贵州省高中数学人教版必修5第二章数列2.3等差数列前n项和同步练习

高中数学学习材料唐玲出品2.3 等差数列的前n 项和(人教A 版必修5)建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题（每小题3分，共27分）1.已知数列{}n a 为等差数列，公差2d ＝－，n S 为其前n 项和．若1011S S ＝，则1a ＝( )A.18B.20C.22D.242.若11a =，2d ＝，224k k S S ＋－＝，则k ＝( ) A.8 B.7 C.6 D.53.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1a =12，4S ＝20，则6S =( ) A.16 B.24 C.36 D.484.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11m m a a －＋＋－2ma ＝0，21m S －＝38，则m ＝( )A.38B.20C.10D.95.数列{}n a 是等差数列，12324a a a ＋＋＝－，1819a a ＋＋2078a ＝，则此数列的前20项和等于( )A.160B.180C.200D.2206.等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，2811a a a ＋＋是一个定值，则下列各数中也为定值的是( )A.7SB.8SC.13SD.15S7.已知等差数列{}n a 满足244a a ＋＝，3510a a ＋＝，则它的前10项的和10S ＝( )A.138B.135C.95D.238.已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n 为( ) A.24 B.26 C.27 D.289.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1OB a OA=200a OC +且,,A B C 三点共线(该直线不过点O )，则200S ＝( )A.100B.101C.200D.201二、填空题（每小题4分，共16分）10.在等差数列{}n a 中，10a ＞，d ＝12，n a ＝3，n S ＝152，则1a ＝ ，n ＝ . 11. 设等差数列的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= ．12.已知等差数列{}n a 的前n 项和为18，若3S ＝1，n a 123n n a a －－＋＋＝，则n ＝ .13.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 ． 三、解答题（共57分）14.(8分)在等差数列{}n a 中：(1)已知51058a a ＋＝，4950a a ＋＝，求10S ； (2)已知742S ＝，510n S ＝，345n a －＝，求n .15.（8分) 已知}{n a 为等差数列，122,3a a ==，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的项构成一个新的等差数列，求：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？（2）新数列的第29项是原数列的第几项？16.（8分）已知等差数列{}n a ， (1)若271221a a a ＋＋＝，求13S ； (2)若1575S ＝，求8a .17.（9分）已知在正整数数列{}n a 中，前n 项和n S 满足：n S ＝18(n a ＋2)2.(1)求证：{}n a 是等差数列；(2)若n b ＝12n a －30，求数列{}n b 前n 项和的最小值．18.（12分）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,且4S =－62, 6S =－75,求：（1）}{n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）|1a |+|2a |+|3a |+…+|14a |.19.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和278n S n n ＝－－. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和n T .2.3 等差数列的前n和(人教A版必修5)答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9答案二、填空题10． 11． 12. 13.三、解答题14.15.16.17.18.19.2.3 等差数列的前n项和(人教A版必修5)答案1.B 解析：由1011S S ＝，得1111100a S S ＝－＝，111(111)0(10)(2)20a a d ⨯＝＋－＝＋－－＝.2.D 解析：∵ 212111(1)2(21)21(21)24424k k k k S S a a a kd a k d a k d k k ⨯⨯＋＋＋－＝＋＝＋＋＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝，∴ 5k ＝.3.D 解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，∵ 1a ＝12，4S ＝4×12＋4×32d ＝2＋6d ＝20，∴ d ＝3，故6S ＝6×12＋6×52×3＝48，故选D.4.C 解析：由等差数列的性质，得112m m m a a a －＋＋＝，∴ 22m m a a ＝.由题意得0m a ≠，∴ 2m a ＝.又21m S －＝121(21)()2(21)22m m m a a a m --+-=＝2(21)m －＝38，∴ m ＝10.5.B 解析：∵ {}n a 是等差数列，∴ 120219318a a a a a a ＋＝＋＝＋.又12324a a a ＋＋＝－，18192078a a a ＋＋＝，∴ 12021931854a a a a a a ＋＋＋＋＋＝. ∴ 1203()54a a ＋＝.∴ 12018a a ＋＝.∴ 20S ＝12020()2a a +＝180. 6.C 解析：由已知28111173183(6)3a a a a d a d a ＋＋＝＋＝＋＝为定值，则13S ＝11313()2a a +＝137a 也为定值，故选C. 7.C 解析：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则24354,10.a a a a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②②－①，得2d ＝6，∴ d ＝3.∴ 2411113242434a a a d a d a d a ⨯＋＝＋＋＋＝＋＝＋＝.∴ 14a ＝－.∴ 10S ＝10×(－4)＋10×92×3＝－40＋135＝95.故选C.8.B 解析：设该等差数列为{}n a ，由题意得123421a a a a ＋＋＋＝，12367n n n n a a a a －－－＋＋＋＝. 又∵ 1213243n n n n a a a a a a a a －－－＋＝＋＝＋＝＋，∴ 14()216788n a a ＋＝＋＝，∴ 122n a a ＋＝， ∴ n S ＝1()2n n a a +11286n ＝＝，∴ 26n ＝. 9.A 解析：∵ 1200OB a OA a OC =+，且,,A B C 三点共线， ∴ 12002001a a S ＋＝，＝1200200()2a a +100＝.二、填空题10.23 解析：由题意，得1113(1)21511=(1),222a n na n n ⎧=+-⨯⎪⎪⎨⎪+⨯-⨯⎪⎩，解得12,3.a n =⎧⎨=⎩ 11.24 解析：∵ }{n a 是等差数列,972S =,599,S a ∴=58a =.∴2492945645()()324a a a a a a a a a a ++=++=++==. 12.27 解析：由题意得1()182n n n a a S +==. 由121233,1,n n n a a a a a a --++=⎧⎨++=⎩得13()4n a a ＋＝，即1n a a ＋＝43，故n ＝136362743na a ==+. 13.3 解析：1357915S a a a a a 奇＝＋＋＋＋＝，24681030S a a a a a 偶＝＋＋＋＋＝，∴ 515S S d 偶奇－＝＝，∴ 3d ＝.14.(1)解法一：由已知条件得510149121358,21150,a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩解得13,4.a d =⎧⎨=⎩∴ 10110S a ＝＋10(101)2d ⨯-⨯103⨯＝＋1092⨯4210⨯＝. 解法二：由已知条件得51011049110458,250,a a a a d a a a a d +=++=⎧⎨+=++=⎩∴ 11042a a ＋＝，∴ 10S ＝11010()2a a ⨯+542210⨯＝＝.解法三：由51049()()25850a a a a d ＋－＋＝＝－，得4d ＝； 由4950a a ＋＝，得121150a d ＋＝，∴ 13a ＝. 故10103S ⨯＝＋10942102⨯⨯=. (2)解：7S ＝177()2a a +4742a ＝＝，∴ 46a ＝. ∴ n S ＝()()()14345510222-+++===6n n n a a n a a n .∴ 20n ＝.15.解：设新数列为{},4,)1(,3,2,1512511d b b d n b b a b a b b n n +=-+=====有根据则即3=2+4d ，∴ 14d =，∴ 172(1)44n n b n +=+-⨯=. 1(43)7(1)114n n a a n n -+=+-⨯=+=又，∴ 43n n a b -=.即原数列的第n 项为新数列的第（4n －3）项．（1）当n =12时，4n －3=4×12－3=45，故原数列的第12项为新数列的第45项； （2）由4n －3=29,得n =8，故新数列的第29项是原数列的第8项. 16.解：(1)∵ 21211372a a a a a ＋＝＋＝，271221a a a ＋＋＝， ∴ 7321a ＝，即7a ＝7. ∴ 13S ＝11313()2a a +＝71322a ⨯＝91. (2)∵ 15S ＝11515()2a a +＝81522a ⨯＝75，∴ 8a ＝5. 17.（1）证明：由21(2)8n n S a ＝＋，得2111(2)8n n S a －－＝＋(n ≥2)．当n ≥2时，n a ＝n S －1n S －＝182(2)n a ＋－1821(2)n a －＋，整理，得11()(4)0n n n n a a a a －－＋－－＝.∵ 数列{}n a 为正整数数列，∴ 10,n n a a +≠－ ∴ 14n n a a －－＝，即{}n a 为等差数列．(2)解：∵ 1S ＝1821(2)a ＋，∴ 1a ＝1821(2)a ＋，解得1a ＝2.∴ n a ＝2＋4(n －1)＝4n －2.∴ n b ＝12n a －30＝12(4n －2)－30＝2n －31.令n b <0，得n <312. ∴ 15S 为前n 项和的最小值，即151215S b b b ＝＋＋＋＝2(1＋2＋…＋15)－15×31＝－225. 18.解：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，依题意得⎩⎨⎧-=+-=+，，75156626411d a d a解得120,3.=⎧⎨=⎩－a d(1)2)23320(2)(,233)1(11-+-=+=-=-+=n n n a a S n d n a a n n n 234322n n =-.(2){}120,3,n a d a n =-=∴的项随着的增大而增大.1Z 202300,32303(1)230,(),7,337+≤≥-≤+-≥∴≤≤∈=k k a a k k k k k 设且得且数.即第项及之前均为负∴ 123141278914||||||||()()a a a a a a a a a a ++++=-+++++++1472147S S =-=.19.解：(1)当n ＝1时，11a S ＝＝－14； 当n ≥2时，1n n n a S S －＝－＝2n －8， 故n a ＝14(1),28(2).n n n -=⎧⎨-≥⎩(2)由n a ＝2n －8可知：当n ≤4时，n a ≤0；当n ≥5时，0n a >. ∴ 当1≤n ≤4时，278n n T S n n ＝－＝－＋＋；当n ≥5时，22444()2782(20)732n n n T S S S S S n n n n ⨯＝－＋－＝－＝－－－－＝－＋.∴ n T ＝2278(14),732(5).n n n n n n ⎧-++≤≤⎪⎨-+≥⎪⎩。

第2课时等差数列前n项和的性质与应用课后篇巩固探究A组1.在等差数列{a n}中,S n是其前n项和,a1=-11,=2,则S11=()A.-11B.11C.10D.-10解析∵{a n}为等差数列,∴为等差数列,首项=a1=-11,设的公差为d,则=2d=2,∴d=1,∴=-11+10d=-1,∴S11=-11.答案A2.若S n是等差数列{a n}的前n项和,且S8-S3=20,则S11的值为()A.44B.22C.D.88解析由S8-S3=20,得a4+a5+a6+a7+a8=20,所以5a6=20,所以a6=4,故S11==11a6=44.答案A3.若S n表示等差数列{a n}的前n项和,,则=()A. B. C. D.解析由题意,得S5,S10-S5,S15-S10,S20-S15成等差数列.∵,∴S10=3S5,∴S15=6S5,S20=10S5,∴.答案C4.已知数列{a n}为等差数列,a2=0,a4=-2,则其前n项和S n的最大值为()A. B. C.1 D.0解析因为a2=0,a4=-2,所以公差d==-1,所以a1=1.又a2=0,所以数列{a n}的前n项和S n的最大值为1.答案C5.在各项均不为零的等差数列{a n}中,若a n+1-+a n-1=0(n≥2),则S2n-1-4n=()A.-2B.0C.1D.2解析由a n+1-+a n-1=0,得=a n-1+a n+1=2a n.因为{a n}的各项均不为零,所以a n=2,所以S2n-1=(2n-1)a n=4n-2,故S2n-1-4n=-2.答案A6.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a5=5a3,则=.解析=9.答案97.已知等差数列{a n},|a5|=|a9|,公差d>0,则使得其前n项和S n取得最小值的正整数n的值是.解析由|a5|=|a9|,且d>0,得a5<0,a9>0,且a5+a9=0,即2a1+12d=0,即a1+6d=0,即a7=0,故S6=S7,且为最小值.答案6或78.若一个等差数列的前3项之和为34,最后3项之和等于146,所有项的和为390,则这个数列一共有项.解析设该数列为{a n},S n是其前n项和,则a1+a2+a3=34,a n+a n-1+a n-2=146,两式相加,得(a1+a2+a3)+(a n+a n-1+a n-2)=180,即3(a1+a n)=180,于是a1+a n=60.而S n==390,即=390,解得n=13.答案139.已知等差数列{a n}的前3项和为6,前8项和为-4.(1)求数列{a n}的前n项和S n;(2)求数列的前n项和T n.解(1)设{a n}的公差为d,由题意,得即解得所以S n=3n+×(-1)=- n2+n.(2)由(1),得=-n+,所以=- (n+1)+=-,即数列是首项为=3,公差为-的等差数列,故T n=3n+=-n2+n.10.导学号04994037在等差数列{a n}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|a n|}的前n 项和.解等差数列{a n}的公差d==3,故a n=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.由a n<0,得3n-63<0,即n<21.故数列{a n}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.设S n,S'n分别表示数列{a n},{|a n|}的前n项和,当n≤20时,S'n=-S n=-=-n2+n;当n≥21时,S'n=-S20+(S n-S20)=S n-2S20=-60n+×3-2×=n2-n+1 260.故数列{|a n|}的前n项和为S'n=B组1.在数列{a n}中,a1=-60,a n+1=a n+3,则这个数列前30项的绝对值之和为()A.495B.765C.46D.76解析由已知可以判断数列{a n}是以-60为首项,3为公差的等差数列,因此a n=3n-63.10,d>0,a21=0,a22>0,∴数列前30项的绝对值之和为S30-2S21=30×(-60)+×3-2×=765.答案B2.已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n,且,则使得为整数的正整数n有()A.2个B.3个C.4个D.5个解析=7+.当n=1,2,3,5,11时,为整数,即当n=1,2,3,5,11时,为整数.答案D3.在等差数列{a n}中,其前n项和为S n,nS n+1>(n+1)S n(n∈N*),且<-1,则在S n中()A.最小值是S7B.最小值是S8C.最大值是S8D.最大值是S7解析由nS n+1>(n+1)S n,得,即>0.而,所以d>0.因为<-1,所以<0,即a7(a7+a8)<0.由于d>0,因此数列{a n}是递增数列,所以a7<0,a7+a8>0,所以a7<0,a8>0,所以在S n中最小值是S7.答案A4.已知等差数列{a n},S n为其前n项和,S3=9,a4+a5+a6=7,则S9-S6=.解析∵S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,而S3=9,S6-S3=a4+a5+a6=7,∴S9-S6=5.答案55.在等差数列{a n}中,S n是其前n项和,且S2 011=S2 014,S k=S2 009,则正整数k为.解析因为等差数列{a n}的前n项和S n可看成是关于n的二次函数,所以由二次函数图象的对称性及S2 011=S2 014,S k=S2 009,可得,解得k=2 016.答案2 0166.已知数列{a n}是以3为公差的等差数列,S n是其前n项和,若S10是数列{S n}中的唯一最小项,则数列{a n}的首项a1的取值范围是.解析依题意,得解得-30<a1<-27.答案(-30,-27)7.设数列{a n}的各项都为正数,其前n项和为S n,已知对任意n∈N*,S n是和a n的等差中项.(1)证明:数列{a n}为等差数列,并求a n;(2)若b n=-n+5,求{a n·b n}的最大值,并求出取最大值时n的值.(1)证明由已知,得2S n=+a n,且a n>0.当n=1时,2a1=+a1,解得a1=1.当n≥2时,2S n-1=+a n-1.所以2S n-2S n-1=+a n-a n-1,即2a n=+a n-a n-1,即(a n+a n-1)(a n-a n-1)=a n+a n-1.因为a n+a n-1>0,所以a n-a n-1=1(n≥2).故数列{a n}是首项为1,公差为1的等差数列,且a n=n.(2)解由(1)可知a n=n.设c n=a n·b n,则c n=n(-n+5)=-n2+5n=-.∵n∈N*,∴当n=2或n=3时,{c n}的最大项为6.故{a n·b n}的最大值为6,此时n=2或n=3.8.导学号04994038在等差数列{a n}中,a10=23,a25=-22.(1)数列{a n}的前多少项和最大?(2)求数列{|a n|}的前n项和S n.解(1)设{a n}的公差为d,由a10=23,a25=-22,得解得所以a n=a1+(n-1)d=-3n+53.令a n>0,得n<,所以当n≤17,n∈N*时,a n>0;当n≥18,n∈N*时,a n<0,故数列{a n}的前17项和最大.(2)当n≤17,n∈N*时,|a1|+|a2|+…+|a n|=a1+a2+…+a n=-n2+n;当n≥18,n∈N*时,|a1|+|a2|+…+|a n|=a1+a2+…+a17-a18-a19-…-a n=2(a1+a2+…+a17)-(a2+a2+…+a n)= n2-n+884.故S n=。

2.3 等差数列的前n 项和练习一.选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出来填在题后的括号内.1.等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）A. 12B. 24C. 36D. 482.从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（ ）A. 0B. 90C. 180D. 3603.已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （ ）A.有最小值且是整数B. 有最小值且是分数C. 有最大值且是整数D. 有最大值且是分数4.等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( )A. 130B. 170C. 210D. 2605.在等差数列{}n a 和{}n b 中，125a =，175b =，100100100a b +=，则数列{}n n a b +的前100项和为（ ）A. 0B. 100C. 1000D. 100006.若关于x 的方程20x x a -+=和20x x b -+=()a b ≠的四个根组成首项为14的等差数列，则a b +=（ ） A. 38 B. 1124 C. 1324 D. 3172二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.7.等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s = .8.等差数列{}n a 中，若232n S n n =+，则公差d = .9.在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是 .10.若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且满足733n n S n T n +=+，则88a b = . 【整合提高】三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，11.在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++L .12.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，12S >0，13S <0，①求公差d 的取值范围；②1212,,,S S S L 中哪一个值最大？并说明理由.参考答案：1.B2.C3.A4.C5.D6.D7.08.69.1650 10.611.∵40.8a =，11 2.2a =,∴由1147a a d =+得0.2d =,∴51114010.2a a d =+= ∴5152805130293029303010.20.239322a a a a d ⨯⨯+++=+=⨯+⨯=L g . 12.①∵121126767713113712()6()002130()1302S a a a a a a a S a a a ⎧=+=+>⎪+>⎧⎪⇔⎨⎨<⎩⎪=+=<⎪⎩g ,∴111211060212a d a d a d +>⎧⎪+<⎨⎪+=⎩解得,2437d -<<-,②由67700a a a +>⎧⎨<⎩6700a a >⎧⇒⎨<⎩,又∵2437d -<<-∴{}n a 是递减数列, ∴1212,,,S S S L 中6S 最大.。

§2.3 等差数列的前n 项和(二)一、基础过关1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－1，则a 4等于( )A ．7B ．8C ．9D ．17 2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 3，则a 5＋a 6的值为( )A ．91B ．152C ．218D ．279 3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D.12 4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( ) A.310B.13C.18D.195．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2－n (n ∈N *)，则通项a n ＝________.6．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．7．已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝2n 2－30n . (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求S n 的最小值及对应的n 值． 8．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9. (1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值． 二、能力提升9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 为( )A ．9B ．8C ．7D ．610．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( )A ．d <0B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值11．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n＞0成立的最大自然数n 是________．12．数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0 (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n . 三、探究与拓展13．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.(1)求公差d的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．答案1．A 2.B 3.A 4.A 5.2n －2 6．4或5 7．解 (1)∵S n ＝2n 2－30n ， ∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝－28.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－30n )－[2(n －1)2－30(n －1)]＝4n －32. ∴a n ＝4n －32，n ∈N ＋. (2)∵a n ＝4n －32， ∴a 1<a 2<…<a 7<0，a 8＝0， 当n ≥9时，a n >0.∴当n ＝7或8时，S n 最小，且最小值为S 7＝S 8＝－112. 8．解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n . (2)由(1)知，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2.因为S n ＝－(n －5)2＋25， 所以当n ＝5时，S n 取得最大值． 9．B 10.C 11.4 00612．解 (1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0. ∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝…＝a 2－a 1. ∴{a n }是等差数列且a 1＝8，a 4＝2， ∴d ＝－2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n . (2)∵a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5. 当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0； 当n <5时，a n >0.∴当n >5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n ＝2·(9×5－25)－9n ＋n 2 ＝n 2－9n ＋40，当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧9n －n 2 (n ≤5)n 2－9n ＋40 (n >5).13．解 (1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋12×112d >0，13a 1＋13×122d <0，a 1＋2d ＝12，整理得：⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d >0，a 1＋6d <0，a 1＋2d ＝12.解得：－247<d <－3.(2)∵d <0，∴a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13>…， 而S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，∴a 7<0.又S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，∴a 6>0. ∴数列{a n }的前6项和S 6最大．。

2.3 等差数列的前n 项和第1课时 等差数列的前n 项和双基达标 (限时20分钟)1．在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是 ()． A ．12 B ．24 C ．36 D ．48解析 由S 10＝10(a 1＋a 10)2，得a 1＋a 10＝S 105＝1205＝24.答案 B2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 等于 ()． A ．9 B ．8 C ．7 D ．6解析 此数列为等差数列，a n ＝S n －S n －1＝2n －10，由5<2k －10<8得到k ＝8.答案 B3．已知等差数列{a n }中，a 32＋a 82＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为 ()．A ．－9B ．－11C ．－13D ．－15解析 由a 32＋a 82＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2＝－15.答案 D4．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋5，则a 5＋a 6＋a 7＝________.解析 a 5＋a 6＋a 7＝S 7－S 4＝39.答案 395．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则{a n }的通项a n ＝________.解析 由a 6＝S 3＝12可得{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝2，故易得a n ＝2n .答案 2n6．已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝12，S 4＝20，求S 6； (2)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ； (3)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .解 (1)S 4＝4a 1＋4(4－1)2d ＝4a 1＋6d ＝2＋6d ＝20， ∴d ＝3.故S 6＝6a 1＋6(6－1)2d ＝6a 1＋15d ＝3＋15d ＝48. (2)∵S n ＝n ·32＋n (n －1)2⎝⎛⎭⎫－12＝－15， 整理得n 2－7n －60＝0，解得n ＝12或n ＝－5(舍去)，a 12＝32＋(12－1)×⎝⎛⎭⎫－12＝－4. (3)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－512＋1)2＝－1 022， 解得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解得d ＝－171.综合提高(限时25分钟) 7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a m 2＝0，S 2m －1＝38，则m 等于 ( )． A ．38 B ．20 C ．10 D ．9解析 因为{a n }是等差数列，所以a m －1＋a m ＋1＝2a m ，由a m －1＋a m ＋1－a m 2＝0，得：2a m －a m 2＝0，由S 2m －1＝38知a m ≠0，所以a m ＝2，又S 2m －1＝38，即(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝38，即(2m －1)×2＝38，解得m ＝10，故选C.答案 C8．等差数列{a n }中，首项a 1>0，公差d <0，S n 为其前n 项和，则点(n ，S n )可能在下列哪条曲线上 ( )．解析 由S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，及d <0，a 1>0知，d 2<0，a 1－d 2>0，排除A 、B.对称轴n ＝－a 1－d 2d ＝d －2a 12d>0，排除D. 答案 C9．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.解析 设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1， S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2. 故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.答案 1510．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为________．解析 由已知得{a n ＋b n }为等差数列，故其前100项的和为S 100＝100[(a 1＋b 1)＋(a 100＋b 100)]2＝50×(25＋75＋100)＝10 000. 答案 10 00011．设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，并且对于任意n ∈N *，a n 与1的等差中项等于S n ，求数列{a n }的通项公式．解 由题意知，S n ＝a n ＋12，得： S n ＝(a n ＋1)24. ∴a 1＝S 1＝1.又∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝14[(a n ＋1＋1)2－(a n ＋1)2]， ∴(a n ＋1－1)2－(a n ＋1)2＝0，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0，∵a n >0，∴a n ＋1－a n ＝2，∴{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n ＝2n －1.12．(创新拓展)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c，求非零常数c . 解 (1){a n }为等差数列，∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22， 又a 3·a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根， 又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n ， ∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c ， ∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12(c ＝0舍去)．。

第11课时 等差数列的前n 项和知识点一 等差数列前n 项和公式的简单应用1．已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则S 10等于( ) A ．100 B ．210 C ．380 D ．400 答案 B 解析 ∵d ＝a 4－a 24－2＝15－72＝4，又a 2＝a 1＋d ＝7，∴a 1＝3．∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×3＋45×4＝210．故选B ．2．在等差数列{a n }中，S 10＝120，则a 2＋a 9＝( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 答案 B 解析 ∵S 10＝10a 1＋a 102＝5(a 2＋a 9)＝120，∴a 2＋a 9＝24．3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝35，则a 4＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 答案 D 解析 ∵S 7＝a 1＋a 72×7＝35，∴a 1＋a 7＝10，∴a 4＝a 1＋a 72＝5．知识点二 “知三求二”问题4．等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n ＝( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 答案 B解析 a 1＝1，a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝14，∴d ＝2，∴S n ＝n ＋n n －12×2＝100．∴n ＝10．5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则{a n }的通项a n ＝________． 答案 2n解析 由已知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，3a 1＋3d ＝12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.故a n ＝2n ．知识点三 a n 与S n 的关系6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32n 2＋n 2 B ．－32n 2－n2C ．32n 2＋n 2D ．32n 2－n 2 答案 A解析 易知{a n }是等差数列且a 1＝－1，所以S n ＝n a 1＋a n2＝n 1－3n2＝－32n 2＋n2．故选A ．7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，则过P (1，a 1)，Q (2，a 2)两点的直线的斜率是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 ∵S n ＝n 2＋n ，∴a 1＝S 1＝2，a 2＝S 2－S 1＝6－2＝4．∴过P ，Q 两点直线的斜率k ＝a 2－a 12－1＝4－21＝2．8．已知{a n }的前n 项之和S n ＝2n＋1，则此数列的通项公式为________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＝1，2n －1n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2＋1＝3， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－(2n －1＋1)＝2n －1，又21－1＝1≠3，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＝1，2n －1n ≥2.易错点一 等差数列的特点考虑不周全9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋3n ＋2，判断{a n }是否为等差数列．易错分析 本题容易产生如下错解：∵a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋3n ＋2)－[(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝2n ＋2．a n ＋1－a n ＝[2(n ＋1)＋2]－(2n ＋2)＝2(常数)，∴数列{a n }是等差数列．需注意：a n ＝S n －S n －1是在n ≥2的条件下得到的，a 1是否满足需另外计算验证． 解 a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋3n ＋2)－[(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝2n ＋2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n ＝1，2n ＋2n ≥2，显然a 2－a 1＝6－6＝0，a 3－a 2＝2，∴{a n }不是等差数列．易错点二 忽略对项数的讨论10．已知等差数列{a n }的第10项为－9，前11项和为－11，求数列{|a n |}的前n 项和T n ． 易错分析 对于特殊数列求和，往往要注意项数的影响，要对部分特殊项进行研究，否则计算易错．解 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝－9，11a 1＋11×102d ＝－11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2，所以a n ＝9－2(n －1)＝11－2n ． 由a n ＞0，得n ＜112，则从第6项开始数列各项均为负数，那么 ①当n ≤5时，数列{a n }的各项均为正数，T n ＝n a 1＋a n 2＝n 9＋11－2n 2＝n (10－n )；②当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＋2(a 1＋a 2＋…＋a 5)＝－S n ＋2S 5＝n 2－10n ＋2×(10×5－52)＝n 2－10n ＋50．所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 10－n ，1≤n ≤5，n 2－10n ＋50，n ≥6.一、选择题1．在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0(n ≥2)，则S 2n －1－4n ＝( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 答案 A解析 ∵{a n }是等差数列，∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)．又a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0(n ≥2)，∴2a n－a 2n ＝0．∵a n ≠0，∴a n ＝2，∴S 2n －1－4n ＝(2n －1)×2－4n ＝－2．故选A ．2．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠(chuí)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖(粗细均匀变化)长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是( )A ．14斤B ．15斤C ．16斤D ．18斤 答案 B解析 由题意可知等差数列中a 1＝4，a 5＝2，则S 5＝a 1＋a 5×52＝4＋2×52＝15， ∴金杖重15斤．故选B ．3．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n ＝33，则该数列的公差是( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－1 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝na 1＋n n －12×2d ＝90，a 2＋a 4＋…＋a2n＝na 2＋n n －12×2d ＝72，得nd ＝－18．又a 1－a 2n ＝－(2n －1)d ＝33，所以d ＝－3．4．一同学在电脑中打出如下图案：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此图案依此规律继续下去，那么在前120个中的●的个数是( )A ．12B ．13C ．14D ．15 答案 C解析 S ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋n ＝n n ＋12＋n ≤120，∴n (n ＋3)≤240，∴n ＝14．故选C ．5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763 D ．663 答案 B解析 ∵a 1＝2，d ＝7，2＋(n －1)×7＜100，∴n ＜15．∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665．二、填空题6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a 1＋a 5＝________． 答案 11解析 由S n ＝n 2＋1，得a 1＝12＋1＝2，a 5＝S 5－S 4＝(52＋1)－(42＋1)＝9．∴a 1＋a 5＝2＋9＝11．7．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S n S 2n ＝n ＋14n ＋2，则a 3a 5＝________．答案 35解析 ∵S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S n S 2n ＝n ＋14n ＋2， ∴S 1S 2＝a 1a 1＋a 1＋d ＝26＝13，∴3a 1＝2a 1＋d ，∴a 1＝d ，∴a 3a 5＝a 1＋2d a 1＋4d ＝3d 5d ＝35．8．在等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n ＜0，则S 10＝________． 答案 －15解析 由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9， ∵a n ＜0，∴a 3＋a 8＝－3． ∴S 10＝10a 1＋a 102＝10a 3＋a 82＝10×－32＝－15． 三、解答题9．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n ．解 设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1，∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝n ×(－2)＋n n －12×12＝14n 2－94n ． 10．已知{a n }是等差数列，公差为d ，首项a 1＝3，前n 项和为S n ，令c n ＝(－1)nS n (n ∈N *)，{c n }的前20项和T 20＝330．数列{b n }满足b n ＝2(a －2)dn －2＋2n －1，a ∈R ．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＋1≤b n ，n ∈N *，求a 的取值范围． 解 (1)设等差数列的公差为d ，因为c n ＝(－1)nS n ，所以T 20＝－S 1＋S 2－S 3＋S 4＋…＋S 20＝330， 则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝330，则10(3＋d )＋10×92×2d ＝330，解得d ＝3，所以a n ＝3＋3(n －1)＝3n ． (2)由(1)知b n ＝2(a －2)3n －2＋2n －1，b n ＋1－b n＝2(a －2)3n －1＋2n－[2(a －2)3n －2＋2n －1]＝4(a －2)3n －2＋2n －1＝4·3n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2，由b n ＋1≤b n ⇔(a －2)＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2≤0⇔a ≤2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2，因为2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2随着n 的增大而增大，所以n ＝1时，2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2最小值为54，所以a ≤54．。

人教 A 版高中数学必修 5 同步检测第二章数列2.3等差数列的前n 项和第 2 课时等差数列的前n项和(习题课)A基巩固一、1．一个等差数列共有 2n＋1 ，其奇数的和512，偶数的和 480，中 ()A．30 B．31 C．32 D ．33解析：中 a n＋1.S 奇＝（a1＋a2n＋1）2·(n＋1)＝(n＋1)a n＋1＝512.S 偶＝a2＋a2n2· n＝n·a n＋1＝480.所以 a n＋1＝ S 奇－S 偶＝512－480＝32.答案： C12．等差数列 {a n}的公差 d＝2且 S100＝145， a1＋a3＋a5＋⋯＋a99的 ()A．52.5 B．72.5 C．60 D．85解析： a1＋a3＋a5＋⋯＋a99＝x，a2＋a4＋⋯＋a100＝y， x＋y＝S100＝145，y－x＝50d＝25.解得 x＝60，y＝85.答案： C．n 是等差数列{a n 的前n 和，若S3＝1，S6()3S}S63S12A.3B.1C.1D.1解析： S3，S6－ S3，S9－S6，S12－S9，构成一个新的等差数列，因 S3＝ 1，S6－S3＝3－1＝2，所以 S9－S6＝3，S12－S9＝4.所以 S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝1＋2＋3＋ 4＝10.所以S6＝3.S1210答案： A4．若数列 {a n}的前 n和是 S n＝n2－4n＋2，|a1|＋|a2|＋⋯＋ |a10|等于 ()A．15 B．35 C．66 D ．100解析：易得 a n＝－1，n＝1，2n－5，n≥2.|a1|＝1，|a2|＝ 1，|a3|＝1，令a n>0 2n－ 5>0，所以 n≥3.所以 |a1|＋|a2|＋⋯＋|a10|＝－ (a1＋a2)＋ a3＋⋯＋a10＝2＋(S10－S2)＝2＋[(102－4×10＋2)－ (22－4×2＋2)]＝66.答案： C5．把正整数以下列方法分：(1)，(2，3)，(4，5，6)，⋯，其中每都比它的前一多一个数，S n表示第 n 中所有各数的和，那么 S21等于 ()A．1 113 B．4 641 C ．5 082 D．53 361解析：因第 n 有 n 个数，所以前20 一共有 1＋ 2＋3＋⋯＋20＝210 个数，于是第 21 的第一个数211，一共有 21 个21×20数， S 21＝21×211＋2×1＝4 641.答案： B二、填空6．已知数列 {a n } 足 a 1＋2a 2＋3a 3＋⋯＋ na n ＝n 2，数列 {a n }的通 公式 ________．解析： a 1＋2a 2＋3a 3＋⋯＋na n ＝n 2，当 n ≥2 ， a ＋2a ＋3a ＋⋯＋(n － 1) ·a － ＝ (n －1)2，123n 12n －1所以 na n ＝2n －1，所以 a n ＝n.当 n ＝1 ， a 1＝1，符合上式，2n －1所以数列 {a n }的通 公式 a n ＝ n .2n －1答案： a n＝n7． S n 等差数列 {a n }的前 n 和，若 a 4＝1，S 5＝10， 当S n 取得最大 ， n 的 ________．a 4＝a 1＋3d ＝1，解析：由d ＝10，S 5＝5a 1＋5×42a 1＝4，解得d ＝－ 1.所以 a 5＝ a 1＋4d ＝0，所以 S 4＝S 5 同 最大．所以 n ＝4 或 5.答案： 4 或 5．若等差数列 {a n }的前 n 和n∈*)，若a 2∶a 3＝5∶2，8S (n N人教 A 版高中数学必修 5 同步检测S 3 3（a 1＋a 3） 3a 2 3 5 3解析： S 5＝5（a 1＋a 5）＝5a 3＝5×2＝2.答案： 3∶2三、解答题 ．设等差数列 n 的前 n 项和为n ，已知 a 3＝ 12，且 S 12＞0， 9 {a } SS 13＜0.(1)求公差 d 的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解： (1)因为 a 3＝12，所以 a 1＝12－2d ，因为 S 12＞0，S 13＜0，12a 1＋66d ＞0， 24＋7d ＞ 0，所以即13a 1＋78d ＜0， 3＋d ＜0，24所以－ 7 ＜d ＜－ 3.(2)因为 S 12＞0，S 13＜0，a 1＋a 12＞0， a 6＋a 7＞ 0，所以所以a 1＋a 13＜0.a 7＜0.所以 a 6＞ 0，又由 (1)知 d ＜0.所以数列前 6 项为正，从第 7 项起为负．所以数列前 6 项和最大．2S 2n10．在数列 {a n }中， a 1＝ 1，a n ＝2S n －1(n ≥2)，求数列 {a n }的通项公式．解：因为 a n ＝ S n －S n － 1，2S 2n所以 S n －S n －1＝2S n － 1，即 (S n －S n － 1)(2S n －1)＝2S 2n ，即 S n －1－ S n ＝2S n S n －1， 即 1 － 1＝2，S n S n －11 11＝1，所以 S n 为等差数列，且 S 1＝a 1 11 .所以 S n＝1＋2(n －1)，即 S n＝－ 12n所以 a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 11 －22n －1－2n －3＝（2n －1）（ 2n －3）(n ≥2)，－2又 a 1＝1≠（2×1－1）（ 2×1－3），1（n ＝1），所以 a n ＝－2（n ≥ 2）.（2n －1）（ 2n －3）B 级 能力提升1．设等差数列 {a n }的前 n 项和为 S n ，S m －1＝－ 2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则 m 等于 ()A ．3B ．4C ． 5D ．6解析： a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋ 1＝ S m ＋1－S m ＝3，所以公差 d ＝a m＋1－a m ＝1，由 S ＝ m （a 1＋a m ） ＝0，得 a ＝－ 2，所以 a ＝－ 2＋(m －1) ·1m 2 1 m＝ 2，解得 m ＝5.答案： C2．若数列 {a n }是等差数列，首项 a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2004＜0，则使前 n 项和 S n ＞0 成立的最大自然数n 是________．解析：由条件可知数列单调递减，故知a 2 003＞0，a 2 004＜0，故 S 4 006＝4 006（ a 1＋a 4 006）＝2 003 ·(a 2 003＋a 2 004 ) ＞ ，24 007（a 1＋a 4 007）＝4 007×a 2 004 ＜0， S 4 007＝2故使前 n 项和 S n ＞0 成立的最大自然数 n 是 4 006.答案： 4 0063．数列 {a n }的各项都为正数，且满足S n ＝（a n ＋1）24(n ∈ N *)，求数列的通项公式 a n .解：法一 (消 S n ) ：由 S n ＝（a n ＋1）24(n ∈N *)，得 4a n ＋1＝4(S n ＋1－S n )＝(a n ＋ 1＋1)2－(a n ＋1)2化简得 (a n ＋1＋a n )(a n ＋ 1－a n －2)＝ 0，因为 a n ＞0，所以 a n ＋ 1－a n ＝2，又 4S 1＝4a 1＝(a 1＋1)2 得 a 1＝ 1，故 {a n }是以 1 为首项， 2 为公差的等差数列，所以 a n ＝2n － 1.法二 (消 a n )：由上可知 2 S n ＝ a n ＋1，所以 2 S n ＝ S n －S n － 1＋1(n ≥2)，化简可得 ( S n －1)2＝S n －1，( S n ＋ S n － 1－1)( S n － S n －1－1)＝0，又 S 1＝1，{a n }的各项都为正数，所以 S n － S n － 1＝ 1.所以 S n ＝n ，从而 S n ＝n 2，所以 a n ＝S n － S n －1＝2n －1(n ≥2)，a 1＝1 也适合，故 a n ＝2n －1.。

2.3 等差数列前n 项数和（检测学生版）时间:40分钟 总分：60分班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．等差数列{a n }中，a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝14.记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则S 13＝ ( )A ．168B ．156C ．152D ．2862．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝15，a 100＋b 100＝139，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为 ( )A ．0B ．4475C ．8950D ．10 0003．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17＝170，则a 7＋a 9＋a 11的值为 ( )A ．10B ．20C ．25D ．304．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是 ( )A ．5B ．4C ．3D ．25．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 7a 5＝913，则S 13S 9＝ ( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．126．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于 ( )A ．12B ．18C ．24D ．42二、填空题（共2小题，每题5分，共10分）7．已知数列{a n }的通项公式a n ＝－5n ＋2，则其前n 项和S n ＝ .8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A 、B 、C 三点共线(该直线不过原点O )，则S 200＝ .三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）9．设{a n }是等差数列，前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n 的值．10．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列{S n n}的前n 项和，求数列{S n n}的前n 项和T n .。