【2020】人教版最新高考文科数学专题复习导数训练题及参考答案

高考文科数学专题复习导数训练题（文）(附参考答案)一、考点回顾1．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义.2.导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题.选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、不等式、数列的综合应用.3.应用导数解决实际问题,关键是建立适当的数学模型（函数关系）,如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最值. 二、经典例题剖析 考点一：求导公式 例1)(/x f 是1231)(3++=x x x f 的导函数，则=-)1(/f . 考点二：导数的几何意义例2. 已知函数)(x f y =的图象在点))1(,1(f M 处的切线方程是221+=x y ，则=+)1()1(/f f . 考点三：导数的几何意义的应用例3.已知曲线,23:23x x x y C +-=直线,:kx y l =且直线l 与曲线C 相切于点()(),0,000≠x y x 求直线l 的方程及切点坐标. 考点四：函数的单调性例4.设函数c bx ax x x f 8332)(23+++=在1=x 及2=x 时取得极值. (1)求b a ,的值及函数)(x f 的单调区间；(2)若对于任意的[],3,0∈x 都有)(x f <2c 成立，求c 的取值范围.考点五：函数的最值例5.已知a 为实数，).)(4()(2a x x x f --=(1)求导数)(/x f ；(2)若,0)1(/=-f 求)(x f 在区间[]2,2-上的最值.考点六：导数的综合性问题例6. 设函数)0()(3≠++=a c bx ax x f 为奇函数，其图象在点())1(,1f 处的切线与直线076=--y x 垂直，导函数.12|)(min /-=x f (1)求c b a ,,的值；(2)求函数)(x f 的单调递增区间，并求函数)(x f 在[]3,1-上的最大值和最小值.例7．已知cx bx ax x f ++=23)(在区间[]1,0上是增函数,在区间()()+∞∞-,1,0,上是减函数，又1322f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若在区间[0](0)m m >，上恒有()f x x ≤成立，求m 的取值范围． 例8．设函数2()()f x x x a =--（x ∈R ），其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程；（Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的极大值和极小值；（Ⅲ）当3a >时，证明存在[]10k ∈-，，使得不等式22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立．例9．已知),,()(23R c b a c bx x ax x f ∈++-=在()0,∞-上是增函数,[]3,0上是减函数,方程0)(=x f 有三个实根，它们分别是.,2,βα(1)求b 的值，并求实数a 的取值范围；(2)求证：βα+≥.25三、 方法总结 （一）方法总结导数是中学限选内容中较为重要的知识，由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性方法，是解决实际问题强有力的工具．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的对象．要牢记导数公式，熟练应用导数公式求函数的导数，掌握求导数的方法．应用导数解决实际问题的关键是要建立恰当的数学模型，了解导数概念的实际背景．应用导数求函数最值及极值的方法在例题讲解中已经有了比较详细的叙述． （二）高考预测导数的考查方式以客观题为主，主要考查求导数的基本公式和法则，以及导数的几何意义．也可以解答题的形式出现，即以导数的几何意义为背景设置成导数与解析几何的综合题．导数的应用是重点，侧重于利用导数确定函数的单调性和极值、最值、值域问题． 四、强化训练1．已知曲线42x y =的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为（ A ）A ．1B ．2C ．3D ．42．函数,93)(23-++=x ax x x f 已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则=a （ D ）（A ）2（B ）3 （C ）4 （D ）53．函数32312)(x x x f -=在区间[]6,0上的最大值是（ A ） A ．323B ．163C ．12D ．94．三次函数x ax y +=3在()+∞∞-∈,x 内是增函数，则 （ A ）A ． 0>aB ．0<aC ．1=aD ．31=a 5．在函数x x y 83-=的图象上,其切线的倾斜角小于4π的点中,坐标为整数的点的个数是（ D ）A ．3B ．2C ．1D ．06．已知函数,)(23c bx ax x x f +++=当1-=x 时，取得极大值7；当1-=x 时，取得极小值．求这个极小值及c b a ,,的值．7．设函数).()(23R x cx bx x x f ∈++=已知)()()(/x f x f x g -=是奇函数.（1）求c b ,的值；（2）求)(x g 的单调区间与极值.8．用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？9．已知函数()()()331,5f x x ax g x f x ax =+-=--，其中()'f x 是的导函数. (I)对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围；(II)设2a m =-，当实数m 在什么范围内变化时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点. 10．设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，．(I)求()f x 的最小值()h t ； (II)若()2h t t m <-+对(02)t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围．11．设函数).,(4)1(3)(23R b a b ax x a x x f ∈+++-= (I)若函数)(x f 在3=x 处取得极小值,21求b a ,的值；(II)求函数)(x f 的单调递增区间； (III) 若函数)(x f 在)1,1(-上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围．12．已知二次函数),,()(2R c b a c bx ax x f ∈++=满足：对任意R x ∈，都有)(x f ≥,x 且当)3,1(∈x 时，有)(x f ≤2)2(81+x 成立．(I)试求)2(f 的值；(II)若,0)2(=-f 求)(x f 的表达式； (III)在(II)的条件下，若[)+∞∈,0x 时，)(x f >412+x m 恒成立，求实数m 的取值范围． 13．已知函数).,(4)(,6)23(213)(223R m a m x ax x g x x a x a x f ∈-+-=++-=(I)当[]3,0,1∈=x a 时，求()f x 的最大值和最小值；(II)当a <2且0≠a 时，无论a 如何变化，关于x 的方程)()(x g x f =总有三个不同实根，求m 的取值范围．例题参考答案例1 3；例2 3；例3 ⎪⎭⎫⎝⎛--=83,23,41x y ；例4 (1) ,4,3=-=b a 增区间为()()+∞∞-,2,1,；减区间为()2,1， (2) ()()+∞-∞-,91, ；例5 (1),423)(2/--=ax x x f (2).2750)34()(,29)1()(min max -===-=f x f f x f ； 例6 (1).0,12,2=-==c b a (2) ()().28)2()(,18)3()(;,2,2,min max -====+∞-∞-f x f f x f ；例7解：（Ⅰ）2()32f x ax bx c '=++，由已知(0)(1)0f f ''==，即0320c a b c =⎧⎨++=⎩，，解得032c b a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，．2()33f x ax ax '∴=-，13332422a a f ⎛⎫'∴=-= ⎪⎝⎭，2a ∴=-，32()23f x x x ∴=-+．（Ⅱ）令()f x x ≤，即32230x x x -+-≤，(21)(1)0x x x ∴--≥，102x ∴≤≤或1x ≥． 又()f x x ≤在区间[]0m ，上恒成立，102m ∴<≤． 例8解：（Ⅰ）当1a =时，232()(1)2f x x x x x x =--=-+-，得(2)2f =-，且2()341f x x x '=-+-，(2)5f '=-．所以，曲线2(1)y x x =--在点(22)-，处的切线方程是25(2)y x +=--，整理得580x y +-=．（Ⅱ）解：2322()()2f x x x a x ax a x =--=-+-，22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+-=---．令()0f x '=，解得3ax =或x a =． 由于0a ≠，以下分两种情况讨论．（1）若0a >，当x 变化时，()f x '的正负如下表：因此，函数()f x 在3ax =处取得极小值3a f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在x a =处取得极大值()f a ，且()0f a =． （2）若0a <，当x 变化时，()f x '的正负如下表：因此，函数()f x 在x a =处取得极小值()f a ，且()0f a =；函数()f x 在3ax =处取得极大值3a f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（Ⅲ）证明：由3a >，得13a >，当[]10k ∈-，时，cos 1k x -≤，22cos 1k x -≤． 由（Ⅱ）知，()f x 在(]1-∞，上是减函数，要使22(cos )(cos )f k x f k x --≥，x ∈R 只要22cos cos ()k x k x x --∈R ≤ 即22cos cos ()x x k k x --∈R ≤ ①设2211()cos cos cos 24g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则函数()g x 在R 上的最大值为2．要使①式恒成立，必须22k k -≥，即2k ≥或1k -≤．所以，在区间[]10-，上存在1k =-，使得22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立．例9解：(1))(,23)(2/x f b x ax x f +-= 在()0,∞-上是增函数，在[]3,0上是减函数，所以当0=x 时，)(x f 取得极小值，.048,0)2(.0,0)0(/=+-∴==∴=∴c a f b f又方程0)(=x f 有三 实根，023)(.02/=+-=∴≠∴b x ax x f a 的两根分别为.32,021ax x == 又)(x f 在()0,∞-上是增函数，在[]3,0上是减函数，)(/x f ∴>0在()0,∞-上恒成立，)(/x f <0在[]3,0上恒成立．由二次函数的性质知，a >0且a 32≥0,3∴<a ≤.92 故实数a 的取值范围为.92,0⎥⎦⎤⎝⎛ (2) βα,2, 是方程0)(=x f 的三个实根，则可设.2)22()2())(2)(()(23αβαββαβαβαa x a x a ax x x x a x f -+++++-=---= 又),,()(23R c b a c bx x ax x f ∈++-=有,21,1)2(-=+∴=++aa βαβα 0 <a ≤∴,92βα+≥.25强化训练答案：6．解：b ax x x f ++=23)(2/.据题意，－1，3是方程0232=++b ax x 的两个根，由韦达定理得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯--=+-3313231b a∴c x x x x f b a +--=∴-=-=93)(,9,323，2,7)1(=∴=-c f ∴极小值25239333)3(23-=+⨯-⨯-=f 7．解：（1）∵()32f x x bx cx=++，∴()232f x x bx c'=++。

课时作业(四)1.C[解析]对于C,当x=4时,y=×4=∉Q,故选C.2.B[解析]∵f=log5=-2,∴f f=f(-2)=2-2=.3.C[解析]对于①,f(x)=-=|x|-与g(x)=x-的对应关系不同,所以不是同一函数;对于②,f(x)=x与g(x)==|x|的对应关系不同,所以不是同一函数;对于③,f(x)=x0=1(x≠0)与g(x)==1(x≠0)的定义域相同,对应关系也相同,所以是同一函数;对于④,f(x)=x2-2x-1(x∈R)与g(t)=t2-2t-1(t∈R)的定义域相同,对应关系也相同,所以是同一函数.故选C.4.[1,2)∪(2,+∞)[解析]若使f(x)=--有意义,只需要--即x≥1且x≠2,故函数f(x)=--的定义域为[1,2)∪(2,+∞).5.x2-1(x≥1)[解析]令t=+1,则x=(t-1)2(t≥1),可得f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),∴f(x)=x2-1(x≥1).6.D[解析]当m≥2时,由m2-1=3,得m2=4,∴m=±2,又∵m≥2,∴m=2.当0<m<2时,由log2m=3,得m=23=8,又∵0<m<2,∴m∈⌀.综上所述,m=2,故选D.7.D[解析]f(3)=f(2)-f(1)=f(1)-f(0)-f(1)=-f(0)=-log28=-3.8.D[解析]当a>b,即a-b>0时,f(a-b)=-1,---=---=a;当a<b,即a-b<0时,f(a-b)=1,---=--=b.所以所求的值为a,b中较大的数,故选D.9.C[解析]∵f(-4)=f(0),f(-2)=-2,∴-----解得∴f(x)=当x≤0时,由f(x)=x,得x2+4x+2=x,解得x=-2或x=-1;当x>0时,由f(x)=x,得x=2.∴方程f(x)=x有3个解.10.B[解析]由已知可得--≤0或--≥4,解得≤x<1或1<x≤3,所以函数f(x)的定义域为,1∪(1,3],故选B.11.C[解析]值域为{7,16},则定义域中必须至少含有1和-1中的一个,且至少含有2和-2中的一个.当定义域中含有两个元素时,有{-1,-2},{-1,2},{1,2},{1,-2};当定义域中含有三个元素时,有{-1,1,-2},{-1,1,2},{1,-2,2},{-1,-2,2};当定义域中含有四个元素时,有{-1,-2,1,2}.所以“孪生函数”共有4+4+1=9(个).12.2x+1或-2x-3[解析]设f(x)=ax+b,则f[f(x)]=af(x)+b=a2x+ab+b=4x+3,所以解得或--所以f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.13.0,[解析]由题得,对任意的x∈R,ax2+4ax+3≠0恒成立.当a=0时,3≠0恒成立;当a≠0时,Δ=(4a)2-4×a×3<0,解得0<a<.所以0≤a<.14.(-1,0)∪(2,+∞)[解析]①当x≥0时,f(x)=x(x-1)>2,即x2-x-2>0,解得x<-1或x>2,又x≥0,∴x>2.②当x<0时,f(-x)=-x(-x-1)=x2+x,f(x)=2-f(-x)=-x2-x+2>2,即x2+x<0,解得-1<x<0.综上可得,满足f(x)>2的x的取值范围是(-1,0)∪(2,+∞).15.C[解析]当a≥1时,f(a)=2a,2a≥2,∴f[f(a)]=f(2a)==2f(a).当a<1时,若f[f(a)]=f(λ-a)=2λ-a,则λ-a≥1,∴当a<1时,λ≥a+1恒成立,∴λ≥2.故选C.16.[解析]因为t∈(0,1],所以f(t)=3t∈(1,3],所以f[f(t)]=-×3t.因为f[f(t)]∈[0,1],所以0≤-×3t≤1,解得log3≤t≤1,又t∈(0,1],所以实数t的取值范围是.课时作业(五)1.C[解析]观察图像可知,函数在[-3,1]上单调递增.2.A[解析]因为函数f(x)在-2,-上为减函数,所以函数f(x)=-x+在-2,-上的最大值是f(-2)=2-=.3.C[解析]要使f(x)=log2(ax-1)在(1,2)上单调递增,需使y=ax-1在(1,2)上单调递增且恒大于0,则a>0且a-1≥0,即a≥1.4.C[解析] A中,f(x)=是奇函数,但在定义域内不单调;B中,f(x)=-是减函数,但不具备奇偶性;C中,f(x)=2-x-2x既是奇函数又是减函数;D中,f(x)=-tan x是奇函数,但在定义域内不单调.5.1[解析]易知f(x)在[2,3]上为减函数,∴f(x)min=f(3)=-=,f(x)max=f(2)=-=1.6.D[解析]f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a为实数.若a<0,则a>2a,f(a)>f(2a),故A不一定成立;若a=-1,则f(a2)>f(a),故B不一定成立;若a=0,则f(a2+a)=f(a),故C不一定成立;由a2+1-a=a-2+>0,得a2+1>a,则f(a2+1)>f(a),故D一定成立.故选D.7.D[解析]因为f(x)=-=-1+在(-1,+∞)上单调递减,且f(2)=0,所以n=2,所以-1≤m<2.故选D.8.D[解析]因为函数f(x)在(-2,+∞)上是增函数,所以---即得a≥1,所以g(x)=(a+1)x在R上是增函数.由g<g(x),得<x,解得x>1或-1<x<0,所以实数x的取值范围为(-1,0)∪(1,+∞).9.D[解析]∵对任意实数x1≠x2,都有--<0,∴f(x)在R上单调递减.∵f(x2-2x)+f(y2-3)≥0,∴f(x2-2x)≥f(3-y2),∴x2-2x≤3-y2,∴(x-1)2+y2≤4,∴x2+y2的最大值为(+2)2=9,故选D.10.B[解析]函数f(x)为定义在R上的奇函数,由f(1)=1,可知f(-1)=-1.由函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且为定义在R上的奇函数,得f(x)在R上单调递增.由-1≤f(x+2)≤1可得-1≤x+2≤1,解得-3≤x≤-1.故选B.11.-1,[解析]要使函数f(x)的值域为R,只需--解得-1≤a<.12.,+∞[解析]设x1>x2>-2,由题得f(x1)>f(x2),即f(x1)-f(x2)=-=--=-->0,所以2a-1>0,得a>.13.解:F(x)在(0,+∞)上为减函数.证明如下:任取x1,x2∈(0,+∞)且x2-x1>0,则F(x2)-F(x1)=-=-.∵f(x)在(0,+∞)上为增函数且x2-x1>0,∴f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),∴f(x1)-f(x2)<0.又∵f(x1)<0,f(x2)<0,∴f(x1)f(x2)>0,∴F(x2)-F(x1)<0,∴F(x)在(0,+∞)上为减函数.14.解:(1)令y=x>0,则f(1)=f=f(x)-f(x)=0.(2)f(x)在(0,+∞)上单调递增.证明如下:设0<x1<x2,由f=f(x)-f(y),得f(x2)-f(x1)=f.∵>1,∴f>0,∴f(x2)-f(x1)>0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.(3)∵f(6)=f=f(36)-f(6),∴f(36)=2,∴原不等式可化为f(x2+3x)<f(36).∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴解得0<x<-.故原不等式的解集为0,-.15.A[解析]因为f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,则f(x)min=f(0)=a+log2a=8,令g(a)=a+log2a-8,则g(a)在(0,+∞)上单调递增.又g(5)=5+log2 5-8<0,g(6)=6+log2 6-8>0,所以a+log2a=8的解在(5,6)上.故选A.16.(-∞,-2)[解析]函数y=x2-4x+3的图像的对称轴是直线x=2,所以函数y=x2-4x+3在(-∞,0]上单调递减,且在(-∞,0]上,y=x2-4x+3≥3.同理可知函数y=-x2-2x+3在(0,+∞)上单调递减,且在(0,+∞)上,y=-x2-2x+3<3.所以f(x)在R上单调递减,由f(x+a)>f(2a-x)得x+a<2a-x,即2x<a,所以2x<a在[a,a+1]上恒成立,所以2(a+1)<a,解得a<-2,所以实数a的取值范围是(-∞,-2).课时作业(六)1.D[解析]函数y=cos2在[-1,0]上单调递增,在[0,1]上单调递减,且函数y=cos2为偶函数,而函数y=-x2+2也在[-1,0]上单调递增,在[0,1]上单调递减,且函数y=-x2+2也为偶函数,故选D.2.A[解析]因为f(x+1)是偶函数,所以f(x+1)的图像关于y轴对称,而把f(x+1)的图像向右平移1个单位长度可得f(x)的图像,故f(x)的图像关于直线x=1对称,故选A.3.D[解析]由题设有f(-x)=---2018tan x+x2=-2018tan x+x2,故有f(x)+f(-x)=1+2x2,所以f(1)+f(-1)=3,从而f(-1)=0,故选D.4.-2[解析]由f(x+3)=f(x-3),可得f(x+6)=f(x),所以函数f(x)的周期是6.由f(-x)=f(x),得函数f(x)为偶函数,则f(2018)=f(2)=f(-2)=-2.5.-[解析]∵f(x)=-+a为奇函数,∴f(1)+f(-1)=0,即2+a-1+a=0,∴a=-.6.C[解析]∵f(x)=a sin x+b+4,∴f(x)+f(-x)=8,又∵lg=-lg 3,∴f(lg 3)+f lg=8,∴f lg=5,故选C.7.B[解析]∴f(x)是定义在[-2b,3+b]上的偶函数,∴2b=3+b,∴b=3.∵函数f(x)在[-6,0]上为增函数,∴f(x)在[0,6]上为减函数,∴f(x-1)≥f(3),即|x-1|≤3,故-2≤x≤4.故选B.8.D[解析]∵f(x)+f(-x)=0,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.∵f(x+t)-f(x)<0,∴f(x+t)<f(x),又∵t>0,∴f(x)在R上为减函数,∴f(x)是奇函数且在R上是减函数.对于A,f(x)=x sin x+3为偶函数,∴该选项不合题意;对于B,f(x)=x3在R上为增函数,∴该选项不合题意;对于C,f(x)=-sin x在R上不单调,∴该选项不合题意;对于D,f(x)=-3x为奇函数,且在R上为减函数,∴该选项符合题意.故选D.9.D[解析]由题意,得f(8)=f(2+6)=f(2)=3,f(5)=f(-1+6)=f(-1)=-f(1)=-1,则f(8)-f(5)=4.则函数f(x)在[0,+∞)上为减函数.又f(x) 10.C[解析]根据题意,在[0,+∞)上函数f(x)=-是偶函数,∴f-=f,由a2+2a+=(a+1)2+≥,得f≥f a2+2a+,即f-≥f a2+2a+.故选C.11.a<c<b[解析]因为对任意不同的x1,x2∈[0,2],都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,所以f(x)在[0,2]上为增函数;因为函数f(x+2)的图像关于y轴对称,所以f(x)的图像关于直线x=2对称;因为f(x+2)+f(x)=1,所以f(x+4)+f(x+2)=1,即f(x+4)=f(x),所以f(x)的周期为4.因此a=f(4.5)=f(0.5),b=f(6.5)=f(2.5)=f(1.5),c=f(7)=f(3)=f(1),因为f(0.5)<f(1)<f(1.5),所以a<c<b.12.(-1,7)[解析]∵f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,∴不等式f(a-3)<f(4)等价于|a-3|<4,即-4<a-3<4,得-1<a<7,即a的取值范围是(-1,7).13.解:(1)证明:∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期为4的周期函数.(2)当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是奇函数,∴-f(x)=f(-x)=-2x-x2,∴当x∈[-2,0]时,f(x)=x2+2x.又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期为4的周期函数,∴当x∈[2,4]时,f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8,∴当x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8.(3)易知f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1.∵f(x)是周期为4的周期函数,∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=0,∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2018)=f(2016)+f(2017)+f(2018)=f(0)+f(1)+f(2)=1.14.解:(1)因为f(x)=是奇函数,所以定义域关于原点对称,所以q=0,所以f(x)=.又f(2)=,所以=,解得p=2.(2)由(1)知f(x)=,则f(x)在(-∞,-1)上是增函数.下面给出证明:任取x1<x2<-1,则f(x1)-f(x2)=-=--.因为x1<x2<-1,所以x2-x1>0,1-x1x2<0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在(-∞,-1)上是增函数.15.C[解析]∵定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,∴f(x)在R上是减函数.若当x∈[-1,2]时,f(x3-2x+a)<f(x+1)恒成立,则当x∈[-1,2]时,x3-2x+a>x+1恒成立,即a>-x3+3x+1恒成立.设g(x)=-x3+3x+1(x∈[-1,2]),令g'(x)=-3x2+3=0,得x=±1.∴在[-1,1)上,g'(x)≥0,g(x)是增函数;在[1,2]上,g'(x)≤0,g(x)是减函数.故g(x)的最大值为g(1)=3,∴a>3.故选C.16.[解析]∵f(x-π)=f(x)-sin x,∴f(x)=f(x-π)+sin x,则f(x+π)=f(x)+sin(x+π)=f(x)-sin x,∴f(x+π)=f(x-π)+sin x-sin x=f(x-π),即f(x+2π)=f(x),∴函数f(x)的周期为2π,∴f=f672π+=f=f-+sin.∵-π<x≤0时,f(x)=0,∴f=0+sin=.课时作业(七)1.B[解析]因为y=x3的定义域为R且为奇函数,所以其图像应为图①;因为y=x2的图像为开口向上的抛物线,且顶点为原点,所以其图像应为图②.故选B.2.B[解析]∵f(x)=-(x-1)2-2,∴在[0,3]上,当x=1时,f(x)取得最大值-2;当x=3时,f(x)取得最小值-6.3.B[解析]由题设得3a=,∴a=-1,故g(x)=(2x-1)x-1=2-,∴g(x)在,2上单调递增,则当x=时,g(x)取得最小值g=2-2=0.故选B.4.C[解析]要使f(x)满足题设条件,只需当x≥0时,f(x)=ax2+bx+c(a≠0)图像的顶点在y轴的右侧即可,所以->0,故选C.5.3[解析]由题意设f(x)=xα,由f(x)的图像过点(2,),得=2α,即α=,∴f(x)=,∴f(9)=3.6.C[解析]∵f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,∴当x=2时,f(2)=4,由f(x)=-x2+4x=-5,解得x=5或x=-1,∴要使函数在[m,5]上的值域是[-5,4],需使-1≤m≤2,故选C.7.B[解析]因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以α>0,排除选项A,C;当α=时,f(x)==为非奇非偶函数,不满足条件,排除选项D.故选B.--8.A[解析]由题意知-得-3<m<0,故选A.9.D[解析]∵直线y=kx过点M(2,1),∴k=,∴y=x.作出函数f(x)=|-x2+4x-3|的图像与直线y=x,如图所示,由图知,函数f(x)的图像与直线y=x的交点个数为4,故选D.10.D[解析]∵函数f(x)既是二次函数又是幂函数,∴f(x)=x2,∴h(x)=+1,h(x)+h(-x)=+1+-+1=2,h(0)=+1=1,因此h(2018)+h(2017)+h(2016)+…+h(1)+h(0)+h(-1)+…+h(-2016)+h(-2017)+h(-2018)=2018×2+1=4037,故选D.11.a>c>b[解析]a=-=,根据函数y=x3是R上的增函数,且>>,得>>,即a>c>b.12.[-2,0][解析]若∀x∈R,f(x)≤f(0),则f(x)max=f(0)=-a2.当x≥0时,f(x)=-(x-a)2,此时函数图像的对称轴方程为x=a≤0;当x<0时,f(x)=-x2-2x-3+a,其图像开口向下,对称轴方程为x=-1,则f(-1)=-1+2-3+a≤-a2,即a2+a-2≤0,解得-2≤a≤1.综上所述,实数a的取值范围是[-2,0].13.解:∵幂函数在(0,+∞)上是减函数,∴m2-2m-3<0,解得-1<m<3.又∵m∈N*,∴m=1或2.当m=2时,22-2×2-3=-3,即y=x-3;当m=1时,12-2×1-3=-4,即y=x-4.又幂函数为偶函数,∴m=1.而函数y=-在(-∞,0),(0,+∞)上为减函数,∴(a+1-<(3-2a-等价于a+1>3-2a>0或0>a+1>3-2a或a+1<0<3-2a,解得a<-1或<a<,故a的取值范围为a<-1或<a<.-14.解:(1)设x1,x2是方程f(x)=0的两个根,由根与系数的关系,得由已知得-所以b=0,c=-1.-(2)由题知f(1)=1+2b+c=0,所以c=-1-2b.记g(x)=f(x)+x+b=x2+(2b+1)x+b+c=x2+(2b+1)x-b-1,由已知得------解得<b<,即实数b的取值范围为,.15.解:(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-x-3,由题意可知x=x2-x-3,解得x=-1或x=3,故当a=1,b=-2时,f(x)的不动点为-1,3.(2)因为f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0)恒有两个相异的不动点,所以x=ax2+(b+1)x+b-1,即ax2+bx+b-1=0恒有两个相异实根,所以Δ=b2-4ab+4a>0(b∈R)恒成立.设g(b)=b2-4ab+4a,若g(b)>0恒成立,则Δ=(4a)2-16a<0,解得0<a<1,故当b取任意实数,f(x)恒有两个相异的不动点时,a的取值范围是(0,1).课时作业(八)1.B[解析]∵|x-1|≥0,∴f(x)≥1,排除C,D.又当x=1时,f(x)min=1,排除A.故选B.2.C[解析]====-=.故选C.3.A[解析]∵1>a=0.40.3>0.30.3>b=0.30.4,c=0.3-0.2>1,∴b<a<c,故选A.4.0[解析]由题意得解得-∴m+n=0.5.0,[解析]由已知得,实数a应满足条件0<1-2a<1,解得0<a<,即a∈0,.6.B[解析]当a<1时,由f(1-a)=f(a-1)可得41-a=21,解得a=;当a>1时,由f(1-a)=f(a-1)可得22a-1=4a-1,无解.故选B.7.C[解析]易知f(0)=0,当x>0时,f(x)=1-2-x,而-x<0,则f(-x)=2-x-1=-f(x);当x<0时,f(x)=2x-1,而-x>0,则f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).所以函数f(x)是奇函数,且单调递增.故选C.8.D[解析]易知函数y=e sin x(-π≤x≤π)不是偶函数,排除A,C;当x∈-时,y=sin x为增函数,而函数y=e x也是增函数,所以y=e sin x(-π≤x≤π)在-上为增函数,故选D.9.B[解析]由题意得m9-x-3-x=m9x-3x有解,即m(9x-9-x)=3x-3-x有解,整理得m=-有解,又-=<(因为x≠0,所以不能取等号),且->0,所以实数m的取值范围是0<m<.10.D[解析]∵当x=1时,y=a1-1+2=a0+2=3,∴函数y=a x-1+2(a>0,a≠1)的图像恒过定点A(1,3).又点A在直线+=1上,∴+=1,又m>0,n>0,∴3m+n=(3m+n)+=3+3++≥6+2=12(当且仅当3m=n 时取等号),∴3m+n的最小值为12,故选D.11.[解析]当a>1时,f(x)=a x-1在[0,2]上为增函数,则a2-1=2,∴a=±.又∵a>1,∴a=.当0<a<1时,f(x)=a x-1在[0,2]上为减函数.∵f(0)=0≠2,∴0<a<1时不满足题意.综上可知,a=.12.3或[解析]令a x=t,则y=t2+2t-1=(t+1)2-2.当a>1时,因为x∈[-1,1],所以t∈,a,又函数y=(t+1)2-2在,a上单调递增,所以y max=(a+1)2-2=14,解得a=3;当0<a<1时,因为x∈[-1,1],所以t∈a,,又函数y=(t+1)2-2在a,上单调递增,所以y max=+12-2=14,解得a=.综上知a=3或a=.13.解:(1)当a=-1时,f(x)=--,令t=-x2-4x+3,可得t=-x2-4x+3在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而y=x在R上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是(-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2).(2)令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=g(x),由于f(x)有最大值3,所以g(x)有最小值-1,解得a=1,因此必有--即当f(x)有最大值3时,a的值为1.14.解:(1)因为f(x)为偶函数,所以对任意的x∈R,都有f(-x)=f(x),即a|x+b|=a|-x+b|,所以|x+b|=|-x+b|,解得b=0.(2)记h(x)=|x+b|=----①当a>1时,f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,即h(x)在区间[2,+∞)上是增函数,所以-b≤2,即b≥-2.②当0<a<1时,f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,即h(x)在区间[2,+∞)上是减函数,但h(x)在区间[-b,+∞)上是增函数,故不存在这样的a,b,使f(x)在区间[2,+∞)上是增函数.所以f(x)在区间[2,+∞)上是增函数时,a,b应满足的条件为a>1且b≥-2.15.B[解析]因为y=2x,y=2-x在R上分别为增函数、减函数,所以f(x)=2x-2-x为R上的增函数.因为f(-x)=2-x-2x=-f(x),所以f(x)为R上的奇函数.由f(x2-ax+a)+f(3)>0,可得f(x2-ax+a)>-f(3)=f(-3),可得x2-ax+a>-3,所以x2-ax+a+3>0在R上恒成立,所以(-a)2-4×1×(a+3)<0,即a2-4a-12<0,解得-2<a<6. 16.0,[解析]①当0<a<1时,作出函数y=|a x-2|的图像,如图①.若直线y=3a与函数y=|a x-2|(0<a<1)的图像有两个交点,则由图像可知0<3a<2,所以0<a<.②当a>1时,作出函数y=|a x-2|的图像,如图②.若直线y=3a与函数y=|a x-2|(a>1)的图像有两个交点,则由图像可知0<3a<2,此时无解.所以a的取值范围是0,.课时作业(九)1.C[解析]当3x-2=1,即x=1时,y=log a1=0,故定点A的坐标是(1,0).2.A[解析]∵a=lo3<lo1=0,0<0.3<0=1,即0<b<1,c=ln π>ln e=1,∴a<b<c.3.A[解析]因为lo m<lo n,所以m>n>0,由幂函数的性质得n<n,由指数函数的性质得m<n,因此m<n,故选A.4.4[解析]因为f(x)=a+log2x在区间[1,a]上单调递增,所以f(x)max=f(a)=a+log2a=6,解得a=4.5.92[解析] lg 1=0,lg 10=1,lg 100=2,故原式=0×9+1×90+2×1=92.6.C[解析]由题意可得f=log2=log2-=-,∴f f=f-=-=.7.A[解析]若a>0,则f(a)=log2a+a=3,解得a=2,f(a-2)=f(0)=4-2-1=-;若a≤0,则f(a)=4a-2-1=3,解得a=3,不合题意舍去.所以f(a-2)=-,故选A.8.D[解析]∵0<sin θ<1,log a sin θ>log b sin θ>0,∴0<a<1,0<b<1,又log a sin θ>log b sinθ,∴-=->0,可得log sin θb>log sin θa,∵0<sin θ<1,∴a>b,故0<b<a<1,故选D.9.D[解析]当=0时,x=1;当=1时,x=或x=3.因为函数y=的定义域为[a,b],值域为[0,1],所以当a=时,b∈[1,3];当b=3时,a∈,1.所以b-a∈,,故选D.10.A[解析]由题意可知x3是函数y1=x与y2=log3x的图像的交点的横坐标,在同一平面直角坐标系中作出函数y1=x与y2=log3x的图像,如图所示,由图可知x3>1,而x1=lo2<0,0<x2=-<1,所以x3>x2>x1.故选A.11.A[解析]∵对于任意x1∈[0,2],存在x2∈[0,2],使得f(x1)≥g(x2),∴在[0,2]上,f(x)min≥g(x)min.∵f(x)=ln(x2+1)在[0,2]上单调递增,∴f(x)min=f(0)=0.∵g(x)=x-m在[0,2]上单调递减,∴g(x)min=g(2)=2-m=-m.由-m≤0,得m≥,∴实数m的取值范围是,+∞.故选A.12.0[解析]∵x>0,y>0,x+y2=2,∴xy2≤2=1,当且仅当x=y2=1时,等号成立,∴log2x+2log2y=log2x+log2y2=log2(xy2)≤log21=0.13.<a<1[解析]若对于任意的实数x∈0,,都有2-2x-log a x<0恒成立,即对于任意的实数x∈0,,都有log a x>2-2x恒成立,即对任意的实数x∈0,,y=log a x的图像恒在y=x的图像的上方,∴0<a<1,<log a,即>,∴a>.综上可得,<a<1.14.①②④[解析]作出函数y=|log2x|的图像,如图所示,该函数先减后增,且在x=1处取得最小值0.在同一平面直角坐标系中作出直线y=m,两图像交于A,B两点,由图可知,0<x1<1<x2.∵y1=y2,∴-log2x1=log2x2,可得x1x2=1.∵x2-1>1-x1,∴x1+x2>2,∴+>2>2×=4.综上可得,①中说法正确,②中说法正确,③中说法错误,④中说法正确.15.B[解析]设指数函数和对数函数分别为y=a x(a>0,a≠1),y=log b x(b>0,b≠1).若P1为“好点”,则P1(1,1)在y=a x的图像上,得a=1,与a>0且a≠1矛盾;P2(1,2)显然不在y=log b x的图像上;P3,在y=a x,y=log b x 的图像上时,a=,b=;易得P4(2,2)是“好点”.故选B.16.C[解析]f(x)=ln(x)-ln(1-x)=+ln-,设P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),则f(x1)=+ln-,f(x2)=+ln-,依题意,得f(x1)+f(x2)=2m,x1+x2=1,所以2m=f(x1)+f(x2)=1+ln--=1+ln-=1+ln 1=1,可得m=.故选C.课时作业(十)1.B[解析]因为f(x)=lg=lg x-lg 10=lg x-1,所以只需把函数g(x)=lg x的图像上所有的点向下平移1个单位长度即可得到f(x)的图像,故选B.2.C[解析]因为f(-x)=--==f(x),所以函数f(x)是偶函数,所以函数f(x)的图像关于y轴对称,可排除选项A,B,由f(0)=2,可排除选项D,故选C.3.C[解析]在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)=ln x与g(x)=x2-4x+4=(x-2)2的图像,如图所示,由图可知两函数图像的交点个数为2.4.{x|0<x<4或x>4}[解析]∵f(4)=0,∴4|m-4|=0,即m=4,∴f(x)=x|4-x|=-------作出f(x)的图像,如图所示.由图像可知,f(x)>0的解集为{x|0<x<4或x>4}.5.y=log32x-[解析]y=log3(x-1)的图像向右平移个单位长度得到y=log3x-的图像,再把横坐标缩短为原来的,得到y=log32x-的图像.故应填y=log32x-.6.A[解析]函数f(x)的定义域为R,f(-x)=---sin(-x)=-(-sin x)=-(-sin x)=-sinx=f(x),∴函数f(x)为偶函数,其图像关于y轴对称,故排除选项C,D.当x=2时,f(2)=-sin 2<0,故排除选项B.故选A.7.A[解析]作出函数f(x)的图像,如图所示,直线y=k(x+2)-2过定点C(-2,-2),要使函数f(x)的图像与直线y=k(x+2)-2恰有三个公共点,由图可知0<k<k CD.因为k CD=---=2,所以实数k的取值范围是0<k<2,即k ∈(0,2).8.C[解析] A中,∵y=2x-x2-1=2x-(x2+1),当x趋向于-∞时,2x的值趋向于0,x2+1的值趋向于+∞,∴当x 趋向于-∞时,函数y=2x-x2-1的值趋向于-∞,∴A中的函数不符合;B中,函数y=的定义域为-∞,-∪-,+∞,∵y=sin x是周期函数,∴函数y=的图像是在x轴附近的波浪线,∴B中的函数不符合;D中,y=的定义域是(0,1)∪(1,+∞),∴D中函数不符合.故选C.9.[-1,+∞)[解析]如图,在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)=|x+a|与g(x)=x-1的图像,观察图像可知,当且仅当-a≤1,即a≥-1时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,因此实数a的取值范围是[-1,+∞).10.f(x)=---[解析]当-1≤x≤0时,设函数的解析式为f(x)=kx+b,则-解得∴f(x)=x+1.当x>0时,设函数的解析式为f(x)=a(x-2)2-1,∵函数f(x)的图像过点(4,0),∴0=a(4-2)2-1,解得a=,∴f(x)=(x-2)2-1.11.-[解析]由题意作出f(x)的部分图像如图所示,则f=---=-.12.B[解析]f(x)的图像关于y轴对称的图像的函数解析式为h(x)=f(-x)=2-x-(x>0),令h(x)=g(x),得2-x-=log2(x+a)(x>0),则方程2-x-=log2(x+a)在(0,+∞)上有解,作出y=2-x-与y=log2(x+a)的图像,如图所示.当a≤0时,函数y=2-x-与y=log2(x+a)的图像在(0,+∞)上必有交点,符合题意;当a>0时,若两函数的图像在(0,+∞)上有交点,则log2a<,解得0<a<.综上可知,实数a的取值范围是(-∞,),故选B.13.C[解析]函数y=|2x-t|的图像关于y轴对称的图像对应的函数为y=x-t,由题意知y=|2x-t|与y=x-t在[1,2]上单调性相同,则必有t>0.当两个函数均在[1,2]上单调递增解得≤t≤2.时,y=|2x-t|与y=x-t的图像如图①所示,易知-当函数y=|2x-t|在[1,2]上单调递减时,y=|2x-t|与y=x-t的图像如图②所示,此时y=x-t 不可能在[1,2]上单调递减.综上所述,≤t≤2,故选C.课时作业(十一)1.B[解析]因为y=e x与y=x-4都是单调递增函数,所以函数f(x)单调递增.因为f(1)=e-3<0,f(2)=e2-2>0,所以f(1)f(2)<0,由零点存在性定理可得f(x)有且仅有一个零点在区间(1,2)上,故选B.2.B[解析]在同一平面直角坐标系下,作出函数y=2x和y=的图像,如图所示.函数f(x)=2x-的零点个数等于函数y=2x和y=的图像的交点个数.由图可知,两函数图像有一个交点,所以函数f(x)有一个零点.故选B.3.C[解析]g(x)=x2-(a+1)x-4(a+5)=(x+4)[x-(a+5)].令g(x)=0,得x=-4或x=a+5,则f(-4)=log2(-4+a)=0或f(a+5)=log2(a+5+a)=0,解得a=5或a=-2.4.2[解析]∵f(x)在定义域内单调递增,f(2)=-1+ln 2<0,f(3)=2+ln 3>0,∴f(x)的零点位于区间(2,3)内,即n=2.5.(0,2)[解析]画出函数f(x)的图像(图略),当x≤0时,函数f(x)的图像的最高点为(-1,2),若直线y=m 和函数f(x)的图像有3个交点,则该直线位于x轴上方,直线y=2下方,故m∈(0,2).6.A[解析]在同一平面直角坐标系中分别作出函数f(x)=2x,g(x)=log3x,h(x)=-,y=-x的图像,如图,观察f(x),g(x),h(x)的图像与直线y=-x的交点可知a<b<c.7.D[解析]由f(x)=x cos 2x=0得x=0或cos 2x=0,又cos 2x=0在[0,2π]上有4个根,分别为,,,,所以函数f(x)在[0,2π]上有5个零点.故选D.8.C[解析]因为f(x)=3ax-2a+1,所以函数f(x)有且只有一个零点.若存在x0∈(-1,1),使f(x0)=0,则f(-1)f(1)<0,即(-3a-2a+1)(3a-2a+1)<0,即(-5a+1)(a+1)<0,解得a<-1或a>,故实数a的取值范围是a<-1或a>,故选C.9.C[解析]由题意得f(x)=--又由f(x)是偶函数且是周期为4的周期函数,作出f(x)的图像,如图所示.令g(x)=mx,则方程f(x)-mx=0恰有两个实数根等价于y=f(x)的图像与y=g(x)的图像恰有两个交点.结合图像易得-2<m<-或<m<2,故选C.10.C[解析]由'=-=0,得x=e,∴当x>e时,f(x)单调递减,f(x)∈(0,1);当0<x<e时,f(x)单调递增,f(x)∈(-∞,1).作出函数f(x)的图像及直线y=3m,如图所示,若函数g(x)有4个不同的零点,则函数f(x)的图像与直线y=3m有4个交点,由图可知0<3m<1,∴0<m<,故选C.11.B[解析]因为f(x+1)=-f(x),所以f(x)是周期为2的周期函数,函数g(x)=|x-1|的图像关于直线x=1对称,作出两函数的图像如图所示,由图可得四个交点关于x=1对称,其横坐标之和为2×2=4,故选B.12.2[解析]在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)=-的图像和直线y=-x(图略),的图像和直线y=-x的交点的个数,函数F(x)=f(x)+x的零点个数即为函数f(x)=-由图可知,一共有2个交点,所以F(x)的零点个数为2.13.-2[解析]函数f(x)=4x+m2x+1有且只有一个零点,即4x+m2x+1=0只有一个根,令2x=t>0,即方程t2+m t+1=0只有一个正根.当Δ=0,即m2-4=0时,得m=±2,经检验m=-2时满足条件;当Δ>0,即m2-4>0时,得m>2或m<-2,此时方程有两个不等实根,设两根为t1,t2,则有t1t2=1>0,即两根同号,不符合题意.综上,实数m的值为-2.14.D [解析] 画出f (x )的图像如图所示,由题意得x 1<x 2且f (x 1)=f (x 2),结合图像可得-log 3x 1=log 3x 2,∴x 1x 2=1.∵f (x 3)=f (x 4),∴x 3+x 4=12,又3<x 3<,∴x 3x 4=x 3(12-x 3)∈27,,∴x 1x 2x 3x 4∈27,.故选D .15.D [解析] 作出函数f (x )的图像,如图中实线部分所示.由[f (x )]2+af (x )-b 2<0得- -<f (x )<-.若b ≠0,则f (x )=0满足条件,即原不等式有2个整数解,不满足题意,所以b=0.由[f (x )]2+af (x )<0得-a<f (x )<0,若原不等式恰有1个整数解,则该整数解只能是3,只需f (4)≤-a<f (3),又f (3)=-3,f (4)=-8,所以-8≤-a<-3,即3<a ≤8,所以a 的最大值为8,故选D .课时作业(十二)1.A [解析] 根据已知数据可知,自变量每增加1,函数值增加2,因此函数值的增量是均匀的,故最可能为一次函数模型.2.B [解析] 由y 随x 的变化趋势知,函数在(0,+∞)上是增函数,且y 的增长速度随x 的增大越来越快,又A 中函数增长速度不变,C 中函数是增长速度逐渐变慢的函数,D 中函数是减函数,故排除A ,C ,D ,易知B 中函数y= (x 2-1)最符合题意.3.A [解析] 前3年年产量的增长速度越来越快,说明呈高速增长,只有A ,C 中的图像符合要求.又后3年年产量保持不变,故选A .4.200 [解析] 由题意知100=a log 3(2+1),∴a=100,∴y=100log 3(x+1),∴当x=8时,y=100log 3(8+1)=100×2=200.5.4.24[解析]因为m=6.5,所以[m]=6,则f(6.5)=1.06×(0.5×6+1)=4.24.6.C[解析]根据题意和图(2)知,两直线平行即票价不变,直线向上平移说明付出成本变小了,即说明了此建议是降低付出成本但保持票价不变,故②中说法正确;由图(3)看出,付出成本不变,但是直线的倾斜角变大了,也就是说乘客量相同时收入增加了,即票价提高了,说明此建议是提高票价但保持付出成本不变,故③中说法正确.故选C.7.B[解析]若2018年是第一年,则第n年的科研经费为1300×1.12n万元,由1300×1.12n>2000,可得lg 1.3+n lg 1.12>lg 2,得n>-≈3.8,∴n≥4,∴科研经费开始超过2000万元的年份是2021年,故选B.8.A[解析]由题意可知,每年此项经营中所收取的附加税为104×(100-10x)×70×元,令104×(100-10x)×70×≥112×104,解得2≤x≤8.故x的最小值为2.9.A[解析]∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等,∴函数y=f(t)=a e nt,满足f(5)=a e5n=a,可得n=ln,若再过m min后甲桶中的水只有 L,则f(m+5)=a,即ln(m+5)=ln,即ln(m+5)=2ln,解得m=5.故选A.10.A[解析]根据题意可知f(4)=C=4,f(25)=C+B(25-A)=14,f(35)=C+B(35-A)=19,解得A=5,B=,C=4,所以所以f(20)=4+×(20-5)=11.5.故选A.f(x)=-=,即11.48[解析]设MP=x,PN=y,作PQ⊥AF于Q,所以PQ=8-y,EQ=x-4.在△EDF中,=,所以--y=-x+10,4≤x≤8.设矩形BNPM的面积为S(x),则S(x)=xy=x-=-(x-10)2+50,因为函数S(x)在[4,8]上单调递增,所以当x=8时,S(x)有最大值,S(8)=-×(8-10)2+50=48(平方米).12.58[解析]设每台机器的年平均利润为g(x)万元,根据已知条件得,每台机器的年平均利润g(x)与机器运转时间x的函数关系式为g(x)==--=18-x+,则g(x)=18-x+≤18-2=8,当且仅当x=,即x=5时等号成立,则g(x)max=g(5)=8.故每台机器运转5年时,年平均利润最大,最大年平均利润为8万元.13.解:(1)若甲大棚投入50万元,则乙大棚投入150万元.所以f(50)=80+4+×150+120=277.5(万元).(2)由题知,f(x)=80+4+(200-x)+120=-x+4+250,解得20≤x≤180,依题意得-故f(x)=-x+4+250(20≤x≤180).令t=,则t2=x,t∈[2,6],y=-t2+4t+250=-(t-8)2+282,当t=8,即x=128时,y取得最大值282,所以投入甲大棚128万元,乙大棚72万元时,总收入最高,最高为282万元.14.解:(1)由题意得=4,即商品单价每降低x元,则一个星期多卖出4x件.设一个星期的商品销售利润(单位:元)为f(x),则f(x)=(30-x-9)(72+4x)=4(x+18)(-x+21)=4(-x2+3x+378)=-4x2+12x+1512(0≤x≤30).(2)由(1)得f(x)=4(-x2+3x+378)=4-x-2++378=-4x-2+9+1512=-4x-2+1521≤1521,所以当x=时,f(x)取得最大值1521,此时定价为每件30-==28.5(元),最大销售利润为1521元.15.解:(1)营养液有效则需满足y≥4,则-或-解得1≤x≤2或2<x≤3,所以1≤x≤3,所以营养液有效时间最多可达3天.(2)设第二次投放营养液x(0≤x≤2)天后,第一次投放的营养液的浓度为y1,第二次投放的营养液的浓度为y2,水中的营养液的浓度为y,则y1=2[5-(x+3)]=4-2x,y2=b-,由题意得y=y1+y2=4-2x+b-≥4在[0,2]上恒成立,所以b≥2x-在[0,2]上恒成立,令t=3+x,t∈[3,5],则b≥-2t++18在t∈[3,5]上恒成立,又-2t++18≤18-2×2=18-12,当且仅当t=,即t=3时等号成立,所以b≥18-12,所以b的最小值为18-12.课时作业(十三)1.B[解析]f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x+1.由f'(x0)=2,得ln x0+1=2,解得x0=e.2.B[解析]设x=2,x=3时函数图像上的点分别为A,B,图像在点A处的切线为AT,在点B处的切线为BQ,直线AB的斜率为k AB,则f(3)-f(2)=-=k AB,f'(3)=k BQ,f'(2)=k AT.结合题图可知,0<k BQ<k AB<k AT.故选B.-3.C[解析]∵f'(x)=e x sin x+e x cos x,∴f'(0)=e0(cos 0+sin 0)=1,∴曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为1.故选C.4.x-y-4=0[解析]因为f'(x)=--a,所以f'(-1)=-2-a=1,所以a=-3,所以f(x)=+3x,所以f(-1)=-5,则所求切线的方程为y+5=x+1,即x-y-4=0.5.[解析]f'(x)=1+ln x-,令x=1,得f'(1)=1-f'(1),解得f'(1)=.6.D[解析]∵f'(x)=+2x-b,∴f'(b)=+b≥2=2,当且仅当b=1时取等号,因此切线斜率的最小值是2,故选D.7.A[解析]设切点坐标为(x0,y0),x0>0,由题意及y'=x-,得x0-=2,解得x0=3或x0=-1(舍去).故选A.8.A[解析]由f(x)=x sin x+cos x,可得f'(x)=sin x+x cos x-sin x=x cos x,∴g(t)=t cos t,∴函数y=g(t)是奇函数,排除选项B,D;当t∈0,时,g(t)>0,排除选项C.故选A.9.D[解析]y'=+2ax=(x>0),根据题意有y'≥0(x>0)恒成立,所以2ax2+1≥0(x>0)恒成立,即2a≥-(x>0)恒成立,所以a≥0,故实数a的取值范围是[0,+∞).故选D.10.C[解析]设直线l与f(x)=e x的图像的切点为(x1,),与g(x)=ln x+2的图像的切点为(x2,2+ln x2),消去x1,整理得(x2-1)(1+ln x2)=0,故或所又因为f'(x)=e x,g'(x)=,所以--以直线l的方程为y=x+1或y=e x,故选C.11.6x-y-5=0[解析]由题意,f(2)=2×2-1=3,∴g(2)=4+3=7.∵g'(x)=2x+f'(x),f'(2)=2,∴g'(2)=2×2+2=6,∴函数g(x)=x2+f(x)的图像在点(2,g(2))处的切线方程为y-7=6(x-2),即6x-y-5=0.12.±2[解析]由y=x ln x,得y'=ln x+1,则y'|x=1=1.由y=,得y'=-.设点P的坐标为(x0,y0),则-=-1,得=4,所以x0=±2.13.A[解析]由y=x2,得y'=,则曲线y=x2在P(s,t)处的切线的斜率为.由y=a ln x,得y'=,则曲线y=a ln x在P(s,t)处的切线的斜率为.由曲线y=x2与曲线y=a ln x在它们的公共点P(s,t)处具有公切线,可得=,且t=s2,t=a ln s,∴ln s=,∴s2=e,可得a===1,故选A.14.[解析]由y=ln x(x>0),得y'=,令=2,得x=,y=ln=-ln 2,则与直线y=2x+6平行的曲线y=ln x的切线的切点坐标为,-ln 2,由点到直线的距离公式得d==,即|MN|的最小值为.课时作业(十四)1.D[解析]函数f(x)的定义域为(0,+∞),由题得f'(x)=2x ln x+x=x(2ln x+1),令f'(x)<0,得0<x<,所以函数f(x)的单调递减区间为0,,故选D.2.C[解析]∵f'(x)=ln x+1,∴当0<x<时,f'(x)<0,即f(x)在0,上是减函数;当<x<5时,f'(x)>0,即f(x)在,5上是增函数.3.D[解析]因为y=,所以y'=-,令y'>0,得x<0;令y'<0,得x>0;令y'=0,得x=0.所以y=在(-∞,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数,且x=0是函数的极大值点,故选D.4.(0,1),(1,e)[解析]f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞),f'(x)=-,令f'(x)<0,得0<x<1或1<x<e,即f(x)的单调递减区间是(0,1),(1,e).5.(0,+∞)[解析]y'=-4x2+a,因为函数有三个单调区间,所以方程-4x2+a=0有两个不等实根,则Δ=0+16a>0,解得a>0.6.A[解析]设g(x)=e x[f(x)-1],则g'(x)=e x[f(x)-1]+e x f'(x)=e x[f(x)+f'(x)-1],∵f(x)+f'(x)>1,∴g'(x)>0,∴函数g(x)在R上单调递增.∵f(0)=5,∴g(0)=4,由e x[f(x)-1]>4,得g(x)>g(0),∴x>0.故选A.7.C[解析]∵f(x)=-x2+x+1,∴f'(x)=x2-ax+1.若函数f(x)在区间,3上单调递减,则x2-ax+1≤0在,3上恒成立,即a≥x+在,3上恒成立.令g(x)=x+,x∈,3,则g'(x)=-,令g'(x)>0,得1<x<3,令g'(x)<0,得<x<1,∴g(x)在,1上单调递减,在(1,3)上单调递增.又g=,g(3)=,故a≥,即实数a的取值范围是,+∞,故选C.8.A[解析]∵f(x)=x+-a ln x,∴f'(x)=1--=--.∵f(x)在区间[1,2]上不单调,∴f'(x)=0在(1,2)上有解,即x2-ax-a=0在(1,2)上有解,即a==在(1,2)上有解,设t=,<t<1,在,1上有解,则a==-∴<a<,即实数a的取值范围是,,故选A.9.A[解析]构造新函数g(x)=,则g(x)为偶函数,g'(x)=-.∵当x<0时,xf'(x)-f(x)<0,∴g'(x)<0,即函数g(x)在(-∞,0)上单调递减,∴函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,结合0<ln 2<e<3,可得g(ln 2)<g(e)<g(3),∴g(ln 2)<g(e)<g(-3),即b<a<c.10.B[解析]f(x)=e x-ln x的定义域为(0,+∞),且f'(x)=e x-=-.令g(x)=x e x-1,则g'(x)=(x+1)e x>0在(0,+∞)上恒成立,则g(x)在(0,+∞)上单调递增,又g(0)g(1)=-(e-1)<0,所以∃x0∈(0,1),g(x0)=0,则f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(x0)=-ln x0,又=,所以x0=-ln x0,所以f(x)min=+x0>2.故选B.11.,+∞[解析]∵f'(x)=2mx-+≥0在(1,+∞)上恒成立,∴m≥-+在(1,+∞)上恒成立.令y=-+,x∈(1,+∞),由y'=-=0,得x=,易知当x=时,y max=,∴m≥.12.(-∞,1)[解析]f'(x)=+ax-2=-(x>0),函数f(x)存在单调递减区间,即在定义域(0,+∞)内,存在使ax2-2x+1≤0的区间,等价于a小于-在(0,+∞)上的最大值.设g(x)=-(x>0),则g'(x)=-,可知函数g(x)在区间(0,1)上为增函数,在区间(1,+∞)上为减函数,所以当x=1时,函数g(x)取得最大值1,所以a<1,故填(-∞,1).13.解:由f(x)=x3+ax2+2x-1,得f'(x)=3x2+2ax+2.(1)因为函数f(x)在区间[1,3]上单调递增,所以f'(x)≥0在[1,3]上恒成立,即a≥--在[1,3]上恒成立.令g(x)=--,则g'(x)=-,当x∈[1,3]时,g'(x)<0,所以g(x)在[1,3]上单调递减,所以g(x)max=g(1)=-,所以a≥-.(2)因为函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,所以f'(x)≤0在[-2,-1]上恒成立,即a≥--在[-2,-1]上恒成立,由(1)易知,g(x)=--在[-2,-1]上单调递减,所以a≥g(-2),即a≥.14.解:(1)证明:当m=0时,要证f(x)>-e x,即证e x-x+sin x>0,易知e x-x+sin x≥e x-x-1,令g(x)=e x-x-1,则g'(x)=e x-1,当x>0时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x<0时,g'(x)<0,g(x)单调递减,∴g(x)≥g(0)=0.∵取等号的条件不一致,∴e x-x+sin x>0,∴f(x)>-e x.(2)依题意知f'(x)=cos x-1+3mx2≥0(x≥0)恒成立,令F(x)=cos x-1+3mx2(x≥0),则F(0)=0,F'(x)=6mx-sin x.①当m≥时,令H(x)=x-sin x(x≥0),则H'(x)=1-cos x≥0,所以H(x)在(0,+∞)上单调递增,∴H(x)≥H(0)=0,因此sin x≤x(x≥0),即-sin x≥-x(x≥0),∴F'(x)≥6mx-x=(6m-1)x≥0,F(x)单调递增,∴F(x)≥F(0)=0,符合题意.②当m≤0时,F=-1+3m2<0,不符合题意,舍去.③当0<m<时,设h(x)=F'(x),则h'(x)=6m-cos x,h'(0)=6m-1<0,h'=6m>0,∴h'(0)h'<0,又h'(x)在0,上单调递增,∴存在x1∈0,,使得h'(x1)=0,∴当x∈(0,x1)时,h'(x)<0,则F'(x)在(0,x1)上单调递减,∴当x∈(0,x1)时,F'(x)<F'(0)=0,∴F(x)在(0,x1)上单调递减,∴F(x)<F(0)=0,不符合题意,舍去.综上,m≥.15.A[解析]因为函数f(x)=(x2-2x)e x-a ln x(a∈R),所以f'(x)=e x(x2-2x)+e x(2x-2)-=e x(x2-2)-.因为函数f(x)=(x2-2x)e x-a ln x(a∈R)在区间(0,+∞)上单调递增,所以f'(x)=e x(x2-2)-≥0在区间(0,+∞)上恒成立,即a≤e x(x3-2x)在区间(0,+∞)上恒成立.令h(x)=e x(x3-2x)(x>0),则h'(x)=e x(x3-2x)+e x(3x2-2)=e x(x3-2x+3x2-2)=e x(x-1)(x2+4x+2).因为x∈(0,+∞),所以x2+4x+2>0.又因为e x>0,所以令h'(x)>0,可得x>1,所以函数h(x)在区间(1,+∞)上单调递增,在区间(0,1)上单调递减,所以h'(x)min=h(1)=e×(1-2)=-e,所以a≤-e.16.(-∞,-1)∪(1,+∞)[解析]由题意构造函数F(x)=f(x)-x,则F'(x)=f'(x)-.因为f'(x)<,所以F'(x)=f'(x)-<0,即函数F(x)在R上单调递减.因为f(x2)<+,f(1)=1,所以f(x2)-<f(1)-,所以F(x2)<F(1),所以x2>1,解得x∈(-∞,-1)∪(1,+∞).课时作业(十五)1.B[解析]令y'=2x+x2x ln 2=(1+x ln 2)2x=0,即1+x ln 2=0,可得x=-,易知函数在-∞,-上单调递减,在-,+∞上单调递增,∴函数取极小值时,x=-.故选B.2.A[解析]f'(x)=x2-x+c.因为函数f(x)=x3-x2+cx+d有极值,所以方程x2-x+c=0有两个不等的实根,所以Δ=1-4c>0,解得c<.3.A[解析]f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-=-.令f'(x)>0,得x>1;令f'(x)<0,得0<x<1.∴f(x)在x=1处取得极小值也是最小值,则f(x)min=f(1)=-ln 1=.故选A.4.3[解析]f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),显然当x<-1或x>1时,f'(x)>0,当-1<x<1时,f'(x)<0,∴-1是f(x)的极大值点,1是f(x)的极小值点,∴f(1)=1-3+m=-1,∴m=1,从而f(-1)=-1+3+1=3,即极大值为3.5.-7[解析]f'(x)=3x2+2ax+b,或-经验证知,当a=-3,b=3时,在x=1处无极由题意知解得-值,故a+b的值为-7.6.D[解析]根据导函数的图像可知,在区间(-3,-2)上f'(x)<0,所以函数f(x)在(-3,-2)上单调递减,所以①中说法错误.当-2<x<2时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当2<x<4时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,所以f(x)在x=2处取得极大值,所以②中说法错误.当4<x<5时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以③中说法正确.当-2<x<-时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当-<x<2时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.所以f(x)在x=-处没有极值,所以④中说法错误.综上,只有③中说法正确,故选D.7.D[解析]函数f(x)=2e f'(e)ln x-的定义域为(0,+∞),f'(x)=-,则f'(e)=-,∴f'(e)=,∴f(x)=2ln x-,f'(x)=-.令f'(x)>0,得0<x<2e,令f'(x)<0,得x>2e,∴函数f(x)在(0,2e)上单调递增,在(2e,+∞)上单调递减,故函数f(x)在x=2e处取得极大值,极大值为f(2e)=2ln2e-2=2ln 2,故选D.8.A[解析]由题意可得|f(x1)-f(x2)|max=f(x)max-f(x)min≤a-2(x∈[0,1]),且a≥2.由于f'(x)=a x ln a+2x-ln a=(a x-1)ln a+2x,所以当x≥0时,f'(x)≥0,所以函数f(x)在[0,1]上单调递增,则f(x)max=f(1)=a+1-ln a,f(x)min=f(0)=1,所以f(x)max-f(x)min=a-ln a,故a-2≥a-ln a,可得ln a≥2,即a≥e2,所以a的取值范围为[e2,+∞).故选A.。

专题 导 数一、选择题1．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在(0,2)单调递增B ．()f x 在(0,2)单调递减C ．()y f x =的图像关于直线1x =对称D ．()y f x =的图像关于点(1,0)对称2．函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是Ax BxC xD x3．若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是A ．[1,1]-B ．1[1,]3-C ．11[,]33-D ．1[1,]3--4．已知a 为函数3()12f x x x =-的极小值点，则a = A ．-4 B ．-2 C ．4 D ．25．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)=+-+f x x a x ax ．若()f x 为奇函数，则曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为A ．2=-y xB ．y x =-C ．2=y xD ．=y x 6．若函数e ()x f x (e=2．71828L ，是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是A ．()2xf x -= B ．2()f x x = C ．()3xf x -= D ．()cos f x x =7．若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是A ．sin y x =B ．ln y x =C ．e x y =D ．3y x =8．设直线1l ，2l 分别是函数ln ,01()ln ,1x x f x x x -<<⎧=⎨>⎩，图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是A ．(0,1)B ．(0,2)C ． (0,+∞)D ．(1,+ ∞)9．已知函数()2x e f x t lnx x x x =-++⎛⎫ ⎪⎝⎭恰有一个极值点为1，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,33e ⎛⎤⎧⎫-∞⋃⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭ B ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．1,23e ⎛⎤⎧⎫-∞⋃⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭ 10．已知函数ln ,1()11,12x x f x x x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若()()f m f n =，则n m -的取值范围是（ ）A ．[],3eB ．[]42ln 2,3-C ．3242ln 2,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦－D ．[]22ln 2,3- 11．设函数()xf x x e =⋅，则（ ）A ．()f x 有极大值1eB ．()f x 有极小值1e -C ．()f x 有极大值eD ．()f x 有极小值e -12．已知函数321()13f x ax ax x =+++在R 上为增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[)0,+∞B ．(0,1)C ．[]0,1D ．[)0,1二、填空题13．已知函数()(2+1),()x f x x e f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为____.14．已知函数()2x f x =，2()g x x ax =+(其中a ∈R )．对于不相等的实数12,x x ，设m ＝1212()()f x f x x x --，n ＝1212()()g x g x x x --．现有如下命题： ①对于任意不相等的实数12,x x ，都有0m >；②对于任意的a 及任意不相等的实数12,x x ，都有0n >；③对于任意的a ，存在不相等的实数12,x x ，使得m n =；④对于任意的a ，存在不相等的实数12,x x ，使得m n =-．其中真命题有___________(写出所有真命题的序号)．15．(2018全国卷Ⅱ)曲线2ln =y x 在点(1,0)处的切线方程为__________．16．(2018天津)已知函数()ln x f x e x =，()f x '为()f x 的导函数，则(1)f '的值为__． 17．曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为____________． 18．已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 ．三、解答题19．（2018全国卷Ⅰ）已知函数()ln 1=--x f x ae x ．(1)设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间；(2)证明：当1ea ≥时，()0≥f x ．20．（2018浙江）已知函数()ln f x x =．(1)若()f x 在1x x =，2x (12x x ≠)处导数相等，证明：12()()88ln 2f x f x +>-；(2)若34ln 2a -≤，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点．21．（2018全国卷Ⅱ）已知函数321()(1)3=-++f x x a x x ． (1)若3=a ，求()f x 的单调区间；(2)证明：()f x 只有一个零点．22．（2018北京）设函数2()[(31)32]e xf x ax a x a =-+++．(1)若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线斜率为0，求a ；(2)若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围．23．（2018全国卷Ⅲ）已知函数21()e xax x f x +-=． (1)求曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程；(2)证明：当1a ≥时，()e 0f x +≥．24．（2018江苏）记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．(1)证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”；(2)若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值； (3)已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x =．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．25．（2018天津）设函数123()=()()()f x x t x t x t ---，其中123,,t t t ∈R ，且123,,t t t 是公差为d 的等差数列．(1)若20,1,t d == 求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)若3d =，求()f x 的极值；(3)若曲线()y f x =与直线2()y x t =---d 的取值范围．26．已知函数()(x f x x e -=1()2x ≥． （Ⅰ）求()f x 的导函数；（Ⅱ）求()f x 在区间1[,)2+∞上的取值范围．27．已知函数32()1f x x ax bx =+++(0,)a b >∈R 有极值，且导函数()f x ' 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：23b a >；28．已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R ． (Ⅰ)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(Ⅱ)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．29．已知函数()e cos x f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．30．已知函数221()ln ()x f x a x a R x -=-∈（1）若0a >时，讨论()f x 的单调性；（2）设()()2g x f x x =-，若()g x 有两个零点，求a 的取值范围31．设函数()1ln f x x t x x=--，其中()0,1,x t ∈为正实数. (1)若不等式()0f x <恒成立，求实数t 的取值范围；(2)当)1(0x ∈，时，证明211ln x x x e x x+--<.32．已知()()x f x x m e =-． （1）当2m =时，求函数()f x 在点(0，(0))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间(1,0)-上有极小值点，且总存在实数m ，使函数()f x 的极小值与211[()]2m m a e m am e +--互为相反数，求实数a 的取值范围．33．已知函数()()22ln f x x x ax a R =+-∈有两个极值点1x ，2x ，其中12x x <. （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当a≥()()12f x f x -的最小值.。

2020年新课标高考数学23道题必考考点各个击破（按题号与考点编排）主题06 导数（文）【主题考法】本主题考试题型为选择填空题，与解析几何、函数、立体几何、概率等数学知识结合主要考查常见函数的导数、导数的运算法则，考查利用导数函数研究函数的切线，利用导数研究函数单调性、极值及最值进而研究函数的图象与性质，再利用函数图象与性质处理函数零点、不等式等综合问题，常为压轴题，难度较大，分值为5至10分.【主题回扣】1．导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．2．利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤①求函数f(x)的定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)＞0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．(2)由函数的单调性求参数的取值范围：①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)＞0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．3．利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤①确定函数的定义域；②解方程f′(x)＝0；③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化：若左正右负，则x0为极大值点；若左负右正，则x0为极小值点；若不变号，则x0不是极值点．(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤①求函数y＝f(x)在[a，b]内的极值；②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【易错提醒】1．已知可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(≤0)对∀x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立；已知可导函数f(x)的单调递增(减)区间为(a，b)，则f′(x)＞0(＜0)的解集为(a，b)．学科-网2．f′(x)＝0的解不一定是函数f(x)的极值点．一定要检验在x＝x0的两侧f′(x)的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．3.函数在某点的切线与过某点的切线的区别.【主题考向】考向一导数的运算和几何意义【解决法宝】利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解. 求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.例1直线与曲线相切于点，则的值为（）A. B. C. D.【分析】由题知M（1,2）在切线上，将其代入切线方程即可求出k，求出曲线在x=1处的导数即为切线的斜率，即可求出b.考向二 利用导数研究函数的性质【解决法宝】利用导数研究函数性质的一般步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导函数)(x f '；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式)(x f '>0或)(x f '<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式)(x f '≥0或)(x f '≤0在单调区间上恒成立问题来求解.(4)①若求极值，则先求方程)(x f '＝0的根，再检查)(x f '在方程根的左右函数值的符号. ②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程)(x f '＝0根的大小或存在情况来求解. (5)求函数)(x f 在闭区间],[b a 的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值)(a f ，)(b f 与)(x f 的各极值进行比较得到函数的最值.例2 函数()2ln f x x x mx =-有两个极值点，则实数m 的取值范围是（ ）A. 10,2⎛⎫⎪⎝⎭B. (),0-∞C. ()0,1D. ()0,+∞【分析】由函数()2ln f x x x mx =-有两个极值点知，)(x f '恰好有两个零点，转化函数y=lnx 与y=2mx ﹣1的图象有两个交点，数形结合即可求出实数m 的取值范围.考向三 导数的综合应用【解决法宝】研究方程及不等式问题，都要运用函数性质，而导数是研究函数性质的一种重要工具．基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数，必要时画出函数的草图辅助思考． 例3已知函数，若在恒成立，则实数的取值范围为（ ） A.B.C.D.【分析】先考虑当1=x 时，当0)1(≥f 时，a 满足的条件，当10<<x 时，参变分离为1ln 22-≥x x x a ，利用导数求1ln 22-=x x x y 的最大值，即可求出a 的取值范围.【解析】当时，恒成立，；当时， 即：，令，则，令，则：，则函数在区间上单调递减，，据此可得函数，故函数在区间上单调递增，的最大值为：， 综上可得，实数的取值范围为.，故选C .【主题集训】 1. 已知函数，则其单调增区间是A. （0，1]B. [0，1]C. （0，+∞）D. （1，+∞） 【答案】D 【解析】，定义域为，令，解得，故函数单调增区间是，故选2.已知可导函数()f x 的导函数为()f x '， ()02018f =，若对任意的x R ∈，都有()()f x f x >'，则不等式()2018x f x e <的解集为（ ）A. ()0,+∞B. 21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.21,e ⎛⎫-∞⎪⎝⎭D. (),0-∞ 【答案】A【解析】根据题意构建函数()()()()'(,'0xxf x f x f xg x g x e e -==<），故函数在R 上递减，且g(0)=2018,所以()2018x f x e <等价于()()()0xf xg x g e=<，所以0x >，故选A.3.已知：，若方程有唯一的实数解，则（ ）A.B.C.D. 1【答案】B4.已知定义在上的奇函数可导，设其导函数为，当时，恒有，令，则满足的实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】因为，所以当时，，所以在单调递减，又为奇函数，所以为偶函数，因此由得，选D.5.定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（ ）A. B.C.D.【答案】C 【解析】令，则其导数，又由，且有，所以，即函数为减函数，又由，则有，即，化简可得，故选C.6.设曲线()e x f x x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在曲线()32cos g x ax x =+上某点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,2-B ．()3,+∞C ．21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D7.若函数有两个极值点，则实数的取值范围是( ) A.B.C.D.【答案】A 【解析】有两个正根，即有两个正根，令，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，，当时，，所以,故选：A ．8.已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=，且当)0,(-∞∈x 时，0)(')(<+x xf x f 成立，若)2()2(1.01.0f a ⋅=，)2(ln )2(ln f b ⋅=，)81log )81(log 22f c ⋅=，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a >>B ．a b c >> C. b a c >> D ．b c a >> 【答案】B【解析】由)()(x f x f -=知函数()x f 为偶函数，设()()x xf x F =，则()x F 为奇函数，当()0,∞-∈x 时，()()()0<'+='x f x x f x F ，所以()F x 在()0,∞-上为递减函数，所以()F x 在R 上是递减函数．因为0.121log 30ln 2128=-<<<<，所以0.121(log )(ln 2)(2)8F F F >>，即a b c >>，故选B ． 9.已知函数()ln 2x axf x x-=，若有且仅有一个整数k ，使得()1f k >，则实数a 的取值范围是( )A. (]1,3B. 1111ln2,ln34262⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C.11ln21,ln3123⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D. 11,1e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦【答案】B【解析】函数()ln 2x axf x x-=，若有且仅有一个整数k ，使得()1f k >，不等式程()ln 21x a x >+只有一个整数解，在同一坐标系中画出图像，可知这个整数解就是2，故得到()()ln2221,ln3321a a >+≤+，解得不等式组解集为1111ln2,ln34262⎡⎫--⎪⎢⎣⎭,故选B.10.已知不等式在上恒成立，且函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D.【答案】D 【解析】不等式在上恒成立，令,，由图可知，或，即；又在上单调递增，故在上恒成立，，综上，，故选D.11.设函数，若是函数是极大值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，若因为是函数是极大值点，所以即，所以若时，因为，所以当时，，当时，所以是函数是极大值点，符合题意；当时，若是函数是极大值点，则需，即，综上，故选A.12.若关于的方程存在三个不等实根，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】原方程可化为，令，则．设，则得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，故当时，函数有极大值，也为最大值，且．可得函数的图象如下：∵关于的方程存在三个不等实根，∴方程有两个根，且一正一负，且正根在区间内．令，则有，解得．∴实数的取值范围是．选C ．13. 已知函数()()232x f x e x a x =+++在区间()1,0-有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A. 11,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B.1,3e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 3,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D. 11,3e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D14.已知函数，则下列关于的表述正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. ，的最小值为C.有个零点 D.有无数个极值点【答案】D【解析】A 因为函数，故函数不是偶函数，图像也不关于y 轴对称；A 不正确； B. 假设，使得的最小值为，即有解，在同一坐标系中画出图像，得到的最大值为2，最小值为2，且不是在同一个x 处取得的，故得到两个图像无交点，故B 是错误的; C,其中一个零点为0，另外的零点就是两个图像的交点，两者的图像只有一个交点，故选项不正确； D ，化一得到，，此时满足的x 值有无数个；故选D.15. 函数()2ln 2f x x x x ax =+-+恰有一个零点，则实数a 的值为（ ） A. 1- B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D【解析】∵函数()2ln 2f x x x x ax =+-+恰有一个零点∴方程2ln 20x x x ax +-+=在()0,+∞上有且只有一个根，即2ln a x x x=++在()0,+∞上有且只有一个根，令()2ln h x x x x=++，则()()()2222211221x x x x h x x x x x +-+-='=+-=，当01x <<时，()0h x '<，则()h x 在()0,1上单调递减；当1x >时， ()0h x '>，则()h x 在()1,+∞上单调递增，∴()()min 13h x h ==由题意可知，若使函数()2ln 2f x x x x ax =+-+恰有一个零点，则()min 3a h x ==，故选D. 16. 已知函数为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为____. 【答案】2 【解析】∵当时，，∴当时，，∵函数为奇函数，∴，则∴ ∴曲线在点处的切线的斜率为17. 已知l 为曲线在A （1，2）处的切线，若l 与二次曲线也相切，则______．【答案】4【解析】的导数为曲线在处的切线斜率为则曲线在处的切线方程为，即由于切线与曲线相切可联立得到：又，两线相切有一个切点，，解得. 18.已知函数（为自然对数的底数），若，则实数的取值范围是__________． 【答案】【解析】 由题意得，因为，所以，所以函数单调递减， 由因为为奇函数，，所以，即，解得.19.已知函数()3221f x x ax a x =+-+在[]1,1-上单调递减，则a 的取值范围是__________． 【答案】(][),33,-∞-⋃+∞20.曲线1x y e x -=+的一条切线经过坐标原点，则该切线方程为____________. 【答案】2y x =【解析】设切点为()0100,x x e x -+，则1'1x y e -=+，即011x k e -=+，故切线方程为()()0011001x x y e x e x x ----=+-，又切线过原点， ()()001100010x x e x e x --∴--=+-，解得01x =，将01x =代入()()0011001x x y e x e x x ----=+-，可得切线方程为2y x =，故答案为2y x =.21.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是__________. 【答案】【解析】函数存在唯一的整数，使得，设与,即存在唯一的整数，使得在直线下方,,当时,当时,在上单调递减,在上单调递增,所以当时, 取到最小值,且g(0)=1;直线恒过点(1,0),斜率为,由图知当时不合题意,故,若要存在唯一的整数，使得在直线下方,则,即,代入得,解得,故填.22.已知函数()()2ln ,mf x x xg x e x=+-=，其中e 为自然对数的底数，若函数()f x 与)(x g 的图像恰有一个公共点，则实数的取值范围是______． 【答案】0m ≥或21e m e+=-【解析】因为()110f x x=+>'，所以函数在()0,+∞上为增函数且1110f e e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，所以当0m ≥时，与()m g x x =有一个公共点，当0m <时， 令()()22,f x g x x xlnx x m e=∴+-=有一解即可，设22(=h x x xlnx x e +-），令2(=2x +1=0h x lnx e -'+）得1x e =，因为当10x e <<时， ()0h x '<，当1x e <时， ()0h x '>，所以当1x e =时， (h x ）有唯一极小值21e e+-，即()h x 有最小值21e e +-，故当21e m e +=-时有一公共点，故填0m ≥或21e m e +=-.。

§3.1导数的概念及运算最新考纲考情考向分析1.了解导数概念的实际背景．2.通过函数图象直观理解导数的几何意义．3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数．4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度.1．导数与导函数的概念(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或x xy='｜，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区(a，b)间内的导函数．记作f′(x)或y′.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝ln x f ′(x )＝1xf (x )＝log a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．知识拓展1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )．3．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × ) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( × )(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (4)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( × ) 题组二 教材改编2．[P85A 组T5]若f (x )＝x ·e x ，则f ′(1)＝ . 答案 2e解析 ∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e.3．[P85A 组T7]曲线y ＝sin xx 在点M (π，0)处的切线方程为 ．答案 x ＋πy －π＝0解析 ∵y ′＝x cos x －sin x x 2，∴y ′|x ＝π＝－ππ2＝－1π， ∴切线方程为y ＝－1π(x －π)，即x ＋πy －π＝0.题组三 易错自纠4．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )答案 D解析 由y ＝f ′(x )的图象知，y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.5．有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( )A.194B.174C.154D.134 答案 D6．(2018·青岛调研)已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 018)＋2 018ln x ，则f ′(2 018)等于( )A ．2 018B ．－2 019C ．2 019D ．－2 018答案 B解析 由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 018)＋2 018x，所以f ′(2 018)＝2 018＋2f ′(2 018)＋2 0182 018，即f ′(2 018)＝－(2 018＋1)＝－2 019.7．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝ . 答案 1解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1， 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)， 又点(2,7)在切线上，可得a ＝1.题型一 导数的计算1．f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2 D ．e 答案 B解析 f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x ＝2 019＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.2．(2018·上海质检)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0 答案 B解析 f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2.3．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝ . 答案 －4解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2. ∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4. 思维升华 导数计算的技巧求导之前，应对函数进行化简，然后求导，减少运算量．题型二 导数的几何意义命题点1 求切线方程典例 (1)曲线f (x )＝e xx －1在x ＝0处的切线方程为 ．答案 2x ＋y ＋1＝0解析 根据题意可知切点坐标为(0，－1)， f ′(x )＝(x －1)(e x )′－e x (x －1)′(x －1)2＝(x －2)e x(x －1)2，故切线的斜率k ＝f ′(0)＝(0－2)e 0(0－1)2＝－2，则直线的方程为y －(－1)＝－2(x －0)， 即2x ＋y ＋1＝0.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为 ． 答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ， ∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 引申探究本例(2)中，若曲线y ＝x ln x 上点P 的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是 ． 答案 (e ，e)解析 y ′＝1＋ln x ，令y ′＝2，即1＋ln x ＝2， ∴x ＝e ，∴点P 的坐标为(e ，e)． 命题点2 求参数的值典例 (1)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b ＝ . 答案 1解析 由题意知，y ＝x 3＋ax ＋b 的导数y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得k ＝2，a ＝－1，b ＝3，∴2a ＋b ＝1.(2)(2018届东莞外国语学校月考)曲线y ＝4x －x 2上两点A (4,0)，B (2,4)，若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ，则点P 的坐标是( ) A ．(3,3) B ．(1,3) C ．(6，－12) D ．(2,4)答案 A解析 设点P (x 0，y 0)，∵A (4,0)，B (2,4)， ∴k AB ＝4－02－4＝－2.∵在点P 处的切线l 平行于弦AB ，∴k l ＝－2. ∴根据导数的几何意义知，曲线在点P 的导数0x x y ='｜＝ ＝4－2x 0＝－2，即x 0＝3，∵点P (x 0，y 0)在曲线y ＝4x －x 2上， ∴y 0＝4x 0－x 20＝3，∴P (3,3)． 命题点3 导数与函数图象典例 (1)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )答案 B解析 由y ＝f ′(x )的图象是先上升后下降可知，函数y ＝f (x )图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.(2)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝ .(42)|x x x =－答案 0解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值k ＝f ′(x 0)．(2)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)求解即可．(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况． 跟踪训练 (1)(2017·山西孝义模拟)已知f (x )＝x 2，则曲线y ＝f (x )过点P (－1,0)的切线方程是 ．答案 y ＝0或4x ＋y ＋4＝0 解析 设切点坐标为(x 0，x 20)，∵f ′(x )＝2x ，∴切线方程为y －0＝2x 0(x ＋1)，∴x 20＝2x 0(x 0＋1)，解得x 0＝0或x 0＝－2， ∴所求切线方程为y ＝0或y ＝－4(x ＋1)， 即y ＝0或4x ＋y ＋4＝0.(2)设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a ＝ . 答案 －1解析 ∵y ′＝－1－cos xsin 2x ，∴π2x y ='｜＝－1. 由条件知1a＝－1，∴a ＝－1.求曲线的切线方程典例 若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值． 错解展示：现场纠错解 易知点O (0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上． (1)当O (0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0， 依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.(2)当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝0x x y ='｜＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意知Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.纠错心得 求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况．1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)答案C解析f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)·(2x－2a)＝(x－a)·(x－a＋2x＋4a)＝3(x2－a2)．2．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是()答案C解析原函数的单调性是当x<0时，f(x)单调递增；当x>0时，f(x)的单调性变化依次为增、减、增，故当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)的符号变化依次为＋，－，＋.故选C. 3．(2017·西安质检)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为()A．(1,3) B．(－1,3)C．(1,3)或(－1,3) D．(1，－3)答案C解析f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.4．若直线y ＝x 是曲线y ＝x 3－3x 2＋px 的切线，则实数p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.134 D ．1或134答案 D解析 ∵y ′＝3x 2－6x ＋p ，设切点为P (x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 20－6x 0＋p ＝1，x 30－3x 20＋px 0＝x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，p ＝1或⎩⎨⎧x 0＝32，p ＝134.5．(2018·广州调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1e D ．－1e答案 C解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则0x x y ='｜＝1x 0， 切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1， 解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.6．(2017·重庆诊断)已知函数f (x )＝2e x ＋1＋sin x ，其导函数为f ′(x )，则f (2 019)＋f (－2 019)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)的值为( ) A ．0 B ．2 C ．2 017 D ．－2 017 答案 B解析 ∵f (x )＝2e x ＋1＋sin x ，∴f ′(x )＝－2e x(e x ＋1)2＋cos x ，f (x )＋f (－x )＝2e x ＋1＋sin x ＋2e －x ＋1＋sin(－x )＝2，f ′(x )－f ′(－x )＝－2e x(e x ＋1)2＋cos x ＋2e －x(e －x ＋1)2－cos(－x )＝0， ∴f (2 019)＋f (－2 019)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)＝2.7．已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为 ．答案 3解析 f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )， 由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.8．(2016·全国Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e－x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是 ．答案 2x －y ＝0解析 设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1＋x ，因为f (x )为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝e x －1＋x ，f ′(x )＝e x －1＋1，故f ′(1)＝2，所以曲线在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .9．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为 ．答案 ⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π 解析 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. 10．(2018·成都质检)已知f ′(x )，g ′(x )分别是二次函数f (x )和三次函数g (x )的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示．(1)若f (1)＝1，则f (－1)＝ ；(2)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，则h (－1)，h (0)，h (1)的大小关系为 ．(用“<”连接)答案 (1)1 (2)h (0)<h (1)<h (－1)解析 (1)由图可得f ′(x )＝x ，g ′(x )＝x 2，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，g (x )＝dx 3＋ex 2＋mx ＋n (d ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝x ，g ′(x )＝3dx 2＋2ex ＋m ＝x 2，故a ＝12，b ＝0，d ＝13，e ＝m ＝0，所以f (x )＝12x 2＋c ，g (x )＝13x 3＋n ， 由f (1)＝1，得c ＝12， 则f (x )＝12x 2＋12，故f (－1)＝1. (2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2－13x 3＋c －n ， 则有h (－1)＝56＋c －n ，h (0)＝c －n ， h (1)＝16＋c －n ，故h (0)<h (1)<h (－1)． 11．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)·(x －2)，又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.12．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知令3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)， ∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)， 即x ＋4y ＋17＝0.13．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12C ．1D ．4 答案 A解析 由题意可知f ′(x )＝1212x -，g ′(x )＝a x， 由f ′⎝⎛⎭⎫14＝g ′⎝⎛⎭⎫14，得12×121()4-＝a 14， 可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意． 14．(2017·上饶模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为 ．答案 2 解析 由题意知y ＝x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，当点P 是曲线的切线中与直线y ＝x －2平行的直线的切点时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小，如图所示．故令y ′＝2x －1x＝1，解得x ＝1，故点P 的坐标为(1,1)．故点P 到直线y ＝x －2的最小值d min ＝|1－1－2|2＝ 2.15．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 ． 答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝x －a ＋1x. ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x－a ＝0有解， ∴a ＝x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)． 16．设抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限． (1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解 (1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，①y 1＝－x 21＋92x 1－4，② 将①代入②得x 21＋⎝⎛⎭⎫k －92x 1＋4＝0.∵P 为切点，∴Δ＝⎝⎛⎭⎫k －922－16＝0， 得k ＝172或k ＝12. 当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17； 当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1. ∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝12. (2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.③将③代入抛物线方程得x 2－132x ＋9＝0. 设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，即2x 2＝9，∴x 2＝92，y 2＝－4. ∴Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，－4.。

导数的概念及运算1．了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义，会求曲线的切线方程．3．能根据导数的定义，求一些简单函数的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．知识梳理1．导数的概念(1)平均变化率： 函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率Δy Δx ＝ f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 li m Δx →0 Δy Δx通常称为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即 f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (3)函数f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都是可导的，就说f (x )在开区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，称作f (x )的导函数，记作 y ′或f ′(x ) .2. 导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的 切线的斜率 .曲线在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是 y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) .3．导数的运算(1)基本初等函数的导数公式①C ′＝ 0 (C 为常数)；②(x n )′＝ nx n －1 (n ∈Q )；③(sin x )′＝ cos x ；④(cos x )′＝ －sin x ；⑤(a x )′＝ a x ln a (a >0且a ≠1)；⑥(e x )′＝ e x ；⑦(log a x )′＝ 1x ln a(a >0且a ≠1)； ⑧(ln x )′＝ 1x. (2)导数的运算法则①和差的导数[f (x )±g (x )]′＝ f ′(x )±g ′(x ) .②积的导数[f (x )·g (x )]′＝ f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) .③商的导数[f (x )g (x )]′＝ f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x ) (g (x )≠0)．热身练习1．若f (x )＝2x 2图象上一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx 等于(C)A ．3＋2ΔxB ．4＋ΔxC ．4＋2ΔxD ．3＋ΔxΔy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝2(1＋Δx )2－2＝2[2Δx ＋(Δx )2]，所以ΔyΔx ＝4＋2Δx .2．设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)2Δx 等于(C)A ．f ′(1)B ．2f ′(1)C.12f ′(1) D ．f ′(2)因为f (x )可导，所以lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)2Δx ＝12lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝12f ′(1)．3．下列求导运算中正确的是(B)A ．(x ＋1x )′＝1＋1x 2 B ．(lg x )′＝1x ln 10C ．(ln x )′＝xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x(x ＋1x )′＝1－1x 2，故A 错；(ln x )′＝1x ，故C 错；(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，D 错．4．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为 2x －y －2＝0 .因为y ′＝2x ，y ′| x ＝1＝2，所以切线方程为y －0＝2(x －1)，即y ＝2x －2.5．(1)(2016·天津卷)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为3 . (2)y ＝x x ＋1，则y ′x ＝2＝ 19 .(1)因为f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ，所以f ′(0)＝3e 0＝3.(2)因为y ′＝(xx ＋1)′＝x ′(x ＋1)－x (x ＋1)′(x ＋1)2＝1(x ＋1)2，所以y ′x ＝2＝1(2＋1)2＝19.导数的概念利用导数的定义求函数f (x )＝1x ＋2的导数．因为Δy ＝1x ＋Δx ＋2－1x ＋2＝－Δx (x ＋Δx ＋2)(x ＋2)， 所以Δy Δx ＝－1(x ＋Δx ＋2)(x ＋2)， 所以f ′(x )＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0[－1(x ＋Δx ＋2)(x ＋2)] ＝－1(x ＋2)(x ＋2)＝－1(x ＋2)2.利用定义求导数的基本步骤：①求函数的增量：Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )；②求平均变化率：Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx； ③取极限得导数：f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx .1．设函数f (x )在x 0处可导，则li m Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx 等于(B) A ．f ′(x 0) B ．－f ′(x 0)C ．f (x 0)D ．－f (x 0)li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝－li m Δx →0 f [x 0＋(－Δx )]－f (x 0)(－Δx )＝－f ′(x 0)．导数的运算求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x; (2)y ＝1＋sin x 1－cos x .(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝(1＋sin x )′(1－cos x )－(1＋sin x )(1－cos x )′(1－cos x )2＝cos x (1－cos x )－(1＋sin x )sin x (1－cos x )2 ＝cos x －sin x －1(1－cos x )2.利用导数公式和运算法则求导数，是求导数的基本方法(称为公式法)．用公式法求导数的关键是：认清函数式的结构特点，准确运用常用的导数公式．2．(1)(2018·天津卷)已知函数f (x )＝e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为 e .(2)设y ＝1＋cos x sin x ，则y ′π2＝ －1 .(1)因为f (x )＝e x ln x ，所以f ′(x )＝e xln x ＋e x x ，所以f ′(1)＝e. (2)因为y ′＝(1＋cos x )′sin x －(1＋cos x )(sin x )′sin 2x＝－sin 2x －(1＋cos x )cos x sin 2x ＝－1－cos x sin 2x， 所以y ′π2＝－1.求切线方程(1)(2017·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为____________________． (2)若曲线y ＝x ln x 存在斜率为2的切线，则该切线方程为________________．因为y ′＝2x －1x 2，所以y ′|x ＝1＝1， 即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k ＝1，所以切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.(2)因为y ′＝ln x ＋1，设切点为P (x 0，y 0)，则y ′x ＝x 0＝ln x 0＋1＝2，所以x 0＝e ，此时y 0＝x 0ln x 0＝eln e ＝e ，所以切点为(e ，e)．故所求切线方程为y －e ＝2(x －e)，即2x －y －e ＝0.(1)x －y ＋1＝0 (2)2x －y －e ＝0(1)求切线方程有如下三种类型：①已知切点(x 0，y 0)，求切线方程；②已知切线的斜率k ，求切线方程；③求过(x 1，y 1)的切线方程．其中①是基本类型，类型②和类型③都可转化为类型①进行处理．(2)三种类型的求解方法：类型①，利用y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)直接求出切线方程．类型②，设出切点(x 0，y 0)，再由k ＝f ′(x 0)，再由(x 0，y 0)既在切线上，又在曲线上求解； 类型③，先设出切点(x 0，y 0)，利用k ＝f ′(x 0)及已知点(x 1，y 1)在切线上求解．3．(2018·广州市模拟)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为(D)A ．ln 2B ．1C ．1－ln 2D ．1＋ln 2本题实质上是求曲线过点(0，－2)的切线问题，因为(0，－2)不是切点，可先设出切点，写出切线方程，再利用切线过(0，－2)得到所求切线方程．设切点为(x 0，x 0ln x 0)，因为y ′＝ln x ＋1，所以k ＝ln x 0＋1，所以切线方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)，因为切线过点(0，－2)，所以－2－x0ln x0＝－x0ln x0－x0，所以x0＝2，所以k＝ln 2＋1.1．函数y＝f(x)的导数实质上是“增量(改变量)之比的极限”，即f′(x)＝li mΔx→0ΔyΔx＝li mΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.2．关于函数的导数，要熟练掌握基本导数公式和求导的运算法则，一般要遵循先化简再求导的基本原则．3．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点M(x0，f(x0))处切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．若设点(x0，y0)是切线l与曲线C的切点，则有如下结论：①f′(x0)是切线l的斜率；②点(x0，y0)在切线l上；③点(x0，y0)在曲线C上．。

2020年高考数学（文科）二轮复习押题特训专题04 导数及其应用1．曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))(e 为自然对数的底数)处的切线方程为( ) A ．y ＝e x －2 B ．y ＝2x ＋e C ．y ＝e x ＋2 D ．y ＝2x －e 【答案】D【解析】本题考查导数的几何意义以及直线的方程．因为f (x )＝x ln x ，故f ′(x )＝ln x ＋1，故切线的斜率k ＝f ′(e)＝2，因为f (e)＝e ，故切线方程为y －e ＝2(x －e)，即y ＝2x －e ，故选D.2．已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是( ) A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2) B ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2) C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2) D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)【答案】C【解析】如图：f ′(3)、f (3)－f (2)⎝⎛⎭⎪⎫f3－f 23－2、f ′(2)分别表示直线n ，m ，l 的斜率，故0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故选C.3．曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积是( ) A ．75B.752C ．27D.272【答案】D4．已知函数f (x )＝e x －(x ＋1)2(e 为2.718 28…)，则f (x )的大致图象是( )【答案】C【解析】对f (x )＝e x －(x ＋1)2求导得f ′(x )＝e x －2x －2，显然x →＋∞时，导函数f ′(x )＞0，函数f (x )是增函数，排除A ，D ；x ＝－1时，f ′(－1)≠0，所以x ＝－1不是函数的极值点，排除B ，故选C.5．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( ) A.12B ．1C ．0D ．不存在【答案】A【解析】∵f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1. ∴f (x )在x ＝1处取得最小值，且f (1)＝12－ln1＝12.6．已知m 是实数，函数f (x )＝x 2(x －m )，若f ′(－1)＝－1，则函数f (x )的单调递增区间是 ( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43，(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪(0，＋∞) 【答案】C7．函数f (x )＝e x －3x －1(e 为自然对数的底数)的图象大致是( )【答案】D【解析】由题意，知f (0)＝0，且f ′(x )＝e x －3，当x ∈(－∞，ln3)时，f ′(x )<0，当x ∈(ln3，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，ln3)上单调递减，在(ln3，＋∞)上单调递增，结合图象知只有选项D 符合题意，故选D.8．已知曲线C 1：y 2＝tx (y >0，t >0)在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4t ，2处的切线与曲线C 2：y ＝e x ＋1＋1也相切，则t 的值为( )A ．4e 2B ．4eC.e 24D.e 4【答案】A9．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．1＜a ≤2 B ．a ≥4 C ．a ≤2D ．0＜a ≤3【答案】A【解析】易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －9x ，由f ′(x )＝x －9x ＜0，解得0＜x ＜3.因为函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，所以⎩⎨⎧a －1＞0a ＋1≤3，解得1＜a ≤2，选A.10．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )，F (x )＝f ′x e x，若F (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝－2x ＋c ，则函数f (x )的最小值是( )A ．2B ．1C ．0D ．－1【答案】C11．已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x x－1x ＞0，h x x ＜0，则函数h (x )的最大值为________．【答案】1－e【解析】先求出x ＞0时，f (x )＝e xx －1的最小值．当x ＞0时，f ′(x )＝e x x －1x 2，∴x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，函数单调递减，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数单调递增，∴x ＝1时，函数取得极小值即最小值，为e －1，∴由已知条件得h (x )的最大值为1－e.12．对正整数n ，设曲线y ＝(2－x )x n 在x ＝3处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n ＋2在前n 项和等于________．【答案】3n ＋1－32【解析】∵y ＝(2－x )x n ，∴y ′＝－x n ＋n (2－x )x n －1， ∴y ′|x ＝3＝－3n －n ·3n －1＝－3n －1(n ＋3)， ∴切线方程为y ＋3n ＝－3n －1(n ＋3)(x －3)，令x ＝0，得切线与y 轴交点的纵坐标为a n ＝(n ＋2)·3n ，所以a n n ＋2＝3n ，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n ＋2的前n 项和为31－3n 1－3＝3n ＋1－32.13．已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞【解析】由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立．又∵y ＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上单调递减，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x max ＝83，∴2a ≥83，即a ≥43.14．已知e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)． (1)设a ＝e ，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程； (2)判断函数f (x )的单调性．调递增．15．已知函数f (x )＝(2x －4)e x ＋a (x ＋2)2(x >0，a ∈R ，e 是自然对数的底数)． (1)若f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；(2)当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，证明：函数f (x )有最小值，并求函数f (x )的最小值的取值范围．【解析】(1)f ′(x )＝2e x ＋(2x －4)e x ＋2a (x ＋2)＝(2x －2)e x ＋2a (x ＋2)，依题意， 当x >0时，函数f ′(x )≥0恒成立，即a ≥－x －1e xx ＋2恒成立，记g (x )＝－x －1e x x ＋2，则g ′(x )＝－x e xx ＋2－x －1e x x ＋22＝－x 2＋x ＋1e xx ＋22<0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以g (x )<g (0)＝12，所以a ≥12. 故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.(2)因为[f ′(x )]′＝2x e x ＋2a >0，所以y ＝f ′(x )是(0，＋∞)上的增函数，又f ′(0)＝4a －2<0，f ′(1)＝6a >0，所以存在t ∈(0,1)使得f ′(t )＝0，又当x ∈(0，t )时，f ′(x )<0，当x ∈(t ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以当x ＝t 时，f (x )min ＝f (t )＝(2t －4)e t＋a (t ＋2)2.且有f ′(t )＝0⇒a ＝－t －1e tt ＋2，则f (x )min ＝f (t )＝(2t －4)e t －(t －1)(t ＋2)e t ＝e t (－t 2＋t －2)，t ∈(0,1)．记h (t )＝e t (－t 2＋t －2)，则h ′(t )＝e t (－t 2＋t －2)＋e t (－2t ＋1)＝e t (－t 2－t －1)<0， 所以h (1)<h (t )<h (0)，即f (x )的最小值的取值范围是(－2e ，－2)． 16．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ln x －x ＋1x ，其中a >0.(1)若f (x )在(0，＋∞)上存在极值点，求a 的取值范围；(2)设a ∈(1，e]，当x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)时，记f (x 2)－f (x 1)的最大值为M (a )．那么M (a )是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．。

【高考复习】2020年高考数学(文数)导数的简单应用小题练一、选择题1.已知函数f(x)的导函数f′(x)=ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )2.已知对任意实数x，都有f(－x)=－f(x)，g(－x)=g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时( )A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<03.已知a为函数f(x)=x3－12x的极小值点，则a=( )A．－4 B．－2 C．4 D．24.已知函数f(x)的导函数f′(x)满足下列条件：①f′(x)>0时，x<-1或x>2；②f′(x)<0时，-1<x<2；③f′(x)=0时，x=-1或x=2.则函数f(x)的大致图象是( )5.已知直线2x-y＋1=0与曲线y=ae x＋x相切(其中e为自然对数的底数)，则实数a的值是( )A.0.5 B．1 C．2 D．e6.已知函数f(x)=x3＋ax2＋bx＋a2在x=1处的极值为10，则数对(a，b)为( )A．(-3,3) B．(-11,4) C．(4，-11) D．(-3,3)或(4，-11)7.函数f(x)(x>0)的导函数为f′(x)，若xf′(x)＋f(x)=e x，且f(1)=e，则( )A．f(x)的最小值为e B．f(x)的最大值为eC．f(x)的最小值为1eD．f(x)的最大值为1e8.函数f(x)=x －ln x 的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)9.若函数y=f (x )ln x在(1，＋∞)上单调递减，则称f(x)为P 函数．下列函数中为P 函数的为( ) ①f(x)=1；②f(x)=x ；③f(x)=1x；④f(x)=x.A ．①②④B ．①③C ．①③④D ．②③10.求形如y=f(x)g(x)的函数的导数，我们常采用以下做法：先两边同取自然对数得ln y=g(x)lnf(x)，再两边同时求导得1y y′=g′(x)ln f(x)＋g(x)1f (x )f′(x)，于是得到y′=f(x)g(x)g′(x)ln f(x)＋g(x)1f (x )f′(x)，运用此方法求得函数y=x 1x的单调递增区间是( )A ．(e ，4)B ．(3，6)C ．(0，e)D ．(2，3)11.函数f(x)=a x＋x 2－xln a(a>0，a≠1)，若函数g(x)=|f(x)－t|－2有三个零点，则实数t=( )A ．3B ．2C ．1D ．012.已知f(x)=x 2＋ax ＋3ln x 在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(-∞，-26] B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，62 C ．[-26，＋∞) D ．[-5，＋∞)二、填空题13.已知a ∈R ，设函数f(x)=ax －ln x 的图象在点(1，f(1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．14.已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)=ln (－x)＋3x ，则曲线y=f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．15.已知函数f(x)=x 2-5x ＋2ln x ，则函数f(x)的单调递增区间是________．16.若函数f(x)=x ＋aln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是________．17.已知过点P(2，－2)的直线l 与曲线y=13x 3－x 相切，则直线l 的方程为________．18.已知函数f(x)=x 3－2x ＋e x －1ex ，其中e 是自然对数的底数．若f(a －1)＋f(2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．答案解析1.答案为：D ；解析：当x<0时，由导函数f′(x)=ax 2＋bx ＋c<0，知相应的函数f(x)在该区间内单调递减；当x>0时，由导函数f′(x)=ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的值是大于0的， 则在此区间内函数f(x)单调递增．只有选项D 符合题意．2.答案为：B ；解析：由题意知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数．当x>0时，f(x)，g(x)都单调递增， 则当x<0时，f(x)单调递增，g(x)单调递减，即f′(x)>0，g′(x)<0.3.答案为：D ；4.答案为：A ；根据条件知，函数f(x)在(-1,2)上是减函数．在(-∞，-1)，(2，＋∞)上是增函数，故选A.5.答案为：B ；由题意知y′=ae x＋1=2，则a>0，x=-ln a ，代入曲线方程得y=1- ln a ， 所以切线方程为y-(1-ln a)=2(x ＋ln a)，即y=2x ＋ln a ＋1=2x ＋1⇒a=1.6.答案为：C ；f′(x)=3x 2＋2ax ＋b ，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧＝0，＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10，消去b 可得a 2-a-12=0，解得a=-3或a=4，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f′(x)=3x 2-6x ＋3=3(x-1)2≥0，这时f(x)无极值，不合题意，舍去，故选C.7.答案为：A ；设g(x)=xf(x)-e x ，所以g′(x)=f(x)＋xf′(x)-e x =0，所以g(x)=xf(x)-e x为常数函数．因为g(1)=1×f(1)-e=0，所以g(x)=xf(x)-e x=g(1)=0，所以f(x)=e x x ，f′(x)=e x －x2， 当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)≥f(1)=e.8.答案为：C ；解析：函数的定义域为(0，＋∞)．f′(x)=1－1x，令f′(x)>0，得x>1.故选C.解析：x ∈(1，＋∞)时，ln x>0，x 增大时，1ln x ，1xln x都减小， ∴y=1ln x ，y=1xln x 在(1，＋∞)上都是减函数，∴f(x)=1和f(x)=1x 都是P 函数； x ln x ′=ln x －1(ln x )2，∴x ∈(1，e)时，x ln x ′<0，x ∈(e ，＋∞)时，x ln x′>0， 即y=xln x 在(1，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，∴f(x)=x 不是P 函数；x ln x ′=ln x －22x (ln x )2，∴x ∈(1，e 2)时，x ln x ′<0，x ∈(e 2，＋∞)时，x ln x ′>0， 即y=x ln x在(1，e 2)上单调递减，在(e 2，＋∞)上单调递增， ∴f(x)=x 不是P 函数．故选B.10.答案为：C ；解析：由题意知y′=x 1x ·－1x 2·ln x＋1x 2=x 1x ·1－ln xx 2(x>0)，令y′>0，得1－ln x>0，∴0<x<e ， ∴函数y=x 1x的单调递增区间为(0，e)．故答案是C.11.答案为：A ；解析：由题可得f′(x)=2x＋(a x －1)ln a ，设y=2x ＋(a x －1)ln a ，则y′=2＋a x ln 2a>0， 则知f′(x)在R 上单调递增，而由f′(0)=0，可知f(x)在(－∞，0)上单调递减， 在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)的最小值为f(0)=1，又g(x)=|f(x)－t|－2有三个零点，所以f(x)=t±2有三个根，而t ＋2>t －2， 故t －2=f(x)min =f(0)=1，解得t=3，故选A.12.答案为：C ；由题意得f′(x)=2x ＋a ＋3x =2x 2＋ax ＋3x≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔g(x)=2x 2＋ax ＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立 ⇔Δ=a 2-24≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a 4≤1，≥0⇔-26≤a≤26或⎩⎪⎨⎪⎧a≥－4，a≥－5⇔a≥-26，故选C.解析：由题意可知f′(x)=a－1x，所以f′(1)=a－1，因为f(1)=a ，所以切点坐标为(1，a)，所以切线l 的方程为y －a=(a －1)(x －1)，即y=(a －1)x ＋1.令x=0，得y=1， 即直线l 在y 轴上的截距为1.14.答案为：y=－2x －1；解析：令x>0，则－x<0，f(－x)=ln x －3x ，又f(－x)=f(x)，∴f(x)=ln x －3x(x>0)，则f′(x)=1x－3(x>0)，∴f′(1)=－2，∴在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3=－2(x －1)，即y=－2x －1.15.答案为：⎝⎛⎭⎫0，12和(2，＋∞)；解析：函数f(x)=x 2-5x ＋2ln x 的定义域是(0，＋∞)，令f′(x)=2x-5＋2x =2x 2－5x ＋2x =－－x >0，解得0<x<12或x>2，故函数f(x)的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，12和(2，＋∞)．16.答案为：(-∞，0)；解析：由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)=1＋ax，要使函数f(x)=x ＋aln x 不是单调函数，则需方程1＋ax=0在(0，＋∞)上有解，即x=-a ，∴a<0.17.答案为：y=8x －18或y=－x ；解析：设切点为(m ，n)，因为y′=x 2－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝n ＋2m －2，n ＝13m 3－m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝0，所以切线的斜率为8或－1，所以切线方程为y=8x －18或y=－x.18.答案为：(－1，0.5)；解析：易知函数f(x)的定义域关于原点对称．∵f(x)=x 3－2x ＋e x －1e x ，∴f(－x)=(－x)3－2(－x)＋e －x －1e －x =－x 3＋2x ＋1ex －e x=－f(x)，∴f(x)为奇函数，又f′(x)=3x 2－2＋e x ＋1ex ≥3x 2－2＋2=3x 2≥0(当且仅当x=0时，取“=”)，从而f(x)在R 上单调递增，所以f(a －1)＋f(2a 2)≤0⇔f(a －1)≤f(－2a 2)⇔－2a 2≥a－1，解得－1≤a≤0.5.。

考点规范练16　导数的综合应用一、基础巩固1.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx+c 在x=-与x=1处都取得极值.23(1)求a ,b 的值及函数f (x )的单调区间;(2)若对于x ∈[-1,2],不等式f (x )<c 2恒成立,求c 的取值范围.∵f (x )=x 3+ax 2+bx+c ,∴f'(x )=3x 2+2ax+b.又f (x )在x=-与x=1处都取得极值,23∴f'a+b=0,f'(1)=3+2a+b=0,(-23)=129‒43两式联立解得a=-,b=-2,12∴f (x )=x 3-x 2-2x+c ,12f'(x )=3x 2-x-2=(3x+2)(x-1),令f'(x )=0,得x 1=-,x 2=1,23当x 变化时,f'(x ),f (x )的变化情况如下表:x (-∞,-23)-23(-23,1)1(1,+∞)f'(x )+0-0+f (x )↗极大值↘极小值↗∴函数f (x )的递增区间为与(1,+∞);递减区间为.(-∞,-23)(-23,1)(2)f (x )=x 3-x 2-2x+c ,x ∈[-1,2],12当x=-时,f +c 为极大值,而f (2)=2+c ,则f (2)=2+c 为最大值,23(-23)=2227要使f (x )<c 2(x ∈[-1,2])恒成立,只需c 2>f (2)=2+c ,解得c<-1或c>2.∴c 的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).2.设函数f (x )=ax 2-a-ln x ,g (x )=,其中a ∈R ,e =2.718…为自然对数的底数.1x ‒ee x (1)讨论f (x )的单调性;(2)证明:当x>1时,g (x )>0;(3)确定a 的所有可能取值,使得f (x )>g (x )在区间(1,+∞)内恒成立.(x )=2ax-(x>0).1x =2ax 2-1x 当a ≤0时,f'(x )<0,f (x )在(0,+∞)内单调递减.当a>0时,由f'(x )=0有x=.12a 当x ∈时,f'(x )<0,f (x )单调递减;(0,12a )当x ∈时,f'(x )>0,f (x )单调递增.(12a ,+∞)s (x )=e x-1-x ,则s'(x )=e x-1-1.当x>1时,s'(x )>0,所以e x-1>x ,从而g (x )=>0.1x ‒1e x -1(2),当x>1时,g (x )>0.当a ≤0,x>1时,f (x )=a (x 2-1)-ln x<0.故当f (x )>g (x )在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a>0.当0<a<时,>1.1212a 由(1)有f <f (1)=0,而g >0,(12a )(12a )所以此时f (x )>g (x )在区间(1,+∞)内不恒成立.当a ≥时,令h (x )=f (x )-g (x )(x ≥1).12当x>1时,h'(x )=2ax--e 1-x >x-1x +1x 21x +1x 2‒1x =>0.x 3-2x +1x 2>x 2-2x +1x 2因此,h (x )在区间(1,+∞)内单调递增.又因为h (1)=0,所以当x>1时,h (x )=f (x )-g (x )>0,即f (x )>g (x )恒成立.综上,a ∈.[12,+∞)3.已知函数f (x )=(x-k )e x +k ,k ∈Z .(1)当k=0时,求函数f (x )的单调区间;(2)若当x ∈(0,+∞)时,不等式f (x )+5>0恒成立,求k 的最大值.当k=0时,f (x )=x ·e x ,∴f'(x )=e x +x e x =e x (x+1),∴当x ∈(-∞,-1)时,f'(x )<0;当x ∈(-1,+∞)时,f'(x )>0;∴f (x )在(-∞,-1)内是减函数,在(-1,+∞)内是增函数.(2)不等式f (x )+5>0恒成立⇔(x-k )e x +k+5>0在x ∈(0,+∞)时恒成立,令F (x )=(x-k )e x +k+5,F'(x )=e x (x-k+1)(x ∈R ),当x ∈(-∞,k-1)时,f'(x )<0;当x ∈(k-1,+∞)时,f'(x )>0;∴f (x )在(-∞,k-1)内是减函数,在(k-1,+∞)内是增函数.①若k-1≤0,即k ≤1,当x ∈(0,+∞)时,F (x )>F (0)≥0.而F (0)=5>0恒成立,∴k ≤1符合题意.②若k-1>0,即k>1,当x ∈(0,+∞)时,只需F (x )min =F (k-1)=-e k-1+5+k>0即可.令h (k )=-e k-1+5+k ,h'(k )=1-e k-1<0恒成立,即h (k )=-e k-1+5+k 单调递减.∵h (2)=-e +7>0,h (3)=-e 2+8>0,h (4)=-e 3+9<0,∴1<k ≤3,综上,k 的最大值为3.4.已知函数f (x )=ln x+ax 2+(2a+1)x.(1)讨论f (x )的单调性;(2)当a<0时,证明f (x )≤--2.34a(x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=+2ax+2a+1=.1x (x +1)(2ax +1)x 若a ≥0,则当x ∈(0,+∞)时,f'(x )>0,故f (x )在(0,+∞)单调递增.若a<0,则当x ∈时,f'(x )>0;(0,-12a )当x ∈时,f'(x )<0.(-12a ,+∞)故f (x )在区间内单调递增,在区间内单调递减.(0,-12a )(-12a ,+∞)(1)知,当a<0时,f (x )在x=-取得最大值,最大值为f =ln -1-.12a (-12a )(-12a )14a所以f (x )≤--2等价于ln -1-≤--2,34a (-12a )14a 34a 即ln +1≤0.(-12a )+12a 设g (x )=ln x-x+1,则g'(x )=-1.1x 当x ∈(0,1)时,g'(x )>0;当x ∈(1,+∞)时,g'(x )<0.所以g (x )在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减.故当x=1时,g (x )取得最大值,最大值为g (1)=0.所以当x>0时,g (x )≤0.从而当a<0时,ln +1≤0,即f (x )≤--2.(-12a )+12a 34a 二、能力提升5.设函数f (x )=(1-x 2)e x .(1)讨论f (x )的单调性;(2)当x ≥0时,f (x )≤ax+1,求a 的取值范围.f'(x )=(1-2x-x 2)e x .令f'(x )=0得x=-1-,x=-1+.22当x ∈(-∞,-1-)时,f'(x )<0;2当x ∈(-1-,-1+)时,f'(x )>0;22当x ∈(-1+,+∞)时,f'(x )<0.2所以f (x )在(-∞,-1-),(-1+,+∞)内单调递减,在(-1-,-1+)内单调递增.2222(2)f (x )=(1+x )(1-x )e x .当a ≥1时,设函数h (x )=(1-x )e x ,h'(x )=-x e x <0(x>0),因此h (x )在[0,+∞)内单调递减,而h (0)=1,故h (x )≤1,所以f (x )=(x+1)h (x )≤x+1≤ax+1.当0<a<1时,设函数g (x )=e x -x-1,g'(x )=e x -1>0(x>0),所以g (x )在[0,+∞)内单调递增,而g (0)=0,故e x ≥x+1.当0<x<1时,f (x )>(1-x )(1+x )2,(1-x )(1+x )2-ax-1=x (1-a-x-x 2),取x 0=,5-4a -12则x 0∈(0,1),(1-x 0)(1+x 0)2-ax 0-1=0,故f (x 0)>ax 0+1.当a ≤0时,取x 0=,5-12则x 0∈(0,1),f (x 0)>(1-x 0)(1+x 0)2=1≥ax 0+1.综上,a 的取值范围是[1,+∞).6.(2018全国Ⅱ,文21)已知函数f (x )=x 3-a (x 2+x+1).13(1)若a=3,求f (x )的单调区间;(2)证明:f (x )只有一个零点.a=3时,f (x )=x 3-3x 2-3x-3,f'(x )=x 2-6x-3.13令f'(x )=0,解得x=3-2或x=3+2.33当x ∈(-∞,3-2)∪(3+2,+∞)时,f'(x )>0;33当x ∈(3-2,3+2)时,f'(x )<0.33故f (x )在(-∞,3-2),(3+2,+∞)单调递增,在(3-2,3+2)单调递减.3333x 2+x+1>0,所以f (x )=0等价于-3a=0.x 3x 2+x +1设g (x )=-3a ,则g'(x )=≥0,仅当x=0时g'(x )=0,所以g (x )在(-∞,+∞)单调递增,x 3x 2+x +1x 2(x 2+2x +3)(x 2+x +1)2故g (x )至多有一个零点,从而f (x )至多有一个零点.又f (3a-1)=-6a 2+2a-=-6<0,f (3a+1)=>0,故f (x )有一个零点.13(a -16)2‒1613综上,f (x )只有一个零点.7.(2018广东茂名二模)已知函数f (x )=ln x+(x-1)2.12(1)判断f (x )的零点个数;(2)若函数g (x )=ax-a ,当x>1时,g (x )的图象总在f (x )的图象的下方,求a 的取值范围.f (x )=ln x+(x-1)2的定义域为(0,+∞),12f'(x )=+x-1,∵+x ≥2,∴f'(x )≥1>0,1x 1x ∴f (x )在(0,+∞)上为增函数,又f (1)=0,∴f (x )在(0,+∞)上只有一个零点.(2)由题意,当x>1时,(x-1)2+ln x-ax+a>0恒成立.12令h (x )=(x-1)2+ln x-ax+a ,12则h'(x )=x+-1-a.1x 当a ≤1时,∵h'(x )=x+-1-a>1-a ≥0,1x ∴h (x )在(1,+∞)上为增函数.又h (1)=0,∴h (x )>0恒成立.当a>1时,h'(x )=,x 2-(1+a )x +1x令φ(x )=x 2-(1+a )x+1,则Δ=(1+a )2-4=(a+3)(a-1)>0.令φ(x )=0的两根分别为x 1,x 2且x 1<x 2,∵x 1+x 2=1+a>0,x 1·x 2=1>0,∴0<x 1<1<x 2,当x ∈(1,x 2)时,φ(x )<0,∴h'(x )<0,∴h (x )在(1,x 2)上为减函数,又h (1)=0,∴当x ∈(1,x 2)时,h (x )<0.故a 的取值范围为(-∞,1].三、高考预测8.(2018河北石家庄一模)已知函数f (x )=x (ln x-ax )(a ∈R ).(1)若a=1,求函数f (x )的图象在点(1,f (1))处的切线方程;(2)若函数f (x )有两个极值点x 1,x 2,且x 1<x 2,求证:f (x 2)>-.12,f (x )=x (ln x-x ),当x=1时,f (x )=-1,f'(x )=ln x+1-2x ,当x=1时,f'(x )=-1,所以所求切线方程为x+y=0.f'(x )=ln x+1-2ax=0有两个相异实根x 1,x 2,令h (x )=f'(x ),则h'(x )=-2a ,1x ①若a ≤0,则h'(x )>0,h (x )单调递增,f'(x )=0不可能有两根;②若a>0,令h'(x )=0得x=,可知h (x )在上单调递增,在上单调递减,令f'>0,12a (0,12a )(12a ,+∞)(12a )解得0<a<,12由有f'=-<0,1e <12a (1e )2a e 由有f'=-2ln a+1-<0,1a 2>12a (1a 2)2a 从而当0<a<时,函数f (x )有两个极值点,12当x 变化时,f'(x ),f (x )的变化情况如下表:x (0,x 1)x 1(x 1,x 2)x 2(x 2,+∞)f'(x )-0+0-f (x )单调递减f (x 1)单调递增f (x 2)单调递减因为f'(1)=1-2a>0,所以x 1<1<x 2,f (x )在区间[1,x 2]上单调递增,所以f (x 2)>f (1)=-a>-.12。

■复_____________________________1能利用导数研究一般函数的单调性、极值与最值，获得对函数的整体认识.2 •会利用导数研究一般函数的零点及其分布..课前预习__________________________________ _®知识梳理1函数零点的有关知识(1) 零点的概念：函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标.(2) 几个常用结论：①f(x)有零点y= f(x)的图象与x轴有交点方程f(x)= 0有实数解.②F(x) = f(x) —g(x)有零点y = f(x)与y= g(x)的图象有交点方程f(x) = g(x)有实数解③零点存在定理：f(x)在［a, b］上连续，且f(a) f(b)<0，则f(x)在(a, b)内至少有一个零点.2.利用导数研究函数零点的方法(1)研究y= f(x)的图象，利用数形结合的思想求解.⑵研究方程有解的条件，禾U用函数与方程的思想求解.热身练习1. (2017浙江卷)函数y = f(x)的导函数y = f' (x)的图象如图所示，则能是(D)观察导函数f' (x)的图象可知,f' (x)的函数值从左到右依次为小于0,大于0,小于0，大于0,所以对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增.观察选项可知，排除 A , C.如图所示，f' (x)有3个零点，从左到右依次设为x i, X2, x3,且x i, X3是极小值点，X2是极大值点，且X2>0 , 故选项D正确.2. 函数f(x) = 1x3—4X+ 4的零点个数为(D)B. 1C. 2D. 3因为f' (x) = x2— 4 = (x—2)(x+ 2),导数的综合应用导数与方程函数y= f(x)的图象可I■■令f' (x) = 0，得x =戈.x(—a,—2)—2(—2,2)2(2 , + a)f' (x)+ 0一0+f(x)单调递增283单调递减4- 3单调递增由此可得到f(x)的大致图象(如下图).由图可知f(x)有3个零点.13•若方程3x3—4x+ 4+ a= 0有3个不同的解，贝V a的取值范围为(B)34 28 28 4C. [ 一3 金]D. [- y,彳1 1QD 3x3—4x+ 4+ a = 0有3个不同的解？ f(x)= -x3—4x+ 4与g(x) = —a有3个不同的交点.3 34 28 28 4利用第2题图可知，—3<—a<§,即—y<a<3.14.若函数g(x) = 3x3—4x+ 4+ a的图象与x轴恰有两个公共点，则a= (B)3彳 c 彳 c 1c C£3 g(x)= 3x3—4x+ 4 + a与x轴恰有两个公共点？方程-x3—4x+ 4+ a = 0有2个不同的解？ f(x)=Rx3- 4x+3 3 34与y x) = —a有2个不同的交点.利用第2题图可知，一a= —3或一a=詈，28 4所以a=—亍或a=5.已知函数f(x) = e x—2x+ a有零点，则实数a的取值范围是(C)A . ( — a, In 2) B. (In 2 ,+^ )C. (— a, 2ln 2 —2] D . [2ln 2 —2,+^ ) 聞(方法一)因为f' (x)= e x—2,令e x—2 = 0 得，e x= 2,所以x= In 2 ,当x€ (—a, in 2)时，f' (x)<0 , f(x)单调递减；当x€ (In 2 ,+a)时，f' (x)>0 , f(x)单调递增，B.(28 4.(一T, 3)代4-3或4- 3-所以当x = In 2 时，f(x)取最小值f(x)min = 2- 2ln 2 + a. 要f(x)有零点，所以a w 2ln 2 — 2. (方法二)函数f(x)= e x—2x+ a有零点，即关于x的方程e x—2x+ a= 0有实根，即方程a = 2x—e x有实根.令g(x)= 2x—e x(x€ R)，贝U g' (x)= 2 —e x.所以函数g(x)的值域为(一a, 2ln 2 —2]. 所以a的取值范围为(一a, 2ln 2 —2].『■［高__________________________________ ■-■利用导数研究三次函数的零点及其分布OD已知函数f(x)= x3—12x+ a，其中a> 16,则f(x)的零点的个数是A . 0 或1B . 1 或2C. 2D. 3CEJ (方法一：从函数角度出发，研究f(x)的图象与x轴的交点)因为f' (x)= 3x2—12,令f' (x) = 3x2—12= 0,得x=塑,当x变化时，f' (x), f(x)的变化情况如下表：由此可得到f(x)的大致图象(如图),由a》16 得，a+ 16>0 , a—16》0,当a = 16时，f(x)的图象与x轴有2个交点；当a>16时，f(x)的图象与x轴只有1个交占八、、♦所以f(x)的零点个数为1或2.(方法二：从方程角度出发，利用函数与方程的思想)f(x)= x3—12x+ a 的零点个数？方程x3—12x=— a 的解的个数？ g(x)= x3—12x 与h(x)= —a的交点个数.画出g(x)= x3—12x 与h(x)=— a 的图象.由g ' (x)= 3x2—12= 0，得x= ±2,当x变化时，g ' (x), g(x)的变化情况如下表：所以g(x)的图象如右图所示：因为a> 16,所以y= —a w —16.由图可知直线y=—a与y= x3—12x的图象有1个或2个交点.禾U 用导数研究函数的零点的基本思路：(1) 研究y= f(x)的图象，利用数形结合的思想求解；⑵研究f(x)= 0有解，利用函数与方程的思想求解.1. (经典真题)已知函数f(x)= ax3—3X2+ 1,若f(x)存在唯一的零点X0,且X0 >0,贝V a 的取值范围为(B)A. (2,+^ )B. (— a, —2)C. (1 ,+a )D. (— a, —1)遷当a= 0时，不符合题意.0 时，f' (x)= 3ax —6x,2令f' (x) = 0,得X1= 0, X2=：.a若a>0,由图象知f(x)有负数零点，不符合题意.若a<0,由图象结合f(0) = 1>0知,8，即 a x 3—3x r+ 1>0,a a化简得a2>4，又a<0，所以a< —2.利用导数研究超越方程的根及其分布翹画已知函数f(x)= x—ae x(a€ R), x€ R.已知函数y= f(x)有两个零点X1, X2,且xu, 求a的取值范围.魁3 由f(x) = x—ae x，可得f' (x) = 1 —ae x.下面分两种情况讨论：(1)a< 0时，f' (x)>0在R上恒成立，可得f(x)在R上单调递增，不合题意.⑵a>0 时，由f' (x)= 0,得x=—In a.当x变化时，f' (x), f(x)的变化情况如下表：X(—a ,—In a)—In a(—In a, + a)f' (X)+ 0一f(x)/ —In a —1这时，f(x)的单调递增区间是(—a,—in a);单调递减区间是(一In a,+ a).于是，“函数y= f(x)有两个零点”等价于如下条件同时成立：①f(—In a)>0 ;②存在® € (—a,—in a),满足f(S1)<0 ；③存在S2^ (—In a, + a)，满足f(S2)<0.—1由f( —In a)>0，即一In a—1>0,解得0<a<e ,此时必有而此时，取自=0,满足s1€ (—a ,—In a),且f(s”=—a<0 ；而当x€ (—In a,+ a)时，由于x^ + a时，e x增长的速度远远大于x的增长速度，所以一定存在 S 2 € (— In a , + 00)满足 f(S 2)<0.2 2 2 2 2 2 另法：取 S 2= 一-F In ，满足 S 2 € (— In a , + o )，且 f(S 2)= (— e) + (In —皆)<0.a a a a a a 所以a 的取值范围是(0, e —1).@©函数的零点是导数研究函数的性质的综合应用，要注意如下方面： (1) 利用导数研究函数的单调性、极值、最值等性质； (2) 数形结合思想方法的应用；⑶函数零点存在定理及根的分布知识的应用.22. (2018广州模拟节选)已知函数f(x)= aln x + x (a 丰0)，若函数f(x)恰有一个零点，求 实数a 的取值范围.03函数f(x)的定义域为(0, + o ). 因为 f(x) = aln x + x 2,2a 2x + a所以 f ' (x) = a + 2x =— .x x①当a>0时，f ' (x)>0 ,所以f(x)在(0, + o )上单调递增， 1 1 1 2取 X 0= e —-，贝y f(e —-)=— 1 + (e — ) <0,a a a 11(或：因为 O<x o <>/a 且 x o <一时，所以 f (x °)= alnx o + x 0 < aln x °+ a<aIn — + a = 0.)ee因为f(1) = 1,所以f(x o )f (i )<o ，此时函数f(x)有一个零点. ②当 a<0 时，令 f ' (x) = 0,解得 x =- , — |. ,f ' (x)<0，所以f(x)在(0，“，:—；)上单调递减, ,f ' (x)>0，所以 f(x)在 2, + o )上单调递增.要使函数f(x)有一个零点，则 f(「:- ；)= alir :— 2— 2= 0，即 a = — 2e. 综上所述，若函数f(x)恰有一个零点，则a = — 2e 或a>0.*剧禾U 用导数研究两函数图象的交点问题已知函数f(x)= x + a (a € R ), g(x) = In x .若关于x 的方程 略=f(x) — 2e(e 为自然对x x数的底数)只有一个实数根，求 a 的值.由略=f(x)— 2e ,得呼=x + - — 2e ,x x xIn x 2 小化为 =x — 2ex + a.x问题转化为函数h(x) = lnx 与m(x)= x 2— 2ex + a 有一个交点时，求 a 的值.x 由 h(x) = ，得 h ' (x)= 1.令 h ' (x) = 0,得 x = e.xx当 0<x<e 时，h ' (x)>0 ;当 x>e 时，h ' (x)<0. 所以h(x)在(0, e)上递增，在(e ,+^)上递减.当 0<x<当x>1所以当x= e时，函数h(x)取得最大值，其值为h(e) =二e而函数m(x)= x2—2ex+ a= (x—e)2+ a —e2,当x = e时，函数m(x)取得最小值，其值为m(e)= a —e2.所以当a —e2=-，即a = e2+1时，方程—2e只有一个实数根.®© (1)利用f(x)= g(x)的解? y= f(x)与y= g(x)的图象交点的横坐标，可将方程的解的问题转化为两函数图象的交点问题，从而可利用数形结合的思想方法进行求解.(2)在具体转化时，要注意对方程f(x) = g(x)尽量进行同解变形，变到两边的函数是熟悉的形式或较简单的形式，以便于对其图象特征进行研究.3. (经典真题)已知函数f(x)= x3—3x2+ ax+ 2,曲线y= f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为一2.(1) 求a;⑵证明：当k<1时，曲线y= f(x)与直线y= kx—2只有一个交点.CIS(1)f，(x)= 3x2—6x+ a, f (0) = a.曲线y = f(x)在点(0,2)处的切线方程为y= ax+ 2,2由题意得一2= —2，所以a = 1.a(2) 证明：由(1)知，f(x) = x3—3/+ x+ 2.设g(x) = f(x) —kx+ 2= x3—3x2+ (1 —k)x + 4.由题意知1 —k>0,当x< 0 时，g' (x) = 3x2—6x+ 1—k>0, g(x)单调递增，g( —1) = k—1<0, g(0) = 4,所以g(x)= 0在(—a, 0］有唯一实根.当x>0 时，令h(x) = x3—3x2+ 4,则g(x) = h(x) + (1 —k)x>h(x),2h' (x) = 3x —6x= 3x(x —2),h(x)在(0,2)上单调递减，在(2 ,+a)上单调递增，所以g(x)>h(x) > h(2) = 0.所以g(x)= 0在(0, + a)没有实根.综上，g(x)= 0在R上有唯一实根，即曲线y= f(x)与直线y= kx—2只有一个交点.『■邂时”_____________________1 •利用导数研究函数的零点及其零点分布问题的基本步骤：(1) 构造函数，并确定定义域；(2) 求导，确定单调区间及极值；(3) 作出函数的草图；(4) 根据草图直观判断函数的零点的情况或得到零点所满足的条件.2. 处理函数y= f(x)与y= g(x)的图象的交点问题，常用方法有：(1)数形结合，即分别作出两函数的图象，考察交点情况；⑵将函数交点问题转化为方程f(x) = g(x)根的个数问题，通过构造函数y= f(x) - g(x), 利用导数研究函数的单调性及极值，并作出草图，根据草图确定根的情况.3. 利用导数研究函数的零点问题，要注意函数与方程的思想、化归与转化的思想、分类讨论思想及数形结合思想的运用.。