第5章 刚体的定轴转动2011
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第五章 角动量 角动量守恒(2011)
在中国航天事业中做出杰出贡献的哈工大人： 在中国航天事业中做出杰出贡献的哈工大人：
.中国载人航天工程副总指挥——胡世祥 中国载人航天工程副总指挥——胡世祥 胡世祥，1940年生 黑龙江人，毕业于哈尔滨工业大学 年生， 胡世祥，1940年生，黑龙江人，毕业于哈尔滨工业大学 控制工程系。 控制工程系。 曾任中国酒泉卫星发射中心副总工程师， 曾任中国酒泉卫星发射中心副总工程师，西昌卫星发射 中心副主任、主任。 中心副主任、主任。 长期从事火箭卫星发射试验，主持发射过多种型号卫星， 长期从事火箭卫星发射试验，主持发射过多种型号卫星， 曾多次担任卫星发射现场的 总指挥。 总指挥。 现任总装备部副部长，中国载人航天工程副总指挥， 现任总装备部副部长，中国载人航天工程副总指挥，主 神舟”号飞船发射工作。 管“神舟”号飞船发射工作。
（2） 对 O 点的角动量 ）
r r r r = r′ + R r r r r r r r r r r L = r × p =(R+r′)× p= R× p = R×m t g O r r L = Rm gt R ⊥g O
m r m v
确定质点有无角动量，要看位矢是否存在绕参考点的转动。 确定质点有无角动量，要看位矢是否存在绕参考点的转动。
老校长杨士勤曾说： 老校长杨士勤曾说： 神舟号”飞船研制过程中， 在“神舟号”飞船研制过程中，有5项关键技术 是由哈工大教师 是由哈工大教师 做出的成果解决的。 做出的成果解决的。 超大型空间环境模拟器； 超大型空间环境模拟器； 仿真试验OUT型闭式转台 型闭式转台； 仿真试验OUT型闭式转台； 飞船数据管理容错计算机； 飞船数据管理容错计算机； 返回舱焊接变形控制技术； 返回舱焊接变形控制技术； 飞船故障诊断专家系统。 飞船故障诊断专家系统。 国产舱外航天服 失重训练模拟水槽 出舱用反光镜体 舱外航天服试验舱
.中国载人航天工程副总指挥——胡世祥 中国载人航天工程副总指挥——胡世祥 胡世祥，1940年生 黑龙江人，毕业于哈尔滨工业大学 年生， 胡世祥，1940年生，黑龙江人，毕业于哈尔滨工业大学 控制工程系。 控制工程系。 曾任中国酒泉卫星发射中心副总工程师， 曾任中国酒泉卫星发射中心副总工程师，西昌卫星发射 中心副主任、主任。 中心副主任、主任。 长期从事火箭卫星发射试验，主持发射过多种型号卫星， 长期从事火箭卫星发射试验，主持发射过多种型号卫星， 曾多次担任卫星发射现场的 总指挥。 总指挥。 现任总装备部副部长，中国载人航天工程副总指挥， 现任总装备部副部长，中国载人航天工程副总指挥，主 神舟”号飞船发射工作。 管“神舟”号飞船发射工作。
（2） 对 O 点的角动量 ）
r r r r = r′ + R r r r r r r r r r r L = r × p =(R+r′)× p= R× p = R×m t g O r r L = Rm gt R ⊥g O
m r m v
确定质点有无角动量，要看位矢是否存在绕参考点的转动。 确定质点有无角动量，要看位矢是否存在绕参考点的转动。
老校长杨士勤曾说： 老校长杨士勤曾说： 神舟号”飞船研制过程中， 在“神舟号”飞船研制过程中，有5项关键技术 是由哈工大教师 是由哈工大教师 做出的成果解决的。 做出的成果解决的。 超大型空间环境模拟器； 超大型空间环境模拟器； 仿真试验OUT型闭式转台 型闭式转台； 仿真试验OUT型闭式转台； 飞船数据管理容错计算机； 飞船数据管理容错计算机； 返回舱焊接变形控制技术； 返回舱焊接变形控制技术； 飞船故障诊断专家系统。 飞船故障诊断专家系统。 国产舱外航天服 失重训练模拟水槽 出舱用反光镜体 舱外航天服试验舱
大学物理 第5章刚体定轴转动
赵 承 均
转动平面 某质点所在的圆周平面，称为转动平面。
参考线
转心 矢径
转动平面内任一过转轴的直线，如选 x 轴。
某质点所在的轨迹圆的圆心，称为转心。 某质点对其转心的位矢，称为该质点的矢径。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
显然：转动刚体内所有点有相同的角量，故用角量描述刚体 的转动更方便，只需确定转动平面内任一点的角量即可。 1.角坐标— 描写刚体转动位臵的物理量。 角坐标 转动平面内刚体上任一点 P 到转轴 O 点的连线与 参考线间的夹角 。
赵 承 均
第二类问题：已知J和力矩M：求出运动情况和 b及 F 。
第三类问题：已知运动情况和力矩M，求刚体转动惯量 J 。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
第一类问题：已知运动情况和 J ，确定运动学和动力学的联 系 例 ：长为 l,质量为 m 的细杆，初始时的角速 度为 ωo ，由于细杆与 桌面的摩擦，经过时间 t 后杆静止，求摩擦力 矩 Mf 。
Fi cos i Fi cos i mi ain mi ri 2 法向：
e i
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
由于法向力的作用线穿过转轴，其力矩为零。可在切向 方程两边乘以 ri ，得到：
Fi e ri sin i Fi i r i sin i mi ri 2
4.角加速度— 描写角速度变化快慢和方向的物理量。 ⑴ 平均角加速度 t
即：刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。
赵 承 均
⑵ 角加速度 ①用平均角加速度代替变化的角加速度； ②令 t 0 取极限；
d d lim 2 t 0 t dt dt
第5章 刚体的定轴转动
（1） 式中n表示转动方向，ω表示角速度的大小。 2、角加速度矢量
角加速度矢量定义为
（2） 显然，若角加速度矢量的方向与角速度矢量的方向相同，见下图 （a），则角速度在增加；反之，若角加速度与角速度的方向相反，见 下图（b），则角速度在减小。从图（a）、（b）中不难验证，角加速 度矢量的方向与直观转动的加速方向也构成右手螺旋关系。既当四个手 指指向直观的加速方向时，大姆指所指向的方向即为角加速度矢量的方 向。
(4) 其中
为各分力的力矩，证毕。 由于作用力和反作用力是成对出现的，所以它们的力矩也成对出
现。由于作用力与反用力的大小相等，方向相反且在同一直线上因而有 相同的力臂，见下图，所以作用力矩和反作用力矩也是大小相等，方向 相反，其和为零。
(5)
作用力矩和反作用力矩 二、刚体对定轴的角动量
在刚体的定轴转动中，刚体对定轴的角动量是一个很重要的物理 量，在很多问题的分析中都要用到这个概念，下面我们来讨论这个问 题。 刚体绕定轴转动时，它的每一个质点都在与轴垂直的平面上运动。下面 我们先分析质点对定轴的角动量，而且只考虑质点在轴的垂面上运动的 情况。如下图所示，有一质点在z轴的垂面M内运动，质点的质量为m， 对z轴（即对质点转心）的矢径为r，速度为v，动量p=mv。如同在角动 量知识点中讨论的一样，我们定义质点对定轴的角动量为
第5章 刚体的定轴转动 ◆ 本章学习目标 理解：刚体、刚体转动、转动惯量的概念；刚体定轴转动定律及角动量守
恒定律。 掌握：转动惯量，转动中的功和能的计算；用刚体定轴转动定律及角动量
守恒定律求解定轴转动问题的基本方法。 ◆ 本章教学内容
1．刚体的运动 2．刚体定轴转动定律 3．转动惯量的计算 4．刚体定轴转动定律的应用 5．转动中的功和能 6．对定轴的角动量守恒 ◆ 本章重点 刚体转动惯量的物理意义以及常见刚体绕常见轴的转动惯量； 力矩计算、转动定律的应用； 刚体转动动能、转动时的角动量的计算。 ◆ 本章难点 力矩计算、刚体转动过程中守恒的判断及其准确计算。
角加速度矢量定义为
（2） 显然，若角加速度矢量的方向与角速度矢量的方向相同，见下图 （a），则角速度在增加；反之，若角加速度与角速度的方向相反，见 下图（b），则角速度在减小。从图（a）、（b）中不难验证，角加速 度矢量的方向与直观转动的加速方向也构成右手螺旋关系。既当四个手 指指向直观的加速方向时，大姆指所指向的方向即为角加速度矢量的方 向。
(4) 其中
为各分力的力矩，证毕。 由于作用力和反作用力是成对出现的，所以它们的力矩也成对出
现。由于作用力与反用力的大小相等，方向相反且在同一直线上因而有 相同的力臂，见下图，所以作用力矩和反作用力矩也是大小相等，方向 相反，其和为零。
(5)
作用力矩和反作用力矩 二、刚体对定轴的角动量
在刚体的定轴转动中，刚体对定轴的角动量是一个很重要的物理 量，在很多问题的分析中都要用到这个概念，下面我们来讨论这个问 题。 刚体绕定轴转动时，它的每一个质点都在与轴垂直的平面上运动。下面 我们先分析质点对定轴的角动量，而且只考虑质点在轴的垂面上运动的 情况。如下图所示，有一质点在z轴的垂面M内运动，质点的质量为m， 对z轴（即对质点转心）的矢径为r，速度为v，动量p=mv。如同在角动 量知识点中讨论的一样，我们定义质点对定轴的角动量为
第5章 刚体的定轴转动 ◆ 本章学习目标 理解：刚体、刚体转动、转动惯量的概念；刚体定轴转动定律及角动量守
恒定律。 掌握：转动惯量，转动中的功和能的计算；用刚体定轴转动定律及角动量
守恒定律求解定轴转动问题的基本方法。 ◆ 本章教学内容
1．刚体的运动 2．刚体定轴转动定律 3．转动惯量的计算 4．刚体定轴转动定律的应用 5．转动中的功和能 6．对定轴的角动量守恒 ◆ 本章重点 刚体转动惯量的物理意义以及常见刚体绕常见轴的转动惯量； 力矩计算、转动定律的应用； 刚体转动动能、转动时的角动量的计算。 ◆ 本章难点 力矩计算、刚体转动过程中守恒的判断及其准确计算。
大学物理第5章刚体的定轴转动
Jz Jx Jy
Jc J mC
质心
d
yi
xi
ri
y
x
Δmi
1 2
mR
2
R
1 4
mR
2
6
第六页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
常用的转动惯量
细杆：
J过中点垂直于杆
1 12
mL2
J过一端垂直于杆
1 3
mL2
圆柱体：
J对称轴
1 2
mR 2
薄球壳：
J 直径
2 3
mR
2
球体：
J 直径
2 5
mR
2
7
第七页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
d L Lsin dΘ M d t
旋进角速度： Ω dΘ
dt
Ω d
dL
Lsin L
Ω M M
Lsin J sin
O
当 90 时 ，Ω M J
Ω
1
，
Ω
演示 车轮旋进（KL023) TV 旋进防止炮弹翻转（注2）
M外z 0 ，则 J z const .
大小不变 正、负不变
对刚体系， M外z = 0 时， Jizi const.，
此时角动量可在系统内部各刚体间传递，
而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。
演示 角动量守恒：茹科夫斯基转椅(KL016)
转台车轮 (KL017)
陀螺仪（KL029）
30
第三十页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
5、车轮进动
2
第二页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
§5.1 刚体的定轴转动定律
z
Mz
dLz dt
第5章 刚体的定轴转动 习题解答
对飞轮，由转动定律，有 式中负号表示摩擦力的力矩方向与角速度 方向相反。
联立解得
以 F 100 N 等代入上式，得
Fr R 2 (l1 l2 ) F J mRl1
5-1
第 5 章 刚体的定轴转动
2 0.40 (0.50 0.75) 40 100 rad s 2 60 0.25 0.50 3 t
由以上诸式求得角加速度
(2)
Rm1 rm2 g I m1 R 2 m2 r 2 0.2 2 0.1 2
1 1 10 0.202 4 0.102 2 0.202 2 0.102 2 2
9.8 6.13 rad s 2
T2 m2 r m2 g 2 0.10 6.13 2 9.8 20.8N T1 m1 g m1 R 2 9.8 2 0.2. 6.13 17.1N v 2a1h 2 Rh 2 6.13 0.2 2 2.21 m s 1
M M f J 1
t1
。移去力矩 M 后，根据转动定律，有
M f J 2
2
联立解得此转轮的转动惯量
0 t2
J
M 20 17.36 kg m 2 1 1 1 100 2 1 60 10 100 t1 t2
v0
6(2 3 3m M l J l 1M (1 2 ) (1 ) 2 ml 2 3m 12 m
(2) 由①式求得相碰时小球受到的冲量为：
I Fdt mv mv mv0
负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反。
第五章 刚体的定轴转动
单位: 单位:rad / s 角速度
刚体定轴转动
ω
v 的方向按右手螺旋法则确定. 的方向按右手螺旋法则确定.
在定轴转动中, 在定轴转动中,角速度的方向 沿转轴方向. 沿转轴方向.
角加速度α 角加速度
v ω
2
ω dω d θ = = 2 α = lim t →0 t dt dt
单位: 单位:rad /s 2 角加速度也是矢量, 角加速度也是矢量,方向与角速度增量 的极限方向相同,在定轴转动中, 与 同向 的极限方向相同,在定轴转动中,α与ω同向 或反向. 或反向. 刚体的转动其转轴是可以改变的, 刚体的转动其转轴是可以改变的,为反映瞬时轴的方 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 注意 退化为代数量. :定轴转动时, ω,α退化为代数量. 定轴转动时, 退化为代数量
刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合. 刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合.
1. 用角量描述转动 (1) 角位移 θ : ) 时间内刚体转动角度. 在 t 时间内刚体转动角度. 单位: 单位:rad (2)角速度 ω : )
z θ
B A
θ dθ ω = lim = t →0 t dt
●
r2
转动惯量的定义: 转动惯量的定义:
J = ∑mi ri
2
对质量连续分布的刚体, 对质量连续分布的刚体,上式可写成积分形式
J = ∫ r dm
2
dm—质元的质量 质元的质量 r—质元到转轴的距离 质元到转轴的距离
线分布 dm = λdx 面分布 dm = σds 体分布 dm = ρdV
λ 是质量的线密度
F iz
ri = roi sinθ
刚体定轴转动
ω
v 的方向按右手螺旋法则确定. 的方向按右手螺旋法则确定.
在定轴转动中, 在定轴转动中,角速度的方向 沿转轴方向. 沿转轴方向.
角加速度α 角加速度
v ω
2
ω dω d θ = = 2 α = lim t →0 t dt dt
单位: 单位:rad /s 2 角加速度也是矢量, 角加速度也是矢量,方向与角速度增量 的极限方向相同,在定轴转动中, 与 同向 的极限方向相同,在定轴转动中,α与ω同向 或反向. 或反向. 刚体的转动其转轴是可以改变的, 刚体的转动其转轴是可以改变的,为反映瞬时轴的方 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 注意 退化为代数量. :定轴转动时, ω,α退化为代数量. 定轴转动时, 退化为代数量
刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合. 刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合.
1. 用角量描述转动 (1) 角位移 θ : ) 时间内刚体转动角度. 在 t 时间内刚体转动角度. 单位: 单位:rad (2)角速度 ω : )
z θ
B A
θ dθ ω = lim = t →0 t dt
●
r2
转动惯量的定义: 转动惯量的定义:
J = ∑mi ri
2
对质量连续分布的刚体, 对质量连续分布的刚体,上式可写成积分形式
J = ∫ r dm
2
dm—质元的质量 质元的质量 r—质元到转轴的距离 质元到转轴的距离
线分布 dm = λdx 面分布 dm = σds 体分布 dm = ρdV
λ 是质量的线密度
F iz
ri = roi sinθ
第5章 刚体的定轴转动
m J 1 mR 2 2 2 pR l
可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的 转动惯量也是mR2/2。
例3、求质量为m,长为L的均匀细棒对下面三 种转轴的转动惯量： 转轴通过棒的中心O并与棒垂直
转轴通过棒的一端B并与棒垂直 转轴通过棒上距质心为h的一点A并与棒垂直 A h
如图建立坐标，以物体初始位置为势能零 点。根据机械能守恒：
y
1 J w 2 1 mv2 mg h 0 2 2
滑轮转动动能 物体动能
物体势能
mg
O
1 MR2 , w v 代入可解得: 将J 2 R
物体的速度：
滑轮角速度：
4mgh v 2m M
v 4mgh R w 2m M R
力矩的功反映力矩对空间的积累作用，力矩越大，在 空间转过的角度越大，作的功就越大。这种力矩对空 间的积累作用的规律是什么呢？
2、定轴转动的动能定理
质点系动能定理 A外 A EKB EKA 也适用于刚体。 内 由于刚体内质点的间距不变，一切内力作的功都为零。 而对于定轴转动而言，外力作的功总表现为外力矩作 的功，故有： 1 2 1 2
dA Md
力对转动刚体作的元功 等于相应的力矩和角位 移的乘积。
在一微小过程中 力矩作的功
dA Md (1)
在考虑一个有限过程，设 在力矩作用下，刚体的角 位置由 1 2 则力矩的 功：
2 1
X X
1
w2 w1
O
2
M
M
A dA Md (2)
B
O质
B
A
h L
O质
dm
X
x
dx
刚体的定轴转动
[思考] ①结果合理否？ (量纲OK；又： , 合理.) ②其它解法？ (转动动能定理 or 转动定律)
(3)求摆到竖直位置时端点的速度。
§5.4 定轴转动的角动量守恒定律 (The Law of Conservation of Angular Momentum About a Fixed Axis) 1.对固定轴的角动量 ⑴质点对轴的角动量
⒌ 如图，质量为m、半径为R的圆盘可绕通 过其直径的光滑固定轴转动，转动惯量 J=mR2/4，设圆盘从静止开始在恒力矩M 作用下转动，则t秒后圆盘边缘上的B点的 at = ，an= .
R B
解： M恒定 恒定 匀变速率转动 ⑴ =M/J=4M/mR2 于是 at=R=4M/mR ⑵因恒定，故有 = t=4Mt/mR2 于是 an=R2=16M2t2/m2R3
本章： 定轴转动运动学
定轴转动定律
转动中的功和能 定轴转动的角动量守恒定律
§5.1 定轴转动运动学 (Kinematics of Rotation About a Fixed Axis)
一.定轴转动: 刚体内各质点都绕同一固定不动的轴作圆 周运动. 刚体定轴转动的特点：
1）刚体上各质点都作圆运动， 但半径不一定相等。 2)与轴线垂直的园平面为转动平面. 3）刚体上各点做圆运动的半径在 相等的时间间隔内转过相同的角度， ω 、α 相等。
e.g.
细杆质量m, 长L o 则对于 oo轴，J=mL2/3 对于 cc轴，J=mL2/12
o
c c
④转动定律与牛Ⅱ比较： M～ F J ～m ～a
ii)J量度了刚体转动惯性的大小
o 讨论：
o
o
o a
a A
a
a
B C
(3)求摆到竖直位置时端点的速度。
§5.4 定轴转动的角动量守恒定律 (The Law of Conservation of Angular Momentum About a Fixed Axis) 1.对固定轴的角动量 ⑴质点对轴的角动量
⒌ 如图，质量为m、半径为R的圆盘可绕通 过其直径的光滑固定轴转动，转动惯量 J=mR2/4，设圆盘从静止开始在恒力矩M 作用下转动，则t秒后圆盘边缘上的B点的 at = ，an= .
R B
解： M恒定 恒定 匀变速率转动 ⑴ =M/J=4M/mR2 于是 at=R=4M/mR ⑵因恒定，故有 = t=4Mt/mR2 于是 an=R2=16M2t2/m2R3
本章： 定轴转动运动学
定轴转动定律
转动中的功和能 定轴转动的角动量守恒定律
§5.1 定轴转动运动学 (Kinematics of Rotation About a Fixed Axis)
一.定轴转动: 刚体内各质点都绕同一固定不动的轴作圆 周运动. 刚体定轴转动的特点：
1）刚体上各质点都作圆运动， 但半径不一定相等。 2)与轴线垂直的园平面为转动平面. 3）刚体上各点做圆运动的半径在 相等的时间间隔内转过相同的角度， ω 、α 相等。
e.g.
细杆质量m, 长L o 则对于 oo轴，J=mL2/3 对于 cc轴，J=mL2/12
o
c c
④转动定律与牛Ⅱ比较： M～ F J ～m ～a
ii)J量度了刚体转动惯性的大小
o 讨论：
o
o
o a
a A
a
a
B C
大学物理课件：刚体定轴转动
M f k 2
(1)
由刚体定轴转动定律得：
k2 J J d
(2)
dt
对上式分离变量并积分得：
0
k
J
t
dt
0
2 0
d 2
(3)
得到所需时间为： t J
(4)
k0
（2）由刚体定轴转动定律得：
k2 J J d d J d
(5)
dt d d
0
对上式分离变量并积分得： k
d
2
设 为两飞轮啮合后共同角速度：
J AA 33.3rad s1
JA JB
例题4.3.2 质量 M 、半径 R 的圆盘，绕过圆心 O
且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动，已知其角速
惯量，故该量有关于刚体，还有关于转轴！ 2.由上述结果看出：
JO
1 3
ml 2
1 12
ml2 +m（ l ）2 2
JO
+m（ l ）2 2
4.2.3 平行轴定理
平行轴定理：质量为 m的刚体，如果
对其质心轴的转动惯量为 JC ，则对任
一与该轴平行，相距为 d 的转轴的转
动惯量为：
J O J C md 2
2.合力矩等于各分力矩的矢量和 ：
M M1 M2 M3
(2)
3.刚体内力矩互相抵消：
M ij M ji
注意：内力矩对刚体 动力学效应无贡献；
M ij
o
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M ji
例题4.2.1 研磨专用动力卡盘是专门为精密研磨 机所设计，如图所示用于固定被加工工件，卡盘在 绕垂直通过盘心的轴转动时会与接触工件产生滑动 摩擦。试求卡盘转动时受到的摩擦力矩。设其质
大学物理力学第五章1刚体、转动定律
3. 同一方程式中所有量都必须相对同一转轴。
(12)
例1、如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑
轮．A滑轮挂一质量为M的物体，B滑轮受拉力F，而且
F＝Mg．设A、B两滑轮的角加速度分别为βA和β B，
不计滑轮轴的摩擦，则有
(A) β A＝ β B． (B) β A＞ β B． (C) β A＜ β B． (D) 开始时β A＝ β B，以后β A＜ β B.
转动惯量的计算
1)定义 J miri2
J r 2dm
i
m
2) 对称的 简单的 查表
3) 平行轴定理
典型的几种刚体的转动惯量
m
m
l
细棒转轴通过中 心与棒垂直
J ml 2 12
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
J ml 2 3
M，R
M，R
o
圆环转轴通过环心与环面垂直
J MR2
薄圆盘转轴通过 中心与盘面垂直
以 m1 为研究对象 m1g T1 m1a 以 m 2 为研究对象 T2 m2a 以 M 为研究对象
(T1 T2 )R J J 1 MR 2 2
m 2 T2 M , R
（1） T1
T1
（2）
m1
m1
M ,R
m1g （3）
T2
m2
T2
T1
补充方程：
a R
（4）
联立方程（1）---（4）求解得
J 1 MR 2 2
m 2r
r l
球体转轴沿直径
J 2mr 2 5
圆柱体转轴沿几何轴
J 1 mr 2 2
转动定律应用举例 解题步骤: 1. 认刚体;
3. 分析力和力矩;
(12)
例1、如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑
轮．A滑轮挂一质量为M的物体，B滑轮受拉力F，而且
F＝Mg．设A、B两滑轮的角加速度分别为βA和β B，
不计滑轮轴的摩擦，则有
(A) β A＝ β B． (B) β A＞ β B． (C) β A＜ β B． (D) 开始时β A＝ β B，以后β A＜ β B.
转动惯量的计算
1)定义 J miri2
J r 2dm
i
m
2) 对称的 简单的 查表
3) 平行轴定理
典型的几种刚体的转动惯量
m
m
l
细棒转轴通过中 心与棒垂直
J ml 2 12
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
J ml 2 3
M，R
M，R
o
圆环转轴通过环心与环面垂直
J MR2
薄圆盘转轴通过 中心与盘面垂直
以 m1 为研究对象 m1g T1 m1a 以 m 2 为研究对象 T2 m2a 以 M 为研究对象
(T1 T2 )R J J 1 MR 2 2
m 2 T2 M , R
（1） T1
T1
（2）
m1
m1
M ,R
m1g （3）
T2
m2
T2
T1
补充方程：
a R
（4）
联立方程（1）---（4）求解得
J 1 MR 2 2
m 2r
r l
球体转轴沿直径
J 2mr 2 5
圆柱体转轴沿几何轴
J 1 mr 2 2
转动定律应用举例 解题步骤: 1. 认刚体;
3. 分析力和力矩;
刚体的定轴转动
r1
r2
d
f1
内力中任一对作用力与反作用力大小 相等，方向相反，则任一对作用力与反作 用力的力矩相加为零。
f r sin 0 F r sin f r sin (
合内力矩
i i
i i i
f2
2
i
i i
i
刚体定轴转动的转动定律
M J
mi ri )
dV 2rdr
2 R2
1
J r dV R 2r dr
3
l
R1
R2
1 4 4 R2 R1 2
1 mR12 R22 2
1 2 2 2 2 l R2 R1 R1 R2 2
小结：
10.刚体的转动惯量决定于刚体各部分的质量对给 定转轴的分布情况。 (1) 与刚体的质量有关 （2) 在质量一定情况下，还与质量的分布有关， 亦即与刚体的形状、大小和各部分的密度有关。 (3) 转动惯量与转轴的位置有关 20.Ｊ的单位: SI 千克·米2(kg·m2) ；
ω v
动平 面 转
ω
0
θ
P
X
方向：当刚体转动加快时角加速度方向与角速度 方向相同；当刚体转动减慢时两者方向相反。
d d 2 2 dt dt
ω
与 方向相同
设向上为正方向
角速度增量 2 1
ω2 ω1
当刚体转动加快ω 2＞ω 1，则Δ ω ＞0，β 为正值，方向向上； 当刚体转动减慢ω 2＜ω 1，则Δ ω ＜0，β 为负值，方向向下。 若角加速度为恒矢量，这种变 速转动称为匀变速转动 0 t 运动方程：
05刚体的定轴转动习题解答
05刚体的定轴转动习题解答05刚体的定轴转动习题解答第五章刚体的定轴转动一选择题1. 一绕定轴转动的刚体，某时刻的角速度为ω，角加速度为α，则其转动加快的依据是：（）A. α > 0B. ω > 0，α > 0C. ω < 0，α > 0D. ω > 0，α < 0解：答案是B。
2. 用铅和铁两种金属制成两个均质圆盘，质量相等且具有相同的厚度，则它们对过盘心且垂直盘面的轴的转动惯量。
（）A. 相等；B. 铅盘的大；C. 铁盘的大；D. 无法确定谁大谁小解：答案是C 。
简要提示：铅的密度大，所以其半径小，圆盘的转动惯量为：2/2 Mr J =。
3. 一轻绳绕在半径为r 的重滑轮上，轮对轴的转动惯量为J ，一是以力F 向下拉绳使轮转动；二是以重量等于F 的重物挂在绳上使之转动，若两种情况使轮边缘获得的切向加速度分别为a 1和a 2，则有：（）A. a 1 = a 2B. a 1 > a 2C. a 1< a 2D. 无法确定解：答案是B 。
简要提示：(1) 由定轴转动定律，1αJ Fr =和11αr a =，得：JFra /21=(2) 受力分析得：===-2222ααr a J Tr ma T mg ，其中m 为重物的质量，T 为绳子的张力。
得：)/(222mr J Fr a +=，所以a 1 > a 2。
4. 一半径为R ，质量为m 的圆柱体，在切向力F 作用下由静止开始绕轴线作定轴转动，则在2秒内F 对柱体所作功为：（）A. 4 F 2/ mB. 2 F 2 / mC. F 2 / mD. F 2 / 2 m 解：答案是A 。
简要提示：由定轴转动定律：α221MR FR =，得：mRFt 4212==?αθ 所以：mFM W /42=?=θ5. 一电唱机的转盘正以ω 0的角速度转动，其转动惯量为J 1，现将一转动惯量为J 2的唱片置于转盘上，则共同转动的角速度应为：（）A ．0211ωJJ J+ B ．0121ωJJJ + C ．021ωJ JD ．012ωJ J解：答案是A 。
刚体定轴转动
[例1] 求质量均匀分布的细棒对（1）对通过质心垂直于细 棒；（2）通过端点的轴转动惯量。设棒长为 l ，质量为 m 。
解：（1）对过质心的轴
I1 r dm
2
l 2
l 2
x 2 dx
(2)
(1)
1 3 1 l ml 2 12 12
（2）对过端点的轴 利用平行轴定理：
x
O x dx
选择转轴上任何一点OR 作为 M 和 L 的参考点。
力矩： M z
Fi
力矩质点系的角动量改变
z
Mi
O ri riR
M
iz
i M iz riR Fi
M i riR Fi ri Fi
OR
A
NA
C
(1) (2) mg f B NB
N A＝f N B mg
选B点为转轴
l (3) mg cos N A l sin 2 N A f 42.6( N ) 联立三式得 N mg 147( N ) B
例题 一质量为m、半径为R的均质圆柱，在水平外力作用下，在 粗糙的水平面上作纯滚动，力的作用线与圆柱中心轴线的垂直距 离为l，如图所示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。
§5-2 刚体的角动量和转动惯量
1.刚体对固定轴的角动量
z
刚体作为质点系，其角动量为
L
i
Li
i
ri pi
如图，质元Δ mi 对定点O的位矢表示为
Liz
pi
Li
mi
rOi ri riz
ri
《刚体的定轴转动》课件
力矩
总结词
描述刚体转动受到外力矩作用的物理量
详细描述
力矩是描述刚体转动受到外力矩作用的物理量，单位为牛顿·米。它表示力对刚体转动效果的影响，由力和力臂的 乘积得到。力矩可以改变刚体的角动量或使其产生加速度。
动能与势能
总结词
描述刚体转动过程中能量状态的物理量
详细描述
动能和势能是描述刚体转动过程中能量状态的物理量。动能与刚体的质量和速度有关，势能则与刚体 的位置和高度有关。在定轴转动中，动能和势能之间可以相互转化，但总能量保持不变。
03
刚体的定轴转动的动力学规律
转动定律
描述刚体转动时力矩与角加速度关系的定律。
转动定律指出，刚体转动时受到的力矩等于刚体质量与角加速度乘积的两倍。即 M=Jα，其中 M 为力矩，J 为转动惯量，α 为角加速度。
动量矩守恒定律
描述刚体在无外力矩作用时动量矩保持不变的定律。
动量矩守恒定律指出，在没有外力矩作用的情况下，刚体的动量矩是守恒的。即 L=Iw，其中 L 为动 量矩，I 为转动惯量，w 为角速度。
详细描述
进动是指刚体自转轴绕其惯性轴的旋转运动，通常是由于外部力矩的作用引起的。章动 则是自转轴在空间中的摆动，可以看作是进动的补充。这两种运动形式在刚体的动力学
分析中具有重要意义。
刚体的振动与波动
要点一
总结词
振动和波动是描述刚体动态行为的另外两种重要方式，涉 及到刚体的位移、速度和加速度等参数的变化。
刚体上各点绕固定轴线的角速度相同 。
刚体上各点的角速度与转动的角位置 无关，即刚体绕固定轴线的转动是匀 角速度运动。
02
刚体的定轴转动的物理量
角速度
总结词
描述刚体旋转快慢的物理量
《大学物理》第五章刚体的定轴转动
偏转角为30°。问子弹的初速度为多少。
o
解： 角动量守恒：
30°
mva 1 Ml 2 ma 2
la
3
v
机械能守恒：
1 1 Ml 2 ma 2 2 mga1 cos 30 Mg l 1 cos 30
23
2
v 1 g 2 3 Ml 2ma Ml 2 3ma 2 ma 6
刚体可以看成是很多质元组成的质点系，且在外力 作用下，各个质元的相对位置保持不变。 因此，刚体的运动规律，可通过把牛顿运动定律应 用到这种特殊的质点系上得到。
3
2.刚体的运动
平动：刚体在运动过程中，其上任意两点的连线 始终保持平行。
刚体的平动可看做刚体质心 的运动。
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
r2dm
L
r2 dl
L
（线质量分布）
12
3 平行轴定理
如果刚体的一个轴与过质 心轴平行并相距d，则质量 为 m 的刚体绕该轴的转动 惯量，等于刚体绕过质心 轴的转动惯量与 md2 之和：
J z Jc md 2
请同学们自己证明平行轴定理的。
提示：利用余弦定理 ri2 ri '2 d 2 2dxi 13
hc hi
若A外+ A内非=0
Ep=0
则Ek +Ep =常量。
例13 一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于 水平位置，然后让它自由下落。求： ( )
解 方法一 动能定理
M mg L cos
2
W
Md
mg
L cosd
0
0
2
mg L sin
2
θ
刚体定轴转动定律
F ma
(2) 列方程: 对于刚体：定轴转动定律 M J
线量与角量的关系：at R
(3) 解方程.
例题. 一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，滑轮可视为
圆 盘 ， 绳 的 两 端 分 别 悬 有 质 量 为 m1 和 m2 的 物 块 ， 且 m1<m2. 设滑轮的质量为M，半径为R，绳与轮之间无 相对滑动，求物块的加速度和绳中张力.
本次课所讲知识点是刚体力学这部分内容的重点， 希望大家课后好好复习，多多练习，熟练掌握。
切向分量式： Fit fit miait
ait ri Fit fit miri
ri
作圆周运动. z
o
f Fit
i fit
ri mi
Fir
Fi
上式两端同乘以ri再对所有质点求和：
Fit ri fit ri miri2
i
i
i
合外力矩M 内力矩之和 =0 转动惯量J
M J
刚体所受的对某一固定转轴的合外力矩等于刚体 对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所 获得的角加速度的乘积.
二、 刚体定轴转动定律与牛顿第二定律的比较
定律方程
牛顿第二定律 F ma
促使运动状态发 生变化的因素
合外力：F
阻碍运动状态发 生变化的因素
产生的物理量
质量：m
加速度：a
刚体定轴转动定律
M J
合外力矩：M
ห้องสมุดไป่ตู้转动惯量：J
角加速度：
三、 刚体定轴转动定律的应用
解题思路:
(1) 受力分析;
对于质点：牛顿第二定律
刚体定轴转动定律
一、 刚体定轴转动定律的证明
刚体可看成是由n个质点组成的连续质点系.
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轴和绕一端转轴的转动惯量。
dx
解: 设棒单位长质量: λ=m/l,
dm 图⑴ o
x
1. 绕中心轴转动，在图⑴中建立一维坐标系, 取 dm=λdx
J1
x2dm
l 2
x2dx
1
m l2
l 2
12
2.绕一端的转动惯量，建立一维坐标系如图⑵所示 dx
J2
x2dm l x 2dx 1 ml 2
各质点距转轴的距离分别为 r1 、r2、ri 、rn 各质点速率分别为 v1 、v2 、vi、 vn
Z ω
1. 第 i 个质点对转轴的角动量
Li ri mi vi ri pi
2. 刚体的角动量
oi ri
vi
mi
L
Li
ri mivi
ri 2mi
i
i
i
L
ri 2mi (
质元
Δmi
Δmｊ ｒiｊ
2. 刚体的运动形式:
⑴平动： 在描述刚体的平动时,可以用一点的运动
来代表，通常就用刚体的质心的运动来代 表整个刚体的平动。
转轴
⑵转动: 转动是刚体的基本运动形式之一。 刚体转动时各质元均做圆周运动,而且各
圆的圆心都在一条固定不动的直线上,这条 直线叫转轴。如果转轴方向不随时间变化, 则称定轴转动。
列方程
T2 (2r)－T1r = 9mr2 / 2
mg－T2 = ma2 T1－mg = ma1
2r = a2 r = a1
2r T2 T2 a2 m mg
r m 2m T1
T1 m a1
mg
解联立方程，得： 2g
19r
§5.3 转动惯量的计算
1. 定轴转动惯量定义:
分立刚体:
J
mi ri 2
解：两重物加速度大小a相同，滑轮角加速度为
隔离物体分析力方向如图
转动定律：
T1r－T2r ＝J
由牛顿第二定律： m1g－T1＝m1a
T2－m2g＝m2a
且有： a＝r
T1 T1 a m1 m1g
r T2
m2 T2 a
m2g
解方程组得：
m1 m2 gr m1 m2 r 2 J
注意：
开始时系统静止，故 t 时刻滑轮的角速度：
o
θ
P
x
Δmi
转动平面
op r
2.定轴转动的角量描述 1.角位置θ
2.角位移
3.角速度: d
角速度是矢量 。dt
单位：rad/s
Zω 转动方向
v
方向与转动方向成右手螺旋法则。
o
P点线速度 v r
转动平面
Ｐ
θ op r
X
4. 角加速度矢量
d
(
rad
/
s2
)
dt
当加速转动时,
与
方向相同；
⑶ 刚体的一般运动都可以认为是平动和绕某一转轴转动 的结合。如图,车轮的转动。
二、刚体定轴转动的描述
1.特点: 其上各质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动,且 所有质元的矢径在相同的时间内转过的角度相同.一 般用角量描述。
转动平面: 取垂直于转轴 的平面为参考系, 称转动平面。
转轴
Z 转动方向
vi
力矩的方向:
沿转轴方向,并与矢径 r 及 F
成右手螺旋法则 。
定轴转动中，M的方向可用正、负区分
M
Z ω
Fi
oi ri
vi
mi
如：使刚体逆时针转动，M > 0
使刚体顺时针转动，M < 0
2. 整个刚体受合外力矩： M Mi
定轴转动: M Mi （代数和）
三、刚体定轴转动定律
M
i
Mi
i
ห้องสมุดไป่ตู้
oi ri mi
转动惯量等于刚体中每个 质点的质量与这一质点到转轴 的距离的平方的乘积的总和。
连续刚体:
J r 2dm
or
dm
2. 转动惯量的计算
转轴
例 1 .刚性三原子分子其质量分布如图所示， 求绕转轴的转动惯量
r1
J m1r12 m2r22 m3r32
m1
r3 m3 r2
m2
例 2 质量为m ，长为 l 的均匀细棒，分别求其绕垂直中心转
0
3
o
dm
图(2)
x
例 3. 求质量为 m ，半径为 R 的均匀薄圆环的转 动惯量，轴与圆环平面垂直并通过其圆心。
Z
oR
解: J R2dm R2 dm mR2
dm
m
例4: 求质量为 m、半径为 R、薄圆盘的转动惯量。轴与盘 平面垂直并通过盘心。
解：设面密度为 ，取半径为 r 宽为
t
m1 m2 grt m1 m2 r 2 J
T1 T2
例2. 质量分别为m和2m、半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，
同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑
固定轴转动，对转轴的转动惯量为9mr2 / 2，大小圆盘边缘
都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重物，如图所
示．求盘的角加速度的大小． 解：受力分析如图．
ri 2mi )
i
i
定义： J ( ri2mi ) -------刚体对于转轴的转动惯量 i
刚体的角动量
L
J
大小： 方向：
L的J方向。
与线量比较：
p L
mv
J
m 惯性质量(平动惯性) J 转动惯量(转动惯性)
二、刚体所受力矩
设刚体受外力：F1、F2…Fi…Fn
1. 当质元受 合外 力Fi 时该力对转轴的力矩 Mi ri Fi
由方于位在 不定 变，轴故转动中, 轴只的
当减速转动时,
与
方向相反;
有沿轴的正负两个方向， 可以用标量代替。
５.当角加速度是常量时：
0 t
(
0
)
t
1 2
t2
2 02 2 ( 0 )
P点线加速度
a r an 2r
§5.2 刚体定轴转动定律
一、刚体的角动量
将刚体看成许多质量分别为m1 ; m2 …mi……mn的质点;
i
d Li d d t dt
i
Li
dL dt
J d
dt
J
M J
刚体对于某一转轴所受的合外力矩等于刚体对该转轴 的转动惯量与在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘 积。--------刚体定轴转动定律
特例： 平衡时，β = 0， ∴M= 0 (合力矩为零）
应用时注意：M、 的正负号.
例1. 如图所示，设两重物的质量分别为m1和m2，且m1＞m2， 定滑轮的半径为r，对转轴的转动惯量为J，轻绳与滑轮间 无滑动，滑轮轴上摩擦不计．设开始时系统静止，试求t时 刻滑轮的角速度．
第5章 刚体的定轴转动
转轴
第5章 刚体的定轴转动
本章将介绍一种特殊的质点系——刚体——所遵循的 力学规律。着重讨论刚体的定轴转动。
§5.1 刚体转动的描述
一、 概念
1. 刚体: 在受外力作用时不改变形状和体积的物体称刚体。
(1)刚体是理想化模型。
(2)刚体可以看作是由许多质点组成的质点 系，每一个质点叫做刚体的一个质元，刚 体这个质点系的特点是，在外力作用下各 质元之间的相对位置保持不变。