解三角形复习汇总

解三角形解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

2．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；3．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.4．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

（1）角的变换因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。

2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+； （2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式5．求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图； （3）求解：正确运用正、余弦定理求解； （4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。

《解三角形》全章知识复习与巩固【学习目标】1.正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2.应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题【知识网络】【要点梳理】要点一：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即：sin sin sin a b c A B C == 要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形，且2sin sin sin a b c R A B C===（R 为ABC ∆的外接圆半径）； （2）应用正弦定理解决的题型：①已知两角和一边，求其它②已知两边和一边的对角，求其它．（3）在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.要点二：余弦定理在△ABC 中，A bc c b a cos 2222-+=，B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=变形为：bc a c b A 2cos 222-+=，ac b c a B 2cos 222-+=，abc b a C 2cos 222-+=要点诠释：（1）应用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角②已知两边和一边的对角，求其它③已知两边和夹角，求其它；（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别；（3）正、余弦定理可以结合使用.要点三：三角形的面积公式 (1) 111222a b c S ah bh ch ===，其中,,a b c h h h 为,,a b c 边上的高 (2)B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===（3）S =2a b c p ++= 要点四：三角形形状的判定方法设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C ，解斜三角形的主要依据是：（1）角与角关系：由于A +B +C = π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC ；2sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+； （2）边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a < b ；（3）边与角关系：正弦定理、余弦定理常用两种途径：（1）由正余弦定理将边转化为角；（2）由正余弦定理将角转化为边.要点诠释：①化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等综合结合起来.②在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列.要点五：解三角形应用的分类（1）距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；（2）高度问题（最后都转化为解直角三角形）；（3）角度问题；（4）面积问题.【典型例题】类型一：正、余弦定理的基本应用例1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A+C ＝2B ．(1)求cos B 的值；(2)若b 2＝ac ，求sin A sin C 的值．【思路点拨】由题设“A+C ＝2B ”易知B ＝60°，又由边之间的关系“b 2＝ac ”，如何求“sin A sin C ”的值？正、余弦定理的运用都可以求出值.【解析】(1)由已知2B ＝A+C ，A+B+C ＝180°，解得B ＝60°，所以1cos 2B =． (2)解法一：由已知2b ac =，及1cos 2B =， 根据正弦定理得2sin sin sin B A C =， 所以23sin sin 1cos 4A C B =-=． 解法二：由已知2b ac =，及1cos 2b =，根据余弦定理得22cos 2a c ac B ac+-=， 解得a ＝c ，所以A ＝C ＝B ＝60°，故3sin sin 4A C =． 【总结升华】利用正弦定理和余弦定理求解三角形中的边、角等基本量是考试的重点，注意灵活利用三角形中的内角和定理，实现角的互化，灵活利用正、余弦定理的变形.举一反三：【变式1】在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，41C cos =，则c ＝ ；sinA ＝ ． 【答案】∵在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，41C cos =， ∴由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝1＋4－1＝4，即c ＝2； ∵41C cos =，C 为三角形内角， ∴415C cos 1C sin 2=-= ∴由正弦定理Asin C sin a c =得：81524151C sin A sin =⨯==c a ． 故答案为：2；815【变式2】在△ABC 中,若2a =,7b c +=,1cos 4B =-,则b =___________. 【答案】在ABC ∆中,得用余弦定理 22214()()47()cos 2444a c b c b c b c b B ac c c+-++-+-=⇒-==,化简得8740c b -+=,与题目条件7b c +=联立,可解得2,4,3a b c ===. 故答案为4.类型二：正、余弦定理的综合应用例2. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c ，已知→→BC BA ·＝2，cosB ＝31，b ＝3，求：(Ⅰ)a 和c 的值；(Ⅱ)cos(B －C)的值．【答案】(Ⅰ) a ＝3，c ＝2，(Ⅱ)2723． 【思路点拨】（1）由平面向量的数量积，易求出ac=6,然后利用余弦定理求出即可；（2）画出简易图，将已知条件在图上标出来，运用正弦定理求得角C 的正弦值.【解析】(Ⅰ)∵→→BC BA ·＝2，cosB ＝31， ∴c •acosB ＝2，即ac ＝6①，∵b ＝3，∴由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，即9＝a 2＋c 2－4，∴a 2＋c 2＝13②，联立①②得：a ＝3，c ＝2；(Ⅱ)在△ABC 中，sinB ＝322)31(1cos 122=-=-B ， 由正弦定理C c B b sin sin =得：sinC ＝b c sinB ＝92432232=⨯， ∵a ＝b ＞c ，∴C 为锐角，∴cosC ＝97)924(1sin 122=-=-C ， 则cos(B －C)＝cosBcosC ＋sinBsinC ＝31×97＋2723924322=⨯． 【总结升华】解答该类题目要注意以下几个方面：（1）借助图形标注已知和所求；（2）利用三角形的性质把相关条件化归到同一个三角形中；（3）注意灵活利用正、余弦定理，实施边、角互化.举一反三：【变式1】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b=20acosA ，则sinA ：sinB ：sinC 为（ ）A ．4:3:2 B. 5：6：7 C. 5:4:3 D. 6:5:4【答案】由于a ，b ，c 三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，可设三边长分别为 a 、a-1、a-2．由余弦定理可得 222222(1)(2)5cos 22(1)(2)2(2)b c a a a a a A bc a a a +--+---===--- 又3b=20acosA ，可得33(1)5cos 20202(2)b a a A a a a --===- 解得6a =，故三边是6,5,4.由正弦定理可得sinA ：sinB ：sinC=6:5:4【变式2】已知△ABC 中cos cos a A b B =，试判断△ABC 的形状.【答案】方法一：用余弦定理化角为边的关系 由cos cos a A b B =得22222222b c a a c b a b bc ac+-+-⋅=⋅， 整理得22222222()()a b c a b a c b +-=+-，即22222()()0a b a b c -+-=，当220a b -=时，ABC ∆为等腰三角形；当2220a b c +-=即222a b c +=时，则ABC ∆为直角三角形；综上：ABC ∆为等腰或直角三角形。

《解直角三角形》专题复习一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：【∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°】2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

几何表示：【∵∠C=90°∠A=30°∴BC=21AB 】 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

几何表示：【∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=21AB=BD=AD 】4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 几何表示：【在Rt △ABC 中∵∠ACB=90° ∴222c b a =+】5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。

即：【∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD •=2AB AD AC •=2 AB BD BC •=2】6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。

（a b c h •=•）由上图可得：AB •CD=AC •BC二、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90°c asin =∠=斜边的对边A Ac bcos =∠=斜边的邻边A Ab atan =∠∠=的邻边的对边A A Aab cot =∠∠=的对边的邻边A A A锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0，cot α≥0.三、锐角三角函数之间的关系（1）平方关系(同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1) 1cos sin 22=+A A（2）倒数关系（互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数） tanA •tan(90°—A)=1； cotA •cot(90°—A)=1； （3）弦切关系tanA=A Acos sin cotA=AA sin cos（4）互余关系(互为余角的两个角，它们相反函数名的值相等) sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)AC BDsin A sin c A ，cos b c A 12S ab =）结论：直角三角形斜边上的高）测底部不可到达物体的高度BP=xcot α 东 西 2八、基本图形（组合型）翻折平移九、解直角三角形的知识的应用问题：(1)测量物体高度．(2)有关航行问题．(3)计算坝体或边路的坡度等问题十、解题思路与数学思想方法图形、条件单个直角三角形直接求解实际问题数学问题辅助线构造抽象转化不是直角三角形直角三角形方程求解常用数学思想方法：转化、方程、数形结合、分类、应用【聚焦中考考点】1、锐角三角函数的定义2、特殊角三角函数值3、解直角三角形的应用【解直角三角形】经典测试题（1——10题每题5分，11——12每题10分，13——16每题20分，共150分） 1、在△ABC 中，若22cos =A ，3tan =B ，则这个三角形一定是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形 2、sin65°与cos26°之间的关系为（ ）A. sin65°< cos26°B. sin65°> cos26°C. sin65°= cos26°D. sin65°+ cos26°=1 3、如图1所示，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（ ）A. 7米B. 9米C. 12米D. 15米4、如图2，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（ ）A. αsin 1B. αcos 1C. αsinD. 1图15、把直角三角形中缩小5倍，那么锐角∠A 的正弦值 ( ) A. 扩大5倍 B. 缩小5倍 C. 没有变化 D. 不能确定6、如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为BC 上的一点，AD=BD=2，AB=23，则： AC 的长为（ ）．A ．3B ．22C ．3D ．3227、如果∠A 是锐角，且3sin 4B =，那么（ ）． A ．030A ︒<∠<︒ B ．3045A ︒<∠<︒C ．4560A ︒<∠<︒D ．6090A ︒<∠<︒8、已知1cos 3α=，则3sin tan 4sin 2tan αααα-+的值等于（ ）A.47B.12C ．13D ．09、 若一个等腰三角形的两边长分别为2cm 和6cm ，则底边上的高为__________cm ，底角的余弦值为______。

§8.解三角形1、三角形中的性质：①π=++C B A ⇒C B A sin )sin(=+， .cos )cos(C B A -=+222C B A -=+π⇒2cos 2sin C B A =+， .2sin 2cos C B A =+ ②c b a >+； c b a <-③b a +⇔B A >⇔B A sin sin >⇔B A cos cos <.2、正弦定理：2sin sin sin a b c R C===A B ．R 为C ∆AB 的外接圆的半径. 3、正弦定理的变形公式：①边化角公式：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②角化边公式：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b c C A B A C B C C +++++======A +B ++++A B ． 4、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 5、余弦定理： 2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b abC =+-．角化边公式：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=． 6、解三角形 （1）利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： ①已知两角和任一边，求其他两边和一角； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（2）利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：①已知三边，求三个角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角7、判断三角形的形状：（1）根据所给条件确定三角形的形状，常用正弦余弦定理实施边角转化，主要有两种途径： ①化边为角；②化角为边。

解直角三角形一、知识点讲解：1．解直角三角形的依据在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么（1）三边之间的关系为（勾股定理）（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90°（3）边角之间的关系为2．其他有关公式面积公式：（hc为c边上的高）3．解直角三角形的条件在除直角C外的五个元素中，只要已知其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余三个元素。

4．解直角三角形的关键是正确选择关系式在直角三角形中，锐角三角函数是勾通三角形边角关系的结合部，只要题目中已知加未知的三个元素中有边，有角，则一定使用锐角三角函数，应如何从三角函数的八个公式中迅速而准确地优选出所需要的公式呢？（1）若求边：一般用未知边比已知边，去寻找已知角的某三角函数（2）若求角：一般用已知边比已知边（斜边放在分母），去寻找未知角的某三角函数。

（3）在优选公式时，尽量利用已知数据，避免“一错再错”和“累积误差”。

5．解直角三角形时需要注意的几个问题（1）在解直角三角形时，是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长度或角的大小，这是数形结合为一种形式，所以在分析问题时，一般先根据已知条件画出它的平面或截面示意图，按照图中边角之间的关系去进行计算，这样可以帮助思考，防止出错。

（2）有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，从而把它们转化为直角三角形的问题来解决。

（3）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算二、例题解析：例1、已知直角三角形的斜边与一条直角边的和是16cm，另一条直角边为8cm，求它的面积，解：设斜边为c，一条直角边为a，另一条直角边b=8cm，由勾股定理可得，由题意，有c+a=16 ，b=8例2、在△ABC中，求：a、b、c的值及∠A。

解：，由直角三角形的边角关系，得，即又∵a+b=3+例3、已知△ABC中，∠C=90°，若△ABC的周长为30，它的面积等于30，求三边长。

中考解直角三角形知识点整理复习解直角三角形知识点复习一、定义直角三角形是指其中一个角是直角的三角形。

直角指的是一个角度为90°的角。

二、性质1.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理。

设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则有a^2+b^2=c^22.直角三角形的斜边是两个直角边中最长的边，而且直角三角形中的直角边是两个锐角的对边。

3.直角三角形中的两个锐角互余。

4.在直角三角形中，两个锐角的正弦、余弦和正切值互为倒数。

三、特殊直角三角形1.等腰直角三角形：定义：顶角为90°的等腰三角形。

性质：两个直角边相等，斜边为直角边的根号2倍。

2.30°-60°-90°直角三角形：定义：一个锐角为30°，一个锐角为60°的直角三角形。

性质：-斜边是短直角边的2倍；-长直角边是短直角边的根号3倍；-高（垂直于短直角边的线段）是短直角边的根号3倍的一半。

3.45°-45°-90°直角三角形：定义：两个锐角都为45°的直角三角形。

性质：-斜边是任意一个直角边的根号2倍；-高（垂直于底边的线段）是底边的一半。

四、解直角三角形问题的步骤1.已知两条边，求第三条边。

a)如果已知两条直角边a和b，可以直接使用勾股定理求解斜边c：c=√(a^2+b^2)。

b)如果已知一条直角边a和斜边c，可以使用勾股定理求解另一条直角边b：b=√(c^2-a^2)。

2.已知一条直角边和一个锐角，求另一条直角边和斜边。

a) 如果已知一条直角边a和一个锐角θ，可以求出另一条直角边b：b = a * tanθ。

b)如果已知一条直角边a和斜边c，可以求出另一条直角边b：b=√(c^2-a^2)。

c) 如果已知一条直角边a和一个锐角θ，可以求出斜边c：c = a / cosθ。

3.已知两条直角边之间的比例，求两个直角边和斜边的长度。

高中数学解三角形知识点总结一、引言解三角形是高中数学中的一个重要内容，它涉及到三角形的边长、角度以及面积等基本元素的计算和应用。

本文旨在总结解三角形的核心知识点，为学生提供一个复习和参考的框架。

二、基本概念1. 三角形的边和角- 三角形的内角和定理：三角形内角和恒为180度。

- 三角形的外角：一个三角形外角等于与其不相邻的两个内角之和。

2. 三角形的分类- 按边分类：等边三角形、等腰三角形、不等边三角形。

- 按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

三、三角形的性质1. 边长关系- 三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

2. 角度关系- 对应角定理：在直角三角形中，大边对大角，小边对小角。

3. 特殊三角形的性质- 等边三角形：三边相等，三个内角均为60度。

- 等腰三角形：两边相等，底角相等。

- 直角三角形：一个角为90度，勾股定理适用。

四、解三角形的方法1. 边角互解- 利用正弦定理和余弦定理求解未知边长和角度。

2. 正弦定理- 公式：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)- 应用：适用于任意三角形，特别是边角不全知的情况。

3. 余弦定理- 公式：c² = a² + b² - 2ab*cos(C)- 应用：适用于已知两边及夹角的情况。

4. 三角形面积公式- 基本公式：Area = 1/2 * base * height- 海伦公式：Area = √(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))，其中s为半周长。

五、解三角形的应用1. 实际问题中的运用- 测量问题：利用三角形知识解决实际测量问题，如高度、距离的估算。

- 建筑设计：在建筑设计中，利用三角形的稳定性和解三角形的方法进行结构计算。

2. 解题技巧- 选择合适的定理：根据已知条件选择使用正弦定理还是余弦定理。

- 转换思想：将问题转化为已知条件可解的形式。

六、结论解三角形是高中数学中的基础内容，掌握其核心知识点对于解决相关数学问题至关重要。

中考解直角三角形考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCa b c弦股勾勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即c asin=∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c bcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即batan =∠∠=的邻边的对边A A A④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值三角函数 30°45°60°sinα21 22 23cos α 23 22 21tan α 33 1 3cot α31334、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ； （2）平方关系：1cos sin22=+A A（3）倒数关系：tanA •tan(90°—A)=1 （4）商（弦切）关系：tanA=AAcos sin5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

解三角形专题复习解三角形基本知识一、正弦定理：1.正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：①C B A c b a sin :sin :sin ::=②角化边 C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2===③边化角 RcC R b B R a A 2sin 2sin 2sin === 如：△ABC 中，①B b A a cos cos =②B a A b cos cos =3.三角形内角平分线定理：如图△ABC 中，AD 是A ∠4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，a 无解；②A b a sin =或b a ≥时，a 有一个解； ③b a A b <<sin 时，a 有两个解。

二、三角形面积 1.B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ 2. r c b a S ABC)(21++=∆,其中r 是三角形内切圆半径. 注:由面积公式求角时注意解的个数三、余弦定理1.余弦定理：)cos 1(2)(cos 22222A bc c b A bc c b a +-+=-+= )cos 1(2)(cos 22222B ac c a B ac c a b +-+=-+= )cos 1(2)(cos 22222C ab b a C ab b a c +-+=-+= 注：后面的变形常与韦达定理结合使用。

2.变形：bc a c b A 2cos 222-+= ac b c a B 2cos 222-+= abc b a C 2cos 222-+=注意整体代入，如：21cos 222=⇒=-+B ac b c a3.三角形中线：△ABC 中， D 是BC 的中点，则222221BC AC AB AD -+= 4.三角形的形状①若222c b a >+时,角C 是锐角 ②若222c b a =+时,角C 是直角③若222c b a <+时,角C 是钝角如:锐角三角形的三边为x ,2,1,求x 的取值范围; 钝角三角形的三边为x ,2,1,求x 的取值范围; 5.应用①用余弦定理求角时只有一个解 ②已知32,2,60===O b a A ,求边c课后作业一、选择题1．在ABC ∆中，6=a ， 30=B ，120=C ，则ABC ∆的面积是（ ）A ．9B ．18C ．39D ．3182．在ABC ∆中，若bBa A cos sin =，则B 的值为（ ） A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ．903．在ABC ∆中，若B a b sin 2=，则这个三角形中角A 的值是（ ）A ． 30或 60B ． 45或 60C ． 60或 120D ．30或 150 4．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）A ．10=b ， 45=A ， 70=CB ．60=a ，48=c ，60=BC ．7=a ，5=b ， 80=AD ．14=a ，16=b ，45=A5．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程02322=-+x x 的根，则第三边长是（ ）A ．20B ．21C ．22D ．61 6．在ABC ∆中，如果bc a c b c b a 3))((=-+++，那么角A 等于（ ）A ．30 B ．60 C ．120 D ．1507．在ABC ∆中，若60=A ，16=b ，此三角形面积3220=S ，则a 的值是（ ）A ．620B ．75C ．51D ．49 8．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（ ）A ．223B ．233 C ．23 D ．339．在ABC ∆中，若12+=+c b ， 45=C ，30=B ，则（ ）A ．2,1==c bB ．1,2==c bC ．221,22+==c bD ．22,221=+=c b 10．如果满足60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（ ）A ．38=kB ．120≤<kC ．12≥kD ．120≤<k 或38=k11．在ABC ∆中，若6:2:1::=c b a ，则最大角的余弦值等于_________________．12．在ABC ∆中，5=a ， 105=B ，15=C ，则此三角形的最大边的长为_________． 13．在ABC ∆中，已知3=b ，33=c ，30=B ，则=a __________________． 14．在ABC ∆中，12=+b a ， 60=A ，45=B ，则=a _________，=b _________．15、已知△ABC 中，22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sin B ，△ABC 外接圆半径为2. （1）求∠C ； （2）若2=b ，求△ABC 的面积.17、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，已知22sin 2sin 22c A b B a =+。

解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备:1.直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C =9０°，AB =c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

(1）三边之间的关系:a ２+ｂ２＝c 2。

（勾股定理） (２)锐角之间的关系：A ＋Ｂ=90°； （３)边角之间的关系:（锐角三角函数定义) s ｉｎA ＝ｃos B =c a ，cos A =sin B =c b ，ｔａn Ａ＝ba。

2.斜三角形中各元素间的关系:在△ABC 中,A 、B 、Ｃ为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、Ｃ的对边。

(１）三角形内角和：Ａ＋B +C =π。

(２)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等R CcB b A a 2sin sin sin ===(R 为外接圆半径） （3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍ａ2=b 2+c 2-2ｂｃcos Ａ； b ２＝ｃ2+a 2-2c ａcos B ; c 2＝a ２＋ｂ２-2ａb c ｏｓC 。

3．三角形的面积公式:(1）∆S =21ah ａ=21bh b ＝21ch c (ｈａ、h b 、h c 分别表示ａ、b 、c 上的高）； （2）∆S =21ab s ｉｎC =21ｂc ｓi ｎA ＝21ac s ｉｎＢ;４．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. (2）两类余弦定理解三角形的问题:第1、已知三边求三角.②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ,0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评:应用正弦定理时(1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形;（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2:三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22,AC =2,3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。

解三角形【Ⅰ】、解三角形知识点1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有2sin sin sin a b cR C ===A B (R 为C ∆AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②sin 2aRA =，sin 2b RB =，sin 2cC R =；③::sin :sin :sin a b c C =A B ；利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos ab c bc =+-A ，推论：222cos 2+-A =b c a bc利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.【Ⅱ】、典型例题： 一、利用正弦定理解题1、在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（ ） A ．b =20，A =45°，C =80° B ．a =30，c =28，B =60° C ．a =14，b =16，A =45°D ．a =12，c =15，A =1202、301205,, 在中，已知，解三角形。

ABC A B b ∆===3、已知122tan ,tan ,ABC B C ∆==-面积为1，求ABC ∆的边长以及外接圆的面积。

二、利用余弦定理解题1、在ABC ∆中，若其面积222S =，则C ∠=_______。

2、边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．01503、在ABC ∆中，32104,,cos ,.C A a c A b =+==求三、三角形形状的判定1、在△ABC 中，若)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+，请判断三角形的形状。

课前复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式1两角和与差的正弦公式,sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.2两角和与差的余弦公式,cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcos+sinαsinβ3两角和、差的正切公式tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； tan(α-β)=.tan tan 1tan tan βαβα+-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 简单的三角恒等变换二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-= ⑶22tan tan 21tan ααα=- 默写上述公式，检查上次的作业 课本上的!解三角形知识点总结及典型例题2+=(A x c恒成立，所以其图像与x轴没有交点。

中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是=30A；︒B；=30︒S=ABC题型4 判断三角形形状5] 在【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。

高三期末复习：解三角形一、知识点梳理： 1、正弦定理：在△ABC 中，R CcB b A a 2sin sin sin === 注：①R 表示△ABC 外接圆的半径 ②正弦定理可以变形成各种形式来使用 2、余弦定理：在△ABC 中，A bc c b a cos 2222-+=B ac c a b cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+=也可以写成第二种形式：bc a c b A 2cos 222-+=，ac b c a B 2cos 222-+=，abc b a C 2cos 222-+=3、疑点：解三角形问题解决过程中，注意：① 角的联系：π=++C B A ② 角的范围：),0(,,π∈C B A ③ 边角的关系与转换，如：sin sin A B a b A B >⇔>⇔>△ABC 的面积公式，B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21=== 二、诊断练习：1、判定下列三角形的形状（1）在△ABC 中，已知38,4,3===c b a ，请判断△ABC 的形状。

（2）在△ABC 中，已知C B A 222sin sin sin <+，请判断△ABC 的形状。

（3）在△ABC 中，已知bc a A ==2,21cos ，请判断△ABC 的形状。

（4）在△ABC 中，已知C B bc B c C b cos cos 2sin sin 2222=+，请判断△ABC 的形状。

（5）在三角形ABC 中,sinA=sin sin sin cosB+cosCB CA +=,判断三角形的形状2、在△ABC 中，已知030,4,5===A b a ，则△ABC 的面积__________；3、在△ABC 中， a=12，A=060，要使三角形有两解，则对应b 的取值范围为__________；4、在△ABC 中，若△ABC 的面积为S ，且22)(2c b a S -+=，则tanC 的值__________； 5、在△ABC 中，已知87cos ,6,0222===--A a c bc b ，则△ABC 的面积__________； 三、典型例题1、设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=．（Ⅰ）求BAtan tan 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值．2、在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=．（Ⅰ）若ABC △a b ，；（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．3、设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且cos 3a B =，sin 4b A =． （Ⅰ）求边长a ；（Ⅱ）若ABC △的面积10S =，求ABC △的周长l ．4、在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45且与点A 相距海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45+θ(其中sin θ=26，090θ<< )且与点A 相距海里的位置C .（I ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II ）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.四、课后练习：1、等腰三角形顶角的正弦值为2524，则底角的余弦值为__________； 2、在ΔABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则ΔABC 的形状一定是__________三角形；3、在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan =+，给出以下四个论断，其中正确的是__________； ①1cot tan =⋅B A②2sin sin 0≤+<B A③1cos sin 22=+B A④C B A 222sin cos cos =+4、在直角三角形ABC 中，A 、B 为锐角，则sinAsinB 的取值范围是__________；5、在ΔABC 中，sinA ︰sinB ︰sinC ＝2︰3︰4，则cos C ＝__________；6、给出下列四个命题，则正确的命题为__________；⑴ 若sin2A=sin2B ，则△ABC 是等腰三角形 ⑵ 若sinA=cosB ，则△ABC 是直角三角形 ⑶ 若cosA·cosB·cosC ＜0, 则△ABC 是钝角三角形 ⑷ 若cos(A －B)cos(B －C)cos(C －A) = 1, 则△ABC 是等边三角形7、已知△ABC 中，135cos ,54sin ==B C ，则A cos ＝__________； 8、在ABC ∆中，D 为BC 中点，45,30,BAD CAD ∠=︒∠=︒2=AB ,则AD =__________；9、已知△ABC 中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则2AC BC AB BC AC BC AC++⋅的最大值为__________； 10、在△ABC 中，求证：2222112cos 2cos ba b B a A -=-11、设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （1）求B 的大小； （2）求cos sin A C +的取值范围．12、在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =． （Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长．13、如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD DC ，，且拐弯处的转角为120 ．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的 半径OA 的长（精确到1米）．。

解三角形总结复习一、正弦定理:2()sin sin sin a b cR A B C===其中R 为外接圆的半径 ⑴已知两边及其一边的对角，例如已知边,及角A a b ，那么就可以通过sin sin a bA B=求角B 那么这里就会出现一个问题，B 角有可能两个解，如何判断呢/①若,a b A B >>则，故角B 一定是锐角，此时一解（填空或者解答题中如果没出现这种情况，一般都是两解）②若a b <，当sin b A a >，则此时三角形无解 当sin b A a =，则此时只有一解 当sin b A a <，则此时有两个解⑵已知两角及任意一边，例如角A,B 及边c 已知，那么可以通过三角形内角和求得第三角，然后运用正弦定理求边。

⑶用于边和角的转化，例如通过2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，可以将边转化为角，同理，也可以将角转化为边。

二、余弦定理：⑴已知三角形的三边，那么可以求出任意一个角，如下：222b +c cos =2a A bc-222cos 2a c b B ac+-=222cos 2b a c C ab+-=⑵已知三角形的两边及其夹角，那么就可以求出第三边，如下：2222222222cos =2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C=+-+-=+-【注】：余弦定理也常用来判断ABC 是锐角三角形还是钝角三角形，例如要判断角A ：A222b +c -a 0,cosA 0,ABC >> 若那么则是锐角三角形 222b +c -a 0,cosA 0,ABC <> 若那么则是钝角三角形三、常用公式：面积公式：111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===收缩公式：sin cos )a b θθ=θθ+)θϕ=+其中cos ϕϕ==1cos cos )2θθθθ+=+而又1cos6262ππ==cos 2(sin coscos sin )2sin()666πππθθθθθ+=+=+降幂公式：221cos 21sin 2cos ,sin 22θθθθ+-== 正弦和角公式：sin()sin cos cos sin θϕθϕθϕ+=+ 正弦差角公式：sin()sin cos cos sin θϕθϕθϕ-=- 余弦合角公式：cos()cos cos sin sin θϕθϕθϕ+=- 余弦差角公式：cos()cos cos sin sin θϕθϕθϕ-=+ 特别的，二倍角公式：sin 22sin cos θθθ=2222cos 2cos sin 2cos 112sin θθθθθ=-=-=-（此为降幂公式推导方法）三角形中的诱导公式：ABC A=-sin ππ 在中，由于（B+C ）,故A=sin(-B-C)=sin(B+C)四、常出现的题型：⑴给出两边及其一边的对角，求第三边或者三角形的面积 例：53ABC A AB ABC π== 在中，，，BC=7，则的面积为多少？解：方法一（直接运用余弦定理）222cos 2AB AC BC A AB AC+-=⋅,即()()830AC AC -+=，故AC=8，那么面积11sin 5822S AB AC A =⋅=⨯⨯= 方法二（正弦定理）,sin sin sin BC AB A C =得，,,BC AB A C C >>又故则为锐角，那么11cos 14C =，sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+=然后由正弦定理： sin sin BC AC A B =,得AC=8，同上11sin 58222S AB AC A =⋅=⨯⨯⨯= ⑵既含有边又含有角的等式（把角全转化为边或者把边全转化为角，特别的如果出现了某个角的余弦，一般把边转化为角）例：,,ABC A B C 在中，角所对的边分别为a,b,c,）cosA=acosC求cosA解：分析：题目中出现了余弦，所以把边全转化为角的正弦或者余弦等价变形为：()0-+=sinCcosA sinAcosCsin()0A C -+=cos 那么例：2cos 22A b c ABC ABC c+= 在中，，判断的形状。