圆的对称性练习北师大版九年级下

3.2 圆的对称性 同步练习一、填空题:1.圆既是轴对称图形,又是_________对称图形,它的对称轴是_______, 对称中心是____.2.已知⊙O 的半径为R,弦AB 的长也是R,则∠AOB 的度数是_________.3. 圆的一条弦把圆分为5: 1 两部分, 如果圆的半径是2cm, 则这条弦的长是_____cm.4.已知⊙O 中,OC⊥弦AB 于C,AB=8,OC=3,则⊙O 的半径长等于________.5.如图1,⊙O 的直径为10,弦AB=8,P 是弦AB 上的一个动点,那么OP 长的取值范围是_____.BPAO DCAEDCBAO（1） （2） （3）6.已知:如图2,有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是____m.7.如图3,D 、E 分别是⊙O 的半径OA 、OB 上的点,CD⊥OA,CE⊥OB,CD= CE, 则AC 与CB 弧长的大小关系是_________.8.如图4,在⊙O 中,AB 、AC 是互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D 、E,若AC=2cm,则⊙O 的半径为_____cm.E DC BAOBAOBPAO（4） （5） （6） （7） 二、选择题:9.如图5,在半径为2cm 的⊙O中有长为的弦AB,则弦AB 所对的圆心角的度数为( ) A.60° B.90° C.120° D.150°10.如图6,⊙O 的直径为10cm,弦AB 为8cm,P 是弦AB 上一点,若OP 的长为整数, 则满足条件的点P 有( )A.2个B.3个C.4个D.5个11.如图7,A 是半径为5的⊙O 内一点,且OA=3,过点A 且长小于8的弦有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条 三、解答题:12.如图,AB 是⊙O 的弦(非直径),C 、D 是AB 上两点,并且AC=BD.试判断OC 与OD 的数量关系并说明理由.DCBAO13.如图,⊙O 表示一圆形工件,AB=15cm,OM=8cm,并且MB:MA=1:4, 求工件半径的长.MBAO14.已知:如图,在⊙O 中,弦AB 的长是半径OA,C 为AB 的中点,AB 、OC 相交于点M.试判断四边形OACB 的形状,并说明理由.MCBAO15.如图,AB 是⊙O 的直径,P 是AB 上一点,C 、D 分别是圆上的点,且∠CPB=DPB,DB BC ,试比较线段PC 、PD 的大小关系.AB16.半径为5cm的⊙O中,两条平行弦的长度分别为6cm和8cm.则这两条弦的距离为多少?17.在半径为5cm的⊙O中,弦AB的长等于6cm,若弦AB的两个端点A、B在⊙O上滑动(滑动过程中AB的长度不变),请说明弦AB的中点C在滑运过程中所经过的路线是什么图形.18.如图,点A是半圆上的三等分点,B是BN的中点,P是直径MN上一动点.⊙O的半径为1,问P在直线MN上什么位置时,AP+BP的值最小?并求出AP+BP的最小值.NMBPAO答案:1.中心 过圆心的任一条直线 圆心2.60°3.2cm4.55.3≤OP≤56.107.相等9.C 10.B 11.A12.过O 作OM⊥AB 于M,则AM=BM.又AC=BD,故AM-AC=BM-BD,即CM=DM,又OM⊥CD, 故△OCD 是等腰三角形.即OC=OD.(还可连接OA 、OB.证明△AOC≌△B OD). 13.过O 作OC⊥AB 于C,则BC=152cm.由BM:AM=1:4,得BM=15×5=3 ,故CM=152-3=4.5 .在Rt△OCM 中, OC 2=229175824⎛⎫-= ⎪⎝⎭.连接OA,则10==,即工件的半径长为10cm.14.是菱形,理由如下:由BC AC =,得∠BOC=∠AOC. 故OM⊥AB,从而AM=BM.在Rt △AOM 中,sin∠AOM=AM OA =, 故∠AOM=60°,所以∠BOM=60°.由于OA=OB=OC, 故△BOC 与△AOC 都是等边三角形, 故OA=AC=BC=BO=OC,所以四边形OACB 是菱形.15.PC=PD.连接OC 、OD,则∵BC DB =,∴∠BOC=∠BOD,又OP=OP,∴△OPC≌△OPD,∴PC=PD.16.可求出长为6cm 的弦的弦心距为4cm,长为8cm 的弦的弦心距为3cm. 若点O 在两平行弦之间,则它们的距离为4+3=7cm, 若点O 在两平行弦的外部,则它们的距离为4- 3=1cm, 即这两条弦之间的距离为7cm 或1cm.17.可求得OC=4cm,故点C 在以O 为圆心,4cm 长为半径的圆上,即点C 经过的路线是O 为圆心,4cm 长为半径的圆. 18.作点B 关于直线MN 的对称点B′,则B′必在⊙O 上,且'B N NB =. 由已知得∠AON=60°,故∠B′ON=∠BON=12∠AON=30°,∠AOB′=90°. 连接AB′交MN 于点P′,则P′即为所求的点.此时,即AP+BP .3.2圆的对称性一、选择题1、如图3－33所示，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为E，且CD＝22，BD＝3，则AB的长为 ( )A．2 B．3C．4 D．52、如图3－35所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD＝6 cm，则直径AB的长是 ( )A．23cm B．32cmC．42cm D．43cm3．下列命题：①圆心不同，直径相等的两圆是等圆；②长度相等的两弧是等弧；③圆中最长的弦是直径；④圆的对称轴是圆的直径；⑤圆不是旋转对称图形．其中正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图3－36所示，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D，已知AB＝2CD，AB的弦心距等于CD长的一半，那么大圆与小圆的半径之比是 ( )A．3∶2 B．5∶2C．5∶2 D．5∶45．下列语句中，不正确的有 ( )①直径是弦；②弧是半圆；③经过圆内一定点可以作无数条弦；④长度相等的弧是等弧．A．①③④B．②③ C．② D．②④6.下列语句中不正确的有①平分弦的直径垂直于弦②圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴③长度相等的两条弧是等弧A.3个B.2个C.1个D.以上都不对7．如图3－37所示，在⊙O中，弦AB的长为6 cm．圆心O到AB的距离为4 cm，则⊙O 的半径长为 ( )A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm8．如图3－38所示，C为AB的中点，CN⊥OB于N，弦CD⊥OA于M．若⊙O的半径为5 cm，ON＝4 cm，则CD的长等于．二、填空题9．如图3－39所示，在⊙O中，AB和AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．且AB＝8 cm，AC＝6 cm，那么⊙O的半径OA的长为．10．P为⊙O内一点，且OP＝8 cm，过P的最长弦长为20 cm，则过P的最矩弦长为．11.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为____.最大值为____________.12．(2014•陕西,第17题3分)如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是．三、解答题13、如图是一大型圆形工件被埋在土里而露出地表的部分.为推测它的半径，小亮同学谈了他的做法：先量先量取弦AB的长，再量中点到AB的距离CD的长，就能求出这个圆形工件的半径.你认为他的做法合理吗？如不合理，说明理由；如合理，请你给出具体的数值，求出半径。

数学初三下北师大版3.2.1圆的对称性练习一、填空题〔每题6分，共30分〕1、如图3-19-1，AB是⊙O的直径，OC是半径，那么劣弧是，优弧是。

2、弦AB把⊙O分成两条弧，它们的度数之比是3：6，那么被分成的劣弧等于度，优弧等于度。

3、圆既是轴对称图形，又是对称图形，它的对称轴是，对称中心是。

4、⊙O的半径为R，弦AB的长也是R，那么∠AOB的度数是。

5、圆的一条弦把圆分为5：1两部分，假如圆的半径是2cm，那么这条弦的长是 cm。

【二】选择题〔每题6分，共30分〕6、以下说法中错误的选项是〔〕A、直径是弦B、直径是最长的弦C、最长的弦是直径D、弦是直径7、以下说法中正确的选项是〔〕①直径相等的圆是等圆②长度相等的两条弧是等弧③圆中最长的弦是通过圆心的弦④一条弦把圆分成两部分，这两条弧不可能是等弧A、①③B、②③④C、①④D、①8、如图3-19-2所示，A、B、E、C都在⊙O上，A、O、D和C、D、E以及B、O、C分别在一条直线上，那么圆中弦的条数为〔〕A、2条B、3条C、4条D、5条①弦的垂直平分线通过圆心②平分弦的直径垂直于弦③梯形的对角线互相平分④圆的对称轴是直径A、1个B、2个C、 3个D、4个10、以下命题中正确的一个是〔〕A、平分一条直径的弦必垂直于这条直径B、平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C、弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D、在一个圆内，平分一条弧和它所对弦的直线必过那个圆的圆心【三】解答题〔每题10分，共40分〕11、，AB、CD是⊙O的两条直径，连结AC、BD，求证：AC=BD。

12、AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，试判断AB、CD的大小关系？并证明你的结论。

13、如图3-19-3所示，AB是⊙O的弦〔非直径〕，C、D是AB上的两点，同时AC=BD。

试判断OC与OD的数量关系并说明理由。

［综合探究］14、如图3-19-4所示，AB是⊙O的直径，P是OA上任一点，C是⊙O上不同于A、B的一点，试判断PA、PB、PC的大小关系，并证明你的结论。

2圆的对称性基础过关全练知识点1圆的对称性1.下列说法中,不正确的是()A.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形B.圆绕着它的圆心旋转任意角度,都能与自身重合C.圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个D.圆的每一条直径都是它的对称轴2.如图,正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上,小圆与正方形MNEF各边仅有一个交点,AB与CD是大圆的直径,AB⊥CD,CD⊥MN,则图中阴影部分的面积是()A.4πB.3πC.2πD.π知识点2圆心角、弧、弦之间的关系3.下列命题是真命题的是()A.相等的弦所对的弧相等B.圆心角相等,其所对的弦相等C.在同圆或等圆中,圆心角不相等,所对的弦不相等D.弦相等,它所对的圆心角相等4.如图所示,在☉O中,AB=AC,∠A=30°,则∠B=()A.150°B.75°C.60°D.15°5.观察下列图形及相应的推理,其中正确的是()∵AB=AC,∴AB=AC.①∵∠AOB=∠COD,∴AB=CD.②∵AD=BC,∴AB=CD.③∵AB=CD,∴∠AOB=∠COD.④A.①②B.③④C.①③D.②④6.(2022广东广州七中期中)如图,已知AB、CD是☉O的直径,AE= AC,∠BOD=32°,则∠COE的度数为度.7.如图,AB是☉O的弦,C、D为弦AB上的两点,且OC=OD,延长OC、OD分别交☉O于点E、F.求证:AE=BF.能力提升全练8.(2022北京顺义期末,7,)如图,在☉O中,如果AB=2AC,则下列关于弦AB与弦AC之间的关系正确的是()A.AB=ACB.AB=2ACC.AB>2ACD.AB<2AC9.(2018贵州毕节中考,19,)如图,AB是☉O的直径,C、D为半圆的三等分点,CE⊥AB于点E,则∠ACE的度数为.10.(2022辽宁大连普兰店期末,19,)如图,在☉O中,AB=AC,∠BOC =120°.求证:△ABC是等边三角形.11.(2018黑龙江牡丹江中考,22,)如图,在☉O中,AB=2AC,AD⊥OC于D.求证:AB=2AD.素养探究全练12.【推理能力】把一张圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开,图中的虚线表示折痕,求BC所对的圆心角的度数.13.【推理能力】如图,在☉O中,C,D是直径AB上的两点,且AC=BD,MC⊥AB,ND⊥AB,点M,N在☉O上.(1)求证:AM=BN.(2)若点C,D分别为OA,OB的中点,则AM=MN=BN成立吗?请说明理由.答案全解全析基础过关全练1.D 圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,所以A说法正确;圆是一个特殊的中心对称图形,它绕着圆心旋转任意角度都能与自身重合,所以B说法正确;圆的对称轴是过圆心的直线,这样的直线有无数条,对称中心只有一个,是圆心,所以C说法正确;直径是线段而不是直线,不能说直径是圆的对称轴,所以D说法错误.故选D.2.D 利用圆和正方形的对称性,可知阴影部分的面积恰为大圆面积的四分之一,π×22=π.即S阴影=143.C A项、B项、D项中的结论若要成立,都必须以“在同圆或等圆中”为前提条件,所以A项、B项、D项错误.故选C.4.B ∵在☉O中,AB=AC,∴AB=AC,∴∠B=∠C,=75°.又∠A=30°,∴∠B=180°−30°25.C ∵在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等,故①正确;③中,∵AD=BC,∴AD+BD=BC+BD,即AB=CD,∴AB=CD,故③正确;②和④中,不是在同圆或等圆中,故不正确.6.64解析∵∠BOD=32°,∴∠AOC=32°,∵AE=AC,∴∠AOE=∠AOC=32°,∴∠COE=∠AOC+∠AOE=32°+32°=64°,故答案为64.7.证明∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC.∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA,∴∠AOC=∠BOD,∴AE=BF.能力提升全练8.D 如图,取弧AB的中点D,连接AD,BD,则AB=2AD=2BD, ∵AB=2AC,∴AD=BD=AC,∴AD=BD=AC.在△ABD中,AD+BD>AB,∴AC+AC>AB,即AB<2AC.故选D.9.30°解析如图,连接OC.∵AB是直径,AC=CD=BD,∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°,∵OA=OC,∴△AOC是等边三角形,∴∠A=60°,∵CE⊥OA,∴∠AEC=90°,∴∠ACE=90°-60°=30°.10.证明∵AB=AC,∴∠AOB=∠AOC,∵∠BOC=120°,∴∠AOB+∠AOC=360°-120°=240°,∴∠AOB=∠AOC=120°,∴∠AOB=∠AOC=∠BOC,∴AB=AC=BC.∴△ABC是等边三角形.11.证明如图,延长AD交☉O于点E,连接OA,OE.∵OC⊥AD,OA=OE,∴∠EOC=∠AOC,AD=DE,∴AE=2AC,AE=2AD,∵AB=2AC,∴AE=AB,∴AB=AE,∴AB=2AD.素养探究全练12.解析如图,连接BO,过点O作OE⊥AB于点E.由题意可得EO=12BO,AB∥DC,∴∠BOD=∠EBO=30°.∴∠BOC=180°-30°=150°.故BC所对的圆心角的度数是150°.13.解析(1)证明:如图,连接OM,ON.∵OA=OB,AC=BD,∴OA-AC=OB-BD,∴OC=OD.∵MC⊥AB,ND⊥AB,∴∠OCM=∠ODN=90°,又∵OM=ON,∴Rt△OCM≌Rt△ODN,∴∠AOM=∠BON,∴AM=BN.(2)成立.理由如下:∵C为OA的中点,∴AC=OC=12AO=12MO,∴在Rt△MCO中,cos∠COM=COMO =12,∴∠AOM= 60°.同理可得∠BON=60°,∴∠MON=180°-∠AOM-∠BON=60°,∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°,∴AM=MN=BN.。

第三章圆第2节圆的对称性课后练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分 一、单选题1．如图，扇形OAB 的圆心角为90°，点C 、D 是AB 的三等分点，半径OC 、OD 分别与弦AB 交于点E 、F ，下列说法错误的是( )A ．AE ＝EF ＝FBB ．AC ＝CD ＝DB C ．EC ＝FD D ．∠DFB ＝75°2．一点P 到圆上各点的最大距离为8cm ，最小距离为6cm ，则此圆的半径为（ ）A ．7cmB ．1cmC ．7cm 或1cmD ．无法确定 3．下列说法正确的是（ ）A ．所有的半圆都是等弧B ．所有的优弧都大于劣弧C ．同圆中劣弧必小于半圆D ．圆的一条弦必对着一优弧一劣弧4．MN 是O 的直径，弦AB MN ⊥，垂足为C ，则下列结论错误的是（ ） A ．AC CB =B ．AN BN =弧弧C ．AM BM =弧弧D ．OC CN = 5．一圆形玻璃被打碎后，其中四块碎片如图所示，若选择其中一块碎片带到商店，配制与原来大小一样的圆形玻璃，选择的是（ ）A ．∠B ．∠C ．∠D ．∠6．如图是一个圆弧形门拱，拱高1m=AB，跨度4mCD=，那么这个门拱的半径为（）A．2mB．2.5m C．3m D．5m7．如图，∠O的半径OA＝3，以点A为圆心，OA的长为半径画弧交∠O于B、C，则BC＝（）A．32B．33C．322D．3328．如图，AB是∠O的弦，半径OC∠AB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，则OD的长是（）A．3 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm9．下列命题中，正确的有()A．圆只有一条对称轴B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴10．如图，∠O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若4OP=，30P∠=︒，则弦AB的长为（）．A．5B．23C．25D．2评卷人得分二、填空题11．如图，∠O的半径是2，直线l与∠O相交于A、B两点，M、N是∠O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是__．12．已知P点在圆外，且P到圆上各点的最大距离为16cm，最小距离为8cm，则该圆的半径为_______．13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=6 ，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为______．14．如图，∠O中，半径OC∠弦AB于点D，点E在∠O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于__．15．如图，O的半径为1，P是O外一点，2OP ，Q是O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP、OM.则线段OM的最小值是__________．16．O的半径是3cm，P是O内一点，1cmOP=，则点P到O上各点的最小距离是_____cm，最大距离是_____cm.17．已知一点到圆周上点的最大距离为9，最短距离为1，则圆的直径为________．18．如图，直线y= 34+3与坐标轴交于A、B两点，∠O的半径为2，点P是∠O上动点，△ABP面积的最大值为________cm2．19．如图，A、B、C、D是∠O上的四个点，若AB CD BC AD+=+，且弦AB=8，CD=4，则∠O的半径为________．评卷人得分三、解答题20．如图，在图中求作∠P，使∠P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）21．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=24cm，CD=8cm．（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）．（2）求残片所在圆的面积．22．如图所示,BD,CE是∠ABC的高,求证:E,B,C,D四点在同一个圆上.23．如图所示，AB为O的弦，C、D两点将弦AB三等分，求证：OCD ODC∠=∠. 24．如图所示，在O中，直径AB⊥弦CD，E为垂足，4AE=，6CE=，求O的半径.25．已知∠O的半径为2，∠AOB=120°．（1）点O到弦AB的距离为；．（2）若点P为优弧AB上一动点（点P不与A、B重合），设∠ABP=α，将△ABP沿BP折叠，得到A点的对称点为A′；∠若∠α=30°，试判断点A′与∠O的位置关系；∠若BA′与∠O相切于B点，求BP的长；∠若线段BA′与优弧APB只有一个公共点，直接写出α的取值范围．26．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为25的C与x轴交于()1,0A-、()3,0B两点，且点C在x轴的上方．（1）求圆心C的坐标；（2）已知一个二次函数的图像经过点A、B、C，求这二次函数的解析式；（3）设点P在y轴上，点M在（2）的二次函数图像上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点M的坐标.参考答案：1．A【解析】【详解】试题分析：利用点C，D是AB的三等分点，得出AC=CD=DB，∠AOC=∠COD=∠BOD=1 3∠AOB=30°，再求出∠OBA的度数，利用外角求出∠BFD的度数，通过证∠AOE∠∠BOF，得出OE=OF，则EC＝FD.连接AC，在∠ACE中，求证AE=AC，则可证CD=AE=BF，再根据CD>EF得AE、EF、FB 关系.解：∠点C，D是AB的三等分点，∠AC=CD=DB，∠AOC=∠COD=∠BOD=13∠AOB=30°，∠选项B正确；∠OA=OB，∠AOB=90°，∠∠OAB=∠OBA=45°，∠∠AEC=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°，同理∠DFB=75°，故选项D正确.∠∠AEO=∠BFO，在∠AOE和∠BOF中，∠AEO=∠BFO，∠AOC=∠BOD，AO=BO，∠∠AOE∠∠BOF，∠OE=OF，∠EC＝FD,故选项C正确.在∠AOC中，∠OA=OC，∠∠ACO=∠CAO=12（180°-30°）=75°，∠∠ACO=∠AEC，∠AC=AE，同理BF=BD，又∠AC=CD=BD，∠CD=AE=BF，∠在∠OCD中，OE=OF，OC=OD，∠EF<CD,∠CD=AE=BF>EF，故A错误.故选A．2．C【分析】点P可能在圆内，也可能在圆外；当点P在圆内时，直径为最大距离与最小距离的和；当点P在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差；再分别计算半径．【详解】当点P在圆内时，直径为最大距离与最小距离的和，∠半径为：(8+6)÷2=7cm.当点P在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差，∠半径为：(8-6)÷2=1cm.故选C.【点睛】本题考查点与圆的位置关系，灵活运用分类的思想，理解点到圆上最大距离、最小距离是解题关键．3．C【解析】【分析】利用等弧及半圆的定义、优弧与劣弧的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A.半径相等的半圆是等弧，故该选项错误，B.在同圆或等圆中，优弧大于劣弧，故该选项错误，C.同圆中劣弧必小于半圆，故该选项正确，D.直径所对的弧是半圆，既不是优弧也不是劣弧，故该选项错误.故选C.【点睛】本题考查了圆的有关定义，了解等弧及半圆的定义、优弧与劣弧的定义是解题关键．4．D【解析】【分析】由题意可知MN为垂直于弦的直径，根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即可做出正确的判断．根据MN为∠O的直径，且MN∠AB，垂足为C，则MN是垂直于弦AB的直径，满足垂径定理，因而AC=BC,弧AN=弧BN,弧AM=弧BM都是正确的,所以排除可知D是错误的.故选D.【点睛】此题考查垂径定理，解题关键在于结合实际熟练运用垂径定理.5．C【解析】【详解】第∠块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，进而可得到半径的长．故选C．6．B【解析】【分析】设这个门拱的半径为r，则OB=r-1，根据垂径定理求出BC的长，再根据勾股定理求出r 的值即可．【详解】设这个门拱的半径为r，则OB=r−1，∠CD=4m，AB∠CD，∠BC=1CD=2m，2在Rt△BOC中，∠BC2+OB2=OC2,即22+(r−1) 2=r2，解得r=2.5m.故选B.【点睛】此题考查垂径定理的应用，勾股定理，解题关键在于求出BC的长.7．B【解析】【详解】解：如图所示，AB=BO=AO，则∠ABO为等边三角形，∠∠OBA=60°，根据相交两圆的连心线垂直平分公共弦，则BP=PC=12BC，∠∠ABC为等边三角形，∠BC是∠OBA的平分线，∠OBC=30°，∠AP=12AB=12×3=32；在Rt∠ABP中，AB=3，AP=32，PB=22AB AP-=2233()2-=332，∠BC=2PB=2×332=33；故选B．点睛：本题主要考查了垂径定理和勾股定理及相交两圆的连心线垂直平分公共弦的问题．8．A【解析】【详解】解：连接OB，∠半径OC∠弦AB，∠BD=12AB=12×8=4，在Rt∠BOD中，OD=22OB BD-=2254-=3．故选A．9．D【解析】【分析】根据圆的有关基本概念，逐一判断．【详解】解：A，圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，有无数条，错误；B，结合上一条分析可知，圆的对称轴有无限条，错误；C，对称轴为直线，直径是线段，错误；D，结合上述分析可知，此项正确．故选D．【点睛】本题考查了圆的对称性知识及对称的概念，正确理解其含义是解题的关键．10．C【解析】【分析】首先过点O作OH∠AB于点H，连接OA，由在Rt∠OHP中，∠P=30°，OP=4，可求得OH 的长，由在Rt∠O4H中，OA=3，即可求得AH的长，继而求得答案.【详解】解：如图：过点O作OH∠AB于点H，连接OA，∠在Rt∠OHP中，∠P=30°，OP=4，∠122OH OP==∠在Rt∠OAH中，OA=3，∠2222325AH OA OH=-=-=225AB AH∴==故选C．【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理.此题难度不大，但掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用是解答本题的关键.11．42【解析】【分析】过点O作OC∠AB于C，交∠O于D、E两点，根据圆周角定理得∠OAB为等腰直角三角形，所以AB=2OA=22，由于S四边形MANB=S∠MAB+S∠NAB，而当M点到AB的距离最大，∠MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，∠NAB的面积最大，可得到四边形MANB面积的最大值．【详解】过点O作OC∠AB于C，交∠O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，∠∠AMB=45°，∠∠AOB=2∠AMB=90°，∠∠OAB为等腰直角三角形，∠AB=2OA=22，∠S四边形MANB=S∠MAB+S∠NAB，∠当M点到AB的距离最大，∠MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，∠NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，此时四边形MANB面积的最大值= S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=1 2AB•CD+12AB•CE=12AB（CD+CE）=1 2AB•DE=12×22×4=42．考点：1.垂径定理；2.圆周角定理．12．4cm【解析】【分析】点P在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差；再分别计算半径．【详解】∠P 点在圆外，且P 到圆上各点的最大距离为16cm ，最小距离为8cm ，∠该圆半径为：(16-8)÷2=4cm.故答案为4cm【点睛】本题考查点与圆的位置关系，理解点到圆上最大距离、最小距离是解题关键．13．245【解析】【分析】根据题意有C 、O 、G 三点在一条直线上OG 最小，MN 最大，根据勾股定理求得AB ，根据三角形面积求得CF ，然后根据垂径定理和勾股定理即可求得MN 的最大值．【详解】解：过O 作OG∠AB 于G ，连接OC ，∠DE ＝6，∠OC ＝3，只有C 、O 、G 三点在一条直线上OG 最小，连接OM ，∠OM ＝3，∠只有OG 最小，GM 才能最大，从而MN 有最大值，作CF∠AB 于F ，∠G 和F 重合时，MN 有最大值，∠∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，∠AB ＝22BC AC +＝10，∠12AC•BC ＝12AB•CF ， ∠CF ＝4.8，∠OG ＝4.8−3＝95， ∠MG ＝2293()5-=125 ∠MN ＝2MG ＝245故填：245．【点睛】本题考查了垂线段最短，垂径定理，勾股定理，过O作OG∠AB于G，作CF∠AB于F，连接OC，OM，得出C、O、G三点在一条直线上OG最小是解题的关键．14．22【解析】【分析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出∠ODB是等腰直角三角形，进而得出答案．【详解】解：∠半径OC∠弦AB于点D，∠AC BC=∠BOC＝22.5°，∠∠E＝12∠∠BOD＝45°，∠∠ODB是等腰直角三角形，∠AB＝4，∠DB＝OD＝2，则半径OB等于：22+=2222故填：22.【点睛】此题主要考查了垂径定理和圆周角定理，正确得出∠ODB是等腰直角三角形是解题关键．15．0.5【解析】【分析】设OP与∠O交于点N，连结MN，OQ，如图可判断MN为△POQ的中位线，则MN=1 2OQ=12，则点M在以N为圆心，12为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为12．【详解】解：设OP与∠O交于点N，连结MN，OQ，如图，∠OP=2，ON=1，∠N是OP的中点，∠M为PQ的中点，∠MN为△POQ的中位线，∠MN=12OQ=12×1=12，∠点M在以N为圆心，12为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为12，∠线段OM的最小值为0.5．故答案为0.5．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．16．24【解析】【分析】先由PO=1cm＜∠O的半径为3cm，得出点P在∠O内，进而得到点P到∠O上各点的最小距离为2cm．【详解】解：∠∠O的半径为3cm，平面上有一点P，PO=1cm，∠点P在∠O内，∠点P到∠O上各点的最小距离为3-1=2（cm），点P到∠O上各点的最大距离为3+1=4（cm）．故（1）答案：2．（2）答案：4【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系有3种．设∠O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：∠点P在圆外⇔d＞r；∠点P在圆上⇔d=r；∠点P在圆内⇔d＜r．17．10或8【解析】【分析】分点在圆内和圆外两种情况：当点在圆内时，最大距离与最小距离的和等于直径；当点在圆外时，最大距离与最小距离的差等于直径．由此即可解答.【详解】当点在圆内时，圆的直径为9+1=10；当点在圆外时，圆的直径为9-1=8．故答案是：10或8．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，解决问题时要考虑到点在圆内和圆外两种情况求解．18．11【解析】【分析】先求出OA，OB，进而求出AB，再判断出∠PAB的AB边上的高最大时必过∠O的圆心O，最后利用面积求出OC即可得出CP即可．【详解】解：如图，∠直线y= 34+3与坐标轴交于A、B两点，∠A（-4，0），B（0，3），∠OA=4，OB=3，在Rt∠AOB中，根据勾股定理得，AB=5，∠∠PAB中，AB=5是定值，∠要使∠PAB的面积最大，即∠O上的点到AB的距离最大，∠过点O作OC∠AB于C，CO的延长线交∠O于P，此时S△PAB的面积最大，∠S△AOB=12OA•OB=12AB•OC，∠OC=•OA OBAB=435⨯=125，∠∠O的半径为2，∠CP=OC+OP=225，∠S△PAB=12AB•CP=12×5×225=11．故答案为11．【点睛】本题考查圆的性质，圆中最大的弦，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是确定出三角形PAB的AB边上的高．19．25．【解析】【详解】连接BO，与圆交于E,连接AE,AB CD BC AD+=+,所以AB+CD所对圆心角是180°，所以，CD=AE,∠A=90°BE=22228445AB CD+=+=，半径是25．20．见解析．【解析】【详解】试题分析：先做出∠AOB的角平分线，再求出线段MN的垂直平分线就得到点P．试题解析：考点：尺规作图角平分线和线段的垂直平分线、圆的性质．21．(1)见解析;(2) 169πcm².【解析】【分析】（1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC，BC的中垂线交于点O，则点O是弧ACB所在圆的圆心；（2）在Rt∠OAD中，由勾股定理可求得半径OA的长，由圆的面积公式进行计算即可．【详解】解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．（2）连接OA，设OA＝x，AD＝12cm，OD＝（x−8）cm，则根据勾股定理列方程：x2＝122＋（x−8）2，解得：x＝13．即：圆的半径为13cm．所以圆的面积为：π×132＝169π（cm2）．【点睛】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．22．证明见解析.【解析】【详解】试题分析：求证E，B，C，D四点在同一个圆上，△BCD是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明F到BC得中点的距离等于BC的一半就可以．试题解析：取BC的中点F,连接DF,EF.∠BD,CE是△ABC的高,∠∠BCD和△BCE都是直角三角形.∠DF,EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线,∠DF=EF=BF=CF.BC为半径的圆上.∠E,B,C,D四点在以点F为圆心，1223．见解析.【解析】【分析】∆≅∆即可得到结论.连结AO、BO，如图，证明OAC OBD【详解】连结AO、BO，如图，∠AO=BO,∠∠A=∠B又AC=BD，∆≅∆，∠OAC OBD∠OCA ODB∠=∠，∠=∠.∠OCD ODC【点睛】∆≅∆是解题关键.本题主要考查了运用圆的半径相等来解决问题，证明OAC OBD24．O的半径为6.5.【解析】【分析】连接OC，根据勾股定理即可求出OC的长．【详解】连接OC，如图，∠AB∠CD，∠△OCE是直角三角形，设OC=x，则由勾股定理得22226(4)x CE OE x=+=+-，整理得，8x=52，解得x=6.5，即∠O的半径为6.5．【点睛】本题考查了对垂径定理和勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力和推理能力．25．（1）1；（2）∠点A′在∠O上；∠23；∠0°＜α＜30°或60°≤α＜120°【解析】【分析】（1）如图，作辅助线；证明∠AOC=60°，得到OC=1．（2）∠证明∠PAB=90°，得到PB是∠O的直径；证明∠PA′B=90°，即可解决问题．∠证明∠A′BP=∠ABP=60°；借助∠APB=60°，得到△PAB为正三角形，求出AB的长即可解决问题．∠直接写出α的取值范围即可解决问题．【详解】解：（1）如图，过点O作OC∠AB于点C；∠OA=OB，则∠AOC=∠BOC=12×120°=60°，∠OA=2，故答案为1．（2）∠∠∠AOB=120°∠∠APB=12∠AOB=60°， ∠∠PBA=30°，∠∠PAB=90°，∠PB 是∠O 的直径，由翻折可知：∠PA′B=90°，∠点A′在∠O 上．∠由翻折可知∠A′BP=∠ABP ，∠BA′与∠O 相切，∠∠OBA′=90°，∠∠ABA′=120°，∠∠A′BP=∠ABP=60°； ∠∠APB=60°，∠△PAB 为正三角形，∠BP=AB ；∠OC∠AB ，∠AC=BC ；而OA=2，OC=1，∠AC=3， ∠BP=AB=23．∠α的取值范围为0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．【点睛】该题主要考查了翻折变换、垂径定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换、垂径定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．26．解：（1）点C 的坐标为()1,4．（2）二次函数的解析式为y =－x 2+2x ＋3．（3）点M 的坐标为()2,3或()45-，或()421--， 【解析】（1）根据垂径定理即可求得点C的坐标；（2）利用待定系数法：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，将点A，B，C的坐标代入二次函数的解析式组成方程组，解方程组即可求得；（3）分别从四边形APBM、四边形ABMP、四边形ABPM是平行四边形分析，根据平行四边形的性质，即可求得点M的坐标，注意不要漏解．【详解】（1）连接AC，过点C作CH∠AB，垂直为H，由垂径定理得：AH=12AB=2，则OH=1，由勾股定理得：CH=4．又点C在x轴的上方，∠点C的坐标为（1，4）．（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由题意，得0934.a b ca b ca b c-+⎧⎪++⎨⎪++⎩＝＝＝，解这个方程组，得123.abc-⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∠这二次函数的解析式为y=-x2+2x+3．（3）∠当四边形APBM是平行四边形时，过点M作MK∠x轴，∠PA=BM，∠AOP=∠BKM=90°，∠OAP=∠KBM，∠∠AOP∠∠BKM，则BK=OA=1，则点M的横坐标为2，∠y=-4+4+3=3，∠此时点M的坐标为（2，3）；∠∠当PM∠AB，PM=AB时，四边形APMB是平行四边形，则设M的坐标为（4，y），则可得y=-16+8+3=-5，则此时点M的坐标为（4，-5）；∠当四边形ABPM是平行四边形时，设点M的坐标为（-4，y），则可得y=-16-8+3=-21，则此时点M的坐标为（-4，-21）．∠点M的坐标为（2，3）或（4，-5）或（-4，-21）．【点睛】此题考查了垂径定理、待定系数法求二次函数的解析式、以及平行四边形的性质等知识．此题综合性很强，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．。

北师大版九年级下3.2 圆的对称性同步练习一．选择题（共10小题）1．下列说法正确的是（）A．各边都相等的多边形是正多边形B．各角都相等的多边形是正多边形C．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形D．顶点在圆周上的角叫圆心角2．下列图形中，∠AOB为圆心角的是（）A．B．C．D．3．下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等4．在半径为1的⊙O中，若弦AB的长为1，则弦AB所对的圆心角的度数为（）A．90°B．60°C．30°D．15°5．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）劣弧一定比优弧长；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）直径是圆中最长的弦；（5）弧可分为优弧和劣弧．正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．将一个圆分成四个扇形，它们的圆心角的度数比为4：4：5：7，则这四个扇形中，圆心角最大的是（）A．54°B．72°C．90°D．126°7．如图，在同圆中，弧AB等于弧CD的2倍，试判断AB与2CD的大小关系是（）A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB=2CD D．不能确定8．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=75°，则∠OAC的大小是（）A．25°B．50°C．65°D．75°9． 如图，在半径为1的⊙O 上任取一点A ，连续以1为半径在⊙O 上截取AB=BC=CD ，分别以A 、D 为圆心A 到C 的距离为半径画弧，两弧交于E ，以A 为圆心O 到E 的距离为半径画弧，交⊙O 于F ．则△ACF 面积是（ ）A ． √2B ． √3C ． √3+2√24D ． √3+34 10． 在⊙O 中，C 是 A ―B ― 的中点，D 是 ∫――― 上的任一点（与点A 、C 不重合），则（ ）A ．AC+CB=AD+DBB ．AC+CB ＜AD+DBC ．AC+CB ＞AD+DBD ．AC+CB 与AD+DB 的大小关系不确定二．填空题（共4小题）11． 如图，AC=1，∠BAC=60°，弧BC 所对的圆心角为60°，且AC ⊥弦BC ．若点P 在弧BC 上，点E 、F 分别在AB 、AC 上．则PE+EF+FP 的最小值为 ________ ．12． 如图所示，弧AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为弧AD 上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP 周长的最大值是 ________ ．13． 如图，在⊙O 中，AB=AC ，∠BAC=90°，点P 为 BMC ^上任意一点，连接PA ，PB ，PC ，则线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系为 ________ ．14． ′如图，在平面直角坐标系xOy 中，扇形OAB 的圆心角∠AOB=60°，点A 在x 轴正半轴上且OA=2，点C 为弧AB 的中点，D 为半径OA 上一点，点A 关于直线CD 的对称点为E ，若点E 落在扇形OAB 内（不含边界），则点E 的横坐标x 取值范围为 ________ ．三．解答题（共5小题）15． 如图所示，AB 、CD 是⊙O 的两条直径，CE ∥AB ，求证： BC ^ = AE ^．16． 如图，弦AB ，CD 交EF 于M ，N ，且ME=NF ，∠AMN=∠CNM ，求证：AB=CD ．17． 如图，AB 为圆O 上两点，∠AOB=120°，且C 为弧AB 的中点，求证：AB 与OC 互相垂直平分．18． 如图，已知⊙O 中，点A ，B ，C ，D 在圆上，且AB=CD ，求证：AC=BD ．19． 如图，△ABC 的三个顶点在⊙O 上，AD ⊥BC ，D 为垂足，E 是 BC ^ 的中点， 求证：∠OAE=∠EAD ．（写出两种以上的证明方法）。

3.2 圆的对称性一、选择题1.下列说法中,正确的是()A.相等的弦所对的弧相等B.圆心角相等,其所对的弦相等C.在同圆或等圆中,圆心角不等,所对的弦不相等D.半径所在的直线不是圆的对称轴⏜=CD⏜=DE⏜,∠COD=34°,则∠AOE的度数是() 2.如图1,AB是☉O的直径,BC图1A.51°B.56°C.68°D.78°3.如图2,AB是☉O的直径,BC=CD=DA=4 cm,则☉O的周长为()图2A.5π cmB.6π cmC.9π cmD.8π cm⏜的中点,∠A=50°,则∠BOC的度数是()4.如图3,在☉O中,若C是AB图3A.40°B.45°C.50°D.60°⏜=2CD⏜,则下列结论正确的是()5.如图4,在☉O中,AB图4A.AB>2CDB.AB=2CDC .AB<2CD D .以上都不正确6.如图5,已知A ,B ,C ,D 是☉O 上的点,∠1=∠2,则下列结论中正确的有 ( ) ①AB⏜=CD ⏜;②BD ⏜=AC ⏜;③AC=BD ;④∠BOD=∠AOC.图5A .1个B .2个C .3个D .4个二、填空题7.如图6所示,在☉O 中,若AB ⏜=CD ⏜,则AB= ,∠AOB=∠ ;若OE ⊥AB 于点E ,OF ⊥CD 于点F ,则OE OF .图68.如图7,在☉O 中,AB 是直径,AB ∥CD ,AC ⏜所对的圆心角的度数为45°,则∠COD 的度数为 .图79.如图8,三圆同心于点O ,AB=4 cm,CD ⊥AB 于点O ,则图中阴影部分的面积为 cm 2.图810.如图9所示,AB 是半圆O 的直径,E 是OA 的中点,F 是OB 的中点,ME ⊥AB 于点E ,NF ⊥AB 于点F ,点M ,N 均在半圆O 上.有下列结论:①AM ⏜=MN ⏜=BN ⏜;②ME=NF ;③AE=BF ;④ME=2AE.其中正确的有 .(填序号)图9三、解答题⏜=CD⏜.11.如图10,在☉O中,AB求证:∠B=∠C.图1012.如图11所示,以▱ABCD的顶点A为圆心,AB的长为半径作圆,与AD,BC分别交于点E,F,⏜=EF⏜.延长BA交☉A于点G.求证:GE图1113.如图12,在☉O中,弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连接AD,BC.⏜=BC⏜;求证:(1)AD(2)AE=CE.图1214.如图13,在☉O 中,C 是ACB ⏜的中点,D ,E 分别是OA ,OB 上的点,且AD=BE ,弦CM ,CN 分别过点D ,E. (1)求证:CD=CE ; (2)求证:AM⏜=BN ⏜.图1315.我们学习了弧、弦、圆心角之间的关系,实际上我们还可以得到圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系如下:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等[弦心距指从圆心到弦的距离(如图14①中的OC ,OC'),弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度].请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题:如图②,O 是∠EPF 的平分线上一点,以点O 为圆心的圆与角的两边分别交于点A ,B 和C ,D.(1)求证:AB=CD.(2)若角的顶点P 在圆上,上述结论还成立吗?若不成立,请说明理由;若成立,请加以证明.图14答案1.C[解析] A,B选项中结论若成立,都必须以“在同圆或等圆中”为前提条件,所以A,B选项错误;半径所在的直线是圆的对称轴,所以D选项错误.故选C.⏜=CD⏜=DE⏜,∠COD=34°,∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°,2.D[解析] ∵BC∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=78°.3.D[解析] 如图,连接OD,OC.∵AB是☉O的直径,BC=CD=DA=4 cm,∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°.又∵OA=OD,∴△AOD是等边三角形,∴OA=AD=4 cm,∴☉O的周长=2×4π=8π(cm).故选D.4.A⏜的中点E,连接AE,BE.5.C[解析] 如图,取AB⏜=2CD⏜,∵在☉O中,AB⏜=BE⏜=CD⏜,∴AE∴AE=BE=CD.∵AE+BE>AB,∴2CD>AB.故选C.6.D7.CD COD=8.90°9.π[解析] AB=4 cm,CO⊥AB于点O,则OA=2 cm.根据圆的旋转不变性,把最小的圆逆时针,∴阴影部分的面积旋转90°,把中间圆旋转180°,则阴影部分就合成了扇形OAC,即最大圆的14×π×22=π(cm2).为1410.①②③⏜=CD⏜, 11.证明:∵在☉O中,AB∴∠AOB=∠COD.∵OA=OB,OC=OD,∴在△AOB中,∠B=90°-1∠AOB,2∠COD,在△COD中,∠C=90°-12∴∠B=∠C.12.证明:如图,连接AF.∵AB=AF,∴∠ABF=∠AFB.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠EAF=∠AFB,∠GAE=∠ABF,∴∠GAE=∠EAF,⏜=EF⏜.∴GE⏜=CD⏜, 13.证明:(1)∵AB=CD,∴AB⏜-AC⏜=CD⏜-AC⏜,∴AD⏜=BC⏜.∴AB(2)如图,连接AC.⏜=BC⏜,∴AD=BC.∵AD在△ABC和△CDA中,∵AB=CD,BC=DA,AC=CA,∴△ABC≌△CDA,∴∠BAC=∠DCA,∴AE=CE.14.证明:(1)如图,连接OC.⏜的中点,∵C是ACB⏜=BC⏜,∴AC∴∠COD=∠COE.∵OA=OB ,AD=BE ,∴OD=OE. 又∵OC=OC ,∴△COD ≌△COE (SAS), ∴CD=CE.(2)如图,连接OM ,ON. ∵△COD ≌△COE ,∴∠CDO=∠CEO ,∠OCD=∠OCE. ∵OC=OM=ON ,∴∠OCM=∠OMC ,∠OCN=∠ONC , ∴∠OMD=∠ONE.∵∠CDO=∠OMD+∠MOD ,∠CEO=∠ONE+∠EON , ∴∠MOD=∠EON ,∴AM ⏜=BN ⏜. [素养提升]解:(1)证明:如图,过点O 作OM ⊥AB 于点M ,ON ⊥CD 于点N.∵PO 平分∠EPF , ∴OM=ON.∵OM ,ON 分别是弦AB ,CD 的弦心距, ∴AB=CD. (2)上述结论成立.证明:若点P 在☉O 上,则点A ,C 均与点P 重合.过点O 作OM ⊥AB 于点M ,ON ⊥CD 于点N.同(1)可得OM=ON.∵OM ,ON 分别是弦AB ,CD 的弦心距, ∴AB=CD.。

北师大版九年级下册九年级下册第三章 3.2圆的对称性姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数之比为2：3：4，则这个扇形圆心角的度数为（）A．30°，60°，90°B．60°，120°，180°C．50°，100°，150°D．80°，120°，160°2 . 以下各组数据中不能构成三角形的是（）.A．三边长为6cm、8cm、10cmB．三边长为cm、cm、cmC．三边之比是4:3:2D．三边长为、、3 . 如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（）A．AE＝OE B．CE＝DEC．OE＝CED．∠AOC＝60°4 . 如图，AB是⊙O的弦，OA、OC是⊙O的半径，，∠BAO=37°，则∠AOC的度数是（）度.A．74B．106C．117D．1275 . 过圆上一点可以作圆的最长弦有（）条．A．1B．2C．3D．无数条6 . 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2，则△ABC的形状是（）.A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形二、填空题7 . 如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是的中点，点P是直径AB上一点，若⊙O的半径为2，则PC+PD的最小值是_____．8 . ⊙的半径为5，弦的长为8，是弦上的动点，则线段长的最小值为______.三、解答题9 . 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC=∠BCD，（1）求证：∠1+∠2＝90°.（2）若∠ABD的平分线与CD的延长线交于F，且∠F=55°，求∠ABC.10 . 如图，在中，，动点从点出发在射线上以的速度运动. 设运动的时间为.（1）直接填空：的长为_________；（2）当是等腰三角形时，求的值.11 . 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝1，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点P.求线段AP 的长．参考答案一、单选题1、2、3、4、5、6、二、填空题1、2、三、解答题1、2、3、。

圆的对称性同步练习一、选择题1．下列结论中，正确的是（）A．长度相等的两条弧是等弧B．相等的圆心角所对的弧相等C．平分弦的直径垂直于弦D．圆是中心对称图形2．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．165°3．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（）A．26°B．64°C．52°D．128°5．下列命题正确的是（）A．相等的圆周角对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．三点确定一个圆D．平分弦的直径垂直于弦6．观察如图相应推理，其中正确的是（）A．∵＝∴AB＝CDB．∵的度数为40°∴∠AOB＝80°C．∵∠AOB＝∠A′OB′∴＝D．∵MN垂直平分AD∴＝7．已知AB是⊙O的直径，弧AC的度数是30°．如果⊙O的直径为4，那么AC2等于（）A．B．C．D．28．下列说法正确的是（）A．等弧所对的弦相等B．平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧C．若抛物线与坐标轴只有一个交点，则b2﹣4ac＝0D．相等的圆心角所对的弧相等9．如图，AB是半圆的直径，∠BAC＝20°，D是的中点，则∠DAC的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．70°10．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．cm B．cm C．cm D．4cm二、填空题11．如图，AB是⊙O的直径，已知AB＝2，C，D是⊙O的上的两点，且+＝，M是AB上一点，则MC+MD的最小值是．12．如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB平行于半圆的直径且是大半圆的弦且与小半圆相切，且AB＝24，则图中阴影部分的面积是．13．将一个圆分成四个扇形，它们的圆心角的度数比为2：4：5：7，则最大扇形的圆心角是．14．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是．15．如图，⊙O的半径是8，AB是⊙O的直径，M为AB上一动点，＝＝，则CM+DM 的最小值为．三、解答题16．如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC 于E，连接BE，若AC＝8，DE＝2，求（1）求半圆的半径长；（2）BE的长度．17．如图，AB是⊙O的弦，点C、D是的三等分点，半径OC、OD分别与弦AB交于点E、F，连接OA、OB、AC、BD．（1）求证：AE＝BF；（2）在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的全等三角形．18．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝20°，＝，求：∠BCD的度数．19．如图，⊙O的半径OA⊥OC，点D在上，且＝2，OA＝4．（1）∠COD＝°；（2）求弦AD的长；（3）P是半径OC上一动点，连结AP、PD，请求出AP+PD的最小值，并说明理由．（解答上面各题时，请按题意，自行补足图形）20．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于F．（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求BE、CF的长．圆的对称性同步测试题一、选择题（本题共计8小题，每题3分，共计24分，）1.在半径为的中，弦长为的弦所对的圆心角为（）A. B. C. D.2.已知中弦、相交于点，平分，则下列结论中不正确的是（）A. B. C. D.3.如图，已知是的直径，．，那么A. B. C. D.4.如图，在中，，，以为圆心，以的长为半径的圆交于点，则弧的度数为（）A. B. C. D.5.如图，是直径上一点，过作弦，使，若所对圆心角度数为，则所对圆心角度数为（）A. B. C. D.6.已知，如图，，下列结论不一定成立的是（）A.B.C.D.、都是等边三角形7.是外一点，、分别交于、两点，已知、的度数别为、，则的度数为（）A. B. C. D.8如图，是的直径，，是上的两点，若，，则的度数是（）A. B. C. D.二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分，）9.如图，是的直径，＝，点、是弧的三等分点，则＝________．10将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角度数比为，那么最大扇形的圆心角的度数为________．11.一弦分圆周成两部分，其中一部分是另一部分的倍，则这弦所对的圆周角度数为________．12如图，已知矩形的四个顶点都在圆上，且，则________．13如图，已知（指所对圆心角的度数为），则________．14一个圆锥的底面圆的半径为，母线长为，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角为________度．15如图，在中，，，则________．16将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为，这三个圆心角中最小的圆心角度数为________．17如图，是直径，，，的度数是________．18.如图，已知弦，是圆的直径，弧弧，弧的度数为，那么的度数为________.三、解答题（本题共计6小题，共计66分，）19已知：如图，在中，弦，那么和相等吗？请说明理由．20.如图，，是上的两点，，是的中点，连结，，．求证：平分．21已知：如图，、分别是的弦，的中点，，求证：．22.如图，已知：，是的两条弦，且，求证：．23.如图，在中弦于点，过作的垂线交于点，为垂足，求证为的中点．24在中，，以点为圆心作圆与相切于点，与分别交于点，连接交于点．(1)求证：；(2)若，求的长．九年级数学圆的对称性一、单选题1．下列说法中，正确的是（）A．弦是直径B．半圆是弧C．过圆心的线段是直径D．圆心相同半径相同的两个圆是同心圆2．如图，已知：是的直径，、是上的三等分点，，则是（）A．B．C．D．3．如图，△ABC中，AB=5，AC=4，BC=2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A 于点D，则CD长为（）A．5B．4C．D．4．如图，为的弦，过点作的垂线，交于点，交于点D，已知，，则的半径为（）A．B．C．D．5．如图，半径OC⊥AB，弧BC的度数为70°，则∠AOC=()A．20°B．35°C．55°D．70°6．如图，在⊙O中，弦AB的长为24，圆心O到AB的距离为5，则⊙O的半径为（）A．12B．12C．13D．127．如果在中的两条弦和的弦心距分别为和，且，那么两弦和的大小关系为（）A．B．C．D．无法确定8．为内一点，，的半径为，则过点的弦中，最短的弦长为（）A．B．C．D．9．是的直径，弦，垂足为，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．10．在长厘米，宽厘米的长方形中画一个最大的圆，这个圆的半径是()厘米.A．B．C．D．11．） 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,AC=3,AB=5,CD是斜边AB上的中线,以AC为直径作O,设线段CD的中点为P,则点P与O的位置关系是（A．点P在O外B．点P在O上C．点P在O内D．无法确定12．如图，AB是⊙O的直径，∠BOD=120°，点C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE=1，则AC的长为（）A．B．C．D．二、填空题13．如图，的直径⊥弦，垂足为点，连接，若，，则的长为__________．14．如图，在两个同心圆中，大圆弦交小圆于点、，已知.与圆心的距离，则大圆半径与小圆半径之比为________．15．如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在☉O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝20°，则∠BOE的度数是_____．16．如图,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12,OM:MD=5:8,则⊙O的周长为__．17．如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB＝36mm，则sin∠OAB＝_____．18．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果AB=8，CD=6，那么OE=________三、解答题19．如图，在中，，于点，于点．（1）求证：；（2）若，，求四边形的面积．20．（定义）圆心到弦的距离叫做弦心距．（探究）等弧所对弦的弦心距相等．（1）请在图1中画出图形，写出已知、求证并证明．（应用）（2）如图2，的弦，的延长线相交于点，且，连接．求证：平分．21．如图，在中，,弦于点交的延长线于点,连结（1）证明:（2）连结,若，求的长．22．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，∠APC＝30°，⊙O的半径为4，求CD的长．。

《圆的对称性》习题一、选择题1.在同圆或等圆中，下列说法错误的是（）A．相等弦所对的弧相等B．相等弦所对的圆心角相等C．相等圆心角所对的弧相等D.相等圆心角所对的弦相等2.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A.正方形B.平行四边形C.等腰梯形D.圆3.如图，AB是⊙O的直径，BC＝CD＝DE，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是（）A.51°B.56°C.68°D.78°第3题图第4题图第5题图4.如图，在⊙O中，AB＝AC，∠A＝30°，则∠B＝（）A.150°B.75°C.6°D.15°5.如图，AB是⊙O直径，C、D在直径AB的同旁，连接AD、DC、BC，若BC＝CD＝DA＝4cm，则⊙O的周长为（）A.5πcmB.6πcmC.9πcmD.8πcm二、填空题6.如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，∠AOC＝40°，D是BC弧的中点，则∠ACD＝________.第6题图第7题图第8题图7.如图，已知AB是⊙O直径，点C、D在⊙O上，且BC＝BD，∠BOC＝60°，则∠COD的度数是______度.8.如图，若∠1＝∠2，那么AB与BC________相等.（填一定、一定不、不一定）.9.弦AB分圆为1：5两部分，则劣弧AB所对的圆心角等于________度.三、解答题10.如图，在⊙O中，CD为⊙O直径，AC＝BC，点E为OD上任意一点（不与O、D 重合）.求证：AE＝BE.11.如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC与AB分别交于E、F，且AE＝BF.求证：AC＝BD.12.如图，已知AB、CD是⊙O直径，DF∥AB交⊙O于点F，BE∥DC交⊙O于点E.（1）求证：BE＝DF；（2）写出图中4组不同的且相等的劣弧（不要求证明）.∵⎨∠AOE=∠BOE，⎪OE=OE∵⎨∠A=∠B，⎪AE=BF 《圆的对称性》习题参考答案一、选择题题号答案1A2B3A4B5D二、填空题6.125°；7.120°；8.一定；9.60°三、解答题10．解答：∵CD为⊙O直径，∴CAD=CBD，∵AC=BC，∴CAD-AC=CBD-BC，即AD=BD，∴∠AOE=∠BOE，在△OAE和△OBE中，⎧OA=OB⎪⎩∴△OAE≌△OBE（SAS），∴AE=BE.11.解答：连接OA、OB，∵OA=OB，∴∠A=∠B，在△OAE和△OBE中，⎧OA=OB⎪⎩∴△OAE≌△OBF（SAS），∴∠AOC=∠BOD，∴AC=BD.12.解答：（1）证明：连接OE、OF，∵DF∥AB，BE∥DC，∴∠B=∠BOD=∠D，∵OB=OE，OD=OF，∴∠B=∠OEB，∠D=∠OFD，∴∠BOE=180°-2∠B，∠DOF=180°-2∠D，∴∠BOE=∠DOF，∴BE=DF，∴BE=DF.（2）图中相等的劣弧有：DF=BE，EC=FA=AC=BD，DA=BC，BF=DE.。

3.2 圆的对称性1．以下命题中，正确的有〔 〕 A ．圆只有一条对称轴B ．圆的对称轴不止一条，但只有有限条C ．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴D ．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴 2．以下说法中，正确的选项是〔 〕 A ．等弦所对的弧相等B ．等弧所对的弦相等C ．圆心角相等，所对的弦相等D ．弦相等所对的圆心角相等3．以下命题中，不正确的选项是〔 〕 A ．圆是轴对称图形B ．圆是中心对称图形C ．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D ．以上都不对4．如果两个圆心角相等，那么〔 〕A ．这两个圆心角所对的弦相等;B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D ．以上说法都不对5．如果两条弦相等，那么〔 〕 A ．这两条弦所对的弧相等 B ．这两条弦所对的圆心角相等 C ．这两条弦的弦心距相等D ．以上答案都不对5.如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠=︒BAC 20，AD CD ⋂=⋂，那么∠DAC 的度数是〔 〕 A. 70° B. 45°C. 35°D. 30°1：3两局部，那么弦所对的圆心角为 ．7.如图3，A 、B 、C 、D 是⊙O 上四点，且D 是AB 的中点，CD 交OB 于E ，55,100=∠=∠OBC AOB ，OEC ∠= 度.8.如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点， 130=∠D ，那么BAC ∠的度数是 .9.如图5，AB 是半圆O 的直径，E 是BC 的中点，OE 交弦BC 于点D ，BC=8cm,DE=2cm ，那么AD 的长为 cm.10.如图，∠AOB=90°，C 、D 是弧AB 的三等分点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F ，求证：AE=BF=CD ．OCED F11.如图，⊙O中弦AB＝CD，且AB与CD交于E。

圆的对称性同步测试一、选择题1.以下说法中，正确的选项是〔〕A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等2.如图，在⊙O中，∠ABC=60°，那么∠AOC等于〔〕°°°°3.以下命题中，正确的有〔〕A．圆只有一条对称轴B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴以下三个命题：①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③相等圆心角所对的弧相等。

其中是真命题的是〔〕A.①②B.②③C.①③D.①②③5.如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，BAC20，AD CD，那么∠DAC的度数是〔〕° B.45°°°DCA O B如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．假设∠DOB=140°，那么∠ACD=〔〕°°°°7.如下列图，在⊙O中，，∠A=30°，那么∠B=〔〕B. 75°C. 60°D. 15°A. 150°8.以下命题中，不正确的选项是〔〕A．圆是轴对称图形B．圆是中心对称图形C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D．以上都不对假设⊙O内一条弦把圆周分为3∶1的两段弧，且⊙O的半径为R，那么这条弦的长为()A．R B．2R C．2R D．3R10..如图，EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB 与⊙O交于点P，点B与点O重合，且AC大于OE，将三角板ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF=x，那么x的取值范围是〔〕≤x≤60≤x≤90≤x≤120≤x≤120二、填空题如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且D是AB的中点，CD交OB于E，AOB 100, OBC 55，OEC=度.12..如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB=110°，那么∠α=________．如图，AB是半圆O的直径，E是BC的中点，OE交弦BC于点D，BC=8cm,DE=2cm，那么AD的长为cm.14.在同圆中，假设，那么AB________2CD〔填＞，＜，=〕．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，A、B、P是⊙O上的点，那么tan∠APB=．闺齐漚瘡内鎂赆滠拣谖驥蘺饜扰团。

北师大版九年级数学下册《3.2圆的对称性》单元检测卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【基础达标】1.下列命题中,正确的是()A.圆只有一条对称轴B.圆的对称轴不止一条,但只有有限条C.圆有无数条对称轴,每条直径都是它的对称轴D.圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心2.如果两条弦相等,那么()A.这两条弦所对的弧相等B.这两条弦所对的圆心角相等C.这两条弦的弦心距相等D.以上答案都不对⏜=CD⏜,那么AB与CD的关系是() 3.在同圆或等圆中,如果ABA.AB>CDB.AB<CDC.AB=CDD.AB=2CD⏜上的三等分点,∠AOE=60°,则∠COB等于() 4.如图,AB是☉O的直径,C,D是BEA.40°B.60°C.80°D.120°⏜和BC⏜相等.(填“一定”“一定不”或“不一定”)5.如图,如果∠1=∠2,那么AB6.如图,已知BD 是☉O 的直径,点A ,C 在☉O 上,AB ⏜=BC ⏜,∠AOB=60°,则∠COD 的度数是 °.7.如图,这是两个同心圆,其中两条直径互相垂直,若大圆的半径是2,则其阴影部分的面积之和是 .(结果保留π)8.如图,P 是☉O 外一点,PB ,PD 分别与☉O 相交于点A ,B ,C ,D.①PO 平分∠BPD ;②AB=CD ;③OE ⊥CD ,OF ⊥AB ;④OE=OF. 从中选出两个作为条件,另两个作为结论组成一个真命题,并加以证明.【能力巩固】9.如图,半径OA ,OB ,OC 将一个圆分成三个大小相同的扇形,其中OD 是∠AOB 的平分线,∠AOE=13∠AOC ,则∠DOE 等于( )A .100°B .110°C .120°D .130°10.如图,AD 是☉O 的直径,且AD=6,点B ,C 在☉O 上,AmB ⏜ =AnC ⏜,∠AOB=120°,E 是线段CD 的中点,则OE 等于( )C.3D.2√3A.1B.3√32⏜,CD⏜是同圆的两段弧,且AB⏜=2CD⏜,则弦AB与CD之间的关系为() 11.已知ABA.AB=2CDB.AB<2CDC.AB>2CDD.不能确定⏜=AC⏜,若AB=√2,则BC的长为.12.如图,点A在半圆O上,BC是直径,AB13.如图,以▱ABCD的顶点A为圆心,AB的长为半径作圆,与AD,BC分别交于点E,F,延长BA交⏜=EF⏜.☉A于点G.求证:GE【素养拓展】14.如图,已知以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦CD交小圆于E,F两点,OE,OF的延长线分别交大圆于A,B两点,求证:AC=BD.参考答案【基础达标】1.D2.D3.C4.A5.一定6.1207.2π8.解:命题1,条件③④,结论①②;命题2,条件②③,结论①④.证明:命题1,∵OE⊥CD,OF⊥AB,OE=OF.∴AB=CD,PO平分∠BPD.命题2证明略.【能力巩固】9.A10.B11.B12.213.证明:如图,连接AF.∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC∴∠GAE=∠ABF,∠EAF=∠AFB.∵AB=AF∴∠ABF=∠AFB∴∠GAE=∠EAF⏜=EF⏜.∴GE【素养拓展】14.证明:如图,连接OC,OD.∵OC=OD,OE=OF∴∠OCD=∠ODC,∠OEF=∠OFE.∵∠OEF=∠OCE+∠COA=∠ODF+∠BOD=∠OFE∴∠AOC=∠BOD,∴AC=BD.。