培训学习资料-21整式-单项式

整式本讲知识要点:(一)单项式:1.单项式是只含数与字母的乘法运算的代数式，单独一个数或字母也叫单项式。

如mn是数、字母m、n的积，它是单项式，但不是单项式，因它分母中含有字母，相当于含有字母与字母的除法运算。

，a，b都是单项式。

在a2b，，2x2+3x+5中，只有a2b是单项式。

2.单项式的系数:单项式中，数字因数叫做这个单项式的系数。

如的系数是，5a3的系数是5。

3.单项式的次数:单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

如: x3y2的次数是x的指数3与y的指数2的和为5，即x3y2的次数是5；ab的次数是2；4abc的次数是3，2a的次数是1，4的次数是0。

下面我们通过填表来进一步练习:x3y p x2(二)多项式:1.几个单项式的和叫做多项式。

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项。

如：多项式-2x+3中，-2x，3是它的项，3是常数项；多项式5x2-3x+4中，5x2，-3x，4是它的项，4是它的常数项.注意:多项式的项包括它前面的符号。

2.多项式的项数:一个多项式含有几项，就叫做几项式.如3x-1是二项式，7x2-5x+3是三项式，a3+3a2b+3ab2+b3是四项式。

3、多项式的次数:多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。

如:多项式5x2-x+2中5x2项的次数最高，次数为2，所以，此多项式的次数是二，它是二次三项式；4x-3是一次二项式；m2+mn+n2是二次三项式；x4y+ xy4是五次二项式。

4.把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。

如:多项式2x3y2-xy3+ x2y4-5x4-6是六次五项式，按x的降幂排列为-5x4+2x3y2+ x2y4-xy3-6，在这里只考虑x的指数，而不考虑其它字母；按y的升幂排列为-6-5x4+2x3y2-xy3+ x2y4。

《整式》知识详解知识点一：单项式：由数字与字母或者字母与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式.例1：下列各式不是单项式的为( )A ．3B ．aC ．ba D ．212x y 解析：A 选项3是单独的一个数，是单项式；B 选项a 是单独的一个字母，是单项式；C 选项b a是字母与字母的商，不是单项式； D 选项212x y 是字母与数字的乘积，是单项式. 综上本题选C知识点二：单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.例2：单项式234x y π-的系数是 ．解析：∵34π-是单项式234x y π-的数字因数，∵单项式的系数为34π-， 故答案为：34π-．知识点三：单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.例3：单项式22a bc π-的次数为 ．解：单项式22a bc π-中的字母有a,b,c ，它们的指数分别为2，1，1，所以该单项式的次数为：2114++=，故答案为：4．注意：（1）单项式中不含加减运算；（2）字母出现在分母中的式子一定不是单项式；（3）若单项式中的某个字母没有写指数，则这个字母的指数是1，而不是0；（4）单独一个非0常数的次数为0；（5）单项式的系数包括它前面的符号，且只与数字因数有关；（6）对于只含有字母的单项式，它的系数是1或-1，通常1省略不写；（7）π是表示特殊数字的符号，不能当成字母，所以当单项式中含有π时，π是数字因数的组成部分.知识点四：多项式：几个单项式的和叫做多项式.整式：单项式和多项式统称为整式.整式一定是代数式，但代数式不一定是整式.例4：下列各式中，1xyz -+，2180n r ，1-n ，813x -，是多项式的有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：上述各式中，2180n r 是单项式；1xyz -+，1-n 是多项式的；813x-分母中含有字母，不是整式，所以也不是多项式.所以，多项式共有2个，故选：B ．知识点五：（1）多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项.注意：多项式的每一项都是单项式，且每一项都包括它前面的符号，特别注意项的符号为负号时，一定不要漏掉该项的符号.（2）多项式的项数：多项式中单项式的个数叫做多项式的项数.（3）多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.一个多项式最高次项的次数是几次、含有几项就叫几次几项式.例5：已知多项式223x x --，它共有 项，分别是 ，每一项的次数分别是 ，因此该多项式是 次 项式．解： 3 ， x 2,-2x,-3, 2,1,0 二，三例6：如果关于x ，y 的多项式||21(2)13a xy a y --+是三次三项式，则a 的值为 ． 分析：∵题目中说是关于x ，y 的多项式∵多项式中的a 是待定参数，可以把它当成常数来看∵多项式||21(2)13a xy a y --+是三次三项式∵1+|a |=3，a -2≠0，从而可以求出a 的值. 解：关于x ，y 的多项式||21(2)13a xy a y --+是三次三项式，||2a ∴=且20a -≠， 解得，2a =-．故答案为：2-．例7：若||1(3)5m x m x -++-是关于x 的二次二项式，那么m 的值为 3- ．分析：∵||1(3)5m x m x -++-是关于x 的二次二项式∵|m |-1=2，3+m =0,从而可以求出m 的值.解：由题意得：||12m -=且30m +=，解得：3m =-，故答案为：3-．总结：例6与例7都是求多项式中参数的值，不同之处在于例6题干中给的多项式有三项，要求是三项式，而例7题干中给的多项式也有三项，但要求是二项式,所以，含有字母系数的那一项为0，即字母系数为0.巩固练习：一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．多项式31a b +-有3项，其中有一项是1B ．单项式312mn π的次数是5次C ．单项式312mn π的系数是12D ．多项式2122x x y π--+是3次3项式2．下列结论中正确的是( )A ．单项式24xy π的系数是14，次数是4 B ．单项式m 的次数是1，没有系数C ．多项式2223x xy ++是二次多项式D ．在1x ，2x y +，2a b -，x y π-，0中，整式有4个3．在多项式43222479a a b ab -+-中，最高次项的系数是( )A ．4-B ．2C ．4D ．5 4．如果整式252n x x -+-是三次三项式，那么n 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 5．多项式||1(4)72m x m x +-+是关于x 的四次三项式，则m 的值是( )A ．4B ．2-C ．4-D ．4或4-二、填空题6．已知|1|3(1)m m a b +-是关于a 、b 的五次单项式，则m = ．7．单项式234x y π-的系数是 ．8．单项式22a bc π-的次数为 ．9．单项式2343a b c 的系数和次数分别是 和 ． 10．若多项式||33(1)1m n ab n a b -+-+是关于a ，b 的五次多项式，则m = ．11．若关于x 、y 的多项式22235x mxy y xy +---是二次三项式，则m = ．12．若多项式||22(3)1k xy k x y +--+是一个关于x ，y 的四次四项式，则k = ．本节知识体系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧次数项数项多项式次数系数单项式整式。

2.1整式的概念【典型例题】【学习目标】1 •掌握单项式系数及次数的概念；2.理解多项式的次数及多项式的项、常数项及次数的概念；3 •掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式；4.能准确而熟练地列式子表示一些数量关系.【要点梳理】要点一、单项式2 11. 单项式的概念：女口-2xy2, mn , -1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一3个字母也是单项式.要点诠释：(1)单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母.st 1 5 (2)单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算•如：艺可以写成^st。

但若分母中含有字母，如 -2 2 m 就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积.2. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.要点诠释：(1)确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；(2)圆周率n是常数•单项式中出现n时，应看作系数；(3)当一个单项式的系数是1或-1时，“ 1”通常省略不写；(4)单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，1 5如：1 - x2y 写成一x2y •4 43. 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：(1)没有写指数的字母，实际上其指数是1,计算时不能将其遗漏；(2)不能将数字的指数一同计算.要点二、多项式1. 多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式.要点诠释：“几个”是指两个或两个以上.2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项.要点诠释：(1)多项式的每一项包括它前面的符号.2(2) 一个多项式含有几项，就叫几项式，如：6x - 2x-7是一个三项式. 类型一、整式概念辨析1 •指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式?c ” 16xy 1 ,-x10,— m2n ,7x2 y2,【答案与解析】多项式有:整式有:【总结升华】举一反三:3.多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数. 要点诠释：(1)多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数.(2) 一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出. 要点三、整式单项式与多项式统称为整式.要点诠释：(1)单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示. 即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立.(2)分母中含有字母的式子一定不是整式.-x ,心,10,3单项式有:-m2n, 2x27x2y2, - x,-一b, 6xy 1 , 2x2— x — 5 ；3心,10, 6xy 1 ,32不是整式，因为分母中含有字母;x2 x-m2n , 2x2 _ x-75 , a7•a2 -2也不是多项式，因为a1-不是单项式.a【变式】下列代数式：①-1；②-空；③-ab3;④工⑤2x・」；⑥x2y2-2x3y，y3，其中是单项式的是3 兀 2 x_______________ ，是多项式的是________________ 。

教案 教学内容知识回顾：1. 列代数式：(1)边长为a 的正方体的表面积为 ６a 2 ，体积为 a 3 ；(2)铅笔的单价是x 元，圆珠笔的单价是铅笔的2.5倍，圆珠笔的单价是 2.5x 元；(3)一辆汽车的速度是v 千米/小时，行驶t 小时所走的路程是 vt 千米；(4)设n 是一个数，则它的相反数是 -n ．2. 像上述这些用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方与开方等）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做 代数式 ．单独一个数或字母也是 代数式 ．知识梳理：1．单项式的概念像4x ,vt , a 2 ,a 3,-n ,2πr ，它们都是 数 或 字母 的积，像这样的代数式叫做 单项式 ，这里的积包括以下三种情况：A ： 数 和 数 的积例如，2π是数2与数π的积，所以2π是单项式．B: 数 和 字母 的积例如，4a 是数4与字母a 的积，所以4a 是单项式．C: 字母 和 字母 的积例如，ax 是字母a 与字母x 的积，所以ax 是单项式．注意：（1）单项式中只含有乘法（包括乘方）和以数字做除数的除法运算，例如2ab 5是单项式.分母中含有字母的式子不是单项式，例如cab 不是单项式． （2）单独的一个数或一个字母也是单项式，如1，m 都是单项式．2.单项式的系数单项式中的数字因数 叫做单项式的系数．A ：单项式的系数是1或-1时，1通常省略不写．例如，x 2的系数为1，而不是0；-x 2的系数是 -1 ．B ：单项式的系数应包括它前面的符号和所有 数字因数 ．例如，-3abx 的系数是 -3 ．C ：若单项式中出现圆周率π，π为常数，则它是系数的一部分．整式——单项式例如：2πr 的系数是 2π ．3.单项式的次数所有字母的指数和叫做单项式的 次数 ．例如，-x 2y 的字母是x ，y ,其中x 的指数是2，y 的指数是1，所以-x 2y 的次数是 2+1=3 ． A ：指数是1时省略不写，不能误认为是0．例如，单项式3x 的次数是1．B ：系数的指数不能相加作为单项式的次数．例如，单项式32xy 的次数为2，而不是4．单项式：数或字母的乘积叫单项式。

整式学习本节先复习单项式的系数和次数、多项式的项等概念，为学习同类项的概念及合并同类项法则做好准备.主要包括 单项式的系数和次数,多项式的项和每项的系数.一单项式、多项式的概念及它们各自对应的系数，项这是本节的重点；【典例引路】中例2，【当堂检测】中第2题，【课时作业】中第3题。

二.正确的判断所给代数式的系数或项这是本节的难点;【典例引路】中例2，【当堂检测】中第3题，【课时作业】中第10题。

三．易错题目单项式的次数,多项式的次数是同学们易错的地方. 【典例引路】中例2，【基础练习】中第2题,【当堂检测】中第4题，【课时作业】中第9题。

知识点击一:单项式的概念及其次数与系数（1）单项式的定义：像 1.5V ，28n π，h r 231π等，都是数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式．注：①单独一个数与一个字母也是单项式．②形如21＋x 形式的代数式不是单项式．（2）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．注：单独一个数的次数是0次．（3）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数．注：①单个字母的系数为1；②单项式的系数包括符号．知识点击二:多项式的概念及其项数与次数（1）多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．注：①多项式概念中的和指代数和，即省略了加号的和的形式．②多项式中不含字母的项叫做常数项．（2）多项式的次数：一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．（3）多项式的项数：多项式中单项式的个数叫做多项式的项数．知识点击三:整式的概念单项式和多项式统称为整式．区别是否整式：关键：分母中是否含有字母.针对性练习:一、判断题．（对的打“∨”，错的打“×”）1．x是单项式．（）2．6不是单项式．（）3．m的系数是0，次数也是0．（）【解答】1．∨ 2．× 3．× 4．∨类型之一:应用创新型例1.根据题意列出代数式，并判断是否为整式．3月12日是植树节，七年级一班和二班的同学参加了植树活动，一班种了a棵树，二班种的比一班的2倍多b棵，这两个班一共种了多少棵树？【解答】(2a+b+a) 棵, 是整式.类型之二:明辨是非型例2 判断下列各说法是否正确，错误的改正过来；（1）单项式的系数是，次数是2次．（）（2）单项式的次数是1次．（）（3）任何两个单项式的和是多项式．（）（4）是单项式．（）（5）不是单项式．（）（6）的系数是，次数是1次．（）（7）没有系数．（）（8）多项式是一次二项式．（）（9）是二次三项式．解：（1）错．的系数是－，次数是3次．（2）错．单项式的次数是3次．（3）错．任何两个单项式的和不一定是单项式；（4）错．是多项式．（5）错．是单项式．（6）对（7）错．的系数是1．（8）错．多项式是三次二项式．（9）对说明：单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，如 的次数是次．任何两个单项式的和不一定是多项式，如单项1与单项式的和为 ，而 为单项式． 可写成 ，因此多项式 是二次三项式．1.下列代数式分别有几项？每一项的系数分别是多少？2x －3y 4a 2－4ab +b 2 －31x 2y +2y －x 【解答】 2x －3y 有2项，每一项的系数分别是2，－3；4a 2－4ab +b 2有3项，每一项的系数分别是：4,－4,1. －31x 2y +2y －x 有3项，每一项的系数分别是－31，2，－1. 2．若－2a m ＋2b 4是7次单项式，则m ＝_______；【解析】:m+2+4=7,m=1;3．多项式x 2－3x －4共有_____项，次数是________．【解析】3,2;4．x 2yz 的系数是________，次数是________．【解析】1, 4.5．如果单项式－2x 2y n 与单项式a 4b 的次数相同，则n=________．【解析】3.6．写出系数为5，含有x 、y 、z •三个字母且次数为4•的所有单项式，•它们分别是_______．【解析】5xy 3，5x 2y 2，5x 3y1.代数式ab －mn －81πn 2+1是哪几项的和？每项的系数分别是什么？ 【解析】式子中数与字母的积为一项，如ab ，－mn ，每一项应包含它前面的符号.单独一个数或一个字母也是一项，字母前的数字因数是它的系数，如ab 的系数是1，－mn 的系数是－1，－81πn 2的系数是－81π，因为π是常数. 【解答】ab －mn －81πn 2+1分别是ab ，－mn ，－81πn 2，1四项的和， 每项的系数分别是1，－1，－81π，1. 2.下列代数式中，哪些是整式？单项式？多项式？ab ＋c ，ax 2＋bx ＋c ，－5，π，2y x －，12－x x 【解析】整式: ab ＋c ，ax 2＋bx ＋c ，－5，2y x －; 单项式: －5; 多项式: ab ＋c ，ax 2＋bx ＋c ，2y x －; 3.求下列各单项式的系数及次数：73xy ，－ab 2c 【解析】73xy 的系数及次数:73,2; －ab 2c 的系数及次数:－1,4; 4.说出下列多项式为几次几项式？ －31x －x 2y ＋2π，6x 3y 2－5＋xy 3－x 2 【解析】－31x －x 2y ＋2π，6x 3y 2－5＋xy 3－x 2 5.根据题意列出代数式，并判断是否为整式．①ab 两数的积除以ab 两数的和；②ab 两数的积的一半的平方；【解析】:①ab÷(a+b)=b a ab +;（2）(ab 21)2=2241b a ;例1、将多项式3+6x 2y －2xy －5x 3y 2－4x 4y 先按字母x 升幂排列，再按x 降幂排列。