2020届上海市浦东新区高三下学期教学质量检测数学试题C卷

1浦东新区2020学年度第二学期期中教学质量监测高三数学试卷2020.05一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．设全集{}210,,U =，集合{}10,A =，则=A U C ．2. 某次考试，5名同学的成绩分别为：115,108,95,100,96，则这组数据的中位数为 ．3. 若函数()21x x f =，则()=-11f．4. 若i -1是关于x 的方程02=++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q ,p ∈），则=+q p ．5.若两个球的表面积之比为41:则这两个球的体积之比为 ．6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t x ⎩⎨⎧=-=1，圆O 的参数方程为()为参数θ⎩⎨⎧θ=θ=sin y cos x ，则直线l 与圆O 的位置关系是 ．7. 若二项式()421x+展开式的第4项的值为24，则()=++++∞→nn xx x x Λ32lim 51 ．8. 已知双曲线的渐近线方程为x y ±=，且右焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则这个双曲线的方程是____________.9. 从()4N ≥∈*m m m ，且个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果A 的概率和B 的概率相等，则=m ．10. 已知函数()()22222-+++=a x log a x x f 的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为 ．211. 如图，在ABC ∆中，3π=∠BAC ，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足AB AC t AP 31+=，若ABC ∆的面积为233，则AP 的最小值为 . 12.已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，对任何正整数n 均有221n n n n n a a b a b +=+++，221n n n n n b a b a b +=+-+，设113n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．若x 、y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ， 则目标函数y x f +=2的最大值为( )A ． 1B ． 2C ． 3 D. 4 14. 如图，正方体ABCD D C B A -1111中，E 、F 分别为棱A A 1、BC 上的点，在平面11A ADD 内且与平面DEF 平行的直线( )A ． 有一条B ． 有二条C ． 有无数条 D. 不存在15. 已知函数()x cos x cos x f ⋅=.给出下列结论：①()x f 是周期函数； ② 函数()x f 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③ 若()()21x f x f =，则()Z k k x x ∈π=+21；④ 不等式x cos x cos x sin x sin π⋅π>π⋅π2222的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k ,k x k x 8581. 则正确结论的序号是 ( )3A ． ① ②B ． ② ③ ④C ． ① ③ ④ D. ① ② ④ 16. 设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径. 那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为( ) A ． 711949⋅ B ． 7021949⋅ C ． 702371949⋅⋅ D. 702721949⋅⋅三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分. 如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转ο120得到的．（1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BE BP ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知锐角βα、的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q 两点的横坐标分别为55210103、． （1）求()β+αcos 的大小；（2） 在ABC ∆中，c b a 、、为三个内角C B A 、、对应的边长，若已知角β+α=C ，43=A tan ，且22c bc a +λ=，求λ的值．。

2020 年上海市浦东新区高考数学三模试卷题号 一二三总分得分、选择题（本大题共 4 小题，共 12.0分）的图象，关于函数 g （ x ），下列说法正确的是定义：在平面直角坐标系 xOy 中，设点 P （x 1，y 1）， Q （x 2，y 2），则 d （P ，Q ）=|x 1-x 2|+|y 1-y 2| 叫做 P 、Q 两点的“垂直距离”，已知点 ax+by+c=0 上一动点，则 M 、N 两点的7. 抛物线 y=2x 2的准线方程为 _ ．8. 若圆柱的高为 π，体积为 π2，则其侧面展开图的周长为9. 三阶行列式 中，第 2行第 1列元素 2019的代数余子式的值是 9，则 x= ________1. 设 x> 0，则“ a=1”是“恒成立”的）条件A. 充分不必要 C. B . 必要不充分 既不充分也不必要2.已知函数 ，把函数 f （ x ）的图象沿 x 轴向左平移 个单位，得到函数 g （x ）3. A.B. C.D.在 [ ， ]上是增函数 其图象关于直线 x=- 对称函数 g （ x ）是奇函数 当 x ∈[0， ]时，函数 g （ x ）的值域是 [-1， 2] 时，若关于 的方6 个不同的实数根，则实数 的取值范围为（ ）M（x0，y 0）是直线 ax+by+c=0外一定点，点 N 是直线 垂直距离”的最小值为（ ）5. 6. A. B. 12小题，共 36.0分） C. 、填空题（本大题共 已知集合 A={x|x 2+4x+3≥0，} B={ x|2x <1} ，则 A ∩B=设复数 ，其中 i 为虚数单位，则 Imz = D. |ax 0+by 0+c|4.已知函数 是定义在 R 上的偶函数，当10.现有 10个数，它们能构成一个以 1 为首项， -3 为公比的等比数列，若从这 10个数中随机抽取一个数，则它小于 8 的概率是_11.在展开式中， x4项的系数为____________ （结果用数值表示）12.设无穷等比数列 {a n} 的公比为 q，首项 a1>0，，则公比 q的取值范围是____13.已知平面上的线段 1及点 P，任取 1上的一点 Q，线段 PQ长度的最小值称为点 P 到线段 1的距离，记为 d（P，l）．设 A（-3，1），B（0，1），C（-3，-1），D（2，-1）， L1=AB，L2=CD，若 P（ x， y）满足 d（P，L1）=d（P，L2），则 y 关于 x的函数解析式为圆 O 的半径为 1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为 1的正方形（实14.线所示，正方形的顶点 A与点 P重合）沿圆周逆时针滚动，点 A第一次回到点 P的位置，则点 A 走过的路径的长度为．15.已知数列 {a n}满足：a1=a<0，，n∈N*，数列{ a n}有最大值 M 和最小值m，则的取值范围为___16.凸四边形就是没有角度数大于 180 °的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形 ABCD 中， AB=1，，AC⊥CD ，AC=CD ，当∠ABC 变化时，对角线 BD 的最大值为．三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0分）17.在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， AD∥BC，AB⊥BC 侧面 PAB⊥底面ABCD， PA=AD=AB=2，BC=4．（ 1）若 PB 中点为 E．求证： AE∥平面 PCD ；（ 2）若∠PAB=60°，求直线 BD与平面 PCD 所成角的正弦值．18.上海途安型号出租车价格规定：起步费16元，可行 3千米， 3千米以后按每千米按2.5元计价，可再行 12千米，以后每千米都按 3.8 元计价，假如忽略因交通拥挤而等待的时间．（ 1）请建立车费 y（元）和行车里程 x（千米）之间的函数关系式；（ 2）注意到上海出租车的计价系统是以元为单位计价的，如：小明乘坐途安型号出租车从华师大二附中本部到浦东实验学校走路线一（路线一总长 8.91千米）须付车费 31 元，走路线二（路线二总长 8.71千米）也须付车费 31元，将上述函数解析式进行修正（符号 [x]表示不大于 x的最大整数，符号 { x}表示不小于 x的最小整数），并求小明乘坐途安型号出租车从华师大二附中本部到闵行分校须付车费多少元？（注：两校区路线长31.62 千米）19.函数 f（ x） =mx|x-a|-|x|+1（ 1）若 m=1，a=0，试讨论函数 f（ x）的单调性；（ 2）若 a=1 ，试讨论 f（ x）的零点的个数．20.曲线（a>b>0）的左右焦点分别为 F1（-1，0）、 F2（1，0），短轴长为，点在曲线Γ上，点 Q在直线 l：x=-4 上，且 PF1⊥QF1．（ 1）求曲线Γ的标准方程；（ 2）试通过计算判断直线 PQ 与曲线Γ公共点的个数．（3）若点A（x1，y1）、 B（ x2， y2）在都以线段 F1F2为直径的圆上，且，试求 x2 的取值范围．21.已知数列 { a n}满足，n∈N*，且 0<a1<1．（ 1）求证： 0< a n< 1；（ 2）令 b n=lg（1-a n），且，试求无穷数列的所有项和；3）求证：n∈N*，当 n≥2时，1. 答案： A 解析： 解： ∵x> 0，若 a ≥1，则 x+ ≥2 ≥2恒成立，若“ x+ ≥2恒成立，即 x 2-2x+a ≥0恒成立，22设 f （x ）=x 2-2x+a ，则 △=（ -2） 2-4a ≤0，或 ，解得： a ≥1，故“ a=1”是“ x+ ≥2“恒成立的充分不必要条件， 故选： A ．先求命题“对任意的正数 x ，不等式 x+ ≥2成立”的充要条件， 再利用集合法判断两命题间的充分必 要关系本题考查了命题充要条件的判断方法，求命题充要条件的方法，不等式恒成立问题的解法，转化化 归的思想方法．2. 答案： D解析： 解：把函数 f （ x ）=2sin （ 2x+ ）的图象沿 x 轴向左平移 个单位， + ]=2cos2 x 的图象，显然，函数 g （ x ）是偶函数，故排除 C ．当 x ∈[ ， ]， 2x ∈[ ，π，]函数 g （x ）为减函数，故排除 A ．当 x=- 时， g （ x ）=0，故 g （ x ）的图象不关于直线 x=- 对称，故排除 B ．当 x ∈[0， ]时， 2x ∈[0， ]， cos2x ∈[- ， 1] ，函数 g （ x ）的值域是 [-1，2]， 故选： D ．由条件利用函数 y=Asin （ ωx+φ）的图象变换规律求得 g （x ）的解析式， 再利用余弦函数的图象性质， 得出结论．本题主要考查函数 y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题． 3. 答案： C解析： 【分析】本题主要考查分段函数的应用，利用换元法结合函数奇偶性的对称性，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强．根据函数的奇偶性作出函数 f （ x ）的图象，利用换元法判断答案与解析得到函数 g （ x ）=2sin[2（ x+ ）第 5 页，共14 页函数 t=f（ x）的根的个数，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出函数 f（ x）的图象如图：则 f（ x）在（ -∞， -2）和（ 0， 2）上递增，在（ -2， 0）和（ 2， +∞）上递减，当 x=±2 时，函数取得极f（2）=大值当 x=0 时，取得极小值 0．要使关于 x的方程 [f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有 6个不同实数根，设 t= f （ x），则当 t<0，方程 t=f（x），有 0 个根，当 t=0，方程 t=f（x），有 1 个根，当 0<t≤1或 t= ，方程 t=f（x），有 2 个根，当 1<t< ，方程 t=f（x），有 4 个根，当 t> ，方程 t=f （x），有 0 个根．则 t2+at+b=0 必有两个根 t1、 t2，则有两种情况符合题意：①t1= ，且 t2∈（ 1，），此时 -a=t1+t2，则 a∈（ - ， - ）；②t1∈（0，1] ，t2∈（1，），此时同理可得 a∈（ - ，-1），综上可得 a 的范围是（ - ， - ）∪（ - ， -1），故选： C．4.答案： A 解析：解：∵点M（x0，y0）是直线 ax+by+c=0 外一定点，点 N 是直线ax+by+c=0 上一动点，∴设 N（ - ， - ），M、N两点的“垂直距离”为：| |+|- |∴M、 N两点的“垂直距离”的最小值为故选： A ．此能求出 M 、N 两点的“垂直距离”的最小值． 本题考查考查两点间的垂直距离的最小值的求法，考查垂直距离、直线的参数方程等基础知识，意 在考查学生的转化能力和计算求解能力．5. 答案： {x|-1≤x< 0，或 x ≤-3} 解析： 解： A={ x|x ≤-3，或 x ≥-1} ，B={ x|x< 0} ； ∴A ∩B={x|-1≤x<0，或 x ≤-3} ． 故答案为： {x|-1≤x<0，或 x ≤-3} ． 可求出集合 A ， B ，然后进行交集的运算即可． 考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，以及交集的运算．6. 答案： 1 解析： 解： ∵ ∴Imz=1． 故答案为： 1．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．7.答案：解析： 解：抛物线的方程可变为 x 2= y 故 p= 其准线方程为 故答案为先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可． 本题考查抛物线的简单性质，解题关键是记准抛物线的标准方程，别误认为 马虎导致错误．8.答案： 6π 解析： 解：设圆柱的底面半径为 r ，且圆柱的高为 h=π， 则体积为V=πr 2h=πr 2?π=π2， r=1，∴侧面展开图的周长为 2× 2r π+2π =6．π 故答案为： 6π．设圆柱的底面半径为 r ，利用圆柱的体积求出 r 的值，再计算侧面展开图的周长． 本题考查了圆柱展开图与体积的应用问题，是基础题．9.答案： 5解析： 解： ∵三阶行列式 中，第 2行第 1列元素 2019的代数余子式的值是 9，∴（-1）3× =-6+3 x=9， 解得 x=5 ． 故答案为： 5．由代数余子式的定义得（ -1）3× =-6+3 x=9 ，由此能求出 x 的值．本题考查实数值的求法，考查代数余子子的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：解析： 解：由题意成等比数列的 10个数为： 1，-3，（ -3） 2，（ -3）3⋯（ -3） 9 其中小于 8的项有： 1，-3，（-3）3，（-3）5，（-3）7，（-3）9共 6个数 这 10个数中随机抽设 N （ - ，- ），则 M 、N 两点的“垂直距离”为： ．由p=1，因看错方程形式 + - |= + ≤取一个数，则它小于8 的概率是 P=故答案为：先由题意写出成等比数列的 10 个数为，然后找出小于 8的项的个数，代入古典概论的计算公式即可求解本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题11.答案： 180解析：解：式子表示 10 个因式（ 2+ - ）的乘积，故有 8 个因式取，其余的 2 个因式取 2，可得含 x4项，故 x4项的系数 ? ?22=180，故答案为： 180．式子表示 10个因式（2+ - ）的乘积，其中有 8个因式取，其余的 2个因式取 2，可得含 x4项，从而得到 x4项的系数．本题主要考查乘方的意义，排列组合的应用，属于基础题．12.答案：解析：解：无穷等比数列 {a n} 的公比为 q，首项 a1>0，，可得 >2a1，并且 |q|< 1，可得，并且 |q|< 1，故答案利用数列极值的运算法则化简求解即可．本题考查数列的极限，数列极限运算法则的应用，考查计算能力．13.答案：解析：解：根据题意画出线段 AB 与线段 CD，∵P（x，y）满足 d（P，L1）=d（P， L2），∴点P满足到线段 AB的距离等于到线段 CD 的距离，当 x≤0时， x 轴上的点到线段 AB 的距离等于到线段 CD 的距离，故 y=0（ x≤0），当 0<x≤2时，点 P 到线段 AB的距离即为到点B 的距离，到点 B的距离等于到直线 CD 的距离相等的点的轨迹为抛物线，根据抛物线的定义可知点 B是抛物线的焦点，准线，则 =1，∴x2=4y，即 y= x2，（ 0< x≤2），当 x>2时，满足到线段 AB的距离等于到线段 CD的距离即为到点 B与到点 D 的距离相等点，在平面内到两定点距离相等的点即为线段 BD 的垂直平分线，∴点 P的轨迹为 y=x-1（x> 2），∴y关于 x 的函数解析式为：故答案为：该题就是寻找平面内到线段 AB的距离等于到线段 CD 的距离相等的点的轨迹，当 x≤0时，x轴上的点到线段 AB的距离等于到线段 CD 的距离，当 0<x≤2时，点 P到线段 AB的距离即为到点 B的距离，到点 B 的距离等于到直线 CD 的距离相等的点的轨迹为抛物线，当x>2 时，满足到线段 AB 的距离等于到线段 CD的距离即为到点 B与到点 D 的距离相等点，从而求出 y关于 x的函数解析式．本题考查了分段函数的解析式的求法及其图象的作法，对于分段函数一般选用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题．根据不同的范围研究不同的解析式，从而选定用分段函数来表示．属于中档题．解析： 解：由图可知： ∵圆 O 的半径 r=1，正方形 ABCD 的边长 a=1， ∴以正方形的边为弦时所对的圆心角为 正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示， ∴当点 A 首次回到点 P 的位置时，正方形滚动了 设第i 次滚动，点 A 的路程为 A i ， 则 A 1=×|AB|= ，A 4=0，∴点 A 所走过的路径的长度为 3（A 1+A 2+A 3+ A 4） = ． 故答案为： ．由图可知：圆 O 的半径 r =1，正方形 ABCD 的边长 a=1，以正方形的边为弦时所对的圆心角为 ，正 方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，当点 A 首次回到点 P 的位置时，正方形滚动了 3圈共12 次，分别算出转 4次的长度，即可得出．本题考查了正方形与圆的性质、旋转的性质、弧长的计算公式，考查了数形结合、分类讨论的思想 方法，考查了分析问题与解决问题的能力，属于难题． 15.答案： [-5 ，-2） 解析： 解：由 a 1=a< 0，，n ∈N *，∴a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+⋯⋯ +（a n -a n-1）=a+（3a 2-3a ）+（3a 3-3a 2）+⋯⋯ +（3a n -3a n-1）=3a n -2a ． ∴a 2k =3a 2k -2a>0， a 2k-1=3a 2k-1-2a ． ① -1<a<0时， M=a 2=3a 2-2a ，N=3a-2a=a ． ∴ ==3a-2 ∈（ -5， -2）．② a=-1 时， a 2k =5 ，a 2k-1=-3+2=-1 ． M=5，N=-1．③ a<-1 时，不满足数列 {a n }有最大值 M 和最小值 m 的条件，舍去． ∴ 的取值范围为 [-5 ，-2）． 故答案为： [-5， -2）．*n由 a1=a<0， ，n ∈N *，可得 an =a 1+（a 1-a 2）+（a 2-a 3）+⋯⋯ +（a n -a n-1）=3a n -2a．分3 圈共 12 次，类讨论 a2k=3a2k-2a> 0， a2k-1=3a2k-1-2a．利用单调性即可得出．本题考查了数列递推关系、累加求和方法、数列的单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：解：设∠ABC =α，∠ACB=β，则由余弦定理得， -=24 cos α；所以BD2=3+ （ 4-2 cos α）-2 × ××cos（ 90° +）β=7-2 cos α +2 sin α=7+2 sin（α-45 °），所以α=135°时， BD 取得最大值为=1+ ．故答案为： 1+ ．解析：设∠ABC=α，∠ACB=β，利用余弦定理求出 AC，再利用正弦定理求出 sin β，利用余弦定理求得对角线 BD，根据三角恒等变换求出 BD 的最大值．本题考查了余弦定理、正弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题．∴AE∥DF ，且 AE? 平面 PCD ， DF ? 平面 PCD；∴AE∥平面 PCD ；（2）∵∠PAB=60°，PA=AB；∴△PAB为等边三角形，取 AB 中点 O，连接 PO；则 PO ⊥AB；又侧面 PAB⊥底面 ABCD ，平面 PAB∩平面 ABCD =AB；∴PO⊥平面 ABCD ；根据已知条件可求得 PO= ，S△BCD=4， PD =CD= ， PC=2 ，；设点 B到平面 PCD 的距离为 h；连结 DF ，EF ；V P-BCD =V B-PCD；解析： （1）取 PC 中点 F ，并连接 DF ，FE ，根据已知条件容易说明四边形 ADFE 为平行四边形，从而有 AE ∥DF ，根据线面平行的判定定理即得到 AE ∥平面 PCD ； （2）设 B 到平面 PCD 的距离为 h ，从而直线 BD 与平面 PCD 所成角的正弦值便可表示为 ，BD 根据已知条件容易求出，而求 h 可通过 V P-BCD =V B- PCD 求出：取 AB 中点 O ，连接 PO ，可以说明 PO ⊥平 面 ABCD ，而根据已知条件能够求出 S △BCD ， S △PCD ，从而求出 h ，从而求得答案． 考查中位线的性质，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，以及直角三角形边的关系，面面垂 直的性质定理，棱锥的体积公式，线面角的定义．18. 答案： 解：（ 1）当 3< x ≤ 15时， y=16+2.5（x-3）=2.5x+8.5， 当 x>15 时， y=16+12×2.5+3.8（x-15） =3.8x-11． ．．2)y= 故当 x=31.62 时， y=3.8×32-11=110.6≈110元． 故应付车费 110 元．解析： （1）讨论 x 的范围，得出 y 与 x 的函数关系式； （2）根据条件修正函数解析式，再计算车费． 本题考查了分段函数解析式的求解，分段函数的函数值的计算，属于中档题．19. 答案： 解：（ 1）若 m=1， a=0， 则 f （ x ）=x|x|-|x|+1，① x ≥0时， f （ x ）=x 2-x+1， 对称轴 x= ，开口向上，∴f （x ）在 [0， ）递减，在（ ，+∞）递增； ②x<0 时， f （ x ） =- x 2+ x+1 ， 对称轴 x= ，开口向下， ∴f （x ）在（ -∞， 0）递增；综上： f （ x ）在（ -∞， 0）递增，在 [0， ）递减，在（ ， +∞）递增．（ 2） a=1 时， f （ x ）=mx|x-1|-|x|+1，①x<0 时， f （x ）=mx （1-x ）+x+1=-mx 2+（m+1）x+1，△=（ m+1） 2+4 m=m 2+6m+1 ，令 m 2+6m+1=0 ，则 m=-3 ±2 ， 根据函数 f （ x ）在（ 0，+∞）上的图象知，当-3+2 <m<0时，有 2 个零点； 当 m< -3+2 时，没有零点；∴直线 BD 与平面 PCD 所成角 ∴车费 y 与行车里程 x 的关系为： θ的正当 m=-3+2 或 m> 0 时，有 1 个零点；② 0≤x ≤1时， f （ x ） = mx （ 1-x ） -x+1=-mx 2+（m-1）x+1， 根据 f （ x ）的图象知，在 [0， 1]上，当 m ≤-1时，函数有 1个零点； m>-1 时，函数无零点；③ x>1 时， f （x ）=mx （x-1）-x+1=mx 2-（m+1）x+1， 根据 f （x ）的图象知，在（ 1， +∞）上，0<m<1 时，函数有 1 个零点； m ≥1或 m<=0 时，函数无零点． 综上，当 -3+2 <m ≤1时， f （ x ）有两个零点；当 m ≤-1，或 m> 1，或 m=-3+2 时， f （x ）有 1 个零点； 当-1<m<-3+2 时， f （ x ）无零点．解析： （1）将 m=1，a=0 代入函数表达式，通过讨论 x 的范围，结合二次函数的性质，从而求出函 数的单调性；（2）将 a=1 代入函数的表达式，通过讨论 x 的范围，根据二次函数的性质，从而求出函数的零点的 个数．本题考查了函数的单调性问题，考查二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．20.答案： 解：（ 1）∵曲线 （a>b>0）的左右焦点分别为F 1（-1，0）、 F 2（1，0）， 短轴长为 ． ∴， c=1，则 a=2）将 P（ - ）代入： + =1解得 y0=± ，不妨取 y 0= ，则 P （ - ， ）， 设 Q （ -4， t ），因为 F 1（ -1，0），又过 P （ x 0，y 0）的椭圆的切线方程为+ =1，即+ =1 ，将 Q （ -4， 2 -6）代入满足，所以直线 PQ 与椭圆相切，公共点的个数为 1．（ 3）依题意得 x 1 x 2+y 1y 2=x 1+x 2，可得 y 1y 2=x 1+ x 2-x 1x 2， 两边平方得： y 12y 22=x 12+x 22+ x 12x 22+2x 1x 2=2x 12x 2-2x 1x 22， ∴（ 1-x 12）（ 1-x 22） =x 12+x 22+x 12x 22+2x 1x 2-2x 12x 2-2x 1x 22，2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴1-x 1 -x 2 +x 1 x 2 = x 1 +x 2 +x 1 x 2 +2x 1x 2-2x 1 x 2-2x 1x 2 ，∴2x 12+2x 22+2x 1x 2-2x 1x 22-2x 12x 2-1=0， 2（1-x 2） x 12+2x 1（ x 2-x 22）+2x 22-1=0， ∴△=[2x 2（1-x 2）]2-8（1-x 2）（ 2x 22-1）≥0， ∴（ 1-x 2）（ -x 23-3x 22+2）≥0， ∴（ 1-x 2）（ x 2+1）（ -x 22-2x 2+2）≥0， ∵-1≤x 1≤1，-1≤x 2≤1， ∴-x 22-2x 2+2≥0， ∴x 22+2x 2-2≤0，（x 2+1）2≤3， ∴- ≤x 2+1≤ ， ∴- -1 ≤x 2≤ -1， 又 x 2 ≥-1 ， ∴-1≤x 2≤ -1．∴曲线 Γ的标准方∴2- =- ，解得 t=2 ， ∵PF 1⊥QF 1，∴k解析： （1）c=1，b= ? a=2可得；（2）由 PF 1⊥QF 1．得斜率乘积为 -1，根据斜率公式可得 Q 的纵坐标，又过 P （x 0，y 0）的椭圆的切 线方程为 + =1? + =1过 Q 点，所以直线 PQ 为椭圆的切线，只有一个公共点； （ 3）依题意得 x1x 2+y 1y 2=x 1+x 2，可得 y 1y 2=x 1+x 2-x 1x 2，两边平方后消去 y 12y 22后整理成关于 x1的二次 方程，由判别式大于等于 0 解关于 x 2的不等式可得．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，是难题．21. 答案： 解：（ 1）当 n=1 时， 0<a 1<1 成立；假设当 n=k 时， 0< a k <1，当 n=k+1 时， a k+1=1-（ 1-a k ） 2，由 0<a k <1，可得 0<a k+1<1， 即 n=k+1 时，不等式成立．综上可得对 n ∈N* 时， 0<a n <1； （2）b n =lg （1-a n ），且 ，由 1-a n =（1-a n-1） 2，可得 lg （ 1-a n ）=2lg （1-a n-1）， 即 bn =2b n -1，可得 b n =b 1?2n-1=-2 n-1， =- ，即有无穷数列 的所有项和为 S= =-2 ；（ 3）证明： a n-13+a n 3-a n-12a n -1=（ a n-1-a n ） a n-12+（ a n 3-1），由 an -a n-1=a n-1（ 1-a n-1）> 0，可得 a n-1-a n <0， a n 3-1<0，可得 a n-13+a n 3-a n-12a n < 1， 3 3 2 3an+a 1 -a n a 1-1=a 1（a 1-a n ）（ a 1+ a n ） +a n -1< 0， 可得 a n 3+a 13-a n 2a 1< 1， 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2a1 +a2 -a 1 a 2<1，a 2 +a3 -a 2 a 3< 1，⋯， a n-1 +a n -a n-1 a n <1，a n +a 1 -a n a 1<1， 上面各式相加可得n ∈N *，当 n ≥2时，．解析： （ 1）运用数学归纳法证明，注意由 n=k 推得 n=k+1 也成立；（ 2）推得 1-a n =（1-a n-1）2，两边取对数，结合等比数列的定义和通项公式，以及无穷等比数列的求 和公式，计算可得；（ 3）运用数列的单调性和（ 1）的结论推得 a n-13+a n 3-a n-12a n <1，a n 3+a 13-a n 2a 1< 1，再由累加法，可 得证明．本题考查了数列递推关系、等比数列的定义和通项公式，以及累加法，考查了推理能力与计算能力， 属于难题．由 则。

浦东新区2019学年度第二学期高中教学质量检测试题高三数学2020.05考生注意：1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，另有答题纸。

2.作答前，在答题纸正面填写姓名，编号等信息。

3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位，在试卷上作签一律不得分，4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题。

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每题填对得4分，7-12题每题填对得5分，否则一律得零分。

1.设全集{0,1,2}U =，集合{0,1}A =，则u C A = . 【答案】{}22.某次考试，5名同学的成绩分别为：96、100、95、108、115，则这组数据的中位数为 . 【答案】1003.若函数12()f x x =，则1(1)f -= .【答案】14.若1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根（其中i 为虚数单位，,p q R ∈），则p q += .【答案】05.若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比 . 【答案】81:6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x t y t=-⎧⎨=⎩（t 为参数），圆O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 与圆O 的位置关系是 .【答案】相交7.若二项式4(12)x +展开式的第4项的值为，则23lim()nn x x x x →∞+++⋅⋅⋅+= .【答案】158.已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则这个双曲线的方程是 . 【答案】12222=-y x9.从(,4)m m N m *∈≥且个男生、6个女生中任选2个人发言.假设事件A 表示选出2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同.如果事件A 和事件B 的概率相等，则m = .【答案】1010．已知函数222()log (2)2f x x a x a =+++-的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为 . 【答案】{}111、如图，在ABC V 中，3BACπ∠=，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足13AP t AC AB =+u u u r u u u r u u u r ，若ABC V 的面积为2，则AP u u u r 的最小值为 . .【解析】1323AP t AC AB t AC AB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，21133t t ∴+=∴=设||,||AC b AB C ==u u u r u u u r11sin 2222ABC S bC A bc ∆==⋅⋅=，6bc ∴= 22222c 91112os 26932AP AC AB AC AB b c π∴⎪⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅=++⨯⨯ ⎪ ⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1(269)2bc ≥+=||min AP ∴=u u u r【点评】此题与2019长宁嘉定二模第10题相似在ABC V 中，已知2CD DB =u u u r u u u r，P 为线段AD 上的一点，且满足49CP mCA CB =+u u u r u u u r u u u r ，若ABC V3ACB π∠=，则CP u u u r的最小值为 .【解析】4293CP mCA CB mCA CD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，由共线定理，13m =，由ABC S =V 可得4,2,CA CB CA CB ⋅=∴⋅=u u u r u u u r222214148393927CP CA CB CA CB CA CB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r14161642,392793CA CB CP ⎛⎫⎛⎫≥⋅⋅+=∴≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur12.已知数列{}{},n n a b ，满足111a b ==，对任何正整数n均有1n n n a a b +=++，1n n n b a b +=+，设113n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为 . 【答案】202133-【解析】()()222112n n n n n n n n a b a b a b a b ++⋅=+-+=，12n n n a b -=()1122,n n n n n n n a b a b a b ++++∴=+= 113323nn n n nn n n n n a b c b b a a ⎛⎫+∴=+==⨯ ⎪⎝⎭2020202120206133313S ⎡⎤-⎣⎦∴==--二、选择题（本大愿满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分，13．若x y 、满足01,0x y x y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则目标函数2f x y =+的最大值为（ ）.A 1 .B 2 .C 3 .D 4【答案】.B14.如图，正方体1111A B C D ABCD -中，E F 、分别为棱1AA BC 、上的点，在平面11ADD A 内且与平面DEF 平行的直线（ ）.A 有一条 .B 有两条 .C 有无数条 .D 不存在【答案】.C15.已知函数()cos cos ,f x x x =⋅ 给出下列结论： ① ()f x 是周期函数；② 函数()f x 图像的对称中心(),0;2k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭③ 若()()12,f x f x =则()12;x x k k Z π+=∈④ 不等式sin 2sin 2cos2cos2x x x x ππππ⋅>⋅的解集为15,.88x k x k k Z ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭.A ①② .B ②③④ .C ①③④ .D ①②④【答案】D 16.设集合{1,2,3,,2020}S=⋯，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中最大元素和最小元素之差称为集A 合的直径，那么集合S 所有直径为71的子集元素个数之和为（ ）7070.711949.21949.2371949.2721949x A B C D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅【答案】C【解析】n 和71n +为最小和最大元素的子集有702个其中1,2,,70n n n +++L 每个元素出现次数是692所以n 和71n +出现次数是702,这些子集元素个数之和为69707070222372⨯+⨯=⨯ -11949n ∴≤≤，所以总的元素个数之和为702371949⋅⋅，故选C .三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.-17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD （及其内部）AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转120︒得到的. （1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BP BE ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小.（结果用反三角函数表示【解析】（1）因为34232212122π=⨯π⨯=θ=r S EBC 扇形． 所以，38234π=⨯π=⋅=h S V ． （2）如图所示，以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系．则()200,,A ，()202,,F ，()020,,P ，()031,,C -．所以，()222--=,,FP ，()231--=,,AC设异面直线FP 与CA 所成的角为α=αcos 426+=所以，异面直线FP 与CA 所成角426+=αarccos【点评】考察几何体体积的计算公式，比较常规。

浦东新区2019学年度第二学期期中教学质量监测高三数学答案及评分细则2020.05一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．设全集{}210,,U =，集合{}10,A =，则=A U C {}2 ．2. 某次考试，5名同学的成绩分别为：115,108,95,100,96，则这组数据的中位数为 100 ．3. 若函数()21x x f =，则()=-11f1 ．4. 若i -1是关于x 的方程02=++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q ,p ∈），则=+q p 0 ．5.41:则这两个球的体积之比为 81: ．6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t x ⎩⎨⎧=-=1，圆O 的参数方程为()为参数θ⎩⎨⎧θ=θ=sin y cos x ，则直线l 与圆O 的位置关系是 相交 ． 7. 若二项式()421x +展开式的第4项的值为24，则()=++++∞→n n x x x x Λ32lim ．8. 已知双曲线的渐近线方程为x y ±=，且右焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则这个双曲线的方程是__12222=-y x __________.9. 从()4N ≥∈*m m m ，且个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果A 的概率和B 的概率相等，则=m 10 ．10. 已知函数()()2222-+++=a x log a x x f 的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为 {1} ．11. 如图，在ABC ∆中，3π=∠BAC ，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足AB AC t AP 31+=，若ABC ∆的面积为233，则AP 的最小值为 2 . 12.已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，对任何正整数n 均有221n n n n n a a b a b +=+++，221n n n n n b a b a b +=+-+，设113n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为 .【解】()112+2nn n n n n n a b a b a b +++=⇒+=，11122n n n n n n n a b a b a b -++=⇒+=，12333n n n n c +=⋅=-，2021202033S =-二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须51在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．若x 、y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ， 则目标函数y x f +=2的最大值为( B )A ． 1B ． 2C ． 3 D. 4 14. 如图，正方体ABCD D C B A -1111中，E 、F 分别为棱A A 1、BC 上的点，在平面11A ADD 内且与平面DEF 平行的直线( C )A ． 有一条B ． 有二条C ． 有无数条 D. 不存在15. 已知函数()x cos x cos x f ⋅=.给出下列结论：①()x f 是周期函数； ② 函数()x f 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③ 若()()21x f x f =，则()Z k k x x ∈π=+21；④ 不等式x cos x cos x sin x sin π⋅π>π⋅π2222的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k ,k x k x 8581. 则正确结论的序号是 ( D )A ． ① ②B ． ② ③ ④C ． ① ③ ④ D. ① ② ④16. 设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径. 那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为( C )A ． 711949⋅B ． 7021949⋅ C ． 702371949⋅⋅ D. 702721949⋅⋅三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转ο120得到的．（1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BE BP ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【解答】（1）因为34232212122π=⨯π⨯=θ=r S EBC 扇形．…………（4分） 所以，38234π=⨯π=⋅=h S V ．………（7分）（2）如图所示，以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系．则()200,,A ，()202,,F ，()020,,P ，()031,,C -．所以，()222--=,,FP ，()231--=,,AC .…………………（11分）设异面直线FP 与CA 所成的角为α，则z=αcos426+=.…………（13分） 所以，异面直线FP 与CA 所成角为426+=αarccos.…………（14分） 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知锐角βα、的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q 两点的横坐标分别为55210103、． （1）求()β+αcos 的大小；（2） 在ABC ∆中，c b a 、、为三个内角C B A 、、对应的边长，若已知角β+α=C ，43=A tan ，且22c bc a +λ=，求λ的值． 【解答】（1）由已知cos =sin =cos 101055ααββ==，………… (2分) 因而cos(+)=cos cos sin sin αβαβαβ-==…………（6分） （2）法一：（正弦定理）由已知，,cos C C C π===………….(7分) 34sin sin()sin()4525210B AC A π=+=+=⨯+⨯=…………(10分) 222291sin sin 1=sin sin 5a c A C bc B C λ---===- …………(14分) 法二：（余弦定理）2222cos a c b bc A -=-，因而由已知得2428sin 88152cos =5sin 555b cb B b bc A bc c c C λλ-⨯-⇒==-=-=-=- 法三：（余弦定理、正弦定理）cos cos()410B C π=-+=-因而由余弦定理得：2222222cos cos cos 2cos b a c ac B a c B b C c a b ab C⎧=+-⨯⇒=+=+⎨=+-⨯⎩ 同理 2222222cos 4cos cos 52cos a b c bc A b c A a C c c a b ab C ⎧=+-⨯⇒=+=⎨=+-⨯⎩得7,55c a b ==得221=2a c bc λ-=-()()()()()()()()()222222231222223212-++-⋅-++--⨯-+⨯+-⨯-=法四：（射影定理）可得cos cosa c Bb C=+=，4cos cos5b c A a C c=+=下同解法二19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x（万元）随企业原纳税额x（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x（万元）的50%．经测算政府决定采用函数模型()44x bf xx=-+（其中b为参数）作为补助款发放方案．（1）判断使用参数12b=是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件①、②的参数b的取值范围．【解答】（1）法一：因为当12b=时，()33342f=<，所以当12b=时不满足条件②．…………（6分）法二：由条件②可知()[]12144,1242xf x x xx=-+≥⇔∈．因为[]34,12∉，所以当12b=时不满足条件②．…………（6分）法三：由条件②可知()2xf x≥在[]3,6上恒成立，所以2max144b x x⎛⎫≤-+⎪⎝⎭，解得394b≤，所以当12b=时不满足条件②．…………（6分）(注：如果证明了当12b=时满足条件①得2分)（2）法一：由条件①可知，()f x在[]3,6上单调递增，则对任意1236x x≤<≤时，有1212121212124()()44()0444x x x x bb bf x f x x xx x x x⎛⎫⎛⎫+-=-+--+=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即1240x x b+>⇔1214b x x>-恒成立，所以94b≥-；…………（10分）由条件②可知，()2xf x≥，即不等式1442x bxx-+≥在[]3,6上恒成立，所以2max139444b x x⎛⎫≤-+=⎪⎝⎭…………（13分）综上，参数b的取值范围是939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．…………（14分）法二：由条件①可知，()44x bf xx-+在[]3,6上单调递增，所以当0b≥时，满足条件；当0b<时，得3≤94b⇔-≤<，所以94b ≥-…………（10分） 由条件②可知，()2x f x ≥，即不等式44x b x +≤在[]3,6上恒成立，所以34436446b b ⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，得394b ≤ …………（13分） 综上，参数b 的取值范围是939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．…………（14分）20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆()222 10x y a aΓ+=>：的左、右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且2221=+AF AF .（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ，,P Q 是椭圆上两点，四边形ABPQ 是菱形，求直线l 的方程；（3）已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ，直线2AF ，l ，2BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.【解答】（1）由12AF +AF2a =，从而a =椭圆方程为2212x y +=. ………… (4分) （2）由于四边形ABPQ 是菱形，因此//AB PQ 且||||AB PQ =.由对称性，1F 在线段PQ 上. 因此，,AP BQ 分别关于原点对称；并且由于菱形的对角线相互垂直，可得AP BQ ⊥，即OA OB ⊥. ………… (6分)设:1l x my -=，与椭圆方程联立可得22(2)210m y my ++-=，设A(x 1,y 1),B (x 2,y 2),因此12222m y y m +=-+，12212y y m =-+. ………… (8分)由12120x x y y +=，可得22212122212(1)()11022m m m y y m y y m m +++++=--+=++，解得m =10x ±-=.………… (10分)（3） 设:l y kx b =+，由122k k k +=，可得1212211y y k x x +=--， 即1212211kx b kx bk x x +++=--. 化简可得1212122()()22(1)(1)kx x b k x x b k x x +-+-=--，即12()(2)0b k x x ++-=.若0b k +=，则:l y kx k =-经过2F ，不符，因此122x x +=.………… (12分) 联立直线与椭圆方程，222(21)4(22)0k x kbx b +++-=. 因为228(21)0k b ∆=-+> ①由1224221kbx x k +=-=+，可得，2212k b k +=-② ………… (14分) 将②代入①，2221421,2k k k >+>；再由11(2)2b k k=-+，可得，(,)b ∈-∞-⋃+∞. ………… (16分)21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210i i i i a a a a +++-->，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列： ① 等差数列：Λ,,,,,54321； ② 等比数列：Λ1618141211,,,,--； （2）若数列{}n a 满足对任何正整数n ，均有11na n a a +=()10a >.证明：数列{}n a 是跳跃数列的充分必要条件是101a <<.（3）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有21195nn a a +-=，求首项1a 的取值范围.【解答】（1）① 等差数列：1,2,3,4,5,...不是跳跃数列；………… (2分)② 等比数列：11111,,,,, (24816)--是跳跃数列. ………… (4分)（2）必要性：若11a >，则{}n a 是单调递增数列，不是跳跃数列；若11a =，{}n a 是常数列，不是跳跃数列. ………… (6分)充分性：下面用数学归纳法证明：若101a <<，则对任何正整数n ，均有2121222221,n n n n n n a a a a a a -+++<<>>成立.（1）当1n =时，，112111aa a a a =>=， 213112aaa a a a =<=，1212131111,a a a a a a a a =<∴=>=Q ，231a a a ∴>>………… (8分)321231111342,,a a a a a a a a a a a a >>∴<<<<Q ，所以1n =命题成立………… (9分)（2）若n k =时，2121222221,k k k k k k a a a a a a -+++<<>>， 则22221212322,kk k a a a k k k aa a a a a +++++<<∴<<，212322222423,k k k a a a k k k a a a a a a ++++++>>∴>>，所以当1n k =+时命题也成立……… (10分)根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足()()2210i i i i a a a a +++-->，故{}n a 是跳跃数列.（3）()2111955n n n n a a a a +-=--， ()()22211519195125n n n n n n a a a a a a ++-=----，………… (11分) ()()()22123195125n n n n n n a a a a a a +-=----，………… (12分)[1]若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，此时2n a ⎫∈⎪⎪⎝⎭；………… (14分)[2]若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，此时51013,2n a ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭；………… (16分) 若5101,22n a ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则211951013,52nn a a +⎛⎫-+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以()2,2n a ∈-. 若51013,2n a ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则()21192,25nn a a +-=∈-，所以()3,21n a ∈. 所以()()12,23,21a ∈-U ，此时对任何正整数n ，均有()()2,23,21n a ∈-U ………… (18分)。

2020届上海市浦东新区高三下学期教学质量检测数学试题一、单选题1．“a b =”是“a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】根据充要关系定义进行判断选择. 【详解】若a b =，则a b =，所以充分性成立；若a b =，则a b =不一定成立，例如互为相反向量时就不成立，所以必要性不成立； 故选：A 【点睛】本题考查充要关系判断，考查基本分析判断能力，属基础题.2．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，312a ，22a 成等差数列，则8978aa a a +=+（） A ．1B ．1+C ．3+D ．3-【答案】B【解析】根据等差数列列式求得公比，再代入所求式,解得结果. 【详解】因为1a ，312a ，22a 成等差数列，所以3121222a a a ⨯=+设{}n a 公比为21201qq qq q ∴=+>∴=+从而89781a a q a a +==++故选：B 【点睛】本题考查等比数列与等差数列综合，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．对于实数a 、b 、m ，下列说法：①若a b >，则22am bm >； ②若a b >，则a ab b ；③若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+； ④若 0a b >>，且ln ln a b =，则(2,)a b +∈+∞，其中正确的命题的个数（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】举例说明①错误；根据不等式性质证明②成立；利用作差法证明③成立；根据对勾函数性质说明④成立. 【详解】若,0a b m >=，则22am bm =,所以①错误； 若a b >，则当0a b >≥时a a b a b b a a b b当0a b ≥>时0a a b b a ab b 当0a b >>时0aba ab a b ba ab b ，因此②成立；若0b a >>，0m >，则()0()a m a b a m a m ab m b b b m b m b+-+-=>∴>+++，所以③成立； 若 0a b >>，且ln ln a b =，则ln ln ln()0,11ab b a a b a ∴==∴=>-，1a b a a ∴+=+在(1,)+∞上单调递增，即12a b a a+=+>，因此④成立. 故选：C 【点睛】本题考查根据不等式性质比较大小、作差法比较大小、对勾函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.4．数学试卷的填空题由12道题组成，其中前6道题，每道题4分；后6道题，每道题5分．下面4个数字是某教师给出的一位学生填空题的得分，这个得分不可能是（ ） A ．17 B ．29C ．38D ．43【答案】D【解析】根据得分情况可说明ABC 成立，再说明D 一定不成立. 【详解】因为17=34+15,296415,382465⨯⨯=⨯+⨯=⨯+⨯，所以得分可能是ABC;因为432475=⨯+⨯，而满足个位数为3的只有这一种，但每道题5分的只有6道题，因此D 得分是不可能的， 故选：D 【点睛】本题考查简单推理，考查基本分析判断能力，属基础题.二、填空题5．在行列式12011213a-中，元素a 的代数余子式的值是____________． 【答案】2【解析】根据代数余子式定义列式求解,即得结果. 【详解】在行列式12011213a-中，元素a 的代数余子式为401(1)0(2)221--=--= 故答案为：2 【点睛】本题考查代数余子式，考查基本求解能力，属基础题. 6．函数y =的定义域为____________．【答案】(]2-∞，【解析】根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解得指数不等式得结果. 【详解】2933032x x x ≥∴≤∴-≤,故定义域为(]2-∞， 故答案为：(]2-∞，【点睛】本题考查定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.7．已知x 、R y ∈，i 为虚数单位，且()2i 1i x y -+=-+，则x y +=____________． 【答案】2【解析】根据复数相等列方程组，解得,x y ，即得结果.【详解】()212i 1i 1x x y y -=-⎧-+=-+∴⎨=⎩121x x y y =⎧∴∴+=⎨=⎩故答案为：2 【点睛】本题考查复数相等，考查基本分析求解能力，属基础题.8．函数()sin cos R y x x x =-∈的单调递增区间为____________．【答案】()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】先根据辅助角公式化简函数解析式，再根据正弦函数性质求单调区间. 【详解】sin cos )4y x x x π=-=-22()242k x k k Z πππππ∴-≤-≤+∈322()44k x k k Z ππππ∴-≤≤+∈ 故答案为：()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查辅助角公式、正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.9．已知02x <<_______ 【答案】1【解析】配方后利用二次函数求最值可得结果. 【详解】==,又因为02x <<所以1x =时 1. 故答案为:1 【点睛】本题考查了二次函数求最大值,属于基础题.10．61()x x-的展开式中的常数项是： ．(请用数字作答) 【答案】-20 【解析】621661()(1)r n rr r r r r T C xC x x--+=-=-， 令620r -=，则3r =，所以常数项为3620C -=-．11．.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点(,)n n S （*n N ∈）在函数的反函数的图像上，则n a =________. 【答案】12n - 【解析】解：因为221log (1)log (1)12212nn n n n n n y x n S S S a -=+∴=+∴+=∴=-∴= 12．一支田径队有男运动员40人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为19的样本，则抽取男运动员的人数为____________． 【答案】10【解析】由样本容量与总体容量的比值相等计算． 【详解】设抽取的男运动员人数为n ，则由分层抽样定义得40194036x =+，解得10x =． 故答案为：10． 【点睛】本题考查分层抽样，利用分层抽样中样本容量与总体容量的比值相等求解即可． 1336的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为 ． 【答案】92π 【解析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面,设正六棱柱的上下底面中心分别为12,O O ,球心为O ,一个顶点为A ,可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA ,再用球的体积公式即可得到外接球的体积. 【详解】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面,如右图,则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，设球心为O,正六棱柱的上下底面中心分别为12,O O,则球心O 是12O O 的中点.∴正六棱柱底面边长为3,侧棱长为61Rt AO O ∴中,1136,AO O O ==,可得221132AO AO O O =+=因此,该球的体积为3439322V ππ⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭ 故答案为92π. 【点睛】本题给出一个正六棱柱,求它的外接球的体积,着重考查了球的内接多面体和球体积公式等知识点,属于基础题.14．如图，已知椭圆1C 和双曲线2C 交于1P 、2P 、3P 、4P 四个点，1F 和2F 分别是1C 的左右焦点，也是2C 的左右焦点，并且六边形121342PP F P P F 是正六边形．若椭圆1C 的方程为22142323+=+，则双曲线2C 的方程为____________．221= 【解析】先根据椭圆1C 的方程确定半焦距，再根据正六边形性质确定双曲线中,,.a b c 【详解】2221442423c c =∴=+=∴=+设22222:1,(0,0)x y C a b a b-=>>22212||||21a P F P F a =-=∴222241)b c a ∴=-=-=因此2221C =221= 221-= 【点睛】本题考查求双曲线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.15．已知A 、B 、C 是半径为5的圆M 上的点，若6BC =，则AB AC ⋅的取值范围是____________． 【答案】[]8,72-【解析】由正弦定理求出sin A ，由平方关系得cos A ，然后利用余弦定理和基本不等式求出bc 的范围，最后由数量积的定义可得结论． 【详解】记,,A B C 所对边长分别为,,a b c ， 由正弦定理得2sin a R A=，即63sin 2255a A R ===⨯，所以4cos 5A =±，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，4cos 5A =时，228836255b c bc bc bc =+-≥-，90bc ≤，b c =时等号成立，所以4cos 90725AB AC bc A ⋅=≤⨯=，4cos 5A =-时，228836255b c bc bc bc =++≥+，10bc ≤，b c =时等号成立，所以4cos 1085AB AC bc A ⎛⎫⋅=≥⨯-=- ⎪⎝⎭，综上[8,72]AB AC ⋅∈-． 故答案为：[8,72]-． 【点睛】本题考查求平面向量数量积的取值范围，考查正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题．16．对数列{}n a ，{}()*n b n N∈，如果存在正整数k ，使得1kk ab >+，则称数列{}n a 是数列{}n b 的“优数列”，若32222n a n n tn t =+-+，3241n b n n n =+++，并且{}n a 是{}n b 的“优数列”，{}n b 也是{}n a 的“优数列”，则t 的取值范围是____________． 【答案】1t >-．【解析】根据“优数列”列不等式，再根据二次不等式有解求参数范围. 【详解】因为{}n a 是{}n b 的“优数列”， 所以存在正整数k ，1k k a b >+即3223222411k k tk t k k k +-+>++++，22(24)20k t k t --++> 显然成立，所以t R ∈； 因为{}n b 是{}n a 的“优数列”， 所以存在正整数m ，1m m b a >+即3232241221m m m m m tm t +++>+-++，22(24)0m t m t -++<22(24)401t t t ∴∆=+->∴>-当1t >-时，由于对称轴21m t =+>，所以必存在正整数m ，使得22(24)0m t m t -++<综上，1t >- 故答案为：1t >- 【点睛】本题考查数列新定义、不等式有解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题17．如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，点E 为棱1AA 的中点，1AB =，12AA =．（1）求点B 到平面11B C E 的距离； （2）求二面角11B EC C --的正弦值． 【答案】（1）2；（2）3． 【解析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法求点到平面的距离； （2）用空间向量法求二面角的余弦值，再求正弦值． 【详解】解：（1）如图所示，建立直角坐标系，则有关点的坐标为()1,0,0B ，()11,0,2B ，()11,1,2C ，()0,0,1E ，所以，()110,1,0B C =，()11,0,1B E =--．设平面11B C E 的法向量()1,,n u v w =， 则由111n B C ⊥且11n B E ⊥得，11111000v n B C u w n B E ⎧=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎩⎩．取1u =，于是平面11B C E 的一个法向量为()11,0,1n =-． 且()10,0,2BB =，所以，点B 到平面11B C E 的距离为()11222010*******n BB d n⋅⨯+⨯-⨯===++-．（2）因为()11,1,2C ，()0,0,1E ，()11,1,0C ， 所以，()10,0,2CC =，()1,1,1CE =--设平面1CC E 的法向量()1112,,n u v w =，则由21n CC ⊥且2n CE ⊥得，11211111122000000w w n CC u v w u v n CE ⎧⎧==⎧⋅=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨--+=+=⋅=⎪⎩⎪⎩⎩．取11u =于是平面1CC E 的一个法向量为()21,1,0n =-．设平面11B C E 的一个法向量()11,0,1n =-与平面1CC E 的一个法向量 为()21,1,0n =-的夹角为ϕ，则12121cos 2n n n n ϕ⋅==， 所以，3sin ϕ=． 所以二面角11B EC C --的正弦值为3． 【点睛】本题考查用空间向量法求点到平面的距离，求二面角．在图形中已有两两相互垂直的三条直线时，如长方体，可建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角，距离，研究（或证明）空间线面位置关系．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<．（1）如图所示，函数()f x 的图象与直线()1 1 y m m =-<<三个相邻交点的横坐标为3π-、6π、2π，求ω的值； （2）函数()()sin 0,0y x ωϕωϕπ=+><<的图象与x 轴的交点A 、B 、C ，且满足OA 、OB 、OC 成等差数列，求ϕ的值． 【答案】（1）125ω=；（2）34πϕ=． 【解析】（1）先确定周期，再求ω的值；（2）根据等差数列性质得2OB OA OC =+，再利用A 、B 、C 坐标表示，解得ϕ的值． 【详解】（1）由三角函数的图象可知，直线y m =与正弦函数图象相交的三个相邻交点中，第一个点和第三个点之间正好一个周期则5236T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ 所以2125T πω==． （2）由OA 、OB 、OC 成等差数列得2OB OA OC =+ 在同一周期内，不妨设0B x ωϕ+=，A x ωϕπ+=， 2C x ωϕπ+= 得B x ϕω=-，A x πϕω-=，2C x πϕω-=， 由2OB OA OC =+，得322πϕϕωω-=，解得34πϕ=． 【点睛】本题考查根据三角函数图象与性质求参数、等差数列应用，考查基本分析求解能力，属基础题.19．某企业准备投产一款产品，在前期的市场调研中发现： ①需花费180万元用于引进一条生产流水线；②每台生产成本Q （x ）（万元）和产量x （台）之间近似满足Q （x ）＝51351x ++，x ∈N ；（注每台生产成本Q （x ）不包括引进生产流水线的费用） ③每台产品的市场售价为10万元； ④每年产量最高可达到100台；（1）若要保证投产这款产品后，一年内实现盈利，求至少需要生产多少台（而且可全部售出）这款产品；（2）进一步的调查后发现，由于疫情，这款产品第一年只能销售出60台，而生产出来的产品如果没有在当年销售出去，造成积压，则积压的产品每台将亏损1万元，试判断该企业能否在投产第一年实现盈利．如果可以实现盈利，则求出当利润最大时的产量；若不能实现盈利，则说明理由．【答案】（1）至少生产并销售63台这款产品，才能实现盈利；（2）可以实现盈利，利润最大时，产量为89台．【解析】（1）由题意可得利润函数为f （x ）＝[10﹣Q （x ）]⋅x ﹣180，0＜x ≤100，x ∈N ，由f （x ）＞0求解不等式得答案；（2）把利润函数f （x ）变形，再由基本不等式求最值． 【详解】（1）由题意可知该商品的利润函数为：f （x ）＝[10﹣Q （x ）]⋅x ﹣180，0＜x ≤100，x ∈N ，则由()1018000100*Q x x x x N ⎧⎡⎤-⋅-⎪⎣⎦⎨≤∈⎪⎩＞＜，，解得x ≥63． ∴至少生产并销售63台这款产品，才能实现盈利；（2）由（1）可知，当产量0＜x ≤60，x ∈N 时，无法实现盈利； 当产量60＜x ≤100，x ∈N 时，由题意可知利润函数为f （x ）＝[10﹣Q （x ）]⋅60﹣（x ﹣60）﹣180． 化简得f （x ）＝181﹣[()1356011x x ⋅+++]1801≤-=． 当且仅当x ＝89时等号成立．∴可以实现盈利，利润最大时，产量为89台． 【点睛】本题考查分式函数模型的实际应用，涉及利用基本不等式求最值，属综合基础题. 20．已知点F 是抛物线2:8C y x =上的焦点，()11,A x y 、()22,B x y 是抛物线上的两个动点．（1）若直线AB 经过点F ，且126x x +=，求AB ；（2）若126x x +=，求证:线段AB 的垂直平分线经过一个定点C ，并求出C 点的坐标；（3）若线段AB 与x 轴交于Q 点，是否存在这样的点Q ，使得2211AQBQ+为定值，若存在，求出这个定值和Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）10；（2）证明见解析，经过一个定点()70C ，；（3）存在Q 点满足题意，坐标为()4,0，2211116AQBQ+=． 【解析】（1）根据抛物线定义求焦点弦弦长；（2）先考虑直线AB 的斜率存在情况，根据点斜式得线段AB 的垂直平分线的方程，确定定点，再验证直线AB 的斜率不存在情况也过此定点；（3）设()0Q m ，，过Q 点直线方程为x ty m =+，与抛物线联立方程组，结合韦达定理化简2211AQBQ+，确定定值取法，即可确定定点与定值.【详解】（1）1022A B A B p pAB AF BF x x x x p =+=+++=++=． （2）①当直线AB 的斜率存在时，设线段AB 的中点为()00,M x y ，则12032x x x +==，1202y yy +=，21212221212108488AB y y y y k y y x x y y y --====-+-．线段AB 的垂直平分线的方程是()034y y y x -=--，即()074y y x =--． ②当直线设AB 的斜率不存在时，此时线段AB 的垂直平分线的方程是0y =．所以线段AB 的垂直平分线经过一个定点()70C ，． （3）设()0Q m ，，过Q 点直线方程为x ty m =+，联立228880y xy ty m x ty m⎧=⇒--=⎨=+⎩，则264320t m ∆=+>，128y y t +=，128y y m =-．则()()222221111AQ x m y t y =-+=+，()()222222221BQ x m y t y =-+=+，所以，()()22222212111111t y t y AQBQ+=+++()()()()()()222212121222222212122641664111y y y y y y t mm t t y y t y y +-++===+++， 所以当4m =时，2211116AQBQ+=，故Q 点的坐标为()4,0， 并且满足264320t m ∆=+>． 【点睛】本题考查抛物线焦点弦、抛物线中定点与定值问题，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.21．定义在R 上的非常值函数()f x 、()g x （()f x 、()g x 均为实数），若对任意实数x 、y ，均有()()()()22f x y f x y g y g x +⋅-=-，则称()g x 为()f x 的关联平方差函数．（1）判断()cos g x x =是否是()sin f x x =的关联平方差函数，并说明理由； （2）若()g x 为()f x 的关联平方差函数，证明：()f x 为奇函数；（3）在（2）的条件下，如果()01g =，()21g =-，当02x <<时()11g x -<<，且f x Tf x 对所有实数x 均成立，求满足要求的最小正数T 并说明理由．【答案】（1）是；理由见解析；（2）证明见解析；（3）4T =是满足要求的最小正数，理由见解析．【解析】（1）根据关联平方差函数定义直接化简判断；（2）结合关联平方差函数定义，证明()()f b f b -=-恒成立； （3）结合关联平方差函数定义先探求4T =，再用反证法证4T =是满足要求的最小正数. 【详解】（1）()cos g x x =是()sin f x x =的关联平方差函数，()()()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin f x y f x y x y x y x y x y x y x y +-=+-=+-()()2222222222sin cos cos sin cos cos cos cos cos cos x y x y y x y x x y =-=---()()2222cos cos y x g y g x =-=-（2）()f x 是非常值函数，所以存在a ，()0f a ≠， 下证对任意实数b ，()()f b f b -=- 令2a b x +=，2a b y -=可得()()2222a b a b f a f b g g -+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；再令2a b x -=，2a b y +=可得()()2222a b a b f a f b g g +-⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两式相加可得()()()0f a f b f b +-=⎡⎤⎣⎦，()0f a ≠，()()f b f b ∴-=-，所以()f x 为奇函数（3）令0y =可得()()()()222201f x g g x g x =-=-，即()()221fx g x +=，()21g =-，()()220f f ∴=-=，令2y x =+，()()()()2222220f x f gx g x +-=+-=， 令2y =，()()()2221f x f x gx +-=-，用2x +替换x 可得()()()()()2224121f x f x g x g x f x +=-+=-=，[1]若()0f x ≠，那么()()+4f x f x =； [2]若()=0f x ，那么()()()()()2222211+2+2+4fx g x g x f x f x =-=-==；所以()()+40f x f x == 综上可知4T=满足要求，下证4T =是满足要求的最小正数，用反证法，若存在004T <<也满足要求，令0x =，02T y =可得()2200000222T T T f f g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而0022T T f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0022T T f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，00022T T f f ⎛⎫⎛⎫∴-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，矛盾！ 所以4T=是满足要求的最小正数.【点睛】本题考查函数新定义、证明奇函数、函数周期、反证法，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.。

2020年上海市浦东新区高三练习数学试卷（理科）一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数1lg )(-=x x f 的定义域为 . ),1(+∞2．若行列式124012x -=，则x = . 23．若椭圆的一个焦点与圆2220x y x +-=的圆心重合，且经过)0,5(，则椭圆的标准方程为 . 22154x y += 4．若集合{}1A x x x =<∈R ，，{}2B y y x x ==∈R ，，则I A =B C R .()1,0-5．已知一个关于x y 、的二元一次方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-210211，则+=x y . 6 6．已知b n n an n =++∞→)1(lim （其中b a ,为常数），则=+22b a . 1 7．样本容量为200的频率分布直方图如图所示. 根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在[6,10)内的频数为 648． ()51x +展开式中不含．．3x 项的系数的和为 . 229．在ABC ∆中，若1AB =，5BC =,且552sin=A ，则sin C = . 25410成绩（分） 50 61 73 85 90 94 人数221212则总体标准差的点估计值为 （结果精确到11．甲乙射击运动员分别对一目标射击一次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，则两人中至少有1人射中的概率为 . 0.9812．在极坐标系中，定点π1,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，动点B 在曲线θρcos 2=上移动，当线段AB 最短时，点B 的极径为 22-13．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”。

则原点)0,0(O 与直线052=-+y x 上一点),(y x P 的“折线距离”的最小值是52. 14．如图放置的边长为1的正方形ABCD 沿x 轴滚动，设顶点(,)A x y 的轨迹方程是()y f x =，则()y f x =在其两个相邻零点间的图像与x 轴所围区域的面积 为 . π+1AA 1 DC BD 1 C 1B 1EFPQ• • ••二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案,选对得5分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应,不能错位. 二. 选择题15．右图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有 （ ） （B ）2个. （C ）3个. （D ）4个.16．若ABC ∆的面积333ABC S ∆∈⎣⎦，且3AB BC ⋅=u u u r u u u r ，则AB u u u r 与BC uuur 夹角的取值范围是 （ ）（A ）[,]32ππ. （B ）[,]43ππ. （C ）[,]64ππ. （D ）[,]63ππ. 17．如图，正方体1111的棱长为6，动点E F 、在棱11A B 上，动点P Q 、分别在棱AB CD 、上，若2EF =,DQ x =，，则四面体的体积 （ ）（A ）与y x ,都无关. （B ）与x 有关，与y 无关.（D ）与x 无关，与y 有关.18．已知关于x 的方程20ax bx c ++=r r r r ，其中a r 、b r 、c r都是非零r r （ ）（A ）至多有一个解 （B ）至少有一个解 （D ）可能有无数个解 三、解答题 19．（本题满分12分）第一题满分6分，第二题满分6分． 已知虚数ααsin cos 1i z +=， ββsin cos 2i z +=，（1）若55221=-z z ，求)cos(βα-的值； （2）若21,z z 是方程0232=+-c x x 的两个根，求实数c 的值。

浦东新区2019学年度第二学期教学质量检测高三数学试卷卷 2020.05考生注意：1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分．另有答题纸． 2．作答前，在答题纸正面填写姓名、编号等信息．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每题填对得4分，7-12题每题填对得5分，否则一律得零分．1．设全集}{U=0,12，，集合}{A=01，，则∁U A ． 2．96、100、95、108、115，则这组数据的中位数为 ． 3，则()=-11f．4．若i -1是关于x 的方程02=++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q p ∈、），则=+q p ．5．若两个球的表面积之比为4:1则这两个球的体积之比为 ．6．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t x ⎩⎨⎧=-=1，圆O 的参数方程为()为参数θ⎩⎨⎧θ=θ=sin y cos x ，则直线l 与圆O 的位置关系是 ．7．若二项式()421x+展开式的第4，则()=++++∞→nn x x x x 32lim ．8．已知双曲线的渐近线方程为x y ±=，且右焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则这个双曲线的方程是____________.9．从()4N ≥∈*m m m ，且个男生、6个女生中任选2个人发言.假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果事件A 和事件B 的概率相等，则=m ．10．已知函数()()22222-+++=a x log a x x f 的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为 ．11．如图，在ABC ∆中，AB 中点，P 为CD ，若ABC ∆的面 CAP DB积为233，则AP 的最小值为 .12．已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，对任何正整数n 均有221n n n n n a a b a b +=+++，221n n n nnb a b a b +=+-+，设113nn nn c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为 .二、选择题（ 本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．若x 、y 满足 ， 则目标函数y x f +=2的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．414．如图，正方体ABCD D C B A -1111中，E 、F 分别为棱A A 1、BC 上的点，在平面11A ADD 内且与平面DEF 平行的直线（ ）A ．有一条B ．有二条C ．有无数条D ．不存在 15．已知函数()x cos x cos x f ⋅=，给出下列结论： ①()x f 是周期函数； ② 函数()x f 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③ 若()()21x f x f =，则()Z k k x x ∈π=+21；④ 不等式x cos x cos x sin x sin π⋅π>π⋅π2222的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k ,k x k x 8581. 则正确结论的序号是（ ）A ．① ②B ．② ③ ④C ．① ③ ④D ．① ② ④16．设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径，那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为（ ）A ．711949⋅B ．7021949⋅C ．702371949⋅⋅D ．702721949⋅⋅三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转120得到的．⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x C 1A 1 D 1B 1ED FCBA ADF（1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BE BP ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示） 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知锐角βα、的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q 两点的横坐标分别为 （1）求()β+αcos 的大小；（2）在ABC ∆中，c b a 、、分别为三个内角C B A 、、对应的边长，若已知角β+α=C ，，且22c bc a +λ=，求λ的值． 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x （万元）的50%．中b 为参数）作为补助款发放方案．（1）判断使用参数12b =是否满足条件，并说明理由； （2）求同时满足条件①、②的参数b 的取值范围． 20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，1F 、2F 分别是椭圆右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ，、P Q 是椭圆上两点，四边形ABPQ 是菱形，求直线l 的方程；（3）已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ，直线2AF 、l 、2BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210(N )*+++-->∈i i i i a a a a i ，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：① 等差数列： ,,,,,54321；② （2）若数列{}n a 满足对任何正整数n ，均有11na n a a +=()10a >.证明：数列{}n a 是跳跃数列的充分必要条件是101a <<.（3）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有，求首项1a 的取值范围.浦东新区2019学年度第二学期期中教学质量监测高三数学答案及评分细则2020.05一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．设全集{}210,,U =，集合{}10,A =，则=A U C {}2 ． 2. 某次考试，5名同学的成绩分别为：115,108,95,100,96，则这组数据的中位数为 100 ．3. 若函数()21x x f =，则()=-11f1 ．4. 若i -1是关于x 的方程02=++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q ,p ∈），则=+q p 0 ．5.若两个球的表面积之比为41:则这两个球的体积之比为 81: ．6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t ty t x ⎩⎨⎧=-=1，圆O 的参数方程为()为参数θ⎩⎨⎧θ=θ=sin y cos x ，则直线l 与圆O 的位置关系是 相交 ．7. 若二项式()421x+展开式的第4项的值为24，则()=++++∞→nn xx x x 32lim ．8. 已知双曲线的渐近线方程为x y ±=，且右焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则这个双曲线的方程是__12222=-y x __________.9. 从()4N ≥∈*m m m ，且个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果A 的概率和B 的概率相等，则=m 10 ．10. 已知函数()()22222-+++=a x log a x x f 的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为 {1} ．11. 如图，在ABC ∆中，3π=∠BAC ，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足AB AC t AP 31+=，若ABC ∆的面积为233，则AP 的最小值为 2 . 12.已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，对任何正整数n 均有221n n n n n a a b a b +=+++，221n n n n n b a b a b +=+-+，设113n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为 .【解】()112+2nn n n n n n a b a b a b +++=⇒+=，11122n n n n n n n a b a b a b -++=⇒+=，12333n n n n c +=⋅=-，2021202033S =-二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．5113．若x 、y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ， 则目标函数y x f +=2的最大值为( B )A ． 1B ． 2C ． 3 D. 4 14. 如图，正方体ABCD D C B A -1111中，E 、F 分别为棱A A 1、BC 上的点，在平面11A ADD 内且与平面DEF 平行的直线( C )A ． 有一条B ． 有二条C ． 有无数条 D. 不存在15. 已知函数()x cos x cos x f ⋅=.给出下列结论：①()x f 是周期函数； ② 函数()x f 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③ 若()()21x f x f =，则()Z k k x x ∈π=+21；④ 不等式x cos x cos x sin x sin π⋅π>π⋅π2222的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k ,k x k x 8581. 则正确结论的序号是 ( D )A ． ① ②B ． ② ③ ④C ． ① ③ ④ D. ① ② ④16. 设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径. 那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为( C ) A ． 711949⋅ B ． 7021949⋅ C ． 702371949⋅⋅ D. 702721949⋅⋅三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转 120得到的．（1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BE BP ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【解答】（1）因为34232212122π=⨯π⨯=θ=r S EBC 扇形．…………（4分） 所以，38234π=⨯π=⋅=h S V ．………（7分）（2）如图所示，以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系．则()200,,A ，()202,,F ，()020,,P ，()031,,C -．所以，()222--=,,FP ，()231--=,,AC .…………………（11分）设异面直线FP 与CA 所成的角为α，则xyz=αcos426+=.…………（13分） 所以，异面直线FP 与CA 所成角为426+=αarccos.…………（14分） 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知锐角βα、的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q 两点的横坐标分别为55210103、． （1）求()β+αcos 的大小；（2） 在ABC ∆中，c b a 、、为三个内角C B A 、、对应的边长，若已知角β+α=C ，43=A tan ，且22c bc a +λ=，求λ的值． 【解答】（1）由已知cos sin cos ααββ=………… (2分) 因而cos(+)=cos cos sin sin αβαβαβ-==…………（6分） （2）法一：（正弦定理）由已知，,cos C C C π==………….(7分) 34sin sin()sin()4525210B AC A π=+=+=⨯+⨯=…………(10分) 222291sin sin 1=sin sin 5a c A C bc B C λ---===- …………(14分)法二：（余弦定理）2222cos a c b bc A -=-，因而由已知得2428sin 88152cos =5sin 555b cb B b bc A bc c c C λλ-⨯-⇒==-=-==- 法三：（余弦定理、正弦定理）cos cos()4B C π=-+=因而由余弦定理得：2222222cos cos cos 2cos b a c ac B a c B b C c a b ab C⎧=+-⨯⇒=+=⎨=+-⨯⎩ 同理 2222222cos 4cos cos 52cos a b c bc A b c A a C c c a b ab C ⎧=+-⨯⇒=+=⎨=+-⨯⎩得7,5ca b =得221=2a c bc λ-=- ()()()()()()()()()222222231222223212-++-⋅-++--⨯-+⨯+-⨯-=法四：（射影定理）可得cos cosa c Bb C=+=，4cos cos5b c A a C c=+=+下同解法二19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x（万元）随企业原纳税额x（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x（万元）的50%．经测算政府决定采用函数模型()44x bf xx=-+（其中b为参数）作为补助款发放方案．（1）判断使用参数12b=是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件①、②的参数b的取值范围．【解答】（1）法一：因为当12b=时，()33342f=<，所以当12b=时不满足条件②．…………（6分）法二：由条件②可知()[]12144,1242xf x x xx=-+≥⇔∈．因为[]34,12∉，所以当12b=时不满足条件②．…………（6分）法三：由条件②可知()2xf x≥在[]3,6上恒成立，所以2max144b x x⎛⎫≤-+⎪⎝⎭，解得394b≤，所以当12b=时不满足条件②．…………（6分）(注：如果证明了当12b=时满足条件①得2分)（2）法一：由条件①可知，()f x在[]3,6上单调递增，则对任意1236x x≤<≤时，有1212121212124()()44()0444x x x x bb bf x f x x xx x x x⎛⎫⎛⎫+-=-+--+=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即1240x x b+>⇔1214b x x>-恒成立，所以94b≥-；…………（10分）由条件②可知，()2xf x≥，即不等式1442x bxx-+≥在[]3,6上恒成立，所以2max139444b x x⎛⎫≤-+=⎪⎝⎭…………（13分）综上，参数b的取值范围是939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．…………（14分）法二：由条件①可知，()44x bf xx-+在[]3,6上单调递增，所以当0b≥时，满足条件；当0b<时，得3≤94b⇔-≤<，所以94b ≥-…………（10分） 由条件②可知，()2x f x ≥，即不等式44x b x +≤在[]3,6上恒成立，所以34436446b b ⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，得394b ≤ …………（13分） 综上，参数b 的取值范围是939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．…………（14分）20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆()222 10x y a aΓ+=>：的左、右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且2221=+AF AF .（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ，,P Q 是椭圆上两点，四边形ABPQ 是菱形，求直线l 的方程；（3）已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ，直线2AF ，l ，2BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.【解答】（1）由12AF +AF2a =，从而a =椭圆方程为2212x y +=. ………… (4分) （2）由于四边形ABPQ 是菱形，因此//AB PQ 且||||AB PQ =.由对称性，1F 在线段PQ 上. 因此，,AP BQ 分别关于原点对称；并且由于菱形的对角线相互垂直，可得AP BQ ⊥，即OA OB ⊥. ………… (6分)设:1l x my -=，与椭圆方程联立可得22(2)210m y my ++-=，设A(x 1,y 1),B (x 2,y 2),因此12222m y y m +=-+，12212y y m =-+. ………… (8分)由12120x x y y +=，可得22212122212(1)()11022m m m y y m y y m m +++++=--+=++，解得m =，即直线方程为10x -=.………… (10分)（3） 设:l y kx b =+，由122k k k +=，可得1212211y y k x x +=--， 即1212211kx b kx bk x x +++=--. 化简可得1212122()()22(1)(1)kx x b k x x b k x x +-+-=--，即12()(2)0b k x x ++-=.若0b k +=，则:l y kx k =-经过2F ，不符，因此122x x +=.………… (12分) 联立直线与椭圆方程，222(21)4(22)0k x kbx b +++-=. 因为228(21)0k b ∆=-+> ①由1224221kbx x k +=-=+，可得，2212k b k +=-② ………… (14分) 将②代入①，2221421,2k k k >+>；再由11(2)2b k k=-+，可得，(,)b ∈-∞-⋃+∞. ………… (16分)21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210i i i i a a a a +++-->，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列： ① 等差数列： ,,,,,54321； ② 等比数列： 1618141211,,,,--； （2）若数列{}n a 满足对任何正整数n ，均有11na n a a +=()10a >.证明：数列{}n a 是跳跃数列的充分必要条件是101a <<.（3）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有21195nn a a +-=，求首项1a 的取值范围.【解答】（1）① 等差数列：1,2,3,4,5,...不是跳跃数列；………… (2分)② 等比数列：11111,,,,, (24816)--是跳跃数列. ………… (4分)（2）必要性：若11a >，则{}n a 是单调递增数列，不是跳跃数列；若11a =，{}n a 是常数列，不是跳跃数列. ………… (6分)充分性：下面用数学归纳法证明：若101a <<，则对任何正整数n ，均有2121222221,n n n n n n a a a a a a -+++<<>>成立.（1）当1n =时，，112111aa a a a =>=， 213112aaa a a a =<=，1212131111,a a a a a a a a =<∴=>=，231a a a ∴>>………… (8分)321231111342,,a a a a a a a a a a a a >>∴<<<<，所以1n =命题成立………… (9分)（2）若n k =时，2121222221,k k k k k k a a a a a a -+++<<>>， 则22221212322,kk k a a a k k k a a a a a a +++++<<∴<<，212322222423,k k k a a a k k k a a a a a a ++++++>>∴>>，所以当1n k =+时命题也成立……… (10分)根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足()()2210i i i i a a a a +++-->，故{}n a 是跳跃数列.（3）()2111955n n n n a a a a +-=--， ()()22211519195125n n n n n n a a a a a a ++-=----，………… (11分) ()()()22123195125n n n n n n a a a a a a +-=----，………… (12分)11 [1]若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，此时2n a ⎫∈⎪⎪⎝⎭；………… (14分) [2]若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，此时n a ⎛∈ ⎝⎭；………… (16分)若5,22n a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则211953,52n n a a +⎛-+=∈ ⎝⎭，所以()2,2n a ∈-.若n a ⎛∈ ⎝⎭，则()21192,25n n a a +-=∈-，所以(n a ∈. 所以()()12,23,21a ∈-， 此时对任何正整数n ，均有()()2,23,21n a ∈-………… (18分)。

2020年上海市浦东新区高考数学三模试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.己知p.x2-x-6>0.t?：4x+m<0.若〃是q的必要不充分条件，求实数m的取值范用（）A.（4,+8）B.[8,+8）C. （—00,6]D.（—8,6）2.将函数=：kin⑵•+甲），中€（0,江）的图象沿X轴向右平移^个单位长度，得到奇函数g（x）的图象，则9的值为（）A-T B.：驾 D.三3.己知函"。

）={臆*,：1，%若关于X的方程r（x）=a（Q€R）有四个不同实数解也，巧,0%4»且尤1V*2V乂3V又4，则X1+x2+x3+x4的取值范国为（）A.[一逍B.（一2,勺C・[一2,+8） D. （一2,+8）4.己知点M（a,b）在直线3*+4y-20=。

上，则应E■的最小值为（）A3 B.4 C.5 D.6二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.己知集合A={x|2V*V4},B={x|x<3或x>5},则Ar\B=6.已知复数z满足zi=2-i（i是虚数单位），则夏数z=.7.抛物线x=ay2的准线方程是x=2,则“的值为.8.若一个圆柱的侧而展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比为.9.若行列式「2|a的展开式的绝对值小于6的解集为（一1，2），则实数】等于.10.现有3个奇数，2个偶数.若从中随机抽取2个数相加，则和是偶数的概率为•H.已知的展开式中％，的系数为？常数“的值为.12.无穷等比数列首项为1,公比为q（q>0）的等边数列前〃项和为5”，则”罕85“=2,则q=13.定义在R上的函数/•（!：）满足/（l+x）=f（l-x）,且XN1时,/（x）=x^+l.则/•（》）的解析式为.14.从原点。

向圆C：x2+y2-12x+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧的长度为15.己知数列｛%｝中，电=1,—±-=n(nEN^t则叼脚=______a n16.在凸四边形ABCD中MB=2f BC==150%LADB=30。