角函数关系式以及二倍角正弦、正切公式，综合性较强.例4.已知α为第二象限角，sin cos 3αα+=，则cos 2α=（ ）A.-B.解：(A)sin cos αα+=等式两端同时平方得 12+2sin cos =2sin cos 33αααα∴=-1 α为第二象限角 s i n0,c o s αα∴><sin cos αα∴-===22cos 2cos sin ααα∴=-()()cos sin cos sin αααα⎛=-+== ⎝⎭评析：此题主要考查同角三角函数关系式和二倍角余弦公式，同时还要注意角的范围，综合性很强.2.3三角函数的图像此种类型主要考查三角函数的图像变换，解决此种类型的关键就是要熟练掌握,,A ωϕ的含义，尤其是知道ω如何判定，同时还要知道伸缩变换对ϕ的影响[]3.例5.为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需把函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像（ ）A.向左平移4π个长度单位 B.向右平移4π个长度单位 C.向左平移2π个长度单位 D.向右平移2π个长度单位 解：(B)sin 2sin 2612y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin 2sin 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以将sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移1264πππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭个长度单位得到sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像. 评析：本题主要考查三角函数图像的平移变换，内容较基础.例6.已知函数()()()tan 0,,2f x A x y f x πωϕωω⎛⎫=+><= ⎪⎝⎭的部分图像如下图，则24f π⎛⎫= ⎪⎝⎭___________. 解：由图可知 3228824T ππππωω=-∴=即=同时由图像还可以得到2,824k k Z k πππϕπϕπ⨯+=+∈=+即 310444k k πϕ∴-<<=∴=只有 又图像过点（0,1），代入得tan 114A A π=∴= ()tan 24tan 243f x x f πππ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭⎛⎫∴== ⎪⎝⎭函数的解析式为图1评析：本题主要考查三角函数图像变换，重点确定,,A ωϕ，要精确地分析所给图像的关键点.2.4三角函数的性质此种类型主要考查三角函数的单调性、周期性、图像的对称性，要求对三角函数的恒等变换能够熟练地进行应用[]4，因为三角函数的性质不仅是学生将来学习高等数学和应用技术学科的基础，更是解决实际生产问题的工具[]5，因此三角函数的性质是高考题中的重点也是难点，要注意题型的灵活性和综合性.例7.设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则（ ） A. ()y f x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图像关于直线4x π=对称 B. ()y f x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图像关于直线2x π=对称 C. ()y f x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图像关于直线4x π=对称D. ()y f x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图像关于直线2x π=对称 解：(D)化简得()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222442x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为cos 2,2y x k k k Z πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦在是单调递减函数 所以cos 2y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减， 因为cos 2y x =的对称轴为()22k x k x k Z ππ==∈即 所以cos 2y x =图像关于直线2x π=对称评析：此题主要考查三角函数的单调性以及对称性，要熟练地进行三角函数的恒等变换，应用辅助角公式化成一角一函数，最终来求单调区间以及对称轴，是高考考查的重点.例8.已知函数()()()()sin 30,,,0f x A x A x ϕϕπ=+>∈-∞+∞<<在12x π=时取得最大值4.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的解析式； （3）若212,sin .3125f παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭求 解：（1）由题易得23T π= （2）由()f x 的最大值是4知道4A =,()()m a x 4s i n 341212s i n 14504444244s i n 34f x f f x x ππϕπϕππππππϕπϕϕϕπ⎛⎫⎛⎫==⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭<<∴<+<∴+==⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭即（3）由题意得2222124sin 3312312452333sin 3sin 2cos 2312452553112sin sin sin 55f πππααπππαααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴++=∴+=∴= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴-=∴=∴= 评析：此题主要是求三角函数的周期以及代入求值问题，内容比较基础，但依然是重点. 2.5三角函数的最值问题此种类型主要考查的是三角函数基础知识的综合应用，是三角函数中很重要的问题之一，不仅考查三角函数基础知识而且还要有必要的求最值的方法，因此这是高考中必考的内容[]6. 例9.已知函数()211sin 2sin cos cos sin 222f x x x πφφφ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭()0φπ<<，其图像过点1,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1） 求φ的值；（2） 将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()g x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值.解：（1）()()211sin 2sin cos cos sin 0222f x x x πφφφφπ⎛⎫=+-+<< ⎪⎝⎭()11cos 21sin 2sin cos cos 222x f x x φφφ+∴=+- ()()11sin 2sin cos 2cos 221sin 2sin cos 2cos 21cos 22x x x x x φφφφϕ=+=+=- 又()f x 函数图象过点1,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 11cos 2cos 1226303ππφφπφπφ⎛⎫⎛⎫∴=⨯-∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<∴=（2）由（1）知()1cos 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像可知， ()()12cos 423g x f x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭ []210,40,4,cos 41433323x x x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫∈∴∈∴-∈-∴-≤-≤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭ ()0,4y g x π⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦在上的最大值和最小值分别为1124-和 评析：此题主要考查了考生综合运用三角函数的能力，熟练、灵活的应用三角函数图像变换来求三角函数最值问题的能力，同时还有分析、解决问题能力.例10.已知函数()2sin 2sin 22cos 1,.33f x x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=++-+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 解：（1）()2sin 2sin 22cos 133f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11sin 22sin 22cos 222sin 2cos 224x x x x x x xx π=++=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 因此函数()f x 的最小正周期是22ππ= （2）,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 32,444x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦s i n 212s i n 22244x x ππ⎛⎫⎛⎫∴-≤+≤∴-≤+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦-1. 评析：此题主要考查三角函数周期性的求法以及在求最值过程中所用到的三角函数的化简运算，这要求对三角函数两角和差运算以及二倍角公式的熟练应用，并且能够根据所给角的范围确定所求角的范围，从而求得最值.2.6三角函数与二次函数的综合应用此种类型主要考查三角函数问题中掺杂二次函数的相关运算，要求对韦达定理有灵活的应用并且还要熟练地应用两角正弦、余弦、正切和差相关公式[]7. 例11.设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则()tan αβ+的值为（ ）A.-3B.-1C.1D.3解：（D ）tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根由韦达定理得 tan tan 3,tan tan 2αβαβ+==()tan tan 3tan 31tan tan 12αβαβαβ+∴+===--- 评析：此题主要考查三角函数与二次函数的综合应用，要知道韦达定理，并且掌握两角正切公式.2.7三角形中的三角函数此类型在高考中主要考查在三角形中三角函数是如何应用的，解三角形最关键的就是熟练的应用三角形的内角、正余弦定理三角形的面积公式等[]8.例12.在ABC ∆中，2,60,AC BC B ===︒则BC 边上的高为（ ）A. 解：（B ）在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅, 7,2,60AC BC B ===︒代入得217442AB AB =+-⋅⋅求得3AB = 作AD BC ⊥垂足为D ，则在Rt ABD ∆中，sin 60AD AB =⨯︒= 即BCC D图2评析：本题主要考查了余弦定理在三角形中的应用，内容比较基础，只要找到AB 即可.例13.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知c o s 2c o s 2c o s A C c a B b--=. （1）求sin sin C A的值. （2）若1cos ,4B ABC =∆的周长是5，求b 的长. 解：（1）由正弦定理得sin sin sin a b c k A B C===，()()2cos 2cos 2sin sin 2sin sin cos sin sin cos 2cos 2sin sin cos sin cos 2cos sin 2sin sin cos c a A C k C k A C A b B k B BA C C AB BA CBC A B----===--=-=-有则 化简可得()()sin 2sin A B B C +=+又A B C π++=有sin 2sin C A =因此sin 2sin C A = （2）sin 22sin C c a A==由得 由余弦定理以及14cosB =得 222222212cos 4444b a c ac B a a a a =+-=+-⨯= 所以2b a =又5a b c ++=得1,2a b ==评析：此题主要考查了三角形内角和，正余弦定理，两角和差公式，要求熟练掌握两个定理，注重边角互化思想，并能灵活的运用，同时计算准确.2.8三角函数与向量此种题型主要考查在三角函数问题中掺杂向量的基本运算，主要是向量的数量积、向量共线、向量的模这些内容.综合性比较强[]9.例14.已知向量()()sin ,cos 2sin ,1,2a b θθθ=-=（1）若a ‖b ，求tan θ的值.（2）若a b =，0θπ<<，求θ的值. 解：（1）a ‖b12sin cos 2sin 4sin cos tan 4θθθθθθ∴=-∴=∴= （2）由a b =知 ()()222sin cos 2sin 514sin cos 4sin 512sin 221cos 25sin 2cos 21sin 242θθθθθθθθθθπθ+-=∴-+=∴-+-=∴+=-⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭90244457224444324πππθπθππππθθππθθ<<∴<+<∴+=+=∴==或或 评析：此题主要考查的是在三角函数中应用向量的基本运算，主要有向量的共线以及向量的模，要有熟练地应用，同时还要应用辅助角公式来进行化简，最终化为同一个角从而进行求值，内容比较综合.例15.设ABC ∆是锐角三角形，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对边长，并且22sin sin sin sin 33A B B B ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1）求角A 的值.（2）若12,AB AC a ⋅==,b c （其中b c <）.解：（1）22sin sin sin sin 33A B B B ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211o s s i n c o s s i n s i n 2222B B B B B ⎛⎫⎫=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222313c o s s i n s i n 444B B B =-+=sin 2A ∴=±，又A为锐角，sin 2A ∴= 3A π∴=（2）12cos 12AB AC cb A ⋅=∴=由（1）知3A π=24cb ∴= ① 由余弦定理得2222cos a c b cb A =+-，将a = 2252c b += ② ②+①×2得2()100c b +=10c b ∴+=因此,b c 是一元二次方程210240t t -+=的两个根.解此方程并由6,4c b c b >==知评析：此种类型在三角形中求某个角以及边，主要用到的工具是向量的数量积，同时还要熟练地应用两角和差公式，还要根据在三角形中锐角的特点来确定角的大小，最终可以把三角函数边的问题转化为一元二次方程求根问题，内容非常综合，很灵活.2.9三角函数的综合应用此种类型是历年高考考查的重点、热点，新课标高考更加注重对知识点综合应用意识的考查，三角函数与集合、函数、向量、不等式、先行规划等知识命题联系在一起，题目更加新颖[]10. 例16.某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H （单位：m ），如示意图，标杆BC是与地面互相垂直放置的，并且其高度h=4m ，仰角,.ABE ADE αβ∠=∠= （1）这个小组测得其中一组,αβ的值，tan 1.24,tan 1.20αβ==，请根据这个小组所测得的值求H 的值；（2）这个小组通过分析多个已经测得的数据后，认为如果恰当的调整标杆和电视塔之间的距离d （单位：m ），使α与β相差的比较大，这样就能够提高相应的测量的精确度.若电视塔的实际中的高度是125m.那么当d 是多少时，αβ-最大？解：（1）由题得tan tan H H AD AD ββ=⇒= 同理可得,tan tan H h AB BD αβ== tan tan tan tan 4 1.24124tan tan 1.24 1.20AD AB DB H H h h H βαβαβα-=∴-=⨯∴===-- 所以算出的电视塔的高度即H 为124m.（2）由题设可知(),tan ,tan tan tan tan 1tan tan 1H H h H h d AB d AD DB dH H h dd H H hd d αβαβαβαβ-=====---∴-==-++⋅得 ()()2hd h H H h d H H h d d==-+-+ ()()H H h d d d -+≥===当且仅当故当d =()tan αβ-最大. 0022-d ππβααβαβ〈〈〈∴〈-〈∴=当最大故所求的d 是m.图3评析：本题基本是考查三角形的知识、两角差的正切以及不等式的应用.3.2013年高考三角函数命题趋势从近几年的高考题的整体分析来看，三角函数的命题还是比较趋于稳定，但是随着新课标的改革[]11，近年来三角函数相关考题相对来说考查的比较简单，因此2013年高考可能会一如既往的走简单路线，但是在备考的过程中，有关三角函数的解答题方面还应着重准备和三角的整合以及解三角形与三角公式整合的题型[]12.不管怎样变化或者以何种形式出现，总体来说三角函数部分仍然属于基础题、中档题和常规题.1．三角函数的图像和性质依然是高考命题的重点更是难点.因为三角函数的图像和性质不仅是学生将来学习高等数学和应用技术学科的基础，更是解决实际生产问题的工具，同时近年来高考对于三角变换的要求在降低，因此肯定会加大对三角函数图像和性质相关内容的考查力度，这必然导致三角函数的图像和性质成为高考的热点之一，三角函数解答题的主要考查题型，具有灵活性和综合性.三角函数的单调性、周期性、图像的伸缩变换、对称问题依旧是高考所要考查的重点[]13.2.三角函数的化简求值也是经常考的题型.它经常以小题的形式出现，或者是解答题其中的一个问，在这样考查的过程中一定会渗透着一些相对来说简单的三角函数性质以及恒等变换，重点考查三角函数的基础知识、基本方法还有基本技能[]14.3.综合问题的考查.在综合问题之中突出考查三角函数的性质也是近年来高考习惯命题的一个方面.随着新课标的改革，在近年来的高考题中会出现这样的现象，高考命题主要以能力立意，加强对知识的综合性以及应用性的考查，所以常常在知识的交汇点处涉及一道三角问题[]15.综合考察学生对三角恒等变换，三角函数的图像和性质问题的应用能力，从近三年的全国各地高考题中可以非常明显的看到这一点，因此考生在备考的过程中要高度重视.参考文献[1]刘长柏.2012年高考三角函数核心考点揭秘[J].数学教学通讯，2012.[2]陈令.三角函数式求值的几种题型[J].科学咨询(教育科研),2010.[3]徐转贵.三角函数图像与性质的解题策略[M].福建中学数学,2012.[4]周德生.三角函数的图像与性质[J].中学教研(数学),2010[5]洪其强.从2012年高考命题谈三角函数专题复习[J].广东教育(高中版),2010.[6]章俊成.三角函数最值问题的解题技巧[J].新课程研究(职业教育),2008.[7]王海霞,覃岳.突出数学思想方法的复习——从一道三角题说起[J].中国考试,2006.[8]孙虎.三角形中三角函数解题策略例析[J].数学教学通讯,2004.[9]徐圣红.2011高考三角函数考些啥[J].数学教学通讯,2011.[10]马运强.三角函数题归类分析及命题预测[J].第二课堂(高中),2011.[11]毛仕理.高考三角函数题型解析及命题展望[J].中学数学杂志,2010.[12]孙道.2011年高考三角函数考点透析及2012年高考命题趋势预测[J].中学数学杂志,2011.[13]尹祖荣.谈高考三角题型及解题策略[M].中学数学教学参考,2005.[14]高波.三角函数求值特殊方法[J].常州教育学院学报,2000.[15]党葆龄.高考三角函数内容回顾与展望[J].延安教育学院学报,2000.。

《三角函数》试卷分析吕希 北京市第一六一中学[教学目标]1．通过试卷分析，让学生学会构建知识网络，并应用于解题．2．通过引导学生进行解题后的反思，培养学生纠错反思能力，以及让学生逐步养成探究解题规律的习惯．3．通过学生交流学习体会，引导学生养成良好的数学学习习惯和思维习惯． [教学方式]导学式 [教学过程]《三角函数》这章知识先后进行了两次测试，第一次测试也就是A 卷，侧重于对基础知识的考查，第二次测试也就是B 卷，更侧重于对能力的考查，这节课对这张试卷进行讲评．一、考试信息反馈用折线图演示两次考试情况（横坐标是分数，纵坐标是各分数段人数），让学生通过观察图象，结合自身考试情况进行分析，得到相关的考试信息．可以从以下角度进行分析：班级的平均分；试卷的难度差异；产生差异的原因，等等．学生若分析得不到位，可以给予适当的引导．通过分析，让学生体会到除了知识本身，在数学学习方面还有一定差距．二、试题分析与反思对学生在试卷中出现的问题比较集中的题目进行重点分析．由于是章节测试，所考查的知识点比较集中，因此根据选择、填空、解答三种题型对试卷进行分析．根据学生的答题情况，对每种题型从不同角度分析，一方面让学生明确每道题的正确解答，另一方面让学生进一步感悟学习高中数学的规律与策略．（一）结合选项，反思错因；构建网络，以点带线 用柱状图演示每道选择题各选项选择的人数，让学生通过观察图象，判断每道选择题的正确选项．重点讲解通过图象很难判断出正确答案的第3题和第4题．让学生分组进行讨论，分析每道题的正确选项以及考试过程中为什么很多同学会选错，2468101214161820100908070605050以下培养学生的纠错反思能力．3．“a=1”是“函数y=cos 2ax-sin 2ax 的最小正周期为π”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件本题正确答案是A ，很多同学错选C 的根本原因是对最小正周期的概念认识不到位（T>0与绝对值相联系）．同时让学生在错因分析中进一步认识到在今后的学习过程中，基本概念一定要逐字落实．本题正确答案是D ，请学生简要叙述此题的解答过程：由1cos sin 22=+θθ得出m=0或m=8，因为πθπ<<2，所以sin θ>0，得到m=8，再由半角公式得出结果．之所以会有很多同学错选A 、B 是因为没有注意到隐含条件1cos sin 22=+θθ的使用． 指出：在学习过程中，要学会不断积累并构建知识网络．以此题为例，与学生一起回忆并总结与同角正、余弦相关的公式．引导学生进一步思考，由于是选择题，第4题是否有其他解题思路？可根据解答该题所需要的知识，对选项进行一一排除．由于1cos sin 22=+θθ，所以m 必为定值，排除A 、B ，再由θ的范围，可知2tanθ>1，故排除C ，选D ．通过对比两种解法的特点，让学生进一步明确：（1）若概念清楚，则后一种方法更优；（2）题中蕴藏着解题信息，需要认真挖掘和筛选，条件运用是否得当，决定解题的速度和正确率．（二）分析简单题失误原因，明确三角题解题策略 用柱状图演示每道填空题的得分率与失分率，让学生通过观察图象了解每道填空题的解答情况，重点分析第7、11这两道错误率偏高的题目．123456这道题并不难，阅卷时发现学生出现错误的原因主要是在解不等式的过程中忽略了等号，或者在计算和规范性上，所以这道题的分析重点不在如何去做，而是让学生共同分析在做这道题时可能出现的错误．通过分析，让学生意识到计算马虎、概念遗忘、思路不清、解题不规范等都是做错一道题的原因，因此要养成严谨的解题习惯．11．(1+tan1o )(1+tan44o )=____, (1+tan1o )(1+tan2o ) (1+tan3o )…(1+tan44o )=____本题得分率相对比较低的原因是有些学生不知该如何下手，所以请一位做对的学生说明一下考试时解此题的整个思维过程．强调由于1o 和44o 均不是特殊角，所以若将括号打开，式子变形为1+tan1o +tan44o +tan1o tan44o ，出现了两角正切的和与积的形式，这种类型题在作业中见到过，见到这样正切的加、乘的结构就应联想到两角和的正切公式，有意识地去运用它帮助解题．通过分析，让学生进一步明确：（1）三角题一般从角、结构、名称三方面入手，寻找解题思路；（2）平时作业时只有把知识透彻理解，解题时才能把知识灵活运用；（3）解数学题，本质就是运用知识创设条件，使已知与结论之间进行转化，三角公式的正用、逆用、变形使用，就是我们创设的转化条件．（三）渗透解题规律，培养解题习惯，提高解题能力解答题具有条件比较多、综合性比较强的特点，所以在分析过程中，侧重于渗透如何通过审题，寻找解题思路．13．已知πγβα20<<<<，且0c o sc o s c o s =++γβα，0sin sin sin =++γβα，求βα-的值．这道题大部分同学都得到了cos(βα-)=21-，但是βα-的值做对的学生极少．由于条件隐含的较深，所以很多学生依然不明白自己的答案为什么是错的．所以引导学生一步步探索产生增根的原因．因为πβα20<<<，所以-2π<βα-<0，所以βα-=π32-或π34-． 引导学生进一步考虑有没有漏掉的条件呢？通过再次审题，学生会发现已知里的不等关系中还有γ，那么如何应用这个条件缩小范围呢？因为已知的式子是一个对称轮换式，所以同理可得γα-=π32-或π34-． 因为πγβα20<<<<，利用不等式的性质可得-2π<γα-<βα-<0，所以βα-=π32-．对于这样的结果，学生必然会恍然大悟．于是“趁热打铁”，对解题策略进行指导：（1）当出现两解，而题中还有已知条件未用时，就要考虑挖掘条件，对解进行取舍；（2）会审题是观察与思维巧妙结合的艺术．成功解题要求我们做到：审题看清细节，数形挖掘隐含，尽量化大为小，解时不忘分类，结论注意取舍．把解题的五条策略用屏幕显示，起到强化的作用．这道题的第(2)问可能是由于时间紧张，大部分同学都没做出来．让学生重新审题，看是否现在有了思路．请学生说出自己的想法，可以让学生在黑板上边讲边写．这道题的关键在于明确这是一个恒等式证明问题，根据已知将S n 表示出来，实际上就是要证明2sin2sin 2)1(coscos 3cos 2cos cos αααααααn n n +=+⋅⋅⋅+++． 观察等式，如何能够利用已知呢？将2sinα乘到等式左边，左右两边同时应用（1）的结论，变形整理即可．由于学生程度较好，所以具体的解答过程不必写在黑板上，解题的具体过程可用屏幕显示出来． 证法一：2sin)cos 3cos 2cos (cos αααααn +⋅⋅⋅+++= 2sincos 2sin2cos 2sin cos ααααααn +⋅⋅⋅+=)212sin 212sin 23sin 25sin 2sin 23(sin 21αααααα--++⋅⋅⋅+-+-n n = )2sin 212(sin21αα-+n ， ∴左 = 2sin)2sin 2)12((sin 21cos 3cos 2cos cos ααααααα-+=+⋅⋅⋅+++n n ．又 右 = 2sin)2sin 2)12((sin 21ααα-+n ， ∴左 = 右，等式成立．证法二：数学归纳法．（由于此法非现在教材要求的内容，所以这里暂且不讨论了）这道三角与数列的综合题，难度较大．化简过程应用了裂项求和的思想．让学生进一步体会，从不同角度思考问题可以得到解决问题的不同方式．所以说，解题的关键在于一个“活”字，除了知识运用要活，寻找解题思路的方法也要活．一道题的解题思路可以是直接由已知一步步推出所要求的结果；也可以从结论出发一步步分析所需要的条件；还可以二者结合应用．三、学习体会与交流最后让学生交流一下近阶段数学学习的心得．学生会结合这节课的内容说一些自己的体会，通过学生的小结可以得到学生的反馈信息，即他们有哪些收获．如果学生小结得很全面，要让学生进一步体会到：学习的过程本身不只是掌握知识的过程，同时也是学会学习的过程，只有学会针对自己的情况不断改进自己的学习方法，才能更好更有效地掌握知识、提高能力．[课后反思]这节课上完以后，很多学生都说收获很大．可见，学生最需要的也是该怎样学，怎样可以学得更有效．一节试卷分析课，仅仅让学生知道每道题该怎么做是远远不够的．通过试题分析，应该让学生掌握如何通过构建知识网络及归纳解题规律进行解题，逐步渗透解数学题的规律与策略．由于这一节课中，想给学生渗透的内容比较多，所以时间很紧，学生的参与程度不够．如果平时能在每节课中，都有意识地渗透一些解题的规律、方法、策略，学生的能力一定可以提高得很快．最后一道解答题，是让一位学生讲的．题目虽然较难，但大部分学生都听懂了．这说明学生自己给自己讲题，可以从自身需要的角度出发，切中要害．课堂上，可以留给学生更多的时间和空间，不只加强师生之间的交流，同时要加强学生之间的交流．这样上一节试卷分析课，到底该称为哪种教学方式，我还未考虑成熟．因为整个教学过程中，学生在教师的引导下，通过思考、讨论、交流，在掌握知识只是的同时，明确了该如何掌握知识，所以我暂且把它叫做“导学式”．（或者称为“反思式”？）。

三角函数、解三角形题型分析及其复习计划本文主要研究近五年高考中出现的三角函数题，其目的是加深自身对高中三角函数这部分容的认识和理解，并通过对试题的分类、整理、分析、总结出一些关于高考中对三角函数试题的解题方法、技巧和应对策略，希望这些解题方法、技巧和应对策略能够对执教老师和学生起到一定的帮助和启发.同时，选择研究高考三角函数这部分容也是想为将来的教学工作做一个充分的知识储备.三角函数在高中数学中有着较高的地位，尤其是在函数这一块，它属于基本初等函数，同时，它还是描述周期现象的重要数学模型.通过整理、统计可以看出，每年高考中三角函数试题分值所占比例基本都在10％～15％之间.从近三年的课标卷、的高考三角函数题的分类、整理、分析知，高考三角函数这一知识点，主要还是考查学生的基础知识和基本技能，难度一般不大.但是，三角函数这部分容考查的题型比较灵活，并且考查面较广.在选择题、填空题、解答题中均有考查，在前两类题型中多考查三角函数的基础知识，属于基础题；对于解答题则具有一定的综合性.从总体上看，高考三角函数对文科学生能力的考查要求差异不大，但在考查题型上，文科方向的解三角形题量有所减少.从课改前后看，对三角函数考查的容和围没有明显变动，仍然是对三角函数的基础知识、三角函数与向量、与三角恒等变换等综合考查，但难度均不大.考题分布下面对近五近全国卷高考中三角函数的考题作一个归类分析，通过这个分析可以从中找到一些高三复习三角函数时的复习方向，能更好的、更精准的把握复习时应注意的方方面面。

近五年全国卷三角函数考题角的概念及任意角的三角函数1．(2014课标全国Ⅰ，文16)已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α ＝( )A.45 B.35 C ．－35 D ．－45答案．D [解析] 根据题意，cos α＝－4（－4）2＋32＝－45.三角函数的图象与性质1：(2012大纲卷，文3) ) A B C D 答案C【命题意图】本试题主要考查了偶函数的概念与三角函数图像性质，。

目 录摘 要 (1)Abstract (2)前 言 (3)第一章 2012年高考数学有关“三角函数”命题中考纲要点 (5)1.1 分析考纲要求 (5)1.1.1高考数学有关“三角函数”命题中考纲要求 (5)1.2 分析试卷中“三角函数”的分布 (5)1.2.1考点分布 (5)1.3 解读考卷中“三角函数”的考纲内容 .................................... 6 1.3.1考纲解读 . (6)第二章 高考中“三角函数”的命题特点 (7)2.1 理科和文科的区别 (7)2.1.1题量分布因省市的不同而不同 (7)2.1.2文理科试题难易度有区别 (7)2.2 理科和文科的相同特点 (7)2.2.1考小题，重在基础运用 (7)2.2.2考大题，难度明显降低 (7)2.2.3考应用，融入三角图形之中 (7)2.2.4考综合，体现“三角函数”的工具性 (7)2.3 总结命题特点 (8)2.3.1试卷中的一般设计 (8)第三章 2012年全国高考中“三角函数”命题研究 (9)3.1 纵向研究 (9)3.1.1理科 (9)3.1.2文科 (10)3.2 横向研究 (11)3.2.1类型1：利用二倍角公式，和差角公式等公式进行“三角函数”化简，再求值、周期。

(11)3.2.2类型2：进行向量的相关运算：向量的模，数量积，垂直的充要条件，以及简单“三角函数”运算。

(12)3.2.3类型3：函数R x x A x f ∈+=),sin()(ϕω（其中0,0,02A πωφ>><<）解析式的确定，图像的平移，最值等内容。

(13)第四章 高考中“三角函数”的应用 ....................................................................错误!未定义书签。

4.1 知识整合 ............................................. 错误!未定义书签。

ʏ浙江省湖州市菱湖中学 吴 凯在普通高中课程标准(2017年版)中,三角函数的主要内容包括:角与弧度㊁三角函数概念和性质㊁同角三角函数的基本关系式㊁三角恒等变换㊁三角函数应用等㊂本文以2023年全国卷真题为例,简单分析高考数学试卷中三角函数试题的特点和规律,为2024年高考备考提出一些建议㊂一、试题评析1.注重三角函数的基本量计算三角函数作为高中数学的核心基础内容,通常会涉及一些核心概念㊁基本量的考查,如三角函数的定义㊁同角三角函数的基本关系㊁三角恒等变换(包含两角和差公式㊁二倍角公式)等核心知识点,利用通性通法就能解决问题㊂例1 (2023年全国乙卷文科T 14)若θɪ0,π2,t a n θ=12,则s i n θ-c o s θ=㊂解析:因为t a n θ=12,故有2s i n θ=c o s θ,与s i n 2θ+c o s 2θ=1联立,结合θɪ0,π2,解得s i n θ=55,c o s θ=255,所以s i n θ-c o s θ=-55㊂故填-55㊂评注:本题考查同角三角函数的公式,属于基础题㊂利用同角三角函数基本关系化简,由一个已知三角函数值求其余三角函数值的基本量运算㊂例2 (2023年新课标Ⅰ卷T 8)已知s i n (α-β)=13,c o s αs i n β=16,则c o s (2α+2β)=( )㊂A.79 B .19 C .-19 D .-79解析:因为s i n (α-β)=s i n αc o s β-c o s αs i n β=13,c o s αs i n β=16,所以s i n αc o s β=12,所以s i n (α+β)=s i n αc o s β+c o s αs i n β=12+16=23,则c o s (2α+2β)=1-2s i n 2(α+β)=1-2ˑ49=19㊂故选B ㊂评注:本题主要考查两角和与差的三角公式,二倍角公式的应用,属于中档题㊂由已知条件结合和差角公式先求出s i n αc o s β,再求出s i n (α+β),然后结合二倍角公式可求目标值㊂2.加强充分性与必要性的应用充要条件的判断是高考题型之一,三角函数也常出现在此类题型中,条件与结论的互推是解决该题型的重点,需要注意 正推 和 反推 的区别,根据三角函数的知识点来作出准确的判断,有时需要运用特殊值法,通过举反例来推翻结论㊂例3 (2023年全国甲卷理科T 7)s i n 2α+s i n 2β=1 是 s i n α+c o s β=0 的( )㊂A.充分条件但不是必要条件B .必要条件但不是充分条件C .充要条件D .既不是充分条件也不是必要条件解析:当s i n 2α+s i n 2β=1时,例如α=π2,β=0,但s i n α+c o s βʂ0,即s i n 2α+s i n 2β=1推不出s i n α+c o s β=0;当s i n α+c o s β=0时,s i n 2α+s i n 2β=(-c o s β)2+s i n 2β=1㊂综上可知, s i n 2α+s i n 2β=1是 s i n α+c o s β=0的必要条件但不是充分条件㊂故选B ㊂23 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.评注:本题是对条件判断和三角函数的综合考查,属于中档题,需要考生对三角函数的概念具有一定的理解能力㊂本题是先根据特殊值法判断,再结合同角三角函数的基本关系即可得出㊂3.重视三角函数的图像与性质的考查三角函数是一类最典型的周期函数,需要用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性㊁奇偶性(对称性)㊁单调性和最值等性质,借助图像理解正余弦函数的性质,往往还需要运用三角函数间的恒等关系来解决平移变换问题㊁零点(交点)问题等,只有充分了解它们之间的内在联系,注重灵活运用,才能顺利解决问题㊂例4 (2023年全国乙卷理科T 6)已知函数f (x )=s i n (ωx +φ)在区间π6,2π6上单调递增,直线x =π6和x =2π3为函数y =f (x )的图像的两条对称轴,则f -5π12=( )㊂A .-32 B .-12 C .12 D .32解析:由题意得函数f (x )=s i n (ωx +φ)的最小正周期T 满足2π3-π6=T 2=π|ω|,解得ω=ʃ2㊂不妨取ω=2,则f (x )=s i n (2x+φ),当x =π6时,f (x )取得最小值,则π3+φ=2k π-π2,即φ=2k π-5π6,k ɪZ ㊂可取φ=7π6,则f -5π12=s i n 2ˑ-5π12 +7π6=32㊂故选D ㊂评注:本题考查三角函数的性质,属于基础题㊂利用正弦型函数的单调性与对称性解决参数问题,先由题意求出函数的周期,得到ω的值,再由单调区间即可求解㊂例5 (2023年全国甲卷T 10)已知f (x )为函数y =c o s 2x +π6向左平移π6个单位长度所得函数,则y =f (x )与y =12x -12的交点个数为( )㊂A .1 B .2 C .3 D .4解析:函数y =c o s 2x +π6向左平移π6个单位长度可得y =c o s 2x +π6+π6=c o s 2x +π2=-s i n 2x ,即f (x )=-s i n 2x ,值域为[-1,1]㊂y =12x -12经过点(-1,-1),(1,0),(3,1),在同一直角坐标图1系中作出两个函数的图像,如图1所示,结合图像分析可得y =f (x )与y =12x -12的交点个数为3㊂故选C ㊂评注:本题主要考查三角函数图像的平移及函数图像的交点个数问题,属于中档题㊂涉及函数图像的平移㊁对称变换㊁含s i n x 函数的值域或最值㊁函数零点㊁方程的根的个数等知识点,要求同学们能根据函数图像的平移得到解析式,然后在同一直角坐标系下作出两个函数的图像,通过分析获得正确答案㊂4.突显三角函数与多元知识的融合随着高考的逐年变革,高考数学全国卷的宗旨是 反套路㊁反机械刷题 ,强调对基础知识㊁基本概念的深入理解和灵活掌握,注重考查知识的综合性,因此,试题也具有多元性㊁创新性的特点,将各章节的知识点巧妙地结合起来,以此来检验同学们综合运用知识的能力㊂(1)三角函数与数列㊁集合的融合㊂例6 (2023年全国乙卷理科T 10)已知等差数列{a n }的公差为2π3,集合S ={c o s a n|n ɪN *},若S ={a ,b },则a b =( )㊂A .-1 B .-12 C .0 D .12解析:由题意知a n =a 1+(n -1)ˑ2π3=2π3n +a 1-2π3,所以c o s a n=33解题篇 经典题突破方法 高考数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.c o s 2π3n +a n -2π3,该余弦函数的周期T =2π2π3=3,要使集合S 中只有两个元素,则可利用对称性来取数,如a 1=-π3,a 2=π3,a 3=π, ,或a 1=0,a 2=2π3,a 3=4π3,a 4=2π, ,代入得a b =-12㊂故选B ㊂评注:本题考查等差数列的通项公式㊁余弦型函数的周期性㊁集合中元素的个数等知识点,需要同学们能综合性地利用三角函数和等差数列的性质,分析出等差数列{a n }的公差为2π3,写出等差数列的通项公式,由于集合S 中只有两个元素,而又能发现数列的取值符合对称性关系,即可通过简单取值来求解㊂(2)三角函数与解析几何的融合㊂例7 (2023年新课标Ⅰ卷T 6)过点(0,-2)与圆x 2+y 2-4x -1=0相切的两条直线的夹角为α,则s i n α=( )㊂A .1 B .154 C .104 D .64解析:圆x 2+y 2-4x -1=0可化为(x -2)2+y 2=5,则圆心C (2,0),半径为图2r =5㊂如图2,设P (0,-2),切线为P A ,P B ,则P C =22+22=22㊂在әP A C 中,s i n α2=522,所以c o s α2=1-58=322,所以s i n α=2s i n α2c o s α2=2ˑ522ˑ322=154㊂故选B ㊂评注:本题考查直线与圆的位置关系应用问题,以及三角函数求值问题,属于基础题㊂利用图像分析直线与圆相切的位置关系,先将圆的方程化为标准,求出圆心和半径,利用直角三角形内的数量关系求出s i n α2,再利用同角三角关系和二倍角公式计算c o s α2和s i n α的值㊂二、复习备考建议1.立足新教材,面向新高考,夯实基础知识三角函数的试题通常是以基础题和中档题为主,属于中等难度的题型,主要考查同学们对基础知识的掌握情况,因此,三角函数的复习应该立足新教材,重点掌握课本上的经典例题,强化基础知识和基本方法的熟练应用,紧扣高考真题,做一些变式练习和强化练习,要求能掌握好通性通法㊂2.注重数学思想方法的应用三角函数的试题题型多样,如单选题㊁多选题㊁填空题和解答题都比较常见,复习中要掌握一些常用的解题方法,对于选择题而言,如特殊值法㊁排除法㊁等价转化法等的应用非常实用,对于填空题和解答题来讲,分类讨论㊁数形结合㊁转化化归㊁函数与方程等数学思想方法更为重要,解答三角函数试题的关键是要进行必要的三角恒等变换的处理,将公式活学活用,合理转化,并充分利用数形结合思想来思考问题,能有效提高解题的效率和准确率㊂3.聚焦学科素养,注重知识的多元融合,提升处理交汇问题的解题能力新时代对人才的要求是一定要有综合处理问题的能力,面对不同的问题都能有自己的想法和方法策略,不能生搬硬套,因此,要想解决好综合性试题,首先,要能够掌握高中的基本框架知识,在全面复习的过程中,要及时查漏补缺,清扫知识覆盖 无死角 ;其次,要及时提升素养能力,能将来自不同章节或模块的数学知识有效融合理解,能准确理解概念和概念之间的关联性,能充分地将三角函数知识与其他知识融会贯通,打通章节与模块间的学习 壁垒㊂(责任编辑 王福华)43 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

2020年高考三角函数问题赏析及2020年高考三角函数命题展望一、2020年三角函数考点解析三角函数是中学数学的主体内容,是高考的重点,也是高考的热点,其考点主要包括:同角三角关系式及诱导公式,三角函数的图象和性质,三角函数的化简求值,三角形中的三角函数,三角函数的最值及综合应用。

一般设计一道或两道客观题,一道解答题,约占总分的12%,即18分左右.多数是中、低档题.近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来.在考查三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数性质和图象的考查力度.二、2020年三角函数典型题型及解法赏析分析2020年全国高考三角函数试题可以归纳为以下几种典型题型。

1、三角函数的概念及同角关系式此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取.例1（10全国I 卷理2）记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=A.21k k -B. -21k k- C.21k- D. -21k-解：Θ222sin801cos 801cos (80)1k =-=--=-o o o ,∴tan100tan80︒=-o2sin 801.cos80k k-=-=-o o 。

故选B 评注：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转化思想的应用. 同时熟练掌握三角函数在各象限的符号.例2（10全国1卷文1）cos300︒=(A)32-12 (C)12(D) 32 解：()1cos300cos 36060cos602︒=︒-︒=︒=评注：本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 2、三角函数的化简求值这类题主要考查三角函数的变换.解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值.例3（10重庆文数15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P （点P 不在C 上）且半径相等. 设第i 段弧所对的圆心角为(1,2,3)i i α=，则232311coscossinsin3333αααααα++-=____________解：Θ232312311coscossinsincos33333ααααααααα++++-=又 Θ1232αααπ++=，∴1231cos32ααα++=-评注：本题以过同一点的三段圆弧为背景，考查了三角恒等变形中公式逆用的基本技巧，将已知与求解合理转化，从而达到有效地求解目的.例4（10全国卷1理数14)已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= .解： Θα为第三象限的角 ∴ππ+k 2<α<ππ232+k ∴ ππ24+k <2α<ππ34+k (Z K ∈)又Θ3cos 25α=-<0, ∴4sin 25α=, ∴sin 24tan 2cos 23ααα==-∴tan(2)4πα+=41tan tan 2134471tan tan 2143παπα-+==--+. 评注：本题主要考查了同角三角函数的关系和二倍角公式的灵活运用。