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§2.4等比数列（1）1理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质；2. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；3. 体会等比数列与指数函数的关系.4851找出疑惑之处） 复习1：等差数列的定义？复习2：等差数列的通项公式n a = ， 等差数列的性质有：二、新课导学 ※ 学习探究观察：①1，2，4，8，16，…②1，12，14，18，116，…③1，20，220，320，420，…思考以上四个数列有什么共同特征？ 新知：1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起， 一项与它的 一项的 等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示（q ≠0），即：1n n aa -= （q ≠0）2. 等比数列的通项公式：21a a = ； 3211()a a q a q q a === ； 24311()a a q a q q a === ； … …∴ 11n n a a q a -==⋅ 等式成立的条件3. 等比数列中任意两项n a 与m a 的关系是：※ 典型例题例1 （1） 一个等比数列的第9项是49，公比是－13，求它的第1项；（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项.小结：关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式11n n a a q -=.例2 已知数列{n a }中，lg 35n a n =+ ，试用定义证明数列{n a }是等比数列.小结：要证明一个数列是等比数列，只需证明对于任意正整数n ，1n naa +是一个不为0的常数就行了.※ 动手试试练1. 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84％. 这种物质的半衰期为多长(精确到1年)?练 2. 一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q =（ ）.A.B.C.D.三、总结提升 ※ 学习小结1. 等比数列定义；2. 等比数列的通项公式和任意两项n a 与m a 的关系.※ 知识拓展在等比数列{}n a 中，⑴ 当10a >，q >1时，数列{}n a 是递增数列； ⑵ 当10a <，01q <<，数列{}n a 是递增数列； ⑶ 当10a >，01q <<时，数列{}n a 是递减数列； ⑷ 当10a <，q >1时，数列{}n a 是递减数列； ⑸ 当0q <时，数列{}n a 是摆动数列； ⑹ 当1q =时，数列{}n a 是常数列.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在{}n a 为等比数列，112a =，224a =，则3a =（ ）. A. 36 B. 48 C. 60 D. 722. 等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，这个数列的项数n ＝（ ）.A. 3B. 4C. 5D. 6 3. 已知数列a ，a （1－a ），2(1)a a -，…是等比数列，则实数a 的取值范围是（ ）. A. a ≠1 B. a ≠0且a ≠1 C. a ≠0 D. a ≠0或a ≠14. 设1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，公比为2，则123422a a a a ++＝ .5. 在等比数列{}n a 中，4652a a a =-，则公比q ＝ .在等比数列{}n a 中， ⑴ 427a =，q ＝－3，求7a ； ⑵ 218a =，48a =，求1a 和q ； ⑶ 44a =，76a =，求9a ； ⑷ 514215,6a a a a -=-=，求3a .§2.4等比数列（2）1.灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；2. 熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法.5154找出疑惑之处）复习1：等比数列的通项公式n a = = . 公比q 满足的条件是 复习2：等差数列有何性质？二、新课导学 ※ 学习探究问题1：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则2G bG ab G a G=⇒=⇒= 新知1：等比中项定义如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称这个数G 称为a 与b 的等比中项. 即G = （a ，b 同号）. 试试：数4和6的等比中项是 .问题2：1.在等比数列{n a }中，2537a a a =是否成立呢？2.211(1)n n n a a a n -+=>是否成立？你据此能得到什么结论？3.2(0)n n k n k a a a n k -+=>>是否成立？你又能得到什么结论？新知2：等比数列的性质在等比数列中，若m +n =p +q ，则m n p k a a a a =.试试：在等比数列{}n a ，已知19105,100a a a ==，那么18a = .※ 典型例题例1已知{},{}n n a b 是项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格，从中你能得出什n b 10-}n b 是否等比变式：项数相同等比数列{n a }与{n b }，数列{n n b }也一定是等比数列吗？证明你的结论.小结：两个等比数列的积和商仍然是等比数列.例2在等比数列{n a }中，已知47512a a =-，且38124a a +=，公比为整数，求10a .变式：在等比数列{n a }中，已知7125a a =，则891011a a a a = .※ 动手试试练1. 一个直角三角形三边成等比数列，则（ ）. A. 三边之比为3：4：5 B. 三边之比为13C.D.练2. 在7和56之间插入a 、b ，使7、a 、b 、56成等比数列，若插入c 、d ，使7、c 、d 、56成等差数列，求a ＋b ＋c ＋d 的值.三、总结提升 ※ 学习小结1. 等比中项定义；2. 等比数列的性质.※ 知识拓展公比为q 的等比数列{}n a 具有如下基本性质：1. 数列{||}n a ，2{}n a ，{}(0)n ca c ≠，*{}()nm a m N ∈，{}k n a 等，也为等比数列，公比分别为2||,,,,m k q q q q q . 若数列{}n b 为等比数列，则{}n n a b ，{}n n ab 也等比.2. 若*m N ∈，则n m n m a a q -=. 当m =1时，便得到等比数列的通项公式.3. 若m n k l +=+，*,,,m n k l N ∈，则m n k l a a a a =.4. 若{}n a 各项为正，c >0，则{log }c n a 是一个以1log c a 为首项，log c q 为公差的等差数列. 若{}n b 是以d 为公差的等差数列，则{}n b c 是以1b c 为首项，d c 为公比的等比数列. 当一个数列.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在{}n a 为等比数列中，0n a >，224355216a a a a a ++=，那么35a a +=（ ）.A. ±4B. 4C. 2D. 82. 若－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)＝（ ）.A ．8B ．－8C ．±8D ．983. 若正数a ，b ，c 依次成公比大于1的等比数列，则当x >1时，log a x ，log b x ，log c x （ ） A.依次成等差数列 B.各项的倒数依次成等差数列 C.依次成等比数列 D.各项的倒数依次成等比数列4. 在两数1，16之间插入三个数，使它们成为等比数列，则中间数等于 .5. 在各项都为正数的等比数列{}n a 中，569a a =， 则log 31a + log 32a +…+ log 310a = .1. 在n a 为等比数列中，1964a a =，3720a a +=，求11a 的值.2. 已知等差数列{}n a 的公差d ≠0，且1a ，3a ，9a 成等比数列，求1392410a a a a a a ++++.。
§2.1 数列学习目标：了解数列的概念，体会数列是一种特殊函数，能根据数列的前几项写出简单数列的通项公式.类比函数理解数列的几种表示方法（列表、图象、通项公式等），能根据项数多少、数列的性质对数列分类.了解递推公式是给出数列的一种方法.掌握根据递推公式写出数列的前n 项的技巧.会利用一些简单的递推公式求出数列的通项.学习重难点：数列概念；数列的表示方法；递推公式.知识要点1、数列的定义：按照一定 排列的一列数叫数列.数列中的 都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首 项），第2项, …,第n 项, …数列的一般形式可以写成： ,,,,,321n a a a a ，其中n a 是数列的 ，叫做数列的 ，我们通常把一般形式的数列简记作 。
2、数列的表示:（1）列举法:将每一项一一列举出来表示数列的方法.（2）图像法:由(n,a n )点构成的一些孤立的点;（3）解析法:用通项公式a n =f(n)（*∈N n ）表示.通项公式：如果数列{n a }中的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，则称此公式为数列的 .数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.思考与讨论:①数列与数集有什么区别？与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质；确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的。
可重复性：数列中的数可以重复。
有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关。
②是否所有的数列都有通项公式？③{n a }与n a 有什么区别？（4）递推公式法:用前n 项的值与它相邻的项之间的关系表示各项. 递推公式也是求数列的一种重要的方法，但并不是所有的数列都有递推公式。
3、数列与函数从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为 （或它的 ）的函数)(n f a n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.数列的 是相应的函数的解析式，它的图像是 。
第一章 数列综合复习学习目标：1、掌握数列的简单综合应用。
2、体会数学思想方法的应用。
重点难点：重点：数列的简单性质应用。
难点：数列求和问题。
学法指导：自学，小组讨论交流，师生点评提高。
一、知识梳理：尝试回顾本章节学习过的数列基本知识，画出知识结构图。
二、试一试： 1．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（ ）A ．4- B．6- C ．8- D ．10-2．设nS 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a 则（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．213．已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q的取值范围是（ ）A ．1(0,)2+ B ．1(2 C ．1[1,2+ D ．)251,251(++-4．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log ...log a a a +++=（ ）A ．12B ．10C ．31log 5+D ．32log 5+5．等差数列{}n a 中, ,33,562==a a 则35a a +=_________。
7．数列7,77,777,7777…的一个通项公式是______________________。
8．在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。
二、典型例题：1、在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)令bn ＝2an －10，证明数列{bn}为等比数列．2．已知数列{}n a 的通项公式112+-=n a n ，如果)(N n a b n n ∈=，求数列{}n b 的前n 项和。
3、在等比数列{}n a 中，,400,60,364231>=+=n S a a a a 求n 的范围。
一、有关复复 1：函数y3x，当x挨次取1，2，3，⋯，其函数有什么特色？复 2：函数 y=7x+9，当 x 挨次取 1，2，3，⋯，其函数有什么特色？二、新学◆ 学研究研究任：数列的观点⒈ 数列的定：的一列数叫做数列 .⒉ 数列的：数列中的都叫做个数列的 .反省：⑴ 假如成两个数列的数同样而摆列序次不一样，那么它是同样的数列？⑵ 同一个数在数列中能够重复出？3.数列的一般形式：a1, a2 , a3 , ,a n ,4.数列的通公式：假如数列 a n a n 与n之的关系能够用，或a n，此中a n是数列的第.的第 n来表示，那么就叫做个数列的通公式 .反省：⑴全部数列都能写出其通公式？⑵一个数列的通公式是独一？⑶数列与函数有关系？假如有关系，是什么关系？5．数列的分：1）依据数列数的多少分数列和数列；2）依据数列中的大小化状况分数列，数列，数列和数列.◆ 典型例例 1 写出下边数列的一个通 公式，使它的前 4 分 是以下各数：⑴ 1，－1，1，－1；234⑵ 1， －1， 1， －1； （ 3） -1, 1，-1， 1； （ 4）1 ，0， 1， 0；（ 5）1，4， 9 ，16；251017（6） 12， -13 ，1，-41 ； 123 45（7）15, 24 , 35 , 48 , 63 , , 2 5 10 17 26小 ：要由数列的若干 写出数列的一个通 公式， 只需 察剖析数列中的 的组成 律，将 表示 数的函数关系 .例 2 已知数列 2，72，2，⋯的通 公式 a nan b，求 个数列的第四 和4cn第五 .式：已知数列5 ， 11， 17 ， 23 ， 29 ，⋯， 5 5 是它的第 .小 ：已知数列的通 公式， 只需将数列中的 代入通 公式， 就能够求出 数和 .例 3 在数列 { a n } 中， a 1=2,a 17=66，通 公式是 数 n 的一次函数 .(1)求数列 { a n }(2)88 是不是数列 { a n } 中的 .◆ 手练 1 写出下边数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是以下各数：（1） 1， 1，1， 1；3 5 7（ 2）1， 2， 3，2 .（ 3）－１，２，－３，４； （ 4）２，４，６，８；（ 5）１，４，９，１６； （6） 11 ， 1 1 ， 1 1 ， 1 12 23 34 4 5练 2 写出数列 { n 2 n} 的第 20 项，第 n ＋1 项 .练 3 已知数列｛ a n ｝的通项公式 a nn 2 8n 5 ．（１）写出这个数列的前５项，并作出前５项的图象； （２）这个数列全部项中有没有最小的项？三、学习小结1. 关于比较简单的数列，会依据其前几项写出它的一个通项公式；2. 会用通项公式写出数列的随意一项 .◆ 当堂检测1.以下说法正确的选项是（ ） .A. 数列中不可以重复出现同一个数B.1，2，3，4 与 4， 3， 2， 1 是同一数列C.1，1，1，1⋯不是数列D.两个数列的每一同样，数列同样2.以下四个数中，哪个是数列{ n(n1)} 中的一（）.A. 380B. 392C. 321D. 232已知数列a n，a n 1(n N )，那么1是个数列的第（）.3.n(n2)120A. 9B. 10C.11D. 124.在横上填上适合的数：（ 1） 3， 8， 15，，35，48.（ 2），111 4，，16，32；（ 3）351733 2，4，，16，32，5.写出数列1，1，1，1的21222324一个通公式.。
数列（第2课时）【学习导航】知识网络学习要求1．进一步理解数列概念，了解数列的分类；2．理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列；3．了解递推数列的概念。
【自学评价】1．数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项。
2．数列的分类：按n a 的增减分类：（i ）递增数列：n N *∈任意，总有1n n a a +>；（ii ）递减数列：n N *∈任意，总有1n n a a +<；(iii) 摆动数列：l N *∈任意k,，有1k k a a +>，也有1l l a a +<，例如1,2,4,6,8,---；（iv ）常数列：n N *∈任意，1n n a a +=；（v ）有界数列：存在正整数M 使||n a M ≤；（vi ）无界数列：对任意正整数M 总存在n a 使||n a M >。
3．递推数列：如果已知数列{}n a 的前一项（或前几项），且任意一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，则这个数列叫递推数列，这个公式叫这个数列的递推公式。
递推公式是给出数列的一种重要方式。
【精典范例】【例1】写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）222221314151,,,2345----； （2）12341,2,3,42345； （3）9，99，999，9999。
【解】（1）这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，所以它的一个通项公式是：2(1)11n n a n +-=+； （2）这个数列的前4项每一项都可以分为整数部分n 与分数部分1n n +的和，所以它的一个通项公式是：1n n a n n =++； （3）这个数列的前4项每一项加1后变成10,100,1000,10000，所以它的一个通项公式是：101n n a =-。
高中数学 2.2等差数列（1）学案新人教A 版必修5学习目标1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；2. 探索并掌握等差数列的通项公式；3. 正确认识使用等差数列各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项.学习重难点1.重点： 等差数列的通项公式2.难点： 灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项一、课前准备 （预习教材P 36 ~ P 39 ，找出疑惑之处）复习1：什么是数列？ 复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？二、试一试问题一：等差数列的概念1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？① 0，5，10，15，20，25，… ② 48，53，58，63③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ④ 10072，10144，10216，10288，10366 新知：1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它 一项的 等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示.2.等差中项：由三个数a ，A ， b 组成的等差数列，这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式表示为A =问题二：等差数列的通项公式2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：21a a -= ，即：21a a =+ 32a a -= ， 即：321a a d a =+=+ 43a a -= ，即：431a a d a =+=+ ……由此归纳等差数列的通项公式可得：n a =∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a .※ 学习探究探究1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项.（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.小结：要求出数列中的项，关键是求出通项公式；要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数. 探究 2 已知数列{n a }的通项公式n a pn q =+，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？变式：已知数列的通项公式为61n a n =-，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？小结：要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1n n a a --（n ≥2）是不是一个与n 无关的常数. ※ 模仿练习练1. 等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式和第20项.练2.在等差数列{}n a 的首项是51210,31a a ==， 求数列的首项与公差.三、总结提升 ※ 学习小结1. 等差数列定义： 1n n a a d --= (n ≥2)；2. 等差数列通项公式：n a =1(1)a n d +- (n ≥1).※ 知识拓展1. 等差数列通项公式为1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-. 分析等差数列的通项公式，可知其为一次函数，图象上表现为直线1(1)y a x d =+-上的一些间隔均匀的孤立点.2. 若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为,,a d a a d -+. 若四个数成等差数列，3,,,3a d a d a d a d --++. 当堂检测1. 等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）. A. 92 B. 47 C. 46 D. 452. 数列{}n a 的通项公式25n a n =+，则此数列是（ ）.A.公差为2的等差数列B.公差为5的等差数列C.首项为2的等差数列D.公差为n 的等差数列3. 等差数列的第1项是7，第7项是－1，则它的第5项是（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 64. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则∠B ＝ .5. 等差数列的相邻4项是a +1，a +3，b ，a +b ，那么a ＝ ，b ＝ . 课后作业1. 在等差数列n 中，⑴已知12a =，d ＝3，n ＝10，求n a ； ⑵已知13a =，21n a =，d ＝2，求n ；⑶已知112a=，627a=，求d；⑷已知d＝－13，78a=，求1a.2. 一个木制梯形架的上下底边分别为33cm，75cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度.课后反思。
第二章 数列2．1 数列的概念与简单表示法【学习目标】1、了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；了解数列是一种特殊的函数；2、通过三角形数与正方形数引入数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；3、体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。
【研讨互动 问题生成】1.数列的概念2.数列的记法3.数列的通项公式4.数列的本质5.数列的分类6.递推公式【合作探究 问题解决】1.写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列个数:(1)7,5,3,1 (2)515,414,313,2122222---- 2.根据下面数列}{n a 的通项公式,写出前5项. (1)1+=n n a n (2)n a n n ⋅-=)1((3)2=n a【点睛师例 巩固提高】例1 在数列}{n a 中,21,3101==a a ,通项公式是项数的一次函数.(1)求数列}{n a 的通项公式,并求2008a ;(2)若n n a b 2=,求数列}{n b 的通项公式.例2. 已知数列}{n a 的通项公式为3922++-=n n a n .(1)试问2是否是数列}{n a 中的项?(2)求数列}{n a 的最大项;(3)若0≥n a ,求n .例3 已知数列}{n a 的首项11=a ,且)1(111>+=-n a a n n ,写出这个数列的前5项.例4 已知数列}{n a 的递推公式是n n n a a a 2312-=++,且3,121==a a .求:(1)5a ; (2)127是这个数列中的第几项?例5若记数列}{n a 的前n 项和为n S ,试证明⎩⎨⎧=>-=-1111n S n S S a n n n .变式题: 已知数列}{n a 的前n 项和为n n S n -=22,求n a .【要点归纳 反思总结】（1）数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型；（2）了解用列表、图象、通项公式、递推公式等方法表示数列；能发现数列规律找出可能的通项公式。
§2.1数列的概念与简单表示法(1)学习目标1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式.学习过程一、课前准备复习：函数，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？二、新课导学学习探究⒈ 数列的定义： 的一列数叫做数列.⒉ 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项.反思：⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？3. 数列的一般形式：123,,,,,n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第 项.4.数列的分类：1）根据数列项数的多少分 数列和 数列；2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列， 数列，数列和 数列.5．数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与n 之间的关系可以用 一个式子 来表示，那么 这个公式 就叫做这个数列的通项公式.典型例题写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴ 1，－12，13，－14； ⑵ 1， 0， 1， 0.变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴12，45，910，1617；⑵1，－1，1，－1；反思：⑴所有数列都能写出其通项公式？⑵一个数列的通项公式是唯一？例2已知数列2，74，2，…的通项公式为2nan bacn+=，求这个数列的第四项和第五项.变式：已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的第项.小结：已知数列的通项公式，只要将数列中的项代入通项公式，就可以求出项数和项.三、总结提升知识拓展数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数.思考：设()f n＝1＋12＋13＋…＋131n-（n∈*N）那么(1)()f n f n+-等于（）A.132n+B.11331n n++C.113132n n+++D.11133132n n n++++。
您好！我谨以此检讨书，深刻反省自己在近期的一次酒驾事件中的错误行为，并向您表示诚挚的歉意。
以下是我对此次事件的详细检讨，恳请领导批评指正。
一、事件回顾2022年9月15日晚，我在参加完单位组织的聚餐后，因酒后驾车返回家中。
在行驶过程中，被交警部门查获，并依法处以罚款、暂扣驾驶证、拘留等处罚。
这一事件在社会上造成了不良影响，也给我所在的部门带来了负面影响。
二、错误原因分析1. 思想认识不到位。
作为一名部门领导，我深知酒后驾车的危害性，但在实际生活中，由于放松了对自己的要求，没有充分认识到酒驾行为的严重性，导致在酒后驾车。
2. 纪律观念淡薄。
我缺乏严格的纪律观念，没有严格遵守交通法规，对酒驾的危害性认识不足，导致在酒后驾车。
3. 自律意识不强。
我对自己要求不严，缺乏自律意识，没有做到以身作则，给部门员工树立了不良的榜样。
4. 应急处理能力不足。
在酒后驾车过程中，我没有及时采取应急措施，导致违法行为的发生。
三、深刻反省1. 对自己的错误行为深感愧疚。
我认识到，酒驾行为不仅违法，更严重危害自己和他人的生命安全。
此次事件给我敲响了警钟，使我深刻反省自己的错误。
2. 对单位和社会造成了不良影响。
我意识到，作为一名部门领导，我的言行举止直接影响到单位形象和社会风气。
此次事件给我所在的部门带来了负面影响，我深感愧疚。
3. 对家人和朋友造成了伤害。
我深知，酒驾行为给家人和朋友带来的痛苦。
我深感自责，决定以此为鉴，改正错误。
四、改正措施1. 提高思想认识。
我将以此次事件为鉴，深刻反思自己的错误，提高对酒驾危害性的认识，坚决杜绝酒后驾车行为。
2. 严格遵守纪律。
我将自觉遵守交通法规，加强自律意识，做到严于律己，以身作则。
3. 加强学习。
我将加强法律法规和道德修养方面的学习，提高自己的综合素质，为部门员工树立良好的榜样。
4. 积极参与公益活动。
我将积极参与交通安全宣传教育活动，向公众宣传酒驾的危害性，为构建和谐交通环境贡献力量。
高考数列专题考情分析——全国卷中数列与三角函数基本上是交替考查，难度不大，题目多为常规题，从五年全国卷高考试题来看，本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的基本运算；二是等差、等比数列的判定与证明；三是数列的求和问题，难度中等。
题型1 等差、等比数列的基本运算方法归纳: 五个基本量，熟悉公式，方程思想，多用性质可以简化运算。
1．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8C ．4D ．22．【2017年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．83．【2017年高考全国II 卷理数】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏4．【2017年高考浙江卷】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件题型二 等差、等比数列的判定与证明方法归纳——紧抓定义证明，难度不大。
5．【2019年高考全国II 卷理数】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式.题型3 数列的通项与求和问题方法归纳——数列的通项与求和是高考的必考题型，求通项属于基本量问题；求和问题关键在于分析通项的结构体征，选做适合的求和方法，常考的求和方法有：公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等。
2．1数列课程要求了解数列的概念，体会数列是一种特殊函数，能根据数列的前几项写出简单数列的通项公式.类比函数理解数列的几种表示方法（列表、图象、通项公式等），能根据项数多少、数列的性质对数列分类.了解递推公式是给出数列的一种方法.掌握根据递推公式写出数列的前n 项的技巧.会利用一些简单的递推公式求出数列的通项. 基本概念1． 叫做数列， 叫做这个数列的项. 2． 就叫做这个数列的通项公式.3．数列可用图象来表示，在直角坐标系中，以 来表示一个数列，图象是一些 ，它们位于 .4．根椐数列的项数可以把数列分为 和 .根据数列中项与项的大小关系可以把数列分为 、 、 和 .5． 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.6．若数列{}n a 的前n 项和记为n S ，即,321n n a a a a S ++++= 则 ⎪⎩⎪⎨⎧≥==).2(),1(n n a n概念深化1．数列的通项公式实际上是一个以正整数集+N 或它的有限子集{}n ,,2,1 为定义域的函数的表达式；2．如果知道了数列的通项公式，那么依次用 ,3,2,1去替代公式中的n 就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项；3．像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式. 如2的不足近似值，精确到 ,0001.0,001.0,01.0,1.0,1所构成的数列,4142.1,414.1,41.1,4.1,1就没有通项公式.4．有的数列的通项公式，在形式上不一定是唯一的，例如数列： ,1,1,1,1,1,1---它可以写成,)1(n n a -=也可以写成⎩⎨⎧-=.,1,,1为偶数为奇数n n a n还可以写成2)1(+-=n n a 等.这些通项公式，形式上虽然不同，但都表示同一个数列.5．有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.典例精析题型一 根据数列{}n a 的前几项，写出数列的通项公式. 例1 写出下列数列的一个通项公式： (1) ,33,17,9,5,3；（2） ,544,433,322,211；（3） ,777,,7777,777,77,7；（4）.,1337,1126,917,710,1,32 ---命题意图：寻求规律，写出通项公式.方法提升：用观察归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律，观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，要能观察出特点，观察出项与项之间的关系、规律.这类问题就是要观察各项与对应的项数之间的联系，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数数列、奇偶数列、自然数列的前n 项和数列、自然数的平方数列、简单的指数数列……），建立合理的联想，转换而达到问题的解决.一题一练 分别写出下列数列的一个通项公式，数列的前4项已给出. （1）;,515,414,313,2122222 ----（2）;,201,121,61,21 --（3）;9999.0,999.0,99.0,9.0 （4）.,4,5,4,5题型二 数列通项公式的简单应用 例2 已知有穷数列 ,2625,1716,109,54（1）指出这个数列的一个通项公式；（2）判定0.98是不是这个数列中的项？若是，是第几项？ 命题意图：考察对通项公式的理解及应用 方法提升(1)本题中极容易错误地认为122+n n 是数列的通项公式，为避免这样的错误，可验证你所写通项公式是否适合数列的前几项.（2）要判断一个数是否为该数列中的项，可由通项等于这数解出n ，根据n 是否为正整数便可确写这个数是否为数列中的项，也就是说，判定某一数是否是数列中的某一项，其实质就是看方程是否有正整数解.一题一练 已知数列{}n a 的通项公式n n q a =，且.7224=-a a（1）求实数q 的值；（2）判断81-是否为此数列的某一项.题型三 已知n S 求n a例3 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求数列{}n a 的通项公式. （1）;12-=n n S （2）.322++=n n S n命题意图 本题为通过n S 求n a ，因为n n a a a S +++= 21，所以n S 与n a 有关系⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn 可求得.n a 解 (1)由,12-=n n S 当1=n 时，;112111=-==S a 当2≥n 时， )12(1211---=-=--n n n n n S S a.22211--=-=n n n当1=n 时也适合,12111==-a 所以.21-=n n a（2）由,322++=n n S n 当1=n 时，.611==S a当2≥n 时，[].143)1()1(2)32(221-=+-+--++=-=-n n n n n S S a n n n.)2(14)1(6⎩⎨⎧≥-==∴n n n a n方法提升由n S 求n a 时，当1a 不符合1--=n n n S S a 表达式时，通项公式要分段表示. 即⎩⎨⎧≥==2)(11n n f n a a n 的形式.一题一练（1）已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 322-=，求数列通项公式； (2)已知数列⎣⎦n a 的前n 项和35-=n n S ，求数列通项公式题型四 数列的递推公式例4 已知数列{}n a 分别满足下列条件，写出它的前五项，并归纳出各数列的一个通项公式.(1));12(,011-+==+n a a a n n (2).22,111+==+n nn a a a a 命题意图 此数列是用递推公式给出的，已知1a 就可递推出,,2 a 依此类推，可求出它的任一项.再根据前5项归纳猜想n a 的一个通项公式.方法提升由递推公式，求出数列前5项，再归纳出通项公式，猜想不一定正确，还需严格证明(今后学到)，也可以直接求出.巩固练习 一、选择题1.下列说法不正确的是( )A. 数列可以用图像来表示B. 数列的通项公式不唯一C. 数列的项不能相等D. 数列可以用一群狐立的点表示2.已知数列{}n a 的通项公式为n a n 225-=，下列各数中，不是{}n a 的项的是( )A. 1B. -1C. 2D. 3 3.设数列,,11,22,5,2 则52是这个数列的( )A. 第六项B. 第七项C. 第八项D. 第九项4.无穷数列 1,3,6,10,的通项公式为( )A. 12+-=n n a nB. 12-+=n n a nC. 22nn a n +=D. 22nn a n -=5.数列{}n a ，其中,,6,31221n n n a a a a a -===++，那么这个数列的第五项为（ ）A. 6B. -3C. -12D. -6二、填空题6.数列{}n a 中，)2(,211≥+==-n n a a a n n ，则=10a .7.在数列 ,55,34,,13,8,5,3,2,1,1x 中，x 的值 .8.已知数列{}n a 通项公式*)(1242N n n n a n ∈--=，则:(1)这个数列的第四项是 ；(2)65是这个数列的第 项； (3)这个数列从第 项起各项为正数. 三、解答题9.写出下列数列的一个通项公式 (1);,811,271,91,31,1 --(2);,0,3,0,3 (3),1716,109,54,21-- (4);,7777.0,777.0,77.0,7.010.在数列{}n a 中，.66,2171==a a 通项公式n a 是项数n 的一次函数. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)88是否是数列{}n a 中的项.11.已知数列{}n a 的前n 项和)(242*∈+-=N n n n S n .(1)求{}n a 的通项公式； (2)当n 为何值时， n S 达到最大?最大值是多少?12.设数列{}n a 的通项公式为)(2+∈+=N n kn n a n ，若数列{}n a 是单调递增数列，求实数k 的取值范围.锁定高考已知数列{}n a 的前几项和n n S n 92-=，则其通项=n a ；若它的第k 项满足85<<k a ，则k = .。
第二章数列§ 2.1数列的概念与简单表示方法编制人：审核人：高一数学备课组1. 认真研读课本卩28 _卩31的内容，完成课前预习，熟记有关知识概念。
2. 对不理解的内容和存在问题先标注，准备课内小组合作探究，答疑解惑。
【学习目标】1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系。
2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项，了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同，会由递推公式写出数列的前几项，并掌握求简单数列的通项公式的方法。
3. 激情投入、勇于探索，养成扎实、严谨的科学态度。
课前预习一、重点难点重点：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系。
难点：根据数列的前几项归纳通项公式，理解递推公式和通项公式的关系。
二、问题导学认真研读课本P28 _略的内容，明确：1. 数列及其有关概念1 ）数列的定义：按 ___________________________________________ 叫做数列，数列叫做这个数列的项，___________________________ 叫做首项。
数列的一般形式为：asajlha川I, a.是数列的第n项，即数列的通项，数列记作：｛a n｝。
2）通项公式：如果数列_____________________________________ 可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。
3）递推公式：如果已知数列｛a n｝的第一项（或前n项），且任何一项a n与它的_______________ （或前n项）间的关系可以用一个式子来表示，这个式子就叫做这个数列的递推公式。
2. 数列的分类1. --------------------------------------------------------------------------------------------项数多少分「有穷数列：------------------------------------------------L无穷数列：______________________________________数列与集合的性质和表示方法的对比三、练一练：（研读课本P例1、例2）厂29_311 •根据数列的通项公式，写出它的前5项及第2n-1项：（1）a n 1；（2）a n = （-1）心（n21）n2.根据数列的前几项，归纳各数列的通项公式：（1） 1 ,」,1 , J , 1 ,... ；（2）1,-3 , 5,-7 , 9,…;3 5 7 9(3) 9,99,999,9999，…;（备课）笔记区•递增数列： _________________________________________2. 按各项变化规律分递减数列：_____________________________________________1摆动数列： _________________________________________常数列：3. 数列与函数的关系思考：这样通过前几项归纳出的通项公式一定是唯一的吗，所有数列都有通项公式吗?探究三：数列｛ a n ｝中 a ! = 1 , a n+i -a n=3a n 申a n (N )，求数列 a n拓展：数列的性质*r 、*1 •单调性：如果对所有的n ・N ,都有a n1 ' a n ，那么数列｛a n｝为递增数列；如果对所有的 n ・N ,都有 an ^:: a n ，那么数列｛a n｝为递减数列；如果对所有的 n ・N *，都有 办，1二a n ，那么数列｛a n｝为常数列；如果 有些项大于它的前一项，有些像小于它的前一项，则称｛a n ｝为摆动数列。
第2课时数列的函数特性知能目标解读1.熟练掌握数列与函数之间的关系，了解数列是一种特殊的函数的含义.2.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.3.能够通过探求数列的增减性或画出数列的图像来求数列中的最大项或最小项.重点难点点拨重点：1.了解数列是一种特殊的函数的含义.2.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.难点：用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.学习方法指导1.数列的概念与函数概念的联系(1)数列是一种特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或是它的有限子集{1,2,3,…,n}，它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数.(2)数列与函数不能画等号，数列是相应函数的一系列函数值.(3)利用函数与数列的关系，可以从函数的观点研究数列的表示方法及有关性质.2.数列的表示方法(1)数列的图像是无限个或有限个离散的孤立的点.(2)若数列是以解析式的形式给出的，则数列的图像是相应函数图像上的一系列孤立的点.(3)数列是一类离散函数，它是刻画离散过程的重要数学模型，有很广泛的应用.(4)列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但是它只能表示有限个元素间的对应关系.3.数列的单调性（1）递增数列：一般地，一个数列{a n}，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即a n+1>a n(n∈N+)，那么这个数列叫做递增数列.（2）递减数列：一般地，一个数列{a n}，如果从第2项起，每一项都小于它前面的项，即a n+1<a n(n∈N+)，那么这个数列叫做递减数列.（3）常数列：如果数列{a n}的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.（4）摆动数列：一个数列{a n}，从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，那么这个数列叫做摆动数列.注意：(ⅰ)有关数列的分类，由于分类的标准不同，分类方法也不一致：(ⅱ)数列的单调性的判断，定义法是十分重要的方法，即计算a n+1-a n，并研究差的符号的正负；除了应用定义判断外，也可以利用其函数性质判定，例如数列a n=3-n，因为一次函数y=3-x是减函数，因此可判断4.如何证明数列的单调性证明数列的单调性的主要方法有：(1)定义法：其中之一是作差比较，为了便于判断a n+1-a n的符号，通常将a n+1-a n变成常数形式或因式连乘积的形式或平方和形式.除了作差比较外，也可以采用作商的方法，作商时，首先应明确数列的项a n的符号(a n>0还是a n<0)，将其商与1进行比较，从而确定数列的单调性，对于多项式应进行因式分解，对于根式，进行分子（或分母）有理化.(2)借助于数列图像的直观性，证明数列的单调性.知能自主梳理1.几种数列的概念（1）数列按照项与项之间的大小关系可分为数列，数列，数列和数列.（2）一般地，一个数列｛a n｝，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即，那么这个数列叫做数列；（3）一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即，那么这个数列叫做数列；（4）一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫做数列；（5）如果数列｛a n｝的各项都相等，那么这个数列叫做数列.2.数列的递推公式如果已知数列的(或前几项)，且从第二项（或某一项）开始的与它的(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的公式.3.a n与S n的关系S1(n=1)若数列｛a n｝的前n项和记为S n，即S n=a1+a2+…+a n,则a n=(n≥2)［答案］ 1.(1)递增递减摆动常（2）a n+1>a n递增(3)a n+1<a n递减（4）摆动（5）常2.第1项任一项a n前一项a n-1递推3.S n-S n-1思路方法技巧命题方向数列表示法的应用［例1］(1)根据数列的通项公式填表：(2)画出数列{a n}的图像，其中a n=3.［分析］(1)根据数列的通项公式，代入相应的n值得到所求的项，解关于n的方程得项对应的n值. (2)在直角坐标系下，描出点(n,a n).所以a 1=3×(4×1+3)=21,a 2=3×(4×2+3)=33,a 5=3×(4×5+3)=69. 令3(4n +3)=153，解得n =12. 故填充完整的表格为：(2)∵a n =3，列表：在直角坐标系中图像如下：［说明］ (1)列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但它只能表示有限个元素之间的对应关系；(2)数列a n =3n -1的图像是函数y =3x -1 (x >0)上的无穷多个孤立的点. 变式应用1 已知数列{a n }的通项公式为a n =2n -1,作出该数列的图像.［解析］ 分别取n =1,2,3,…,得到点（1,1）,(2,3),(3,5),…,描点作出图像.如图，它的图像是直线y =2x -1上的一些等间隔的点.命题方向 数列单调性的判断［例2］ 已知函数f (x )=2x -2-x ，数列{a n }满足f (log 2a n ) =-2n . (1)求数列{a n }的通项公式； （2）求证数列{a n }是递减数列.［分析］ （1）已知函数关系式，由条件可得出2log 2a n -2-log 2a n =-2n ,解这个关于a n 的方程即可；（2）只需证明a -a <0或na >1(a >0)即可.［解析］ （1）∵f (x )=2x -2-x ,f (log 2a n )=-2n , ∴2log 2a n -2-log 2a n =-2n ,a n -na 1=-2n , ∴a n 2+2na n -1=0,解得a n =-n ±12+n . ∵a n >0,∴a n =12+n -n .（2）n n a a 1+=nn n n -++-++1)1(1)1(22=)1(1)1(122++++++n n n n <1.即{a n }是递减数列.［说明］ 我们常把递增数列和递减数列统称为单调数列，由于数列可看作是一个特殊的函数，因此，判断函数性质的方法同样适用于数列.比较a n 与a n +1大小的常用方法有：①作差法：若a n +1-a n >0,则数列{a n }是递增数列；若a n +1-a n <0，则数列{a n }是递减数列.②作商法：若n n a a 1+>1,则数列{a n }是递增数列；若nn a a1+<1，则数列{a n }是递减数列. 变式应用2 写出数列1,42,73,104,135,…的通项公式，并判断它的增减性. ［解析］ 该数列的通项公式为a n =23-n n,∴a n +1-a n =2)1(31-++n n -23-n n =)23)(13(2-+-n n .∵n ∈N +,∴(3n+1)(3n-2)>0, ∴a n +1<a n ,∴该数列为递减数列.命题方向 数列中最大项与最小项的求法 ［例3］ 求数列{-2n 2+9n +3}中的最大项.［分析］ 由通项公式可以看出a n 与n 构成二次函数关系，求二次函数的最值可采用配方法.此时应注意自变量n 为正整数.［解析］ 由已知a n =-2n 2+9n +3=-2(n -49)2+8105. 由于n 为正整数,故当n =2时,a n 取得最大值为13. 所以数列{-2n 2+9n +3}的最大值为a 2=13.［说明］ 数列的项与项数之间构成特殊的函数关系,因此有关数列的最大项与最小项问题可用函数最值的求法去解决,但要注意函数的定义域为正整数集这一约束条件.(1)数列中有多少项是负数？（2）n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值. ［解析］ （1）由n 2-5n +4<0,解得1<n <4. ∵n ∈N ＋,∴n =2,3. ∴数列有两项是负数. （2）∵a n =n 2-5n +4=（n -25）2-49,可知对称轴方程为n =25=2.5. 又∵n ∈N ＋,∴n =2或3时，a n 有最小值，其最小值为22-5×2+4=-2.探索延拓创新命题方向 数列的实际应用题［例4］ 在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出它们的工资标准：A 公司允诺第一年月工资1500元，以后每年月工资比上年月工资增加230元，B 公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上年月工资的基础上增加5%，设某人年初被A 、B 两家公司同时录取，试问：该人在A 公司工作比在B 公司工作月工资收入最多可以多多少元？并说明理由(精确到1元).［分析］ 根据题意，先建立实际问题的数学模型，根据建立的函数模型解决问题.由于自变量n ∈N +,函数解析式可以看作数列的通项公式，因此可运用数列的单调性求解. ［解析］ 设在A 公司月工资为a n ，在B 公司月工资为b n ，则 问题等价于求c n =a n -b n =1270+230n -2000×1.05n -1 (n ∈N +)的最大值. 当n ≥2时，c n -c n -1=230-100×1.05n -2;当c n -c n -1>0,即230-100×1.05n -2>0时，1.05n -2<2.3，得n <19.1. 因此，当2≤n ≤19时，c n -1<c n , 于是当n ≥20时，c n <c n -1. 所以c 19=a 19-b 19≈827(元).即在A 公司工作比在B 公司工作的月工资收入最多可以多827元.［说明］ 数列是一种特殊的函数，定义域为正整数集N +（或它的有限子集{1,2,3,…,n }）的函数，数列的通项公式就是相应的函数解析式，因此，用函数的观点去考察数列问题也是一种有效的途径.变式应用4 某企业由于受2011年国家财政紧缩政策的影响，预测2012年的月产值（万元）组成数列{a n }，满足a n =2n 2-15n +3,问第几个月的产值最少，最少是多少万元？ ［解析］ 由题意知，实质是求数列{a n }的最小项. 由于a n =2n 2-15n +3=2（n -415）2-8201，图像如图所示，由图像知n =4时，a 4最小，a 4=-25，即第4个月产值最少，最少为-25万元.名师辨误做答［例5］ 已知a n =a ·（21）n(a ≠0且a 为常数)，试判断数列{a n }的单调性. ［误解］ ∵a n -a n -1=a （21）n -a （21）n -1=-a （21）n <0, ∴数列{a n }为递减数列.［辨析］ 错误原因是误认为a >0,其实对非零实数a 应分a >0和a <0两种情况讨论. ［正解］ ∵a n -a n -1=-a （21）n(n ≥2,n ∈N *), ∴①当a >0时，a n -a n -1<0,∴a n <a n -1, ∴数列{a n }是递减数列. ②当a <0时，a n -a n -1>0,∴a n >a n -1, ∴数列｛a n ｝是递增数列.课堂巩固训练一、选择题1.已知数列｛a n ｝,a 1=1,a n -a n -1＝n -1(n ≥2)，则a 6=（ ）A.7B.11C.16D.17 ［答案］ C［解析］ ∵a 1=1,a n -a n -1=n -1(n ≥2)， ∴a 2-a 1=1,∴a 2=a 1+1=2, ∴a 3-a 2=2,∴a 3=a 2+2=4, ∴a 4-a 3=3,∴a 4=a 3+3=7, ∴a 5-a 4=4,∴a 5=a 4+4=11, ∴a 6-a 5=5,∴a 6=a 5+5=16.2.(2012·济南高二检测)数列{a n }中，a n =-n 2+11n ,则此数列最大项的值是（ ） A.4121B.30C.31D.32［解析］ a n =-n 2+11n =-（n -211）2+4121, ∵n ∈N +,∴当n =5或6时，a n 取最大值30，故选B.3.一给定函数y =f (x )的图像在下列图中，并且对任意a 1∈(0,1),由关系式a n +1=f (a n )得到数列{a n }满足a n +1>a n (n ∈N +)，则该函数的图像是（ ）［答案］ A［解析］ 由关系式a n +1=f (a n )得到数列{a n }满足a n+1>a n ,可得f (a n )>a n ,即f (x )>x .故要使该函数y =f (x )图像上任一点（x ,y ）都满足y >x ,图像必在直线y =x 的上方，所以A 正确.说明：借用函数的图像与性质来研究数列时，要注意函数的一般性及数列的特殊性之间的关系，不可不加区分，混为一谈，表达时要清楚明白，数列问题有时用图像来处理，往往可以使问题巧妙、简捷地获得解决.二、填空题 4.已知f (1)=2,f (n +1)=21)(+n f (n ∈N +),则f (4)= . ［答案］89 ［解析］ ∵f (1)=2,f (n +1)=21)(+n f (n ∈N ＋), ∴f (2)=21)1(+f =23, f (3)= 21)2(+f =225=45,f (4)= 21)3(+f =2145+=89.5.已知数列{a n }中，a n =a n +m (a <0,n ∈N ＋)满足a 1=2,a 2=4,则a 3= .2=a+m a =2 a =-1 ［解析］ ∵a 1=2,a 2=4, ∴ , ∴ （舍去）或 ,4=a 2+m m =0 m =3∴a 3=(-1) 3+3=2. 三、解答题 6.证明数列｛)1(1+n n ｝是递减数列.［证明］ 令a n =)1(1+n n ，∴a n +1-a n =)2)(1(1++n n -)1(1+n n=n n n n ⋅++)2)(1(-)2()1(2+⋅++n n n n=-)2)(1(2++n n n <0,∴a n +1<a n .所以数列｛)1(1+n n ｝是递减数列.课后强化作业一、选择题1.已知数列{a n }满足a n +1-a n -3=0，则数列{a n }是（ ）A.递增数列B.递减数列C.常数列D.不能确定 ［答案］ A［解析］ 由条件得a n +1-a n =3>0可知a n +1>a n ， 所以数列{a n }是递增数列.2.设a n =-n 2+10n +11，则数列{a n }的最大项为（ ）A.5B.11C.10或11D.36 ［答案］ D［解析］ ∵a n =-n 2+10n +11=-(n -5) 2+36, ∴当n =5时，a n 取最大值36.3.数列｛a n ｝中，a 1=0，以后各项由公式a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2给出，则a 3+a 5等于（ ） A.925 B. 1625 C. 1661 D. 1531 ［答案］ C［解析］ ∵a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2, ∴a 1·a 2·a 3=9,a 1·a 2=4,∴a 3＝49. 同理a =25,∴a +a =9+25=61.4.已知数列{a n }的通项公式a n =lg1536-(n -1)lg2，则使得a n <0成立的最小正整数n 的值为（ ） A.11 B.13 C.15 D.12 ［答案］ D［解析］ lg1536-lg2n -1<0,lg1536<lg2n -1, 即2n -1>1536,代入验证得答案为D. 5.已知数列{a n }中，a 1=1,a 2=3，a n =a n -1+21 n a (n ≥3)，则a 5=（ ）A.1255 B. 313 C.4 D.5［答案］ A ［解析］ a 3=a 2+11a =3+1=4. a 4=a 3+21a =4+31=313.a 5=a 4+31a =313+41=1255. 6.在数列{a n }中，a 1=1,a n ·a n -1=a n -1+(-1) n (n ≥2)，则53a a 的值是（ ） A.21 B. 32 C. 43 D. 54 ［答案］ C［解析］ ∵a 1=1,∴a 2=1+1=2,a 3a 2=a 2+(-1) 3=2+(-1)=1,∴a 3=21, 又a 3a 4=a 3+(-1) 4,∴a 4=3, ∵a 4a 5=a 4+(-1) 5=2,∴a 5=32, ∴53a a=3221=43. 7.已知S k 表示数列的前k 项和，且S k +S k +1=a k +1 (k ∈N +)，那么此数列是（ ） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 ［答案］ C［解析］ ∵a k +1=S k +1-S k =S k +S k +1， ∴S k =0(k ∈N +).可知此数列每一项均为0， 即a n =0是常数列.8.已知数列{a n }的通项公式为a n =（43）n -1［（43）n -1-1］，则关于a n 的最大项，最小项叙述正确的是（ ） A.最大项为a 1,最小项为a 3 B.最大项为a 1,最小项不存在 C.最大项不存在，最小项为a 3 D.最大项为a 1，最小项为a 4 ［答案］ A ［解析］ 令t =（43）n -1，则它在N +上递减且0<t ≤1，而a n =t 2-t ，在0<t ≤21时递减，在t ≥21时递增，且n =1时，t =1，n =2时，t =43，n =3时，t =169，n =4时，t =6427，且a 4>a 3，故选A. 二、填空题9.已知数列{a n }的通项公式a n =n 2-4n -12（n ∈N +），则 （1）这个数列的第四项是 ； （2）65是这个数列的第 项； （3）这个数列从第 项起以后各项为正数. ［答案］ －12 11 7［解析］ (1)a 4=42-4×4-12＝-12. (2)令65＝n 2-4n -12,∴n 2-4n -77=0, ∴n =11或n =-7(舍去). 故65是这个数列的第11项. （3）令n 2-4n -12>0,得n >6或n <2. ∴这个数列从第7项起各项为正数. 10.已知数列{a n }的通项a n =cnb na+ (a 、b 、c 都是正实数)，则a n 与a n +1的大小关系是 .［答案］ a n +1>a n［解析］ ∵a,b,c 均为实数，f (x )=cbx ax+=xc b a +在(0,+∞)上是增函数，故数列a n =cbn an+在n ∈N +时为递增数列，∴a n <a n +1.11.已知｛a n ｝是递增数列，且对任意的自然数n (n ≥1)，都有a n =n 2+λn 恒成立，则实数λ的取值范围为 . ［答案］ λ>-3［解析］ 由｛a n ｝为递增数列，得a n +1-a n =(n +1) 2+λ(n +1)-n 2-λn =2n +1+λ>0恒成立， 即λ>-2n -1在n ≥1时恒成立， 令f (n )=-2n -1,f (n ) max =-3. 只需λ>f (n ) max =-3即可.(1)该数列有无限多个正数项；(2)该数列有无限多个负数项；(3)该数列的最大项就是函数f (x )=-2x 2+13x 的最大值；(4)-70是该数列中的一项.其中正确的说法有 .（把所有正确的序号都填上）［答案］ (2)(4)［解析］ 令-2n 2+13n >0，得0<n <213，故数列{a n }有6项是正数项，有无限个负数项.当n =3时，数列{a n }取到最大值，而当x =3.25时函数f (x )取到最大值.令-2n 2+13n =-70，得n =10，或n =-27（舍去）.即-70是该数列的第10项. 三、解答题13.已知数列1，2，37，25，513，…. （1）写出这个数列的一个通项公式a n ;（2）判断数列｛a n ｝的增减性.［解析］ （1）数列1，2，37，25，513，….可变为11，24，37，410，513，….观察该数列可知，每一项的分母恰与该项序号n 对应，而分子比序号n 的3倍少2， ∴a n =n n 23-. (2)∵a n =n n 23-=3-n2, ∴a n +1=3-12+n , ∴a n +1-a n =3-12+n -3+n 2=n 2-12+n =)1(2+n n >0, ∴a n +1>a n .故数列｛a n ｝为递增数列. 14.根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图像表示出来.(1)a n =(-1) n +2;(2)a n =nn 1+. ［解析］ (1)a 1=1,a 2=3,a 3=1,a 4=3,a 5=1.图像如图1.(2)a 1=2,a 2=23,a 3=34,a 4=45,a 5=56.图像如图2.15.已知数列｛a n ｝,a 1=2,a n +1=2a n ，写出数列的前4项，猜想a n ,并加以证明.［证明］ 由a 1=2,a n +1=2a n ,得a 2=2a 1=4=22,a 3=2a 2=2·22=23, a 4=2a 3=2·23=24.猜想a n =2n (n ∈N +).证明如下：由a 1=2,a n +1=2a n , 得1-n n a a =21--n n a a =…=23a a =12a a =2. ∴a n =1-n n a a ·21--n n a a …23a a ·12a a ·a 1=2·2…2·2＝2n . 16.已知函数f (x )= 122+x x ,设f (n )=a n (n ∈N +).求证：21≤a n <1. ［解析］ 解法一：因为a n -1=122+n n -1=-112+n <0, a n -21=122+n n -21＝)1(2122+-n n ≥0, 所以21≤a n <1. 解法二：a n =122+n n =11122+-+n n =1-112+n <1, a n +1-a n =1)1()1(22+++n n -122+n n =]1)1[()1(]1)1[()1()1(222222++⋅+++⋅-+⋅+n n n n n n =]1)1[()1(1222++⋅++n n n . 由n ∈N +得a n +1-a n >0，即a n +1>a n , 所以数列{a n }是递增数列. 所以a n 的最小值为a 1=21,即a n ≥21. 所以21≤a n <1.。
数列使用课时数 1 课时一、授课目的：1．理解数列的看法。
2．能由通项公式求前n 项，并能判断某个数是否是数列中的项。
3．能依照数列的前n 项写出它的一个通项公式。
二、导入新课：某剧场有30 排座位，第一排有20 个座位，从第二排起，后一排都比前一排多 2 个座位，那么各排座位数依次为20， 22， 24 ， 26， 28，,,某种细胞若是每分钟一个分裂为 2 个，那么每过一分钟 1 个细胞分裂的个数依次为 1， 2， 4，8， 16，,,某人买回一对兔子，一年后长成一对大兔子。
再过一年，大兔子生了一对小兔子。
再过一年小兔子长成了大兔子，大兔子又生了一对小兔子。
这样连续，每年的兔子对数依次为1，1， 2，3， 5， 8，,,从 1984 年到 2008 年，我国共参加了 7 次奥运会，各次参赛得的金牌总数依次为 15， 5， 16， 16， 28， 32， 51。
回答我国古代用诗歌形式提出的一个数列问题：瞭望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？三、看法1．叫做数列，叫做这个数列的项。
记号：数列简记为，数列的第 n 项记为。
2．依照数列的项数可以把数列分为和。
3．数列与函数的关系：数列可以看作即a n f n 。
4．数列的通项公式：。
5．数列的表示方法：、、。
数列用图像法表示：在直角坐标系中的为横坐标，为纵坐标描点画图，其图像是一些，它们位于。
四、例讲【例 1】已知数列a n的第 n 项 a n为2n1，写出这个数列的首项、第 2 项和第 3 项。
练习：1．已知数列a n中的首项为 a11，且满足a n 11a n1，则此数列的第三项是。
22n2．已知数列a的通项公式为a2n229n 3 ，则数列 a 中最大项是第项，n n n其值为。
3．数列a n的通项公式为a n n2 5n 4，则数列中有多少项是负数？。
【例 2】已知数列a n的通项公式，写出这个数列的前 5 项，并作出它的图像。
数列导学案12§2.1 数列的概念及简单表示（一）3【学习要求】41．理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型．52．探索并掌握数列的几种简单表示法．63．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．7【学法指导】81．在理解数列概念时，应区分数列与集合两个不同的概念．92．类比函数的表示方法来理解数列的几种表示方法．103．由数列的前几项，写出数列的一个通项公式是本节的难点之一，突破难点的方法：把序号标在项的旁边，观察项与序号的关系，从而写出通项公式．1112【知识要点】131．按照一定顺序排列的一列数称为，数列中的每一个数叫做这个数列的．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做1415___项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数16列的第项．172．数列的一般形式可以写成a1,a2,…,a n,…,简记为．183．项数有限的数列叫做数列，项数无限的数列叫做_____数列．194．如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的公式．20【问题探究】21探究点一数列的概念22问题先看下面的几组例子：23（1）全体自然数按从小到大排成一列数：0,1,2,3,4，…；24（2）正整数1,2,3,4,5的倒数排成一列数：1，12，13，14，15；25（3）π精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值排成一列数：263,3.1,3.14,3.141，…；27（4）无穷多个1排成一列数：1,1,1,1,1，…；28（5）当n分别取1,2,3,4,5，…时，(－1)n的值排成一列数：－1,1，－1,1，－1，….29请你根据上面的例子尝试给数列下个定义．30探究数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有怎样的性质？31探究点二数列的几种表示方法32问题数列的一般形式是什么？回忆一下函数的表示方法，想一想除了列举法外，33数列还有哪些表示方法？34探究下面是用列举法给出的数列，请你根据题目要求补充完整．35（1）数列：1,3,5,7,9，…36①用公式法表示：a n＝；37②用列表法表示：38（2）数列：1，12，13，14，15，…39①用公式法表示：a n＝.40②用列表法表示：41③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出)：42探究点三数列的通项公式43问题什么叫做数列的通项公式？谈谈你对数列通项公式的理解？44探究根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察数列的特征，并进行联45想、转化、归纳，同时要熟悉一些常见数列的通项公式．下表中的一些基本数列，你46能准确快速地写出它们的通项公式吗？472,4,6,8，…a n＝1,2,4,8，…a n＝1,4,9,16，…a n＝1，12，13，14，…a n＝【典型例题】48例1根据数列的通项公式，分别写出数列的前5项与第2 012项．49（1）a n＝cos nπ2；50（2）b n＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n n＋1.51小结由数列的通项公式可以求出数列的指定项，要注意n＝1,2,3，….如果数列的52通项公式较为复杂，应考虑运算化简后再求值．53跟踪训练1根据下面数列的通项公式，写出它的前4项．54（1）a n＝2n＋1；（2）b n＝2)1(1n-+5556例2根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：57（1）1，－3,5，－7,9，…； 58 （2）12，2，92，8，252，…；59（3）9,99,999,9 999，…； 60 （4）0,1,0,1，….61 小结 据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特62 征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的63 符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳． 64 跟踪训练2 写出下列数列的一个通项公式： 65（1）212，414，618，8116，…；66（2）0.9,0.99,0.999,0.999 9，…； 67（3）－12，16，－112，120，….6869例3 已知数列{a n }的通项公式a n ＝－1nn ＋12n －12n ＋1.70 （1）写出它的第10项；71 （2）判断233是不是该数列中的项．72小结 判断某数列是否为数列中的项，只需将它代入通项公式中求n 的值，若存在73正整数n，则说明该数是数列中的项，否则就不是该数列中的项．74跟踪训练3已知数列{a n}的通项公式为a n＝1n n＋2(n∈N*)，那么1120是这个数列75的第______项．7677【当堂检测】781．下列叙述正确的是 ( )79A．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列 B．数列0,1,2,3，…可以表示为{n} 80C．数列0,1,0,1，…是常数列 D．数列{nn＋1}是递增数列812．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5，7，___，11，….823．已知下列数列：83（1）2 000,2 004,2 008,2 012；（2）0，12，23，…，n－1n，…；84（3）1，12，14，…，12n－1，…；（4）1，－23，35，…，－1n－1·n2n－1，…；85（5）1,0，－1，…，sin nπ2，…；（6）6,6,6,6,6,6.86其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数87列是________，常数列是________，摆动数列是________，周期数列是________．(将88合理的序号填在横线上)89【拓展提高】904．写出下列数列的一个通项公式：91（1）a，b，a，b，…；92（2）－1，85，－157，249，….93【课堂小结】941．{a n}与a n是不同的两种表示，{a n}表示数列a1，a2，…，a n，…，是数列的一种简95记形式．而a n只表示数列{a n}的第n项，a n与{a n}是“个体”与“整体”的从属关系．962．数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．973．由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联98系．同时，要善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到问题99的解决．100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139§2.1 数列的概念及简单表示（二）140【学习要求】1411．理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．1422．能从函数的观点研究数列，掌握数列的一些简单性质．143【学法指导】1441．数列的递推公式是给出数列的另一重要形式．一般只要给出数列的首项或前几项145以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项．2．由于数列可以看作是一类特殊的函数，因此许多函数的性质可以应用到数列中．例146147如，数列的单调性、数列的最值、数列的周期性都可以类比函数的性质．【知识要点】1481．如果数列{a n}的第1项或前几项已知，并且数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n 149－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的150公式．1512．数列可以看作是一个定义域为 (或它的有限子集{1,2,3，…，n})的152函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列．1533．一般地，一个数列{a n}，如果从起，每一项都大于它的前一项，那么这个154数列叫做数列．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，那么这个数列叫做155数列．如果数列{a n}的各项都，那么这个数列叫做常数列．1564．已知数列{a n}满足：a1＝1，a n＋1－a n＝1，则a n＝，从单调性来看，数列是单调157数列．158【问题探究】159公元前13世纪意大利数学家斐波那契的名著《算盘全书》中，记载了一个著名的问160题，某人有一对新生的兔子饲养在围墙中，如果它们每个月生一对兔子，且新生的兔161子从第三个月开始也是每个月生一对兔子，问一年后围墙中共有多少对兔子？该问题162在原书中作了分析：第一个月和第二个月都是最初的一对兔子，第三个月生下一对兔163子，围墙内共有两对兔子，第四个月仍是最初的一对兔子生下一对兔子，共有3对兔164子．到第五个月除最初的兔子新生一对兔子外，第一个月生的兔子也开始生兔子，因165此共有5对兔子．继续推下去，第12个月时最终共有144对兔子．书中还提出，每个166月的兔子总数可由前两个月的兔子数相加而得．据载首先是由19世纪法国数学家吕卡167将级数{a n}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，a n＋1＝a n＋a n－1命名为斐波那契数列，它在数168学的许多分支中有广泛应用．数列的这种表达形式，是用前面的项来表达后面的项，169我们称之为数列的递推公式，数列的递推公式有什么应用呢？这一节我们就来学习数170列的递推公式．171探究点一数列的函数特性172问题数列是一种特殊的函数，与函数相比，数列的特殊性表现在哪些方面？谈谈173你的认识．174探究1 数列的单调性175下面给出了一些数列的图象：176177an ＝2n－1178 179a n ＝1 n180181a n ＝(－1)n182观察上述数列项的取值的变化规律，请类比单调函数的定义，把下列单调数列的定183义补充完整．一般地，一个数列{a n}，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，184即，那么这个数列叫做递增数列；如果从第2项起，每一项都小于它前面的185一项，即，那么这个数列叫做递减数列；如果数列{a n}的各项都相等，那么186这个数列叫做常数列．187因此，要证明数列{a n}是单调递增数列，只需证明a n＋1－a n 0；要证明数列{a n}是单188调递减数列，只需证明a n＋1－a n 0.189探究2 数列的周期性190已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，a n＋2＝a n＋1－a n，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发191现数列{a n}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 012项是多少？192193探究点二由简单的递推公式求通项公式194问题递推公式与通项公式，都可以用来写出数列中的任意项，都是给出数列的一195种方法，那么它们究竟有什么不同呢？196探究1 对于任意数列{a n}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a n－a n－1)＝a n都成197立．试根据这一结论，求解下列问题．198已知数列{a n}满足：a1＝1，a n＋1－a n＝2，试求通项a n. 199探究2若数列{a n}中各项均不为零，则有：a1·a2a1·a3a2·…·anan－1＝a n成立．试根据200这一结论求解下列问题．201已知数列{a n}满足：a1＝1，anan－1＝n－1n(n≥2)，试求通项a n.202【典型例题】203例1在数列{a n}中，已知a1＝2，a2＝3，a n＋2＝3a n＋1－2a n(n≥1)，写出此数列的前6 204项．205小结已知数列递推公式求数列通项时，依次将项数n的值代入即可．206跟踪训练1已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝23，1an－2＋1an＝2an－1(n∈N*，n≥3)，求a3，207a4.208 209例2已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2n2＋1.求证：数列{a n}为递增数列．210小结数列是一种特殊的函数，因此可用函数单调性的方法来研究数列的单调性．211跟踪训练2已知数列{a n}的通项公式是a n＝anbn＋1，其中a、b均为正常数，那么a n212与a n＋1的大小关系是 ( )213A．a n>a n＋1B．a n<a n＋1 C．a n＝a n＋1D．与n的取值相关214215 例3 已知a n ＝9nn ＋110n(n ∈N *)，试问数列{a n }中有没有最大项？如果有，求出216 这个最大项；如果没有，说明理由．217 小结 数列的最大、最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决，若求最大218 项a n ，n 的值可通过解不等式组⎩⎨⎧a n ≥a n －1a n ≥a n ＋1来确定；若求最小项a n ，n 的值可通过解不219等式组⎩⎨⎧a n ≤a n －1a n ≤a n ＋1来确定．220跟踪训练3 在数列{a n }中，a n ＝n 3－an ，若数列{a n }为递增数列，试确定实数a 的取221 值范围．222223 【当堂检测】224 1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )225 A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．不能确定 226 2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )227 A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N *B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2 228 C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2 D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥2 229 3．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列中最大项的值是( )230A ．107B ．108C ．10818D ．1092312324．已知数列{a n}满足a1＝2，a n＋1－a n＋1＝0(n∈N＋)，则此数列的通项a n等于 ( ) 233A．n2＋1 B．n＋1 C．1－n D．3－n 234235【课堂小结】2361．同数列的通项公式一样，数列的递推公式也是表示数列的常用方法之一．递推公237式法与通项公式法统称为公式法．2382．函数与数列的联系与区别239一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、240函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．241另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N*或它的有限子集242{1,2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函243数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性244时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即a n>a n－1)，则图象245呈上升趋势，即数列递增，即{a n}递增⇔a n＋1>a n对任意的n (n∈N*)都成立．类似地，246有{a n}递减⇔a n＋1<a n对任意的n(n∈N*)都成立．【拓展提高】247248249250§2.2 等差数列（一）251252【学习要求】2531．理解等差数列的意义．2542．会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题．2553．掌握等差中项的概念，深化认识并能运用．256【学法指导】2571．要善于通过实例的观察、分析、归纳、提炼来理解等差数列的概念，同时，还应258准确理解等差数列的关键词“从第2项起”，“差是一个常数”等；要善于用归纳或259叠加法探求等差数列的通项公式．2602．利用a n＋1－a n＝d(n∈N＋)可以帮助我们判断一个数列是否为等差数列．261262【知识要点】2631．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做数列，这个常数叫做等差数列的，公差通常用字母d表示．2642652．若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的_________，并且A＝ .2663．若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项a n＝________.4．等差数列{a n}中，若公差d>0，则数列{a n}为数列；若公差d<0，则数列{a n} 267268为数列．269【问题探究】2701．1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星运动的轨迹和1531年、1607年的彗271星的运动轨迹惊人地相似，便大胆断定这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年272后再度回归．这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年．请你查找资料，列273出哈雷彗星的回归时间表，并预测它在本世纪回归的时间．274哈雷彗星的回归时间表(单位：年)1607,1682,1759,1835,1910,1986,2061，….275预测它在本世纪回归的时间是2061年．2762．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如277因故不能举行，届数照算．这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么278特征呢？这个数列叫什么数列呢？279这个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，像这样的数列280叫做等差数列．等差数列有很多的应用，这一节我们就来学习等差数列及其通项公式．281探究点一等差数列的概念282问题1我们先看下面几组数列：（1）3,4,5,6,7，…；283284（2）6,3,0，－3，－6，…；285（3）1.1,2.2,3.3,4.4,5.5，…；（4）－1，－1，－1，－1，－1，….286287观察上述数列，我们发现这几组数列的共同特点是288问题2判断下列数列是否为等差数列，如果是，指出首项a1和公差d；如果不是，289请说明理由：290（1）4,7,10,13,16，…；291（2）31,25,19,13,7，…；（3）0,0,0,0,0，…；292（4）a，a－b，a－2b，…；293（5）1,2,5,8,11，….294探究如何准确把握等差数列的概念？谈谈你的理解．295探究点二等差数列的通项公式296问题如果等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，你能用两种方法求其通项吗？297探究1根据等差数列的定义：a n＋1＝a n＋d，可以依次得到a1，a2，a3，a4，…，然后298观察规律，归纳概括出通项公式a n.299探究2由等差数列的定义知：a n－a n－1＝d(n≥2)，可以采用叠加法得到通项公式a n. 300探究点三等差中项301问题1如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，试用x，302y表示A.303探究若数列{a n}满足：a n＋1＝an＋a n＋22，求证：{a n}是等差数列．304【典型例题】305例1已知{a n}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式．306（1）a3＝5，a7＝13；307（2）前三项为：a,2a－1,3－a.308小结在等差数列{a n}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问309题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但310是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．311跟踪训练1若{a n}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.312313例2已知1a ，1b，1c成等差数列，求证：b＋ca，a＋cb，a＋bc也成等差数列．314跟踪训练2已知a，b，c成等差数列，那么a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)是否能315构成等差数列？316317例3梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度318成等差数列，计算中间各级的宽度．319跟踪训练3 在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降320某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5℃,5 km高度的气温是-17.5℃，求2 km，3214 km，8 km高度的气温.322323【当堂检测】3241．若数列{a n}满足3a n＋1＝3a n＋1，则数列是 ( )325A．公差为1的等差数列 B．公差为13的等差数列326C．公差为－13的等差数列 D．不是等差数列3272．若a b s，则等差数列a，x1，x2，b的公差是 ( ) 328A．b－a B．b－a2C．b－a3D．b－a43293．在等差数列{a n}中，330（1）已知a1＝2，d＝3，n＝10，则a n＝___；331（2）已知a1＝3，d＝2，a n＝21，则n＝___；332（3）已知a1＝12，a6＝27，则d＝___；333（4）已知d＝－13，a7＝8，则a1＝___.3344．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：335（1）你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？336（2）利用建立的模型计算，甲虫1 min能爬多远？它爬行49 cm需要多长时间？337338【课堂小结】3391．等差数列的判定关键要看a n＋1－a n(n∈N*)是否为一个与n无关的常数．由于a n＋1 340341－a n＝a n＋2－a n＋1⇔2a n＋1＝a n＋a n＋2，所以也可以利用2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)来判定等差数342列．注意数列的项中含有字母时是否需要分类讨论．2．等差数列的通项公式及其变形a n＝a1＋(n－1)d＝a m＋(n－m)d的应用极其灵活，343344公式中的四个量a1，a n，n，d中知三可求一．充分利用等差数列的函数特性可使解题345过程更为简捷．3463．数列的应用题在数列中占有很重要的地位．347【拓展提高】348349350351§2.2 等差数列（二）352【学习要求】3531．能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质．3542．能运用等差数列的性质解决有关问题．355【学法指导】3561．灵活运用等差数列的性质，可以减少计算量，因此要熟练掌握等差数列的有关性357质．3582．掌握等差数列与一次函数之间的关系，就能站在较高的角度整体把握等差数列的359内涵和本质．360【知识要点】3613621．等差数列的通项公式：a n＝.3632．等差数列的项的对称性：有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即：a1＋a n＝a2＋＝…＝a k＋.3643653．等差数列的性质366（1）若{a n}是等差数列，且k＋l＝m＋n(k、l、m、n∈N*)，则.367（2）若{a n}是等差数列，且公差为d，则{a2n－1}和{a2n}都是等差数列，且公差为 . 368（3）若{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p、q是常数) 369是公差为的等差数列．370【问题探究】371372探究点一等差数列的常用性质373问题设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则有下列性质：374375（1）若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.376（2）若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则a m＋a n＝2a k.377请你给出证明．378探究已知等差数列{a n}、{b n}分别是公差为d和d′，则由{a n}及{b n}生成的“新数379列”具有以下性质，请你补充完整．①{a n}是等差数列，则a1，a3，a5，…仍成等差数列(首项不一定选a1)，公差为；380381②下标成等差数列且公差为m的项a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为的382等差数列；383③数列{λa n＋b}(λ，b是常数)是公差为的等差数列；384④数列{a n＋b n}仍是等差数列，公差为；385⑤数列{λa n＋μb n}(λ,μ是常数)仍是等差数列,公差为 .探究点二等差数列与一次函数的联系386387探究由于等差数列{a n}的通项公式a n＝dn＋(a1－d)，与一次函数对比可知，公差d本质上是相应直线的斜率．如a m，a n是等差数列{a n}中的任意两项，由a n＝a m＋(n－m)d，388389可知点(n，a n)分布以为斜率，以为纵截距的直线上．390请你类比一次函数的单调性，研究等差数列的单调性，并完成下表.【典型例题】391392例1在等差数列{a n}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．393小结解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{a n}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am ＋a n＝a p＋a q＝2a w(m，n，p，q，w都是正整数)；二是利用通项公式转化为394数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方395程的思想．396跟踪训练1已知等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公397式．398399例2三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数．400小结利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算．一般地有如下规律：当等401差数列{a n}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…a 402－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，403再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算404量．405跟踪训练2四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两数的积为－8，求406这四个数．407408例3已知数列{a n}，满足a1＝2，a n＋1＝2a nan＋2.409（1）数列{1a n }是否为等差数列？说明理由．410（2）求a n.411小结判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义：a n＋1－a n＝d(d为常数)，也412可以用a n＋1－a n＝a n－a n－1(n≥2)进行判断．本题属于“生成数列问题”，关键是形成整413体代换的思想方法，运用方程思想求通项公式．414跟踪训练3正项数列{a n}中，a1＝1，a n＋1－a n＋1＝a n＋a n. 415（1）数列{a n}是否为等差数列？说明理由．416（2）求a n.417418【当堂检测】4191．等差数列{a n}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于( ) 420A．3 B．－3 C．32D．－324212．等差数列{a n}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d＝____4223．已知等差数列{a n}中，a2＋a3＋a10＋a11＝36，求a5＋a84234．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这424三个数．425【课堂小结】4261．判断一个数列{a n}是否是等差数列，关键是看a n＋1－a n是否是一个与n无关的常数．4272．三个数成等差数列可设为：a－d，a，a＋d或a，a＋d，a＋2d；四个数成等差数428列可设为：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a，a＋d，a＋2d，a＋3d.4293．在等差数列{a n}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，430如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，431要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．432【拓展提高】433434435§2.3等差数列前n项和（一）436【学习要求】4371．理解等差数列前n项和公式的推导过程．4382．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，a n，S n的关系，能够由其中三个求另外两439个．4403．掌握等差数列前n项和公式及性质的应用．441【学法指导】4421．运用等差数列的前n项和公式的关键在于准确把握它们的结构特征，这样才能根443据具体情境(已知条件和待求目标)选用恰当的公式解决问题．4442．要善于从推导等差数列的前n项和公式中，归纳总结出一般的求和方法——倒序445相加法．446【知识要点】4471．把a1＋a2＋…＋a n叫数列{a n}的前n项和，记做.例如a1＋a2＋…＋a16可以记448做；a1＋a2＋a3＋…＋a n－1＝(n≥2)．4492．若{a n}是等差数列，则S n可以用首项a1和末项a n表示为S n＝；若首项为450a1，公差为d，则S n可以表示为S n＝4513．写出下列常见等差数列的前n项和452（1）1＋2＋3＋…＋n＝．453（2）1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝.454（3）2＋4＋6＋…＋2n＝.4554．等差数列{a n}中456（1）已知d＝2，n＝15，a n＝－10，则S n＝________；457（2）已知a1＝20，a n＝54，S n＝999，则d＝________；458（3）已知a1＝56，d＝－16，S n＝－5，则n＝_______459【问题探究】460“数学王子”高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学461家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名．高斯十岁那年，老师布置了一道很繁杂462的计算题，要求学生把1到100的所有整数加起来，老师刚叙述完题目，高斯即刻把463写着答案的小石板交了上去．老师起初并不在意这一举动，但当他发现全班唯一正确464的答案属于高斯时，才大吃一惊．而更使人吃惊的是高斯的算法，他发现：第一个数465加最后一个数的和是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，…共有50对这样466的数，用101乘以50得到5 050，这种算法是教师未曾教过的方法，高斯自己就想出467来了，那么这是一个什么样的方法呢？它用于解决什么类型的问题呢？468这种方法叫倒序相加法，是等差数列求和的一种重要方法，这一节我们就来学习等469差数列的求和方法．470探究点一等差数列前n项和公式的推导471问题求和：1＋2＋3＋…＋100＝？472对于这个问题，著名数学家高斯十岁时就能很快求出它的结果．当时他的思路和解473答方法是：S＝1＋2＋3＋…＋99＋100，把加数倒序写一遍：S＝100＋99＋98＋…＋2 474＋1.475所以有2S＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(99＋2)＋(100＋1)＝100×101，∴S＝47650×101＝5 050.477请你利用“高斯的算法”求1＋2＋3＋…＋n＝？478探究设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，你能利用“倒序相加法”求等差数列479{a n}的前n项和S n吗？480探究点二等差数列前n项和的性质481探究1设{a n}是等差数列，公差为d，S n是前n项和，易知a1＋a2＋…＋a m，a m＋1＋482a m＋2＋…＋a2m，a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m也成等差数列，公差为.上述性质可以用前n项483和符号S n表述为：若{a n}成等差数列，则S m，，_________也成等差数列．484探究2若数列{a n}是公差为d的等差数列，求证：数列{Snn}也是等差数列．485探究3设S n、T n分别为两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和，证明：anbn＝S2n－1T2n－1.486【典型例题】487例1在等差数列{a n}中，已知d＝2，a n＝11，S n＝35，求a1和n. 488小结 在解决等差数列问题时，如已知a 1，a n ，n ，d ，S n 中任意三个，可求其余两个，489 这种问题在数学上常称为“知三求二”型． 490 跟踪训练1 已知等差数列{a n }中，491（1）a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ；492（2）a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .493 例2 （1）等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项494 的和S 3m ；495（2）两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．496 小结 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁497 为简、化难为易、事半功倍的效果．498 跟踪训练2 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n499 为数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 的前n 项和，求T n .500例3 甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以501 后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m. 502 （1）甲、乙开始运动后几分钟相遇？503 （2）如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙504 继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？505 小结 建立等差数列的模型时，注意相遇时甲、乙两人的路程和是两个等差数列的506前n 项和．507 跟踪训练3 现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可508 能少，那么剩余钢管的根数为( ) 509 A ．9B ．10C ．19D ．29510 【当堂检测】511 1．记等差数列前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于 ( ) 512 A ．2B ．3C ．6D ．7513 2．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于 ( ) 514 A ．18B ．27C ．36D ．45515 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝84，S 20＝460，则S 6＝________. 516 4．已知等差数列{a n }的前3项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k . 517 【课堂小结】518 1．求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法．519 2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，通常已知其中520 三个量，可求另外两个量．521在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a 1及末项a n ，用公式S n ＝n a 1＋a n2较522 好，若已知首项a 1及公差d ，用公式S n ＝na 1＋n n －12d 较好．5233．等差数列的性质比较多，学习时，不必死记硬背，可以在结合推导过程中加强记524 忆，并在解题中熟练灵活地应用． 525526 【拓展提高】 527 528529 §2.3等差数列前n 项和（二）530 【学习要求】531 1．熟练掌握等差数列前n 项和的性质，并能灵活运用． 532 2．掌握等差数列前n 项和的最值问题． 533 3．理解a n 与S n 的关系，能根据S n 求a n . 534 【学法指导】535 1．任何一个数列{a n }与它的前n 项和S n 之间都有一个等量关系式，此公式为：a n ＝536 ⎩⎨⎧S 1 n ＝1，S n －S n －1n ≥2，题中已知一个数列的前n 项和，则可利用此公式求得此数537 列的通项公式，同时要注意此公式是一个分段的函数，所以在使用此公式求解时，要538 分类讨论．539 2．数列中的最值问题可以根据二次函数的最值加以求解，这也是利用函数解决数列540 问题的一个重要应用．541 3．等差数列的前n 项和与二次函数联系十分紧密，要辨析它们之间的关系，从更高542 境界处理等差数列的前n 项和问题．543。
