2022年河南高考文科数学真题及答案

河南省洛阳市2022届高三第三次统一考试数学（文科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知()2ii ,ia b a b +=+∈R ，其中i 是虚数单位，则a b +=（ ） A ．3B ．1C ．-1D ．-32．已知集合{|5,}U x x x N =≤∈，{}1,2,4,5A =，0,1,2,3B =｛｝，则()U A B =（ ） A ．{}0,3B ．{}3C ．{}0D ．{}1,23．已知函数()22f x x x -=-（ ）A ．是奇函数，()0,+∞单调递增B ．是奇函数，()0,+∞单调递减C ．是偶函数，()0,+∞单调递减D ．是偶函数，()0,+∞单调递增4．已知,a b 都是实数，那么“0a b >>”是“22a b >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知向量()1,sin θ=a ，()1,cos b θ=-，则a b -的最大值为（ ）A．1BC D6．2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受吉祥物爱好者的喜爱，“冰墩墩”和“雪容融”将中国文化符号和冰雪运动完美融合，承载了新时代中国的形象和梦想.若某个吉祥物爱好者从装有3个“冰墩墩”和3个“雪容融”的6个盲盒的袋子中任取2个盲盒，则恰好抽到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”的概率是（ ） A ．13B ．25C ．35D ．3107．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．7B ．7C ．1D ．28．首位数定理：在b 进位制中，以数字()11n n b ≤≤-为首位的数出现的概率为()log 1log b b n n +-，几乎所有日常生活中非人为规律的统计数据都满足这个定理.已知某银行10000名储户的存款金额调查结果符合上述定理，则下列结论正确的是（ ）（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈） A ．存款金额的首位数字是1的概率约为19B ．存款金额的首位数字是5的概率约为9.7%C ．存款金额的首位数字是6的概率小于首位数字是7的概率D ．存款金额的首位数字是8或9的概率约为9.7%9．设()12,0F -，()22,0F ，(),M x y 满足122MF MF -=，且224x y +=，则12F F M △的面积为（ ） A ．3B ．32C ．9D ．9210．若过点()1,0P 作曲线3y x =的切线，则这样的切线共有（ ） A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条11．若方程3sin 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭在()0,π上的解为1x ，2x ，则()12sin x x +的值为（ ）A ．35B ．35CD ．12．若数列{}n a 和{}n b 满足12a =，10b =，1232n n n a a b +=++，1232n n n b a b +=+-，则20222021a b +=（ ）A ．2020231⋅+B ．2020321⋅-C ．2020321⋅+D ．2021321⋅-二、填空题13．已知实数x ，y 满足3208504x y x y y --≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则y x 的最大值为___________.14．设各项为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，3221S S =+，则4a =___________.15．若三棱柱111ABC A B C -的底面是以AB 为斜边的直角三角形，1AA ⊥平面ABC，AB =14AA =，则该三棱柱的外接球的体积为___________.16．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，过2F 且垂直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为M ，12F MF ∠的平分线与y 轴交于点P ，若四边形12MF PF2，则椭圆的离心率e =___________. 三、解答题17．影响消费水平的原因是很多的，其中重要的一项是工资收入.下表是我国某地区2016年-2021年职工平均工资与城镇居民消费水平（单位：万元）的数据；以x 表示职工平均工资，以y 表示城镇居民消费水平，绘制如下散点图：(1)请写出从散点图发现的y 与x 之间关系的一般规律，并求出线性回归方程（精确到0.01）；(2)请预测2022年的职工平均工资至少多少万元时，城镇居民消费水平才不少于8.11万元？附：线性回归方程y bx a =+，1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-，参考数据：621389.3ii x==∑，61268.59i i i x y ==∑，18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin 22A c b c-=. (1)判断ABC 的性状，并加以证明；(2)2b =，π3A =，点M ，N 分别在线段AB ，CB 上，且12BMN ACB S S =△△，求MN 的最小值.19．如图，D 为圆锥的顶点，O 为圆锥底面的圆心，AB 为底面直径，C 为底面圆周上一点，2DA AC BC ===，四边形DOAE 为矩形，点F 在BC 上，且//DF 平面EAC .(1)请判断点F 的位置并说明理由；(2)平面DFO 将多面体DBCAE 分成两部分，求体积较大部分几何体的体积.20．已知抛物线C ：()220y px p=>，A 是C 上位于第一象限内的动点，且A 到点3,02B p ⎛⎫⎪⎝⎭的距离的最小值为直线AB 与C 交于另一点D ，E 是C 上位于直线AB 下方的动点. (1)求p 的值；(2)当AB =ADE 面积最大时，求ADE 外接圆的标准方程. 21．已知函数()()()2e 212x a f x xx x a =-+-∈R . (1)若1x =-为()f x 的极大值点，求a 的取值范围；(2)当2a =时，证明：()2ln 2f x x x x ≥--+.22．在直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为12x t y kt ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数），设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线1C .(1)求曲线1C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，射线OM ：()04πθρ=≥与1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求线段AB 的长.23．设函数()121f x x x =--+，()3g x x x a =-++. (1)求不等式()1f x ≤-的解集；(2)若12,x x ∀∈R ，()()12f x g x ≤，求实数a 的取值范围.参考答案：1．B 【解析】 【分析】根据复数代数的形式的除法运算化简，再根据复数相等的充要条件得到方程组，解得即可； 【详解】 解：因为()22i i2i 2i i i a a a ++==-，因为()2i i ,i a b a b +=+∈R ， 所以21b a =⎧⎨-=⎩，即21b a =⎧⎨=-⎩，所以1a b +=；故选：B 2．A 【解析】 【分析】由集合的运算法则计算． 【详解】由题意{0,1,2,3,4,5}U =，{0,3}UA =，(){0,3}U A B =．故选：A ． 3．D 【解析】 【分析】利用奇偶性和单调性的定义判断即可 【详解】解：定义域为{}0x x ≠，因为2222()()()()f x x x x x f x ---=---=-=，所以()f x 为偶函数，任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则2222212211()()f x f x x x x x ---=--+212122121()()(1)x x x x x x=-++， 因为12x x <，12,(0,)x x ∈+∞，所以212122121()()(1)0x x x x x x -++>，所以21()()f x f x >，所以()f x 在()0,+∞单调递增，故选：D 4．A 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可判断. 【详解】当>0a b >时，能推出22a b >，当22a b >时，推不出a b >，例如22(1)(0)->推不出10->， 综上可知，“>0a b >”是“22a b >”的充分不必要条件， 故选：A 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，充分条件、必要条件，属于基础题. 5．D 【解析】 【分析】利用向量模的坐标形式可求a b -的最大值，注意利用二倍角的正弦公式来计算. 【详解】()2,sin cos a b θθ-=-，故(4a b -=+=，≤sin 21θ=-即,4k k Z πθπ=-+∈等号成立，故a b -的最大值为， 故选：D. 6．C 【解析】【分析】列举基本事件，利用古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】记3个“冰墩墩”分别为a 、b 、c,3个“雪容融”分别为1、2、3；从6个盲盒的袋子中任取2个盲盒有：ab,ac,a1,a2,a3,bc,b1,b2,b3,c1,c2,c3,12,13,23共15种情况；其中恰好抽到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”包含a1,a2,a3, b1,b2,b3,c1,c2,c3共9种， 所以概率为：93155P ==. 故选：C 7．B 【解析】 【分析】根据三视图得到如图所示的几何体，利用公式可求四棱锥的表面积. 【详解】根据三视图得到如图所示的几何体（四棱锥），其中底面为矩形ABCD ，且3,2AD BC AB CD ====，棱锥的高为1， 且侧面SAB ⊥底面ABCD ，SBC SAD ≅，SCD 为等腰三角形且SC SD =，SAB △为等腰三角形且SA SB =，取AB 的中点为M ，连接,SM CM .因为SAB △为等腰三角形且SA SB =，故SM AB ⊥，而侧面SAB ⊥底面ABCD ，SM ⊂侧面SAB ，侧面SAB ⋂底面ABCD AB =， 故SM ⊥底面ABCD ，故1SM =，而CM ⊂底面ABCD ，故SM CM ⊥，而CM =故SC SD ==，故122SCDS=⨯ 同理CB ⊥侧面SAB ，而SB ⊂侧面SAB ，故CB SB ⊥，而SB =132SBCS =⨯=又11212SABS=⨯⨯=，故几何体的表面积为12327+⨯+=+ 故选：B.8．D【解析】【分析】根据对数的运算性质及参考数据逐项计算后可得正确的选项.【详解】因此存款金额用十进制计算，故10b=，对于A，存款金额的首位数字是1的概率为1lg2lg10.30109-≈>，故A错误.对于B，存款金额的首位数字是5的概率为lg6lg5lg2lg31lg22lg2lg3120.30100.477110.0791 -=+-+=+-≈⨯+-=，故不约为9.7%，故B错误.对于C，存款金额的首位数字是6的概率为7lg7lg6lg6-=，存款金额的首位数字是7的概率为8lg8lg7lg7-=，因为7867>，故78lg lg67>，故C错误.对于D，存款金额的首位数字是8的概率为lg9lg8-，存款金额的首位数字是9的概率为lg10lg91lg9-=-，故存款金额的首位数字是8或9的概率为1lg813lg2130.30100.0970-=-≈-⨯=，故D正确.故选：D.9．A【解析】【分析】依题意可得1290F MF ∠=︒，再利用勾股定理得到221216MF MF +=，将122MF MF -=两边平方，即可得到12MF MF ⋅，最后根据面积公式计算可得； 【详解】解：依题意1290F MF ∠=︒，124F F =， 所以222121216MF MF F F +==， 又()2124MF MF -=，即22121224MF MF MF MF +-⋅=，所以126MF MF ⋅=， 所以1212132F F M S MF MF =⋅=△； 故选：A 10．C 【解析】 【分析】设切点为()300,x x ，求出函数的导函数，即可求出切线方程，再根据点P 在切线上，即可代入切线方程，解得0x ，即可得解； 【详解】解：设切点为()300,x x ，由3y x =，所以23y x '=，所以020|3x x y x ='=，所以切线方程为()320003y x x x x -=-，即230032y x x x =-，因为切线过点()1,0P ，所以3200032x x =-，解得00x =或032x =， 所以过点()1,0P 作曲线3y x =的切线可以作2条， 故选：C 11．D 【解析】 【分析】首先求出函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴方程，再根据x 的取值范围求出26x π-的范围，即可得到1x ，2x 关于56x π=对称，再利用诱导公式计算可得； 【详解】 解：令2,62x k k Z πππ-=+∈，解得,32k x k Z ππ=+∈， 所以函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴方程为,32k x k Z ππ=+∈， 因为方程3sin 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭在()0,π上的解为1x ，2x ，因为()0,x π∈，所以112,666x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又13sin 625π⎛⎫-=->- ⎪⎝⎭， 所以1x ，2x 关于56x π=对称；所以1253x x π+=，所以()125sin sin sin 2sin 333x x ππππ⎛⎫+==-=-= ⎪⎝⎭；故选：D 12．C 【解析】 【分析】依题意可得{}n n a b +是以2为首项，2为公比的等比数列，即可求出{}n n a b +的通项公式，再根据1232n n n a a b +=++，得到131122n n n a a b +=++，即可得到{}1n n a b ++的通项公式，最后代入即可； 【详解】解：因为1232n n n a a b +=++， 1232n n n b a b +=+-，所以()112232324n n n n n n n n a b a b a b a b ++-+=++++=+，即()112n n n n a b a b +++=+， 又112a b +=，所以{}n n a b +是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2nn n a b +=，又1232n n n a a b +=++，即131122n n n a a b +=++， 所以()1313112223212n n n n n n n n a b a b b a b +===⨯+++++++所以20212002222200213213212a b +=⨯+=⨯+；故选：C 13．2 【解析】 【分析】作出可行域，目标式子yx，表示可行域内点(),x y 与坐标原点()0,0的连线的斜率，数形结合计算可得； 【详解】解：作出不等式对应的平面区域如下所示：其中00y y x x -=-表示可行域内点(),x y 与坐标原点()0,0的连线的斜率， 由3204x y y --=⎧⎨=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩，即()2,4A ，由图可知422OA k ==，即max2y x ⎛⎫=⎪⎝⎭； 故答案为：2 14．8 【解析】 【分析】设公比为q ()0q >，依题意得到方程，求出q ，即可得解； 【详解】解：依题意设公比为q ()0q >，由3221S S =+，即3221S S S -=+，即321a S =+，所以21111a q a a q =++，即220q q --=，解得2q或1q =-（舍去）；所以3418a a q ==；故答案为：815． 【解析】 【分析】依题意可得底面三角形ABC 外接圆的直径即为AB ，设外接球的半径为R ，则()22212R AB AA =+，即可求出R ，再根据球的体积公式计算可得；【详解】解：因为直三棱柱111ABC A B C -底面是以AB 为斜边的直角三角形，所以底面三角形ABC 外接圆的直径即为AB =设外接球的半径为R ，则()22212R AB AA =+，所以2424R =，解得R =所以外接球的体积343V R π==；故答案为：16【解析】 【分析】如图，设1MF 与y 轴的交点为Q ，连接2F Q ，利用平面几何知识结合焦点三角形性质可求四边形12MF PF 为ac ，从而可求离心率. 【详解】如图，设1MF 与y 轴的交点为Q ，连接2F Q ，因为2MF 平行于y 轴，故Q 为1F M 的中点，且2QPM F MP ∠=∠，故212OQ F M =，又2,b M c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故20,2b Q a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为12F MP F MP ∠=∠，故1QPM F MP ∠=∠，所以2122b PQ QM a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故四边形12MF PF 为： 212212111122222QF MF F Mb S F F QP Sc QM Sc QM c a=⨯⨯+=⨯+=⨯+⨯⨯⨯2221222b b cc a ac a a ⎛⎫=⨯-+== ⎪⎝⎭，故c a =e =17．(1)规律见解析，ˆ0.87 1.46yx =- (2)11 【解析】 【分析】（1）根据散点图的变化趋势分析即可，再求出x ，y ，ˆb，ˆa 即可得到回归直线方程； （2）由（1）中的回归直线方程求出x 的取值范围，即可得解； (1)解：从散点图看到，各点散布在从左下角到右上角的区域里， 因此，职工平均工资与城镇居民消费水平之间成正相关， 即职工平均工资越高，城镇居民消费水平越高；又 6.67.27.88.58.49.586x +++++==， 4.15 5.2 6.3 5.8 6.6 5.56y +++++==， 12221268.5968 5.5 4.59ˆ0.87389.368 5.3i ii ini nx ynxybxnx ==--⨯⨯===≈-⨯-∑∑，ˆ 5.50.878 1.46a=-⨯=-， 所求线性回归方程为ˆ0.87 1.46yx =-； (2)解：当ˆ8.11y≥时，即0.87 1.468.11x -≥，解得11x ≥， 所以估计2022年的职工平均工资至少达到11万元； 18．(1)直角三角形；【解析】 【分析】（1）由余弦的二倍角公式变形后利用余弦定理化角为边，从而得三角形形状；（2）求出BMN △面积，得BM BN ⋅为定值，用余弦定理求MN 并利用基本不等式得最小值． (1) 由2sin22A c b c -=，得1cos 22A c bc --=，所以cos b A c=， 由余弦定理得2222b c a bbc c+-=，整理得222c b a =+，所以π2C =，ABC 是直角三角形； (2)由2b =，π3A =，π2C =得a =4c =，122ABCS =⨯⨯= 1π11sin 32642BMNABCSBM BN BM BN S =⋅=⋅==，所以BM BN ⋅=222π2cos22126MN BM BN BM BN BM BN =+-⋅≥⋅-⨯=，当且仅当BM BN =时等号成立，所以MN19．(1)点F 是BC 的中点，理由见解析【解析】 【分析】（1）取BC 的中点F ，连接OF ，DF ，即可得到//OF AC ，从而得到//OF 平面AEC ，同理可证//OD 平面AEC ，即可得到平面//DOF 平面AEC ，从而得证；（2）由勾股定理求出OA ，OD ，再根据锥体的体积公式求出D BOF V -、D BOC V -、C DOAE V -、DBCAE V 即可得解；(1)解：点F 是BC 的中点，取BC 的中点F ，连接OF ，DF ，因为O 为AB 的中点，所以//OF AC ， 又AC ⊂平面AEC ，OF ⊄平面AEC ，所以//OF 平面AEC ， 由四边形DOAE 为矩形，所以//DO AE ，又AE ⊂平面AEC ，OD ⊄平面AEC ，所以//OD 平面AEC ， 因为DO OF O ⋂=，,DO OF ⊂平面DOF ， 所以平面//DOF 平面AEC ， 因为DF ⊂平面DOF ， 所以//DF 平面AEC ，(2)解：由（1）知点F 是BC 的中点，因为2DA AC BC ===，所以AB =所以OA OC OB ===OC AB ⊥，所以OD所以三棱锥D BOF -的体积111332D BOF BOFV SDO -=⋅=⨯；又三棱锥D BOC 的体积111332D BOC BOCV SDO -=⋅=⨯=所以四棱锥C DOAE -的体积21133C DOAE DOAE V S -==⨯=，所以几何体DBCAE 的体积DBCAE D BCO C DOAE V V V --=+所以体积较大部分几何体的体积为DBCAE D BOF V V --==； 20．(1)2p = (2)()22740x y -+= 【解析】 【分析】（1）()2,02a A a a p ⎛⎫> ⎪⎝⎭，根据距离公式可得AB =，根据二次函数的性质可求最小值，从而可得p 的值.（2）根据（1）可得:3AB x y =-+，联立直线方程和抛物线方程后可求D 的坐标，设2,4b E b ⎛⎫⎪⎝⎭，利用点到直线的距离公式可求距离的最大值，从而可得面积最大时对应的E 的坐标，从而可判断出圆心在x 轴上，利用待定系数法可求圆心坐标，从而可求圆的方程. (1)设()2,02a A a a p ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则AB ，整理得到：AB ==故当22a p =时，min AB =2p =， (2)由（1）可得()3,0B 且()1,2A ，故直线AB 的斜率为02131-=--， 设:3AB x y =-+，由234x y y x=-+⎧⎨=⎩可得24120y y +-=，故2y =或6y =-， 因为D 在x 轴下方，故6D y =-，所以9D x =，故6AD +=，设2,4b E b ⎛⎫⎪⎝⎭，其中62b -<<又E 到直线:3AB x y =-+的距离为d ，因为62b -<<，故()22132444b y b b =+-=+-的取值范围为[)4,0-，故234b b +-的最大值为4，此时ADE 面积最大， 且ADE 面积最大时2b =-即()1,2E -，因为()1,2A ，所以,A B 关于x 轴对称，故ADE 外接圆的圆心在x 轴上， 设ADE 外接圆的圆心为C ，设(),0C c ， 故CA CD ==7c =，故ADE 外接圆的方程为：()22740x y -+=. 21．(1)1e>a ；(2)证明见解析． 【解析】 【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定极值，得参数范围；（2）不等式两边相减转化变形为e ln(e )1x x x x ≥+，换元令e x t x =，则不等式为ln 1t t ≥+，令()ln 1g t t t =--，由导数确定函数的最小值，从而证得不等式成立． (1)()e e (1)(e )(1)x x x f x x a x a x '=+-+=-+，若0a ≤，则e 0x a ->，1x <-时，()0f x '<，()f x 递减，(1)f -不可能是极大值点，因此0a >，()0f x '=的解为1ln x a =，21x =-，1x =-是极大值点，则12x x >，即ln 1a >-，此时有1x <-时，()0f x '>，()f x 递增，1ln x a -<<时，()0f x '<， ()f x 递减，1x =-是极大值点，所以11e ea ->=；(2)2a =时，不等式()2ln 2f x x x x ≥--+为e ln 1x x x x >++，即e ln(e )1x x x x ≥+，令e x t x =，即ln 1t t ≥+，令()ln 1g t t t =--，11()1t g t t t -'=-=，当01t <<时，()0g t '<，()g t 递减，1x >时，()0g t '>，()g t 递减，所以min ()(1)0g t g ==，所以()ln 1(1)0g t t t g =--≥=，所以ln 1t t ≥+恒成立，即原不等式e ln(e )1x x x x ≥+恒成立，所以()2ln 2f x x x x ≥--+．22．(1)22163x y +=，()0y ≠(2)2【解析】 【分析】（1）消去参数得到直线1l 、2l 的普通方程，联立两方程消去k ，即可得到P 的轨迹； （2）首先将1C 的方程化为极坐标方程，再将()04πθρ=≥代入两极坐标方程即可求出OA ，OB ，即可得解；(1)解：因为直线1l的参数方程为12x ty kt ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t 得直线1l的普通方程为(12y k x =①， 直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数）， 消去参数m 得直线2l的普通方程为(1y x k=-①，设(),P x y ，由①①联立得((121y k x y x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去k 得()22162y x =--即曲线1C 的普通方程为22163x y +=，()0y ≠；(2)解：设1OA ρ=，2OB ρ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线1C 的极坐标方程为2261sin ρθ=+（02θπ<<，θπ≠）， 代入()04πθρ=≥得12OA ρ==，将()04πθρ=≥代入2cos ρθ=得2OB ρ==所以2AB OA OB =-= 即线段AB的长度为2 23．(1)(,4][0,)-∞-+∞； (2)5a ≤-或1a ≥-． 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号后，解不等式可得；（2）由（1）求得()f x 的最大值max ()f x ，()g x 的最小值min ()g x ，然后由max min ()()f x g x ≤可得a 的范围． (1)1x ≤-时，()12(1)3f x x x x =-++=+，由31x +≤-得4x ≤-，11x -<≤时，()12(1)31f x x x x =--+=--，由311x --≤-，得0x ≥，所以01x ≤≤，1x >时，()12(1)3f x x x x =--+=--，由31x --≤-得2x ≥-，所以1x >，综上，4x ≤-或0x ≥，即不等式的解集为(,4][0,)-∞-+∞； (2)由（1）知()f x 在(,1)-∞-上递增，在[1,)-+∞上递减，所以max ()(1)2f x f =-=，()33g x x x a a =-++≥+，即min ()3g x a =+，答案第16页，共16页 由题意32a +≥，32a +≤-或32a +≥，解得5a ≤-或1a ≥-．。

2022年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{2A =-，1-，0，1，2}，5{|0}2B x x =< ，则(AB =)A．{0，1，2}B．{2-，1-，0}C．{0，1}D．{1，2}2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：则()A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3．若1z i =+，则|3|(iz z +=)A．45B．42C．25D．224．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为()A．8B．12C．16D．205．将函数()sin(0)3f x x πωω=+>的图像向左平移2π个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是()A．16B．14C．13D．126．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()A．15B．13C．25D．237．函数()(33)cos x x f x x -=-在区间[2π-，2π的图像大致为()A．B．C．D．8．当1x =时，函数()bf x alnx x =+取得最大值2-，则f '（2）(=)A．1-B．12-C．12D．19．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1B D 与平面ABCD 和平面11AA B B 所成的角均为30︒，则()A．2AB AD=B．AB 与平面11AB C D 所成的角为30︒C．1AC CB =D．1B D 与平面11BB C C 所成的角为45︒10．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若2S S =甲乙，则(VV =甲乙)B．D．411．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为13，1A ，2A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为()A．2211816x y +=B．22198x y +=C．22132x y +=D．2212x y +=12．已知910m =，1011m a =-，89m b =-，则()A．0a b>>B．0a b >>C．0b a >>D．0b a>>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021-2022学年河南省高三（上）段考数学试卷（文科）（三）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A＝{x|﹣1≤x＜5，x∈N}，B＝{0，2，3，5}，则A∪B＝（）A．{0，2，3}B．{﹣1，0，1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5}D．{﹣1，0，1，2，3，4，5}2．“x2+x﹣2＝0”是“x＝﹣2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若幂函数在（0，+∞）上单调递增，则a＝（）A．1B．6C．2D．﹣14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a7＝14，则S9＝（）A．20B．35C．45D．635．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．6．函数f（x）＝xe x﹣x2﹣2x﹣1的极大值为（）A．﹣1B．C．ln2D．﹣（ln2）2﹣1 7．设函数则不等式f（x）≤2的解集为（）A．[0，3]B．（﹣∞，3]C．[0，+∞）D．[0，1]∪[3，+∞）8．设p：∀x∈[2，3]，kx＞1，q：∃x∈R，x2+x+k≤0．若p或q为真，p且q为假，则k的取值范围为（）A．B．C．D．9．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的开区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；…．如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即“康托三分集”．第三次操作后，从左到右第六个区间为（）A．B．C．D．10．O是△ABC所在平面内一点，动点P满足（λ∈（0，+∞）），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．内心B．重心C．外心D．垂心11．已知偶函数f（x）的定义域为R，f（1）＝2021，当x≥0时，f′（x）≥6x恒成立，则不等式f（x）＞3x2+2018的解集为（）A．（﹣1，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）12．设a＝ln1.2，b＝2ln1.1，c＝﹣1，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量＝（﹣4，x），＝（3，2）．若⊥，则||＝．14．已知x，y满足，则z＝3x﹣y的最大值为．15．已知函数图象的一条对称轴方程为x＝，这条对称轴与相邻对称中心之间的距离为，则φ＝．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若sin A＝，a＝5，则△ABC的面积为，其内切圆的半径为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＜b＜c，cos B＝，cos（2A+C）＝﹣．（1）求sin（A+C）的值；（2）求sin2A的值．18．已知数列{a n}满足a1＝4，a n+1＝2a n+2n+1（n∈N*），设数列{a n}的前n项和为S n．（1）证明：数列是等差数列．（2）求S n．19．某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂家的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足关系式（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1.5万件．已知生产该产品的固定年投入为10万元，每生产1万件该产品需要再投入25万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）将该产品的年利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；（2）该厂家年利润的最大值为多少？20．已知函数f（x）＝（x＞0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝2时，求曲线y＝f（x）过点（2，0）的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标．21．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AC＝2，∠BAC＝，．（1）求cos∠PBC．（2）若点M在线段PB上，记△ACM的周长为l，证明：l＞5．22．已知函数f（x）＝（ax﹣1）lnx﹣（2a﹣）x+ea．（1）当a＞0时，证明：f（x）≥0；（2）若f（x）在（e，e2）上单调递增，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2022年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试（新⾼考全国Ⅱ卷）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-£，则A B =I （ ）A.{1,2}- B.{1,2}C.{1,4}D.{1,4}-2.(22i)(12i)+-=（ ）A.24i-+ B.24i-- C.62i+ D.62i-3.中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AA k k k OD DC CB BA ====，若123,,k k k 是公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（ ）A. 0.75B. 0.8C. 0.85D. 0.94.已知(3,4),(1,0),t ===+r r r r r a b c a b ，若,,<>=<>r r r ra cbc ，则t =（ ）A.6- B.5- C. 5D. 65.有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（ ）A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种6.角,a b 满足sin()cos()sin 4p a b a b a b æö+++=+ç÷èø，则（ ）A .tan()1a b += B.tan()1a b +=-C.tan()1a b -= D.tan()1a b -=-7.正三棱台高为1，上下底边长分别为，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（ ）A.100πB.128πC.144πD.192π8.若函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==å（ ）A.3- B.2- C. 0D. 1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.函数()sin(2)(0π)f x x j j =+<<的图象以2π,03æöç÷èø中心对称，则（）A.y =()f x 在5π0,12æöç÷èø单调递减B.y =()f x 在π11π,1212æö-ç÷èø有2个极值点C.直线7π6x =是一条对称轴D.直线2y x =-是一条切线10.已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，点A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（）A. 直线AB 的斜率为B.||||OB OF =C.||4||AB OF > D.180OAM OBM Ð+Ð<°11.如图，四边形ABCD 为正方形，ED ^平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V ，则（）A.322V V =B.312V V =C.312V V V =+ D.3123V V =12.对任意x ，y ，221+-=x y xy ，则（）A.1x y +£ B.2x y +³-C.222x y +£D.221x y +³三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知随机变量X 服从正态分布()22,N s，且(2 2.5)0.36P X <£=，则( 2.5)P X >=____________．14.写出曲线ln ||y x =过坐标原点的切线方程：____________，____________．15.已知点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =的对称直线与圆22(3)(2)1x y +++=存在公共点，则实数a 的取值范围为________．16.已知椭圆22163x y +=，直线l 与椭圆在第一象限交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||MA NB MN ==l 的方程为___________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．（1）证明：11a b =；（2）求集合{}1,1500k m k b a a m =+££中元素个数．18.记ABC V 的三个内角分别为A ，B ，C ，其对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知1231,sin 23S S S B -+==．（1）求ABC V 的面积；（2）若sin sin 3A C =，求b ．19.在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据频率分布直方图．（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间[20,70)的概率；（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%，从该地区任选一人，若此人年龄位于区间[40,50)，求此人患该种疾病的概率．（样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）20.如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，AB AC ^，E 是PB 的中点．（1）求证：//OE 平面PAC ；（2）若30ABO CBO Ð=Ð=°，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．21.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为Q M ，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.22.已知函数()e e ax x f x x =-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；（3）设n *ÎNln(1)n ++>+L ．答案及解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-£，则A B =I （）A.{1,2}- B.{1,2}C.{1,4}D.{1,4}-【答案】B 【解析】【分析】求出集合B 后可求A B I .【详解】{}|02B x x =££，故{}1,2A B =I ，故选：B.2.(22i)(12i)+-=（）A.24i -+ B.24i-- C.62i+ D.62i-【答案】D 【解析】【分析】利用复数的乘法可求()()22i 12i +-.【详解】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-，故选：D.3.中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AA k k k OD DC CB BA ====，若123,,k k k 是公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（）A. 0.75B. 0.8C. 0.85D. 0.9【答案】D 【解析】【分析】设11111OD DC CB BA ====，则可得关于3k 的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===，依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++，所以30.530.30.7254k +-=，故30.9k =，故选：D4.已知(3,4),(1,0),t ===+rrrrra b c a b ，若,,<>=<>r rr ra cbc ，则t =（）A.6- B.5- C. 5D. 6【答案】C 【解析】【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：()3,4c t =+r ,cos ,cos ,a c b c =r r r,即931635t t c c+++=r r ,解得5t =,故选：C5.有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（）A. 12种 B. 24种C. 36种D. 48种【答案】B 【解析】【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224´´=种不同的排列方式，故选：B6.角,a b 满足sin()cos()sin 4p a b a b a b æö+++=+ç÷èø，则（）A.tan()1a b += B.tan()1a b +=-C.tan()1a b -= D.tan()1a b -=-【答案】D 【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin a b a b a b a b a a b ++-=-,即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0a b a b a b a b -++=，即：()()sin cos 0a b a b -+-=,所以()tan 1a b -=-,故选：D7.正三棱台高为1，上下底边长分别为，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（）A.100πB.128πC.144πD.192π【答案】A 【解析】【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，所以122,2sin 60sin 60r r ==o o，即123,4r r ==，设球心到上下底面的距离分别为12,d d ，球的半径为R ，所以1d =2d =121d d -=或121d d +=1=或1+=，解得225R =符合题意，所以球的表面积为24π100πS R ==．故选：A ．8.若函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==å（）A.3-B.2-C.0D.1【答案】A 【解析】【分析】根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f L 的值，即可解出．【详解】因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=L ．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-å．故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.函数()sin(2)(0π)f x x j j =+<<的图象以2π,03æöç÷èø中心对称，则（）A.y =()f x 在5π0,12æöç÷èø单调递减B.y =()f x 在π11π,1212æö-ç÷èø有2个极值点C. 直线7π6x =是一条对称轴D. 直线2y x =-是一条切线【答案】AD 【解析】【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：2π4πsin 033f j æöæö=+=ç÷ç÷èøèø，所以4ππ3k j +=，k ÎZ ，即4ππ,3k k j =-+ÎZ ，又0πj <<，所以2k =时，2π3j =，故2π()sin 23f x x æö=+ç÷èø．对A ，当5π0,12x æöÎç÷èø时，2π2π3π2,332x æö+Îç÷èø，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =在5π0,12æöç÷èø上是单调递减；对B ，当π11π,1212x æöÎ-ç÷èø时，2ππ5π2,322x æö+Îç÷èø，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =只有1个极值点，由2π3π232x +=，解得5π12x =，即5π12x =为函数的唯一极值点；对C ，当7π6x =时，2π23π3x +=，7π()06f =，直线7π6x =不是对称轴；对D ，由2π2cos 213y x æö¢=+=-ç÷èø得：2π1cos 232x æö+=-ç÷èø，解得2π2π22π33x k +=+或2π4π22π,33x k k +=+ÎZ ,从而得：πx k =或ππ,3x k k =+ÎZ ,所以函数()y f x =在点0,2æöç÷ç÷èø处的切线斜率为02π2cos 13x k y ==¢==-，切线方程为：(0)2y x -=--即2y x =-．故选：AD ．10.已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，点A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（）A. 直线AB的斜率为 B.||||OB OF =C.||4||AB OF > D.180OAM OBM Ð+Ð<°【答案】ACD 【解析】【分析】由AF AM =及抛物线方程求得3(,)42p A ，再由斜率公式即可判断A 选项；表示出直线AB的方程，联立抛物线求得(,)33p B -，即可求出OB 判断B 选项；由抛物线的定义求出2512pAB =即可判断C 选项；由0OA OB ×<u u u r u u u r ，0MA MB ×<u u u r u u u r 求得AOB Ð，AMB Ð为钝角即可判断D 选项.【详解】对于A ，易得(,0)2pF ，由AF AM =可得点A 在FM 的垂直平分线上，则A 点横坐标为3224p pp +=，代入抛物线可得2233242p y p p =×=，则3(,)42p A ，则直线AB的斜率为2342p p =-，A 正确；对于B，由斜率为可得直线AB的方程为x =，联立抛物线方程得220y py p -=，设11(,)B x y，则126p y p +=，则13y =-，代入抛物线得2123p x æö-=×ç÷ç÷èø，解得13p x =，则(,)33p B -，则=，B 错误；对于C ，由抛物线定义知：325244312p p p AB p p OF =++=>=，C 正确；对于D，2333(,)(,)0423343234p p p p p OA OB æö×=×-=×+×-=-<ç÷ç÷èøuu u r u u u r ，则AOB Ð为钝角，又2225(,)(,)0423343236p p p p p MA MB æöæö×=-×--=-×-+×-=-<ç÷ç÷ç÷èøèøuu u r uu u r ，则AMB Ð为钝角，又360AOB AMB OAM OBM Ð+Ð+Ð+Ð=o ，则180OAM OBM Ð+Ð<o ，D 正确.故选：ACD.11.如图，四边形ABCD 为正方形，ED ^平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V，则（）A.322V V = B.312V V =C.312V V V =+D.3123V V =【答案】CD 【解析】【分析】直接由体积公式计算12,V V ，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，由3A EFM C EFM V V V --=+计算出3V ，依次判断选项即可.【详解】设22AB ED FB a ===，因为ED ^平面ABCD ，FB ED P ，则()2311114223323ACD V ED S a a a =××=×××=V ，()232111223323ABC V FB S a a a =××=×××=V ，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，易得BD AC ^，又ED ^平面ABCD ，AC Ì平面ABCD ，则ED AC ^，又ED BD D =I ，,ED BD Ì平面BDEF ，则AC ^平面BDEF ，又12BM DM BD ===，过F 作FG DE ^于G ，易得四边形BDGF 为矩形，则,FG BD EG a ===，则,EM FM ====，3EF a ==，222EM FM EF +=，则EM FM ^，2122EFM S EM FM a =×=V ，AC =，则33123A EFM C EFM EFM V V V AC S a --=+=×=V ，则3123V V =，323V V =，312V V V =+，故A 、B 错误；C 、D 正确.故选：CD.12.对任意x ，y ，221+-=x y xy ，则（）A.1x y +£B.2x y +³-C.222x y +£D.221x y +³【答案】BC 【解析】【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为22222a b a b ab ++æö££ç÷èø（,a b ÎR ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +æö+-=£ç÷èø，解得22x y -£+£，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=£，解得222x y +£，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y æö-+=ç÷èø，设cos ,sin 22y x y q q -==，所以cos ,x y q q q ==，因此22225cos sin cos 13x y q q q q =+=+++42π2sin 2,23363q æöéù=+-Îç÷êúèøëû，所以当,33x y ==-时满足等式，但是221x y +³不成立，所以D 错误．故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知随机变量X 服从正态分布()22,N s，且(2 2.5)0.36P X <£=，则( 2.5)P X >=____________．【答案】0.14##750．【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．【详解】因为()22,X N s:，所以()()220.5P X P X <=>=，因此()()()2.522 2.50.50.360.14P X P X P X >=>-<£=-=．故答案为：0.14．14.写出曲线ln ||y x =过坐标原点的切线方程：____________，____________．【答案】①.1ey x =②.1ey x =-【解析】【分析】分0x >和0x <两种情况，当0x >时设切点为()00,ln x x ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0x ，即可求出切线方程，当0x <时同理可得；【详解】解：因为ln y x =，当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1y x¢=，所以001|x x y x =¢=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又切线过坐标原点，所以()0001ln x x x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e e y x -=-，即1ey x =；当0x <时()ln y x =-，设切点为()()11,ln x x -，由1y x¢=，所以111|x x y x =¢=，所以切线方程为()()1111ln y x x x x --=-，又切线过坐标原点，所以()()1111ln x x x --=-，解得1e x =-，所以切线方程为()11e e y x -=+-，即1ey x =-；故答案为：1e y x =；1ey x =-15.已知点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =的对称直线与圆22(3)(2)1x y +++=存在公共点，则实数a 的取值范围为________．【答案】13,32éùêúëû【解析】【分析】首先求出点A 关于y a =对称点A ¢的坐标，即可得到直线l 的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解：()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a ¢--，()0,B a 在直线y a =上，所以A B ¢所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=；圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =，依题意圆心到直线l 的距离1d =£，即()()2225532a a -£-+，解得1332a ££，即13,32a éùÎêúëû；故答案为：13,32éùêúëû16.已知椭圆22163x y +=，直线l 与椭圆在第一象限交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||MA NB MN ==l 的方程为___________．【答案】0x +-=【解析】【分析】令AB 的中点为E ，设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法得到12OE AB k k ×=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，求出M 、N 的坐标，再根据MN 求出k 、m ，即可得解；【详解】解：令AB 的中点为E ，因为MA NB =，所以ME NE =，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211163x y +=，2222631x y +=，所以2222121206633x x y y -+-=，即()()()()12121212063x x x x y y y y -++-+=所以()()()()1212121212y y y y x x x x +-=--+，即12OE AB k k ×=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，令0x =得y m =，令0y =得m x k =-，即,0m M k æö-ç÷èø，()0,N m ，所以,22m m E k æö-ç÷èø，即1222mk m k´=--，解得2k =-或2k =（舍去），又MN =，即MN ==，解得2m =或2m =-（舍去），所以直线:22AB y x =-+，即0x +-=；故答案为：0x -=四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．（1）证明：11a b =；（2）求集合{}1,1500k m k b a a m =+££中元素个数．【答案】（1）证明见解析；（2）9．【解析】【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得22k m -=，即可解出．【小问1详解】设数列{}n a 的公差为d ，所以，()11111111224283a d b a d b a d b b a d +-=+-ìí+-=-+î，即可解得，112db a ==，所以原命题得证．【小问2详解】由（1）知，112d b a ==，所以()1111121k k m b a a b a m d a -=+Û´=+-+，即122k m -=，亦即[]221,500k m -=Î，解得210k ££，所以满足等式的解2,3,4,,10k =L ，故集合{}1|,1500k m k b a a m =+££中的元素个数为10219-+=．18.记ABC V 的三个内角分别为A ，B ，C ，其对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S，已知1231,sin 23S S S B -+==．（1）求ABC V 的面积；（2）若sin sin 3A C =，求b ．【答案】（1）8（2）12【解析】【分析】（1）先表示出123,,S S S，再由1232S S S -+=求得2222a c b +-=，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sin sin sin b acB A C=，即可求解.【小问1详解】由题意得22221231,,22444S a a S b S c =××===，则2221234442S S S a c -+=-+=，即2222a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，整理得cos 1ac B =，则cos 0B >，又1sin 3B =，则cos 3B ==，1cos 4ac B ==，则1sin 28ABC S ac B ==V ；【小问2详解】由正弦定理得：sin sin sin b a cB A C==，则22sin sin sin sin sin 3b ac ac B A C A C =×==，则3sin 2b B =，31sin 22b B ==.19.在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据频率分布直方图．（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间[20,70)的概率；（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%，从该地区任选一人，若此人年龄位于区间[40,50)，求此人患该种疾病的概率．（样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）【答案】（1）44.65岁；（2）0.89；（3）0.0014．【解析】【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；（2）设A ={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，根据对立事件的概率公式()1()P A P A =-即可解出；（3）根据条件概率公式即可求出．【小问1详解】平均年龄(50.001150.002250.012350.017450.023x =´+´+´+´+´550.020650.012750.006850.002)1044.65+´+´+´+´´=（岁）．【小问2详解】设A ={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，所以()1()1(0.0010.0020.0060.002)1010.110.89P A P A =-=-+++´=-=．【小问3详解】设{B =任选一人年龄位于区间}[40,50)，{C =任选一人患这种疾病}，则由条件概率公式可得()0.1%0.023100.0010.23(|)0.00143750.0014()16%0.16P BC P C B P B ´´´====»．20.如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，AB AC ^，E 是PB 的中点．（1）求证：//OE 平面PAC ；（2）若30ABO CBO Ð=Ð=°，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）1113【解析】【分析】（1）连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，根据三角形全等得到OA OB =，再根据直角三角形的性质得到AO DO =，即可得到O 为BD 的中点从而得到//OE PD ，即可得证；（2）过点A 作//Az OP ，如图建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；【小问1详解】证明：连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，因为PO 是三棱锥P ABC -的高，所以PO ^平面ABC ，,AO BO Ì平面ABC ，所以PO AO ^、PO BO ^，又PA PB =，所以POA POB @△△，即OA OB =，所以OAB OBA Ð=Ð，又AB AC ^，即90BAC Ð=°，所以90OAB OAD Ð+Ð=°，90OBA ODA Ð+Ð=°，所以ODA OADÐ=Ð所以AO DO =，即AO DO OB ==，所以O 为BD 的中点，又E 为PB 的中点，所以//OE PD ，又OE Ë平面PAC ，PD Ì平面PAC ，所以//OE 平面PAC【小问2详解】解：过点A 作//Az OP ，如图建立平面直角坐标系，因为3PO =，5AP =，所以4OA ==，又30OBA OBC Ð=Ð=°，所以28BD OA ==，则4=AD，AB =，所以12AC =，所以()2,0O，()B，()2,3P ，()0,12,0C，所以32E æöç÷èø，则32AE æö=ç÷èøuu u r，()AB =u u ur ，()0,12,0AC =uu u r ，设平面AEB 的法向量为(),,n x y z =r，则3020n AE y z nAB ì×=++=ïíï×==îu u uv v u u u v v ，令2z =，则3y =-，0x =，所以()0,3,2n =-r；设平面AEC 的法向量为(),,m a b c =u r，则302120m AE b c m AC b ì×=++=ïíï×==îuu u v v uu u v v，令a =6c =-，0b =，所以)6m =-u r；所以cos ,13n m n m n m×===-r u rr u r r u r 设二面角C AE B --为q ，由图可知二面角C AE B --为钝二面角，所以cos 13q =-，所以11sin 13q ==故二面角C AE B --的正弦值为1113；21.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F，渐近线方程为y =．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P且斜率为QM ，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（1）2213y x -=（2）见解析【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得c 的值，利用渐近线方程求得,a b 的关系，进而利用,,a b c 的平方关系求得,a b 的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k , M (x 0,y 0),由③|AM |=|BM |等价分析得到200283k x ky k +=-；由直线PM 和QM 的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ 的斜率03x m y =，由②//PQ AB 等价转化为003ky x =，由①M 在直线AB 上等价于()2002ky k x =-，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.【小问1详解】右焦点为(2,0)F ，∴2c =,∵渐近线方程为y =，∴ba=b =，∴222244c a b a =+==，∴1a =，∴b =∴C 的方程为：2213y x -=；【小问2详解】由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而12x x =，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零.设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为()2y k x =-,则条件①M 在AB 上，等价于()()2000022y k x ky k x =-Û=-；两渐近线的方程合并为2230x y -=,联立消去y 并化简整理得：()22223440k x k x k --+=设()()3334,,,A x y B x y ,线段中点为(),N N N x y ,则()2342226,2233N N N x x k kx y k x k k +===-=--,设()00,M x y ,则条件③AM BM =等价于()()()()222203030404x x y y x x y y -+-=-+-,移项并利用平方差公式整理得：()()()()3403434034220x x x x x y y y y y éùéù--++--+=ëûëû，()()3403403434220y y x x x y y y x x -éùéù-++-+=ëûëû-,即()000N N x x k y y -+-=,即200283k x ky k +=-；由题意知直线PM的斜率为, 直线QM∴由))10102020,y y x x y y x x -=--=-,∴)121202y y x x x -=+-,所以直线PQ的斜率)1201212122x x x y y m x x x x +--==---,直线)00:PM y x x y =-+,即00y y =,代入双曲线的方程22330x y --=,即)3yy +-=中，得：()()00003y y éù+-=ëû,解得P的横坐标：100x y æö=++÷÷ø,同理：200x y æö=+÷÷ø，∴120,x x x æö-=∴03x m y =,∴条件②//PQ AB 等价于003m k ky x =Û=，综上所述：条件①M 在AB 上，等价于()2002ky kx =-；条件②//PQ AB 等价于003ky x =；条件③AM BM =等价于200283k x ky k +=-；选①②推③:由①②解得：2200002228,433k k x x ky x k k =\+==--,∴③成立；选①③推②：由①③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴003ky x =，∴②成立；选②③推①：由②③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴02623x k -=-，∴()2002ky kx =-，∴①成立.22.已知函数()e e ax x f x x =-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；（3）设n *ÎNln(1)n ++>+L ．【答案】（1）()f x 的减区间为(),0-¥，增区间为()0,+¥.（2）12a £（3）见解析【解析】【分析】（1）求出()f x ¢，讨论其符号后可得()f x 的单调性.（2）设()e e 1axxh x x =-+，求出()h x ¢¢，先讨论12a >时题设中的不等式不成立，再就102a <£结合放缩法讨论()h x ¢符号，最后就0a £结合放缩法讨论()h x 的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得12ln t tt<-对任意的1t >恒成立，从而可得()ln 1ln n n +-<任意的*n N Î恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.【小问1详解】当1a =时，()()1e x f x x =-，则()e xf x x ¢=，当0x <时，()0f x ¢<，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为(),0-¥，增区间为()0,+¥.【小问2详解】设()e e 1axxh x x =-+，则()00h =，又()()1e e axxh x ax ¢=+-，设()()1e e axxg x ax =+-，则()()22e e axxg x a a x ¢=+-，若12a >，则()0210g a ¢=->，因为()g x ¢为连续不间断函数，故存在()00,x Î+¥，使得()00,x x "Î，总有()0g x ¢>，故()g x 在()00,x 为增函数，故()()00g x g >=，故()h x 在()00,x 为增函数，故()()01h x h >=-，与题设矛盾.若102a <£，则()()()ln 11e e ee ax ax ax xx h x ax ++¢=+-=-，下证：对任意0x >，总有()ln 1x x +<成立，证明：设()()ln 1S x x x =+-，故()11011x S x x x-¢=-=<++，故()S x 在()0,+¥上为减函数，故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立.由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++-<-=-£，故()0h x ¢£总成立，即()h x 在()0,+¥上为减函数，所以()()01h x h <=-.当0a £时，有()e e e1100axxaxh x ax ¢=-+<-+=，所以()h x 在()0,+¥上为减函数，所以()()01h x h <=-.综上，12a £.【小问3详解】取12a =，则0x ">，总有12e e 10xx x -+<成立，令12ex t =，则21,e ,2ln x t t x t >==，故22ln 1t t t <-即12ln t t t<-对任意的1t >恒成立.所以对任意的*n N Î，有2ln<整理得到：()ln 1ln n n +-<，()ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n n+>-+-+++-L L ()ln 1n =+，故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.。

12.如图,直线 AB,CD 相交于点 O,EO ⊥AB 于点 O,∠EOD=50°,则∠BOC 的度数为(x + 5 > 213.不等式组〈l 4-x > 3的最小整数解是14.如图,在△ABC 中, ∠ACB=90°,AC=BC=2,将△ABC 绕AC 的中点 D 逆时针旋转 90°得到△A ’B ’C ’,其中点 B 的运动路径为弧 BB’,则图中阴影部份的面积为15.如图, ∠MAN=90°,点 C 在边 AM 上,AC=4,点 B 为边 AN 上一动点, 连接 BC,△A ’BC 与△ABC 关于 BC 所在直线对称.点 D,E 分别为 AC,BC的中点,连接 DE 并延长交 A’B 所在直线于点 F,连接 A’E,当△A’EF 为直角三角形时,AB 的长为三、解答题〔本大题共 8 个小题,满分 75 分〕16.〔8 分〕先化简,再求值：(| 1 - 1)| 政 x 其中 x = 2 +1 管理杨絮-----您选哪一项〔单选〕A. 减少杨树新增面积.控制杨树每年 的栽种量B. 调整树种结构,逐渐更换现有杨树C. 选育无絮杨品种,并推广种植调查结果扇形统计图 调查结果条形统计图根据以上统计图,解答下列问题(1) 本次接受调查的市民共有 人(2)扇形统计图中,扇形E 的圆心角的度数是 ；(3)请补全条形统计图；(4)若该市约有 90 万人,请估计赞同选育无絮杨品种,并推广种植的人数17.〔9 分〕每到春夏交替时节,雌性杨树会以漫天飞絮的方式来传播下一代,漫天飞舞的杨絮易引起皮肤病、呼吸道疾病等,给人们造成困扰.为了解市民对管理杨絮方法的赞同情况,某课题小组随机调查了部份市民〔问卷调查表如图所示〕,并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图(x +1 ) x 2 - 1,〔注：日销售利润= 日销售量×〔销售单价-成本单价〕〕(1)求 y 与x 的函数解析式〔不要求写出 x 的取值范围〕即 m 的值；(2)根据以上信息,填空：该产品的成本单价是元,当销售单价 x=元时, 日销售利润 w 最大,最大值是 元〔3〕公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本,估计在今后的销售中, 日销售量与销售单 价仍存在<1〕中的关系,若想实现销售单价为90元时, 日销售利润不低于3750元的销售目标, 该产品的成品单价应不超过多少元？ 22.〔10 分〕〔1〕问题发现如图 1,在△OAB 和△OCD 中,OA=OB,OC=OD, ∠AOB=∠COD=40°,连接 AC,BD 交于点 M.填空：A C①的值为B D②∠AMB 的度数为(2)类比探索如图 2,在△OAB 和△OCD 中, ∠AOB=∠COD=90°, ∠OAB=∠OCD=30°,连接AC 交BD 的延长线交A C于点 M.请判断的值与∠AMB 的度数,并说明理由；B D(3)拓展延伸在〔2〕的条件下,将△OCD 绕 O 在平面内旋转,AC,BD 所在直线交于点 M,若 OD=1,OB= 7 ,请直接写出当点 C 与点 M 重合时 AC 的长23. 〔11 分〕如图,抛物线 y = ax 2 + 6x + c 交 x 轴于A 、B 两点,交 y 轴于点 C.直线 y = x 5经过点B 、C日销售量 y 〔个〕日销售利润 w 〔元〕751875 1251875 m87517587595k + b= 125 b = 60018. 〔1〕∵点 P 〔2,2〕在反比例函数 y = k(x > 0) 的图象上xk∴= 2, 即 k=424∴反比例函数的解析式为 y =x(2)〔答案不惟一,正确画出两个矩形即可〕19. 〔1〕连接 OC.∵CE 是圆 O 的切线, ∴OC ⊥CE∴∠FCO+∠ECF=90°∵DO ⊥AB,∴∠B+∠BFO=90°∵∠CFE=∠BFO,∴∠B+∠CFE=90°∵OC=OB,∴∠FCO=∠B∴∠ECF=∠CFE,∴CE=EF〔2〕①30°②22.5°20. 在 Rt △CAE 中, AE = C E tan 三CAE = 155tan82.4。

2022年河南高考文数真题及答案(全国乙卷)高中数学是一个特别需要用心学习的科目，数学的知识点很多，涉及到的题型也特别多，稍微用错一个公式，计算少算一步，这道题都得不到分。

以下是小编为大家收集整理的关于2022年河南高考文数真题及答案(全国乙卷)的相关内容，供大家参考!2022年全国乙卷适用的省份：河南、安徽、江西、山西、陕西、黑龙江、吉林、甘肃、内蒙古、青海、宁夏、新疆点击查看》》2022年河南高考真题及答案汇总2022年河南高考文数真题及答案(全国乙卷)高校招生的几种模式1、了解学科类别在填报志愿之前，考生应了解大类的具体学科类别，要按照教育部规定的普通高等学校本科专业的设置分类，了解选报的大类是属于12个学科的哪一个学科?又属于哪一个门类?这一点首先要搞清楚。

2、不同大类包含专业不同考生在填报志愿过程中会发现，专业目录中相同的招生大类，各学校所包含的专业也不同。

各省考生在报考时，一定要认真阅读本省当年下发的《招生专业目录》，看清所报学校的招生专业，确定自己喜欢的专业是否包含在某“大类”之中，以免漏报、错报。

3、二次分流选专业要多种因素综合考虑目前国内的高校大类专业分流模式大致有两种：一是基于学生成绩、平时表现等综合因素分专业。

这种模式最直接的影响是，排名在后的学生没有选择的余地。

有些学生可能是为了某个专业才选择大类专业，可在选专业时，受成绩排名等影响，难以选到目标专业。

二是直接按照学生意愿选专业。

这种方法看似更科学，但操作起来很困难。

在实际中，大部分学生更乐意选择“热门专业”，这样一来，“热门专业”扎堆，人数太多难以吸纳。

所以，提前了解所报院校将来分专业的相关规定，是很有必要的，这直接关系到将来学生的专业去向。

4、考生应考虑清楚自己今后的发展方向按大类招生为不了解大学专业设置的高考考生及其家长提供了一个先了解后选择的机会，使考生能够先进入大学学习基础课程和学科技能，后根据专业兴趣、个人特长等选择合适的专业，再进行专业知识点的学习和能力培养。

2024年河南高考数学真题及答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （ ）A. {1,0}- B. {2,3}C. {3,1,0}-- D.{1,0,2}-2. 若1i 1zz =+-，则z =（ ）A. 1i-- B. 1i-+ C. 1i- D. 1i+3. 已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（ ）A. 2- B. 1- C. 1D. 24. 已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（ ）A. 3m- B. 3m -C.3m D. 3m5.（ ）A.B.C.D. 6. 已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（ ）A. (,0]-∞ B. [1,0]- C. [1,1]- D.[0,)+∞7. 当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭交点个数为（ ）A. 3B. 4C. 6D. 88. 已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ）A. (10)100f > B. (20)1000f >C. (10)1000f < D. (20)10000f <二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 为了解推动出口后亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（ ）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A. (2)0.2P X >>B. (2)0.5P X ><C. (2)0.5P Y >> D. (2)0.8P Y ><的的10. 设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（ ）A. 3x =是()f x 的极小值点B. 当01x <<时，()2()f x f x<C. 当12x <<时，4(21)0f x -<-< D. 当10x -<<时，(2)()f x f x ->11. 造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（ ）A. 2a =- B.点在C 上C. C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D. 当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．13. 若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.的则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC的面积为3，求c ．16. 已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．17. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --，求AD ．18. 已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．为19. 设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．参考答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只的有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （ ）A. {1,0}- B. {2,3}C. {3,1,0}-- D.{1,0,2}-【答案】A 【解析】【分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.故选：A.2. 若1i 1zz =+-，则z =（ ）A. 1i -- B. 1i-+ C. 1i- D. 1i+【答案】C 【解析】【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【详解】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.3. 已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（ ）A. 2-B. 1- C. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.4. 已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（ ）A. 3m - B. 3m -C.3m D. 3m【答案】A 【解析】【分析】根据两角和的余弦可求cos cos ,sin sin αβαβ的关系，结合tan tan αβ的值可求前者，故可求()cos αβ-的值.【详解】因为()cos m αβ+=，所以cos cos sin sin m αβαβ-=，而tan tan 2αβ=，所以sin sin 2cos cos αβαβ=，故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-，从而sin sin 2m αβ=-，故()cos 3m αβ-=-，故选：A.5. （ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】设圆柱的底面半径为r ，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径r 的方程，求出解后可求圆锥的体积.【详解】设圆柱的底面半径为r而它们的侧面积相等，所以2ππr r=即=，故3r=，故圆锥的体积为1π93⨯=.故选：B.6. 已知函数为22,0()e ln(1),0xx ax a xf xx x⎧---<=⎨++≥⎩，在R上单调递增，则a取值的范围是（）A. (,0]-∞ B. [1,0]- C. [1,1]- D. [0,)+∞【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为()f x在R上单调递增，且0x≥时，()()e ln1xf x x=++单调递增，则需满足()221e ln1aa-⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a-≤≤，即a的范围是[1,0]-.故选：B.7. 当[0,2]xπÎ时，曲线siny x=与2sin36y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的交点个数为（）A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】画出两函数在[]0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数siny x=的的最小正周期为2πT=，函数π2sin36y x⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T=，所以在[]0,2πx ∈上函数π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C8. 已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ）A. (10)100f > B. (20)1000f >C. (10)1000f < D. (20)10000f <【答案】B 【解析】【分析】代入得到(1)1,(2)2f f ==，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【详解】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2f f ==，又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用(1)1,(2)2f f ==，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（ ）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A. (2)0.2P X >>B. (2)0.5P X ><C. (2)0.5P Y >>D. (2)0.8P Y ><【答案】BC 【解析】【分析】根据正态分布的3σ原则以及正态分布的对称性即可解出.【详解】依题可知，22.1,0.01x s ==，所以()2.1,0.1Y N ，故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>，C 正确，D 错误；因为()1.8,0.1X N ，所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯，因为()1.80.10.8413P X <+≈，所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<，而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<，B 正确，A 错误，故选：BC ．10. 设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（ ）A. 3x =是()f x 的极小值点B. 当01x <<时，()2()f x f x<C. 当12x <<时，4(21)0f x -<-< D. 当10x -<<时，(2)()f x f x ->【答案】ACD 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数，得到极值点，即可判断A ；利用函数的单调性可判断B ；根据函数()f x 在()1,3上的值域即可判断C ；直接作差可判断D.【详解】对A，因为函数()f x 的定义域为R ，而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--'，易知当()1,3x ∈时，()0f x '<，当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时，()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,∞+上单调递增，故3x =是函数()f x 的极小值点，正确；对B ，当01x <<时，()210x x x x -=->，所以210x x >>>，而由上可知，函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()2f x f x>，错误；对C ，当12x <<时，1213x <-<，而由上可知，函数()f x 在()1,3上单调递减，所以()()()1213f f x f >->，即()4210f x -<-<，正确；对D，当10x -<<时，()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->，所以(2)()f x f x ->，正确；故选：ACD.11. 造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（ ）A. 2a =- B.点在C 上C. C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D. 当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+【答案】ABD 【解析】【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a ，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.【详解】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-4a =，4a =，解得2a =-，故A 正确.对于B24=，而2x >-，()24x+=.当0x y ==()2844=-=，故()在曲线上，故B 正确.对于C ：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+，取32x =，则2641494y =-，而64164525624510494494494---=-=>⨯，故此时21y >，故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D ：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++，故0004422y x x -≤≤++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．【答案】32【解析】【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出2AF ，结合双曲线第一定义求出1AF ，即可得到,,a b c 的值，从而求出离心率.【详解】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x ya b-=得2b y a =±，即22,,,b b Ac B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225b AF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25b a=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：3213. 若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.【答案】ln 2【解析】【分析】先求出曲线e xy x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()0,ln 1x xa ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由e xy x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e xy x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln214. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.【答案】12##0.5【解析】【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯，所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382kk k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以04411A 24p ==；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以34411A 24p ==.而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故01231p p p p +++=，()1233232p p p E X ++==.所以121112p p ++=，1213282p p ++=，两式相减即得211242p +=，故2312p p +=.所以甲总得分不小于2的概率为2312p p +=.故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC的面积为3，求c ．【答案】（1）π3B = （2）【解析】【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B=得cos B 值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【小问1详解】由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 2a b c C ab +-===，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin C ===的的又因为sin C B =，即1cos 2B =，注意到()0,πB ∈，所以π3B =.小问2详解】由（1）可得π3B =，cos C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ1sin sin sin 12462A ⎛⎫⎛⎫==+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而,a b ====，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为211sin 22ABC S ab C === ，由已知ABC面积为323=+，所以c =16. 已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】（1）12（2）直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.【解析】【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；【的（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设()00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx =+，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x -=-，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【小问1详解】由题意得2239941b a b=⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22912b a ⎧=⎨=⎩，所以12e ===.【小问2详解】法一：3312032APk -==--，则直线AP 的方程为132y x =-+，即260x y +-=，AP ==，由（1）知22:1129x y C +=，设点B 到直线AP 的距离为d，则d ==则将直线AP 沿着与AP 单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ++=，6C=或18C=-，当6C=时，联立221129260x yx y⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，解得3xy=⎧⎨=-⎩或332xy=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即()0,3B-或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，当()0,3B-时，此时32lk=，直线l的方程为332y x=-，即3260x y--=，当33,2B⎛⎫--⎪⎝⎭时，此时12lk=，直线l的方程为12y x=，即20x y-=，当18C=-时，联立2211292180x yx y⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得22271170y y-+=，227421172070∆=-⨯⨯=-<，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3260x y--=或20x y-=.法二：同法一得到直线AP的方程为260x y+-=，点B到直线AP的距离d=设()00,B x y22001129x y⎪+=⎪⎩，解得332xy=-⎧⎪⎨=-⎪⎩或03xy=⎧⎨=-⎩，即()0,3B-或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一.法三：同法一得到直线AP的方程为260x y+-=，点B到直线AP的距离d=设(),3sinBθθ，其中[)0,2θ∈π联立22cos sin 1θθ+=，解得cos 1sin 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或cos 0sin 1θθ=⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时()0,3B -，16392PAB S =⨯⨯= ，符合题意，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，联立椭圆方程有2231129y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2243240k x kx ++=，其中AP k k ≠，即12k ≠-，解得0x =或22443kx k -=+，0k ≠，12k ≠-，令22443k x k -=+，则2212943k y k -+=+，则22224129,4343k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离d =，解得32k =，此时33,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则得到此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x -=-，令()()1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 可得()()22224324123636270k x k k x k k +--+--=，()()()2222Δ24124433636270k kk k k =--+-->，且AP k k ≠，即12k ≠-，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k ⎧-+=⎪⎪+==⎨--⎪=⎪+⎩，A 到直线PB距离192PAB d =，12k ∴=或32，均满足题意，1:2l y x ∴=或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(3)2l y k x =-+，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x =，则30,32Q k ⎛⎫-+⎪⎝⎭，联立223323436y kx k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，则有()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，其中()()22223Δ8343436362702k k k k k ⎛⎫=--+--> ⎪⎝⎭，且12k ≠-，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k----==++，则211312183922234P B k S AQ x x k k +=-=+=+，解的12k =或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x =或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.17. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --，求AD ．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）先证出AD ⊥平面PAB ，即可得AD AB ⊥，由勾股定理逆定理可得BC AB ⊥，从而 //AD BC ，再根据线面平行的判定定理即可证出；（2）过点D 作DEAC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，根据三垂线法可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即可求得tan DFE ∠=AD的长度表示出,DE EF ，即可解方程求出AD ．【小问1详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AD PB ⊥，PB PA P = ，,PB PA ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而AB ⊂平面PAB ，所以AD AB ⊥.因为222BC AB AC +=，所以BC AB ⊥， 根据平面知识可知//AD BC ，又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．【小问2详解】如图所示，过点D 作DEAC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，而平面PAC 平面ABCD AC =，所以DE ⊥平面PAC ，又EF CP ⊥，所以⊥CP 平面DEF ，根据二面角的定义可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即sin DFE ∠=tan DFE ∠=因为AD DC ⊥，设AD x =，则CD =，由等面积法可得，DE =，又242xCE -==，而EFC 为等腰直角三角形，所以EF =，故tan DFE∠==x =AD =．18. 已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．【答案】（1）2-（2）证明见解析 （3）23b ≥-【解析】【分析】（1）求出()min 2f x a '=+后根据()0f x '≥可求a 的最小值；（2）设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，可证(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --也在函数的图像上，从而可证对称性；（3）根据题设可判断()12f =-即2a =-，再根据()2f x >-在()1,2上恒成立可求得23b ≥-.【小问1详解】0b =时，()ln2xf x ax x=+-，其中()0,2x ∈，则()()()112,0,222f x a x x x x x =+=+∈--'，因为()22212x x x x -+⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，故()min 2f x a '=+，而()0f x '≥成立，故20a +≥即2a ≥-，所以a 的最小值为2-.，【小问2详解】()()3ln12x f x ax b x x=++--的定义域为()0,2，设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --，因为(),P m n 在()y f x =图象上，故()3ln 12m n am b m m=++--，而()()()()3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m -⎡⎤-=+-+--=-++-+⎢⎥-⎣⎦，2n a =-+，所以()2,2Q m a n --也在()y f x =图象上，由P 的任意性可得()y f x =图象为中心对称图形，且对称中心为()1,a .【小问3详解】因为()2f x >-当且仅当12x <<，故1x =为()2f x =-的一个解，所以()12f =-即2a =-，先考虑12x <<时，()2f x >-恒成立.此时()2f x >-即为()()3ln21102x x b x x +-+->-在()1,2上恒成立，设()10,1t x =-∈，则31ln 201t t bt t+-+>-在()0,1上恒成立，设()()31ln 2,0,11t g t t bt t t+=-+∈-，则()()2222232322311tbtbg t bt t t -++=-+=-'-，当0b ≥，232332320bt b b b -++≥-++=>，故()0g t '>恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当203b -≤<时，2323230bt b b -++≥+≥，故()0g t '≥恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当23b <-，则当01t <<<时，()0g t '<故在⎛ ⎝上()g t 为减函数，故()()00g t g <=，不合题意，舍；综上，()2f x >-在()1,2上恒成立时23b ≥-.而当23b ≥-时，而23b ≥-时，由上述过程可得()g t 在()0,1递增，故()0g t >的解为()0,1，即()2f x >-的解为()1,2.综上，23b ≥-.【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.19. 设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．【答案】（1）()()()1,2,1,6,5,6 （2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据(),i j -可分数列的定义即可；（2）根据(),i j -可分数列的定义即可验证结论；（3）证明使得原数列是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个，再使用概率的定义.【小问1详解】首先，我们设数列1242,,...,m a a a +的公差为d ，则0d ≠.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形()111,2,...,42k ka a a k m d-=+=+'，得到新数列()1,2, (42)a k k m ==+'，然后对1242,,...,m a a a +'''进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设()1,2,...,42k a k k m ==+，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6.【小问2详解】由于从数列1,2,...,42m +中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14，共3组；②{}{}{}15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42m m m m -++，共3m -组.（如果30m -=，则忽略②）故数列1,2,...,42m +是()2,13-可分数列.【小问3详解】定义集合{}{}410,1,2,...,1,5,9,13,...,41A k k m m =+==+，{}{}420,1,2,...,2,6,10,14,...,42B k k m m =+==+.下面证明，对142i j m ≤<≤+，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列：命题1：,i A j B ∈∈或,i B j A ∈∈；命题2：3j i -≠.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果,i A j B ∈∈，且3j i -≠.此时设141i k =+，242j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124142k k +<+，即2114k k ->-，故21k k ≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出141i k =+和242j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}{}{}11111111222242,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ++++++++--+，共21k k -组；③{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.第二种情况：如果,i B j A ∈∈，且3j i -≠.此时设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124241k k +<+，即2114k k ->，故21k k >.由于3j i -≠，故()()2141423k k +-+≠，从而211k k -≠，这就意味着212k k -≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出142i k =+和241j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}112121241,31,221,31k k k k k k k +++++++，{}121212232,222,32,42k k k k k k k +++++++，共2组；③全体{}11212124,3,22,3k p k k p k k p k k p +++++++，其中213,4,...,p k k =-，共212k k --组；④{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含212k k --个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：{}111243,44,...,3k k k k +++，{}12121233,34,...,22k k k k k k +++++，{}121212223,223,...,3k k k k k k +++++，{}1212233,34,...,4k k k k k ++++.加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

2022年河南高考数学真题及参考答案文科数学注意事项1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}1086,42，，，=M ，{}61<<-=x x N ，则=⋂N M （）A.{}4,2 B.{}6,4,2 C.{}86,4,2， D.{}1086,42，，，2.若()i b a i 221=++，其中a ，b 为实数，则（）A.1,1-==b a B.1,1==b a C.1,1=-=b a D.1,1-=-=b a 3.已知向量()1,2=a ，()4,2-=b=-（）A.2B.3C.4D.54.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h ），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（）A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.65.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+0422y y x y x ，则y x z -=2的最大值是（）A.2- B.4C.8D.126.设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，点A 在C 上，点()0,3B ，若BF AF =，则=AB （）A.2B.22C.3D.237.执行右图的程序框图，输出的=n （）A.3B.4C.5D.68.右图是下列四个函数中的某个函数在区间[]3,3-的大致图象，则该函数是（）A.1323++-=x x x y B.1323+-=x x x y C.1cos 22+=x x x y D.1sin 22+=x x y 9.在正方体1111D C B A ABCD -，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则（）A.平面EF B 1⊥平面1BDDB.平面EF B 1⊥平面BD A 1C.平面EF B 1∥平面ACA 1 D.平面EFB 1∥平面DC A 1110.已知等比数列{}n a 的前3项和为168，4252=-a a ，则=6a （）A.14B.12C.6D.311.函数()()1sin 1cos +++=x x x x f 在区间[]π2,0的最小值、最大值分别为（）A.22ππ，-B.223ππ，-C.222+-ππ， D.2223+-ππ，12.已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A.31B.21 C.33 D.22二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据集合的交集运算即可解出．【详解】因为，，所以．故选：A.2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】B【解析】【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.【详解】讲座前中位数为,所以错；讲座后问卷答题的正确率只有一个是个,剩下全部大于等于,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于,所以B对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；讲座后问卷答题的正确率的极差为，讲座前问卷答题的正确率的极差为,所以错..故选:B3. 若．则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【详解】因为，所以，所以．故选：D.4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A. 8B. 12C. 16D. 20【答案】B【解析】【分析】由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.【详解】由三视图还原几何体，如图，则该直四棱柱的体积.故选：B.5. 将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C 关于y轴对称，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由平移求出曲线，即可求出的最小值.【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，解得，又，故当时，的最小值为.故选：C.6. 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.【详解】从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为.故选：C.7. 函数在区间的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令，则，所以为奇函数，排除BD；又当时，，所以，排除C.8. 当时，函数取得最大值，则（）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B.9. 在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（）A. B. AB与平面所成的角为C. D. 与平面所成的角为【答案】D【解析】【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．【详解】如图所示：不妨设，依题以及长方体的结构特征可知，与平面所成角为，与平面所成角为，所以，即，，解得．对于A，，，，A错误；对于B，过作于，易知平面，所以与平面所成角为，因为，所以，B错误；对于C，，，，C错误；对于D，与平面所成角为，，而，所以．D正确．故选：D．10. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，所以，又，则，所以，所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以.故选：C.11. 已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B 为C的上顶点．若，则C的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率，解得，，分别为C的左右顶点，则，B为上顶点，所以.所以，因为所以，将代入，解得，故椭圆的方程为.故选：B.12. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】由可得，而，所以，即，所以．又，所以，即，所以．综上，．故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量．若，则______________．【答案】##【解析】【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：，解得.故答案为：.14. 设点M在直线上，点和均在上，则的方程为____ __________．【答案】【解析】【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】解：∵点M在直线上，∴设点M为，又因为点和均在上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴，，解得，∴，，的方程为.故答案为：15. 记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．【答案】2（满足皆可）【解析】【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e 值.【详解】解：，所以C的渐近线方程为,结合渐近线的特点，只需，即，可满足条件“直线与C无公共点”所以，又因为，所以，故答案为：2（满足皆可）16. 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．【答案】##【解析】【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.【详解】设，则在中，，在中，，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，.故答案为：.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：，0.1000.0500.0102.7063.841 6.635【答案】（1）A，B两家公司长途客车准点的概率分别为，（2）有【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据及公式计算，再利用临界值表比较即可得结论.【小问1详解】根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次，设A家公司长途客车准点事件为M，则；B共有班次240次，准点班次有210次，设B家公司长途客车准点事件为N，则.A家公司长途客车准点的概率为；B家公司长途客车准点的概率为.【小问2详解】列联表准点班次数未准点班次数合计A24020260B21030240合计45050500=，根据临界值表可知，有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.18. 记为数列的前n项和．已知．（1）证明：是等差数列；（2）若成等比数列，求的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；（2）由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．【小问1详解】解：因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．【小问2详解】解：由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时．19. 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．（1）证明：平面；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）分别取的中点，连接，由平面知识可知，，依题从而可证平面，平面，根据线面垂直的性质定理可知，即可知四边形为平行四边形，于是，最后根据线面平行的判定定理即可证出；（2）再分别取中点，由（1）知，该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍，即可解出．【小问1详解】如图所示：，分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．【小问2详解】如图所示：，分别取中点，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知识可知，，，，所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍．因为，，点到平面的距离即为点到直线的距离，，所以该几何体的体积．20. 已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．（1）若，求a；（2）求a的取值范围．【答案】（1）3 （2）【解析】【分析】（1）先由上的切点求出切线方程，设出上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出即可；（2）设出上的切点坐标，分别由和及切点表示出切线方程，由切线重合表示出，构造函数，求导求出函数值域，即可求得的取值范围.【小问1详解】由题意知，，，，则在点处的切线方程为，即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得；【小问2详解】，则在点处的切线方程为，整理得，设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得，则，整理得，令，则，令，解得或，令，解得或，则变化时，的变化情况如下表：01000则的值域为，故的取值范围为.21. 设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．（1）求C的方程；（2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解；（2）设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解.【小问1详解】抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时，所以，所以抛物线C的方程为；【小问2详解】设，直线，由可得，，由斜率公式可得，，直线，代入抛物线方程可得，，所以，同理可得，所以又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线，代入抛物线方程可得，，所以，所以直线.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（s为参数）．（1）写出的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标．【答案】（1）；（2）的交点坐标为，，的交点坐标为，．【解析】【分析】(1)消去，即可得到的普通方程；(2)将曲线的方程化成普通方程，联立求解即解出．【小问1详解】普通方程为．因为，，所以，即的【小问2详解】因为，所以，即的普通方程为，由，即的普通方程为．联立，解得：或，即交点坐标为，；，联立，解得：或，即交点坐标为．[选修4-5：不等式选讲]23. 已知a，b，c均为正数，且，证明：（1）；（2）若，则．【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）根据，利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合已知可得，即可得到，再根据权方和不等式即可得证.【小问1详解】证明：由柯西不等式有，所以，当且仅当时，取等号，所以；【小问2详解】证明：因为，，，，由（1）得，即，所以，由权方和不等式知，当且仅当，即，时取等号，所以.。

2022年河南省郑州市高考数学第一次质量预测试卷（文科）1. 已知集合，，则的子集的个数为( )A. 4B. 6C. 7D. 82. 设复数z满足，其中i为虚数单位，在复平面内，复数z对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 设等比数列的前n项和为，若，，则公比q等于( )A. 5B. 4C. 3D. 24. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，以，为基底，则可表示( )A. B.C. D.5. 已知命题；命题则下列命题中为真命题的是( )A. B. C. D.6. 已知双曲线的一条渐近线的方程是，则该双曲线的离心率为( )A. B. C. 2 D.7. 已知函数，，，设这三个函数的增长速度为，，，当时，则下列选项中正确的是( )A. B. C. D.8. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是( )A. 函数B. 函数的图象关于中心对称C. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到D. 函数在上单调递减9. 已知函数的定义域为R，且不恒为0，若为偶函数，为奇函数，则下列选项中一定成立的是( )A. B. C. D.10. 许多球状病毒的空间结构可抽象为正二十面体.正二十面体的每一个面均为等边三角形，共有12个顶点、30条棱.如图所示，由正二十面体的一个顶点P和与P相邻的五个顶点可构成正五棱锥，则PA与面ABCDE所成角的余弦值约为参考数据：( )A. B. C. D.11. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为单位：，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影，，，满足，，由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差为( )A. B. C. D.12. 函数，给出下列四个结论：①若，恰有2个零点；②存在负数k，使得恰有个1零点；③存在负数k，使得佮有个3零点；④存在正数k，使得恰有个3零点．其中正确命题的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 413. 已知实数x，y满足条件，则的最大值为______.14. 甲、乙、丙三位同学打算利用假期外出游览，约定每人从嵩山少林寺、黄河游览区这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同学佮好选取同一处景点的概率是__________.15. 已知一张纸上画有半径为4的圆O，在圆O内有一个定点A，且，折叠纸片，使圆上某一点刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的曲线记为C，则曲线C上的点到圆O上的点的最大距离为______.16. 已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为，在该圆柱内放畳一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则a的最大值为______.17. 2021年5月习近平总书记到南阳的医圣祠考察，总书记说，过去中华民族几千年都是靠中医药治病救人，特别是经过抗击新冠肺炎疫情、非典等重大传染病之后，我们对中医药的作用有了更深的认识，我们要发展中医药，注重用现代科学解读中医药学原理，走中西医结合的道路．某农科所实地考察，研究发现某地适合种植甲、乙两种药材，通过大量考察研究得到如下统计数据：药材甲的亩产里约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如表：年份编号12345年份20172018201920202021单价元/公斤1719232630药材乙的收购价格始终为21元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：若药材甲的单价单位：元/公斤与年份编号x具有线性相关关系，请求出y关Fx的线性回归方程，并估计2022年药材甲的单价；用上述频率分布直方图估计药材乙的平均亩产量，若不考虑其他因素，试判断2022年该地区种植哪种药材收益更高？并说明理由．附：回归方程中，18. 如图，为直角三角形，，，，M、N分别为AB、BC中点，将沿MN折起，使点B到达点P，且求证：面面ACNM；求点M到平面PAC的距离．19. 已知等差数列的公差为，前n项和为，现给出下列三个条件：①、、成等比数列；②；③请你从这三个条件中任选两个解答下列问题．求的通项公式；若，且，求数列的前n项和20. 已知函数若，求曲线在点处的切线方程；若在处取得极值，求的单调区间及其最大值与最小值．21. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线C：上不同两点M，N，满足求抛物线C的标准方程；若直线l与抛物线C相切于点P，l与椭圆D：相交于A、B两点，l与直线交于点Q，以PQ为直径的圆与直线交于Q，Z两点．求证：直线OZ经过线段AB的中点．22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数以坐标原点为极点，x轴正半牰为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为若，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；设点P的直角坐标系下的坐标为，直线l与曲线C交于A，B两点，且，求直线l的倾斜角．23. 已知a，b，c均为正数，且满足证明：；证明：答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为集合，，所以，故的子集的个数为故选：利用集合交集的定义求出，然后利用子集个数的计算公式求解即可．本题考查了集合的运算以及集合子集个数的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：，，复数z对应的点位于第三象限．故选：根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：等比数列的前n项和为，若，，，故选：根据，进而求的本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．4.【答案】C【解析】解：建立如图直角坐标系，则，，，设，则，得，，故故选：建立如图直角坐标系，则，，，设，联立解方程组，求出x，y得出结论．考查向量的混合运算，向量的坐标运算，中档题．5.【答案】B【解析】解：，，命题p为假命题，，，命题q为真命题，为假命题；为真命题；为假命题；为假命题．故选：分别判断命题p和命题q的真假，再结合复合命题的真值表，即可得到结论．本题考查了三角恒等变换，考查了指数函数的单调性，考查了复合命题的真假，属于中档题．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，属于基础题．利用双曲线的渐近线方程，推出a、b之间的关系，然后求解离心率即可．【解答】解：双曲线的一条渐近线的方程是，可得，所以，解得故选：7.【答案】B【解析】解：根据题意，，，，，，，当时，，则有，故选：根据题意，求出三个函数的导数，然后根据x的范围判断导函数的大小关系，即可得答案．本题考查对数函数、指数函数与幂函数的增长差异，注意三个函数图象的不同，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：对于A：根据函数的图象：，解得，由于，所以当时，，由于，所以，解得所以，故A正确；对于B：令，解得，所以函数的对称中心为，由于k为整数，当时，可得函数的图象关于中心对称，故B正确；对于C：函数，故C正确；对于D：令，解得，所以函数的单调递减区间为，故函数在上单调递减，在上单调递增，故D错误；故选：直接利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用函数的图象和性质的应用判断A、B、C、D 的结论．本题主要考查三角函数解析式的确定，函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：若为偶函数，为奇函数，可得，，则，，即有，由，，即，可得，即有，可得，故选：运用函数的奇偶性的定义和赋值法，可得结论．本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查了线面角的求解，正二十面体的结构特征的运用，解题的关键是找到直线与平面所成的角，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．若为P在平面ABCDE上的射影，由正二十面体的性质可知，与各顶点的连线所成三角形都是等腰三角形且顶角均为，令，求出，然后由线面角的定义找到对应的角，求解即可．【解答】解：由题意，PA，PB，PC，PD，PE在平面ABCDE上的射影，，，，，如图所示，所以五个三角形都是等腰三角形且，因为，又，令，所以，又正二十面体的每一个面均为等边三角形，即，且平面ABCDE，所以PA与平面ABCDE所成角的余弦值为故选：11.【答案】B【解析】解：过C作，过B作，如图所示，故，易知为等腰直角三角形，所以，所以，因为，所以，在中，由正弦定理可得，，故，所以故选：通过作辅助线，将已知条件量化到一个三角形中，再结合正弦定理，即可求解．本题主要考查解三角形，掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：对于函数；对于①，若，，令，整理得，，则根据函数的图象，恰有2个零点；故①正确；对于②，对于函数，，当时，则根据函数的图象：存在负数k，使得恰有个1零点；故②正确；对于③，如上图，把直线，以y轴的交点为定点，沿逆时针方向旋转，则只要k为负数，则使得直线与曲线只有两个交点，故③错误；对于④，对于函数，，当时，如图所示：存在正数k，使得恰有个3零点，故④正确．故选：直接利用函数的图象和性质，利用函数的图象的交点和函数的零点的关系的应用判断①、②、③、④的结论．本题考查的知识要点：函数的图象和性质，分类讨论思想的应用，函数的交点和函数的零点的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：实数x，y满足条件，作出可行域如图阴影部分所示，令，则z表示可行域中的点与点连线的斜率，联立方程，解得，所以点，当点Q在点A处时，z取得最大值为故答案为：先利用不等式组作出可行域，然后利用的几何意义，由图象分析求解即可．本题考查了简单的线性规划问题，两条直线交点坐标的求解，两点间斜率公式的理解与应用，解题的关键是正确作出可行域，考查了逻辑推理能力，属于中档题．14.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了求古典概型的概率公式，属于基础题．利用古典概型的概率公式求解．【解答】解：甲、乙两位同学选取景点的不同种数为，其中甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的种数为2，故所求概率为，故答案为：15.【答案】3【解析】解：以OA中点为G坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系．可知，，设折痕与和分别交于M，N两点，则MN垂直平分，，又，，的轨迹是以O，A为焦点，4为长轴的椭圆．的轨迹方程C为，曲线C上的点到点O距离的最大值为故答案为：由题意可根据与A折叠后重合，结合线段中垂线的性质来进行求解即可．本题考查了椭圆的定义以及简单的性质，属于基础题．16.【答案】2【解析】解：由已知得，要使该正四面体可以绕其中心在容器内任意转动，则需该正四面体的外接球在圆柱封闭容器内即可，作出正四面体与其外接球O的位置关系如图所示，SD是球的直径，与平面ABC交于点E，连接CE，CD，易知E为正三角形ABC的中心，，，又，由勾股定理得，设球的半径为R，，解得，由，所以，即a的最大值为故答案为：求出正四面体的外接球的直径，利用直径小于等于，计算可得所求最大值．本题考查正四面体的特征和球的截面的性质，以及圆柱的定义和性质，考查空间想象能力和化简运算能力、推理能力，属于中档题．17.【答案】解：由表中数据可得，，，故，，即，解得，，当时，，若种植甲种药材每亩地的收入约为，若种植乙种药材每亩地的收入约为，所以应该种植甲种药材．【解析】根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，将代入上式的线性回归方程中，即可求解．根据已知条件，先求出乙平均亩产量，再分别算出二者的收入，通过比较，即可求解．本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于基础题．18.【答案】证明：连接MC，为直角三角形，，M、N分别为AB、BC中点，分，，即分，面面PMN，面面分解：，；分由得，，面PAM，，分到面PAC的距离为：分【解析】连接MC，证明，，即可证明面然后证明面面利用等体积法求解点M到平面PAC的距离．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，空间点、线、面距离的求法，等体积法的应用，是中档题．19.【答案】解：由条件①得，因为、、成等比数列，则，即，因为，可得；由条件②得：即由条件③得，，可得，可得若选①②，则有，可得，则；若选①③，则，则；若选②③，则，可得，所以，解：，且，所以，当时，则有，也满足，故对任意的，；则，所以，【解析】选条件①②时，建立方程组，进一步求出数列的通项公式；选条件①③时，建立方程组，进一步求出数列的通项公式；选条件②③时，建立方程组，进一步求出数列的通项公式；利用的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，裂项相消法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．20.【答案】解：当时，，则，，，此时，曲线在点处的切线方程为，即；分因为，则，由题意可得，解得，分故，，列表如下：x3+0-0+增极大值减极小值增所以，函数的增区间为，，单调递减区间为，分当时，；当时，，分所以，，分【解析】求出函数的导数，求出切点坐标，切线的斜率，然后求解切线方程．求出导函数，利用函数的极值，得到a，然后求解极值点，判断导函数的符号，得到函数的单调性，求解函数的最值即可．本题考查函数导数的应用，切线方程以及函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：由题意O为坐标原点，抛物线C：上不同两点M，N，满足是正三角形，关于y轴对称，M的横坐标为：，纵坐标为：6，，，抛物线的标准方程是：分证明：设，抛物线，，直线AB的斜率为，分设，，两式相减可得设中点G，则分又，，分故直线OZ经过线段AB的中点．分【解析】利用抛物线经过的点求解p，得到抛物线方程．设，利用函数的导数，求解直线AB的斜率为，设，，利用点差法，求出斜率，然后推出结果．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，函数的导数的应用，是中档题．22.【答案】解：当时，直线l的参数方程为为参数，消去参数t，可得l的普通方程为，又，，得，曲线C的直角坐标方程为；将代入中，得，设A，B对应的参数分别为，，，，，得，又或，直线l倾斜角为或【解析】把代入直线l的参数方程，消去参数t，可得l的普通方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式，可得曲线C的直角坐标方程；将代入中，可得关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系求解，进一步可得直线l倾斜角．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是基础题．23.【答案】证明：，当且仅当，，时等号成立，即证：分由柯西不等式得：，故当且仅当，，时等号成立即证：分【解析】利用配凑法，结合均值不等式转化证明即可．利用已知条件，结合柯西不等式证明即可．本题考查不等式的证明，均值不等式以及柯西不等式的应用，是中档题．。

2022年河南省高考文科数学一模试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题p ：∃x 0＞3，log 3x 0≤1，则￢p 为（ ） A ．∃x 0＞3，log 3x 0＞1 B ．∃x 0＜3，log 3x 0＞1C ．∀x ＞3，log 3x ≤1D ．∀x ＞3，log 3x ＞12．已知复数z 满足（4+3i ）（z +i ）＝25，则|z |＝（ ） A ．2√2B ．4C ．4√2D ．323．已知集合A ＝{x |x 2＜4}，B ＝{x |lnx ＞0}，则A ∪B ＝（ ） A ．（﹣2，+∞）B ．（﹣2，1）C ．（1，2）D ．（0，1]4．某同学用一个半径为100√10mm ，圆心角为√10π5的扇形铁片卷成了一个简易的圆锥形状的容器（接缝处忽略不计），口朝上放在院子中间接雨水来测量降雨量（容器不漏），24h 所收集的雨水的高度达到容器高度的一半，然后将这些雨水倒入底面半径为100mm 的圆柱形量杯中，则量杯中水面高度为（ ） A ．37.5mmB ．25mmC ．15mmD ．12.5mm5．若x ，y 满足不等式组{x ≤4，x −2y +4≥0，x +y −2≥0，则z ＝2x +y 的最大值为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．166．已知ab ＜0，若a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则|a ﹣b |＝（ ）A ．32或5B ．32或12C ．5或12D ．1或57．已知直线l ：3x +4y ﹣20＝0与圆C ：（x ﹣5）2+（y ﹣5）2＝16（圆心为点C ）交于A ，B 两点，则△ABC 的面积为（ ） A ．√7B ．3√72C ．3√7D ．6√78．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线AB 1与A 1C 1所成的角的余弦值为√24，则该三棱柱的高为（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．49．已知人的血压在不断变化，心脏每收缩和舒张一次构成一个心动周期，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压．已知某人某次测量自己的血压得到收缩压为126mmHg ，舒张压为78mmHg ，心动周期约为0.75s ，假设他的血压p （mmHg ）关于时间t （s ）近似满足函数式p （t ）＝b +a sin ωt （ω＞0），则p （13）＝（ ） A ．114B ．102+12√3C ．96D ．102−12√310．已知抛物线C ：x 2＝2py （0＜p ＜6）的焦点为F ，P 为C 上一点，点A （3，0），B （1，﹣2），设∠ABP 取最小值和最大值时对应的点分别为P 1，P 2，且BP 1→•BP 2→=0，则p ＝（ ） A ．4B ．3C ．2D ．111．在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，AA 1＝1，cos ∠DAA 1＝cos ∠BAA 1=14，则A 1C ＝（ ） A ．√11B ．√10C ．3D ．2√212．下列各组x ，y 的值满足x 2﹣y 2＜2（2log 4y ﹣log 2x ）的是（ ） A ．x ＝e 3，y ＝3eB ．x ＝e π，y ＝πeC ．x ＝3π，y ＝π3D ．x ＝3e ，y ＝e π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)=x 3cos(x +n 2π)为偶函数，则n 的值可能为 ． 14．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|=2√3，当点P 在C 上运动时，PF 1→⋅PF 2→的最小值为﹣2，则双曲线C 的离心率为 ． 15．已知点A ，B 是⊙O 上的两个点，∠AOB ＝θ（0＜θ＜π2），点C 为劣弧AB̂的中点，若sinθ+sin（θ+π3）=√3，OC→=xOA→+yOB→，则x+y＝．16．已知函数f（x）＝xlnx+e x+1﹣ax存在零点，则实数a的取值范围为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）如图所示，在圆内接四边形ABCD中，M为对角线AC的中点，BC＝3，BM＝3√2，AD=√11，cos∠ABC=1 3．（Ⅰ）求AB；（Ⅱ）求sin∠ACD．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣1．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1＝a1，b n+1＝2a n+3b n，求{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图所示，在四棱锥A﹣BCDE中，CD∥EB，CD＝2DE＝2BE＝2BC＝2，△ADE为等边三角形，且平面ADE⊥平面BCDE，F为棱AC的中点．（Ⅰ）求四棱锥A﹣BCDE的体积；（Ⅱ）证明：BF⊥CE．20．（12分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥梁及山谷的竖直截面图如图所示，谷底为点O，O'O为铅垂线（O'在桥梁AB上）．以O为原点建立直角坐标系，左侧山体曲线AO的方程为y=149x2−17x（﹣70≤x≤0），右侧山体曲线BO的方程为y=−1675x3+5x（0≤x≤30），其中x，y的单位均为m．现在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF，其中C在线段O'A上，E在线段O'B上，且O'E＝15m，CD＝2EF．（Ⅰ）求CE的长；（Ⅱ）为了增加桥梁的结构强度，要在桥梁上的C，E之间找一点P，修建两个支撑斜柱DP 和FP ，当∠DPF 最大时，求CP 的长．（结果精确到0.1m ，参考数据：√82≈9.06．）21．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣1﹣ax +a ﹣1．（Ⅰ）若a ＝1，求曲线y ＝f （x ）的斜率为0的切线方程． （Ⅱ）若a ＝0，函数g （x ）＝tx ﹣f （x ）﹣1有最大值． （ⅰ）求实数t 的取值范围；（ⅱ）设g （x ）的最大值为g （x 0），证明：g （x 0）≥f （x 0）． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2=1（a ＞1）的离心率为√32，F 1，F 2是C 的左、右焦点，P 是C 上在第一象限内的一点，F 1关于直线PF 2对称的点为M ，F 2关于直线PF 1对称的点为N ．（Ⅰ）证明：|MN |≤4；（Ⅱ）设A ，B 分别为C 的右顶点和上顶点，直线y ＝kx （k ＞0）与椭圆C 相交于E ，F 两点，求四边形AEBF 面积的取值范围．2022年河南省高考文科数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题p ：∃x 0＞3，log 3x 0≤1，则￢p 为（ ） A ．∃x 0＞3，log 3x 0＞1 B ．∃x 0＜3，log 3x 0＞1C ．∀x ＞3，log 3x ≤1D ．∀x ＞3，log 3x ＞1解：根据题意，命题p ：∃x 0＞3，log 3x 0≤1是特称命题， 其否定为∀x ＞3，log 3x ＞1； 故选：D ．2．已知复数z 满足（4+3i ）（z +i ）＝25，则|z |＝（ ） A ．2√2B ．4C ．4√2D ．32解：∵（4+3i ）（z +i ）＝25， ∴z +i =254+3i =25(4−3i)(4+3i)(4−3i)=4−3i ， ∴z ＝4﹣4i ，∴|z |=√42+(−4)2=4√2． 故选：C ．3．已知集合A ＝{x |x 2＜4}，B ＝{x |lnx ＞0}，则A ∪B ＝（ ） A ．（﹣2，+∞）B ．（﹣2，1）C ．（1，2）D ．（0，1]解：∵集合A ＝{x |x 2＜4}＝{x |﹣2＜x ＜2}， B ＝{x |lnx ＞0}＝{x |x ＞1}，∴A ∪B ＝{x |x ＞﹣2}＝（﹣2，+∞）． 故选：A ．4．某同学用一个半径为100√10mm ，圆心角为√10π5的扇形铁片卷成了一个简易的圆锥形状的容器（接缝处忽略不计），口朝上放在院子中间接雨水来测量降雨量（容器不漏），24h 所收集的雨水的高度达到容器高度的一半，然后将这些雨水倒入底面半径为100mm 的圆柱形量杯中，则量杯中水面高度为（ ） A ．37.5mmB ．25mmC ．15mmD ．12.5mm解：设圆锥的高为h ，底面半径为r ，由题意得：2πr ＝100√10×√10π5，解得r ＝100，h =√(100√10)2−1002=300， 所以雨水的体积为V =13×3002×π(1002)2=(1002)3π， 设量杯中水面高度为h ′，则π1002•h ′＝（1002）3π，解得h ′＝12.5， 故选：D ．5．若x ，y 满足不等式组{x ≤4，x −2y +4≥0，x +y −2≥0，则z ＝2x +y 的最大值为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．16解：由约束条件作出可行域如图，联立{x =4x −2y +4=0，解得A （4，4），由z ＝2x +y ，得y ＝﹣2x +z ，由图可知，当直线y ＝﹣2x +z 过A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为12． 故选：C ．6．已知ab ＜0，若a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则|a ﹣b |＝（ ） A ．32或5B ．32或12C ．5或12D ．1或5解；由题意不妨设a ＞0，b ＜0，若a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，则可能为a ，b ，﹣2或a ，﹣2，b 或﹣2，b ，a 或b ，﹣2，a ， 所以2b ＝a ﹣2或a +b ＝﹣4，因为可适当排序后成等比数列， 所以数列为﹣2，a ，b 或b ，a ，﹣2， 所以a 2＝﹣2b ，所以{a ＞0，b ＜02b =a −2a 2=−2b 或{a +b =−4a 2=−2b a ＞0，b ＜0，解得a ＝1，b =−12或a ＝4，b ＝﹣8， 所以|a ﹣b |=32或12． 故选：B ．7．已知直线l ：3x +4y ﹣20＝0与圆C ：（x ﹣5）2+（y ﹣5）2＝16（圆心为点C ）交于A ，B 两点，则△ABC 的面积为（ ） A ．√7B ．3√72C ．3√7D ．6√7解：由题意可得，圆心坐标为（5，5），r ＝4， 所以圆心到直线l 的距离为√32+42=3，则弦长|AB |=2√42−32=2√7，故△ABC 的面积为12×2√7×3=3√7．故选：C ．8．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线AB 1与A 1C 1所成的角的余弦值为√24，则该三棱柱的高为（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．4解：在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面是边长为2的等边三角形， 设该三棱柱的高为a ，则AB 1＝CB 1=√4+a 2，∵AC ∥A 1C 1，∴∠B 1AC 是异面直线AB 1与A 1C 1所成的角（或所成角的补角），∵异面直线AB 1与A 1C 1所成的角的余弦值为√24， ∴cos ∠B 1AC =AB 12+AC 2−CB 122×AB 1×AC =222×2×√4+a=√24，解得a ＝2． 故选：C ．9．已知人的血压在不断变化，心脏每收缩和舒张一次构成一个心动周期，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压．已知某人某次测量自己的血压得到收缩压为126mmHg ，舒张压为78mmHg ，心动周期约为0.75s ，假设他的血压p （mmHg ）关于时间t （s ）近似满足函数式p （t ）＝b +a sin ωt （ω＞0），则p （13）＝（ ） A ．114B ．102+12√3C ．96D ．102−12√3解：∵某人某次测量自己的血压得到收缩压为126mmHg ，舒张压为78mmHg ， 又∵血压p （mmHg ）关于时间t （s ）近似满足函数式p （t ）＝b +a sin ωt （ω＞0）， ∴{b +a =126b −a =78，解得{b =102a =24， ∵心动周期约为0.75s ， ∴ω=2πT =2π0.75=83π， ∴p(t)=102+24sin8π3t ， ∴p （13）=102+24sin(8π3×13)=102+24sin(34π+23π)=102+24×√32=102+12√3． 故选：B ．10．已知抛物线C ：x 2＝2py （0＜p ＜6）的焦点为F ，P 为C 上一点，点A （3，0），B （1，﹣2），设∠ABP 取最小值和最大值时对应的点分别为P 1，P 2，且BP 1→•BP 2→=0，则p ＝（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1解：如图：当BP 1与抛物线相切时，∠ABP 取最小值，当BP 2与抛物线相切时，∠ABP 取最大值，不妨令P （x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）， ∵x 2＝2py ，∴y =x 22p ， ∴y ′=x p，则直线BP 1的斜率k 1=x 1p =y 1+2x 1−1=x 122p +2x 1−1，即12x 12﹣x 1＝2p ，①，同理可得直线BP 2的斜率k 2=x1p ，即12x 22﹣x 2＝2p ，②，由①②可得x 1，x 2是方程12x 2﹣x ﹣2p ＝0的两个根，∴x 1x 2＝﹣4p ， ∵BP 1→•BP 2→=0， ∴k 1k 2=x 1x 2p2=−1，即x 1x 2＝﹣p 2， ∴p 2＝4p ， 解得p ＝4， 故选：A ．11．在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，AA 1＝1，cos ∠DAA 1＝cos ∠BAA 1=14，则A 1C ＝（ ） A ．√11B ．√10C ．3D ．2√2解：根据题意，在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1C →=A 1A →+AC →=A 1A →+AB →+AC →， 则|A 1C →|2＝（A 1A →+AB →+AC →）2=A 1A →2+AB →2+AC →2+2A 1A →•AB →+2AB →•AC →+2A 1A →•AC →=1+4+4+2×1×2×（−14）+2×1×2×（−14）+2×2×2×12=11，则有|A 1C →|=√11， 即A 1C =√11； 故选：A ．12．下列各组x ，y 的值满足x 2﹣y 2＜2（2log 4y ﹣log 2x ）的是（ ） A ．x ＝e 3，y ＝3eB ．x ＝e π，y ＝πeC ．x ＝3π，y ＝π3D ．x ＝3e ，y ＝e π解：因为x 2﹣y 2＜2（2log 4y ﹣log 2x ）等价于x 22+log 2x ＜y 22＜log 2y ，于是构造函数f （x ）=x 22+log 2x ，上式子等价于f （x ）＜f （y ），又因为函数f （x ）=x 22+log 2x 是增函数，故只需要x ＜y 即可．构造函数g （x ）=lnx x ，g '（x ）=1−lnx x 2， 可得到函数g （x ）在（0，e ）上为增函数，在（e ，+∞）上为减函数， 所以g （e ）＞g （3）＞g （π），即lne e＞ln3π＞lnππ，所以e 3＞3e ，e π＞πe ，3π＞π3，故可排除A ，B ，C ； 对于D ，因为ln3π＜lnππ＜lne e，所以3e ＜e π，故选项D 正确．故选：D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)=x 3cos(x +n2π)为偶函数，则n 的值可能为 1（任意奇数均可） ． 解：因为f(x)=x 3cos(x +n 2π)为偶函数且y ＝x 3为奇函数， 所以g （x ）＝cos （x +nπ2）为奇函数， 即g （﹣x ）＝cos （﹣x +nπ2）＝﹣cos （x +nπ2）恒成立， 整理得，cos nπ2sin x ＝0对任意x 恒成立，故cosnπ2=0，满足条件的n ＝1．故答案为：1（任意奇数均可）． 14．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|=2√3，当点P 在C 上运动时，PF 1→⋅PF 2→的最小值为﹣2，则双曲线C 的离心率为 √3 ． 解：设P （x 0，y 0），则x 02a 2−y 02b 2=1，所以x 02=a 2+a 2b2y 02，因为双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|=2√3， 所以F 1（−√3，0），F 2（√3，0），c 2＝3＝a 2+b 2， 所以PF 1→⋅PF 2→=（x 0+√3）（x 0−√3）+y 02 =x 02+y 02−3=c 2b2y 02+a 2﹣3≥a 2﹣3＝﹣2，当y 0＝0时等号成立，所以a 2﹣3＝﹣2，解得a ＝1， 又c =√3，所以e =ca =√3， 故答案为：√3．15．已知点A ，B 是⊙O 上的两个点，∠AOB ＝θ（0＜θ＜π2），点C 为劣弧AB̂的中点，若sin θ+sin （θ+π3）=√3，OC →=xOA →+yOB →，则x +y ＝ 2√33．解：根据题意，如图，连接AB ，设OC 与AB 交于点G ，点C 为劣弧AB ̂的中点，则G 为AB 的中点，则有OG →=12（OA →+OB →），若sin θ+sin （θ+π3）=√3， 即sin θ+sin θcos π3+cos θsinπ3=32sin θ+√32cos θ=√3sin （θ+π6）=√3，则有sin （θ+π6）＝1，又由0＜θ＜π2，则π6＜θ+π6＜2π3，则θ+π6=π2，即θ=π3，则有OG OA =cos π6=√32，则有OG →=√32OC →，则有12（OA →+OB →）=√32OC →，变形可得OC →=√33（OA →+OB →）=√33OA →+√33OB →，又由OC →=xOA →+yOB →，则x ＝y =√33，故x +y =2√33， 故答案为：2√33．16．已知函数f （x ）＝xlnx +e x +1﹣ax 存在零点，则实数a 的取值范围为 [e +1，+∞） ． 解：根据题意，函数f （x ）＝xlnx +e x +1﹣ax 存在零点，即方程xlnx +e x +1﹣ax ＝0有解， 变形可得a ＝lnx +e x x +1x， 设g （x ）＝lnx +e x x +1x ，其导数g ′（x ）=1x −1x 2+x⋅e x −e x x 2=(x−1)(e x +1)x 2，在区间（0，1）上，g ′（x ）＜0，函数g （x ）为减函数， 在区间（1，+∞）上，g ′（x ）＞0，函数g （x ）为增函数， 则g （x ）min ＝g （1）＝e +1，无最大值， 若a ＝lnx +e x x +1x有解，必有a ≥e +1，即a 的取值范围为[e +1，+∞）； 故答案为：[e +1，+∞）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）如图所示，在圆内接四边形ABCD 中，M 为对角线AC 的中点，BC ＝3，BM ＝3√2，AD =√11，cos ∠ABC =13． （Ⅰ）求AB ； （Ⅱ）求sin ∠ACD ．解：（Ⅰ）根据题意，BA →+BC →=2BM →，两边平方得BA →2+BC →2+2BA →⋅BC →=4BM →2，即|BA →|2+9+2×|BA →|×3×13=4×18， 解得|BA →|=7或|BA →|=−9（舍去），即AB ＝7．（Ⅱ）由余弦定理可得AC 2＝BA 2+BC 2﹣2BA ⋅BC cos ∠ABC ＝44，所以AC =2√11， 由题意知∠ABC +∠ADC ＝π，所以cos∠ADC =−13，所以sin∠ADC=√1−19=2√23．根据正弦定理得ACsin∠ADC −ADsin∠ACD，因此sin∠ACD=ADsin∠ADCAC=√11×2√232√11=√23．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣1．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1＝a1，b n+1＝2a n+3b n，求{b n}的前n项和T n．解：（Ⅰ）∵数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣1，①∴S1＝2a1﹣1⇒a1＝1，当n≥2时，S n﹣1＝2a n﹣1﹣1，②①﹣②整理得：a n＝2a n﹣1，∴数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n＝2n﹣1，（Ⅱ）∵数列{b n}满足b1＝a1，b n+1＝2a n+3b n，∴b n+1＝2n+3b n⇒b n+1+2n+1＝3（b n+2n），又b1+21＝3，∴{b n+2n}以3为首项，3为公比的等比数列，∴b n+2n＝3n，∴b n＝3n﹣2n，∴{b n}的前n项和T n＝（31﹣21）+（32﹣22）+......+（3n﹣2n）=3(1−3n)1−3−2(1−2n)1−2=3n+12−2n+1+12．19．（12分）如图所示，在四棱锥A﹣BCDE中，CD∥EB，CD＝2DE＝2BE＝2BC＝2，△ADE为等边三角形，且平面ADE⊥平面BCDE，F为棱AC的中点．（Ⅰ）求四棱锥A﹣BCDE的体积；（Ⅱ）证明：BF⊥CE．解：（Ⅰ）由条件可得底面BCDE是等腰梯形，∠CDE=∠BCD=π3，所以S梯形BCDE=12(1+2)×√32=3√34．因为平面ADE⊥平面BCDE，所以等边△ADE的高h即四棱锥A﹣BCDE的高，且ℎ=√3 2，所以V A−BCDE=13S梯形BCDEℎ=13×3√34×√32=38．（Ⅱ）如图，设CD的中点为G，连接BG，FG，则BG∥DE，FG∥AD，因为BG∩FG＝G，AD∩DE＝D，所以平面ADE∥平面FGB．在△CDE中，CE=√CD2+DE2−2CD×DEcos∠CDE=√3，所以DE2+CE2＝CD2，即CE⊥DE．又因为平面ADE⊥平面BCDE，交线为DE，所以CE⊥平面ADE．因此CE⊥平面FGB，又BF⊂平面FGB，所以CE⊥BF．20．（12分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥梁及山谷的竖直截面图如图所示，谷底为点O，O'O为铅垂线（O'在桥梁AB上）．以O为原点建立直角坐标系，左侧山体曲线AO的方程为y=149x2−17x（﹣70≤x≤0），右侧山体曲线BO的方程为y=−1675x3+5x（0≤x≤30），其中x，y的单位均为m．现在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF，其中C在线段O'A上，E在线段O'B上，且O'E＝15m，CD＝2EF．（Ⅰ）求CE的长；（Ⅱ）为了增加桥梁的结构强度，要在桥梁上的C，E之间找一点P，修建两个支撑斜柱DP和FP，当∠DPF最大时，求CP的长．（结果精确到0.1m，参考数据：√82≈9.06．）解：（1）对于曲线OA，令x＝﹣70得y＝110，对于曲线OB，令x＝30，得y＝110，所以AB所在直线的方程为y＝110，所以点E(15，110)，EF=110+1675×153−5×15=40，设C（t，110）（﹣70≤t≤0），因为CD＝2EF，所以CD=110−149t2+17t=80，解得t＝﹣35 或t＝42（舍去），所以CE＝15﹣t＝50，即CE长50m．（2）由（1）可知CE＝50，CD＝80，EF＝40，设CP＝n（0＜n＜50），则tan∠DPF=tan(π−∠CPD−∠EPF)=−tan(∠CPD+∠EPF)= tan∠CPD+tan∠EPFtan∠CPDtan∠EPF−1，所以tan∠DPF−80n+4050−n80n×4050−n−1=40(100−n)n2−50n+3200．令k＝100﹣n∈（50，100），则tan∠DPF=40kk2−150k+8200=40k+8200k−150≤√k⋅8200k−150=2√82−15，当且仅当k2＝8200，即k ≈90.6时取等号， 此时n ＝100﹣k ≈9.4，即当∠DPF 最大时，CP 的长约为9.4m ． 21．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣1﹣ax +a ﹣1．（Ⅰ）若a ＝1，求曲线y ＝f （x ）的斜率为0的切线方程． （Ⅱ）若a ＝0，函数g （x ）＝tx ﹣f （x ）﹣1有最大值． （ⅰ）求实数t 的取值范围；（ⅱ）设g （x ）的最大值为g （x 0），证明：g （x 0）≥f （x 0）． 解：（Ⅰ）若a ＝1，则f （x ）＝e x ﹣1﹣x ，f '（x ）＝e x ﹣1﹣1，令f '（x ）＝0，得x ＝1，又f （1）＝0，所以所求的切线方程为y ＝0．（Ⅱ）（ⅰ）若a ＝0，则g （x ）＝tx ﹣f （x ）﹣1＝tx ﹣e x ﹣1，g '（x ）＝t ﹣e x ﹣1．若t ≤0，则g '（x ）＜0，g （x ）在R 上单调递减，不符合条件； 若t ＞0，当x ∈（﹣∞，1+lnt ）时，g '（x ）＞0，g （x ）单调递增，当x ∈（1+lnt ，+∞）时，g '（x ）＜0，g （x ）单调递减，故g （x ）有最大值，为g （1+lnt ）， 故t 的取值范围是（0，+∞）． （ⅱ）证明：由（ⅰ）可知x 0＝1+lnt ， 所以g （x 0）＝tlnt ，f （x 0）＝f （1+lnt ）＝t ﹣1， 待证命题即为tlnt ≥t ﹣1．设h （t ）＝tlnt ﹣t +1，即h '（t ）＝lnt ，当t ∈（0，1）时，h '（t ）＜0，h （t ）单调递减， 当t ∈（1，+∞）时，h '（t ）＞0，h （t ）单调递增， 所以h （t ）≥h （1）＝0． 故原命题得证． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2=1（a ＞1）的离心率为√32，F 1，F 2是C 的左、右焦点，P 是C 上在第一象限内的一点，F 1关于直线PF 2对称的点为M ，F 2关于直线PF 1对称的点为N ．（Ⅰ）证明：|MN |≤4；（Ⅱ）设A ，B 分别为C 的右顶点和上顶点，直线y ＝kx （k ＞0）与椭圆C 相交于E ，F两点，求四边形AEBF 面积的取值范围．证明：（I ）C 的离心率为√32，即√a 2−1a =√32，解得a ＝2．由题意知|PF 1|＝|PM |，|PF 2|＝|PN |， |MN |≤|PM |+|PN |＝|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝4，解：（II ）直线AB ，EF 的方程分别为x +2y ＝2，y ＝kx （k ＞0）， 设E （x 1，kx 1），F （x 2，kx 2），其中x 1＜x 2，由{y =kx ，x 24+y 2=1， 得 x 1=√1+4k x 2=√1+4k ，所以点E ，F 到AB 的距离分别为ℎ1=11√5=√2√5(1+4k 2)，h 2=22√5=2(1+2k−√1+4k 2)√5(1+4k 2)， 又|AB |=√22+1=√5， 所以四边形AEBF 的面积为S =12|AB|(ℎ1+ℎ2)=12×√5√5(1+4k 2)=2√1+4k 2+4k 1+4k 2=2√1+4k 1+4k 2=2√1+41k+4k 当k ∈（0，+∞）时，1k+4k ∈[4，+∞)，则41k+4k∈(0，1]，所以 √1+4k +4k ∈(2，2√2]，即四边形AEBF 面积的取值范围为（2，2√2]．。

2022高考文科数学河南卷1答案【一】:2022年河南高考文科数学试题w1绝密★启封并使用完毕前试题类型：2022年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3、全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4、考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一。

选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合A{1,3,5,7}，B{，25}，则A B（A）{1,3}（B）{3,5}（C）{5,7}（D）{1,7}(2)设(12i)(a i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=（A）－3（B）－2（C）2（D）3（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，学。

科。

网余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是1115（A）3（B）2（C）3（D）6（4）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。

已知a c2，coA（ABC）2（D）3（5）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率4为1123（A）（B）（C）（D）3234π1（6）若将函数y=2in(2+)的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为64ππππ（A）y=2in(2+)（B）y=2in(2+)（C）y=2in(2–)（D）y=2in(2–) 4343（7）如图，学。

科网几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径。

若该几何体的28π体积是，则b=3（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π（8）若a>b>0，0<c<1，则（A）logac<logbc（B）logca<logcb（C）ac<bc（D）ca>cb（9）函数y=22–e，在[–2,2]的图像大致为（A）（B）（C）（D）（10）执行右面的程序框图，如果输入的0,y1,n=1,则输出,y的值满足（A）y2（B）y3（C）y4（D）y5（11）平面过正文体ABCD—A1B1C1D1的顶点A、、平面CB1D1,平面ABCD m，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为（A）1（B）（C）（D）223（12）若函数f()-in2ain在,单调递增，则a的取值范围是（A）1,1（B）1,（C）,（D）1,33331111第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2022年高考全国甲卷数学文科真题一、单选题}，则A∩B=（）1．设集合A={−2,−1,0,1,2},B={x∣0≤x<52A．{0,1,2}B．{−2,−1,0}C．{0,1}D．{1,2}2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3．若z=1+i．则|i z+3z̅|=（）A．4√5B．4√2C．2√5D．2√24．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A ．8B ．12C ．16D ．205．将函数f(x)=sin (ωx +π3)(ω>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ） A ．16B ．14C ．13D ．126．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ） A ．15B ．13C ．25D ．237．函数y =(3x −3−x )cosx 在区间[−π2,π2]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．当x =1时，函数f(x)=alnx +bx 取得最大值−2，则f ′(2)=（ ） A ．−1B ．−12C ．12D ．19．在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，已知B 1D 与平面ABCD 和平面AA 1B 1B 所成的角均为30°，则（ ） A ．AB =2AD B ．AB 与平面AB 1C 1D 所成的角为30° C ．AC =CB 1D ．B 1D 与平面BB 1C 1C 所成的角为45°10．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若S 甲S 乙=2，则V 甲V 乙=（ ）A ．√5B ．2√2C ．√10D ．5√10411．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为13，A 1,A 2分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA 1→⋅BA 2→=−1，则C 的方程为（ ）A．x 218+y216=1B．x29+y28=1C．x23+y22=1D．x22+y2=112．已知9m=10,a=10m−11,b=8m−9，则（）A．a>0>b B．a>b>0C．b>a>0D．b>0>a二、填空题13．已知向量a⃑=(m,3),b⃑⃑=(1,m+1)．若a⃑⊥b⃑⃑，则m=______________．14．设点M在直线2x+y−1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为______________．15．记双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值______________．16．已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD．当ACAB取得最小值时，BD=________．三、解答题17．甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，P(K2⩾k)0.100 0.050 0.010k 2.706 3.841 6.63518．记S n为数列{a n}的前n项和．已知2S nn+n=2a n+1．(1)证明：{a n}是等差数列；(2)若a4,a7,a9成等比数列，求S n的最小值．19．小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．(1)证明：EF//平面ABCD；(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．20．已知函数f(x)=x3−x,g(x)=x2+a，曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线．(1)若x1=−1，求a；(2)求a的取值范围．21．设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3．(1)求C的方程；(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β．当α−β取得最大值时，求直线AB的方程．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+t6y=√t（t为参数），曲线C2的参数方程为{x=−2+s6y=−√s（s为参数）．(1)写出C1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ−sinθ=0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．23．已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2=3，证明：(1)a+b+2c≤3；(2)若b=2c，则1a +1c≥3．参考答案：1．A【分析】根据集合的交集运算即可解出．}，所以A∩B={0,1,2}．【详解】因为A={−2,−1,0,1,2}，B={x∣0≤x<52故选：A.2．B【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.>70%,所以A错；【详解】讲座前中位数为70%+75%2讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%−80%=20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%−60%=35%>20%,所以D错.故选:B.3．D【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【详解】因为z=1+i，所以i z+3z̅=i(1+i)+3(1−i)=2−2i，所以|i z+3z̅|=√4+4=2√2．故选：D.4．B【分析】由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.【详解】由三视图还原几何体，如图，×2×2=12.则该直四棱柱的体积V=2+42故选：B.5．C【分析】先由平移求出曲线C的解析式，再结合对称性得ωπ2+π3=π2+kπ,k∈Z，即可求出ω的最小值.【详解】由题意知：曲线C为y=sin[ω(x+π2)+π3]=sin(ωx+ωπ2+π3)，又C关于y轴对称，则ωπ2+π3=π2+kπ,k∈Z，解得ω=13+2k,k∈Z，又ω>0，故当k=0时，ω的最小值为13.故选：C.6．C【分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.【详解】[方法一]：【最优解】无序从6张卡片中无放回抽取2张，共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)15种情况，其中数字之积为4的倍数的有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6)6种情况，故概率为615=25.[方法二]：有序从6张卡片中无放回抽取2张，共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况，其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为1230=25.故选：C.【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解；方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出；7．A【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令f(x)=(3x−3−x)cosx,x∈[−π2,π2 ]，则f(−x)=(3−x−3x)cos(−x)=−(3x−3−x)cosx=−f(x)，所以f(x)为奇函数，排除BD；又当x∈(0,π2)时，3x−3−x>0,cosx>0，所以f(x)>0，排除C.故选：A.8．B【分析】根据题意可知f(1)=−2，f′(1)=0即可解得a,b，再根据f′(x)即可解出．【详解】因为函数f(x)定义域为(0,+∞)，所以依题可知，f(1)=−2，f′(1)=0，而f′(x)=a x −bx2，所以b=−2,a−b=0，即a=−2,b=−2，所以f′(x)=−2x+2x2，因此函数f(x)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，x=1时取最大值，满足题意，即有f′(2)=−1+12=−12．故选：B.9．D【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．【详解】如图所示：不妨设AB=a,AD=b,AA1=c，依题以及长方体的结构特征可知，B1D与平面ABCD所成角为∠B1DB，B1D与平面AA1B1B所成角为∠DB1A，所以sin30∘=cB1D =bB1D，即b=c，B1D=2c=√a2+b2+c2，解得a=√2c．对于A，AB=a，AD=b，AB=√2AD，A错误；对于B，过B作BE⊥AB1于E，易知BE⊥平面AB1C1D，所以AB与平面AB1C1D所成角为∠BAE，因为tan∠BAE=ca =√22，所以∠BAE≠30∘，B错误；对于C，AC=√a2+b2=√3c，CB1=√b2+c2=√2c，AC≠CB1，C错误；对于D，B1D与平面BB1C1C所成角为∠DB1C，sin∠DB1C=CDB1D =a2c=√22，而0<∠DB1C<90∘，所以∠DB1C=45∘．D正确．故选：D．10．C【分析】设母线长为l ，甲圆锥底面半径为r 1，乙圆锥底面圆半径为r 2，根据圆锥的侧面积公式可得r 1=2r 2，再结合圆心角之和可将r 1,r 2分别用l 表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为l ，甲圆锥底面半径为r 1，乙圆锥底面圆半径为r 2， 则S 甲S 乙=πr 1l πr 2l =r1r 2=2，所以r 1=2r 2， 又2πr 1l +2πr 2l=2π，则r 1+r 2l=1，所以r 1=23l,r 2=13l ，所以甲圆锥的高ℎ1=√l 2−49l 2=√53l ， 乙圆锥的高ℎ2=√l 2−19l 2=2√23l ， 所以V 甲V 乙=13πr 12ℎ113πr 22ℎ2=49l 2×√53l 19l ×2√23l =√10.故选：C. 11．B【分析】根据离心率及BA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BA 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−1，解得关于a 2,b 2的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率e =ca =√1−b 2a 2=13，解得b 2a 2=89，b 2=89a 2， A 1,A 2分别为C 的左右顶点，则A 1(−a,0),A 2(a,0)，B 为上顶点，所以B(0,b).所以BA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−a,−b),BA 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(a,−b)，因为BA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BA 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−1 所以−a 2+b 2=−1，将b 2=89a 2代入，解得a 2=9,b 2=8， 故椭圆的方程为x 29+y 28=1.故选：B. 12．A【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m =log 910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m >lg11，log 89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由9m=10可得m =log 910=lg10lg9>1，而lg9lg11<(lg9+lg112)2=(lg992)2<1=(lg10)2，所以lg10lg9>lg11lg10，即m >lg11，所以a =10m −11>10lg11−11=0. 又lg8lg10<(lg8+lg102)2=(lg802)2<(lg9)2，所以lg9lg8>lg10lg9，即log 89>m ，所以b =8m −9<8log 89−9=0.综上，a >0>b . ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由9m =10，可得m =log 910∈(1,1.5)．根据a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1) ，则f ′(x)=mx m−1−1， 令f ′(x)=0，解得x 0=m11−m，由m =log 910∈(1,1.5) 知x 0∈(0,1) .f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以f(10)>f(8) ，即 a >b ， 又因为f(9)=9log 910−10=0 ，所以a >0>b . 故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．13．−34##−0.75【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：a ⃑⋅b⃑⃑=m +3(m +1)=0，解得m =−34. 故答案为：−34.14．(x −1)2+(y +1)2=5【分析】设出点M 的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在⊙M 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】[方法一]：三点共圆 ∵点M 在直线2x +y −1=0上，∴设点M 为(a,1−2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M 上， ∴点M 到两点的距离相等且为半径R ，∴√(a −3)2+(1−2a)2=√a 2+(−2a)2=R ， a 2−6a +9+4a 2−4a +1=5a 2，解得a =1， ∴M(1,−1)，R =√5，⊙M的方程为(x−1)2+(y+1)2=5.故答案为：(x−1)2+(y+1)2=5[方法二]：圆的几何性质由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线2x+y−1= 0的交点(1,-1).R=√5, ⊙M的方程为(x−1)2+(y+1)2=5.故答案为：(x−1)2+(y+1)2=515．2（满足1<e≤√5皆可）【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线y=±ba x中0<ba≤2即可求得满足要求的e值.【详解】解：C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，所以C的渐近线方程为y=±bax,结合渐近线的特点，只需0<ba ≤2，即b2a2≤4，可满足条件“直线y=2x与C无公共点”所以e=ca =√1+b2a2≤√1+4=√5，又因为e>1，所以1<e≤√5，故答案为：2（满足1<e≤√5皆可）16．√3−1##−1+√3【分析】设CD=2BD=2m>0，利用余弦定理表示出AC 2AB2后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理设CD=2BD=2m>0，则在△ABD中，AB2=BD2+AD2−2BD⋅ADcos∠ADB=m2+4+2m，在△ACD中，AC2=CD2+AD2−2CD⋅ADcos∠ADC=4m2+4−4m，所以AC 2AB2=4m2+4−4mm2+4+2m=4(m2+4+2m)−12(1+m)m2+4+2m=4−12(m+1)+3m+1≥4−2√(m+1)⋅3m+1=4−2√3，当且仅当m+1=3m+1即m=√3−1时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，m=√3−1.故答案为：√3−1.[方法二]：建系法令 BD=t ，以D 为原点，OC 为x 轴，建立平面直角坐标系. 则C （2t,0），A （1，√3），B （-t,0）∴AC 2AB 2=(2t −1)2+3(t +1)2+3=4t 2−4t +4t 2+2t +4=4−12(t +1)+3t +1≥4−2√3当且仅当t +1=√3,即BD =√3−1时等号成立。

……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）数学（文科）副标题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 集合M ={2,4,6,8,10}，N ={x|−1<x <6}，则M⋂ N =( ) A. {2,4}B. {2,4,6}C. {2,4,6,8}D. {2,4,6,8,10}2. 设(1+2i)a +b =2i ，其中a ，b 为实数，则( ) A. a =1，b =−1 B. a =1，b =1 C. a =−1，b =1D. a =−1，b =−13. 已知向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(−2,4)，则|a ⃗ −b ⃗ |=( )A. 2B. 3C. 4D. 54. 分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位：ℎ)，得如下茎叶图：则下列结论中错误的是( )A. 甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B. 乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………C. 甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D. 乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.65. 若x ，y 满足约束条件{x +y ≥2,x +2y ≤4,y ≥0,则z =2x −y 的最大值是( )A. −2B. 4C. 8D. 126. 设F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点，点A 在C 上，点B(3,0)，若|AF|=|BF|，则|AB|=( )A. 2B. 2√2C. 3D. 3√27. 执行右边的程序框图，输出的n =( )A. 3B. 4C. 5D. 68. 右图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3,3]的大致图像，则该函数是( )A. y =−x 3+3x x 2+1B. y =x 3−x x 2+1C. y =2xcosxx 2+1D. y =2sinxx 2+19. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则( ) A. 平面B 1EF ⊥平面BDD 1 B. 平面B 1EF ⊥平面A 1BD C. 平面B 1EF//平面A 1ACD. 平面B 1EF//平面A 1C 1D10. 已知等比数列{a n }的前3项和为168，a 2−a 5=42，则a 6=( ) A. 14B. 12C. 6D. 3……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………11. 函数f(x)=cosx +(x +1)sinx +1在区间[0,2π]的最小值，最大值分别为( ) A. −π2，π2B. −3π2，π2C. −π2，π2+2D. −3π2，π2+212. 已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )A. 13B. 12C. √33D. √22第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若2S 3=3S 2+6，则公差d = ． 14. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．15. 过四点(0,0)，(4,0)，(−1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为 ． 16. 若f(x)=ln|a +11−x |+b 是奇函数，则a = ，b = ．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分。

高考全国乙卷：2022年[文科数学]考试真题与答案解析一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 集合，则（ ）{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<M N = A. B. C. D. {2,4}{2,4,6}{2,4,6,8}{2,4,6,8,10}答案：A解析：因为，，所以．故选：A.{}2,4,6,8,10M ={}|16N x x =-<<{}2,4M N = 2. 设，其中为实数，则（ ）(12i)2i a b ++=,a b A. B. C. D. 1,1a b ==-1,1a b ==1,1a b =-=1,1a b =-=-答案：A解析：因为R ，，所以，解得：．故选：A.,a b Î()2i 2i a b a ++=0,22a b a +==1,1a b ==-3. 已知向量，则（ ）(2,1)(2,4)a b ==-，a b -r r A. 2 B. 3C. 4D. 5答案：D解析：因为，所以。

故选：D ()()()2,12,44,3a b -=--=- 5-==a b 4. 分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h ），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（ ）A. 甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B. 乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C. 甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D. 乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6答案：C解析：对于A 选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为，A 选项结论7.37.57.42+=正确.对于B 选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：，6.37.47.68.18.28.28.58.68.68.68.69.09.29.39.810.18.50625816+++++++++++++++=>B 选项结论正确.对于C 选项，甲同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值，860.3750.416=<C 选项结论错误。