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第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． 3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．一、情境导入某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？二、合作探究探究点一：建立二次函数模型 【类型一】运动轨迹问题某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x ＝1时函数y 的值与最大摸高3.1米的大小．解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A (0，209)，B (4，4)，C (7，3)，其中B 是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y ＝a (x －h )2＋k ，将点A 、B 的坐标代入，可得y ＝－19(x －4)2＋4.将点C 的坐标代入解析式，得左边＝右边，即点C 在抛物线上，所以此球一定能投中．(2)将x ＝1代入解析式，得y ，所以盖帽能获得成功．【类型二】拱桥、涵洞问题如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y ＝ax 2，把点(2，－2)代入，得－2＝a ×22，a ＝－12，∴y ＝－12x 2，当y ＝－3时，－12x 2＝－3，x ＝± 6.故答案为2 6.方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题．如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD －DC －CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？解析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标M (12，0)和抛物线顶点P (6，6)；已知顶点坐标，可设二次函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，可利用待定系数法求出二次函数关系式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑架”总长AD ＋DC ＋CB 二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题．解：(1)根据题意，分别求出M (12，0)，最大高度为6米，点P 的纵坐标为6，底部宽度为12米，所以点P 的横坐标为6，即P (6，6)．(2)设此函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6.因为函数y ＝a (x －6)2＋6经过点(0，3)，所以3＝a (0－6)2＋6，即a ＝－112.所以此函数关系式为y ＝－112(x －6)2＋6＝－112x 2＋x ＋3.(3)设A(m，0)，则B(12－m，0)，C(12－m，－112m2＋m＋3)，D(m，－112m2＋m＋3)．即“支撑架”总长AD＋DC＋CB＝(－112m2＋m＋3)＋(12－2m)＋(－112m2＋m＋3)＝－16m2＋18.因为此二次函数的图象开口向下．所以当m＝0时，AD＋DC＋CB有最大值为18.三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题.[圆]说课稿一、教材分析1．教材的地位和作用圆是在学习了直线图形的有关性质的根底上来研究的一种特殊的曲线图形.它是常见的几何图形之一，在初中数学中占有重要地位,中考中分值占有一定比例，与其它知识的综合性较强.本节课的内容是对已学过的旋转及轴对称等知识的稳固,也为本章即将要探究的圆的性质、圆与其它图形的位置关系、数量关系等知识打下坚实的根底。
22.3 实际问题与二次函数（1）教学目标：1．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y＝ax2的关系式。
2. 使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。
3．让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。
重点难点：重点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的关系式是教学的重点。
难点：已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点。
教学过程：一、创设问题情境如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。
它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m。
施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。
如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。
这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为： y＝ax2 (a＜0) (1)因为y轴垂直平分AB，并交AB于点C，所以CB＝AB2＝2(cm)，又CO＝0.8m，所以点B的坐标为(2，－0.8)。
因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得－0.8＝a×22所以a ＝－0.2因此，所求函数关系式是y＝－0.2x2。
请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。
二、引申拓展问题1：能不能以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系?让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A点为原点，AB所在的直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系也是可行的。
问题2，若以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂直为y 轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗?分析：按此方法建立直角坐标系，则A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0),OC 所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，O点坐标为(2；0．8)。
22.3第3课时RJ利用函数解决实际问题的一般步骤：：选取适当的点建立直角坐标系.：设自变量和因变量.：找函数关系.：列出函数关系式.：根据题意进行解答.：根据题目要求进行作答.1. 掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．3. 能运用二次函数的图象与性质进行决策．1m 面下降1m， 水面的宽度么计算呢？水 怎探究图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水水面宽度增加多少？面宽4 m．水面下降1 m，知识点1图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽 4 m．水面下降1 m，水面宽度增加多少？分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便， 以拋物线的顶点为原点， 以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系(如图) ．设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2.由抛物线经过点(2 ，－2) ，可得－2＝a×22，a＝－ . 这条抛物线表示的二次函数为y＝－ x2.当水面下降1 m 时，水面的纵坐标为－3. 当y = -3时，- x2= -3 ，解得 x1= 6 ，x2= - 6 ， 所以当水面下降1 m 时，水面宽度为2 6 m. 水面下降1 m ，水面宽度增加 (2 6-4) m.除了这种建坐标系的方式外，还有其他建 坐标系的方式吗？P (0,2)A (2,0)OxP ( 2,2) B (4,0)My A (4,0)P (2,2)M x xA (2,2)O M O x ①③②O y y注意： 同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种， 建立适当的平面直角坐标系能简化函数解析式.通常应使已知 点在坐标轴上.解决桥拱形状为抛物线形的实际问题时，一般分为以下四个步 骤：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)根据条件，把已知的线段长转化为点的坐标；(3)恰当选用二次函数的解析式形式，用待定系数法求出抛物 线的解析式;(4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，进而得到 实际问题的解.一条单车道的抛物线形隧道如图所示.隧道中公路的宽 度 AB=8 m ，隧道的最高点 C到公路的距离为 6 m. ( 1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；解： ( 1) 答案不唯一.如以 AB所在直线为 x轴， 以 AB的中点为原点建立平面直角坐标系xOy，如图所示，则 A( -4,0) ，B(4,0) ，C(0,6).设这条抛物线的解析式为y=a(x-4)(x+4).一条单车道的抛物线形隧道如图所示.隧道中公路的宽 度 AB=8 m ，隧道的最高点 C到公路的距离为 6 m. ( 1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；将 C(0,6)的坐标代入，得 - 16a=6，所以抛物线的解析式为y= − x2+ 6(−4 ≤ x ≤ 4).一条单车道的抛物线形隧道如图所示.隧道中公路的宽 度 AB =8 m ，隧道的最高点 C 到公路的距离为 6 m.(2)现有一辆货车的高度是 4.4 m ，货车的宽度是 2 m.为 了保证安全，车顶距离隧道顶部至少 0.5 m ，通过计算 说明这辆货车能否安全通过这条隧道.解：(2) 由(1)知抛物线的解析式为 4.4m 当 x = 1时，y = . 因为4.4+0.5=4.9< ，所以这辆货车能安全通过这条隧道.845845y = − 8 x 2 + 6(−4 ≤ x ≤ 4). 2m 3甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一 部分，如图所示，甲在 O 点正上方 1 m 的 P 处发出一球，羽毛 球飞行的高度y (m) 与水平距离 x (m) 之间满足函数解析式y =a (x -4)2+h ，已知点 O 与球网的水平距离为 5 m ，球网的高度 为 1.55 m.( 1)当a =- 时， ①求 h 的值；解：( 1) ① 当a= − 时，y = − (x -4)2+h ，0,11.55m 将点P (0 ，1)的坐标代入， 得− × 16+h =1 ，解得h = . 5m甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一 部分，如图所示，甲在 O点正上方 1 m 的 P处发出一球，羽毛 球飞行的高度y(m) 与水平距离 x(m) 之间满足函数解析式 y=a(x-4)2+h ，已知点 O 与球网的水平距离为 5 m ，球网的高度为 1.55 m.( 1)当a=- 时，②通过计算判断此球能否过网；② 把x=5代入y= − (x-4)2+ ，得y= − ×(5-4)2+ = 1.625，∵1.625＞1.55 ， ∴此球能过网.0,1 1.55m5m甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部 分，如图所示，甲在 O 点正上方 1 m 的 P 处发出一球，羽毛球 飞行的高度y (m) 与水平距离 x (m) 之间满足函数解析式y =a (x - 4)2+h ，已知点 O 与球网的水平距离为 5 m ，球网的高度为1.55 m. (2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点 O 的水平距离为 7 m ， 离地面的高度为 m 的 Q 处时，乙扣球成功，求 a 的值.解： (2) 由题意得，16a + ℎ = 1，9a + ℎ = 125 ，∴a = − 1 a = − 1ℎ = 215 ，5 ，5.1.如图，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正 常水位 AB时，宽为 20 m ，若水位上升 3 m ，水面就会 达到警戒线 CD，这时水面宽度为 10 m.( 1) 建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；解： (答案不唯一) ( 1) 建立如图所示的平面直角坐标 系，设所求抛物线的解析式为y =ax 2 ，点D 的坐标为 D (5 ，b ) ，则B ( 10 ，b -3)，把D ，B 的坐标分别代入，得{ 10 ，3 ，解得 ，，∴抛物线的解析式为y = - x 2 .251ba如图，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正 常水位 AB时，宽为 20 m ，若水位上升 3 m ，水面就会 达到警戒线 CD，这时水面宽度为 10 m.(2) 若洪水到来时，水位以每小时 0.2 m 的速度上升， 从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？解：(2) ∵b= - 1，∴拱桥顶O到CD的距离为1 m.∵ =5 ， ∴再持续5小时到达拱桥的拱顶．2. 飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时t(单 位：s)的函数解析式是y=60t- 1.5t2.在飞机着陆滑行中， 最后 4 s滑行的距离是24m.解：当y取得最大值时，飞机停下来，则y=60t- 1.5t2=- 1.5(t-20)2+600，当t=20时，y取得最大值，即飞机着陆后滑行20 s时， 滑行距离为600米．因此 t的取值范围是0≤t≤20，当t=16时，y=576，所以最后 4 s滑行的距离是600-576=24(m)．实际问题 数学模型 归化回转能够将实际距离准确 的转化为点的坐标；选择简便的运算方法.(实物中的抛物线形问题) (二次函数的图象和性质)运动中的抛物线形 问题建立恰当的直角坐标系转化的 关键拱桥问题A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒解： ∵x 取6和14时y 的值相等，∴抛物线y =ax 2+bx 的对称轴为直线x = = 10，即炮弹达到最大高度的时刻是第10 秒．1.发射一枚炮弹，经过 x 秒后炮弹的高度为y 米，x ，y 满足y =ax 2+bx ，其中 a ，b 是常数，且 a ≠0.若此炮弹在 第 6 秒与第 14 秒时的高度相等，则炮弹达到最大高度 的时刻是( B)2.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4 m处起 跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为 2.5 m 时，达到最大高度 3.5 m ，然后准确落入篮框内，已知篮圈中心距离地面高度为 3.05 m ，在如图所 示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是 ( A) A.此抛物线的解析式是y=- x2+3.5B.篮圈中心的坐标是 (4 ，3.05)C.此抛物线的顶点坐标是 (3.5 ，0)D.篮球出手时离地面的高度是 2 m解：选项A中， ∵抛物线的顶点坐标为(0 ，3.5)，∴可设抛物线的函数解析式为y=ax2+3.5.∵篮圈中心( 1.5 ，3.05)在抛物线上，将它的坐标代入得 3.05=a× 1.52+3.5 ， ∴a=-0.2 ， ∴y=-0.2x2+3.5 ，故 本选项正确；选项B中，由图示知，篮圈中心的坐标是(1.5 ，3.05)，故本选项错误；选项C中，由图示知，此抛物线的顶点坐标是(0，3.5)，故本选项错误；选项D中，设这次跳投时，球出手处离地面h m ，∵由选项A可知y=-0.2x2+3.5 ， ∴当x=-2.5时，h= -0.2×(-2.5)2+3.5=2.25．∴这次跳投时，球出手处离地面2.25 m．故本选项错误．!。
第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数第3课时 抛物线形实物及运动轨迹问题学习目标：1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．2.利用二次函数解决抛物线形实物及运动轨迹相关问题．3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．重点：掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 难点：利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．一、知识链接如图是二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出二次函数的解析式类型.(1)_________ (2)_________ (3)_________二、要点探究探究点1：利用二次函数解决抛物线形实物问题 合作探究如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m.水面下降1m ，水面宽度增加多少？问题1 怎样建立直角坐标系比较简单呢？问题2 从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线的位置呢？问题3 如何确定a的值是多少？问题4 水面下降1m，水面宽度增加多少？知识要点：解决抛物线型实际问题的一般步骤.(1) 根据题意建立适当的直角坐标系；(2) 把已知条件转化为点的坐标；(3) 合理设出函数解析式；(4) 利用待定系数法求出函数解析式；(5) 根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.典例精析例1 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形OABC的长是12m，宽是4m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+2x+c表示．（1）请写出该抛物线的函数解析式；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？变式如图，施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，OM宽度为16米，其顶点P到OM的距离为8米．（1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出这条抛物线的函数解析式；（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明．探究点2：利用二次函数解决抛物线形运动轨迹问题例2 某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出的水流呈抛物线状，喷出的水流高度y（m）与喷出水流离喷嘴的水平距离x（m）之间满足（1）喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？（2）喷嘴喷出水流的最远距离为多少？变式 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA ，O 恰在水面中心，OA=1.25m ，由柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA 距离为1m 处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m 才能使喷出的水流不致落到池外？例3 如图，一名运动员在距离篮球框中心4m （水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮筐，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m 时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m ，如果篮框中心距离地面3.05m ，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？三、课堂小结1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=－4.9t 2+19.6t 来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s 后落地.2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为2113822y x x =-++，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米.第2题图 第3题图3.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）A.50mB.100mC.160mD.200m4.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m ，拱顶距离水面 4 m ．建立如图所示的直角坐标系，求出这条抛物线表示的函数的解析式.5.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．一名运动员起跳后，他的飞行路线如图所示，当他的水平距离为15 m时，达到飞行的最高点C处，此时的竖直高度为45 m，他落地时的水平距离（即OA的长）为60 m，求这名运动员起跳时的竖直高度（即OB的长）．能力提升悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900 m，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m.(1) 若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数解析式；(2) 计算距离桥两端主塔分别为100m，50m处垂直钢索的长.参考答案自主学习 知识链接（1）y=ax 2 （2）y=ax 2+k （3）y=a(x-h)2+k 或y=ax 2+bx 课堂探究 二、要点探究探究点1：利用二次函数解决实物抛物线形问题 合作探究问题1 以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，如图．问题2 由于顶点坐标是（0，0），因此这个二次函数的形式为y=ax 2 （a ＜0）．问题3 已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A （2，-2）在抛物线上，由此得出-2=a·22，解得a=1.2-因此， ，其中｜x ｜是水面宽度的一半，y 是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．问题4 解：这条抛物线表示的二次函数为y=21.2x -当水面下降1m 时，水面的纵坐标-3 令213,2x -=-解得12x x ==即，水面下降1m时，水面宽度增加()4m.212y x =-例1 解：（1）根据题意得C （0，4），把C （0，4），代入y ＝16-x 2+2x+c ，得c=4.所以抛物线解析式为y ＝16-x 2+2x+4.（2）抛物线解析式为y ＝16-x 2+2x+4=16-(x-6)2+10.所以对称轴为x ＝6，由题意得货运汽车最外侧与地面OA 的交点为（2，0）或（10，0），当x ＝2或x ＝10时，y ＝223＞6，所以这辆货车能安全通过.（3）令y ＝8，则16-(x-6)2+10=8,解得x 1＝2＝,则x 1﹣x 2＝所以两排灯的水平距离最小是变式 解：（1）如图，以O 为原点建立直角坐标系，易得抛物线的顶点坐标为（8，8）.设y ＝a （x ﹣8）2+8，将点（0，0）代入上式得0＝64a+8，解得a=1.8-故函数的解析式为 y ＝18-（x ﹣8）2+8（0≤x ≤16）.（2）由题意得车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿处，x ＝7.5﹣3.5＝4，当x ＝4时，y ＝6，即允许的最大高度为6米，5.8＜6，故该车辆能通行.探究点2：利用二次函数解决运动中抛物线型问题例2 解：(1)∵y ＝12-x 2+2x=12-(x-2)2+2.故当x ＝2时，喷嘴喷出水流的最大高度是y ＝2.(2)令y=0,即12-x 2+2x=0,解得x 1=0,.变式 解：建立如图①所示的坐标系.根据题意得，A 点坐标为(0，1.25)，顶点B 坐标为(1，2.25).设右边抛物线为y=a(x-h)2+k ，由待定系数法可求得抛物线解析式为 y=－ (x-1)2+2.25.当y=0时,可求得点C 的坐标为(2.5,0) ;同理，点 D 的坐标为(-2.5,0) . 根据对称性，如果不计其他因素，那么水池的半径至少要 2.5m ，才能使喷出的水流不致落到池外.图① 图②例3 解：如图②，建立直角坐标系.则点A 的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的位置为B （0，3.5）.以点C 表示运动员投篮球的出手处.设以y 轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k ，即y=ax 2+k.而点A ，B 在这条抛物线上，所以有 2.25 3.05,3.5,a k k +=⎧⎨=⎩0.2,3.5.a k =-⎧⎨=⎩解得所以该抛物线的解析式为y=－0.2x 2+3.5.当 .当堂检测1.42.23.C4.解：设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax 2.∵该抛物线过(10,-4),∴-4=100a ，a=-0.04.∴y=-0.04x 2.5.解：设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣h ）2+k ，根据题意得：抛物线的顶点坐标为（15，45），∴y＝a （x ﹣15）2+45，∵与x 轴交于点A （60，0），∴0＝a （60﹣15）2+45，解得：a ＝145-.∴解析式为y=145-（x ﹣15）2+45，令x ＝0得：y ＝145-（0﹣15）2+45=40.∴这名运动员起跳时的竖直高度为40米． 能力提升 解：（1）根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0，0.5），对称轴为y 轴，设抛物线的函数解析式为y=ax 2+0.5.抛物线经过点（450，81.5），代入上式，得81.5=a•4502+0.5.解得a ＝2811=4502500.故所求解析式为y=12500x 2+0.5（-450≤x ≤450）. (2) 当x=450－100=350时，得y=12500×3502+0.5=49.5.当x=450－50=400时，得y=12500×4002+0.5=64.5.即距离桥两端主塔分别为100m ，50m 处垂直钢索的长分别为49.5m 、64.5m.。
22.3 实际问题与二次函数第1课时 二次函数与图形面积出示目标能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的图象和性质求出实际问题的答案.预习导学阅读教材第49至50页,自学“探究1”，能根据几何图形及相互关系建立二次函数关系式，体会二次函数这一模型的意义.自学反馈 学生独立完成后集体订正如图，点C 是线段AB 上的一点，AB=1，分别以AC 和CB 为一边作正方形，用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是(A)A.当C 是AB 的中点时，S 最小B.当C 是AB 的中点时，S 最大C.当C 为AB 的三等分点时，S 最小D.当C 是AB 的三等分点时，S 最大活动1 小组讨论例1 某建筑的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料长为15 m (图中所有线条长度之和)，当x 等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m)？此时，窗户的面积是多少？解:由题意可知4y+×2πx+7x=15.化简得y=. 设窗户的面积为S m 2，则S=πx 2+2x ×=-3.5x 2+7.5x. ∵a=-3.5<0，∴S 有最大值.∴当x=-=≈1.07 (m)时， S 最大=≈4.02(m 2).即当x ≈1.07 m 时，窗户通过的光线最多. 此时，窗户的面积是4.02 m 2.点拨：此题较复杂，特别要注意:中间线段用x 的代数式来表示时，要充分利用几何关系；要注意顶点的横坐标是否在自变量x 的取值范围内.1574x x π--121574x x π--7.52( 3.5)⨯-151420-225=4-414⨯⨯（7.5）（3.5）例2 如图，从一张矩形纸较短的边上找一点E ，过E 点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE 、DE ，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E 应选在何处？为什么？解:设矩形纸较短边长为a ，设DE=x ，则AE=a-x.那么两个正方形的面积和y 为y=x 2+(a-x)2=2x 2-2ax+a 2.当x=a 时，y 最小=2×(a)2-2a ×a+a 2=a 2. 即点E 选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小.点拨：此题关键是充分利用几何关系建立二次函数模型，再利用二次函数性质求解.活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)如图，有一块空地，空地外有一面长10 m 的围墙，为了美化生活环境，准备靠墙修建一个矩形花圃，用32 m 长的不锈钢作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为1 m 的通道及在左右花圃各放一个1 m 宽的门，花圃的宽AD 究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？解：当x=6.25 m 时，面积最大为56.25 m 2 .点拨：此题要结合函数图象求解，顶点不在取值范围内.课堂小结学生试述:这节课你学到了些什么？第2课时 二次函数与商品利润出示目标能根据实际问题建立二次函数的关系式，并探求出在何时刻，实际问题能取得理想值，增强学生解决具体问题的能力. 预习导学阅读教材，自学“探究2”，清楚求实际问题中的最值与二次函数最值之间的关系. 自学反馈 学生独立完成后集体订正某商场购进一批单价为4元的日用品.若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满足一次函数关系.(1)试求y 与x 之间的函数关系式；(2)当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大?每月的最大利润是多少？-21-222a =⨯121212解：(1)y=-10 000 x+80 000.(2)当销售定价为6元时，每月利润最大，最大利润为40 000元.点拨：(1)根据数量关系列出函数关系式； (2)先建立二次函数模型，将二次函数解析式转化为顶点式，再求最值.注意自变量需符合实际意义.活动1 小组讨论例1 某经销店为某工厂代销一种建筑材料，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现:当每吨售价下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，综合考虑各种因素，每售出1吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元，设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元).①当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；②求出y 与x 的函数关系式(不要求写出x 的取值范围)；③该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？④小静说:“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗？请说明理由.解:①45+×7.5=60(吨). ②y=(x-100)(45+×7.5). 化简，得y=-x 2+315x-24 000. ③y=-x 2+315x-24 000=-(x-210)2+9 075. 此经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元.④我认为，小静说得不对. 理由:当月利润最大时，x 为210元，而月销售额W=x(45+×7.5)=-(x-160)2+19 200. 当x 为160元时，月销售额W 最大.∴当x 为210元时，月销售额W 不是最大的.∴小静说得不对.点拨：要分清利润、销售量与售价的关系；分清最大利润与最大销售额之间的区别. 活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价增加x 元(x 为10的正整数倍).(1)设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围;(2)设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？26024010-26010x -34343426010x -34解:(1)y=50-(0≤x ≤160,且x 为10的正整数倍). (2)w=(180-20+x)(50-)=-x 2+34x+8 000; (3)一天订住34个房间时，宾馆每天的利润最大，最大利润为10 880元.课堂小结学生试述:这节课你学到了些什么？第3课时 实物抛物线出示目标能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题.预习导学 阅读教材，自学“探究3”，学会根据实际问题，建立适当的坐标系和二次函数关系. 自学反馈 学生独立完成后集体订正①隧道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为y=-x2+2,一辆车高3 m,宽4 m ，该车不能(填“能”或“不能”)通过该隧道.②有一抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，把它的示意图放在如图所示的坐标系中，则抛物线的函数关系式为y=-x 2+x.活动1 小组讨论例1 小红家门前有一座抛物线形拱桥，如图，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ，水面下降1 m 时，水面宽度增加多少?解:由题意建立如图的直角坐标系：设抛物线的解析式为y=ax 2.10x 10x 1101812585∵抛物线经过点A(2，-2),∴-2=4a,∴a=-.即抛物线的解析式为y=-x 2. 当水面下降1 m 时，点B 的纵坐标为-3.将y=-3代入二次函数解析式y=-x 2， 得-3=-x 2，x 2=6,x=±.∴此时水面宽度为m.即水面下降1 m 时，水面宽度增加了-4)m. 点拨：用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系.抛物线的解析式设的恰当会给解决问题带来方便.活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果) 1.有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20 m ，拱顶距离水面4 m.①如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；②在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，求出将d 表示为h 的函数解析式；③设正常水位时桥下的水深为 2 m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18 m ，求水深超过多少m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行.解：1.①y=-x 2；②d=10； ③当水深超过2.76 m 时，就会影响过往船只在桥下顺利航行点拨：以桥面所在直线为x 轴，以桥拱的对称轴所在直线为y 轴建立坐标系.设抛物线线解析式为y=ax 2，然后点B 的坐标为(10，-4)，即可求出解析式.2.某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4 m 加设不锈钢管如图所示的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据.1212121261254h①求该抛物线的解析式；②计算所需不锈钢管的总长度.解：①略；②80 m.点拨：本题可以通过建立不同的平面直角坐标系，求出不同的抛物线的解析式，但对计算总长度没有影响.课堂小结学生试述:这节课你学到了些什么?课堂小练一、选择题1.如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m,则所围成矩形ABCD最大面积是（）A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m22.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（）A.﹣20mB.10mC.20mD.﹣10m3.在一定条件下，若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t，则当t=4时，该物体所经过的路程为( )A.88米B.68米C.48米D.28米4.图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l时,拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m,水面宽4m.如图（2）建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是（）A.y=﹣2x2B.y=2x2C.y=﹣0.5x2D.y=0.5x25.如图，正方形ABCD的边长为5，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且BE=DF．四边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y与BE的长x之间的函数关系式为（）A.y=5﹣xB.y=5﹣x2C.y=25﹣xD.y=25﹣x26.烟花厂为热烈庆祝“十一国庆”，特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=-2.5t2+30t+1，礼炮点火升空后会在最高点处引爆，则这种礼炮能上升的最大高度为（）A.91米B.90米C.81米D.80米二、填空题7.比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图).若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系y=-x2+x+，则羽毛球飞出的水平距离为米.8.长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），面积为ycm，则这样的长方形中y与x的关系可以写为。
22.3实际问题与二次函数第3课时二次函数与拱桥类问题【知识网络】典案二导学设计学案一学习目标:1、体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值。
2、掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值。
学习重点:应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润。
学习难点:能够正确地应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润．特别是把握好自变量的取值范围对最值的影响。
学习过程:一、预备练习：1. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米．2. 一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++． 则他将铅球推出的距离是 m二、新课导学：1、如图所示，桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA ，O 恰在水面中心，OA=1.25m.由柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA 距离为1m 处达到距水面最大高度2.25m.(1)如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m ，才能使喷出的水流不致落到池外？ (2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同，水池的半径为3.5m ，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达到多少m(精确到0.1m)？2、某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面1032米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3.6米，问此次跳水会不会失误？。
