云南考生咨询方差和切尔学夫不等式与预测区间的逻辑关系？

方差区间估计推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：统计学中的方差是一种衡量数据散布程度的统计量，它用来描述一组数据的离散程度。

方差区间估计是一种统计方法，用于估计总体方差的范围。

在实际应用中，我们往往无法得到总体的所有数据，而只能通过样本来估计总体的参数。

方差区间估计就是借助样本数据来估计总体方差的一种方法。

方差区间估计的推导过程可以分为以下几个步骤：1. 确定总体方差的分布类型：在进行方差区间估计之前，首先需要明确总体方差的分布类型。

常见的总体方差分布有正态分布、均匀分布、指数分布等。

根据总体方差的分布类型，选择相应的统计方法进行推导。

2. 确定抽样分布类型：根据总体方差的分布类型，确定抽样分布的类型。

通常我们会利用中心极限定理来假设样本均值的抽样分布是正态分布。

根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。

3. 计算样本方差：从总体中抽取样本数据，通过计算样本方差来估计总体方差。

样本方差是样本数据的离散程度的一种度量，它可以帮助我们估计总体方差的大小。

4. 计算置信区间：根据样本数据和样本方差的抽样分布，计算总体方差的置信区间，即估计总体方差的范围。

一般来说，方差的置信区间是基于样本方差和自由度的t 分布来计算的。

在计算置信区间时，我们需要确定置信水平和置信系数，以确保估计的准确性。

5. 判断总体方差的大小：根据计算得到的置信区间，判断总体方差的大小是否在该区间内。

如果总体方差的估计值在置信区间内，我们就可以认为我们对总体方差的估计是准确的；反之，如果估计值不在置信区间内，我们需要重新调整样本容量或考虑其他统计方法来提高估计的准确性。

方差区间估计是一种通过样本数据来估计总体方差的统计方法，它可以帮助我们了解总体数据的分布情况，并做出相应的推断和决策。

通过合理选择样本数据和统计方法，我们可以获得准确的总体方差估计值，从而为实际问题的解决提供有力支持。

在实际应用中，我们可以根据方差区间估计的结果，对数据进行分析和预测，从而更好地指导决策和实践。

高考数学冲刺方差分析与回归分析高考数学冲刺：方差分析与回归分析在高考数学的冲刺阶段，方差分析与回归分析是两个重要的知识点。

掌握好这两个部分，不仅能提升我们在统计学方面的理解和应用能力，还有助于在考试中取得更优异的成绩。

首先，我们来聊聊方差分析。

方差分析，简单来说，就是用于比较多个总体均值是否存在显著差异的一种统计方法。

想象一下，有三组学生分别采用不同的学习方法进行备考，我们想知道这三种学习方法对最终考试成绩的影响是否有显著差别。

这时候，方差分析就派上用场了。

在方差分析中，有几个关键的概念需要我们弄清楚。

一是因素，就像前面提到的不同学习方法，这就是一个因素。

二是水平，每种学习方法就是这个因素的一个水平。

那么，方差分析是怎么进行的呢？它通过计算组间方差和组内方差来判断总体均值是否存在显著差异。

组间方差反映了不同水平之间的差异，组内方差则反映了同一水平内个体之间的差异。

如果组间方差远远大于组内方差，那就说明不同水平之间的差异是显著的，也就是说不同的学习方法对成绩的影响有明显的不同。

反之，如果组间方差和组内方差相差不大，那就意味着这些学习方法对成绩的影响可能没有太大的区别。

接下来，我们再谈谈回归分析。

回归分析主要是研究变量之间的关系。

比如说，我们想知道学生每天的学习时间和考试成绩之间的关系。

通过收集一系列的数据，我们可以建立一个回归模型来描述这种关系。

回归分析中有线性回归和非线性回归。

线性回归是最常见的一种，它假设变量之间的关系是线性的，也就是可以用一条直线来表示。

在建立回归模型的过程中，我们会用到一些统计量来评估模型的好坏，比如决定系数（R²）。

R²的值越接近 1，说明模型对数据的拟合程度越好，也就是说这个模型能够较好地解释变量之间的关系。

但是，要注意的是，回归分析得到的结果只是一种基于数据的趋势和关系，并不能确定因果关系。

也就是说，我们不能仅仅因为学习时间和考试成绩之间存在正相关，就得出学习时间增加必然导致考试成绩提高的结论。

数学期望与方差的关系_理解数学期望与方差之间的群关系随机变量的数学期望与方差是高考的重要考点, 也是学习数学的难点。

你知道两者之间的关系吗?下面就由店铺和你说说吧。

数学期望与方差的关系方差指一组数据中每个元素间的离散程度,方差小则离散程度小,反之则大.期望值指一个人对某目标能够实现的概率估计,即：一个人对目标估计可以实现,这时概率为最大(P=1);反之,估计完全不可能实现,这时概率为最小(p=0).因此,期望(值)也可以叫做期望概率.一个人对目标实现可能性估计的依据是过去的经验,以判断一定行为能够导致某种结果或满足某种需要的概率.什么是数学期望在概率论和统计学中，数学期望(mean)(或均值，亦简称期望)是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。

是最基本的数学特征之一。

它反映随机变量平均取值的大小。

需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。

(换句话说，期望值是该变量输出值的平均数。

期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。

) 公式X1,X2,X3，……，Xn为这离散型随机变量，p(X1),p(X2),p(X3)，……p(Xn)为这几个数据的概率函数。

在随机出现的几个数据中p(X1),p(X2),p(X3)，……p(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3，……，Xn出现的频率f(Xi).则：E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1) + X2*f2(X2) + …… + Xn*fn(Xn)什么是方差方差的概念与计算公式，例1 两人的5次测验成绩如下：X：50，100，100，60，50 E(X)=72;Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y)=72。

平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。

方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。

单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D(X)：直接计算公式分离散型和连续型，具体为：这里是一个数。

参数和方差的关系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:参数和方差是统计学中重要的概念，它们在数据分析和模型建立中发挥着关键作用。

参数是用来描述总体或样本中某个特征的数值，它可以帮助我们了解数据的特征和分布。

方差则是用来衡量数据的离散程度，它描述了数据分布的变异程度。

本文将探讨参数和方差之间的关系，研究它们在数据分析和模型建立中的相互影响。

在统计学中，参数是用来描述总体或样本中的某个特征的数值。

它可以是均值、标准差、相关系数等。

参数通常通过样本数据的估计来得到。

参数的估计是通过计算样本数据的统计量来近似总体参数的值。

参数的估计可以帮助我们了解数据的中心位置、离散程度等特征。

它们提供了样本数据的摘要和总结，使我们能够更好地理解和分析数据。

方差是一种用来衡量数据离散程度的指标。

它描述了数据分布的变异程度。

方差越大，数据的离散程度就越高；方差越小，数据的离散程度就越低。

方差的计算是通过数据与其均值之间的差异来进行的，它考虑了每个数据点与均值之间的距离，因此能够提供数据分布的离散程度信息。

参数和方差之间存在着密切的关系。

参数是通过样本数据的估计来得到的，而方差则是用来衡量数据的离散程度。

从某种程度上说，参数可以影响到方差的大小。

例如，在回归分析中，参数估计的精确程度会直接影响到模型的方差。

当参数估计的不准确性增加时，模型的方差也会增加，因为模型对数据的拟合程度变差了。

因此，我们可以说参数和方差之间存在一种正相关关系，即参数估计的准确性越高，方差越低。

参数和方差的关系在数据分析和模型建立中具有重要的意义。

通过对参数和方差的研究，我们可以更好地理解数据的分布特征，并针对不同的实际问题进行适当的参数估计和方差控制。

参数和方差的关系也可以帮助我们选择合适的分析方法和模型，以提高数据分析和预测的准确性和稳定性。

在本文的后续章节中，我们将深入探讨参数的定义和作用，方差的定义和意义，以及参数和方差之间的关系。

我们还将展望参数和方差关系在未来数据分析和模型建立中的应用前景。

如何理解方差和标准差的意义？ 随机变量X 的方差为:2E(X))-E(X D(X)= ,方差的平方根D(X)称为标准差，它描述随机变量取值与其数学期望值的离散程度，描述随机变量稳定与波动，集中与分散的状况。

标准差大，则随机变量不稳定，取值分散，预期数学期望值的偏离差大，在量纲上它与数学期望一致。

在实际问题中，若两个随机变量X,Y ,且E(X),E(Y)E(Y )E(X)=或E(Y)E(X)与比较接近时，我们常用D(Y)D(X)与来比较这两个随机变量。

方差值大的，则表明该随机变量的取值较为离散，反之则表明他较为集中。

同样，标准差的值较大，则表明该随机变量的取值预期期望值的偏差较大，反之，则表明此偏差较小。

随机变量X 的数学期望和方差有何区别和联系？1. 随机变量X 的数学期望E(X)描述的是随机变量X 的平均值，而方差)(X D 刻画的是随机变量X 与数学期望)(X E 的平均离散程度。

方差)(X D 大，则随机变量X 与数学期望)(X E 的平均离散程度大，随机变量X 取值在数学期望附近分散；方差)(X D 小，则随机变量X 与数学期望)(X E 的平均离散程度小，随机变量X 取值在数学期望附近集中。

2. 方差2E(X))-E(X D(X)=是用数学期望来定义的，方差)(X D 是随机变量X 函数2E(X))-(X 的数学期望，所以，由随机变量函数的数学期望的计算公式我们得到：（1） 若X 为离散型，则有（2.3） （2） 若X 为连续型，则有（2.4）3. 在实际问题中，我们经常用2E(X))-E(X D(X)=来计算方差。

由此可以得到：随机变量X 与数学期望)(X E 不存在，则方差一定不存在。

4. 若随机变量X 与数学期望)(X E 存在，方差也可能不存在。

切比雪夫不等式的意义是什么？有哪些应用？切比雪夫不等式有两种等价形式的表达形式：2)(1))((εεX D X E X P -≥<-或2)())((εεX D X E X P ≤≥-。

高考数学复习考点知识与结论专题讲解 第61讲 随机变量分布列随机变量分布列、、期望与方差【知识通关】通关一、离散型随机变量分布离散型随机变量分布列列1. 离散型随机变量的分布列的表示一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为12,,,n x x x ，X 取每一个值()12,,,i x n 的概率12,i i P X x p i n === （）,,，则下表称为随机变量X 的概率分布列，简称为x 的分布列.X 1x 2x i x n x P1p2pi pn p为了简单起见，也可以用等式12,i i P X x p i n === （）,,，表示X 的分布列. 2. 离散型随机变量的分布列的性质根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： （1）012,,,i P i n ≥= ，； （2）121i n p p p p +++++= ；（3）1i j i i j Px x x P P P +≤≤=+++ （）（*,i j i j N <∈且）. 通关二通关二、、离散型随机变量的均值与方差1. 期望与方差的表示一般地，若离散型随水变量X 的概率分布列为：则称1122i i n n E X x P x P x p x p =+++++ （）为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了高散型随机变量取值的平均水平；称()21ni i i D x x E X p = =− ∑（）为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X与其均值E （Xx 的标准差. 2. 均值的性质若y aX b =+，其中a b ，是常数，X 是随机变量，则均值的性质：（1）Ek k =（）（k 为常效）； （2）EaX b aB X b +=+（）（）； （3）1212E X X E X E X +=+（）（）（）； （4）若12,X X 相互独立，则1212·E X X E X E X ⋅=（）（）（）. 3. 方差的性质（1）0Dk =（）（k 为常数）； （2）2D aX b a D X +=（）（）；（3）22[]D X E X E X =−（）（）（）.X 1x 2x i x n x P1p2pi pn p通关三通关三、、正态分布曲缆及特点我们把画数224()(),(,)k n nn x x ϕ−−−==−∞+∞（其中u 是样本均值，σ是样本标准差）的图像称为正态分布密度曲线，简称正态曲线.（1）曲线位手x 轴上方，与x 轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线x µ=对称；（3）曲线在x µ=（4）曲线与x 轴之间的面积为1；（5）当σ一定时，曲线的位置由u 确定，曲线随着u 的变化而沿x 轴平移；（6）当u 一定时，曲线的形状由σ确定；σ越小，曲线越“瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. 【结论第讲】结论一结论一、、求解离散型随机变量X 的分布到的步的分布到的步骤骤1. 理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；2. 求X 取每个值的概率；3. 写出X 的分布列；4. 根据分布列的性质对结果进行检验.【例1】甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都投球3次时投篮结束. 设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响，（1）求甲获胜的概率；（2）求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列.【解析】设,k k A B 分别表示“甲、乙在第k 次投篮投中”，则()()()1112233,,,,k k P A P B k ===.（1）记“甲获胜”为事件C ，由互斥事件与相互独立事件的概率计算公式知1112112231122111()()()()()()()()()()()P C P A P A B A P A B A B A P A P A P B P A P A P B P A =++=++32221211211111133323323392727()()()().P B P A +×+=++==××× （2）ξ的所有可能取值为1，2，3且111121213323()()()P P A P A B ξ×==+=+=；1222221112921121232332()()()(( =)P P A B A P A B A B ξ+==+=×××11223()()P P A B A B ξ==22211329()(×==, 综上ξ的分布列为：【变式】在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为2，4，2，且各轮问题能否正确回答互不影响.（1）求该选手进人第三轮才被淘汰的概率； （2）求该选手至多进人第三轮考核的概率；（3）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列.【解析】设事件i A （1234i =，，，）表示“该选手能正确回答第i 轮问题”，由已知234154316543(),(),(),()P A P A P A P A ==== （1）设事件B 表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则123123543116546()()()()()()P B P A A A P A P A P A ===××−= （2）设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”，则112123112123P ( C ) = P ( ++ )=P ( )+P ()+P ( )A A A A A A A A A A A A 1515431665654()××=++×−12=（3）x 的可能取值为1，2，3，4.1231211541541213665665()();()()();()(P X P A P X P A A P X A P A A =======×−===×12331553114466442(;()()P X P A A A −===×=××=所以，x 的分布列为：结论二结论二、、期望与方差的一般计算步骤1. 理解X 的意义，写出X 的所有可能取的值；2. 求X 取各个值的概率，写出分布列；3. 根据分布列，正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.【例2】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完. 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关. 如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温 [10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30， 35） [35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率，（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【解析】（1）由题意知X 的可能取值为200，300，500，P （X=200）=2160290.+=36257430004500049090().,().P X P X ++====== 所以X 的分布列为：X 200 300 500 P0. 20. 40. 4（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，所以只需考虑200≤n ≤500. 当300≤n ≤500时，若最高气温不低于25，则Y=6n -4n =2n ；若最高气温位于区间[20，25），则Y=6×300+2（n -300）-4n =1200-2n ； 若最高气温低于20，则Y=6×200+2(n -200）-4n =800-2n ； 所以F(Y ）=2n ×0. 4+(1200-2n )×0. 4+(800-2n )×0. 2=640-0. 4n . 当200≤n ≤300时，若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n ； 若最高气温低于20，则Y=6×200+2（m -200）-4n =800-2n ；所以E(Y ）=2n×(0. 4+0. 4)+(800-2m )×0. 2=160+1. 2n .综上，当n=300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元【变式】为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛，竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签的方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.（1）求决赛中甲乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（2）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列和数学期望.【解析】（1）设事件A 为“甲乙排在前两位”，则232355110()()A A n A P A n Q A ⋅===（）. （2）X 的可能取值为0,1,2,3，则232323235555432301510();(),A A A A P X P X A A ⋅⋅⋅⋅======23332323555211123510();()A A A B P X P X A A ⋅⋅⋅⋅======. 所以x 的分布列为：结论三结论三、、二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 恰好发生次的概率为1k k n k n P X k C p p −==−（）（）"，k=0，1，2…，n ，则称随机变量X 服从二项分布，记作x ~B （n ，p ）.X1nP001nn C p p −（） 1111n n C p p −−（）1n n n C p p −（）要点诠释：1E X np D X np p ==−（），（）（）. 【例】3为保护水资源，宣传节约用水，某校4. 名志愿者准备去附近的甲、乙、两三个公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三个公园中随机选择一个，且每人的选择相互独立.（1）求4人恰好选择了同一个公园的概率；（2）设选择甲公园的志愿者的人数为X ，试求X 的分布列及期望.【解析】（1）设“4人恰好选择了同一个公园”为事件A. 每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有3’种等可能的情况，事件A 所包含的等可能事件的个数为3，所以431273P A ==（）,故4人恰好选择了同一个公园的概率为127（2）设“一名志愿者选择甲公园”为事件C ，则13P C =（）. 4人中选择甲公园的人数X 可看作4次独立重复试验中事件C 发生的次数. 因此，随机变量X 服从二项分布X 可取的值为0，1，2，3，4.4141233()()()i i P X i C −==，i=0，1，2，3，4.X 的分布列为：X 的期望为14433()E X np ==×=【变式】一家面包房根据以往某种将日销售量落入各组的频率视为概（1）求在未来连续3天里，有的概率；（2）用X 表示在未来3天里日方差D(X ）.【解析】（1）设1A 表示事件“日销件“在未来连续3天里，有连续2天的1000600040002...P A =++（）（）2000350015..P A P =×==（），（（2）X 的可能取值为0，1131061.P X C ==−（）（）（3333060216..P X C ===（）（）. 随机变量X 的分布列为：X P往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直视为概率，并假设每天的销售量相互独立.里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量x 的分布日销售量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低5006.×=，060601520108....B ×××=）.1，2，3，相应的概率为：03010P X C ==−（）（222130602882061060432.....P X C ===−=）；（）（）（）0 1 2 30064. 0288. 0432. 0216.分布直方图，如图所示. 天的日销售量低于50个的分布列、期望E(X ）及量低于50个”，B 表示事售量低于50个”，因此360064..=）； ；因为X~B （3，0. 6），所以期望30618..E X np ==×=（），方1306106072...D X p p =−=××−=（）（）（）.结论四结论四、、超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有x 件次品，则012,,,,,,k n kN NMM nC P X k k m C C −−==== （）其中min{,},m M n =且*,,,,n N M N n M N N ≤≤∈. 要点诠释：21()()(),()()nM nM N M N n E X D X N N N −−==− 【例】4某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4. 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（1）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；（2）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.【解析】（1）由已知得11234321013C C C P C ⋅+==,所以事件A 发生的概率为13. （2）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.222111111334333434222101010474012151515 ();();()C C C C C C C C C P X P X P X C C C +++========= 所以，随机变量x 的分布列为：随机变量X 的数学期望4740121151515()E X =×+×+×=.【变式】为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从红塔区某学校推荐的10名教师中任选3人去参加支教活动. 这10名教师中，语文教师3人，数学教师4人，英语教师3人.（1）求选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率； （2）求选出的3人中，语文教师人数X 的分布列和数学期望.【解析】设事件i A 为“3人中有i 名语文教师”，j B 为“3人中有j 名数学教师”，事件A 为“语文教师人数多于数学教师人数”，所以3213412213333310021333331010101099121120C C C C C C C P A P A B P A B P A B P A C C C C ++++++==+++=（）（）（₂）（）（）31120=. （2）语文教师人数X 可取的值为0，1，2，3，依题意可得x~H （10，3，3），所以2217713331301310031211356301212020120,(),(),C C C P C C C C X P X P X C =========（）3331031201()C P X C ===. 所以X 的分布列为：所以356321*********12012012010()E X =×+×+×+×=.结论五结论五、、利用期望与方差进行决策若我们希望实际的平均水平较理想时，一般先求随机变量12,ξξ的期望，若12()()E E ξξ=时，则用12(),()D D ξξ来比较这两个随机变量的偏离程度. 若1()E ξ与2()E ξ比较接近，且期望较大者的方差校小，显然该变量更好；若1()E ξ与2()E ξ比较接近且方差相差不大时，应根据不同选择给出不同的结论，是选择较理想的平均水平还是选择较稳定.【例5】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变. 近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中，A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下；支付方式支付金额（元）（0，1000]（1000，2000]大于2000 仅使用A |18人 9人 3人 仅使用B10人14人1人（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率； （2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化. 现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元. 根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.【解析】（1）由题意得：从全校所有学生中随机抽取的100人中，A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A 的有30人，仅使用B 的有25人，所以A ，B 两种支付方式都使用的人数有：100-5-30-25=40. 从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率4004100.p ==.（2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，则X 的可能取值为0，1，2. 样本仅使用A 的学生有30人，其中支付金额在（0，1000]的有l8人，超过1000元的有12人，样本仅使用B 的学生有25人，其中支付金额在（0. 1000]的有10人，超过1000元的有15人.所以1810180618151239013013025750253025307525;();P X P X ××+========（）121518023025750256()P X ====×. 所以x 的分布列为：数学期望61360121252525()E X =×+×+×=.（3）不能认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，理由如下：样本中仅使用A 的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元的概率为3333014060C p C ==,虽然概率较小，但发生的可能性为14060,故不能认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.。

12月cfa一级学习顺序是什么？CFA一级考试难吗？报考了2019年12月cfa考试的考生们，现在应该已经进入备考阶段了，12月仅举行CFA一级考试，CFA一级考生大多都是初次接触CFA考试，对于cfa考试知识还不够了解，cfa 考试每个级别都有自己的重难点，如果CFA考生能够了解重难点，并针对性找到学习顺序、学习方法，那备考会简单很多，高顿君今天给大家讲讲12月cfa一级学习顺序及一级考试重难点。

12月CFA一级考试考纲内容与6月是相同的，在备考时，CFA考生应当先了解CFA考试的考纲内容，再去结合其他教材学习CFA考试的重难点，CFA一级学习顺序可依照重难点等级顺序学习。

2019年CFA一级考纲变化内容：财务报表分析删除了一个reading表内表间关系&权责发生制，权重从20%下调到了15%。

直接从48道题降至36题。

Fintech新增内容添加到了投资组合管理（Portfolio Management）从原来的1个session变为了2个session，原有reading章节有顺序的变动，但是该考察的老知识点不变，只是在科目最后新增了一整个reading添加了Fintech 的4个LOS（考点）。

12月CFA一级重难点（学习顺序）：重难点一：技术分析相反理论的思考原则相反定律的思考原则就是与常理不同。

机构在进仓，我们就卖，机构买入，我们就卖。

空头多，我们就买，多头多，我们就卖。

看熊市的人多，我们就买，看牛市的人多，我们就卖。

重难点二：几何平均数与调和平均数几何平均数其实就是假设按照一个固定的平均增长利率，不停的每年增长。

比如银行存款利率刚开始的那一年4%，第二年3%，第三年2%，第四年1%,那么这四年下来我把钱刚开始那年存进去取出来，第二年存进去取出来。

依此类推，和我一开始直接就以一个利率存4年的增长值是一样的。

这里后续的债券净预期理论中也会有涉及。

而调和平均数的意义在于买股票，我买了N只股票，那么我的评价价格如果用几何平均数，可能会有outliers，就是可能有极端值，但是我们用调和平均数就能解决这样的问题，算出每股的平均价格。

方差公式在证明不等式中的应用方差是一种衡量数据离散程度的统计量，它可以用来评估数据的分散程度，进而帮助我们理解数据的差异或者变化趋势。

方差公式在不等式证明中有着广泛的应用，可以用来推导各种不等式。

首先，让我们回顾一下方差的定义和公式：对于一组数据$x_1，x_2，\ldots，x_n$，假设它们的均值为$\bar{x}$，方差$S^2$可以用如下公式计算：$$S^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$$方差的意义是每个数据点与均值的偏离程度的平方的平均。

在不等式证明中，我们常常需要通过推导和证明不等式来得出结论。

下面将介绍方差公式在不等式证明中的几个经典应用。

1.切比雪夫不等式切比雪夫（Chebyshev）不等式是描述随机变量在离其均值一定距离范围内观测到的概率的不等式。

对于一个具有有限方差的随机变量，其服从切比雪夫不等式：$$P(，X - \mu，\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$$其中，$X$表示随机变量，$\mu$表示均值，$\sigma$表示标准差，$k$表示任意正数。

证明方法如下：首先，对于任意正数$k$，我们可以将不等式左侧的绝对值改写为$(X-\mu)^2 \geq k^2\sigma^2$。

然后，我们可以使用方差公式来将方程变形为：$$P((X-\mu)^2 \geq k^2\sigma^2) \leq \frac{1}{k^2}$$再通过方差公式的定义，我们可以将不等式转化为：$$P((X-\mu)^2 \geq k^2\sigma^2) = P(，X-\mu，^2 \geqk^2\sigma^2) = P(，X-\mu，\geq k\sigma)$$从而得出切比雪夫不等式。

2.马尔科夫不等式马尔科夫（Markov）不等式用于描述一个非负的随机变量的概率的上界。

对于一个非负随机变量$X$和任意正数$a$，其服从马尔科夫不等式：$$P(X \geq a) \leq \frac{E(X)}{a}$$其中，$E(X)$表示随机变量$X$的期望。

1.参数为p 的0−1分布概率分布律为：已知：E (X )=p ，又所以一、常见分布的方差X 0 1P 1−p p222()1(1)0(0)E X P X P X p=⋅=+⋅==222()()[]D X E X EX p p pq=-=-=概率分布律为：已知：E (X )=λ，又所以2.泊松分布π(λ)2()[(1)]E X E X X X =-+[(1)]E X X EX =-+0(1)!k k k k e k λλλ∞-==-⋅+∑222(2)!k k e k λλλλ-∞-==+-∑220!l l k l e l λλλλ∞=--=+∑=令2.λλ=+2222()()[]=.D X E X EX λλλλ=-=+-(),0,1,2,.!kP X k e k k λλ-===2=e e λλλλ-+概率分布律为：已知：E (X )=np ，又所以3.二项分布b (n , p )解一：(),0,1,2,,.k k n k n P X k C p qk n -===20()[(1)](1)n kk n k n k E X E X X EX k k C p qnp-==-+=-⋅+∑222(2)2(1)(2)!(2)!()!nk n k k n n n p q npk n k -+---=--=+--∑222()220(1)(1)n l l n l n l n n p Cp q np n n p np ----==-+=-+∑22()()[]D X E X EX npq =-=解二：根据二项分布的客观背景，X 表示n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数，且P (A )=p .则X 1,X 2,…,X n 相互独立，均服从0−1分布，且有故引入随机变量X 1,X 2,…,X n ，其中D (X i )=p (1−p )则有i = 1,2,…,n1,0,i i A X i A ⎧=⎨⎩第次试验事件发生第次试验事件发生1n i i X X ==∑11()(1)n ni i i i DX D X DX np p =====-∑∑概率密度为：已知：E (X )=(a+b )/2，又所以4.区间(a,b )上的均匀分布U (a,b )1,()0,a xb f x b a ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它22()()E X x f x dx +∞-∞=⎰22213b a a ab b x dx b a ++=⋅=-⎰222()()()[]12b a D X E X EX -=-=概率密度为：已知：E (X )=1/λ，又所以5.指数分布当概率密度表示为：对应的方差为θ2.,0()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩222202()()x E X x f x dx x e dx λλλ+∞+∞--∞==⋅=⎰⎰2221()()[]D X E X EX λ=-=1,0()0,0x e x f x x θθ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩于是6.正态分布N (μ,σ2)设：X ~N (0,1)，求D (X ).解：设X 的概率密度为22()2x x e x ϕπ-=-∞<<+∞()0E X =2222()(())()2x D X x E X x dx x e dx ϕπ+∞+∞--∞-∞=-=⎰⎰22222πx x xe e dx +∞+∞---∞-∞⎛⎫ ⎪=-+ ⎪⎝⎭⎰22=12πx e dx +∞--∞=⎰若X ~N (μ,σ2)，易知而X =σZ +μ，由数学期望和方差的性质得：这就是说，正态分布的两个参数μ和σ2分别是该分布的数学期望和方差.则E (Z )=0，D (Z )=1~(0,1)X Z N μσ-=()()()()E X E Z E Z E σμσμμ=+=+=22()()()()D X D Z D Z D Z σμσσσ=+===分布参数数学期望方差0−1分布p p p(1−p)二项分布n, p np np(1−p)泊松分布λλλ均匀分布a, b(a+b)/2(b−a)2/12指数分布θθθ2正态分布μ, σ2μσ2注：仅知道随机变量的期望与方差并不能确定其分布.易求得它们具有相同的数学期望和方差，但是分布却不同.例如：随机变量X 和Y 的分布律如下表所示X −1 0 1P 0.1 0.8 0.1Y −2 0 2P 0.025 0.95 0.025E (X )=0, D (X )=0.2E (Y )=0, D (Y )=0.2二、切比雪夫不等式（Chebyshev‘s Inequality ）定理：设随机变量X 的期望EX=μ，方差DX=σ2>0，则对于任意ε>0，成立不等式：则有：或者1821~189422{}σP X μεε-≥≤22{}1σP X μεε-≤≥-{}P X με-≥()x μεf x dx -≥=⎰22||()x μεx μf x dx ε-≥-≤⎰221()()x μf x dx ε+∞-∞≤-⎰22εσ=证明：设X 为连续型随机变量，其概率密度为f (x )切比雪夫，П.Л.2.由切比雪夫不等式可以看出，σ2越小，则事件{|X −E (X )|<ε}的概率的下限越大，即随机变量X 集中在期望附近的可能性越大.1.当方差已知时，切比雪夫不等式给出了随机变量X 与它的期望的偏差不小于ε的概率的估计式.22{}σP X μεε-≥≤22{}1σP X μεε-≤≥-例1.在每次试验中，事件A 发生的概率为0.75，利用切比雪夫不等式求：n 需要多么大时，才能使得在n 次独立重复试验中，事件A 出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90?解：设X 为n 次试验中事件A 出现的次数.E (X )=0.75n ,的最小的n .(0.740.76)0.90X P n <<≥则X ~b (n , 0.75)所求为满足D (X )=0.75×0.25n =0.1875n(0.740.76)X P n<<=P (0.74n < X <0.76n )=P (−0.01n <X −0.75n <0.01n )=P {|X −E (X )|<0.01n }2()1(0.01)DX n ≥-= P { |X −E (X )| < 0.01n }20.187510.0001n n =-18751n=-(0.740.76)X P n <<在切比雪夫不等式中取ε=0.01n ，则(0.740.76)X P n<<187********.9n ≥=-解得依题意，取187510.9n -≥即n 取18750时，可以使得在n 次独立重复试验中，事件A 出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90.。